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Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________
Derivada : Las reglas de la derivación
Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación. Los teoremas que permiten efectuar este cálculo sobre funciones algebraicas se establecen y demuestran en esta parte del curso, en la que también conoceras las derivadas de orden superior. Una función que tiene derivada se dice diferenciable y en nuestra proxima sección estudiaremos la relación entre diferenciabilidad y continuidad y sus aplicaciones. En esta parte del curso estableceremos, como ya se dijo, las reglas de la derivación y los procesos que nos permitirán simplificarlos.La forma de internalización de estas reglas se sustenta en efectuar ejercicios como única forma de comprensión para poder aplicarse con posterioridad en las ciencias de la economía, de la administración o de la ingeniería. Contenidos -
Derivadas. Definición.
-
Reglas de derivación.
-
Derivadas de funciones algebraicas.
-
Derivadas de funciones compuestas. Regla de la cadena.
-
Derivadas de orden superior.
-
Derivadas de funciones implícitas.
Definición 1 :
(Derivada de una función). La derivada de la función un número
f es aquella función, denotada por f v , tal que su valor en
x 5 © del dominio de f está dado por:. f v ÝxÞ =lím
f Ýx+hÞ?f ÝxÞ h
h¸0
si éste límite existe
ANOTACIONES RESPECTO A LA DERIVADA EN EL USO DE ESTA DEFINICIÓN: La derivada de la función
y = fÝxÞ se ha dicho que se escribe como f v ÝxÞ se acostumbra a
utilizar, además, las siguientes notaciones:
f v ÝxÞ =lím h¸0
f Ýx+hÞ?f ÝxÞ h
= yv =
df dx
=
dy dx
= Dx
fÝxÞ
= Dx
y
El proceso del cálculo de la derivada de una función a partir de la definición es, en algunas ocasiones, muy extenso, por ello se estudiarán diversos teoremas que nos permitirán encontrar las derivadas con mayor facilidad. Estos teoremas se demostrarán a partir de la definición y en el enunciado de ellos se emplea la notación de Lagrange para la derivada y la conclusión se expresa en términos de D x fÝxÞ y en palabras
___________________________1 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ En nuestras demostraciones utilizaremos las siguientes abreviaciones: FÝxÞ = fÝxÞ; FÝx + hÞ = fÝx + hÞ GÝxÞ = gÝxÞ; GÝx + hÞ = gÝx + hÞ.
Teorema 01 :
(Derivada de la función constante).
fÝxÞ = c en que c 5 © , c es una constante, es:
La derivada de la función
D x ßc à = 0 Demostración : Sea FÝxÞ = fÝxÞ = c tenemos que: FÝx + hÞ = fÝx + hÞ = c ya que se trata de la función constante al sustituir dichos valores en la definición de derivada, nos queda:
f v ÝxÞ = D x ßc à =
fÝx +hÞ?fÝx Þ h
lím h¸0
Por lo tanto,
=
c ?c
lím
=
h
h¸0
lím h¸0
0
=0
h
D x ßc à = 0
Es decir, la derivada de una constante es cero.
Sea la función y = ?5 determine y’=?
Ejemplo 1 :
y = ?5 entonces y v = D x ?5 entonces: y = 0.
Solución :
= 0.
Tenemos que
v
Teorema 02 :
(Derivada de la función potencial).
fÝxÞ = x n en que n 5 ° es:
La derivada de la función
xn
Dx
= n x n?1
Demostración : Sea FÝxÞ = fÝxÞ = x n tenemos que: FÝx + hÞ = fÝx + hÞ al sustituir dichos valores en la definición de derivada, resulta:
f v ÝxÞ = D x x n
=
fÝx +hÞ?fÝx Þ h
lím h¸0
=
lím
= Ýx + hÞ n
Ý x + h Þn ? x n h
h¸0
Por el teorema del binomio tenemos que: Ýx + hÞ n = x n +nx n?1 h + Luego:
=
nÝn?1Þ 2!
f v ÝxÞ = D x x n x n +nx n?1 h+
lím
nÝn?1Þ 2!
Ý x + h Þn ? x n
h nx n?1 +
h
nÝn?1Þ 2!
h¸0
= lím
lím
h h¸0 x n?2 h 2 +...+nxh n?1 +h n ? x n
h¸0
= lím
=
x n?2 h 2 +. . . +nxh n?1 +h n
nx n?1 +
h¸0
Por lo tanto,
Dx
=
= lím
nx n?1 h+
nÝn?1Þ 2!
x n?2 h 2 +...+nxh n?1 +h n h
h¸0
x n?2 h+...+nxh n?2 +h n?1
simplicando por h
h nÝn?1Þ 2!
xn
x n?2 h +...+nxh n?2 + h n?1
= nx n?1
= nx n?1
Es decir, la derivada de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicada por la base elevada al exponente menos uno.
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Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ Ejemplo 2 :
Sea la función y = x 2 determine y’=?
Solución :
entonces:
Ejemplo 3 :
y = 2x.
y = x 3 entonces y v = D x x 3
Tenemos que entonces:
v
= 3x 3?1 = 3x 2 .
2
y = 3x .
Sea la función y = x 11 determine y’=?
Solución :
Tenemos que entonces:
Teorema 03 :
= 2x 2?1 = 2x.
v
Sea la función y = x 3 determine y’=?
Solución :
Ejemplo 4 :
y = x 2 entonces y v = D x x 2
Tenemos que
y = x 11 entonces y v = D x x 11
= 11x 10 .
y v = 11x 10 .
(Derivada de una constante por una función derivable). La derivada de la función
Dx
y = cfÝxÞ en que c 5 © es:
cfÝxÞ
v
= c f ÝxÞ
Demostración : Sea FÝxÞ = cfÝxÞ tenemos que: FÝx + hÞ = cfÝx + hÞ
sustituyendo dichos valores en la definición dada para la derivada de una función, entonces :
f v ÝxÞ = D x cfÝxÞ = c lím
lím
h¸0 fÝx +hÞ?fÝx Þ h
h¸0
Por lo tanto,
=
Dx
c fÝxÞ
c fÝx +hÞ?c fÝx Þ h
=
c
lím
fÝx +hÞ?c fÝx Þ
h¸0
h
= c f v ÝxÞ v
= c f ÝcÞ
Es decir, la derivada de una constante por una función derivable es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.
Ejemplo 5 : Solución :
Sea la función y = 4x 5 determine y’=? y = 4x 5 entonces: y = D x 4x 5 = 4D x x 5
Tenemos que v
entonces:
Ejemplo 6 : Solución :
= 4 6 5x 4 = 20x 4 .
y v = 20x 4 .
Sea la función y = ?3x 8 determine y’=? y = ?3x 8 derivando la función dada, nos resulta: y = D x ?3x 8 = ?3 6 D x x 8 = ?3 6 8x 7 = ?24x 7 .
Tenemos que v
entonces:
Teorema 04 :
y v = ?24x 7 .
(Derivada de la suma de funciones derivables). La derivada de la función
Dx
y = fÝxÞ + gÝxÞ es:
fÝxÞ + gÝxÞ
Demostración : ___________________________3 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
v
= f ÝxÞ + g v ÝxÞ
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ Sea FÝxÞ = fÝxÞ + gÝxÞ tenemos que: FÝx + hÞ = fÝx + hÞ + gÝx + hÞ sustituyendo dichos valores en la definición de derivada, nos resulta: v
f ÝxÞ = D x fÝxÞ + gÝxÞ = =
fÝx +hÞ?fÝx Þ
lím h¸0
lím
= +
lím
fÝ x + h Þ + gÝ x + h Þ ? Ý fÝxÞ + gÝxÞ Þ h
h¸0 gÝx +hÞ?gÝx Þ
=
h fÝx +hÞ?fÝx Þ h
h¸0
Por lo tanto,
gÝx +hÞ?gÝx Þ
+ lím
h
v
= f ÝxÞ + g v ÝxÞ
fÝxÞ + gÝxÞ
Dx
= f v ÝxÞ + g v ÝxÞ
Es decir, la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones. Este resultado se puede extender para un número mayor de sumando mediante la inducción matemática.
Sea la función y = 6x 3 + 5x 2 determine y’=?
Ejemplo 7 :
Solución : Tenemos que y = 6x 3 + 5x 2 derivando la función dada, nos resulta: v y = D x 6x 3 + 5x 2 = 6 6 D x x 3 + 5 6 D x x 2 = 6 6 3x 2 + 5 6 2x = 18x 2 + 10x. entonces:
y v = 18x 2 + 10x.
Sea la función y =
Ejemplo 8 :
2 x3 3
+ 52 x 2 ? 4x ? 3 determine y’=?
Solución : Tenemos que y = 2 x 3 + 5 x 2 ? 4x ? 3 entonces al derivar la función, nos resulta: 3 2 v y = D x 23 x 3 + 52 x 2 ? 4x ? 3 = 23 6 D x x 3 + 52 6 D x x 2 ? 4 6 D x ßx à ? 3D x 1 v
y =
2 3
=
6 3x + 6 2x ? 4 6 1 ? 3 6 0 = 2x + 5x ? 4. y v = 2x 2 + 5x ? 4. 2
2
5 2
entonces:
Sea la función y = ?6x 4 ? 47 x 3 + 7x 2 ? 14 determine y’=?
Ejemplo 9 :
Solución : Tenemos que y = ?6x 4 ? 4 x 3 + 7x 2 ? 14 entonces derivando, nos queda: 7 y v = D x ?6x 4 ? 47 x 3 + 7x 2 ? 14 = ?6 6 D x x 4 ? 47 6 D x x 3 + 7 6 D x x 2 v
y = ?6 6 4x ? 6 3x + 7 6 2x ? 14 6 0 = ?24x ? entonces: y v = ?24x 3 ? 12 x 2 + 14x. 7
Teorema 05 :
3
2
4 7
3
12 x 2 7
+ 14x.
(Derivada de un producto de funciones derivables). La derivada de la función
y = fÝxÞ 6 gÝxÞ es: v
= f ÝxÞ 6 gÝxÞ + fÝxÞ 6 g v ÝxÞ
fÝxÞ 6 gÝxÞ
Dx
Demostración : Sea FÝxÞ = fÝxÞ 6 gÝxÞ tenemos que: FÝx + hÞ = fÝx + hÞ 6 gÝx + hÞ sustituyendo dichos valores en la definición de derivada, nos queda: v
f ÝxÞ = D x fÝxÞ 6 gÝxÞ =
lím h¸0
=
lím h¸0
=
lím h¸0
=
lím
fÝ x + h Þ 6 gÝ x + h Þ ? Ý fÝxÞ 6 gÝxÞ Þ
h h¸0 f Ý x + h Þ6gÝ x + h Þ ? f Ý x Þ6gÝ x Þ + f Ý x + h Þ6gÝ x Þ ? f Ý x + h Þ6g Ý x Þ h f Ý x + h Þ6gÝ x + h Þ ? f Ý x + h Þ6gÝ x Þ + f Ý x + h Þ6gÝ x Þ ? f Ý x Þ6g Ý x Þ h
fÝ x + h Þ g Ý x + h Þ ? g Ý x Þ h
lím fÝ x + h Þ 6lím h¸0
=
h¸0
+ lím
h¸0 gÝx +hÞ?gÝx Þ h
= fÝxÞ 6 g v ÝxÞ + gÝxÞ 6 f v ÝxÞ ___________________________4 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
gÝ x Þ f Ý x + h Þ ? f Ý x Þ h
+ gÝxÞ lím h¸0
= =
=
fÝx +hÞ?fÝx Þ h
=
? 14D x 1
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ v
= f ÝxÞ 6 gÝxÞ + fÝxÞ 6 g v ÝxÞ
fÝxÞ 6 gÝxÞ
Dx
Por lo tanto,
Es decir, la derivada de un producto de funciones es igual al producto entre la derivada de la primera función por la segunda función más el producto de la primera función por la derivada de la segunda función.
Ejemplo 10 :
Sea la función y =
4x 3 ? 6x 2 ? 7x + 2
2x 4 ? 3x 2 ? 6
determine y’=?
y=
4x 3 ? 6x 2 ? 7x + 2
2x 4 ? 3x 2 ? 6
derivando, nos queda:
Solución :
Tenemos que v
4x ? 6x ? 7x + 2 3
y = Dx yv = v
y =
2x ? 3x ? 6
2
4
6 D x 4x 3 ? 6x 2 ? 7x + 2
2x 4 ? 3x 2 ? 6
2x ? 3x ? 6 Ý12x ? 12x ? 7Þ + 4
2
yv =
=
4x 3 ? 6x 2 ? 7x + 2
+
4x ? 6x ? 7x + 2
2
entonces:
2
3
8x ? 6x .
2
2x 4 ? 3x 2 ? 6 Ý12x 2 ? 12x ? 7Þ +
6 D x 2x 4 ? 3x 2 ? 6
3
4x 3 ? 6x 2 ? 7x + 2
8x 3 ? 6x .
(Derivada de un cuociente de funciones derivables).
Teorema 06 :
La derivada de la función
fÝxÞ
v
gÝxÞ
tenemos que:
derivada: v
fÝxÞ
=
ß gÝxÞ à 2
FÝx + hÞ = fÝ x + h Þ gÝ x + h Þ
lím
?
fÝx+hÞ
reemplazando en la definición de la
gÝx+hÞ
fÝ x Þ gÝxÞ
fÝ x + h Þ gÝxÞ ? fÝxÞ gÝ x + h Þ gÝxÞ gÝ x + h Þ
=lím
h gÝxÞ h¸0 h¸0 fÝ x + h Þ6gÝ x Þ ? f Ý x Þ6gÝ x + h Þ ? gÝxÞ fÝxÞ+ gÝxÞ fÝxÞ
=lím
h
=
h gÝxÞ gÝ x + h Þ f Ý x + h Þ6gÝ x Þ ? f Ý x Þ6gÝ x Þ ? f Ý x Þ6gÝ x + h Þ + f Ý x Þ6g Ý x Þ
h¸0
=lím
h gÝxÞgÝx+hÞ
h¸0 1
=lím
gÝxÞ gÝ x + h Þ
h¸0
=
gÝxÞ 6 f ÝxÞ ? fÝxÞ 6 g v ÝxÞ
=
gÝxÞ
f ÝxÞ = D x
gÝxÞ ® 0 es:
con
gÝxÞ
fÝxÞ
Dx Demostración : Sea FÝxÞ =
fÝxÞ
y=
fÝ x + h Þ ? f Ý x Þ
gÝxÞ lím
h
h¸0 v
gÝxÞ 6 f ÝxÞ ? fÝxÞ 6 g v ÝxÞ
1 ß gÝxÞ à 2
h¸0 v gÝxÞ 6 f ÝxÞ ? fÝxÞ 6 g v ÝxÞ
h
=
ß gÝxÞ à 2
v
fÝxÞ
Dx
Por lo tanto,
=
? fÝxÞ lím
= gÝx +hÞ?gÝx Þ
=
gÝxÞ
gÝxÞ 6 f ÝxÞ ? fÝxÞ 6 g v ÝxÞ ß gÝxÞ à 2
Es decir, la derivada de un cuociente de funciones es igual a la fracción que tiene como denominador el cuadrado del denominador original, y como su numerador al denominador por la derivada del numerador original menos el numerador original por la derivada del denominador original, si estas derivadas existen.
Ejemplo 11 : Solución : yv = D x yv =
Sea la función y = Tenemos que 2x 3 ?4x+5 x 3 ?x 2 ?3
=
y=
2x 3 ?4x+5 x 3 ?x 2 ?3 2x 3 ?4x+5
determine y’=? , derivando la función nos queda:
x 3 ?x 2 ?3 Ý x 3 ? x 2 ? 3 ÞD x 2x 3 ? 4x + 5 ? 2x 3 ? 4x + 5 D x x 3 ? x 2 ? 3 x3 ? x2 ? 3
Ý x 3 ? x 2 ? 3 Þ 6x 2 ? 4 ? 2x 3 ? 4x + 5 x 3 ?x 2 ?3
3x 2 ? 2x
2
entonces:
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=
2
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ yv =
Ý x 3 ? x 2 ? 3 Þ 6x 2 ? 4 x3
?
?
2x 3 ? 4x + 5 ?3
x2
3x 2 ?2x
2
? 2x 4 + 8x 3 ? 22x 2 + 10x + 12
=
x3 ? x2 ? 3
2
.
(Derivada de una potencia de exponente negativo).
Teorema 07 : Si
fÝxÞ = x ?n , donde ?n es un número negativo y x ® 0 entonces: x ?n
Dx
= ?nx ?n?1
Demostración : Sea y = x ?n entonces: y =
1 xn
luego, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente: v
1
f ÝxÞ = D x
ßx n à 2
x ?n
Dx
Por lo tanto,
x n 6 0 ? 1 6 nx n?1
=
xn
= ?nx n?1?2n = ?nx ?n?1
OBSERVACIÓN RESPECTO A LAS POTENCIAS: Tenemos que por definición se puede transformar una expresión radical en una expresión potencial de exponente fraccionario, es decir, si: En este caso si denominamos a
y=
n
x
m
m n
=x
r=
= xr
que al sustituir el valor de
m n
n
m
x
m n
=x
.
entonces podemos escribir lo siguiente
y su derivada será:
y v = r x r?1
r en la expresión resultante para la derivada de y, nos queda
la derivada de la siguiente forma:
yv =
Ejemplo 12 : Solución :
m n
x
m n
?1
=
m n
x
m ? n n
Sea la función y = 4 Tenemos que
y=4
3
3
x2
determine y v = ?
x2 = 4 x
2 3
transformando el radical en una potencia de exponente fraccionario:
entonces su derivada será:
yv = 4 6
2 3
x? 3 . 1
los ejercicios propuestos a continuación, obtenga la derivada de la función mediante los teorema establecidos :
01.
y = 4x 2 + x + 1
Solución : Tenemos que y = 4x 2 + x + 1 entonces su derivada será: ___________________________6 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ y v = D x 4x 2 + x + 1 = 4 6 D x x 2
+ D x ßx à + D x 1
=
v
y = 4 6 2x + 1 + 0 = 8x + 1. entonces: y v = 8x + 1. 02. 03.
fÝxÞ = 3x 4 + 5x 2 + 1 gÝxÞ = 18 x 8 ? x 4
04.
hÝxÞ = x 7 ? 2x 5 + 5x 3 ? 7x Solución : Tenemos que y = x 7 ? 2x 5 + 5x 3 ? 7x entonces su derivada será: v y = D x x 7 ? 2x 5 + 5x 3 ? 7x = D x x 7 ? 2D x x 5 + 5D x x 3
? 7D x ßx à =
y v = 7x 6 ? 10x 4 + 15x 2 ? 7. entonces: y v = 7x 6 ? 10x 4 + 15x 2 ? 7. 1 t4 ? 1 t2 4 2 4 ^r 3 3 10 5
05.
FÝtÞ =
06.
vÝrÞ =
07. 08.
GÝyÞ = y + 7y ? y 3 + 1 FÝxÞ = x 2 + 3x + x12 Solución : Tenemos que y = x 2 + 3x + 12 derivando dicha función, nos resulta: x y v = D x x 2 + 3x + x12 = D x x 2 + 3D x ßx à ? D x x ?2 = y v = 2xD x ßx à + 3D x ßx à ? 2x ?3 D x ßx à = 2x + 3 ? entonces: x3 3
09.
fÝxÞ =
+
10.
gÝxÞ = 4x ?
11. 12.
fÝxÞ = x ? 5 + x ?2 + 41x ?4 gÝxÞ = x32 + x54
v
2 x3
y = 2x + 3 ?
2 x3
, en este caso D x ßx à
=1
.
3 x3
4
1 4x 4
4
Solución : Tenemos que y = 32 + 54 entonces su derivada será: x x v y = D x x32 + x54 = 3 6 D x x ?2 + 5 6 D x x ?4 = y v = ?6 6 x ?3 ? 20 6 x ?5 = ? entonces:
y =?
6
?
x3
? 20 x5
20 x5
.
.
s3 ? s2
13.
hÝsÞ =
3
14.
pÝxÞ =
2x 2 + 5
4x ? 1
gÝxÞ =
4
2x ? 1
5x 3 + 6x
Solución :
Tenemos que
15.
v
6 x3
y=
2x 4 ? 1
5x 3 + 6x
al derivar debemos aplicar la regla de la
derivación de un producto, entonces:
yv = D x v
y =
2x 4 ? 1
2x ? 1 4
entonces:
5x 3 + 6x 2
15x + 6
=
2x 4 ? 1
6 Dx
5x 3 + 6x
+
5x 3 + 6x
6 Dx
5x + 6x 8x = 70x + 60x ? 15x ? 6. 3
+
3
6
4
2
y v = 70x 6 + 60x 4 ? 15x 2 ? 6. 2
16.
fÝxÞ =
4x 2 + 3
17.
gÝsÞ =
7 ? 3y 3
18.
FÝtÞ =
t 3 ? 2t + 1
19.
GÝxÞ =
20.
FÝxÞ =
2
2t 2 + 3t
x 2 ? 3x + 2
2x 3 + 1
2x x +3
Solución :
Tenemos que
y=
2x x +3
al derivar debemos aplicar la regla para derivar un cuociente
de funciones,entonces:
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2x 4 ? 1
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ yv = D x yv =
2x x +3 x +3
2
x +3
? 2x
hÝxÞ =
22.
fÝyÞ =
23.
fÝxÞ =
24.
gÝxÞ =
25.
fÝtÞ =
26.
fÝxÞ =
6
yv =
.
2
x +3 6
.
2
x +3
=
2
x +3
=
2
entonces:
21.
x + 3 D x 2x ? 2x D x x + 3
=
x x ?1 2y + 1 3y + 4 x 2 + 2x + 1 x 2 ? 2x + 1 4 ? 3x ? x 2 x ?2 5t 1 + 2t 2 x 4 ? 2x 2 + 5x + 1 x4
Solución :
x 4 ? 2x 2 + 5x + 1
y=
Tenemos que
entonces debemos derivar un cuociente de
x4
funciones, de donde aplicando la regla correspondiente, nos queda: x 4 ? 2x 2 + 5x + 1
v
y = Dx yv = yv =
x 4 Ý 4 x 3 ? 4x + 5Þ ? 4 x 3 4 x 2 ? 15 x ? 4
x3
hÝyÞ =
28.
hÝsÞ =
29.
qÝxÞ =
x 4 ? 2x 2 + 5x + 1
Dx x4
2
=
4 x 5 ? 15 x 4 ? 4 x 3
=
x8
x5
Ý x ? 4 ÞÝ 4x + 1 Þ
yv =
x 4 ? 2x 2 + 5x + 1
Ý x ? 4 ÞÝ 4x + 1 Þ
=
x8
? x4
x8
entonces:
27.
x 4 D x x 4 ? 2x 2 + 5x + 1
=
x4
x5
.
y3 ? 8 y3 + 8 s2 ? a2 s2 + a2 2x + 1 x +5
3x ? 1
Solución :
y=
Tenemos que
2x + 1 x +5
3x ? 1
entonces utilizando las reglas adecuadas para la
derivación de la función dada, nos queda : 2x + 1
yv = D x yv =
2x + 1
yv =
6x + 3
yv = .
30.
x +5
x +5 6x + 3
x +5 x +5
entonces:
fÝxÞ =
x3 + 1 x2 + 3
=
6 3 + Ý3x + 1Þ 6 + Ý3x + 1Þ 6 +9
2x + 10 ? 2x ? 1
x 2 ? 2x ?1 + 1
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6x + 3 x +5
6x 2 + 60 x + 24
=
x +5
x 2 + 10 x + 4 x +5
=
2
x +5 3x + 1
6
?1
2
.
2
6 Dx x + 5
=
6
x2
9 x +5
+ 10 x + 4 x +5
2
x +5
=
2
+ Ý3x + 1Þ 6
2x + 1
6 Dx
3x ? 1
+
2x + 1
x +5
2
yv =
2x + 1
6 D x 3x x +5 x + 5 6 D x 2x + 1 ?
3x ? 1
x +5
2
=
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________
(Derivada de la función seno).
Teorema 09 : Si
fÝxÞ = sin x , entonces: Dx
= cos x
sin x
Demostración : Sea FÝxÞ = sin x tenemos que: FÝx + hÞ = sin Ýx + hÞ reemplzando en la definición dada de derivada, nos queda: f v ÝxÞ = D x sin x = lím sin Ý x + h hÞ ? sin Ý x Þ = por identidad trigonométrica se tiene: h¸0
sinJ sin Ý x + h Þ ? sin Ý x Þ h
f v ÝxÞ =lím h¸0
=lím cos h¸0
2x + h 2
2x+h 2
sin
h 2
=lím
h
h¸0 2x
= cos
h 2
h¸0
Dx
Por lo tanto,
sin
lím
h 2
2 cos
=lím
cos
2x+h 2
? sinK = 2cos J+K sin J?K 2 2
sin
h 2
h 2
h¸0
=
61
2
= cos x
sin x
(Derivada de la función coseno).
Teorema 10 : Si
fÝxÞ = cos x , entonces: Dx
= ? sin x
cos x
Demostración : Sea FÝxÞ = cos x tenemos que: FÝx + hÞ = cos Ýx + hÞ reemplazando en la definición de derivada,entonces : f v ÝxÞ = D x cos x = lím cos Ý x + h hÞ ? cos Ý x Þ = por identidad trigonométrica se tiene: h¸0
cos J ? cos K = ?2 sin J+K sin J?K 2 2
cos Ý x + h Þ ? cos Ý x Þ h
f v ÝxÞ =lím h¸0
= ? lím sin h¸0
Por lo tanto,
sin
2x + h 2
lím
Dx
cos x
h 2
2x+h 2
h
h¸0
= ? sin
h 2
h¸0
?2 sin
=lím
2x 2
cos
h 2
= ? lím
sin
h¸0
2x+h 2 h 2
sin
h 2
=
61
= ? sin x
(Derivada de la función tangente).
Teorema 11 : Si
fÝxÞ = tan x , entonces: Dx
Demostración : Sea y = tan x =
= sec 2 x
tan x
sin x
, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente de funciones,
cos x
nos queda:
f v ÝxÞ = D x tan x f v ÝxÞ =
cos 2
Por lo tanto,
2
x + sin x
cos 2 x
Dx
sin x
= Dx =
tan x
cos x 1 cos 2 x
=
= sec 2 x
= sec 2 x
___________________________9 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
cos x cos x ? sin x Ý? sin x Þ cos 2 x
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________
(Derivada de la función cotangente).
Teorema 12 : Si
fÝxÞ = cot x , entonces: Dx
Demostración : Sea y = cot x =
= ? csc 2 x
cot x
cos x
, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente de funciones,
sin x
entonces :
f v ÝxÞ = D x cot x f v ÝxÞ = ?
2
cos 2
sin x +
x
Dx
sin x 1
=?
sin 2 x
Por lo tanto,
cos x
= Dx
sin 2 x
=
sin x Ý? sin x Þ ? cos x cos x Þ sin 2 x
=
= ? csc2 x
= ? csc2 x
cot x
(Derivada de la función secante ).
Teorema 13 : Si
fÝxÞ = sec x , entonces: Dx
Demostración : Sea y = sec x =
= sec x tan x
sec x
1
, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente de funciones,
cos x
entonces :
f v ÝxÞ = D x sec x f v ÝxÞ =
sin x
=
cos 2 x
Por lo tanto,
1
= Dx sin x
1
cos x
cos x
Dx
=
cos x
cos x 6 0 ? Ý ? sin x Þ cos 2 x
=
= tan x sec x
= sec x tan x
sec x
(Derivada de la función cosecante ).
Teorema 14 : Si
fÝxÞ = csc x , entonces (csc x=cosecante x=cosec x): Dx
Demostración : Sea y = csc x =
= ? csc x cot x
csc x
1
, ordenando algebraicamente para aplicar el teorema de la derivada de
sin x
una potencia, quedará:
f v ÝxÞ = D x csc x f v ÝxÞ = ?
cos x sin 2 x
Por lo tanto,
= Dx
=?
Dx
cos x sin x
csc x
1 sin x 1 sin x
= Dx
sin x
?1
=
?1
sin x
= ? cot x csc x
= ? csc x cot x
los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante las reglas deducidas.
___________________________10 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
?2
cos x =
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 01. y = cos x ? 2tan x Solución : Tenemos que y = cos x ? 2tan x entonces derivando, queda: y v = D x cos x ? 2tan x = ? sin x 6 D x ßx à ? 2sec 2 x 6 D x ßx à = y v = ? sin x ? 2sec 2 x. entonces: y v = ? sin x ? 2sec 2 x. 02. 03. 04.
fÝxÞ = sin x + cos x gÝxÞ = x csc x y = csc x cot x Solución : Tenemos que y = csc x cot x entonces derivando, queda: y v = D x csc x cot x = csc x 6 D x cot x + cot x 6 D x csc x v
y = csc x 6
+ cot x 6
? csc x 2
y v = ? csc x
entonces:
? csc x cot x
csc2 x ? cot 2 x
=
= ? csc x ? csc x cot 2 x. 3
= ? csc x. ya que: csc2 x ? cot
05.
y=
2
x=1
sin x 1 + csc x
Solución :
yv = D x
sin x
=
1 + csc x
1 + csc x
yv =
sin x
y=
Tenemos que
entonces:
1 + csc x 1 + csc x
6 Dx
1 + csc x
cos x ? sin x 1 + csc x
6
? csc x cot x
1 + csc x
=
2
2
=
=
2
cos x + csc x cos x + sin x csc x cot x
yv =
6 D x 1 + csc x
sin x ? sin x
cos x + csc x cos x + cot x 1 + csc x
2
ya que sin x csc x = 1 cos x + csc x cos x + cot x
v
y =
1 + csc x
entonces:
yv =
2
cos x + csc x cos x + cot x 2
1 + csc x
.
tan x
06.
y=
07.
y=
08.
y=
09.
y = 2xÝ x ? cot x Þ
x tan x ? 1 sec x x sin x + cos x
Solución :
Tenemos que
y = 2xÝ x ? cot x Þ derivando la función dada mediante las
reglas de derivación adecuada, queda:
y v = D x 2xÝ x ? cot x Þ y v = 2x 6
1 2
yv =
x
?
= 2x 6 D x
? csc2 x
x ? cot x
+
x ? cot x
6 D x 2x
62=
x
+ 2xcsc2 x + 2
x ? 2 cot x =
x
yv =
x ? cot x
+
10. 11.
y = x ?3 sin x tan x y = x sin x cos x
12.
y=
13.
y=
+ 2xcsc2 x + 2
x
x + 2xcsc2 x + 2 entonces:
x
yv = 3
x ? 2 cot x. x + 2xcsc2 x ? 2 cot x
x 2 tan x sec x 2 cos x x +1
___________________________11 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
x ? 2 cot x
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 2 Solución : Tenemos que y =
cos x
aplicando la regla de derivación de un cuociente a la
x +1
función dada, queda: v
2 cos x
y = Dx
y=
15.
y=
16.
y=
17.
y=
2
x +1
x sin x + sin x + cos x
2
yv = ?
entonces:
=
2
? 2 x sin x ? 2 sin x? 2 cos x
=
2
x +1
? 2 cos x D x x + 1
x +1
?2 Ý x + 1 Þ sin x ? 2 cos x
yv =
14.
Ý x + 1 ÞD x 2 cos x
=
x +1
Ý x + 1 Þ2
.
.
sin x 1 ? cos x x +4 cos x tan x cos x ? 4 cot x 1 ? sin x
Solución :
cot x
y=
Tenemos que
aplicando la regla de la derivación del cuociente a la
1 ? sin x
función dada, queda: v
cot x
y = Dx
1 ? sin x
yv =
? csc 2 x
entonces:
y=
19.
y=
20.
y=
21.
y=
+ cot x cos x
2
yv =
=
2
? csc 2 x + sin x csc 2 x + cot x cos x
=
2
1 ? sin x 1 ? sin x
? cot x D x 1 ? sin x
D x cot x
1 ? sin x
csc 2 x + csc x + cot x cos x
yv =
18.
1 ? sin x
=
1 ? sin x
1 ? sin x
2
.
csc 2 x + csc x + cot x cos x 2
1 ? sin x
1 + sin x 1 ? sin x sin x ? 1 cos x + 1 2 csc x ? 1 csc x + 2 tan x + 1 tan x ? 1
(Derivada de la función logarítmica).
Teorema 15 :
fÝxÞ = ln x , entonces:
Si
Dx
1
=
ln x
x
Demostración : Sea FÝxÞ = ln x tenemos que: FÝx + hÞ = ln Ýx + hÞ sustituyendo dichos valores en la definición de definición, nos resulta: f v ÝxÞ = D x ln x = lím ln Ý x + h hÞ ? ln Ý x Þ =.. h¸0
por propiedad de los logaritmos, tenemos que:
f Ýx Þ =
lím
h¸0
ln 1 +
1 x x h
=
h
h¸0
=lím
x + h x
ln
v
h x
lím h¸0
=
1 x
ln
1 h
lím
x +h x
1+
h x
= x h
=
h¸0
por propiedad de existencia del número
f v Ýx Þ =
ln
ln Ý x + h Þ ? ln Ý x Þ = ln
e tenemos que e =
lím h¸0
1 x
Por lo tanto,
ln e Dx
pero, ln e = 1, queda: ln x
=
1 x
___________________________12 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
1+
h x
x h
x +h x
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ Si desearamos calcular la derivada de la función y = log x , de acuerdo al teorema del cambio de base y aplicando la derivada de la función logaritmo neperiano: log x = log e ln x v
f ÝxÞ = D x log x
Dx
Por lo tanto,
= D x log e ln x
log x
=
1
= log e D x ln x
=
1 x
log e
log e
x
(Derivada de la función exponencial en general).
Teorema 16 :
fÝxÞ = a x , entonces:
Si
ax
Dx
= ln a 6 a x
Demostración : Sea y = a x aplicando la función logaritmo neperiano ( ln ), nos queda: ln y = ln a x entonces por propiedades de los lagaritmos:: ln y = x ln a derivando : D x ln y = ln a D x ßx à y v = ln a 6 1
1 y v
y = y ln a y v = a x ln a Dx
Por lo tanto,
ax
= a x ln a
Si desearamos calcular la derivada de la función exponencial v
f ÝxÞ = D x e
x
Dx
Por lo tanto,
x
= e ln e = e ex
y = ex ,
x
= ex
los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante las reglas deducidas.
01.
y = ln ax + b Solución :
Tenemos que
y = ln ax + b
aplicando la regla de derivada de la función logaritmo, entonces:
y v = D x ln ax + b entonces:
02.
fÝxÞ = ln ax 2 + b
03.
gÝxÞ = ln ax + b
04. 05. 06. 07.
y y y y
= = = =
yv =
= a ax + b
1 ax + b
D x ax + b
a
=
ax + b
.
.
2
n
ln ax ln x 3 ln 3 x ln 2x 3 ? 3x 2 + 4
Solución :
Tenemos que
y = ln 2x 3 ? 3x 2 + 4
derivando la dunción mediante la regla adecuada, queda:
y v = D x ln 2x 3 ? 3x 2 + 4 ___________________________13 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
=
1 2x 3 ? 3x 2 + 4
2
D x 2x 3 ? 3x 2 + 4
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 6x 2 ? 6x yv = = 2 3 2 ? 3x
2x
6x Ý x? 1 Þ
entonces:
2
2x 3 ?3x 2 + 4
+4
6x Ý x? 1 Þ
yv =
2x 3 ?3x 2 + 4
.
.
2
2
08.
y = log
09.
y = ln
10.
y = ln
9 ? 2x 2
11.
y = ln
ax a + x
x x2 1 + x2
Solución :
Tenemos que
y = ln
ax a + x
derivando la función dada mediante la regla adecuda, queda: Ý
y v = D x ln
ax a + x
? ax D x
a + x D x ax
=
a+x
=
2
ax a+x
yv =
a+x ?
a
a2x 2
entonces:
ax a + x
2
2a 2 x 2 2a + x
yv = 2ax 2
12.
y = x ln x
13.
y = ln
14.
2a Ý a + x Þ ? ax
=
a+x
2a 2 x 2
x +1
2a + x
=
3 2
2ax 2
x +1
3 2
.
.
3 2
x +1
x +1
2a 2 + ax
=
3 2
1 + x2
x+
a + bt
s = ln
a ? bt
Solución :
Tenemos que
a + bt
y = ln
a ? bt
derivando la función dada mediante la regla adecuda, queda:
yv = D x yv =
6
a + bt a ? bt
ab a2 ? b2t2
ab ? b 2 t + ab + a ? bt
2
1
6
a + bt a ? bt b2t
26
=
2ab a + bt
2
Ý a ? bt Þ 6 b ? Ý a + bt Þ 6 Ý ? b Þ
6
a ? bt
a + bt a ? bt
6
1 a ? bt
=
2
ab a + bt
a ? bt
=
=
. entonces:
15. 16. 17.
1
=
a ? bt
1 2
yv =
a + bt
ln
yv =
ab a2 ? b2t2
.
fÝxÞ = x 2 ln x 2 gÝxÞ = e ax y = 10 nx Solución :
y = 10 nx apliquemos la función logaritmo neperiano a ambos miembros ln y = nx ln 10, derivando ambos miembros respecto a x: v y = n ln 10
Tenemos que entonces: 1 y
yv = entonces:
n ln 10 y = n 10 nx ln 10. reemplazando el valor de y : y v = n 10 nx ln 10.
2
18.
y = ex
19.
y=
20. 21. 22.
y=e t z = b 2y u = s es
23.
v=
2 ex
eu u
___________________________14 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 24.
ln x
y=
x
Solución :
ln x
y=
Tenemos que
x
aplicando las reglas adecuadas para derivar la función, queda:
yv = D x
ln x x
y = ln
26.
y=
? ln x
1 x
1 ? ln x
y =
x2
1 ? ln x
=
x2
v
entonces:
25.
x 6
=
x2
.
x2 ex ex ? 1 ex + 1 2 ?x
27.
fÝxÞ = x e
28.
gÝxÞ =
e
a
x a
x
? e?a
2
Solución :
e
a
y=
Tenemos que
x a
x
? e?a
2
para derivar fácilmente apliquemos la función logarímo neperiano a ambos miebros de la ecuación dada y derivando mediante las reglas adecuada al problema, queda:
yv = D x yv =
e
a
x a
x
? e?a
2
1
a
a
2
e
v
y =
entonces:
x a
?
1
a
a
2
a
= ln
x e?a
2
e a + e? a x
e
x a
x
ln
x
? e?a
e
a
6
x a
x
? e?a
2
ea 6 x
1 a
? e? a 6 x
?
a 2
e + e? a x a
x
ln
a 2
.
e x ? e ?x
29.
y=
30.
s=
31.
fÝxÞ = ln
e x + e ?x ln t 2 t2 x2 + 1 ? x x2 + 1 ? x x
32.
y=x
33.
z=x
x
34.
s=
a
35.
t
t x
y=
3
3x + a 2x + b
36.
4 + x2
y=
4 ? x2
37.
x n
y=x
a + bx
38.
y = ln
a2 x 2
39. 40.
ln
y=
m
x a2 ? x 2 x
fÝxÞ = log
x 2 + a2 x +a
Solución :
Tenemos que
x 2 + a2
y = log
x +a
derivando la función dada mediante las reglas adecuadas, queda:
yv = D x
log
x 2 + a2
x 2 + 2ax ? a 2
yv = 2
x 2 + a2 x + a
x +a
1
=
x +a
2
log e =
entonces:
yv =
x 2 + a2 x + a
2 + 2ax ? a 2
2 x 2 + a2
x +a
log e.
x 2 + 2ax ? a 2 2 x 2 + a2
___________________________15 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
Ý x + a ÞÝ 2xÞ ? Ý x 2 + a 2 ÞÝ1Þ
1
log e
x 2 + a2 x + a x2
x +a
log e.
x +a
2
=
1 a
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 41. y = ln t 2t+3 x
42.
y=e
43.
s = 10 t log t
ln
x
Solución : Tenemos que y = 10 t log t entonces derivando la función dada, queda: y v = D x 10 t log t = 10 t 1 log e + log t ln 10 6 10 t = t
yv =
10 t t
log e + log t ln 10 6 10 t .
entonces:
44. 45.
y = Ý ae Þ nx r = 2s s 2
46.
y=
yv =
10 t t
log e + log t ln 10 6 10 t .
x
x a
Para calcular la derivada de una función compuesta, se aplica en general la Regla de la Cadena, que es tal vez uno de los teorema más importante del Cálculo Diferencial. Supóngase que deseemos determinar la derivada de la función y = FÝxÞ = x 3 ? 6x + 3 Las fórmulas de las derivadas que hemos estudiado no nos sirven para encontrar y v Obsérvese que F es una función compuesta. Si hacemos y = fÝuÞ = u y u = gÝxÞ = x 3 ? 6x + 3 entonces podemos escribir y = FÝxÞ = fÝgÝxÞÞ, esto es F = f E g. Sabemos como diferenciar ambas funciones f y g, así que sería útil encontrar una regla que establezca cómo la derivada de F = f E g en términos de las derivadas de f y g. Resulta que la derivada de la función compuesta F = f E g es el producto de las derivadas de f y g. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se denomina Regla de la Cadena.
En el ejemplo que hemos propuesto, tenemos: ya que:
fÝuÞ =
y v = f v ÝuÞg v ÝxÞ = ? f v ÝuÞ = 1
u ,
gÝxÞ = x 3 ? 6x + 3 entonces:
g v ÝxÞ = 3x 2 ? 6
2 u
luego:
y v = f v ÝuÞg v ÝxÞ =
1 2
Teorema 08 :
3x 2 ? 6 u
3x 2 ? 6
= 2
x 3 ? 6x + 3
(Derivada de una función compuesta . Regla de la cadena ). Sea
F = f E g la función compuesta definida por FÝxÞ = f gÝxÞ
y si las derivadas
g v ÝxÞ y f’´ÝxÞ existen, entonces F v ÝxÞ existe y esta dada por el producto Dx
f E g ÝxÞ
___________________________16 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
=f
v
gÝxÞ g v ÝxÞ
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ en notación de Leibniz, si
y = fÝuÞ y u = gÝxÞ son funciones diferenciables,
entonces dy dx
=
dy
du
6
du
dx
Demostración : La demostración de este teorema para todas las funciones diferenciables es sofisticado y se puede encontrar una de éstas demostraciones en el texto "Cálculo", STEWART, James, Segunda Edición, Grupo Editorial Iberoamericano, 1991, pág. 150 - 151.
Sea la función y = 4
Ejemplo 01 : Solución :
Tenemos que
y=4
3
determine y v = ?
x2
3
2 3
x2 = 4 x
derivando la función dada mediante la regla de la derivación de la potencia, entonces
yv = 4 6
2 3
x? 3 =
8
1
3
3
. x
los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante la regla de la cadena .
01. 02. 03. 04. 05. 06.
y = Ý2x 2 + 1Þ 3 fÝxÞ = Ý10 ? 5xÞ 4 gÝxÞ = Ýx 2 + 4x ? 5Þ 4 hÝrÞ = Ý2r 4 + 8r 2 + 1Þ 3 FÝtÞ = Ý2t 4 ? 7t 3 + 2t ? 1Þ 2 HÝzÞ = Ýz 3 ? 3z 2 + 1Þ ?3
07.
GÝyÞ =
08.
FÝxÞ =
09.
fÝxÞ =
1 + 4y 2 3
4x 2 ? 1 1 25 ? x 2
10.
gÝxÞ =
5 ? 2x 2
? 13
Podríamos reescribir las reglas de las derivadas de las funciones reales que hemos determinado, enteriormente, mediante la regla de la cadena. Así: Si y = fÝuÞ y u = gÝxÞ entonces: 01.
D x ßc à = 0
02. v
= c f ÝuÞD x
03.
Dx
cfÝuÞ
04.
Dx
fÝuÞ + gÝuÞ
v
un
= nu n?1 D x
u
= f ÝuÞD x
___________________________17 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
Dx
u
+ g v ÝuÞD x
u
u
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 05.
v
fÝu 1 Þ 6 gÝu 2 Þ
Dx
= f Ýu 1 ÞD x
6 gÝu 2 Þ + fÝu 1 Þ 6 g v Ýu 2 ÞD x
u1
v
06
Dx
07
Dx
fÝu 1 Þ gÝu 2 Þ
u ?n
?fÝu 1 Þ6g v Ýu 2 ÞD x u 2
gÝu 2 Þ6f Ýu 1 ÞD x u 1
=
u2
ß gÝu 2 Þ à 2
= ?nu ?n?1 D x
u
En el caso de la funciones trigonométricas, logarítmicas y exponencial si y = fÝuÞ es una de la funciones dadas y u = gÝxÞ entonces: 08.
Dx
sin u
= cos u D x ßu à
10.
Dx
tan u
= sec 2 u D x ßu à
09.
Dx
11.
cos u
Dx
12.
Dx
sec u
= sec u tan u D x ßu à
13.
Dx
csc u
= ? csc u cot u D x ßu à
1
D x ßu à
14.
Dx
ln u
16.
Dx
au
=
u
15.
= a u ln a D x ßu à
Dx
17.
Dx
= ? sin u D x ßu à
cot u
= ? csc2 u D x ßu à
log u
=
eu
1 u
log e D x ßu à
= e u D x ßu à
los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante la regla de la cadena .
01.
y = Ý3x 2 ? 2Þ 10 5x 2 ? x + 1
12
Solución : Sea y = Ý3x 2 ? 2Þ 10 5x 2 ? x + 1 Derivando: y v = 10Ý3x 2 ? 2Þ 9 6x v
2
v
2
y = Ý3x ? 2Þ y = Ý3x ? 2Þ
9 9
+ Ý3x 2 ? 2Þ 10 Ý12Þ 5x 2 ? x + 1
60x 5x ? x + 1
5x ? x + 1
11
660x ? 96x ? 180x + 24 .
2
gÝtÞ = Ý2t 2 ? 6t + 1Þ ?8
04.
hÝtÞ =
2
3
2
4
1
1 Ý t 2 ?2t ? 5 Þ 4 v
3
1+ t?
,
h ÝtÞ = ?4 t 2 ? 2t ? 5
Derivando:
?5
x 1
3 2
t
___________________________18 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
2t ? 2
11
+ 12Ý3x ? 2Þ 10x ? 1 2
Ý t 2 ?2t ? 5 Þ 4
Solución : Sea hÝtÞ =
HÝtÞ =
12
5x ? x + 1
03.
06.
,
11
fÝtÞ = Ý6t 2 + 5Þ 3 t 3 ? 7
FÝtÞ =
5x 2 ? x + 1
2
02.
05.
12
=?
8Ýt?1Þ Ý t 2 ?2t ? 5 Þ 5
.
10x ? 1 . .
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 07.
s3 + 1
GÝsÞ =
4
s2 + 1
Solución : s3 + 1
GÝsÞ =
Sea
4
s2 + 1
,
Derivando:
G v ÝsÞ =
3
s3 + 1 4 s2 + 1
Ý2sÞ +
3s 2
4
s2 + 1
2 3
G v ÝsÞ = 8s s 2 + 1 G v ÝsÞ = G ÝsÞ =
3
s2 + 1
s
v
3
s2 + 1
16s
2
08.
FÝyÞ =
09.
fÝtÞ =
10.
gÝzÞ =
11.
y ?6
3s 2 s 2 +1
s3 + 1 + s3 + 1
+ 3s 2
2 s2 + 1
.
s 3 +1
4
s 3 +1 4
2 s 3 +1 19s 3 + 3s + 16 s 3 +1
3
y +7 t3 ? 1
4
t3 + 1 1 5
2z ? 1
1
y=
7 ? 3x
12. 13. 14. 15. 16. 17.
y = tan 3x y = 4sec 5x y = cos x 3 y = cos 3 x y = Ý1 + cos 2 xÞ 6 y = tan 2 x + tan x2 Solución : Sea y = tan 2 x + tan x2 , Derivando: y v = 2tan x sec 2 x + sec x2 2x = 2sec 2 x tan x + x
18. 19. 20. 21.
y = cot 3 1 + x 2 y = cos Ýtan xÞ y = sin Ýsin xÞ y = sin 2 Ýcos 4x) Solución : Sea y = sin 2 Ýcos4xÞ =
sin
cos 4x
2
,
y v = 2sin Ýcos4xÞ cos Ýcos4xÞÝ? sin 4xÞ4 v y = ?8sin Ýcos4xÞ cos Ýcos4xÞÝ? sin 4xÞ Derivando:
22. 23.
y = sin 1x 2 y = sin x
24.
y=
cos x 1 + sin 2x 1 ? sin 2x
Solución : 1+ Sea y =
sin 2x
1 ? sin 2x
,
Derivando: 1 ? sin 2x
yv =
2 cos 2x
?
1 + sin 2x
1 ? sin 2x
yv = ?
4 cos 2x sin 2x 1 ? sin 2x
=?
2 sin 4x 1 ? sin 2x
2
1
25.
y = x sin
26.
y = tan 2 x 3
27.
y=
sin
2
2 cos 2x
2
x
x2 + 1
2
Solución : ___________________________19 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
=
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ Sea
y=
2
x2 + 1
sin
,
Derivando:
yv =
2
2 ?1
x2 + 1
sin
2x
x2 + 1
cos
x 2 +1
2 x
yv =
2
x 2 +1
cos
sin
x2 + 1
=
cos
2 ?1
x 2 +1
28.
1?
x
1+
x
y = cos 2 Solución : Sea
y = cos 2
1?
x
1+
x
2
1?
x
1+
x
,
Derivando: 1?
y v = 2cos
x
1+
y v = ? sin 2
1?
1?
? sin
1+ 1 x
x
1+
x
1 + tan
x+
1
29.
y=
30.
y = cos 2 cos x
31.
y = sin sin sin x
?
1 2
x
1+
x 1 x
= ?
2
1+
?
x
1?
1
x 2
x
2
1+
sin 2
x
1?
x
1+
x
x 1 ? 1 +
sin 2
= ? x
1+
x
+ sin 2 cos x
Solución : Sea y = sin sin sin x
,
Derivando:
y v = cos
32.
y=
sin sin x
x+
cos
sin x
cos x
x
Solución : Sea
y=
x+
x ,
Derivando:
yv = 2
4
33.
y=
x
35.
gÝtÞ =
36.
pÝtÞ =
2
x +1
2
1
2
x+ x
x+
4
x
2x ? 1
x +
1 ? 3t
4
1+
3
3 4
+ t4
?1
2 t
+ 3t
?2
Solución : Sea
pÝtÞ =
?1
2
1+
+ 3t
t
Derivando:
p v ÝtÞ = ?2 p v ÝtÞ = ?2
1+ t+2 t
2
?1
t ?1
+ 3t
+ 3t
?2
, ?3 ?3
? 1+ t+2 t
___________________________20 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
2 t ?2
?2
2 t2
?
2 t2
+3
x +1
2
=
x
x+ x
3
y=
= x
x +1
x+
34.
2
x+ x 2
yv =
1
1+
1
=
2
x x
1+
x
+3
x
x+ x
x x
x
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ p v ÝtÞ = ?2
t t + 3t
p v ÝtÞ = ?2
?3
2 2
t+2 2+3 t+2
3
3t 2 + 7t t+2
+3
+3
2
3
t+2
= ?2
2
t+2
3t 2 + 7t
2
2+3 t+2 t+2
2
2
2+3 t+2 3t 2 + 7t
2 t2
?3
t+2
t+2
2
2
t t+2
t+2
p v ÝtÞ = ?2 p v ÝtÞ = ?
+ 3t
t+2
3
8
37.
NÝyÞ =
38.
y = sin tan Sea
y+
y+
2y ? 9
sin x
y = sin tan
sin x
,
sin x
sec 2
Derivando:
y v = cos tan
1
sin x 2
yv =
cos x 2
sec 2
sin x
sin x
sin x
cos sin 2 x
39.
y=
40.
y=
cos x
41.
y=
x2 ? 1
42. 43.
y = cos 3 5x y = sin 3x 2
44.
y=
45.
y = x 2x +
46.
cos tan
cos x
sin x
x3 ? x
cos 5x
sin 2 x 1 + cos x
y = cos
3
3
3x 4
x +1
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. v
Si f es una función diferenciable, entonces su derivada f también es una función, asi que f v v vv puede tener su propia derivada, denotada por f =f .
v
Esta nueva función se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. De este modo tenemos: vv f ÝxÞ = Ejemplo 05 : Solución :
d dx
v
f ÝxÞ
=
d
d
dx
dx
fÝxÞ
=
d 2 fÝxÞ dx 2
Sea la función y = 4x 6 determine y vv = ? Tenemos que y = 4x 6 entonces y v = 24x 5 finalmente, y vv = 70x 4 .
Análogamente se puede obtener la tercera derivada, que es la derivada de la segunda derivada de la función dada f. En el ejemplo que hicimos anteriormente, tenemos que y vvv = 280x 3 . El proceso se puede continuar y obtenemos la cuarta derivada que se anota f ___________________________21 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
4
en el ejemplo:
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ y 4 = 840x 2 . Y, podríamos obtener de esta forma la enésima derivada que se escribirá n n y Ýn Þ = f Ýn Þ = d yn = d fÝxÞ . n dx
dx
los ejercicios dados determine la segunda derivada de la función mediante la regla de la cadena .
01. 02.
y = x 4 ? 3x 3 + 16x fÝtÞ = t 10 ? 2t 7 + t 4 ? 6t + 8
03.
gÝtÞ =
t2 + 1
04.
hÝrÞ =
r +
05.
FÝsÞ =
3s + 5
06.
HÝuÞ =
1
07.
GÝsÞ =
08.
FÝyÞ =
09.
fÝtÞ =
10.
gÝzÞ = tan 3 2z ? 1
11.
FÝxÞ = csc2 5x
12.
fÝrÞ = sec
13.
2
3
r 8
1?u s 1?s
1 ? y2
3 4
t2 t+1
r
gÝzÞ = z cos z
los ejercicios dados determine la tercera derivada de la función mediante la regla de la cadena .
01.
y = ax 2 + bx + c
02.
fÝtÞ =
03.
gÝxÞ =
04.
hÝrÞ =
1?t 1+t
5t ? 1 1 1 + x2
Obtenga una fórmula para la
01.
fÝxÞ =
02.
fÝxÞ = x n
03.
fÝxÞ =
04.
hÝrÞ =
f
Ýn Þ
ÝxÞ , mediante la regla de la cadena .
x 1 1?x
2
1 3x 3
DERIVACIÓN IMPLICITA. Una ecuación de dos variables x e y puede tener una o más soluciones para y en términos de x, o de x en términos de y. Esta soluciones son funciones definidas en forma implicitas por la ecuación A veces es muy difícil explicitar en una ecuación una de las dos variables o cualquiera de ellas como por ejemplo sucede con la curva conocida como Folio de Descartes, cuya ecuación es x 3 + y 3 = 6xy ___________________________22 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ Para encontrar la derivada, en este tipo de ecuaciones, denominadas funciones implicitas, consiste en derivar ambos miembros de la ecuación respecto a x ( o bien respecto a yÞ y luego resolver la ecuación resultante para y v (o bien para x’) Así por ejemplo determinar y v en: x 3 + y 3 = 6xy En este caso tenemos D x x 3 + y 3 = D x 6xy En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de las derivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de una constante (6) por una función derivable (xy), que es la derivada de un producto de funciones. D x x 3 + D x y 3 = 6D x ßxy à 3x 2 D x ßx à + 3y 2 D x ßy à = 6 xD x ßy à + yD x ßx à En este caso tenemos que: D x ßy à = y v ; D x ßx à = 1
3x 2 6 1 + 3y 2 6 y v = 6 x 6 y v + y 6 1
3x 2 + 3y 2 y v = 6xy v + 6y reagrupando los términos en y en el primer miembro y los otros términos en el segundo: 3y 2 ? 6x y v = 6y ? 3x 2 v
yv =
6 y ? 3 x2 3 y2 ? 6 x
=
2y ? x 2 y 2 ? 2x
En resumen, podemos establecer que: dy dx
dy
dx
dx
dy
= yv
=1
= xv
dx dy
ù
dy dy
yv 6 xv = 1
dx
=1
dx
yv =
ù
1 xv
=1
ù
xv =
1 yv
los ejercicios dados determine la derivada de la función implicita , según la derivada que se le pide.
01.
y2 ? x2 = 1 Solución :
yv = ?
En este caso derivando ambos miembros, tenemos:
D x y2 ? x2
= Dx 1
En el primer miembro tenemos la derivada de una diferencia de funciones, que es la diferencia de las derivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la función constante:
D x y2
? D x x2
= Dx 1
2y D x ßy à ? 2x D x ßx à = 0 D x ßy à = y v ; D x ßx à = 1 2y 6 y v ? 2x 6 1 = 0 2yy v = 2x v despejando y nos queda: yv = x
En este caso tenemos que:
y
02. 03. 04. 05. 06.
9x 2 + 4y 2 = 36 yv = ? v xy = 1 x =? x 2 + J 2 y 2 = 4J 2 ,donde J es una constante x v = ?. 2 v xy = x ? 8 y =? 2 2 x + 2x y + 3xy = 0 xv = ? Solución : En este caso, calculamos y v = ? derivando ambos miembros, tenemos:
___________________________23 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ D x x 2 + 2x 2 y + 3xy
= Dx 0
En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de las derivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la función constante:
D x x2 2x D x ßx à + 2 y D x x
2
2
+ x D x ßy à
+3
+ D x 2x 2 y + D x 3xy y D x ßx à + x D x ßy à
2x 6 1 + 2 2y 6 x + x 2 6 y v
= Dx 0
=0
+ 3 y 6 1 + x 6 yv 2 v
=0 v
2x + 4xy + 2x y + 3y + 3xy = 0 y v 2x 2 + 3x + 2x + 4xy + 3y y v 2x 2 + 3x y v nos queda:
despejando
yv = ? entonces
x =?
2x 2 + 3x
2x + 4xy + 3y
yv = ? x =? v
yv = ?
5xy + 2y = y 2 + xy 3 Solución :
09.
2x + 4xy + 3y
2x 2 + 3x
v
4x 3 + 7xy 2 = 2y 3 x 2 y = 1 + xy 2
07. 08.
=0
= ? 2x + 4xy + 3y
En este caso aplicamos la función derivada a ambos miembros de la ecuación, entonces:
5xy + 2y
Dx
= D x y 2 + xy 3
En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de las derivadas de las funciones. Y, tenemos lo mismo en el segundo miembro:
Dx 1 2
5
+ D x 2y
5xy
y D x ßx à + x D x ßy à
= D x y2
+ D x xy 3 y 3 D x ßx à + x D x y 3
+ 2 D x ßy à = 2y D x ßy à +
5xy
5 y + xy v
1 2
+ 2y v = 2yy v + y 3 + 3xy 2 y v
5y + 5xy v + 4y v 5xy = 4yy v 5xy + 2y 3 5x + 4 5xy ? 4y 5xy ? 6xy 2 despejando
y v = 2y 3
5xy
y nos queda: 2 y3
xy + sin xy = 1 Solución :
5xy ? 4y
5xy ?5y 5xy ? 6xy 2
5xy
xv = ?
y + 1 = xy + 1
11.
5xy + 6xy 2 y v 5xy
5xy ? 5y
5x +4
x
5xy
v
yv =
10.
/ 2
5xy
xv = ?
En este caso calculamos y v = ? aplicando la función derivada a ambos miembros de la ecuación,tenemos:
D x xy + sin xy
= Dx 1
En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de las derivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la función constante:
D x ßxy à + D x sin xy y D x ßx à + x D x ßy à
+ cos xy
y D x ßx à + x D x ßy à v
= Dx 1
=0
v
y + xy + y + xy cos xy = 0 y + xy v + ycos xy + xcos xy y v = 0 x + xcos xy y v + y + ycos xy = 0 x + xcos xy y v = ? y + ycos xy despejando
y v nos queda: yv = ?
entonces
xv = ?
x + x cos xy y + y cos xy
___________________________24 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
y + y cos xy x + x cos xy
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 12. 13. 14. 15.
cos ÝxyÞ 2 = y 2 + x yv = ? xcos y + ycos x ? 1 = 0 xv = ? 3 3 v x + y = 8xy y =? 1 + 1 =1 xv = ? x
y
Solución : En este caso calculamos y v = ? aplicando la función derivada a ambos miembros de la ecuación, queda: 1
Dx
1
+
x
= Dx 1
y
En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de las derivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la función constante: 1
Dx ?x
?2
1
+ Dx
x
D x ßx à ? y ?
?2 1 x2
= Dx 1
y
D x ßy à = 0 v ? y2 = 0 y
? y2 ? x2 yv = 0 ? x2 yv = y2
despejando
y v nos queda:
y2
yv = ?
x2 x2
v
x =? 16.
x +
y2
yv = ?
y =4 Solución :
En este caso aplicando la función derivada a ambos miembros, tenemos:
x +
Dx
= Dx 4
y
En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de las derivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la función constante:
Dx 1 2
+ Dx
x 1
D x ßx à + x
2
D x ßy à = 0 y
1 2
yv
+ x
2
y + despejando
= Dx 4
y
=0
/ 2
xy
y
x yv = 0
v
y nos queda: yv = ?
y x
17. 18. 19.
2x 3 y + 3xy 3 = 5 x2 y2 = x2 + y2 2x + 3 4 = 3y 4
yv = ? xv = ? xv = ?
20.
y ? cosÝ x ? y Þ = 0 Solución :
yv = ?
En este caso tenemos:
D x ßy ? cosÝ x ? y Þ à = D x 0 En el primer miembro tenemos la derivada de una diferencia de funciones, que es la diferencia de las derivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la función constante:
D x ßy à ? D x cos Ý x ? y Þ
=0
D x ßy à + sin Ýx ? yÞD x ßx ? y à = 0 y v ? sinÝx ? yÞ 1 ? y v = 0 1 + sin Ýx ? yÞ y v ? sinÝ x ? y Þ = 0 despejando
y v nos queda: yv =
___________________________25 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín
sin Ýx?y Þ 1 + sin Ýx?yÞ
Derivadas:Las reglas de la derivación __________________________ 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
yv = ? xv = ? v y =? xv = ? yv = ?
x ? sinÝ x + y Þ = 0 sec 2 x + csc2 y = 4 cos xy + xy = 0 xsin y + ycos x = 1 cos Ý x + y Þ = ysin x 3
x?y =
yv = ?
x+y
d2y
Demuestre que si xy = 1 en (1,1) , entonces:
dx 2
2
=4
Solución : En este caso tenemos:
D x ßxy à = D x 1 En el primer miembro tenemos la derivada de un producto funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la función constante:
x D x ßy à + y D x ßx à = D x 1 xy v + y = 0 v despejando y nos queda: yv = ? y x
Calculando la segunda derivada de y’:
y vv = ?
x yv ? y
y ? x yv
=
x2
x2
reemplazando en y” el valor de y’:
y vv =
y ?x ?
y x
x2
=
2y x2
en (1,1), entonces y vv = 2 28.
Dado que x 2 + y 2 = 1 , demuestre que
29.
Se x 2 + y 2 = 2 , pruebe que
30. 31.
1
1
3
3
Si x + y = 1 , muestre que 2
2
d2y dx 2 d2y dx 2
y vv
ö
d2y dx 2
x
Sea x + 25y = 100 , demuestre que
=4
=?
1 y3
1
= =?
2
3 2
2x y5 d2y dx 2
=?
4 25 y 3
BIBLIOGRAFÍA: 1. GRANVILLE,SMITH,LONGLEY,"Cálculo diferencial e integral",Editorial Uteha, México, 1980. 2. LEITHOLD,"El cálculo",Editorial Oxford University Press, Séptima edición, 1999. 3. STEWARD, James ,"Cálculo", Segunda edición, Grupo Editorial Iberoamericano, 1994. 4. FRALEIGH, John,"Cálculo con geometría analítica", Primera edición, Fondo Educativo Interamericano,1984. 5. EDWARDS y PENNEY,"Cálculo con geometría analítica", Cuarta edición, Prentice Hall-Pearson, 1994. 6. PURCELL, VARBERG, RIGDON,"Cálculo",Octava edición, Prentice Hall,2001. 7. BITTINGER,Marvin, "Cálculo para ciencias económico-administrativa", Séptima edición, Addison Wesley, 2002.
___________________________26 Departamento de Economía y Administración Prof. Fredi Veas Marín