UNIDAD IV IV:: DESARROLLO DE SÓLIDOS En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y DESARROLLO DE POLIEDROS REGULARES

cuerpos redondos

sobre un plano para luego elaborar los

modelos. Los temas de esta unidad son:

Desarrollo de Poliedros Regulares: Generalidades. Ejercicios Resueltos. Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 221

UNIDAD IV IV:: DESARROLLO DE SÓLIDOS En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y DESARROLLO DE POLIEDROS REGULARES

cuerpos redondos

DESARROLLO DE POLIEDROS NO REGULARES

Desarrollo de Poliedros No Regulares:

sobre un plano para luego elaborar los

modelos. Los temas de esta unidad son:

Generalidades. Ejercicios Resueltos. Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4

222

Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8

UNIDAD IV IV:: DESARROLLO DE SÓLIDOS En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y DESARROLLO DE POLIEDROS REGULARES

cuerpos redondos

DESARROLLO DE POLIEDROS NO REGULARES

Desarrollo de Cuerpos Redondos:

DESARROLLO DE CUERPOS REDONDOS

223

sobre un plano para luego elaborar los

modelos. Los temas de esta unidad son:

Generalidades. Ejercicios Resueltos. Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4

UNIDAD IV IV:: DESARROLLO DE SÓLIDOS En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y DESARROLLO DE POLIEDROS REGULARES

cuerpos redondos

DESARROLLO DE POLIEDROS NO REGULARES

Ejercicios Propuestos:

DESARROLLO DE CUERPOS REDONDOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

224

sobre un plano para luego elaborar los

modelos. Los temas de esta unidad son:

Ejercicios sobre los temas de la Unidad IV.

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS Desarrollo de Sólidos: Poliedros Regulares

Se entiende por Desarrollo de Cuerpos Sólidos a extender toda su superficie sobre un mismo plano. La utilización de desarrollos de sólidos es importante en gran cantidad de trabajos, dado que para la fabricación de muchos volúmenes huecos se parte de una superficie desarrollada. En esta unidad se verá el desarrollo de algunos cuerpos que se han trabajado anteriormente.

Poliedros Icosaedro.

Regulares:

Tetraedro,

Hexaedro,

Octaedro,

Dodecaedro,

En todos los desarrollos, si se recorta y se dobla por las aristas uniendo las mismas, se puede construir cualquier volumen de los diferentes cuerpos geométricos que se desarrollan en esta unidad temática.

225

a)

b)

c)

d)

e)

a) Desarrollo de un Tetraedro (cuatro caras); b) Desarrollo de un Cubo o Hexaedro (seis caras); c) Desarrollo de un Octaedro (ocho caras); d) Desarrollo de un Dodecaedro ( doce caras); e) Desarrollo de un Icosaedro (veinte caras). 226

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS Ejercicios Resueltos: Desarrollo de Poliedros Regulares

1. Realizar el desarrollo de un Tetraedro Regular que tenga arista igual a 60 mm. Solución: Construir un triangulo equilátero de lado igual al doble de la arista del tetraedro. Unir los puntos medios de los lados, por medio líneas rectas. Así se obtienen los cuatro triángulos equiláteros (caras del tetraedro) que forman el desarrollo de este sólido.

227

2. Realizar el desarrollo de un Hexaedro (Cubo) que tenga arista igual a 40 mm. Solución: Dibujar seis cuadrados iguales con lado igual a la arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido.

228

3. Realizar el desarrollo de un Octaedro que tenga arista igual a 55 mm. Solución: Dibujar ocho triángulos equiláteros con lado igual a la arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido, según la figura indicada.

229

4. Realizar el desarrollo de un Dodecaedro que tenga arista igual a 35 mm. Solución: Dibujar doce pentágonos regulares con lado igual a la arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido, según la figura indicada.

230

5. Realizar el desarrollo de un Icosaedro que tenga arista igual a 52 mm. Solución: Dibujar veinte triángulos equiláteros con lado igual a la arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido, según la figura indicada.

231

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS Desarrollo de Sólidos: Poliedros No Regulares

Poliedros No Regulares: Pirámide y Prisma. En este punto se verá el desarrollo de estos sólidos, además se recomienda que realicen los ejercicios resueltos y propuestos, así como también construir sus desarrollos en cartón o cartulina.

a)

b)

c)

a) Desarrollo de una Pirámide regular de base hexagonal; b) Desarrollo de un Prisma de base triangular; c) Desarrollo de un Paralelepípedo (prisma de base cuadrada). 232

Desarrollo de Pirámides: para determinar el desarrollo de una pirámide se necesita hallar la verdadera magnitud de la base ABC. La pirámide tiene base horizontal la cual se proyecta en verdadero tamaño. El verdadero tamaño de todas las aristas que van al vértice (AV, BV, CB), utilizando los triángulos de rebatimiento con la diferencia de cota en el mismo sitio o con el vértice común. Las caras laterales (triángulos ABV, BCV, CAV), con dos lados iguales a aristas laterales, el tercer lado igual a la arista de la base entre aristas laterales respectivas.

El número de caras laterales es igual al de los lados de la base. 233

Si la pirámide es regular recta, todas las caras laterales son iguales entre sí, los cuales son triángulos isósceles. Si la pirámide es truncada, se determina el desarrollo de la pirámide completa y posterior a ello se suprime la parte correspondiente.

234

Desarrollo de un Prisma recto: las caras laterales son rectángulos de longitud igual a la altura del prisma en proyección vertical y de ancho igual a los lados de la base.

Proyección Ortogonal 235

Desarrollo del Prisma recto

Desarrollo de un Prisma Oblicuo: Usando una sección plana normal (perpendicular), el eje del prisma se desarrolla según una recta. El procedimiento consta de realizar un cambio de plano, haciendo el prisma frontal en donde se obtienen las aristas en verdadero tamaño. Luego se determina la sección plana normal (en el prisma frontal el plano es perpendicular al eje del prisma). Se realiza un segundo cambio de plano en la cual se obtiene el ancho de las caras para posteriormente realizar el desarrollo con éstas y longitudinalmente las aristas correspondientes por encima y por debajo de la sección normal (se ven en la tercera proyección).

236

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SOLIDOS Ejercicios Resueltos: Desarrollo Poliedros No Regulares

1. Se da: una pirámide recta con base hexagonal, horizontal, regular con centro en el punto O(60;65;00), el lado de la base mide 50 mm y la altura es de 100 mm. Se pide: el desarrollo de la pirámide.

Solución:

Con

los

datos

suministrados

en

el

enunciado del ejercicio, representarlos en proyección ortogonal.

237

Posteriormente, circunscribir en la circunferencia colocar

la

base

nomenclatura

(A,

hexagonal, B,

C,…)

preferiblemente en sentido de las agujas del reloj y unir con V, en el plano horizontal, subir los puntos vértices de la base hasta el plano vertical y unir con V obteniéndose la pirámide.

238

Determinar

la

verdadera

magnitud de las aristas, esto con la finalidad de realizar el desarrollo del sólido. Trazar un eje perpendicular a la línea de tierra a una distancia corta en relación al dibujo del sólido. Luego

tomar

proyección

la

medida

horizontal,

que

en hay

entre los puntos de la base y el vértice de la pirámide (en este caso por ser una pirámide regular recta, todas las medidas son iguales), y llevarla

desde

el

punto

de

intersección entre la línea de tierra y el eje O. 239

Se coloca aparte (en el DIN) la base hexagonal y se van construyendo las caras de la pirámide colocando las aristas en verdadero tamaño (paso anterior).

Se traza un arco y se corta con la medida del lado de la base, luego se unen al vértice y se obtiene el desarrollo del sólido.

El número de caras del sólido es igual al número de lados que tenga la base. 240

Se completa el desarrollo de la pirámide recta de base hexagonal.

241

2. Se da: una pirámide regular recta de base pentagonal, horizontal, con centro en O(70; 70;00) y un punto en A(35; 30;00); el vértice de la pirámide es V(70;70;120). El plano [(150; 00; 00), de canto, (10; 00; 100)]. Se pide: verdadero tamaño de la sección, desarrollo del sólido y visibilidad del sólido truncado. Solución: Paso 1: Se representan en proyección ortogonal los datos del ejercicio. Paso 2: Se construye la pirámide de base pentagonal. Paso 3: Se ubican los puntos de corte del plano sobre la pirámide (utilizando nomenclatura) los cuales están en la proyección vertical; luego se llevan a la proyección horizontal, obteniéndose la sección en proyección ortogonal. Paso 4: Se determina la verdadera magnitud de la sección. Paso 5: Se construye el desarrollo de la pirámide completa, tal como se procedió en el ejercicio anterior. Paso 6: Se trazan los puntos de corte sobre las aristas laterales de la pirámide, así como en el desarrollo del sólido completo. Paso 7: Se construye por triangulación la sección en verdadera magnitud y así se obtiene el desarrollo del sólido truncado. Paso 8: Se representa en firme el sólido entre la base y la sección. 242

Paso 1.

243

Paso 2.

Paso 3.

244

Paso 4.

Paso 5, 6, 7 y 8.

Para los puntos de corte en el desarrollo, se trasladan las alturas hasta las aristas en verdadero tamaño y luego se llevan al desarrollo completo de la pirámide. 245

3. Se da: una pirámide oblicua con vértice V(145;35;85) y base hexagonal regular O(50;

horizontal, 55;

00)

y

con un

centro

vértice

en

A(45; 20; 00). Se pide: el desarrollo de la pirámide.

Solución:

Con

los

datos

del

ejercicio,

representarlos en proyección ortogonal.

246

Construir la pirámide oblicua de base hexagonal.

Determinar el verdadero tamaño de las aristas como en los casos anteriores.

Como es una pirámide oblicua, las aristas en verdadero tamaño serán igual a la cantidad de lados de la base. 247

Se completa el procedimiento para el verdadero tamaño de las aristas.

248

Se coloca aparte (en el DIN) la base hexagonal y se van construyendo las caras de la pirámide por triangulación colocando las aristas en verdadero tamaño.

Se termina el desarrollo de la pirámide oblicua.

249

4. Se da: una pirámide oblicua de base triangular con centro en O(80;60;00) y un vértice A(80; 30; 00), regular, horizontal; el vértice de la pirámide es V(30; 15; 60). Un plano [(120;00;00), de canto, (20; 00;50)]. Se pide: hallar la sección producida por el plano sobre la pirámide (verdadero tamaño), el desarrollo del sólido truncado y la visibilidad. Solución: Se representan en proyección ortogonal los datos del ejercicio. Se construye la pirámide de base triangular Se ubican los puntos de corte del plano sobre la pirámide (utilizando nomenclatura) los cuales están en la proyección vertical; luego se llevan a la proyección horizontal, obteniéndose la sección en proyección ortogonal. Se determina la verdadera magnitud de la sección. Se construye el desarrollo de la pirámide completa, así como el ejercicio anterior. Se trazan los puntos de corte sobre las aristas laterales de la pirámide, así como en el desarrollo del sólido completo. Se construye por triangulación la sección en verdadera magnitud y así se obtiene el desarrollo del sólido truncado. Se representa en firme el sólido entre la base y la sección. 250

251

5. Se da: un prisma recto con base pentagonal, horizontal, regular con centro en el punto O(60; 65; 00), el lado de la base mide 50 mm y la altura 100 mm. Se pide: el desarrollo del sólido.

Solución: Construir la base pentagonal de lado 50 mm, y determinar el centro del pentágono.

252

Posteriormente, representar el sólido en proyección ortogonal. Usar Nomenclatura.

253

Se trazan los rectángulos iguales al número de lados de la base, que serán las caras laterales del prisma. Posteriormente se colocan las bases, una en la parte superior y otra en la inferior coincidiendo con dos de los lados de los rectángulos. Así se obtiene el desarrollo del prisma.

254

6. Se da: un prisma recto con base pentagonal, horizontal, regular con centro en el punto O(60; 65; 00), el lado de la base mide 50 mm y la altura 100 mm. El plano [(120; 00; 00) de canto, (00; 00; 65)]. Se pide: el desarrollo del sólido truncado. Visibilidad.

Solución: Se procede similar al prisma recto. Se realizan todos los pasos anteriores. Luego se determina el verdadero tamaño de la sección del prisma. Para el desarrollo se realiza el de la superficie lateral primero, se trazan perpendiculares por sus vértices, de acuerdo a los lados de la base del prisma. Las alturas se llevan desde el corte del plano al prisma a las aristas laterales del desarrollo y luego se coloca la base y la sección.

255

256

7. Se da: un prisma oblicuo cuyo eje es el segmento OO´ y cuya base es un hexágono regular, horizontal, con vértice en A(162; 50; 00) y centro en O(145; 45; 00) O’ (90; 85; 70).

Se pide: el desarrollo del prisma, tomando 42 mm desde la base inferior.

Solución: Con los datos del ejercicio, representarlos ortogonal.

257

en

proyección

Se dibuja el prisma oblicuo en proyección ortogonal. Usar nomenclatura.

258

Se determina el verdadero tamaño de las aristas, por un cambio de plano.

259

Se traza un plano normal al prisma que se proyecta como un plano de canto (perpendicular al eje del sólido en tercera proyección, y en este caso a 42 mm de la base inferior).

Por medio de un segundo cambio de plano, se determina el verdadero tamaño de la sección normal.

260

Se realiza el desarrollo de las caras laterales, dividiendo una línea recta de acuerdo a los lados de la sección normal en verdadera magnitud, seguidamente se trazan perpendiculares y se limitan con la longitud de las aristas en verdadero tamaño y por último se colocan las bases inferior y superior.

8. Se da: un prisma oblicuo de base cuadrada, regular, horizontal, con centro en O(40; 35; 00) y un vértice en A(15; 30; 00), O’(85; 50; 55) es el centro de la base superior. Se pide: hallar la sección normal al prisma, que pase por el punto medio del eje OO’, el desarrollo del prisma entre la base inferior y la sección normal y representar en firme el sólido truncado.

Solución: Se realizan todo el procedimiento del ejercicio anterior, sólo que en el desarrollo del prisma oblicuo truncado, se trabaja con las longitudes de las aristas laterales que van de la base inferior a la sección normal (la cual se mide en la tercera proyección). Por último, se representa en firme el sólido truncado en la proyección ortogonal.

261

262

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS Desarrollo de Sólidos: Cuerpos Redondos

Cuerpos Redondos: Cono y Cilindro. Estos tipos de sólidos se pueden desarrollar debido a que pertenecen a los sólidos curvos desarrollables, que tienen como condición que el sólido sea reglado con las generatrices vecinas que sean coplanares ( de forma cónica o cilíndrica). a)

b)

a) Desarrollo de un Cono recto; b) Desarrollo de un Cilindro recto.

263

Desarrollo de un Cono de Revolución Recto: Está compuesto por un circulo perteneciente a la base y un sector circular (superficie lateral del cono) cuyo perímetro coincide con la circunferencia que delimita al círculo de la base. El ángulo del arco se determina por la siguiente ecuación:

α=

264

2π ∗ r ∗ 360º r = 360º∗ 2 ∗ π ∗ lg lg

Desarrollo de un Cono Oblicuo: El procedimiento para realizar el desarrollo se denomina triangulación de la superficie y consta de dividir la base del cono en varios segmentos y determinar los verdaderos tamaños de las generatrices correspondientes, a los extremos de éstos, replanteándolos luego en forma conveniente (longitud A-B en la base será igual a la longitud A-B del arco de la superficie lateral y así sucesivamente).

265

Desarrollo de un Cilindro de Revolución Recto: Está compuesto por dos circulo pertenecientes a la base inferior y superior y la superficie lateral del cilindro cuyo perímetro coincide con la circunferencia que delimita a los círculo de las bases. El perímetro de la superficie lateral del cilindro se determina por la siguiente ecuación:

P = 2 ∗π ∗ r

266

Desarrollo de un Cilindro Oblicuo: Su procedimiento es similar al de un prisma oblicuo. Se realiza un cambio de plano, colocando al cilindro frontal en donde se obtienen las generatrices en verdadero tamaño. Posteriormente se determina la sección plana normal perpendicular al eje. Se realiza un segundo cambio de plano en la cual se obtiene la sección elíptica normal para hacer el desarrollo, haciendo una rectificación del perímetro de la sección normal al eje (usando compás de dos puntas) Se miden las longitudes de las generatrices en la tercera proyección que están en verdadero tamaño (por encima y por debajo de la sección normal). Se colocan las bases circulares del cilindro. 267

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SOLIDOS Ejercicios Resueltos: Desarrollo Cuerpos Redondos

1. Se da: un cilindro recto con centro en O (45; 50; 00), el radio es de 35 mm y la altura de 65 mm. Se pide: el desarrollo del cilindro.

Solución: Representar los datos del ejercicio en proyección ortogonal

268

Se construye en proyección ortogonal el cilindro recto.

El desarrollo del cilindro se realiza colocando como superficie lateral del sólido la forma de un rectángulo, en el que el perímetro de la base es una circunferencia igual a P= 2 * π * r. La altura es la misma de la proyección ortogonal. Luego

se

colocan

las

bases

(inferior y superior) del sólido.

269

Desarrollo del cilindro recto.

270

2. Se da: un cono recto de altura 60 mm con radio de 50 mm. Los puntos A y B son generatrices de su base en el plano vertical. La base se encuentra en verdadero tamaño. El punto O(60; 70; 00) es el centro de la base del cono. Se pide: el desarrollo del sólido.

Solución: Representar los datos del ejercicio en proyección ortogonal

271

Se construye el cono en proyección ortogonal.

272

Para el desarrollo del cono, se trabaja con la longitud de la generatriz, trazando un arco cuya longitud de circunferencia sea igual a α y luego colocar el circulo de la base.

Desarrollo del cono recto

273

3. Se da: un cono oblicuo con vértice V(90; 50; 80) y radio de 30 mm. Los puntos A y B son generatrices de su base en el plano vertical; la base se encuentra en verdadero tamaño, el centro del cono es O(35; 50; 00). Se pide: el desarrollo del cono.

Solución: Representar los datos del ejercicio en proyección ortogonal

274

Se construye el cono oblicuo en proyección ortogonal.

275

Se subdividen generatrices colocando nomenclatura, para posteriormente hacer el desarrollo. Se realiza en forma tal que cumpla con la simetría en el sólido.

Se traza un eje y se determinan los verdaderos tamaños de las generatrices del cono, llevándose las proyecciones horizontales VA, VB, VC, VD, VE, VF, VG sobre la línea de tierra y la altura es la misma del sólido.

276

Por medio de triangulación se realiza el desarrollo del cono oblicuo, dividiendo la base del cono en varios segmentos y colocando

los

verdaderos

tamaños de las generatrices correspondientes,

a

los

extremos de éstos, desde el punto

más

cercano

al

más

alejado al vértice del cono (V).

277

4. Se da: un cilindro oblicuo con eje OO’ y base horizontal, circular, con centro en O (35; 35; 00) y radio 25 mm. El centro de la base superior O’(85; 50; 60). Se pide: el desarrollo del cilindro. Solución: Se representa el cilindro oblicuo con los datos del ejercicio. Se realiza un primer cambio de plano, colocando al cilindro frontal, obteniéndose las generatrices en verdadero tamaño. Se determina la sección plana normal perpendicular al eje, el cual está a la mitad de OO’. Se realiza un segundo cambio de plano en la cual se obtiene la sección elíptica normal para hacer el desarrollo, haciendo una rectificación del perímetro de la sección normal al eje (usando compás de dos puntas) Se miden las longitudes de las generatrices en la tercera proyección que están en verdadero tamaño (por encima y por debajo de la sección normal). Finalmente, se colocan las bases circulares del cilindro. 278

Desarrollo del Cilindro Oblicuo

279

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS Ejercicios Propuestos: Desarrollo de Poliedros y Cuerpos Redondos

1. Se da: una pirámide regular recta de base hexagonal, horizontal, con centro en O(60; 70; 00) y un punto de la base en A(85; 43; 00), la altura de la pirámide es de 82 mm. Se pide: el desarrollo. 2. Se da: una pirámide de base triangular con centro en O(80;60;00) y un vértice A(80; 30;00) la base es regular, horizontal. El vértice de la pirámide es V(30; 15;60). Un plano NP [N(120;00;00), de canto, P(20; 00;50)]. Se pide: el desarrollo del sólido seccionado. 3. Se da: una pirámide recta de base hexagonal, regular, horizontal, con centro de la base en O(80;90;00), un punto de la base es A(80;45;00) y el vértice de la pirámide es V(80;90;120). Así también, se da un plano α [M(150;00;00), de canto, N(30; 00; 100)]. Se pide: la proyección ortogonal del sólido (trazo previo), la sección que produce α sobre la pirámide en verdadera magnitud, el desarrollo del sólido truncado y representar en firme la visibilidad de la pirámide seccionada en proyección oblicua frontal con ω=135º y qy=1/2. 4. Se da: una pirámide regular recta, de base hexagonal, con centro en O(100; 60;00), un punto de la base es A(120;30;00) y el vértice de la pirámide es V(100;60;00). Se da un plano RST dado por sus trazas [R(25;00;00) S(130;00;180) T(75;120;00)]. Se pide: la proyección ortogonal de la pirámide (trazo previo), determinar la sección que produce el plano en la pirámide en verdadera magnitud, representar en firme el sólido entre la sección y la base (sólido truncado) y el desarrollo del sólido truncado. 280

5. Se da: una pirámide oblicua con vértice V(180; 80; 100) y base hexagonal, regular, horizontal, con centro en O(55; 70; 00) y un vértice de la base en A(50; 20; 00). El plano β [M(180; 10; 05), N( 65; 80; 60), P(100; 110; 10)]. Se pide: la sección producida por el plano β sobre la pirámide, el desarrollo de la pirámide truncada y representar en firme la parte de la pirámide entre la base y el plano β. 6. Se da: un prisma recto, hexagonal, regular, de altura 110 mm, que tenga centro de la base horizontal inferior en O(60; 70; 00) y un vértice en A(65; 10; 00). El plano [R(130; 00; 00), de canto, S(00; 00; 100)]. Se pide: el desarrollo del sólido truncado y visibilidad. 7. Se da: un prisma oblicuo de base pentagonal, horizontal, con centro de la base inferior en O(100; 50; 00) y un punto de esta base en A(125; 28; 00), el punto O’(35; 30; 50) es centro de la base superior. Se pide: el desarrollo del prisma sabiendo que la sección normal está a la mitad de la longitud de recorrido del eje OO’. Visibilidad. 8. Se da: un prisma oblicuo de base hexagonal, regular, horizontal, con el eje OO' y vértice de la base inferior en A. O(50; 60; 00), O'(110; 25; 70), A(50; 80; 00). Se pide: el desarrollo del prisma sabiendo que la sección normal está a la mitad de la longitud de recorrido del eje OO’. Visibilidad.

281

9. Se da: un cono recto de revolución, con base horizontal, cuyo centro es O(50; 50;00) y diámetro 60 mm. La altura del sólido es de 77 mm. Se pide: el desarrollo del cono. 10. Se da: un cono oblicuo con vértice V(110; 60; 90) y radio de 35 mm. Los puntos A y B son generatrices de su base en el plano vertical, la base se encuentra en verdadero tamaño, el centro del cono es O(45; 65;00). Se pide: el desarrollo del cono. 11. Se da: un cilindro recto cuyo eje es OO`, O(80; 75; 00) y O`(80; 75; 100), el diámetro de la base es 75 mm. Se pide: el desarrollo del cilindro. 12. Se da: un cilindro oblicuo con eje OO’ y base horizontal, circular, con centro en O(45; 55; 00) y radio 30 mm. El centro de la base superior O’(105; 70; 72). Se pide: el desarrollo del cilindro.

282