DERIVADA DE LAS FUNCIONES BÁSICAS SENO Y COSENO Sugerencias para quien imparte el curso: Un inconveniente que se podría conjeturar de inicio, es la existencia de estudiantes que aún no logran comprender los conceptos básicos del Cálculo Diferencial, en particular el de derivada, pues aunque podrían mostrar un dominio aceptable en la algoritmia para encontrarlas, difícilmente comprenden el por qué de esas reglas que utilizan, y esto suele suceder cuando se enfrentan a tal concepto con un enfoque abstracto sin relación alguna con problemas de variación y de la rapidez promedio e instantánea de la variación, por tal razón en la propuesta presente, se intenta romper con el enfoque formal, que solo esconde las ideas geométricas y físicas que generaron el concepto de derivada, al sugerir un enfoque menos formal donde de ninguna manera se sacrifique el desarrollo de ideas e interpretaciones de la derivada, para dar solamente lugar al trabajo algorítmico. El contenido se irá generando a través de la necesidad de resolver problemas, transitando entre diversas representaciones, la tabular, la gráfica y la algebraica, de tal modo que los conceptos básicos se establecerán durante la búsqueda de la solución a los problemas que de inicio se plantean. Propósitos: 1. Ratificar la interpretación geométrica de la derivada. 2. Conocer los segmentos relacionados a la recta tangente. 3. Inducir a través de sus gráficas, las reglas para la derivada de la función básica seno y de la función básica coseno. 4. Recordar algunas notaciones para la derivada, la de Lagrange, la de Leibniz y la de Euler.

EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE Y SUS SEGMENTOS RELACIONADOS Si en la figura 1 la recta l es tangente a la onda senoidal básica en el punto P de abscisa x = 1 , encuentra: a) b) c)

La ecuación de la recta tangente l . La longitud del segmento tangente La longitud de la subtangente

Preguntar: 1. ¿Qué elementos se deben conocer de una recta para poder obtener su ecuación?

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2. ¿Conoces algún método para obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto? 3. En este caso, ¿cómo se podría encontrar la pendiente de la recta l , sabiendo que es tangente a la onda senoidal básica en el punto P ?

Figura 1 Preguntar: 4. ¿Cuál concepto del Cálculo se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva? El principal conflicto a enfrentar, es que existan alumnos con dificultades en la formación del concepto de derivada de una función en un punto, y que por lo tanto no relacionen su valor en el punto con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto, así que en este momento resulta adecuado replantear cómo con el método de Límites de Fermat, se arriba al concepto de derivada como un concepto dinámico que cuantifica la rapidez con que varia una variable respecto de otra en un instante, creando así un método general para calcular pendientes de tangentes. La respuesta a la pregunta 4, sugiere realizar alguna actividad con la finalidad de obtener una fórmula que permita calcular la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la onda senoidal básica, y puede ser la siguiente actividad.

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La actividad consiste en bosquejar la gráfica de la derivada de la función básica seno, evaluando la derivada en el punto a, con el método de límites de f ( x) − f (a) Fermat, f´ ( a ) = lím x →a x−a Para este caso, como f ( x ) = sen x , entonces f´ ( a ) = lím

x →a

sen x − sen a x−a

El procedimiento radica en completar la tabla de valores que aparece después de los ejemplos, localizar los puntos en el plano de la figura 2, donde ya está la gráfica de f ( x ) = sen x , bosquejar la gráfica de f ´( x ) y proponer un regla de correspondencia para ella. Preguntar: 5. ¿Qué sucede si lím

f ( x) − f (a) x−a

x →a−

= lím

f ( x) − f (a)

x →a+

x−a

?

Sugerir que: Para evaluar el lím

sen x − sen a , tomen valores de x = a − 0.000001 x−a

Para evaluar el lím

sen x − sen a , tomen valores de x = a + 0.000001 x−a

x →a−

x →a+

Por ejemplo, para a = −2π se tendría lo siguiente:

lím

sen x − sen ( −2π )

lím

sen x − sen ( −2π )

x →−2π −

x →−2π +

x − ( −2π ) x − ( −2π )

= =

sen ( −2π − 0.000001) − sen ( −2π )

( −2π − 0.000001) − ( −2π )

sen ( −2π + 0.000001) − sen ( −2π )

( −2π + 0.000001) − ( −2π )

=1 =1

De esto se concluye que f ´( −2π ) = 1 Mientras que para a = 0.25π , se obtendría:

lím

sen ( 0.25π − 0.000001) − sen 0.25π sen x − sen 0.25π = = 0.707107 x − 0.25π ( 0.25π − 0.000001) − 0.25π

lím

sen ( 0.25π + 0.000001) − sen 0.25π sen x − sen 0.25π = = 0.707107 x − 0.25π ( 0.25π + 0.000001) − 0.25π

x →0.25π −

x →0.25π +

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De donde f ´( 0.25π ) = 0.707107

a

−2π

x →a−

x → a+

lím

f ´( a )

Punto de f ´( x )

1

1

1

A ( −2π ,1)

0.707107

0.707107

0.707107

J ( 0.25π , 0.707107 )

lím

−1.75π −1.5π

−1.25π −π −0.75π −0.5π −0.25π 0

0.25π

0.5π 0.75π π

1.25π 1.5π 1.75π

2π

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f ( x ) = sen x

Figura 2 El alumno deberá realizar a partir de la gráfica construida, una conjetura soso bre una función F ( x ) como la derivada de f ( x ) . Para probar la conjetura, evaluará la función F ( x ) con los valores de x = a

dados dos en la tabla y observar que en todo caso coincida con el valor de f ´( a ) correspondiente. Concluir que si se cumple que F ( a ) = f ´( a ) para todo valor a de la tabla,

entonces la función F ( x ) que se sugirió es la derivada de f ( x ) .

Después de la actividad establecer el siguiente concepto clave.

Concepto clave:

5. Derivada de la función básica seno Si f ( x ) = sen x , entonces con la notación de Lagrange f ´( x ) = cos x o con la notación de Leibniz

d sen x = cos x o con la notación de Euler Dx ( sen x ) = cos x . dx

Pedir a los alumnos la respuesta al primer inciso del problema inicial, apliapli cando este concepto clave. Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes

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Para que respondan el segundo inciso, sugerir la figura 3, donde el segmento tangente es MP .

Figura 3 Para que respondan el tercer inciso, proponer la figura 4, donde la subtangente es el segmento de recta MN .

Figura 4

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Ejercicio 1 Procede de manera similar a la actividad realizada, para que obtengas en el plano de la figura 5, la gráfica de la derivada de la función f ( x ) = cos x y sugieras una regla de correspondencia para dicha gráfica. Ahora, f´ ( a ) = lím

x→a

a

lím

x→a−

cos x - cos a x-a

lím

x → a+

f ´( a )

Punto de f ´( x )

−2π −1.75π −1.5π −1.25π

−π −0.75π

−0.5π −0.25π 0

0.25π 0.5π

0.75π π

1.25π 1.5π 1.75π

2π

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f ( x ) = cos x

Figura 5 Conjetura, según la gráfica bosquejada, ¿quién podría ser f ´( x ) ? La respuesta correcta permitirá introducir el siguiente concepto clave.

Concepto clave:

Si

6. Derivada de la función básica coseno f ( x ) = cos x , entonces f ´( x ) = − sen x , o con las otras notaciones;

d cos x = − sen x o Dx ( cos x ) = − sen x dx

Para cerrar la sección, le corresponderá a quien imparte el curso, proponer la resolución de ejercicios, que puede tomar de cualquier texto de Cálculo Diferencial e Integral, con el propósito de practicar la parte algorítmica, a la vez que habrá de ejemplificar jemplificar de manera detallada la resolución de algunos de ellos, empleando en esta ocasión las reglas de derivación para las funciones básicas seno y coseno, en conjunción con las reglas algebraicas aprendidas en el curso anterior, quedando a su consideración ación volver a enunciarlas.

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