Story Transcript
EJERCICIO 1 1. Una deuda se expresa en sentido negativo. Luego inicalmente el estado económico de Pedro es - 60 bs. Al recibir 320 bs. Aumenta su capital tantos bs. como ha recibido; entonces la operaciòn queda expresada como se indica
− 60 + 320 = + 260 bs.
EJERCICIO 3 1. + 32 m ; − 16 m 2. + 10 m ; − 4 m 3. 50 − 85 = − 35 m 4. − 6 ⋅11= − 66m
2. 1.170 − 1. 515 = − 345 sucres 3. 200 + 56 − 189 = + $ 67
5. -8 × 6 =-48 m 9 × 6 =+ 54 m
4. − 665 − 1.178 + 2 . 280 = + 437 soles 5. 20 − 15 + 40 − 75 = − $ 30 6. − 67 + 72 − 16 + 2 = − $ 9 7. 200 − 78 − 81− 93 + 41− 59 = − 70 colones 8. − 45 − 66 − 79 + 200 − 10 = 0
EJERCICIO 2 1. 12 − 15 = − 3!
400 ⋅ 2 = + 800 m → corredor − 400 ⋅ 3 = − 1. 200 m → yo
7. Los 40 pies de longitud del poste se reparten asi: 15 pies que sobresalen - se asumen en sentido positivo- . 25 pies que se encuentran enterrados. - se asumen en sentido negativo - . Al introducir 3 pies màs, se adicionan a los que estan bajo el suelo y se deben descontar de los que estan por encima. Aritmèticamente significa:
40 = 15 + 25 − 25 − 3 = − 28 pies + 15 − 3 = + 12 pies
2. − 3 + 8 − 6 = − 1! 3.
6.
15 − ( − 3) = 15 + 3 = 18!
( )
4. − − 8 + 5 = 8 + 5 = 13! 8. 55 − 52 = + 3 m
5. − 4 + 7 + 2 − 11= − 6! 6. − 8 + 4 ⋅1 = − 8 + 4 = − 4! → 7 am
− 8 + 4 ⋅ 2 = − 8 + 8 = 0!
→ 8 am
− 8 + 4 ⋅ 5 = − 8 + 20 = + 12! → 11am
9. − 32 + 15 = − 17m 10. 35 − 47 = − 12 m 11. − 39 + 56 = + 17m 12. 90 − 58 − 36 = − 4 m
7. − 1− 2 ⋅ 2 = − 1− 4 = − 5! → 10 am
− 1− 2 ⋅ 3 = − 1− 6 = − 7! → 11am − 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅1= − 1− 6 + 3 = − 4! → 12 am − 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = − 1− 6 + 9 = + 2! → 2 pm 8. − 56 + 7 = − 49! 9. − 71 + 5 = − 66! long
− 15 + (− 5) = − 20! lat.
10. 18 + 3 =+ 21! long
65 -4 =+ 61! lat. 11. -75 +135 =+ 60 años
13. 72 72 72 72
− 30 ⋅1= 72 − 30 = + 42 m − 30 ⋅ 2 = 72 − 60 = + 12 m − 30 ⋅ 3 = 72 − 90 = − 18 m − 30 ⋅ 4 = 72 − 120 = − 48 m
14. − 120 − (− 60) ⋅ 1 = − 120 + 60 = − 60 Km − 120 − (− 60) ⋅ 2 = − 120 + 120 = 0
− 120 − (− 60) ⋅ 3 = − 120 + 180 = + 60 Km
− 120 − (− 60) ⋅ 4 = − 120 + 240 = + 120 Km
EJERCICIO 7. 1. x + 2x = 3x
27. 11a + 8a + 9a + 11a = 39a 28. mx + 1 + 3mx + 1 + 4mx + 1 + 6mx + 1 = 14mx + 1
2. 8a + 9a = 17a
29. − x2 y − 8x2 y − 9x2 y − 20x2 y = − 38x 2 y
3. 11b + 9b = 20b
30. − 3am − 5am − 6am − 9am = − 23am
4. − b − 5b = − 6b 5. − 8m − m = − 9m
31.
6. − 9m − 7m = − 16m
1 1 1 4 + 2 +1 + 8 15 a+ a+ a+a = a= a 2 4 8 8 8 2 1 1 1 8 + 10 + 2 + 1 21 ax + ax + ax + ax = ax = ax 5 2 10 20 20 20
7. 4a x + 5a x = 9a x
32.
8. 6a x + 1 + 8a x + 1 = 14a x + 1
33. 0,5m + 0,6m + 0,7m + 0,8m = 2,6m
9. − mx + 1 − 5mx + 1 = − 6mx + 1
34. −
1 1 1 ab − ab − ab − ab 7 14 28 − 4 − 2 − 1− 28 35 5 = ab = − ab = − ab 28 28 4
10. −3a x − 2 − a x − 2 = − 4a x − 2 11.
1 1 1+ 1 2 a+ a= a = a =a 2 2 2 2
3 1 6ab + ab 7 ab + ab = = ab 12. 5 10 10 10 13.
1 1 2 +1 3 1 xy + xy = xy = xy = xy 3 6 6 6 2
14. −
1 4 − 1− 4 5 xy − xy = = − xy = − xy 5 5 5 5
15. −
5 2 1 − 20 − 3 2 23 2 a b − a 2b = a b =− ab 6 8 24 24
7 −8−7 15 16. − a − 8 a = 8 a = − 8 a
17. 8a + 9a + 6a = 23a
2 3 1 1 1 3 x y − x 3y − x3y − x y 3 6 9 12 −2 4 − 6 − 4 − 3 3 37 3 x y=− x y = 36 36
35. −
36. ab 2 + ab 2 + 7ab 2 + 9ab 2 + 21ab 2 = 39ab 2 37. − m − m − 8m − 7m − 3m = − 20m 38. − x a + 1 − 8x a + 1 − 4x a + 1 − 5x a + 1 − x a + 1 = − 19x a + 1 39.
1 1 1 1 1 a+ a+ a+ a+ a 2 3 4 5 6 30 + 20 + 15 + 12 + 10 87 29 a= a= a = 60 60 20 1 1 1 1 1 ab − ab − ab − ab − ab 3 6 2 12 9 −12 − 6 − 18 − 3 − 4 43 = ab = − ab 36 36
40. −
18. 15x + 20x + x = 36x 19. − 7m − 8m − 9m = − 24m 20. − a 2b − a 2b − 3a 2b = − 5a 2b 21. a x + 3 a x + 8a x = 12a x 22. − 5a x + 1 − 3a x + 1 − 5a x + 1 = − 13a x + 1
EJERCICIO 8
1 2 6+3+4 13 a= a 23. a + a + a = 2 3 6 6
1. 8a − 6a = 2a
24. − x − 25.
2 1 − 6 − 4 −1 11 x− x= x=− x 3 6 6 6
1 3 2 + 3 + 10 15 3 ax + ax + ax = ax = ax = ax 5 10 10 10 2 3 4
5 6
2 2 2 26. − a x − a x − a x =
−9 − 10 − 12 2 31 2 a x=− a x 12 12
2. 6a − 8a = − 2a 3. 9ab − 15ab = − 6ab 4. 15ab − 9ab = 6ab 5. 2a − 2a = 0 6. − 7b + 7b = 0 7. − 14xy + 32xy = 18xy
8. − 25x 2 y + 32x 2 y = 7x 2 y
35.
9. 40x 3 y − 51x 3 y = − 11x 3y 10. −m2n + 6m2n = 5m2n 11. − 15xy + 40xy = 25xy 12. 55a 3b 2 − 81a 3b 2 = − 26a 3b 2
5 m + 1 7 m + 1 10 − 7 m +1 3 m + 1 1 m + 1 a − a = a = a = a 6 12 12 12 4
2 36. 4a −
1 2 12 − 1 2 11 2 a = a = a 3 3 3
37. − 5mn +
3 − 20 + 3 17 mn = mn = − mn 4 4 4
13. − x 2 y + x 2 y = 0
38. 8a x + 2b x + 3 − 25a x + 2b x + 3 = − 17a x + 2b x + 3
14. −9ab 2 + 9ab2 = 0
39. −
15. 7x2 y − 7x2 y = 0 16. − 101mn + 118mn = 17mn
7 m n m n −7+8 m n 1 m n a b +a b = a b = a b 8 8 8
40. 0,85mxy − 0,5mxy = 0,35mxy
17. 502ab − 405ab = 97ab 18. − 1024 x + 1018x = − 6x 19. −15ab + 15ab = 0
EJERCICIO 9
20.
1 3 2−3 1 a− a= a=− a 2 4 4 4
1. 9a − 3a + 5a = 11a
21.
3 1 3−2 1 a− a= a= a 4 2 4 4
3. 12mn − 23mn − 5mn = − 16mn
22.
5 2 5 2 10 − 5 2 5 2 a b− a b= a b= a b 6 12 12 12
5. 19m − 10m + 6m = 15m
4 2 9 2 −8+ 9 2 1 2 x y= x y= x y 23. − x y + 7 14 14 14 3 5 3 − 10 7 am − am = am = − am 24. 8 4 8 8 25. − am + 26.
3 −5+3 2 am = am = − am 5 5 5
5 7 20 − 21 1 mn − mn = mn = − mn 6 8 24 24
2 27. − a b +
− 11+ 3 2 3 2 8 a b= a b = − a 2b 11 11 11
28. 3,4a 4b3 − 5,6a 4b 3 = − 2,2a 4b 3 29. − 12 , yz + 3,4yz = 2,2yz 30. 4a x − 2a x = 2a x 31. − 8a x + 1 + 8a x + 1 = 0 32. 25ma − 1 − 32ma − 1 = − 7ma − 1 33. − x a + 1 + x a + 1 = 0 34. −
1 m − 2 1 m − 2 − 1+ 2 m − 2 1 m − 2 a a + a = = a 4 2 4 4
2. − 8x + 9x − x = 0 4. − x + 19x − 18x = 0 6. −11ab − 15ab + 26ab = 0 7. − 5a X + 9a X − 35a X = − 31a X 8. − 24a X + 2 − 15a X + 2 + 39a X + 2 = 0 9.
2 1 2 + 1− 3 0 y+ y−y= y= y=0 3 3 3 3
10. − 11.
3 1 1 − 12 + 5 − 10 17 m+ m− m = m =− m 5 4 2 20 20
3 2 1 3+2− 8 2 3 a b + a 2b − a 2b = a b = − a 2b 8 4 8 8
12. − a + 8a + 9a − 15a = a 13. 7ab − 11ab + 20ab − 31ab = − 15ab 14. 25x 2 − 50x 2 + 11x 2 + 14x 2 = 0 15. − xy − 8xy − 19xy + 40xy = 12xy 16. 7ab + 21ab − ab − 80ab = − 53ab 17. − 25xy 2 + 11xy 2 + 60xy 2 − 82xy 2 = − 36xy 2 18. −72ax + 87ax − 101ax + 243ax = 157ax 19. − 82bx − 71bx − 53bx + 206bx = 0 20. 105a 3 − 464a 3 + 58a 3 + 301a 3 = 0
21.
1 1 1 1 30 − 20 + 15 − 12 13 x− x+ x− x= x= x 2 3 4 5 60 60
EJERCICIO 10
22.
1 1 1 1 4 − 4 + 2 −1 1 y− y+ y− y= y= y 3 3 6 12 12 12
1. 7a + 6a − 9b − 4b − 9b − 4b = − 13b 7a + 6a = 13a = 13a − 13b
3 2 1 2 1 2 2 23. 5 a b − 6 a b + 3 a b − a b 18 − 5 + 10 − 30 2 7 2 = a b=− a b 30 30 5 2 1 2 3 2 2 24. − 6 ab − 6 ab + ab − 8 ab − 20 − 4 + 24 − 9 2 9 3 ab = − ab 2 = − ab2 = 24 24 8 25. − a + 8a − 11a + 15a − 75a = − 64a 26. − 7c + 21c + 14c − 30c + 82c = 80c 27. − mn + 14mn − 31mn − mn + 20mn = mn 28. a 2 y − 7a 2 y − 93a 2 y + 51a 2 y + 48a 2 y = 0 29. − a + a − a + a − 3a + 6a = 3a 30.
1 2 7 1 x+ x− x+ x−x 2 3 6 2 3+4−7+3−6 3 1 x=− x= − x = 6 6 2
3 1 5 31. − 2x + 4 x + 4 x + x − 6 x − 48 + 18 + 6 + 24 − 20 20 5 = x=− x= − x 24 24 6 32. 7a x − 30 a x − 41a x − 9a x + 73a x = 0 33. − a x + 1 + 7a x + 1 − 11a x + 1 − 20a x + 1 + 26a x + 1 = a x + 1 34. a + 6a − 20a + 150a − 80a + 31a = 88a 35. − 9b − 11b − 17b − 81b − b + 110b = − 9b 36. − a 2b + 15 a 2b + a 2 b − 85 a 2b − 131a 2b + 39 a 2b = − 162 a 2b 37. 84m2 x − 501m2 x − 604m2 x − 715m2 x + 231m2 x + 165m2 x = − 1340m2 x
38.
5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 a b + a b − a b − a b + 4a 3b 2 6 3 4 8 20 + 16 − 6 − 15 + 96 3 2 111 3 2 = ab = ab 24 24 37 3 2 = a b = 4 58 a 3b 2 8
39. 40a − 81a + 130a + 41a − 83a − 91a + 16a = − 28a 40. − 21ab + 52ab − 60ab + 84ab − 31ab − ab − 23ab = 0
2. a + b − c − b − c + 2c − a a−a =0 b −b =0 =0
− c − c + 2c = 0
3. 5x − 11y − 9 + 20x − 1− y 5x + 20x = 25x − 11y − y = − 12y = 25x − 12y − 10
− 9 − 1 = − 10
4. − 6m + 8n + 5 − m − n − 6m − 11 − 6m − m − 6m = − 13m 8n − n = 7n = − 13m + 7n − 6 5. − a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b − a + 3a = 2a b + 2b − 3b = 0 = 2a
5 − 11= − 6
− 2c + 2c = 0
6. − 81x + 19y − 30z + 6y + 80x + x − 25y − 81x + 80x + x = 0 19y + 6y − 25y = 0 = − 30z
− 30z
7. 15a 2 − 6ab − 8a 2 + 20 − 5ab − 31+ a 2 − ab 15a 2 − 8a 2 + a 2 = 8a 2 − 6ab − 5ab − ab = − 12ab
20 − 31= − 11
= 8a − 12ab − 11 2
8. − 3a + 4b − 6a + 81b − 114b + 31a − a − b −3a − 6a + 31a − a = 21a 4b + 81b − 114b − b = − 30b = 21a − 30b 3 4 2 3 4 2 3 3 9. − 71a b − 84a b + 50a b + 84a b − 45a b + 18a b − 71a 3b + 50a 3b − 45a 3b + 18a 3b = − 48a 3b
− 84a 4b 2 + 84a 4b2 = 0 = − 48a 3b 10. − a + b − c + 8 + 2a + 2b − 19 − 2c − 3a − 3 − 3b + 3c −a + 2a − 3a = − 2a b + 2b − 3b = 0 − c − 2c + 3c = 0 8 − 19 − 3 = − 14 = − 2a − 14
2 2 3 2 2 3 11. m + 71mn − 14m − 65mn + m − m − 115m + 6m 3 3 3 2 2 2 m + 6m = 7m m − 14m − m − 115m2 = − 129m2
71mn − 65mn = 6mn
= 7m3 − 129m2 + 6mn 4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3 12. x y − x y + x y − 8x y − x y − 10 + x y − 7x y − 9 + 21x y − y + 50 − x 3 y 2 + x 3 y 2 − 7x 3 y 2 = − 7x 3y 2 x 4 y − 8x 4 y + 21x 4 y = 14x 4 y
x 2y − x2y = 0
− y3
− 10 − 9 + 50 = 31
= 14x y − 7x y − y + 31 4
3 2
3
13. 5a x + 1 − 3b x + 2 − 8c x + 3 − 5a x + 1 − 50 + 4b x + 2 − 65 − b x + 2 + 90 + c x + 3 + 7c x + 3
− 8c x + 3 + c x + 3 + 7c x + 3 = 0 = − 25
− 3b x + 2 + 4b x + 2 − b x + 2 = 0
5a x + 1 − 5a x + 1 = 0
− 50 − 65 + 90 = − 25
14. am + 2 − xm + 3 − 5 + 8 − 3am + 2 + 5xm + 3 − 6 + am + 2 − 5xm + 3
− x m + 3 + 5 x m + 3 − 5x m + 3 = − x m + 3 =−x
m+3
−a
m+2
am + 2 − 3am + 2 + am + 2 = − am + 2
−3
15. 0,3a + 0,4b + 0,5c − 0,6a − 0,7b − 0,9c + 3a − 3b − 3c 0,3a − 0,6a + 3a = 2,7a 0,4b − 0,7b − 3b = − 3,3b = 2,7a − 3,3b − 3,4c 16.
17.
−5+8−6= −3
1 1 3 1 3 1 a + b + 2a − 3b − a − b + − 4 6 4 2 2 3 1 3 2+8−3 7 a + 2a − a = a= a 2 4 4 4 7 17 1 = a− b+ 4 6 4
0,5c − 0,9c − 3c = − 3,4c
1 1 2 − 18 − 1 17 b − 3b − b = b=− b 3 6 6 6
3 2 1 1 m − 2mn + m2 − mn + 2mn − 2m2 5 10 3 3 2 1 6 + 1− 20 2 13 m + m2 − 2m2 = m = − m2 5 10 10 10 13 2 1 = − m − mn 10 3
− 2mn −
3 1 3−2 1 − = = 4 2 4 4
− 6 − 1+ 6 1 1 mn + 2mn = mn = − mn 3 3 3
18. − 3 a 2 + 1 ab − 5 b 2 + 2 1 a 2 − 3 ab + 1 b 2 − 1 b 2 − 2ab 3 4 2 6 4 6 3 2−3−8 9 3 2 7 2 − 9 + 28 2 19 2 1 3 a = a ab − ab − 2ab = ab = − ab − a + a = 4 4 4 3 12 12 2 4 5 2 1 2 1 2 − 5 + 1− 2 2 6 2 2 b =− b =−b − b + b − b = 6 6 3 6 6 19 2 9 2 a − ab − b = 12 4
3 2 2 1 xy − 0,6y 3 − x 2 y − 0,2xy 2 + y 3 − 6 8 5 4 2 2−2 2 x y=0 0,4x 2 y − x 2 y = 5 5 , 3 1 14 − 2,4 + 1 3 − 0,6y 3 + y 3 = y =− y = − 0,35y 3 4 4 4 = 0,175xy 2 − 0,35y 3 + 25
2 19. 0,4x y + 31+
3
7 m − 2 3 m−1 1 m− 2 1 + a − − 0,2a m − 1 + b m − 2 b b 50 5 25 5 3 m − 1 3 m −1 3 + 15 − 5 m − 1 13 m − 1 a + a − 0,2a m − 1 = a = a 25 5 25 25 13 m − 1 1 m − 2 = a + b 25 50
20. 25 a
m−1
, , 3 2 3 − 16 14 xy − 0,2xy 2 = xy 2 = xy 2 = 0,175xy 2 8 8 8 31− 6 = 25
−
−
7 m − 2 1 m − 2 1 m − 2 − 7 − 2 + 10 m − 2 1 m − 2 − + b = = b b b b 50 25 5 50 50
EJERCICIO 11 Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4 1. 3ab = 3 ⋅1⋅ 2 = 6 2. 5a 2b3 c = 5 ⋅12 ⋅ 23 ⋅ 3 = 5 ⋅ 8 ⋅ 3 = 120
4 2 2 2 1 1 3. b mn = 2 ⋅ ⋅ = = 2 3 6 3
12.
4a 4 ⋅1 4 2 = = = 3bc 3 ⋅ 2 ⋅ 3 18 9 2
1 1 5⋅ 2 2 ⋅ 20 ⋅ 2 5 b m 5 4 13. = = = = 60 1 1 1 1 np ⋅ 3 4 12 12 2
2
1 1 2 3
3
4. 24m n p = 24 ⋅ 2
3
1 1 1 6 1 = 6⋅ ⋅ = = 4 27 4 108 18 3
5.
2 4 2 3 2 4 2 1 2 1 8 1 a b m = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ = ⋅ 4⋅ = = 2 3 3 3 8 24 3
6.
7 3 2 7 1 1 189 1 1 189 63 ⋅ ⋅ = = c p m = ⋅ 33 ⋅ ⋅ = 4 2 12 16 2 384 128 12 12
14.
2
2
1 1 2 3
3
b c a 7. m n p = ⋅
8. 9.
1 1 1 1 1 = ⋅ ⋅ = 4 4 27 4 432
5 b −1 c − 2 5 2 −1 1 a ⋅ m = ⋅1 ⋅ 2 6 6
3− 2
5 1 5 = ⋅ = 6 2 12
2bc 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36 = 6
3 2 10. 4m ⋅ 12bc = 4 ⋅
4 3 11. mn ⋅ 8a b =
15.
1 3 ⋅ 12 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 216 = 2 ⋅ 6 = 12 2
1 1 1 8 4 ⋅ ⋅ 8 ⋅14 ⋅ 23 = ⋅ 64 = = 2 3 6 6 3
16.
2
3 3 3 3 3 ⋅ 8 24 b ⋅2 6 4 =4 = 4 = 4 = =1 2 2 2 2 2 ⋅ 9 18 6 c ⋅3 3 3 3 3
1 1 1 2 = = = =3 2 1 1 n2 1 9 3 3
2m
2⋅
1 1 24 ⋅ ⋅ 2 3 = = 2 2 2 ⋅ n2 p2 1 1 2⋅ 2⋅ 3 4 24mn
=
4 4 = = 24 1 1 2⋅ 12 6
24 4 6 = 1 1 1 2⋅ ⋅ 9 16 144
3 3 6 3 ⋅ 3 64 ⋅ 2 3 ⋅ 36 17. 3 ⋅ 64b c = = 3 ⋅ 3 64 ⋅ 8 ⋅ 729 = 3 ⋅ 3 373.248 = 3 ⋅ 72 = 216 1 2m 2⋅ 2
18.
3 1 3 3 ⋅ 1⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ apb 2 5 4 5 5 = = 3 3 ⋅ 125bm 3 ⋅ 3 125 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 3 2 2 2 2
4 3 3 ⋅ 1 4 5 5 = = = 250 3 ⋅ 3 125 3 ⋅ 5 2 2 2
3 5 = 6 = 2 15 75 25 2
EJERCICIO 12 Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4 1. a 2 − 2ab + b 2 = 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 42 = 9 − 24 + 16 = 1
1 3
2
1 1 1 3 2 2
2
2 2 2. c + 2cd + d = + 2 ⋅ ⋅ + =
3.
1 1 1 4 + 12 + 9 25 + + = = 9 3 4 36 36
a b 3 4 + = + = 9 + 8 = 17 1 c d 1 3 2
1 c m 3 − 6 + 2 = 2 − 24 + 2 = 2 − 72 + 6 = − 64 − + 2 = 4. 1 1 3 3 d n 3 2 4 5.
a 2 b 2 m2 32 42 62 9 16 36 − + = − + = − + = 3 − 8 + 6 =1 3 2 6 3 2 6 3 2 6
6.
3 1 3 1 1 1 1 1− 10 + 5 4 c − b + 2d = ⋅ − ⋅ 4 + 2 ⋅ = − 2 + 1= =− 5 2 5 3 2 2 5 5 5
1 1 3⋅ 4⋅ 1 144 + 6 − 1 149 12 1 2 ab ac bd 3 ⋅ 4 3 2 + − = + − = + − = 48 + 2 − = = = 49 23 1 1 6 1 1 7. n 3 3 3 6 d m 4 2 2 4 8.
b + n + 6m = 4 +
1 1 4 + 1+ 12 17 + 6⋅6 = 2 + + 6 = = = 8 21 4 2 2 2 1 3
1 2
1 4
2 2 9. c 3a − d 16b + n 8d = ⋅ 3 ⋅ 3 − ⋅ 16 ⋅ 4 + ⋅ 8 ⋅
10.
ma 63 216 = = 216 ⋅ 16 = 3.456 4 = b 1 d 1 16 2
1 1 1 1 1 2 − 16 + 1 13 = ⋅ 3 − ⋅16 + ⋅ 2 = 1− 8 + = =− =−6 2 3 2 4 2 2 2
1 2
2
2
1 1 1 1 3 4 3 4 1 1 2+1 3 1 11. 3 2 4n c + = + = 3+ 4= + = = = 4 4 6 4 6 12 24 24 24 8 m 2
2
2
12.
4d 2 16n 2 2 8 1 1 1 1 + − 1= 2 ⋅ + 8 ⋅ − 1 = + − 1 = + − 1= 1 − 1 = 0 2 4 2 2 4 16 2 2
13.
a + b b + m 3 + 4 4 + 6 7 10 − = − = − = 21− 20 = 1 1 1 1 1 c d 3 2 2 3
14.
1 2 b−a m−b 4−3 6−4 + + 5a = + + 5 ⋅ 3 = + + 15 = 4 + 4 + 15 = 23 1 1 1 1 n d 4 2 2 4
12c − a 16n − a 1 − + = 15. m d 2b
1 1 − 3 16 ⋅ − 3 1 1 3 − 4 + 48 47 1 4−3 4−3 3 4 − + = − +2= − +2= = = 1 23 24 1 8 6 8 6 24 24 2⋅4 6 2
12 ⋅
3⋅ 3 6⋅6 3a 6m 9 − = 4⋅4 + − = 16 + − 3 6 3 6 3
16.
4b +
17.
b + 2d 3c + 8d − = 2 4
2 ⋅ a b 3⋅ 2 + d 18. + 3 4 2 2
2
4 + 2⋅ 2
1 2
3⋅ −
36 3 6 = 4 + − = 4 + 1− 1= 4 6 3 6
1 1 + 8⋅ 3 2 2 + 1 1+ 2 3 3 6 − 3 3 = − = − = = 4 2 4 2 4 4 4
1 3⋅ 2 + 2
2
9 3⋅ 2⋅ 3 ⋅4 1 2 ⋅ 144 1 4 − a⋅ n = + − 3⋅ = + − 3⋅ 3 4 4 3 4 2 3 9 2 ⋅ 12 3⋅ 2 3 24 2 3 9 3 64 + 9 − 12 61 5 = + − = + − = 8+ − = = =78 3 4 2 3 4 2 8 2 8 8 2
2
EJERCICIO 13 Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0 1. (a + b)⋅ c − d = (1 + 2)⋅ 3 − 4 = 3 ⋅ 3 − 4 = 9 − 4 = 5
(
)(
) (
(
)(
)
)(
)
2. a + b b − a = 1 + 2 2 − 1 = 3 ⋅ 1 = 3
1
4 − 1 9 − 2
2
3 7
7
7+8
2 2 + 4= ⋅ + 4= + 4= 3. b − m c − n + 4a = 2 − 3 − + 4 ⋅ 1 = 2 3 2 3 2 3 2 2
4.
(2m + 3n)(4 p + b ) = 2 ⋅ 21 + 3⋅ 23 4 ⋅ 41 + 2 = (1+ 2)(1+ 4) = 3⋅ 5 = 15 2
(
)(
)(
2
)
1
1
(
)
2
(
)
2 2 2 2 5. 4m + 8 p a + b 6n − d = 4 ⋅ + 8 1 + 2 6 ⋅ − 4 = 2 + 2 ⋅ 3⋅ 0 = 0 2 4 3
=
15 1 =72 2
(
)(
)(
)(
) (
)(
) 21
)(
2 − 1 1 = 4 4
1 4
6. c − b d − c b − a m − p = 3 − 2 4 − 3 2 − 1 − = 1⋅ 1⋅ 1
(
)
(
)
(
7 168 − 7 161 1 2 3+ 4 + + 2⋅ 0 = 4⋅ 7 − = = 26 56 = 28 − = 6 2 3 6 6 6
)
2 2 2 2 7. b c + d − a m + n + 2 x = 2 3 + 4 − 1
(
)
(
1 2
)
(
)
2 2 2 2 2 2 8. 2mx + 6 b + c − 4d = 2 ⋅ ⋅ 0 + 6 2 + 3 − 4 ⋅ 4 = 6 4 + 9 − 4 ⋅ 16 = 6 ⋅ 13 − 64 = 78 − 64 = 14
1 1 16 ⋅ 8⋅ 4 4 4 2 2+ 6 8 8m 16 p 2 4 ⋅1 = + a= + + = + 2 = + 2= = = 2 23 9. 9n 18 2 6 b 2 3 3 3 9⋅ 2 3 3
(
)
b c a 10. x + m a + d − c = 0 +
(
)
1 2 3 1 1 (1 + 4 − 3 ) = 2 (1+ 64 − 3) = 21 ⋅ 62 = 31 2
1 1 4 + 2 2 3 5 3 27 4 1 + 2 2 + 1 1 + 4 ÷ = 4 ÷ = 4⋅ ÷ = = = 5 25 2 4 1 3 9 4 9 5 5 9
2 2 11. 4 m + p ÷ a + b = 2 2
a
c
(
)(
)(
12. 2m + 3n + 4 p 8 p + 6n − 4m 9n + 20 p
)
1 1 2 1 2 1 2 1 = 2 ⋅ + 3⋅ + 4 ⋅ 8 ⋅ + 6 ⋅ − 4 ⋅ 9 ⋅ + 20 ⋅ = ( 1 + 2 + 1)(2 + 4 − 2)(6 + 5) = 4 ⋅ 4 ⋅ 11 = 176 2 2 3 4 3 4 4 3
(
)
(
)
(
2 2 2 13. c m + n − d m + p + b n + p
1 = 32 + 2
)
2 7 3 11 21 44 126 − 144 + 44 26 1 1 2 1 − 4 2 + + 2 2 + = 9 ⋅ − 16 ⋅ + 4 ⋅ = − 12 + = = = 2 122 = 2 16 2 4 3 4 3 6 4 12 2 12 12 12
c2 + d 2 32 + 4 2 2 1 9 + 16 2 1 25 2 1 2 1 5 ⋅ = m ÷ = ÷ ÷ ⋅ = ÷ ⋅ = 5⋅ = = 2 12 14. 1 2 2 1 2 2 2 2 a 4 2 1 d 15. (4 p + 2b)(18n − 24 p) + 2 (8m + 2)(40 p + a ) 2 1 1 1 1 = 4 ⋅ + 2 ⋅ 2 18 ⋅ − 24 ⋅ + 2 8 ⋅ + 2 40 ⋅ + 1 = (1 + 4)(12 − 6) + 2 (4 + 2) (11) = 5⋅ 6 + 2 ⋅ 66 = 30 + 132 = 162 4 2 3 4 4
2 2 2 5+ 1 d 2 4 2+ 4 1 6 a+ 5 + 2 1+ 2 5 + 8 3 5 + 8 3 13 3 624 b⋅ m = 2⋅ 2 4 = ⋅ = 2⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 208 = = 312 16. 1 d −b p2 4 − 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 16 16 16 16 4 5+
(
)
( )
1 2
2 3
2
1 2 2 3
2 6
2 90 − 2 88 = = 14 46 = 14 23 6 6 6
2 2 2 17. a + b ⋅ c + 8b − m ⋅ n = 1 + 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 − ⋅ = 3⋅ 25 − ⋅ = 3⋅ 5 − = 15 − =
2 1+ 3 6⋅ a+c 6n 1 4 4 1 2 4 3 ÷ (c + d )⋅ p = ÷ 7⋅ = = + + ÷ (3 + 4)⋅ = + 18. 2 2 2 4 2 2 2 7 7 b 2
(
)
(
)
2 n 6 1 1 2 = 3 (3 − 2)⋅ 32 ⋅ − 2 (4 − 1)⋅ 16 ⋅ − = 3⋅ 16 − 6 ⋅ 4 − = 3⋅ 4 − 6 ⋅ 2 − 3 = 12 − 12 − 3 = − 3 2 2 4 2 3
19. 3 c − b ⋅ 32m − 2 d − a ⋅ 16 p −
20.
6abc 3mn cdnp + − 2 ⋅ 8b 2(b − a ) abc 1 2 2 1 3⋅ ⋅ 3⋅ 4 ⋅ ⋅ 2 3 3 4 = 36 + 1 − 2 = 6 + 1 − 1 = 18 + 12 − 8 = 22 = 11 = + − 1⋅ 2 ⋅ 3 24 24 12 2 ⋅ 8⋅ 2 2 ⋅ 16 2 6 8 2 3 2(2 − 1) 6 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3
21.
a 2 + b2 12 + 2 2 5 5 5 + 216 221 + 3 (1 + 2)(2 ⋅ 1 + 3⋅ 2) = + 3⋅ 3⋅ 8 = + 72 = = = 73 23 2 2 + 3 (a + b)(2a + 3b) = 2 b −a 2 − 12 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 + + + + a b b c n m
2
22. b 2 +
2
2 2 5 7 21 49 70 35 3 5 3 1 1 1 1 1 1 2 = = = 17 21 = 2 + + + + + = 4 + ⋅ + + 2 = 4 + + = + 2 6 2 1 2 2 3 2 1 4 2 4 4 4 2 3 2
(2m + 3n)(4 p + 2c) − 4m 23.
2
n2
2 1 1 4 4 4 189 − 4 185 1 1 2 = 2 ⋅ + 3⋅ 4 ⋅ + 2 ⋅ 3 − 4 = (1 + 2)(1 + 6 ) − 4 ⋅ ⋅ = 3⋅ 7 − = 21 − = = = 20 95 2 2 3 3 4 4 9 9 9 9 9 2
2
c 2 2 3 22 − 3 − 3 = 3 − 3 = 3 − 4 = 6 − 4 = 54 − 28 = 26 3 − n = 1 3 7 9 7 9 1 1 24. 2ab − m b − m 63 63 4− 2− 2 ⋅1⋅ 2 − 2 2 2 2 2 b2 −
EJERCICIO 14
(
)
10. $ x + a − m
1. a + b + m 2. m2 + b3 + x 4
(
)
11. m − a − b − c Km
3. a + 1 ; a + 2
12. $ (n − 300)
4. x − 1 ; x − 2
13.
5. y + 2 ; y + 4 ; y + 6
14. $ 8a ; $15a ; $ ma
(
)
6. $ a + x + m 7. m − n
(
(365− x) días
15. 2a + 3b +
)
16. a ⋅ b m2
9. x − m Km
17. 23n m2
8. bs. x − 6
(
)
c 2
18. x 2 m2
( ) ( 20. (a + b)( x + y ) 21. $ (8 x + 48) 22. bs. (a − 8)(x + 4)
19. $ 3a + 6b ; $ ax + bm
23.
75 sucres x
24. $
a m
)
3.000 25. n − 1 colones
a +b 29. $ m − 2
x 26. a − 3 soles
27.
m m 14
28.
x +1 km h a
30. x + 2 x +
x hab. 2
2a
a
. − a + + sucres 31. 1000 3 4
EJERCICIO 15 3 2 x y 8 − 32 + 3 2 3 29 2 x y=− x y − 4x 2 y + x 2 y = 8 8 8
1. m, n → m + n
20. − 4x 2 y ,
( )
2. m , − n → m + − n = m − n 3. − 3a , 4b → − 3a + 4b 4. 5b , 6a → − 6a + 5b
( )
5. 7 , − 6 → 7 + − 6 = 7 − 6 = 1
21.
6. − 6 , 9 → − 6 + 9 = 3 7. − 2x , 3y → − 2x + 3y 8. 5mn , − m → 5mn + (− m) = 5mn − m 9. 5a , 7a → 5a + 7a = 12a
(
)
3 3 mn , − mn 8 4 3 3 3−6 3 mn − mn = mn = − mn 8 4 8 8
22. a , b , c → a + b + c 23. a , − b , c → a − b + c 24. a , − b , 2c → a − b + 2c
10. − 8 x , − 5x → − 8 x + − 5x = − 8 x − 5x = − 13x
25. 3m , − 2n , 4p → 3m − 2n + 4p
11. − 11m , 8m → − 11m + 8m = − 3m
26. a 2 , − 7ab , − 5b2 → a 2 − 7ab − 5b2
12. 9ab , − 15ab → 9ab − 15ab = − 6ab 13. − xy , − 9xy → − 9xy − xy = − 10xy
(
)
14. mn , − 11mn → mn + − 11mn = mn − 11 mn = − 10mn
1 2 1 2 a− b 15. a , − b → 2 3 2 3 16.
3 3 3 3 b, c→ b+ c 5 4 5 4
17.
1 2 1 2 3 b, b→ b+ b= b=b 3 3 3 3 3
18. −
1 1 1 1 2 xy , − xy → − xy − xy = − xy = − xy 2 2 2 2 2
3 2 abc , − abc 5 5 3 2 5 − abc − abc = − abc = − abc 5 5 5
19. −
27. x 2 , − 3xy , − 4y 2 → x 2 − 3xy − 4y 2 28. x3 , − x2 y , 6 → x3 − x 2y + 6 29. 2a , − b , 3a → 2a + 3a − b = 5a − b 30. − m , − 8n , 4n → − m − 8n + 4n = − m − 4n 31. −7a , 8a , − b → − 7a + 8a − b = a − b 32.
1 2 3 x, y, − x 2 3 4 1 3 2 4−6 2 1 2 x− x+ y= x+ y=− x+ y 2 4 3 8 3 4 3 3
2
33. − 5 m , − m , − 3 mn −
3 2 −3−5 2 8 2 m − m − mn = m − mn = − m − mn 5 3 5 3 5 3
34. − 7a 2 , 5ab ,
3b 2 ,
− a2
− 7a 2 − a 2 + 5ab + 3b 2 = − 8a 2 + 5ab + 3b 2
35. − 7mn2 + 17mn2 − 5m − 4m = 10mn2 − 9m 36. x − 7x − 8x y + 4x y + 5 = − 6x − 4x y + 5 3
3
2
2
3
EJERCICIO 16
2
37. 5x2 − x 2 + 9xy − 6xy + 7y 2 = 4x2 + 3xy + 7y2
1. 3a + 2b − c 2a + 3b + c
5a + 5b
38. − 8a 2b − a 2b + 5ab 2 − 11ab 2 − 7b 3 = − 9a b − 6ab − 7b 2
2
3
2.
3 2 2 2 3 39. m − 8m n + 7m n + 7mn − n 3 2 2 3 = m − m n + 7mn − n
40.
41. a − a − 3b + 4b − 8c + 8c = b
3.
m+n−p −m−n+ p
4.
42. m3 + 5m3 − 5m3 − 4m2n − 4m2n − 7mn2
9x − 3y + 5
5.
44. 6a 2 + 9a 2 − 5ab − 7b 2 − 8b 2 − 11
a+ b − c 2a + 2b − 2c − 3a − b + 3c
2
45. − x y + x y − 5xy + 7 xy − 4y − 8 2 2
3
3
4
= 2xy 3 − 4y 4 − 8
1 1 46. 3a − a + b − b − 4 + 6 2 2 6 −1 1− 2 5 1 = a+ b+2= a− b+2 2 2 2 2 47.
1 2 3 2 2 1 5 5 x + x + xy − xy + y 2 − y 2 2 4 3 3 6 6 2 + 3 2 2 −1 5 2 1 = x + xy = x + xy 4 3 4 3
48. 5ax − 5ax − 6a x + 1 + a x + 1 + 5a x + 1 + 8a x + 2 = 8a x + 2
3 2 2 2 1 1 49. x + x − xy − xy + y 2 + 5y 2 4 3 3 3 3+ 4 2 3 1+ 15 2 7 2 16 2 x − xy + y = x − xy + y = 4 3 3 4 3 50.
3 2 1 1 1 5 a b − a 2b + a 2b + ab 2 + ab 2 − ab 2 4 4 2 2 6 3 − 1+ 4 2 3+3−5 3 2 1 2 = a b+ ab = a b + ab 2 4 6 2 6
ay + az 12. 5x − 7y + 8
− 4x − y + 6 − 3x + 8y + 9 − 2x
+ 23
13. − am + 6mn − 4s − am − 5mn + 6s
3am − 5mn − 2s am − 4mn
2b
= 15a − 5ab − 15b − 11 2 2
− 5 ax − 7ay − 6az 4 ax + 9ay + 8az
3x
= m3 − 8m2n − 7mn2
2
ax − ay − az
11.
0
− x − y +4 − 5x + 4 y − 9
43. 9x − x − 11y − 6y + 4z − 6z = 8x − 17y − 2z
ab + bc + cd − 8ab − 3bc − 3cd 5ab + 2bc + 2cd − 2ab
7a − 4b + 5c − 7a + 4b − 6c −c
1 1 2 1 a − a + b+ b−6 2 4 3 5 2 −1 10 + 3 1 13 = a+ b−6= a + b−6 4 15 4 15
10.
6.
p+ q+ r − 2p − 6q + 3r p + 5q − 8r − 4r
14. 2a + 3b 6b − 4c
−a
+ 8c
a + 9b + 4c 15. 6m − 3n
7. − 7x − 4y + 6z 10x − 20y − 8z − 5x + 24y + 2z
− 2x
− 4n + 5p − 5p
5m − 7n 16. 2a + 3b
8. − 2m + 3n − 6 3m − 8n + 8
− 5m + n − 10 − 4m − 4n − 8
9. − 5a − 2b − 3c 7a − 3b + 5c
− 8a + 5b − 3c − 6a
−m
−c
8a
+ 5c − 4 +6 + 7c − 9
10a + 3b + 12c − 7 17. 2x − 3y
6x
+ 5z + 9 −4 −5 3y
8x
+ 5z
18. 8a + 3b − c 5a − b + c
− 8a + 5a − 9a x
−a −b − c 7a − b + 4c
19. 7x + 2y
m
24.
n
− 11a x + 5am + 16an
−4
4m
+ 9y − 6z + 5 − y + 3z − 6 8 x − 3y −5
− 7m
+ 2bc + 2cd − 3de − 2ab + 4bc + 3de − ab − 3bc − 6cd
−m
2ab
26. a − b 23.
b−c c+d
8x + y + z + u − 3x − 4y − 2z + 3u
c−d −a
m2 + n2
2a
a 3 − 2a 2
− 4m
a − ab + b 2
2
2
2a − a 2 − 11a + 15
− 3mn
2
8. 3x + x 3
3
x − 7x 2 −x
2
− 8x + 9x − 6 2
+ 2x
3 3. x
− x2
+4
x − x + 2x + 4 3
2
x 2 − 3xy + y 2
9.
− x + 3xy − 2y 2
− 3a 2 + a3
x + 3xy − 2y 2
+ 4a
a 4 + a 3 − 3a 2 + 4a
10.
+ 5a b − 4ab 2
a 2
x3
a 2 − 3ab + b 2
3x 2
−5
4x 2 − 11x + 1
+ xy 2 + y 3
15. x 3
+ a − 5ab − b − 2a + 8ab − b
2
2x 3
2
4x 3 − 5x 2 y − 3xy 2 − 5y 3
−b
x 3 − x 2 + 3x + 6
6. x 2 − 4 x − 7x + 6
− 7ab2 − b3
3
2
2
+6
2
2a 3 + 5a 2b − 11ab 2 − 2b 3
2
− x 2 + 3x
− b3
3 14. a
2
x 2 + 3xy − y 2 4 4. a
+ 8x − 5
3
−1
3x
+5
3
− x + 4x − 6 3
− x2 + x − 6
13. − 4x 2 + 5
2
+6
+ a − 7a + 4
− 5m − 5n 2
2x 2 − x
5.
− 4a + 5
3 12. a
+ 4n2 − 3mn
1. x + 4 x x 2 − 5x
+d −d
a
y + 3z + 2u
7.
−c
a
4x + 5y + 3z − 4u − 9x − y + z + 2u
2
2 2. a + ab − 2ab + b 2
+ 2c
25. 5ab − 3bc + 4cd
a+3
5ma + 1 − 11ma + 2 + 6ma + 3
− m + 3n + 2p − 9
EJERCICIO 17
a+2
− 5ma + 1 + 3ma + 2 + 12ma + 3
15x + 7y − 3z − 10
20. − m − n − p m + 2n −5 − 6m + 3p + 4 5m + 2n −8
− 3a
a +1 a+2 − 5ma + 3 22. 6m − 7m a +1
a+ b − c +d a− b + c −d − 2a + 3b − 2c + d − 3a − 3b + 4c − d
− 14a x + 7am
+ 3c
19a
5a x − 3am − 7an
21.
11. − 7x 2 + 5x − 6
4 x + 8x − 9 2
−x
2
− 7x + 14
− 4 x 2 + 6x − 1
x − 5x y 3
− y3
2
− 4xy 2 − 5y 3
− 7m2n
16.
+m
2
− m + 7m n 3
+ 4n3 + 6mn − n3
3 2
+ 5n3 + 6mn2 + 8n3
+ x 3 − 4x 2
+ a
+5
− 4a + 4a m − 3am2
x 4 + x 3 + 2x 2 − 3x + 11 + a4 +a
+ 7a 2m − 4am2
−6
− 3a + 3a m − 6am
−6
+ a + a + a − 2a − a 5
4
3
+ 3x 4
− 7x 2 − 3x
+ 5xy 4 + 2y 5
2x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 3x 2 y 3
26.
a 5 + a6 + a2
− 4x + 5
+ a 4 + a3 + 6 + 3a 2 +a
20. a + a + a2 + 5
+ 6 − 5a
+a +a +4
6
4
3
− b4
a4
27.
+ 4a + 7 a 2
− 8 + 5a
− 4a 2
5
3
− a 3b + a 2b 2 − ab 3
− 8 a2 − 6
− 3a + 5a 3b − 4a 2b 2 4
−1
− 4a 3b + 3a 2b 2 − 2a 4
− x 2y2 − 5x 3 y
− 4xy − y 5 4
x5
−a
4 21. x
− y5
+ 3x y
2
x 5 + 3x 4 − 3x 3 − 7x 2 − 3x + 2
a 3 + 5a
+ 3x y
2 3
3 2
+6
3
− xy 4
+ 2x y
+ x −9
5 19. x
2
− x 3y 2 4
+ a 3 − a 2 − 14 6
2
5 25. x
+8
3
2
3
+6
− 3a
5
− 5am2 + m3
3 3
+ 7x 2 − 4x + 6
6 18. + a
− 8a 2m + 6am2 − m3
24.
− x2 + x
4 17. x
+ 6xy 3 − 4x y
− ab 3 − 4b 4
m3 − n3 + 6m2n
28.
− 4 xy 3 + y 4
+ n3 − 4m2n + 5mn2 −6
2 2
− 3b 4
x 4 − 5x 3 y − 5x 2 y 2 + 2xy 3 + y 4 − 6
m − n3
+ 6mn2
3
− 2m + n − 2m n 3
3
2
11mn2 2 22. + x + xy
+ 5a
− x 2 + 6xy + 5y 2
x −1
+ ax −1
− 7 x 2 + 7 xy − y 2
a + 6a x
a 3 − 8ax 2 + x 3 3
a + 14ax − x 3
5a 3
2
− 13a x − 3 − 3a
+ ax − 4
−a
x+3
+ 4a
x
3
− 2x 3
x−2
+ ax + 2 − 3a
2
− x 3 − 5a 2 x
3a 3
x −1
30. − a x + a x + 1
− 6ax − x + 5a x 2
+ 6a x − 3 + 7a x − 3 + a x − 4
− 6x 2 − 4xy + y 2
23.
− 3a x − 2
x 29. a
− x 2 + 4 xy − 7y 2
−a
x −1
+a
x+3
− 5a x + 2 +a
x −1
−a
− 2a x + a x + 1 + a x + 3 ⇒a
x+3
− 3a
x+2
x−2
+a
x−2
+ ax + 2 − 3a x + 2
x +1
− 2a
x
EJERCICIO 18 1.
1 xy 3 1 xy + 2
5 2 x − 6 1 − x2 + 6 1 − x2 + 3
6.
1 2 x + 2
1 + y2 4
1 2 2+3 1 1 5 1 x + xy + y 2 = x 2 + xy + y 2 2 6 4 2 6 4 1 2 2. a + ab 2 1 − ab 4 1 − ab 4
1 2 b 2 1 − b2 5
2 xy 3 1 − xy 6 5 − xy 6
+
8.
+ y2
2 xy + 5 1 + xy + 10 −
1 2 y 2 1 2 y 6 1 2 y 3
2 2 a 3 5 2 a 6 1 2 − a 12
1 ab 5 1 − ab 10 1 + ab 20 +
+
b3
−
2b 3
+
−
3 3 b 5
−
−
− x2 + 5 2 3 x − 3 5 3 x − + 6
+ −
3 4 x 5
2 3 m 3
− +
1 mn2 + 4 1 mn2 − 8
2 3 n 5 3 3 n 5
−
n3
m3
1 2 b 2 1 2 b 6 1 2 b 3
− 3 + 1− 2 2 8 + 10 − 1 2 4 − 2 + 1 a + ab + b 12 20 6 17 2 3 4 17 2 3 2 = a + ab − b2 = a + ab − b2 12 20 6 12 20 3
5 2 a b 6 1 2 a b 2
3 x 8 3 x 4
5−3 4 2 4+5 3 −3−6 x − x + 2+ x + x 5 6 8 2 9 9 2 3 9 = x 4 − x2 + 2 + x3 − x ⇒ x4 + x 3 − x 2 − x + 2 5 6 8 5 2 8 9.
− 3 + 1+ 2 2 3 2 3 3 2 − 4 +1 x + xy + y = x − xy 4 10 6 4 10
5.
x4
−
4 − 1− 5 3+2 2 xy + y 6 3 2 5 1 5 = x 2 − xy + y 2 = x 2 − xy + y 2 6 3 3 3
−
+
−3 +
2 + y2 3
3 2 x 4
−
4 + 1 3 − 4 − 3 2 5 − 10 − 3 3 5 − 3 2 a + ab + b + a b 4 8 5 6 5 7 8 2 5 1 7 8 = a 3 − ab 2 − b 3 + a 2b ⇒ a 3 + a 2b − ab 2 − b 3 4 8 5 6 4 3 8 5
x2 +
4.
1 2 ab 2 3 2 − ab 8
−
1 3 a 4
2 − 1− 1 5−2 2 3 2 a + ab + b = a2 + b 4 10 10 2
2 3. x
3 xy 4 1 xy 2 5 xy 6
+
5 − 1− 2 2 − 16 + 3 + 6 2 9 − 6 + 10 x + y + xy 6 24 12 2 7 2 13 1 13 7 2 = x2 − y + xy ⇒ x 2 + xy − y 6 24 12 3 12 24 7. a 3
+
2 2 y 3 1 2 y 8 1 2 y 4
1 2 m n 6 1 2 − m n 2
+
2 + 3 3 −2 + 1 2 2 − 3 − 5 3 1− 3 2 m + mn + n + m n 3 8 5 6 5 1 6 2 5 1 1 6 = m3 − mn2 − n3 − m2n ⇒ m3 − m2n − mn2 − n 3 3 8 5 6 3 3 8 5 4 10. x
−
5 4 x 6
+
2x 2 y 2 + −
3 2 2 x y 8 1 2 2 x y 4
+
2 4 y 7 1 4 − y 14 1 4 + y 7
−
1 3 xy 6 −
5 3 x y 6
6 − 5 4 16 + 3 − 2 2 2 4 − 1+ 2 4 1 3 5 3 x + x y + y − xy − x y 6 8 14 6 6 1 17 2 2 5 4 1 3 5 3 = x4 + x y + y − xy − x y 6 8 14 6 6 1 4 5 3 17 2 2 1 3 5 4 ⇒ x − x y+ x y − xy + y 6 6 8 6 14
2 3 x 3
5 11. x −
+
− 3x 5 1 3 x 6 1 3 x 12
+ − − 2x 5 +
4 x 5 1 − x 10
13. a 6 − +
3 2 x 8 1 2 − x 4
−
−
2 4 x 3
3 − a2x 7 2 1 − a3 + a2x 3 2
5 2 ax 6 7 2 − ax 8 1 2 − ax 4
5 2 a 8
+6
−7 −3 4 8−5 2 3 5 3 3 −4−3 a + a + a − a + a 7 8 5 8 8 10 3 3 3 7 = a6 − a4 + a2 + a5 − a3 − a 7 8 5 8 8 3 10 4 3 3 3 2 7 ⇒ a6 + a5 − a − a + a − a 5 7 8 8 8 a6 +
7 3 13 1 2 x + x + x2 − x4 − 4 12 10 8 3 2 7 3 1 2 13 ⇒ − 2x 5 − x 4 − x + x + x −4 3 12 8 10
+
−
−4
− 8 + 2 − 1 3 8 − 1+ 6 3−2 2 2 4 x + x+ x − x −4 12 10 8 3
2 3 a 9
3 4 a 7
3 5 3 3 1 a − a − a 5 8 2
3 − a −6 8
= − 2x 5 −
12.
a2 +
3 x 5
+
+
a4
1 3 x 3 1 3 − x 9 −
14.
−
x5
1 3 2 3 4 x y − xy − 10 4
+
− 2 3 2 x y 5
−
−
y5 1 5 y 6 1 5 y 9 1 5 y 3
+
3 4 5 x y − x2y3 5 6
+
2x 4 y
1− 4 3 2 3 4 − 18 − 3 − 2 − 6 5 3 + 10 4 5 x y − xy + y + x y − x2y3 10 4 18 5 6 3 3 2 3 4 29 5 13 4 5 x y − xy − y + x y − x2 y 3 = x5 − 10 4 18 5 6 13 4 3 3 2 5 2 3 3 4 29 5 x y− x y − x y − xy − y ⇒ x5 + 5 10 6 4 18 x5 +
2−6 3 −6+7 2 20 − 21− 6 2 − 3 − 1 3 a + a x+ ax + x 9 14 24 9 4 1 2 7 4 = − a3 + a x− ax 2 − x 3 9 14 24 9
EJERCICIO 19 Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores: a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5 1.
3.
4x − 5y − 3x + 6y − 8
2x 4 − 4x
− x+ y
= − 54 + 7 ⋅ 5 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ 52 ⋅ 4 2 + 10 ⋅ 5 ⋅ 4 3 − 4 4 − 8 = − 625 + 28 ⋅125 − 5 ⋅ 25 ⋅16 + 50 ⋅ 64 − 256 − 8 = − 625 + 3.500 − 2.000 + 3.200 − 256 − 8 = 3.811
x 2 − 5x + 8 − 6x 2 + 5x − 50 − 6x 2 + 10x − 72 ⇒ − 6 ⋅ 5 2 + 10 ⋅ 5 − 72 = − 6 ⋅ 25 + 50 − 72 = − 150 + 50 − 72 = − 172
+ 7x 3y + 10xy 3
⇒ − x 4 + 7x 3 y − 5x 2 y 2 + 10xy 3 − y 4 − 8
⇒ 2⋅4 − 8 = 8 − 8 = 0
− x 2 + 10x − 30
− 5x 2 y 2 − 8
4
− x 4 − y 4 − 5x 2 y 2 − 8 + 7x 3 y + 10xy 3
2y − 8
2.
x4 − y4
4.
3m − 5n + 6 − 6m − 20n + 8 12m − 20n − 12 9m − 45n + 2 2 1 18 45 ⇒ 9 ⋅ − 45 ⋅ + 2 = − + 2 = 6 − 9 + 2 = −1 3 5 3 5
5.
nx + cn − ab 8nx − 2cn − ab
10.
− ab − 5
nx
− 6 + x 4 − x 2y2
5x 3 y
10nx − cn − 3ab − 5 1 1 ⇒ 10 ⋅ ⋅ 5 − 10 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 5 5 50 10 = − − 6 ⋅3 − 5 5 5 = 10 − 2 − 18 − 5 = − 15 6.
x 3 y − xy 3 + 5 − 6xy + 2 + 3xy 3 + 1
− y4
6x 3y − 4xy 3 + 2 + x 4
− y4
⇒ x + 6x y − 4xy − y + 2 4
3
3
4
= 5 4 + 6 ⋅ 53 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 ⋅ 43 − 44 + 2 = 625 + 24 ⋅125 − 20 ⋅ 64 − 256 + 2 = 625 + 3.000 − 1280 − 256 + 2 = 2.091 .
+ b3
a3
+ x2 y2
3
− 3a b + 8ab − b 3 2
2
− 5a 3
− 6ab 2 + 3a b
− 4a
+8 − 2b
2
11.
3
2
⇒ − 4 ⋅2 + 2⋅2⋅3 − 2⋅3 + 8 = − 4 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ 27 + 8 = − 32 + 36 − 54 + 8 = − 42 3
2
3
+
3 2 − 2 +1 6 + 1− 3 2 a − ab + b 4 6 9 3 1 4 = a 2 − ab + b 2 4 6 9 3 1 4 ⇒ ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋅ 32 4 6 9 3 1 4 = ⋅ 4 − ⋅ 6 + ⋅ 9 = 3 − 1+ 4 = 6 4 6 9
+ 125n 3
3 7. 27m
− 9m n + 25mn 2
2
− 14mn 2
−8
+ 10m n + 11mn 2 2
27m3 + m2 n + 22mn 2 + 125n 3 − 8 3
2
2
3
2 1 2 2 1 1 ⇒ 27 ⋅ + ⋅ + 22 ⋅ ⋅ + 125 ⋅ − 8 3 3 5 5 3 5 8 4 1 44 1 1 = 27 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 125 ⋅ −8 27 9 5 3 25 125 4 44 4 44 =8+ + + 1− 8= + +1 45 75 45 75 20 + 132 + 225 377 = = = 1 152 225 225 225 a −1 + y b − 2 + mx − 4 8. x
2x
− 2y
b−2
x −4
− 2m
+ 3y
b−2
− 2m x − 4
3x a −1 + 2 y b − 2 − 3mx − 4 2 ⇒ 3⋅ 52 −1 + 2 ⋅ 4 3 − 2 − 3 3 9.
n
b −1
− m
x −3
+8
− 5nb −1 − 3m x − 3 + 10 4nb −1 + 5m x − 3 − 18 mx − 3 2 ⇒ 3
5−3
4 2 = = 3 9 2
5−4
= 15 + 8 − 2 = 21
2 2 b 3 1 1 ab + b 2 3 9 1 1 ab − b 2 6 3 +
−
+ 2ab − 2b3 + 8
3
a −1
3 2 a 4
12.
9 2 m 17 7 2 m 34 7 2 m − 34
+ +
25 2 n 34 5 2 n 17
− + − +
1 4 1 2 1 4 3
− 15mn − 30mn
18 + 7 − 7 2 25 + 10 2 − 1 + 2 − 1 + 12 − 45mn m + n + 34 34 4 18 2 35 2 12 = − 45mn m + n + 34 34 4 9 2 35 2 ⇒ m − 45mn + n +3 17 34 2 2 9 2 2 1 35 1 = − 45⋅ ⋅ + +3 17 3 3 5 34 5 9 4 90 35 1 ⋅ − + ⋅ +3 17 9 15 34 25 4 35 4 7 = − 6+ + 3= + −3 17 170 17 850 40 + 7 − 510 463 = =− = − 2 123 170 170 170 =
13.
1 2 b m 2 3 2 b m 4 1 2 − b m 4 1 − b 2m 8
− − + +
3 cn 5 1 cn 10 1 cn 25 2cn
−
2
+
14.
+ 0,6ab2 − 0,3a 2b − 0,8b 3
6
+
4
+
3 5
0,2a 3 + 0,4ab2 − 0,5a 2b − 0,4a 3 0,2a
− 0,8a 2b
+6
+ 15 , a 2b + 0,9b3
3
ab 2
− 0,1a 2b + 0,1b 3 + 6
⇒ − 0,1a b + ab + 0,1b3 + 6 2
4 + 6 − 2 −1 2 − 30 − 5 + 2 + 100 − 10 + 30 + 20 + 3 b m+ cn + 8 50 5 7 2 67 43 7 2 2 67 1 43 ⇒ b m+ cn + = ⋅3 ⋅ + ⋅10 ⋅ + 8 50 5 8 3 50 5 5 7 ⋅ 9 ⋅ 2 67 43 126 670 43 21 67 43 = + + = + + = + + 24 50 5 24 250 5 4 25 5 525 + 268 + 860 1. 653 53 = = = 16 100 100 100
2
= − 0,1⋅ 22 ⋅ 3 + 2 ⋅ 32 + 0,1 ⋅ 33 + 6 = − 0,3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 9 + 0,1⋅ 27 + 6 = − 12 , + 18 + 2,7 + 6 = 25,5
EJERCICIO 20 21. − 8xa + 2 − 11= − 8xa + 2 − 11 1. − 8 − 5 = − 13
22.
2. − 7 − 4 = − 11 3. 8 − 11 = − 3 4. − 8 − (− 11) = − 8 + 11 = 3
( )
5. − 1 − − 9 = − 1 + 9 = 8 6. 2a − 3b = 2a − 3b 7. 3b − 2 = 3b − 2
(− 60a ) = − 45a + 60a = 15a − (− 86b ) = 54b + 86b = 140b − (− 60m ) = − 35m + 60m = 25m
23.− 45a x −1 − 24.
54bn −1
25. − 35ma
1
8. 4x − 6b = 4x − 6b 9. − 5a − 6b = − 5a − 6b
( )
10. − 8 x − − 3 = − 8 x + 3 11. −9a − 5b2 = − 9a 2 − 5b 2
)
27. −
n −1
a
a
x −1
n −1
a
a
1 10 + 1 11 1 = =52 2 2
2 3 −8−9 17 − = =− 3 4 12 12
29.
4 3 5 3 24 + 25 3 49 3 x y − − x y = x y= x y 6 5 30 30
1 2 3 2 − 1+ 6 2 5 2 ab − − ab = ab = ab 4 8 8 8
15.
− 6 x 2 y − (− x 2 y) = − 6x 2 y + x 2 y = − 5x 2 y
30. −
16.
11a 3m2 − (− 7a 3m2 ) = 11a 3m2 + 7a 3m2 = 18a 3m2
31. − 2 − 3 = − 5
17.
− 8ab 2 − (− 8ab 2 ) = − 8ab 2 + 8ab 2 = 0
18.
31x 2 y − (− 46 x 2 y) = 31x 2 y + 46 x 2 y = 77 x 2 y
19.
− 84a 2b − (− 84a 2b) = − 84a 2b + 84a 2b = 0
( ) 33. − 8 − (− 5) = − 8 + 5 = − 3 34. 5 − (− 4 ) = 5 + 4 = 9 35. − 7 − (− 7) = − 7 + 7 = 0 36. 2a − (− 5) = 2a + 5 32. 7 − − 1 = 7 + 1 = 8
x −1
n −1
1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 x −− x = x + x = x = x 3 3 3 3 3
14. 11m2 − 25 m2 = − 14m2
20. 3a x + 1 − 5b x + 2 = 3a x + 1 − 5b x + 2
n −1
x −1
28.
12. − 7 xy − − 5 yz = − 7 xy + 5 yz 13. 3a − 4a = − a
x −1
26. 5 − − = 5 + = 2 2
2
(
6a n − (− 5a n ) = 6a n + 5a n = 11a n
EJERCICIO 21
37. −3x − b = − 3x − b 38. − 2n − 5m = − 2n − 5m
(
40.
8b − (− 5a ) = 5a + 8b 3
(
)
42. 25ab − − 25 = 25 ab + 25
( ) 44. − 4b − (− 3b) = − 4b + 3b = − b 54 x 3 − (− 11x 3 ) = 54 x 3 + 11x 3 = 65x 3 − 54a 2 y − (− 43a 2 y ) = − 54a 2 y + 43a 2 y = − 11a 2 y
48. − ab − 9ab = − 10ab
− 31x y − (− 31x y) = − 31x y + 31x y = 0 2
2
2
50. − 3a − a = − 4a x
51.
x
x 2 + 2x − 6
3 2 5. a − a b − 7a 2b − 9ab 2
53. − 31a
x
− 18a
54. − 236ma −
x −1
a 3 − 8a 2b − 9ab 2
7. x + y − z x+ y − z
0
x 2 + y 2 − 3xy
8.
− 3x 2 + y 2 + 4xy
2 x + 2 y − 2z
9.
− 2x 2 + 2y 2 + xy
x3 − x2 + 6 − 5x − 6 + 4 x
x
= − 49a
2
x − 6x 2
x −1
(− 19m ) = − 236m a
a
2 + 6y 3 −8 10. y 2 4 − 6y 3y − 2y
4 y 2 − 2y 4 + 6y 3 − 6 y − 8
+ 4x
3
⇒ − 2y 4 + 6 y 3 + 4 y 2 − 6y − 8
+ 19ma = − 217ma 11. a 3 − 6ab 2 + 9a
+ 8a − 15a 2b − 5
1 1 56. − (− 6a ) = + 6a 4 4 − 2 + 15 13 2 = 57. − − ( − 5) = 3 3 3
a 3 − 6ab 2 + 17a − 15a 2b − 5 ⇒ a 3 − 15a 2b − 6ab 2 + 17a − 5 12. x 4 + 9xy 3 − 11y 4
7 3 3 3 58. − m − m 10 8 − 56 − 30 3 86 3 43 3 m =− m =− m = 80 80 40
5 2 2 11 2 2 a b −− ab 12 6 10 + 11 2 2 21 2 2 7 2 2 = ab = ab = ab 12 12 4 1 3 2 a b − 45a 3b 2 9 − 1− 405 3 2 − 406 3 2 ab = a b = − 45 91 a 3b2 = 9 9
60. −
−x+y−z
⇒ − 2x 2 + xy + 2y 2
55. − 85a x + 2 − 54a x + 2 = − 139a x + 2
59.
x−y+z
6.
x
52. 105m − 9m = 96m x −1
3x − 5y
11a + b − 4
2
311a x +1 − (− 7a x +1 ) = 311a x +1 + 7a x +1 = 318a x +1 x
2b
2 4. x − 3x 5x − 6
46. 78a 2b − 14a 2b = 64a 2b
49.
x − 2y
3. 8a + b 3a −4
43. 3a − − a = 3a + a = 4a
47.
2. 2x − 3y
3
41. − 7a − (− 9 ) = − 7a + 9
45.
a +b −a +b
1.
)
39. 3b − − 6a = 6a + 3b
− 20y 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 x 4 + 9xy 3 − 31y 4 + 8x 3 y + 6x 2 y 2 ⇒ x 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 + 9xy 3 − 31y 4 13. a + b + c − d a + b−c+d
14.
2a + 2b 15.
x 3 + 6x 2 − 9x − 19 − 6x 3 + 11x 2 − 21x + 43 − 5 x 3 + 17 x 2 − 30x + 24
ab + 2ac − 3cd − 5de − 8ab + 4ac + 5cd − 5de − 7 ab + 6ac + 2cd − 10de
5 3 2 16. y − 9y + 6y
− 31
− 31y 3 + 8y 2 + 11y 4 + 19y y 5 − 40y 3 + 14 y 2 + 11y 4 + 19y − 31 ⇒ y 5 + 11y 4 − 40y 3 + 14 y 2 + 19y − 31
17.
5m3 − 9n3 + 6m2n − 8mn2 − 5m3
+ 21m2n − 14mn2 + 18 − 9n3 + 27m2n − 22mn2 + 18 ⇒ 27m2n − 22mn2 − 9n3 + 18
18.
4 x 3 y − 19xy 3 + y 4 − 6x 2 y 2 25x 3 y + 51xy 3
− 32 x 2 y 2 + x 4
29x 3 y + 32 xy 3 + y 4 − 38x 2 y 2 + x 4 ⇒ x 4 + 29 x 3 y − 38x 2 y 2 + 32 xy 3 + y 4 6 4 2 2 4 19. m + m n − 9m n + 19 + 30m2n4 + 61+ 13m3n3 − 16mn5
m6 + m4n2 + 21m2n4 + 80 + 13m3n3 − 16mn5 ⇒ m6 + m4n2 + 13m3n3 + 21m2n4 − 16mn5 + 80 − a 5b
20.
+ 11a b
6
8a
+ 6 a 3b 3 4
− 18 ab 5 + 11a b
2
2
+ 42 − 9b
4
6
8a 6 − a 5 b + 11a 4 b 2 + 6a 3b 3 + 11a 2b 4 − 18 ab 5 − 9b 6 + 42 2 4 3 5 21. 1 − x + x − x + 3x − 6x
24 + 30x 2 − 8x 4
− 15x
+ x6
25 + 29 x 2 − 7 x 4 − x 3 − 12x − 6x 5 + x 6 ⇒ x 6 − 6 x 5 − 7 x 4 − x 3 + 29 x 2 − 12 x + 25
22. − 6x 2 y 3 + 8 x 5 − 23x 4 y + 80x 3 y 2 − 18 + 51x 4 y + 21x 3 y 2 − 80 + y 5 − 9xy 4 − 6x 2 y 3 + 8 x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 98 + y 5 − 9xy 4 ⇒ 8x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 6 x 2 y 3 − 9xy 4 + y 5 − 98 − 8m4n2
6 23. m
+ 21m2n4 − 6mn5 − 14m n
5
23m n
+ 8
+ 24mn5 − 8n6 + 14
3 3
m6 + 23m5n − 8m4n2 − 14m3n3 + 21m2n4 + 18mn5 − 8n6 + 22 7 5 2 24. x − 8x + 16x − 23x − 15
− 51x
+ 18 + 8 x 6 − 25 x 4 + 30x 3
x 7 − 59x + 16x 5 − 23x 2 + 3 + 8x 6 − 25x 4 + 30x 3 ⇒ x 7 + 8x 6 + 16x 5 − 25 x 4 + 30x 3 − 23x 2 − 59 x + 3
25. 9a 6 − 15a 4b 2 + 31a 2b 4 − b 6 + 15a b 4
9a
6
6
5
3
3
5
+ 31a b − 4b 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 9 ab 5 + 14 ⇒ 9a 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 31a 2b 4 + 9 ab 5 − 4b 6 + 14 2
ax + ax +1 − ax + 2
26.
+ 14
− 3 b − 25a b − 53 a b + 9 ab
2
− 5a x + 6a x + 1 + a x + 2 − 4a x + 7a x + 1
4
a a −1 + 3ma − 2 27. m − m
− 5ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3
4ma
5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3 ⇒ − 3ma + 1 + 5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 8ma − 3 m+4 − 7am + 2 − 8a m + 6am − 1 28. a + 14a m + 2 + 8a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1
a m + 4 + 7a m + 2 − 8am + 14a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1 ⇒ am + 4 + 5am + 3 + 7am + 2 + 11a m + 1 − 8a m + 14a m − 1 a+2 − 7 x a + 9x a − 1 + 25x a − 2 29. x
− 19x a − 45x a − 1 x
a+2
− 26x − 36x a
a −1
+ 11x a + 1 − 60x a − 3 + 25x
a−2
+ 11x a + 1 − 60x a − 3 ⇒ x a + 2 + 11x a + 1 − 26x a − 36x a − 1 + 25x a − 2 − 60x a − 3
n+1 n−2 + 8mn − 3 − 19mn − 5 30. m − 6m
− 5mn − 2 − 6mn − 3 − 9mn − 5 − 8mn − mn − 4 mn + 1 − 11mn − 2 + 2mn − 3 − 28mn − 5 − 8mn − mn − 4 ⇒ mn + 1 − 8mn − 11mn − 2 + 2mn − 3 − mn − 4 − 28mn − 5
EJERCICIO 22 b− a 1.
7. − a + 2b − 3c − a + b − 2c
b− a 2b − 2a ⇒ − 2a + 2b
− 2a + 3b − 5c
2. 2x + 3y −x+y
8. − 3n + 4m + 5p + n − m −p
x + 4y
− 2n + 3m + 4p ⇒ 3m − 2n + 4p
3. − 7a + 5 5a −b
9. x + 3y − 6z x−y +z
− 2a + 5 − b ⇒ − 2a − b + 5
2x + 2y − 5z
4. − x 2 + 6 −x
10. − 5b 2 + 8ab + a 2 + 5x
2
6b 2 − ab − 3a 2
− 2x + 6 + 5 x ⇒ − 2 x + 5 x + 6 2
2
b 2 + 7ab − 2a 2 ⇒ − 2a 2 + 7ab + b 2
5. x 2 y + 5xy 2 + xy
2
− 5m2 − n2 + 6mn −x
3
11.
x 2 y + 6xy 2 − x 3 ⇒ − x 3 + x 2 y + 6 xy 2
6.
7a 2b + 5ab 2 − 6a 2 b 2
− 6m2
+ 9mn
12. − 8x 2 + 5x − 4 + 8a 3
+ x − 6 + x3
a b + 5ab + 8a ⇒ 8a + a b + 5ab 2
− m2 + n2 + 3mn
3
3
2
2
− 8x 2 + 6 x − 10 + x 3 ⇒ x 3 − 8x 2 + 6x − 10
13.
23. y 6 + y 3 + y 2 + 9
14m2 − 8n + 16 − 14m
− 9 −m
2
− 23y 3
3
− 8n + 7 − m3 ⇒ − m3 − 8n + 7
y 6 − 22y 3 + y 2 + 14 − 8y 4 + 15y 5 + 8y ⇒ y 6 + 15y 5 − 8y 4 − 22y 3 + y 2 + 8y + 14
14. 8ab + 5bc + 6cd − ab + bc − 6cd
8 6 4 2 24. x − x + 3x − 5x − 9 − 36 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
7 ab + 6bc
x 8 − x 6 + 3x 4 − 5x 2 − 45 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
3 2 3 15. a − 9a b − b
⇒ x 8 − 7x 7 − x 6 − 5x 5 + 3x 4 + 23x 3 − 5x 2 − 51x − 45
− 25a 2b + b 3 + 8ab 2 a 3 − 34a 2b
+ 8ab 2
16. 6x − 8x y − 6xy 3
2
25. x 7 − 3x 5 y 2 + 35x 4 y 3 − 8x 2 y 5 + 60 + 60x 4 y 3 + x 2 y 5
2
− xy 2 + 6y 3 − 4
+ 5a x + 1
−d
27. − 8an + 16an − 4 + 15an − 2 + an − 3
− 5an − 2 − an − 3 − 8an − 1
− 7an
− 15an + 16an − 4 + 10an − 2
19. x 5 − 8x 4 + 25x 2 + 15
⇒ − 15a − 8a n
− 6x 2 + 7 − 6x 3 + 9x x 5 − 8x 4 + 19x 2 + 22 − 6x 3 + 9x
+ 10a
+ 9x a + 2
20. − 3xy 4 − 8x 3 y 2 − 19y 5 + 18 5
n −1
n−2
− 8an − 1 + 16an − 4
28. 15x a + 3 + 5x a + 2 − 6x a + 41x a − 1
⇒ x 5 − 8x 4 − 6x 3 + 19x 2 + 9x + 22
− 25y
− a x + 2 + 6a x
⇒ a x + 3 − a x + 2 − 3a x + 1 + 6a x − 5
5a 4 + 2a 3b + 8a 2b 2 − 45ab 3 + 5b 4
− 6xy
2 5
a x + 3 − 3a x + 1 − 5 − a x + 2 + 6a x
− 40ab 3 + 6b 4
− 7a 3b + 8a 2b 2 − 5ab 3 − b 4
4
4 3
x+3 − 8a x + 1 − 5 26. a
− 16n + 19c + 14 − d ⇒ 19c − d − 16n + 14 18. 5a 4 + 9a 3b
5 2
⇒ x 7 − 3x 5 y 2 + 95x 4 y 3 − 90x 3 y 4 − 7x 2 y 5 + 50xy 6 − y 7 + 60
m2 − 9n + 11c + 14 − m2 − 7n + 8c
− y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6
x − 3x y + 95x y − 7 x y + 60 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6 7
6x 3 − 8x 2 y − 7xy 2 + 6y 3 − 4
17.
+ 5 − 8y 4 + 15y 5 + 8y
+ 18x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4
15x a + 3 + 14x a + 2 − 6x a + 59x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4 −x +x y 5
2 3
⇒ x a + 4 + 15x a + 3 + 14x a + 2 − 31x a + 1 − 6x a + 59x a − 1
− 9xy 4 − 8x 3 y 2 − 44y 5 + 18 − x 5 + x 2 y 3 ⇒ − x 5 − 8x 3 y 2 + x 2 y 3 − 9xy 4 − 44y 5 + 18
m −1 − 21am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 29. 9a
5am − 1 − 12am − 2
x 3 − 6x 4 + 8x 2 − 9 + 15x
21.
− 25x 3
+ am + 8am − 4
14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 + am + 8am − 4
+ 18x 2 + 46 − 25x + 11x 5
⇒ am + 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 8am − 4 + 14am − 5
− 24x 3 − 6x 4 + 26x 2 + 37 − 10x + 11x 5 ⇒ 11x 5 − 6x 4 − 24x 3 + 26x 2 − 10x + 37 − 26a 3b 2
5 22. a
+ 8ab 4 − b 5 + 6
− 8a 4b − a 3b 2 + 15a 2b 3 + 45ab 4
+8
a − 8a b − 27a b + 15a b + 53ab − b + 14 5
4
3 2
2 3
4
5
− 15mx + 3
30. m m
x+4
x+4
+ 50mx + 1 − 14mx − 6m x − 1 + 8mx − 2 + 23m
− 15m
x+3
x+2
+ 23m
x+2
+ 6mx + 1 + 56m
x +1
+ mx − 1 − 14m − 5mx − 1 + 8m x − 2 x
EJERCICIO 23
2 11. x − 1
− xy − y 2
1
1.
x 2 − 1 − xy − y 2 ⇒ x 2 − xy − y 2 − 1
− a +1 −a+2
+6
3 12. a
2. 0 − a+8
− 5a 2b + 8ab 2 − b 3 a 3 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3 + 6
− a+8
+ y3
3 13. x
+ 5 x y − 17 xy 2
−9
3.
+5
2
x + 5 x y − 17 xy + y + 5 3
− 3a − a + 5 2
− 3a − a − 4 ⇒ − a − 3a − 4 2
2
2
3
2
− 9 x y + 8x y + 15 xy 3
+ 16
4.
2 2
3
x − 9x 3 y + 8 x 2 y 2 + 15 xy 3 − 1
− 5xy + x − 16
4
2
− 5xy + x 2
−1
4 14. x
⇒ x 2 − 5xy
+ b5
5 15. a
+ 11a b − 2a b − 8a b + 4ab 4
5. 1
3 2
4
a + 11a 4b − 2a 2b3 − 8a 3b 2 + 4ab 4 + b5 5
− a 3 + a 2b − ab 2 1− a + a b − ab ⇒ − a + a b − ab + 1 3
2
2
3
2
⇒ a 5 + 11a 4b − 8a 3b2 − 2a 2b3 + 4ab 4 + b5
2
+ x2
4 16. x
6. x 3
− 5x
x 3 + 8 x 2 y + 6xy 2
+ 50 + 25x
3
x 4 − 5x 3 + x 2 + 25x + 50
2x 3 + 8x 2 y + 6 xy 2
6 17. y + y − 41
3 7. a
− 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
+ 8a 2b − 6ab 2 + b 3
y 6 + y − 41 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
a 3 + 8a 2b − 6ab 2 + b 3
⇒ y 6 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 + y − 41 + y4
8.
6 18. a
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + y 4 m4
+ 15a b
+ a 2b 4 − 17a b
30 − b + a − c − d ⇒ a − b − c − d + 30
+ 14ab 5 + b 6
4 3 19. x + x − 11x
− 5 x + x 2 + 34 x 4 + x 3 − 16x + x 2 + 34 ⇒ x 4 + x 3 + x 2 − 16 x + 34 −1
3 20. m
10. 16 14 − b + a − c − d
3 3
a 6 + 15a 5b + 9a 4b 2 − 17a 3b 3 + a 2b 4 + 14ab 5 + b 6
− 5m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 − 4m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4
+ 9a 4b 2 5
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3
9.
2 3
− m2n − 7mn2 + 3n3 m3 − m2n − 7mn2 + 3n3 − 1
EJERCICIO 24 1.
1 2 a 2 1 2 1 2 a + ab − b 2 4 3 5
5 3 6. 6 m + +
2 +1 2 1 2 a + ab − b 2 4 3 5 3 2 1 2 2 = a + ab − b 4 3 5
4 2 5 − xy − yz + 5 3 9
7.
4 2 135 + 5 xy − yz + 5 3 9 4 2 140 = − xy − yz + 5 3 9 4 2 = − xy − yz + 15 59 5 3 −
3 bc 3. 5 1 − bc 6
3 2 ab + cd 4 9
18 − 5 3 2 bc + ab + cd 30 4 9 3 13 2 ⇒ ab + bc + cd 4 30 9
1 2 a − b 4. 2 3 4 2 1 − a − b + 5 9 2 5−8 6+2 1 a− b+ 10 9 2 3 8 1 =− a− b+ 10 9 2
5 2 5. 9 x − −
3 2 y 8 1 2 5 3 y − xy + 10 7 11
5 2 30 + 8 2 5 3 x − y − xy + 9 80 7 11 5 38 2 5 3 = x2 − y − xy + 9 80 7 11 5 5 19 2 3 ⇒ x 2 − xy − y + 9 7 40 11
1 2 3 m n − mn2 2 8
3 2 a + 7 5 2 − a − 14
1 3 ab − b2 3 5 1 1 + ab 2 8
6−5 2 2−3 a + ab 14 6 1 2 1 3 1 a − ab − b 2 + 14 6 5 8
8.
+
+
5 3 10 + 9 3 1 2 3 m + n + m n − mn2 6 45 2 8 5 3 1 2 3 19 3 2 ⇒ m + m n − mn + n 6 2 8 45
15
2.
2 3 n 9 1 3 n 5
3 2 x 8 3 2 x 5
5 xy 6 3 + xy 10
+
−
1 2 y 10
−
2y 2
15 + 24 2 50 + 18 1+ 20 2 x + xy − y 40 60 10 39 2 68 21 2 39 2 17 21 2 = x + xy − y = x + xy − y 40 60 10 40 15 10
3 2 9. a + a
+
−
+
a
7 2 9 a − a − 8 10
5 6 7 8
8 + 7 2 10 + 9 20 − 21 a − a+ 8 10 24 15 2 19 1 3 =a + a − a− 8 10 24
a3 +
7 3 2 10 . m + 12 mn 5 − mn2 9
−
4 3 n 7
− n3
+
5 2 1 m n+ 21 8
21− 20 4+7 3 5 2 1 mn2 − n + m n+ 36 7 21 8 5 1 11 1 ⇒ m3 + m2n + mn2 − n3 + 21 36 7 8
m3 +
3 4 3 x + x3y 5 4
11.
− x4
5 3 xy 7 1 + xy 3 3 −
−
5 2 2 x y 8
2 4 y 3 5 4 − y 6 +
12.
3−5 4 3 3 5 15 − 7 3 4 − 5 4 x + x y − x2y 2 − xy + y 5 4 8 21 6 2 3 5 8 3 1 4 = − x 4 + x3y − x2y 2 − xy − y 5 4 8 21 6
1 3 7 8 − a+ b c + d 2 5 8 9 7 1 1 7 + b − c + d − 20 8 9 8 1 12 + 7 7 +1 8 +1 7 a+ b− c+ d− 2 20 8 9 8 1 19 8 9 7 b− c+ d − = a+ 2 20 8 9 8 1 19 7 = a+ b− c+ d − 2 20 8
EJERCICIO 25 1.
3 2 a 8 5 − a2 6
−
6. 5 2 a b+ 8
5 a 6
+
9 − 20 2 5 11 2 5 a − a=− a − a 24 6 24 6 2.
8a 1 − a 2
+ +
−
5 3 a 6
5 2 2 + 7 2 1+ 18 5 3 − a a b+ ab − 8 8 3 6 5 2 9 2 19 5 3 = a b + ab − − a 8 8 3 6 5 5 9 19 ⇒ − a 3 + a 2b + ab2 − 6 8 8 3
−5
6b 3 b 5
1 2 1 ab − 4 3 7 2 ab − 6 8
16 − 1 30 + 3 15 33 a+ b−5 = a+ b−5 2 5 2 5 7.
2 2 3. x + x y − 6 3 7 2 − x y 9 3
x3 +
4.
a
+ b
2 3 20 − 49 2 2 3 + 2 m n+ mn + mn3 − 6 11 56 9 2 29 2 2 5 = m4 + m3n − m n + mn3 − 6 11 56 9
− c −
2 c 3
2 −1 4+3 3+2 1 7 5 a+ b− c= a+ b− c 2 4 3 2 4 3
5.
2 5 m + n 3 6 −m − n
1 mn3 − 6 3 2 + mn3 9 +
m4 +
6−7 2 1 x y − 6 = x3 − x2y − 6 9 9
1 3 − a + b 2 4
2 3 5 2 2 mn + mn 11 14 7 2 2 − m4 mn 8
1 p 2 + p +
2−3 5−6 1+ 2 1 1 3 m+ n+ p= − m− n+ p 3 6 2 3 6 2
8.
− 1 5 x 2
7 4 1 3 2 2 2 3 1 4 x y + x y + x y + xy 8 14 3 3 3 3 2 1 x y − + xy 4 7 8
− 7 −
2 9
1 5 7 4 1− 6 3 2 2 2 3 8 + 3 4 63 + 2 x − x y+ x y + x y + xy − 2 8 14 3 24 9 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 65 x − x y− x y + x y + xy − = 2 8 14 3 24 9 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 x − x y− x y + x y + xy − 7 29 = 2 8 14 3 24
7 5 x y+ 9
2 4 2 1 2 6 x y − x 3y 3 − x 2 y 4 + xy 5 + y 3 8 13 7 4 2 1 2 4 + − x y x y − xy 5 + y6 9 11
9. − x6 − x6 +
10.
7 5 6 + 7 4 2 1 3 3 11+ 1 2 4 xy+ x y − x y − x y 9 9 8 11
1 3 7 2 x − x y 3 9 2 3 1 2 x + x y 3 6
5 2 xy 8 3 − xy 2 4 +
−
7 3 y − 11
+
2 + 13 6 7 13 4 2 1 3 3 12 2 4 15 6 y = − x6 + x5 y + x y − x y − x y + y 13 9 9 8 11 13
2 5
− 6
1+ 2 3 14 − 3 2 5 − 6 2 7 3 2 + 30 11 2 1 7 32 x − x y+ xy − y − = x3 − x y − xy 2 − y 3 − 3 18 8 11 5 18 8 11 5
11.
3 4 2 3 2 4 5 6 mn − mn + n 10 7 9 2 6 7 4 2 5 2 4 1 6 m + mn − mn − n 13 20 14 3
+
3 5
2 6 6 + 7 4 2 6 + 5 2 4 5 − 3 6 3 2 6 13 4 2 11 2 4 2 6 3 m + mn − mn + n + = m + mn − mn + n + 13 20 14 9 5 13 20 14 9 5 3 5 7 4 12. 8 c + 22 c d 5 4 + c d 11
7 3 2 1 2 3 1 5 − c d + c d d 12 2 3 5 3 2 3 3 5 + − cd 4 − c d d 6 4 13 +
− 35
3 5 7 + 10 4 7 + 10 3 2 1 2 3 3 4 13 + 9 5 c + c d+ c d + c d − cd − d − 35 8 22 12 2 4 39 3 17 4 17 3 2 1 2 3 3 4 22 5 = c5 + c d+ c d + c d − cd − d − 35 8 22 12 2 4 39
EJERCICIO 26 Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5 2 1. a − ab
3 3 2. a + b
+ 2b 3 + 5a 2b − 6ab 2
− 3ab − b 2 a 2 − 4ab − b 2 = 12 − 4 ⋅ 1⋅ 2 − 2 2 = 1 − 8 − 4 = − 11
a + 3b3 + 5a 2b − 6ab 2 ⇒ a 3 + 5a 2b − 6ab 2 + 3b 3 3
= 13 + 5 ⋅12 ⋅ 2 − 6 ⋅1⋅ 22 + 3 ⋅ 23 = 1+ 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8 = 1+ 10 − 24 + 24 = 11
1 a 2
3.
−a
2
−
2 2 4. 3m − 5n
− m2 − 10n 2 − 8mn
9. a
2m2 − 15n 2 − 8mn ⇒ 2m2 − 8mn − 15n 2 2
− a b + 5a b
2
9 24 12 45 − 48 − 24 27 − − == =− 2 5 5 10 10 − 18x 2 y 2
+ 15y 4 3
16x y
a − a 4b2 + 5a 3b 3 − 3a 2b4 + b 5 5
= 15 − 14 ⋅ 22 + 5 ⋅13 ⋅ 23 − 3 ⋅12 24 + 25 = 1− 4 + 5 ⋅ 8 − 3 ⋅16 + 32 = 1− 4 + 40 − 48 + 32 = 21
− 16ab + 10mn − 8mx 3 3 2 = − 16 ⋅1⋅ 2 + 10 ⋅ ⋅ − 8 ⋅ ⋅ 4 2 2 5 = − 32 + 6 − 48 = − 74
x 4 + 16x 3y − 18x 2 y 2 + 6xy 3 + 6y 4 = 4 + 16 ⋅ 4 ⋅ 5 − 18 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5 = 256 + 80 ⋅ 64 − 18 ⋅16 ⋅ 25 + 24 ⋅125 + 6 ⋅ 625 = 256 + 5.120 − 7.200 + 3.000 + 3.750 = 4.926 4
3
2
2
3
4
3 11. a
3 2 3 6. a − 7am + m 2 + 5am + 5m3 − 8a 2 m
− 11a 2b + 9ab 2 − b 3 a 3 − 11a 2b + 9ab 2 − b3
a 3 − 2am2 + 6m3 − 8a 2 m ⇒ a 3 − 8a 2 m − 2am2 + 6m3 2
= 13 − 11⋅12 ⋅2 + 9 ⋅1⋅ 22 − 23 = 1− 22 + 36 − 8 = 7
3
3 24 9 27 3 3 = 13 − 8 ⋅ 12 ⋅ − 2 ⋅ 1 + 6 = 1 − − 2⋅ + 6⋅ 2 2 2 2 4 8 9 81 4 − 48 − 18 + 81 19 = 1 − 12 − + = = 2 4 4 4
12. 7.
3 3
10. − ab + 10mn − 8mx − 15ab
+ 6xy − 9y 4
3
− 3a 2b 4 + b 5
5 4 2
3 2 9 48 4 3 2 = 2 − 8 ⋅ ⋅ − 15 = 2 ⋅ − − 3⋅ 2 5 2 5 4 10 5
4 5. x
1
1 2 1 2 1 3 mn + mn + n + m3 6 4 2 4+1 2 3+ 1 2 5 m n+ mn + m3 = m3 + m2 n + mn2 6 4 6 3 2 2 3 5 3 2 3 2 27 5 18 3 4 = + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ 2 6 2 5 2 5 8 6 20 2 25 27 3 12 675 + 150 + 48 873 = + + = = 8 4 50 200 200
1− 2 1 5 1 1 5 a − b+ c=− a− b + c 2 2 3 2 2 3 1 1 5 1 ⇒ − ⋅1− ⋅ 2 + ⋅ 3 = − − 1 + 5 2 2 3 2 −1− 2 + 10 7 1 = = =3 2 2 2
=
3
m2 n + mn 2 − n 3 8. 3 4 2
1 5 b+ c 2 3
2 2 7 1 a + ab − b2 3 8 5 1 1 2 − a 2 − ab + b 6 10 4 −1 2 7 − 8 2 −1 2 1 2 1 1 a + ab − b = a − ab − b 2 6 8 10 2 8 10 1 1 1 2 1 2 4 ⇒ ⋅12 − ⋅1 ⋅ 2 − ⋅2 = − − 2 8 10 2 8 10 1 1 2 10 − 5 − 8 3 = − − = =− 2 4 5 20 20
1 4 x 64 −
2 2 5 3 x − x+ 3 6 8
1 4 2 2 5 3 x − x − x+ 64 3 6 8 1 4 2 2 5 3 = ⋅4 − ⋅4 − ⋅4 + 64 3 6 8 32 20 3 96 − 256 − 80 + 9 = 4− − + = 3 6 8 24 231 77 5 =− =− = −9 8 24 8
+
x3
13.
3 2 x y− 16
3 3 x 4
−
2 2 xy 5 3 2 1 3 + xy + y 5 25
14.
4−3 3 3 2 2−3 2 1 3 x + x y− xy + y 4 16 5 25 1 3 2 1 2 1 3 ⇒ x3 + x y+ xy + y 4 16 5 25 1 3 2 1 1 3 = ⋅ 43 + ⋅ 4 ⋅ 5 + ⋅ 4 ⋅ 52 + ⋅5 4 16 5 25 1 15 4 125 = ⋅ 64 + ⋅16 + ⋅ 25 + 4 16 5 25 = 16 + 15 + 20 + 5 = 56
2 x −1 x 5 a + a − ax − 3 + ax − 2 5 6 − ax −1 + 9a x − 3 − a x − 2 2 − 5 x − 1 x 5 − 54 x − 3 a +a − a 5 6 3 49 x − 3 ⇒ ax − ax −1 + a 5 6 3 49 4 − 3 = 14 − ⋅14 − 1 + ⋅1 5 6 3 49 + 30 − 18 + 245 257 =1 − + = = = 8 17 30 5 6 30 30
EJERCICIO 27 + ab + b 2
1.
− 5b 2
− a 2 − ab + 4b 2
a 2 + ab − 4b 2
− ab + 4b 2
a2
2.
a2
7. − m + n − p 2m − 2n + 2p m− n + p
1 − 14
14
− 13
+ y3
− 2a 3 − 5a 2 + 2a − 2
2a 3 + 5a 2 − 2a + 2
− a 3 − 5a 2 + 2a − 3
5 x 3 − 9x 2 − 11x − 7x 4
− 7x y
10.
x 3 − 5x 2 y − 4xy 2 − y 3 x 3 − 12x 2 y − 4xy 2 − y 3
+ 4n3
5.
− 7a
8a − ab + b + 5
+ ab − 5
3
2
12. − 11n4
3
+ 14n2 − 25n + 8 19n3 − 6n2 + 9n − 4
− 7a − 9b + 3c
−a
− 11n4 + 19n3 + 8n2 − 16n + 4
5a a +b−c
− 2a + b − c
a
−a
2a + b − c
+ b3
a3 7a − ab
2
6a
a −b +c
12x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 5
− 7a − 35a b + 8ab + 6 2
8a + 9b − 3c a
6.
5m4 − 4n3
−1
x4
11x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4
35a 2b − 7ab 2 − 11 3
− 4n3
+4
− 6x
3
− 11x 4 − 2x 3 − 9x 2 − 6x + 4
11. 5m4
−1
a3
− 8a + 6
− x 3 + 5x 2 y + 4xy 2 + y 3 2
− 6a 2
− 24 x 2 − 5ax − 3a 2
5a 2 + 6a − 4 2a 3
3 2 3 4. − 3m n + 4mn − n 3 2 3m n − 4mn + 5n3
− 25 x 2
6a 2 + 25x 2
+ 4xy 2 + 5x 2 y
x 2 − 5ax + 3a 2
− 9ax + 7a 2 + 25 x 2
9. 3 3. − x
0
9ax − a 2
8.
a+8 −a+6
m−n+p −m+n−p
− 7n3
n5
+ 4n
11n − 19n3 − 8n2 + 16n − 4 4
n5 + 11n4 − 26n3 − 8n2 + 20n − 4
3
+5
2
2
3
− 6a 3m
13.
+ 5am3
7a − 5a m − 11a m 4
3
2
20. x 4 − 6x 2 y 2 + y 4
−6 − 6m
2
+ 8x y + 31y 2 2
3
2
2
3
− 8a 2m2
a4
− x 4 − 2x 2 y 2 − 32y 4
4
x 4 + 2x 2 y 2 + 32y 4
7a − 11a m − 11a m + 5am − 6m − 6 4
x 4 − 2x 2 y 2 + 32y 4 4
0
4
5 4 21. − 6n + n
+ m4
+ n2 + 7n3 − n2 − 8n − 6
− 7a 4 + 11a 3m + 11a 2m2 − 5am3 + 6m4 + 6
− 6n5 + n4 + 7n3
− 6a 4 + 11a 3m + 3a 2m2 − 5am3 + 7m4 + 6
− 8n − 6
− 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6 − 4x 4 y
14.
− 6x
n
+ 13x 2 y 3 − 9xy 4 + 8x y
5
+ xy
3 2
4
− 2y
− 6x − 4x y + 8x y + 13x y − 8xy − 2y 5
4
3 2
2 3
− 30x 3 y 2
x5
4
+ 40xy 4 + y 5
+ 22a b + 10a 3b2 − 11ab 4 − b5 a 5 + 22a 4b + 7a 3b 2 − 5ab 4 − b 5
− 5a b
− 2a + b
8x + 6y + 4 2
23.
x − 7 xy + 34y
2
2
x 2 − 7 xy + 43y 2 − 16
18. 4a + 8ab − 5b a 2 − 7ab + 6b 2
5a + ab + b a2
+ 2b 2
25.
− y3
19. x 3
− 14x y + 5xy 2
x − 14x 2 y + 5xy 2 − y 3
7a 2 − 11ab + b 2
x − 14x y + 5xy − y 3x 3
3
2
+4
2b 2 − 8
2b 2 − 4
3a − 4b + 5c − 7a + 8b − 11 − a + 2b − 7c
− 5a + 6b − 2c − 11 − a + b + 2c
− 5a + 6b − 2c − 11
− 6a + 7b
5a 3 + 14a 2 − 19a + 8
26.
+ 9a − 1 − a4
3
− 19y 3
2
2b 2 − 8
− 7a 2 + 11ab + b 2 − 8
a5 2
4
2
3
3
m − 3m − 5m + 6m − 1
2
2
− 4a 2 − ab + b 2
5a 2 + ab + b 2
24.
−5
m4
− 3m − 5m + 6m + 4
x 2 − 7 xy + 34y 2
2
− 3m3 − 5m2 + 6m + 4
+ 8m + 4
3
2
9y 2 − 16
2
4m3 − 5m2 − 2m − 7m3
− 7 xy + 40y 2
2
− b5
2 3
a 5 + 17a 4b + 7a 3b 2 + 7a 2b3 − 5ab 4 − 2b 5
8 x + 6y + 6
− 6y
− 5ab 4 − b 5 + 7a b
4
8x + 6y + 4 17. x
− 3a 3b2 + 6ab 4
a 5 + 22a 4b + 7a 3b2
6y − 5
2
3
4
2a
+9
4
5 22. a
b
16. 8x
5
5
7x 5 + 4x 4 y − 38x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 48xy 4 + 3y 5
2a
− 19
n − 6n + 4n + 15n − 8n − 25 6
5
6x 5 + 4x 4 y − 8x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 8xy 4 + 2y 5
15. a + b a−b
+ 3n4 + 8n3
6
a −a 5
4x 3 − 14x 2 y + 5xy 2 − 20y 3
+ 3a 2
−1
+ 5a + 17a − 10a + 6
4
3
2
− a 4 + 3a 3
−5
a − 2a + 8a + 17a − 10a + 1 5
4
3
2
− 11
+ 10m2n2
4 27. m
+ 15n4
2 2
3
m − 11m n − 4m n 4
3
3x y + 21x y + 18x y − y 5 4
− 3mn + 16n
2 2
3
4
3
− x 5 − 3x 4 y − 21x 3 y 2 − 18x 2 y 3
5m + 11m n + 11m n + 11mn − 17n 4
3
2 2
3
+ 4a 3b 2
5 28. a
− 7a b
4
29x 4 y − 47x 3 y 2
+ 8ab 4 − b5
+ 15a b − 25ab + 3b
4
2 3
2 3
x 5 + 32x 4 y − 26x 3 y 2 + 18x 2 y 3 − 2xy 4 + y 5
− m + 11m n + 4m2n2 + 3mn3 − 16n4 4
3 2
x 5 + 3x 4 y + 21x 3 y 2 + 18x 2 y 3
+ 7m2n2 + 8mn3 − n4
6m4
+ y5
5 29. x
− 11m n − 14m n − 3mn + n4 3
4
− 2xy 4 + y 5
x x −1 30. 3a + 6a a x − 7a x − 1 + a x − 2
5
− a 3b2 + 3a 2b3 − 5ab 4
4a x − a x − 1 + a x − 2
a 5 − 7a 4b + 3a 3b2 + 18a 2b 3 − 22ab 4 + 2b 5 8a x + 2 − 7a x + 1 − a x 3a
− 6a b − 21ab
5
2 3
−6
4
− a + 7a b − 3a b − 18a b + 22ab − 2b 5
4
3 2
2 3
4
2a + 7a b − 3a b − 24a b + ab 5
4
3 2
2 3
4
− 4a
5
x
+ 12 a x − 1 + ax −1 − ax − 2
8a x + 2 − 7a x + 1 − 5a x + 13 a x − 1 − a x − 2
− 2b − 6 5
EJERCICIO 28 +5 2x − 6
2 1. x
x−4 −x+6
x 2 + 2x − 1 −2
2
x + 2x − 3
x + 2x − 1 2
2. 3a − 5b + c a − b − 3c
7a + b
4a − 6b − 2c
a
2
4a − 6b − 2c
− 8b − 3c
− 7a + 7b + 3c
7a − 7b − 3c
− 3a + b + c
6x − x + 8
− 3x + 8 x + 5
6x + 2x 2 − 8x + 3
a +1
2
a
−1
a3 a3 + a2
a −2 a4 + a
5. ab + bc + ac
− 7bc + 8ac − 9
ab − 6bc + 9ac − 9
a +a 3
− a4
4ab
+ 9ac
+ x2
4 7. x
−x
2
x
−a
− 5x + 4 x 2
2x − x − 4 x + x + 2
ab − 6bc + 9ac − 9 − 4ab − 9ac − 3ab − 6bc
−3 − 3x + 5
3
4 4
− a4 + a3 + a2 − a
5ab − 3bc + 4ac − ab + 3bc + 5ac
a 3 − 9a 2 x + 17ax 2 − 3x 3
10a 2 x − 14ax 2
+8
3
+2
4
3
− a 3 + 9a 2 x − 17ax 2 + 3x 3
3x 2 − 8x − 5
2
6x 3 − x 2
− 5a 2 x + 11ax 2 − 11x 3 a − 4a 2 x + 6ax 2 + 8x 3
2
a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3
− 3x 2 − x + 1
4.
9x + 4
2
+ 3ax
3
a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3
3 +1 3. x 5x 3 − x 2 + 7 3
− 3x 3
a2 x
6.
−9
3
2
− 7 x 3 + 8x 2 − 3x + 4 x
−3
4
x − 7 x + 8 x − 3x + 1 4
3
2x 4 − x 3 − 4 x 2 + x + 2 − x 4 + 7 x 3 − 8x 2 + 3x − 1 x 4 + 6x 3 − 12x 2 + 4x + 1
2
− n4
4 8. m
17m n − 4m n − 7mn3 3
− m4
2 2
− m4
+ 6m2n2
+6
− 80n4
− m2n2 + mn3 − 4
17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4
− m4 − m2n2 + mn3 + 2
+ a3
9.
a −a 5
+ 8
− a 4 − 4a 3 + a 2 16a 3 − 8a 2 − 7a − 15
a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27
− a 4 + 12a 3 − 7a 2 − 7a − 15
− y2 − 11xy + 9y − 14
19x − 8xy + 9y 2
3x 2 − 11xy + 8y 2 − 14
a −1
20x 2 − 11xy + 8y 2 − 3x 2 + 11xy − 8y 2 + 14
2
+ 14
17 x 2
a 2 − ab + b 2
12.
a −4
3a 2 − 8ab + 7b 2
− 3a + 8
− 5a + 11ab − 17b
a 2 − 2a + 1
− a 2 + 2ab − 9b2
0
− 11a 3 − 4a 2 − 3a + 42
a5
20x 2 − 11xy + 8y 2
−3
a2
− a +1
2
− a 2 + 9ab + 3b 2 − 8ab − 7b
− a 2 + ab − 4b2
2
a 2 − 2ab + 9b 2
− a 2 + ab − 4b 2
− ab + 5b 2
2
−1
4 13. m
− m3 + 8m2 − 6m + 5
− 16
m5
− m − 7m + 1
− 16m + 7m − 3
m4 − m3 + 7m2 − 13m + 5
m5 − 16m4 + 7m2 − 19
2
14. x
m4 + 17m3n + 3m2n2 − 8mn3 − 81n4 − 2
+ a 4 − 12a 3 + 7a 2 + 7a + 15
x 2 − 3xy − y 2
2
11.
−2
a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27
− 5a 2 − 11a + 26
2 10. 3x
+ m2n2 − mn3
m4
+ a − 7
− 6a 2
4
17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4
4
m5 − 16m4
+ 7m2
− 19
− m + m − 7m2 + 13m − 5
2
4
3
m5 − 17m4 + m3
+ 13m − 24
− y5
5
− 2x y + 5x y − 7 x y 4
3 2
− 3y 5
2 3
− 7x y
+ 6 xy
3 2
7x 4 y − x 3 y 2 + 11xy 4 −8
4
− xy
x − 2x y − 2 x y − 7 x y + 6xy − 4y − 8 5
15. − a
4
3 2
2 3
4
+ 7a 4
6
− 3a
4
− 5a
3
− 2a + 8
− 3a 4
+ 5a − 4a + 1 2
5a
− a 6 − 3a 5 + a 4 − 5a 3 + 4a 2 − 14a + 13
− 20a x
5
7x 4 y − x 3 y 2
+ 10xy 4
−1
− x + 9x y + x y + 7 x y + 4xy 4 + 4y 5 + 7 5
4
+ 21a x − 19ax
3 2
2 3
− 7a + 41a − 50a + 8
a + 3a 5 − a 4 + 5a 3 − 4a 2 + 14a − 13 6
a 6 + 8a 5 − 4a 4 − 2a 3 + 44a 2 − 44a
+ 18a 3 x 2
− 4x 5 − 8
− 9a x − 17a x + 11a x 4
− 7ax 4 + x 5 − 80 2 3
5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13
2
4
a − 20a x + 2a x + 21a x − 26ax + x − 71 3 2
+ 7a 2 − 8a + 5 3
+ 9 2 3
+ 9a 3 x 2 4
4
5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13
− 7a 3 x 2 4
5
3 2
+4
− 6a 4 − 11a 3
5 16. a
−1
7 x y − x y + 10xy − 1
5
− 8a + 11a 3 − a 2
5
− x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 6 xy 4 + 4y 5 + 8
4
4
5
3 2
2 3
+ 36
a5 a − 9a x + a x 5
a 5 − 9a 4 x + a 3 x 2 + 11a 2 x 3
4
3 2
+ 11a x − 4 x
− 4 x 5 + 28
− a + 20a 4 x − 2a 3 x 2 − 21a 2 x 3 + 26ax 4 − x 5 + 71 5
11a 4 x − a 3 x 2 − 10a 2 x 3 + 26ax 4 − 5x 5 + 99
2 3
5
+ 28
EJERCICIO 29 7
1 b 1. a + 2 2 3 − a + b 3 4
a 5. 12
3 a 4 1 − a 3
3−2 2+3 a+ b 3 4 1 5 = a+ b 3 4
−
−
5 b 4
9−4 a− 12 5 = a− 12
5 b 4 5 b 4
3 a−6 8
1 3 3 2 a + a 2 5 5 3 3 2 3 a − a − a+6 6 5 8
5 3 3 − a3 + a2 + a − 6 6 5 8
3+5 3 3 − a+6 a 6 8 4 3 = a3 − a + 6 3 8
5 3 − a3 + a2 6 5
3.
a −
+
3b
2 2 a − b 5 3
+6
5−2 9 −2 a+ b+6 5 3 7 3 = a+ b+6 5 3
1 3 4. x − 3
3 a+ 5 1 − a+ 5
1 3 6 −1 2 2 1+ 30 x − x − x+ 3 14 9 5 1 3 5 2 2 31 = x − x − x+ 3 14 9 5 5 3 x 6 1 3 5 2 2 31 − x + x + x− 3 14 9 5 −
5+2 3 5 2 2 31 x + x + x− 6 14 9 5 7 3 5 2 2 =− x + x + x − 6 51 6 14 9 −
7 b +6 3 1 b 6
3 −1 14 + 1 a+ b+6 5 6 2 5 = a+ b+6 5 2
3 2 1 + x 7 5 1 2 2 x − x+6 14 9
3 3 2 2 a + a −6 7 5
7+9 4 3 3 2 2 a − a + a − 12 7 5 4 4 3 3 2 2 = a − a + a − 3 7 5
7 4 3 3 2 2 a − a + a −6 12 7 5
6. − 2.
7 4 3 2 −6 a − a3 + a2 12 7 5 3 4 1 1 − a+ a 4 5 3
4
1 x+ 2 −
2 1 y− z 3 4 1 2 y− z +3 9 5
5 2 y − 9 5 1 5 13 x− y+ z− 3 2 9 20
1 6 −1 5+8 x+ y− z+3 2 9 20 1 5 13 z+3 =− x+ y− 2 9 20
1 13 2 + 15 x z− + 2 20 5 1 13 17 z− = x+ 2 20 5
−
−
7.
3 2 3 a b + ab2 2 4 1 2 5 a b − ab 2 8 6
1 18 − 1 a− 5 3 1 17 a− 5 3
− b3 +
2 3 b 3
12 − 1 2 9 − 10 2 3 − 2 3 a b+ ab − b 8 12 3 11 1 1 ab 2 − b 3 = − a 2b − 8 12 3 −
1 3 a 2
1 3 b 3 11 2 1 1 a b+ ab 2 + b 3 8 12 3 −
1 3 11 2 1 a + a b+ ab 2 2 8 12
8. 1 a − 2 b 2 9 1 b 3
−
3 c 5
1 2−3 3 a− b− c 2 9 5 1 1 3 = a+ b − c 2 9 5
2 1 b + c 3 5 5 1 − b − c 9 10
1 1 3 a+ b − c 2 9 5 1 1 − b− c 9 10
6−5 2 −1 1 6 +1 − b+ c a c 9 10 2 10 1 1 1 7 = b+ = a− c c 9 10 2 10
1 3 1 2 9. 3 a + 8 a 3 − a2 5
1 5 3 1 − a− 4 10
1 2 a 4 1 3 29 2 a − a 3 40
+
1 3 5 − 24 2 3 2 −1 a + a − a+ 3 40 4 10 1 3 19 2 3 1 = a − a − a+ 3 40 4 10
3 2 5 10. x − xy 5 6 3 − xy 2
2 2 y 9 1 − y2 3
2 2 x 9 17 2 x 45
1 4
3 2 10 + 18 2−3 2 1 x − xy + y + 5 12 9 4 3 2 28 1 2 1 xy − y + = x − 5 12 9 4 3 2 7 1 2 1 = x − xy − y + 5 3 9 4
2
11. 7 a
3
1 3 b 5 3 3 1 3 − a 2b + ab 2 + b 4 8 10 −
2 3 3 2 3 2 −1 3 a − a b + ab 2 − b 7 4 8 10 2 3 3 2 3 2 1 3 = a − a b + ab − b 7 4 8 10
12.
2 4 3 m + m3n 7 5 1 4 7 3 m − mn 14 20
− +
2 1 a+ 3 4 1 − 8
1 3 a − 3 1 − a3 + 3
1 3 10 − 29 2 2 2 −1 a + a − a+ 3 40 3 8 1 3 19 2 2 1 = a − a − a+ 3 40 3 8
+
+
−
1 xy 9 22 − xy 9
2 2 y 3 3 2 − y 2
+
1 2 2 mn 3 2 2 2 mn 5 1 2 2 mn 4
−
1 mn3 − 4 + −
+ −
1 8 1 10
8−9 10 − 8 a+ 12 80 1 2 1 1 = = a+ a+ 12 80 12 40
− −
1 2
10 + 17 2 1− 22 4+9 2 1 x + xy − y − 45 9 6 2 27 2 21 13 2 1 x − xy − y − = 45 9 6 2 3 2 7 13 2 1 = x − xy − y − 5 3 6 2
2−5 2 2 +1 2 3 3 2 + 5 a b+ ab − b − 4 8 2 10 3 2 3 2 3 3 7 = − a b + ab − b − 4 8 2 10
2 a 3 3 a 4
−
−
1 2 1 2 1 − a b + ab 2 4 5 5 1 2 3 1 − a 2b + ab − b 3 − 4 8 2 2
19 2 a − 40 19 2 a + 40
3 2 7 13 2 x + xy + y 5 3 6 3 2 7 1 x − xy − y 2 5 3 9
1 2 1 + 4 +
39 − 2 2 2 + 1 y + 18 4 =
37 2 3 y + 4 18
3 2 3 3 a b + ab 2 − b 3 4 8 2 2 3 3 1 3 − a 3 + a 2b − ab 2 + b 7 4 8 10 −
−
7 10
2 3 15 − 1 3 7 − a b − 7 10 10 2 3 14 3 7 2 3 7 3 7 =− a − =− a − b − b − 7 10 10 7 5 10 −
n4 5 4 n 3 2 4 n 3
4 + 1 4 12 − 7 3 20 − 24 + 15 2 2 1 3−5+2 4 m + m n+ m n − mn3 − n 14 20 60 4 3 5 4 5 3 11 2 2 1 0 = m + m n+ m n − mn3 − n4 14 20 60 4 3 5 4 1 3 11 2 2 1 3 = m + m n+ m n − mn 14 4 60 4
5 4 2 − n4 m 14 5 5 4 1 3 11 2 2 1 3 − m − m n− m n + mn 14 4 60 4 −
1 3 11 2 2 1 2 m n− m n + mn3 − n4 4 60 4 5
13.
1 1 x+ y 2 3 3 y − 4
1 z 6 2 z 5
1 m 4 1 − m 2
+
5 +
1 3 n+ 3 8
−
1 4+9 5 − 12 1− 2 1 3 x+ y− z+ m + n+ 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1 3 = x+ y+ z− m + n+ 2 12 30 4 3 8
5 4 a + 6
14.
1 3 a 2 −
−
3 4 a − 8
3 3 a 4 1 3 a 6
+
+
2 2 a − 3 1 2 a 6
1 13 7 1 1 40 − 3 x− y− z+ m − n + 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1 37 =− x− y− z+ m − n + 2 12 30 4 3 8
39 a 40
+
3 8
−
3 a 5 3 a 8
−
1 13 7 1 1 x− y− z+ m − n − 2 12 30 4 3
+
5
−
2 3 3 11
+
11 4 a 24 − a4
20 − 9 4 6 − 9 + 2 3 4 − 1 2 24 + 15 − 39 165 − 22 + 9 a + a − a − a+ 24 12 6 40 33 11 4 1 3 3 2 0 152 11 4 1 3 1 2 152 = = a − a − a − a+ a − a − a + 24 12 6 40 33 24 12 2 33
1 3 1 2 a − a + 12 2 1 3 + − a 12
152 33 3 8
−
. − 99 11− 24 4 1 1216 − a2 + a 24 2 264 . 13 4 1 2 1117 =− a − a + 24 2 264
EJERCICIO 30 1.
x3 − x2
+5
4.
− x + x + 3x − 5 − 6 3
2
3x
−6
5.
− 5x 2 − 4 x + 8
− 8a 2b + 5ab2 − 4b 3
4x 3
Rta. − a − 8a b + 5ab − 3b
−4
Rta. m − 4m2n2 − 3mn3 + 6n4 + 8
− a 3 − 8a 2b + 5ab2 − 3b3 2
−8
3
− 9x + 6
Rta.4x 3 + 5x 2 − 5x − 2
2
1 1 x− y−4 2 3 1 1 − x+ y 2 3
4
6. 4x 3 + 5x 2 − 5x − 2
2
8.
− m4 + 4m2n2 + 3mn3 − 6n4 − 8
− b3
3
3
− 3mn3 + 6n4 4m2n2
− 11
Rta. 5a + 8ab − b3 − 11
2
m4
+ b3
4a 3 + 8ab 2
Rta. x − 4 x − x + 13 3
8x + 9 Rta. 5a − 9b + 6c + 8x + 9 a3
− a3
x− 5
2
2. − 5a + 9b − 6c 5a − 9b + 6c + 8x + 9
3.
3 2 3 7. 5a + 8ab − b − 11
+8
− x 3 + 4 x 2 + x − 13
Rta. − x + x + 3x − 11 3
x 3 − 4x 2
Rta.
1 1 x− y−4 2 3
9.
5x 2 − 7 xy − 8y 2
n3
10.
− 9m + 8m n − 5mn + n
− 5x + 7 xy + 8y + 1 2
3
2
2
11.
Rta. − 5 x + 7xy + 8y + 1
2
2
3
2
2
− a + 5a − 8 − a 3 + 5a − 8 Rta. 0
3
10m − 8m n + 5mn − 2n
2
0 3
3
− 9m + 8m n − 5mn + 2n 3
1 2
2
3
m3 Rta. 10m3 − 8m2n + 5mn2 − 2n3
EJERCICIO 31 6. a + (a − b) + (− a + b)
1. x − ( x − y)
= x− x+ y
= a+ a−b− a+b
=y
= 2a − a = a
(
)
2 2 2. x + − 3x − x + 5
11. x + y + ( x − y + z ) − ( x + y − z)
= x+ y+ x− y+ z− x− y+ z = x − y + 2z
= a − b + 2a − a + b
= − 3x + 5
= 3a − a = 2a
2
2
2
2
3. a + b − (− 2a + 3)
= a + b + 2a − 3
12. a − (b + a ) + (− a + b) − (− a + 2b)
7. a 2 + − b2 + 2a 2 − a 2 − b 2
= x − 3x − x + 5 2
2
2
2
= a − b − a − a + b + a − 2b = − 2b
2
2
(
8. 2a − {− x + a − 1} − {a + x − 3}
= 2a + x − a + 1 − a − x + 3
= 3a + b − 3
) [
(
= 4m + 2m + n
= x + y − x − 2 xy − y − x + y
= 6m + n
= − x − 2 xy + y
2
2
2
5. 2 x + 3 y − (4 x + 3 y)
= 2 x + 3y − 4 x − 3 y = − 2x
2
2
2
2
2
]
[
]{
} (
2 2 2 2 2 14. 8x + − 2 xy + y − − x + xy − 3 y − x − 3xy
= 8x − 2 xy + y + x − xy + 3y − x + 3xy 2
2
2
2
2
= 8x 2 + 4 y 2
2
10. (− 5m + 6) + (− m + 5) − 6
15. − (a + b) + (− a − b) − (− b + a ) + (3a + b)
= − 5m + 6 − m + 5 − 6 = − 6m + 5
= − a − b − a − b + b − a + 3a + b =0
EJERCICIO 32
[
]
2. 3x − x + y − (2 x + y)
= 2a + a − a − b
= 3x − x + y − 2 x − y
1. 2a + a − (a + b)
[
= 2a + a − a − b = 2a − b
]
]
2
= − 3x 2 + 3xy + 2 y 2
2 2 2 2 2 2 9. x + y − x + 2 xy + y + − x + y 2
) [
(
= − x + y + xy − 2 x + 3xy + y − xy 2
= 1+ 3= 4
4. 4m − (− 2m − n)
)
13. − x 2 − y 2 + xy + − 2 x 2 + 3xy − − y 2 + xy
[
[
= 3x − x − y + 2 x + y = 4x
]
]
[
]
3. 2m − (m − n) − (m + n)
[
= 2m − m − n − m − n = 2m − m + n + m + n = 2m + 2n
]
)
[(
) (
) (
2 2 2 2 2 4. 4 x + − x − xy + − 3 y + 2 xy − − 3x + y
[
= 4 x + − x + xy − 3 y + 2 xy + 3x − y 2
2
2
2
2
]
[
[
]
= a − b − a − b + 2a − 3b − b + a − b = 3a − 7b
= 6 x 2 + 3xy − 4 y 2
{[
{(− 2a + b) − (− a + b − c) + a}
(
) (
2 2 2 12. 7m − − m + 3n − 5 − n − − 3 + m
{[
= 7m2 − − m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2
= a − 2a + b + a − b + c + a =a+c
= 7m − {− m 2
] [
] [
]
]
= 7 m2 + 2 n − 5
= 4m − 2m + n − 3 + − 4n − 2m − 1
{[
= − 5n + 2
{[
= 2a + 4a − b − − − 4a + b − a + b − a
(
= 6a − b − { 4a − b + a − b + a}
)]
7. 2 x + − 5x − − 2 y + {− x + y}
[
]
= 2 x + − 5x − ( − 2 y − x + y )
[
= 2 x + − 5x + 2 y + x − y
]
=b
( [
[
(
8. x − − 7 xy + − y + − x + 3xy − 2 y
{
2
{
])
}
14. 3x − 5 y + − 2 x + y − (6 + x) − (− x + y)
= − 2x + y
{
]}
= 6a − b − 4a + b − a + b − a
= 2 x − 5x + 2 y + x − y
2
]}
13. 2a − (− 4a + b) − − − 4a + (b − a ) − (− b + a )
= 4m − 2m − n + 3 − 4n − 2m − 1
[
2
= 7m2 + m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 − 2n − 3
6. 4m − 2m + (n − 3) + − 4n − (2m + 1)
[
2
)] }− (2n + 3)
]} − 2n − 3 − 3n + 5 − n − 3 + m } − 2n − 3
= a + {− 2a + b + a − b + c + a}
[
]
11. − (− a + b) + − (a + b) − (− 2a + 3b) + (− b + a − b) = a − b + − a − b + 2a − 3b − b + a − b
= 4 x 2 − x 2 + xy − 3 y 2 + 2 xy + 3x 2 − y 2
5. a +
)]
2
[
2
= x 2 − − 7 xy + − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 = x 2 − {− 7 xy − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 }
( [
]) = 3x − (5 y + [− 2 x + y − 6 − x + x − y] ) = 3x − 5 y + − 2 x + {y − 6 − x} + x − y
)] } ]}
= 3x − (5 y − 2 x + y − 6 − x + x − y) = 3x − 5 y + 2 x − y + 6 + x − x + y = 5x − 5y + 6
= x 2 + 7 xy + y 2 + x 2 − 3xy + 2 y 2
[
= 2 x 2 + 4 xy + 3y 2
[
{
}
9. − (a + b) + − 3a + b − − 2a + b − (a − b) + 2a
[
]
= − a − b + − a + b − {− 2a + b − a + b}
[
= − a − b + − a + b + 2a − b + a − b
]
= − a − b − a + b + 2a − b + a − b = a − 2b
}
]
[
= 6c − − 2a − c + { − a − c − 2a − a − c } + 2c
[
]
]} = − x + y − {4 x + 2 y + [− x − y − x − y ] } [
= − x + y − {4 x + 2 y − x − y − x − y} = − x + y − 4x − 2 y + x + y + x + y
]
= 6c + 2a + c + a + c + 2a + a + c − 2c = 6a + 7c
))} − (n + 6)] = − 3m − n − [ 2m + {− m + (2m − 2n + 5)} − n − 6] = − 3m − n − [2m + {− m + 2m − 2n + 5 } − n − 6] = − 3m − n − [2m − m + 2m − 2n + 5 − n − 6] (
{
]
= 6c − − 2a − c − a − c − 2a − a − c + 2c
)
[ {
(
(
16. − 3m + n − 2m + − m + 2m − 2n − 5
10. (− x + y ) − 4 x + 2 y + − x − y − ( x + y )
= − 3x + y
{
15. 6c − − (2a + c) + − (a + c) − 2a − (a + c) + 2c
= − 3m − n − 2m + m − 2m + 2n − 5 + n + 6 = − 6m + 2n + 1
{[
)] = 2a + {− [5b + 3a − c + 2 − (− a + b − c − 4) ] + a − b} = 2a + {− [5b + 3a − c + 2 + a − b + c + 4] + a − b} (
[ {(
) [ ( ) ( )] = − [ x + {− x − y − [− x + y − z + x − y ] − y}] = − [ x + {− x − y + x − y + z − x + y − y}] = − [x − x − 2 y + z ]
23. − x + − x + y − − x + y − z − − x + y − y
}
17. 2a + − 5b + (3a − c) + 2 − − a + b − (c + 4) − (− a + b)
= 2a + {− 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b}
= − x + x + 2y − z = 2y − z
= 2a − 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b = − a − 5b − 6
[
)] { = − [− 3x + (− x − 2 y + 3)] + {− 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y} (
}
18. − − 3x + − x − (2 y − 3) + − (2 x + y ) + (− x − 3) + 2 − ( x + y)
[
]
= − − 3x − x − 2 y + 3 − 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y = 3x + x + 2 y − 3 − 4 x − 2 y − 1 =−4
[
] {[
][
] [
]}
19. − − (− a ) − + (− a ) + − − b + c − + (− c)
[ ] { [ ]} = − a + a + {b − c + c} = − [a] − − a + b − c − − c
) [ ( ) ] }] = − [ − a + {− a + a − b − a + b − c − [a + b] }] = − [− a + {− a − c − a − b}] = − [− a − a − c − a − b ] = 3a + b + c (
) (
EJERCICIO 33
(
)
2. x − 3xy − y + 6 2
=b
2
= x 2 + (− 3xy − y 2 + 6)
{[
]} { [ ]} = − {− [ − a − b] } − { + [ b + a] } − a − b
20. − − − (a + b) − + − (− b − a) − (a + b)
= − {a + b} − {b + a} − a − b
3. x 3 + 4 x 2 − 3x + 1
= x 3 + ( 4 x 2 − 3x + 1)
4. a 3 − 5a 2b + 3ab 2 − b 3
= − a− b− b− a − a− b
= a 3 + ( − 5a 2b + 3ab 2 − b 3 )
= − 3a − 3b
}] ]} { [ ]} [ { = − {− [− a − b + c] } − {+ [− c + a − b] } + [− {− a − b}]
{[
21. − − − (a + b − c) − + − (c − a + b) + − − a + (− b)
[
]
= − a− b+ c+ c− a+ b+ a+ b = − a + b + 2c
[ {
[ {
24. − − a + − a + a − b − a − b + c − − − a + b
1. a − b + c − d = a + −b+ c− d
= b− c+ c
= − {a + b − c} − {− c + a − b} + a + b
))}+ {− (m + n) + (− 2n + 3)}] = − [ 3m + {− m − (n − m − 4)} + {− m − n − 2n + 3}] = − [3m + {− m − n + m + 4} − m − n − 2n + 3 ] = − [3m − m − n + m + 4 − m − n − 2n + 3]
( (
22. − 3m + − m − n − m + 4
= − 3m + m + n − m − 4 + m + n + 2n − 3 = − 2m + 4n − 7
}]
4 3 2 5. x − x + 2 x − 2 x + 1
= x 4 − x 3 + ( 2 x 2 − 2 x + 1)
6. 2 a + b − c + d = 2a − − b + c − d
(
)
3 2 7. x + x + 3x − 4
= x 3 − (− x 2 − 3x + 4)
8. x 3 − 5 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
= x 3 − (5x 2 y − 3xy 2 + y 3 )
2 2 2 9. a − x − 2 xy − y
= a 2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 )
2 2 2 10. a + b − 2bc − c
= a 2 − (− b 2 + 2bc + c2 )
EJERCICIO 34 1. x + 2 y + ( x − y )
[
6. − 2a + (− 3a + b)
[
2. 4m − 2n + 3 − (− m + n) + (2m − n)
[
[(
2
= x2
[
2
2
[
2
]
(
[
]
2
2
)
]
8. x 3 − − 3x 2 + 4x − 2
)
4. x 3 − 3x 2 + − 4 x + 2 − 3x − 2 x + 3
[
) (
2
= − − 2 x 2 − 3xy + ( y 2 + xy) − (− x 2 + y 2 )
) ] − {3xy − [( x − xy) + y ] }
3. x − 3xy + x − xy + y 2
(
7. 2 x + 3xy − y + xy + − x + y
]
= 4m − 2n − 3 + (− m + n) − (2m − n) 2
]
= − 2a − (− 3a + b)
]
= x − − 2 y − (x − y)
= − − x 3 + − 3x 2 + 4 x − 2
{
]
= x 3 − 3x 2 − − 4 x + 2 + 3x + (2 x + 3)
{
[ ( )] } = 2a − [− 3b + {− 2a + [a + (b − a )] }]
5. 2a + 3b − − 2a + a + b − a
9.
}
[m − (3m + 2m + 3)]+ (− 2m + 3) = − {− [ m − (3m + 2m + 3)] − (− 2m + 3)} 4
2
4
2
EJERCICIO 35 17. ambn ⋅− ab = − am + 1bn + 1 1. 2 ⋅ − 3 = − 6
18. − 5ambn ⋅− 6a 2b3 x = 30am + 2bn + 3 x
2. − 4 ⋅− 8 = 32
19. xmync ⋅ − xmync x = − xm + myn + nc1+ x = − x 2my 2nc1+ x
3. − 15 ⋅16 = − 240 4. ab ⋅− ab = − a1+ 1b1+ 1 = − a 2b2 5. 2x 2 ⋅− 3x = − 6x 2 + 1 = − 6x3 6. − 4a 2b ⋅ − ab 2 = 4a 2 + 1b1+ 2 = 4a 3b3
20. − mxna ⋅− 6m2n = 6mx + 2na + 1
EJERCICIO 36
7. − 5x3 y ⋅ xy 2 = − 5x3 + 1y1+ 2 = − 5x 4 y 3
1. am ⋅ am + 1 = am + m + 1 = a 2m + 1
8. a 2b 3 ⋅ 3a 2 x = 3a 2 + 2b 3 x = 3a 4b3 x
2. − xa ⋅ − x a + 2 = x a + a + 2 = x 2a + 2
9. − 4m2 ⋅− 5mn2p = 20m2 + 1n2p = 20m3n2p
3. 4anb x ⋅− ab x + 1 = − 4an + 1b x + x + 1 = − 4an + 1b 2 x + 1
10. 5a y ⋅− 6x = − 30a x y
4. − a n + 1b n + 2 ⋅ a n + 2b n = − a n + 1+ n + 2 bn + 2 + n = − a 2n + 3b 2n + 2
11. − x2 y3 ⋅− 4y3 z4 = 4x2 y 3 + 3 z4 = 4x2 y 6 z4
5. − 3an + 4bn + 1 ⋅ − 4an + 2bn + 3 = 12a 2n + 6b2n + 4
12. abc ⋅ cd = abc1+ 1d = abc 2d
6. 3x 2 y 3 ⋅ 4x m + 1y m + 2 = 12x 2 + m + 1y 3 + m + 2 = 12xm + 3 y m + 5
13. − 15x 4 y3 ⋅− 16a 2 x 3 = 240a 2 x4 + 3 y 3 = 240a 2 x7 y 3
7. 4x a + 2b a + 4 ⋅ − 5xa + 5ba + 1 = − 20x 2a + 7b 2a + 5
14. 3a 2b3 ⋅− 4x 2 y = − 12a 2b3 x 2 y
8. ambnc ⋅ − amb 2n = − am + mbn + 2nc = − a 2mb3nc
15. 3a 2bx ⋅ 7b3 x 5 = 21a 2b1+ 3 x1+ 5 = 21a 2b 4 x 6
9. − xm + 1y a + 2 ⋅− 4xm − 3 y a − 5 c 2 = 4x2m − 2 y 2a − 3c 2
16. − 8m2n3 ⋅ − 9a 2mx 4 = 72a 2m2 + 1n3 x 4 = 72a 2m3n3 x 4
10. − 5manb − 1c ⋅− 7m2a − 3nb − 4 = 35m3a − 3n2b − 5c
2
2
2 2
EJERCICIO 37 1.
8. −
3 2 7 2 3 m n ⋅− am 7 14 3 7 2 5 21 2 5 3 2 5 a m n= a m n= amn = − ⋅− 7 14 98 14
9.
2 2 3 3 2 4 6 2 6 4 2 x y ⋅− a x y = − a x y = − a2x 6y 4 3 5 15 5
10. −
2. −
3.
4. −
6. −
5 m n 3 a b ⋅− ab 2c 6 10 1 1 1 = − ⋅ am + 1 bn + 2 c = − am + 1bn + 2 c 2 2 4 2 x m +1 3 x −1 m a b ⋅− a b 9 5 2 1 2 x − 1 2m + 1 2 2 x − 1 2m + 1 b a b = ⋅ a = 3 5 15
1 3 4 4 3 2 4 3 5 5 1 3 5 5 m n ⋅− a m n = amn = amn 8 5 40 10
7 2 3 14 4 1 a bc = − a 4bc 5. − abc ⋅ a = − 8 7 56 4
7.
3 m 2 3 1 3 m+1 3 a ⋅ − ab3 = ⋅ am + 1b 3 = a b 4 5 2 5 10
1 2 4 3 1 4 4 5 2 a ⋅ a b = ⋅ a 5b = a b = a 5b 2 5 2 5 10 5
3 3 4 5 3 1 x y ⋅ − a 2by 5 = a 2bx 3y 9 = a 2bx 3 y 9 5 6 6 2
11.
2 x +1 x − 3 2 44 x − 3 2 a b c ⋅− a b 11 7 8 4 = 2 ⋅ a 2 x − 2b x − 1c 2 = a 2 x − 2b x − 1c 2 7 7
12. −
1 3 3 m+1 1 m+1 a ⋅ am = a = a 3 5 15 5
EJERCICIO 38
3 m n 4 12 3m 2n 3 3m 2n a b ⋅ − a 2mbn = − a b =− a b 8 5 40 10
3 3 1 x a m ⋅− 5a 2m ⋅− am 5 10 15 2 + x 3 +1+ a 3 x+2 a+4 a m a m =− =− 50 10
8. −
1. a ⋅− 3a ⋅ a 2 = − 3a1+ 1+ 2 = − 3a 4 2. 3x 2 ⋅− x 3 y ⋅ − a 2 x = 3a 2 x 2 + 3 +1y = 3a 2 x 6 y 3. − m2n ⋅− 3m2 ⋅− 5mn3 = − 15m2 + 2 + 1n1+ 3 = − 15m5n4
9. 2a ⋅− a 2 ⋅ − 3a 3 ⋅ 4a = 24a1+ 2 + 3 + 1 = 24a7
4. 4a 2 ⋅− 5a 3 x 2 ⋅− ay 2 = 20a 2 + 3 +1x 2 y 2 = 20a 6 x 2 y2
10. − 3b 2 ⋅ − 4a 3b ⋅ ab ⋅− 5a 2 x
5. −am ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2b x = − 6am +1+ 2b1+ x = − 6am + 3b x + 1 6.
7.
1 3 2 2 3 6 2 + 4 3 +1 1 x ⋅− a x ⋅− a 4m = a x m = a 6 x 4m 2 3 5 30 5 2 m 3 2 4 a ⋅ a b ⋅− 3a 4b x + 1 3 4 18 m + 2 + 4 4 + x + 1 3 a b =− = − a m + 6b x + 5 12 2
= − 60a 3 + 1+ 2 b 2 + 1+ 1x = − 60a 6b 4 x
11. a mb x ⋅− a 2 ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2 x = − 6a m + 2 + 1+ 2b x + 1x = − 6am + 5b x + 1x
1 2 3 10 3 3 2 x y ⋅− xy 2 ⋅− x ⋅− x y 2 5 3 4 6 2 + 1+ 3 + 2 1+ 2 + 1 3 8 4 y = x = x y 8 4
12. −
EJERCICIO 39 1.
2. 8x 2 y − 3y 2
3x 3 − x 2 − 2x − 6x + 2x 4
2ax 3
3
16ax 5 y − 6ax 3 y 2
2 3. x − 4x + 3 − 2x
− 2x 3 + 8 x 2 − 6 x
3 2 4. a − 4a + 6a 3ab
3a 4b − 12a 3b + 18a 2b
2 2 5. a − 2ab + b − ab
13.
− 4x 2
− a 3b + 2a 2b 2 − ab 3
− 4 x 5 + 12 x 4 − 20x 3 + 24 x 2
5 3 6. x − 6 x − 8x 2 2 3a x
4 3 2 2 14. a − 6a x + 9a x − 8 3 3bx
3a 2 x 7 − 18a 2 x 5 − 24a 2 x 3
3a 4bx 3 − 18a 3bx 4 + 27a 2bx 5 − 24bx 3
m4 − 3m2n2 + 7n4
7.
n+ 3 − 3a n + 2 − 4a n + 1 − an 15. a − an x 2
− 4m3 x − 4m7 x + 12m5n2 x − 28m3n4 x
− a 2n + 3 x 2 + 3a 2n + 2 x 2 + 4a 2n + 1x 2 + a 2n x 2
3 2 2 8. x − 4x y + 6 xy
16.
ax 3 y ax 6 y − 4ax 5 y 2 + 6ax 4 y 3 a − 5a b − 8ab 3
9.
2
x 3 − 3x 2 + 5x − 6
x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 7x + 5 − 3a 2 x 3 − 3a 2 x 7 + 18a 2 x 6 − 24a 2 x 5 + 21a 2 x 4 − 15a 2 x 3
2
3 2 2 3 17. − 3x + 5x y − 7 xy − 4y 2 2 5a xy
− 4 a 4m 2 − 4a 7m2 + 20a 6bm2 + 32a 5b 2m2
− 15a 2 x 4 y 2 + 25a 2 x 3 y 3 − 35a 2 x 2 y 4 − 20a 2 xy 5
m m −1 + am − 2 10. a − a − 2a
18.
x a + 5 − 3x a + 4 + x a + 3 − 5x a + 1 − 2x 2
− 2a m + 1 + 2a m − 1+ 1 − 2a m − 2 +1
− 2x a + 7 + 6x a + 6 − 2 x a + 5 + 10x a + 3
= − 2a m + 1 + 2a m − 2a m −1
19. a 8 − 3a 6b 2 + a 4b 4 − 3a 2b 6 + b 8
m+1 + 3 xm − x m − 1 11. x 2m 3x
− 5a 3 y 2 − 5a11y 2 + 15a 9b 2 y 2 − 5a 7b 4 y 2 + 15a 5 b 6 y 2 − 5a 3b 8 y 2
3 x 3 m + 1 + 9 x 3m − 3 x 3m − 1
m n m −1 n + 2 m−2 n+4 + a m − 3b n + 6 20. a b + 3a b − a b
m n m − 1 n +1 m−2 n+ 2 12. a b + a b − a b
4a mb 3
3a 2b
4a 2 mb n + 3 + 12a 2 m −1b n + 5 − 4a 2 m − 2b n + 7 + 4a 2 m − 3b n + 9
3a m + 2bn + 1 + 3am + 1bn + 2 − 3a mbn + 3
EJERCICIO 40 1
1. 2
a−
2 b 3
2 2 a 5 2 1+ 2 4 2 − a a b 10 15 1 3 4 2 = a − a b 5 15
2
3
2. a − b 3 4 −
2 3 a b 3
4 6 3 1+ 1 − a3 + 1b + a b 9 12 4 4 1 3 2 =− a b+ a b 9 2
3.
3 1 2 a− b+ c 5 6 5 5 2 − ac 3 15 1+ 1 2 5 10 2 + 1 a c + abc 2 − ac 15 18 15 5 2 = − a 2c 2 + abc 2 − ac 3 18 3 −
2
4. 5
a2 +
1 2 ab − b 2 3 9
3a 2 x 6 2+2 3 6 a x + a2 + 1bx − a 2b 2 x 5 3 9 6 2 = a 4 x + a3bx − a 2b 2 x 5 3
5.
6.
1 2 1 2 1 2 1 2 a − b + x − y 2 3 4 5 5 − a 2m 8
1 2 2 1 x − xy − y 2 3 5 4 3 3 y 2
5 2+ 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 a m+ a b m− a mx + a my 16 24 32 40 5 4 5 2 2 5 2 2 1 2 2 =− a m+ a b m− a mx + a my 16 24 32 8
3 2 3 6 3 x y − xy 3 + 1 − y 2 + 3 6 10 8 1 3 3 = x 2 y 3 − xy 4 − y 5 2 5 8
8. −
3a − 5b + 6c 3 2 3 − a x 10
9.
9 2 + 1 3 15 2 3 18 2 3 a x + a bx − a cx 10 10 10 9 3 3 3 2 3 9 2 3 =− a x + a bx − a cx 10 2 5 −
7.
2 3 1 2 5 1 m + m n − mn2 − n3 3 2 6 9 3 2 3 mn 4 6 3 + 2 3 3 2 + 2 1+ 3 15 1+ 2 2 + 3 3 2 3 + 3 m n + m n − m n − mn 12 8 24 36 1 3 5 1 = m5n3 + m4 n4 − m3n5 − m2n6 2 8 8 12
2 6 1 4 2 3 2 4 1 6 x − x y + x y − y 5 3 5 10 5 − a3x 4 y3 7
2 4 2 2 1 4 x −x y + y 9 3 3 3 4 x y 7 6 4 +3 4 3 2 + 3 2 + 4 3 3 4 + 4 x y − x y + x y 63 7 21 2 7 4 3 5 6 1 3 8 = x y − x y + x y 21 7 7
10 3 6 + 4 3 5 3 4 + 4 2 + 3 15 3 2 + 4 4 + 3 5 3 4 6 + 3 a x y + a x y − a x y + a x y 35 21 35 70 2 5 3 1 3 4 9 = − a 3 x10 y 3 + a 3 x 8 y 5 − a 3 x 6 y 7 + a x y 7 21 7 14
10. −
EJERCICIO 41 1. a + 3 a −1
3. x + 5 x−4
a 2 + 3a − a−3
x + 5x
a 2 + 2a − 3
x + x − 20
2. a − 3 a +1
a 2 − 3a a−3 a − 2a − 3 2
2
− 4x − 20 2
4. m − 6 m−5
5. − x + 3 −x+5
7. 3x − 2 y
2x + y
6x 2 − 4 xy
x 2 − 3x − 5x + 15
+ 3xy − 2 y 2
x 2 − 8x + 15
6x 2 − xy − 2 y 2
6. − a − 2 −a −3
8.
5x − 4y − 3x + 2y
m2 − 6m − 5m + 30
a 2 + 2a + 3a + 6
+ 10xy − 8y 2
m − 11m + 30
a 2 + 5a + 6
− 15x 2 + 22xy − 8y 2
2
− 15x 2 + 12xy
11. − a + b 8a − 4b
9. 5a − 7b a + 3b
13. − 9m + 8n 6m + 4n
− 8a 2 + 8ab
5a 2 − 7ab + 15ab − 21b
− 54m2 + 48mn
+ 4ab − 4b
2
2
− 36mn + 32n2
− 8a 2 + 12ab − 4b2
5a 2 + 8ab − 21b2
− 54m2 + 12mn + 32n2
12. 6m − 5n m−n
10. 7x − 3 2x + 4
14. − 7y − 3 2y − 11
6m2 − 5mn
14x 2 − 6x
− 14y 2 − 6y
+ 28x − 12
− 6mn + 5n
+ 77y + 33
14x + 22x − 12
6m − 11mn + 5n
− 14y + 71y + 33
2
2
2
2
2
EJERCICIO 42 2 2 1. x + xy + y x−y
3 2 5. a + a − a a −1
a 4 + a3 − a2
x 3 + x 2 y + xy 2 − x y − xy − y 2
2
−a −a
3
3
− y3
x3
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
+ am3 − am2 + am − 2a
2 2 10. 3a − 5ab + 2b 4a − 5b
12a 3 − 20a 2b + 8ab 2
− m4n2 − m2n4 − n6
− 15a 2b + 25ab 2 − 10b 3
− n6
12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3
m6
+ a b + 2ab + b 2
11. 5m4 − 3m2n2 + n4 3m − n
2x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 2 x
a 3 + 2a 2b + ab 2 2
+ 7x − 3
y2 + 2 +x 2
+3
− 9x 2 + x + 3
+ 6y 3y 5
+ 3mn4 + 3m n
2 3
− n5
15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5
a 4 + a3 + a2
3y 5 − 6y 3 + 5y 2 3
4
2 12. a + a + 1 a2 − a − 1
3 9. 3y − 6y + 5
4. x 3 − 3x 2 + 1 x+3
− 5m n
2
2x 4 − x 3
− 9m3n2
15m5
+ 3x − 6 x + 9x − 3 3
3
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
− am − 2a
am4
3 2 7. x − 2x + 3x − 1 2x + 3
3. a 2 + 2ab + b 2 a +b
x4
+a
m6 + m4n2 + m2n4
− a 2b + 2ab 2 − b 3
+ 3x − 9x
am4 − am3 + am2 − 2am
4 2 2 4 6. m + m n + n 2 2 m −n
a 3 − 2a 2b + ab 2
3
2
− 2a 2 + a
a4
2. a 2 − 2ab + b 2 a −b
x 4 − 3x 3
3 2 9. m − m + m − 2 am + a
− a3 − a2 − a
− 12y + 10
− a2 − a − 1
+ 5y 2 − 12y + 10 a4
− a 2 − 2a − 1
13. x 3 + 2x 2 − x
19. x 2 − 2xy + y 2
x 2 − 2x + 5
− x 2 + xy + 3y 2
x + 2x − x 5
4
− x 4 + 2x 3 y − x 2 y 2
3
− 2x − 4 x + 2x 4
3
+ x 3 y − 2x 2 y 2 + xy 3
2
+ 5x + 10x − 5 x 3
+ 3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
2
+ 12x 2 − 5x
x5
− x 4 + 3x 3 y
2 20. n − 2n + 1
14. m3 − 3m2n + 2mn2 m − 2mn − 8n 2
n2 − 1
2
n4 − 2n3 + n2
m5 − 3m4n + 2m3n2
− n2 + 2n − 1
− 2m4n + 6m3n 2 − 4m2n 3 − 8m3n 2 + 24m2n 3 − 16mn 4 m − 5m n 5
− 5xy 3 + 3y 4
+ 20m n − 16mn
4
2 3
n4 − 2n3
+ 2n − 1
4
21. a 3 − 3a 2b + 4ab 2
15. x 2 + x + 1
x2 − x − 1
a 2b − 2ab 2 − 10b 3
x4 + x3 + x2
a 5b − 3a 4b 2 + 4a 3b 3 − 2a 4b 2 + 6a 3b 3 − 8a 2b 4
− x3 − x2 − x
− 10a 3b 3 + 30a 2b 4 − 40ab 5
− x2 − x −1
a 5b − 5a 4b 2
− x 2 − 2x − 1
x4
4 2 16. x − 3x + 2
22. 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
x 2 − 2x + 3 x
2x + 3y
− 3x
6
− 2x
+ 2x
4
+ 6x
5
+ 3x x 6 − 2x 5
− 4x
3
− 9x
4
16x 4 − 24 x 3 y + 12x 2 y 2 − 18xy 3
2
2
+6
4 y 4 − 6y 3 + 2y 2 − 8y
+ m3 + m2 − 4m − 1 m6 + m5 − 4m4
+ m2 − 4m − 1
+ 10y 3 − 15y 2 + 5y − 20 4y + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20 4
3 2 3 24. − a + 2ax + 3x
18. a 3 − 5a + 2
2a 2 − 3ax − x 2
a −a+5 2
− 2a 5
− 5a 3 + 2a 2
+ 3a x
2
3
+ 4a 3 x 2 + 6a 2 x 3 +a x
3 2
− 25a + 10 + 7a 2 − 27a + 10
− 6a 2 x 3 − 9ax 4
4
+ 5a − 2a
4
+ 5a
− 27y 4
2y + 5
m6 + m5 − 4m4 − m3
a5 − a4
− 24 x 2 y 2
16x 4
3 2 23. 2y − 3y + y − 4
m3 + 1
−a
+ 24x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
+ 6x 3 − 7 x 2 − 4 x + 6
17. m3 + m2 − 4m − 1
a5
+ 22a 2b 4 − 40ab 5
− 2a + 3a x + 5a x 5
4
3 2
− 2ax 4 − 3x 5 − 11ax 4 − 3x 5
2 30. y − 2y + 1 y 4 − 2y 2 + 2
25. x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
− x 2 − xy − y 2
y 6 − 2y 5 + y 4
− x 6 + 3x 5 y − 2x 4 y 2 − x 2 y 3
− 2y 4 + 4y 3 − 2y 2
− x 5 y + 3x 4 y 2 − 2x 3 y 3 − x 2 y 4
+ 2y 2 − 4y + 2
− x 4 y 2 + 3x 3 y 3 − 2x 2 y 4 − xy 5 − x 6 + 2x 5 y
y 6 − 2y 5 − y 4 + 4y 3
− 3x 2 y 4 − xy 5
4 2 31. m − 3m + 4
26. a 3 − 5a 2 + 2a − 3
a − 2a − 7
3m3 − 2m + 1
a 6 − 5a 5 + 2a 4 − 3a 3
3m7 − 9m5
3
− 2m
− 2a 4 + 10a 3 − 4a 2 + 6a a − 5a
+ 6m3 +m
2
2
− 3m
2
5
4
3
+4
2
3 2 32. a + a − a + 1 3 a + a 2 − 2a − 1
4 3 2 27. m + m − m + 3
m − 2m + 3 2
m6 + m5 − m4
a6 + a 5 − a 4
+ 3m2
− 2m5 − 2m4 + 2m3
+a + a
− 6m
+ 3m4 + 3m3 − 3m2 m6 − m5
− 8m
4
3m − 11m + m + 18m − 3m − 8m + 4 7
+ 31a − 8a + 21
5
+ 12m3
5
− 7a + 35a − 14a + 21 3
6
− 4y + 2
+ 5m3
5
4
+ a3 − a3 + a2
− 2a 4 − 2a 3 + 2a 2 − 2a
+9
− a 3 − a2 + a − 1
− 6m + 9
a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1
33. 8x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3
28. a 4 + a 3b − 3a 2b 2 − ab3 + b 4
3x 2 − 2xy + 4y 2
a 2 − 2ab + b2
24x 5 − 36x 4 y − 18x 3y 2 + 3x 2 y 3
a 6 + a 5b − 3a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − 2a b − 2a b + 6a b + 2a b − 2ab 5
4 2
3 3
2 4
− 16x 4 y + 24x 3 y 2 + 12x 2 y 3 − 2xy 4
5
+ a b + a b − 3a b − ab + b 4 2
3 3
2 4
a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3
5
+ 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4y 5
6
24x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5
− 3ab5 + b6
34. 5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a − 1
29. x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
a 4 − 2a 2 + 2
x 2 + xy − 2y 2 x −x y+ x y 6
5
4 2
− x y
3 3
5a 8 − 4a7 + 2a 6 − 3a 5 − a 4
+ x y
2 4
− 10a 6 + 8a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 2a 2
+ x 5 y − x 4 y 2 + x 3 y 3 − x 2 y 4 + xy 5 − 2x y + 2x y 4 2
x6
3 3
− 2x y + 2xy − 2y 2 4
5
6
− 2x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6
+ 10a 4 − 8a 3 + 4a 2 − 6a − 2 5a 8 − 4a7 − 8a 6 + 5a 5 + 5a 4 − 2a 3 + 6a 2 − 6a − 2
4 3 2 35. x − x + x − x + 1
40. 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
x − 2x + 3x + 6
a 4 − 3a 2 + 4a − 5
x7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3
3a 9 − 6a 7 + 2a 6 − 3a 5 + 2a 4
3
2
− 9a 7
− 2x 6 + 2x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2
+ 12a
+ 3x 5 − 3x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 3x
3a 9 − 15a 7 + 14a 6
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
5
− 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10
+ x 2 − 3x + 6
41. a + b − c a−b+c
3 2 36. 3a + 2a − 5a − 4
a + a − 2a + 1 3
− 24a 4 + 8a 3 − 12a 2 + 8a − 15a
+ 6x 4 − 6x 3 + 6 x 2 − 6x + 6 x 7 − 3x 6 + 6x 5
+ 18a 5 − 6a 4 + 9a 3 − 6a 2 6
2
a 2 + ab − ac
3a 6 + 2a 5 − 5a 4 − 4a 3
− ab
+ 3a 5 + 2a 4 − 5a 3 − 4a 2
− b 2 + bc + ac
− 6a 4 − 4a 3 + 10a 2 + 8a + 3a 3 + 2a 2 − 5a − 4
+ bc − c 2 − b 2 + 2bc − c 2
a2
3a 6 + 5a 5 − 9a 4 − 10a 3 + 8a 2 + 3a − 4
42. x + 2y − z x−y+z
37. 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y
y 4 − 3y 2 − 1
x 2 + 2xy − xz
5y 8 − 3y 7 + 4 y 6 + 2y 5
− xy
− 15y 6 + 9y 5 − 12y 4 − 6y 3
+ xz
− 5y 4 + 3y 3 − 4y 2 − 2y x 2 + xy
5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y
4 3 2 2 4 38. m − 2m n + 3m n − 4n
− m7 + 2m6n − 3m5n2
+ 4m3n4
+ 3m n − 6m n + 9m n 5
2
4
3
+ m4n3 − 2m3n4
+ 2xy
+ 20mn6 + 3m2n5
39. x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6
x − 2x y + 3xy
4
x11 − 3x 9 y 2 − x 7 y 4 + x 5 y 6
− 6yz + 10z 2
− 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2
44. x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z2 x +y+z
x 3 − x 2 y − x 2z + xy 2 − xyz + xz 2 + x2y
− 2x 9 y 2 + 6x 7 y 4 + 2x 5 y 6 − 2x 3 y 8
− xy 2 − xyz +x z 2
+ 3x 7 y 4 − 9x 5 y 6 − 3x 3 y 8 + 3xy10 x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10
− 3y 2 + 5yz + 4 xz
− 4n7
− m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7
3 2
− 2y 2 + 3yz − z2
− 2x 2 + 3xy − 5xz
− 12m2n5
− 5m5n2 + 10m4n3 − 15m3n4
5
+ 2yz − z 2
43. 2x − 3y + 5z − x + y + 2z
− m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 6
− 2y 2 + yz
x3
− xyz − xz − 3xyz
+ y 3 − y 2 z + yz 2 + y 2z − yz 2 + z 3
2
+ y3
+ z3
x x −1 x−2 7. a + 3a − 2a
EJERCICIO 43
ax − ax −1 + a
1. a x + 2 − a x +1 + a x a +1 a
x+ 3
−a
x +2
+a
a 2x + 3a 2 x − 1 − 2a 2x − 2 − a 2 x − 1 − 3a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 + a 2 x − 2 + 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
x +1
+ a x + 2 − a x +1 + a x a
x−2
x+ 3
+a
a 2x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
x a+4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1 8. m
2. − xn + 3 + 2xn + 2 + xn + 1
− ma − 1 + ma − 2 + m
x +x 2
− m2a + 3 + m2a + 2 + 2m2a + 1 − m2a
− x n + 5 + 2x n + 4 + x n + 3
+ m2a + 2 − m2a + 1 − 2m2a + m2a − 1
− x n + 4 + 2x n + 3 + x n + 2
+ m2a + 1 − m2a − 2m2a − 1 + m2a − 2
− x n + 5 + x n + 4 + 3 x n + 3 + xn + 2
−m
a a a a 3. m + 2 + m +1 − m + m − 1
− 2ma + 3 − 2ma + 2 + 2ma + 1 − 2ma + 3m
+ 2m
2a + 2
xa − 1 − xa − 2 − x
ma + 4 + ma + 3 − ma + 2 + ma + 1
ma + 4 − ma + 3
2a + 3
+ 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2
9. x a − 1 + 2x a − 2 − x a − 3 + x a − 4
m2 − 2m + 3
a+ 2
a−3
+ 3m
a +1
− 3m + 3m a
a −1
a−3
x 2a − 2 + 2x 2a − 3 − x 2a − 4 + x 2a − 5 − x 2a − 3 − 2 x 2a − 4 + x 2 a − 5 − x 2 a − 6
+ 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1
− x 2 a − 4 − 2 x 2 a − 5 + x 2 a − 6 − x 2a − 7 x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4 x 2a − 4
n+ 2 n +1 n 4. a + 3a − 2a n +1 n a +a
a
2n + 3
+ 3a
2n + 2
− 2a
n n −1 2 n− 2 3 n−3 4 10. a b − a b + 2a b − a b anb2 − an − 2b4
2n + 1
+ a 2n + 2 + 3a 2n +1 − 2a 2n
a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + 2a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b6
a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n
− a 2n − 2b 5 + a 2n − 3b 6 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b 8 a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + a 2n − 2b5
5. x a + 2 + 2x a +1 − x a
x a + 3 − 2x a + 1
11. a x + b x
x 2 a + 5 + 2x 2 a + 4 − x 2 a + 3 − 2x x
2a + 5
2a + 3
− 4x
2a + 2
+ 2x
2a + 1
+ 2x 2 a + 4 − 3x 2a + 3 − 4 x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1
a m + bm am + x + amb x + a xbm + bm + x a
6. a − 2a x
x −1
+ 3a
a
+ 2a
+ 3a
x +1
− 4a x + 6a x − 1
x
− a + 2a x
a
x+2
x −1
− 2a + 8a x
+ a b + a xbm + bm + x m x
12. a x − 1 − bn − 1 a−b
x +1
− 2a
m+ x
x−2
a 2 + 2a − 1 x+2
a x − abn − 1
− 3a
x −1
− x 2a − 7
x−2
− 3a
x−2
− a x − 1b + bn a − ab x
n −1
− a x − 1b + bn
− 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b8
13. − 5a 2m + 2 + a 2m + 1 + 3a 2m
6a 3m − 1 − 8a 3m − 2 + a 3m − 3 − 30a 5m + 1 + 6a 5m + 18a 5m − 1 + 40a 5m − 8a 5m − 1 − 24a 5m − 2 − 5a 5m − 1 + a 5m − 2
+ 3a 5m − 3
− 30a 5m + 1 + 46a 5m + 5a 5m − 1 − 23a 5m − 2 + 3a 5m − 3
a + 2 x −1 a +1 x a x +1 14. x y − 4x y + 3x y
− 2x 2a − 1y x − 2 − 4x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3 y x − 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 8x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2 x − 1 − 12x 3a − 2 y 2x − 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1 − 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 4x 3a y 2 x − 2
+ 28x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2x + 1
EJERCICIO 44 3. 1.
1 1 a− b 2 3 1 1 a+ b 3 2
2 3 x − 6
2 2 x y 9 3 2 − x y 4
1 2 1 a − ab 6 9 1 1 + ab − b2 4 6
2 y 5 1 5 x+ y 3 6 1 2 x − 3 +
4.
2 xy 15 5 10 2 xy − y 6 30
1 2 4 − 25 10 2 x − xy − y 3 30 30 1 21 1 = x2 + xy − y 2 3 30 3 1 7 1 = x2 + xy − y 2 3 10 3
2 xy 2 12 3 2 3 + xy − y 3 6 8
+
2 3 8 + 27 2 2+6 2 3 3 x − x y+ xy − y 6 36 12 8 1 3 35 2 8 3 3 2 = x − x y+ xy − y 3 36 12 8 1 3 35 2 2 2 3 3 = x − x y + xy − y 3 36 3 8
1 2 4−9 1 a − ab − b 2 6 36 6 1 5 1 = a2 + ab − b2 6 36 6
2. x −
1 2 1 1 x − xy + y 2 2 3 4 2 3 x− y 3 2
1 2 2 a − ab + b2 4 3 1 3 a− b 4 2 1 3 a − 16
1 2 2 ab + ab2 4 12 3 2 3 2 − ab + ab 8 2
−
6 3 b 6
1 3 2+3 2 2 + 18 2 a − a b+ ab − b3 16 8 12 1 3 5 2 20 2 = a − a b+ ab − b3 16 8 12 1 3 5 2 5 = a − a b + ab 2 − b 16 8 3
5.
2 2 1 1 m + mn − n2 5 3 2 3 2 m − mn + 2n2 2 6 4 3 3 m + m n 10 6 2 − m3n 5
6.
3 2 2 m n 4 1 − m2n2 3 4 + m2n2 5
6 5 2 4 4 3 x + x − x 8 4 5 3 3 − x 24
−
1 mn 3 2 2 + mn 3 3
+
−
1
3
2 2 7. − 2 x + 3 ax + 2 a
8.
3 2 2 x − ax + a 2 2 3 −
3 4 3 3 x + ax 4 6 1 + ax 3 2
+ − −
9 2 2 a x 4 1 2 2 a x 3 2 2 2 a x 6
3 − a3x 2 2 + a3x 9
6 4 a 6
3 4 3 + 3 3 27 − 4 − 4 2 2 27 − 4 3 6 x + ax + a x − a x + a4 4 6 12 18 6 3 6 19 2 2 23 3 6 = − x 4 + ax 3 + a x − a x + a4 4 6 12 18 6 3 4 19 2 2 23 3 3 4 = − x + ax + a x − a x+a 4 12 18
−
9.
2 x 15 2 + x 4
+
2 3 1 x − x2y + 7 5 1 2 2 x − xy + 4 3
− + −
3 3 x 8 1 3 x 30 1 3 x 20
+ − −
3 2 x 4 1 2 x 40 1 2 x 15
4 5
1 2 xy 2 5 2 y 6 1 3 2 x y 8 2 3 2 + x y 15 10 3 2 + x y 42
+
2 2 3 x y 6 5 2 3 − x y 30 −
+
5 xy 4 12
2 5 21+ 80 4 105 + 112 + 200 3 2 10 + 5 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 28 420 840 30 12 2 5 101 4 417 3 2 15 2 3 5 = x − x y+ x y − x y + xy 4 28 420 840 30 12 1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 = 12 14 420 280 2
1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 4 3 4 2 3 2 1 1 x + x− 2 10 5 3 5 3 4 x + x 8 6 1 4 + x 40
−
6 5 2 4 96 + 15 3 2 − 18 2 8 + 30 4 x + x − x − x + x− 8 4 120 24 60 5 3 5 1 4 111 3 16 2 38 4 = x + x − x + x + x− 4 2 120 24 60 5 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 = x + x − x + x + x− 4 2 40 3 30 5
2 5 1 4 x − x y 28 20 4 4 − x y 21
+
1 2 x 12 6 2 + x 8
−
2 4 n 2
6 4 15 − 12 3 45 + 20 − 48 2 2 3 + 4 2 m + m n− m n + mn3 − n4 10 30 60 6 2 6 4 3 3 17 2 2 7 = m + m n − m n + mn 3 − n 4 10 30 60 6 3 4 1 3 17 2 2 7 = m + m n − m n + mn3 − n4 5 10 60 6
1
3 2 1 2 x + x− 8 4 5 1 3 2x − x + 2 3
1 x 20 1 1 + x − 20 10
+
3 5 60 + 3 4 45 − 4 + 6 3 90 − 3 − 8 2 1+ 1 1 x + x − x + x + x− 8 120 120 120 20 10 3 63 4 47 3 79 2 2 1 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 = x5 + = x + x − x + x + x− x − x + x + x− 8 120 120 120 20 10 8 40 120 120 10 10
3
1
2
1
3 2 2 3 10. 4 m − 2 m n + 5 mn − 4 n
2 2 2 5 m − mn + n2 3 3 2 6 5 2 4 m − m n + 12 6 6 4 − m n+ 12 +
4 3 2 m n 15 2 3 2 m n 6 15 3 2 m n 8
− − −
2 2 3 m n 12 4 2 3 m n 15 5 2 3 m n 4
2 mn 4 12 10 + mn 4 10
+
−
5 5 n 8
6 5 4+6 4 32 + 40 + 225 3 2 10 + 16 + 75 2 3 20 + 120 5 m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 12 12 120 60 120 8 1 5 10 4 297 3 2 101 2 3 140 5 5 1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 4 mn − n = m − m n + m n − m n + mn 4 − n5 = m − m n+ m n − m n + 2 12 120 60 120 8 2 6 40 60 6 8
EJERCICIO 45 3 2 2 3 3 2 3 4. m − 5m n + 6mn + n por m − 4mn − n 1− 5 + 6 + 1 1 + 0 − 4 −1
3 2 2 1. x − x + x por x − 1 1− 1+ 1 1+ 0 − 1
1− 5 + 6 + 1 − 4 + 20 − 24 − 4 −1 + 5 − 6 −1
1− 1+ 1 − 1+ 1− 1 1− 1+ 0 + 1− 1
1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1
= x5 − x 4 + x 2 − x
= m6 − 5m5n + 2m4n2 + 20m3n3 − 19m2n4 − 10mn5 − n6
4 3 2 3 2 2. x + 3 x − 5x + 8 por x − 2x − 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8 1− 2 + 0 − 7
5. x 4 − 8x 2 + 3 por x 4 + 6x 2 − 5 1+ 0 − 8 + 0 + 3 1+ 0 + 6 + 0 − 5
1+ 3 − 5 + 0 + 8 − 2 − 6 + 10 + 0 − 16 − 7 − 21+ 35 + 0 − 56
1+ 0 − 8 + 0 + 3 + 6 + 0 − 48 + 0 + 18
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56
1+ 0 − 2 + 0 − 50 + 0 + 58 + 0 − 15
= x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56
= x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15
3. a + 3a b − 2a b + 5ab − b 1+ 3 − 2 + 5 − 1 1− 2 + 1 4
3
2 2
3
− 5 + 0 + 40 + 0 − 15
4
por a − 2ab + b 2
2
1+ 0 − 7 + 0 + 9 + 0 + 23 + 0 − 52 + 0 + 42 + 0 − 20
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 = a + a b − 7a b + 12a b − 13a b + 7ab − b 5
4 2
1+ 0 − 4 + 0 + 3 + 0 − 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10 − 4 + 0 + 12 + 0 + 24 + 0 − 40 + 3 + 0 − 9 + 0 − 18 + 0 + 30 − 2 + 0 + 6 + 0 + 12 + 0 − 20
1+ 3 − 2 + 5 − 1 − 2 − 6 + 4 − 10 + 2 +1 + 3 − 2 + 5 −1 6
6. a 6 − 3a 4 − 6a 2 + 10 por a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10
3 3
2 4
5
6
= a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2
7. x 9 − 4x 6 + 3x 3 − 2 por 3x 6 − 8x 3 + 10
12 8 4 16 12 8 4 8. m − 7m + 9m − 15 por m − 5m + 9m − 4m + 3
1− 7 + 9 − 15
1+ 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 − 2 3 + 0 + 0 − 8 + 0 + 0 + 10
1− 5 + 9 − 4 + 3 1− 7 + 9
3 + 0 + 0 − 12 + 0 + 0 + 9 + 0 + 0 − 6 − 8 + 0 + 0 + 32 + 0 + 0 − 24 + 0 + 0 + 16 + 10 + 0 + 0 − 40 + 0 + 0 + 30 + 0 + 0 − 20
− 4 + 28 − 36 + 60 + 3 − 21 + 27 − 45
3 + 0 + 0 − 20 + 0 + 0 + 51+ 0 + 0 − 70 + 0 + 0 + 46 + 0 + 0 − 20 = 3x15 − 20x12 + 51x 9 − 70x 6 + 46x 3 − 20
− 15
− 5 + 35 − 45 + 75 + 9 − 63 + 81 − 135
1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 = m28 − 12m24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m4 − 45
9. x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5 por 2x 2 + 4y 2
5 2 4 2 10. 6a − 4a + 6a − 2 por a − 2a + a − 7
6+0+0−4+6−2 1+ 0 − 2 + 1− 7
1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1 2+0+4
6+0+ 0 −4+ 6 −2 − 12 + 0 + 0 + 8 − 12 + 4
2 − 6 − 12 − 8 + 0 − 2 + 4 − 12 − 24 − 16 + 0 − 4
+ 6+ 0 +0−4 +6 − 2 − 42 + 0 + 0 + 28 − 42 + 14
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4
6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14
= 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20 x 4 y 3 − 24 x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4y 7
= 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14
12. 3x 4 − 4x 3 y − y 4 por x 3 − 5xy 2 + 3y 3 3 − 4 + 0 + 0 −1
11. n − 3n + 5n − 8n + 4 por n − 3n + 4 6
4
3
4
2
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4
1+ 0 − 5 + 3
1+ 0 − 3 + 0 + 4
3 − 4 + 0 + 0 −1 − 15 + 20 + 0 + 0 + 5
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 − 3 + 0 + 9 − 15 + 0 + 24 − 12
+ 9 − 12 + 0 + 0 − 3 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3
+ 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 32 + 16
= 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5 xy 6 − 3y 7
1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16
= n10 − 6n8 + 5n7 + 13n6 − 23n5 − 8n 4 + 44n3 − 12n2 − 32n + 16
13. x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 por x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6 1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6 1+ 0 − 4 + 0 − 5 + 0 + 1 1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6 − 4 + 0 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 0 − 12 + 0 + 24 − 5 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 15 + 0 + 30 + 1 + 0+ 0 + 0− 5 +0+ 0+0+ 3 +0 −6 1+ 0 − 4 + 0 − 10 + 0 + 21+ 0 + 28 + 0 − 23 + 0 + 9 + 0 + 33 + 0 − 6 x16 − 4 x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 m m−1 m− 3 por a 2 − 5 14. a − 3a + 5a
1− 3 + 0 + 5 1+ 0 − 5
1− 3 + 0 + 5 − 5 + 15 + 0 − 25 1− 3 − 5 + 20 + 0 − 25 = a m + 2 − 3a m + 1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3
x+2 x +1 x −1 por 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x 15. a − 5a − 7a
1− 5 + 0 − 7 7 + 0 + 6 +1
7 − 35 + 0 − 49 + 6 − 30 + 0 − 42 + 1 −5+ 0 −7 7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 = 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2 x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x −1
− 5x a − 6 x a − 2 por 6x a + 1 − 4 x a + 2x a − 1 + x a − 2 1+ 0 − 5 + 0 − 6 6 − 4 + 2 +1
16. x
a+2
2x + 2 − 3a 2 x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 por 6a 3x + 1 − 5a 3x + 3a 3x − 1 1− 3 − 1− 5 6−5+3
17. a
6 + 0 − 30 + 0 − 36 − 4 + 0 + 20 + 0 + 24 + 2 + 0 − 10 + 0 − 12
6 − 18 − 6 − 30 − 5 + 15 + 5 + 25 + 3 − 9 − 3 − 15
+ 1+ 0 − 5 + 0 − 6
6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15
6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6
= 6a 5x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x +1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2
= 6x 2a + 3 − 4 x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4
EJERCICIO 46
(
)(
(
)(
)(
(
)
x2 + 1 x4 + x2
a 3 − 2a 2b + ab2
x +1
4a 2 + 20a
)(
a 2 − 2ab + b 2 a+b
2
4a + 20 a−3
)(
2 2 6. a − b a − 2ab + b a + b
2 2 2 4. x + 1 x − 1 x + 1
)
1. 4 a + 5 a − 3
− 12a − 60
+ x2 + 1
+ a 2b − 2ab2 + b3
4a 2 + 8a − 60
x 4 + 2 x2 + 1
a 3 − a 2b − ab 2 + b 3 a−b
x2 − 1
(
)(
a 4 − a 3b − a 2b 2 + ab 3
x 6 + 2 x 4 + x2
)
2. 3a x + 1 x − 1 2
− a 3b + a 2b 2 + ab3 − b 4
− x4 − 2 x 2 − 1
3a 2 x + 3a 2
a 4 − 2a 3b
x6 + x4 − x2 − 1
x−1
+ 2ab3 − b 4
3a 2 x 2 + 3a 2 x − 3a 2 x − 3a 2
(
)(
)(
5. m m − 4 m − 6 3m + 2
− 3a 2
3a 2 x 2
)
m − 4m 2
(
)(
)(
3. 2 a − 3 a − 1 a + 4
)
m 3 − 4 m2 − 6m2 + 24m
a −1 2a 2 − 6a − 2a + 6 2a 2 − 8a + 6 a+4 2a 3 − 8a 2 + 6a + 8a − 32a + 24 2
2a
3
m − 10m + 24m 3
− 26a + 24
(
2
3m + 2 3m4 − 30m3 + 72m2 + 2m3 − 20m2 + 48m 3m4 − 28m3 + 52m2 + 48m
)(
)(
)
7. 3x x 2 − 2 x + 1 x − 1 x + 1
3x − 6 x + 3x x−1 3
m− 6
2a − 6
)
2
3x 4 − 6 x 3 + 3x 2 − 3 x 3 + 6 x 2 − 3x 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x x+1 3x 5 − 9 x 4 + 9 x 3 − 3x 2 + 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x 3x 5 − 6 x 4
+ 6 x 2 − 3x
(
)(
)(
2 2 8. x − x + 1 x + x − 1 x − 2
11. (x − 3)(x + 4)( x − 5)( x + 1)
)
x2 − x + 1
x−3 x+ 4
x−5 x+1
x2 + x − 1
x 2 − 3x
x 2 − 5x
x4 − x3 + x2 + x3 − x2 + x
x
+ x −5 x2 − 4 x − 5
x2 − 4x − 5
− x2 + x − 1
x 4 + x 3 − 12 x 2
− x2 + 2x − 1
x4 x− 2
+ 4 x − 12 x 2 + x − 12
− 4 x 3 − 4 x 2 + 48x − 5x 2 − 5x + 60
− x + 2x − x
5
3
− 2x
x 4 − 3x 3 − 21x 2 + 43x + 60
2
+ 2x − 4x + 2
4
2
2 2 2 12. (x − 3)( x + 2 x + 1)( x − 1)(x + 3) 2 x + 2x + 1 x2 − 3
x − 2 x − x + 4 x 2 − 5x + 2 5
4
3
x2 + 3
x−1
x + 2x + x 4
m m −1 m −1 9. (a − 3)(a + 2)(a − 1) m a −3
2
x
+ 3x 2 + 6 x + 3
+a
− 3a
m −1
x 7 + 2 x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 3x 3 −6
2a + a m
2 m −1
− 3a
m −1
− x 6 − 2 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 − 3x 2
−6
− 3x 5 − 6 x 4 − 12 x 3 − 18 x 2 − 9 x
a m −1 − 1 2a
− a a
+ 3x 4 + 6 x 3 + 12 x 2 + 18 x + 9 +a
3m − 2
− 3a
2m−2
2 m −1
2 m −1
− 6a
m −1
+ 3a +a
3m − 2
− 3a
2m−2
− 3a
x +x −x 7
m −1
m −1
− 2a + 6
6
− x 4 − 9 x 3 − 9 x2 + 9 x + 9
5
m
− 2a m + 6
⇒ a 3m − 2 + a 2 m −1 − 3a 2 m − 2 − 2a m − 3a m −1 + 6
2 13. 9a (3a − 2)(2a + 1)(a − 1)(2a − 1) 27a 3 − 18a 2 2a − 1 2a + 1 a−1
54a 4 − 36a 3
(
)(
)(
)
10. a a − 1 a − 2 a − 3
a2 − a
2a 2 − a
+ 27a − 18a 3
54a − 9a − 18a 4
3
2
− 2a + 1
2
2a − 3a + 1 2
2a 2 − 3a + 1
a−2
108a 6 − 18a 5 − 36a 4
a3 − a2
− 162a 5 + 27a 4 + 54a 3
− 2a + 2a
+ 54a 4 − 9a 3 − 18a 2
a − 3a + 2a
108a − 180a + 45a 4 − 45a 3 − 18a 2
2
3
+3
x 3 − x 2 − 3x + 3
x 3 − x 2 − 3x + 3 2 m −1
m
2 m −1
− 3x
3
− x2
x 4 + 2 x3 + 4 x2 + 6x + 3
a m −1 + 2 2a
3
2
a−3 a 4 − 3a 3 + 2a 2 − 3a 3 + 9a 2 − 6a a 4 − 6a 3 + 11a 2 − 6a
6
5
(
x x +1 x +2 14. a a + b
a a
2 x +1
+a b x
)(a
x +1
− b x + 2 )b x
x+2
b − b2 x + 2
x +1 x
a 3 x + 2b x + a 2 x + 1b 2 x + 2 − a 2 x + 1b2 x + 2 − a xb 3x + 4 a 3 x + 2b x
− a xb 3 x + 4
EJERCICIO 47
(
1. 4 ( x + 3) + 5( x + 2 )
) (
)
2
= 3( x 2 + xy + xy + y 2 ) − 4( x 2 − xy − xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
) (
= 3( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 − 2 xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
)
2 2 2 2. 6 x + 4 − 3 x + 1 + 5 x + 2
= 3x 2 + 6 xy + 3 y 2 − 4 x 2 + 8 xy − 4 y 2 + 3x 2 − 3 y 2
= 6x + 24 − 3x − 3 + 5x + 10 2
(
2
= 3( x + y )( x + y ) − 4 ( x − y )( x − y ) + 3x 2 − 3 y 2
= 4 x + 12 + 5x + 10 = 9 x + 22
(
)
11. 3 x + y − 4 x − y + 3x 2 − 3 y 2
2
2
= 2 x 2 + 14 xy − 4 y 2
= 8x + 31 2
12. (m + n) − (2m + n) + (m − 4n) 2
3. a (a − x ) + 3a( x + 2a ) − a( x − 3a )
= m2 + 2mn + n 2 − (4m2 + 4mn + n 2 ) + m2 − 8mn + 16n 2
= 10a + ax 2
4. x 2 ( y 2 + 1) + y 2 ( x 2 + 1) − 3x 2 y 2
= 2m2 − 6mn + 17n 2 − 4m2 − 4mn − n 2 = − 2m2 − 10mn + 16n 2
= x 2 y 2 + x 2 + x 2 y 2 + y 2 − 3x 2 y 2 = − x2 y2 + x2 + y2
(
2
2
2
2
2
= ax + x 2
)
(
)
(
= − y 3 + 3y 2
(
) ( )( ) = 5x + 10 − ( x + 4 x + x + 4) − 6 x 2
= − x + 10 − x 2 − 4 x − x − 4
2
2
2
2
a−b+ c a−b+ c
a 2 + ab − ac
a 2 − ab + ac
+ ab
+ b 2 − bc − ac
8. (a + 5)(a − 5) − 3(a + 2)(a − 2) + 5(a + 4)
2
a+b− c a+ b− c
= − x 2 − 6x + 6
− ab
− bc + c 2
= a 2 + 5a − 5 − 3 (a 2 − 4) = a 2 + 5a − 5 − 3a 2 + 12
+ b 2 − bc + ac
a + 2ab − 2ac + b − 2bc + c 2
= a 2 − 5a + 5a − 25 − 3(a 2 − 2a + 2a − 4) + 5a + 20
2
2
− bc + c 2
a − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2 2
a+b+ c a+b+ c a 2 + ab + ac
= − 2a 2 + 5a + 7
+ ab
9. (a + b)(4a − 3b) − (5a − 2b)(3a + b) − (a + b)(3a − 6b)
= 4a 2 + ab − 3b 2 − (15a 2 − ab − 2b 2 ) − (3a 2 − 3ab − 6b 2 ) = 4a 2 + ab − 3b 2 − 15a 2 + ab + 2b 2 − 3a 2 + 3ab + 6b 2 = − 14a 2 + 5ab + 5b 2
) ( ) = (a + c)(a + c) − (a − c)(a − c) = a + ac + ac + c − (a − ac − ac + c ) 2
2
2
2
14. (a + b − c) + (a − b + c) − (a + b + c)
7. 5 x + 2 − x + 1 x + 4 − 6 x
2
) + a + 2 x ) − (a − x)(a − x ) − a − 2 x − (a − ax − ax + x )
= − 2 x 2 + x + 5ax − a − a 2 2
10. a + c − a − c
) (
= 3ax − x 2 + x − a − a 2 + ax + ax − x 2
)
= y2 + x2 y3 − x2 y3 − y3 + x2 y2 + y2 − x2 y2 + y2
(
) ( )( + 3ax + 3x − (ax + 2 x
= 4ax + x + 3x − ax − 2 x
2 2 3 3 2 2 2 2 2 6. y + x y − y x + 1 + y x + 1 − y x − 1
2
(
2
= 3m4 + m3 + 3m2 n 2 − 2mn2
(
)
13. x a + x + 3x a + 1 − x + 1 a + 2 x − a − x
5. 4m − 5mn + 3m (m + n ) − 3m(m − n ) = 4m3 − 5mn 2 + 3m4 + 3m2 n 2 − 3m3 + 3mn2 2
2
= (m + n )(m + n ) − (2m + n)(2m + n) + (m − 4n)(m − 4n)
= a 2 − ax + 3ax + 6a 2 − ax + 3a 2
3
2
2
= a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + ac + ac − c 2 = 4ac
2
+ b 2 + bc + ac
+ bc + c 2
a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c 2 2
2
a 2 + 2ab − 2ac + b 2 − 2bc + c 2 a 2 − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2 − a 2 − 2ab − 2ac − b 2 − 2bc − c 2 a 2 − 2ab − 2ac + b 2 − 6bc + c 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 6bc
(
) (
) (
2
)
2
2 2 2 15. x + x − 3 − x − 2 + x + x − x − 3
x + x− 3
x + x−2
x + x− 3
x2 + x − 2
2
2
2
2
x 4 + x 3 − 3x 2
x4 + x3 − 2x2
+ x 3 + x 2 − 3x
(
) (
x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4
x2 − x − 3 x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9
x 4 − x 3 − 3x 2 − x 3 + x 2 + 3x
− x 4 − 2 x 3 + 3x 2 + 4 x − 4
− 3x 2 + 3x + 9
x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9
x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 4 x + 14
[
][
]
2 17. x + (2 x − 3) 3x − ( x + 1) + 4 x − x
+ xy
[ ][ ] = [3x − 3][2 x − 1] + 4 x − x
+ xz
+ yz + z 2
x + 2 xy + 2 xz + y + 2 yz + z
− x2
+ y2
3x + 3xy
+ 3y 2
2
− y2
x2
2
3x 2 + 5xy + 2 xz + 5y 2 + 2 yz + z 2 ⇒ 3x 2 + 5y 2 + z 2 + 5xy + 2 xz + 2 yz
[
[ ][ = [− x + 2][x + 8]
= 3x + 6 − 4 x − 4 3x + 12 − 2 x − 4
2
)][ ( ) ( )] = [m − n − (m + 2mn + n )][2m + 2n − 3m + 3n] = [m − n − m − 2mn − n ][− m + 5n] = [− 2mn − 2n ][− m + 5n] ) (
)(
19. m + n m − n − m + n m + n 2 m + n − 3 m − n 2
2
2
= − x 2 − 6 x + 16 20.
[ [
]
]
][xy − y ] 2
= − 2 x 3 y + 10x 2 y 2 − 10xy 3 + 2 y 4
[ [
]
= − 3x − 2 y + x − 2 y − 2 x − 2 y − 6 x − 3
]
]
= − − 4x − 6y − 3 = 4x + 6y + 3
{
)] } − {− 3x + 5 − [− x + 2 x − x ] } − {− 3x + 5 + x − 2 x + x } − {− 4 x + 5 + x }
[
(
4. 4 x 2 − − 3x + 5 − − x + x 2 − x
]
2. − (a + b) − 3 2a + b (− a + 2)
[
][
2
= − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 + 8 x 2 y 2 − 8xy 3 − 2 xy 3 + 2 y 4
[
= x − 3a + 2 x − 2 = 3 x − 3a − 2
[
2
]
3. − 3x − 2 y + ( x − 2 y) − 2 ( x + y) − 3(2 x + 1)
1. x − 3a + 2 (− x + 1)
[
2
3
EJERCICIO 48
= x − 3a − 2 x + 2
][
2
= − 2 x 2 + 8xy − 2 y 2 xy − y 2
= 2m2 n − 10mn2 + 2mn 2 − 10n 3 = 2m n − 8mn − 10n
2
= x + 2 xy + y − 3x + 6xy − 3 y
2
2
2
[
2
2
[(x + y) − 3(x − y) ][(x + y)(x − y) + x (y − x)]
= x 2 + 2 xy + y 2 − 3 (x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 − y 2 + xy − x 2
2
2
]
]
= − x 2 − 8 x + 2 x + 16
= 5x − 5x + 3
)(
][
18. 3 ( x + 2) − 4 ( x + 1) 3( x + 4) − 2 ( x + 2)
2
[
− xy − y 2
2
= 6 x 2 − 3x − 6 x + 3 + 4 x − x 2
2
+ y 2 + yz
2
= x + 2 x − 3 3x − x − 1 + 4 x − x 2
2
x 2 + xy
x 2 + 2 xy + 2 xz + y 2 + 2 yz + z 2
x2 − x − 3
[(
)
x+ y x− y
x 2 + xy + xz
− 2x2 − 2x + 4
x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9
) (
x+ y+ z x+ y+ z
+ x3 + x2 − 2x
− 3 x 2 − 3x + 9
)(
2
2 2 16. x + y + z − x + y x − y + 3 x + xy + y
]
= − a − b − 3 2a − ab + 2b
= − a − b − 6a + 3ab − 6b = − 7a − 7b + 3ab ⇒ − 7a + 3ab − 7b
= 4x2 = 4x2 = 4x2
= 4x2 + 4x − 5− x2 = 3x 2 + 4 x − 5
2
2
2
]
{
[{(
) }] = m − 3m − 3n + [ − {− (− 2m + n − 2 − 3m + 3n − 3) + m}] = − 2m − 3n + [ − {− (− 5m + 4n − 5) + m}] = − 2m − 3n + [− {5m − 4n + 5 + m}] = − 2m − 3n + [− {6m − 4n + 5}]
10. m − 3(m + n) + − − − 2m + n − 2 − 3[m − n + 1] + m
)) ] } = 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x − 2 (− a + b − 2 − a )] } = 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x + 2a − 2b + 4 + 2a ] } = 2a − {− 3x + 2 [3a + 3x − 2b + 4 ] } = 2a − {− 3x + 6a + 6 x − 4b + 8}
[
(
(
5. 2a − − 3x + 2 − a + 3x − 2 − a + b − 2 + a
[
[
]
= − 2m − 3n + − 6m + 4n − 5
= 2a + 3x − 6a − 6 x + 4b − 8 = − 4a − 3x + 4b − 8 ⇒ − 4a + 4b − 3x − 8
= − 2m − 3n − 6m + 4n − 5 = − 8m + n − 5
]
6. a − ( x + y ) − 3( x − y) + 2 − ( x − 2 y) − 2 (− x − y)
[ ]
= a − x − y − 3x + 3 y + 2 − x + 2 y + 2 x + 2 y
[
]
{ [
] } − {− [− (x + y)] } = − 3x + 6 y + 2 {− 4 [− 2 x − 3x − 3 y ] } − {− [− x − y] } = − 3x + 6 y + 2 {− 4[− 5x − 3 y] } − {x + y}
11. − 3( x − 2 y ) + 2 − 4 − 2 x − 3( x + y)
= a − 4x + 2y + 2 x + 4y = a − 4x + 2 y + 2x + 8y = a − 2 x + 10 y
{
[
= − 3x + 6 y + 2 {20 x + 12 y} − x − y
]}
7. m − (m + n) − 3 − 2m + − 2m + n + 2 (− 1 + n) − (m + n − 1)
{
[
]}
= − 4 x + 5 y + 40 x + 24 y
= m − m − n − 3 − 2m + − 2m + n − 2 + 2n − m − n + 1
{
[
]}
= 36 x + 29 y
= − n − 3 − 2m + − 3m + 2n − 1 = − n − 3 {− 2m − 3m + 2n − 1} = − n − 3 { − 5m + 2n − 1}
{
[
] }
12. 5 − (a + b) − 3 − 2a + 3b − (a + b) + (− a − b) + 2 (− a + b) − a
= − n + 15m − 6n + 3
{
{ {
[ [
] }
= 5 − a − b − 3 − 2a + 3b − a − b − a − b − 2a + 2b − a
= − 7n + 15m + 3 ⇒ 15m − 7n + 3
]} = − 2a + 2b − 3a − 6b − 4 {a − 2b + 2 [− a + b − 1 + 2a − 2b] } = − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2 [a − b − 1] } [
8. − 2 (a − b) − 3(a + 2b) − 4 a − 2b + 2 − a + b − 1 + 2 (a − b)
] } = 5 {− 2 a − b + 18a − 9b} = 5{16a − 10b} = 5 − a − b − 3 − 6a + 3b − a
= 80a − 50b
= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2a − 2b − 2} = − 5a − 4b − 4 {3a − 4b − 2}
{[
] } − 4 {− [− (− a − b)] } = − 3{− [− a + b] } − 4 {− [a + b] }
13. − 3 − + (− a + b)
= − 5a − 4b − 12a + 16b + 8 = − 17a + 12b + 8
[
}] = − 5x − 5y − [2 x − y + 2{− x + y − 3 − x + y + 1}] + 2 x = − 3x − 5y − [2 x − y + 2 {− 2 x + 2 y − 2}]
= − 3{a − b} − 4 {− a − b}
{
9. − 5( x + y) − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − ( x − y − 1) + 2 x
[ = − 3x − 5y − [− 2 x + 3 y − 4]
]
= − 3x − 5y − 2 x − y − 4 x + 4 y − 4 = − 3x − 5y + 2 x − 3 y + 4 = − x − 8y + 4
= − 3a + 3b + 4a + 4b = a + 7b
{
]} [ ]} = − {a + b − 2 a + 2b + 3 {− [2a + b − 3a − 3b + 3] } − 3[− a − 2 + 2a ] } = − {− a + 3b + 3 {a + 2b − 3} − 3a + 6}
{[
14. − a + b − 2 (a − b ) + 3 − 2a + b − 3 (a + b − 1) − 3 − a + 2 (− 1 + a )
= − {− 4a + 3b + 6 + 3a + 6b − 9} = − {− a + 9b − 3} = a − 9b + 3
EJERCICIO 49
8 9 4 4 12. − a b c ÷ 8c = −
1 8 9 4 −4 1 a b c = − a 8b9 8 8
6 4 3 13. 16m n ÷ − 5n = −
16 6 4 − 3 16 mn = − m6n 5 5
1. − 24 ÷ 8 = − 3 2. − 63 ÷ − 7 = 9 3. − 5a 2 ÷ − a = 5a 2 − 1 = 5a 4. 14a 3b 4 ÷ − 2ab 2 = − 7a 3 − 1b4 − 2 = − 7a 2b 2 5. − a 3b 4 c ÷ a 3b 4 = − a 3 − 3b 4 − 4 c = − c 6. − a b ÷ − ab = a 2
2 − 1 1− 1
b
=a
7. 54x y z ÷ − 6xy z = − 9x2 − 1y 2 − 2z3 − 3 = − 9x 2 2 3
2 3
8. − 5m2n ÷ m2n = − 5m2 − 2n1− 1 = − 5 9. − 8a 2 x 3 ÷ − 8a 2 x 3 = a 2 − 2 x 3 − 3 = 1 2 10. − xy ÷ 2y = −
xy 2 − 1 xy =− 2 2
4 5 4 11. 5x y ÷ − 6x y = −
5 4 − 4 5 −1 5 x y = − y4 6 6
EJERCICIO 50 1. am + 3 ÷ am + 2 = a 3. − 3a
m− 2
3 m − 2 − bm − 5 g 3 m−2 − m + 5 3 3 = a = a a 5 5 5
b
÷ − 6a
2m − 2
b
x−4
108 7 6 − 6 8 − 8 27 7 ab c a = 20 5
2 2 −1 6 − 6 2 m n = m 3 3
16. a x ÷ a 2 = a x − 2 17. − 3a xbm ÷ ab 2 = − 3a x − 1bm − 2 3 4 m n 18. 5a b c ÷ − 6a b c = −
x m m n 19. a b ÷ − 4a b = −
5 m − 3 n − 4 1− 1 5 a b c = − a m − 3bn − 4 6 6
1 x−m m−n a b 4 3 5
3 5
a x 3 x 2 3 a−x x−2 3−3 = m a − xnx − 2 20. − 3m n x ÷ − 5m n x = m n x
2. 2x a + 4 ÷ − x a + 2 = − 2x a + 4 − ba + 2 g= − 2x a + 4 − a − 2 = − 2x 2
b g= am + 3 − m − 2 = a
3 2 x−2 n 5. − 4a b ÷ − 5a b =
7. 5a
2 6 6 15. − 2m n ÷ − 3mn =
m+3− m+2
÷ − 5am − 5 =
2m − 1 x − 3
7 6 8 6 8 14. − 108a b c ÷ − 20b c =
4 x − 2 − 3 n −2 4 x − 5 n − 2 a b = a b 5 5
4. x
2n + 3
÷ − 4xn + 4 = −
m + 3 m −1 ÷ − 8x 4 y 2 = 6. − 7x y
7 m + 3 − 4 m − 1− 2 7 m − 1 m − 3 x y = x y 8 8
n −1 n +1 n −1 n +1 8. − 4x y ÷ 5x y = −
5 5 = − a 2m −1− 2m + 2 b x − 3 − x + 4 = − ab 6 6
9. am + nb x + a ÷ amba = am + n − mb x + a − a = anb x
1 2n + 3 − b 1 1 n + 4g = − x 2n + 3 − n − 4 = − xn − 1 x 4 4 4
2 3 m n x 10. − 5ab c ÷ 6a b c = −
4 n − 1− n + 1 n + 1− n − 1 4 x y =− 5 5
5 1− m 2 − n 3 − x a b c 6
EJERCICIO 51 1 1 2 2 2 2 3 2 x ÷ = x = x 1. 2 3 2 4 3 3 3 3 4 2 15 3 a= a − a b ÷ − a b = 5 a 3 − 2b1− 1 = 4 2. 5 5 20 4 5 2 2 5 3 1 3 12 5 xy z ÷ − z = − 3 xy 5 z 3 − 3 = − xy = − 4xy 5 1 3. 3 6 3 6
4.
−
7 7 m n 3 28 m − 1 n − 2 7 m − 1 n − 2 a b ÷ − ab 2 = 8 a m − 1b n − 2 = a b = a b 3 8 4 24 6 4
2 5. − 2 x 4 y 5 ÷ − 2 = 9 x 4 y 5 = 2 x 4 y 5 = 1 x 4 y 5 2 18 9 9 1
3
6. 3m4n5p 6 ÷ − m4np 5 = − 1 m4 − 4n5 − 1p 6 − 5 = − 9n4p 3 3 7 7 2 5 6 5 5 6 8 2 − 1 5 − 5 6 − 6 = 14 a = 7 a 7. − 8 a b c ÷ − 2 ab c = 5 a b c 40 20 2
2 2 x m 3 2 10 x − 1 m − 2 8. a b ÷ − ab = − 3 a x − 1bm − 2 = − a b 3 3 5 9 5
11. − 2a x + 4bm − 3 ÷ − 1 a 4b 3 = 2 a x + 4 − 4bm − 3 − 3 = 4a xbm − 6 3 1 2 3 3 5 3 x 12 3 5 − x 1 3 5− x 3 5− x 8 − c d ÷ d =− c d =− =− c d c d 2 3 9. 8 4 24 2 4 1 3 12. − a x − 3bm + 5 c 2 ÷ a x − 4bm −1 15 5 3 6 m n− 3 1 3 m n 3 1 a b ÷ − b 3 = − 4 a m b n− 3 = − a b = − a mb n − 3 3 10. 4 5 1 12 2 2 = − 15 a x − 3 − x + 4b m+ 5 − m + 1c 2 = − ab 6 c 2 = − ab 6 c 2 3 2 45 9 5
EJERCICIO 52 2 1. a − ab ÷ a =
a 2 − ab a 2 ab = − =a −b a a a
10.
2 3 2 4 2 2. 3x y − 5a x ÷ − 3x
=
3x 2 y 3 − 5a 2 x 4 − 3x 2
=
3x 2 y 3 − 3x 2
−
5a 2 x 4 − 3x 2
= − y3 +
5 2 2 a x 3
3 2 2 3 3. 3a − 5ab − 6a b − 2a
=
4.
3
2
2 3
3a 5ab 6a b 3 5 − − = − a 2 + b 2 + 3ab 3 2 2 − 2a − 2a − 2a
x 3 − 4x 2 + x x 3 4x 2 x = − + = x 2 − 4x + 1 x x x x
8 6 4 5. 4x − 10x − 5x 2x 3 4x 8 10x 6 5x 4 5 = 3− − = 2x 5 − 5x 3 − x 2 2x 2x 3 2x 3 3 2 2 6. 6m − 8m n + 20mn − 2m
=
6m3 8m2n 20mn2 − + = − 3m2 + 4mn − 10n2 − 2m − 2m − 2m
8 8 6 6 2 3 7. 6a b − 3a b − a b 2 3 3a b 6a 8b 8 3a 6b6 a 2b 3 1 = 2 3− − = 2a 6b 5 − a 4b3 − 3 3a b 3a 2b3 3a 2b3 4 3 2 8. x − 5x − 10x + 15x
− 5x
=
5x 3 10x 2 15x 1 x4 − − + = − x 3 + x 2 + 2x − 3 5 − 5x − 5 x − 5x − 5 x
9 2 7 4 5 6 3 8 9. 8m n − 10m n − 20m n + 12m n 2 2m 8m9n2 10m7n4 20m5n6 12m3n8 = − − + 2m2 2m2 2m2 2m2 7 2 5 4 3 6 8 = 4m n − 5m n − 10m n + 6mn
a x + am − 1 a x am − 1 = 2 + 2 = a x − 2 + am − 3 a2 a a
m m+2 + 6am + 4 11. 2a − 3a 3 − 3a
=
2am 3am + 2 6am + 4 2 − + = − am − 3 + am − 1 − 2am + 1 − 3a 3 − 3a 3 − 3a 3 3
12. ambn + am − 1bn + 2 − am − 2bn + 4 a 2b 3 m n m −1 n + 2 a b a b am − 2bn + 4 = 2 3 + − 2 3 ab ab a 2b 3 m−2 n−3 m− 3 n−1 = a b + a b − a m − 4 bn + 1 m+2 − 5 x m + 6 xm + 1 − x m − 1 13. x xm − 2 m+2 x 5x m 6x m + 1 x m − 1 = m−2 − m− 2 + m− 2 − m−2 x x x x = x 4 − 5x 2 + 6x 3 − x ⇒ x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − x x + 4 m−1 − 6a x + 3 b m − 2 + 8a x + 2 b m − 3 14. 4a b − 2a x + 2 b m − 4
=
4a x + 4 b m − 1 6a x + 3 b m − 2 8a x + 2 b m − 3 − + x+2 m−4 x+2 m−4 − 2a b − 2a b − 2a x + 2b m − 4
= − 2a 2b 3 + 3ab 2 − 4b
EJERCICIO 53 1 2 2 x x 3 6 3 1. 2 − 3 = x − = x −1 2 2 4 6 4 x x 3 3 1 3 3 2 1 a a a 3 −5 + 4 3 3 3 − − − 5 5 5 2. 5 5 5 3 15 2 5 =− a + a − a = − a 3 + a2 − a 9 15 12 9 12
1 m 1 m−1 a a 2 2 2 1 3 +4 = am − 1 + am − 2 = a m − 1 + a m − 2 1 6. 1 3 4 3 2 a a 2 2
2 3 3 2 2 3. 1 m 4 mn mn 3 4 − + 8 1 2 1 2 1 2 m m m 4 4 4 4 8 12 2 8 3 = m2 − mn + n = m2 − mn + n2 4 3 8 3 2
4.
7.
2 4 3 1 3 4 1 2 5 x y x y x y xy 6 3 − 5 + 4 − 1 1 1 1 − xy 3 − xy 3 − xy 3 − xy 3 5 5 5 5 10 3 5 2 5 =− x + x y − xy 2 + 5y 3 3 5 4 10 3 5 2 2 = − x + x y − xy + 5y 3 3 4
2 x 2 x +1 1 x −1 a a a 3 4 − − 5 1 x−2 1 x−2 1 x−2 a a a 6 6 6 12 3 6 12 2 12 2 3 = a − a− a ⇒ 4a 3 − a − a 3 4 5 5 2
1 n m +1 2 n +1 m 3 n−1 m+ 2 ax a x a x 8 4 + −3 2 2 2 − a 3x2 − a3x 2 − a 3x2 5 5 5 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 10 n − 2 m − 2 a x − a x a x = + 8 16 6 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 5 n − 2 m − 2 a x − a x = + a x 8 16 3
8. −
2 5 1 3 3 a ab ab 5 2 4 1 2 3 1 5 5. 5 −3 − = a − ab − b 5a 5a 5a 25 15 5
EJERCICIO 54 2 1. a + 2a − 3 − a 2 − 3a
a 2 + 5a + 6
6.
a+3
− a − 2a
a −1
−a −a
+ 8a 2 − 8ab
3a + 6 − 3a − 6
+ a+3
2
11. − 8a 2 + 12ab − 4b 2
a+3
2
− a−3
2 2. a − 2a − 3
a+2
a +1
4ab − 4b
2x + y
− 6 x 2 − 3xy
a−3
3x − 2y
+ 4 xy + 2y
12.
6m2 − 11mn + 5n2 − 6m + 6mn 2
− 4 xy − 2y 2
− 3a − 3 + 3a + 3
8a − 4b 2
− 4ab + 4b 2
6x 2 − xy − 2y 2
7.
−a +b
m−n 6m − 5n
− 5mn + 5n2
2
+ 5mn − 5n2
3 . x + x − 20
x+5
− x 2 − 5x
x−4
2
8. − 15 x 2 + 22 xy − 8y 2 + 15x 2 − 10xy
− 4x − 20 + 4x + 20 4.
m − 11m + 30 2
− m2 + 6m
x 2 − 8x + 15 − x + 3x 2
− 5x + 15 + 5x − 15
5x − 4y
12 xy − 8y
2
− 12xy + 8y 2
m−6 m−5
5a + 8ab − 21b
9.
2
+ 7ab + 21b
−x+5
10.
2 2 13. − 54m + 12mn + 32n − 9m + 8n + 54m2 − 48mn 6m + 4n
− 36mn + 32n2 a + 3b
+ 36mn − 32n2
5a − 7b
− 7ab − 21b
−x+3
2
− 5a 2 − 15ab
− 5m + 30 + 5m − 30 5.
− 3 x + 2y
14. − 14y 2 + 71y + 33
2
+ 14y 2 + 6y
2
14x 2 + 22x − 12 − 14x + 6x 2
28x − 12 − 28x + 12
7x − 3 2x + 4
+ 77y + 33 − 77y − 33
− 7y − 3 2y − 11
15.
− y3 x − y
x3 −x +x y 3
21.
x 2 + xy + y 2
2
− 12y + 5y 2 + 10
3y 5 − 3y − 6 y 5
2
x y
+ 6y 3 + 12y
xy − y 2
3
− xy + y 2
5y 2 + 10
3
− 5y 2 − 10
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 a − b − a 3 + a 2b
a 2 − 2ab + b 2
22.
− am − 2a
am4 − am4 − am3
− 2a 2b + 3ab2
+ am3 + am2
ab 2 − b3
am2 − am
− ab 2 + b3 17.
x
− 9x
2
am + a m3 − m2 + m − 2
− am3
+ 2a 2b − 2ab 2
4
3y 3 − 6 y + 5
− 6y 3 − 12y
− x 2 y + xy 2
16.
y2 + 2
3
− am2 − am
+x+3
x+3
− x 4 − 3x 3
− 2am − 2a + 2am + 2a
x 3 − 3x 2 + 1
− 3x 3 − 9 x 2 + 3x 3 + 9x 2
23. x+3 −x−3
18.
a
+a
4
−a − a 4
−a
− 12a 3 + 15 a 2b + 20a 2b − 25ab 2
a −a +a 3
4a − 5b 3a 2 − 5ab + 2b 2
− 20a 2b + 33ab 2
a +1
3
2
8ab 2 − 10b 3
3
− 8ab 2 + 10b 3
+a +a 3
2
24. 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5
a2 + a
− 15m + 5m n 5
−a −a 2
19.
12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3
− 9m3n2 + 3m2n3
− n6 m 2 − n2
m6 − m 6 + m 4 n2
3m − n 5m4 − 3m2n2 + n4
4
+ 9m3n2 − 3m2n3
m4 + m2n2 + n4
3mn4 − n5
m 4n2
− 3mn4 + n5
− m4n2 + m2n4 m2n4 − n6 − m2n4 + n6 4 3 20. 2x − x
+ 7x − 3
− 2x 4 − 3x 3 − 4x
EJERCICIO 55 2x + 3 x 3 − 2x 2 + 3x − 1
3
− a 2 − 2a − 1
1. a 4
− a4 − a3 − a2
+ 4 x 3 + 6x 2 6x 2 + 7 x − 6x 2 − 9x − 2x − 3 2x + 3
a2 − a − 1
− a − 2a − 2a 3
a2 + a + 1
2
+ a3 + a 2 + a − a2 − a − 1 + a2 + a + 1
+ 12x 2 − 5x
2. x 5 − x + 2x − 5 x 5
4
3
− 5xy 3 + 3y 4
+ x − 2x y + x y 4
3
x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3
− 2x 4 + 4 x 3 − 10x 2
− x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3
− x + 2x − 5x
3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
+ x − 2x + 5 x
− 3x 2 y 2 + 6xy 3 − 3y 4
2
3
2
m5 − 5m4n
+ 20m2n3 − 16mn 4
− m + 2m n + 8m n 5
4
3
m2 − 2mn − 8n 2
9.
m − 3m n + 2mn
2
3
2
2
n4 − 2n3
+ 2n − 1
− n4 + 2n3 − n2
− 3m4n + 8m3n 2 + 20m2n 3
x 2 − 2xy + y 2 − x 2 + xy + 3y 2
2 2
2
3
3.
4 3 8. − x + 3x y
x 3 + 2x 2 − x
2 x − 5 x + 12x 4
x 2 − 2x + 5
3
n2 − 2n + 1 n2 − 1
− n2 + 2n − 1
+ 3m4n − 6m3n 2 − 24m2n 3
+ n2 − 2n + 1
2m3n2 − 4m2n 3 − 16mn 4 − 2m3n 2 + 4m2n 3 + 16mn 4
10. a 5b − 5a 4b 2 4.
− x 2 − 2x − 1
x4
x2 − x −1
− x 4 + x 3 + x2 +x
4 2
a 3 − 3a 2b + 4ab 2
3 3
− 3a b + 10a b + 22a b 4 2
x2 + x + 1
3 3
2 4
+ 3a 4b 2 − 6a 3b 3 − 30a 2b 4
− 2x
3
+ 22a 2b 4 − 40ab 5 a 2b − 2ab 2 − 10b 3
− a b + 2a b + 10a b 5
4a 3b 3 − 8a 2b 4 − 40ab 5
− x 3 + x2 + x
− 4a 3b 3 + 8a 2b 4 + 40ab 5
x − x −1 2
11.
− x2 + x + 1
− 24x 2 y 2
16x 4
− 27y 4 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
− 16x + 24x y − 12x y + 18xy 4
6 5 5. x − 2x
+ 6x 3 − 7 x 2 − 4x + 6
− x6
+ 3x 4
− 2x 2
3
2 2
2 x + 3y
3
x 4 − 3x 2 + 2
24 x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
x 2 − 2x + 3
− 24 x 3 y + 36x 2 y 2 − 18xy 3 + 27y 4
− 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 − 9x 2 − 4 x + 2x 5
− 6x3
+ 4x
3x
4
− 9x
2
− 3x
4
+ 9x
2
12. 4y 4 + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20
+6
− 4y 4 − 10y 3
−6
2y + 5 2y 3 − 3y 2 + y − 4
− 6y 3 − 13y 2 6.
m6 + m5 − 4m4
+ m2 − 4m − 1
− m6 − m5 + 4m4 + m3
+ 6y 3 + 15y 2
m3 + m2 − 4m − 1
2y 2 − 3y
m3 + 1
− 2y 2 − 5y − 20
m3 + m2 − 4m − 1
− 8y − 20 8y + 20
− m3 − m2 + 4m + 1
7.
a5 − a 4 − a + a − 5a 5
4
+ 7a 2 − 27a + 10
a2 − a + 5
3
a 3 − 5a + 2
− 5a + 7a − 27a 3
2
+ 5a 3 − 5a 2 + 25a
5 4 3 2 13. − 2a − 3a x + 5a x
+ 2a
3
2
2
+ 6a 2 x 3 + 9ax 4 2
− 2ax 4 − 3x 5
2
+ 2ax 4 + 3x 5
a x
− 2a 2 + 2a − 10
−a x
3
3
− a 3 + 2ax 2 + 3x 3 2a 2 − 3ax − x 2
3
3a 4 x + a 3 x 2 − 6a 2 x 3 − 11ax 4 − 3a 4 x
2a − 2a + 10 2
− 11ax 4 − 3x 5
− 4a x − 6a x
5
6 5 14. − x + 2x y
− 3x 2 y 4 − xy 5
x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
+ x − 3x y + 2x y + x y 6
5
4 2
− x 2 − xy − y 2
3 3
− x y + 2x y + x y − 3x y 5
4 2
3 3
2 4
6 5 4 3 19. y − 2y − y + 4y
+ x 5 y − 3x 4 y 2 + 2x 3 y 3 + x 2 y 4
−y
− x y + 3x y − 2 x y − xy 4 2
3 3
2 4
5
−a
+ 2y 5
+ 31a 2 − 8a + 21 + 2a + 7a
6
4
4
+ 5a 5
2
− 3m7 + 9m5
+ 4a 2 + 14a − 3a 3
+ 6a + 21
+ 3a 3
− 6a − 21
m6 − m5
+ 5m3
− 6m + 9
− m6 − m5 + m 4
m 4 + m3 − m2 + 3
− 3m2
+ 2m5 + 2m4 − 2m3
− 8m + 8m
m4
− 3m2
+4
− m4
+ 3m2
−4
a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1 − a6 − a5 + a4 − a3
a3 + a2 − a + 1 a 3 + a 2 − 2a − 1
a 5 − a 4 − 4a 3 + 2a 2
+9
− 3m4 − 3m3 + 3m2
−9
4
m4 − 3m2 + 4 3m3 − 2m + 1
− 6m3
+ 6m
3m4 + 3m3 − 3m2
− a + 2a b − a b 5
− 12m3
+ 2m5
21.
m2 − 2m + 3
a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 6
−2
− 2m5 + m4 + 6m3
− 2m5 + m4 + 5m3 − 3m2 − 6m
17.
+2
+ 2y 2
3m7 − 11m5 + m4 + 18m3 − 3m2 − 8m + 4
20.
2a 4 − 3a 3 − 4a 2 − 8a
16.
2
2
− 10a 3 − 35a 2 − 2a 4
+ 4y − 2y
4
− y4
a − 5a + 2a − 3 3
3
y 2 − 2y + 1
2
− 4y 3 y
a 3 − 2a − 7
3
− 5a + 2a + 7a + 31a 5
− 4y + 2 y 4 − 2y 2 + 2 − 2y
4
− 2y 5 + y 4 + 4 y 3 − 2y 2 − 4 y
+ x 4 y 2 − 3x 3 y 3 + 2x 2 y 4 + xy 5 6 5 15. a − 5a
+ 2y
6
− a5 − a4 + a3 − a2 − 2a 4 − 3a 3 + a 2 − a + 2a 4 + 2a 3 − 2a 2 + 2a − 1 − a3 − a2 + a − 1
− 3ab 5 + b 6 a 2 − 2ab + b 2 a + a b − 3a b − ab + b
2
4
3
2
2
3
+ a3 + a2 − a + 1
4
a b − 5a b + 6a b 5
4
2
3 3
− a 5b + 2a 4b 2 − a 3b 3
24 x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 8 x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3
22.
− 3a 4b 2 + 5a 3b 3
− 24x 5 + 36x 4 y + 18x 3 y 2 − 3 x 2 y 3
+ 3a 4 b 2 − 6a 3b 3 + 3a 2b 4 − a 3b 3 + 3a 2b 4 − 3ab 5 5
− a b + 2ab − b 2
18.
4
2
3
4
5
6
− 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 + 24xy 4 − 4 y 5
6
− 2 x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 x 2 + xy − 2y 2
x6
− x − x y + 2x 4 y 2 6
2
32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4 y 5
a b − 2ab + b 4
3
+ 16x 4 y − 24x 3 y 2 − 12x 2 y 3 + 2xy 4
+ a 3b 3 − 2a 2b 4 + ab 5 2
3x 2 − 2xy + 4 y 2
− 16x y + 56x y − 36x y − 26xy 4
x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
5
−x y
+ 2x y
5
3 3
23. 5a 8 − 4a 7 − 8a 6 + 5a 5 + 6a 4 − 2a 3 + 4a 2 − 6a a 4 − 2a 2 + 2
x 5 y + x 4 y 2 − 2x 3 y 3 + x4y2
− 5a 8
− 2x 2 y 4 + 3xy 5
+ x 3 y 3 + x 2 y 4 − 2xy 5 x 2 y 4 + xy 5 − 2y 6 − x2y4
− 10a 4
5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a
− 4a + 2a + 5a − 4a − 2a
− x 4 y 2 − x 3 y 3 + 2x 2 y 4 − x3y3
+ 10a 6 7
− xy 5 + 2y 6
6
+ 4a 7
5
− 8a 5
4
3
+ 8a 3
+ 2a 6 − 3a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 4a 2 − 2a 6
+ 4a 4 − 3a
5
3a 5
− 4a 2 3
− 6a
− 6a 3
+ 6a
+ 6a
7 6 5 24. x − 3x + 6x
+ x 2 − 3x + 6
x 3 − 2x 2 + 3x + 6
− x 7 + 2 x 6 − 3x 5 − 6x 4 − x + 3x − 6 x 6
5
x 4 − x 3 + x2 − x + 1
4
+ x 6 − 2x 5 + 3x 4 + 6x 3
29. 3a 9 − 15a 7 + 14a 6
x − 3x + 6x + x 5
4
3
− x + 2x − 3x − 6 x − 3x 5
4
3
7
7
2
x − 2x 3
− 12a 6
2
3
2
+ 24a 4 − 8a 3 + 12a 2 − 8a − 15a
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
5
+ 15a
25.
4
− 18a 5 + 6a 4 − 9a 3 + 6a 2
− x + 2 x − 3x − 6 3
5
+ 12a 6 − 15a 5 − 24a 4 + 38a 3 − 22a 2 + 23a
+ 3x + 6
2
a 4 − 3a 2 + 4a − 5
5
6
+ 9a 7
+ x − 2x + 3x + 6 x + 6 3
6
− 9a + 12a + 3a − 30a + 47a − 28a
2
− x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 3x 4
− 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
− 3a + 6a − 2a + 3a − 2a 4 9
2
− 30a 3 + 10a 2 − 15a + 10
5
3a + 5a − 9a − 10a + 8a + 3a − 4 3a + 2a − 5a − 4 6
5
4
3
2
3
− 3a 6 − 2a 5 + 5a 4 + 4a 3 4
3
− b2
30. a 2
a 3 + a 2 − 2a + 1
+ 3a − 4a − 6a + 8a 5
2
− a 2 − ab
2
+ ab + b 2
− 6a 4 − a 3 + 12a 2 + 3a 2
− ac − bc + c 2
3a 3 + 2a 2 − 5a − 4 − 3a 3 − 2a 2 + 5a + 4
26.
31. − 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2 2x − 3y + 5z
5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y − 5y + 3y − 4y − 2y 8
7
6
+ 2 x 2 − 3xy + 5 xz
4
+ 15y − 9y + 12y + 6y 5
4
− x + y + 2z
2 xy + 4 xz − 3y 2 − yz
y − 3y − 1
5
2
− 2xy
− 15y 6 + 9y 5 − 17y 4 − 3y 3 6
− bc ac + bc − c 2
+ 6a + 4a − 10a − 8a 3
a+b−c a−b+c
− ab − b 2 + ac + 2bc
− 3a 5 − 2a 4 + 5a 3 + 4a 2 4
+ 2bc − c 2 + ac
3
− 5y 4 + 3y 3 − 4 y 2 − 2y
+ 3y 2 − 5yz 4 xz
− 6yz + 10z 2
− 4 xz
+ 6yz − 10z 2
+ 5y − 3y + 4y + 2y 4
3
2
27. − m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 + m7 − 3m6n + 5m5n 2 − m4n 3
m4 − 2m3n + 3m2n 2 − 4n 4
2m6n − 9m5n 2 + 19m4n 3 − 13m3n 4 − 2m6n + 6m5n2 − 10m4n 3 + 2m3n4 − 3m5n 2 + 9m4n 3 − 11m3n 4 − 9m2n 5 + 3m5n 2 −
9m4n 3 + 15m3n 4 − 3m2n 5 4m3n 4 − 12m2n5 + 20mn 6 − 4n 7 − 4m3n 4 + 12m2n 5 − 20mn 6 + 4n 7
28.
x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x 5 − 2x 3 y 2 + 3xy 4 − x11 + 2x 9 y 2 − 3x 7 y 4 − 3x 9 y 2 + 5x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 + 3x 9 y 2 − 6x 7 y 4 + 9 x 5 y 6 − x 7 y 4 + 3x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + x 7 y 4 − 2 x 5 y 6 + 3x 3 y 8 + x 5 y 6 − 2 x 3 y 8 + 3xy 10 − x 5 y 6 + 2 x 3 y 8 − 3xy 10
x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6 + y3
32. x 3 − x3 + x 2y + x2z
− 3xyz + z 3 − xy 2 + xyz
x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z 2 − xz 2
x+y+z
x 2 y + x 2 z + y 3 − xy 2 − 2 xyz + z 3 − xz 2 − x2 y
− y 3 + xy 2 + xyz
+ y 2 z − yz 2
x z
− xyz + z − xz + y 2 z − yz 2
−x z
+ xyz − z 3 + xz 2 − y 2 z + yz 2
2
2
3
2
+ b5 a + b
33. a 5 −a −a b 5
a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4
4
− a 4b
37. 3
a b
+ y 15
x15
+ a 4b + a 3b 2
−x −x y 15
2
12
−x y 12
− a 3b 2 − a 2b 3 −a b 2
x3 + y 3 x12 − x 9 y 3 + x 6 y 6 − x 3 y 9 + y 12
3
3
x12 y 3 + x 9 y 6
3
x9y6
+ a 2b 3 + ab 4
− x9y 6 − x6y 9
ab 4 + b 5
− x6y 9
− ab 4 − b 5
x 6 y 9 + x 3 y 12 x 3 y12 + y15
34.
21x
− 21y
5
5
− 21x + 21x y 5
− x 3 y 12 − y 15
3x − 3y 7 x + 7 x y + 7 x y + 7 xy + 7 y
4
4
21x 4 y
3
2
2
3
4
38. x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − 1
− 21x 4 y + 21x 3 y 2
− x − 2x y − xy 3
21x 3 y 2
2
x 2 + 2xy + x + y + y 2 + 1
− x − xy − x
2
x + y −1
2
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 − 1− x 2 − xy − x
− 21x 3 y 2 + 21x 2 y 3
− x 2 y − 2xy 2 − y 3
21x 2 y 3
− xy
− y2 − y
− 1− x − 2xy − x − y 2 − y 2
− 21x 2 y 3 + 21xy 4
+ 1+ x 2 + 2xy + x + y 2 + y
21xy 4 − 21y 5 − 21xy 4 + 21y 5
35.
− 16y 8
16x 8 − 16x − 16x y 8
2x 2 + 2y 2 8x 6 − 8 x 4 y 2 + 8x 2 y 4 − 8y 6
6 2
− 16x 6 y 2 + y5
5 39. x
+ 16x 6 y 2 + 16x 4 y 4
− x + x y − x y + x y − xy 5
16x 4 y 4 − 16x y − 16x y 4 4
2 6
− 16x 2 y 6 − 16y 8
4
3
2
2
3
x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 x+y
4
x 4 y − x 3 y 2 + x 2 y 3 − xy 4 + y 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5
+ 16x 2 y 6 + 16y 8
36.
− y 10
x 10 − x10 + x 8 y 2
x2 − y2 x8 + x6y2 + x4y 4 + x2y6 + y8
x8y2
EJERCICIO 56
− x8y2 + x6y4 6
x y
4
− x6y 4 + x 4 y6
1.
x4 y 6 − x 4y 6 + x2y 8 x 2 y 8 − y 10 − x 2 y 8 + y 10
+ ax
ax+3 − ax +3 − ax +2 −a
a +1 a x + 2 − a x +1 + a x
x+2
+ a x + 2 + a x +1 a x +1 + a x − a x +1 − a x
2. − x n + 5 + xn + 4 + 3xn + 3 + x n + 2 +x
n+ 5
+x
x2 + x
n+ 4
+ 2x
n+ 4
− 2x
n+ 4
− x n + 3 + 2x n + 2 + x n + 1 + 3x
n+ 3
− 2x
n+ 3
8. − m2a + 3 + 2m2a + 2 + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2
− ma − 1 + ma − 2 + ma − 3
+ m 2 a + 3 − m2 a + 2 − m 2 a + 1
ma + 4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1
+ m2a + 2 + m2a + 1 − 4m2a
xn + 3 + x n + 2
− m2a + 2
− xn+ 3 − xn+ 2
+ m2a +1 + m2a 2m2a + 1 − 3m2a − m2a − 1 − 2m2a + 1 + 2m2a + 2m2a − 1
3. ma + 4 − ma + 3
+ 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1
− ma + 4 + 2ma + 3 − 3ma + 2 m
− 3m
a+3
a+2
m2 − 2m + 3
+ 6m
+ m 2 a − m2 a − 1 − m2 a − 2
a +1
− ma + 3 + 2ma + 2 − 3ma + 1
9.
− ma + 2 + 3ma + 1 − 5ma
x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4x 2a − 4 + 2x
ma + 1 − 2ma + 3ma − 1
2a − 3
− 3x
+ x 2a − 4 − x 2a − 5 − x 2a − 6 + x 2a − 5 − x 2a − 6 − x 2a − 7
a n + 2 + 3a n + 1 − 2a n
− x 2a − 5 + x 2a − 6 + x 2a − 7
3a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a
2n +1
− 2a
2n 3 2n −1 4 2n − 2 5 10. a b − a b + a b
−a b +a
2n
x a − 1 + 2x 2 a − 2 − x a − 3 + x a − 4
2a − 4
− x 2a − 4 + 2x 2a − 5
a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n a n + 1 + a n
− 3a 2n + 2 − 3a 2n + 1
x a − 1 − x a −2 − x a − 3
− 2 x 2 a − 3 + 2x 2 a − 4 + 2x 2 a − 5
− ma + 1 + 2ma − 3ma − 1
− a 2 n + 3 − a 2n + 2
− x 2a − 7
− x 2a − 2 + x 2a − 3 + x 2a − 4
+ ma + 2 − 2ma + 1 + 3ma
4.
− m 2 a + m2 a − 1 + m 2 a − 2
ma + 2 + ma + 1 − m a + ma − 1
2n
3
2n − 1 4
2a 2n + 1 + 2a 2n
b − 2a −a
2n − 2
2n − 2
− 2a 2n − 4b 7 + a 2n − 5b 8 a nb − a n − 1b 2 + 2a n − 2b 3 − a n − 3b 4
b +a 5
b +a 5
2n − 3
2n − 3
a nb 2 − a n − 2 b 4
b6
b − 2a 6
2n − 4
b +a 7
2n − 5
b
8
+ a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b 6 + 2a 2n − 4b 7 − a 2n − 5b 8
5.
x 2 a + 5 + 2 x 2 a + 4 − 3x 2 a + 3 − 4x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 x a + 3 − 2x a + 1 − x 2a + 5
+ 2x 2 a + 3 + 2x
2a + 4
−x
− 2x 2a + 4
6.
ax+2 −a
x+2
+ 2a
x +1
x a + 2 + 2x a + 1 − x a
2a + 3
11.
+ 4x 2 a + 2 − x 2a + 3
+ 2x 2 a + 1
+ x 2a + 3
− 2x 2 a + 1
a b +b
a x − 2a x − 1 + 3a x − 2
− 3a
a 2 + 2a − 1
− 2a
+ 4a − 6a x
12.
+ a − 2a
7.
x −1
+ 3a
m+ x
a x − a x − 1b + b n − ab n − 1 − a x + a x − 1b
x −1
b − ab
a 2 x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2x − 4 3a 2 x − 1 − 5a 2x − 2 + 5a 2 x − 3 − 3a 2 x − 1 + 3a 2 x − 2 − 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4 + 2a 2 x − 2 − 2a 2 x − 3 + 2a 2 x − 4
n−1
− b n + ab n − 1
x−2
− a 2 x + a 2 x − 1 − a 2x − 2
a−b a x −1 − b n − 1
n
− a x + 2a x − 1 − 3a x − 2 x
m
− a xb m − b m + x
2a x + 1 − 5a x + 8a x − 1 x +1
ax + bx a m + bm
x
− 2a x + 8a x − 1 − 3a x − 2 x
a m + x + a mb x + a x b m + b m + x − a m + x − a mb x
a x − a x −1 + a x − 2 a x + 3a x − 1 − 2a x − 2
13.
3a 5m − 3 − 23a 5m − 2 + 5a 5m − 1 + 46a 5m − 30a 5m + 1 a 3m − 3 − 8a 3m − 2 + 6a 3m − 1 − 3a 5m − 3 + 24a 5m − 2 − 18a 5m − 1 + a
5m − 2
− 13a
5m − 1
3a 2m + a 2m + 1 − 5a 2m + 2 + 46a
5m
− a 5m − 2 + 8a 5m − 1 − 6a 5m − 5a 5m − 1 + 40a 5m − 30a 5m + 1 5a 5m − 1 − 40a 5m + 30a 5m + 1
14. 2x 3a + 1y 2x − 3 − 4x 3a y 2 x − 2 − 2x
3a + 1 2 x − 3
y
3a 2 x − 2
+ 8x y
− 28x 3a − 2 y 2 x + 30x 3a − 3y 2 x + 1 − x a + 2 y x − 1 + 4 x a + 1y x − 3x a y x + 1 − 6x
3a − 1 2 x − 1
− 2x 2a − 1y x − 2 − 4 x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3y x
y
+ 4 x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 28x 3a − 2 y 2 x − 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2x − 1 − 12x 3a − 2 y 2 x 10x 3a − 1y 2x − 1 − 40x 3a − 2 y 2x + 30x 3a − 3 y 2 x + 1 − 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1
EJERCICIO 57 1.
1 2 5 1 a + ab − b 2 6 36 6 1 1 − a 2 − ab 6 4 −
2.
1 1 a+ b 3 2 1 1 a− b 2 3
5.
1 1 ab − b 2 9 6 1 1 ab + b 2 9 6
1 2 7 1 x + xy − y 2 3 10 3 1 2 xy − x2 + 3 15
3 4 1 3 17 2 2 7 m + m n− m n + mn 3 − n 4 5 10 60 6 3 4 2 3 4 2 2 − m + m n− m n 5 5 5 1 3 65 2 2 7 m n− m n + mn3 2 60 6 1 3 1 2 2 2 − m n + m n − mn 3 2 3 3 −
2 y 5 1 5 x+ y 3 6
x−
5 1 xy − y 2 6 3 5 1 − xy + y 2 6 3 1 3 35 2 x − x y+ 3. 3 36 1 3 2 2 − x + x y− 3 9
2 2 3 3 xy − y 3 8 1 2 xy 6
3 2 − x y+ 4 3 2 x y− 4
1 2 3 3 xy − y 2 8 1 2 3 3 xy + y 2 8
6.
3 2 2 m n + 4 3 2 2 m n − 4
1 mn3 − n4 2 1 mn3 + n 4 2
3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 x + x − x + x + x− 4 2 40 3 30 5 3 5 1 3 3 2 x − x − x + 4 8 4
−
4 3 x 5 4 3 x 5
1
2 4 x− 15 5 2 4 x+ − 15 5 +
13
1
a 4 − a 3x − a 2x 2 + ax 3 − x 4 7. 1 3 5 2 5 1 3 4 12 18 3 a − a b + ab 2 − b 3 a− b 16 8 3 4 2 9 4 3 3 2 2 − a + a x− a x 4 2 1 3 3 2 1 2 2 − a + ab a − ab + b 2 1 3 13 2 2 13 3 16 8 4 3
1 − a 2b + 4 1 2 ab− 4
5 2 ab 3 3 2 ab 2
1 2 ab − b 3 6 1 − ab 2 + b3 6
1 x+2 3 3 2 1 2 x + x− 8 4 5
2x 3 −
1 4 4 3 1 2 19 x − x − x + x 2 5 12 30 1 1 2 1 x − x − x4 + 2 12 2
1 2 1 1 x − xy + y 2 2 3 4 2 3 x− y 3 2
9
4.
3 2 m − mn + 2n 2 2 2 2 1 1 m + mn − n2 5 3 2
a x− a x + ax 2 12 18 1 1 2 2 2 3 a x − ax − a3x + 2 3 9 −
3 2 2 1 3 1 4 a x + ax − x 4 2 3 3 2 2 1 3 1 4 a x − ax + x 4 2 3
3 2 2 a − ax + x 2 2 3 3 2 1 1 a + ax − x 2 2 3 2
8.
1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 14 420 280 2 12 1 5 1 4 1 3 2 − x + x y− x y 14 20 8 − +
4 4 x y+ 21 4 4 x y− 21
13 3 2 1 2 3 x y − x y 35 2 2 3 2 1 2 3 x y + x y 15 3
9.
5 3 2 1 2 3 5 x y − x y + xy 4 21 6 12 5 3 2 1 2 3 5 − x y + x y − xy 4 21 6 12
2 3 1 2 1 x − x y + xy 2 7 5 2 1 2 2 5 x − xy + y 2 4 3 6 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 x + x − x + x + x− 8 40 120 120 10 10 3 1 3 3 3 2 − x5 − x4 + x − x 8 2 8 4 1 4 1 3 11 2 1 x − x − x + x 40 60 120 10 1 4 1 3 1 2 1 − x − x + x − x 40 30 40 20 −
10.
1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 2 6 40 60 6 8 1 5 1 4 4 3 2 1 2 3 − m + m n− m n + m n 2 3 15 6 −
1 4 m n+ 2 1 4 m n− 2
1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 4 3 4 2 3 2 1 1 x + x− x 2 10 5
1 3 1 2 1 1 x − x + x− 20 15 20 10 1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 20 15 20 10
3 3 1 2 2 1 m − m n + mn 2 − n3 4 2 5 4 2 2 2 5 m − mn + n2 3 3 2
53 3 2 91 2 3 7 m n − m n + mn 4 24 60 6 1 3 2 4 2 3 1 m n + m n − mn4 3 15 6
15 3 2 m n − 8 15 3 2 − m n + 8
5 2 3 m n + 4 5 2 3 m n − 4
5 5 n 8 5 mn4 + n5 8
mn 4 −
EJERCICIO 58 1. x 5 − x 4 + x 2 − x ÷ x 3 − x 2 + x 1− 1+ 0 + 1− 1 1 − 1+ 1
− 1+ 1− 1 − 1+ 1− 1 + 1− 1+ 1
3. a 6 + a 5b − 7a 4b 2 + 12a 3b 2 − 13a 2 b 4 + 7ab 5 − b 6 ÷ a 2 − 2ab + b 2
1+ 0 − 1
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 − 1+ 2 − 1
⇒ x2 − 1
2. x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 ÷ x 3 − 2x 2 − 7 1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1− 2 + 0 − 7 − 1+ 2 − 0 + 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8
3 − 11+ 10 − 13 − 3 + 6 − 0 + 21 − 5 + 10 + 8 + 19 + 5 − 10 + 0 − 35 8 − 16 + 0 − 56 − 8 + 16 − 0 + 56
⇒ x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 8
3 − 8 + 12 −3+6− 3
1− 2 + 1 1+ 3 − 2 + 5 − 1
⇒ a 4 + 3a 3b − 2a 2b2 + 5ab 3 − b 4
− 2 + 9 − 13 2− 4+ 2 5 − 11 + 7 − 5 + 10 − 5 − 1 + 2 −1 + 1 − 2 +1
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3 4. m − 5m n + 2m n + 20m n − 19m n − 10mn − n ÷ m − 4mn − n 1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1 1+ 0 − 4 − 1 − 1− 0 + 4 + 1 1− 5 + 6 + 1
− 5 + 6 + 21 − 19 5 + 0 − 20 − 5
⇒ m3 − 5m2n + 6mn2 + n3
6 + 1 − 24 − 10 − 6 − 0 + 24 + 6
8. m28 − 12m 24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m 4 − 45 ÷ m12 − 7m 8 + 9m4 − 15
1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 − 1+ 7 − 9 + 15
1 + 0 − 4 −1 −1 − 0 + 4 +1
− 5 + 44 − 112 + 187 + 5 − 35 + 45 − 75
5. x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15 ÷ x 4 + 6x 2 − 5 1− 2 − 50 + 58 − 15 1+ 6 − 5 1− 8 + 3 − 1− 6 + 5 − 8 − 45 + 58
1− 7 + 9 − 15 1− 5 + 9 − 4 + 3
⇒ m16 − 5m12 + 9m8 − 4m4 + 3
9 − 67 + 112 − 192 − 9 + 63 − 81 + 135 − 4 + 31 − 57 + 87 + 4 − 28 + 36 − 60
⇒ x 4 − 8x 2 + 3
+ 8 + 48 − 40
3 − 21 + 27 − 45 − 3 + 21 − 27 + 45
3 + 18 − 15 − 3 − 18 + 15
6. a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2 ÷ a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2 1− 7 + 9 + 23 − 52 + 42 − 20 1− 4 + 3 − 2 − 1+ 4 − 3 + 2
1− 3 − 6 + 10
− 3 + 6 + 25 − 52 3 − 12 + 9 − 6
⇒ a − 3a 4 − 6a 2 + 10 6
9. 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20x 4 y 3 − 24x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4 y 7 ÷ 2x 2 + 4 y 2
− 6 + 34 − 58 + 42
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 −2−0− 4 − 6 − 12 − 20 6 + 0 + 12
+ 6 − 24 + 18 − 12 10 − 40 + 30 − 20
− 8 + 0 − 18 + 8 + 0 + 16
15 12 9 6 3 6 3 7. 3x − 20 x + 51x − 70 x + 46 x − 20 ÷ 3x − 8 x + 10 3 − 20 + 51 − 70 + 46 − 20 3 − 8 + 10
− 2+0−4 2+0+ 4
1− 4 + 3 − 2
− 12 + 41 − 70
⇒ x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5
− 12 − 8 − 24 + 12 + 0 + 24
− 10 + 40 − 30 + 20
− 3 + 8 − 10
2+0 +4 1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1
⇒ x 9 − 4 x 6 + 3x 3 − 2
12 − 32 + 40 9 − 30 + 46 − 9 + 24 − 30 − 6 + 16 − 20 6 − 16 + 20
10. 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14 ÷ a 4 − 2a 2 + a − 7 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 1+ 0 − 2 + 1− 7 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 − 4 + 6 + 6 − 16 + 38 + 4 + 0 − 8 + 4 − 28 6 − 2 − 12 + 10 − 44 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 − 2 + 0 + 4 − 2 + 14 + 2 − 0 − 4 + 2 − 14
6+0+0−4+6−2 ⇒ 6a 5 − 4a 2 + 6a − 2
10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3 11. n − 6n + 5n + 13n − 23n − 8n + 44n − 12n − 32n + 16 ÷ n − 3n + 5n − 8n + 4 1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4
− 1− 0 + 3 − 5 − 0 + 8 − 4
1+ 0 − 3 + 0 + 4
− 3 + 0 + 13 − 15 − 12 + 44 − 12
⇒ n4 − 3n2 + 4
+ 3 + 0 − 9 + 15 + 0 − 24 + 12
12. 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5xy 6 − 3y 7 ÷ x 3 − 5xy 2 + 3y 3
4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 36 + 16
3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3 − 3 − 0 + 15 − 9
− 4 + 0 + 12 − 20 − 0 + 36 − 16
− 4 + 0 + 20 − 13 + 4 + 0 − 20 + 12
1+ 0 − 5 + 3 3 − 4 + 0 + 0 −1 ⇒ 3x 4 − 4 x 3 y − y 4
− 1+ 0 + 5 − 3 1 −0−5+3
13. x16 − 4x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 ÷ x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6 1− 4 − 10 + 21+ 28 − 23 + 9 + 33 − 6 1− 4 − 5 + 1 − 1+ 4 + 5 − 1 1+ 0 − 5 + 0 + 3 − 6 14. a m + 2 − 3a m +1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3 ÷ a 2 − 5 − 5 + 20 + 28 − 23 ⇒ x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 1 − 3 − 5 + 20 + 0 − 25 1+ 0 − 5 + 5 − 20 − 25 + 5 − 1− 0 + 5 1− 3 + 0 + 5 3 − 18 + 9 + 33 − 3 + 0 + 20 ⇒ am − 3am − 1 + 5am − 3 − 3 + 12 + 15 − 3 + 3 + 0 − 15 − 6 + 24 + 30 − 6 + 5 + 0 − 25 + 6 − 24 − 30 + 6 − 5 − 0 + 25 15. 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x − 1 ÷ 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x 7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 −7− 0 −6− 1
7 + 0 + 6 +1 1− 5 + 0 − 7 ⇒ a x + 2 − 5a x + 1 − 7a x − 1
− 35 + 0 − 79 − 5 + 35 + 0 + 30 + 5 − 49 + 0 − 42 − 7 49 − 0 + 42 + 7
16. 6x 2a + 3 − 4x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4 ÷ 6x a + 1 − 4x a + 2x a − 1 + x a − 2 6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 − 6 + 4 − 2 −1
6 − 4 + 2 +1 1+ 0 − 5 + 0 − 6 ⇒ x a + 2 − 5x a − 6x a − 2
− 30 + 20 − 46 + 19 + 30 − 20 + 10 + 5 − 36 + 24 − 12 − 6 36 − 24 + 12 + 6
17. 6a 5 x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x + 1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2 ÷ a 2 x + 2 − 3a 2x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15 − 6 + 18 + 6 + 30 − 5 + 18 − 4 + 22 + 5 − 15 − 5 − 25 3 − 9 − 3 − 15 − 3 + 9 + 3 + 15
1− 3 − 1− 5 6−5+3 ⇒ 6a 3 x + 1 − 5a 3 x + 3a 3 x − 1
EJERCICIO 59 1.
a 2 + b2
a2
− a2
1+ b
4.
3. 9x 3 + 6x 2 + 7
a4 + 2
2. b2 a2
− a4
− 9x 3
a3 a+
7 3x 2
− 6x 2 +7
16a 4 − 20a 3b + 8a 2b 2 + 7ab 3 4a 2 − 16a 4
3x + 2 +
+ 6x 2
2 a3
+2
2
3x 2
9.
4a 2 − 5ab + 2b 2 +
x 3 − x 2 + 3x + 2
3
7b 4a
− x3 + x2 − x
− 20a 3b
x2 − x + 1 2x + 2 x+ 2 x − x +1
+ 2x + 2
+ 20a 3b 8a 2 b 2
10.
− 8a b
2 2
− x3 + x2y + 7ab 3
5.
x + 1+
x−y x 2 + xy + y 2 +
2y 3 x−y
x2y − x 2 y + xy 2
x 2 + 7x + 10 x + 6 − x 2 − 6x
+ y3
x3
4 x+6
xy 2 + y 3 − xy 2 + y 3
x + 10 −x − 6
2y 3
+4 6.
x 2 − 5x + 7
x−4
11.
3 x − 1+ x−4
− x + 4x 2
−x + x y 4
x−y x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 +
4
x4 y
−x+7 x−4
− x4 y + x3y 2 x3y2
+3 7.
+ y5
x5
− x3y2 + x2y3
m4 − 11m2 + 34
m2 − 3
x2y3 − x 2 y 3 + xy 4
10 m2 − 8 + 2 m −3
− m4 + 3m2
+ xy 4 + y 5
− 8m + 34
− xy 4 + y 5
2
8m − 24 2
2y 5
+ 10
8.
x 2 − 6xy + y 2 − x 2 − xy
x − 7y +
2
8y x+y
− x3 + 2x2 − x
2
+ 8y 2
x2 − 2x + 1 x + 6+
6 x 2 − 6x + 8
− 7xy + y 2 + 7xy + 7y
3 2 12. x + 4 x − 5x + 8
x +y
− 6 x 2 + 12 x − 6 6x + 2
6x + 2 x2 − 2x + 1
2y 5 x−y
5 4 14. x − 3x
3 2 2 3 13. 8a − 6a b + 5ab − 9b 2a − 3b
− 8a 3 + 12a 2b
4a 2 + 3ab + 7b 2 +
3
12b 2a − 3b
+ 9x 2 + 7 x − 4
x 2 − 3x + 2
− x 5 + 3x 4 − 2x 3
x 3 − 2x + 3 +
6a 2b + 5ab 2
− 2x 3 + 9x 2 + 7x
− 6a 2b + 9ab 2
+ 2x 3 − 6x 2 + 4 x
14ab 2 − 9b 3
3x 2 + 11x − 4
− 14ab 2 + 21b 3
− 3x 2 + 9x − 6
12b 3
20x − 10
20 x − 10 x 2 − 3x + 2
EJERCICIO 60 Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores: a = - 1 b = - 2 c = - 1/2 1. a 2 − 2ab + b2
4 3 3. a − 3a + 2ac − 3bc
2. 3a 3 − 4a 2b + 3ab 2 − b 3
= (− 1) − 2 (− 1) ⋅ 2 + 2 2
= 3 (− 1) − 4 (− 1) ⋅ 2 + 3 (− 1) 2 2 − 2 3 3
2
= 1+ 2 ⋅ 2 + 4 = 1+ 4 + 4 = 9
2
= − 3 − 4 ⋅ 2 − 3⋅ 4 − 8 = − 3 − 8 − 12 − 8 = − 31
4 3 1 1 = (− 1) − 3(− 1) + 2 (− 1) − − 3⋅ 2 − 2 2
1 1 = 1 + 3 + 2 ⋅ + 6⋅ = 1+ 3 + 1+ 3 = 8 2 2
5 4 3 2 2 3 4 5 4. a − 8a c + 16a c − 20a c + 40ac − c 2
3
4
5 4 3 2 1 1 1 1 1 = (− 1) − 8 (− 1) − + 16 (− 1) − − 20 (− 1) − + 40 (− 1) − − − 2 2 2 2 2
5
1 1 1 1 1 5 5 1 1 − 32 + 1 31 =− = − 1 + 8 ⋅ − 16 ⋅ + 20 ⋅ − 40 ⋅ + = − 1+ 4 − 4 + − + = − 1+ = 2 4 8 16 32 2 2 32 32 32 32
(
) (
) (
2
2
5. a − b + b − c − a − c
)
(
2
1 2 1 = (− 1 − 2) + 2 − − − − 1 − − 2 2 2
2
2 1 1 5 1 = (− 3) + 2 + − − 1 + = 9 + − − 2 2 2 2 25 1 24 = 9+ − = 9+ = 9 + 6 = 15 4 4 4 2
2
2
7. ab ac bc + − c b a 1 1 1 − 1 − 2 − 2 2 2 2 2 − 1⋅ 2 = + − = + − 1 1 2 2 2 −1 − 2 2 1 1 12 + 1 13 = 4 + − 1= 3 + = = = 3 41 4 4 4 4
(
)
(
)
(
9. 3 2a + b − 4a b + c − 2c a − b
[
]
) ( 3
) ( 3
6. b + a − b − c − a − c
[
)
3
3
]
3 1 1 = 2 + (− 1) − 2 − − − − 1 − − 2 2 2
3
3 1 1 5 1 = 2 − 1 − 2 + − − 1 + = 13 − − − 2 2 2 2 125 1 124 31 2 − 31 29 = 1− + = 1− = 1− = =− = − 14 21 8 8 8 2 2 2
[
(
3
]
) (
3
3
3
)
2
2
8. a + b + c − a − b − c + c 2
2
1 1 1 = − 1+ 2 + − − − 1− 2 − − + − 2 2 2 1 1 1 5 1 1 = 1− − − 3 + − = − − − 2 2 2 2 2 2 1 25 1 1 − 25 − 2 26 = − − = = − = − 6 24 = − 6 21 4 4 2 4 4 2
2
2
2
)
1 1 1 2 3 6 = 3 2 (− 1) + 2 − 4 (− 1) 2 + − − 2 − (− 1 − 2) = 3 − 2 + 2 + 4 2 − + (− 3) = 3⋅ 0 + 4 − = 6 − 3 = 3 2 2 2 2 2 2
[
]
Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores: a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2 11. (a − x ) + ( x − y ) + ( x 2 − y 2 )(m + x − n)
4 2 2 10. x − x y + 3xy − y 3 8 2 2
2
(− 2) − (− 2) (− 1) + 3(− 2)(− 1) = 4
2
2
8 2 2 16 − 4 − 6 = − + + 1 = 2 + 2 − 3+ 1 = 2 8 2 2
(
) (
)(
)
[
][
= − − 2 − (− 1) + (− 2) + (− 1) 2
2
[
− (− 1)
(
] [
] [
]
2 2 1 2 2 = 2 − (− 2) + − 2 − (− 1) + (− 2) − (− 1) 3 + (− 2) − 2 1 2 2 2 1 2 = 2 + 2 + − 2 + 1 + 4 − 1 3 − 2 − = [ 4] + − 1 + 3 1 − 2 2 3 34 + 3 37 1 1 = 16 + 1 + 3 = 17 + = = = 18 2 2 2 2 2
3
12. − x − y + x 2 + y 2 x − y − m + 3b x + y + n
2
[
] [
] [
]
[ ]
)
][− 2 − (− 1) − 3]+ 3⋅ 13 − 2 + (− 1) + 21 = − [− 2 + 1]+ [4 + 1][− 5 + 1]+ − 2 − 1 + 21
1 5 38 + 5 43 5 = 1 + 5 − 4 + − 3 + = 1 − 20 + − = − 19 − = − = − = − 21 21 2 2 2 2 2
[ ]
14.
x− y 13. (3x − 2 y )(2n − 4m) + 4 x y − 2 2
2
1 1 4 (− 2 ) + (− 2 ) − 3 + − 3 1 1 2 3 −8 −8 8 = − + (2 − 3)(− 2) + 16 − 3 = + 8 + (− 1)(− 2) + 13 − 3 2−1 3 8 8 8 + 69 77 = + 21 + 2 = + 23 = = = 25 23 3 3 3 3
(− 2) − (− 1) 2 2 1 = 3(− 2) − 2 (− 1) 2 ⋅ − 4 ⋅ 3 + 4 (− 2) (− 1) − 2 2 − 2+1 −1 = − 6 + 2 1 − 12 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 − = − 4 − 11 + 16 − 2 2 1 1 1 = 44 + 16 + = 60 + = 60 2 2 2
[
]
[
][
]
4x x3 1 1 − + − x + x4 − m 3y 2 + y 3 n b =
[ ]
4 (− 2 )
(− 2) 3 (− 1) 2 + (− 1) 3
−
2 2 2 2 15. x ( x − y + m) − ( x − y )( x + y − n) + ( x + y ) (m − 2n) 2 1 1 2 2 2 = (− 2) − 2 − (− 1) + 3 − − 2 − (− 1) (− 2) + (− 1) − + − 2 + (− 1) 32 − 2 ⋅ 2 2 2 2 1 9 9 160 + 9 169 1 = = 84 21 = 4 [1 + 1] − [− 2 + 1] 4 + 1 − + [− 2 − 1] (9 − 1) = 4 ⋅ 2 − [− 1] 5 − + [− 3] (8) = 8 + + 9 ⋅ 8 = 80 + = 2 2 2 2 2 2 2
[
][
]
m
y
n
↓ +5
!
[
]
↓
↓
↓
2a 2 − 3a + 5
−1
−4
2a 2 − 3a + 8
+2
!
!
x2
3xy − y 2
− x2 + y2
− y2
y 2 Rta
4. 3x 2 − 5x + 6
− 3x 2 + 8 x − 6 3x
Rta
[
]
2a 2 − 3a + 8
3
9 am
!
10 am
5.
8 am
3. x 2 − 3xy
x2
3⋅
[ ]
EJERCICIO 61 1. 7 am
]
1 2 − 3 + 2 − 2 3 − − 1 2 + 4 = − 3 − 2 − 3 − 6 + 2 − 8 − 1+ 4 ( ) ( ) −2 −1 1 3 3 2 2 4+ 9 13 13 114 + 13 127 = − 9− + 2 − 5 = − 9 − − 10 = − 19 − = − =− = − 21 16 6 6 6 6 6
16. 3a + 2 y + 3n − m + 2 ( x 3 − y 2 + 4) = 3⋅ 2 + 2 (− 1) + x
[
8a + 5 2a 2 + 5a + 13 Rta
{[
( ( ))] } − { − [4 x + 5x − ( x − x − 6)] } − { − [4 x + 5x − x + x + 6] }
6. − 3x 2 − − 4 x 2 + 5x − x 2 − x + 6
= − 3x 2 = − 3x 2
2
2
2
2
= − 3x 2 − {− 3x 2 − 6 x − 6} = − 3x 2 + 3x 2 + 6 x + 6 = 6 x + 6
(
)(
) (
7. x + y x − y − x + y
)
2
= x 2 − xy + xy − y 2 − ( x + y )( x + y )
12.
= x 2 − y 2 − (x 2 + 2 xy + y 2 ) = x 2 − y 2 − x 2 − 2 xy − y 2
1 3 1 1 3 a ab 2 + b − 4 90 15 1 1 − a 3 − a 2b 4 6
1 1 a+ b 2 3 1 2 1 1 a − ab + b 2 2 3 5
1 2 1 a b− ab 2 6 90 1 2 1 a b + ab 2 6 9
1 2 1 a + ab + b 2 2 5
−
= − 2 xy − 2 y 2 8. a = 2 b = 3 c = 1 c− b 3 (a + b) − 4 (c − b) + −a
1 1 3 ab 2 + b 10 15
1− 3 −2
= 3(2 + 3) − 4 (1 − 3) +
= 15 + 8 + 1 = 23 + 1 = 24
− 5y 2
2 9. 3x
− x + 3xy − y 2
2 x + 3xy − 6 y 2
2a b + 3ab − b 2
− x − 5xy
2
2
2
x
2
3 +1 4 ab = ab 3 3
a 3 − a 2b + b3 − 2a 2b + 2b3
3
− 2b 3
2a 2b
+ 6y
2
− 3ab 2 − b3
13.
2 x 2 + 5xy + 6 y 2
1 2 1 1 a + ab − b2 2 3 5
1 1 3 ab 2 − b 10 15
−
−2 −2
= 3 ⋅ 5 − 4 (− 2 ) +
−
a 3 − 3a 2b + 3b 3
2
a 3 − 3a 2b + 3b 3
2 x + 3xy − 6 y x
2
2
2
+ 6y
3x + 3xy 2
a 2 − ab + b2 2
a 5 − 3a 4b − a b + 3a b
Rta
+ a b − 3a b a 5 − 4a 4b + 4a 3b2
− x + 2x − 6 x 4
− x
x+4
4x − 4x + 12
2
− 4x 2 + 4x − 12 x 2 − 2x + 6 x3 − x + 5
3 3
x2 − x + 3
2
x − 2x + 5x + 7 x − 16x + 30 5
x 3 + 3x 2 − x + 12
− 6 x + 30
3
3
− x 3 + 19x 2 − 6x
− x 3 + x 2 − 3x
+ 2x − 10x
4
− 8x + 8x − 3
x 3 + 3x 2 − x + 12
2
+ 6x 5
2x 3 − 16x 2 + 5x + 12
x 3 − 19x 2 + 6x
− x 3 + 5x 2 − 2x
− 3ab 4 + 3b 5
− 6x 2 − 6 x + 3 2
1 4 1 3 193 2 2 23 3 2 4 a + a b− a b + ab − b 3 4 120 20 5
4
+ 3b 5
2 3
3 2 14. x − 5x + 4x
1 4 1 3 1 2 2 a − a b+ ab 3 4 10 1 3 3 + a 3b − a 2b2 + ab 3 2 8 20 4 2 − a 2b 2 + ab 3 − b4 3 5
x5
− 3ab 4
3 2
3 2
2 2 1 1 2 10. a − ab + b 3 2 5 1 2 3 a + ab − 2b2 2 4
11.
+ 3a 2b 3
4
+ 7 x − 16x 2
+ x 3 − 2x 2 + 6x 5 x 2 − 10x + 30 − 5 x 2 + 10x − 30
15.
(2 + x) (1+ x ) − (x (4 + 4 x + x ) (1+ x ) − (x + x 2
2
2
2
4
2 3
− 2)( x 2 + x − 3) = x 2 (3x + 10) + 2 (3x − 1) − 5x 2 − 2 x + 6) = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
4 + 5x 2 + 4 x + 4 x 3 − x 3 + 5x 2 + 2 x − 6 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2 3x 3 + 10 x 2 + 6x − 2 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
16. x = − 2 y = 1
(x + y) (x − y) + 2 (x + y)(x − y) = (− 2 + 1) (− 2 − 1) + 2 (− 2 + 1)(− 2 − 1) = (− 1) (− 3) + 2 (− 1)(− 3) 2
2
2
2
[x − (3x + 2)][x + (− x + 3)] 2
21.
[x
2
2
][
= x 4 − 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6
x 4 − x 3 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 2 + 2 x − 6 = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 6 x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6 = x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6
[
]
[2 (x
22. x ( x + y ) − x ( x − y ) = x 2 + xy − x 2 + xy
= 1⋅ 9 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15 17. x + 2x + 8 2
x 2 + 4x + 6
x−6
]
− 3x − 2 x 2 − x + 3
2
x+4
= 2 x + 2 y 2 − 3x 2 + 3 y 2
= 2 xy
= − x 2 + 5y 2
5x 2 − 4x + 3
− x 2 + 5y 2
− 2 x 3 y + 10 xy 3 4 x 3 y − 7 xy 3
2 xy
[
18. − {3a + (− b + a ) − 2 (a + b) }
]
− 2 (a + b) − (a − b)
= − {3a − b + a − 2a − 2b}
[
= − 2 a +b− a +b
= − {2a − 3b}
= − 2 [ 2b ]
= − 2 a + 3b
= − 4b
]
[
[
= 8x + − 2 x − x + y = 8 x − 3x + y = 5x + y
]
+ x 3 y + 3x 2 y 2 − xy 3
2
+ x 2 y 2 + 3xy 3 − y 4
xy 2
]
8 x + − 2 x + (− x + y)
= 5x − 2 x − y
− xy + y 2
(
)(
) (
[
5x + y 3x − y
= x3 − y3 − x 3 − y 3
15x 2 + 3xy
= − 2 y3
− 5xy − y 2 15x − 2 xy − y 1 3 1 2 5 1 x + x y+ xy 2 + y 3 4 24 12 3 1 3 1 2 1 2 − x + x y − xy 4 8 2 1 2 1 1 x y− xy 2 + y 3 6 12 3 1 2 1 1 2 − x y+ xy − y 3 6 12 3
]
[
= 2 x + − 5x − x + y
]
]
−
2
Rta
)(
3
[
)
=
y
]
4⋅9 9⋅9 25 + 2 (9 − 4) − 3 (25 − 9) 25 42 9
36 81 5 6 9 5 + 2⋅5 − 3⋅ 16 ⋅ = + 10 ⋅ − 48 ⋅ 25 16 3 5 4 3 6 45 12 + 225 − 800 − 563 = + − 80 = = = − 56 103 5 2 10 10 =
26.
1 1 − x − y 2 3 8+ 1 3− 1 − x+ y 2 3 9 2 Rta − x+ y 2 3
]
25. a = 4 b = 9 c = 25 9b ab c + 2 (b − a ) 2 − 3 (c − b) c a b
1 2 1 x − xy + y 2 2 4 1 1 x+ y 2 3
4x +
4
= x 3 + x 2 y + xy 2 − x 2 y − xy 2 − y 3 − x 3 − x 2 y + xy 2 + x 2 y − xy 2 + y 3 = x3 − y3 − x 3 + y3
2
x + 4x y + 3x 2 y 2 + 2xy 3 − y 4 Rta
3
2 2 2 2 24. x − y x + xy + y − x + y x − xy + y
= 3x − y
[
x 2 + xy + y 2
2
x 4 + 3x 3 y − x 2 y 2
− x y + xy
))] = 5x + [− (3x − x + y )] = 5x + [− 2 x − y ]
= 2 x − 6x + y
2
Rta
(
2 x + − 5x − ( x − y )
x 2 + 3xy − y 2
x + xy + y
2
2
19. 5x + − 3x − x − y
= − 4x + y
− y3 x − y
−x +x y 3
Rta
2 x 3 y + 3xy 3
3
x2y
2a − 7b
= 2 x + − 6x + y
− 2 x y + 10 xy 3
23. x 3
− 4b 2a − 3b
[
]
+ y 2 ) − 3( x 2 − y 2 )
4x − 8x − 3 Rta
x + 4x + 6
20.
2
2
2
2
[(
= x 2 ( x 2 − 4 x + 4) − (7 x + 6)
2
x 3 + 3x 2 − 4x − 12 x + 3 − x − 3x 3
2
x2 − 4
x −4
?
x2
−4
2
=x−2
− 4x − 12 + 4x + 12
x + 2x 2
2x − 4 − 2x + 4
x−2 x+2
Rta
)} [ { }] − {3x − ( x − 4 − x )} + [ x − {x − 3}] Si
{ (
27. 4 x 2 − 3x − x 2 − (4 + x ) + x 2 − x + (− 3)
= 4 x2
2
2
[
= 4 x 2 − {3x − x 2 + 4 + x } + x 2 − x + 3
]
2 28. x + 7x − 5
x2 − 9
x=−2
x 4 − 11x 3
x + 7x − 5x 4
6 x 2 − 5x − 1
3
(a
(a 2
+b
+b
)(a + b)(a − b)
[
= a − 3a + 2 (a + 2) − 4 (a + 1) − a + b 4
)(a − ab + ab − b ) = a − [3a + 2a + 4 − 4a − 4 − a + b ] (a + b )(a − b ) = a − [b ]
2
2
2
2
2
2
2
a −a b +a b −b 4
2 2
4
2 2
a −b 4
4
=a −b
4
=a −b
4
EJERCICIO 62
= − x2 − 2 x + 1
( ) 2. (5 + x ) = 25 + 10 x + x 3. (6a + b) = 36a + 12ab + b 4. (9 + 4m) = 81 + 72m + 16m 5. (7 x + 11) = 49 x + 154 x + 121 6. ( x + y ) = x + 2 xy + y 2
1. m + 3 = m2 + 6m + 9 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1+ 3x2 ) = 1+ 6x2 + 9 x 4 2
7.
(
)
2
8. 2 x + 3 y = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 9.
(a x + by ) = a x 2 2
2
4 2
+ 2a 2 xby 2 + b 2 y 4
EJERCICIO 63 1. a − 3 = a 2 − 6a + 9
2
2
6. 7.
2
2
2
(a 3 − b3 ) = a 6 − 2a 3b3 + b6 2
(3a
4
− 5b2 ) = 9a 8 − 30a 4b2 + 25b4 2
4 2
5
6 2
x2 − x + 2
x+1
− x2 + 2x − 1
6
3 4
10
x +1
4 2
4 6
2
3 2
2 4
2
3 2
10
12 2
m
n 2
x
x +1 2
2
2
20
2 6
3
6
24
2n
x x +1
2x
8
3
10 12
m+ n
2m
12
2 3 4
4 2
x −2 2
a +1
8
5 6
2 3
2
2
2a +2
4
2 x +2
a +1 x − 2
2 x −4
2
2 2
7 2
7
2
2
3
5
2
2
−3
(x − 1) = x − 2 x + 1 9. ( x − 3ay ) = x − 6ax y + 9a y 10. (a − b ) = a − 2a b + b
2
2
x 3 + 5x 2
(3a + 8b ) = 9a + 48a b + 64b 11. (4m + 5n ) = 16m + 40m n + 25n 12. (7a b + 5x ) = 49a b + 70a b x + 25x 13. (4ab + 5xy ) = 16a b + 40ab xy + 25x y 14. (8x y + 9m ) = 64 x y + 144 x ym + 81m 15. ( x + 10 y ) = x + 20 x y + 100 y 16. (a + a ) = a + 2a +a 17. (a + b ) = a + 2a b + b 18. ( x + y ) = x + 2x y + y 8.
( ) 2. ( x − 7) = x − 14 x + 49 3. (9 − a ) = 81 − 18a + a 4. (2 a − 3b ) = 4a − 12ab + 9b 5. (4ax − 1) = 16a x − 8ax + 1
]
= − x2 + 2 x − 1
x 3 + 5x 2 + x − 2 Rta
10.
(
10
14
5 2
7 7
2 4
14
)
2
11. 2m − 3n = 4m2 − 12mn + 9n 2
(10x − 9 xy ) = 100x − 180x y + 81x y 13. ( x − y ) = x − 2 x y + y 14. (a − 5) = a − 10a + 25 15. ( x − 3x ) = x − 6x + 9 x 5 2
3
12.
m
n 2
]
= − x − 3x + 4 + x − 3
x 3 + 5x 2 − 3
2
4
4
4
]
[ [
x + 5x − 6 2
4
4
4
4
[
6
2m
x −2
2
a +1
a −2 2
4 5
m n
2 x −4
2 10
2n
x −2
2a + 2
]
− x 2 + (− 3x + 4) − (− x + 3)
3
30. 3
29.
x 4 + 7 x 3 − 14x 2 − 63x + 45
x 4 + 7 x 3 − 14 x 2 − 63x + 45
= 6 ( 4) + 10 − 1 = 24 + 10 − 1 = 33
= 6 x − 5x − 1 2
2
2
2
= 4 x2 − 4 x + x 2 − 4 + x 2 − x + 3
2
3
− 9x 2 − 63x + 45
= 6 (− 2) − 5 (− 2) − 1
+ 21x Rta
18x − 14x − 84 x + 45
2
2a −1
2a − 4
EJERCICIO 64
( )( ) 2. (m − n )(m + n) = m − n 3. (a − x )( x + a ) = a − x
( )( ) 7. (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − 9a x 8. (2m + 9)(2m − 9) = 4m − 81 6. n − 1 n + 1 = n 2 − 1
1. x + y x − y = x 2 − y 2 2
2
4.
(x
2
(
2
2
2
2
(a − b )(a + b ) = a − b 10. ( y − 3 y)( y + 3 y) = y − 9 y
+ a 2 )( x 2 − a 2 ) = x 4 − a 4
)(
3
9.
)
5. 2a − 1 1 + 2a = 4a 2 − 1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
m
n
2
15.
(a
2
m
4
n
m
2m
m
4 2
2n
a
2a
2m
− 2b x −1 )(2b x −1 + a x +1 ) = a 2 x + 2 − 4b2 x − 2
x +1
2
2
2
2
4
2
4
2
( )( ) 11. (2 x + y − z)(2 x − y + z) = 4 x
2
− y 2 + 2 yz − z 2
(x − 5x + 6)(x + 5x − 6) = x − 25x + 60x − 36 13. (a − ab + b )(a + b + ab ) = a + a b + b 14. ( x − x − x )( x + x + x ) = x − x − 2 x − x 2
12.
2
2
(n + 2n + 1)(n − 2n − 1) = n − 4n − 4n − 1 2
2
(6x − m x)(6x + m x) = 36x − m x 13. (a + b )(a − b ) = a − b 14. (3x − 5 y )(5 y + 3x ) = 9 x − 25 y 12.
10. 2a − b − c 2a − b + c = 4a 2 − 4ab + b2 − c 2
2
2
)
a
4
4
)(
(a − 2a + 3)(a + 2a + 3) = a + 2a + 9 9. (m − m − 1)(m + m − 1) = m − 3m + 1
2
2
2
6
8.
( )( ) 2. ( x − y + z)( x + y − z) = x − y + 2 yz − z 3. ( x + y + z)( x − y − z) = x − y − 2 yz − z 4. (m + n + 1)(m + n − 1) = m + 2mn + n − 1 5. (m − n − 1)(m − n + 1) = m + n − 2mn − 1 6. ( x + y − 2)( x − y + 2) = x − y + 4 y − 4 1. x + y + z x + y − z = x + 2 xy + y − z 2
2
2
EJERCICIO 65
7.
2
(
11. 1 − 8 xy 8 xy + 1 = 1 − 64 x 2 y 2
2
3
2
2
4
2
2
2
3
4
2
6
2 2
4
3
2
4
EJERCICIO 66
( ) 6. (1 − 3 y ) = 1 − 9 y + 27 y
( ) 2. ( x − 1) = x − 3 x + 3x − 1 3. (m + 3) = m + 9m + 27m + 27 4. (n − 4) = n − 12n + 48n − 64
3
5. 2 x + 1 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1
3
1. a + 2 = a 3 + 6a 2 + 12 a + 8 3
3
3
3
3
2
3
2
3
(2 + y ) = 8 + 12 y 2 3
7.
(
2
2
− 27 y 3
+ 6y4 + y6
)
3
8. 1 − 2n = 1 − 6n + 12n 2 − 8n 3
2
(
)
3
9. 4n + 3 = 64n 3 + 144n 2 + 108n + 27 10.
(a
2
(
− 2b) = a 6 − 6a 4b + 12a 2b2 − 8b3 3
)
3
11. 2 x + 3 y = 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3 12.
(1− a ) = 1− 3a 2 3
2
+ 3a 4 − a 6
EJERCICIO 67
( )( ) 2. (x + 2)( x + 4) = x + 6 x + 8 3. ( x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10 4. (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30 5. ( x + 7)( x − 3) = x + 4 x − 21 6. ( x + 2)(x − 1) = x + x − 2 7. ( x − 3)( x − 1) = x − 4 x + 3 8. ( x − 5)( x + 4) = x − x − 20 1. a + 1 a + 2 = a 2 + 3a + 2 2
2
2
2
2
2
2
(
)( ) 10. (n − 19)(n + 10) = n
9. a − 11 a + 10 = a 2 − a − 110
− 9n − 190
2
(a + 5)(a − 9) = a − 4a − 45 12. ( x − 1)( x − 7) = x − 8 x + 7 13. (n − 1)(n + 20) = n + 19n − 20 14. (n + 3)(n − 6) = n − 3n − 18 15. ( x + 7)( x − 6) = x + x − 42 16. (a + 8)(a − 1) = a + 7a − 8 11.
2
2
4
2
2
2
2
3
3
6
3
3
6
4
4
8
2
4
2
4
2
3
3
4
(a − 2)(a + 7) = a 18. (a + 7)(a − 9) = a 5
17.
5
6
6
(
)(
10
+ 5a 5 − 14
12
− 2a 6 − 63
)
19. ab + 5 ab − 6 = a 2b 2 − ab − 30
(xy − 9)(xy + 12) = x y + 3xy − 108 21. (a b − 1)(a b + 7) = a b + 6a b − 7 22. ( x y − 6)(x y + 8) = x y + 2 x y − 48 23. (a − 3)(a + 8) = a + 5a − 24 24. (a − 6)(a − 5) = a − 11a + 30 2
20.
2
2 2
3 3
x
x +1
2 4
2 2
4 4
3 3
x
6 6
2x
x +1
2
2 2
3 3
x
2 x +2
x +1
(x − 2)(x + 5) = x 4
4
+ 3x 4 − 10
8
EJERCICIO 68
20.
( ) 2. ( x + 2)( x + 3) = x + 5x + 6 3. ( x + 1)( x − 1) = x − 1 4. ( x − 1) = x − 2 x + 1 5. (n + 3)(n + 5) = n + 8n + 15 6. (m − 3)(m + 3) = m − 9 7. (a + b − 1)(a + b + 1) = a + 2ab + b 8. (1 + b) = 1 + 3b + 3b + b
21. 1 − a + b b − a − 1 = − 1 + a 2 − 2ab + b 2
(
2
1. x + 2 = x 2 + 4 x + 4
(
2
25. 2a + x
2
2
−1
( )( 12. (1 − 4ax )
2 2
13.
+ 25x 4
2
( )( ) 15. (1 − a )(a + 1) = 1 − a 16. (m − 8)(m + 12) = m
4
2
3
3
4
+ 4m − 96
4 2
6
x2 − y2 3. x + y = x − y 4.
y2 − x2 = y+x y−x
x2 − 4 = x−2 5. x+2 9 − x4 = 3 + x2 6. 3 − x2
3 4
3
4
3
4
2
4
2
2
− m2
4
)
2
2 3
2 3
4 6
2
a − 4b = a − 2b a + 2b
8.
25 − 36x = 5 + 6x 2 5 − 6x 2
9.
4x − 9m n = 2x − 3mn2 2x + 3mn2
2
4
2
2 4
36m − 49n x 2
2 3
4
4
2 2
4
2
4
4
( )( )( )( ) 38. (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3) = a
7.
2 4
6m − 7nx 2
= 6m + 7nx 2
81a 6 − 100b 8 3 4 11. 9a 3 + 10b 4 = 9a − 10b a 4b6 − 4x 8 y10 2 3 4 5 12. a 2b 3 + x 4 y 5 = a b + 2x y 2 13.
3
8
2
37. a + 1 a − 1 a + 2 a − 2 = a 4 − 5a 2 + 4
8
2
10.
6
8
2
3
EJERCICIO 69
2
6
2
2
6
1− x 2 2. 1− x = 1+ x
4 2
2
3
2 1. x − 1 = x − 1 x +1
4
2
(x − 1)(x + 3) = x + 2 x − 3 18. ( x + 6)( x − 8) = x − 2 x − 48 19. (5x + 6m ) = 25x + 60 x m + 36m 2
4
(x y − 8)(x y + 6) = x y − 2 x y − 48 33. (a + b)(a − b)(a − b ) = a − 2a b + b 34. ( x + 1)( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2 35. (a + 3)(a + 9)(a − 3) = a − 81 36. ( x + 5)( x − 5)( x + 1) = x − 24 x − 25 32.
+ a 2 − 56
2
17.
2
(
14. x + y + 1 x − y − 1 = x 2 − y 2 − 2 y − 1
2
4 4
31. 11 − ab = 121 − 22ab + a 2b2
= 1 − 8ax + 16a 2 x 2
2
a +1
= 8a 3 + 12a 2 x + 6ax 2 + x 3
4
)
(a + 8)(a − 7) = a
3
2
2
2
11. ab + 3 3 − ab = 9 − a 2b 2 2
)
2n
2a +2
2 2
3
4
2 2
2
3
3
(a + 4)(a − 4) = a − 16 10. (3ab − 5x ) = 9a b − 30abx 9.
2x
a +1
2
26. 2
n
(x − 11)(x − 2) = x − 13x + 22 27. (2a − 5b ) = 4a − 20a b + 25b 28. (a + 12 )(a − 15 ) = a − 3a − 180 29. (m − m + n)(n + m + m ) = m + 2m n + n 30. ( x + 7)( x − 11) = x − 4 x − 77
2
2
x
2 2
2
3
n
a +1
2
2
)
(a + b )(a − b ) = a − b 23. ( x − 8)( x + 9) = x − x − 72 24. (a b + c )(a b − c ) = a b − c 22.
2
2
)(
x
x 2n − y 2n = xn − y n xn + yn
14.
a 2 x + 2 − 100 = a x + 1 + 10 a x + 1 − 10 1− 9x 2m + 4
= 1− 3x m + 2 15. 1 + 3x m + 2
(x + y ) − z = x + y + z 16. (x + y ) − z 1 − (a + b) = 1− a − b 17. 1 + (a + b) 4 − (m + n) = 2 − m− n 18. 2 + (m + n) x − (x − y) =y 19. x + (x − y) 2
2
2
2
2
2
(a + x) − 9 = a + x − 3 (a + x) + 3 2
20.
4
− 13a 2 + 36
EJERCICIO 70 1+ a 3 = 1− a + a 2 1. 1+ a
EJERCICIO 71 1.
x4 − y4 = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 x−y
3.
a 5 − n5 = a 4 + a 3n + a 2n2 + an3 + n4 a −n
4.
x6 − y6 = x 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5 x+y
5.
a6 − b6 = a 5 + a 4b + a 3b 2 + a 2b 3 + ab 4 + b5 a −b
6.
x7 + y7 = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6 x+y
7.
a 7 − m7 = a 6 + a 5m + a 4m2 + a 3m3 + a 2m4 + am5 + m6 a −m
8.
a 8 − b8 = a7 − a 6b + a 5b 2 − a 4b 3 + a 3b 4 − a 2b 5 + ab6 − b7 a+b
9.
x10 − y10 = x 9 + x 8 y + x 7 y 2 + x 6 y 3 + x 5 y 4 + x 4 y 5 + x 3 y 6 + x 2 y 7 + xy 8 + y 9 x−y
10.
m9 + n9 = m8 − m7n + m6n2 − m5n3 + m4n4 − m3n5 + m2n6 − mn7 + n8 m+n
a 3x3 + b3 2 2 2 11. ax + b = a x − axb + b
11.
m9 − n9 = m8 + m7n + m6n2 + m5n3 + m4n4 + m3n5 + m2n6 + mn7 + n8 m−n
n3 − m3 x 3 2 2 2 12. n − mx = n + nmx + m x
12.
a10 − x10 = a 9 − a 8 x + a 7 x 2 − a 6 x 3 + a 5 x 4 − a 4 x 5 + a 3 x 6 − a 2 x 7 + ax 8 − x 9 a+x
1− a 3 = 1+ a + a 2 2. 1− a x3 + y 3 = x 2 − xy + y 2 x+y
3.
8a 3 − 1 = 4a 2 + 2a + 1 4. 2a − 1 8x 3 + 27y 3 = 4x 2 − 6xy + 9y 2 2x + 3y
5. 6.
27m3 − 125n3 = 9m2 + 15m + 25n2 3m − 5n
7.
64a + 343 = 16a 2 − 28a + 49 4a + 7
8.
216 − 125y = 36 + 30y + 25y 2 6 − 5y
9.
1 +a b = 1− ab + a 2b 2 1+ ab
3
3
3 3
729 − 512b = 81+ 72b + 64b 2 9 − 8b 3
10.
x 6 − 27y 3 4 2 2 13. x 2 − y = x + 3x y + 9y 3 8a 9 + y 9 6 3 3 6 14. 2a 3 + y 3 = 4a − 2a y + y 1− x12 4 8 15. 1− x 4 = 1+ x + x
1− n5 = 1+ n + n2 + n3 + n4 13. 1− n
2.
m5 + n 5 = m4 − m3n + m2n2 − mn3 + n4 m+n
1− a 6 = 1+ a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 14. 1− a
1+ a 7 = 1− a + a 2 − a 3 + a 4 − a 5 + a 6 15. 1+ a 1− m8 = 1− m + m2 − m3 + m4 − m5 + m6 − m7 16. 1+ m
27x 6 + 1 = 9x 4 − 3x 2 + 1 16. 3x 2 + 1
17.
x 4 − 16 = x 3 + 2x 2 + 4x + 8 x−2
64a 3 + b9 2 3 6 17. 4a + b3 = 16a − 4ab + b
18.
x 6 − 64 = x 5 − 2x 4 + 4x 3 − 8x 2 + 16x − 32 x+2
a 6 − b6 4 2 2 4 18. a 2 − b2 = a + a b + b
19.
x 7 − 128 = x 6 + 2x 5 + 4x 4 + 8x 3 + 16x 2 + 32x + 64 x−2
20.
a 5 + 243 = a 4 − 3a 3 + 9a 2 − 27a + 81 a+3
21.
x 6 − 729 = x 5 + 3x 4 + 9x 3 + 27x 2 + 81x + 243 x−3
19.
125 − 343 x15 5 − 7x 5
= 25 + 35x 5 + 49 x10
n +1 4 2 = n −n +1 20. 2 n +1 6
22.
625 − x 4 = 125 − 25x + 5x 2 − x 3 x+5
24.
x10 − 1 9 8 = x + x + x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1 x −1
26.
16a 4 − 81b 4 = 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b3 2a − 3b
27.
64m6 − 729n6 = 32m5 − 48m4n + 72m3n2 − 108m2n3 + 162mn4 + 243n5 2m + 3n
28.
1. 024x10 − 1 = 512x 9 + 256x 8 + 128x 7 + 64x 6 + 32x 5 + 16x 4 + 8x 3 + 4x 2 + 2x + 1 2x − 1
29.
512a 9 + b9 = 256a 8 − 128a 7b + 64a 6b2 − 32a 5b 3 + 16a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4a 2b6 − 2ab7 + b8 2a + b
30.
a 6 − 729 = a 5 + 3a 4 + 9a 3 + 27a 2 + 81a + 243 a −3
23.
m8 − 256 = m7 + 2m6 + 4m5 + 8m4 + 16m3 + 32m2 + 64m + 128 m−2 25.
x 5 + 243y 5 = x 4 − 3x 3 y + 9x 2 y 2 − 27xy 3 + 81y 4 x + 3y
EJERCICIO 72 x6 + y6 4 2 2 4 1. x 2 + y 2 = x − x y + y
m16 − n16 = m12 + m8n4 + m4n8 + n12 8. m4 − n4
a 8 − b8 6 4 2 2 4 6 2. a 2 + b2 = a − a b + a b − b
9.
m10 − n10 8 6 2 4 4 2 6 8 3. m2 − n2 = m + m n + m n + m n + n
10.
a12 − b12 9 6 3 3 6 9 4. a 3 + b 3 = a − a b + a b − b a12 − x12 9 6 3 3 6 9 5. a 3 − x 3 = a + a x + a x + x x15 + y15 12 9 3 6 6 3 9 12 6. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + y m12 + 1 = m8 − m4 + 1 7. m4 + 1
a18 − b18 = a15 − a12b 3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15 a 3 + b3 x 20 − y 20 = x15 − x10 y 5 + x 5 y10 − y15 x5 + y 5
m21 + n21 = m18 − m15n3 + m12n6 − m9n9 + m6n12 − m3n15 + n18 11. m3 + n3 x 24 − 1 18 12 6 = x + x + x +1 12. 6 x −1 a 25 + b 25 = a 20 − a15b5 + a10b10 − a 5b15 + b 20 13. a5 + b5 a 30 − m30 = a 24 + a18m6 + a12m12 + a 6m18 + m24 14 a 6 − m6
EJERCICIO 73 x4 −1 2 = x −1 1+ x 2
4.
x 6 − 27y 3 = x 4 + 3x 2 y + 9y 2 x 2 − 3y
8m3 + n6 = 4m2 − 2mn2 + n4 2. 2m + n2
5.
x 6 − 49y 6 = x 3 − 7y 3 x 3 + 7y 3
1 − a5 = 1+ a + a 2 + a 3 + a 4 3. 1− a
6.
a14 − b14 = a12 + a10b2 + a 8b 4 + a 6b6 + a 4b8 + a 2b10 + b12 a2 − b2
1.
1 + a3 = 1− a + a 2 7. 1+ a 8.
16.
16x 2 y 4 − 25m6 = 4xy 2 − 5m3 4xy 2 + 5m3
64x 6 − 343y 9 = 16x 4 + 28x 2 y 3 + 49y 6 4x 2 − 7y 3
a18 − b18 = a15 − a12b3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15 17. a3 + b3
x 27 + y 27 = x 24 − x 21y 3 + x18 y 6 − x15 y 9 + x12 y12 − x 9 y15 + x 6 y18 − x 3 y 21 + y 24 9. x3 + y 3 a 27 + y 27 = a18 − a 9 y 9 + y18 10. a9 + y9
18.
(a + x) − y (a + x) − y
a 4b 4 − 64x 6 = a 2b 2 − 8x 3 11. a 2b 2 + 8x 3
19.
1+ x11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 = x − x + x − x + x − x + x − x + x − x +1 x +1
1− a 2b 4 c 8 = 1+ ab 2 c 4 12. 1− ab 2c 4
20.
x 40 − y 40 = x 32 + x 24 y 8 + x16 y16 + x 8 y 24 + y 32 x8 − y8
2
=a+ x+ y
32x 5 + 243y 5 = 16x 4 − 24x 3 y + 36x 2 y 2 − 54xy 3 + 81y 4 2x + 3y
13.
25 − (a + 1)
2
14.
2
5 + (a + 1)
= 4− a
1− x12 4 8 15. 1− x 4 = 1+ x + x
EJERCICIO 74
9 − 36x10 = 3 − 6x 5 3 + 6x 5
22.
x 8 − 256 7 = x + 2x 6 + 4x 5 + 8x 4 + 16x 3 + 32x 2 + 64x + 128 x−2
3 2 2. x − 3x + 2 x − 2 ÷ x + 1
4 3 3. x − x + 5 ÷ x − 2
= (− 1) − 3 (− 1) + 2 (− 1) − 2 3
1. x − 2x + 3 ÷ x − 1 2
2
= 24 − 23 + 5 = 16 − 8 + 5 = 13
= − 1− 3− 2 − 2 = − 8
= 1 − 2 ⋅1+ 3 = 1− 2 + 3 = 2 2
4 3 2 5. m + m − m + 5 ÷ m − 4
=4 +4 −4 +5 = 256 + 64 − 16 + 5 = 309 4
4 3 2 4. a − 5a + 2a − 6 ÷ a + 3
= (− 3) − 5 (− 3) + 2 (− 3) − 6 4
21.
3
2
= 81 − 5 (− 27) + 2 ⋅ 9 − 6
= 81 + 135 + 18 − 6 = 228 5 3 7. a − 2a + 2a − 4 ÷ a − 5
= 5 5 − 2⋅5 3 + 2⋅5 − 4 = 3 .125 − 2 ⋅125 + 10 − 4
3
2
5 4 3 2 6. x + 3x − 2 x + 4 x − 2 x + 2 ÷ x + 3
= (− 3) + 3(− 3) − 2(− 3) + 4(− 3) − 2(− 3) + 2 5
3
2
2 2 = 15 − − 11 − + 10 − 3 3 4 20 8 = 15 − − 11⋅ − + 18 27 9 3 40 44 20 =− − − + 18 9 9 3 − 40 − 44 − 60 + 162 18 = = =2 9 9
3
2
= − 243 + 3⋅ 81 − 2 (− 27) + 4 ⋅ 9 + 6 + 2
= − 243 + 243 + 54 + 36 + 8 = 98 8. 6 x + x + 3x + 5 ÷ 2 x + 1 3 2 1 1 1 3 = 6 − + − + 3 − + 5 9. 12x − 21x + 90 ÷ 3x − 3 2 2 2 = 12 ⋅1 3 − 21⋅1+ 90 3 1 3 1 1 3 = 6 − + − + 5= − + − + 5 = 12 − 21+ 90 = 81 8 4 2 4 4 2 − 3 + 1 − 6 + 20 12 = = = 3 6 4 2 4 4 12. a + a − 8a + 4a + 1 ÷ 2a + 3 3
2
= 3 .125 − 250 + 10 − 4 = 2 . 881 11. 5x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 − 22 x + 21 ÷ 5x − 2 3 2 10. 15x − 11x + 10 x + 18 ÷ 3x + 2
4
6
4
2
3 3 3 3 = − + − − 8 − + 4 − + 1 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 5 − 12 + 9 − 22 + 21 5 5 5 5 729 81 9 12 = + − 8⋅ − + 1 16 8 4 44 64 16 4 2 2 = 5⋅ − 12 ⋅ + 9⋅ − + 21 + 18 729 81 729 81 625 125 25 5 3 = + − 18 − 6 + 1 = + − 23 16 96 36 44 64 16 64 16 = − + − + 21 729 + 324 − 1. 472 419 125 125 25 5 = = − 80 36 44 64 64 =− + − + 21 125 25 5 − 80 + 180 − 1.100 + 2 . 625 1. 625 = = = 13 125 125
EJERCICIO 75 1. x − 7 x + 5 ÷ x − 3 1 −7 5 3 − 12
11. x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 3x 3 − x 2 + 2 ÷ x + 3 6. n4 − 5n3 + 4n − 48 ÷ n + 2
2
1 −5 0 4 − 48 − 2 14 − 28 48
3
1 − 7 14 − 24
1 −4 −7 = x − 4 Re s. − 7
1
−3 −3
4 18
− 3 − 66
−1 207
0 − 618
2 −3 1. 854
1
−6
22
− 69
206
− 618
1. 856
−2
= x 5 − 6x 4 + 22x 3 − 69x 2 + 206x − 618 Re s. 1. 856
0
= n3 − 7n2 + 14n − 24 Re s. 0
12. 2x 3 − 3x 2 + 7x − 5 ÷ 2x − 1
4 7. x − 3x + 5 ÷ x − 1 1 0 0 −3 5 1 1 1 1 −2
2. a − 5a + 1÷ a + 2 1 −5 1 −2 − 2 14 2
1 1 1 −2
1 − 7 15 = a − 7 Re s. 15
2
−3
7
1
−1
3
2
−2
6
−2
= x 2 − x + 3 Re s. − 2
3
3 2 13. 3a − 4a + 5a + 6 ÷ 3a + 2
= x 3 + x 2 + x − 2 Re s. 3
3 3 2 3. x − x + 2x − 2 ÷ x + 1 −1 1 −1 2 − 2 −1 2 − 4
1 −2
5 4 3 2 8. x + x − 12x − x − 4x − 2 ÷ x + 4
1 − 12 − 1 − 4 12 0
1
1 −3
4 −6
−1
0
−4 4
−2 0
0
−2
−4
3
2
0
2
0
1
0
1
1
0
4
−6
2
4
2
4
16
2
1
2
8
10
2
= x + 1 Re s. 0 −3
1 − 6 18 − 60
1
10. 1
= a 2 − 6a + 18 Re s. − 60
− 208
0
0
5
25
125
5
25
− 83
0
−6
9
0 Re s. 0
−4
4
1
−1
1
−3
3
−3
3
−9
5
− 10
8
1 3
Re s. 5
15
0
−1
−
3 2
9 4
1 −
3 2
5 4
1 2 . 076
5
− 415 − 2 . 075 − 415
4
−6
6 4 3 2 15. x − x + x + x − 1 ÷ 2x + 3 8
x 5 − 208 x 2 + 2076 ÷ x − 5
5. a 3 − 3a 2 − 6 ÷ a + 3
−2
= x3 − x2 + x − 3
= a 4 + 2a 3 + a 2 + 2a + 8 Re s. 10
2
1 −3 0 −6 − 3 18 − 54
0 −3
6
3
9. a 5 − 3a 3 + 4a − 6 ÷ a − 2 1
2 3
−
5
4 3 2 14. 3x − 4x + 4x − 10x + 8 ÷ 3x − 1
2
4. x 3 − 2x 2 + x − 2 ÷ x − 2 1 −2 1 −2 2
−4
= a 2 − 2a + 3
= x 4 − 3x 3 − x Re s. − 2
= x − 2x + 4 Re s. − 6
1 2
− 5
1
= x 4 + 5 x 3 + 25x 2 − 83x − 415 Re s. 1
=
15 8 15 − 8 0
1
0
−1
0
−
3 2
9 4
1
−
3 2
5 4
1 5 3 4 5 3 1 3 x − x + x + x− 2 4 8 2 4
Re s.
−
5 4
EJERCICIO 76 1. x 2 − x − 6 ÷ x − 3 Exacta (6 múltiplo de 3) 2. x + 4x − x − 10 ÷ x + 2 Exacta (10 múltiplo de 2) 3
2
3. 2x 4 − 5x3 + 7x2 − 9x + 3 ÷ x − 1 Inexacta (1 no anula el polinomio) 4. x 5 + x 4 − 5x 3 − 7x + 8 ÷ x + 3 Inexacta (8 no es múltiplo de 3) 5. 4x 3 − 8x 2 − 11x − 4 ÷ 2x − 1 Exacta (4 múltiplo de 1) 6. 6x 5 + 2x 4 − 3x 3 − x2 + 3x + 3 ÷ 3x + 1 Inexacta (- 1 no anula el polinomio)
7. a +1 Es factor de a 3 − 2a 2 + 2a + 5
(− 1)
3
− 2(− 1) + 2(− 1) + 5 2
= − 1− 2 − 2 + 5 = 0 No existe residuo, luego a + 1 divide exactamente al polinomio, por lo que se deduce es un factor de este. 8. x − 5 divide a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10
55 + 6 ⋅ 5 4 + 6 ⋅ 53 − 5 ⋅ 52 + 2 ⋅ 5 − 10 = 3125 − 3750 + 750 + 125 + 10 − 10 = 0 Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se anula, entonces x - 5 divide con exactitud a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10
3 2
9. 4x − 3 divide a 4x4 − 7x 3 + 7x2 − 7x + 3 4
3
17. 15n5 + 25n4 − 18n3 − 18n2 + 17n − 11 ÷ 3n + 5 − 25 0 30 − 20 5
2
3 3 3 3 4 − 7 + 7 − 7 + 3 4 4 4 4
15
7
2
− 6 18 − 54
3 2 21. 20x − 7 x + 29x + k ÷ 4 x + 1 −5 3 −8
0
20 − 12 32 0 k − 8 = 0 entoces k = 8
− a + 2a + 2 ÷ a + 1 −1 1 0 − 2 0
EJERCICIO 77
+ 5x − 6 ÷ x − 1 1 1 1 6
x5 + 1 Inexacta Re s. 2 1. x −1
0
Exacta; coc. x 3 + x 2 + x + 6 6 14. x
6 1 6
2.
− 39x 4 + 26x 3 − 52x 2 + 29x − 30 ÷ x − 6 36 − 18 48 − 24 30 −3
8
−4
5
0
Exacta; coc. x 5 + 6x 4 − 3x 3 + 8x 2 − 4x + 5 6 5 4 3 2 15. a − 4a − a + 4a + a − 8a + 25 ÷ a − 4 4 0 −4 0 4 − 16
1
0 −1
0
1 −4
9
Inexacta; coc. a 5 − a 3 + a − 4 ; Re s. 9 16. 16x 4 − 24 x 3 + 37x 2 − 24x + 4 ÷ 4x − 1 16
4
−5
− 20
32
8 −4 − 16
87
2 − 6 18 − 29 0 Para k = − 87 se cumple que k + 87 = 0
2
1 1 1 6
4
+ 25a + k ÷ a + 3
4 20. 2a
Exacta; coc. a 3 − a 2 + 2 13. x 4
−2
1 −1 2 0 k + 4 = 0 , luegok = − 4
Exacta; coc.2a 2 − 6a + 8
2
0
19. x 3 − 3x 2 + 4 x + k ÷ x − 2
11. 2a 3 − 2a 2 − 4a + 16 ÷ a + 2 − 4 12 − 16
1 −1 0
30
Sik = − 150 se anula
3n5 + 2n4 − 3n3 − 2n2 + 6n + 7 porque 7 no es múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al reemplazar tal valor en el polinomio resultará un residuo, por ende la división no será exacta y 3n + 2 no se puede concebir como factor de dicho polinomio.
12. a
2
2 18. 7 x − 5 x + k ÷ x − 5 35 150
10. 3n + 2 no es factor de
4
−6
Inexacta; coc. 5n − 6n + 4n − 1; Re s. − 6
324 189 63 21 − + − +3 256 64 16 4 324 − 756 + 1. 008 − 1. 344 + 768 0 = = =0 256 256 La variable x del dividendo se reemplaza por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el valor de la variable del divisor divisor.. Se observa su anulación, por consiguiente, 4x - 3 es un divisor exacto de tal polinomio.
8
− 3
12 4
=
2 −6
− 18
0
0
9.
a 5 + 32 Inexacta Re s. 64 a−2
a 4 + b4 Inexacta Re s. 2b 4 a+b
x8 −1 Exacta 3. 2 x +1
10.
x 7 − 128 Inexacta Re s. − 256 x+2
a11 + 1 Inexacta Re s. 2 4. a−1 a 6 + b6 Inexacta Re s. 2b 6 5. 2 a + b2 x7 − 1 Exacta 6. x −1 x3 − 8 Inexacta Re s. − 16 7. x+2
Exacta; coc. 4x 3 − 5x 2 + 8x − 4
8.
x 4 − 16 Exacta x+2
11.
16a 4 − 81b 4 Exacta 2a + 3b
a 3x6 + b9 Exacta 12. ax 2 + b3
EJERCICIO 78 1.
6.
5x = 8x − 15 5x − 8x = − 15 − 3x = − 15 − 15 x= −3 x=5
2. 4 x + 1= 2 4x = 2 − 1 4x = 1 x=
3.
1 4
y − 5 = 3y − 25 y − 3y = − 25 + 5 − 2y = − 20 − 20 y= −2 y = 10
4.
5x + 6 = 10x + 5 5x − 10x = 5 − 6 − 5x = − 1 −1 x= −5 1 x= 5
21− 6x = 27 − 8x 7. 11x + 5x − 1= 65x − 36 8. 8 x − 4 + 3x = 7 x + x + 14 − 6x + 8x = 27 − 21 16x = 65x − 36 + 1 11x − 4 = 8 x + 14 2x = 6 16x − 65x = − 35 11x − 8 x = 14 + 4 − 49x = − 35 6 3x = 18 x= 2 − 35 18 x= x= x=3 − 49 3 x=
10. 5y + 6y − 81= 7y + 102 + 65y 11y − 81= 72y + 102 11y − 72y = 102 + 81 − 61y = 183 183 y= − 61 y=−3
5.
9y − 11= − 10 + 12y 9y − 12y = − 10 + 11 − 3y = 1 y=−
9. 8x + 9 − 12x = 4x − 13 − 5x − 4 x + 9 = − x − 13 − 4x + x = − 13 − 9 − 3x = − 22
x=6
5 7
11. 16 + 7x − 5 + x = 11x − 3 − x 8x + 11= 10x − 3 8x − 10x = − 3 − 11 − 2x = − 14 − 14 x= −2 x=7
13. 14 − 12x + 39x − 18x = 256 − 60x − 657x 9x + 14 = − 717x + 256 9x + 717x = 256 − 14 726x = 242
242 726 1 x= 3 x=
1 3
x=
− 22 −3
x=
22 3
12. 3x + 101− 4 x − 33 = 108 − 16 x − 100 − x + 68 = 8 − 16x − x + 16 x = 8 − 68 15 x = − 60 − 60 15 x=−4 x=
14. 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172 − 88x = 84 x − 172 − 88x − 84x = − 172 − 172x = − 172 − 172 x= − 172 x =1
EJERCICIO 79 1. x − (2 x + 1) = 8 − (3x + 3)
x − 2 x − 1 = 8 − 3x − 3 − x − 1 = 5 − 3x − x + 3x = 5 + 1 2x = 6 6 x= 2 x=3
2. 15x − 10 = 6 x − (x + 2) + (− x + 3) 3. (5 − 3x ) − (− 4 x + 6) = (8 x + 11) − (3x − 6)
15x − 10 = 6 x − x − 2 − x + 3 15x − 10 = 4 x + 1 15x − 4 x = 10 + 1 11 11 x=1 x=
5 − 3x + 4 x − 6 = 8x + 11 − 3x + 6 x − 1 = 5x + 17 x − 5x = 17 + 1 − 4 x = 18 18 x= −4 9 x= − 2
5. 15x + (− 6 x + 5) − 2 − (− x + 3) = − (7 x + 23) − x + (3 − 2 x)
4. 30 x − (− x + 6) + (− 5x + 4) = − (5x + 6) + (− 8 + 3x )
15x − 6 x + 5 − 2 + x − 3 = − 7 x − 23 − x + 3 − 2 x
30 x + x − 6 − 5x + 4 = − 5x − 6 − 8 + 3x
10 x = − 10x − 20
26 x − 2 = − 2 x − 14
10 x + 10 x = − 20 20 x = − 20
26 x + 2 x = − 14 + 2 28x = − 12
− 20 20 x= −1
12 28 3 x=− 7
x=
x=−
[
]
[
[
]
] 3x + [− 6x − 3] = 3x − 9
[
] ]
[
16 x − 12 x + 6 = 30 x − 4 x − 5 4 x + 6 = 26 x − 5 4 x − 26 x = − 5 − 6
−2 − 2x = − 2 ⇒ x = =1 −2
]
[
}] x − [5 + 3x − {5x − 6 − x}] = − 3 x − [5 + 3x − {4 x − 6}] = − 3 {
8. x − 5 + 3x − 5x − (6 + x) = − 3
}
9. 9 x − (5x + 1) − 2 + 8 x − (7 x − 5) + 9 x = 0
9 x − 5x − 1− {2 + 8 x − 7 x + 5} + 9 x = 0
4 x − 1− {x + 7} + 9 x = 0
[
] ]
x − 5 + 3x − 4 x + 6 = − 3
4 x − 1− x − 7 + 9 x = 0 12 x − 8 = 0 12 x = 8 8 x= 12 2 x= 3
[
x − 11 − x = − 3 x − 11 + x = − 3 2 x = − 3 + 11 2x = 8⇒ x =
] } − {3x + 8 − [− 15 + 6 x + 3x − 2 − 5x − 4] − 29} = − 5 − {3x − 21 − [− 21 + 4 x ] } = − 5 [
11. − 3x + 8 − − 15 + 6 x − (− 3x + 2) − (5x + 4) − 29 = − 5
[
[
]
x=−5
EJERCICIO 80 1. x + 3 ( x − 1) = 6 − 4 (2 x + 3) 2. 5 ( x − 1) + 16 (2 x + 3) = 3 (2 x − 7) − x
5x − 5 + 32 x + 48 = 6 x − 21 − x 37 x + 43 = 5x − 21
4 x + 8x = − 6 + 3
37 x − 5x = − 21 − 43
12 x = − 3
32 x = − 64
[
] ]
[ [
]
71 + − 5x − 2 x + 3 = 25 − − 3x − 4 − 4 x − 3
− {− x} = − 5
x=
]
8 =4 2
10. 71 + − 5x + (− 2 x + 3) = 25 − − (3x + 4) − (4 x + 3)
− {3x − 21 + 21 − 4 x} = − 5
−3 1 ⇒ x= − x= 12 4
]
− 22 x = − 11 − 11 1 = x= − 22 2
− x − x = − 3+ 1
x + 3x − 3 = 6 − 8 x − 12 4 x − 3 = − 8x − 6
[ [
16 x − 12 x − 6 = 30 x + − 4 x − 5
3x − 6x − 3 = 3x − 9 − 3x − 3 = 3x − 9 − x − 1= x − 3
{
]
16 x − 3x − 6 + 9 x = 30 x + − 3x − 2 − x − 3
3x + − 5x − x − 3 = 8 x − 5x − 9
{
[
7. 16 x − 3x − (6 − 9 x ) = 30 x + − (3x + 2) − ( x + 3)
6. 3x + − 5x − ( x + 3) = 8 x + (− 5x − 9)
− 64 ⇒ x= − 2 32
[
71 + − 7 x + 3 = 25 − − 7 x − 7
]
71 − 7 x + 3 = 25 + 7 x + 7 74 − 7 x = 32 + 7 x 74 − 32 = 7 x + 7 x 42 = 14 x 42 =x 14 3= x
3. 2 (3x + 3) − 4 (5x − 3) = x (x − 3) − x (x + 5)
6 x + 6 − 20 x + 12 = x 2 − 3x − x 2 − 5x − 14 x + 18 = − 8 x − 14 x + 8 x = − 18 − 6 x = − 18 − 18 ⇒ x=3 x= −6
4. 184 − 7 (2 x + 5) = 301 + 6 ( x − 1 ) − 6
(
)(
) (
2
7 x + 5x = − 7 − 5 12 x = − 12
149 − 289 = 6 x + 14 x − 140 = 20 x
− 12 12 x= −1
− 140 =x 20 − 7= x
x=
5. 7 (18 − x ) − 6 (3 − 5x ) = − (7 x + 9) − 3(2 x + 5) − 12
2
23x + 13x = − 36 − 108 36 x = − 144 − 144 36 x= − 4 x=
) (
2
(
)(
) ( + 13x − 3) = 17 − (10 x
14 − (10 x
3x 2 − 9 x + 5x + 35 − x 2 − x − 2 x 2 − 14 + 4 = 0
2
6 − 72 1 x= − 12 x=
x=5 7. − 3(2 x + 7) + (− 5x + 6) − 8 (1− 2 x) − (x − 3) = 0
( x − 2)
2
13.
4 x = 20
x − 4 x + 4 + x 2 − 3x = 3 ( x 2 + x − 12) − ( x 2 + x − 2) + 2
20 4 x=5
2 x 2 − 7 x + 4 = 3x 2 + 3x − 36 − x 2 − x + 2 + 2 2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 36 + 4 − 7 x − 2 x = − 36 − 9 x = − 36
(3x − 4)(4 x − 3) = (6x − 4)(2 x − 5)
(
)(
) (
)(
)
− 20 x + 41x − 20 = − 20 x + 76 x − 21 2
2
41x − 76 x = − 21 + 20 − 35x = − 1 −1 x= − 35 1 x= 35
+ x ( x − 3) = 3( x + 4)( x − 3) − ( x + 2)( x − 1) + 2
2
x=
9. 4 − 5x 4 x − 5 = 10 x − 3 7 − 2 x
) − 59 x − 6)
− 13x − 59 x = 6 − 72 x = 6
− 5x = − 25 − 25 x= −5
− 6x − 21 − 5x + 6 − 8 + 16 x − x + 3 = 0 4 x − 20 = 0
2
14 − 10 x 2 − 13x + 3 = 17 − 10 x 2 + 59 x + 6
− 5x + 25 = 0
12 x 2 − 9 x − 16 x + 12 = 12 x 2 − 38 x + 20 − 25x + 38 x = 20 − 12 13x = 8 8 x= 13
)(
12. 14 − 5x − 1 2 x + 3 = 17 − 10 x + 1 x − 6
)
6. 3x x − 3 + 5 x + 7 − x x + 1 − 2 x 2 + 7 + 4 = 0
8.
=1
x2 − 4 x + 4 − 9 + 6x − x2 = 1 2x − 5= 1 2x = 6 6 x= 2 x=3
108 + 23x = − 13x − 36
) (
(x − 2) − (3 − x)
11.
126 − 7 x − 18 + 30 x = − 7 x − 9 − 6 x − 15 − 12
) (
)
2 x + 7 x + 5 = 2 x − 5x − 12 + 5 2
149 − 14 x = 289 + 6 x
(
)(
10. x + 1 2 x + 5 = 2 x + 3 x − 4 + 5
184 − 14 x − 35 = 301 + 6 x − 6 − 6
x=
− 36 −9
x= 4 14. (3x − 1) − 5( x − 2) − (2 x + 3) − (5x + 2)( x − 1) = 0 2
2
9 x 2 − 6x + 1− 5x + 10 − 4 x 2 − 12 x − 9 − 5x 2 + 3x + 2 = 0 − 20x + 4 = 0 − 20x = − 4 −4 x= − 20 1 x= 5
2 ( x − 3) − 3 ( x + 1) + ( x − 5)( x − 3) + 4 ( x 2 − 5x + 1) = 4 x 2 − 12 2
15.
2
2 x 2 − 12 x + 18 − 3x 2 − 6 x − 3 + x 2 − 8x + 15 + 4 x 2 − 20 x + 4 = 4 x 2 − 12 4 x 2 − 46 x + 34 = 4 x 2 − 12 − 46 x = − 12 − 34 − 46 x = − 46 − 46 x= − 46 x=1
16.
2
7 (x − 4) − 3 (x + 5) = 4( x + 1)(x − 1) − 2 2
19.
5( x − 2) − 5( x + 3) + (2 x − 1)(5x + 2) − 10 x 2 = 0 2
2
7 x − 56 x + 112 − 3x − 30 x − 75 = 4 x 2 − 4 − 2 2
5x 2 − 20 x + 20 − 5x 2 − 30 x − 45 + 10 x 2 − x − 2 − 10 x 2 = 0
2
4 x 2 − 86 x + 37 = 4 x 2 − 6
− 51x − 27 = 0
− 86 x = − 6 − 37 − 86 x = − 43
− 51x = 27 x=
27 − 51
x=
− 43 − 86
9 17
x=
1 2
x= − 17. x 2 − 5x + 15 = x ( x − 3) − 14 + 5( x − 2) + 3(13 − 2 x )
x 2 − 5x + 15 = x 2 − 3x − 14 + 5x − 10 + 39 − 6 x − 5x + 15 = − 4 x + 15 − 5x + 4 x = 0 − x= 0
5 (1 − x ) − 6 ( x 2 − 3x − 7) = x ( x − 3) − 2 x ( x + 5) − 2 2
20.
5 − 10 x + 5x 2 − 6 x 2 + 18 x + 42 = x 2 − 3x − 2 x 2 − 10 x − 2 − x 2 + 8 x + 47 = − x 2 − 13x − 2 8 x + 13x = − 2 − 47 21x = − 49
x= 0 18. 3(5x − 6)(3x + 2) − 6 (3x + 4)( x − 1) − 3(9 x + 1)( x − 2) = 0 3(15x 2 − 8 x − 12) − 6 (3x 2 + x − 4) − 3(9 x 2 − 17 x − 2) = 0
− 49 21 7 x= − 3 x=
45x 2 − 24 x − 36 − 18x 2 − 6 x + 24 − 27 x 2 + 51x + 6 = 0 21x − 6 = 0 21x = 6 6 x= 21 2 x= 7
EJERCICIO 81
[
]
1. 14 x − (3x − 2) − 5x + 2 − ( x − 1) = 0
[
] ]
14 x − 3x + 2 − 5x + 2 − x + 1 = 0
[
11x + 2 − 4 x + 3 = 0 11x + 2 − 4 x − 3 = 0 7 x − 1= 0 7x = 1 1 x= 7
(3x − 7)
2
2.
[
]
− 5(2 x + 1)( x − 2) = − x 2 − − (3x + 1)
[
]
9 x 2 − 42 x + 49 − 5(2 x 2 − 3x − 2) = − x 2 − − 3x − 1
9 x 2 + x 2 − 42 x + 49 − 10 x 2 + 15x + 10 = 3x + 1 − 27 x + 59 = 3x + 1 − 27 x − 3x = 1− 59 − 30 x = − 58 − 58 29 ⇒ x= x= − 30 15
{
]}
[
3. 6 x − (2 x + 1) = − − 5x + − (− 2 x − 1)
{
]} 4 x − 1 = − {− 5x + 2 x + 1} 4 x − 1 = − {− 3x + 1} [
(x + 2)(x + 3)(x − 1) = (x + 4)( x + 4)(x − 4) + 7 ( x + 5x + 6)(x − 1) = (x + 4)(x − 16) + 7
8.
6 x − 2 x − 1 = − − 5x + 2 x + 1
2
2
x 3 − x 2 + 5x 2 − 5x + 6x − 6 = x 3 − 16 x + 4 x 2 − 64 + 7 4 x 2 + x − 6 = 4 x 2 − 16 x − 57
4 x − 1 = 3x − 1
x + 16 x = − 57 + 6
4 x − 3x = − 1 + 1
17 x = − 51
x=0
(
) { − 3 = − {3x − 3 = − {3x
(
) (
x=
)}
4. 2 x + 3 − x − 1 = − 3x + 2 x − 1 − 3 x + 2 2
2 x − 3x
2
2 x − 3x 2
2
2 2
+ 2 x − 2 − 3x − 6}
− x − 8}
(x + 1) − (x − 1) = 6x (x − 3) + 3x + 1 − ( x − 3x + 3x − 1) = 6x − 18x 3
9.
x 3 + 3x 2
3
2
2
3
6 x 2 + 2 = 6 x 2 − 18x 2 = − 18 x 2 1 = x⇒ − = x − 18 9
x = 11
]} = 0 − {3x + [x + x + 4 x − 4 − 4 x ] } = 0 x − {3x + [x + x − 4] } = 0 ) (
)
2 2 2 5. x − 3x + x x + 1 + 4 x − 1 − 4 x
x
2
2
2
3 ( x − 2) ( x + 5) = 3( x + 1) ( x − 1) + 3
2
2
10.
(3x
3x 2 − 48x + 60 = 3x 2 − 3x − 48x + 3x = − 60 − 45x = − 60 − 60 4 ⇒ x= x= − 45 3
x=1
}
3(2 x + 1)(− x + 3) − (2 x + 5) = − − − 3 ( x + 5) + 10 x 2
[
]
3(− 2 x + 5x + 3) − 4 x − 20 x − 25 = − − {− 3x − 15} + 10 x 2 2
2
[
− 6 x + 15x + 9 − 4 x − 20 x − 25 = − 3x + 15 + 10 x 2
2
2
− 10 x 2 − 5x − 16 = − 3x − 15 − 10x 2 − 5x + 3x = 16 − 15 − 2x = 1 1 x= − 2
(x + 1)(x + 2)(x − 3) = (x − 2)( x + 1)( x + 1) (x + 3x + 2)( x − 3) = ( x − x − 2)(x + 1)
7.
2
2
x − 3x + 3x − 9 x + 2 x − 6 = x + x 2 − x 2 − x − 2 x − 2 3
2
2
− 12 x + 12)( x + 5) = (3x 2 + 6 x + 3)( x − 1) + 3
2
− 4x = − 4 −4 x= −4
[{
2
3x + 15x − 12 x 2 − 60 x + 12 x + 60 = 3x 3 − 3x 2 + 6 x 2 − 6 x + 3x − 3 + 3 3
x 2 − 4 x − x2 + 4 = 0
2
2
3( x 2 − 4 x + 4)( x + 5) = 3 ( x 2 + 2 x + 1)( x − 1) + 3
2
x 2 − {3x + x 2 + x − 4} = 0
6.
2
2
2x − x = 8 + 3
2
3
x + 3x + 3x + 1 − x + 3x − 3x + 1 = 6x 2 − 18x 3
2 x − 3x 2 − 3 = − 3 x 2 + x + 8
{ [(
− 51 ⇒ x= − 3 17
]
]
EJERCICIO 82 1.
x → N º mayor x − 8 → N º menor x + x − 8 = 106 2 x − 8 = 106 2 x = 106 + 8 114 x= 2 x = 57 → N º mayor
3
− 7 x − 6 = − 3x − 2 − 7 x + 3x = − 2 + 6 − 4x = 4 4 ⇒ x= −1 x= −4
x − 8 ⇒ 57 − 8 = 49 → N º menor
2.
x → Nº mayor x − 32 → Nº menor x + x − 32 = 540 2x = 540 + 32 2x = 572 572 x= 2 x = 286 → Nº mayor
6. A + B = 1.080 soles A − 1.014 = B A + A − 1.014 = 1.080 2A = 1.080 + 1.014 2 .094 A= 2 A = 1.047 soles
A − 1.014 = B ⇒ 1.047 − 1.014 = B 33 soles = B
x − 32 ⇒ 286 − 32 = 254 → Nº menor 7. 3.
10.
= 96 → Nº menor 2x + 2 ⇒ 2 ⋅ 48 + 2 = 96 + 2 = 98 → Nº mayor
x → Nº mayor x − 1→ Nº menor x + x − 1= 103 2x = 103 + 1 104 x= 2 x = 52 → Nº mayor
A + B = 1.154 bs. A − 506 = B A + A − 506 = 1.154 2A = 1.154 + 506 2A = 1.660 1.660 A= 2 A = 830 bs.
11.
x + x − 1+ x − 2 = 186 3x − 3 = 186 3x = 189 189 x= 3 x = 63 → Nº mayor x − 1⇒ 63 − 1
x − 1⇒ 52 − 1 8.
x + 2 → Nº mayor x + x + 1+ x + 2 = 204 3x + 3 = 204 3x = 204 − 3 201 x= 3 x = 67 → Nº menor
130 2 x = 65 x → Nº mayor x=
x + 1⇒ 67 + 1 = 68 → Nº medio
x − 24 ⇒ 65 − 24
x + 2 ⇒ 67 + 2
= 41→ Nº menor 5. A + B = 56 años A + 14 = B A + A + 14 = 56 2A = 56 − 14 42 A= 2 A = 21años
A + 14 = B 21+ 14 = B 35 años = B
x → Nº menor x + 1 → Nº medio
4. x → Nº mayor x − 24 → Nº menor x + x − 24 = 106 2x = 106 + 24
= 69 → Nº mayor 9.
x → Nº 1
x + 1→ Nº 2 x + 2 → Nº 3 x + 3 → Nº 4 x + x + 1+ x + 2 + x + 3 = 74
= 62 → Nº medio x − 2 ⇒ 63 − 2 = 61→ Nº menor
12. caballo + coche + arreos = 325 coche + 80 = caballo coche − 25 = arreos coche + 80 + coche + coche − 25 = 325 3 coches + 55 = 325 3 coches = 270 270 coche = 3 coche = $ 90
4x + 6 = 74 4x = 74 − 6 68 x= 4 x = 17 → Nº 1 x + 1⇒ 17 + 1 = 18 → Nº 2 x + 2 ⇒ 17 + 2 = 19 → Nº 3
x → Nº mayor x − 1→ Nº medio x − 2 → Nº menor
= 51→ Nº menor A − 506 = B ⇒ 830 − 506 = B 324 bs. = B
2x → Nº menor 2x + 2 → Nº mayor 2x + 2x + 2 = 194 4x = 194 − 2 192 x= 4 x = 48 2x ⇒ 2 ⋅ 48
x + 3 ⇒ 17 + 3 = 20 → Nº 4
coche + 80 = caballo ⇒ 90 + 80 = caballo $ 170 = caballo coche − 25 = arreos ⇒ 90 − 25 = arreos $ 65 = arreos
13.
x → Nº mayor x − 32 → Nº medio
EJERCICIO 83 16.
x − 65 → Nº menor
x → 1º x − 20 → 2º x − 20 − 40 → 3º
x + x − 32 + x − 65 = 200 3x − 97 = 200 3x = 297 297 x= 3 x = 99 → Nº mayor x − 32 ⇒ 99 − 32
⇒ x − 60 → 3º x + x − 20 + x − 60 = 310 3x = 310 + 80 3x = 390 390 x= 3 x = 130 → 1º x − 20 ⇒ 130 − 20
= 67 → Nº medio x − 65 ⇒ 99 − 65
= 110 → 2º x − 60 ⇒ 130 − 60
= 34 → Nº menor
= 70 → 3º 14.
x → 1º cesto x − 10 → 2º cesto x − 15 → 3º cesto x + x − 10 + x − 15 = 575 3x − 25 = 575 3x = 600 600 x= 3 x = 200 → 1º cesto x − 10 ⇒ 200 − 10 = 190 → 2º cesto x − 15 ⇒ 200 − 15 = 185 → 3º cesto
15.
17.
x → mayor x − 20 → menor x − 18 → medio x + x − 20 + x − 18 = 88 3x − 38 = 88 3x = 88 + 38 3x = 126 126 x= 3 x = 42 → mayor x − 20 ⇒ 42 − 20 = 22 → menor x − 18 ⇒ 42 − 18 = 24 → medio
x → mayor x − 55 → medio x − 70 → menor x → mayor 18. x + x − 55 + x − 70 = 454 x − 36 → menor 3x − 125 = 454 x + x − 36 = 642 3x = 454 + 125 2x − 36 = 642 3x = 579 2x = 642 + 36 579 x= 2x = 678 3 678 x = 193 → mayor x= 2 x − 55 ⇒ 193 − 55 x = 339 → mayor = 138 → medio x − 70 ⇒ 193 − 70 x − 36 ⇒ 339 − 36 = 123 → menor = 303 → menor
1.
x → edad Juan 3x → edadPedro x + 3x = 40 4 x = 40 40 4 x = 10 → edad Juan x=
3x ⇒ 3 ⋅10 = 30 → edadPedro
2. x → Arreos 4x → Caballo x + 4x = 600 5x = 600 600 x= 5 x = $ 120 → Arreos 4x ⇒ 4 ⋅120
= $ 480 → Caballo 3. x → 1º piso x → 2º piso 2 x x + = 48 2 2x + x = 48 2 3x = 48 ⋅ 2 3x = 96
96 3 x = 32 Habt. → 1º piso x 32 ⇒ 2 2 = 16 Habt. → 2º piso x=
4. A + B + C = 300
B = 2A C = 3A ⇒ A + 2A + 3A = 300 6A = 300 300 A= 6 A = 50 colones B = 2A ⇒ 2 ⋅ 50 = 100 colones C = 3A ⇒ 3 ⋅ 50 = 150 colones
8. x → 1º parte 5. A + B + C = 133 4x → 2º parte B A= 5x → 3º parte 2 x + 4x + 5x = 850 C = 2B 10x = 850 B ⇒ + B + 2B = 133 2 850 x= B 10 + 3B = 133 2 x = 85 → 1º parte B + 6B 4x ⇒ 4 ⋅ 85 = 133 2 = 340 → 2º parte 7B = 133 ⋅ 2 5x ⇒ 5 ⋅ 85 266 = 425 → 3º parte B= 7 B = 38 Sucres
B 38 ⇒ 2 2 = 19 Sucres C = 2B ⇒ 2 ⋅ 38 A=
= 76 Sucres
7.
A + B + C = 140 A B = ⇒ 2B = A 2 C B = ⇒ 4B = C 4 2B + B + 4B = 140 7B = 140 140 B= 7 B = 20 Quetz. A = 2B ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 Quetz. C = 4B ⇒ 4 ⋅ 20 = 80 Quetz.
x → 1º parte x → 2º parte 3 4x → 3º parte 3 x 4x = 96 x+ + 3 3 3x + x + 4 x = 96 3 8x = 96 ⋅ 3 8x = 288 288 x= 8 x = 36 → 1º parte x 36 ⇒ = 12 → 2º parte 3 3 4x 4 ⋅ 36 ⇒ = 4 ⋅12 = 48 → 3º parte 3 3
14.
x → EdadEnrique 2x → EdadPedro 3x → Edad Juan 6x → EdadEugenio x + 2x + 3x + 6x = 132 12x = 132 132 x= 12 x = 11→ EdadEnrique 2x ⇒ 2 ⋅11 = 22 → EdadPedro 3x ⇒ 3 ⋅11 = 33 → Edad Juan 6x ⇒ 6 ⋅11 = 66 → EdadEugenio
9. x → Nº buscado 2x = x + 111 2x − x = 111 x = 111→ Nº buscado
6. x → Nº mayor x → edadRosa 10. x 3 15 x + → edadMaría → Nº menor 6 x + 3x + 15 = 59 x x + = 147 4x = 59 − 15 6 4x = 44 6x + x = 147 44 6 x= 4 7x = 147 ⋅ 6 x = 11→ edadRosa 7x = 882 3x + 15 ⇒ 3 ⋅11+ 15 882 x= = 33 + 15 7 = 48 → edadMaría x = 126 → Nº mayor
x 126 ⇒ 6 6 = 21→ Nº menor
13.
11. x → Nº buscado 8 x = x + 21 8 x − x = 21 7 x = 21 21 x= 7 x = 3 → Nº buscado
12. x → Mi edad 3x + 7 = 100 3x = 100 − 7 3x = 93 93 x= 3 x = 31→ Mi edad
EJERCICIO 84 1.
x → 1º parte 3x → 2º parte 3x − 40 → 3º parte x + 3x + 3x − 40 = 254 7x = 254 + 40 7x = 294 294 x= 7 x = 42 → 1º parte 3x ⇒ 3 ⋅ 42 = 126 → 2º parte 3x − 40 ⇒ 3 ⋅ 42 − 40 = 126 − 40 = 86 → 3º parte
x → 1º Número A + B + C = 152 8. x−6 B+8 → 2º Número B = 2 A − 8⇒ =A C = 2A 5 2 B − 15 = C ⇒ B − 15 = 2A x − 6 → 3º Número B − 32 = C B = 2A + 15 x−6 B+8 + x − 6 = 72 x+ + B + B − 32 = 152 A + 2A + 15 + 2A = 130 5 2 5A = 130 − 15 x 6 B 8 2x + − = 78 + + 2 B = 152 + 32 5A = 115 5 5 2 2 10x + x 6 B + 4B 115 = 78 + A= = 184 − 4 5 5 2 5 11x 390 + 6 5B = 180 ⋅ 2 A = 23 Balb. = 5 5 B = 2A + 15 ⇒ 2 ⋅ 23 + 15 = 46 + 15 = 61Balb. 360 B= 11x = 396 5 C = 2A ⇒ 2 ⋅ 23 = 46 Balb. 396 B = $ 72 x= 11 x → 1º Número 3. B + 8 72 + 8 80 ⇒ = = $ 40 A= x = 36 → 1º Número x−8 2 2 2 → 2º Número x−6 36 − 6 C = B − 32 ⇒ 72 − 32 = $ 40 2 ⇒ 5 5 x − 18 → 3º Número 30 x−8 = = 6 → 2º Número x+ + x − 18 = 238 5 2 x − 6 ⇒ 36 − 6 = 30 → 3º Número x 8 2x + − = 256 2 2 6. A + B = 99 4x + x 9. x → Nº buscado = 256 + 4 B = 3A + 19 2 x − 80 = 220 − 2 x 5x = 260 ⋅ 2 A + 3A + 19 = 99 x + 2x = 220 + 80 520 4A = 99 − 19 3x = 300 x= 5 4A = 80 300 x= x = 104 → 1º Número 80 3 A= x − 8 104 − 8 96 4 x = 100 → Nº buscado ⇒ = = 48 → 2º Número 2 2 2 A = 20 bs. x − 18 ⇒ 104 − 18 = 86 → 3º Número B = 3A + 19 ⇒ 3 ⋅ 20 + 19 = 60 + 19 = 79 bs. x → Costo traje 4. 7. x → cm de azúl x 10. x → Tengo ahora → Costo sombrero 8 x − 14 2x + 10 = x + 60 → cm deblanco x − 30 → Costo bastón 2 2x − x = 60 − 10 x − 14 x x = 50 S /. → Tengo ahora x + = 74 x + + x − 30 = 259 2 8 x 14 x x+ − = 74 2x + = 259 + 30 x → Parte separada 2 2 8 11. 2x + x 16x + x + → La otra parte 80 x = 74 + 7 = 289 2 8 x + x + 80 = 910 3x = 81⋅ 2 17x = 289 ⋅ 8 2x = 910 − 80 162 2 .312 830 x= x= x= 3 17 2 x = 54 → cmde azúl x = $ 136 → Costo traje x = 415 cm x − 14 54 − 14 x 136 ⇒ 4 ,15 m → Parte separada ⇒ ⇒ = $ 17 → Costo sombrero 2 2 8 8 x + 80 ⇒ 415 + 80 = 495 cm 40 x − 30 ⇒ 136 − 30 = $ 106 → Costo bastón = = 20 → cmde blanco ⇒ 4 , 95 m → La otra parte 2 2. A + B + C = 130
5.
12.
x → Edad padre 14. x → Nº buscado x−3 13. A + B + C = 9 . 000 8 x − 60 = 60 − 7 x → Edad hijo B + 500 = A 3 8 x + 7 x = 60 + 60 x−3 B − 800 = C 15 x = 120 = 83 x+ 3 B + 500 + B + B − 800 = 9 . 000 120 x= x 3 3B = 9 .000 + 300 15 x + − = 83 3 3 9 . 300 x = 8 → Nº buscado B= 3x + x 3 = 83 + 1 15. x → Edad hom bre 3 B = 3 .100 Votos 2x − 17 = 100 − x 4x = 84 ⋅ 3 A = B + 500 ⇒ 3 .100 + 500 = 3 . 600 Votos 2x + x = 100 + 17 252 C = B − 800 ⇒ 3 .100 − 800 = 2 . 300 Votos x= 3x = 117 4 x = 63 → Edad padre 117 x= x − 3 63 − 3 60 3 ⇒ = = 20 → Edad hijo x = 39 → Edad hom bre 3 3 3
EJERCICIO 85 1.
2.
x → Nº mayor 2x → Nº menor 3 2x = 100 x+ 3 3x + 2x = 100 3 5x = 100 ⋅ 3 300 x= 5 x = 60 → Nº mayor 2x 2 ⋅ 60 ⇒ = 40 → Nº menor 3 3 x → Edad padre x − 15 → Edad hijo 2 x − 15 = 60 x+ 2 x 15 = 60 x+ − 2 2 2x + x 15 = 60 + 2 2 3x 120 + 15 = 2 2 3x = 135 135 x= 3 x = 45 → Edad padre x − 15 45 − 15 ⇒ = 15 → Edad hijo 2 2
3.
x → Partemayor x − 232 → Partemenor x + x − 232 = 1.080 2x = 1.080 + 232
x → Nº mayor
6.
x − 88 → Nº menor 3 x − 88 = 540 x+ 3 x 88 x+ − = 540 3 3 3x + x 88 = 540 + 3 3 4 x 1. 620 + 88 = 3 3 4 x = 1. 708 1.708 x= 4 x = 427 → Nº mayor
1.312 2 x = 656 → Partemayor x − 232 ⇒ 656 − 232 = 424 → Partemenor x=
4. A + B = 150 A − 46 = B A + A − 46 = 150 2A = 150 + 46 196 A= 2 A = 98 Soles B = A − 46 ⇒ 98 − 46
427 − 88 x − 88 ⇒ 3 3 339 = = 113 → Nº menor 3
= 52 Soles
5.
x → Ang. mayor x + 45 → Ang. menor 2 x + 45 = 180 x+ 2 x 45 = 180 x+ + 2 2 2x + x 45 = 180 − 2 2 3x 360 − 45 = 2 2 3x = 315 x=
7.
315 3
x = 105 ! → Ang. mayor x + 45 105 + 45 ⇒ = 75! → Ang. menor 2 2
x → N º mayor x − 12 → N º menor 4 x − 12 x− = 36 4 x−
x 12 + = 36 4 4 4x − x = 36 − 3 4 3x = 33⋅ 4 3x = 132
132 3 x = 44 → N º mayor x − 12 44 − 12 ⇒ = 8 → N º menor 4 4 x=
8 x → Costo perro x → Costo collar 8 x x + = 54 8 8x + x = 54 8 9x = 54 ⋅ 8 9x = 432 432 9 x = $ 48 → Costo perro 48 x ⇒ = $ 6 → Costo collar 8 8
A + B = 84
9.
10.
⇒ A − 16 − 20 = B A − 36 = B A + A − 36 = 84 2A = 84 + 36 120 2 A = $ 60 A=
x=
B = A − 36 ⇒ 60 − 36 = $ 24
x → Nº mayor x + 150 → Nº menor 3 x → Parte mayor 11. x + 150 = 506 x+ x + 16 → Parte menor 3 3 150 x x + 16 x + = 506 − = 160 x+ 3 3 3 3x + x 1.518 − 150 x 16 = x + = 160 − 3 3 3 3 3x + x 480 − 16 4x = 1.368 = 3 3 1. 368 x= 4x = 464 4 464 x= x = 342 → Nº mayor 4 x + 150 342 + 150 x = 116 → Parte mayor ⇒ 3 3 x + 16 116 + 16 ⇒ 492 3 3 = = 164 → Nº menor 132 3 = = 44 → Parte menor 12.
3
EJERCICIO 86 1. 2 x → Edad actual A x → Edad actual B
2 x − 10 = 3 ( x − 10)
3. 2x → Tiene A x → TieneB 2x − 30 = x − 5 2x − x = 30 − 5
x = $ 25 → TieneB
2 x − 10 = 3x − 30 2 x − 3x = − 30 + 10 − x = − 20 x = 20 → Edad actual B 2 x ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 → Edad actual A 2.
3x → Edad A x → Edad B
3x + 5 = 2 ( x + 5) 3x + 5 = 2 x + 10
3x − 2 x = 10 − 5 x = 5 → Edad B 3x ⇒ 3⋅ 5 = 15 → Edad A
2x ⇒ 2 ⋅ 25 = $ 50 → Tiene A 4.
x → Tiene A 2 x → Tiene B x + 66 = 2 ( x − 90) 2 x + 132 = 2 ( x − 90) 2
x + 132 = 4 (x − 90) x + 132 = 4 x − 360 − 3x = − 492
− 492 −3 x = 164 colones → Tiene B x 164 ⇒ = 82 → colones Tiene A 2 2 x=
x → Nº Señoritas x − 15 → Nº Jovenes 2 x − 15 = 60 x+ 2 x 15 x + = 60 + 2 2 2 x + x 120 + 15 = 2 2 3x = 135 135 x= 3 x = 45 → Nº Señoritas x − 15 45 − 15 ⇒ = 15 → Nº jovenes 2 2
A − 16 = B + 20
13.
x → Esti log ráfica x − 10 → Lapicero x + x − 10 = 18 2x = 28 28 x= 2 x = 14 bs. → Esti log ráfica x − 10 ⇒ 14 − 10 = 4 bs. → Lapicero
14.
x → Parte roja x + 4 → Parte negra x + x + 4 = 84 2x = 80 x = 40 cm → Parte roja x + 4 ⇒ 40 + 4 = 44 cm → Parte negra
5. x → Nº var ones x → Nº Srtas 3 x + 14 = x − 10 3 x − x = − 10 − 14 3 x − 3x = − 24 3 − 2x = − 72
x = 36 → Nº var ones x 36 ⇒ = 12 → Nº Srtas 3 3 6. 3x → Edad padre x → Edad hijo
3x − 5 = 2 ( x + 10) 3x − 5 = 2 x + 20
x = 25→ Edad hijo 3x ⇒ 3⋅ 25 = 75 → Edad padre
8. 5x → Tiene Enrique x → Tiene suhno. 5x − 0 ,5 = x + 0 , 5 5x − x = 0 , 5 + 0 , 5
x → Nº mayor 7. 2x − 56 → Nº menor x + 2x − 56 = 85 3x = 141 141 x= 3 x = 47 → Nº mayor 2x − 56 ⇒ 2 ⋅ 47 − 56 = 94 − 56 = 38 → Nº menor
x → Bolsa 1 x − 400 → Bolsa 2 x + x − 400 = 1. 400 2x = 1. 800 x = 900 S /. → Bolsa 1
9.
4x = 1 1 x − 400 ⇒ 900 − 400 = 500 S /. → Bolsa 2 x= 4 x = $ 0 , 25 → Tiene suhno 5x ⇒ 5 ⋅ 0 , 25 12. 3x → Edad actual Juan x → Edad actual hijo
= $ 1, 25 → Tiene Enrique
3x + 22 = 2 ( x + 22)
11. 2 x → Edad act . padre x → Edad act . hijo
10. 4x → Días Trab.Pedro x → Días Trab.Enrique 4x − 15 = x + 21 4x − x = 21+ 15 3x = 36
3x = 2 x + 44 − 22 x = 22 → Edad actual hijo 3x ⇒ 3⋅ 22 = 66 → Edad actual Juan
2 x − 14 = 3( x − 14) 2 x − 14 = 3x − 42
13. A + B = 84 ⇒ A = 84 − B
2 x − 3x = − 42 + 14 − x = − 28
36 3 x = 12 → Días Trab.Enrique 4x ⇒ 4 ⋅12 x=
= 48 → Días Trab.Pedro
A + 80 = 3 ( B + 4)
⇒ 84 − B + 80 = 3B + 12 − B − 3B = 12 − 164
x = 28 → Edad act . hijo
− 4 B = − 152 − 152 B= −4
Edades hace 14 años : 2 x − 14 ⇒ 2 ⋅ 28 − 14 = 42 años → padre x − 14 ⇒ 28 − 14
B = $ 38 A = 84 − B ⇒ 84 − 38 = $ 46
= 14 años → hijo
EJERCICIO 87 3. 16 − x → Pr ob. reslt . x → Pr ob. no reslt .
1. 2x → Nº Sombreros x → Nº trajes 4x + 50x = 702 54x = 702
5. 35 − x → Trajes de 30 Q x → Trajes de 25 Q
30 (35 − x ) + 25x = 1.015
12 (16 − x) − 5x = 73
1. 050 − 30 x + 25x = 1.015
192 − 12 x − 5x = 73
702 54 x = 13 → Nº trajes 2x ⇒ 2 ⋅13
− 5x = 1.015 − 1.050
− 17 x = 73 − 192
x=
x=
− 119 − 17
x=
x = 7 → Pr ob. no reslt .
= 26 → Nº Sombreros
16 − x ⇒ 16 − 7 = 9 → Pr ob. reslt . 6.
2.
x → Cab. x − 6 → Vacas
600x + 800 ( x − 6) = 40 .000
4. 50 − x → Días trab. x → Días no trab.
600 x + 800 x − 4 .800 = 40 .000 1. 400x = 44 .800 x=
44 .800 1. 400
x = 32 → Cab. x − 6 ⇒ 32 − 6 = 26 → Vacas
3(50 − x) − 2 x = 90
150 − 3x − 2 x = 90 − 5x = − 60 x=
− 60 −5
x = 12 → Días no trab. 50 − x ⇒ 50 − 12 = 38 → Días trab.
− 35 −5
x = 7 → Trajes de 25 Q 35 − x ⇒ 35 − 7 = 28 → Trajes de 30 Q
x → Traje Cal. x − 7 → Traje inf.
32 x + 18 ( x − 7) = 1.624
32 x + 18x − 126 = 1. 624 50x = 1.750 1.750 x= 50 x = 35balb. → Traje Cal. x − 7 ⇒ 35 − 7 = 28balb. → Traje inf.
8. 3 x + 5 → Sac. Frij. 7. 3x → N º Lápices
x → N º cuad . 0 , 05 ⋅ 3x + 0 , 06 x = 1 , 47 0 ,15x + 0 , 06 x = 1 , 47 0 , 21x = 1, 47 1 , 47 x= 0 , 21 x=7
⇒ 7 → N º cuad . 3x → 3 ⋅ 7 = 21→ N º Lápices
x → Sac. azúc.
6 (3 x + 5) + 5 x = 582 18 x + 30 + 5x = 582 23 x = 552 552 23 x = 24 ⇒ 24 → Sac. azúc. 3 x + 5 ⇒ 3 ⋅ 24 + 5 = 77 → Sac. Frij. x=
9. 80 − x → Cedro
10. 1. 050 − x → P. mayor x → P. menor
x → Caoba
3 (1. 050 − x ) − 2 x = 1. 825 0 , 75 (80 − x ) + 0 , 90 x = 68 , 40 60 − 0 , 75x + 0 , 90 x = 68 , 403 .150 − 3x − 2 x = 1.825 − 5x = 1.825 − 3.150 0 ,15x = 8 , 40 − 5x = − 1. 325 8 , 40 x= − 1. 325 0 , 15 x= −5 x = 56 x = 265 3 ⇒ 56 pies → Caoba ⇒ 265 → P. menor 80 − x ⇒ 80 − 56 1 . 050 − x ⇒ 1. 050 − 265 = 24 pies3 → Cedro = 785 → P. mayor
EJERCICI0 88 1.
x → 1º 2x → 2º x + 2x − 20 → 3º ⇒ 3x − 20 → 3º x + 2x + 3x − 20 = 196 6x = 196 + 20 216 x= 6 x = 36 → 1º 2x ⇒ 2 ⋅ 36 = 72 → 2º 3x − 20 ⇒ 3 ⋅ 36 − 20 = 108 − 20 = 88 → 3º
2. 3x → Edad A x → Edad B
3x − 5 = 4 ( x − 5) 3x − 5 = 4 x − 20
3x − 4 x = − 20 + 5 − x = − 15 x = 15 → Edad B 3x ⇒ 3⋅ 15 = 45 → Edad A
3.
x → Par zap. 2 x + 50 → Traje
4. x → Costo casa 7. x → Gasté x x = + 2 . 000 85 − x = 4x 4 6 85 = 5x x x + 12 . 000 = 85 4 6 =x 5 6x = 4x + 48 . 000 17 = x 2x = 48 . 000 ⇒ $ 17 → Gasté 48 .000 x= 2 x = 24 . 000bs. → Costo casa 5.
x → Nº mayor 8. 2 x − 156 → Nº menor 3 2 x − 156 = 108 x+ 3 2x 156 x+ = 108 + 3 3 3x + 2x 324 + 156 = 3 3 5x = 480 480 x= 5 x = 96 → Nº mayor 2 x − 156 2 ⋅ 96 − 156 ⇒ 3 3 36 = = 12 → Nº menor 3
9.
x → Edad act . B
2 ( x − 12) → Edad A hace 12 años 2 ( x − 12) + 24 + 68 = 3 ( x + 12)
2 x − 24 + 92 = 3x + 36 2 x − 3x = 36 − 68 − x = − 32 x = 32 → Edad act . B Edad actual de A :
2 ( x − 12) + 12 ⇒ 2 (32 − 12) + 12 = 2 ⋅ 20 + 12 = 52 años
x → mon. 10 cts. 22 − x → mon. 5 cts.
6. x → Ancho 0 , 10 x + 0 , 05 (22 − x ) = 1 , 85 461− 11= 9x 50 (2 x + 50) + 35x = 16 . 000 0 , 10 x + 1 ,10 − 0 , 05x = 1, 85 450 = 9x 100 x + 2.500 + 35x = 16 .000 0 , 05x = 1, 85 − 1 ,10 450 =x 135x = 16 .000 − 2. 500 0 , 05x = 0 , 75 9 13. 500 50 = x 0 , 75 x= x= 135 ⇒ 50 pies → Ancho 0 , 05 x = 100 soles → Par zap. x = 15 → mon.10 cts. 2 x + 50 ⇒ 2 ⋅ 100 + 50 = 250 soles → Traje 22 − x ⇒ 22 − 15 = 7 → mon. 5 cts.
10. x → N º buscado
15.
12 ( x − 24) = 24 ( x − 27) 12 x − 288 = 24 x − 648 12 x − 24 x = − 648 + 288 − 12 x = − 360 − 360 x= − 12 x = 30 → N º buscado
11. x → c / cab.
35x = 40 ( x − 10) 35x = 40 x − 400 − 5x = − 400 x=
− 400 −5
x = $ 80 → c / cab. 12. x → Nº buscado 3x − 55 = 233 − x 3x + x = 233 + 55 4x = 288 288 x= 4 x = 72 → Nº buscado 13.
x → N º menor x + 1→ N º medio x + 2 → N º mayor
2 x + 3( x + 1) + 4 ( x + 2) = 740
x → Parte hijo x + 2 . 000 → Parte hijas
3x + 2 (x + 2 . 000) = 16 .500
19.
x → Lunes 2 x → Martes 4 x → Miercoles
8 x → Jueves 3x + 2 x + 4 . 000 = 16 .500 8 30 → Viernes x − = 5x 12 . 500 8 x − 20 → Sábado 12 .500 x= x + 2 x + 4 x + 8 x + 8 x − 30 + 8 x − 20 = 911 5 x = 2 .500 31x − 50 = 911 ⇒ 2 .500 colones → Parte hijo 31x = 911 + 50 x + 2 .000 ⇒ 2 .500 + 2 . 000 = 4 .500 961 x= ⇒ 4 .500 colones → Parte hijas 31 x = $ 31→ Lunes x → N º mayor 16. 2 x ⇒ 2 ⋅ 31 = $ 62 → Martes x − 1→ N º menor 2 4 x ⇒ 4 ⋅ 31 = $ 124 → Miercoles 2 x − x − 1 = 31 8 x ⇒ 8 ⋅ 31 = $ 248 → Jueves 2 2 x − x + 2 x − 1 = 31 8 x − 30 ⇒ 8 ⋅ 31 − 30 = $ 218 → Viernes 2 x = 32 8 x − 20 ⇒ 8 ⋅ 31 − 20 = $ 228 → Sábado x = 16 → N º mayor
(
)
x − 1⇒ 16 − 1 = 15→ N º menor 17. 3x → Edad A x → Edad B x → Edad C 5 x − 12 → Edad C Luego : x = x − 12 5 x = 5 ( x − 12) x = 5x − 60 − 4 x = − 60 x = 15 → Edad B 3 x ⇒ 3 ⋅ 15 = 45 → Edad A
x → Nº 1
20.
x − 18 → Nº 2 x + x − 18 = 3 ⋅18 2x = 54 + 18 72 x= 2 x = 36 → Nº 1 x − 18 ⇒ 36 − 18 = 18 → Nº 2
21.
x → Tiene A
3( x − 16) → Tiene B x + 3 ( x − 16) = 36
x + 3x − 48 = 36 2 x + 3x + 3 + 4 x + 8 = 740 x − 12 ⇒ 15 − 12 = 3 → Edad C 4 x = 84 9 x = 740 − 11 x → Edad act . A 18. 84 x= 729 x+5 4 x= → Edad B en 5 años 9 3 x = $ 21→ Tiene A x = 81 x + 20 → Edad B en 20 años 3( x − 16) ⇒ 3 (21 − 16) ⇒ 81 → N º menor 2 = 3⋅ 5 = $15 → Tiene B Luego : x + 1⇒ 81 + 1 = 82 → N º medio x+5 x + 20 22. 3x → Tiene A x + 2 ⇒ 81 + 2 = 83 → N º mayor + 15 = 3 2 x → Tiene B x → A caballo 14. x + 5 + 45 x + 20 x = → Tiene C 3x → Enauto 3 2 2 x − 20 → A pie 2 ( x + 50) = 3( x + 20) x 3x − 1 − ( x − 3) = 2 + 20 x + 3x + x − 20 = 150 2 x + 100 = 3x + 60 2 5x = 150 + 20 − x = − 40 3x − 1 − x + 3 = x + 40 170 x = 40 → Edad act . A 2 x − x = 40 − 2 x= 5 Edad actual de B : x = 38 → Tiene B x = 34 Km → A caballo 40 + 20 x + 20 3x ⇒ 3⋅ 38 = $ 114 → Tiene A − 20 ⇒ − 20 3x ⇒ 3 ⋅ 34 = 102 Km → Enauto 2 2 x 38 x − 20 ⇒ 34 − 20 = 14 Km → A pie ⇒ = $19 → Tiene C = 30 − 20 = 10 años 2 2
23. x → Costo tienda x x − 800 = 5 7 x − 4 . 000 x = 5 7 7 x − 28 .000 = 5 x 2 x = 28 .000
24.
x → Cab. peor
28
2 ( x + 15) → Cab. mejor x + 2 x + 30 = 120 3x = 90 x = $ 30 → Cab. peor
2 ( x + 15) = 2 (30 + 15)
= 2 ⋅ 45 = $ 90 → Cab. mejor x → queda A 3x → queda B x + 3x = 160 4x = 160
2 x ⇒ 2 ⋅ 12 = 24m → L arg o
x → Lunes x + 6 → Martes x + 12 → Miercoles x + 18 → Jueves 4x → Jueves x + 18 = 4x − 3x = − 18
31. 3x → Padre hace 5 años x → Hijo hace 5 años
3x + 10 = 2 ( x + 10) 3x + 10 = 2 x + 20 x = 10 años
Edad actual Padre : 3x + 5 ⇒ 3⋅ 10 + 5 = 35 años
x = $ 6 → Lunes
Edad actual Hijo :
x + 6 ⇒ 6 + 6 = $ 12 → Martes x + 12 ⇒ 6 + 12 = 18 → Miercoles
x + 5 ⇒ 10 + 5 = 15 años
4x ⇒ 4 ⋅ 6 = $ 24 → Jueves
x = 40 Como A tenía 80 Q. ⇒ lo que perdío A
32. 3x → Edad A en 4 años x → Edad B en 4 años
29. x → Tenía ppio. 2 x − 50 + 2 (2 x − 50) − 390 = 0
3x − 6 = 5 ( x − 6)
2 x − 440 + 4 x − 100 = 0 6 x = 540 540 x= 6 x = 90 ⇒ 90 soles → Tenía ppio.
= 80 − x ⇒ 80 − 40 = 40 Q.
26. 2 x → Emp. A x → Emp. B
2 (2 x − 400) = x + 400 4 x − 800 = x + 400 3x = 1. 200 x = $ 400 → Emp. B
2
2 x 2 + 2 x − 24 = 2 x 2 2 x = 24 x = 12 m → Ancho
4 x + 5 = 3x + 15 x = 10 → Vacas 4 x ⇒ 4 ⋅ 10 = 40 → Cab.
x + 2 ( x + 15) = 120
25.
(2 x − 6)(x + 4) = 2 x
4 x + 5 = 3 (x + 5)
x = 14 . 000 ⇒ 14 . 000 bs. → Costo tienda
30. 2 x → L arg o x → Ancho
27. 4 x → Cab. x → Vacas
3x − 6 = 5x − 30 − 2 x = − 24 x = 12 años Edad Actual A : 3x − 4 ⇒ 3⋅ 12 − 4 = 32 años Edad Actual B : x − 4 ⇒ 12 − 4 = 8 años
2 x ⇒ 2 ⋅ 400 = $ 800 → Emp. A
EJERCICIO 89
(
1. a + ab = a a + b 2
)
( ) 3. x + x = x ( x + 1) 4. 3a − a = a (3a − 1) 5. x − 4 x = x (1 − 4 x ) 6. 5m + 15m = 5m (1 + 3m) 2. b + b 2 = b 1 + b 2
3
2
2
11.
12. 15c d + 60c d = 15c d 3
13.
20. 2a 2 x + 2ax 2 − 3ax
9a 3 x 2 − 18ax 3 = 9ax 2 (a 2 − 2 x ) 2
2
3
2
2
= ax (2a + 2 x − 3)
(c + 4d )
21.
35m2 n3 − 70m3 = 35m2 (n3 − 2m)
(
22. 14 x 2 y 2 − 28 x 3 + 56 x 4
)
14. abc + abc2 = abc 1 + c
(2a − 3xy ) 16. a + a + a = a (a + a + 1) 7. ab − bc = b (a − c) 17. 4 x − 8 x + 2 = 2 (2 x − 4 x + 1) 8. x y + x z = x ( y + z) 18. 15 y + 20 y − 5 y = 5 y (3 y + 4 y − 1) 9. 2a x + 6ax = 2ax (a + 3x ) 10. 8m − 12mn = 4m (2m − 3n) 19. a − a x + ax = a (a − ax + x ) 3
4
2
3
3
2
15. 24a 2 xy 2 − 36x 2 y 4 = 12 xy 2 3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
x 3 + x 5 − x 7 = x 3 (1 + x 2 − x 4 ) = 14 x 2 ( y 2 − 2 x + 4 x 2 )
23. 34ax 2 + 51a 2 y − 68ay 2
= 17a (2 x 2 + 3ay − 4 y 2 )
24. 96 − 48mn 2 + 144n 3
= 48 (2 − mn 2 + 3n 3 )
25. a 2b 2 c 2 − a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2
= a 2 c 2 (b 2 − x 2 + y 2 )
26. 55m2 n 3 x + 110m2 n 3 x 2 − 220m2 y 3
34. 12 m2 n + 24m3n 2 − 36m4 n 3 + 48m5n 4
= 55m2 (n 3 x + 2n 3 x 2 − 4 y 3 )
= 12m2 n (1 + 2mn − 3m2 n 2 + 4m3n 3 )
27. 93a 3 x 2 y − 62a 2 x 3 y 2 − 124a 2 x
35. 100a 2b 3c − 150ab 2 c 2 + 50ab 3c 3 − 200abc2
= 31a x (3axy − 2 x y − 4) 2
28. 29.
2
x − x + x − x = x (1 − x + x − x 2
3
= 50abc (2ab 2 − 3bc + b 2 c 2 − 4c)
2
4
2
3
)
4
3
2
2
30. 25x − 10 x + 15x − 5x 7
5
3
4
2
2 3 4 5 6 37. a − 2a + 3a − 4a + 6a
= a 2 (1 − 2a + 3a 2 − 4a 3 + 6a 4 )
2
= 5x (5x − 2 x + 3x − 1) 2
31.
5
3
38. 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2bx + 4ab2 m
x − x + 2 x − 3x = x ( x − x + 2 x − 3) 15
12
x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x = x (x 4 − x 3 + x 2 − x + 1)
36.
a − 3a + 8a − 4a = a (a − 3a + 8a − 4) 6
9
6
6
9
6
3
= ab (3a + 6 − 5a 2b + 8ax + 4bm)
32. 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3
20 16 12 8 4 2 39. a − a + a − a + a − a
= 3a (3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b 3 )
= a 2 (a 18 − a 14 + a 10 − a 6 + a 2 − 1)
33. 16 x 3 y 2 − 8 x 2 y − 24 x 4 y 2 − 40 x 2 y 3
= 8 x 2 y (2 xy − 1 − 3x 2 y − 5y 2 )
EJERCICIO 90
(x + 2)(m − n) + 2 (m − n) = (m − n)(x + 4)
1. a ( x + 1) + b ( x + 1) = ( x + 1)(a + b)
19.
2. x a + 1 − 3 a + 1 = a + 1 x − 3
20. a x − 1 − a + 2 x − 1 = x − 1 a − a − 2 = − 2 x − 1
( ) ( ) ( )( ) 3. 2 ( x − 1) + y ( x − 1) = ( x − 1)(2 + y ) 4. m (a − b) + (a − b) n = (a − b)(m + n) 5. 2 x (n − 1) − 3 y (n − 1) = (n − 1)(2 x − 3 y ) 6. a (n + 2) + n + 2 = (n + 2)(a + 1) 7. x (a + 1) − a − 1 = (a + 1)( x − 1) 8.
(
21.
)
14.
)
(
)(
) (
)(
)
(
)
= ( x + 1)( x + m − x + n) = ( x + 1)(m + n)
25. ( x − 3)( x − 4) + ( x − 3)( x + 4) = ( x − 3) 2 x 26.
3
2
)
4m (a 2 + x − 1) + 3n ( x − 1 + a 2 ) = (a 2 + x − 1)(4m + 3n)
15. x (2a + b + c) − 2a − b − c
= x (2a + b + c) − (2a + b + c) = (2a + b + c)( x − 1)
17. ( x + 1)( x − 2) + 3 y ( x − 2) = ( x − 2)( x + 1 + 3 y ) 18.
)(
24. ( x + m)( x + 1) − ( x + 1)( x − n)
a (a − b + 1) − b (a − b + 1) = (a − b + 1)(a − b
16. ( x + y )(n + 1) − 3 (n + 1) = (n + 1)( x + y − 3)
) (
5x (a 2 + 1) + (x + 1) (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(6x + 1)
(
) ( )( ) 10. 1 − x + 2a (1 − x ) = (1 − x )(1 + 2a ) 11. 4 x (m − n) + n − m = (m − n)(4 x − 1) 12. − m − n + x (m + n) = (m + n)(x − 1) 13.
)(
23. m + n a − 2 + m − n a − 2 = 2m a − 2
(
2
) (
= (a − b)(a + b − a + b) = 2b (a − b )
9. 3x x − 2 − 2 y x − 2 = x − 2 3x − 2 y
3
2
22. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b )
a 2 + 1− b (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(1 − b)
(
2
(a + b − 1)(a + 1) − a 2
2
− 1 = (a 2 + 1)(a + b − 2)
27. (a + b − c)( x − 3) − (b − c − a )( x − 3)
= ( x − 3)(a + b − c + a − b + c) = ( x − 3) 2a
(
)
(
) (
) ( )( ) 29. a (n + 1) − b (n + 1) − n − 1 = (n + 1)(a − b − 1) 30. x (a + 2) − a − 2 + 3 (a + 2) = (a + 2)(x + 2) 31. (1 + 3a )( x + 1) − 2a ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( x + 1)(a + 4) 28. 3x x − 1 − 2 y x − 1 + z x − 1 = x − 1 3x − 2 y + z
(
)(
) (
) (
)( ) = (3x + 2)( x + y − z − 1 − x − y + 1) = − z (3x + 2)
32. 3x + 2 x + y − z − 3x + 2 − x + y − 1 3x + 2
(a + 3)(a + 1) − 4 (a + 1) = (a + 1)(a + 3 − 4) = (a + 1)(a − 1)
)
EJERCICIO 91
9. 3abx − 2 y − 2 x + 3aby 2
1. a 2 + ab + ax + bx
2
2
2
= a (a + b) + x (a + b) = (a + b)(a + x )
= (1 − 2 x )(3a − b 2 )
3 2 11. 4a x − 4a b + 3bm − 3amx
3. ax − 2bx − 2ay + 4by
= (ax − 2bx ) − (2ay − 4by )
= (4a 3 x − 4a 2b ) + (3bm − 3amx )
= (a − 2b)( x − 2 y )
= 4a 2 (ax − b) − 3m (ax − b)
= x (a − 2b) − 2 y (a − 2b)
4. a x − 3bx + a y − 3by 2
2
2
2
2
2
= (a 2 x 2 − 3bx 2 ) + (a 2 y 2 − 3by 2 ) = x 2 (a 2 − 3b) + y 2 (a 2 − 3b) = (a 2 − 3b)( x 2 + y 2 )
5. 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4
= (3m + 3mx 4 ) − (2n + 2nx 4 ) = 3m (1 + x 4 ) − 2n (1 + x 4 ) = (1 + x 4 )(3m − 2n)
2 2 2 6. x − a + x − a x
= − (a 2 + a 2 x) + ( x 2 + x ) = − a 2 (1 + x) + x ( x + 1) = ( x + 1)( x − a 2 )
= (4a 3 + 4a ) − (1 + a 2 ) = 4a (a 2 + 1) − (1 + a 2 ) = (a 2 + 1)(4a − 1)
8. x + x − xy − y 2
2
= 4a 2 (ax − b) + 3m (b − ax ) = (ax − b)(4a 2 − 3m) 12. 6ax + 3a + 1 + 2 x
= (6ax + 3a ) + (1 + 2 x )
= 3a (2 x + 1) + (2 x + 1) = (2 x + 1) (3a + 1)
3 2 13. 3x − 9ax − x + 3a
= (3x 3 − x ) − (9ax 2 − 3a )
= x (3x 2 − 1) − 3a (3x 2 − 1) = (3x 2 − 1)( x − 3a )
14. 2a x − 5a y + 15by − 6bx 2
2
= (2a 2 x − 5a 2 y ) + (15by − 6bx) = a 2 (2 x − 5 y ) + 3b (5 y − 2 x )
= a 2 (2 x − 5 y) − 3b (2 x − 5 y )
7. 4 a 3 − 1 − a 2 + 4a
2
= ( x + x 2 ) − ( xy 2 + y 2 ) = x (1 + x ) − y 2 ( x + 1) = ( x + 1)( x − y 2 )
2
2
2
= n 2 ( x − y 2 ) + 5a 2 (x − y 2 )
= 3a (1 − 2 x ) − b 2 (1 − 2 x )
= (a − b)(m + n)
2
= (x 2 + y 2 )(3ab − 2)
= (3a − 6ax) − (b 2 − 2b 2 x)
= m (a − b) + n (a − b)
2
= (n 2 x − n 2 y 2 ) − (5a 2 y 2 − 5a 2 x )
2 2 10. 3a − b + 2b x − 6ax
2. am − bm + an − bn = (am − bm) + (an − bn)
2
= (3abx 2 + 3aby 2 ) − (2 y 2 + 2 x 2 ) = 3ab (x 2 + y 2 ) − 2 (x 2 + y 2 )
= (a 2 + ab) + (ax + bx )
17. n x − 5a y − n y + 5a x
= (2 x − 5 y )(a 2 − 3b)
15. 2 x 2 y + 2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3
= (2 x 2 y + xy 3 ) + (2 xz 2 + y 2 z 2 ) = xy (2 x + y 2 ) + z 2 (2 x + y 2 ) = (2 x + y 2 )( xy + z 2 )
16. 6m − 9n + 21nx − 14mx
= (6m − 14mx ) − (9n − 21nx ) = 2m (3 − 7 x ) − 3n (3 − 7 x ) = (3 − 7 x )(2m − 3n)
= n 2 ( x − y 2 ) − 5a 2 ( y 2 − x ) = ( x − y 2 )(n 2 + 5a 2 ) 18. 1 + a + 3ab + 3b
= (1 + a ) + (3ab + 3b) = (1 + a ) + 3b (a + 1) = (1 + a )(3b + 1)
19. 4am − 12amn − m + 3n 3
2
= (4am3 − 12amn) − (m2 − 3n) = 4am (m2 − 3n) − (m2 − 3n) = (m2 − 3n)(4am − 1)
20. 20ax − 5bx − 2by + 8ay
= (20ax + 8ay) − (5bx + 2by ) = 4a (5x + 2 y ) − b (5x + 2 y) = (5x + 2 y )(4a − b)
21. 3 − x 2 + 2abx 2 − 6ab
= (3 − x 2 ) + (2abx 2 − 6ab) = (3 − x 2 ) + 2ab (x 2 − 3) = (3 − x 2 ) − 2ab (3 − x 2 ) = (3 − x 2 )(1 − 2ab)
3 2 22. a + a + a + 1
= (a 3 + a 2 ) + (a + 1)
= a 2 (a + 1) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1)
23. 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7ab 2
= (3a 2 + 3ax ) − (7b 2 x + 7ab 2 ) = 3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a ) = (a + x )(3a − 7b 2 )
24. 2am − 2an + 2a − m + n − 1
= (2am − 2an + 2a ) − (m − n + 1) = 2a (m − n + 1) − (m − n + 1) = (2a − 1)(m − n + 1)
28. 2 x 3 − nx 2 + 2 xz 2 − nz 2 − 3ny 2 + 6 xy 2
25. 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b
= (3ax − 6a + 3ay ) − (2by + 2bx − 4b)
= − (nx 2 + nz 2 + 3ny 2 ) + (2 x 3 + 2 xz 2 + 6 xy 2 )
= 3a ( x − 2 + y ) − 2b ( y + x − 2)
= − n ( x 2 + z 2 + 3 y 2 ) + 2 x (x 2 + z 2 + 3 y 2 )
= ( x + y − 2)(3a − 2b )
= (2 x − n)(x 2 + 3 y 2 + z 2 )
29. 3x 3 + 2axy + 2ay 2 − 3xy 2 − 2ax 2 − 3x 2 y
26. a 3 + a + a 2 + 1 + x 2 + a 2 x 2
= (a 3 + a 2 + a 2 x 2 ) + (a + 1 + x 2 )
= (3x 3 − 3xy 2 − 3x 2 y ) + (2axy + 2ay 2 − 2ax 2 )
= (a 2 + 1) (a + 1 + x 2 )
= 3x ( x 2 − y 2 − xy) − 2a (− xy − y 2 + x 2 )
= 3x ( x 2 − y 2 − xy) + 2a ( xy + y 2 − x 2 )
= a 2 (a + 1 + x 2 ) + (a + 1 + x 2 )
27. 3a − 3a b + 9ab − a + ab − 3b 3
2
2
2
= (3x − 2a )( x 2 − xy − y 2 ) 2
2
2
2
= 3a (a − ab + 3b ) − (a − ab + 3b 2
2
2
= (3a − 1)(a − ab + 3b 2
2
)
2. a
2
3. x 2 4.
2
y + 2 y + 1 = ( y + 1) 2
2
2
(
)
(
7.
)
11. 12.
(
)
)
)
)
24. 1 +
16.
2
2
)
5 2
)
2 2
1 + 14 x y + 49 x y = (1 + 7 x y) 1 − 2a + a = (1 − a
2
2
2
2
2
2b b2 b + = 1+ 3 9 3
2
b4 2 b2 4 2 2 = a − 25. a − a b + 4 2
)
4
4 2
10
2
2
2
9b − 30a b + 25a = (3b − 5a
5
2
2
2
(
15.
2 29. a + 2a a + b + a + b
2
3 2
a 6 − 2a 3b3 + b6 = (a 3 − b3 )
2
(
2
2
2 2
13. 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = 2 x − 3 y 14.
n2 n + 2mn + 9m2 = + 3m 3 9
2
2
2
2
28.
2
2 2
a 8 + 18a 4 + 81 = (a 4 + 9)
2
= a 2b3 (1 + x 2 − 3x) − n 4 (1 + x 2 − 3x )
2
2
1 − 2a 3 + a 6 = (1 − a
= (a 2b3 + a 2b 3 x 2 − 3a 2b3 x ) − (n4 + n 4 x 2 − 3n 4 x)
2
36 + 12m2 + m4 = (6 + m
10.
4
) ( ) 18. 100 x 10 − 60a 4 x 5 y 6 + 9a 8 y12 = (a + a + b) = (2a + b) 5 4 6 2 = (10 x − 3a y ) 30. 4 − 4 (1 − a ) + (1 − a) 2 19. 121 + 198 x 6 + 81x 12 = (11 + 9 x 6 ) = (2 − 1 + a ) = (1 + a) 2 2 2 4 4 20. a − 24am x + 144m x 31. 4m − 4m (n − m) + (n − m) 2 = (a − 12m2 x 2 ) = (2m − n + m) = (3m − n) 2 4 2 2 21. 16 − 104 x + 169 x = (4 − 13x ) 32. (m − n) + 6 (m − n) + 9 2 = (m − n + 3) 22. 400 x 10 + 40 x 5 + 1 = (20 x 5 + 1) 33. (a + x ) − 2 (a + x )( x + y ) + ( x + y ) a a − ab + b = − b 23. 2 4 = (a + x − x − y ) = (a − y )
2
8. 1 − 14a + 49a = 1 − 7a 9.
2 3
2
4
2
2
2
16 + 40 x + 25x = (4 + 5x 2
4
2
5. a 2 − 10a + 25 = a − 5 6. 9 − 6x + x 2 = 3 − x
2 3 2
= (7m3 − 5an2 )
2
2
4
)
)
4
17. 49m6 − 70am3n 2 + 25a 2 n 4
( ) + 2ab + b = (a + b) − 2 x + 1 = ( x − 1) 2
2
2
= (a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3x)
EJERCICIO 92 1. a 2 − 2ab + b2 = a − b
30 a b − n + a b x − n x − 3a b x + 3n x 2 3
= (3a − 3a b + 9ab ) − (a − ab + 3b 3
2
34. (m + n) − 2 (a − m)(m + n) + (a − m) 2
6
3 2
2
= (m + n − a + m) = (2m + n − a) 2
2
2
( ) ( )( ) ( ) = (2 + 2a − b + 1) = (2a − b + 3) 2
35. 4 1 + a − 4 1 + a b − 1 + b − 1
1 x 2 25x 4 1 5x 2 − + = − 26. 25 3 36 5 6 27. 16 x − 2 x y +
2
2
2
2
2
36. 9 ( x − y ) + 12 ( x − y )( x + y ) + 4( x + y ) 2 2 2 = (3x − 3 y + 2 x + 2 y ) = (5x − y ) y2
y4 3 = 4x − 16 4
2
2
EJERCICIO 93
(
)(
1. x 2 − y 2 = x + y x − y
)
( )( ) ( )( ) 4. 9 − b = (3 + b )(3 − b) 5. 1 − 4m = (1 + 2m)(1 − 2m) 6. 16 − n = (4 + n)(4 − n) 7. a − 25 = (a + 5)(a − 5) 8. 1 − y = (1 + y )(1 − y ) 9. 4a − 9 = (2a + 3)(2a − 3)
27.
x 2 y 2 z 4 x yz 2 x yz 2 − = + − 100 81 10 9 10 9
28.
x 6 4a 10 x 3 2a 5 x 3 2a 5 − = + − 49 121 7 11 7 11
2. a 2 − 1 = a + 1 a − 1
3. a 2 − 4 = a + 2 a − 2 2
2 4 29. 100m n −
2
2
30. a 2n − b 2n =
2
31. 4 x − 2n
2
2
10.
25 − 36 x 4 = (5 + 6 x 2 )(5 − 6 x 2 )
(
)(
11. 1 − 49a 2b 2 = 1 + 7ab 1 − 7ab 12. 13. 14. 15. 16.
32.
)
a 2b8 − c 2 = (ab 4 + c)(ab 4 − c)
100 − x 2 y 6 = (10 + xy 3 )(10 − xy 3 ) a − 49b = (a + 7b 10
12
5
25x y − 121 = (5xy 2 4
2
)(a − 7b ) + 11 )(5xy − 11) 6
5
6
2
+ b n )(a n − b n )
n
1 n 1 n 1 = 2x + 2x − 9 3 3
6m
y 2 n 3m y n 3m y n = 4x + 4x − 49 7 7
−
10 n 34. 49a −
b12 x 5n b 6 x 5n b 6 x = 7a + 7a − 81 9 9
2n 4n 35. a b −
1 n 2 n 1 n 2 n 1 = a b + a b − 25 5 5
36.
17. 100m2 n 4 − 169 y 6
(a
a 4 n − 225b 4 = (a 2 n + 15b 2 )(a 2 n − 15b 2 )
33. 16 x
4 x 2 − 81y 4 = (2 x + 9 y 2 )(2 x − 9 y 2 )
1 8 1 1 x = 10mn 2 + x 4 10mn 2 − x 4 16 4 4
1 1 1 − x 2n = + x n − x n 10 10 100
= (10mn 2 + 13 y 3 )(10mn 2 − 13 y 3 )
18.
a 2 m4 n 6 − 144 = (am2 n 3 + 12)(am2 n 3 − 12)
EJERCICIO 94
19. 196 x 2 y 4 − 225z12
= (14 xy 2 + 15z 6 )(14 xy 2 − 15z 6 )
(
20. 256a12 − 289b 4 m10
21.1 − 9a
b c d = (1 + 3ab c d 8
2 3
)(
) 2. 4 − (a + 1) = (2 + a + 1)(2 − a − 1) = (3 + a )(1 − a) 3. 9 − (m + n) = (3 + m + n)(3 − m − n ) 4. (m − n) − 16 = (m − n + 4)(m − n − 4) 5. ( x − y) − 4 z = ( x − y + 2 z)(x − y − 2 z) 6. (a + 2b) − 1 = (a + 2b + 1)(a + 2b − 1) 7. 1 − ( x − 2 y ) = (1 + x − 2 y )(1 − x + 2 y ) 2
)(1− 3ab c d ) − 1) 4
22.
361x14 − 1 = (19 x 7 + 1)(19 x 7
23.
1 1 1 − 9a 2 = + 3a − 3a 2 2 4
a2 a a = 1+ 1− 24. 1 − 25 5 5 1 4x 1 2x 1 2x − = + − 16 49 4 7 4 7 2
25.
(
2
2
= (16a 6 + 17b 2 m5 )(16a 6 − 17b 2 m5 ) 2 4 6
)
1. x + y − a 2 = x + y + a x + y − a
a2 x6 a x3 a x3 − = + − 26. 36 25 6 5 6 5
2 3
4
2
2
2
2
2
8. ( x + 2a ) − 4 x 2 2
= ( x + 2a + 2 x)( x + 2a − 2 x ) = (3x + 2a )(2a − x )
(
) ( ) = (a + b + c + d )(a + b − c − d ) 10. (a − b) − (c − d ) = (a − b + c − d )(a − b − c + d ) 2
9. a + b − c + d 2
2
2
11. ( x + 1) − 16 x 2
25. (2a + b − c) − (a + b) 2
2
2
= (2a + b − c + a + b )(2a + b − c − a − b)
= ( x + 1 + 4 x)( x + 1− 4 x) = (5x + 1)(1 − 3x)
= (3a + 2b − c)(a − c)
12. 64m2 − (m − 2n)
2
(
) ( )( ) − ( y − x ) = (x + y − x )( x − y + x ) = ( y )(2 x − y )
= (8m + m − 2n)(8m − m + 2n) = (9m − 2n)(7m + 2n)
26. 100 − x − y + z = 10 + x − y + z 10 − x + y − z
(
27. x 2
) (
) (
2
)(
2
13. a − 2b − x + y = a − 2b + x + y a − 2b − x − y
)
2
2
14. (2a − c) − (a + c)
28. (2 x + 3) − (5x − 1)
15. ( x + 1) − 4 x 2
29. ( x − y + z ) − ( y − z + 2 x )
2
2
2
= (2 x + 3 + 5x − 1)(2 x + 3 − 5x + 1) = (7 x + 2)(4 − 3x )
= (2a − c + a + c)(2a − c − a − c) = ( 3a ) (a − 2c)
2
2
= (3x ) (2 z − 2 y − x )
16. 36 x 2 − (a + 3x )
2
= (6x + a + 3x)(6 x − a − 3x ) = (9 x + a )(3x − a )
30. (2 x + 1) − ( x + 4) 2
a 6 − (a − 1) = (a 3 + a − 1)(a 3 − a + 1)
18. (a − 1) − (m − 2)
= (a − 1 + m − 2)(a − 1 − m + 2) = (a + m − 3)(a − m + 1)
19. (2 x − 3) − (x − 5)
2
23.
2
(
) ( 2
24. x − y − c + d
5
34. 36 (m + n) − 121(m − n) 2
16a − (2a + 3) = (4a + 2a + 3)(4a − 2a − 3) 2
)
= (7 x − 3 y )(3x − 7 y )
m6 − (m2 − 1) = (m3 + m2 − 1)(m3 − m2 + 1) 5
)(
2
= (5x − 5 y + 2 x + 2 y )(5x − 5 y − 2 x − 2 y )
2
2
(
2
33. 25 ( x − y ) − 4 ( x + y )
) ( )( ) 21. (7 x + y ) − 81 = (7 x + y + 9)(7 x + y − 9) 2
)
2
2
10
= (2a + 3x )( x + 2)
32. 4 x + a − 49 y 2 = 2 x + 2a + 7 y 2 x + 2a − 7 y
20. 1 − 5a + 2 x = 1 + 5a + 2 x 1 − 5a − 2 x
22.
2
= (a + 2 x + 1 + x + a − 1)(a + 2 x + 1 − x − a + 1)
(
= (2 x − 3 + x − 5)(2 x − 3 − x + 5) = (3x − 8)( x + 2)
(
31. (a + 2 x + 1) − ( x + a − 1) 2
2
2
2
= (2 x + 1 + x + 4)(2 x + 1− x − 4) = (3x + 5)( x − 3)
2
2
2
= ( x − y + z + y − z + 2 x )(x − y + z − y + z − 2 x )
= ( x + 1 + 2 x )( x + 1 − 2 x ) = (3x + 1)(1 − x )
17.
2
2
) = (x − y + c + d )(x − y − c − d ) 2
2
= (6m + 6n + 11m − 11n)(6m + 6n − 11m + 11n) = (17m − 5n)(17n − 5m)
EJERCICIO 95 1. a 2 + 2ab + b 2 − x 2
2 2 4. a − 2a + 1− b
= (a − 1) − b 2
= (a + b ) − x 2
2
2
= (a − 1 + b)(a − 1 − b)
= (a + b + x )(a + b − x ) 2 2 2 2. x − 2 xy + y − m
= (x − y) − m 2
2 2 5. n + 6n + 9 − c
= (n + 3) − c2 2
2
= ( x − y + m)( x − y − m) 2 2 3. m + 2mn + n − 1
= (m + n) − 1 2
= (m + n + 1)(m + n − 1)
= (n + 3 + c)(n + 3 − c)
2 2 6. a + x + 2ax − 4
= (a + x ) − 4 2
= (a + x + 2)(a + x − 2)
2 2 7. a + 4 − 4a − 9b
10. 4 x 2 + 25 y 2 − 36 + 20 xy
= (a − 2) − 9b 2
= (2 x + 5 y ) − 36
8. x 2 + 4 y 2 − 4 xy − 1
11. 9 x 2 − 1 + 16a 2 − 24ax
2
2
= (2 x + 5 y + 6)(2 x + 5 y − 6)
= (a + 3b − 2)(a − 3b − 2)
= (3x − 4a ) − 1
= (x − 2 y ) − 1
2
2
= (3x − 4a + 1)(3x − 4a − 1)
= ( x − 2 y + 1)( x − 2 y − 1)
9. a 2 − 6ay + 9 y 2 − 4 x 2 = (a − 3 y ) − 4 x 2
12. 1 + 64a 2b 2 − x 4 − 16ab
2
= (a − 3 y + 2 x)(a − 3 y − 2 x)
= (8ab − 1) − x 4 2
= (8ab − 1 + x 2 )(8ab − 1 − x 2 )
2 2 2 21. 9 x − a − 4m + 4am
2 2 2 13. a − b − 2bc − c
= a 2 − (b 2 + 2bc + c 2 ) = a 2 − (b + c)
2
= (a + b + c)(a − b − c) 2 2 14. 1 − a + 2ax − x
= 1 − (a − 2ax + x 2
2
= 1 − (a − x )
)
2
= (1 + a − x)(1 − a + x ) 2 2 2 15. m − x − 2 xy − y
= m2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = m2 − ( x + y)
2
= (m + x + y)(m − x − y ) 2 2 16. c − a + 2a − 1
= c2 − (a 2 − 2a + 1) = c2 − (a − 1)
2
= (c + a − 1)(c − a + 1) 2 17. 9 − n − 25 − 10n
= 9 − (n + 10n + 25) 2
= 9 − (n + 5)
2
= (3 + n + 5)(3 − n − 5) = − (n + 8)(n + 2) 18. 4a 2 − x 2 + 4 x − 4
= 4a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 4a 2 − ( x − 2)
2
= (2a + x − 2)(2a − x + 2) 19. 1 − a − 9n − 6an 2
2
= 1 − (a 2 + 6an + 9n 2 ) = 1 − (a + 3n)
2
= 9 x 2 − (a 2 − 4am + 4m2 )
2 2 20. 25 − x − 16 y + 8 xy
= 25 − ( x 2 − 8 xy + 16 y 2 ) = 25 − ( x − 4 y )
2
= (5 + x − 4 y)(5 − x + 4 y )
= (3x − 2 y ) − (a + 5b)
= 9 x 2 − (a − 2m)
2
2
2 2 2 31. 2 am − x − 9 + a + m − 6 x
2 2 2 2 22. 16 x y + 12ab − 4a − 9b
= (a 2 + 2am + m2 ) − ( x 2 + 6 x + 9)
= 16x 2 y 2 − (4a 2 − 12ab + 9b 2 )
= (a + m) − ( x + 3) 2
= 16x 2 y 2 − (2a − 3b)
2
2 4 2 2 32. x − 9a + 6a b + 1 + 2 x − b
2 2 23. − a + 25m − 1 − 2a
= ( x 2 + 2 x + 1) − (b 2 − 6a 2b + 9a 4 )
= 25m2 − (a 2 + 2a + 1)
= ( x + 1) − (b − 3a 2 ) 2
= 25m2 − (a + 1)
2
2 2 2 33. 16a − 1 − 10m + 9 x − 24ax − 25m
4 2 2 24. 49 x − 25x − 9 y + 30 xy
= (16a 2 − 24ax + 9 x 2 ) − (25m2 + 10m + 1)
= 49 x 4 − (25x 2 − 30 xy + 9 y 2 )
= (4a − 3x) − (5m + 1) 2
= 49 x 4 − (5x − 3 y )
2
2 2 2 2 34. 9m − a + 2acd − c d + 100 − 60m 2 2 2 = − (a − 2acd + c d ) + (9m2 − 60m + 100)
2
= (a − b) − (c + d )
= (3m − 10) − (a − cd )
2
2
= (a − b + c + d )(a − b − c − d )
2 2 2 2 35. 4a − 9 x + 49b − 30 xy − 25 y − 28ab = (4a 2 − 28ab + 49b 2 ) − (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )
= ( x + y) − (m − n)
2
= ( x + y + m − n)( x + y − m + n)
= (2a − 7b) − (3x + 5 y ) 2
2 2 2 2 27. a + 4b + 4ab − x − 2ax − a
= (a + 4ab + 4b ) − ( x + 2ax + a 2
2
2
= (a + 2b) − ( x + a ) 2
2
= (3m − 10 + a − cd )(3m − 10 − a + cd )
2 2 2 2 26. x + 2 xy + y − m + 2mn − n
2
2
= (4a − 3x + 5m + 1)(4a − 3x − 5m − 1)
= (7 x 2 + 5x − 3 y )(7 x 2 − 5x + 3 y ) 2 2 2 25. a − 2ab + b − c − 2cd − d
2
= ( x + 1 + b − 3a 2 )( x + 1 − b + 3a 2 )
= (5m + a + 1)(5m − a − 1)
2
2
= (a + m + x + 3)(a + m − x − 3)
= (4 xy + 2a − 3b)(4 xy − 2a + 3b)
2
2
= (3x − 2 y + a + 5b)(3x − 2 y − a − 5b)
= (3x + a − 2m)(3x − a + 2m)
)
= (2a − 7b + 3x + 5 y )(2a − 7b − 3x − 5 y ) = (225a 2 + 30a + 1) − (169b 2 − 26bc + c 2 )
2
= (2a + 2b + x )(2b − x )
2 2 2 2 28. x + 4a − 4ax − y − 9b + 6by
= (15a + 1) − (13b − c) 2
= (15a + 1 + 13b − c)(15a + 1 − 13b + c) 2 2 37. x − y + 4 + 4 x − 1 − 2 y
= ( x 2 − 4ax + 4a 2 ) − ( y 2 − 6by + 9b2 ) = ( x − 2a ) − ( y − 3b)
2
= ( x − 2a + y − 3b)( x − 2a − y + 3b) 2 2 2 2 29. m − x + 9n + 6mn − 4ax − 4a
2
2 2 2 36. 225a − 169b + 1 + 30a + 26bc − c
= (a + 2b + x + a )(a + 2b − x − a)
2
= (a + 3n + 1)(1 − a − 3n)
2 2 2 2 30. 9 x + 4 y − a − 12 xy − 25b − 10ab 2 2 2 = (9 x − 12 xy + 4 y ) − (a + 10ab + 25b 2 )
= ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 + 2 y + 1) = ( x + 2) − ( y + 1) 2
2
= ( x + 2 + y + 1)( x + 2 − y − 1) = ( x + y + 3)( x − y + 1)
38. a 2 − 16 − x 2 + 36 + 12a − 8 x = (m2 + 6mn + 9n 2 ) − ( x 2 + 4ax + 4a 2 ) = (a 2 + 12a + 36) − ( x 2 + 8 x + 16)
= (m + 3n) − ( x + 2a ) 2
2
= (m + 3n + x + 2a )(m + 3n − x − 2a )
= (a + 6) − ( x + 4) 2
2
= (a + 6 + x + 4)(a + 6 − x − 4) = (a + x + 10)(a − x + 2)
EJERCICIO 96
7. 4a + 3a b + 9b 4
2 2
+ 9a 2b 2 1. a 4 + a 2 + 1
+ a2
− a2
(a + 2a + 1) − a = (a + 1) − a = (a + a + 1)(a − a + 1) 4
2
2
2
= (m2 + n 2 ) − m2 n 2 2
−x
x + 4x + 4 − x 4
2
− 9 x2
2
= (2a 4 + 5a 2b 2 − 7b 4 )(2a 4 − 5a 2b 2 − 7b 4 ) 16. 49 + 76n 2 + 64n 4
+ 4x4 y4
+ 36n 2
− 4x4 y4
= (x 4 + 4 y 4 ) − 4 x 4 y 4 2 2
+mn
= (a 2 + 3) − 4a 2
= (a 2 − b2 ) − a 2b 2
− 4x2
− 64 x 4 y 4
= (7 x 4 + 10 y 4 ) − 64 x 4 y 4
)
2 2
4
2 2
2
− 16a b
2 2
12. 36 x 4 − 109 x 2 y 2 + 49 y 4
+ 25x y 2
19. 4 − 108 x + 121x 2
− 25x y
2
= (7 x 4 + 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )(7 x 4 − 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )
2
+ 64 x
2
4
− 64 x 2
2
36x 4 − 84 x 2 y 2 + 49 y 4 − 25x 2 y 2
4 − 44 x 2 + 121x 4 − 64 x 2
= (6x 2 − 7 y 2 ) − 25x 2 y 2
= (2 − 11x 2 ) − 64 x 2
2
2
= (6x 2 + 5xy − 7 y 2 )(6 x 2 − 5xy − 7 y 2 ) 13. 81m + 2m + 1 8
4
+ 16m
4
− 16m
4
= (9m + 1) − 16m 4
2
= (2 + 8 x − 11x 2 )(2 − 8 x − 11x 2 )
4 2 4 8 20. 121x − 133x y + 36 y
81m + 18m + 1 − 16m 8
= ( x + 2 x − 1)( x − 2 x − 1)
+ 64 x 4 y 4
= (5a + 7b
x − 2 x + 1− 4 x 2
2
− 16a b
49 x 8 + 140 x 4 y 4 + 100 y 8 − 64 x 4 y 4
2
2
8 4 4 8 18. 49 x + 76 x y + 100 y
25a + 70a b + 49b − 16a b
2
6. x 4 − 6 x 2 + 1
= (5x 2 + 7 xy − 9 y 2 )(5x 2 − 7 xy − 9 y 2 )
= (5a 2 + 4ab + 7b 2 )(5a 2 − 4ab + 7b 2 )
= (a 2 + ab − b2 )(a 2 − ab − b 2 )
− 49 x 2 y 2
= (5x 2 − 9 y 2 ) − 49 x 2 y 2
2 2
2 2
2
a 4 − 2a 2b 2 + b 4 − a 2b 2
4
2
+ 16a b 4
5. a 4 − 3a 2b 2 + b 4
2
25x 4 − 90x 2 y 2 + 81y 4 − 49 x 2 y 2
− m2 n 2
2 2
= (a 2 + 2a + 3)(a 2 − 2a + 3)
2
+ 49 x 2 y 2
2 2
11. 25a 4 + 54a 2b 2 + 49b 4
2
− a 2b 2
)
2 2
4
= (4m2 + mn − 3n2 )(4m2 − mn − 3n2 )
− 4a 2
= ( x − 1) − 4 x
−m n
16m − 24m n + 9n − m n = (4m2 − 3n
+ a 2b 2
4
2 2
2 2
= (8n 2 + 6n + 7)(8n 2 − 6n + 7)
17. 25x − 139 x y + 81y
4
2 2
4
= (7 + 8n2 ) − 36n 2 2
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 + 4 y 4 ) 4
− 36n 2
49 + 112n 2 + 64n 4 − 36n 2
x 8 + 8 x 4 y 4 + 16 y 8 − 4 x 4 y 4
10. 16m − 25m n + 9n
a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2
2
= (2a 4 − 7b 4 ) − 25a 4b 4
8 4 4 8 9. x + 4 x y + 16 y
4 2 4. a + 2a + 9
2
4a 8 − 28a 4b 4 + 49b8 − 25a 4b 4
= (2 x 2 + 3x − 5)(2 x 2 − 3x − 5)
= (x 4 + x 2 + 2)(x 4 − x 2 + 2)
2
8 4 4 8 15. 4a − 53a b + 49b + 25a 4b 4 − 25a 4b 4
= (2 x 2 − 5) − 9 x 2
4
2
+ 4x2
= (c2 + 5c − 10)(c2 − 5c − 10)
2
4
= ( x 4 + 2) − x 4
4
2
− 9a 2b 2
2
4
+ 4a 2
= (c2 − 10) − 25c2
)
4 x 4 − 20 x 2 + 25 − 9 x 2
8 4 3. x + 3x + 4
+ x
= (2a 2 + 3b
2 2
+ 9x2
= (m2 + n 2 + mn)(m2 + n 2 − mn)
8
c4 − 20c2 + 100 − 25c2
4
4 2 2 4 2. m + m n + n + m2 n 2 − m2 n 2
− 25c2
4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2
8. 4 x − 29 x + 25
2
m4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2
+ 25c2
− 9a 2b 2
= (2a 2 + 3ab + 3b 2 )(2a 2 − 3ab + 3b 2 )
2
2
2
14. c4 − 45c2 + 100
4
4
4
4
= (9m4 + 4m2 + 1)(9m4 − 4m2 + 1)
+ x2 y4
− x2 y4
121x 4 − 132 x 2 y 4 + 36 y 8 − x 2 y 4 = (11x 2 − 6 y 4 ) − x 2 y 4 2
= (11x 2 + xy 2 − 6 y 4 )(11x 2 − xy 2 − 6 y 4 )
21. 144 + 23n 6 + 9n12
25. 1 − 126a b + 169a b 2 4
+ 49n 6
− 49n6
4 8
+ 100a 2b 4
− 100a 2b 4
144 + 72n 6 + 9n12 − 49n 6
1 − 26a 2b 4 + 169a 4b8 − 100a 2b 4
= (12 + 3n
= (1 − 13a 2b 4 ) − 100a 2b 4
)
6 2
2
− 49n 6
= (12 + 7n 3 + 3n 6 )(12 − 7n 3 + 3n 6 )
= (1 + 10ab 2 − 13a 2b 4 )(1 − 10ab 2 − 13a 2b 4 )
22. 16 − 9 c 4 + c8
+ c
4 4 2 2 26. x y + 21x y + 121
−c
4
+ x2 y2
4
− x2 y2
16 − 8c 4 + c8 − c4
x 4 y 4 + 22 x 2 y 2 + 121 − x 2 y 2
= (4 − c4 ) − c4
= ( x 2 y 2 + 11) − x 2 y 2
2
2
= (4 + c 2 − c4 )(4 − c 2 − c4 ) 23. 64a − 169a b + 81b 4
2 4
= ( x 2 y 2 + xy + 11)( x 2 y 2 − xy + 11) 27. 49c + 75c m n + 196m n
8
+ 25a 2b4
8
− 25a 2b4
4
2 2
4 4
+ 121c4 m2 n2
− 121c4 m2 n 2
64a 4 − 144a 2b4 + 81b8 − 25a 2b4
49c8 + 196c4 m2 n 2 + 196m4 n 4 − 121c4 m2 n 2
= (8a 2 − 9b
= (7c4 + 14m2 n 2 ) − 121c4 m2 n 2
)
4 2
2
− 25a 2b4
= (8a 2 + 5ab − 9b 4 )(8a 2 − 5ab − 9b 4 )
= (7c4 + 11c2 mn + 14m2 n 2 )(7c 4 − 11c2 mn + 14m2 n 2 )
24. 225 + 5m2 + m4
28. 81a b − 292a b x + 256 x 4 8
+ 25m
2 4 8
− 25m
2
16
+ 4a b x
2
− 4a 2b 4 x 8
2 4 8
225 + 30m2 + m4 − 25m2
81a 4b8 − 288a 2b 4 x 8 + 256 x16 − 4a 2b 4 x 8
= (15 + m2 ) − 25m2
= (9a 2b 4 − 16 x 8 ) − 4a 2b 4 x 8
2
2
= (m2 + 5m + 15)(m2 − 5m + 15)
= (9a 2b 4 + 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )(9a 2b 4 − 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )
EJERCICIO 97 + 64 y 4
4 1. x
+ 16 x 2 y 2
− 16 x 2 y 2
+ 36a 2b 2
a 4 + 36a 2b 2 + 324b 4 − 36a 2b 2
= ( x 2 + 8 y 2 ) − 16 x 2 y 2
= (a 2 + 18b 2 ) − 36a 2b 2
+ y8 + 4x4 y4
− 4x4 y4
4x + 4x y + y − 4x y 8
4
= (2 x + y 4
4
)
4 2
8
4
− 4x y 4
4
4 + 100 x + 625x − 100 x 4 2
4
= (25x 4 + 10 x 2 + 2)(25x 4 − 10 x 2 + 2)
+ 36m2n 2
− 36m2 n 2
4m4 + 36m2 n 2 + 81n 4 − 36m2n 2
( = (2m
= (2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 )(2 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ) = 2m + 9n 2
2
)
2 2
+ a 12
6. 64
+ 81n 4
8
= (2 + 25x 4 ) − 100 x 4
= (a 2 + 6ab + 18b 2 )(a 2 − 6ab + 18b 2 ) 4 4. 4 m
− 100 x 4
4
2
= ( x 2 + 4 xy + 8 y 2 )( x 2 − 4 xy + 8 y 2 ) 8 2. 4 x
+ 100 x 4
− 36a 2b 2
x 4 + 16 x 2 y 2 + 64 y 4 − 16x 2 y 2 2
+ 625x 8
5. 4
+ 324b 4
4 3. a
− 36m n
2 2
+ 6mn + 9n 2 )(2m2 − 6mn + 9n 2 )
+ 16a 6
− 16a 6
64 + 16a 6 + a 12 − 16a 6 = (8 + a 6 ) − 16a 6 2
= (a 6 + 4a 3 + 8)(a 6 − 4a 3 + 8)
+ 4n 4
7. 1
+ 4n
+ y8
8. 64 x 8
− 4n
2
2
1 + 4 n 2 + 4n 4 − 4n 2 = (1 + 2n2 ) − 4n2 2
= (2n2 + 2n + 1)(2n2 − 2n + 1)
+ 16 x y 4
+ 64b 4
4 9. 81a
− 16 x y
4
4
+ 144a b
− 144a 2b 2
2 2
4
81a 4 + 144a 2b2 + 64b 4 − 144a 2b2
64 x 8 + 16 x 4 y 4 + y 8 − 16 x 4 y 4
= (9a 2 + 8b 2 ) − 144a 2b2
= (8 x 4 + y 4 ) − 16 x 4 y 4
2
2
= (9a 2 + 12ab + 8b2 )(9a 2 − 12ab + 8b 2 )
= (8 x 4 + 4 x 2 y 2 + y 4 )(8 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 )
EJERCICIO 98
(
)( ) 2. x − 5x + 6 = ( x − 3)( x − 2) 3. x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2) 4. x + x − 2 = ( x + 2)(x − 1) 5. a + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1) 6. m + 5m − 14 = (m + 7)(m − 2) 7. y − 9 y + 20 = ( y − 5)( y − 4) 8. x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) 9. x − 9 x + 8 = ( x − 8)( x − 1) 10. c + 5c − 24 = (c + 8)(c − 3) 11. x − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1) 12. a + 7a + 6 = (a + 6)(a + 1) 13. y − 4 y + 3 = ( y − 3)( y − 1) 14. n − 8n + 12 = (n − 6)(n − 2) 15. x + 10 x + 21 = ( x + 7)( x + 3) 16. a + 7a − 18 = (a + 9)(a − 2) 17. m − 12m + 11 = (m − 11)(m − 1) 18. x − 7 x − 30 = ( x − 10)( x + 3) 19. n + 6n − 16 = (n + 8)(n − 2) 20. a − 21a + 20 = (a − 20)(a − 1) 21. y + y − 30 = ( y + 6)( y − 5) 22. a − 11a + 28 = (a − 7)(a − 4) 23. n − 6n − 40 = (n − 10)(n + 4) 24. x − 5x − 36 = ( x − 9)( x + 4) 25. a − 2a − 35 = (a − 7)(a + 5) 26. x + 14 x + 13 = ( x + 13)( x + 1) 1. x 2 + 7 x + 10 = x + 5 x + 2
(
)(
)
27. a 2 − 14a + 33 = a − 11 a − 3
(
)(
2
28. m2 + 13m − 30 = m + 15 m − 2
2
29. c − 13c − 14 = c − 14 c + 1
2
30. x 2
2
31. x 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
32. a 2
( )( ) + 15x + 56 = ( x + 8)( x + 7) − 15x + 54 = ( x − 9)( x − 6) + 7a − 60 = (a + 12)(a − 5)
2 33. x − 17 x − 60 60 2
30 2 15 3 5
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 3⋅ 1 = 3
5 ⇒ 20 − 3 = 17
= ( x − 20)( x + 3)
1
2 34. x + 8 x − 180 180 2
90 45 15
2 2 ⋅ 3⋅ 3 = 18 3 2 ⋅ 5 = 10 3 ⇒ 18 − 10 = 8
5
5
= ( x + 18)( x − 10)
1 2 35. m − 20m − 300 300 2
150 2 2 ⋅ 3⋅ 5 = 30 75 3 2 ⋅ 5 = 10 25 5 ⇒ 30 − 10 = 20 5
5
= (m − 30)(m + 10)
1 2 36. x + x − 132 132 2
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 11⋅ 1 = 11
66 33
2 3
11
11 ⇒ 12 − 11 = 1
1
= ( x + 12)( x − 11)
)
2 37. m − 2m − 168 168 2
84 42 21
2 2 3
7
7
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 2 ⋅ 7 = 14 ⇒ 14 − 12 = 2
= (m − 14)(m + 12)
1 2 38. c + 24c + 135 135 3
45 15
3 3
3⋅ 3 = 9 3⋅ 5 = 15
5
5
⇒ 15 + 9 = 24
= (c + 15)(c + 9)
1
2 39. m − 41m + 400 400 2
200 2
2 4 = 16
100 2 50 2
52 = 25 ⇒ 25 + 16 = 41
25
5
5 1
5
= (m − 25)(m − 16)
2 40. a + a − 380 380 2
190 2
2 2 ⋅ 5 = 20
95
5
19 ⋅ 1 = 19
19
19 ⇒ 20 − 19 = 1
1
= (a + 20)(a − 19)
2 41. x + 12 x − 364 364 2 182 2 2 ⋅ 13 = 26
91 13 1
7 2 ⋅ 7 = 14 13 ⇒ 26 − 14 = 12
= ( x + 26)( x − 14)
2 42. a + 42a + 432 432 2
2 47. c − 4c − 320 320 2
2 45. x − 2 x − 528 528 2
216 2
2 3 ⋅ 3 = 24
108 2
2 ⋅ 32 = 18
264 2
2 3 ⋅ 3 = 24
160 2
2 ⇒ 24 + 18 = 42
132 2
2 ⋅ 11 = 22
80
2
2 ⇒ 24 − 22 = 2
40
2 ⇒ 20 − 16 = 4
54 27 9 3 1
3 = (a + 24)(a + 18)
66
3
33
3 = ( x − 24)( x + 22)
3
11
11
1
43. m − 30m − 675 675 3 225 5 3⋅ 5⋅ 3 = 45 45 3 3⋅ 5 = 15 15 3 ⇒ 45 − 15 = 30 2
2 46. n + 43n + 432 432 2
5 = (m − 45)(m + 15)
5
44. y 2 + 50 y + 336 336 3
112 2
3⋅ 7 ⋅ 2 = 42
2 =8 2 ⇒ 42 + 8 = 50
56
3
2
28 14
2 = ( y + 42)( y + 8)
7
7
22 ⋅ 5 = 20
20
2 = (c − 20)(c + 16)
10
2
5 1
5
2 48. m − 8m − 1. 008 1. 008 2
216 2
2 = 16
108 2
33 = 27
504
2
2 2 ⋅ 7 = 28
2 ⇒ 16 + 27 = 43
252
2
2 2 ⋅ 32 = 36
54
1
2 4 = 16
4
27
3 = (n + 16)(n + 27)
126
9
3
63
3 1
3
21
3
7 1
7
2 ⇒ 36 − 28 = 8
3 = (m − 36)(m + 28)
1 13. x 4 + 7ax 2 − 60a 2
EJERCICIO 99 1. 2.
= ( x 2 + 12a )( x 2 − 5a )
x + 5x + 4 = (x + 4)( x + 1) 4
2
2
2
14. ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) + 3 2
x 6 − 6 x 3 − 7 = ( x 3 − 7)( x 3 + 1)
3. x 8 − 2 x 4 − 80 =
(x
4
(
− 10)(x 4 + 8)
)(
= (2 x − 3)(2 x − 1)
15. (m − n) + 5 (m − n) − 24 2
= (m − n + 8)(m − n − 3)
)
4. x 2 y 2 + xy − 12 = xy + 4 xy − 3
(
)( ) + 13(5x) + 42 = (5x + 7)(5x + 6)
5. ( 4 x ) − 2 ( 4 x ) − 15 = 4 x − 5 4 x + 3 2
6. (5x ) 2
8 4 16. x + x − 240 240 2
24 = 16 2 3⋅ 5 = 15 2 ⇒ 16 − 15 = 1
4 4 2 2 18. a b − 2a b − 99
99 3 3⋅ 3 = 9 33 3 11⋅ 1 = 11 11 11 ⇒ 11 − 9 = 2
= (a 2b2 − 11)(a 2b 2 + 9)
1
2 19. c + 11cd + 28d
2
= (c + 7d )(c + 4d )
2 20. 25x − 5 (5x ) − 84 84 2
( )( ) 8. a − 4ab − 21b = (a − 7b)(a + 3b) 9. ( x − y ) + 2 ( x − y ) − 24 = ( x − y + 6)( x − y − 4)
120 2
42 2
2 2 ⋅ 3 = 12
60 30
21 3
7 ⋅1 = 7
10. − x + 4 x + 5
5 1
7. x 2 + 2ax − 15a 2 = x + 5a x − 3a 2
2
2
15
2
= − ( x 2 − 4 x − 5) = − ( x − 5)(x + 1) = (5 − x )(x + 1)
11.
x + x 5 − 20 = (x 5 + 5)(x 5 − 4) 10
(
12. m2 + mn − 56n 2 = m + 8n
)(m − 7n)
3 = ( x 4 + 16)( x 4 − 15) 5
2 17. − y + 2 y + 15
= − ( y − 2 y − 15) 2
7 ⇒ 12 − 7 = 5
7
= (5x − 12)(5x + 7)
1
2 21. a − 21ab + 98b 98 2 2 ⋅ 7 = 14 2
49 7 7 ⋅1= 7 7 7 ⇒ 14 + 7 = 21
= − ( y − 5 )( y + 3) = (5 − y )( y + 3) 1
= (a − 14b)(a − 7b)
27. − n 2 + 5n + 14
4 4 2 2 22. x y + x y − 132
= − (n − 5n − 14)
132 2 66 2
28. x + x − 930 930 2 6
= ( x 2 y 2 + 12)( x 2 y 2 − 11)
1 2
93 31
= − (x − 2 x − 48) 4
2
= − (x 2 − 8)(x 2 + 6) = (8 − x 2 )( x 2 + 6) 24. (c + d ) − 18(c + d ) + 65 25. a + 2axy − 440 x y 440 2 2
2
220 2
2 ⋅ 5 = 20
110 2
11⋅ 2 = 22
7 1
2
5
11
11
= (a + 22 xy )(a − 20 xy )
6 6 3 3 26. m n − 21m n + 104
31. a − a b − 156b
104 2 3
78 39
= (m3n3 − 13)(m3n 3 − 8)
1
13
1. 2 x + 3 x − 2
= 4 x 2 + 3 (2 x ) − 4 =
(2 x + 4)(2 x − 1) 2
= ( x + 2)(2 x − 1) 2. 3x − 5x − 2 2
= 9 x 2 − 5 ( 3x ) − 6
2 4. 5x + 13x − 6 = 25x 2 + 13 (5x ) − 30
(5x + 15)(5x − 2) = 5
= ( x + 3)(5x − 2) 2 5. 6 x − 5x − 6
= 36 x 2 − 5 ( 6 x) − 36
(3x − 6)(3x + 1) =
(6x − 9)(6x + 4) =
= ( x − 2)(3x + 1)
= (2 x − 3)(3x + 2)
3
3. 6x + 7 x + 2 2
= 36x + 7 ( 6x) + 12 2
(6x + 4)(6x + 3) = 2⋅ 3
= (3x + 2)(2 x + 1)
3⋅ 2
2 6. 12 x − x − 6
= 144 x 2 − 1(12 x) − 72
(12 x − 9)(12 x + 8) = 3⋅ 4
= (4 x − 3)(3x + 2)
3 3
3
3 = (a − 1 + 12)(a − 1 − 9)
32 = 9 ⇒ 12 − 9 = 3
= (a + 11)(a − 10)
36. (7 x
4
)
2 2
+ 24(7 x 2 ) + 128
128 4 4 2 = 16 4 4⋅2 = 8 2 ⇒ 16 + 8 = 24
32
4
8 2
13 ⇒ 13 − 12 = 1
= (a 2 − 13b 2 )(a 2 + 12b 2 )
2 7. 4a + 15a + 9
= (7 x 2 + 16)(7 x 2 + 8)
1
2 10.20 y + y − 1 = 400 y 2 + 1(20 y ) − 20
= 16a 2 + 15( 4a ) + 36 =
27 9
= (m + 8abc )(m − 7abc)
2 ⋅ 3 = 12 13⋅ 1 = 13
2 3
2
2 2 2 2 35. m + abcm − 56a b c
2
1
EJERCICIO 100 2
2 2
2 2 ⋅ 3 = 12
54
1
156 2
2 =8 13⋅ 1 = 13 13 ⇒ 13 + 8 = 21
13
108 2
7 ⋅1= 7 ⇒ 15 − 7 = 8
= ( x 2 + 9ab)( x 2 − 4ab) 4
2
5⋅ 3 = 15
30. x 4 + 5abx 2 − 36a 2b 2
1
2 2
7
= (4 x 2 − 15)(4 x 2 + 7)
⇒ 22 − 20 = 2
55
34. (a − 1) + 3 (a − 1) − 108
− 8 (4 x 2 ) − 105
105 5 21 3
2
= ( x 4 y 4 − 20a )( x 4 y 4 + 5a )
= ( x 3 + 31)( x 3 − 30)
1 2 2
= (c + d − 13)(c + d − 5)
= (7a − x )( x + 3a )
33. x 8 y 8 − 15x 4 y 4 − 100a 2
2 ⋅ 5⋅ 3 = 30 3 31⋅ 1 = 31 31 ⇒ 31 − 30 = 1
29. (4 x )
2
= − ( x − 7a)(x + 3a )
3
465 5
23. − x + 2 x + 48 4
52 26
= − ( x 2 − 4ax − 21a 2 )
= − (n − 7)(n + 2) = (7 − n)(n + 2)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 3 11⋅ 1 = 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1
33 11
32. − x 2 + 4ax + 21a 2
2
(4a + 12)(4a + 3)
=
4
= (a + 3)(4a + 3)
(20 y + 5)(20 y − 4) 5⋅ 4
= (4 y + 1)(5 y − 1)
2 8. 10a + 11a + 3
= 100a 2 + 11(10a ) + 30 =
(10a + 6)(10a + 5)
11.
8a 2 − 14a − 15
2⋅5
= 64 a 2 − 14 (8a) − 120
9. 12m2 − 13m − 35 = 144m2 − 13(12m) − 420
120 2 60 2 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 30 2 2⋅ 3= 6 15 3 ⇒ 20 − 6 = 14
= (5a + 3)(2a + 1)
4 ⋅ 7 = 28 5⋅ 3 = 15
420 105
4 5
21
3 ⇒ 28 − 15 = 13
5
7
7 =
1
1
(12m − 28)(12m + 15) 4⋅3
= (3m − 7)(4m + 5)
5 =
(8a − 20)(8a + 6) 4⋅ 2
= (2a − 5)(4a + 3)
12. 7 x − 44 x − 35 = 49 x 2 − 44 (7 x) − 245 2
245 5 49 7 1
7 7
7 ⋅ 7 = 49 5⋅1 = 5 ⇒ 49 − 5 = 44 =
(7 x − 49)(7 x + 5)
2 13. 15m + 16m − 15
= 225m2 + 16 (15m) − 225 225 5 45 5 5⋅ 5 = 25 9 3 3⋅ 3 = 9 3 3 ⇒ 25 − 9 = 16 =
= 400n − 9( 20) − 400 2
(15m + 25)(15m − 9) 5⋅ 3
= (3m + 5)(5m − 3)
200 2
2 4 = 16
100 2 50 2
52 = 25 ⇒ 25 − 16 = 9
25
5
5
5
= (4n − 5)(5n + 4)
= 441x 2 + 11(21x) − 42
(21x + 14)(21x − 3) 7⋅ 3
= (3x + 2)(7 x − 1) 19. 15m2 + m − 6 = 225m2 + 15m − 90 =
= 4a + 5 ( 2a ) + 4 2
(2a + 4)(2a + 1) =
(15m + 10)(15m − 9) 5⋅ 3
= (3m + 2)(5m − 3)
2
= (a + 2)(2a + 1) 2 15. 12 x − 7 x − 12
= 144 x 2 − 7 (12 x) − 144 144 2 72
2
36 18
2 2
9 3
3 3
180
2
90 45 9
2 5 3
3
3
2 ⋅ 32 = 18 5⋅ 2 = 10 ⇒ 18 − 10 = 8
32 = 9 ⇒ 16 − 9 = 7
= (5a − 6)(3a + 2)
1
21. 9 x + 37 x + 4 = 81x 2 + 37 ( 9 x ) + 36
(12 x − 16)(12 x + 9) = 4⋅3
= (3x − 4)(4 x + 3)
1
=
(9 x + 36)(9 x + 1) 9
= (x + 4)(9 x + 1) 2 22. 20n + 44n − 15 = 400n2 + 44 ( 20n) − 300 300 2
= 81a 2 + 10 ( 9a ) + 9
150 2 2 ⋅ 5 = 50 75 5 2⋅ 3= 6 15 5 ⇒ 50 − 6 = 44
=
3
(9a + 9)(9a + 1) 9
= (a + 1)(9a + 1)
1
3
2 24. 2 x + 29 x + 90
180
2
90
2
45 15
3 32 = 9 3 ⇒ 20 + 9 = 29
5
5
1
22 ⋅ 5 = 20
=
(2 x + 20)(2 x + 9)
2 = (2 x + 10)(2 x + 9)
2 25. 20a − 7a − 40
= 400a 2 − 7 (20a ) − 800 800
4
200
4
50 10
5 52 = 25 5 ⇒ 32 − 25 = 7
2
2 =
42 ⋅ 2 = 32
(20a − 32)(20a + 25) 4⋅5
= (5a − 8)(4a + 5)
1
=
2 2 ⋅ 3 = 12
66
2
33 11
3 11⋅ 1 = 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1 =
1
(4n + 12)(4n − 11) 4
= (n + 3)(4n − 11)
2
2 16. 9a + 10a + 1
7⋅2
= (2m − 5)(7m + 2)
2 26. 4n + n − 33 (15a − 18)(15a + 10) = 16n2 + 4n − 132 = 3⋅ 5 132 2
2
24 = 16
(14m − 35)(14m + 4)
= 4 x 2 + 29 (2 x ) + 180
1 2 18. 21x + 11x − 2
=
=
1
5⋅ 4
2
14. 2a + 5a + 2
140 2 70 2 5⋅ 7 = 35 35 5 2⋅2 = 4 7 7 ⇒ 35 − 4 = 31
(20n − 25)(20n + 16) =
20. 15a − 8a − 12 = 225a 2 − 8 (15a ) − 180
2
2 23. 14m − 31m − 10 = 196m2 − 31(14m) − 140
400 2
7
= ( x − 7)(7 x + 5)
1
2 17. 20n − 9n − 20
(20n + 50)(20n − 6) 10 ⋅ 2
= (2n + 5)(10n − 3)
27. 30 x 2 + 13x − 10
= 900 x 2 + 13 ( 30 x ) − 300 300 2 52 = 25
150 2 75
5
2 ⋅ 3 = 12
15
5
⇒ 25 − 12 = 13
3
3
=
1
2
(30 x + 25)(30x − 12) 5⋅ 6
= (6 x + 5)(5x − 2)
EJERCICIO 101
= − (10 x 2 + 7 x − 12)
2
= (6 x =
)
+ 5 (6 x 2 ) − 36
2 2
(6x
120 2 60 2
=
)
(5x
+ 4 (5x 3 ) − 60
3
+ 10)(5x 3 − 6) 5
3
= (10 x
)
(10 x =
4
+ 29 (10 x 4 ) + 100
+ 25)(10 x 4 + 4) 5⋅ 2
378 189
(6ax ) 2 + 5 ( 6ax ) − 126 2 3 2 ⋅ 7 = 14 7 3⋅ 3 = 9 3 ⇒ 14 − 9 = 5 =
3 = 27 ⇒ 56 − 27 = 29
3
=
21
3
= (3x − 8 y )(7 x + 9 y )
7
7
=
100 2
24 = 16
50
2 ⇒ 25 − 16 = 9
25
5 =
5
5
5⋅ 4
(6m − 18a )(6m + 5a ) 6
196
2
98 49 7
2 7 ⋅ 7 = 49 7 2⋅2 = 4 7 ⇒ 49 − 4 = 45 =
= (4 xy + 5)(5xy − 4)
1 2 2 6. 15x − ax − 2a
= (15x) − a (15x ) − 30a 2 2
(15x − 6a)(15x + 5a)
2
2
1
(14 x
2
− 49)(14 x 2 + 4) 7⋅2
= (2 x 2 − 7)(7 x 2 + 2) 2 11. 30a − 13ab − 3b 2
= 900a 2 − 13 (30ab) − 90b 2
(30a − 18b)(30a + 5b) = 6⋅ 5
= − (3a 2 − 13a − 30)
= − (9a 2 − 13 ( 3a ) − 90) =−
(3a − 18)(3a + 5) 3
= − (a − 6)(3a + 5) = (6 − a )(3a + 5) 8 4 14. − 6 x + 7 x + 5
= − (6 x 8 − 7 x 4 − 5)
(
)
= − (6 x 4 ) − 7 (6 x 4 ) − 30 =−
2
(6 x
4
− 10)(6 x + 3) 2⋅ 3 4
= − (3x 4 − 5)(2 x 4 + 1) 15. 6a 2 − ax − 15x 2
2
= (14 x 2 ) − 45 (14 x 2 ) − 196
(20xy + 25)(20xy − 16)
− 35)(7 x 3 + 2) 7
= (5 − 3x 4 )(2 x 4 + 1)
= (m − 3a )(6m + 5a )
400 2 52 = 25
7⋅3
10. 14 x − 45x − 14
2
200 2
(21x − 56 y)(21x + 27 y)
63
4
= (20 xy) + 9 (20 xy) − 400
= (5x − 2a )(3x + a )
2 3
3
= 36m − 13 (6am) − 90a
2⋅3
3⋅ 5
2 ⋅ 7 = 56
2
(6ax + 14)(6ax − 9)
2 2 5. 20 x y + 9 xy − 20
2
3
1 2 2 9. 6m − 13am − 15a
= (3ax + 7)(2ax − 3)
=
= − (2 x + 3)(5x − 4)
756
2 2 4. 6a x + 5ax − 21
1
5⋅ 2
1. 512 2
= (2 x 4 + 5)(5x 4 + 2)
126 63 21 3
]
− (10x + 15)(10x − 8)
= 441x 2 − 29 (21xy ) − 1.512 y 2
3. 10 x + 29 x + 10
3
13. − 3a 2 + 13a + 30
2 2 8. 21x − 29 xy − 72 y
4
4 2
[
(7 x
= ( x 3 − 5)(7 x 3 + 2)
= (2 x + 3)(4 − 5x )
3
8
=
3
=
5⋅ 3 = 15
1
= (x + 2)(5x − 6) 3
]
2 2 3=8 5 ⇒ 15 − 8 = 7
30 15
2. 5x 6 + 4 x 3 − 12
= (5x
2
[
= (2 x 2 + 3)(3x 2 − 2) 3 2
= (7 x 3 ) − 33 (7 x 3 ) − 70
2 = − (10x ) + 7 (10 x ) − 120
+ 9)(6 x 2 − 4) 3⋅ 2
2
12. 7 x 6 − 33x 3 − 10
7. − 10 x 2 − 7 x + 12
1. 6 x + 5x − 6 4
= (5a − 3b)(6a + b)
= 36a 2 − 6ax − 90 x 2 =
(6a − 10x)(6a + 9 x) 2⋅3
= (3a − 5x )(2a + 3x ) 2 2 2 16. 4 x + 7mnx − 15m n
= ( 4 x) + 7mn ( 4 x) − 60m2n 2 2
=
(4 x + 12mn )(4 x − 5mn) 4
= ( x + 3mn)(4 x − 5mn) 17.18a + 17ay − 15y 2 = (18a ) + 17 y (18a ) − 270 y 2 2
2
270
2
135 27 9
5 33 = 27 3 5⋅ 2 = 10 3 ⇒ 27 − 10 = 17
3
3
1
=
(18a + 27 y)(18a − 10 y) 9⋅2
= (2a + 3 y )(9a − 5 y )
4 2 18. − 8 x + 2 x + 15
23. − 6 y 2 + 11xy − 4 x 2
= − (8 x 4 − 2 x 2 − 15)
(
)
= − (8 x 2 ) − 2 (8 x 2 ) − 120 2
(8x
=−
− 12)(8 x 2 + 10) 4⋅ 2
2
= − (2 x 2 − 3)(4 x 2 + 5) = (3 − 2 x 2 )(4 x 2 + 5) 19. − 25x + 5x + 6 8
(
= − (6 y ) − 11x(6 y ) + 24 x 2
630 315
2 5
5⋅ 7 = 35
=−
63 21
3 3
2 ⋅ 32 = 18 ⇒ 35 − 18 = 17
7
7
=
(25x
4
− 15)(25x 4 + 10) 5⋅ 5
= (3 − 5x
4
)(5x
4
= − (20a 2 − 27ab + 9b 2 )
= (30 x =
)
(30x
5
= − (15a 2 − 16a + 4)
+ 2)
( ) (15a − 10)(15a − 6) =− = − (15a ) − 16 (15a ) + 60 2
− 91(30 x ) − 900 5
5⋅ 3
− 100)(30 x + 9) 10 ⋅ 3
= − (3a − 2)(5a − 2)
5
= (3a − 2)(2 − 5a )
= (3x − 10)(10 x + 3) 5
(
2 = − ( 20a ) − 27b(20a ) + 180b 2
22. − 15a + 16a − 4
10 5 20. 30 x − 91x − 30 5 2
= (4 x − 3y )(2 y − x )
2 2 24. − 20a + 27ab − 9b
2
4
2⋅ 3
5⋅ 6
)
= − (5x − 3)(5x + 2) 4
(6 y − 8x)(6 y − 3x)
)
= − (3 y − 4 x )(2 y − x )
(30m + 35a)(30m − 18a)
= − (25x 4 ) − 5 (25x 4 ) − 150 =−
2
= (6m + 7a )(5m − 3a )
1
2
(
2 = (30m) + 17a ( 30m) − 630a 2
4
= − (25x 8 − 5x 4 − 6)
= − (6 y 2 − 11xy + 4 x 2 )
2 2 21. 30m + 17am − 21a
180
2
90 45
2 5
2 2 ⋅ 3 = 12 5⋅ 3 = 15
9
3
⇒ 15 + 12 = 27
3
3
=−
)
(20a − 15b)(20a − 12b) 5⋅ 4
= − (4a − 3b)(5a − 3b)
1
= (4a − 3b)(3b − 5a )
5
EJERCICIO 102
(
)
1. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = a + 1
(
2. 27 − 27 x + 9 x − x = 3 − x 2
(
12. 8 + 36 x + 54 x 2 + 27 x 3 = 2 + 3x
3
3
)
(
(
4. 1 − 3a + 3a − a = 1 − a 5. 8 + 12a
2
3
)
6
2
2
x 9 − 9 x 6 y 4 + 27 x 3 y 8 − 27 y12 = ( x 3 − 3 y 4 )
)
17.
3
3
3
2
3
(
) 7. 8a − 36a b + 54ab − 27b = (2a − 3b) 8. 27m + 108m n + 144mn + 64n = (3m + 4n) 3
15.
3
16. 64 x 3 + 240 x 2 y + 300 xy 2 + 125 y 3 = 4 x + 5 y
2 3
(
2
a 6 + 3a 4b3 + 3a 2b6 + b9 = (a 2 + b3 )
3
)
6. 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 = 5x + 1 3
14.
3
+ 6a + a = (2 + a 4
3
13. 8 − 12a 2 − 64a 4 − a 6 = No es cubo perfecto
3
3. m3 + 3m2 n + 3mn 2 + n 3 = m + n 2
)
3
3
9. x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = No es cubo perfecto 10. 1 + 12a 2b − 6ab − 8a 3b 3 = No es cubo perfecto
(
)
11. 125a 3 + 150a 2b + 60ab2 + 8b3 = 5a + 2b
3
4
+ 8 y5 )
3
3
(
64 x 9 − 240x 6 y 4 + 300 x 3 y 8
)
3
(1+ 6a b ) − 125 y = (4 x − 5 y ) 2 3 3
21. 1 + 18a 2b 3 + 108a 4b 6 + 216a 6b 9 = 22.
(5x
a18 + 3a 12 + 3a 6 + 1 = (a 6 + 1)
20. m3 − 3am2 n + 3a 2 mn 2 − a 3n 3 = m − an
3
3
216 − 756a 2 + 882a 4 − 343a 6 = (6 − 7a 2 )
18. 125x 12 + 600 x 8 y 5 + 960 x 4 y10 + 512 y15 = 19.
)
12
3
4 3
EJERCICIO 103
(1+ 7n)(1− 7n + 49n ) 1. 1 + a = (1 + a )(1 − a + a ) 21. 64a − 729 = (4a − 9)(16a + 36a + 81) 2. 1 − a = (1 − a )(1 + a + a ) 22. a b − x = (ab − x )(a b + abx + x ) 3. x + y = (x + y)( x − xy + y ) 23. 512 + 27a = (8 + 3a )(64 − 24a + 9a ) 4. m − n = (m − n )(m + mn + n ) 24. x − 8 y = ( x − 2 y )( x + 2 x y + 4 y ) 5. a − 1 = (a − 1)(a + a + 1) 25. 1 + 729 x = (1 + 9 x )(1 − 9 x + 81x ) 6. y + 1 = ( y + 1)( y − y + 1) 26. 27m + 64n = (3m + 4n )(9m − 12mn + 16n ) 7. y − 1 = ( y − 1)( y + y + 1) 27. 343x + 512 y = (7 x + 8 y )(49 x − 56 xy + 64 y ) 8. 8 x − 1 = (2 x − 1)(4 x + 2 x + 1) 28. x y − 216 y = ( xy − 6 y )(x y + 6 xy + 36 y ) 9. 1 − 8 x = (1 − 2 x)(1 + 2 x + 4 x ) 29. a b x + 1 = (abx + 1)(a b x − abx + 1 ) 10. x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9) 30. x + y = ( x + y )( x − x y + y ) 11. a + 27 = (a + 3)(a − 3a + 9) 31. 1. 000 x − 1 = (10 x − 1)(100 x + 10 x + 1) 12. 8 x + y = (2 x + y )(4 x − 2 xy + y ) 32. a + 125b = (a + 5b )(a − 5a b + 25b ) 13. 27a − b = (3a − b)(9a + 3ab + b ) 33. x + y = ( x + y )( x − x y + y ) 14. 64 + a = (4 + a )(16 − 4a + a ) 34. 1 − 27a b = (1 − 3ab)(1 + 3ab + 9a b ) 15. a − 125 = (a − 5)(a + 5a + 25) 35. 8 x + 729 = (2 x + 9)(4 x − 18 x + 81) 16. 1 − 216m = (1 − 6m)(1 + 6m + 36m ) 36. a + 8b = (a + 2b )(a − 2ab + 4b ) 17. 8a + 27b = (2a + 3b )(4 a − 6ab + 9b ) 37. 8 x − 125 y z = (2 x − 5 yz )(4 x + 10 x yz + 25 y z ) 18. x − b = ( x − b )( x + x b + b ) 38. 27m + 343n = (3m + 7n )(9m − 21m n + 49n ) 19. 8 x − 27 y = (2 x − 3 y )(4 x + 6 xy + 9 y ) 39. 216 − x = (6 − x )(36 + 6 x + x ) 3
2
3
2
3
3
3
3
20. 1 + 343n 3 = 3
2
3 3
2
6
2
3
2
2
6
12
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
4
2
2 3
3
4
3
6
2 4
3 3
2
4
4
4
6
8
2 4
4 4
8
8
4
12
2
6
2 2
4
3
9
2
12
2
2
3 6
6
2
4
5
4
2
9
6
2
2
12
3
6
2
3 3
2
9
2
3
6
6
3
2
12
4
3
6
9
12
2
3
2
2 2 2
6
2
8
4
3
3
3
6
6
2 4
2
3 3 3
2
6
4
3
9
9
3
3
4
9
3 6
4
3
2
3
3
3
2
3
2
2
3
6
3
2 2
9
2
3
2
2
2
3
2
4
8
2
6
3
4
3
4
4
2
2 4
2 3
6
8
)[( ) ( ) ] = (x + 2 y + 1)( x + 4 xy + 4 y − x − 2 y + 1) 1. 1 + ( x + y ) = (1 + x + y )[1 − ( x + y ) + ( x + y ) ] 6. 1 − (2a − b) = [1 − (2a − b)][1 + (2a − b) + (2a − b) ] = (1 + x + y )(1 − x − y + x + 2 xy + y ) = (1 − 2a + b)(1 + 2a − b + 4a − 4ab + b ) 2. 1 − (a + b) = [1 − (a + b)][1 + (a + b) + (a + b) ] 7. a + (a + 1) = (a + a + 1)[a − a (a + 1) + (a + 1) ] = (1 − a − b)(1 + a + b + a + 2ab + b ) = (2a + 1)(a − a − a + a + 2a + 1) 3. 27 + (m − n) = (3 + m − n)[9 − 3(m − n) + (m − n) ] = (2a + 1)(a + a + 1) = (3 + m − n)(9 − 3m + 3n + m − 2mn + n ) 8. 8a − (a − 1) = [2a − (a − 1)][4a + 2a (a − 1) + (a − 1) ] 4. ( x − y) − 8 = ( x − y − 2)[( x − y) + 2 ( x − y) + 4] = (2a − a + 1)(4a + 2a − 2a + a − 2a + 1) = (x − y − 2)( x − 2 xy + y + 2 x − 2 y + 4) = (a + 1)(7a − 4a + 1) (
EJERCICIO 104
)
(
3
2
5. x + 2 y + 1 = x + 2 y + 1 x + 2 y − x + 2 y + 1
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( ) 14. ( x − y ) − ( x + y ) = [3x − ( x − y )][9 x + 3x ( x − y ) + ( x − y ) ] = [(x − y ) − (x + y )][( x − y ) + ( x − y )( x + y ) + ( x + y ) ] = (3x − x + y )(9 x + 3x − 3xy + x − 2 xy + y ) = ( x − y − x − y )( x − 2 xy + y + x − y + x + 2 xy + y ) = (2 x + y )(13x − 5xy + y ) = − 2 y (3x + y ) 10. (2a − b) − 27 15. (m − 2) + (m − 3) = (2a − b − 3)[(2a − b) + 3 (2a − b) + 9] = [(m − 2) + (m − 3)][(m − 2) − (m − 2)(m − 3) + (m − 3) ] = (2a − b − 3)(4a − 4ab + b + 6a − 3b + 9) = (m − 2 + m − 3)(m − 4m + 4 − m + 5m − 6 + m − 6m + 9) 11. x − ( x + 2) = (2m − 5)(m − 5m + 7) 16. (2 x − y ) + (3x + y ) = [ x − ( x + 2)][ x + x ( x + 2) + ( x + 2) ] = [(2 x − y ) + (3x + y )][(2 x − y ) − (2 x − y )(3x + y ) + (3x + y ) ] = ( x − x − 2)( x + x + 2 x + x + 4 x + 4) = (2 x − y + 3x + y )(4 x − 4 xy + y − 6 x + xy + y + 9 x + 6 xy + y ) = ( x − x − 2) ( x + x + 3x + 4 x + 4) = (5x ) (7 x + 3xy + 3 y ) 12. (a + 1) + (a − 3) 17. 8 (a + b) + (a − b) = (a + 1 + a − 3)[(a + 1) − (a − 3)(a + 1) + (a − 3) ] = [2 (a + b) + (a − b)][4 (a + b) − 2 (a + b)(a − b) + (a − b) ] = (2a − 2)(a + 2a + 1 − a + 2a + 3 + a − 6a + 9) = (2a + 2b + a − b)(4a + 8ab + 4b − 2a + 2b + a − 2ab + b ) = (2a − 2)(a − 2a + 13) = (3a + b)(3a + 6ab + 7b ) 13. ( x − 1) − ( x + 2) 18. 64 (m + n) − 125 = [ x − 1 − ( x + 2)][( x − 1) + (x − 1)( x + 2) + (x + 2) ] = [4 (m + n) − 5][16 (m + n) + 4 (m + n) (5) + 25] = ( x − 1− x − 2)( x − 2 x + 1 + x + x − 2 + x + 4 x + 4) = (4m + 4n − 5)(16m + 32mn + 16n + 20m + 20n + 25) = − 3 (3x + 3x + 3) = − 9 (x + x + 1) 9. 27 x 3 − x − y
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
6
2
2
2
2
2
4
3
2
2
3
2
2
4
2
3
4
3
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
EJERCICIO 105
(a + 1)(a − a + a − a + 1) 2. a − 1 = (a − 1)(a + a + a + a + 1) 3. 1 − x = (1− x)(1 + x + x + x + x ) 1. a 5 + 1 =
4
3
2
5
4
3
2
5
4.a + b 7
2
3
10. 11.
243 − 32b5 = (3 − 2b)(81 + 54b + 36b 2 + 24b 3 + 16b 4 )
a 5 + b5c5 = (a + bc)(a 4 − a 3bc + a 2b2 c 2 − ab3c 3 + b4 c4 )
7 7 7 12. m − a x
4
= (m − ax)(m6 + m5ax + m4 a 2 x 2 + m3a 3 x 3 + m2 a 4 x 4 + ma 5 x 5 + a 6 x 6 )
7
3
2
5
9. x 7 + 128
15. a 7 + 2 .187
2
5
2
3
3
4
= (a + 3)(a 6 − 3a 5 + 9a 4 − 27a 3 + 81a 2 − 243a + 729)
(1− 2a)(1+ 2a + 4a + 8a + 16a + 32a + 64a ) + 32 y = (x + 2 y )(x − 2 x y + 4 x y − 8 x y + 16 y )
16. 1 − 128a 7 =
4
= (x + 2)( x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 − 32 x + 64)
− x 3 + x 4 − x5 + x 6 )
= ( x − y)( x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy5 + y 6 )
= (m − n)(m6 + m5n + m4 n2 + m3n3 + m2n 4 + mn5 + n 6 ) 4
2
14. x 7 − y 7
5. m7 − n 7
(a + 3)(a − 3a + 9a − 27a + 81) 7. 32 − m = (2 − m)(16 + 8m + 4m + 2m + m ) 8. 1 + 243x = (1 + 3x )(1 − 3x + 9 x − 27 x + 81x )
(1+ x)(1− x + x
13. 1 + x 7 =
= (a + b)(a 6 − a 5b + a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − ab5 + b 6 )
6. a 5 + 243 =
2
17.
x10
2
5
18. 1 + 128 x 4
2
8
3
6
4
4 2
5
2 3
6
4
= (1 + 2 x 2 )(1 − 2 x 2 + 4 x 4 − 8 x 6 + 16x 8 − 32 x10 + 64 x12 )
(a + 1)(a − a + 1) 19. 8m − 27 y = (2m − 3 y )(4m + 6my
EJERCICIO 106
(
18. a 6 + 1 =
)
1. 5a + a = a 5a + 1 2
3
( ) 3. a + a − ab − b = (a + a ) − (ab − b) = a (a + 1) − b(a + 1) = (a + 1)(a − b) 4. x − 36 = x − 6 = ( x + 6)(x − 6) 5. 9 x − 6 xy + y = (3x − y ) 6. x − 3x − 4 = ( x − 1)( x + 4) 2
2. m + 2mx + x = m + x 2
2
2
2
6
21. 1 + a 7 =
2
2
(1+ a)(1− a + a
( = (1 + m)(1− m)
2
23. 1 − m2 24.
2
)
+ 9 y4 )
2
)
3
x 4 + 4 x 2 − 21 = ( x 2 + 7)( x 2 − 3)
25. 125a 6 + 1 =
7. 6 x 2 − x − 2
2
− a3 + a4 − a5 + a6 )
22. 8a 3 − 12a 2 + 6a − 1 = 2a − 1
2
2
2
(
2
2
4
20. 16a 2 − 24ab + 9b 2 = 4a − 3b
2
2
2
(5a + 1)(25a 2
4
− 5a 2 + 1)
2 2 2 26. a + 2ab + b − m
= 36 x 2 − 6 x − 12
= (a + b) − m2 = (a + b + m)(a + b − m)
(6x − 4)(6x + 3) =
2
(
3⋅ 2
27. 8a 2b + 16a 3b − 24a 2b 2 = 8a 2b 1 + 2a − 3b
= (3x − 2)(2 x + 1)
)
28. x 5 − x 4 + x − 1
(1+ x)(1− x + x ) = (x − x ) + (x − 1) = x (x − 1) + (x − 1) = ( x + 1)( x − 1) 9. 27a − 1 = (3a − 1)(9a + 3a + 1) 29. 6 x + 19 x − 20 = 36x + 19 ( 6 x ) − 120 10. x + m = ( x + m)( x − x m + x m − xm + m ) 120 2 11. a − 3a b + 5ab = a (a − 3ab + 5b ) 60 2 2 ⋅ 3 = 24 8. 1 + x 3 =
2
3
5
4
4
2
5
5
3
2
4
2
4
3
2
2
2
2
3
2
4
2
3
12. 2 xy − 6 y + xz − 3z
= 2 y ( x − 3) + z ( x − 3) = ( x − 3)(2 y + z)
(
13. 1 − 4b + 4b 2 = 1 − 2b 14. 4 x + 3x y + y 4
2
2
+x y 2
)
−x y 2
2
30.
2
= (2 x + xy + y 15. x − 6 x y + y 8
4
4
+ 2x y 4
)(2 x
2
− xy + y
− 4x y 4
x − 2x y + y − 4x y 8
4
4
2
8
4
)
)
2 17. 15m + 11m − 14
= 225m2 + 11(15m) − 210
= (5m + 7)(3m − 2)
2
= ( x + y + a − b)( x + y − a + b)
16. a 2 − a − 30 = a − 6 a + 5
3⋅ 5
2
2
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 − y 4 )
(15m + 21)(15m − 10)
(1− m)(1+ m + m )
= ( x + y ) − (a − b)
2
=
6
= (x + 4)(6 x − 5)
= ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (a 2 − 2ab + b2 )
4
)(
(6x + 24)(6x − 5)
2 2 2 2 32. x − a + 2 xy + y + 2ab − b
4
= (x 4 − y 4 ) − 4 x 4 y 4
(
=
25x 4 − 81y 2 = (5x 2 + 9 y)(5x 2 − 9 y)
31. 1 − m3 =
8
4
5⋅1 = 5 ⇒ 24 − 5 = 19
1
= (2 x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 2
5
2
4
2
5
4
2
2
2 3
2
4x + 4x y + y − x2 y2 4
30 15
33.
21m5n − 7m4 n 2 + 7m3n3 − 7m2 n = 7m2 n (3m3 − m2 n + mn 2 − 1)
(
) ( ) ( ) ( )( 35. 4 + 4 ( x − y ) + (x − y) = (2 + x − y)
)
34. a x + 1 − b x + 1 + c x + 1 = a − b + c x + 1 2
36. 1 − a 2b 4 =
2
(1+ ab )(1− ab ) 2
2
(
37. b 2 + 12ab + 36a 2 = b + 6a 38.
)
2
x 6 + 4 x 3 − 77 = (x 3 + 11)( x 3 − 7)
(1+ 6x )(1− 6x + 36x ) 53 x − 64 = (x − 4)( x + 4 x + 16)
39. 15x − 17 x − 4 4
2
= (15x =
)
(15x
2
52. 1 + 216 x 9 =
− 17 (15x ) − 60
2 2
2
3
− 20)(15x + 3) 5⋅ 3 2
(
)
55. 18ax
)
y − 36 x y − 54 x 2 y 8 = 18 x 2 y 3 (ax 3 − 2 x 2 − 3 y 5 )
5 3
4 3
(
)
56. 49a 2b 2 − 14ab + 1 = 7ab − 1
[
) ( )( ) ( 58. a − (b + c) = (a + b + c)(a − b − c) − 6ab + 9b ) 59. (m + n) − 6 (m + n) + 9 = (m + n − 3)
= (1 + a − 3b) 1 − (a − 3b) + (a − 3b)
2
= (1 + a − 3b)(1 − a + 3b + a 2 + 25
+ 9x2
6
2
(
3
4 2 41. x + x
3
54. x 3 − 64 x 4 = x 3 1 − 64 x
= (3x 2 − 4)(5x 2 + 1) 40. 1 + a − 3b
3
(
]
)(
2
2
2
2
2
2
3 2 61. 9a + 63a − 45a
2 60. 7 x + 31x − 20
− 9 x2
= 9a (a 2 + 7 − 5a )
= ( 7 x) + 31( 7 x) − 140 2
x 4 + 10 x 2 + 25 − 9 x 2 = (x 2 + 5) − 9 x 2 2
= (x + 3x + 5)(x − 3x + 5) 2
140 70
2 2
35 7
5 2 =4 7 ⇒ 35 − 4 = 31
2
42. a − 28a + 36 8
4
+ 16a 4
− 16a 4
7
2 4 64. 1 − 27b + b
+ 25b 2
343 + 8a 3 = (7 + 2a )(49 − 14a + 4a 2 )
( ) = ( x + 5y)( x − 3y )
) (
4
)(9a − 2bc ) 68. a 3
4
48. 16 − 2a + b = 4 + 2a + b 4 − 2a − b
)
2
= (m2 + n 2 ) − m2 n 2 2
= (m2 + mn + n 2 )(m2 − mn + n 2 )
(3x
2
− 3x + 4 )
− x −a− x 2
= (a 2 − x 2 ) − (a + x) = (a + x)(a − x) − (a + x) = (a + x)(a − x − 1)
2 49. 20 − x − x
70. 6m + 7m − 20 4
= − ( x 2 + x − 20)
4 2 69. x − 8 x − 240
= − ( x + 5)( x − 4)
240 60
= ( x + 5)(4 − x )
(
)(
)
15 5
50. n 2 + n − 42 = n + 7 n − 6
2 2 2 2 51. a − d + n − c − 2an − 2cd
= (a 2 − 2an + n 2 ) − (c 2 + 2cd + d = (a − n) − (c + d )
2
= (a − n + c + d )(a − n − c − d )
2
)
1
− m2 n 2
m 4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2
67. 15x 4 − 15x 3 + 20 x 2 = 5x 2
)(
2
+ m2 n 2
c 4 − 4d 4 = (c2 + 2d 2 )(c 2 − 2d 2 )
66.
− 4b c = (9a + 2bc
4 2 2 4 65. m + m n + n
− 25b 2
= (1 + 5b − b 2 )(1 − 5b − b 2 )
= 3m (2a + 1) − 2n (2a + 1) 3
2
2
= (6am + 3m) − (4an + 2n) = (3m − 2n)(2a + 1)
= (9 x 2 − 5 y )
= (1 − b 2 ) − 25b 2
45. x 2 + 2 xy − 15 y 2 46. 6am − 4an − 2n + 3m
2
⇒ 81x 4 − 90 x 2 y + 25 y 2
1 − 2b 2 + b 4 − 25b 2
44. 12a 2bx − 15a 2 by = 3a 2b 4 x − 5 y
(
= (a − 1)( x + 1)
63. 81x 4 + 25 y 2 − 90 x 2 y
= ( x + 5)(7 x − 4)
= (a 4 + 4a 2 − 6)(a 4 − 4a 2 − 6)
47. 81a
= a (x + 1) − ( x + 1)
(7 x + 35)(7 x − 4) =
2
2 8
= (ax + a ) − (x + 1)
2
1
= (a 4 − 6) − 16a 4
6
62. ax + a − x − 1
7 ⋅ 5 = 35
a 8 − 12a 4 + 36 − 16a 4
43.
)
57. x + 1 − 81 = x + 1 + 9 x + 1 − 9 = x + 10 x − 8
4 4
4 ⋅ 5 = 20 3 4 ⋅ 3 = 12 5 ⇒ 20 − 12 = 8
= ( x 2 − 20)( x 2 + 12)
= (6m
2
)
2 2
+ 7 (6m2 ) − 120
120 4 30 3 10 5 2 2
4⋅2 = 8 5⋅ 3 = 15 ⇒ 15 − 8 = 7
1
=
(6m
2
+ 15)(6m2 − 8) 3⋅ 2
= (2m2 + 5)(3m2 − 4)
71. 9n 2 + 4a 2 − 12an ⇒ 9n 2 − 12an + 4a 2
84.
= (3n − 2a )
2
a 10 − a 8 + a 6 + a 4 = a 4 (a 6 − a 4 + a 2 + 1)
(
)
(
) ( ) (
) ( )(
)(
)
85. 2 x a − 1 − a + 1 = 2 x a − 1 − a − 1 = a − 1 2 x − 1
2 x + 2 = 2 (x + 1)
( )( ) ( ) ( )( ) ) ( )( ) 87. a 2 − b3 + 2b3 x 2 − 2a 2 x 2 74. x + 3x − 18 = ( x + 6)( x − 3) = − (b 3 − 2b3 x 2 ) + (a 2 − 2a 2 x 2 ) 75. (a + m) − (b + n) = (a + m + b + n )(a + m − b − n ) = − b3 (1 − 2 x 2 ) + a 2 (1 − 2 x 2 ) = (1 − 2 x 2 )(a 2 − b 3 ) 2 76 x + 6 x y + 12 xy + 8 y = ( x + 2 y) 2 1 1 2 88. 2am − 3b − c − cm − 3bm + 2a 89. x − x + = x − − − 8 a 22 a 21 3 9 3 77. = (2am − cm − 3bm) − (3b + c − 2a ) = (8a ) − 22 (8a ) − 168 = m (2a − c − 3b) − (3b + c − 2a ) 90. 4a 2 n − b 4 n 168 4 = m (2a − 3b − c) + (2a − 3b − c) 42 2 3⋅ 2 = 6 = (2a n + b2 n )(2a n − b2 n ) 21 3 4 ⋅ 7 = 28 = (2a − 3b − c)(m + 1) 7 7 ⇒ 28 − 6 = 22 91. 81x − (a + x ) = (9 x + a + x)(9 x − a − x) = (10 x + a)(8 x − a ) (8a − 28)(8a + 6) 72.
2
2
(
)
86. m + n m − n + 3n m − n = m − n m + n + 3n = m − n m + 4n
(
73. 7a x + y − 1 − 3b x + y − 1 = 7a − 3b x + y − 1 2
2
3
2
2
2
3
3
2
2
2
2
=
1
= (2a − 7)(4a + 3)
(
78. 1 + 18ab + 81a 2b 2 = 1 + 9ab 79.
4a − 1 = (2a + 1)(2a − 1) 6
2 2 92. a + 9 − 6a − 16 x
4⋅ 2
3
2
)
2 2 93. 9a − x − 4 + 4 x
3
80. x − 4 x − 480 6
= (a 2 − 6a + 9) − 16 x 2 = (a − 3) − 16 x 2 = (a − 3 + 4 x )(a − 4 x − 3)
2
= 9a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 9a 2 − ( x − 2) = (3a + x − 2)(3a − x + 2) 2
3
480 120 40 10 2
94. 9 x 2 − y 2 + 3x − y
4 3 5⋅ 4 = 20 4 4 ⋅ 3⋅ 2 = 24 5 ⇒ 24 − 20 = 4 2
= (9 x 2 − y 2 ) + (3x − y ) = (3x + y )(3x − y ) + (3x − y ) = (3x − y )(3x + y + 1)
(
= (x − 24)( x + 20) 3
3
2
4 3 5
2
2
1
]
4 ⋅ 5 = 20 3⋅ 2 = 6 ⇒ 20 − 6 = 14 =−
1. 470
7
36a 4 − 84a 2b 2 + 49b 4 − 36a 2b2
210
7
= (6a 2 − 7b 2 ) − 36a 2b 2
30
5
6
6
= (a + 2b) − (m + 3n)
(8x − 20)(8x + 6) 4⋅2
= − (2 x − 5)(4 x + 3)
= (5 − 2 x )(4 x + 3)
98. 1 −
7 ⋅ 6 = 42 ⇒ 42 + 35 = 77
= (a 2 + 4ab + 4b 2 ) − (m2 + 6mn + 9n 2 2
)
=
(49 x − 35)(49 x − 42) 7⋅7
2
4 8 2 4 2 4 a = 1+ a 1− a 3 3 9
7 ⋅ 5 = 35
1
= (7 x − 5)(7 x − 6)
= (a + 2b + m + 3n)(a + 2b − m − 3n)
= − (8 x ) − 14 (8 x ) − 120 120 30 10
2
= (6a 2 + 6ab − 7b 2 )(6a 2 − 6ab − 7b2 )
= 3m (2a − 1) − (2a − 1 ) = (3m − 1 )(2a − 1 )
[
= ( 49 x ) − 77 ( 49 x ) + 1. 470
− 36a 2b 2
2 2 2 2 97. a − m − 9n − 6mn + 4ab + 4b
= (6am − 3m) − (2a − 1 )
2
100. 49 x 2 − 77 x + 30
4
2
= a (x + y − 1 ) − b (x + y − 1 )
= (a − b)( x + y − 1) 82 6am − 3m − 2a + 1
2 2
+ 36a 2b2
= (ax + ay − a ) − (bx + by − b)
= − (8 x 2 − 14 x − 15)
)
96. 36a − 120a b + 49b 4
1 81. ax − bx + b − a − by + ay
83. 15 + 14 x − 8 x
)(
95. x 2 − x − 72 = x − 9 x + 8
2 2 2 101. x − 2abx − 35a b
+ 36a 2b 2 − 36a 2b 2 x − 2abx + a 2b2 − 36a 2b 2 2
99. 81a
+ 64b12
8
+ 144a 4b 6
81a 8 + 144a 4b 6 + 64b12 − 144a 4b 6 = (9a 4 + 8b 6 ) − 144a 4b 6 2
= ( x − ab) − 36a 2b 2 2
− 144a 4b 6
= ( x − ab + 6ab)( x − ab − 6ab) = ( x + 5ab)( x − 7ab)
= (9a 4 − 12a 2b 3 + 8b 6 )(9a 4 + 12a 2b 3 + 8b 6 )
(
)
2 2 2 116. 49a − x − 9 y + 6 xy
3
102. 125x 3 − 225x 2 + 135x − 27 = 5x − 3
=−
103. (a − 2) − (a + 3) 2
2
2
= 4a 2 (m + 3n) − 5b (m + 3n) = (m + 3n)(4a 2 − 5b)
(1+ 3x ) 106. a + 3a b − 40b = (a + 8b)(a − 5b) 107. m + 8a x = (m + 2ax )(m − 2axm + 4a x ) 2
3
3 3
2
= ( x 4 + 4 x 2 + 4) − ( y 2 + 4 yz + 4 z 2 )
108. 1 − 9 x + 24 xy − 16 y
[
= ( x 2 + 2) − ( y + 2 z ) 2
2
2
2
118.
2
]
119.
= − (3x − 4 y) − 1
120.
[
]
[
109. 1 + 11x + 24 x
2
2
(24 x + 8)(24 x + 3)
a 6 − 3a 3b − 54b 2 = (a 3 − 9b)(a 3 + 6b)
165 33
5 3
11 1
11
(
= (15 − x ) ( x + 11)
) − 9x y − c + 3xy)(a
111. a + b − c 2
2
= (a 2 + b 2
(
2 2
)
4 2 122. a + a + 1
+ a2
2
[
][
2
= (a 2 + 1) − a 2
+ b2 − c2 − 3xy)
]
= 2 (a + 1) − 1 4 (a + 1) + 2 (a + 1) + 1
2
= (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1)
2
= (2a + 2 − 1)(4a + 8a + 4 + 2a + 2 + 1)
123.
x2 y6 x y3 x y3 − = + − 4 81 2 9 2 9
2
= (2a + 1)(4a 2 + 10a + 7) 6
4
) + 5(a + 1 ) − 24 = (a + 1 + 8)(a + 1 − 3) = (a 2
2
2
115. 1 + 1. 000 x 6 =
2
8 xy y 2 + = 4x + 5 25
y 5
2
+ 100 − 100
= (10 x 2 y 3 + 11m2 )(10 x 2 y 3 − 11m2 )
114. a + 1
124. 16 x +
4 4 2 2 125. a b + 4a b − 96
113. 100 x y − 121m 4
− a2
a 4 + 2a 2 + 1 − a 2
2 2
3
112. 8 a + 1 − 1
11⋅ 1 = 11 ⇒ 15 − 11 = 4
= − ( x − 15)( x + 11)
9 x 2 y 3 − 27 x 3 y 3 − 9 x 5 y 3 = 9 x 2 y 3 (1 − 3x − x 3 )
(
5⋅ 3 = 15
8⋅ 3
= (3x + 1)(8 x + 1) 110.
a 5 + x 5 = (a + x )(a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 + x 4 )
= − ( x 2 − 4 x − 165)
= ( 24 x ) + 11( 24 x ) + 24 =
a 3 − 64 = (a − 4)(a 2 + 4a + 16)
121. 165 + 4 x − x 2
]
= − (3x − 4 y + 1)(3x − 4 y − 1) = (3x − 4 y + 1)(1 + 4 y − 3x )
2
= ( x 2 + 2 + y + 2 z)( x 2 + 2 − y − 2 z)
2 2
= − (9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 ) − 1 2
]
]
117. x 4 − y 2 + 4 x 2 + 4 − 4 yz − 4 z 2
3 2
2
2
= (7a + x − 3 y )(7a − x + 3 y)
= (4a 2 m + 12a 2n) − (5bm + 15bn)
4
[
− 6xy + 9 y 2 ) − 49a 2
= − (7a + x − 3 y )(− 7a + x − 3 y )
104. 4a m + 12a n − 5bm − 15bn
105. 1 + 6 x 3 + 9 x 6 =
2
= − ( x − 3 y) − 49a 2
= (a − 2 + a + 3)(a − 2 − a − 3) = (2a + 1)(− 5) 2
[ (x
a b + 4a b + 4 − 100 4 4
2
2
= (a 2b 2 + 2) − 100 2
2
+ 9)(a − 2)
(1+ 10x )(1− 10x 2
2 2
2
2
+ 100 x 4 )
= (a 2b 2 + 2 + 10)(a 2b 2 + 2 − 10) = (a 2b 2 + 12)(a 2b 2 − 8)
126. 8a x + 7 y + 21by − 7ay − 8a x + 24a bx 2
3
2
= (7 y + 21by − 7ay) + (8a 2 x − 8a 3 x + 24a 2bx)
130.
= 7 y (1 + 3b − a ) + 8a 2 x (1 − a + 3b)
729 − 125x 3 y12 = (9 − 5xy 4 )(81 + 45xy 4 + 25x 2 y 8 )
(
)
= (1 + 3b − a )(7 y + 8a x ) 2
(
4 − a2
)(
)
2
2 128. 7 + 33m − 10m
[
= (2 + a − b)(2 − a + b)
]
2 = − (10m) − 33 (10m) − 70
(10m − 35)(10m + 2)
133. x − y + x − y 3
= (x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + ( x − y ) = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 1)
= − (2m − 7)(5m + 1) = (7 − 2m)(5m + 1) 2
[
3
= (x 3 − y 3 ) + (x − y )
5⋅ 2
134. a − b + a − b 2
129. 4 (a + b) − 9 (c + d )
+ 2ab − b 2
= 4 − (a − b)
2
= − (10m2 − 33m − 7)
− b2
= 4 − (a 2 − 2ab + b 2 )
= ( x + 26)( x − 15) 2
=−
) (
)
+ b2
13⋅ 2 = 26 5 5⋅ 3 = 15 13 ⇒ 26 − 15 = 11
1
2
4 − a 2 − b 2 + 2ab
2
65 13
) (
2 2 132. 4 − a + b + 2ab
4 2 127. x + 11x − 390 390 3
130
(
2
131. x + y + x + y = x + y + x + y = x + y x + y + 1
2
3
3
= (a 2 − b 2 ) + (a 3 − b 3 )
2
][
= (a + b)(a − b) + (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
]
= 2(a + b) + 3 (c + d ) 2(a + b) − 3 (c + d ) = (2a + 2b + 3c + 3d )(2a + 2b − 3c − 3d )
= (a − b)(a + b + a 2 + ab + b 2 )
EJERCICIO 107 3 3 7. 3ax + 3ay
1. 3ax 2 − 3a
= 3a ( x + y
= 3a ( x 2 − 1) = 3a ( x + 1)( x − 1)
3
8. 4ab − 4abn + an 2
)
= x (x 2 − 1) + y (x 2 − 1)
= (x 2 − 1)( x + y ) = (x + 1)(x − 1)( x + y )
2 2
2
13. 2 a 3 + 6a 2 − 8a
= 2a (a 2 + 3a − 4) = 2a (a + 4)(a − 1)
2
= ( x − 4)( x + 1) 2
2
3 2 2 14. 16 x − 48 x y + 36 xy
= ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
= 4 x (4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 ) = 4 x (2 x − 3 y)
2
4. 2a 3 − 2
= 2 (a 3 − 1) = 2 (a − 1)(a 2 + a + 1)
5. a − 3a − 28a
= a (a 2 − 3a − 28) = a (a − 7)(a + 4)
15. 3x 3 − x 2 y − 3xy 2 + y 3
= (a 3 − a 2 ) − (a − 1)
= (3x 3 − x 2 y ) − (3xy 2 − y 3 )
= a (a − 1) − (a − 1)
= x 2 (3x − y ) − y 2 (3x − y )
2
= (a − 1)(a − 1)
= (3x − y )(x 2 − y 2 ) = (3x − y )( x + y )(x − y )
2
3 2 6. x − 4 x + x − 4
= (a − 1)(a + 1)(a − 1)
= (x 3 + x 2 ) − (4 x + 4)
= x ( x + 1) − 4 ( x + 1)
2
3 2 10. a − a − a + 1
2
16. 5a 4 + 5a
2 11. 2ax − 4ax + 2a
= (x − 4)(x + 1) = (x + 2)(x − 2)( x + 1) 2
= (x 3 − x) + (x 2 y − y)
9. x − 3x − 4 4
= 2 x (a − b) = 2 x (a − b)(a − b)
2
2
= a (4b − 4bn + n ) = a (2b − n) 2
2
3
)
= 3a ( x + y )( x − xy + y
2 2 3. 2a x − 4abx + 2b x
= 2 x (a 2 − 2ab + b 2 )
12. x 3 − x + x 2 y − y 2
2. 3x 2 − 3x − 6
= 3( x 2 − x − 2) = 3 ( x − 2)( x + 1)
3
= 2a ( x 2 − 2 x + 1) = 2a ( x − 1)
2
= 5a (a 3 + 1) = 5a (a + 1)(a 2 − a + 1)
2 17. 6ax − ax − 2a
27. 4 x 2 + 32 x − 36
= a (6 x − x − 2)
35. x − 3x 2 − 18 x 3
= 16 x 2 + 32 ( 4 x ) − 144
2
= x (1 − 3x − 18 x 2 )
= a (36 x − 6 x − 12)
144
2
72
2
=
36 9
4 3
4 ⋅ 3⋅ 3 = 36 ⇒ 36 − 4 = 32
3
3
=
2
a (6 x − 4)(6 x + 3) 2⋅3
= a (3x − 2)(2 x + 1) 18. n 4 − 81
= (n − 9)(n + 9) = (n + 3)(n − 3)(n + 9) 2
2
2
(
= (a + a + 2)(a − 2)(a + 1) 29. x − 25x − 54 6
= x ( x 2 − 6 x + 9 − 16)
]
30. a + a 6
= a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)
3 2 22. m + 3m − 16m − 48
31. a b + 2a bx + abx − aby 3
= (m3 + 3m2 ) − (16m + 48)
[
= 3ab (m2 − 1)
3
)(
) (
2
= (a 2 − b 2 )(a + b − 1)
)
= 3ab (m + 1)(m − 1) 33. 81x y + 3xy 4
= (a + b)(a − b)(a + b − 1)
= 3xy (3x + y )(9 x 2 − 3xy + y 2 )
= 2ax (16a 4 − 24a 2b + 9b 2 )
34. a 4 − a 3 + a − 1
= 2ax (4a 2 − 3b)
2
= (a 4 − a 3 ) + (a − 1)
= 2ax (4a 2 − 3b)(4a 2 − 3b)
= a 3 (a − 1) + (a − 1)
26. x − x + x − x 3
2
= x ( x − x + x − 1) 3
[
= (a − 1)(a 3 + 1)
2
] [
]
= x x ( x − 1) + (x − 1) = x ( x − 1)(x + 1) 2
4
= 3xy (27 x 3 + y 3 )
25. 32a 5 x − 48a 3bx + 18ab2 x
4
]
)
2 32. 3abm − 3ab
= (x − 2 y ) = (x − 2 y )(x − 2 y )( x − 2 y )
(
2
2
2
= ab (a + x + y )(a + x − y )
3 2 2 3 23. x − 6 x y + 12 xy − 8 y
24. a + b a − b − a − b
2
= ab (a + x ) − y 2
= (m + 3)(m − 4)(m + 4)
2
2
= ab (a + 2ax + x − y
= (m + 3)(m2 − 16)
2
2
2
= m2 (m + 3) − 16 (m + 3)
2
= − x (3x + 1)(6x − 1) = x (3x + 1)(1 − 6x )
2 36. 6ax − 2bx + 6ab − 2b
= 2 x (3a − b) + 2b (3a − b) = (3a − b)(2 x + 2b) = 2 ( x + b )(3a − b)
= am (m2 − 7m + 12) = am (m − 4)(m − 3)
2 3 2 38. 4a x − 4a
= a (a 5 + 1)
= x ( x + 1)( x − 7)
]
3 2 37. am − 7am + 12am
= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)( x 3 + 2)
= x ( x − 3 + 4)( x − 3 − 4)
2
3
= ( x 3 − 27)(x 3 + 2)
= x ( x 2 − 6 x − 7 + 16 − 16)
− x (18 x + 6)(18 x − 3) = 6⋅ 3
= (6ax − 2bx ) + (6ab − 2b 2 )
2
2
= x ( x 2 − 6 x − 7)
2
)
2
2
3 2 21. x − 6 x − 7 x
[
4
= (a + a + 2)(a − a − 2)
= ax ( x 2 + 10 x + 25) = ax ( x + 5)( x + 5)
= x ( x − 3) − 4 2
(4 x + 36)(4 x − 4)
= 4 ( x + 9)( x − 1)
28. a 4 − a + 2
20. ax 3 + 10ax 2 + 25ax
[
2 = − x (18x ) + 3 (18x) − 18
= ( x + 9)(4 x − 4)
1
19. 8ax 2 − 2a
= 2a (4 x 2 − 1) = 2a (2 x − 1)(2 x + 1)
= − x (18 x 2 + 3x − 1)
22 = 4
= (a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)
= 4a 2 ( x 3 − 1)
= 4a 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1) 3 3 39. 28 x y − 7 xy
= 7 xy (4 x 2 − y 2 )
= 7 xy (2 x − y )(2 x + y ) 2 40. 3abx − 3abx − 18ab
= 3ab ( x 2 − x − 6)
= 3ab ( x − 3)( x + 2) 41. x 4 − 8 x 2 − 128
128 4 32 4
4 ⋅ 4 = 16
8
4
4⋅ 2 = 8
2
2 ⇒ 16 − 8 = 8
1
= ( x 2 − 16)( x 2 + 8)
= ( x + 4)( x − 4)( x 2 + 8) 2 2 3 42. 18 x y + 60 xy + 50 y
= 2 y (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 ) = 2 y (3x + 5 y )(3x + 5 y )
(
)(
)
( ) = (a + 1)( x − 2 xy + y ) = (a + 1)( x − y)( x − y )
2 2 43. x − 2 xy a + 1 + y a + 1 2
3
2
2 3 2 52. 6a x − 9a − ax
= x ( x + 3 y)( x − y )
= a (6ax − 9a − x 2
2
2
2
= (a 2 x − 4b2 x) + (2a 2 y − 8b2 y) = x (a 2 − 4b2 ) + 2 y (a 2 − 4b 2 ) = (a − 2b)(a + 2b)(x + 2 y )
53. 64a − 125a
= 5a 2 (3x 2 + 2)(3x 2 − 2)
2 2 48. bx − b − x + 1
= (bx 2 − x 2 ) − (b − 1) = x 2 (b − 1) − (b − 1) = (b − 1)(x 2 − 1)
= 2 x 2 ( x + 7)( x − 4)
2 5 5
15 3 1
)
420 210
2 2
105 21 7 1
5 3 7
(30a − 75)(30a + 20)
3
= (2a − 5)(15a + 10)
15⋅ 2
= 5 (2a − 5)(3a + 2)
2m + 2
− x 2 y 2n
= 2 x ( x 3 − 27) + 5 ( x 3 − 27)
]
= ( x 3 − 27)(2 x + 5)
= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)(2 x + 5) 60. ax 3 + ax 2 y + axy 2 − 2ax 2 − 2axy − 2ay 2
= a (x 3 + x 2 y + xy 2 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 )
[ = a [x (x
]
= a ( x 3 + x 2 y + xy2 ) − (2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ) + xy + y ) − 2 ( x + xy + y
2
2
2
= a (x − 2)( x + xy + y 2
(
)
2
)
2
)]
4
61. x + y − 1
[
][
]
= (x + y ) + 1 (x + y ) − 1 2
2
= ( x + 2 xy + y + 1)(x + y + 1)(x + y − 1) 2
62. 3a 5 + 3a 3 + 3a
= a 3 (a 4 + 6a 3 − 55)
= 3a (a 4 + a 2 + 1)
= a 3 (a 2 + 11)(a 2 − 5) 56. 16a b − 56a b + 49ab 5
x 2 (7 x 2 + 35a 2 )(7 x 2 − 3a 2 ) 7
= (2 x 4 − 54 x ) + ( 5x 3 − 135)
55. a 7 + 6a 6 − 55a 3
5⋅ 2 = 20
=
⇒ 35 − 3 = 32
2
2
5
3⋅ 1 = 3
4 3 59. 2 x + 5x − 54 x − 135
= 2 x 2 (5x + 4)(7 x − 3)
52 ⋅ 3 = 75 ⇒ 75 − 20 = 55
5⋅ 7 = 35
]
= x 2 ( x m + y n )( x m − y n )
7 ⋅5
2 50. 30a − 55a − 50 2 = ( 30a ) − 55 ( 30a ) − 1. 500 1. 500 2
3
4
= x (x m + y n ) x (x m − y n )
(35x + 28)(35x − 15) =
= 2 x 2 ( x 2 + 3x − 28)
375 75
2
⇒ 28 − 15 = 13
4 3 2 49. 2 x + 6 x − 56 x
750
)
2 2 ⋅ 7 = 28 3⋅ 5 = 15
= (b − 1)(x + 1)( x − 1)
2
= ( x m +1 + xy n )( x m +1 − xy n )
[
= (a + 4)(a − 3)(a 2 − a + 12)
2
= x 2 ( x 2 + 5a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )
2 = 2 x 2 ( 35x ) + 13 ( 35x ) − 420
= (a 2 + a − 12)(a 2 − a + 12)
4
7
=
= 2 x 2 (35x 2 + 13x − 12)
2
2
7 1
4 3 2 54. 70 x + 26 x − 24 x
)
2
2
21
58. x 3
4
2 2
2
= a (4 − 5a )(16 + 20a + 25a
= 5a 2 (9 x 4 − 4)
(
)
4
= a (64 − 125a
2 4 2 46. 45a x − 20a
47. a 4 − a − 12
2
4
4
) = − a (x − 3a )( x − 3a ) = a (3a − x )( x − 3a )
2
= (a 2 − 4b2 )( x + 2 y)
2
= − a (x − 6ax + 9a
45. a x − 4b x + 2a y − 8b y 2
2
2
2
= x ( x 2 + 2 xy − 3y 2 )
6
2
2
44. x + 2 x y − 3xy 3
( ) ( ) 57. 7 x + 32a x − 15a x = (x − y )[9 ( x − y ) − 1] = x (7 x + 32a x − 15a ) = (x − y )[3 ( x − y ) + 1] [3 (x − y ) − 1] = x [ (7 x ) + 32a (7 x ) − 105a 105 5 = (x − y )(3x − 3 y + 1)(3x − 3 y − 1)
51. 9 x − y − x − y
3 3
= 3a (a 4 + a 2 + 1 + a 2 − a 2 ) 5
= ab (16a − 56a b + 49b 4
2 2
= ab (4a 2 − 7b 2 )
2
4
)
[
= 3a (a 4 + 2a 2 + 1 ) − a 2
[
= 3a (a + 1 ) − a 2
2
2
]
]
= 3a (a + a + 1 )(a − a + 1 ) 2
2
EJERCICIO 108
9. 9 x 4 + 9 x 3 y − x 2 − xy
= (9 x 4 + 9 x 3 y ) − ( x 2 + xy)
1. 1 − a8
= (1+ a 4 )(1− a 4 )
= 9 x 3 (x + y) − x (x + y)
= (1+ a 4 )(1+ a 2 )(1 − a 2 ) = (1+ a
4
= (9 x 3 − x )( x + y)
)(1+ a )(1+ a)(1− a)
= x (9 x − 1)( x + y )
2
2
= (a 3 + 1)(a 3 − 1)
[
400 4 42 = 16
100 5
]
17. a x − a y + 2ax − 2ay 2 3
= (x + y
= (a − b
4
) = [(a + b)(a − b)] = (a + b) (a − b) 2
2 2
2
2
3
= x (x + 2)(x + 1)( x − 1) 6. 2 x + 6 x − 2 x − 6 3
= (a 4 + 2a 3 ) − (a 2 + 2a) = a 3 (a + 2) − a (a + 2)
2
= (a 3 − a )(a + 2)
2
= a (a 2 − 1)(a + 2)
= (2 x 3 − 2)( x + 3)
3
3 2
[
2 3
5
3 2
2 3
5
)
= (a + b)(a − b)(a − b)(a + ab + b
= 3( x − 81)
2
15. 8 x 4 + 6 x 2 − 2
= 3( x + 9)( x + 3)( x − 3) 2
4
= (a − 1) (a 2 + a + 1)
) = [(2 x + y )(2 x − y )] = (2 x + y )(2 x − y )(2 x + y )(2 x − y )
[
= 2 (4 x
2 2
=
2
)
2 2
2
2
= (m + 3)(m − 3)(m4 + 9m2 + 81 + 9m2 − 9m2 )
[
= (m + 3)(m − 3) (m4 + 18m2 + 81) − 9m2
2
+ 3 (4 x ) − 4 2
2 (4 x 2 + 4)(4 x 2 − 1) 4
]
]
) = (m + 3)(m − 3)[(m + 9) − 9m ] = (m + 3)(m − 3)(m + 3m + 9)(m − 3m + 9) 2
2
2
= 2 (4 x + 3x − 1) 4
2
= (m2 − 9)(m4 + 9m2 + 81)
= (a 2 − b 2 )(a 3 − b 3 )
4
]
6 20. m − 729
= a 3 (a 2 − b 2 ) − b 3 (a 2 − b2 )
7. 3x 4 − 243
2
2
= (a − 1)(a 2 + a + 1)
= (a − a b ) − (a b − b 5
= 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x + 3)
8. 16 x − 8 x y + y
= (a 3 − 1)
= (2 + x )(4 − 2 x + x 2 )(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) 5
= 3( x + 9)(x − 9)
19. 1 − 2a 3 + a 6
2
14. a − a b − a b + b
2
= a (a + 1)(a − 1)(a + 2)
3
= (8 + x 3 )(8 − x 3 )
= 2 ( x 3 − 1)( x + 3)
2
3
= (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)(x − x + 1)
= 2 x 3 ( x + 3) − 2 ( x + 3)
= (4 x − y
2
6 13. 64 − x
= (2 x + 6x ) − (2 x + 6)
2
2
2
3
2
4
2
= (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)
2
4
4
2
2
2
2
6
3
= x (x + 2)( x − 1) 2
4
4
4 3 2 18. a + 2a − a − 2a
4
= (x − 8)(x + 1)
= x ( x 4 + x 2 − 2)
4
4
4
12. x − 7 x − 8
5. x + x − 2 x 5
2
4
3
= a (a + 2)( x − y )( x 2 + xy + y 2 )
)(x − y ) = (x + y ) (x + y )( x − y ) = (x + y )( x + y )( x + y )( x − y )
4. a − 2a b + b 4
3
= (a 2 + 2a )( x 3 − y 3 )
= 3a (x 2 + 3)(2 x + 1)(2 x − 1)
2 2
3
= a 2 ( x 3 − y 3 ) + 2a ( x 3 − y 3 )
4
8 8 = ( x + 5)( x − 5)( x + 4)( x − 4) 11. x − y 4
2
= (a 2 x 3 − a 2 y 3 ) + (2ax 3 − 2ay 3 )
= 3a(x 2 + 3)(4 x 2 − 1)
= ( x 2 − 25)( x 2 − 16)
1
2
3a (4 x 2 + 12)(4 x 2 − 1)
=
5 52 = 25 4 ⇒ 25 + 16 = 41
20 4
32 = 9 3 ⇒ 16 + 9 = 25 3
= (a + 4)(a − 4)(a + 3)(a − 3)
= 3a (4 x 2 ) + 11(4 x 2 ) − 12
3. x − 41x + 400
9
= (a 2 − 16 )(a 2 − 9 )
= 3a (4 x 4 + 11x 2 − 3)
2
4
1
4 2 10. 12ax + 33ax − 9a
= (a + 1) (a 2 − a + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)
4 2 = 16
36 3
= x (3x + 1)(3x − 1)( x + y )
6 2. a − 1
4
4 2 16 a − 25a + 144 144 4
2
2
21. x − x
= 2 ( x 2 + 1)(4 x 2 − 1) = 2 (x 2 + 1)(2 x + 1)(2 x − 1)
5
= x (x 4 − 1)
= x (x 2 + 1)(x 2 − 1)
= x (x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
22. x 5 − x 3 y 2 + x 2 y 3 − y 5
= (x 5 − x 3 y 2 ) + ( x 2 y 3 − y 5 )
= (1 − a 3b 3 )(1 + a 3b 3 )
= (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + a 3b 3 )
= x 3 (x 2 − y 2 ) + y 3 (x 2 − y 2 ) = (x + y 3
3
)(x
−y
2
2
= (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + ab)(1− ab + a 2b 2 )
)
= (x + y )(x 2 − xy + y 2 )(x + y)( x − y) 4 3 2 2 3 4 23. a b − a b − a b + ab
= (a b − a b ) − (a b − ab 4
3 2
2
3
= a b (a − b) − ab (a − b) 3
4
3 2 28. 5ax + 10ax − 5ax − 10a
= (5ax 3 + 10ax 2 ) − (5ax + 10a )
)
29. a x + b y − b x − a y 2
24. 5a − 3.125 4
2
2
2
= 5 (a + 25)(a + 5)(a − 5) 2
2
2
)
− 2 (a + 2a ) − 3 2
= (a + 2a ) − 2 (a + 2a ) − 3 + 4 − 4 2
2
=
{[(a + 2a) − 2 (a + 2a)+ 1]− 4} 2
2
= (a + 1) (a + 2a − 3 + 4 − 4) = (a + 1)
2
2
+ 2a + 1) − 4
[(a + 1) − 4]
]
2
= (a + 1) (a + 1 + 2) (a + 1 − 2) 2
= (a + 1) (a + 3)(a − 1) 2
26. a x + 2ax − 8a − 16a 2 3
3
2
= (a x + 2ax ) − (8a + 16a ) 2 3
2
) = x (a − b ) − y (a − b ) = (a − b )( x − y ) = (a + b)(a − b)( x + y )( x − y ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= (3bx 2 − 12b)(a + 1)
)
= 3b ( x 2 − 4)(a + 1)
= 3b ( x + 2)( x − 2)(a + 1) 2 35. 3a m + 9am − 30m + 3a + 9a − 30 2
= (3a 2 m + 9am − 30m) + (3a 2 + 9a − 30)
2
= 3m (a 2 + 3a − 10) + 3 (a 2 + 3a − 10) = (3m + 3)(a 2 + 3a − 10)
3
2
= ax (a + 2) − 8a (a + 2) 3
= (ax − 8a )(a + 2) 3
= a ( x − 8)(a + 2) 3
= a ( x − 2)(x 2 + 2 x + 4)(a + 2)
= 3 (m + 1)(a + 5)(a − 2)
30. x + x − 2 8
4
= (x + 2)(x − 1 ) 4
4
= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x 2 − 1)
3 2 3 3 2 36. a x − 5a x + 6a + x − 5x + 6
= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1)
= (a 2 + 2a + 1)(a 2 + 2a − 3)
2
2
2
= (a 2 + 2a − 1 + 2)(a 2 + 2a − 1 − 2)
[(a
2
2
2
2
2
31. a + a − 9a − 9a 4
3
2
= (a + a ) − (9a + 9a ) 4
3
− 16)(16m2 − 9) 16
= 3bx 2 (a + 1) − 12b (a + 1)
2
2
= (a 2 + 2a − 1) − 4
= (a + 1)
2
(16m
= (3abx 2 + 3bx 2 ) − (12ab + 12b)
2
2
2
2
2
2
(
2
= x (a − b ) + y (b − a
= 5 (a 2 + 25)(a 2 − 25)
25. a + 2a
2
= (a x − b x ) + (b y − a y
= 5 (a 4 − 625)
2
2
3 32 = 9 3 ⇒ 16 + 9 = 25
34. 3abx 2 − 12 ab + 3bx 2 − 12b
= 5a ( x + 1)( x − 1)( x + 2)
= ab (a + b)(a − b)(a − b)
9 3 1
= (m + 1)(m − 1)(4m + 3)(4m − 3)
= 5a ( x 2 − 1)(x + 2)
= ab (a 2 − b 2 )(a − b)
4
= (m2 − 1)(16m2 − 9)
= (5ax 2 − 5a )( x + 2)
= (a 3b − ab 3 )(a − b)
4 2 = 16
36
2
=
= 5ax 2 ( x + 2) − 5a ( x + 2)
3
2
4 2 33. 16m − 25m + 9 2 2 = (16m ) − 25(16m2 ) + 144 144 4
6 6 27.1 − a b
2
= a (a + 1) − 9a (a + 1)
= (a 3 x 2 − 5a 3 x + 6a 3 ) + ( x 2 − 5x + 6) = a 3 ( x 2 − 5x + 6) + ( x 2 − 5x + 6) = (a 3 + 1)( x 2 − 5x + 6)
= (a + 1)(a 2 − a + 1)(x − 3)( x − 2)
(
) (
)(
2 2 2 2 2 37. x x − y − 2 x − 1 x − y
)
)[x − (2 x − 1) ] = ( x + y)( x − y)( x − 2 x + 1) = a (a − 9)(a + 1) = ( x + y)( x − y)( x − 1) = a(a + 3)(a − 3)(a + 1) 38. a ( x + 1) + 3ax ( x + 1) = a ( x + 1)(x − x + 1) + 3ax ( x + 1) 32. a x + a x − 6a − x − x + 6 = (x + 1)[a (x − x + 1) + 3ax ] = (a x + a x − 6a ) − ( x + x − 6) = (x + 1)(ax − ax + a + 3ax ) = a ( x + x − 6) − ( x + x − 6) = (x + 1)(ax + 2ax + a ) = (a − 1)( x + x − 6) = a ( x + 1)(x + 2 x + 1) = (a + 1)(a − 1)( x + 3)( x − 2) = a ( x + 1)(x + 1) = a (x + 1) = (x − y
3
2
= (a 3 − 9a )(a + 1)
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
EJERCICIO 109 1. x − xy 9
7 4 3 10. x + x − 81x − 81
4 3 2 2 2 2 2 6. 2a − 2a − 4a − 2a b + 2ab + 4b
= (x 7 + x 4 ) − (81x 3 + 81)
= (2a 4 − 2a 3 − 4a 2 ) − (2a 2b 2 − 2ab 2 − 4b 2 )
8
= x (x − y
= x 4 ( x 3 + 1) − 81(x 3 + 1)
= 2a 2 (a 2 − a − 2) − 2b 2 (a 2 − a − 2)
) = 2 (a − a − 2)(a − b ) = x (x − y )( x + y ) = 2 (a − 2)(a + 1)(a + b)(a − b) = x(x + y )(x − y )(x + y ) = x (x + y )(x + y )( x − y )( x + y ) 8
8
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
4
4
17 11. x − x
= x ( x16 − 1)
= ( x + 5x ) − (81x + 405x) 6
5
2
= x ( x 8 + 1)(x 8 − 1)
= x 5 (x + 5) − 81x ( x + 5)
= x ( x 2 − 36)( x 2 − 4)
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 4 − 1)
= ( x 5 − 81x )( x + 5)
= x ( x − 6)( x + 6)( x + 2 )( x − 2 )
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x 2 − 1)
= x ( x 4 − 81)( x + 5)
6 3 3 4 3 3. a + a b − a − ab
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
= x ( x 2 − 9)( x 2 + 9)( x + 5)
= (a 6 + a 3b3 ) − (a 4 + ab3 )
6 4 2 12. 3x − 75x − 48 x + 1. 200
= x ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9)( x + 5)
= a 3 (a 3 + b 3 ) − a (a 3 + b3 ) = (a 3 − a)(a 3 + b3 )
= (3x 6 − 75x 4 ) − (48 x 2 − 1. 200) = 3x 4 ( x 2 − 25) − 48 ( x 2 − 25)
8. 3 − 3a 6
= a (a 2 − 1)(a + b)(a 2 − ab + b 2 )
= a (a + 1)(a − 1)(a + b)(a 2 − ab + b2 )
= (3x 4 − 48)( x 2 − 25)
= 3 (1 − a 6 )
= 3( x 4 − 16)( x + 5)( x − 5)
= 3 (1 − a 3 )(1 + a 3 )
= 3 (1 − a )(1 + a + a 2 )(1 + a )(1 − a + a 2 )
4. 4 x − 8 x + 4 2
2 2 2 3 2 2 9. 4ax (a − 2ax + x ) − a + 2a x − ax
= 4 ( x − 2 x + 1) 2
= 4 ( x − 1)( x − 1) 2
= (x 2 + 9)(x + 3)(x − 3)(x + 1)( x 2 − x + 1)
6 5 2 7. x + 5x − 81x − 405x
= x ( x 4 − 40 x 2 + 144)
4
= (x 2 + 9)(x 2 − 9)( x + 1)(x 2 − x + 1)
4
3
4
= (x 4 − 81)(x 3 + 1)
2
4
2. x − 40 x + 144 x 5
2
2
= 4 ( x + 1) ( x − 1) 2
2
= 4ax 2 (a − x ) − a (a 2 − 2ax + x 2 ) 2
7 6 5. a − ab
= (a 6 x 2 − x 2 ) + (a 6 x − x )
2
= x 2 (a 6 − 1) + x (a 6 − 1)
= (4ax − a )(a − x )
2
2
= (x 2 + x )(a 6 − 1)
= a (4 x − 1)(a − x )
2
2
= a (a 6 − b 6 )
= a (a 3 + b3 )(a 3 − b 3 )
= x (x + 1)(a 3 − 1)(a 3 + 1 )
= a (2 x + 1)(2 x − 1)(a − x )
2
= a (a + b)(a 2 − ab + b 2 )(a − b)(a 2 + ab + b2 )
= 3( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)(x + 5)( x − 5)
6 2 2 6 13. a x − x + a x − x
= 4ax (a − x ) − a (a − x ) 2
2
= 3( x 2 + 4)( x 2 − 4)( x + 5)( x − 5)
= x (x + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)
(
)( ) = a (a − x )( x − 81)( x − 1) = a (a − x )( x + 9)(x − 9)( x + 1)(x − 1)
2 4 2 14. a − ax x − 82 x + 81 2
EJERCICIO 110 3 2 1. x + x − x − 1 1 1 −1 −1 +1
1
2
1
1 2
1
0
= (x 2 + 2 x + 1)(x − 1) = (x + 1) (x − 1) 2
3 2 2. x − 4 x + x + 6 1 − 4 1 6 −1
−1 5 − 6 1 −5 6
0
= ( x 2 − 5x + 6)( x + 1)
= ( x − 3)( x − 2)( x + 1)
3 2 3. a − 3a − 4a + 12 1 − 3 − 4 12 + 2
2 − 2 − 12 1 −1 − 6
0
= (a 2 − a − 6)(a − 2)
= (a − 3)(a + 2)(a − 2)
2
3 4. m − 12m + 16 1 0 − 12 16
2 1 2
+2
4 − 16 −8
0
= (m + 2m − 8)(m − 2) 2
= (m + 4)(m − 2)(m − 2) = (m + 4)(m − 2)
2
4 3 2 11. x − 4 x + 3x + 4 x − 4
2 x 3 − x 2 − 18 x + 9 2 − 1 − 18 9 6 15 − 9
5.
2
−3
5
1 −4
+3
0
= (2 x + 5x − 3)( x − 3) 5 −3 −6 3
2 −1
28
7
0
1 5
1
1 2 0 −2
0
1
1
−2
1
= (n + 3)(n − 2)(n − 1)
1 32 − 2 − 32
1 − 1 − 12
2
10. 6 x + 23x + 9 x − 18
9 − 18 − 3
− 18 − 15
0
= (6x + 5x − 6)( x + 3) 2
[
]
2 = ( 6 x ) + 5 ( 6 x) − 36 ( x + 3)
=
−2
− 34
−7
60
0
+4
60
− 8 − 60
− 2
8
− 15
0
= (8a − 2a − 15)(a + 2)(a − 4) 2
[
]
2 = (8a) − 2 (8a) − 120 (a + 2)(a − 4)
120
4
30
3 4 ⋅ 3 = 12
10
2
5 1
5 ⇒ 12 − 10 = 2
=
0
2
32
24
(6x + 9)(6x − 4)(x + 3) 3⋅ 2
1 0 − 27 − 14 120 2 4 − 46 − 120 1 2 − 23 − 60
18
5 −6
6
− 24
3
5⋅ 2 = 10
(8a − 12)(8a + 10)(a + 2)(a − 4) 4⋅2
= (2a − 3)(4a + 5)(a + 2)(a − 4)
4 2 14. n − 27n − 14n + 120
2
23
0
= (a − 4)(a + 3)(a − 1)(a + 2)
= ( x − 4) ( x + 2)
6
0
= (a 2 − a − 12)(a − 1)(a + 2)
0
= (x 2 − 8 x + 16)(x + 2) 3
1 − 14 −2 2
68 14 − 120
= (8a − 34a − 7a + 60)(a + 2)
8
= (a 3 + a 2 − 14a − 24)(a − 1)
9. x 3 − 6 x 2 + 32
1 − 8 16
0 − 13 − 12 − 1 −1 1 12
1 1 − 14 − 24
4 3 2 16. 8a − 18a − 75a + 46a + 120 8 − 18 − 75 46 120 − 2
− 16
1 0 − 15 − 10 24 + 1 1 1 − 14 − 24
= (n 2 + n − 6)(n − 1)
− 2 16
0
8 − 34 − 7
4 2 13. a − 15a − 10a + 24
0
0
0
= ( x − 4)(x + 3)( x − 2)( x + 1)
6 +1 1 −6
−6
7
−5
= ( x 2 − 3x + 7)( x + 4)( x + 5)
= ( x 2 − x − 12)(x − 2)( x + 1)
8. n − 7n + 6 1 0 −7
1
0 − 13 − 12
1 − 1 − 12
0
= ( x + 1)(x + 2)
1 − 6
0
2 −8 35 − 5 15 − 35
1 −3
= ( x 3 − 13x − 12)(x − 2)
3
1
35
0
1 − 2 − 13 14 24 + 2 2 0 − 26 − 24
2
1
1 2 −8
4 3 2 12. x − 2 x − 13x + 14 x + 24
x3 + 2x2 + x + 2 2 −2
3 140 − 4 32 − 140
1
= ( x − 2) ( x − 1)(x + 1)
+4
= (a + 5a + 7)(a − 4) 1
4
1 6 0 −4 −8
= ( x 3 + 2 x 2 − 8x + 35)(x + 4)
2
2
7.
0
= ( x 2 − 4 x + 4)( x − 1)( x + 1)
3 2 6. a + a − 13a − 28
20
1 −3 0 4
1 −4
0
= (2 x − 1)(x − 3)(x + 3)
4
4
1 − 3 0 4 −1 −1 4 −4
−3
1 1 − 13 − 28
1 −3 0
4 3 15. x + 6 x + 3x + 140
+1
= ( x 3 − 3x 2 + 4)( x − 1)
2
2
3 4 −4
= (2 x + 3)(3x − 2)( x + 3)
+2
0
= (n3 + 2n2 − 23n − 60)(n − 2) 2 − 23 −3 3
− 60
1 − 1 − 20
0
1
−3
60
= (n − n − 20)(n − 2)(n + 3) 2
= (n − 5)(n + 4)(n − 2)(n + 3)
17. x 4 − 22 x 2 − 75
1 0 − 22 0 5 25 15 1 5
3 15
− 75
+5
75 0
= ( x + 5x + 3x + 15)(x − 5) 3
2
1 5 3 15 − 5 − 5 0 − 15 1 0
3
0
= ( x + 3 )(x − 5)( x + 5) 2
21. 4 x 5 + 3x 4 − 108x 3 − 25x 2 + 522 x + 360
4 3 2 18. 15x + 94 x − 5x − 164 x + 60 15 94 − 5 − 164 60 + 1 15 109 104 − 60
15 109 104 − 60
−8
− 10
19
(15x + 25)(15x − 6)( x − 1)(x + 6)
4 23
1 0 − 21 16 108 − 144 2 4 − 34 − 36 144 72
+2
− 18
24
− 1 − 14 2
24 − 24
2
1 − 12
1
−1 −2
6
1
−3
− 16
−3
− 16
3 1
96
+6
−2
6 − 13 − 81 112 180 − 144 12 − 2 − 166 − 108 144 −1
− 83 − 54
72
+2
0
= (6x 4 − x 3 − 83x 2 − 54 x + 72)( x − 2)
6 − 19 − 26
24
−3
0
= (6x 3 − 19 x 2 − 26x + 24)( x − 2)( x + 3)
6
+3
0
= (a 2 − 16)(a + 1)(a + 2)(a − 3)
= (a + 4)(a − 4)(a + 1)(a + 2)(a − 3)
0
5 4 25. 2a − 8a + 3a − 12 2 − 8 0 0 3 − 12 + 4 8 0 0 0 12
2
0 0
0 3
0
= (2a + 3)(a − 4) 4
5 4 3 2 26. x + 2 x − 15x − 3x − 6 x + 45 1 2 − 15 − 3 − 6 45 + 3 3 15 0 − 9 − 45
0 − 3 − 15
1 5
0
1 5 0 −3 −5 0 0
− 15
1 0 0 −3
0
−5
15
x 6 + 6 x 5 + 4 x 4 − 42 x 3 − 113x 2 − 108 x − 36 = (n − n + 3)(n + 2)(n + 5)(n − 6) 27.
32 − 96 0
1
= ( x 2 − x + 1)( x + 1)( x − 5)( x + 5)
= ( x − 3)( x − 3)( x + 5)
0
48
48 0 − 48
0 − 16
3
6 − 1 − 83 − 54 72 − 18 57 78 − 72
− 22 16
1 −1
−5
5 5 −5
2
16
0
0
3
6
= (a 3 − 3a 2 − 16a + 48)(a + 1)(a + 2) 1
−1
1
− 18 18
112 96 − 1 22 − 16 − 96 96
0
5 4 3 2 23. 6x − 13x − 81x + 112 x + 180 x − 144
= (a 4 − a 3 − 22a 2 + 16a + 96)(a + 1)
1
9 − 18
+5
= ( x 4 + 5x 3 − 3x − 15)( x − 3)
2
−7 9 6 −6
1
0
0 − 23 − 6
1 − 1 − 22
−5
= (n − 7n + 9n − 18)(n + 2)(n + 5)
2
1
27 − 90 35 − 45 90
− 26
3
20. a − 23a − 6a + 112a + 96 −1
0
−7
1
+2
2
1
−2 −5
1
= ( x + 4)( x − 3)( x − 2)( x + 3)( x − 2)
3
27 − 90
= (n4 − 2n3 − 26n 2 + 27n − 90)(n + 2)
= ( x 2 + x − 12)( x − 2)( x + 3)(x − 2)
5
− 2 − 26
1
0
= ( x + 4) ( x − 3) ( x + 3)( x − 2)
]
0 − 30 − 25 − 36 − 180 − 2 −2 4 52 − 54 180
1
−3
72 42 − 72
−4
5 3 2 22. n − 30n − 25n − 36n − 180
0
5
4 −5
1
= ( x + 5)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4)
−4
4
− 25 25
= ( x 3 + 4 x 2 − 4 x + 5)( x + 1)( x − 5)
+4
]
[
= ( x 3 − x 2 − 14 x + 24)( x − 2)( x + 3)
1
1
= (4 x + 20)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4) ÷ 4
= ( x 4 + 2 x 3 − 17 x 2 − 18x + 72)( x − 2)
− 14
0
2 = ( 4 x ) + 23( 4 x ) + 60 ( x + 2)( x − 3)( x − 4)
5 3 2 19. x − 21x + 16x + 108x − 144
1 −1
1 − 1 − 24 25 5 20 − 20
0
[
0
= ( x 4 − x 3 − 24 x 2 + 25x − 25)( x + 1)
2
= (3x + 5)(5x − 2)( x − 1)( x + 6)
3
15
0 − 25 1 0 − 25 − 1 −1 1 24 − 25 25
1 − 1 − 24 25 − 25
= (4 x + 23x + 15)( x + 2)( x − 3)( x − 4)
5⋅ 3
− 17
0
171 180 + 3 21 − 231 − 180
7 − 77 − 60 16 92 60
4
]
2 −3
180
= (4 x 3 + 7 x 2 − 77 x − 60)( x + 2)( x − 3)
2 = (15x ) + 19 (15x) − 150 ( x − 1)( x + 6)
1
171
7 − 77 − 60
4
0
1 2 − 17 − 18
1
196 − 342 − 360
10
12
= (15x 2 + 19 x − 10)( x − 1)( x + 6)
=
5 3 2 24. x − 25x + x − 25
−2
360
− 5 − 98
4
−6
[
522
= (4 x 4 − 5x 3 − 98x 2 + 171x + 180)( x + 2)
= (15x 3 + 109 x 2 + 104 x − 60)( x − 1)
15
− 25
4 − 5 − 98
0
15 109 104 − 60 − 90 − 114 60
3 − 108
4
− 19 − 26 24
6
5
24 + 4 20 − 24
− 6
]
2 = ( 6 x ) + 5( 6 x ) − 36 ( x − 2)( x + 3)( x − 4)
=
− 113 − 108 − 36 − 1 41
72
36
1 5 − 1 − 41
− 72
− 36
0
= ( x 5 + 5x 4 − x 3 − 41x 2 − 72 x − 36)( x + 1)
1 5 − 1 − 41 −1 − 4 5
− 72 − 36 − 1 36
36
1 4 − 5 − 36 − 36
0
= ( x 4 + 4 x 3 − 5x 2 − 36 x − 36)( x + 1)(x + 1)
1 4 − 5 − 36 − 36 − 2 − 2 − 4 18 36 1 2 − 9 − 18 0 = ( x 3 + 2 x 2 − 9 x − 18)(x + 1) (x + 2) 2
0
= (6x 2 + 5x − 6)( x − 2)( x + 3)( x − 4)
[
1 6 4 − 42 −1 − 5 1
(6x + 9)(6x − 4)(x − 2)(x + 3)(x − 4) 3⋅ 2
= (2 x + 3)(3x − 2)( x − 2)( x + 3)( x − 4)
1 2 − 9 − 18 − 2 0 18 1 0 −9
−2
0
= ( x 2 − 9)(x + 1) (x + 2) 2
2
= ( x + 3)( x − 3)( x + 1) ( x + 2) 2
2
29. x 6 − 41x 4 + 184 x 2 − 144 1 0 − 41 0 184 0 − 144 1 1 − 40 − 40 144 144
6 4 3 2 28. a − 32a + 18a + 247a − 162a − 360
1 0 − 32 18 247 − 162 − 360 − 1 − 1 1 31 − 49 − 198 360 1 − 1 − 31 49 198 − 360
1 1 − 40 − 40 144 144
0
49 198 − 360 2 − 58 − 18 360
2
− 29 − 9
1 1
180
1 1 − 40 − 40 144 144 0 40 0 − 144 −1
+2
1 0 − 40
= (a 4 + a 3 − 29a 2 − 9a + 180)(a + 1)(a − 2)
1 4 − 17 − 60
= ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)( x − 1)( x + 1)
+3
6 5 4 3 2 31. a − 8a + 6a + 103a − 344a + 396a − 144
= (a 3 + 4a 2 − 17a − 60)(a + 1)(a − 2)(a − 3) − 17 − 3
− 60
1 1
− 20
0
−3
1
−8
1
−6 −6
= (a 2 + a − 20)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3)
56 − 480
1 − 4 − 14 63 − 36 3 − 3 − 51 36
+3
−1
0
1 −1
10 148 − 240
−2
0
= (2 x 4 − 16x 3 + 10 x 2 + 148 x − 240)(x + 1)(x + 2) − 16 10 148 − 240 4 − 24 − 28 240
2
2 − 12 − 14
120
+2
0
= (2 x 3 − 12 x 2 − 14 x + 120)(x + 1)(x + 2)(x − 2)
2 − 12 − 14 120 8 − 16 − 120 − 4 − 30
2
+4
0 +2
0 2
2
− 1 − 17 12 − 4 20 − 12 −5
3
(a − 3)
−4
0
= (a − 5a + 3)(a − 2)
2
2
(a − 3)(a + 4)
7 5 4 3 2 32. x − 20 x − 2 x + 64 x + 40 x − 128 1 0 − 20 − 2 64 40 0 − 128 + 2 2 4 − 32 − 68 − 8 64 128
1 2 − 16 − 34 − 4
32 64
0
= ( x 6 + 2 x 5 − 16 x 4 − 34 x 3 − 4 x 2 + 32 x + 64)( x − 2)
1 2 − 16 − 34 − 4 32 + 64 − 2 0 32 4 0 − 64 1 0
− 16 − 2
0 32
−2
0
= ( x − 16 x − 2 x + 32)( x − 2)( x + 2) 5
0
= (2 x − 4 x − 30)( x + 1)( x + 2)(x − 2)( x − 4) 2
[
12
= (a − a − 17a + 12)(a − 2)
1
2
− 17
3
2 − 12 − 22 168 56 − 480 − 4 32 − 20 − 296 480
3
− 6 − 6 91 − 162 72 2 − 8 − 28 126 − 72 0
= (2 x − 12 x − 22 x + 168 x + 56 x − 480)(x + 1)
2 − 16
72
2
− 36
1
4
− 162
3
= (a 4 − 4a 3 − 14a 2 + 63a − 36)(a − 2)(a − 2)
6 5 4 3 2 30. 2 x − 10 x − 34 x + 146 x + 224 x − 424 x − 480
146 224 − 424 − 480 22 − 168 − 56 480
4
1 − 4 − 14 63
= (a + 5)(a − 4)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3)
5
91
= (a − 6a − 6a + 91a − 162a + 72)(a − 2) 1
2 − 12 − 22 168
6 103 − 344 396 − 144 + 2 2 − 12 − 12 182 − 324 144
5
60
2 − 10 − 34 −2 12
0
= ( x 2 − 36)( x 2 − 4)( x − 1)( x + 1)
0
1 4 −3
0 144
−1
= ( x 4 − 40 x 2 + 144)( x − 1)( x + 1)
0
1 1 − 29 − 9 180 3 12 − 51 − 180
0
= ( x 5 + x 4 − 40 x 3 − 40 x 2 + 144 x + 144)( x − 1)
= (a 5 − a 4 − 31a 3 + 49a 2 + 198a − 360)(a + 1)
1 − 1 − 31
+1
]
2 = ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) − 60 (x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4)
(2 x − 10)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4) = 2
= (x − 5)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4)
= 2 (x − 5)(x + 3)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4)
3
2
1 0 − 16 − 2 0 32 + 4 4 16 0 − 8 − 32 1 4
0
−2 −8
0
= ( x 4 + 4 x 3 − 2 x − 8)( x − 2)( x + 2)( x − 4) 1 4 0 −2 −8 −4 0 0 8 1 0
0 −2
−4
0
= ( x − 2)( x − 2)( x + 2)( x − 4)( x + 4) 3
EJERCICIO 111 7. 15a 2b3 c , 24ab2 x , 36b 4 x 2
1. a 2 x , ax 2 mcd ax 2
15 5 3 3 1
2
2. ab c , a bc mcd abc 3. 2x 2 y , x 2y 3 mcd x 2 y 4. 6a 2b 3 ,15a 3b 4 6 3 15 3 2
2
5
1 3⋅2 = 6
11. 42am2n , 56m3n2 x , 70m4n2 y 42 14 56 14 70 14
36 3 12 4 3 3 1
3
5
mcd 3 ⇒ 3b
3 2 2 5. 8am n, 20x m 8 2 20 2 4 2 10 2 2 2 5 5 1 1
3 2
18 6
3 24 3 8
3 4
2
2
2
2 2
2
1
1
75 5
mcd 2 = 4
4
⇒ 4m
1 1 1 7 ⋅ 4 = 28 7 ⋅ 5 = 35 7 ⋅ 6 = 42
2 2 3 4 6. 18mn , 27a m n 18 3 27 3 6 3 9 3 2 2 3 3 1 1
32 ⋅ 2 = 18
4
mcd
5
5
6
33 = 27
⇒ 9mn2
2
2
225 15
15 5
3
3
1
13. 4a 2b , 8a 3b 2 , 2a 2bc ,10ab 3c 2 4 2 8 2 2 2 10 2 2 2 4 4 1 5 5
6
1
1
1
2 = 4 2⋅4 = 8 2
2 = 2 2 ⋅ 5 = 10
mcd 2 ⇒ 2ab
1
8 ⋅ 32 = 72
15 5
mcd 15 ⋅ 5 ⇒ 75a 3b 3
7 ⇒ 7 a 2b 3 c 4
1
mcd 3 = 9
150 10
15 ⋅ 5 = 75 15 ⋅ 5 ⋅ 2 = 150 15 ⋅ 5 ⋅ 3 = 225
3 4 4 2 2 3 4 5 7 10. 72x y z , 96x y z ,120x y z 72 8 96 8 120 8 9 3 12 3 15 3 3 3 4 4 5 5
2
5
1
9. 28a 2b 3c 4 , 35a 3b 4 c 5 , 42a 4b 5 c 6 28 7 35 7 42 7
2
15 5
1
mcd 3 ⋅ 2 ⇒ 6 xyz
22 ⋅ 5 = 20
5
mcd 14 ⇒ 14m2n
3 ⋅ 2 2 = 12 32 ⋅ 2 = 18 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24
2
4
12. 75a 4b 3c 2 ,150a 5b 7 x 2 , 225a 3b 6 y 2
12 4 1
4
2
8. 12x 2 yz 3 ,18 xy 2 z , 24 x 3 yz2
mcd 3 ⇒ 3a 2b 3
3
1 1 1 14 ⋅ 3 = 42 14 ⋅ 4 = 56 14 ⋅ 5 = 70
5 ⋅ 3 = 15 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 32 ⋅ 4 = 36
1 3 ⋅ 5 = 15
23 = 8
24 3 8 4 2 2 1
14. 38a 2 x 6 y 4 , 76mx 4 y 7 , 95x 5 y 6 38 19 76 19 95 19 2
2
4
4
5
5
1 1 1 19 ⋅ 2 = 38 19 ⋅ 4 = 76 19 ⋅ 5 = 95
1
8 ⋅ 3 ⋅ 4 = 96 8 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
mcd 19
⇒ 19 x 4 y 4
mcd 8 ⋅ 3 ⇒ 24x 2 y 2 z3
EJERCICIO 112 1. 2a 2 + 2ab = 2a (a + b)
4a 2 − 4ab = 2 2 a (a − b)
mcd
2. 6 x y − 6 x y = 2 ⋅ 3x y ( x − 1) 2
2
9 x 3 y 2 + 18 x 2 y 2 = 32 x 2 y 2 (x + 2)
12a b = 4 ⋅ 3 a b 3
2
mcd 4a b
3
2
4. ab + b = b (a + 1)
a + a = a (a + 1) 2
mcd a + 1
2
2
18a x y = 6 ⋅ 3 a x y 2
7.
3
4
2
6a x y − 18a xy = 6a xy 2
2
4
2
2
mcd 6a xy
4
4
8. 5a − 15a = 5a (a − 3) 2
(a − 3) a (a − 3)
a − 3a = a 3
mcd
2
2
2
4
3
4
(x − 3)
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)
2
10axy 2 − 20 x 2 y 2 = 5⋅ 2 xy 2 (a − 2 x )
3
4a b − 8a b = 4a b (a − 2b) 2
2
30ax 2 − 15x 3 = 5⋅ 3x 2 (2a − x )
6.
10.
mcd
mcd 5x
2
3 2
mcd x ( x + 5)
mcd x ( x − 1)
mcd 3x 2 y 3.
ax 2 + 5ax = ax ( x + 5)
x 3 − x 2 = x 2 ( x − 1)
2a
3
9. 3x 3 + 15x 2 = 3x 2 ( x + 5)
2 5. x − x = x ( x − 1)
11.
(a − b)
m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )
3am + 3an = 3a (m + n) mcd m + n
( )( ) − 8 = ( x − 2)(x + 2 x + 4)
12. x 2 − 4 = x + 2 x − 2
x
3
mcd x − 2
2
13.
2ax 2 + 4ax = 2ax (x + 2)
21.
x 3 − x 2 − 6 x = x ( x 2 − x − 6) = x (x − 3)( x + 2)
(2 x
mcd x ( x + 2) 14.
4 x 4 − y 2 = (2 x 2 + y )(2 x 2 − y)
9 x 2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1)
(
4a 2 + 4ab + b2 = (2a + b)
9x3
2
2a 2 − 2ab + ab − b2 = (2a 2 − 2ab) + (ab − b 2 ) = 2a (a − b) + b (a − b) = (2a + b)(a − b)
2
2
25.
= 3⋅ 2 ( x − 4)( x + 1)
3 ( x − 4)
x ( x − 1)
mcd
x 4 − 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 9)
= x 2 ( x + 3)( x − 3)
x 4 − 5x 3 + 6x 2 = x 2 ( x 2 − 5x + 6) = x 2 ( x − 3)( x − 2) 2
(
a 4b − a 2b 3 = a 2b (a 2 − b 2 )
2x + y
( ) = 2a (a − 3b) a x − 9ab x = ax (a − 9b ) = ax (a + 3b)(a − 3b) mcd a (a − 3b) 19. ac + ad − 2bc − 2bd = (ac + ad ) − (2bc + 2bd ) = a (c + d ) − 2b (c + d ) = (a − 2b)(c + d ) 2c + 4cd + 2d = 2 (c + 2cd + d ) = 2 (c + d )
mcd
3 2 2 2 2 18. 2a − 12a b + 18ab = 2a a − 6ab + 9b 2
2
2
2
2x
2
mcd c + d
3a 2 m2 + 6a 2 m − 45a 2 = 3a 2 (m2 + 2m − 15)
= 3a (m + 5)(m − 3) 2
6am2 x + 24amx − 30ax = 6ax (m2 − 4m − 5)
= 3⋅ 2ax (m + 5)(m − 1)
ab (a + b)
2
2
( ) = 2 (x + 2)(x − 1) − 8x + 6 = 2 ( x − 4 x + 3) = 2 ( x − 3 )( x − 1) = 2 ( x + 1)( x − 1) 2 x − 2 = 2 (x − 1) mcd 2 ( x − 1) 2
3
2
ax 3 − 2ax 2 − 8ax = ax (x 2 − 2 x − 8)
28.
= ax ( x − 4)( x + 2)
ax − ax − 6a = a ( x − x − 6) 2
= a ( x − 3)( x + 2)
2
a x − 3a x − 10a x = a x (x − 3x − 10) = a 2 x ( x − 5)( x + 2) 2
3
2
2
2
mcd 3a (m + 5)
( ) = a b (a + b)(a − b)
2 2 27. 2 x + 2 x − 4 = 2 x + x − 2
2
2
)
3 2 2 3 2 2 26. a b + 2a b + ab = ab a + 2ab + b = ab a + b
= a (2 x + y )(2 x − y )
2
x 2 ( x − 3)
mcd
4ax 2 − ay 2 = a (4 x 2 − y 2 )
20.
4 x 3 − 4 x 2 = 4 x 2 ( x − 1)
x 4 − 6x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 6 x + 9) = x 2 ( x − 3)
8 x 3 + y 3 = (2 x + y )(4 x 2 − 2 xy + y 2 )
2
3x 2 − 3x = 3x ( x − 1)
2
mcd a + b
= 3( x + 5)( x − 4)
3
24. 2 x 3 − 2 x 2 = 2 x 2 ( x − 1)
a + a b = a (a + b) 3
3x 2 + 3x − 60 = 3( x 2 + x − 20)
mcd
2
ab + b 2 = b (a + b)
6x 2 − 18 x − 24 = 6 ( x 2 − 3x − 4)
17.
)( ) = 3x ( x + 1)(x + 1)(x − 1) − 9 x = 9 x ( x − 1) = 3 x( x + 1)( x − 1) mcd 3x ( x + 1)(x − 1)
2 23. a + ab = a (a + b )
2a + b
mcd
(
2
mcd 3x − 1
16.
)
22. 3x 5 − 3x = 3x x 4 − 1 = 3x x 2 + 1 x 2 − 1
9 x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1)
mcd
2
mcd 2 x 2 + y
2
15.
+ y) = (2 x 2 + y)(2 x 2 + y)
2
mcd
2
2
2
a ( x + 2)
(
) = 2a (n − 4)(n − 4) = 2a (n + 2) (n − 2) = 2an (n + 2)(n − 2) 2an − 8an = 2an (n − 4) = 2a (n + 2)(n − 2n + 4) 2a n + 16a = 2a (n + 8) mcd 2a (n + 2)
4 2 4 2 29. 2an − 16an + 32a = 2a n − 8n + 16 2
3
2 3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
( ) ( )( ) 2a − 6a + 4 = 2 (a − 3a + 2) = 2 (a − 2)(a − 1) 6a + 18a − 24 = 6 (a + 3a − 4) = 3⋅ 2 (a + 4)(a − 1) mcd 2 (a − 1) 4a − b = (2a + b)(2a − b) 31. 8a + b = (2a + b)(4a − 2ab + b ) 4a + 4ab + b = (2a + b) 30. 4a 2 + 8a − 12 = 4 a 2 + 2a − 3 = 2 2 a + 3 a − 1 2
39.
2
2
3a 2 − 6a = 3a (a − 2)
a − 4a = a (a 2 − 4) = a (a + 2)(a − 2) 3
a 2b − 2ab = ab (a − 2)
2
2
2
3
3
2
2
2a + b
2
3x 2 − x = x (3x − 1)
40.
27 x 3 − 1 = (3x − 1)(9 x 2 + 3x + 1)
9 x 2 − 6x + 1 = (3x − 1)
x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4)( x + 2)
32.
a−2
mcd
2
2
mcd
a 2 − a − 2 = (a − 2)(a + 1)
2
3ax − a + 6 x − 2 = (3ax − a ) + (6 x − 2)
x 2 − x − 12 = ( x − 4)( x + 3)
= a (3x − 1) + 2 (3x − 1)
x 3 − 9 x 2 + 20 x = x ( x 2 − 9 x + 20) = x ( x − 5)( x − 4) 33.
a + a = a (a + 1)
mcd
2
3x − 1
a − 6a − 7a = a (a − 6a − 7) = a (a − 7)(a + 1) 3
2
2
a 6 + a = a (a 5 + 1)
= a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)
a (a + 1)
mcd 34.
= (a + 2)(3x − 1)
x− 4
mcd
41.
x 3 + 27 = ( x + 3)( x 2 − 3x + 9)
a 4 − 1 = (a 2 + 1)(a 2 − 1) = (a 2 + 1)(a + 1)(a − 1)
a 3 + a 2 + a + 1 = (a 3 + a 2 ) + (a + 1)
2 x 2 − 6 x + 18 = 2 ( x 2 − 3x + 9)
= a 2(a + 1 ) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1)
x 4 − 3x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 3x + 9)
a 3 x + a 2 x + ax + x = (a 3 x + a 2 x ) + (ax + x ) = a 2 x (a + 1) + x (a + 1)
x 2 − 3x + 9
mcd
35. x + ax − 6a = ( x + 3a)( x − 2a ) 2
= (a 2 x + x )(a + 1) = x (a 2 + 1)(a + 1)
2
x 2 + 2ax − 3a 2 = ( x + 3a )( x − a )
a 5 + a 3 + a 2 + 1 = (a 5 + a 3 ) + (a 2 + 1)
x 2 + 6ax + 9a 2 = (x + 3a )
2
= a 3 (a 2 + 1) + (a 2 + 1)
x + 3a
mcd
54 x 3 + 250 = 2 (27 x 3 + 125)
36.
18ax 2 − 50a = 2a (9 x 2 − 25)
= (a 3 + 1)(a 2 + 1) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 1)
= 2 (3x + 5)(9 x 2 − 15x + 25) = 2a (3x + 5)(3x − 5)
(a + 1)(a + 1) 2
mcd
18 x 2 + 60x + 50 = 2 (9 x 2 + 30 x + 25) = 2 (3x + 5)
2
mcd
2 (3x + 5)
(x
37.
2
[
x 2 − 4 x − 5 = (x − 5)( x + 1)
= 2 (m + n)
]
− 1) = (x + 1)(x − 1) 2
x+1
m + m n + mn + n = m2 (m + n) + n 2 (m + n) 3
a 2 x 3 − 8a 2 x 2 + 7a 2 x = a 2 x ( x 2 − 8 x + 7)
= a 2 x (x − 7)( x − 1)
ax − 15ax + 56ax = ax ( x − 15x + 56) = ax ( x − 8)(x − 7) 4
3
2
mcd ax ( x − 7)
2
2
2
2
3
= (m2 + n 2 )(m + n)
4ax 2 − 28ax = 4ax ( x − 7)
38.
)
2
2
x 4 − 1 = (x 2 + 1)(x 2 − 1) = (x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) mcd
(
42. 2m2 + 4mn + 2n 2 = 2 m2 + 2mn + n 2
2
m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )
m3 − mn 2 = m (m2 − n 2 )
= m (m + n)(m − n)
mcd m + n
( ) ( ) 46. = (a − 1)(a + a + 1) − 3a (a − 1) = (a − 1)(a + a + 1 − 3a ) = (a − 1)(a − 2a + 1) = (a − 1)(a − 1) a − 2a + 1 = (a − 1) a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1) a − 4a + 3 = (a − 3)(a − 1)
2a 2 − am + 4a − 2m = (2a 2 − am) + (4a − 2m)
3 2 3 43. a − 3a + 3a − 1 = a − 1 − 3a a − 1
= a (2a − m) + 2 (2a − m)
2
= (a + 2)(2a − m)
2
2am − m = m2 (2a − m)
2
2
2
[
2 6a 2 + 5am − 4m2 = (6a ) + 5m ( 6a ) − 24m2
2
2
3
3
[
= (3a + 4m)(2a − m)
2
mcd a − 1
]
]
= (6a + 8m)(6a − 3m) ÷ 2 ⋅ 3
2
16a + 72am − 40m = 8 (2a 2 + 9am − 5m2 ) 2
2
[
]
2 = 8 (2a ) + 9m (2a ) − 10m
[
= 8 (a + 5m)(2a − m)
= 2 x (2a + 3)(4a 2 − 6a + 9)
12a 2 x 2 − 42ax 2 − 90 x 2 = 6x 2 (2a 2 − 7a − 15)
[
[
2
]
mcd 2a − m
(
= 6 x (2a − 10)(2a + 3) ÷ 2 2
= 3⋅ 2 x (a − 5)(2a + 3) 2
32a x + 24a x − 36ax = 4ax (8a 2 + 6a − 9) 3
3
2
[
2 = 4ax (8a) + 6 (8a ) − 72
[
) ( ) = 6a (2 x − y) + 12b (2 x − y ) = (6a + 12b)(2 x − y) = 3⋅ 2 (a + 2b)(2 x − y ) 3a + 24b = 3(a + 8b ) = 3 (a + 2b)(a − 2ab + 4b ) + 9ab − 18b = 9(a + ab − 2b ) = 3 (a + 2b)(a − b) 12a + 24ab = 12a (a + 2b) = 4 ⋅ 3a (a + 2b) mcd 3 (a + 2b)
47. 12ax − 6ay + 24bx − 12by = 12ax − 6ay + 24bx − 12by
]
= 6 x ( 2a ) − 7 (2a ) − 30 2
]
= 8 (2a + 10m)(2a − m) ÷ 2
16a 3 x + 54 x = 2 x (8a 3 + 27)
44.
]
]
3
3
2
9a 2
= 4ax (8a + 12)(8a − 6) ÷ 4 = 22 ax (2a + 3) (8a − 6)
3
2
2
2
2
2
2
= 23 ax (2a + 3)(4a − 3)
32a 4 x − 144a 2 x + 162 x = 2 x (16a 4 − 72a 2 + 81)
( ) ( ) = (5a + 5 y)(a + x ) = 5(a + y)(a + x ) = 2 x [(2a + 3)(2a − 3)] 15a − 15ax + 15a y − 15x y = 15a (a + y ) − 15x (a + y) mcd 2 x (2a + 3) = (15a − 15x )(a + y ) = 15(a − x )(a + y) = 5⋅ 3(a + x )(a − x )(a + y) 20a − 20ay + 20a x − 20 xy = 20a (a + x) − 20 y (a + x) (xy + y ) = x y + 2 xy + y = (20a − 20 y )(a + x) = y ( x + 2 xy + y ) = y ( x + y) = 20 (a − y )(a + x) y − 2 xy − 3y = y ( x − 2 xy − 3 y ) = y ( x − 3 y)( x + y) = 5⋅ 4 (a + y)(a − y )(a + x) = ay ( x + y )( x − xy + y ) ax y + ay = ay ( x + y ) 5(a + y)(a + x ) mcd = 2 x (4a 2 − 9)
2
48. 5a 2 + 5ax + 5ay + 5xy = 5a a + x + 5 y a + x
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
45.
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
x2
2
3
3
4
2
2
3
3
x 2 y − y 3 = y (x 2 − y 2 ) mcd
y (x + y)
2
2
2
= y ( x + y )( x − y)
2
2
4 3 2 2 3 5. 8a − 6a x + 7a x − 3ax
EJERCICIO 113 1.
12 x 2 + 8 x + 1
2 x 2 − 5x − 3
− 12 x 2 + 30 x + 18 2 x 2 − 5x − 3
14ax − 7 x ÷ 7 x 2
15a − 18ax + 3x
− 3a + 3ax
; 3a − 4a x + ax 3
2
2
− 285x + 225x − 475x + 375 3
= a (3a 2 − 4ax + x 2 )
3a − 4ax + x 2
a− x
a− x
−a+ x
3x 2 + 5
− 285x
− 475x
3
− 225x
mcd
x 3 + 2 x2 − 2 x + 3 − x3 − x2 + x − 2
6 x − 4 x y − 3x y + 5xy − 2 y 2
3
2
2
21x − 14 x y + 63xy − 42 y 2
1
3x y + 61xy − 42 y
− 444 xy + 296 y − 3x 2 + 2 xy
2 x − 2 x + 2 (÷ 2 )
3x − 2 y
x2 − x + 1
− 3x + 2 y
2
21x − 17 xy + 2 y 2
3
(÷ y)
7
(÷ − 148 y)
2
3x − 2 y x
63xy − 42 y
x2 − x + 1
(÷ − y ) 2
3x 2 + 61xy − 42 y 2
2 y2
3x 2 + 61xy − 42 y 2
x
3
4
x
− 21x 2 + 427 xy + 294 y 2
x2 − x + 1
3
2x
2
2
21x 2 − 17 xy +
3x − 2 x 2 y + 9 xy 2 − 6 y 3 ( 7)
4
3
3
2
2
x3 + x 2 − x + 2
mcd
2
− 21x + 17 x y − 2 xy
2
1
3
2
3
x − x+1 − x3 + x2 − x
2
− 21x y + 17 xy − 2 y 3
3x 2 + 5
mcd
3
− 6 x + 4 x y − 18 x y + 12 xy a (a − x )
(÷ − 75)
1
4
4
2
x 3 + x2 − x + 2
95x − 375
2
3x 2 + 5
− 3x 2 − 5
4. (2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 6) ÷ 2
− x2 + x − 1
(÷ − 191)
2
2
1
x2 − x + 1
− 955
3x 2 + 5
(÷ − x)
1
285x 3 − 225x 2 + 475x − 375 5
7.
285x 3 − 225x 2 + 475x − 375
2
− 573x
2
3a
− ax + x 2
2
285x 3 − 798 x 2 + 475x − 1. 330
a− x
2
x
57 x − 45x + 95x − 75 (5) 3
2ax − 2 x 2 (÷ 2 x ) 3a 2 − 4ax + x 2
4
− 15x 4 + 42 x 3 − 25x 2 + 70 x
a− 2
= a (15a 2 − 18ax + 3x 2 ) − 15a 2 + 20ax − 5x 2
2
15x 4 + 15x 3 − 20 x 2 + 25x − 75 15x 3 − 42 x 2 + 25x − 70 (19)
3. 3(5a − 6a x + ax ) = 15a 3 − 18a 2 x + 3ax 2 2
3x 4 + 3x 3 − 4 x 2 + 5x − 15 (5)
− 12 x − 12 x + 16 x − 20 x + 60 3
− 15x 3 + 42 x 2 − 25x + 70 (− 1)
2
2
mcd a (2a − x )
12 x 4 − 3x 3 + 26 x 2 − 5x + 10
(÷ 2)
2
1
4
a− 2 1 mcd
3
− 2a + x
4 3 2 6. (12ax − 3ax + 26ax − 5ax + 10a ) ÷ a
3a
5a − 10 a−2 −a+2
3ax
− 2ax 2 + x 3 ÷ − x 2 2a − x 2a − x
a −2
− 3a 2 + 6a
2a − x
− 6a 2 x + 3ax 2
(÷ − a )
3a − a − 10
3
6a x − 5ax 2 + x 3
2a
− a 2 + 2a
3
1
2
3a 2 − a − 10
2
2a 2 + 3ax − 2 x 2 ( 3x ) 4a
2
− 6a 2 x + 5ax 2 − x 3
mcd 2 x + 1
1
− 6a + 2a + 20a
= a (2a 2 + 3ax − 2 x 2 )
2
2
2
)
3
− 18a x + 15ax − 3x ÷ − 3
2x + 1
6a 3 − 3a 2 − 18a
3
6a 2 x + 9ax 2 − 6 x 3 6a 2 x − 5ax 2 + x 3
2. 3 (2a 3 − a 2 − 6a ) ; (6a 2 − 2a − 20) ÷ 2 3
2 2
x
2x + 1 − 2x − 1
2
− 8a − 12a x + 8ax
(÷ 2)
(÷ − 3)
− 6x − 3
2
3
2x + 1
− 2x2 − x
2
8a − 6a x + 7ax − 3x 3
6
38 x + 19
2
2a 3 + 3a 2 x − 2ax 2
;
= a (8a − 6a x + 7ax − 3x 3
2
(÷ 21y )
3x − 2 y 1
mcd 3x − 2 y
( (x
)
4 3 2 8. ax + 3ax − 2ax + 6ax − 8a ÷ a ; 4
+ 4 x − x − 4 x) ÷ x 3
(
x3 + 4 x2 − x − 4
− x4 − 4x3 + x2 + 4x
x
3x 2 + 9 x − 12
x 2 + 3x − 4
3m4 − 6m3 + 8m2 − 10m + 5
− 6m + 12m − 16m + 20m − 10 3
2
2
(÷ − 19)
− 19m + 38m − 19 2
3m − 6m + 8m − 10m + 5 4
1
3
m − 2m + 1
2
2
− 3m4 + 6m3 − 3m2
(÷ 3)
3m2
(÷ 5)
5m2 − 10m + 5 m − 2m + 1
m − 2m + 1
2
x
2
− m2 + 2m − 1
( ÷ − 2)
− 2 x2 − 6x + 8
2
6m − 12m3 − 3m2 + 18m − 9
x 2 + 3x − 4
− x 3 − 3x 2 + 4 x
3
4
x 3 + x 2 − 10 x + 8
x 3 + x 2 − 10 x + 8
;
− 6m + 8m − 10m + 5m) ÷ m 4
4
− x 3 − x 2 + 10 x − 8 (− 1)
− x 3 − x 2 + 10x − 8
(3m
5
x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 6 x − 8
x3 + 4x2 − x − 4
)
9. 3 2m4 − 4m3 − m2 + 6m − 3
2
mcd m2 − 2m + 1
1
x 2 + 3x − 4
− x − 3x + 4 2
mcd x 2 + 3x − 4
1
10. Factor común a
7 (3a 5 − 6a 4 + 16a 3 − 2a 2 + 5a )
; 3 (7a 5 − 14a 4 + 33a 3 + 4a 2 − 10a )
= 21a 5 − 42a 4 + 112a 3 − 14a 2 + 35a ; = 21a 5 − 42a 4 + 99a 3 + 12a 2 − 30a 21a 4 − 42a 3 + 112a 2 − 14a + 35 − 21a + 42a − 99a − 12a + 30 4
3
2
13a − 26a + 65 2
21a 4 − 42a 3 + 99a 2 + 12a − 30 1
(÷ 13)
21a − 42a + 99a + 12a − 30 a 2 − 2a + 5 4
2
3
− 21a 4 + 42a 3 − 105a 2 − 6a 2 + 12a − 30 a − 2a + 5
21a 2
(÷ − 6)
a − 2a + 5
2
2
mcd a (a 2 − 2a + 5)
− a 2 + 2a − 5 1
12. Factor común 2 : 2 x 3 + 2ax 2 + 2a 2 x + 2a 3 ; 10 x 3 + 4ax 2 + 10a 2 x + 4a 3
3 2 11. (45ax + 75ax − 18ax − 30a ) ÷ 3a ;
(24ax 4 (15x
3 3
+ 40ax 2 − 30ax − 50a ) ÷ 2a
+ 25x 2 − 6 x − 10) ; 5 (12 x 3 + 20 x 2 − 15x − 25)
60 x + 100 x − 24 x − 40 3
2
60 x + 100 x − 75x − 125 (÷ 5) 3
2
12 x + 20 x − 15x − 25 2
− 12 x 3 − 20 x 2 − 15x − 25 3x + 5 − 3x − 5
3x + 5 1
− 3 ax 2
− 3a 3
x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3
51x + 85 (÷ 17)
3
− 5x 3 − 5ax 2 − 5a 2 x − 5a 3 5
2
− 60 x − 100 x + 75x + 125 1 3
5x 3 + 2ax 2 + 5a 2 x + 2a 3 x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3
− x3
3x + 5
− a2 x ax
4 x2
x2 + a2
(÷ − 5)
−x −a 2
mcd a (3x + 5)
+ a3
2
2
(÷ − 3a )
x2 + a2 x
(÷ a )
x2 + a 2 1
mcd
2 (x 2 + a 2 )
7 6 + a4 + 1 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 ( a ) 16. a − a 7 6 5 3 2 − a + 2a − a −a +a a2
13. Factor común 3 :
9 x + 15ax + 3a x − 3a ; 3
2
2
3
12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 ( 3)
a 6 − a5 + a4 − a 3 + a 2 + 1
12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 − 12 x − 20ax − 4a x + 4a 3
2
+ 2a x + a
2
ax
2
2
3x + 5ax + a x − a 3
2
2
x + 2ax + a
2
−a
(÷ − a) mcd 3( x 2 + 2ax + a 2 )
+ 6b 3
− 12a + 18a b − 12ab + 6b 2
2
2
2
− 6a 3 + 3a 2b − 3ab 2 2a − ab + b 2 − 2a 2 + ab − b 2
(÷ − 3b)
3 4
2 5
15a + 20a n − 35an + 10n 2
2
3an − 2n 2 36a − 39an + 10n
2
− 36a 2 + 24an − 15an + 10n2 3a − 2n − 3a + 2n
3a − 2n 1
2
a
− 180a 2 + 195an − 50n 2
108 x − 216 x + 96 x
36a − 39an + 10n
(12)
2
− 225x 2 + 231x − 54 300 x 3 + 25x 2 − 375x + 150 − 300 x + 308 x − 72 x
(÷ n) 2
2
− 108 x − 9 x + 135x − 54 2
36a 2 n − 39an2 + 10n3 180a − 192an + 48n
a4 − a3 + 1
3x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5x + 2 ( 9) 6
3
5
(÷ n) 3a − 2n 12a
(÷ − 5n) mcd 3a 2 n 2 (3a − 2n)
2
333x 2 − 447 x + 150
2
27 x 2 − 54 x + 24
2
36 x 3 + 3x 2 − 45x + 18 3
15a − 16an + 4n
3
− 15a 3 + 16a 2 n − 4an2 2
3
3
( ÷ − n)
− 15a 2 n + 16an2 − 4n 3
2
mcd
1
− 27 x + 54 x − 24 x 4
− 3a 3 − 4a 2 n + 7an2 − 2n 3 1
2
3
27 x 4 − 18 x 3 + 27 x 2 − 45x + 18
3a 3 − 11a 2n + 9an2 − 2n3 3a 3 + 4a 2 n − 7an2 + 2n3 (5)
3
(− 1)
− 27 x 2 + 54 x − 24 (− 1)
9a n + 12a n − 21a n + 6a n 3
a
−1
18 x 4 − 12 x 3 − 9 x 2 + 24 x − 12 mcd 2ab (2a 2 − ab + b 2 ) − 18 x 4 + 12 x 3 − 18 x 2 + 30 x − 12
1
9a 5n2 − 33a 4 n 3 + 27a 3n 4 − 6a 2 n5 ; 4
a4 − a3 + 1
36ax 4 − 24ax 3 − 18ax 2 + 48ax − 24a
2a 2 − ab + b 2
15. Factor común 3a 2 n 2 : 5 2
1
(÷ 2 )
17. Factor común 2a : 6ax 4 − 4ax 3 + 6ax 2 − 10ax + 4a ;
3a
− 6a 2b + 3ab2 − 3b 3
a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1
a4 − a3 + 1
−a +a − 1
2a 2 − ab + b 2
6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3
a4 − a3 + 1 4
(÷ 12b)
3
+2
− a
4
− a4 + a3
6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3
3
24a b − 12ab + 12b 2
2
−a +a
a
(− 1)
− a+1
3
a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 5
a5 − a3 + a + 1
2
2a 4 − 2a 3
6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3
+1
−a −a
4
− a + 2a − a − a + 1 4
1
(− 1)
−a−1
− a3 + a + 1
5
14. Factor común 2ab : 8a 4b + 4a 3b 2 + 4ab 4 ; 12a 4b − 18a 3b2 + 12a 2b 3 − 6ab 4
3
+a
6
a6 − a5 + a 4 − a 3 + a2 + 1 −1
2
+ a3
a5
x + 2ax + a 2
12a 3 + 6a 2b
3
− a 5 + 2a 4 − a 3
2
3 (4a 3 + 2a 2b + 2b 3 )
4
a 6 − a5 + a4 − a3 + a 2
3x
− x 2 − 2ax − a 2 1
5
− a5
x 2 + 2ax + a 2
− ax 2 − 2a 2 x − a 3
+ a2 − a
−a +a −a +a −a
(÷ a)
3
a 6 − 2a 5 + a 4 6
4
3
− 3x 3 − 6ax 2 − 3a 2 x 2
3x 3 + 5ax 2 + a 2 x − a 3 3
( 4 x)
x2
(÷ 3)
12 x 3 + x 2 − 15x + 6 ( 25) 9
(÷ − 3) 75x 2 − 77 x + 18 (111) 4x
(÷ 3)
8 . 325x 2 − 8 .547 x + 1. 998 111x 2 − 149 x + 50 (2 . 628) − 8 . 325x 2 + 11.175x − 3 .750
75
2 . 628 x − 1. 752
291. 708 x 2 − 391.572 x + 131. 400 2 . 628 x − 1. 752 (÷ 876) − 291. 708 x 2 + 194 .472 x − 197 .100 x + 131.400 3x − 2 − 3x + 2
111x
(÷ − 65. 700)
3x − 2 1
mcd
2a (3x − 2)
3 2 2 3 3 2 2 3 2. 8 x + 6 x y − 3xy − y 2 x − x y − 2 xy + y − 8 x 3 + 4 x 2 y + 8 xy 2 − 4 y 3 4 4 3 2 3. ( x + x − x − x ) ÷ x ; 3 2 2 10 x 2 y + 5xy 2 − 5 y 3 (÷ 5 y ) 1. 2 x − 5x − 6 x + 9 2 x − 5x − 3 3 2 (2 x + 2 x − 2 x − 2) ÷ 2 2 x 3 − x 2 y − 2 xy 2 + y 3 2 x 2 + xy − y 2 − 2 x 3 + 5x 2 + 3x x 3 2 2 x3 + x2 − x − 1 x3 + x2 − x − 1 − 2 x − x y + xy x
EJERCICIO 114
− 3x + 9
2 x 2 − 5x − 3
(÷ − 3)
− 2 x + 6x 2
2 x + xy − y 2
2x x − 3 ( x)
− x 3 + 3x 2
− 6 x − 3xy + 3 y
x − 5x + 6
2
x − 5x + 6
− 2 x + xy
x−3
− x2 + 2x x−3 − x+3
2x − y
(÷ − 3)
− 3x + 6
x−3 1
− 10 x + 7 x + 3
− 2x + y
17 x − 7 x − 10 − 170 x + 70 x + 100 2
− 49 x + 49
2x − y
17 x 2 − 7 x − 10
mcd 2 x − y
x−3
(÷ x 2 )
5. Factor
a 4 + 3a 3 x + a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4 a 2 + 6ax + 8x 2 ( 3a ) − a − 6a x − 8a x 4
3
2
2
a
3a + 18a x + 24ax 2
3
3
− 3a 3 − 7a 2 x − 3ax 2 − 2 x 3 2
154a + 294ax − 28 x
− 154a 2 − 429ax − 242 x 2 − 135ax − 270x 2 14a 2 + 39ax + 22 x 2
− 4a − 8a x 3
2
3
(÷ − 135x)
a + 2x
− 41x + 41x
2
3x
x−1 41x
20 x − 20
a + 2x
(÷ 20)
− 4 x − 3x + 4 x
6
4
− 3 x + 3x 6
3
5
5
mcd
a + 2x
x−1 x−1 − x +1 1 0 x−1 3x
3x − 4 x − 3x + 4 x
a + 2x 1
41x 2 − 21x − 20 2
0
5
(÷ − 182)
− 182 x + 182
a + 2x a + 2x
− ax 2 − 2 x 3 (÷ − x 2 )
− a − 2x
41x 2 − 21x − 20
− 205x 2 + 105x + 100
− a − 2x 1
4a
8x
41x 2 − 21x − 20 205x 2 − 287 x + 82
(÷ 11x)
4a + 8a x − ax − 2 x 2
(− 1)
− 5x + 7 x − 2
2
11
14a
11ax + 22 x 2 2
2
a + 2x
− 14a 2 − 28ax
(14)
1
2
− 40 x 3 + 56 x 2 − 16 x
14a + 39ax + 22 x
2
8 x 3 − 3x 2 − x − 4 (5)
40 x 3 − 15x 2 − 5x − 20 5x 2 − 7 x + 2 ( 41)
(÷ x)
14a 2 x + 39ax 2 + 22 x 3
3
2
3a
2
2
− 8 x 3 + 3x 2 + x + 4 2
− 33a 3 − 63a 2 x + 6ax 2
3
8x3 − 8x2 + 6x − 6
11a + 21ax − 2 x
3
x
8 x − 3x − x − 4
3
(÷ x )
33a + 77a x + 33ax + 22 x 2
mcd x − 1
− 4 x − 4 4 x 3 − 4 x 2 + 3x − 3 ( 2 )
− 4 x 4 + 4 x 3 − 3x 2 + 3 x 2
1
11a 2 x + 21ax 2 − 2 x 3 3
2
x−1 1
2 (2 x 5 + 2 x 4 − 2 x 2 − 2 x )
3a + 7a x + 3ax + 2 x (11)
2
17 x
(÷ 10)
común x
4 x4 + 4 x3
2
(÷ − x)
− 3a 3 x − 7a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4
x −1 − x+1
10
(÷ − 49)
x−1
10 x − 10
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4. 3a + 9a x + 4a x − 3ax + 2 x a + 3a x + a x − 3ax − 2 x 4 3 2 2 3 4 − 3a − 9a x − 3a x + 9ax + 6x 3
a 2 x 2 + 6ax 3 + 8 x 4
17 x 2 − 7 x − 10
170 x 2 − 119 x − 51
− 17 x 2 + 17 x mcd
x
2
(÷ y)
1
(− 1)
− 10 x 3 + 7 x 2 + 3x
x
2 xy − y 2
x
5
10 x 3 + 10 x 2 − 10 x − 10 10 x 2 − 7 x − 3 (17)
2x − y
2
2
2
3
2 x 2 + xy − y 2
(÷ 2)
2
− 5x − 5x + 5x + 5 3
− 4 xy + 2 y 2 (÷ − 2 y )
x 2 − 5x + 6 1
x 3 + x 2 − x − 1 (10)
5x 3 − 5x 2 + 2 x − 2
2 x 2 + xy − y 2
2
1
0
2
1
6 x 2 − xy − y 2
x2
2x − 6
2
0
2
x 2 − 3x + 5x − 6
2 x + xy − y
2
− 2 x 2 − xy + y 2
x −3 x 3 − 2 x 2 − 5x + 6
− x3 − x2 + x + 1
− 2 x 2 y − xy 2 + y 3 (÷ − y )
x−3
4
(3x ) 4
5
3
Continua.
16. 3x 3 , 6x2 , 9x 4 y2 mcm 18x 4 y2
Continuación. 3x 5 − 4 x 4 − 3x 3 + 4 x (÷ x )
5. 3x 5 − 3x 4 − 3x + 4 x + 3x − 4 x 5
4
3
1
3
3x 4 − 4 x 3 − 3x 2
+4
− 3x 4 − 9 x 3
+ 12 x 2
13x 3 + 39 x 2
x 3 + 3x 2 − 4 (13)
19. 18a 3 , 24b2 , 36ab 3 mcm 72a 3b 3
3x
20. 20m2n3 , 24m3n , 30mn2
(÷ − 1)
− 13x − 3x + 12 x + 4 3
18. 10m2 , 15mn2 , 20n3 mcm 60m2n3
(÷ x)
x + 3x − 4 x 4
13x 3 + 3x 2 − 12 x − 4 ( 3)
− 52
− 13x 3 − 3x 2 + 12 x + 4
17. 9a 2bx , 12ab 2 x 2 , 18a 3b 3 x mcm 36a 3b 3 x 2
1
36 x 2 + 12 x − 48 (÷ 12)
20 24 30 20 4 5
6 5
4
4
4 ⇒ mcm 120m3n3
1
1
1
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
39 x 3 + 9 x 2 − 36 x − 12 3x 2 + x − 4 − 39 x 3 − 13x 2 + 52 x − 4 x 2 + 16x − 12 3x + x − 4
13x
21. ab 2 , bc 2 , a 2 c 3 , b 3c 3 mcm a 2b 3c 3
(÷ − 4)
22. 2x 2 y , 8xy 3 , 4a 2 x 3 , 12a 3 mcm 24a 3 x 3 y 3
x − 4x + 3
2
2
− 3x 2 + 12 x − 9
23. 6a 2 , 9x , 12ay 2 , 18x 3 y mcm 36a 2 x 3 y 2
3
13x − 13 (÷ 13)
x2 − 4 x + 3 − x2 + x
24. 15mn2 , 10m2 , 20n3 , 25mn4 15 10 20 25 5
x−1 x
− 3x + 3 x−1
(÷ − 3)
x−1
− x+1
1
mcd
x ( x − 1)
52 ⋅ 3 ⋅ 22 = 300
3
2
4
5
5
3 1
2 2 1
4 4 2
1
3 ⇒ mcm 300m2n4 2 2
1
EJERCICIO 115 25. 24a 2 x 3 , 36a 2 y 4 , 40x 2 y 5 , 60a 3 y 6 2
2
2 2
1. a , ab mcm a b
24
2. x 2 y , xy 2 mcm x2 y2
12 18
20 30
2
3. ab c , a bc mcm a b c
6
9
10
15
3
4. a 2 x 3 , a 3bx 2 mcm a 3bx 3
2
3
10
5
5 ⇒ mcm 360a 3 x 3y 6
1
3
2
2
2 2
5. 6m2n , 4m3 mcm 12m3n 6. 9ax 3 y , 15x 2 y 5 mcm 45ax 3y 5
36 40 60
2
3
2
2
1
2
1
2 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360
2
1
7. a 3 , ab 2 , a 2b mcm a 3b2 8. x 2 y , xy 2 , xy 3 z mcm x2 y3 z 2
2
3
26. 3a 3 , 8ab , 10b 2 , 12a 2b 3 , 16a 2b 2
3 2
9. 2ab , 4a b , 8a mcm 8a b
3
8 10
12
16
2
10. 3x 2 y 3z , 4x 3 y3 z2 , 6x 4 mcm 12x 4 y 3z2
3
4
5
6
8
2
3
2
5
3
4
2
2 4 ⋅ 3⋅ 5 = 240
3
1
5
3
2
2
⇒ mcm 240a 3b 3
3
5
3
1
3
1
5
1
2
2 3
3
3 3
11. 6mn , 9m n , 12m n mcm 36m n 12. 3a 2 , 4b 2 , 8x 2 mcm 24a 2b2 x 2 13. 5x2 , 10xy , 15xy 2 mcm 30x2 y 2 14. ax 3 y2 , a 3 xy , a 2 x 2 y 3 mcm a 3 x 3 y3 15. 4ab , 6a 2 , 3b2 mcm 12a 2b2
1
5
EJERCICIO 116 2a = 2a
1.
13. 3a 2 − 6ab = 3a (a − 2b)
( x − 2) mcm 4a ( x − 2) 2. ab − b = b (a − b) 4x − 8 = 2
2
(
3. x y + xy = xy ( x + y )
mcm x 2 y ( x + y )
3a 2b 2 + 6ab 3 = 3ab 2 (a + 2b) 6a 2b 2 (a + 2b)
(
3 3 2 2 2 16. 9 x y + 9 xy = 3 xy x + y
9m = 32 m
6mn − 12mn = 2 ⋅ 3mn (n − 2)
⇒ 18 x 3 ( x 2 − 4) ( x − 3)
)
= x (2 x − 3 y)
2
2 x − 3x y = x 3 (2 x − 3 y) 4
( ) (x + 1)
17. x 2 y − xy = xy x − 1
x3 + x2 = x2
mcm a x (2 x − 3 y )
(
2
2
8m − 24 = 2 3 (m − 3)
⇒ 72 x 3 y 2 ( x − 5)
)
25.
n2 x 2 + n2 y 2 = n2 (x 2 + y 2 )
nx 2 + 2nxy + ny 2 = n (x 2 + 2 xy + y 2 ) = n (x + y)
2
24 = 23 ⋅ 3
36a 2 = 2 2 ⋅ 32 a 2
mcm 2 2 ⋅ 32 a 2 ( x − 3 y )
⇒ 36a ( x − 3 y )
2ax y + 5x y = x y (2a + 5) 2
3
mcm 12 x 2 y 3 (2a + 5)
12. mn 3 − mn 2 = mn 2 (n − 1)
an 3 = an3
⇒ 24m (m2 − 9)
mcm 2an3 (x + y ) ( x 2 + y 2 ) 2
19. 3ax + 3a = 3a ( x + 1)
2
12 xy 2 = 22 ⋅ 3xy 2
2n = 2n
mcm 23 ⋅ 3m (m + 3)(m − 3)
10. 4ax − 12ay = 2 a ( x − 3 y )
(
26. 4 x 3 + 24 x 2 + 36 x = 2 2 x x 2 + 6 x + 9
2 a 2 b 2 = 2 a 2b 2
6 x − 18 = 2 ⋅ 3 ( x − 3)
mcm 6a b
2
2 x − 8 x + 8 x = 2 x ( x 2 − 4 x + 4) 3
2
= 2 x ( x − 2)
2
2
3
= 2 x ( x + 3)
2
2
x2 = x2 mcm x ( x + 2) ( x − 1) 2
2
)
2
2
(x + 1)(x − 3) 20. x + 4 x + 4 = ( x + 2) x + x − 2 x = x ( x + x − 2) = x ( x + 2)( x − 1) 2
2
32 ⋅ 2 3 x 3 y 2 ( x − 5)
mcm
2
(
2
2
8 x 3 = 23 x 3
18. 6m2 + 18m = 2 ⋅ 3m m + 3
mcm 10 (1 − 3b)
)
12 x y = 3 ⋅ 2 x y 2
⇒ 4 x y ( x − 1)
3x + 6 = 3 ( x + 2)
2
3
2 2 24. 9 x − 45x = 3 x x − 5
mcm 2 2 x 2 y ( x − 1)( x + 1) 2
3
a2 x2 = a2 x2 2
4 x = 22 x
⇒ 18mn (n − 2)
mcm 15 ( x + 2) 10 = 5 ⋅ 2 9. 5 − 15b = 5 (1 − 3b)
(
23. 4 x 3 − 12 x 2 y + 9 xy 2 = x 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2
mcm 5⋅ 2 ⋅ 32 x 2 y ( x 2 + y 2 )
15 = 5 ⋅ 3
mcm m2 n 2 (n − 1)
mcm 2 ⋅ 32 x 3 ( x + 2)( x − 2)( x − 3)
6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2
2 ⋅ 32 mn (n − 2)
m2 = m 2
= 3x ( x − 3)( x + 2)
6 x = 2 ⋅ 3x 3
⇒ 90 x 2 y ( x 2 + y 2 )
2
mn = mn
)
3x 3 − 3x 2 − 18x = 3x ( x 2 − x − 6)
10 = 5⋅ 2
2
3
= 32 x 2 ( x + 2)( x − 2)
3
⇒ 54a 3b 3 (a + 3b)
mcm 14 x (3x + 2 y )
2
3
mcm 2 ⋅ 33 a 3b3 (a + 3b)
2
3
3
18b3 = 2 ⋅ 32 b 3
6 x 2 + 4 xy = 2 x (3x + 2 y )
2
9 x 4 − 36 x 2 = 32 x 2 ( x 2 − 4)
9a 2 = 32 a 2
6a 2b = 2 ⋅ 3 a 2b
11.
(
15. 27a b + 81a b = 3 a b a + 3b
mcm 23 (1 + 2a ) = 8 (1 + 2a )
8.
22.
3 2
8 = 23
mcm
2
3
4
2 4. 4 + 8a = 2 (1 + 2a )
7.
⇒ 18a 2b ( x − 2 y )
mcm 5x y ( x − 1) 4
14 x = 7 ⋅ 2 x
2
x2 y3 = x2 y3
x y = x2 y 2
6.
)
xy 2 = xy 2
2
2
mcm 3 ⋅ 2a 2b ( x − 2 y ) 2
14. 5x 5 − 5x 4 = 5x 4 x − 1
mcm 3b (a − b)
mcm
6ab = 2 ⋅ 3ab
mcm 6a b (a − 2b)
2
5.
2
2
3b2 = 3b 2
9a 2 x − 18a 2 y = 32 a 2 ( x − 2 y )
x 2 − 4 xy + 4 y 2 = ( x − 2 y)
2a 2 = 2a 2 6ab = 2 ⋅ 3ab
2
2
21.
2
x 3 + x 2 − 6 x = x ( x 2 + x − 6)
= x ( x + 3)( x − 2)
8 x = 23 x 2 2
mcm 8 x 2 ( x + 3) ( x − 2) 2
2
)
6 x 3 + 6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2 (x + 1)
27.
28. ax − a + bx − b = a ( x − 1) + b ( x − 1) = (a + b)( x − 1)
2 x 2 − 2 x + 2 = 2 ( x 2 − x + 1)
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)
2
x + 1 = ( x + 1)( x − x + 1) 3
2
3x = 3x 3
4 xy 2 = 2 2 xy 2
3x − 3x 2 = 3x 2 ( x − 1)
3
3
mcm 2 ⋅ 3x 3 (x + 1)( x 2 − x + 1)
mcm 2 2 ⋅ 3 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) ⇒ 12 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) 2
⇒ 6 x 3 ( x + 1)(x 2 − x + 1)
29.
5ab 3 − 5b 4 = 5b 3 (a − b)
(
)
30. 14 x + 14 = 7 ⋅ 2 x + 1
12a − 24ab + 12b 2 = 2 2 ⋅ 3 (a 2 − 2ab + b 2 )
x + 2 x + 1 = ( x + 1)
2
2
2
= 2 2 ⋅ 3 (a − b)
7 x 2 + 7 = 7 ( x 2 + 1)
2
6a b = 2 ⋅ 3a b 2
2
2
28 x = 7 ⋅ 2 2 x
x 2 + 1 = (x 2 + 1 )
4b = 2 2 b 2 a = 2a
mcm 28 x ( x + 1) ( x 2 + 1) 2
mcm = 5⋅ 2 2 ⋅ 3a 2b 3 (a − b) ⇒ 60a 2b 3 (a − b) 2
2
EJERCICIO 117
( ) 11. x + y = (x + y)(x − xy + y ) (x + y) = (x + y) = a (a + b) 3x + 3 = 3 ( x + 1) mcm ( x + y) ( x − xy + y ) a + a b = a (a + b) mcm 2 ⋅ 3 ( x − 1)( x + 1) 12. x − y = ( x − y )( x + xy + y ) mcm a (a + b) ⇒ 6 ( x − 1) (x − y) = (x − y) 7. 2bx + 6bx − 8b = 2b (x + 3x − 4) 2. 10 x − 40 = 5 ⋅ 2 (x − 4) = 2b ( x + 4)( x − 1) mcm ( x − y ) ( x + xy + y ) = 5 ⋅ 2 ( x + 2)(x − 2) 3ax + 12a = 3a ( x + 4) 13. 4 x − 7 x − 2 = ( 4 x) − 7 ( 4 x ) − 8 5x + 10 = 5 (x + 2) mcm 2b ⋅ 3a ( x + 4)( x − 1) = [(4 x − 8)(4 x + 1)] ÷ 4 mcm 5⋅ 2 (x + 2)(x − 2) ⇒ 6ab ( x + 4)( x − 1) = ( x − 2)(4 x + 1) ⇒ 10 (x − 4) 8. x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2) 3. x − 4 y = ( x + 2 y )( x − 2 y ) x − 25x = x ( x − 25) mcm ( x − 2)(4 x + 1)( x + 5) x + 2 x y = x (x + 2 y) = x ( x + 5)( x − 5) + a − 30 = (a + 6)(a − 5) a 14. mcm x ( x + 2 y )( x − 2 y ) mcm x ( x + 5)( x − 5)( x − 3) a + 3a − 18 = (a + 6)(a − 3) ⇒ x (x − 4 y ) mcm (a + 6)(a − 3)(a − 5) ⇒ x ( x − 25)( x − 3) 4. x − 6 x + 9 = ( x − 3) 15. x + 2 x − 15x = x ( x + 2 x − 15) 9. ( x − 1) = ( x − 1) 3a x − 9a = 3a ( x − 3) = x ( x + 5)( x − 3) x − 1 = ( x + 1)( x − 1) mcm 3a ( x − 3) x − 9 x + 5x − 45 = x ( x − 9) + 5 ( x − 9) mcm ( x + 1)( x − 1) = ( x + 5)( x − 9) 5. 4a − 12ab + 9b = (2a − 3b) 10. ( x + 1) = ( x + 1) = ( x + 5)( x + 3)( x − 3) 4a − 9b = (2a + 3b)(2a − 3b) x + 1= x + 1 mcm x ( x + 5)( x + 3)( x − 3) mcm (2a + 3b)(2a − 3b) mcm ( x + 1)( x + 1) ⇒ x ( x + 5)( x − 9 ) (
)
3 2 2 2 2 6. a + 2a b + ab = a a + 2ab + b
1. 6 x − 6 = 2 ⋅ 3 x − 1
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x 6 − 4 x 3 − 32 = ( x 3 − 8)( x 3 + 4)
16.
15x + 15 = 5⋅ 3 ( x + 1)
= ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)(x 3 + 4)
5x − 5 = 5( x 2 − 1) = 5( x + 1)( x − 1)
ax 4 + 2ax 3 + 4ax 2 = ax 2 ( x 2 + 2 x + 4)
2
mcm 5⋅ 2 ⋅ 3( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) ⇒ 30( x 2 + 1)( x 2 − 1)
mcm ax 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)( x 3 + 4)
( ) ( )( ) 8 (x − y) = 2 (x − y ) mcm 2 ⋅ 3 ( x + y )( x − y ) ⇒ 24 ( x + y )( x − y ) 18. 5( x + y ) = 5 (x + y) 10 (x + y ) = 5⋅ 2 ( x + y ) mcm 10( x + y )( x + y) 19. 6a (m + n) = 2 ⋅ 3a (m + n) 4a b (m + n ) = 2 a b (m + n)(m − mn + n ) mcm 2 ⋅ 3 a b (m + n) (m − mn + n ) ⇒ 12 a b (m + n) (m − mn + n ) 20. ax (m − n) = ax (m − n) x (m − n ) = x (m − n)(m + mn + n ) mcm ax (m − n) (m + mn + n ) 2a + 2a = 2a (a + 1) 21. 3a − 3a = 3a (a − 1) a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1) mcm 2 ⋅ 3a (a + 1)(a − 1) ⇒ 6a (a − 1) 22. x + 2 x = x ( x + 2) x − 2 x = x ( x − 2) x − 4 = ( x + 2)(x − 2) mcm x ( x − 2)( x + 2) ⇒ x ( x − 4) 2 2 2 17. 12 x − y = 2 ⋅ 3 x + y x − y 2
2
3
2
3
2
2
2
2
x 2 − xy = x ( x − y)
mcm x ( x + y)( x − y)(a − 2b) ⇒ x ( x 2 − y 2 )(a − 2b)
2
4a 2b + 4ab 2 = 2 2 ab (a + b)
2
2
27.
6a − 6b = 2 ⋅ 3 (a − b)
3
3
2
= ( x + y)(a − 2b)
x 2 + xy = x ( x + y)
2
3
3
26. ax − 2bx + ay − 2by = x (a − 2b) + y (a − 2b)
2
2
2
10 x 2 + 10 = 5⋅ 2 ( x 2 + 1)
25.
2
2
2
3
2
2
2
2
15a − 15b = 5⋅ 3(a − b 2 ) = 5⋅ 3 (a + b)(a − b) 2
2
2
mcm 2 2 ⋅ 3⋅ 5ab (a + b)(a − b) ⇒ 60ab (a 2 − b 2 )
( )( ) x − 125 = ( x − 5)( x + 5x + 25) 2 x + 10 = 2 ( x + 5) mcm 2 ( x + 5)(x − 5)(x + 5x + 25) 29. a b − 6a b + 9ab = ab (a − 6ab + 9b ) = ab (a − 3b) a − 2ab − 3b = (a − 3b)(a + b) ab + b = b (a + b) mcm ab (a − 3b) (a + b) 2m + 2mn = 2m (m + n) 30. 4mn − 4n = 2 n (m − n) 6m n − 6mn = 2 ⋅ 3mn (m − n ) = 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) 23. x + x − 2 = ( x + 2)( x − 1) mcm 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) ⇒ 12mn (m − n ) x − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1) 31. 20 ( x − y ) = 2 ⋅ 5 ( x + y)( x − y ) x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) 15( x − y) = 5⋅ 3 ( x − y ) mcm ( x + 2)( x − 1)( x − 3) 12 ( x + y ) = 2 ⋅ 3 ( x + y ) 24. 4 + 12a + 9a = (2 + 3a ) 3a + 14a + 8 = (3a ) + 14 (3a ) + 24 mcm 2 ⋅ 5⋅ 3 ( x + y ) ( x − y ) ⇒ 60 ( x + y ) ( x − y) = [(3a + 12)(3a + 2)] ÷ 3 = (a + 4)(3a + 2) 32. ax + 5ax − 14a = a ( x + 5x − 14) = a ( x + 7)( x − 2) 6a + 13a + 6 = (6a ) + 13(6a ) + 36 x + 14 x + 49 x = x ( x + 14 x + 49) = x ( x + 7) = [(6a + 9)(6a + 4)] ÷ 3⋅ 2 = (2a + 3)(3a + 2) x + 7 x − 18 x = x ( x + 7 x − 18) = x ( x + 9)( x − 2) mcm (a + 4) (2a + 3)(3a + 2) mcm ax ( x + 7) ( x − 2)( x + 9) 3
2
3
3
3
2
2
3
3
3
2
3
3
2 28. x − 25 = x + 5 x − 5 3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 38. ( ) ( ) 16 + 8x 2 + x 4 = (4 + x 2 ) 2 2 2 = 3x ( x + 3)(x − 3) 3x − 27 x = 3x (x − 9) = (2 − x) (2 + x ) 16 − 8 x 2 + x 4 = (4 − x 2 ) 5x + 30 x + 45x = 5x ( x + 6 x + 9) = 5x ( x + 3) 16 − x 4 = (4 + x 2 )(4 − x 2 ) = (4 + x 2 )(2 + x)(2 − x) 2 2 2 mcm 2 ⋅ 3⋅ 5x (x + 3) ( x − 3) ⇒ 30 x ( x + 3) (x − 3) mcm (4 + x 2 ) (2 + x) (2 − x) 34. 3 − 3a = 3(1 − a ) = 3 (1 + a )(1 − a ) 39. 1 + a = 1 + a 6 + 6a = 2 ⋅ 3 (1 + a ) (1 + a ) = (1 + a) 12 + 12a = 2 ⋅ 3 (1 + a ) 1 + a = (1 + a )(1 − a + a ) 9 − 9a = 3 (1 − a ) mcm (1 + a ) (1 − a + a )(1 + a ) mcm 2 ⋅ 3 (1 + a )(1 + a )(1 − a ) 40. 8n − 10n − 3 = (8n) − 10 (8n) − 24 ⇒ 36 (1 + a )(1 − a ) = 36 (1 − a ) = [(8n − 12)(8n + 2)] ÷ 4 ⋅ 2 = (2n − 3)(4n + 1) 2 (3n − 2) = 2 (3n − 2) 35. 20n + 13n + 2 = ( 20n) + 13 ( 20n) + 40 135n − 40 = 5 (27n − 8) = 5 (3n − 2)(9n + 6n + 4) = [(20n + 8)(20n + 5)] ÷ 4 ⋅ 5 = (5n + 2)(4n + 1) 12n − 8 = 2 (3n − 2) 10n − 11n − 6 = (10n) − 11(10n) − 60 = [(10n − 15)(10n + 4)] ÷ 5⋅ 2 = (2n − 3)(5n + 2) mcm 5⋅ 2 (3n − 2) (9n + 6n + 4) mcm (2n − 3)(5n + 2)(4n + 1) ⇒ 20(3n − 2) (9n + 6n + 4) 41. 6a + ab − 2b = 36a + 6ab − 12b 36. 12mn + 8m − 3n − 2 = 4m (3n + 2) − (3n + 2) = [(6a + 4b)(6a − 3b)] ÷ 2 ⋅ 3 = (4m − 1)(3n + 2) = (3a + 2b)(2a − b) 48m n − 3n + 32m − 2 = 16m (3n + 2) − (3n + 2) (15a) + 22b (15a ) + 120b + + = 15 a 22 ab 8 b = (16m − 1)(3n + 2) = [(15a + 12b)(15a + 10b)] ÷ 3⋅ 5 = (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2) = (5a + 4b)(3a + 2b) 6n − 5n − 6 = (6n) − 5( 6n) − 36 10a + 3ab − 4b = (10a) + 3b (10a) − 40b = [(6n − 9)(6n + 4)] ÷ 3⋅ 2 = [(10a + 8b)(10a − 5b)] ÷ 2 ⋅ 5 = (2n − 3)(3n + 2) = (5a + 4b)(2a − b) mcm (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2)(2n − 3) mcm (3a + 2b) (2a − b)(5a + 4b) ⇒ (16m − 1) (3n + 2)(2n − 3)
33. 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x = 2 x x 2 − 6 x + 9 = 2 x x − 3 4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3 2 3 2 37. 15a x + 16a x − 15a x = a x (15x + 16 x − 15) 2
5
2
[
]
2 = a 2 x 3 (15x ) + 16 (15x ) − 225
=a x 2
3
18 x + 60x + 50 x = 2 x (9 x + 30 x + 25) 2
[
= (3x + 2 y )(4 x − y )
15x + 13xy + 2 y = (15x ) + 13 y (15x ) + 30 y 2 2
]
2 = 2 x ( 9 x ) + 30 ( 9 x ) + 225
[
[
]
= (3x + 2 y )(5x + y )
20 x 2 − xy − y 2 = (20 x ) − y (20 x ) − 20 y 2 2
[
12ax 3 + 20ax 2 = 2 2 ax 2 (3x + 5)
= (4 x − y )(5x + y )
2
= 4a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3) 2
]
= (20 x − 5 y )(20 x + 4 y ) ÷ 5⋅ 4
2
mcm = 22 a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3)
]
= (15x + 10 y )(15x + 3 y ) ÷ 5⋅ 3
= 2 x (9 x + 15)(9 x + 15) ÷ 3⋅ 3 = 2 x (3x + 5)
2
2
2
[
]
= (12 x + 8 y )(12 x − 3 y ) ÷ 4 ⋅ 3
[(15x + 25)(15x − 9) ÷ 5⋅ 3]
= a 2 x 3 (3x + 5)(5x − 3)
3
2 2 2 42. 12 x + 5xy − 2 y = (12 x ) + 5 y (12 x ) − 24 y 2
4
mcm
(4 x − y)(5x + y)(3x + 2 y)
6b 2 x 2 + 6b 2 x 3 = 2 ⋅ 3b 2 x 2 (1 + x )
43.
( b (a
3a 2 x − 3a 2 x 2 = 3a 2 x (1 − x )
2
[ ] = b [a (a + b)] = a b (a − b)
x 4 + 8x − 4 x 3 − 32 = x 3 (x − 4) + 8 ( x − 4) 48.
2
m3 − 27n3 = (m − 3n)(m2 + 3mn + 9n2 ) m2 − 6mn + 9n2 = (m − 3n)
a 2 x 4 − 2a 2 x 3 − 8a 2 x 2 = a 2 x 2 ( x 2 − 2 x − 8)
2
m2 + 3mn + 9n 2 = (m2 + 3mn + 9n 2 )
= a 2 x 2 (x − 4)( x + 2)
mcm (m − 3n) (m2 + 3mn + 9n2 )(m + 3n)
2 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 = 2 x 2 (x 2 − 2 x + 4)
= ( x 4 − 6 x 2 + 9) − 4 x 2
2
m2 − 9n2 = (m − 3n)(m + 3n)
= ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)(x − 4)
x 4 − 10 x 2 + 9 = ( x 4 − 10x 2 + 9 + 4 x 2 − 4 x 2 )
= a 2b (a + b)
2
2
mcm 2a 2 x 2 ( x + 2)(x 2 − 2 x + 4)( x − 4)
2
mcm a 2b 2 (a + b) (a − b)
⇒ 6a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 − x 2 )
= ( x 3 + 8)( x − 4)
= ab2 (a − b)
2
a 2b − ab2 = ab (a − b)
mcm 2 ⋅ 3a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x )
45.
2
2
a 4b 2 − a 2b 4 = a 2b 2 (a 2 − b 2 ) = a 2b 2 (a + b)(a − b)
1 − x 4 = (1 + x 2 )(1 − x 2 ) = (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x )
44.
) + ab)
2 47. a ab − b
2
EJERCICIO 118 1.
a2 a = ab b
10.
21mn3 x 6 3nx 4 = 28m4n2 x 2 4m3
= ( x − 3)( x + 1)( x + 3)( x − 1)
2.
2a 1 = 8a 2b 4ab
11.
42a 2c 3n 21n = 26a 4 c 5m 13a 2 c 2m
= ( x + 4 x + 4) − 1
x 2y 2 1 3. x 3 y 3 = xy
7x 3 y 4 z6 1 = 12. 34x 7 y 8z10 2x 4 y 4 z4
ax 3 a = 4. 4x 5 y 4x 2 y
13.
30x 6 y 2 2x 2 y 2 = 3 3 3 4 3 45a x z 3a z
14.
a 5b 7 1 = 3a 8b 9c 3a 3b2 c
15.
21a 8b10 c12 a 4b 9c10 = 63a 4bc 2 3
= ( x 2 − 3) − 4 x 2 2
= ( x 2 − 2 x − 3)( x 2 + 2 x − 3) x + 4 x + 3 = ( x 2 + 4 x + 3 + 1− 1) 2
2
= ( x + 2) − 1 2
= ( x + 2 + 1)( x + 2 − 1) = ( x + 3)( x + 1)
x 2 − 4 x + 3 = ( x 2 − 4 x + 3 + 1 − 1) = ( x 2 − 4 x + 4) − 1
2 3
= ( x − 2) − 1
5.
2
= ( x − 2 + 1)( x − 2 − 1) = ( x − 1)( x − 3)
x 3 − 9 x + x 2 − 9 = x 2 ( x + 1) − 9 ( x + 1) = ( x 2 − 9)( x + 1)
= ( x + 3)( x − 3)( x + 1)
(x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) 1 − a = (1 − a )(1 + a + a ) 46. 1 − a = (1 − a ) 1 − a = (1 + a )(1 − a ) 1 − 2a + a = (1 − a ) mcm (1 − a ) (1 + a + a )(1 + a ) mcm
3
⇒ ( x 2 − 9)( x 2 − 1)
6m n = 2mn3 3m
9x 2 y 3 3 = 6. 24a 2 x 3 y 4 8a 2 xy
7.
2
8.
8m4n3 x 2 m3n = 24mn2 x 2 3 12x 3y 4 z5 3x 2 y 2 z4 = 32xy 2 z 8
2
2
2
2
2
9.
12a 2b3 1 = 60a 3b5 x 6 5ab 2 x 6
54x 9 y11z13 6 = 16. 63x10 y12 z15 7xyz2
17.
a 15a12b15 c 20 = 75a11b16 c 22 5bc 2
18.
75a7m5 3a 4 = 100a 3m12n3 4m7n3
EJERCICIO 119 3ab
3ab
3b
= 1. 2a 2 x + 2a 3 = 2 2a x + a 2a x + a
(
)
(
)
15. 2ax + ay − 4bx − 2by ax − 4a − 2bx + 8b
xy xy 1 2. 3x 2 y − 3xy 2 = 3xy x − y = 3 x − y ( ) ( ) 2ax + 4bx 2 x (a + 2b) 2 x = 3. 3ay + 6by = 3 y (a + 2b) 3 y
10a 2b 3c
5.
16.
x 2 − 2 x − 3 ( x − 3)( x + 1) = = x+1 x−3 x−3
4.
a 2b 3c
=
= = 80 (a 3 − a 2b) 8a 2 (a − b) 8 (a − b)
(x + 2)(x − 2) = x − 2 x2 − 4 6. 5ax + 10a = 5a 5a ( x + 2)
2
2
2
2
2
2
2
m −n 2
2
2
(a − x)
3
20.
a 3 − x3
2
2
(m − n) = m − n (m + n)(m − n) m + n 2
=
(a − x) (a − x) = = (a − x)(a + ax + x ) a + ax + x 3
2
2
2
2
2
[(a + 1)(1− a)] = (1− a) = + 2a + 1 a+1
(1− a )
2
2 2
22. 2 a
2
(
2 x 3 + 4 x 2 − 21x x (x + 4 x − 21) (x + 7)(x − 3) x + 7 = = = 12. x3 − 9x x ( x 2 − 9) (x + 3)(x − 3) x + 3 2 13. 6 x + 5x − 6
15x 2 − 7 x − 2
( 6 x ) 2 + 5 ( 6 x ) − 36 (15x) 2 − 7 (15x ) − 30
[(6x + 9)(6x − 4)]÷ 3⋅ 2 = (2 x + 3)(3x − 2) = 2 x + 3 = [(15x − 10)(15x + 3)]÷ 5 ⋅ 3 (3x − 2)(5x + 1) 5x + 1 1 a3 + 1 a3 + 1 a3 + 1 = = = 14. a 4 − a 3 + a − 1 3 3 a (a − 1) + (a − 1) (a + 1)(a − 1) a − 1
)
2 4
x2 − y2
(x + y)(x − y) ( )( )
x+ y
= = 24. 3 x − y 3 x − y x 2 + xy + y 2 x 2 + xy + y 2
(a − 2b) a 2 − 4ab + 4b 2 a − 2b = = 3 3 a − 8b (a − 2b)(a 2 + 2ab + 4b2 ) a 2 + 2ab + 4b2 25. 2
2
2
a 2b 2 (a 2 − b 2 ) a b −a b a 2b 2 = = 23. a 4 − b4 (a 2 + b2 )(a 2 − b2 ) a 2 + b2 4 2
2
=
2
3
a 2 − a − 20 (a − 5)(a + 4) a + 4 = 21. a 2 − 7a + 10 = (a − 5)(a − 2) a − 2
2
11.
2
=
(m − n)
2
2
2
(x + y)(x − xy + y ) = x − xy + y (x + y) (x + y) ( x + y) 3
2
2
2
(a − 3b)(a + 2b) = (a − 3b)(a + 2b) = a + 2b ax (a − 3b) ax (a − 3b)
ax (a 2 − 6b + 9b 2 )
2
( 3x ) 2 − 4 ( 3x ) − 45
2
(2 x + y)(a − 2b) = 2 x + y (x − 4)(a − 2b) x − 4
a 2 − ab − 6b 2 a x − 6a 2bx + 9ab 2 x
x3 + y3
19.
(x − 3)(x − 2) [(3x − 9)(3x + 5)] ÷ 3 = (x − 3)(3x + 5) = 3x + 5 = (x − 3)(x − 2) x − 2 (x − 3)(x − 2) 15a b (n − 3m) 15a bn − 45a bm 3 = = 8. 10a b n − 30a b m 10a b (n − 3m) 2b (x + y)(x − y) = x − y x −y 9. x + 2 xy + y = x+ y ( x + y) 3xy ( x + 5) 3x y + 15xy 3xy = = 10. x − 25 (x + 5)(x − 5) x − 5
=
1 m2 + n 2 m2 + n 2 = = 2 2 17. m4 − n 4 2 2 2 2 (m + n )(m − n ) m − n 18.
2 7. 3x − 4 x − 15 x 2 − 5x + 6
=
x (a − 2b) − 4 (a − 2b)
3
=
b 3c
2 x (a − 2b) + y (a − 2b)
24a 3b + 8a 2b 2 36a 4 + 24a 3b + 4a 2b 2 =
8a 2b (3a + b)
4a (9a 2 + 6ab + b 2 ) 2
n3 − n 26. 2 n − 5n − 6 = 27.
n (n 2 − 1)
(n − 6)(n + 1)
8n3 + 1 8n 3 − 4n 2 + 2n
2b (3a + b)
(3a + b)
2
2
=
n (n + 1)(n − 1) n (n − 1) = (n − 6)(n + 1) n − 6
(2n + 1)(4n − 2n + 1) = 2n + 1 2n 2n (4n − 2n + 1 ) 2
=
=
=
2b 3a + b
2 28. a − (b − c) (a + b)2 − c2 2
(a + b − c)(a − b + c) = a − b + c = (a + b − c)(a + b + c) a + b + c 29. (a + b) − (c − d ) (a + c) − (b − d ) (a + b + c − d )(a + b − c + d ) = (a + b + c − d )(a − b + c + d ) 2
2
2
2
= =
40.
=
2
(4a )
− 15(4a 2 ) − 16
3 2 44. 15a b − 18a b 2 2 20a b − 24ab 2
4
2
2
41.
3
2
46.
x ( x + 4 xy + 16 y
x − 3xy
)
x (x − 3 y
35. x 4 − 6 x 2 y 2 + 9 y 4 = 2 x − 3y 2
(
2
)
)=
2
42.
m − 27
mn (m2 + 3m + 9)
(m − 3)(m
=
x = x 2 − 3y 2
3
2
=
+ 3m + 9)
=
a (125 + a 3 )
2a (a + 10a + 25) 2
(5 + a)(25 − 5a + a ) 2 (a + 5) 2
3 2 36. m n + 3m n + 9mn
=
=
= 2
2
mn m− 3
2 2 x 4 − 8 x 2 + 15 ( x − 5)( x − 3) x 2 − 5 = 2 = 4 37. x −9 (x + 3)(x 2 − 3) x 2 + 3 2 2 a 4 + 6a 2 − 7 (a + 7)(a − 1) a 2 + 7 = 2 = 38. 4 2 a + 8a − 9 (a + 9)(a 2 − 1) a 2 + 9
16a 2 x − 25x 12a 3 − 7a 2 − 10a
125a + a 4 3 2a + 20a 2 + 50a
2
2
2
2
2
x − 4y
2
2
(x − 4 y) = x ( x − 64 y ) ( x − 4 y) = x ( x − 4 y)( x + 4 xy + 16 y ) 2
2
2
2
x 5 − 64 x 2 y 3
3
3m + 8n m2 + mn + n 2
2
a − 10
2
2
2
2
2
2
2
2
( x − 4 y)
=
2
2
x 2 ( x − 6) x 2 x 3 − 6x 2 = 33. x 2 − 12 x + 36 = (x − 6)2 x − 6
2
2
2
2
a (4a 2 − 8ab) 4a 2 (a − 2b) 4a = = 32. x (3a 2 − 6ab) 3ax (a − 2b) 3x
3
2
3a b (5a − 6) 3a (a − 10)(a + 2) = = 4ab (5a − 6) 4b ([ 4a − 16)(4a + 1)] ÷ 4 = (a − 10)(a + 2) 45. 9 x − 24 x + 16 9 x − 16 x a − 4)(4a + 1) ( = (3x − 4) (a − 10)(a + 2) = x (9 x − 16) (a + 2)(a − 2)(4a + 1) = (3x − 4) 3x − 4 (a − 10)(a + 2) = = x (3x + 4)(3x − 4) x (3x + 4) (a − 2)(4a + 1) =
10a 2 (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) 5 (a + b) = 3 6a 2 (a 2 − ab + b 2 )
2
(m − n)(m + mn + n ) [(3m + 8n)(3m − 3n)] ÷ 3 = (m − n)(m + mn + n ) (3m + 8n)(m − n) = (m − n)(m + mn + n ) =
4a − 15a − 4 a 2 − 8a − 20
( 3m) 2 + 5n ( 3m) − 24n 2
2
(x + 5)(3x + 4) = x + 5 (3x + 4)(2 x + 3) 2 x + 3
2 2
10a 2 (a 3 + b 3 ) 31. 6a 4 − 6a 3b + 6a 2b2
=
[(3x + 15)(3x + 4)] ÷ 3 [(6 x + 8)(6x + 9)]÷ 2 ⋅ 3
4
2 3x 3 + 9 x 2 3x ( x + 3) 3x 2 = 30. x 2 + 6 x + 9 = (x + 3)2 x + 3
34.
m3 − n 3
(3x ) 2 + 19 ( 3x) + 60 = ( 6 x) 2 + 17 (6 x ) + 72
a + b− c+ d = a− b+ c+ d
=
2 2 43. 3m + 5mn − 8n
2 39. 3x + 19 x + 20 6 x 2 + 17 x + 12
a 2 − 5a + 25
=
=
2 (a + 5)
a 2 n2 − 36a 2 an 2 + an − 30a =
=
2
47.
a (n + 6)(n − 6)
=
n−5
[
x (4a + 5)(4a − 5)
2 a (12a ) − 7 (12a ) − 120
[
x (4a + 5)(4a − 5)
x (4a + 5)(4a − 5)
a (4a − 5)(3a + 2)
]
=
x(4a + 5)
a (3a + 2)
x (8 x 3 − y 3 )
x (4 x 2 − 4 xy + y 2 ) 2
(2 x − y)(4 x + 2 xy + y ) x (2 x − y ) 2
=
]
a (12a − 15)(12a + 8) ÷ 3⋅ 4
8 x 4 − xy 3 4x − 4x3 y + x2 y2 =
(n + 6)(n − 5) a (n − 6) =
a (12a 2 − 7a − 10)
4
a 2 (n 2 − 36)
a (n2 + n − 30)
x (16a 2 − 25)
2
2
4 x 2 + 2 xy + y 2 x (2 x − y )
53. 4a 2 − ( x − 3)
48. 3an − 4a − 6bn + 8b 6n2 − 5n − 4
=
2
3n (a − 2b) − 4 (a − 2b)
( 6n) 2 − 5 ( 6n) − 24
(3n − 4)(a − 2b) [(6n − 8)(6n + 3)]÷ 2 ⋅ 3 (3n − 4)(a − 2b) = a − 2b = (3n − 4)(2n + 1) 2n + 1 2
50.
+ 7 x )( x 2 − 7 x )
=
x 2 ( x + 7)( x − 7) x ( x + 7) = x+9 x ( x + 9)( x − 7)
=
x 3 (x − y) + (x − y )
55.
x 2 (x − y) − (x − y)
(x 3 + 1)(x − y)
51. 2 x + 6 x − x − 3
x 3 + 3x 2 + x + 3
2 x 2 ( x + 3) − ( x + 3) x 2 ( x + 3) + (x + 3)
(2 x − 1)(x + 3) = 2 x − 1 = (x + 1)(x + 3) x + 1
=
a (m + n)(a 2 − 4) a 2 (a − 6)(a + 2)
(m + n)(a + 2)(a − 2) a (a − 6)(a + 2) m + n)(a − 2) ( = a (a − 6) =
2x2 + 1
]
2
2x2 + 1
=
=
x (14 x 2 − 10)(14 x 2 + 7) ÷ 2 ⋅ 7
=
1 = x (7 x − 5)(2 x 2 + 1) x (7 x 2 − 5)
[
]
=
2x2 + 1
2
= 57.
=
a (1 − a ) + (1 − a ) 2
(a (a
2 2
− 1)(1 − a ) a 2 − 1 = 2 + 1)(1 − a ) a + 1
=
6 xy (2 x + y ) + (8 x 3 + y 3 )
=
− (8 x 2 − 2 x − 3) − (6x 2 − 5x − 4)
(8 x) 2 − 2 (8x ) − 24 (6 x) 2 − 5( 6x ) − 24
[(8x − 6)(8x + 4)] ÷ 2 ⋅ 4 [(6x − 8)(6x + 3)] ÷ 2 ⋅ 3
(4 x − 3)(2 x + 1) = 4 x − 3 (3x − 4)(2 x + 1) 3x − 4
(mn + 5)(mn − 2) = mn + 5 mn − 2 (mn − 2) 2
x 2 ( x + y ) − 4b 2 ( x + y)
(2b − x) ( x − 4b )(x + y) = (x − 2b) ( x + 2b)(x − 2b)(x + y) = (x − 2b) (x + 2b)( x + y) = 2
2
2
6 xy (2 x + y ) + (2 x + y )(4 x − 2 xy + y
[(6x + 3y)(6 x − 2 y)] ÷ 3 ⋅ 2 2
2
)
2
(2 x + y )(4 x + 4 xy + y ) = (2 x + y ) 3x − y (2 x + y )(3x − y ) 2
(x + 3)( x − 2) = x − 2 (x − 5)(x + 3) x − 5
2
(6 x ) 2 + y ( 6 x ) − 6 y 2
2
=
− ( x 2 − 2 x − 15)
3 2 2 2 62. x + x y − 4b x − 4b y 2 2 4b − 4bx + x
8 x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3 6 x 2 + xy − y 2 =
− ( x 2 + x − 6)
2 2 + − 61. m n 3mn 2 10 4 − 4mn + m n 2
a 2 (1 − a ) − (1 − a )
=
2
a 2 (a 2 − 4a − 12)
=
x (14 x 2 ) − 3(14 x 2 ) − 70
2
am (a 2 − 4) + an (a 2 − 4)
=
2 3 56. a − a − 1 + a 2 a + 1− a3 − a
3 3 52. a m − 4am + a n − 4an a 4 − 4a 3 − 12a 2
=
6 − x − x2 15 + 2 x − x 2
4 + 5x − 6 x 2
3x (14 x 4 − 3x 2 − 5)
[
2
2 60. 3 + 2 x − 8 x
3(2 x 2 + 1)
2
2
4n 2 + 10n + 25 2n − 5
=
6x 2 + 3 5 42 x − 9 x 3 − 15x
=
x2 − x + 1 x−1
2
=
=
m+ n m+ n = a 2 − 2a + 1 (a − 1)2
=
2
=
3
2
3
(2n − 5)(4n + 10n + 25) (2n − 5)
2
(x − 1)(x − y) (x + 1)(x − x + 1) = (x + 1)(x − 1)
=
=
2
x4 + x − x3 y − y x3 − x − x2 y + y =
59.
(1− a ) − 3a (1− a) (m + n)(1− a) = (1− a)(1+ a + a ) − 3a (1− a) (m + n)(1− a) = (1− a)(1− 2a + a )
x ( x 2 + 2 x − 63)
=
m (1 − a ) + n (1 − a )
=
8n 3 − 125 25 − 20n + 4n 2 2
2a − x + 3 = 2a + x + 3 m − am + n − an 54. 1 − 3a + 3a 2 − a 3
x 4 − 49 x 2 3 x + 2 x 2 − 63x
(x =
58.
2
=
49.
(2a + x) − 9 (2a + x − 3)(2a − x + 3) = (2a + x + 3)(2a + x − 3)
2
x − 2b
63.
x6 + x3 − 2 4 x − x3 y − x + y
(x + 2)(x − 1) x (x − y ) − ( x − y) (x + 2)(x − 1) = x + 2 = (x − 1)(x − y) x − y 64. (x − x − 2)(x − 9) (x − 2 x − 3)(x + x − 6) (x − 2)(x + 1)(x + 3)(x − 3) = 1 = (x − 3)(x + 1)(x + 3)(x − 2) 3
=
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2 2 65. (a − 4a + 4)(4a − 4a + 1) 2 2 (a + a − 6)(2a − 5a + 2) 2
2
2
−2 4 1 −2 −3 1 −2
= ( x + 2)( x + 2)(x − 1) 2
1 −1
x 3 + x 2 − 8 x − 12 1 1 − 8 − 12 −2 2 12 1 −1 − 6 0
−2
= ( x + 2)( x − 3)( x + 2) = ( x + 2) ( x − 3) 2
(x =
(x 4
3
− 3x)( x 3 − 1)
+ x 3 + x 2 )( x 2 − 1)
(x + 2) (x − 1) = x − 1 (x + 2) (x − 3) x − 3 2
67.
2
2
2
2
2
2
2
2
(x − y )(x + y) (x − y )(x + x y + xy + y ) (x + y )(x − y )(x + y) = ( x − y )[ x ( x + y ) + y ( x + y ) ] (x + y )(x + y) = x + y = (x + y )(x + y) x + y 6
3
6
3
3
1 −6
2
3
2
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
2
2
2
(x + 2)(x − 1)(x
− x − 4)
x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 24 1 − 2 − 9 10 24 − 2 − 2 8 2 − 24 1 − 4 − 1 12 0
(x + 2)(x
− 4 x 2 − x + 12)
3
−1 12 − 3 − 12
3 1 −1
−4
3
0
(x + 2)(x − 3)(x − x − 4) (x + 2)(x − 1)(x − x − 4) = x − 1 ⇒ (x + 2)(x − 3)(x − x − 4) x − 3 2
= ( x − 2) ( x + 3)
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 20x − 12 1 − 2 − 7 20 − 12 2 2 0 − 14 1 0 −7 6
(x − 2)( x
1
0
3
12 0
− 7 x + 6)
−7
6
2
2 4 −6 1 2 −3 0
= ( x − 2)( x − 2)( x 2 + 2 x − 3) = ( x − 2) ( x + 3)( x − 1) 2
(x − 2) (x + 3) (x − 2) (x + 3)( x − 1) 2
⇒
2
=
1 x −1
2
5 3 2 72. a − a − a + 1
= a 2 (a 3 − 1) − (a 3 − 1)
0
2
(4n + 4n − 3)(n + 7n − 30) (2n − 7n + 3)(4n + 12n + 9) [(4n) + 4 (4n) − 12](n + 10)(n − 3) = [(2n) − 7 (2n) + 6](2n + 3) (n + 10)(n − 3)[(4n + 6)(4n − 2)]÷ 2 ⋅ 2 = (2n + 3) [(2n − 6)(2n − 1)]÷ 2 ⋅ (n + 10)(n − 3)(2n + 3)(2n − 1) = n + 10 = (2n + 3) (n − 3)(2n − 1) 2n + 3 3
2
2 − 12
= ( x − 2)( x + 3)( x − 2)
x ( x + 1)
0 2
2
2
x −3
2
68.
2
= ( x − 2)( x + x − 6)
2
2
=
70. x − x − 8 x + 12 1 − 1 − 8 12
1
x ( x + x + 1)( x + 1)(x − 1) 2
1
2
3
2
x ( x 2 − 3)( x − 1)( x 2 + x + 1)
0
−4
1 −4
2
2
66.
6 −8 4
−3 4 −1 − 4
1
= ( x + 2) ( x − 1)
⇒
8 −2
(x + 2)(x 3 − 2 x 2 − 3x + 4)
= ( x + 2)( x 2 + x − 2)
2
0 −7 −2
1
= ( x + 2)( x 2 − x − 6)
(a − 2) (2a − 1) (a + 3)(a − 2)[(2a ) − 5(2a) + 4] (a − 2)(2a − 1) = + a 3 ( )[(2a − 4)(2a − 1)] ÷ 2 (a − 2)(2a − 1) = 2a − 1 = (a + 3)(a − 2)(2a − 1) a + 3 =
71. x 4 − 7 x 2 − 2 x + 8
3 2 69. x + 3x − 4 1 3 0 −4 −2 −2 −2 4 1 1 −2 0
= (a 2 − 1)(a 3 − 1)
= (a − 1) (a + 1)(a 2 + a + 1) 2
a − 2 a − 6a 3 + 8a 2 + 5a − 6 1 −2 −6 8 5 −6 1 1 −1 − 7 1 6 1 −1 − 7 1 6 0 5
4
(a − 1)(a
− a 3 − 7a 2 + a + 6)
4
1 −1 −7 1 6 1 0 −7 −6 1 0 −7 −6 0
(a − 1) (a 2
3
1
− 7a − 6)
0 −7 −6 −1 1 6 1 −1 −6 0 1
−1
(a − 1) (a + 1)(a − a − 6) = (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2) (a − 1) (a + 1)(a + a + 1) ⇒ (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2) 2
2
2
2
2
=
a2 + a + 1
(a − 3)(a + 2)
2
(x − 3) = x − 3 9 − 6x + x 2 = 11. 2 x − 7 x + 12 ( x − 4)(x − 3) x − 4
EJERCICIO 120
2
4 ( x − 1) 4 − 4 x 4(1 − x ) 2 =− =− 1. 6 x − 6 = 3 6 ( x − 1) 6 ( x − 1) 2.
3.
a 2 − b2 12. b 3 − a 3
(a − b ) = − 1 a 2 − b2 2 2 =− b −a (a 2 − b2 ) 2
2
(m + n)(m − n) = (m + n)(m − n) = m + n = (n − m) (n − m)(n − m) (m − n)(m − n) m − n (x − 4)(x + 3) = − x + 3 x − x − 12 ( x − 4)( x + 3) = =− 16 − x (4 − x)(4 + x) (x − 4)(4 + x) 4 + x
(a + b)(a − b) (b − a)(b + ab + a ) (a + b)(a − b) = − =− (a − b)(b + ab + a ) b
=
m2 − n 2
2
2
3y − 6 x 5. 2mx − my − 2nx + ny =
13.
3 ( y − 2 x)
=
3 (2 x − y)
2x − 9x − 5 10 + 3x − x 2 2
2 (b − a ) − x (b − a )
3 ( x − 2)(a − b)
(2 − x)(b − a)
]
=
− 9(2 x ) − 10
=
(2 x − 10)(2 x + 1) = − (x − 5)(2 x + 1) = − 2 x + 1 =− (x − 5)( x + 2) ( x − 5)(x + 2) x + 2 8 − a3 7. 2 a + 2a − 8
(2 − a)(4 + 2a + a ) = − (a − 2)(4 + 2a + a ) = − a (a + 4)(a − 2) (a + 4)(a − 2) 2
2
=3
(a + x)(a − x) = (a + x)(a − x) = a + x (x − 3)(x − a) (3 − x)(a − x) 3 − x
3x (b − 2) (2 − b)(4 + 2b + b ) 3x (b − 2) 3x =− =− (b − 2)(4 + 2b + b ) 4 + 2b + b 2
2
(2 x − y) = − 2 x − y 4 x 2 − 4 xy + y 2 (2 x − y ) = =− 5 y − 10 x 5 5(y − 2 x) 5 (2 x − y ) 2
16.
(1 − a ) = − 1 − a ( ) (1 − a) 3
=−
a −1
2
2
2
17.
2 x 3 − 2 x 2 y − 2 xy 2 3 y 3 + 3xy 2 − 3x 2 y =
3m ( x − y) − n ( x − y)
2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 3y ( y + xy − x 2 ) 2
− 3m ( y 2 − x 2 ) + n ( y 2 − x 2 )
(3m − n)(x − y) = (3m − n)(x − y) = x − y = 1 = (n − 3m)( y − x ) (3m − n)(x − y ) (x + y)(x − y) x + y 2
(1 − a)
3
3mx − nx − 3my + ny 10. ny 2 − nx 2 − 3my 2 + 3mx 2
2
3bx − 6 x 8 − b3
=
+ 2a + 4 a+4
(a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = a + 2 n (1 − a) − m (1 − a ) (n − m)(1 − a ) (m − n)(a − 1) m − n
=
(x − 2)(a − b)
(a + x)(a − x)
a2 + a − 2 8. n − an − m + am
9.
3 ( x − 2)(a − b)
x (x − a ) − 3( x − a)
15. 2
=
=
2
x 2 − 3x − 10
=
a+b + ab + a 2
a2 − x2 14. x − ax − 3x + 3a
2
[(2 x) =−
2
3x (a − b) − 6 (a − b)
3 = =− =− (2 x − y)(m − n) (2 x − y)(m − n) m − n
6.
2
3ax − 3bx − 6a + 6b 2b − 2a − bx + ax =
3( y − 2 x )
2 x (m − n) − y (m − n)
2
2
2
4.
2
2
2
18.
=−
2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 3 y ( x − xy − y 2 ) 2
(a − b) = (a − b) (b − a) (a − b) 3
3
2
2
=a−b
=−
2x 3y
2 x 2 − 22 x + 60 19. 75 − 3x 2
[(2 x) =
2
25.
]
− 22 (2 x) + 120
3(25 − x 2 )
=
(2 x − 12)(2 x − 10) = 3 (5 − x)(5 + x) 2 x − 12)( x − 5) 2 (6 − x)(5 − x) 2 (6 − x ) ( = = = 3(5 − x )(5 + x ) 3(5 − x)(5 + x) 3( x + 5) 20.
=
2 2
3n2 (2a − b2 )
(b
2
− 2a )
2
21.
26.
y 2 (2 x + 1) − x 2 (2 x + 1)
(2 x + 1)(x (2 x + 1)( y
2 2
− y2 )
(x −x ) (x 2
=−
=
3n2 (2a − b 2 )
(2a − b )(2a − b ) 2
2
=
3n 2 2a − b 2
2 2
− y2 ) − y2 )
= −1
30 x 2 y − 45xy 2 − 20 x 3 8 x 3 + 27 y 3
5x (6 xy − 9 y 2 − 4 x 2 )
(2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 5x (4 x − 6 xy + 9 y ) 5x =− =− (2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 2 x + 3y 2
2
2
2
2
2
n + 1 − n3 − n2
27. 3 n − n − 2n2 + 2
(x − y ) − z ( y + z) − x (x − y − z)(x − y + z) = ( y + z − x)( y + z + x) (z + y − x)( y − x − z) = y − x − z = (z + y − x)( y + z + x) x + y + z 2
=
2 x (x 2 − y 2 ) + (x 2 − y 2 )
=
6an − 3b n b 4 − 4ab2 + 4a 2 2
2 x 3 − 2 xy 2 + x 2 − y 2 2 xy 2 + y 2 − 2 x 3 − x 2
2
(n + 1) − n (n + 1) n (n − 1) − 2 (n − 1) (1− n )(n + 1) = (1− n )(n + 1) = n + 1 = (n − 2)(n − 1) (2 − n)(1− n ) 2 − n 2
2
=
2
2
2
2
2
2
(x − 2) (x + x − 12) 28. (2 − x)(3 − x) (2 − x) ( x + 4)(x − 3) = (2 − x)(3 − x) x − 2)( x + 4)(3 − x ) ( x − 2)( x + 4) ( = = 3− x (3 − x) 2
2
2
3a 2 − 3ab 22. bd − ad − bc + ac = =
2
3a (a − b)
2
d (b − a ) − c (b − a ) 3a (a − b)
=
3a (a − b )
(d − c)(b − a) (c − d )(a − b)
=
3a c− d
2
5x 3 − 15x 2 y 29. 90 x 3 y 2 − 10 x 5
(x − 5)
3
23. 125 − x 3
( x − 5) (5 − x)(25 + 5x + x ) (x − 5) (x − 5) =− =− (x − 5)(x + 5x + 25) x + 5x + 25
10 x 3 (9 y 2 − x 2 )
=
2 x (3y − x)(3 y + x)
3
=
2
3
2
2
2
(6x 2 − 13x + 6) = − 1 13x − 6 − 6 x 2 =− 24. 2 6 x − 13x + 6 6x 2 − 13x + 6
5x 2 ( x − 3y )
=
( x − 3y )
=−
x − 3y
=
−1
2 x ( x − 3 y)(3 y + x) 2 x (3 y + x)
(x − 1)(x − 8x + 16) 30. (x − 4 x)(1− x ) (x + 1)(x − 1)(x − 4)(x − 4) = (1− x)(4 − x) = 4 − x = x x ( x − 4)(1+ x)(1− x) x (1 − x) 2
2
2
2
EJERCICIO 121 1.
a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 a 4 − a 3 x − 2a 2 x 2 + 2ax 3
Factor común a
a 3 − a 2 x + ax 2 − x 3
3.
a 3 − a 2 x − 2ax 2 + 2 x 3
− a 3 + a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3
− 6x + 8x − 2 x − 6x + 6
1
a − a x − 2ax + 2 x 2
2
− a3 + a2 x + 2ax − 2 x 2
30 x − 40 x + 10 x + 30 x − 30 30 x 3 − 30 x 2 − 72 x + 72 (÷ 6)
= a − ax
−a +a x
a +x 2
a − a x − 2a x + 2ax 2
a − ax
2
− 5. 244 x 2 + 3. 084 x + 2 .160 1
3
437 x 2 − 257 x − 180
− x − 3x − 6x − 3x − 5
x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 1
x + 3x + 6x + 3x + 5 3
2
− x 4 − 3x 3 − 5x 2
x−1
− x − 3x − 5
⇒ 2ax − ax − ax − 2ax + 2a 3
2
− 2ax 4 + 2ax 3
x + 3x + 5 2
2
ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a + 2ax − 2a
mcd x + 3x + 5 2
x + 3x + 5 2
x2 − 1
− x 2 − 3x − 5
3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a − 3ax 4 + 3ax 3
− x 4 − 3x 3 − 5x 2 x 2 + 3x + 5 − x 2 − 3x − 5 Rta.
+ ax 3 − ax 2
x 2 + 3x + 5
3ax − 3a − 3ax + 3a
x2 + 1 =
ax − a 3x 3 − x 2 + 3
− ax 3 + ax 2
x 2 + 3x + 5 x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5
ax − a 2x 3 + x 2 − 2
− ax 3 + ax 2
1
3
− x 4 − 3x 3 − 5x 2
x2 − 1 x2 + 1
= ax − a 4
x2
⇒ x + 3x + 4x − 3x − 5
=
mcd = a (x − 1)
1
x 2 + 3x + 5
2
4
(÷ 180)
x−1
− x +1
x 2 + 3x + 5 x 2 + 3x + 5
437 x
180 x − 180
− 2x 2 − 6x − 10 ÷ − 2 4
x−1
− 437 x 2 + 437 x
x 4 + 3x 3 + 4x 2 − 3x − 5 2. x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 2
(÷ − 1. 723)
− 1723x + 1723
a +x = 2 Rta. a − 2x2
x 4 + 3x 3 + 4 x 2 − 3x − 5
(− 12)
5. 244 x 2 − 3. 084 x − 2 .160 ( ÷ 12)
5 . 244 x 2 − 4 .807 x − 437
2
3
5x
2
a2 − 2x2 + 2a x − 2ax
4
12 x 2 − 11x − 1 ( 437)
− 437 x + 257 x + 180
2
− 2a 2 x 2 + 2ax 3 2
(÷ 3)
36 x − 33x − 3 − 60 x 3 + 55x 2 + 5x
− a4 + a3x 2
1
2
60 x 3 − 492 x 2 + 252 x + 180 3
( ÷ − 2)
5x 3 − 41x 2 + 21x + 15 (12)
5x − 5x 2 − 12 x + 12
2
− a 2 x 2 + ax 3 2
x
− 10 x 3 + 82 x 2 − 42 x − 30 3
− 5x 3 + 41x 2 − 21x − 15
a 2 x 2 − ax 3 3
2
− 30 x 4 + 30 x 3 + 72 x 2 − 72 x
2
a 2 − ax
4
3
mcd = a (a − x)
3
3
( 6)
5x − 5x − 12 x + 12
a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 4
1
2
4
a2 − 2x2 − 2ax 2 + 2 x 3
2
3
a− x
3
3
Factor común a
6 x 4 − 8 x 3 + 2 x 2 + 6 x − 6 (5)
6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 6 x + 6 4
3ax 2 − 3x 3 ÷ 3x 2 3
2ax 4 − ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a ( 3) 3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a (2)
2x 3 + x 2 − 2 Rta. 3x 3 − x 2 + 3
6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8 (10) 4. 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 ( 6)
Continuación
60 x 3 − 54 x 2 + 66 x + 72 (÷ 6)
60 x 3 − 130 x 2 + 180 x − 80 − 60 x 3 + 54 x 2 − 66 x − 72 − 76 x 2 + 114 x − 152 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 − 10 x + 15x − 20 x 3
2
2 x − 3x + 4
−x + x y 4
1
− x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3
(÷ − 38)
+ x3y − x2y 2 x 2 y 2 − xy 3
2 x 2 − 3x + 4
− x 2 y 2 + xy 3
(÷ 3)
2x 4 − 5x 3 y + 4x 2 y 2 − xy 3
2 x − 3x + 4 2
− 2 x 2 + 3x − 4
− 2x + 2x y 4
mcd = 2 x 2 − 3x + 4
1
6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8
+ 3x 3 y − 3x 2 y 2 x 2 y 2 − xy 3
3x − 2
− x 2 y 2 + xy 3
− 4 x 2 + 6x − 8 + 4 x 2 − 6x + 8
=
10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12
2 x 2 − 3x + 4
− 10 x + 15x − 20 x 3
5x + 3
2
6.
6a 5 − 3a 4 + 6a 3 + 6a 2 + 9
6 x − 9 x + 12
5.
− a
Rta.
3a − a + 3a + 4a Factor común x
− 2 x 3 + 5x 2 y − 4 xy 2 + y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3 − 2x3
1
(÷ y)
− y3
x2 y
x 2 − y 2 (5)
+ 2 xy 2
2x
− 5x 2 y + 6 xy 2 − y 3 − 5y 2
5x 2
6 xy − 6 y 5x 2 − 6 xy + y 2 − 5x 2 + 5xy − xy + y x− y − x+ y
x− y 1
(÷ − y)
5x 2 − 6 xy + y 2
− 5x 2 + 6 xy − y 2
1
2
+ 2a 2
+1
− a 4 − 3a 3 + 4a 2 − 3a + 5 − 3a + 6a − 3a + 6 3
2
a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5 − a 4 + 2a 3 − a 2 + 2a 5a − 5a + 5a − 5 a 3 − 2a 2 + a − 2 −1
2
−a
a2 + 1 − a2 − 1
1
(÷ − 3) a 3 − 2a 2 + a − 2
(÷ 5)
a3 − a2 + a − 1 1
(÷ − 1) a2 + 1 a
−1
2
a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5
a
2
3
−a
Continúa
3a
− a − 3a + 4a − 3a + 5 (− 1) a4
− a3
mcd x ( x − y ) = x 2 − xy
a 4 + 2a 2 + 1
− 3a
3
a3 − a2 + a − 1
(÷ − y)
+5
2
− 6a 3
− a
x− y 5x
2
− 3a 5
3
− a3 + a2 − a + 1
(÷ 6 y)
2
4
4
2 x 3 − 4 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3
(÷ − 1)
2
5
x 4 − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 − xy 3 (2) 2 x 4 − 5x 3 y + 4 x 2 y 2 − xy 3
1
− 2a − 1
4
Rta.
6a 5 − 2a 4 + 6a 3 + 8a 2 + 10 (÷ 2)
− 6a 5 + 2a 4 − 6a 3 − 8a 2 − 10
− 6 x 2 + 9 x − 12 3x − 2 5x + 3
x 2 − xy + y 2 2x 2 − 3xy + y 2
2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3 ( 3) 3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 (2)
2
=
x 2 − xy 2x 2 − 3xy + y 2
3
− 3x 3 y + 4x 2 y 2
2 x 2 − 3x + 4
− 6 x 3 + 9 x 2 − 12 x
x 2 − xy x 2 − xy + y 2
3
5x
6 x 2 − 9 x + 12 2
x 4 − 2x 3y + 2x 2 y 2 − xy 3
5.
(÷ − 1)
a2 + 1 1
mcd = a 2 + 1 Continúa
Continuación
Continuación
6. ⇒ 2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3
− 2a 5
a2 +1
− 2a 3 −a
1− 2x − x 2 − 2x 3 + x 4
7.
2a 3 − a 2 + 3
− 1− x − x
+ 2a + 3
4
2
+ a4
+ 3x + 3x 2 + 3x 3 x 2 + x 3 + x4
− 3a 2 − 3
− x2 − x3 − x4
3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 − 3a
− 3a −a
=
a2 + 1 3a − a + 5
3
3
2
2
+ a4
3m3 + 3m2 n + mn + n 2
= m (3m2 + n) + n (3m2 + n)
− 5a 2 − 5
7.
2a 3 − a 2 + 3 3a 3 − a 2 + 5
1− x
2m3 + 2m2 n − mn 2 − n 3 m + n − 2m3 − 2m2 n
− x +x
1− 2 x − x − 2 x + x
4
2
− 1+ 2 x + x 2 + 2 x 3 − x4 1− 2 x − x − 2 x + x 2
3
+ mn2 + n3 1+ x + x
3 + 3x + 3x
3m + 3m n + mn + n 2
( 3)
3m2 + n
2
mn + n 2 − mn − n 2
2
3+ 2x + 2x − x 2
3
(÷ x ) 1+ x + x
− 3 − 3x − 3x 2
9.
2
−x +x
1+ x + x
3
4
+ 30 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 2
2
a
− 26a 2 + 2a 3
− 18a
3
4
3a 4 − 2a 2 + 5 − 3a + 2a − 5 4
− x 2 − x3 − x 4
Continúa
2
+ 65
3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30 − 3a 5
x 2 + x3 + x 4
3
(÷ − 1)
3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30
− 6a 5 + 36a 4 + 4a 3 − 24a 2 − 10a + 60 2 39a 4
− 2x − x 2 − x 3 + x 4 + 2 x + 2x + 2x
− 2a 2
+ 2a − 10a − 5a
4
6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
2
1− 2x + x
2
Rta.
− 3a + 18a + 2a − 12a − 5a + 30
mcd = 1 + x + x 2 4
5
5
1+ x + x 2 1
+ 14a 4
− 6a − 3a + 4a 6
(÷ − x)
− x − x2 − x3
2m2 − n 2 3m2 + n
6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 ( 2) 3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15 6a 6
3
3
=
1
3
m+ n
− 3m − 3m n 3
(÷ − x)
3+ 2x + 2x − x
2
x + x2 + x3
2
2
2
1
− 3− 2x − 2x2 + x3
− 1− x − x
2m2 − n 2 − mn 2 − n 3
3
4
− 3x − 2 x 2 − 2 x 3 + x 4
⇒ 1− x
4
1
− 1− x − x 2
− 1− x − x 2
3
(÷ x)
x + x2 + x 3
= (m + n)(3m2 + n)
mcd = m + n
Rta. 3
1+ x + x 2
Rta.
= m (2m2 − n 2 ) + n (2m2 − n 2 ) = (m + n)(2m2 − n 2 )
+ a2 5a 2 + 5
=
1− 2x + x 2 1− 3x + x 2
3 2 2 3 8. 2m + 2m n − mn − n
+ 4a + 5
4
1− 3x + x 2
− 3x − 2x 2 − 2x 3 + x 4
+ a2 3a 2 + 3
5
1+ x + x 2
2
2
− 5a + 12a 2
− 30
(÷ 13) 3a 4 − 2a 2 + 5 a
(÷ − 6)
3a 4 − 2a 2 + 5 1
mcd = 3a 4 − 2a 2 + 5
Continúa
Continuación
6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
9.
− 6a
+ 4a
5
3a 4 − 2a 2 + 5
− 10a
3
3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15
2a + 1
− 3a + 2a − 5a 6
4
3a 4 − 2a 2 + 5 a2 + 3
2
3a 4
− 2a 2
+5
9a 4 − 6a 2 + 15
− 3a 4
+ 2a 2
−5
− 9a 4 + 6a 2 − 15
=
2a + 1 a2 + 3
Rta.
5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 (3) (5)
10. 3x 6 − 6 x 4 + 11x 3 + 2 x − 4
15x 6 − 30x 4 + 63x 3 − 6x + 12 15x 6 − 30x 4 + 55x 3 + 10x − 20 (÷ 5)
− 15x 6 + 30x 4 − 55x 3 − 10 x + 20 1
(÷ 8)
8x 3 − 16x + 32 3x − 6x + 11x + 2 x − 4 6
4
x3 − 2x + 4
3
− 3x 6 + 6x 4 − 12 x 3
3x 3
(÷ − 1)
− x3 + 2 x − 4 x − 2x + 4 3
− x3 + 2x − 4
x3 − 2 x + 4 mcd = x 3 − 2 x + 4
1
5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 − 5x + 10x − 20x 6
4
x3 − 2x + 4
3x 6 − 6x 4 + 11x 3 + 2 x − 4
5x + 1
3
− 3x + 6 x − 12 x
3
6
4
x3 − 2x + 4 3x 3 − 1
3
x3 − 2x + 4
− x3 + 2 x − 4
− x3 + 2x − 4
+ x3 − 2x + 4
=
6 5 4 3 2 11. n − 3n − n + 3n + 7n − 21n
5x 3 + 1 3x 3 − 1
Rta.
= n5 (n − 3) − n3 (n − 3) + 7n (n − 3) = (n − 3)(n5 − n 3 + 7n)
n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n2 + 14n
= n5 (n + 2) − n3 (n + 2) + 7n (n + 2) = (n + 2)(n5 − n3 + 7n) n6 − 3n5 − n4 + 3n3 + 7n2 − 21n
− n6
+ n4 − 3n
+ 3n5 12.
− 7n2 + 3n
5
n5 − n 3 + 7n n− 3
− n6
− 21n
2n
− 3n3
+ 21n
− 2 n5
− a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 10a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a − 2a − 3a + 12a − 21a + 8 4
3
2
2a + 4a − 10a + 20a + 8a − 20a + 32 5
4
3
− 2a − 3a + 12a − 21a + 8a 6
5
+ n4
3
a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8
6
n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n 2 + 14n
4
3
2
2
5
− 7n2 − 2n
n5 − n3 + 7n n+ 2
3
+ 14n
+ 2n3
− 14n
a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 ( 2) a
(÷ − 1)
2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 (a ) a2
a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32 2a + 3a 4 − 12a 3 + 21a 2 − 8a 5
− 2a 5 − 4a 4 + 2a 3 − 32a 2 + 40a − 64 − a − 10a − 11a + 32a − 64 4
3
2
a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32 2
(− 1)
Continúa
=
n− 3 Rta. n+ 2
Continuación 5 4 12. a + 2a −
a 4 + 10a 3 + 11a 2 − 32a + 64 ( 2)
a 3 + 16a 2 − 20a + 32
− a 5 − 10a 4 − 11a 3 + 32a 2 − 64a
a
− 8a − 12a + 48a − 84a + 32 4
3
2
2a 4 + 20a 3 + 22a 2 − 64a + 128 − 2a 4 − 3a 3 + 12a 2 − 21a + 8
1
(÷ 17)
17a + 34a − 85a + 136 3
2
2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 − 2a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a − a − 2a 3
2
a + 2a − 5a + 8 3
(÷ − 4)
2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8
a 3 + 2a 2 − 5a + 8 2a
+ 5a − 8
(− 1)
a + 2a − 5a + 8
2
3
− a 3 − 2a 2 + 5a − 8
2
mcd = a 3 + 2a 2 − 5a + 8
1
a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 − a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 8a 4
a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 4
a4 + 1
− a 6 − 2a 5 + 5a − 8a 3
a + 2a − 5a + 8 3
2
2a
− a 3 − 2a 2 + 5a − 8
=
a4 + 1 a3 + 2
3
a3 + 2 + 4a − 10a + 16 2
− 2a 3 − 4a 2 + 10a − 16
Rta
EJERCICIO 122 5x 2x + y 10x 2 + 5xy ⋅ = 2 15. 2x + y 2x + y 4x + 4xy + y 2
a 2 2a 2a 3 ⋅ = 2 8. a + 2 2a 2a + 4a
3 2a 6a ⋅ = 2a 2a 4a 2 5 4a 20a ⋅ = 2. 9x 2 4a 36ax 2 m 2a 2am ⋅ = 3. ab 2 2a 2a 2b 2 1.
x+3 x−3 x2 − 9 ⋅ = 2 16. x + 1 x − 3 x − 2x − 3
3a a + b 3a 2 + 3ab ⋅ = 2 9. a + b a + b a + 2ab + b2
2 a 2 − a + 1 2a 2 − 2a + 2 = ⋅ 17. a + 1 a2 − a + 1 a3 + 1
x − 4 x + 2 x 2 − 2x − 8 ⋅ = 10. x + 3 x + 2 x 2 + 5x + 6
3x 3xy 2 9x 2 y 2 ⋅ = 4. 8y 3xy 2 24xy 3
2a a 2 2a 3 11. x + a ⋅ a 2 = a 2 x + a 3
4m n 4mn ⋅ = 5n2 n 5n3 2x + 7 3 6x + 21 ⋅ = 6. 5 3 15
x − y 2 2x − 2y ⋅ = 12. 6 2 12 5 x a + b 5ax + 5bx 13. a − b ⋅ a + b = a 2 − b 2
2x x 2x 2 ⋅ = 2 7. x −1 x x − x
14.
5.
18.
x −1 x +1 x2 −1 ⋅ = 2 19. x + 1 x + 1 x + 2x + 1 20.
6a 3 − 10a 2 2a 6a 3 10a 2 = − 2a 2a 2 = 3a − 5a
a + b 9ab 9a 2b + 9ab 2 ⋅ = 7a 2 9ab 63a 3b
x +1 x − 2 x2 − x − 2 ⋅ = 2 21. x + 5 x − 2 x + 3x − 10
x − 5 3x 3x 2 − 15x ⋅ = a 3x 3ax
EJERCICIO 123 1.
x − 2y 3xy 3x 2y − 6xy 2 ⋅ = 3x 3xy 9x 2 y
4.
2. 9x y − 6x y + 3xy 3xy 3
2 2
3
9x 3 y 6x 2 y 2 3xy 3 = − + 3xy 3xy 3xy = 3x 2 − 2xy + y 2
3.
x +3 2
x
− x2
x 3
3 =x+ x
10a 2 + 15a − 2 − 10a 2
5a 2a + 3
15a − 2 − 15a −2 2 = 2a + 3 − 5a
9x 3 − 6x 2 + 3x − 5
5.
− 9x
3x 3x − 2x + 1
3
2
11.
2x 3 − 7 x 2 + 6x − 8 2x 2 − x + 1 − 2x 3 + x 2 − x
− 6x 2
− 6x + 5 x − 8
+ 6x 2
6 x 2 − 3x + 3
3x
2x − 5 2x − 5 =x−3+ 2 2x − x + 1
− 3x −5 5 = 3x − 2x + 1− 3x 2
x 2 − 5 x − 16
6.
12.
x+2
− x 2 − 2x
2a 4 − 3a 3 + a 2 − 2a + 2a − 2a 4
x−7
3
− 2a 2 + a 2a 2 − 2a + 2
12x 2 − 6x − 2
− a +2 a−2 = 2a − a − 2 − 2 a − a +1
4x − 1
− 12x + 3x 2
2
3x
− 3x − 2 − 3x − 2 3x + 2 = 3x + = 3x − 4x − 1 4x − 1 a
+ 3b
3
13.
− x + 2x 4
− 3x − 4 3x + 4 =x −2− 2 x −2 2
4ab 2 + 3b 3 − 4ab 2 − 8b 3
14.
− 5b 3
= x − 1+
10.
− 3n − 10n + 3
15.
4x 2 + 5x + 6
8x 4 − 8x 4 − 10x 3 − 12x 2
−3 − 3x − 2 − 3x − 2
= x − 1−
= 2x 2 −
x2 − 3
− 3x 3 + 2x 2 y
3x − 2 y x 2 + 2 xy + 2y 2
16.
10x 3 + 12x 2 4x 2 + 5x + 6
6m5 + 3m4n − 6m
6 x 2 y + 2 xy 2
3m3 − mn2 + n3
+ 2m n − 2m n
5
3 2
2 3
2m2 + mn
3m4n + 2m3n2 − 2m2n3
− 6x 2 y + 4 xy 2 6xy 2 − 6y 3
− 3m4n
− 6 xy 2 + 4 y 3 − 2y
+ m2n3 − mn4 2m3n2 − m2n3 − mn4
3
2y 3 = x + 2xy + 2y − 3x − 2 y 2
2x 2
− 10x 3 − 12x 2
3x + 2
3 x 3 + 4 x 2 y + 2xy 2 − 6y 3
2
5n
3n2 + 10n − 3 = 5n − 2n2 − 3n + 1
x −1
x2 − 3
2
2
− x 2 − 3x + 1 x2
2n2 − 3n + 1
− 10n + 15n − 5n
5b 3 a + 2b 2
+ 3x
10n3 − 18n2 − 5n + 3 3
9. x − x − 6x + 1 x − 3 2
−4
2x 2
2a 2b + 4ab 2
= a 2 − 2ab + 4b 2 −
x2 − 2 x2 − 2
2
− 2 x 2 − 3x
a 2 − 2ab + 4b 2
− 2a 2b
− x3
x 4 − 4 x 2 − 3x
a + 2b
3
− a 3 − 2a 2b
3
2a 2 − a − 2
a 3 − a2 + a
−2 2 =x−7− x+2
8.
a2 − a + 1
2
− a3 − a2
− 7 x − 16 + 7 x + 14
7.
x−3
2
= 2m2 + mn +
2m3n2 − m2n3 − mn4 3m3 − mn2 + n3
EJERCICIO 124 4a a+2
1. a +
=
a (a + 2) + 4a a+ 2
a + 2a + 4a a + 6a a (a + 6) = = a+2 a+2 a+2
2. m − n −
=
n2 m
2
m
3. x + 5 −
=
(x =
m2 − mn − n2 m
=
2
a (a + b) + ab a+b
a 2 + ab + ab a 2 + 2ab = = a+b a+b
11.
=
2a + x − (a + x ) = a+ x =
2a + x − a − x a = a+ x a+ x
x 3 − 7 x 2 + 10 x − 3x 2 − 6 x x−2
=
x 3 − 10 x 2 + 4 x x−2
7ab 2 − b 3 2a − b
=
2x2 − 2 y2 x− y
=
2a 3 + 5a 2b − 5ab 2 + b 3 + 7ab 2 − b 3 2a − b
=
2a 3 + 5a 2b + 2ab 2 2a − b
2 (x 2 − y 2 ) x− y
2 ( x + y)( x − y ) x− y
16.
m− n
m − 3mn + 2n + 3mn m + 2n = m− n m− n 2
2
5ax − 6x 2 a + 2x
2
2a 2 − 4ax a + 2x
2
+ 3ab − b 2 )(2a − b) + 7ab 2 − b 3 2a − b
x3 + 2 − ( x + 1) x − x+1
=
(x
3
+ 2) + ( x 2 − x + 1)(− x − 1) x2 − x + 1
x3 + 2 − x3 − 1 1 = 2 x2 − x + 1 x − x+1
17. x + 3 −
(2a − 3x)(a + 2 x) − (5ax − 6x ) a + 2x
(a
2
=
(m − n)(m − 2n) + 3mn
2a 2 + ax − 6 x 2 − 5ax + 6 x 2 = a + 2x =
− 5x )( x − 2) − 3x ( x + 2) x−2
=
12. 2a − 3x −
=
2
=
2
2a + x 7. −1 a+ x
(x
3x ( x + 2) x−2
15. a 2 + 3ab − b 2 +
x− y
2
=
m3 + 8 − m 3 8 = m+ 2 m+ 2
− y2
3mn + m − 2n m− n
a− x
2x a− x−a− x =− = a− x a− x
2
= 2 x + 2 y = 2 (x + y)
=
(a − x) − (a + x)
x2 − y2 x− y
(x + y)(x − y) + x
− 2m + 4)(m + 2) − m3 m+ 2
2
x2 − y2 + x2 − y2 x− y
=
a
2
m3 m+ 2
=
=
2 5. 1 − a + a − 3
a+ x a− x
=
2
2
(m
14. x 2 − 5x −
x ( x − 2) x − 2x = x+2 x+2
=
ab 4. a + a + b
=
2
10. x + y +
x + 3x − 10 − 3 x + 3x − 13 = x−2 x−2
6. 1 −
− 3x )( x + 2) − ( x 2 − 6 x ) x+2
3
a (a − 3) + 1 − a 2 a a 2 − 3a + 1 − a 2 3a − 1 = =− a a
x 2 − 6x x+2
=
x − x − 6x − x + 6x = x+2
x−2
=
2
3
(x + 5)(x − 2) − 3 = =
x−1
2 9. x − 3x −
3 x−2
2
=
x2 + x − 2 − 3 x2 + x − 5 = = x−1 x−1
2
(m − n) m − n
(x + 2)(x − 1) − 3
=
2
=
13. m2 − 2m + 4 −
3 8. x + 2 − x−1
= = =
x3 − 2x2 + 1 x2 − 4x + 3
( x + 3)(x
2
− 4 x + 3) − ( x 3 − 2 x 2 + 1) x2 − 4x + 3
x3 − x2 − 9x + 9 − x3 + 2x2 − 1 x2 − 4x + 3
x 2 − 9 x + 8 ( x − 8)( x − 1) x − 8 = = x 2 − 4 x + 3 ( x − 3)( x − 1) x − 3
18. 3a +
x − 27 19. x − 3 − x 2 − 6 x + 9
3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2
=
3a (a 2 − b 2 ) + 3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2
=
3a 3 − 3ab 2 + 3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2
=
3a 2 (a + b) 3a 3 + 3a 2b = a 2 − b2 (a + b)(a − b) =
2 20. a − 3a + 5 +
3
= =
(x − 3)(x
2
− 6 x + 9) − (x − 27) x 2 − 6x + 9 3
x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 − x 3 + 27 x2 − 6x + 9 − 9 x + 27 x 2
=
(x − 3)
2
=
= =
− 9 x ( x − 3)
(x − 3)
2
=
3a 2 a−b
=
(a
2
2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2
− 3a + 5)(a 2 + a − 2) + 2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2
a 4 − 2a 3 + 11a − 10 + 2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2
(a − 1)(a + 1) (a + 2)(a − 1) (a + 2)(a − 1) (a + 1)(a + 1)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) a4 − 1
2
2
=
2
− 9x 9x = x − 3 3− x
=
a3 + a2 + a + 1 a+2
EJERCICIO 125 4. 3 x 1.
a 1 ; b ab
mcm = ab
ab ÷ b = a ab ÷ ab = 1
a a⋅a a = = b ab ab 1 1⋅ 1 1 a2 1 = = ⇒ , ab ab ab ab ab 2
2.
x 3 , 3 mcm = a 3b 2 2 ab ab a a 3b 2 ÷ ab 2 = a 2 a 3b 2 ÷ a 2b = ab 2
Rta.
x 4 , mcm = 6a 2 x 2a 3a 2 x 6a 2 x ÷ 2a = 3ax
1 3 5 3. 2x 2 , 4x , 8x 3 8 x 3 ÷ 2x 2 = 4 x
36 x 2 y 3 ÷ 6 x 2 = 6 y 3
36 x 2 y 3 ÷ 9 xy = 4 xy 2
36 x 2 y 3 ÷ 12 y 3 = 3x 2
3 2 7 y 7 y (6 y ) 42 y 4 1 1(4 xy ) 4 xy 2 = ; 2 = 2 3 = 2 3 ; 2 3 = 6x 36 x y 36 x y 9 xy 36 x y 36 x 2 y 3
6.
8 x 3 ÷ 4 x = 2x 2 8x 3 ÷ 8x 3 = 1 1 1⋅ 4x 4x = = 2x 2 8x 3 8 x 3 3 3x ⋅ 2x 2 6x 2 = = 3 4x 8x 3 8x 5 5 ⋅1 5 = = 8x 3 8 x 3 8x 3 4x 6x 2 5 ⇒ 3 , , 8x 8x 3 8x 3
2
5x 5x (3x 2 ) 15x 3 = = 12 y 2 36 x 2 y 3 36 x 2 y 3
mcm = 8x 3
a 3b 2 ÷ a 3 = b 2
3x 3x (a ) 3a x x x ( ab) abx 3 3 (b 2 ) 3b 2 = = 2 = 3 2 = 3 2 ; 2 = 3 2 = 3 2 ; ab ab ab ab ab ab a 3 a 3b 2 a 3b 2 2 2 3a x 3b abx ⇒ 3 2 , 3 2 , 3 2 Rta. ab ab ab 1 5x 5. 7 y mcm = 36 x 2 y 3 , , 6 x 2 9 xy 12 y 3 2
6a 2 x ÷ 3a 2 x = 2 x x ( 3ax ) 3ax 2 = = 2a 6a 2 x 6a 2 x 4 4⋅2 8 = = 3a 2 x 6a 2 x 6a 2 x 3ax 2 8 Rta. ⇒ 2 , 6a x 6a 2 x
,
⇒
a−1 5 a+2 mcm = 6a 2 , , 3a 6a a2 6a 2 ÷ 3a = 2a 6a 2 ÷ 6a = 1
15x 3 42 y 4 4 xy 2 Rta. 2 3 , 2 3 , 36 x 2 y 3 36 x y 36 x y
6a 2 ÷ a 2 = 6
a − 1 (a − 1) (2a) 2a 2 − 2a 5 5⋅ 1 5 = = = = ; ; 3a 6a 2 6a 2 6a 6a 2 6a 2
a + 2 (a + 2) 6 6a + 12 2a 2 − 2a 5 6a + 12 = ⇒ , , 2 = 2 2 a 6a 6a 6a 2 6a 2 6a 2 x− y x+ y 7. 2 mcm = 3x 2 y 2 , , 5 x y 3xy 2
Rta.
3x 2 y 2 ÷ x 2 y = 3 y 3x 2 y 2 ÷ 3xy 2 = x
x − y ( x − y) (3y ) 3xy − 3y 2 x + y ( x + y ) x x 2 + xy = = = = ; ; 2 2 2 2 2 x y 3x y 3x y 3xy 2 3x 2 y 2 3x 2 y 2
Rta.
5=
5 (3x 2 y 2 ) 15x 2 y 2 = 3x 2 y 2 3x 2 y 2
⇒
x 2 + xy 15x 2 y 2 3xy − 3 y 2 , , 2 2 3x 2 y 2 3x y 3x 2 y 2
Rta.
1 m+ n m− n 8. , , 2m 5m3n 10n 2 10m3n 2 ÷ 2m = 5m2 n 2
2 3 , 5 x+1
11.
mcm = 10m n
3 2
(5x + 5) ÷ 5 = x + 1 (5x + 5) ÷ (x + 1) = 5 2 2 ( x + 1) 2 x + 2 3 3⋅ 5 15 = = = = ;
10m3n 2 ÷ 5m3n = 2n
m − n (m − n) ( 2n) 2mn − 2n 2 = = 5m3n 10m3n 2 10m3n 2 3 3 1(m ) 1 m = = 10n 2 10m3n 2 10m3n 2 5m3n 2 + 5m2 n 3 2mn − 2n 2 m3 ⇒ , , Rta. 3 2 3 2 10m n 10m n 10m3n 2
a + b a − b a 2 + b2 mcm = 6ab 2 9. 6 , 2a , 3b 2 6ab 2 ÷ 6 = ab 2 6ab ÷ 2a = 3b 2
5x + 5
5
10m3n 2 ÷ 10n 2 = m3
2 2 m + n (m + n) (5m n ) 5m3n 2 + 5m2 n 3 = = 3 2 2m 10m n 10m3n 2
2
mcm = 5x + 5
5x + 5
a − b (a − b) (3b = 2a 6ab 2
)
2
2
)
=
(a
− b 2 ) ÷ (a + b) = a − b
2
a (a − b) a 2 − ab a = 2 2 = 2 2 ; a+b a −b a −b
10.
13.
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)
x 1 , 2 x2 − 1 x − x−2
x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)
3ab 2 − 3b 3 = ; 6ab 2
2
12a 2b 2 ÷ 4b 2 = 3a 2 12a b ÷ 2 = 6a b 2
2
mcm = ( x − 1)( x − 2)( x + 1)
a 2b 2 + ab 3 ; 6ab 2
2a − b 3b − a a − 3b mcm = 12a 2b 2 , , 3a 2 4b 2 2 12a 2b 2 ÷ 3a 2 = 4b 2 2
= ( x 2 − 1)(x − 2)
= x3 − 2x2 − x + 2 x − 2x − x + 2 3
2
− x3
+x − 2x
x −1
x − 2 x2 − x + 2 x2 − x − 2
2
3
x− 2
− x3 + x2 + 2x
2
+2
− x2 + x + 2
2x2
−2
x2 − x − 2
x ( x − 2) x2 − 2x x = 3 = 3 ; 2 x − 1 x − 2x − x + 2 x − 2x2 − x + 2
1( x − 1) x−1 1 = = x2 − x − 2 x3 − 2x2 − x + 2 x3 − 2x2 − x + 2
2
14.
x2 − 2x x−1 ; 3 x3 − 2x2 − x + 2 x − 2x2 − x + 2 a−3
4 (a + 5)
[8 (a + 5)] ÷ [ 4 (a + 5)] = 2
2 2 a − 3b (a − 3b) 6a b 6a 3b 2 − 18a 2b 3 = = 2 2 2 12a b 12a 2b 2
4 (a + 5)
8ab 2 − 4b 3 9a 2b − 3a 3 6a 3b 2 − 18a 2b 3 Rta. , , 12a 2b 2 12a 2b 2 12a 2b 2
a−3
=
2 (a − 3)
8 (a + 5)
=
8 (a + 5) ÷ 8 = a + 5
2a − 6
8 (a + 5)
3a 3a (a + 5) 3a 2 + 15a = = 8 8 (a + 5) 8 (a + 5) ⇒
2a − 6
Rta.
3a mcm = 8 (a + 5) 8
,
3b − a (3b − a ) 3a 9a 2b − 3a 3 = ; 2 = 2 2 4b 12a b 12a 2b 2 2
x−1
2
⇒
2
2a − b (2a − b) 4b 8ab 2 − 4b 3 = ; 2 = 2 2 3a 12a b 12a 2b 2
⇒
− b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = 1
2
a 2 − ab b , Rta. a 2 − b2 a 2 − b2
⇒
(a + b )(2a ) 2a 3 + 2ab2 2
2
(a
1b b b = = a 2 − b2 a 2 − b 2 a 2 − b 2
a +b = = 3b 2 6ab 2 6ab 2 3 2 2 3 2 3ab − 3b 2a 3 + 2ab 2 a b + ab ⇒ , Rta. , 2 2 6ab 6ab 6ab 2 2
Rta.
a b 2 2 12. a + b , a 2 − b 2 mcm = a − b
6ab 2 ÷ 3b 2 = 2a
a + b (a + b)(ab = 6 6ab 2
x + 1 5x + 5 5x + 5
2x + 2 15 ⇒ , 5x + 5 5x + 5
8 (a + 5)
,
3a 2 + 15a 8 (a + 5)
Rta.
;
15.
x2
3 (a − x)
x mcm = 6 (a − x) 6
,
19.
[a (a [a (a [a (a
[6 (a − x)] ÷ [3(a − x)] = 2 [6 (a − x)] ÷ 6 = a − x x2
x x (a − x ) ax − x 2 ; = = 6 6 (a − x ) 6 (a − x )
2x2
= 3 (a − x) 6 (a − x ) 2x2
⇒
6 (a − x )
ax − x 2
6 (a − x)
,
16. 3 , 2 , x + 3 x2 x x2 − x
mcm = x 2 ( x − 1)
2
2
2
2
x ( x − 1)
2x2 − 2x
x ( x − 1)
a (a − b
[8 (a [8 (a
2
2
(x (x
x ( x − 1)
] [8 (a − b )] ÷ (4a − 4b) = 2 (a + b)
2
2
8 (a − b
)
,
2a 2 + 2ab
8 (a − b 2
2
)
,
y
8 (a 2 − b 2 )
Rta.
2
+ xy) = y
x ( x + y) x x + xy = = xy xy ( x + y ) xy ( x + y ) 2
2
y y 3 3x = = ; x 2 + xy xy ( x + y ) xy + y 2 xy ( x + y ) x + xy
xy ( x + y )
,
y
xy ( x + y )
,
)
,
3x
a 2 + ab
a (a 2 − b 2 )
Rta.
3
mcm = x 2 − 1
− 1) ÷ ( x + 1) = x − 1
− 1) ÷ ( x − 1) = x + 1
(x
2
− 1) ÷ ( x 2 − 1) = 1
3x 2 − 3x x 3 + x 2 x3 , 2 , 2 Rta . 2 x −1 x −1 x −1
⇒
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy ( x + y )
n (m + n) n mn + n2 = = 2 2 m − mn m (m − n ) m (m2 − n2 ) 2
2
⇒
2
2
m (m − n) m m2 − mn = = ; m2 + mn m (m2 − n 2 ) m (m2 − n 2 )
a 2b − b 3
[xy (x + y)]÷ xy = x + y [xy (x + y)] ÷ (x [xy (x + y)] ÷ (xy + y ) = x
2
a (a − b 2
m 1 = ; m2 − n 2 m (m2 − n 2 )
3
2
a−b
[m (m − n )] ÷ (m − n ) = m [m (m − n )] ÷ (m + mn) = m − n [m (m − n )] ÷ (m − mn) = m + n
18. xy , x 2 + xy , xy + y 2 mcm = xy ( x + y) x
2
]
2 2 b b (a − b ) a 2b − b 3 = = 2 2 8 8 (a − b ) 8 (a 2 − b 2 )
2
)
,
− b2 ) ÷ 8 = a 2 − b2 1 m n mcm = m (m2 − n2 ) , , 21. m2 − n 2 m2 + mn m2 − mn
2a (a + b) 2a 2 + 2ab a = = ; 4a − 4b 8 (a 2 − b 2 ) 8 (a 2 − b 2 )
2
2
2 x 2 x ( x + 1) x 3 + x 2 x3 x3 = 2 = 2 ; 2 = 2 x−1 x −1 x −1 x −1 x −1
Rta.
2
− b 2 ) ÷ (2a + 2b) = 4 (a − b)
4 (a − b)
− ab) = a + b
3x 3x ( x − 1) 3x 2 − 3x = 2 = 2 x+1 x −1 x −1
4 (a − b) 1 = ; 2a + 2b 8 (a 2 − b 2 )
⇒
+ ab) = a − b
3x x x 20. x + 1 , x − 1 , x 2 − 1
mcm = 8 (a 2 − b 2 )
1 a b 17. , , 2a + 2b 4a − 4b 8
2
2
x 2 + 3x
,
2
2
2
x + 3 x ( x + 3) x 2 + 3x = = x 2 − x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) ,
2
2a
⇒
2 2 2 (x − x) 2 x 2 − 2 x = = ; x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)
3x − 3
2
] − b )] ÷ (a − b )] ÷ (a 2
a (a + b) a a 2 + ab = = a − ab a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 )
3 3x − 3 = = ; x 2 x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)
2
2
− b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = a
2
3( x − 1)
⇒
2
2 2a 1 a−b = = ; 2 a 2 − b 2 a (a 2 − b 2 ) a + ab a (a 2 − b 2 )
Rta.
[x (x − 1)] ÷ x = x − 1 [x (x − 1)]÷ x = x (x − 1) [x (x − 1)] ÷ (x − x) = x 2
2 1 a mcm = a (a 2 − b 2 ) , , a 2 − b 2 a 2 + ab a 2 − ab
Rta.
⇒
m
m (m − n 2
2
)
,
m2 − mn
m (m2 − n 2 )
n+1 n−1 n +1 , , 22. n − 1 n + 1 n2 − 1
,
n (m + n)
m (m2 − n 2 )
Rta.
2
(n (n
2
mcm = n 2 − 1
− 1) ÷ (n − 1) = n + 1
(n − 1) ÷ (n − 1) = 1 n + 1 (n + 1)(n + 1) (n + 1) n − 1 (n − 1) = = = ; 2
− 1) ÷ (n + 1) = n − 1
2
2
2
n−1
n −1 2
n −1 2
2
n+1
n −1 2
;
(n + 1) , (n − 1) , n2 + 1 Rta. n 2 + 1 n2 + 1 = 2 ⇒ 2 2 n −1 n −1 n −1 n2 − 1 n2 − 1 2
2
23.
a 2 − b 2 a 2 + b2 a 4 + b4 , , a 2 + b2 a 2 − b2 a 4 − b4
(a (a
4 4
mcm = a 4 − b 4
− b 4 ) ÷ (a 2 + b 2 ) = a 2 − b 2 − b ) ÷ (a − b ) = a + b 4
2
2
2
2 2 a 2 − b 2 (a − b ) 2 2 = 4 a +b a − b4
(a
2
4
27.
[(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (a + 4) = (3a + 5)(3a − 5) [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (9a − 25) = a + 4 [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (3a − 5) = (a + 4)(3a + 5)
− b ) ÷ (a − b ) = 1 4
4
2
4
2 2 a 2 + b 2 (a + b ) ; 2 2 = 4 a −b a − b4
2
2
;
3 (3a + 5)(3a − 5) 3 27a 2 − 75 = = ; a + 4 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)
a 4 + b4 a 4 + b4 = a 4 − b 4 a 4 − b4
(a ⇒
− b2 ) (a 2 + b2 ) , 4 4 a −b a 4 − b4 2
2
2
2 (a + 4) 2a + 8 2 = = ; 9a 2 − 25 (a + 4) (3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)
a 4 + b4 Rta. a 4 − b4
3x x−1 1 24. x − 1 , x + 2 , x 2 + x − 2
5 (a + 4)(3a + 5) 5 15a 2 + 85a + 100 = = 3a − 5 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)
mcm = x 2 + x − 2
2 2
+ x − 2) ÷ ( x + 2 ) = x − 1
[(x + 2)(x [(x + 2)(x [(x + 2)(x
x − 1 ( x − 1) 1 1 = = ; 2 x + 2 x2 + x − 2 x + x − 2 x2 + x − 2 2
( x − 1) , 1 3x 2 + 6 x , 2 x + x−2 x2 + x − 2 x2 + x − 2
Rta.
26.
,
2x
10( x + 3)
⇒
,
2x − 1 3x + 1 4x + 3 , , 3x + 12 6 x + 24 x+ 4
x−1
10( x + 3)
29.
Rta.
mcm = 6( x + 4)
[6(x + 4)]÷ (x + 4 ) = 6 [6(x + 4)]÷ [3(x + 4 )]= 2 [6(x + 4)]÷ [6 (x + 4 )] = 1 2 x − 1 6 (2 x − 1) 12 x − 6 = = ; x + 4 6 ( x + 4) 6( x + 4)
12 x − 6
,
6x + 2
6( x + 4)
2
− 25)
Rta.
2
2
2
] + x − 6)] ÷ ( x + x − 6)] ÷ ( x
+ x − 6) ÷ ( x 2 − 4) = x + 3 2
2
(x + 1)(x + 3)
+ x − 6) = x + 2
+ 5x + 6) = x − 2
(x + 2) 3x − 6 x Rta. , (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) 2
x2 + 4x + 3
,
2
2
2
2
mcm = (a + 5)(a 2 − 7a + 12)
[(a + 5)(a [(a + 5)(a [(a + 5)(a
2
2
] − 7a + 12)] ÷ (a − 7a + 12)] ÷ (a
− 7a + 12) ÷ (a 2 + a − 20) = a − 3 2
− 7a + 12 ) = a + 5
+ 2a − 15) = a − 4 + − a 3 a 3) ( )( a+3 a −9 = = ; + a − 20 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) 5a (a + 5) 5a 5a + 25 = = ; − 7a + 12 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 1)(a − 4) = a − 3a − 4 a+1 = + 2a − 15 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) 2
2
2
2
2
a2
4x + 3 4x + 3 = 6x + 24 6( x + 4) 6( x + 4)
(a + 4)(9a
a+3 5a a+1 , 2 , 2 a 2 + a − 20 a − 7a + 12 a + 2a − 15
a2
3x + 1 2 (3x + 1) 6x + 2 = = ; 3x + 12 6 ( x + 4) 6( x + 4)
⇒
15a 2 + 85a + 100
3x ( x − 2 ) 3x 3x 2 − 6 x = = 2 x + 5x + 6 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
x x−1 x−1 2x = = ; 5x + 15 10( x + 3) 10 x + 30 10( x + 3) 10( x + 3)
− 25)
,
2
x 5x ( x + 3) 5x 2 + 15 = = 2 10( x + 3) 10( x + 3)
5x 2 + 15
(a + 4)(9a
2
2
[10(x + 3)] ÷ 2 = 5(x + 3) [10(x + 3)] ÷ [5(x + 3)] = 2 [10(x + 3)] ÷ [10(x + 3)] = 1
⇒
2a + 8
(x + 2)(x + 2) = (x + 2) x+2 = ; x 2 + x − 6 ( x + 2)( x 2 + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
x−1
25. 2 , 5x + 15 , 10 x + 30 mcm = 10( x + 3) x
− 25)
,
x2 + 4x + 3 x+1 = = ; 2 2 x − 4 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
2
x
(a + 4)(9a
2
x+1 x+ 2 3x mcm ( x + 2)( x 2 + x − 6) , , 28. 2 x − 4 x 2 + x − 6 x 2 + 5x + 6
+ x − 2 ) ÷ ( x 2 + x − 2) = 1
3 x 3x ( x + 2 ) 3x 2 + 6 x = = ; x − 1 x2 + x − 2 x2 + x − 2
⇒
27a 2 − 75
⇒
( x 2 + x − 2) ÷ ( x − 1) = x + 2 (x (x
2 5 a , , mcm = (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) a + 4 9a 2 − 25 3a − 5
2
2
a2 ,
4x + 3
6( x + 4)
Rta.
⇒
2
a2 − 9
5a 2 + 25
a 2 − 3a − 4
(a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) ,
,
Rta.
30.
a+1 2a 1 , , a3 − 1 a2 + a + 1 x − 1
2x − 3
mcm = a 3 − 1
3
3
3
2
2
2
2
a3 − 1 a3 − 1
a2 + a + 1
a3 − 1
2 (2 x − 3) 2x − 3 4x − 6 = = ; 6 x 2 + 7 x + 2 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
a3 − 1
1 a + a+1 a + 1 2a 2 − 2 a 2 + a + 1 Rta. , , 3 = ⇒ 3 a −1 a−1 a3 − 1 a − 1 a3 − 1 2
6 (3x + 2) 18 x + 12 3 = = ; 2 x + 1 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
mcm = 3 (x 3 − 1)
1 1 2 31. , , x − 1 x3 − 1 3
2 x − 1 (2 x − 1)(2 x + 1) 4x2 − 1 = = 6 x + 4 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
[3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3(x + x + 1) [3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3 [3(x − 1)] ÷ 3 = x − 1 3
2
3
3
3
⇒
3
2 1 3 ( x + x + 1) 3x 2 + 3x + 3 = = ; x − 1 3 ( x 3 − 1) 3 (x 3 − 1)
1 3 2 2 (x − 1) 2 x − 2 = = ; = x 3 − 1 3 (x 3 − 1) 3 3 (x 3 − 1) 3 (x 3 − 1) 3x 2 + 3 x + 3
3
3
2x3 − 2
3 ( x − 1) 3 (x − 1) 3 ( x 3 − 1) b 3 1 , , 32. 2a 2 + 2ab a 2 x + abx 4ax 2 − 4bx 2 3
,
mcm = 4ax (a − b 2
[4ax (a [4ax (a [4ax (a
,
3
2
2
Rta.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1 3b ⋅ 2 + 5a 5a + 6b + = = 5a 2 3ab 15a 2b 15a 2b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 (a − 1) + 2 ⋅ 2a + 3a + 4 4a − 4 + 4a + 3a + 4 11a = = 12 12 12 n 3 2 n ⋅ n + 3m + 2mn 3m + 2mn + n2 + = = 6. 2 + m mn m m2n m2n − + 1 x x 2 1 7. + 2 + 2x x 3ax 2
2
=
2
2
⇒
2
2
6ax 2 − 6bx 2
4ax (a − b 2
2
2
)
a+1
,
2
2
2
4abx − 4b2 x
4ax (a − b 2
2
3 (a + 1)
2
)
,
2
2
a 2 + ab
4ax 2 (a 2 − b2 )
Rta.
3ax (1 − x ) + 6a (x + 2) + 2 6ax 2 2 3ax − 3ax + 6ax − 12a + 2 9ax + 12a − 3ax 2 + 2 = = 6ax 2 6ax 2
, mcm = (a − 1) 33. a − 1 , (a − 1)2 (a − 1)3 1
3
=
(a − 1) ÷ (a − 1) = (a − 1) (a − 1) ÷ (a − 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ; a + 1 = (a + 1)(a − 1) = a − 1 ; 1 = a − 1 (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) 3 (a + 1) 3a + 3 (a − 1) , a − 1 , 3a + 3 Rta. = ⇒ (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) 3
2
3
2
3
3
2
2
3
2
3
2
3
3
3
3
8.
2a − 3 3x + 2 x − a 10 x (2a − 3) + 3a (3x + 2) + 6 ( x − a ) + + = 3a 10 x 5ax 30ax 20ax − 30 x + 9ax + 6a + 6 x − 6a = 30ax
2
3
)
=
2
2
) (
8a 2b + 3ab 2 ab (8a + 3b) 8a + 3b = = 15a 2b 2 15a 2b 2 15ab a − 1 2a 3a + 4 5. + + 3 6 12
2
2
20b
(
2
2
2.
60ab 4ab − 8b 2 + 3ab − 3a 2 − 3a 2 + 7ab − 8b 2 = = 60ab 60ab 2 2 5ab a + 3b + 3 a 2b − 4ab 2 a + 3b a b − 4ab + = 4. 3ab 5a 2b 2 15a 2b 2 5a 2b + 15ab 2 + 3a 2b − 12ab 2 = 15a 2b 2
2
2
x − 2 3x + 2 3 x − 2 + 2 3x + 2 3x − 6 + 6 x + 4 9x − 2 + = = = 4 6 12 12 12
15a
)
2
b gb g
1.
4b (a − 2b) + 3a (b − a ) 3. a − 2b + b − a =
)] ÷ (2a + 2ab) = 2 x (a − b) − b )] ÷ (a x + abx) = 4 x (a − b) − b )] ÷ (4ax − 4bx ) = a (a + b) 3[2 x (a − b)] 6ax − 6bx 3 = = ; 2a + 2ab 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) b [4 x (a − b)] 4abx − 4b x b ; = = a x + abx 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) a (a + b) 1 a + ab = = 4ax − 4bx 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) −b
2
4x − 6 18 x + 12 4x2 − 1 , , Rta. 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
EJERCICIO 126
3
⇒
mcm = 2 (3x + 2)(2 x + 1)
[2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 7 x + 2) = 2 [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (2 x + 1) = 2 (3x + 2) [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 4) = 2 x + 1
(a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ÷ (a + a + 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = a + a + 1 2a (a − 1) 2a − 2 a+1 a+1 2a = = = ; ; 3
2x − 1
3
34. 6 x 2 + 7 x + 2 , 2 x + 1 , 6 x + 4
3
=
29ax − 24 x x (29a − 24) 29a − 24 = = 30ax 30ax 30a
9.
3 x + 2 x2 + 2 + + 5 2x 6x2 =
12.
6 x 2 ⋅ 3 + 15x (x + 2) + 5(x 2 + 2)
x + 2 x2 − 2 2 − x3 + + 3x 5x 2 9x3 =
15x 2 ( x + 2) + 9 x ( x 2 − 2) + 5 (2 − x 3 )
45x 3 15x + 30 x + 9 x 3 − 18 x + 10 − 5x 3 = 45x 3 3 2 19 x + 30 x − 18 x + 10 = 45x 3
30 x 2 2 2 18 x + 15x + 30 x + 5x 2 + 10 = 30 x 2
3
2
2 38 x 2 + 30 x + 10 2 (19 x + 15x + 5) 19 x 2 + 15x + 15 = = 2 30 x 30 x 2 15x 2 1 b 2 − a 2 ab + b 2 x − y 2x + y y − 4x 13. + + 2 2 + + ab ab 3 ab 10. 12 15 30 ab 2 + a (b 2 − a 2 ) + b (ab + b 2 ) 5 (x − y) + 4 (2 x + y ) + 2 ( y − 4 x ) = = a 2b 3 60 2 2 ab + ab − a 3 + ab 2 + b 3 − a 3 + 3ab 2 + b 3 5 x − 5 y + 8 x + 4 y + 2 y − 8 x 5x + y = = = = a 2b 3 a 2b 3 60 60 a + 3b 2a − 3m 3 m − n n − a 2a − m + + 14. 11. + + ab am a mn na am + + − 3m) + 3bm m a b b a 3 2 ( ) ( a (m − n) + m (n − a ) + n (2a − m) = = abm amn am + 3bm + 2ab − 3bm + 3bm am + 2ab + 3bm 1 am − an + mn − ma + 2an − mn an = = = = = abm abm amn amn m
=
EJERCICIO 127 a − 1+ a + 1 2a 1 1 1. a + 1 + a − 1 = a 2 − 1 = a 2 − 1
6.
x + y x − y ( x + y)( x + y ) + ( x − y )( x − y) = + x− y x+ y x2 − y2
(x + y ) + (x − y) 2
2 1 + 2. x+ 4 x−3
=
2( x − 3) + x + 4 2 x − 6 + x + 4 3x − 2 = = 2 = 2 x 2 + x − 12 x + x − 12 x + x − 12
3.
4.
=
3 (2 x + 5) + 6 (1 − x ) 6 x + 15 + 6 − 6 x 21 = = (1 − x)(2 x + 5) (1− x)(2 x + 5) (1 − x)(2 x + 5)
x ( x + y) + x ( x − y) x + xy + x − xy 2x = = = 2 x2 − y2 x2 − y2 x − y2 2
2
2
m+ 3 m+ 2 5. m − 3 + m − 2
=
m2 + m − 6 + m 2 − m − 6
=
2m2 − 12
8.
x ( x − 1) + ( x + 1) x x+1 + = x 2 − 1 ( x − 1)2 (x − 1)2 (x + 1)
=
=
2 3x + = x − 5 x 2 − 25
x2 − x + x 2 + 2 x + 1
=
2 x2 + x + 1
(x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1) 2 (x + 5) + 3x 2 x + 10 + 3x 5x + 10 2
x 2 − 25
=
x 2 − 25
2
=
x 2 − 25
x−y 1 3 x + 2y + x − y 4x + y 9. 3x − 2y + 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4 y 2
10.
(m − 2)(m + 3) + (m − 3)(m + 2) (m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2)
x + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 2 x 2 + 2 y 2 = 2 x2 − y2 x − y2 2
7.
x x + x− y x+ y
=
x2 − y2
2
3 6 + 1 − x 2x + 5 =
2
2 (m2 − 6)
2 2 x + a 3a 2 − x 2 ( x − 3a )( x + a ) + 3a − x + 2 2 = 2 2 x + 3a x − 9a x − 9a
(m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2)
=
x 2 + ax − 3ax − 3a 2 + 3a 2 − x 2 x 2 − 9a 2
=
− 2ax 2ax = x 2 − 9a 2 9a 2 − x 2
11.
a a 2 + 1− a 1+ a 2 =
12.
a (1 + a 2 ) + a (1 − a 2 ) 2
2 2 + a 2 − ab ab + b 2
a + a3 + a − a3
=
=
x + x 2 = x (1 + x)
2a 1− a 4
(1− a )(1 + a ) 2b (a + b) + 2a (a − b) = ab (a − b )
(1 − a )(1+ a ) 2
2
2
2
=
x − x 2 = x (1 − x)
1 − x = (1 + x)(1− x)
2
2ab + 2b 2 + 2a 2 − 2ab ab (a 2 − b 2 )
=
=
2a 2 + 2b 2
ab (a 2 − b 2 )
ab + a (3a − b) ab + 3a 2 − ab 3a 2 = = = 2 2 2 2 2 9a − b 9a − b 9a − b 2 a−b+ a+b 1 1 2a 2 = 2 = 14. a 2 − b 2 + a−b a+b a−b a+b a−b
(
3 x + y2 2
) (
)( ) ( )( 3(x + y) + 2 ( x + y ) 2 + = + x y ( ) (x + y )(x + y) 2
2
2
=
(x
=
2
=
)
2
=
2
2
+y
2
=
2
ax = ax ax − x = x (a − x )
=
+ y 2 )( x + y )
20.
2
17.
ax (a − x)
a 2 + 2a + 1 = (a + 1)
(a + 1)
2
= =
=
2 x + 4 = 2 ( x + 2) 2 x − 4 = 2 ( x − 2)
x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)
= = =
21.
3 (x − 2) + ( x − 1)( x + 2) + 2 ( x + 8) 2 ( x 2 − 4)
3x − 6 + x 2 + x − 2 + 2 x + 16 2 ( x 2 − 4)
(x + 2)(x + 4) = x + 4 = − 2 ( x 4) 2 (x + 2)( x − 2) 2 (x − 2)
x 2 + 6x + 8 2
=
2 (x + y) x− y
mcm = (a − 5)(a + 1)
2
+ a (a + 1) + (a + 5)(a − 5)
(a − 5)(a + 1)
2
a 2 + 2a + 1 + a 2 + a + a 2 − 25 2
2
2
x (a − x)
mcm = 2 (x 2 − 4)
(x + y )(x − y )
(a − 5)(a + 1) 3a + 3a − 24 3(a + a − 8) = = (a − 5)(a + 1) (a − 5)(a + 1)
2a
x−1 x+8 3 + + 2x + 4 2x − 4 x2 − 4
2 (x + y )
1 a a+5 + + a − 5 a 2 − 4a − 5 a 2 + 2a + 1 a − 5= a − 5
2
=
mcm = x 2 − y 2
2 2 2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy 2 (x + 2 xy + y ) = 2 2 2 2 x −y x −y
a 2 − 4a − 5 = (a − 5)(a + 1)
mcm = ax (a − x )
x+ 2
x (1− x)
x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 + 4 xy x2 − y2
2
2a 2
(x + 1)(x + 2) =
x (1− x)(1+ x)
x2 − y2
)(x + y)
ax (a − x )
ax (a − x )
=
2
x 2 + (a + x)(a − x ) + a 2 x2 + a2 − x2 + a2
x (1− x 2 )
(x − y )(x − y ) + (x + y )(x + y ) + 4 xy
2
=
2 + x 2 + 3x
=
x a+ x a + + a 2 − ax ax ax − x 2
a 2 − ax = a (a − x )
x (1 − x 2 )
2
5x 2 + 6 xy + 5y 2
(x
1 − x + 1+ x + x ( x + 3)
x− y x+ y 4 xy + + 19. x + y x − y x2 − y2
3x 2 + 6 xy + 3 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2
=
16.
2
2
mcm = x (1− x 2 )
2
ab a 13. + 9a 2 − b 2 3a + b
15.
x+3 1 1 + + x + x 2 x − x2 1− x 2
18.
2
3 2 1 − 85a + + a 5a − 3 25a 2 − 9 = =
3 (25a 2 − 9) + 2a (5a + 3) + a (1 − 85a ) a (25a 2 − 9)
75a 2 − 27 + 10a 2 + 6a + a − 85a 2
x+1
x− 3
a (25a 2 − 9) x− 2
22. 10 + 5x − 10 + 2 = =
mcm = a (25a 2 − 9)
7a − 27
=
a (25a 2 − 9)
mcm = 10 ( x − 2)
(x + 1)(x − 2) + 2 (x − 3) + 5(x − 2)( x − 2) 10 ( x − 2) x 2 − x − 2 + 2 x − 6 + 5x 2 − 20 x + 20 10 ( x − 2)
=
6 x 2 − 19 x + 12 10 ( x − 2)
23.
x+5 x+ 4 x−3 + + x + x − 12 x 2 + 2 x − 15 x 2 + 9 x + 20
27.
2
x 2 + x − 12 = ( x + 4)( x − 3)
x2 − 4 1 3 + + x3 + 1 x + 1 x2 − x + 1
x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)
x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) 2
=
x + 9 x + 20 = ( x + 5)( x + 4) 2
mcm = ( x + 5)( x + 4)( x − 3) = = =
=
( x + 5)(x + 5) + (x + 4)(x + 4) + (x − 3)(x − 3) ( x + 5)(x + 4)(x − 3) x 2 + 10 x + 25 + x 2 + 8 x + 16 + x 2 − 6 x + 9 3x 2 + 12 x + 50
=
x 1 1− 2 x 2 + 3 + 24. x − 2 x − 8 x2 + 2x + 4
=
x − 8 = ( x − 2)( x + 2 x + 4) mcm = x − 8
25.
2
3
=
x + 2 x + 4 + 1 − 2 x + x ( x − 2) x3 − 8
=
− x2 + 2x + 5+ x2 − 2x 5 = 3 x3 − 8 x −8
2
a a+1 2 + + a + 1 (a + 1)2 (a + 1)3
mcm = (a + 1)
3
=
3
(a + 1) 3a + 6a + 3 3(a + 2a + 1) 3 (a + 1) = = = (a + 1) (a + 1) (a + 1)
2
x+1
2x
3
=
3 a+1
x−2 x− 3 2x − 1 + + 2 x 2 − 5x − 3 2 x 2 − 3 x − 2 x 2 − 5 x + 6
= =
1
26. 3x 2 + 11x + 6 + x 2 − 9 + 3x + 2
=
3x + 11x + 6 = ( x + 3)(3x + 2) 2
x − 9 = (x + 3)( x − 3)
(x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x + 5)(x + 2) = x + 5 = (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 3)
mcm = ( x − 3)( x − 2)(2 x + 1)
3
3
x 2 + 7 x + 10
x 2 − 5x + 6 = (x − 3)( x − 2)
2a 2 + 4a + 2 + a 2 + a + a + 1 2
=
2 x 2 − 3x − 2 = ( x − 2)(2 x + 1)
(a + 1)
3
x 2 + 5x + 6 + 2 x + 4
2 x 2 − 5x − 3 = ( x − 3)(2 x + 1)
2 (a + 1) + a (a + 1) + a + 1
2
(x + 2)(x + 3) + x + 3 + x + 1 (x − 1)(x + 2)(x + 3)
29.
2
=
2 x ( x + 1) 2x2 + 2x 2x = = 3 x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1
mcm = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)
( x + 5)(x + 4)(x − 3)
2
x 2 − 4 + x 2 − x + 1 + 3x + 3 x3 + 1
x+1 1 1 + 28. x − 1 + (x − 1)(x + 2) (x − 1)(x + 2)(x + 3)
(x + 5)( x + 4)( x − 3)
3
mcm = x 3 + 1
(x − 2)(x − 2) + (x − 3)(x − 3) + (2 x − 1)(2 x + 1) (x − 3)(x − 2)(2 x + 1) x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6x + 9 + 4 x 2 − 1
(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
6 x 2 − 10 x + 12
(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
2
3 x + 2 = 3x + 2 = =
2 x ( x − 3) + ( x + 1)(3x + 2) + x 2 − 9
(x
2
− 9)(3x + 2)
2 x 2 − 6 x + 3 x 2 + 5x + 2 + x 2 − 9
(x
2
− 9)(3x + 2)
6x − x − 7 2
=
mcm = ( x 2 − 9)(3x + 2)
(x
2
− 9)(3x + 2)
30.
a− 2 a+ 3 a+1 + + a−1 a+ 2 a− 3 = = =
mcm = (a − 1)(a + 2)(a − 3)
(a + 2)(a − 2)(a − 3) + (a − 1)(a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1)(a + 2) (a − 1)(a + 2)(a − 3) a 3 − 3a 2 − 4a + 12 + a 3 − a 2 − 9a + 9 + a 3 + 2a 2 − a − 2
(a − 1)(a + 2)(a − 3)
3a 3 − 2a 2 − 14a + 19
(a − 1)(a + 2)(a − 3)
EJERCICIO 128 7.
4 ( x − 1) − 3 ( x − 2) − 2 ( x + 3) 12 x+4 4 x − 4 − 3x + 6 − 2 x − 6 − x − 4 = = =− 12 12 12
x − 3 x + 2 2 ( x − 3) − (x + 2) 2 x − 6 − x − 2 x − 8 − = = = 4 8 8 8 8 a + 5b b − 3 2. − a2 ab b (a + 5b) − a (b − 3) ab + 5b 2 − ab + 3a 3a + 5b 2 = = = a 2b a 2b a 2b
=
1.
3.
2 1 2 ( 2m) − ( 3n) 4m − 3n − = = 3mn 2 2m2 n 6m2 n 2 6m2 n 2
4.
a − 3 4 − 3ab − 5ab 3a 2b3 =
8.
20a 2 12a − 4a − 2a − 4a 2 − 1 4a 2 − 2a − 1 = = 20a 2 20a 2
3ab2 (a − 3) − 5(4 − 3ab 2 )
9.
2 3
6 y ( y − 2 x ) − 5x ( x − 3 y ) 120 xy
=
6 y 2 − 12 xy − 5x 2 + 15xy 6 y 2 + 3xy − 5x 2 = 120 xy 120 xy
EJERCICIO 129
x − 3− x + 4
=
3 x − 1 x2 + 2x + 3 − − 5x 3x 2 15x 3
3x 2 ( 3) − 5x ( x − 1) − ( x 2 + 2 x + 3) 15x 3 2 2 9 x − 5x + 5x − x 2 − 2 x − 3 = 15x 3 =
2 3x 2 + 3x − 3 3 ( x + x − 1) x 2 + x − 1 = = 3 15x 15x 3 5x 3 1 2+ b 5 − − 10. 2a 3ab 6a 2b 3 3ab3 − 2ab 2 (2 + b) − 5 = 6a 2b 3 3 3ab − 4ab 2 − 2ab 3 − 5 ab 3 − 4ab 2 − 5 = = 6a 2b 3 6a 2b 3
=
mcm = m2 − n2
(m − n)(m − n) − (m + n)(m + n)
a 2 + ab = a (a + b)
1
(x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3)
m− n m+ n 2. m + n − m − n =
=
2
a+b b− a − 4. 2 a + ab ab + b 2
mcm = (x − 4)(x − 3)
1 1 − x−4 x−3
x − 3 − ( x − 4)
4a 2 (3) − 2a (2a + 1) − (4a 2 + 1) 2
2
=
=
3 2a + 1 4a 2 + 1 − − 5 10a 20a 2 =
15a b 3a 2b 2 − 9ab2 − 20 + 15ab2 3a 2b 2 + 6ab2 − 20 = = 15a 2b3 15a 2b 3 2a + 3 a − 2 − 5. 4a 8a 2 (2a + 3) − (a − 2) 4a + 6 − a + 2 3a + 8 = = = 8a 8a 8a y − 2 x x − 3y − 6. 20 x 24 y
1.
x −1 x − 2 x + 3 − − 3 4 6
=
mcm = ab (a + b)
b (a + b) − a (b − a ) ab (a + b)
m+ n m + n 2
=
ab + b 2 − ab + a 2 ab (a + b)
(m + n)(m + n) − (m
2
2
− = 5. m − n m2 − n 2
m2 − n 2
ab + b 2 = b (a + b)
;
=
=
+n
2
m2 − n 2
a 2 + b2
ab (a + b)
)
2mn m2 + 2mn + n2 − m2 − n 2 = 2 2 m2 − n 2 m −n
m2 − 2mn + n2 − m2 − 2mn − n 2 − 4mn 4mn = 2 = m2 − n 2 m − n 2 n2 − m2 6. 1 − 1 x + x2 = x x + 1 ; x − x2 = x 1− x x + x2 x − x2 1 − x 1 + x (1 − x)(1 − x ) − (1 + x )(1 + x) 3. − = mcm = x 1 − x 2 1 + x 1− x 1− x 2 1− x − 1+ x 1− x − 1− x − 2x −2 2 1 − 2 x + x 2 − 1− 2 x − x 2 − 4 x 4x = = = = = = = 2 = 2 x 1− x2 x 1− x 2 x 1− x 2 1− x x − 1 1− x 2 1− x 2 x 2 − 1 =
(
(
(
)
)
)
(
(
(
)
(
)
)
)
7.
a+ x
x
−
(a − x) a − x (a + x)(a + x) − x (a − x) = (a − x) (a + x) 2
2
13.
2
6 x 2 + x − 2 = (3x + 2)(2 x − 1) 4 x 2 − 4 x + 1 = (2 x − 1)
2
= 8.
a 2 + 2ax + x 2 − ax + x 2
(a − x) (a + x) 2
=
x+3 1 − 6x 2 + x − 2 4 x 2 − 4 x + 1
a 2 + ax + 2 x 2
(a − x) (a + x)
=
2
a +1 1 − 6a + 3 12a + 6
=
6a + 3 = 3 (2a + 1) ; 12a + 6 = 6 (2a + 1) mcm = 6 (2a + 1)
a−4 a+3 9. a 2 − 6a + 9 − a 2 + a − 12 a − 6a + 9 = (a − 3)
2 x 2 + 5x − 3 − 3x − 2
(3x + 2)(2 x − 1)
2
x+2
=
2x2 + 2x − 5
(3x + 2)(2 x − 1)
2
mcm = 8 (x 2 − 1)
2 (x − 1)( x − 1) − ( x + 2)( x + 1) 8 ( x 2 − 1)
2 x − 4 x + 2 − x 2 − 3x − 2
x2 − 7x
2
=
; a + a − 12 = (a + 4)(a − 3)
2
2
x−1
=
2
(2 x − 1)(x + 3) − (3x + 2) (3x + 2)(2 x − 1)
14. 4 x + 4 − 8 x − 8
2 (a + 1) − 1 2a + 2 − 1 2a + 1 1 = = = = 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6
2
mcm = (2 x − 1) (3x + 2)
2
2
mcm = (a − 3) (a + 4)
8 (x 2 − 1)
=
8 ( x 2 − 1)
2
(a + 4)(a − 4) − (a − 3)(a + 3) = (a + 4)(a − 3)
15.
2
=
a 2 − 16 − a 2 + 9
(a + 4)(a − 3)
2
=
=
−7
(a + 4)(a − 3)
2
a 2 + 4ab − 3b 2 b − 10. a 2 − 9b 2 a + 3b
mcm = a − 9b 2
16.
2
a 2 + 4ab − 3b 2 − b (a − 3b) = a 2 − 9b 2 = =
a (a + 3b) a 2 + 3ab a = = a 2 − 9b 2 (a + 3b)(a − 3b) a − 3b
x x+1 − 11. 2 x − 1 ( x − 1)2 = =
2
− 3x − 1
(x + 1)(x − 1)
2
=−
2
mcm = (a − b) (a + ab + b 3
2
3
2
2
)
18.
2
2
2
a − 2ab + b − a − ab − b 2
2
(a − b) (a 3
2
2
+ ab + b
2
)
− 3ab
2
=
y
=
y (x − y)
=
1 x− y
mcm = a (a 2 − b2 )
ab − b (a − b) ab − ab + b 2 b2 = = 2 2 2 2 a (a − b ) a (a − b ) a (a 2 − b 2 )
; 4a 2 + 12a + 9 = (2a + 3)
2
=
(2a + 3)(2a − 3) − 3(a − 1) 3(2a + 3)
=
4a 2 − 9 − 3a + 3 4a 2 − 3a − 6 = 2 2 3(2a + 3) 3(2a + 3)
3x + 1
(x + 1)(x − 1)
(a − b) − (a + ab + b ) (a − b) (a + ab + b ) 2
=
=
y (x − y)
2
(x + 1)(x − 1) 2
x− x+ y
mcm = 3(2a + 3)
x ( x − 1) − ( x + 1)( x + 1)
(x + 1)(x − 1)
=
6a + 9 = 3(2a + 3)
mcm = ( x − 1) ( x + 1)
x2 − x − x2 − 2x − 1
y (x − y)
2a − 3 a−1 − 6a + 9 4a 2 + 12a + 9
2
1 1 − 12. 3 a − b3 (a − b)3 =
17.
x − (x − y )
b b − a 2 − b 2 a 2 + ab =
a 2 + 4ab − 3b 2 − ab + 3b 2 a 2 − 9b 2
mcm = y ( x − y )
1 x − xy − y 2 y
(a − b) (a 3
2
+ ab + b 2 )
2
x+1 x−1 − x2 + x + 1 x2 − x + 1 = =
mcm = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)
x + 1 − ( x − 1)
(x
2
+ x + 1)( x 2 − x + 1)
(x
2
+ x + 1)( x 2 − x + 1)
x + 1− x + 1
=
(x
2
2
+ x + 1)( x 2 − x + 1)
a −1 1 1 − − 19. 2 a + a 2a − 2 2 a + 2 =
=
3 x x 24. x 2 + x − 2 − x 2 + 2 x − 3 − x 2 + 5x + 6 x 2 + x − 2 = ( x + 2)( x − 1)
2 (a − 1)(a − 1) − a (a + 1) − a (a − 1)
x 2 + 2 x − 3 = ( x + 3)( x − 1)
2a(a − 1)
x 2 + 5x + 6 = ( x + 3)( x + 2)
2
2 (a − 2a + 1) − a − a − a + a 2
=
mcm = 2a(a − 1) 2
2
mcm = ( x + 2)( x − 1)( x + 3)
2
2a(a 2 − 1)
=
2a 2 − 4 a + 2 − 2a 2 2a(a 2 − 1)
=− = −
2a(a 2 − 1)
2 (2a − 1)
25.
= −
2a − 1 1 − 2a = a (a 2 − 1) a (a 2 − 1)
=
=
6 (a 2 + 1)(a − 1) − 3 (a 2 + 1)(a + 1) − 2 (a 2 − 1)
=
6 (a 3 − a 2 + a − 1) − 3(a 3 + a 2 + a + 1) − 2a 2 + 2
=
22.
23.
3
x3
(x − 1)(x − 1) 3
2a + 2ab + 2b 2 = 2 (a 2 + ab + b 2 ) 2a − 2b = 2 (a − b)
mcm = 2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
3a − 11a + 3a − 7 2
24 (a − 1) 4
= mcm = x ( x − y )
=
x (x − y)
=
y− x+ y− x x (x − y)
2 y − 2x
x (x − y)
=
2 ( y − x)
x (x − y)
=−
a − (a + b) − a a (a + b)
=
2 (x − y)
x (x − y)
−a−b
a (a + b)
x + y − (x − y) − 2 y x (x − y
2
)
2 x
=−
=
a+b
a (a + b)
x (x − y 2
2
)
=
2a + 2b − a 2 + b 2 − a 2 − ab − b 2 2 (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) 2b 2 − ab
2 (a − b)(a + ab + b 2
2
=
2b 2 − ab
) 2 (a
3
− b3 )
3a a−1 10a − 1 − − 2a 2 − 2a − 4 4a 2 + 8a − 32 8a 2 + 40a + 32
4a 2 + 8a − 32 = 4 (a 2 + 2a − 8) = 4 (a + 4)(a − 2)
8a 2 + 40a + 32 = 8 (a 2 + 5a + 4) = 8 (a + 4)(a + 1)
=−
mcm = 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
1 a
mcm = x (x 2 − y 2 )
x− y− x+ y
2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
2
2a 2 − 2a − 4 = 2 (a 2 − a − 2) = 2 (a − 2)(a + 1)
mcm = a (a + b )
1 1 2y − − x 2 − xy x 2 + xy x 3 − xy 2 2
27. =−
2 (a 2 + b 2 ) − (a + b)(a − b) − (a 2 + ab + b 2 ) 2
y − (x − y) − x
a 1 1 − − a + ab a a + b
=
(x − 1)(x − 1)
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
2
=
3x 2 − 6x + 3 − x 3 − x 2 − x − 2 x 2 − 2 x − 2 − 1 + 9 x
2
6a 3 − 6a 2 + 6a − 6 − 3a 3 − 3a 2 − 3a − 3 − 2a 2 + 2
1 1 y 21. x − xy − x − x − y
=
3
a 2 + b2 a+b 1 26. a 3 − b 3 − 2a 2 + 2ab + 2b 2 − 2a − 2b
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
2
=
(x − 1)(x − 1)
=−
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
3
3( x − 1) − (x + 2)(x 2 + x + 1) − (1 − 9 x) 2
mcm = 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
=
x+ 2 3 1− 9 x − − mcm = ( x 3 − 1)( x − 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 (x 3 − 1)( x − 1) =
1 1 1 20. − − 4a + 4 8a − 8 12a 2 + 12
=
( x + 2)( x − 1)( x + 3)
x 2 + 3 x − 3x − 6 − x 2 + x x−6 = = 2 1 3 2 x x x x + − + + ( )( )( ) ( )(x − 1)(x + 3)
4a − 2
2a(a 2 − 1)
x ( x + 3) − 3 ( x + 2) − x ( x − 1)
0
x (x − y 2
2
)
=0
= = =
12a (a + 4) − 2 (a − 1)(a + 1) − (10a − 1)(a − 2) 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
12a 2 + 48a − 2a 2 + 2 − 10a 2 + 20a + a − 2 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
69a
8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
a2 + 9x2 a 1 − 3 − 4a − 12 x a − 27 x 3 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 )
28.
2a 2 − 3 a + 1 9a 2 − 14 29. 10a + 10 − 50 − 50a + 50
4a − 12 x = 4 (a − 3x )
10a + 10 = 10 (a + 1)
a 3 − 27 x 3 = (a − 3x)(a 2 + 3ax + 9a 2 )
50 = 50
2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) = 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 )
50a + 50 = 50 (a + 1)
mcm = 4 (a 3 − 27 x 3 )
= = =
mcm = 50 (a + 1)
a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4 (a 2 + 9 x 2 ) − 2a (a − 3x)
=
4 (a 3 − 27 x 3 )
=
− 5a 2 + 9ax − 27 x 2
=
4 (a 3 − 27 x 3 )
4 (a − 27 x
3
)
=−
5a 2 − 9ax + 27 x 2 4 (a − 27 x 3
3
50 (a + 1)
10a − 15 − a − 2a − 1 − 9a 2 + 14 2
a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4a 2 − 36x 2 − 2a 2 + 6ax
3
5 (2a 2 − 3) − (a + 1)(a + 1) − (9a 2 − 14)
)
2
50 (a + 1)
− 2a − 2
50 (a + 1)
=−
2 (a + 1)
50 (a + 1)
=−
1 25
EJERCICIO 130 2 3 4x − 7 1. x − 3 + x + 2 − x 2 − x − 6 = = 2.
2 ( x + 2) + 3 ( x − 3) − (4 x − 7) 2 x + 4 + 3x − 9 − 4 x + 7
(x − 3)(x + 2)
=
4a − 2 + a + 12
x+2
(x − 3)(x + 2)
12 (a + 2)
=
mcm = 3x 2 (x 2 + 1)
3x 2 (x 2 + 1)
=
mcm = 4 (a 2 − 1)
4 (a − 1) 2
2
4 (a − 1) 2
=
3a − 3a + 10 2
=
mcm = ab (a + b)
b (a − b) + (a + b)(a + b) − a 2 ab (a + b)
ab − b 2 + a 2 + 2ab + b 2 − a 2 ab (a + b)
x− y x+ y 4 x2 6. x + y − x − y + x 2 − y 2
=
3ab
ab (a + b)
( x − y)(x − y) − ( x + y)( x + y) + 4 x x −y 2
=
3 a+b
mcm = x 2 − y 2 2
2
4 (a 2 − 1)
4 x (x − y) 4 x 2 − 4 xy 4x = = x2 − y2 ( x + y)( x − y) x + y
mcm = ax (a − x )
x 1 1 7. a 2 − ax + a + x =
4 (a + 3) + 2 (a − 1)(a − 1) + (a − 4)(a + 1) 4a + 12 + 2a − 4a + 2 + a − 3a − 4
=
=
3x 3 + x 3 + x − 3x 2 − 3 4 x 3 + x − 3x 2 − 3 = 3x 2 ( x 2 + 1) 3x 2 (x 2 + 1)
2
a−b a+b a + − a 2 + ab ab ab + b 2
x 2 − 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 + 4 x 2 = x2 − y2
3x 3 + x (x 2 + 1) − 3 (x 2 + 1)
a+ 3 a −1 a−4 + + 4. 2 − + a 1 2a 2 4a − 4 =
5 (a + 2)
5 = = = 12 (a + 2) 12 (a + 2) 12
x 1 1 + − x 2 + 1 3x x 2 =
1 x−3
=
mcm = 12 (a + 2)
5a + 10
5.
=
(x − 3)(x + 2)
a 1 a + 12 − + 3a + 6 6a + 12 12a + 24 =
3.
mcm = (x − 3)( x + 2)
=
x 2 + x (a − x ) + a (a − x ) ax (a − x )
x 2 + ax − x 2 + a 2 − ax ax (a − x )
=
a2
ax (a − x )
=
a
x (a − x )
x+1 x+4 x+5 8. x 2 − x − 20 − x 2 − 4 x − 5 + x 2 + 5x + 4
12.
x 2 − x − 20 = ( x − 5)( x + 4)
a − 1 a − 2 a 2 + 2a − 6 − + 3a + 3 6a − 6 9a 2 − 9
x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5)( x + 1)
=
mcm = ( x − 5)(x + 4)( x + 1)
=
x 2 + 5x + 4 = ( x + 4)( x + 1)
(x + 1)(x + 1) − (x + 4)(x + 4) + (x − 5)(x + 5) = (x − 5)(x + 4)(x + 1) = = =
=
x 2 + 2 x + 1 − x 2 − 8 x − 16 + x 2 − 25
(x − 5)(x + 4)(x + 1)
(x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 10)(x + 4) = x − 10 (x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 5) (x + 1)
= =
2 (2 x + 1)(2 x − 1) − 8 x 2 + 2 x (3 x + 2) 8 (3x + 2)(2 x − 1)
=
8 (3x + 2)(2 x − 1)
=
6x + 4 x − 2 2
8 (3x + 2)(2 x − 1) 3x 2 + 2 x − 1
=
11.
15.
8 (3x + 2)(2 x − 1) 4 (3x + 2)(2 x − 1) mcm = ax (a + x )
1 1 1 10. ax − a 2 + ax + a + x a + x − x + ax ax (a + x )
=
ax + a
=
=
(x − y)( x 2
(x
x+1
x (a + x )
2
3
2
)(x
− 4y 4y = x4 − y4 y4 − x4
3
2
(a + 6)(a + 2)(a − 4)
a + 2 + 2a + 12 − 3a + 12
(a + 6)(a + 2)(a − 4)
2
+y
2
−y
2
2
)(x
2
+y
3
2
)
2
26
(a + 6)(a + 2)(a − 4) mcm = xy ( x + y )
x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 xy ( x + y)
2
0
=
xy ( x + y )
=0
mcm = a 3 + 1
=
a 3 + (a + 1)(a + 3) − (a − 1)(a 2 − a + 1) a3 + 1
=
a 3 + a 2 + 4a + 3 − a 3 + a 2 − a + a 2 − a + 1 3a 2 + 2a + 4 = a3 + 1 a3 + 1
1 2x 3x 2 + 2 − 3 x−1 x −1 x −1 =
)
2
=
(x + y)(x + y) − x (x + 2 y) − y xy ( x + y )
mcm = ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) 16.
−y
(x
3
=
=
a + 2 + 2 (a + 6) − 3 (a − 4)
a3 a+3 a−1 + − a + 1 a2 − a + 1 a + 1
+ y 2 ) − ( x + y)( x 2 + y 2 ) + 2 y ( x 2 − y 2 ) 2
5a
=
3
x + xy − x y − y − x − xy − x y − y + 2 x y − 2 y 3
=
2
a ( x + 1)
ax (a + x) ax (a + x )
1 1 2y − + x + y x − y x2 + y2
5a (a − 1)
=
18 (a − 1) 18 (a + 1)(a − 1) 18 (a + 1) 2
x + y x + 2y y − − xy xy + y 2 x 2 + xy
14.
8 x2 − 2 − 8 x 2 + 6x 2 + 4 x
=
5a 2 − 5a
mcm = (a + 6)(a + 2)(a − 4)
mcm = 8 (3x + 2)(2 x − 1)
=
18 (a 2 − 1)
a 2 + 8a + 12 = (a + 6)(a + 2)
16 x − 8 = 8 (2 x − 1)
2 (3x 2 + 2 x − 1)
6a 2 − 12a + 6 − 3a 2 + 3a + 6 + 2a 2 + 4a − 12
a 2 − 2a − 8 = (a − 4)(a + 2)
6 x 2 + x − 2 = (3x + 2 )(2 x − 1)
=
18 (a 2 − 1)
a 2 + 2a − 24 = (a + 6)(a − 4)
12 x + 8 = 4 (3x + 2)
=
6 (a − 1)(a − 1) − 3 (a − 2)(a + 1) + 2 (a 2 + 2a − 6)
1 2 3 13. a 2 + 2a − 24 + a 2 − 2a − 8 − a 2 + 8a + 12
x 2 − 6 x − 40
2x + 1 x2 2x − + 9. 12 x + 8 6 x 2 + x − 2 16 x − 8
=
mcm = 18 (a 2 − 1)
3
(x + 1)(x
+ x + 1) + 2 x ( x 2 + x + 1) − 3x 2 ( x + 1)
(x − 1)(x 2
2
+ x + 1)
2
(x − 1)(x 2
x + 4x + 1
3
2
=
2
x + x + x + x + x + 1 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 3x 3 − 3x 2 3
=
2
mcm = ( x 2 − 1)( x 2 + x + 1)
(x − 1)(x 2
2
+ x + 1)
2
+ x + 1)
a+b 1 3a 2 + 3 3 17. 2 2 − a − ab + b a + b a + b
(a + b)(a + b) − (a =
mcm = a 3 + b 3
1− x2 x2 6x − 2 − 9− x 9 + 6x + x2 9 − 6x + x2
22.
9 − x 2 = (3 + x )(3 − x ) ;
− ab + b 2 ) + 3a 2 3 a + b3
=
2
9 − 6 x + x 2 = (3 − x )
2
2
3a (a + b) 3a + 3ab 3a = = a 3 + b3 (a + b)(a 2 − ab + b2 ) a 2 − ab + b2
2 2x + 3 6 x + 12 18. x − 2 + x 2 + 2 x + 4 − x 3 − 8
= =
mcm = x 3 − 8
=
2 ( x 2 + 2 x + 4) + (2 x + 3)(x − 2) − (6 x + 12) x3 − 8
=
2 x 2 + 4 x + 8 + 2 x 2 − 4 x + 3x − 6 − 6x − 12 x3 − 8
=
4 x − 3x − 10 ( x − 2)(4 x + 5) 4x + 5 = = 2 x3 − 8 x3 − 8 x + 2x + 4
=
3x + 2 5x + 1 4x − 1 19. x 2 + 3x − 10 − x 2 + 4 x − 5 + x 2 − 3x + 2
=
x 2 + 3x − 10 = ( x + 5)(x − 2) ; x 2 + 4 x − 5 = ( x + 5)(x − 1) x 2 − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1);
= =
mcm = (x + 5)( x − 2)( x − 1)
2
18 ( x 2 − 1)
9 x 2 − 9 x − 6 x 2 − 12 x − 6 + 3x 2 − 6 x + 3 − 5x − 5 18 ( x 2 − 1)
2 6 x 2 − 32 x − 8 2 (3x − 16x − 4) 3x 2 − 16 x − 4 = = 18 ( x 2 − 1) 18 ( x 2 − 1) 9 ( x 2 − 1)
=
3
n (n − 1)
=
n2 − n + n 3 − 2n 2 + n − n − n3 + 3n2 − 3n + 1 2n 2 − 4n + 1 = 3 3 n (n − 1) n (n − 1)
(a
2
4a 2 + 4a − 8 − 7a − 2a 2 + 4a + 6 8 (a − 1) 2
2a + 5
4a − 1
− 25)(a + 5) 2
2
=
2a 2 + a − 2 8 (a 2 − 1)
mcm = 120 (2a + 1)
120 (2a + 1)
2 (4a − 1) 4a − 1 = = 120 (2a + 1) 120 (2a + 1) 60 (2a + 1) 8a − 2
2
1
3
26. 2 x 2 + 5x + 3 − 2 x 2 − x − 6 + x 2 − x − 2 2 x 2 + 5x + 3 = (2 x + 3)( x + 1)
2 x 2 − x − 6 = (2 x + 3)( x − 2 )
2
x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)
mcm = (2 x + 3)( x + 1)( x − 2)
− 25)(a + 5) 4
=
120 (2a + 1)
2
a − 25 − a + 10a − 25 + a + 10a + 25
(a
8 (a 2 − 1)
2
2
4
4 (a + 2)(a − 1) − 7a − 2 (a − 3)(a + 1)
12a − 36 + 12a + 30 − 16a + 4
mcm = (a − 25)(a + 5) 4
2
4
mcm = 8 (a 2 − 1)
12 (a − 3) + 6 (2a + 5) − 4 (4a − 1)
a − 25 − (a − 5)(a − 5) + (a + 5)(a + 5) 4
=
=
3
4
a+2 a−3 7a − − 2a + 2 8a 2 − 8 4a − 4
=
mcm = n (n − 1)
mcm = 18 ( x 2 − 1)
9 x ( x − 1) − 6 ( x + 1)( x + 1) + 3( x − 1)( x − 1) − 5 ( x + 1)
=
3
1 a2 − 5 a2 + 5 21. 2 − + 4 2 a + 5 (a 2 + 5) a − 25 =
2
2
a−3
2
2
2
2
(3 + x) (3 − x)
24.
n (n − 1) + n (n − 1) − n − (n − 1)
4
2
− 6 x (3 + x )
25. 20a + 10 + 40a + 20 − 60a + 30
1 1 1 − 20. 2 + 3 − − n n 1 (n + 1) (n − 1)
=
2
9 − 54 x − 55x 2
(x + 5)(x − 2)(x − 1)
1
=
2
2
3x 2 − 3x + 2 x − 2 − 5x 2 + 10 x − x + 2 + 4 x 2 + 20 x − x − 5 2 x + 27 x − 5
2
2
(3 + x) (3 − x)
(3x + 2)(x − 1) − (5x + 1)(x − 2) + (4 x − 1)(x + 5) (x + 5)(x − 2)(x − 1)
(x + 5)(x − 2)(x − 1)
2
9 − x 2 − 9 x 2 + x 4 − 9 x 2 + 6 x 3 − x 4 − 54 x − 36 x 2 − 6 x 3
2
=
mcm = (3 + x ) (3 − x )
;
5 x x+1 x−1 − + − 2 x + 2 3x − 3 6x + 6 18 x − 18
23.
2
=
2
(1− x )(9 − x ) − x (3 − x) = (3 + x) (3 − x)
a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + ab − b 2 + 3a 2 a 3 + b3 2
=
9 + 6 x + x 2 = (3 + x )
a + 20a − 25
(a
4
2
4
− 25)(a + 5) 2
= =
2 ( x − 2) − ( x + 1) + 3 (2 x + 3)
(2 x + 3)( x + 1)(x − 2)
2 x − 4 − x − 1+ 6x + 9
=
7x + 4
(2 x + 3)( x + 1)(x − 2) (2 x + 3)(x + 1)( x − 2)
a−1
a−2
mcm = (a − 2)(a + 3)(a − 1)
1
− + 27. a− 2 a+ 3 a−1
(a − 1) (a + 3) − (a − 2) (a − 1) + (a − 2)(a + 3) (a − 2)(a + 3)(a − 1) a − 2a + 1)(a + 3) − (a − 4a + 4)(a − 1) + a + a − 6 ( = (a − 2)(a + 3)(a − 1) 2
2
=
2
1.
2
mcm = m2 − n2
a 3 + 3a 2 − 2a 2 − 6a + a + 3 − a 3 + a 2 + 4a 2 − 4a − 4a + 4 + a 2 + a − 6
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
x2 x2 x 2x 2x 2x − = + = + x − xy y − x x ( x − y) x − y x − y x − y
2.
7a 2 − 12a + 1
2
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
mcm = x − y
2 + 3a 2 − 3a a 28. − − 2 − 3a 2 + 3a (2 − 3a )2 = = =
= =
x + 2 x 3x = x− y x− y 3.
(2 + 3a)(4 − 9a ) − (2 − 3a ) − a (2 + 3a ) (4 − 9a )(2 − 3a ) 3
8 − 18a 2 + 12a − 27a 3 − 8 + 36a − 54a 2 + 27a 3 − 2a − 3a 2
=
(4 − 9a )(2 − 3a ) 2
46a − 75a 2
4.
(4 − 9a )(2 − 3a) 2
2 (1 + a
2
2
2
2
5.
=
(2 − x)(1+ x) = 1+ x x (2 − x )( x + 2) x (2 + x)
10 (1 + a
2
2
2
2
=
a 2 + 2ab + b2 − a 2 a (a − b 2
2
)
=
2ab + b2 a (a 2 − b2 )
x−4 x x−4 x − = + x 2 − 2 x − 3 6 − 2 x ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)
)(1− a ) 2
=
)
(a + b)(a + b) − a a (a − b )
mcm = 2 ( x − 3)( x + 1)
2 − 2a + 2 a 2 − 2a 3 + 2 + 2 a + 2a 2 + 2 a 3 − 1 + a 2
10 (1 − a
x (4 − x 2 )
a+b a a+b a + = − a 2 − ab b 2 − a 2 a (a − b) a 2 − b 2
mcm = 10 (1 + a 2 )(1 − a 2 ) =
)(1 − a) + 2 (1 + a )(1 + a ) − (1 − a ) 10 (1 + a )(1 − a )
4
2 + x − x2
mcm = a (a 2 − b2 )
2
5a 2 + 3
1 x 1 x + = − 2 x − x 2 x 2 − 4 x (2 − x) 4 − x 2
mcm = x (4 − x 2 )
2
1 1 1 + − 5 + 5a 5 − 5a 10 + 10a 2 =
=
mcm = (4 − 9a 2 )(2 − 3a )
2
29.
1 1 m m + = − m − n n2 − m2 m − n m2 − n2 m+n−m n = 2 2 = 2 2 m −n m −n
2
=
=
EJERCICIO 131
2 ( x − 4) + x ( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1) 1
=
2x − 8 + x2 + x
=
x 2 + 3x − 8
2 ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1)
1
1
1
+ = − 6. 2 x + 2 x − 8 (2 − x)( x + 3) ( x + 4)(x − 2) ( x − 2)( x + 3) mcm = ( x − 2)( x + 3)( x + 4)
x x 1 1 − + − 30. 3 − 3x 3 + 3x 6 + 6 x 2 2 − 2 x 2 3 − 3x = 3 (1 − x )
=
3 + 3x = 3 (1 + x )
;
6 + 6 x 2 = 6 (1 + x 2 ) ; 2 − 2 x 2 = 2 (1 − x 2 )
mcm = 6 (1 + x
2
2
(x − 2)(x + 3)(x + 4)
=
(x − 2)(x + 3)(x + 4) (2 − x)(x + 3)(x + 4)
4
2
2
2
4
= =
2 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 − 2 + 2 x − 2 x 2 + 2 x 3 + x − x 3 − 3x − 3x 3 6 (1 − x 4 )
2x
x + 3− x − 4
=
)(1 − x ) = 6 (1 − x ) 2 (1 + x )(1 + x ) − 2 (1 + x )(1 − x ) + x (1 − x ) − 3x (1 + x ) = 6 (1 − x ) 2
x + 3 − ( x + 4) (x − 2)(x + 3)(x + 4)
−1
7.
1 2 7 1 2 7 + + = − + 2 x + 2 1 − x 4 x − 4 2 ( x + 1) x − 1 4 (x − 1)
mcm = 4 ( x 2 − 1) =
x
= 6 (1 − x 4 ) 3(1 − x 4 )
1
=
=
2 ( x − 1) − 8 ( x + 1) + 7 ( x + 1) 4 ( x 2 − 1)
2 x − 2 − 8x − 8 + 7 x + 7 4 ( x 2 − 1)
=
x− 3
4 ( x 2 − 1)
8.
1 2 a+1 + + 12. a − 3 (3 − a )(a − 2) (2 − a )(1 − a )
2a 3a 2a 2a 3a 2a + + = + − a + 3 a − 3 9 − a2 a + 3 a − 3 a2 − 9
1 2 a+1 − + a − 3 (a − 3)(a − 2) (a − 2)(a − 1)
mcm = a 2 − 9 =
2a (a − 3) + 3a (a + 3) − 2a a2 − 9
=
mcm = (a − 3)(a − 2)(a − 1)
=
2a 2 − 6a + 3a 2 + 9a − 2a 5a 2 + a = 2 a2 − 9 a −9
=
x + 3y 3y 2 x x + 3y 3y 2 x + 2 = + 2 − 2 − y+ x x − y y − x y + x x − y2 x − y
=
mcm = x 2 − y 2
=
9.
= =
(x + 3y)( x − y) + 3y x −y 2
2
+ x ( x + y)
2
13.
x 2 − xy + 3xy − 3 y 2 + 3 y 2 + x 2 + xy 2 x 2 + 3xy = 2 x2 − y2 x − y2
x
=
−
x− 3
+
=
x + 2x − x + 9 + x + 2x − 3
11.
2
1
2
(x + 3)(x + 2)(x − 1)
=
a+3
(3 − a)(a − 2)(a − 1)
2 1 2 x 2 x ( x + 1) − + 2 x−1 x3 − 1 x + x+1
=
2 x ( x 2 + x + 1) − 2 x 2 ( x + 1) + ( x − 1) x3 − 1
=
2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 2 x 3 − 2 x 2 + x − 1 3x − 1 = 3 x3 − 1 x −1
x+ 2
x + 4x + 6
(x + 3)( x + 2)(x − 1)
=
3 1 4 3 1 4 − − = − + 2a + 2 4a − 4 8 − 8a 2 2 (a + 1) 4 (a − 1) 8 (a 2 − 1)
x+1
4 x 2 + 6x + 3
=
=
=
12 (a − 1) − 2 (a + 1) + 4 8 (a − 1)
x+ 2 x+1 4 x 2 + 6x + 3 − + 3x − 1 2 x − 3 (2 x − 3)(3x − 1)
mcm = (2 x − 3)(3x − 1)
mcm = 8 (a 2 − 1)
=
−a−3
(a − 3)(a − 2)(a − 1)
14. 3x − 1 + 3 − 2 x + 6 x 2 − 11x + 3
2
=
(a − 3)(a − 2)(a − 1)
mcm = x 3 − 1
(x + 3)(x − 1) (x − 1)(x + 2) x + 2 mcm = ( x + 3)( x + 2)( x − 1) x ( x + 2) − ( x − 3)( x + 3) + ( x + 3)( x − 1) = (x + 3)(x + 2)(x − 1) 2
a 2 − 3a + 2 − a 2 + 1 + 2a − 6
2x 2 x3 + 2x2 1 + + 2 x−1 1− x 3 x + x+1 =
x x− 3 1 + + 10. 2 x + 2 x − 3 (1 − x)( x + 2) x + 2
(a − 2)(a − 1) − (a + 1)(a − 1) + 2 (a − 3) (a − 3)(a − 2)(a − 1)
2
10 (a − 1) 12a − 12 − 2a − 2 + 4 10a − 10 5 = = = 8 (a 2 − 1) 8 (a 2 − 1) 8 (a − 1)(a + 1) 4 (a + 1)
(x + 2)(2 x − 3) − (x + 1)(3x − 1) + 4 x (2 x − 3)(3x − 1)
2
+ 6x + 3
2 x 2 − 3x + 4 x − 6 − 3x 2 + x − 3x + 1 + 4 x 2 + 6 x + 3
(2 x − 3)(3x − 1) (x + 2)(3x − 1) = x + 2 3x + 5x − 2 = = (2 x − 3)(3x − 1) (2 x − 3)(3x − 1) 2 x − 3 2
EJERCICIO 132 2a 2 6b2 12a 2b2 ⋅ = = ab 1. 3b 4a 12ab 2.
x 2 y 10a 3 9m 90x 2 ya 3m 6a 3y ⋅ ⋅ = = xm 5 3m2 x 3 15x 3m2
5x 2 4y 2 14m 14 ⋅ 5 ⋅ 4x 2my 2 8 ⋅ ⋅ = = 3. 7y 3 7m3 5x 4 49 ⋅ 5x 4m3 y 3 7x 2m2 y 4.
5 2a 3b 10 ⋅ 3ab 3 ⋅ ⋅ = = a b2 10 10ab2 b
2x 3 3a 2 5x 2 15 ⋅ 2a 2 x 5 2x 4 = ⋅ ⋅ = 5. 3 2 3 3 y 7xy 15a 15 ⋅ 7a xy 7ay 3 n2 7a 3m 5n4 7 ⋅ 3 ⋅ 5amn4 ⋅ ⋅ = = 6. 2 2 2 2 6m 10n 14ax 14 ⋅ 6 ⋅10am n x 8mx 7.
8.
x (2 x + 1) 2x2 + x 8 4 2x + = ⋅ = 6 4x + 2 3 2 (2 x + 1) 3 5x + 25 7 x + 7 5( x + 5) 7 ( x + 1) x + 1 ⋅ = ⋅ = 14 10 x + 50 14 4 10 ( x + 5)
9.
1 − x a 2 + a x 2 1 − x a (a + 1) x 2 ⋅ =x 21. a + 1 ⋅ x − x 2 ⋅ a = a + 1 ⋅ x (1 − x) a
m+ n n2 ⋅ mn − n 2 m2 − n 2 =
m+ n
n2
⋅
n (m − n) (m + n)(m − n)
xy − 2 y x + 2 xy + y ⋅ x 2 + xy x 2 − 2 xy 2
10.
= 11.
2
y ( x − 2 y)
=
n
(m − n)
2
=
n m − 2mn + n 2
22.
2
2
(x + y) = y (x + y) = xy + y x x x (x + y) x ( x − 2 y) ⋅
2
2
2
2
2
2
=
2
a 2 − ab + a − b 3 ⋅ 13. a 2 + 2a + 1 6a 2 − 6ab
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x (x − 2 y) (x − 2 y) ⋅ x x − 2 xy = = = x + 4 xy + y x ( x + 2 y) ( x + 2 y)( x − 2 y ) ( x + 2 y) 2 x ( x + 1) x ( x − 3) 2 x + 2 x x − 3x ⋅ = ⋅ =1 12. 2x x − 2x − 3 2x (x − 3)(x + 1)
2
2
2
m− n − x m
24. 2a + 2ab
x3 − x x ⋅ 2ax − 2ax a x + b2 x x + 1 3
2
2
⋅
2
2a (a 2 + b2 ) x ( x 2 − 1) x (a + 1)(a − b) ⋅ 3 = 1 = 1 = ⋅ ⋅ =1 2ax ( x − 1) x (a 2 + b2 ) x + 1 (a + 1)(a + 1) 6a (a − b) 2a (a + 1) 2a + 2a (x − y) ⋅ x + x + 1 = (x − y) ⋅ x + x + 1 = x − y 25. a − 5a + 6 ⋅ 6a ⋅ a − 25 3a − 15 a − a − 30 2a − 4 x−1 x − 1 (x − y) (x − 1)(x + x + 1) (a − 3)(a − 2) ⋅ 6a (a + 5)(a − 5) = ⋅ 2a − 2 a − 4a − 5 2 (a − 1) (a − 5)(a + 1) 3 (a − 5) (a − 6)(a + 5) 2 (a − 2) ⋅ = ⋅ 2a − 50 3a + 3 2 (a − 25) 3(a + 1) a (a − 3) a − 3a = = a − 1)(a − 5) ( a−1 a−1 a−6 a−6 = = = 3(a + 5)(a − 5) 3(a + 5) 3a + 15 x − 3xy − 10 y x − 16 y x − 6xy ⋅ ⋅ 26. x − 2 xy − 8 y x + 4 xy x + 2 y 3 ( x + 2) 2 x − 3x − 2 3x + 6 ( x − 2)(2 x + 1) ⋅ = ⋅ =1 6x + 3 x −4 3 (2 x + 1) ( x − 2)( x + 2) (x − 5y)(x + 2 y) ⋅ (x + 4 y)(x − 4 y) ⋅ x (x − 6 y) = x + 2y x − 4 y)( x + 2 y) x (x + 4 y ) ( y + 9 y + 18 5 y − 25 ( y + 6)( y + 3) 5 ( y − 5) ⋅ = ⋅ = y+6 y−5 y−5 5 y + 15 5( y + 3) (x − 5y)(x − 6 y) = x − 11xy + 30 y =
=
2
3
14.
( x − 4)(x + 2) ⋅ x (x + 4) (x − 4)( x + 4) x (x + 1) (x + 2)(x + 2) x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4) 1 = = x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4)( x + 1) x + 1 (m + n) − x ⋅ (m − n) − x 23. (m + x) − n m + mn − mx (m + n + x)(m + n − x) ⋅ (m − n + x)(m − n − x) = (m + n + x)(m − n + x) m (m + n − x) ⋅
2
2
2
x 2 − 4 xy + 4 y 2 x2 ⋅ 2 x 2 + 2 xy x − 4y2
2
x ( x + 2)
=
2
2
x2 + 2x x2 − 2x − 8 x2 + 4x ⋅ 2 ⋅ x 2 − 16 x 3 + x 2 x + 4x + 4
2
2
2
2
2
3
2
2
2
15.
2
2
2
2
16.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
17.
2
18.
x + 2y
x + 2 x − 3x 2 x + 3x ⋅ 4 x 2 + 8x + 3 x 2 − x 3
= =
2
2
(2 x + 1)( x − 1)
=
(x + 2a) ⋅ 2a (x − 2a) ⋅ 6 (a + x) 3a ( x − 2a ) a ( x + 1) ( x + 2a )( x + a ) 4 ( x + 2a ) 4 x + 8a = = ax + a a ( x + 1) 2
=
x ( x + 3) x 2 + 3x = 2x + 1 2x + 1
x − 27 a 2 + a + 1 ⋅ a 3 − 1 x 2 + 3x + 9 3
19.
(x − 3)(x + 3x + 9) ⋅ a + a + 1 = x − 3 (a − 1)(a + a + 1) x + 3x + 9 a − 1 2
=
2
x + 2y
x 2 + 4ax + 4a 2 2ax − 4a 2 6a + 6 x ⋅ 2 ⋅ 27. ax + a x + 3ax + 2a 2 3ax − 6a 2
x ( x 2 + 2 x − 3) x (2 x + 3) ⋅ (2 x + 3)(2 x + 1) x ( x − 1) x ( x + 3)( x − 1)
2
2
2
a 2 + 4ab + 4b 2 2a + 4b (a + 2b) 2 (a + 2b) 2 ⋅ = ⋅ = 20. 3 3 (a + 2b)3 3 (a + 2b)3 2
a 2 − 81 a + 11 2a − 12 a 3 + 5a 2 28. 2a 2 + 10a ⋅ a 2 − 36 ⋅ 2a + 18 ⋅ 2a + 22
(a + 9)(a − 9) ⋅ a + 11 ⋅ 2 (a − 6) ⋅ a (a + 5) 2a (a + 5) (a + 6)(a − 6) 2 (a + 9) 2 (a + 11) a (a − 9) a − 9a = = 4 (a + 6) 4a + 24 2
=
2
30. 29.
a 2 + 7a + 10 a 2 − 3a − 4 a 3 − 2a 2 − 3a ⋅ ⋅ a 2 − 6a − 7 a 2 + 2a − 15 a 2 − 2a − 8
(a + 5)(a + 2) ⋅ (a − 4)(a + 1) ⋅ a (a − 2a − 3) (a − 7)(a + 1) (a + 5)(a − 3) (a − 4)(a + 2) a (a − 3)(a + 1) a (a + 1) a + a = = = (a − 3)(a − 7) a − 7 a − 7
1 x 4 + 27 x x4 + x x2 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ x − x + x x − 3x + 9 x x ( x + 3) x − 3 x ( x 3 + 27)
=
a a 1. a + b a − b + 1
a ab + a a (b + 1) = = b b b
a (b + 1) ab ⋅ = a2 b b+1
2 1 2. x − x + 1 x + x + 2
(x + 2)(x − 1) ⋅ (x + 1) x+2
x+1
x 1− 1+ 3. a + x
2
x+1 x2 − 9
12 x+1
(x + 2)(x + 1) − 12 x+1
x 2 + 3x + 2 − 12 x 2 + 3x − 10 ( x + 5)( x − 2) = = = x+1 x+1 x+1 10 − 3x ⇒ x−2+ x+5
(x − 2)(x + 5) + 10 − 3x = x x+5
⇒
(x + 5)(x − 2) ⋅ x+1
⇒ a+
ab a (a − b) + ab a 2 − ab + ab a2 = = = a−b a−b a−b a−b
⇒ 1−
b2 a 2 − b2 = a2 a2
a 2 a 2 − b 2 (a + b)(a − b) =a+b ⋅ = a−b a2 (a − b)
+ 3x − 10 + 10 − 3x x2 = + x 5 x+5
x 2 ( x − 2) x 3 − 2 x 2 x2 = = x+1 x+1 x+5
x y+ x = y y
⇒ 1+ ⇒ x−
x a
ab b 2 a+ 1− a − b a2 4.
2
x x2 1+ x − 6. y x + y
= ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1
a+ x− x a x ⇒ 1− = = a+ x a+ x a+ x x a+ x ⇒ 1+ = a a a a+ x ⇒ ⋅ =1 a+ x a
⇒
=
x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 1) 1 = = = x+2 x+2 x+2 x+2 2
⇒
=
=
x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) 2 ⇒ x− = = = x+1 x+1 x+1 x+1 ⇒ x+
− 3x + 9) ( x + 1)( x 2 − x + 1) 1 ⋅ ⋅ 2 2 2 1 3 9 x − x+ x − x+ (x − 9)(x + 3)
=
⇒ x+ 2−
a (b + 1) − a ab + a − a a ab = = ⇒ a− = b+1 b+1 b+1 b+1 ⇒
(x + 3)(x
2
12 10 − 3x x+ 2− x− 2+ 5. x + 1 x+5
EJERCICIO 133
⇒ a+
⋅
2
2
2
x ( x 3 + 1)
x ⋅ 2 x ( x − x + 1) x ( x 2 − 3x + 9) ( x + 3) ( x − 3)
=
⇒
x ( x + y) − x 2 x 2 + xy − x 2 x2 xy = = = x+ y x+ y x+ y x+ y
y + x xy ⋅ =x y x+ y
ax + x 2 x a+ x− 1+ a + 2x a + x 7. ax + x 2 a + 2x
⇒ a+ x−
(a + x)(a + 2 x) − (ax + x ) 2
=
a + 2x
a + 3ax + 2 x 2 − ax − x 2 a 2 + 2ax + x 2 (a + x ) = = a + 2x a + 2x a + 2x x a + x + x a + 2x ⇒ 1+ = = a+ x a+ x a+ x
2
2
=
(a + x)
2
⇒
a + 2x
⋅
a + 2x =a+ x a+ x
mn n3 m− 1+ 3 m+ n m 9.
x 3 − 6x 8 x− 2 x + 1− x − 25 x + 3 8. 2 3 x 3 − 6 x x (x − 25) − (x − 6 x ) ⇒ x− 2 = 2 x − 25 x − 25 x 3 − 25x − x 3 + 6 x − 19 x 19 x = 2 = x 2 − 25 x − 25 25 − x 2
= ⇒ x + 1−
=
x 2 + 4 x + 3 − 8 x 2 + 4 x − 5 (x + 5)( x − 1) = = x+3 x+3 x+3
(5 − x)(x + 3)
=
⇒
=
= =
⇒
2
2a 2 + 5ax + 2 x 2 − 14 x 2 2a 2 + 5ax − 12 x 2 (a + 4 x )(2a − 3x ) = = 2a + x 2a + x 2a + x
a b b2 1− 1+ 2 b a a − b2
b+ a a −b a2 a2 a ⋅ ⋅ = = b a (a + b)(a − b) ab b 2 6 1 2+ 3− 1+ x + 1 x + 2 x 12.
a 2 + 5x 2 a + 4x
⇒ 2+
(a − x)(a + 4 x) + a
2
+ 5x 2
a + 4x
a 2 + 3ax − 4 x 2 + a 2 + 5x 2 2a 2 + 3ax + x 2 (a + x )(2a + x ) = = a + 4x a + 4x a + 4x
⇒
(a + 4 x)(2a − 3x) ⋅ (a + x )(2a + x) 2a + x
= (2a − 3x )(a + x ) = 2a 2 − ax − 3x 2
2
2
7.
3
1.
x xy 2x x y ÷ = ⋅ = 3y 2 y 3 3y 2 2x 6
2.
3a 2b 3a 2b 1 3 ÷ a 2b 3 = ⋅ = 2 5x 5x 2 a 2b3 5b 2 x 2 2
3.
4
2
4
a 2x 5 = 6a 2 x 3 ⋅ 2 = 30x 2 a x 5
15m2 20y 2 15m2 38a 3 x 4 3m2a 2 x 5. 19ax 3 ÷ 38a 3 x 4 = 19ax 3 ⋅ 20y 2 = 2y 2 11x 2 y 3 11x 2 y 3 1 x2 4 6. 7m2 ÷ 22y = 7m2 ⋅ 22y 4 = 14m2 y
3 ( x + 2 ) − 6 3 x + 6 − 6 3x 6 = = = x+ 2 x+2 x+2 x+ 2
⇒ 1+
1 x+1 = x x
2 ( x + 2 ) 3x x + 1 ⋅ ⋅ =6 x+1 x+ 2 x
x − 1 2x − 2 x − 1 6 ÷ = ⋅ =1 3 6 3 2 ( x − 1)
ab (a + 3b) 3a 2 5a 3 3a 2 3b ⋅ = 8. a 2 + 6ab + 9b 2 ÷ a 2b + 3ab 2 = 5(a + 3b) (a + 3b)2 5a 3
an 5m 10m 5m 14an ÷ = ⋅ = 7n3 14an4 7n3 10m4 m2
2 3 4. 6a x ÷
2 ( x + 1) + 2 2 x + 4 2 ( x + 2) 2 = = = x+1 x+1 x+1 x+1
⇒ 3−
⇒
a + 4x
EJERCICIO 134
2
a b+ a = b b b a−b ⇒ 1− = a a b2 a2 ⇒ 1+ 2 2 = 2 a −b a − b2
2a + x
⇒ a− x+
)
⇒ 1+
19 x 2 − 19 x 19 x 2 − 19 x = 5x + 15 − x 2 − 3x 15 + 2 x − x 2
(a + 2 x )(2a + x) − 14 x
2
m2 (m + n)(m − mn + n ) m2 − mn + n2 ⋅ = m+ n m3 m
11. 1 +
14 x 2 a 2 + 5x 2 a + 2x − a− x+ 2a + x a + 4x 10. 14 x 2 ⇒ a + 2x − 2a + x =
n3 m3 + n3 (m + n)(m − mn + n = = m3 m3 m3 2
19 x (x + 5)(x − 1) ⋅ x+3 25 − x 2 19 x (x − 1)
mn m (m + n) − mn m2 + mn − mn m2 = = = m+ n m+ n m+ n m+ n 2
⇒ 1+
(x + 1)(x + 3) − 8 8 = x+3 x+3 =
⇒
⇒ m−
9.
2 x 3 − x 5x 2 − 5x x (x − 1) 2 (x + 3) x + 1 ÷ = ⋅ = 2 2 x + 6x 2 x + 6 2 x ( x + 3) 5x ( x − 1) 5x
1 2 10. a 2 − a − 30 ÷ a 2 + a − 42 =
1
(a − 6)(a + 5)
⋅
(a + 7)(a − 6) = 2
a+7
2 (a + 5)
20x 2 − 30 x 4 x − 6 5x (4 x − 6) x + 1 1 ⋅ = 11. 15x 3 + 15x 2 ÷ x + 1 = 15x 2 (x + 1) (4 x − 6) 3x
a 2 − 6a + 5 a 2 + 2a − 35 12. a 2 − 15a + 56 ÷ a 2 − 5a − 24
18.
(a − 5)(a − 1) ⋅ (a − 8)(a + 3) (a − 8)(a − 7) (a + 7)(a − 5) (a − 1)(a + 3) = a + 2a − 3 = (a − 7)(a + 7) a − 49
=
2
8 x 2 + 26 x + 15 6x 2 + 13x − 5 ÷ 16 x 2 − 9 9x2 − 1
(2 x + 5)(4 x + 3) ⋅ (3x + 1)(3x − 1) = 3x + 1 (4 x + 3)(4 x − 3) (2 x + 5)(3x − 1) 4 x − 3
x − 121x x − 11x ÷ x 2 − 49 x+ 7 3
14.
=
15.
2
+ 1)(a 2 − 1)
a (a + 1) 2
x 3 + 125
÷ 17. x 2 − 64
(a
7x2 + 7x + 7 x3 − 1 ÷ 2x − 2x + 2 7x3 + 7 2
(x − 1)(x + x + 1) ⋅ 7 (x + 1) 2 ( x − x + 1) 7 ( x + x + 1) (x − 1) ⋅ x + 1 x − x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x − 1 = ( )( ) 2 2 2 ( x − x + 1) 2
3
2
2
2
2
2
⋅
⋅
15x 2 + 7 x − 2 6 x 2 + 13x + 6 ÷ 25x 3 − x 25x 2 + 10 x + 1
=
2a − 1 1 = (2a + 1)(2a − 1) a 2 (ax 2 + 5) a 2 (2a + 1)
(a
2
2
21.
(x + 7) = x + 11 (x + 7)(x − 7) x (x − 11) x − 7
a 4 − 1 a 4 + 4a 2 + 3 ÷ 3a 3 + 9a a3 + a2 =
2
2
⋅
ax 2 + 5
2
(3x + 2)(5x − 1) ⋅ (5x + 1) = 5x + 1 = 5x + 1 = x (5x − 1)(5x + 1) (2 x + 3)(3x + 2) x (2 x + 3) 2 x + 3x
ax 2 + 5 a 3 x 2 + 5a 2 ÷ 4a 2 − 1 2a − 1 =
16.
20.
2
x ( x 2 − 121)
2
a (a + 9) a 2 − 6a a 2 + 3a − 54 a (a − 6) 1 ⋅ = 19. a 3 + 3a 2 ÷ a 2 + 9a = 2 a (a + 3) (a + 9)(a − 6) a + 3
2
=
(4 x − 3y) ⋅ 2 (16x + 12 xy + 9 y ) = 1 4 (4 x − 3y ) (4 x − 3 y)(16 x + 12 xy + 9 y ) 2 2
=
13.
16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 64 x 3 − 27 y 3 ÷ 16 x − 12 y 32 x 2 + 24 xy + 18 y 2
3a (a 2 + 3)
2
+ 3)(a 2 + 1)
=
3 (a − 1) a
22.
2mx − 2my + nx − ny ÷ 8m + 4n 3x − 3 y =
23.
x 3 − 5x 2 + 25x x 2 + x − 56
x 2 − 6x + 9 x 2 + 5x − 24 ÷ 2 4x2 − 1 2 x + 17 x + 8
(x − 3) ⋅ (2 x + 1)(x + 8) = x − 3 (2 x + 1)(2 x − 1) (x + 8)(x − 3) 2 x − 1 2
=
(x + 5)(x − 5x + 25) ⋅ (x + 8)(x − 7) (x + 8)(x − 8) x (x − 5x + 25) (x + 5)(x − 7) = x − 2 x − 35 = x − 8x x ( x − 8) 2
=
(2m + n)(x − y) ⋅ 1 = 1 3( x − y) 4 (2m + n) 12
2
24.
2a 2 + 7ab − 15b 2 a 2 − 3ab − 40b 2 ÷ 2 a 3 + 4a 2b a − 4ab − 32b 2
2
2
=
(a + 5b)(2a − 3b) ⋅ (a − 8b)(a + 4b) = 2a − 3b a (a + 4b) (a − 8b)(a + 5b) a 2
2
EJERCICIO 135 a 2a 1+ ÷ 1+ a b + b 1.
a a + b + a 2a + b = = a+b a+b a+b 2a b + 2a ⇒ 1+ = b b b b 2 a + b b + 2a 2 a + b ⇒ ÷ = ⋅ = a+b b a + b b + 2a a + b ⇒ 1+
2 x 2. x − x + 1 ÷ x − x + 1 ⇒ x− ⇒ x− ⇒
x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 2 = = x+1 x+1 x+1
x ( x + 1) − x x 2 x = = x+1 x+1 x+1
x2 + x − 2 x2 x2 + x − 2 x + 1 x2 + x − 2 ÷ = ⋅ 2 = x+1 x+1 x+1 x x2
1 1 6. 1 − 3 ÷ x + x − 1 x + 2
a2 2 ÷ 1+ 1− a + 1 + a a 2 − 1 3.
a 2 (1 − a )(1 + a) + a 1 − a 2 + a 2 1 = = ⇒ 1− a + = 1+ a 1+ a 1+a 1+ a
⇒ 1−
2 a2 − 1+ 2 a2 + 1 ⇒ 1+ 2 = = 2 a −1 a2 − 1 a −1
⇒ x+
2
⇒
1 a2 + 1 1 a2 − 1 a − 1 = ⋅ ÷ 2 = 1+ a a − 1 1 + a a 2 + 1 a 2 + 1
⇒ =
2 3 x+ ÷x+ 4. x + 3 x + 4 ⇒ x+
x+4
(x + 2)( x + 4) = x = x ( x + 3)(x + 1) (x + 3)
x+ 4
2
b
b
⇒ a+b+
(a + b)(a − b) + b = a − b + b = a b = a−b a−b a−b a−b 2
2
2
2
− x + 1)
x +2 3
⋅
(x + 1)(x − 1) = x 2 − 1 x−1 = x − x+1 x3 − 2 x3 + 2 2
x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) 1 = = = x+ 2 x+2 x+2 x+2
x 2 − 4 + 3 x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1) 3 = = 2 = x2 − 4 x2 − 4 x − 4 ( x + 2)( x − 2 )
( x + 1)
( x + 1)(x − 1) (x + 2)(x − 2) ( x + 1) ⋅ (x + 2)( x − 2) = ( x + 1)( x − 2) = x = x + 2 ( x + 1)( x − 1) x−1 2
⇒
+ 6x + 8 2 + 6x + 9 2
5. a + b + a − b ÷ 1 − a + b 2
(x + 1)(x
⇒ 1+
2
2 − x + 1) x 2 − x + 1 ÷ x3 + 2 x−1
⇒ x+
( x + 1)(x + 2) ÷ (x + 3)( x + 1) ⇒ x+ 3
(x + 1)(x
2
x ( x + 4 ) + 3 x 2 + 4 x + 3 ( x + 3)( x + 1) 3 ⇒ x+ = = = x+4 x+4 x+ 4 x+4 x+3
x ( x − 1) + 1 x 2 − x + 1 1 = = x−1 x−1 x−1
1 3 x+ ÷ 1+ 2 x + 2 x − 4 7.
x ( x + 3) + 2 x 2 + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2) 2 = = = x+3 x+3 x+ 3 x+3
( x + 1)(x + 2) ⋅ =
2 1 x 3 + 2 − 1 x 3 + 1 ( x + 1)( x − x + 1) = 3 = 3 = 3 x +2 x +2 x +2 x +2 3
2
2
x+2
÷
2
2
− x−2 x−1
n − 1 2n − 1 2 8. n − n 2 + 2 ÷ n + 1 − n ⇒ n−
b a+b−b a ⇒ 1− = = a+b a+b a+b
2 2n − 1 n (n + 2) − (2n − 1) n3 + 2n − 2n + 1 n3 + 1 = = = 2 n2 + 2 n2 + 2 n2 + 2 n +2
2 n − 1 n (n + 1) − (n − 1) n3 + n − n + 1 n3 + 1 = = = n n n n n3 + 1 n3 + 1 n3 + 1 n n ⇒ 2 ÷ = 2 ⋅ = n +2 n n + 2 n3 + 1 n2 + 2
a2 a a 2 a + b a (a + b) a 2 + ab ⇒ ÷ = ⋅ = = a−b a+b a−b a a−b a−b
⇒ n2 + 1−
EJERCICIO 136
64a 2 − 81b 2 ( x − 9) 8a 2 + 9ab ⋅ ÷ x 2 − 81 8a − 9b (x + 9)2 2
4.
3x 8y z2 2 3x 2 2x 2 ⋅ ÷ = ⋅ = 2 1. z 4 y 9x 3x 2 3 z 2
(8a + 9b)(8a − 9b) ⋅ (x − 9) ⋅ (x + 9) (x + 9)(x − 9) 8a − 9b a (8a + 9b) x ( − 9)(x + 9) = x − 81 = 2
2
=
2
5a 2a 5x 5a 2ab 2 2a 2b ÷ ⋅ = ⋅ = 2. b b 2 4a 2 b 5x x
a
5. a + 1 3a − 3 a2 + a ⋅ ÷ 2 3. a − 1 2a + 2 a + a − 2 = =
a + 1 3 (a − 1) (a + 2)(a − 1) ⋅ ⋅ a − 1 2 (a + 1) a (a + 1) 3 (a + 2)(a − 1) 2a (a + 1)
=
3a 2 + 3a − 6 2a 2 + 2 a
a
x − x − 12 x − x − 56 x 2 − 5x − 24 ⋅ ÷ x 2 − 49 x 2 + x − 20 x+5 2
= 6.
2
(x − 4)(x + 3) ⋅ (x − 8)(x + 7) ⋅ x + 5 = 1 (x + 7)(x − 7) (x + 5)(x − 4) (x − 8)(x + 3) x − 7 a 2 − 8a + 7 a 2 − 36 a 2 − a − 42 ⋅ ÷ a 2 − 11a + 30 a 2 − 1 a 2 − 4a − 5 =
(a − 7)(a − 1) ⋅ (a + 6)(a − 6) ⋅ (a − 5)(a + 1) = 1 (a − 6)(a − 5) (a + 1)(a − 1) (a − 7)(a + 6)
2 x 4 − 27 x x 2 + 20 x + 100 x 2 − 100 x ( x − 3)(x + 3x + 9) ( x + 10) x− 3 x− 3 ⋅ ÷ = ⋅ ⋅ = 7. 2 x + 7 x − 30 x 3 + 3x 2 + 9 x x−3 (x + 10)(x − 3) x (x 2 + 3x + 9) (x + 10)(x − 10) x − 10 2
(a + 1) ÷ a
2 + a 4 x + 8 a 2 + 1 a (a + 1) 4 (x + 2) a 2 + 1 3 (a − 2)(x − 3) x−3 x−3 ⋅ = ÷ ⋅ = ⋅ = = 8. 3a − 6 6a − 12 x − 3 3 (a − 2) 6 (a − 2) x − 3 3 (a − 2) 2a (a 2 + 1)( x + 2) 2a ( x + 2) 2ax + 4a 2
3
(3x + 2) = (2 x − 3) = 4 x 2 − 12 x + 9 8 x 2 − 10 x − 3 4 x 2 − 9 8 x 2 + 14 x + 3 (2 x − 3)(4 x + 1) (2 x + 3)(2 x − 3) ⋅ ÷ = ⋅ ⋅ 9. 6 x 2 + 13x + 6 3x 2 + 2 x 9 x 2 + 12 x + 4 (2 x + 3)(3x + 2) x (3x + 2) (2 x + 3)(4 x + 1) x (2 x + 3) 2 x 2 + 3x 2
(a + b) (a − b)
2
10.
2
−c
(a + c)
2
− c2
⋅ 2
− b2
a + ab − ac 2
÷
2
a (a + b + c) a 2 + ab + ac a + b + c (a + b + c)(a + b − c) (a + b + c)(a − b + c) a2 = ⋅ ⋅ = = + + a2 a b c a − b− c a − b− c − + − − + − (a b c)(a b c) a (a b c)
2 a − 5a a 2 + 6a − 55 ax + 3a a (a − 5) b (b + 1)(b − 1)(a + 11) b (b − 1) b2 − b = ⋅ 2 ⋅ = 2 ÷ 2 2 = b+b ab + 11b b (1 + b) a (a + 11)(a − 5)( x + 3) x+3 x+3 b −1 2
11. 12.
m3 + 6m2 n + 9mn 2 m3 + 27n 3 4m2 − n2 2 2 3⋅ 2 2 ÷ 2m n + 7mn + 3n 8m − 2mn − n 16m2 + 8mn + n2 m (m + 3n)
m (4m + n) (2m + n)(2m − n) ⋅ (4m + n) 4m + mn = = n (m + 3n)(2m + n) (2m − n)(4m + n) (m + 3n)(m − 3mn − 9n ) n (m − 3mn + 9n ) m n − 3mn + 9n 2
=
13.
(a
2
⋅
2
2
2
2
2
2
2
3
− ax ) a3 − a2 x 1 a2 − x2 2 2 ⋅ 3 2 ÷ 2 2 ⋅ 3 a + x a + a x a + 2ax + x a + ax 2 2
2
(a =
− ax) a (a + x ) (a 2 + x 2 ) a (a − x ) 1 1 a 2 − ax ⋅ = 2 = = 2 2 ⋅ 2 2 a + x a (a + x ) a (a − ax)(a + x )(a − x ) a (a − x ) a 2 (a − x ) a
14.
(a
2
2
2
− 3a ) 27 − a 3 a 4 − 9a 2 ⋅ ÷ 2 2 2 9− a (a + 3) − 3a (a + 3a)2
=
2
2
(a
(3 − a)(9 + 3a + a ) ⋅ (a + 3a) = (a (3 + a)(3 − a) a + 3a + 9 (a − 3a)(a + 3a) 2
− 3a )
2
2
⋅
2
2
2
2
2
EJERCICIO 137 a ab − a b = b = a (b − 1) = a 1 b2 − 1 (b + 1)(b − 1) b + 1 1. b− b b 1 x3 − 1 2 2 x − x = x = ( x − 1)( x + x + 1) = x 2 + x + 1 2. 1 x−1 x−1 1− x x a b a 2 − b2 − b a = ab = (a + b)(a − b) = a − b 3. b a+b b b (a + b) 1+ a a 1 1 m+n + m n = mn = m + n 4. 1 1 n − m n − m − m n mn a−
6.
7.
8.
− 3a)(a 2 + 3a) a (a 2 − 3a )(a + 3) 3 = = a − 3a 2 3+ a a+3
x 2x + x 2 = 2 = 2 ( 3x ) = 2 x 4x − x 3x x− 4 4 x y x2 − y2 − (x + y)(x − y) = x − y y x xy = = y x+ y y y (x + y) 1+ x x 3 x2 + 4x + 3 x+ 4+ (x + 1)(x + 3) = x + 3 x= x = 5 x 2 − 4 x − 5 ( x − 5)( x + 1) x − 5 x− 4− x x 4 a 2 − 4a + 4 a− 4+ (a − 2)(a − 2) = a − 2 a= a = 2 a−2 (a − 2) 1− a a x+
5.
2
20 x 2 + 7 x − 6 x 14. 4 2 − 25 x
2a 2 − b 2 −b a 9. 4a 2 + b 2 +1 4ab 2 2a − b 2 − ab a = 4a 2 + b 2 + 4ab 4ab = =
=
(2a + b) 4b (a − b) 4ab − 4b = =
2
2a + b
3a 10b + 3a 2+ 3 5b = 5b = 10b 3a + 10b 5b 10. a+ 3 3 x2 a+ x a2 a2 − a+ x
a− x+
a2
a (a + x − 1)
=
1 a+ x−1
1 x−1 15. 1 1+ 2 x −1 x − 1+ 1 x ( x + 1) x + 1 x−1 = = = 2 x − 1+ 1 x2 x 2 x −1
a 2 (a − b) a 2 (a + b)
=
a−b a+b
5 x+ 3 17. 35 x + 5− x+ 3 x − 1−
=
(a + 7)(a + 1 ) a (a − 2) a − 2a = = 2
a+1 a+1 1 9 20 − + a a2 a3 13. 16 −a a 2 a − 9a + 20 a3 = 16 − a 2 a
( x + 4)(x − 2) = x + 4 ( x + 10)(x − 2) x + 10
7a + 9 a+3 18. 5a − 11 a − 4+ a+1
(a − 5)(a − 4) = a (4 + a )(4 − a ) 2
5− a a−5 =− 2 =− 3 = a + 4a 2 a 3 + 4a 2 a (a + 4)
a 2 + 5a + 6 − 7a − 9 a+3 = 2 a − 3a − 4 + 5a − 11 a+1
(a + 1)(a − 2a − 3) (a + 3)(a + 2a − 15) (a + 1)(a − 3)(a + 1) = (a + 3)(a + 5)(a − 3) (a + 1) = a + 2a + 1 = (a + 3)(a + 5) a + 8a + 15 2
2
2
(x
2
− x − 2) + x (2 x + 6) x ( x + 1)
x (3x − 1) (x − 1)(3x + 5x − 2) x (3x − 1) = = (x − 1)(3x − 1)(x + 2) x =
2
2
x + x−2
a b − a−b a+b 3. a + b a + a−b b
=
a+ 2−
=
=
x + 1 + 2 ( x − 1) x2 − 1
a (a + b) − b (a − b)
x2 + 2x − 8 x+ 3 = 2 x + 8 x − 20 x+ 3
a (a + 7)(a − 2)
a−5
1 2 + x−1 x+1 2. x − 2 2 x + 6 + x x+1
1+
=
14 a 8 7 1+ + 2 a a a 2 + 5a − 14 = 2 a a + 8a + 7 a2 =
4 x 2 + 3x 5x + 2
ab a 2 + ab − ab a+b a+b = 2 16. ab a − ab + ab a+ a−b a−b
a + 5−
12.
(2 + 5x)(2 − 5x)
a−
a2 − x2 + x2 a+ x = 3 a + a2 x − a2 a+ x 2
x (4 x + 3)(5x − 2)
=−
2
=
x 4 − 25x 2 x2
=
4b (a − b)(2a + b)
11.
x+1 x−1 1. 1 1 − x−1 x+1 x − 1+ x + 1 2 x ( x + 1) 2 x−1 = = =x +x 2 x + 1 − ( x − 1) x2 − 1 1+
(4 x + 3)(5x − 2)
4b (2a 2 − b 2 − ab) 4a 2 + b 2 + 4ab
2a + b
EJERCICIO 138
2
2
(a − b)(a + b)
b (a + b ) + a (a − b) b (a − b )
a 2 + ab − ab + b 2 a 2 + b 2 a+b a+b b = = = ab + b 2 + a 2 − ab a 2 + b 2 a + b b b x+ 3 − x+4 4. x − 1 − x+2
x+1 x+2 x−3 x+4
(x + 3)(x + 2) − (x + 1)( x + 4) (x + 4)(x + 2) = ( x − 1)(x + 4) − (x − 3)(x + 2) (x + 2)(x + 4) x 2 + 5x + 6 − x 2 − 5x − 4 x 2 + 3x − 4 − x 2 + x + 6 1 2 2 = = = 4 x + 2 2 (2 x + 1) 2 x + 1 =
m2 m2 − n2 + n m+ n 5. m − n n + n m
m2 (m + n) − n (m2 − n 2 )
=
n (m + n)
=
=
2
x2 + 2x + 1 − 2 x 2 x 5 + 2 x5 + 2 1− x 2
(x + 1)
(a + x)(b − x) − (b + x)(a − x) (a − x)(b − x) = 2 (b − x ) − 2 (a − x ) (a − x)(b − x) =
=
2
=
2 (x + 1)
(x + 1)(1− x) (x + 1) ⋅ (x + 1)(1 − x) = 2 ( x + 1) (x + 1) (1− x) = 2
2
a2 1 + b3 a 6. a b − a − b a−b
(x =
+ 2 x + 1)(1 − x )
a (a + 2b) + b (a − b) a + 2b b + a (a − b) a−b a = 11. a + b 3b (a + b)(a − b) + 3ab + a a−b a (a − b) =
(x + y) − (x − y) (x − y)(x + y) = (x + y) − x (x + 2 y ) x (x + y) 2
2
2
2
)(
)
)
(
)(
)
a 2 + 2ab + ab − b 2 a 2 − b 2 + 3ab
a 2 + 3ab − b 2 =1 a 2 + 3ab − b 2 7 12 1− + 2 x x 12. 16 x− x x 2 − 7 x + 12 x2 = x 2 − 16 x =
x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 + 2 xy − y 2 x− y a + b a 2 − ab + b2 = x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy 2 ab = x a 2 − b2 4 xy a−b x− y = 2 a + b a 2 − ab + b 2 a−b y = ⋅ ab 2 a+b a−b x 4 xy x 4x2 4x2 a 2 − ab + b2 = ⋅ 2= = 2 = 2 x− y y y ( x − y) xy − y ab
(
a 2 = 2 a + ax + a 2 − ax a− x a a a− x a− x = 22 = ⋅ = 2a 2 2a 2 4a a− x
2
2
2 x2 − x3 + 2x − 2x2 + 1− x = 2 1+ x − x 2 − x 3 = 2
− ab + b2 ) ab 3 2 a − ab − b 2 + ab b (a − b)
)(
2bx − 2ax 2 x (b − a ) = =x 2b − 2a 2 (b − a )
2
b (a − b)
(
ab − ax + bx − x 2 − ab + bx − ax + x 2 2b − 2 x − 2a + 2 x
2a − a a a − 2 (a + x ) a + x 2a + 2 x = 10. a a a (a + x ) + a (a − x) + a− x a+ x (a − x)(a + x)
x+ y x− y − x− y x+ y 8. x + y x + 2 y − x x+ y
a 3 + b3 ab3 = a (a − b) − b (b − a )
=
2 x (1 − x 4 ) + 2 x 5 + 2 2
− mn + n2 ) m+ n = m2 − mn + n2 m m = m2 − mn + n2 ⋅ 2 =m m − mn + n2
(a + b)(a
1+ x2 + 2 x 1+ x 2
(1+ x )(1 − x )
m (m − n) + n2 nm m3 + m2 n − m2 n + n 3 m+ n = m2 − mn + n 2 m m3 + n 3 m+ n = 2 m − mn + n 2 m
(m + n)(m
a+ x b+ x − a− x b− x 9. 2 2 − a− x b− x
2x 1+ x2 7. 2 x5 + 2 2x + 1− x4 1+
(x − 4)( x − 3)
=
x
(x − 4)(x + 4) ( x − 4)(x − 3) ⋅ = x
=
x−3
x ( x + 4)
=
1
( x − 4)(x + 4)
x−3 x2 + 4x
a 2 b2 − b a 13. 1 1 b + + b a a2 a 3 − b3 = 2 ab 2 a + ab + b a 2b 3 a − b3 = 2 a + ab + b 2 a
2b + c a −b −c 17. c − 2b 1− a −b +c
= (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ⋅ = a (a − b) = a 2 − ab
a 1− a + 1− a a 18. 1 − a a − a 1− a
4 y2 x+ y 14. 5y 2 x − 3y − x+ y
a 2 + (1 − a )
2
=
(x − 2 y)(x + y) − 4 y
2
x+ y
(x − 3y)(x + y) − 5y
=
2
x+ y
=
(x − 3y)(x + 2 y) = x − 3y (x − 4 y)(x + 2 y) x − 4 y
=
6 ( x + 2) x+2 x−5
1 x x = = 1⋅ = x +1 x +1 20. 1+ 1 x + 1 x x
2 + 2a + 2 − 2a 4 1 =− =− a 2 − 2a − 2 − 2a 4a
1 1 − x+ y+ z x− y+ z 16. 1 1 − x− y+ z x+ y+ z
21.
1 1+
=
1 1−
1 x
x− y+ z− x− y− z
2y
1
1 x −1 x 1 = x 1+ x −1 1+
1 x − 1+ x x −1 1 x −1 x −1 = = 1⋅ = 2x − 1 2x − 1 2 x − 1 x −1 =
(x + y + z)(x − y + z) = − 2 y = − 1 = x+ y+ z− x+ y− z
a 2 + 1 − 2a + a 2 2 a 2 − 2a + 1 = 1 − 2a + a 2 − a 2 1 − 2a
1
2
2 x 2 = 2 1+ x+2 x 2 = 2x 1+ x+2 2 = x + 2 + 2x x+2 2 x + 2 2x + 4 = = 2⋅ = 3x + 2 3x + 2 3x + 2 x+2
x−5 x−5 =1 = = 11( x − 2) x + 7 x− 4+ + x 7 x−2 x+7
(1− a)(1+ a) 2 (1 − a ) − 2 (1 + a ) (1+ a)(1− a)
(x − y + z)(x + y + z)
1+
x+1 −
2 (1 + a ) + 2 (1 − a )
2+
2
23. 2
6 x + 12 x+2 x−5 19. 11x − 22 x− 4+ x−2 x+7
2 2 + 1− a 1+ a 15. 2 2 − 1+ a 1− a
=
(1 − a ) − a a (1 − a ) 2
x + 1−
x − xy − 6 y 2 x 2 − 2 xy − 8 y 2 2
=
a (1 − a )
1
1 x −1 3 1 = 1− 1 2+ x−3 3 1 = 1− 3 2+ x−3 1 = 1− 2x − 3 x−3 x−3 = 1− 2x − 3 x 2x − 3 − x + 3 = = 2x − 3 2x − 3
a − b − c + 2b + c a −b −c = a − b + c − c + 2b a −b+ c a+b a−b−c = a+b a−b+c a+b a −b+c a −b +c = ⋅ = a −b −c a +b a−b−c
a a 2 + ab + b2
x − 2y −
=
22. 1−
1+
24.
1+
1 x x2 x +1 1 = x x− 2 x + x − x2 x +1 1 = x x− x x +1 1 = x2 + x x− x 1 1 = 2 = = −1 x − x2 − x − x x x x−
x−
1
25.
a +1 1 a− a 1 1 1 1 1 a−1 a−1 = = = 2 = = 1⋅ 2 = = a+1 a a + a− 2− a a − 2 a2 − 2 + − − + a a a a a 1 2 1 ( ) ( )( ) a+ 2− 2 a+ 2− a −1 a + 2− a +1 a −1 a−1 a−1 a−1 ( )( ) a a + 2−
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 = = = = = x−1 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x 2 + 2)( x + 1) x + 2 − x − 1 ( x + 2− x+ 2− 2 x + 2− 2 + − 2 x x−2 x + x− x+ 2 x +2 x2 + 2 x− x+1 x+1 x+1
26.
EJERCICIO 139
x2 − 2x + 1 9. x − 2 x 2 − x + 2 Para x → 1 3
x−2 1. x + 3 Para x → 2
2−2 0 = =0 2+3 5
(x − 1) x ( x − 2) − ( x − 2) (x − 1) = (x − 1)(x − 2) (x − 1) = = (x − 1)(x + 1)(x − 2) x 2
2
x−2 2. x − 3 Para x → 3
3−2 1 = =∞ 3−3 0
2
2
x2 − a2 3. x 2 + a 2 Para x → a
a2 − a2 0 = =0 a 2 + a 2 2a 2
x2 + y2 4. 2 2 Para x → y x −y
y 2 + y 2 2y 2 = =∞ y2 − y 2 0
5.
x −1 Para x → 2 3 x−2
2 −1 1 1 = = =0 3 3 ∞ 2−2 0
2
10.
2
1− 1 0 x−1 = = =0 − x − 2 12 − 1 − 2 − 2
a3 − 8 Para a → 2 a + 11a − 26 2
(a − 2)(a + 2a + 4) = a + 2a + 4 = 2 a + 13 (a + 13)(a − 2) 2
2
2
+ 2 ⋅ 2 + 4 12 4 = = 2 + 13 15 5
x2 − 9 6. x 2 + x − 12 Para x → 3
(x − 6)( x − 1) = x − 6 = 1− 5 = − 4 = ∞ x2 − 7x + 6 11. x 2 − 2 x + 1 Para x → 1 x − 1 1− 1 0 (x − 1)2
a −a−6 Para a → 3 7. 2 a + 2a − 15
12. 3 x − 7x + 6
(x + 3)(x − 3) = x + 3 = 3 + 3 = 6 (x + 4)(x − 3) x + 4 3 + 4 7 2
(a − 3)(a + 2) = a + 2 = 3 + 2 = 5 (a + 5)(a − 3) a + 5 3 + 5 8
8.
x 2 − 7 x + 10 Para x → 2 x − 2x2 − x + 2 3
(x − 5)(x − 2)
x 2 ( x − 2) − ( x − 2) =
Para x → 2
x 3 − 3x − 2 = 1 0 − 3 − 2 2 4 2 1 2 1
2
2
0
⇒ (x − 2)( x + 2 x + 1) 2
x3 − 7x + 6 = 1 0 − 7 6 2 4 −6 2 −3
1
(x − 5)(x − 2) = x − 5 = 2 − 5 = − 3 = − 1 (x − 1)(x − 2) x − 1 4 − 1 3 2
x 3 − 3x − 2
⇒ (x − 2)( x + 2 x − 3)
2
0
2
(x − 2)(x + 1) = (x + 1) = (2 + 1) = 9 (x − 2)(x + 2 x − 3) x + 2 x − 3 2 + 2 ⋅ 2 − 3 5 2
2
2
2
2
2
13.
x 2 − 16 x3 − 4x2 − x + 4
Para x → 4
19.
14.
2
2
4x2 − 4x + 1 4 x 2 + 8x − 5
Para x →
2
1 2
20.
15.
8x − 6x + 1 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4
Para x →
2
=
1 2
⇒ 8 x 2 − 6 x + 1 = (8 x ) − 6 (8 x ) + 8 2
21.
= (8 x − 4)(8 x − 2) = (2 x − 1)(4 x − 1)
⇒ 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4 = 4 4
Para x → a 2
2
2
2
x3 − a3 a2 x − a3
(x − a)(x + ax + a ) a (x − a )
1
(2 x − 1) = 2 x − 1 = 2 ⋅ 2 − 1 = 1 − 1 = 0 = 0 (2 x + 5)(2 x − 1) 2 x + 5 2 ⋅ 1 + 5 1 + 5 6 2
Para y → x
(x + y)(x − y) = x + y = x + x = 2 x = 2 y x x y (x − y)
( x − 4)( x + 4) = ( x − 4)(x + 4) = x + 4 = 4 + 4 = 8 x ( x − 4) − ( x − 4) ( x − 1)( x − 4) x − 1 4 − 1 15 2
x2 − y2 xy − y 2
x 2 + ax + a 2 a 2 + a 2 + a 2 3a 2 = = 2 =3 a2 a2 a
x 3 − 3x + 2 2 x 3 − 6x2 + 6x − 2
12 − 15 4 − 4 − 16 16 − 4
⇒ x 3 − 3x + 2 1 0 −3 2 1 1 1 −2
−4
1 1 −2
1
0
= ( x + 4)(4 x 2 − 4 x + 1) = ( x + 4)(2 x − 1)
Para x → 1
= ( x − 1)( x 2 + x − 2)
0
= ( x − 1)( x + 2)( x − 1)
2
1 4⋅ − 1 2 x − 1)(4 x − 1) ( 1 4x − 1 2 ⇒ = = = =∞ (2 x − 1)2 (x + 4) (2 x − 1)(x + 4) 2 ⋅ 1 − 1 1 + 4 0 2 2 16.
x 3 − 9 x + 10 x − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 4
⇒ x 3 − 9 x + 10 1 0 − 9 10 2 4 − 10 1
2 −5
1
= ( x − 1)(2 x 2 − 4 x + 2) 2
0
⇒
22.
= (x − 2)( x 3 + x 2 − 9 x − 9)
(x − 2)(x + 2 x − 5) (x − 2)(x + x − 9 x − 9)
=
x2 + 2x − 5 22 + 2 ⋅ 2 − 5 3 1 = 3 2 = =− 2 x + x − 9 x − 9 2 + 2 − 9 ⋅ 2 − 9 − 15 5
2
3
Para x → a + ax + a 2 ) 2 = x + ax + a 2 = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 x−a 2
a 2 − 2ab + b2 18. a 2 − ab
0
( x − 1) (x + 2) = x + 2 = 1 + 2 = 3 = ∞ (x − 1) (2 x − 2) 2 x − 2 2 ⋅1− 2 0 2
−9 −9
(x − a)(x
2
= ( x − 1) (2 x − 2)
⇒
x3 − a3 x−a
−4
= ( x − 1)( x − 1)(2 x − 2)
2
17.
⇒ 2 x 3 − 6 x 2 + 6x − 2 2 −6 6 −2 1 2 −4 2 2
= ( x − 2)( x 2 + 2 x − 5)
0
3
2
2
⇒ x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 1 − 1 − 11 9 18 2 2 2 − 18 − 18 1
Para x → 2
= ( x − 1) ( x + 2)
(a − b) = a − b = a − a = 0 a a a (a − b) 2
Para b → a
2
x4 − x3 − 7x2 + x + 6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6
Para x → 3
⇒ x4 − x3 − 7x2 + x + 6 1 −1 − 7 1 6 −2 −2 6 2 −6 1 − 3 −1
(x + 2)(x
3
3
0
− 3x 2 − x + 3)
1
−3 1
−1 3 −2 −3
1
−2
−3
1
0
= (x + 2)(x − 1)( x 2 − 2 x − 3)
= (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x + 1) Continúa
Continuación 4 3 2 22. ⇒ x − 3x − 3x + 11x − 6
1 − 3 − 3 11 − 6 − 2 − 2 10 − 14 6 1 −5
−3
7
Continuación 24.
0
1 −5 7 −3 1 −4 3 3
0
⇒
x + 1 3+ 1 4 = =2 = x − 1 3− 1 2
3x 3 − 5x 2 − 4 x + 4 23. x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 8 x − 4 Para x → 2 ⇒ 3x − 5x − 4 x + 4 2
3 −5 −4
4
25.
1
⇒ x + 2 x − 3x − 8 x − 4
1 4
4
5
0
(x − 2)(x 1
4
3
2
2
−2
2
−2 −4 −2 1
2
1
= ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2 x + 1)
(x − 2)(3x + x − 2) (x − 2)(x + 2)(x + 1) 2
⇒ = =
2
3x 2 + x − 2
(x + 2)(x + 1)
2
3⋅ 2 2 + 2 − 2
(2 + 2)(2 + 1)
2
1
=
12 1 = 36 3
3 2x + 3 2⋅ 4 + 3 = = 3 3x − 1 3⋅ − 1 4
⇒ x − 5x + 4 = ( x − 1)( x − 4) 2
⇒ x 4 − 2 x3 − 9 x2 + 2x + 8 1 −2 −9 2 8 1 1 − 1 − 10 − 8
1 4
0
Continúa
4
0
0
⇒ x 4 − 8 x 2 + 16 1 0 −8 0 16 − 2 − 2 4 8 − 16
2
16 − 2
0 8 0
0
0 8
2
0 − 16
1 −2 −4
(x + 2)(x
0
1 12 4
20
1 −2 −2
0
= ( x − 2)( x + 2) ( x 2 − 2 x + 5)
(x − 2)(x + 2)(x + 8) ⇒ (x − 2)(x + 2) (x − 2 x + 5) 3
2
(x + 2)(x
2
− 2 x + 5)
2 +8
⇒ =
28.
( x + 2) ( x + 2) ( x − 2) 2
x+ 2
=
2
− 2+ 2
(x − 2) (− 2 − 2) 2
2
=
0 =0 16
9 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 1 Para x → − 27 x 3 + 1 3 =
3x 2 (3x + 1) + (3x + 1) 27 x 3 + 1
=
+ 1)(3x + 1) (3x + 1)(9 x − 3x + 1)
=
3x 2 + 1 9 x 2 − 3x + 1
(3x
2
2
2
3
16 4 = = = (2 + 2)(22 − 2 ⋅ 2 + 5) 20 5
2
3
2
x3 + 8
0
2
+ x + 10) −2
0 1 10 − 2 4 − 10
4
= ( x + 2) ( x − 2)
0
0 3
−4 8 −2 8 −8 2
2
10
0
= ( x + 2) ( x − 4 x + 4)
2 1 12 20 − 2 − 2 0 − 2 − 20 0 1
8
− 2 x 2 − 4 x + 8)
3
1 −4
+ 2 x + x + 12 x + 20) 3
3
2
+ 2 x 3 + 8 x + 16)
1 −2 5
=
9 2 = 36 = 18 5 10 5 4
x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 Para x → − 2 x 4 − 8x 2 + 16
2
x 2 − 5x + 4
24. x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 2 x + 8 Para x → 1
1 − 1 − 10 − 8
=
0 8 16 4
( x − 2)(x + 2)( x 1
(2 x + 3)(4 x − 3) (4 x − 3)(3x − 1)
= ( x + 2)( x + 4 x + 4) = ( x + 2)
−2
( x − 2) ( x 1
(8x + 12)(8x − 6)
(12 x − 9)(12 x − 4)
32
⇒ x 5 − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40 1 0 − 3 10 − 4 − 40 2 2 4 2 24 40 1
0
(8x)2 + 6 (8x) − 72 (12 x) 2 − 13(12 x) + 36
4 0 16
= ( x − 2)( x + 2)( x 3 + 8)
+ 4 x 2 + 5x + 2) 5
1
3 4
⇒ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 1 6 12 8 − 2 −2 −8 −8
⇒ x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32 1 0 − 4 8 0 − 32 2 2
Para x →
=
2
x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32 Para x → 2 x − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40
2
8 10
(x − 1)(x − 4) (x − 1)(x − 4)(x + 3x + 2)
( x − 2)(x
1 2 −3 −8 −4 2
=
5
1
0
3
0
2
= ( x − 2)(3x 2 + x − 2) 4
8
2
27.
2
2 −4
6
1 −2
3
12
3
1 1 1 = = x 2 + 3x + 2 12 + 3⋅ 1 + 2 6
=
(x + 2)(x − 1)(x − 3)(x + 1) (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x − 1)
3
⇒
4
= ( x − 1)( x − 4)( x 2 + 3x + 2)
1
= ( x + 2)( x − 1)( x − 3)( x − 1)
=
−8
4 1
= ( x + 2)( x − 1)( x 2 − 4 x + 3)
⇒
− x − 10 x − 8) 2
− 1 − 10
1
= ( x + 2)( x 3 − 5x 2 + 7 x − 3)
1 −4
(x − 1)(x
3
8x 2 + 6x − 9
26. 12 x 2 − 13x + 3
=
1 3 − + 1 3 2
1 1 9 − − 3 − + 1 3 3
4 4 = 3= 3 9
(x − 1)(x + 2) = x + 2 = 1+ 2 = 3 = 1 1 3 x 2 + x + 1− 3 x 2 + x − 2 − 3 = = Para x → 1 x−1 x −1 x3 − 1 x3 − 1 (x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 12 + 1+ 1 3
29.
(
1 Para x → 2 x − 2
)
2 30. x + 3x − 10 1 +
(x + 5)(x − 2) xx −− 21 = (x + 5)(x − 1)⇒ (2 + 5)(2 − 1) = 7
EJERCICIO 140 1.
12 x 2 + 31x + 20 18 x 2 + 21x − 4
(12 x) 2 + 31(12 x) + 240 (18 x) 2 + 21(18x ) − 72
=
=
(12 x + 16)(12 x + 15) = (3x + 4)(4 x + 5) = 4 x + 5 = (18x + 24)(18x − 3) (3x + 4)(6x − 1) 6x − 1
=
2
3.
⋅
a3
a
(a + 1)(a − 1)
x ( x 2 + 3x + 9) x ( x − 27) 2
3
(x + y )
a+1 a+1 = 3 2 a 2 (a − 1) a − a
x 2 + 3x + 9
=
x (x − 3)(x + 3x + 9) 2
1 x (x − 3)
⇒
x ( x + y ) − x (x − y ) xy
=
x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − x 3 + 2 x 2 y − xy 2 4 x 2 y = = 4x xy xy
2
2
⇒
(a − 2b)(a + b) a (a + b ) − 2b (b + a ) (a − 2b)(a + b ) a + b = = = (a − 2b)(a + b) (a − 2b)(a + b) a + b 1 + 5a a − 5a + 1 + 5a a + 1 (a + 1)(a − a + 1) = = = a+ 2
2
2
6.
⇒
2
2
3
a2 − 5
a2 − 5
a−
2
2
3
a2 − 5
a + 5 a2 + a − a − 5 a2 − 5 = = a+1 a+1 a+1
(a + 1)(a
− a + 1) a 2 − 5 2 = a −a+1 ⋅ a −5 a+1 2
2
9 x − 3x 2 x 3 − 1 = x−3 x−1
( x − 1) (x − 3) − 3x (3 − x ) = (x − 1)(x
+ x + 1) x−1
2
2
2
2
x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 − 9 x + 3x 2 = x2 + x + 1 x−3
⇒
x3 − 2x2 − 2x − 3 2 = x + x+1 x−3
2
2
⇒
2
a2 − 5
x−3
2
⇒
2
2
x (x + y )( x − y ) = x ( x + y )⇒ x (x + y ) = x ( x + y ) x− y
2
⇒
a 4 − 2b 3 + a 2b 2 − 2a 2b 2
x (x 2 − y 2 ) = x (x + y) x− y
11. x 2 − 2 x + 1 −
a 4 − 2b 3 + a 2b (b − 2) 5. a 4 − a 2b − 2b 2 2
170 − x 2 x−5
4x 2 − 5xy + y 2 4x 2 5xy y 2 4x 5y y 2 = − + = − + 3x 3x 3x 3x 3 3 3x m−n− x m n x 1 1 1 = − − = − − 9. mnx mnx mnx mnx nx mx mn x 3 − xy 2 2 10. x − y = x + xy
2
−
=
=
x 3 − 29 x + 20 − x 3 + 29 49 − 29 x = x−5 x−5
8.
x (x − y ) xy
2
y
=
+ 5x − 4) − x 3 + 29 x−5
x 2 + 29 x − 170 + 170 − x 2 29 x = x−5 x−5 49 − 29 x 29 x 49 − 29 x x − 5 49 − 29 x ⇒ ÷ = ⋅ = x−5 x−5 x − 5 29 x 29 x
x 3 + 3x 2 + 9 x x 5 − 27 x 2 =
4.
=
2
=
a 2 + 2a + 1 a 2 + 2a − 2a − 1 = ÷ a3 a
(a + 1)
(x − 5)(x
x + 34 +
2a + 1 1 2 1 2. + 2 + 3 ÷ a + 2 − a a a a
=
x 3 − 29 x−5
7. x 2 + 5x − 4 −
( x − 3)( x
+ x + 1) 2 = x + x + 1 ⇒ x 2 + x + 1= x 2 + x + 1 x−3 2
a 4 − 5a 2 + 4
2 + 4a
12. a 3 + a 2 − 4a − 4 = a − 3 + 2a + 1
(a − 2)(a − 1)(a + 2)(a + 1) = 2a − 5a − 3 + 2 + 4a 2a + 1 (a − 2)(a + 1)(a + 2) 2a + 1)(a − 1) ( 2a − a − 1 ⇒ a − 1= ⇒ a − 1= ⇒ a − 1= a − 1 2
⇒
2
2a + 1
2a + 1
13.
16 − 81x 2 17. 72 x 2 − 5x − 12
1 1 2a + + a − b a + b a 2 − ab + b 2 =
a 3 + b 3 + (a − b)(a 2 − ab + b 2 ) + 2a (a 2 − b 2 )
(a
3
3
=
) (a − b)
3
(4 − 9 x)(4 + 9 x) (72 x − 32)(72 x + 27) (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − 9 x + 4 = (9 x − 4)(8x + 3) (4 − 9 x)(8x + 3) 8 x + 3
+ b 3 ) (a − b)
4a − 2a b
(a
3
a
2
2
+ b 3 ) (a − b) a
4
1+ a 3
14. 1 − a 2 − 1 − a 4 ⋅ 1 − a + a 2
1 x 2 3 x 6 − ÷ + + + 18. x x + 2 x + 3 x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6 =
a 2 (1 + a 2 ) − a 4 a 2 (1 − a ) + 1 + a 3 ⋅ = 1− a 4 a2
=
a 2 + a 4 − a 4 a 2 − a 3 + 1+ a 3 = ⋅ a2 1− a4 =
(4 − 9 x)(4 + 9 x)
(72 x ) 2 − 5 (72 x ) − 864
=
2
(a
3
=
+b
3
a + b + a − 2a b + 2ab 2 − b 3 + 2a 3 − 2ab 2 3
=
3
x 2 + 5x + 6 − 2 x ( x + 3) + 3x ( x + 2) x ( x + 3) + x ( x + 2) + 6 ÷ x 2 + 5x + 6 x ( x 2 + 5x + 6) x 2 + 5x + 6 − 2 x 2 − 6x + 3x 2 + 6x x (x + 5x + 6) 2
1 a2 a2 + 1 ⋅ = 1− a 4 a 2 1− a2
( x + 3)( x − 3) x ( x + 3) a 2 ( x − 4)( x + 4) 2 x + 1 x + 4 ⋅ ⋅ 2 2 = = ⋅ x ( x − 4)( x + 3) x − 3 ( x + 3)(2 x + 1) a x
b b 1+ a−b a + 19. a − 3b b2 1− 2 2 − a−b a a−b+b b a−b = 2a 2 + 2a − 2b − a + 3b a −b a−b a2 a a−b = + a (a 2 − b 2 ) a + b a−b
3x 3 − x 2 − 12 x + 4 6x + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4
a 2b
4
⇒ 3x 3 − x 2 − 12 x + 4 3 − 1 − 12 4 − 2
=
− 6 14 − 4 3 −7
2
0
= ( x + 2)(3x − 7 x + 2) = ( x + 2)( x − 2)(3x − 1)
=
2
6 x 4 + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4 6 1 − 25 − 4 4 − 12 6 − 11
(x + 2)(6x 6
− 11 12
6
1
22 −3 3
0
− 11x 2 − 3x + 2)
−3
2
2
2 −2 −1
a 2b
a + a (a 2 − b 2 ) a + b
a 2b + a 2 (a − b) a 2b + a 3 − a 2b = a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 ) =
−2
6 −4 2
x 2 + 5x + 6 x + 3x + x 2 + 2 x + 6 2
2 x 2 + 5x + 6 1 1 = = ⋅ 2 x 2 x + 5x + 6 x
x2 − 9 x − 3 a 2 x 2 − 16a 2 2 1 15. x 2 − x − 12 ÷ x 2 + 3x ⋅ 2 x 2 + 7 x + 3 ⋅ a 2 x + a 2 x 2
16.
⋅
0
a (a 2 − b 2 )
=
1 x − 36 x ÷ 2 ⋅ 3 x x − 4 2
20.
a2 a − b2 2
1 1 ⋅ 36 4 x− x− x x 1 (x + 6)( x − 6) ( x + 2)( x − 2) 1 1 ⋅ 2 = ⋅ x − 36 ⋅ x 2 − 4 x x 3 x x
= ( x − 2) ( x + 2)(6x 2 + x − 1)
=
(x + 2)(x − 2)(3x − 1) = 1 ⇒ (x − 2)(x + 2)(2 x + 1)(3x − 1) 2 x + 1
=
= ( x − 2)( x + 2)(2 x + 1)(3x − 1)
a3
(x + 6)(x − 6) ⋅ (x + 2)(x − 2) ⋅ 3x
x
x x ⋅ x 2 − 36 x 2 − 4
x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)
1 = 3x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2) 3
3a
+
(a − 2b)
2
21.
5 1 + a − 5b a − 2b
3a − 14ab + 10b a 2 − 4ab + 4b2 2
23.
1 1 1 − − + 3x − 9 6 x + 12 2 ( x − 3)2 =
2
=
3a 2 − 14ab + 10b 2
(a − 2b)
=
2
3a − 15ab + 5a − 20ab + 20b + a − 7ab + 10b
=
2
2
(a − 5b)(3a
9a − 42ab + 30b 2
=
(a − 5b)(3a
x+1 − x−1 22. x − 1 + x+1
2
2
2
− 14ab + 10b 2 )
=
3(3a − 14ab + 10b ) 3 = (a − 5b)(3a − 14ab + 10b ) a − 5b 2
2
− 14ab + 10b2 )
=
2
2
2
(x − 1) + (x + 1) 2
2
⋅
x2 + 1
=
⋅
6 ( x − 3) ( x + 2) 2
7 x 2 + 13x − 27
6 ( x − 3) ( x + 2) 2
2a 2 b (a + b) 2 a+b 1 2a (a − b) b (a + b) b a ⋅ = 2 ⋅ ⋅ =1 = 2 ⋅ a 2 b a−b b (a + b) a (a − b) 2a b a−b
x + 2 x + 1− x + 2 x − 1 x + 1 4x x +1 1 ⋅ = ⋅ = x 2 − 2 x + 1+ x2 + 2 x + 1 4 x 2 2 ( x 2 + 1) 4 x 2
2 x 2 − 2 x − 12 − x 2 + 6 x − 9 − 3x − 6 + 6 x 2 + 12 x
a 2 − b 2 + a 2 + b 2 ab + b 2 a+b 1 = 2 ⋅ a ⋅ a − b 2 − a 2 + 2b 2 a − b b + 2a − b b a−b
x2 − 1
2
6 ( x − 3) ( x + 2) 2
a 2 + b2 b2 a+b b+ a 1 ⋅ ⋅ 24. 2a − b a 2 − 2b 2 a − b 1+ a+b− b a−b
a2 − b 2 (a − b) 2 x 2
2 ( x − 3)( x + 2) − ( x − 3) − 3( x + 2) + 6 ( x + 2)
a−b+
2
x2 − 1
x 1 1 1 − − 2 + x 2 − 6x + 9 3 ( x − 3) 6 ( x + 2) 2 ( x − 3)
2
x−1 x + 1 x2 + 1 2x ⋅ ÷ x + 1 2a 2 − 2b a 2 − b x−1
(x + 1) − (x − 1) =
2
9 x
2
(a − 2b) (a − 5b) 2
2
x − 6+
2
3a (a − 5b) + 5 (a − 2b) + (a − 2b)(a − 5b) =
1
2
2
EJERCICIO 141 1.
x 1 + 5= − x 6 3 x + 30 1 − 3x ⇒ = 6 3
x
x
5
mcm = 12
6 x + 24 − x = 2x − 15 6 x − x − 2x = − 15 − 24 3x = − 39 − 39 x= 3 x = − 13
x + 30 = 2 (1 − 3x )
x + 30 = 2 − 6 x x + 6 x = 2 − 30 7 x = − 28 − 28 x= 7 x=−4 3x 2x 1 − + = 0 mcm = 15 2. 5 3 5 9x − 10x + 3 = 0 −x=−3 x=3 1 1 1 1 mcm = 20x + − = 3. 2x 4 10x 5 10 + 5 x − 2 = 4x 5x − 4 x = − 10 + 2 x=−8
x
4. 2 + 2 − 12 = 6 − 4
5.
3x 1 5 3x − + 2x = − mcm = 20 4 5 4 20 15x − 4 + 40x = 25 − 3x 55x + 3x = 25 + 4 58x = 29
29 x= 58 1 x= 2 2 5 7 3 − = − + 1 mcm = 30x 6. 3x x 10 2x 20 − 150 = 21x − 45 + 30x − 130 + 45 = 51x − 85 =x 51 −5 =x 3
7.
x−4 −5=0 3 x − 4 − 15 = 0
mcm = 3
x − 19 = 0 x = 19
x + 2 5x = mcm = 12 12 2 12x − x − 2 = 30x 11x − 30x = 2 − 19x = 2
8. x −
x=−
2 19
5x − 1 3 = 4x − mcm = 15 3 5 15x − 25x + 5 = 60x − 9 − 10x − 60x = − 9 − 5 − 70x = − 14
9. x −
− 14 − 70 1 x= 5 x=
10. 10 x −
8x − 3 = 2 ( x − 3) mcm = 4 4
40 x − 8 x + 3 = 8 ( x − 3)
15. 4 −
48 − 20 x − 2 = 48 x − 48 x − 9 − 20 x + 46 = − 9 − 20 x = − 55 − 55 x= − 20 11 x= 4
x− 2 x−3 x− 4 − = mcm = 60 3 4 5
20 ( x − 2) − 15 (x − 3) = 12 ( x − 4) 20 x − 40 − 15x + 45 = 12 x − 48
1 1 1 16. 2 ( x − 1) − ( x − 3) = 3 ( x + 3) + 6
− 7 x = − 53
3x − 3 − 6x + 18 = 2 x + 6 + 1 − 3x + 15 = 2 x + 7
53 x= 7
− 5x = − 8
x−1 x− 2 x− 3 x−5 − − =− 12. 2 3 4 5 mcm = 60
x=
30 ( x − 1) − 20 ( x − 2) − 15( x − 3) = − 12 ( x − 5)
17.
30x − 30 − 20 x + 40 − 15x + 45 = − 12 x + 60
8 5
6x + 1 11x − 2 1 5 − − (5x − 2) = (6 x + 1) 6 3 9 4
72 x + 12 − 44 x + 8 − 45x + 18 = 180 x + 30
− 5x + 12 x = 60 − 55
− 17 x + 38 = 180 x + 30
7x = 5 5 x= 7
)
− 197 x = − 8 x=
7 − 5x = 1 mcm = 10 10
10 x − 10 (5x − 1) − (7 − 5x) = 10
18.
5x − 6 1 + ( x − 5) = − 5x 4 3 mcm = 12
24 x − 3(5x − 6) + 4 ( x − 5) = − 60 x 24 x − 15x + 18 + 4 x − 20 = − 60x 13x − 2 = − 60x 13x + 60x = 2 2 x= 73
8 197
4x + 1 1 13 + 2 x 1 = (4 x − 1) − − ( x − 3) 3 3 6 2
mcm = 6
2 (4 x + 1) = 2 (4 x − 1) − (13 + 2 x ) − 3( x − 3)
10 x − 50 x + 10 − 7 + 5x = 10 − 35x + 3 = 10 − 35x = 7 −7 x= 35 1 x= − 5 14. 2 x −
mcm = 36
12 (6 x + 1) − 4 (11x − 2) − 9 (5x − 2) = 30 (6 x + 1)
− 5x + 55 = − 12 x + 60
(
mcm = 6
3( x − 1) − 6 ( x − 3) = 2 ( x + 3) + 1
5x − 12 x = − 48 − 5
13. x − 5x − 1 −
mcm = 12
48 − 2 (10 x + 1) = 48 x − 3 (16 x + 3)
40 x − 8x = 8 x − 24 − 3 40 x − 16 x = − 27 − 27 x= 24 9 x= − 8 11.
10 x + 1 16 x + 3 = 4x − 6 4
8 x + 2 = 8 x − 2 − 13 − 2 x − 3x + 9 2 = − 6 − 5x 8 = − 5x −
19.
8 =x 5
2 (5x − 1) + 103 (10x − 3) = − 21 (x − 2) − 65 5
4 (5x − 1) + 3 (10x − 3) = − 5 ( x − 2) − 12 20x − 4 + 30x − 9 = − 5x + 10 − 12 50 x − 13 = − 5x + 10 − 12 50 x − 13 = − 5x − 2 55x = 11 x=
1 5
mcm = 10
20.
3 x − 1 5x + 4 x + 2 2 x − 3 1 − − = − 2 3 8 5 10 mcm = 120
x 3x + 5 2 11 = 3 12 − 25. 10 − 6 4 60 − 3x − 5 47 x ⇒ = − 6 12 8
60 (3x − 1) − 40 (5x + 4) − 15 (x + 2) = 24 (2 x − 3) − 12 180x − 60 − 200 x − 160 − 15x − 30 = 48 x − 72 − 12
4 (55 − 3x ) = 94 − 3x
− 35x − 250 = 48 x − 84 − 83x = 166
220 − 12 x = 94 − 3x − 12 x + 3x = 94 − 220 − 9 x = − 126
x= − 2 21.
7x − 1 5− 2x 4x − 3 1+ 4x2 − = + 3 2x 4 3x mcm = 12 x
x=
28x 2 − 4 x − 30 + 12 x = 12 x 2 − 9 x + 4 + 16 x 2 8 x − 30 = − 9 x + 4 17 x = 34 x=2
1 26. 9 x − 2 − 7 x − x
x 1 1+ 2 + 2 43 = 2 2
2 − x x + 2 11 ⇒ 9x − 2 − 7x = + 2 4 4
2 2 x + 7 2 ( x − 4) 4 x 2 − 6 7 x 2 + 6 − − = 22. 3 5x 15x 3x 2 2 mcm = 15x
2 − x x + 13 ⇒ 9x − 2 − 7 = 2 4 36x − 8 − 28 + 14 x = x + 13
10 x 3 + 35x 2 − 6 x 3 + 24 x − 4 x 3 + 6x = 35x 2 + 30 30 x = 30
50 x − 36 = x + 13 49 x = 49 x=1
30 30 x=1 x=
mcm = 60
27.
mcm = 4
36x − 8 − 14 (2 − x) = x + 13
5x 2 (2 x + 7) − 6 x ( x 2 − 4) − x (4 x 2 − 6) = 5 (7 x 2 + 6)
3x 7 12 x − 5 2 x − 3 4 x + 9 7 − − − + + =0 8 10 16 20 4 80
mcm = 160
60 x − 112 − 10 (12 x − 5) − 8 (2 x − 3) + 40 (4 x + 9) + 14 = 0
8 (x + 1) = 15( x − 6)
60 x − 112 − 120 x + 50 − 16 x + 24 + 160 x + 360 + 14 = 0
8 x + 8 = 15x − 90 8 x − 15x = − 90 − 8 − 7 x = − 98 − 98 x= −7 x = 14 24.
− 126 −9
x = 14
4 x (7 x − 1) − 6 (5 − 2 x ) = 3x (4 x − 3) + 4 (1 + 4 x 2 )
2 x + 1 3 x − 6 23. 3 5 = 4 3
mcm = 24
84 x + 336 = 0 84 x = − 336 − 336 84 x= −4 x=
3 2 x − 1 4 3x + 2 1 x − 2 1 − − + =0 5 6 3 4 5 3 5 mcm = 60 6 (2 x − 1) − 20 (3x + 2) − 4 ( x − 2) + 12 = 0
12 x − 6 − 60 x − 40 − 4 x + 8 + 12 = 0 − 52 x − 26 = 0 x= −
26 1 =− 52 2
28.
5x 3 x + 24 − ( x − 20) − (2 x − 1) = mcm = 68 4 17 34 85x − 12 ( x − 20) − 68 (2 x − 1) = 2 ( x + 24) 85x − 12 x + 240 − 136 x + 68 = 2 x + 48 − 63x + 308 = 2 x + 48 − 65x = − 260 − 260 x= − 65 x=4
29. 5 +
5x x 1 x 2 1 = 2 − − + 10 − 4 3 2 3 4 3
EJERCICIO 142 3 3 1. 5 + 2 x − 1 = 0
20 + x 1 4 − x 2 1 30 − 5x = − + 4 3 2 3 4 3 20 + x 4 − x 2 30 − 5x ⇒ = − + 4 6 3 12 mcm = 12 ⇒
3(2 x − 1) + 15 = 0 6 x − 3 + 15 = 0 6 x = − 12 x= −2
3 (20 + x ) = 2 (4 − x ) − 8 + 30 − 5x 60 + 3x = 8 − 2 x − 8 + 30 − 5x 60 + 3x = − 7 x + 30 10 x = − 30 x=−3
5 (x + 2) 4 22 − x 8 − x 20 − 3x 30. + − = 3x − 20 − − 12 9 36 12 18
2.
mcm = 36
15x + 30 − 6 + x = 108 x − 720 − 24 + 3x − 40 + 6 x − 101x = − 808 x=8
x x x 3 − − 1− = 7 − x − 2 3 2 31. x 6 − x 3− x ⇒ − = 7− mcm = 6 2 3 2 3(6 − x ) − 2 (3 − x) = 42 − 3x
18 − 3x − 6 + 2 x = 42 − 3x 12 − x = 42 − 3x 2 x = 30 x = 15 5 x 3 32. (x + 3)( x − 3) − x − 4 = x − 5 − 3x − 4 5 4 x 12 x − 3 ⇒ x2 − 9 − x2 − = − 4 5 4 41 16 x − 60 x + 15 ⇒− = 4 20 41 − 44 x + 15 ⇒− = mcm = 20 4 20 − 205 = − 44 x + 15 − 220 = − 44 x 5= x
144 x − 9 (13x + 1) = 4 (2 x + 4) − 18 144 x − 117 x − 9 = 8 x + 16 − 18 27 x − 9 = 8 x − 2 19 x = 7 7 x= 19
mcm = 16 x 2 − 1
8 x + 2 = 12 x − 3 − 4x = − 5 5 x= 4 5 1 2 3. x 2 − 1 = x − 1 mcm = x − 1 5 = x +1 4=x 4.
3 1 − =0 x + 1 x2 − 1
mcm = x 2 − 1
3 ( x − 1) − 1 = 0
3x − 3 − 1 = 0 3x = 4 4 x= 3 5x + 8 5x + 2 = 5. 3x + 4 3x − 4
mcm = (3x + 4)(3x − 4)
(3x − 4)(5x + 8) = (5x + 2)(3x + 4)
2
3x − 1 2 x + 2 1 33. 2 x − 2 x − 8 = 3 6 − 4 16 x − 3x + 1 2 x + 4 1 ⇒ 2x − = − mcm = 72 8 18 4
2 3 = 4x − 1 4x + 1
2 (4 x + 1) = 3(4 x − 1)
15( x + 2) + 16 − 22 + x = 108 x − 720 − 3(8 − x ) − 2 (20 − 3x ) 16 x + 24 = 117 x − 784
mcm = 5 (2 x − 1)
15x 2 + 4 x − 32 = 15x 2 + 26 x + 8 − 26 x + 4 x = 8 + 32 − 22 x = 40 40 x= − 22 20 x= − 11 6.
10x 2 − 5x + 8 =2 5x 2 + 9 x − 19
mcm = 5x 2 + 9 x − 19
10 x 2 − 5x + 8 = 2 (5x 2 + 9 x − 19) 10 x 2 − 5x + 8 = 10x 2 + 18 x − 38 − 5x − 18 x = − 38 − 8 − 23x = − 46 x=
− 46 − 23
x= 2
7.
1 1 1 + = mcm = 12 ( x 2 − 1) 3x − 3 4 x + 4 12 x − 12
4 ( x + 1) + 3 ( x − 1) = x + 1
13.
3x − 9 = 2 x − 8 + 8
7x − x = 0
3x − 2 x = 9 x=9
6x = 0 x= 0
mcm = 4 (4 x − 5)
x (4 x − 5) − 4 (x 2 − 8 x ) = 7 (4 x − 5)
14.
6 x − 1 3 ( x + 2) 1 + 3 x − = 18 5x − 6 9
30 x 2 − 41x + 6 − 54 x − 108 = − 26 x − 12 + 30 x 2 − 95x − 102 = − 26 x − 12 − 69 x = 90
x = 35
90 69 x = − 1 237 x= −
mcm = 10 (2 x − 1)
(2 x − 9)(2 x − 1) + 10 (2 x − 3) = 2 x (2 x − 1) 4 x 2 − 20 x + 9 + 20 x − 30 = 4 x 2 − 2 x − 21 = − 2 x
5 3 6 2 15. 1 + x − 1 − x − 1 − x 2 = 0 mcm = 1 − x 5 (1 − x ) − 3(1 + x) − 6 = 0
− 21 =x −2
10.
(3x − 1) x −1
5 − 5x − 3 − 3 x − 6 = 0 − 8x − 4 = 0 − 8x = 4
10 21 = x
2
=
18x − 1 2
mcm = 2 ( x − 1)
x= −
2 (9 x 2 − 6x + 1) = (x − 1)(18 x − 1) 18 x 2 − 12 x + 2 = 18x 2 − 19 x + 1 − 12 x + 19 x = 1 − 2 7x = − 1 1 x= − 7 2x + 7 2x − 1 mcm = (5x + 2) (5x − 4) 11. 5x + 2 − 5x − 4 = 0
(2 x + 7)(5x − 4) − (2 x − 1)(5x + 2) = 0
10x 2 + 27 x − 28 − 10x 2 + x + 2 = 0 28 x = 26 13 x= 14 (5x − 2)(7 x + 3) − 1= 0 mcm = 7 x 5x − 1 12. ( ) 7 x (5x − 1)
(5x − 2)(7 x + 3) − 7 x (5x − 1) = 0
35x 2 + x − 6 − 35x 2 + 7 x = 0 8x = 6 x=
mcm = 18 (5x − 6)
(6x − 1)(5x − 6) − 54 (x + 2) = 2 (1+ 3x)(5x − 6)
4 x 2 − 5x − 4 x 2 + 32 x = 28 x − 35 27 x = 28 x − 35 − x = − 35 2x − 9 2x − 3 x 9. + = 10 2x − 1 5
mcm = x 2 − 7 x + 12
3( x − 3) = 2 ( x − 4) + 8
4 x + 4 + 3x − 3 = x + 1
x x 2 − 8x 7 8. − = 4 4x − 5 4
3 2 8 = + x − 4 x − 3 x 2 − 7 x + 12
3 4
16.
1 2
1+ 2 x 1 − 2 x 3x − 14 − =− 1+ 3x 1 − 3x 1− 9 x 2
mcm = 1 − 9 x 2
(1+ 2 x)(1− 3x) − (1− 2 x)(1+ 3x) = − 3x + 14 1− x − 6x 2 − 1− x + 6x 2 = − 3x + 14 − 2 x = − 3x + 14 x = 14 3x − 1 1 7 17. x 2 + 7 x + 12 = 2 x + 6 + 6 x + 24 ⇒ x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3)( x + 4) ⇒ 2 x + 6 = 2 ( x + 3)
⇒ 6 x + 24 = 6 ( x + 4)
6 (3x − 1) = 3( x + 4) + 7 ( x + 3) 18 x − 6 = 3x + 12 + 7 x + 21 18 x − 6 = 10 x + 33 8 x = 39 39 x= 8 x = 4 78
mcm = 6 ( x + 3)( x + 4)
18.
1
−
3
mcm = 2 ( x − 1) ( x + 1)
3
=−
(x − 1) 2 x − 2 2 x + 2 2 ( x + 1) − 3 ( x − 1)( x + 1) = − 3( x − 1) 2
2
24.
2
7 1 2 3 − = − 3 x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4 1 2 3 7 − = − x − 1 x − 2 2 x − 2 6 x − 12
2 x + 2 − 3x + 3 = − 3x + 6 x − 3 2 x + 5 = 6x − 3 − 4x = − 8 x=2 2
2
5x + 13 4 x + 5 x − = 19. 15 5x − 15 3
mcm = 6 ( x − 1)( x − 2)
mcm = 15 ( x − 3)
6 ( x − 2) − 12 ( x − 1) = 9 ( x − 2) − 7 ( x − 1) 6 x − 12 − 12 x + 12 = 9 x − 18 − 7 x + 7 − 6 x = 2 x − 11
(5x + 13)(x − 3) − 3(4 x + 5) = 5x (x − 3) 5x 2 − 2 x − 39 − 12 x − 15 = 5x 2 − 15x − 14 x − 54 = − 15x x = 54 2x − 1
x−4
2
20. 2 x + 1 − 3x − 2 = 3
mcm = 3 (2 x + 1)(3x − 2)
3 (2 x − 1)(3x − 2) − 3 ( x − 4)(2 x + 1) = 2 (2 x + 1)(3x − 2)
− 8 x = − 11 − 11 3 = 18 x= −8 1 2 1 12 2 25. x + 3 − 5x − 20 = 3x − 12 − x + 3 mcm = 15( x − 4)(x + 3)
18 x 2 − 21x + 6 − 6 x 2 + 21x + 12 = 12 x 2 − 2 x − 4 18 = − 2 x − 4 22 = − 2 x − 11 = x
4 x + 3 3x + 8 21. 2 x − 5 − 3x − 7 = 1
15( x + 3) − 30 ( x − 4) 2 15x + 45 − 30 x − 120 15x − 60 − 6 x − 18 = 2
15( x − 4) − 6 (x + 3) =
mcm = (2 x − 5)(3x − 7)
2 (9 x − 78) = 15x + 45 − 2 (30 x − 120)
(4 x + 3)(3x − 7) − (3x + 8)(2 x − 5) = (2 x − 5)(3x − 7) 12 x 2 − 19 x − 21 − 6 x 2 − x + 40 = 6 x 2 − 29 x + 35 − 20 x + 19 = − 29 x + 35 9 x = 16 16 x= 9 x = 1 79
22.
10 x − 7 3x + 8 5x 2 − 4 = − 15x + 3 12 20 x + 4
18 x − 156 = 15x + 45 − 60 x + 240 18 x − 156 = − 45x + 285 63x = 441 x=7 1 4 10 3 − = − 26. 6 − 2 x 5 − 5x 12 − 4 x 10 − 10 x mcm = 20 (1 − x )(3 − x )
mcm = 12 (5x + 1)
10 (1 − x ) − 16 (3 − x ) = 50 (1 − x ) − 6 (3 − x ) 10 − 10 x − 48 + 16x = 50 − 50 x − 18 + 6 x
4 (10 x − 7) = (3x + 8)(5x + 1) − 3 (5x 2 − 4)
6 x − 38 = − 44 x + 32
40 x − 28 = 15x 2 + 43x + 8 − 15x 2 + 12 40 x − 28 = 43x + 20 − 3x = 48 x = − 16 23.
4x − 1 x − 2 8x − 3 + = − 1 103 5 2x − 7 10
mcm = 10 (2 x − 7)
2 (4 x − 1)(2 x − 7 ) + 10 ( x − 2) = (8 x − 3)(2 x − 7 ) − 13 (2 x − 7) 16 x 2 − 60 x + 14 + 10 x − 20 = 16 x 2 − 62 x + 21 − 26 x + 91 − 50 x − 6 = − 88 x + 112 38 x = 118 118 38 x = 3 192 x=
1 2 3 2 13 − = − x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4
50 x = 70 7 5 x = 1 25 x=
27.
2 6x 2 2 − 2 = 3 9 x − 1 3x − 1
mcm = 3 (9 x 2 − 1)
2 (9 x 2 − 1) − 18 x 2 = 6 (3x + 1) 18 x 2 − 2 − 18 x 2 = 18 x + 6 − 2 = 18 x + 6 − 8 = 18 x 4 − =x 9
28.
5x 2 − 27 x 1 − = x−6 5x + 3 x
mcm = x (5x + 3)
x−2 2x − 5 x−2 33. x 2 + 8 x + 7 = x 2 − 49 − x 2 − 6 x − 7 ⇒ x 2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)
x (5x 2 − 27 x ) − (5x + 3) = x (5x + 3)(x − 6)
⇒ x 2 − 49 = ( x + 7)( x − 7)
5x 3 − 27 x 2 − 5x − 3 = 5x 3 − 27 x 2 − 18 x − 5x − 3 = − 18 x 13x = 3 3 x= 13 4x + 1 6 4x − 1 − = mcm = 16 x 2 − 1 29. 4 x − 1 16 x 2 − 1 4 x + 1
(4 x + 1)
2
⇒ x 2 − 6x − 7 = ( x − 7)(x + 1)
mcm = ( x + 7)( x − 7)(x + 1) = ( x 2 − 49)( x + 1)
(x − 2)(x − 7) = (2 x − 5)(x + 1) − (x − 2)(x + 7) x 2 − 9 x + 14 = 2 x 2 − 3x − 5 − x 2 − 5x + 14 − 9 x + 14 = − 8x + 9 − x= −5 x=5
− 6 = (4 x − 1)
2
16 x 2 + 8 x + 1 − 6 = 16 x 2 − 8 x + 1 16 x − 5 = 1 16 x = 6 3 x= 8 x − 1 x + 1 5x ( x − 1) 30. 3 + 2 = x + 1 x − 4 x 2 − 3x − 4
4x + 5 2x + 3 2x − 5 34. 15x 2 + 7 x − 2 − 12 x 2 − 7 x − 10 − 20 x 2 − 29 x + 5 = 0 ⇒ 15x 2 + 7 x − 2 = (3x + 2)(5x − 1)
⇒ 12 x 2 − 7 x − 10 = (4 x − 5)(3x + 2) ⇒ 20 x 2 − 29 x + 5 = (4 x − 5)(5x − 1) mcm = (3x + 2)(5x − 1)(4 x − 5)
mcm = x 2 − 3x − 4
(4 x + 5)(4 x − 5) − (2 x + 3)(5x − 1) − (2 x − 5)(3x + 2) = 0
3( x − 1)( x − 4) + 2 ( x + 1) = 5x ( x − 1) 2
3x 2 − 15x + 12 + 2 x 2 + 4 x + 2 = 5x 2 − 5x − 11x + 14 = − 5x − 6 x = − 14 −7 x= −3 x = 2 13
16 x 2 − 25 − 10 x 2 − 13x + 3 − 6 x 2 + 11x + 10 = 0 − 2 x − 12 = 0 − 2 x = 12 x= −6
35.
3 ( x + 1) 7 3 2 − = − 2x + 1 x + 4 x + 1 2x2 + 9x + 4
mcm = (2 x + 1)( x + 4)( x + 1)
x + 2 x−2 x 2 + 78 − 3 = 2 31. 2 x − 2 2 x + 3 2 x − x − 6
7 ( x + 4 )( x + 1) − 3 (2 x + 1)( x + 1) = 2 (2 x + 1)( x + 4 ) − 3 ( x + 1)
2
mcm = (x − 2)(2 x + 3)
7 x 2 + 35x + 28 − 6 x 2 − 9 x − 3 = 4 x 2 + 18 x + 8 − 3x 2 − 6 x − 3 26 x + 25 = 12 x + 5
2 ( x + 2)(2 x + 3) − 3( x − 2) = x 2 + 78 2
14 x = − 20 10 x= − 7 x = − 1 73
4 x + 14 x + 12 − 3x 2 + 12 x − 12 = x 2 + 78 2
26 x = 78 x= 3 32.
1 1 3 − = x 2 + 3x − 28 x 2 + 12 x + 35 x 2 + x − 20 ⇒ x + 3x − 28 = ( x + 7)( x − 4) 2
⇒ x 2 + 12 x + 35 = ( x + 7)( x + 5) ⇒ x 2 + x − 20 = ( x + 5)( x − 4)
mcm = ( x + 7)( x + 5)(x − 4) x + 5 − ( x − 4) = 3 ( x + 7) x + 5 − x + 4 = 3x + 21 9 = 3x + 21 − 12 = 3x − 4= x
(x + 3) (x − 3)
2
36.
2
=
x − 1 2 (7 x + 1) + x + 1 x2 − 2x − 3
mcm = (x − 3) ( x + 1) 2
(x + 3) (x + 1) = (x − 3) (x − 1) + 2 (7 x + 1)(x − 3) 2
2
x 3 + 7 x 2 + 15x + 9 = x 3 − 7 x 2 + 15x − 9 + 14 x 2 − 40 x − 6 9 = − 15 − 40 x 24 = − 40 x 3 − =x 5
37.
12 ( x + 3) x− 4 x+1 − =− x+5 x− 2 (x + 5)2
mcm = ( x + 5) ( x − 2) 2
(x + 5)(x − 2)(x − 4) − (x + 5) (x + 1) = − 12 (x + 3)(x − 2) 2
x 3 − x 2 − 22 x + 40 − x 3 − 11x 2 − 35x − 25 = − 12 x 2 − 12 x + 72 − 57 x + 15 = − 12 x + 72 − 45x = 57 57 45 x = − 1 154 x= −
38.
x− 3 x−2 x+ 2 x+3 − = − x− 4 x− 3 x+1 x+ 2
mcm = ( x − 4)( x − 3)( x + 1)( x + 2)
(x − 3) (x + 1)(x + 2) − (x 2
2
− 4)( x − 4)( x + 1) = ( x + 2) (x − 4)( x − 3) − ( x 2 − 9)( x − 4)( x + 1) 2
x 4 − 3x 3 − 7 x 2 + 15x + 18 − x 4 + 3x 3 + 8 x 2 − 12 x − 16 = x 4 − 3x 3 − 12 x 2 + 20 x + 48 − x 4 + 3x 3 + 13x 2 − 27 x − 36 3x + 2 = − 7 x + 12 10 x = 10 x=1 39.
x+ 6 x+1 x−5 x − = − x+ 2 x− 3 x−1 x+ 4
mcm = ( x + 2)( x − 3)( x − 1)( x + 4)
( x + 6)(x − 3)(x − 1)(x + 4) − ( x
2
− 1)( x + 2)( x + 4) = ( x − 5)( x + 2)( x − 3)( x + 4) − x ( x + 2)( x − 3)( x − 1)
x + 6 x − 13x − 66 x + 72 − x − 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x + 8 = x 4 − 2 x 3 − 25x 2 + 26 x + 120 − x 4 + 2 x 3 + 5x 2 − 6 x 4
3
2
4
− 60 x + 80 = 20 x + 120 − 80 x = 40 x= −
EJERCICIO 143
(
)
1. a x + 1 = 1
1 x + 1= a 1 − 1+ x + 1= − 1 a 1− a x= a
2.
(
)
2 4. 3 2a − x + ax = a + 9
7. ax − a (a + b) = − x − (1 + ab)
6a − 3x + ax = a 2 + 9
ax − a 2 − ab = − x − 1 − ab
x (a − 3) = a 2 + 9 − 6a
ax + x = a 2 − 1
x (a − 3) = (a − 3)
x (a + 1) = (a + 1)(a − 1)
2
x=a−3
5. a ( x + b) + x (b − a ) = 2b (2a − x) ax + ba + xb − ax = 4ab − 2bx xb + 2bx = 4ab − ab 3bx = 3ab 3ab x= 3b x= a
ax − 4 = bx − 2 ax − bx = 4 − 2
x (a − b) = 2
2 x= a−b
1 2
(x − a) − (x + a) 2
6.
2
x= a−1
(
3. ax + b = a − bx ax + bx = a 2 − b 2 2
x (a + b) = (a + b)(a − b) x= a−b
2
2
)
(
3
2
)
3
− a 2 x − 2b 2 x = − a 3 − 2b 3 a 2 x + 2b 2 x = a 3 + 2b 3
= a (a − 7 x )
x 2 − 2ax + a 2 − x 2 − 2ax − a 2 = a 2 − 7ax 3ax = a 2 a2 3a a x= 3
(
a −a x−b x+b =b x−b 3
− 4ax + 7ax = a 2 2
)
8. a 2 a − x − b 2 x − b = b 2 x − b
x (a 2 + 2b 2 ) = a 3 + 2b 3 x=
a 3 + 2b 3 a 2 + 2b 2
( x + a)( x − b) − ( x + b)( x − 2a) = b (a − 2) + 3a
x=
x 2 − bx + ax − ab − x 2 + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a − 2bx + 3ax + ab = ab − 2b + 3a
9.
x (3a − 2b) = 3a − 2b x=1
(
)
(
2
)
2 2 10. x + a = a + x − a a − 1 x 2 + a 2 = a 2 + 2ax + x 2 − a 2 + a
16.
(m + 4 x)(3m + x) = (2 x − m)
2
2
a = 2ax + a 2
2
2mx = − 3m2
a (a − 1) =x 2a a −1 =x 2
3m2 2m 3m x= − 2 x= −
11. m (n − x) − m (n − 1) = m (mx − a )
mn − mx − mn + m = m2 x − am − mx − m2 x = − am − m
− xm (1 + m) = − m (a + 1) x= 12.
+ m (15x − m)
3m + 13mx + 4 x = 4 x − 4mx + m2 + 15mx − m2 2
(
)
(
)
(
) (
) (
)
2 2 2 2 17. a a − x − a a + 1 − b b − x − b 1 − b + a 1 + a = 0 a 3 − a 2 x − a 3 − a 2 − b3 + b2 x − b + b 3 + a + a 2 = 0
− a 2 x + b2 x − b + a = 0
x (b 2 − a 2 ) − (b − a ) = 0
a+1 m+ 1
x (b − a )(a + b) = b − a
x − a + 2 = 2ax − 3 (a + x ) − 2 (a − 5)
x (a + b) = 1
x − a + 2 = 2ax − 3a − 3x − 2a + 10
x=
x − a = 2ax − 5a − 3x + 8 x + 4a − 8 = 2ax − 3x 4 (a − 2) = 2ax − 4 x
(ax − b) = (bx − a)(a − x) − x (b − a ) + a 2
4 (a − 2) = 2 x (a − 2)
18.
2
2
2
1 a+b
+ b (1 − 2b)
a x − 2abx + b = abx + bx − a − ax − bx + a x + a 2 + b − 2b2 2
2= x
2
2
2
2
2
2
2
ax (1 − 3b) = b (1 − 3b)
13. a ( x − a ) − 2bx = b (b − 2a − x )
x=
ax − a 2 − 2bx = b 2 − 2ab − bx
b a
ax − bx = b2 − 2ab + a 2
x (a − b) = (b − a )(b − a )
(a − b)(b − a) x= −
(x + b) − (x − a ) − (a + b) 2
19.
2
2
2
2
2
2 x (b + a ) − 2a (a + b) = 0
x= a−b
2 ( x − a )(a + b) = 0
14. ax + bx = ( x + a − b) − (x − 2b)( x + 2a)
2 x = 2a
2
x=a
x (a + b) = x 2 + 2ax − 2bx + a 2 − 2ab + b2 − x 2 − 2ax + 2bx + 4ab x (a + b) = a 2 + 2ab + b2 x (a + b) = (a + b)
2
20.
(x + m)
3
− 12m3 = − ( x − m) + 2 x 3 3
x 3 + 3x 2 m + 3xm2 + m3 − 12m3 = − x 3 + 3x 2 m − 3xm2 + m3 + 2 x 3
x= a+b
(
2
2bx + 2ax − 2a 2 − 2ab = 0
x = − (b − a )
)
=0
x + 2bx + b − x + 2ax − a − a − 2ab − b = 0 2
a−b
(
2
) (
) (
15. x a + b − 3 − a a − 2 = 2 x − 1 − x a − b
ax + bx − 3 − a 2 + 2a = 2 x − 2 − ax + bx 2ax − 2 x = a 2 − 2a + 1 2 x (a − 1) = (a − 1)
2
x=
a−1 2
)
2 x 3 + 6 xm2 − 2 x 3 = 12m3 6 xm2 = 12m3 12m3 6m2 x = 2m x=
EJERCICIO 144 1.
m 1 2 − = x m m 2 m − x = 2x
mcm = mx
7.
x − 3a 2a − x 1 − =− a2 ab a
b (x − 3a ) − a (2a − x ) = − ab bx − 3ab − 2a 2 + ax = − ab bx + ax = 2ab + 2a 2
x (a + b) = 2a (a + b)
m = 3x 2
m2 =x 3 2.
x = 2a
a b 4a mcm = 2x + = x 2 x 2a + bx = 8a bx = 6a 6a x= b
3.
mcm = mn
n ( x + m) − m ( x + n) = m2 + n 2 − 2mn xn + mn − mx − mn = m2 − 2mn + n 2 2
x (n − m) = − (n − m)(m − n)
x 1− x 1 − = 2a a 2 2a
x = n− m
x−b x− a = 2− 9. a b
x (a + 2) = a + 2 x=
x = − (m − n)
mcm = 2a 2
ax − 2 + 2 x = a
a+2 a+2
x=1
mcm = ab
b ( x − b) = 2ab − a ( x − a ) bx − b 2 = 2ab − ax + a 2 bx + ax = a 2 + 2ab + b2 x (a + b) = (a + b)
2
m n n + = + 1 mcm = mx x m x m2 + nx = mn + mx
x=a+b 4x 3 − 3= − 10. 2a + b 2
mcm = 2 (2a + b)
m2 − mn = mx − nx
8 x − 6 (2a + b) = − 3 (2a + b)
m= x
8 x − 12a − 6b = − 6a − 3b 8 x = 6a + 3b
m (m − n) = x (m − n)
5.
x + m x + n m2 + n 2 − = −2 8. m n mn
x (n − m) = (m − n)
ax − 2 (1 − x ) = a
4.
mcm = a 2b
a − 1 1 3a − 2 + = a 2 x mcm = 2ax
3 (2a + b) 8 2a + 3x 2 (6 x − a ) 11. = mcm = ( x + a )(4 x + a ) x+a 4x + a x=
2 x (a − 1) + ax = 2a (3a − 2) 2ax − 2 x + ax = 6a 2 − 4a
3ax − 2 x = 2a (3a − 2)
(2a + 3x)(a + 4 x) = (2 x + 2a)(6x − a)
2a 2 + 11ax + 12 x 2 = 12 x 2 + 10ax − 2a 2 ax = − 4a 2
x (3a − 2) = 2a (3a − 2) x = 2a a − x b − x 2 (a − b) − = 6. a b ab mcm = ab
b (a − x ) − a (b − x ) = 2 (a − b)
ab − bx − ab + ax = 2 (a − b)
x (a − b) = 2 (a − b) x= 2
x = − 4a
2 ( x − c) 2 x + c = 12. 4 x − b 4 ( x − b)
mcm = 4 (4 x − b)( x − b)
8 ( x − c)( x − b) = (2 x + c)(4 x − b)
8 x − 8 xb − 8 xc + 8bc = 8 x 2 − 2 xb + 4 xc − bc − 6 xb − 12 xc = − 9bc 2
− 6 x (b + 2c) = − 9bc x=
3bc
2 (b + 2c)
13.
5x + a 5x − b 19. 3x + b = 3x − a
1 m 1 1 − = − mcm = xmn n x mn x 2 xm − m n = x − mn
(3x − a)(5x + a ) = (5x − b)(3x + b)
xm − x = m2 n − mn
15x 2 − 2ax − a 2 = 15x 2 + 2bx − b 2
x (m − 1) = mn (m − 1)
− 2ax − 2bx = a 2 − b 2
x = mn
14.
( x − 2b)(2 x + a) = 2 mcm = x − a a − 2b + x ( )( ) ( x − a)(a − 2b + x) ( x − 2b)(2 x + a) = 2 ( x − a)(a − 2b + x) 2 x 2 + ax − 4bx − 2ab = − 4bx + 2 x 2 − 2a 2 + 4ab ax = 6ab − 2a
2
− 2 x (a + b) = (a + b)(a − b) x=
(
2
2
2
2
4ax = 2ax + a 2b 2ax = a 2b ab x= 2
(x + m) = (x + n)(x − n) x + 2mx + m2 = x 2 − n 2 2
2mx = − m2 − n 2 m +n 2m
21.
2
x (2 x + 3b)( x + b) = 2 x 2 − bx + b 2 16. x + 3b
2 x − 3a 11a − 2= 2 x + 4a x − 16a 2
(2 x − 3a)(x − 4a) − 2 (x
x (2 x + 3b)( x + b) = ( x + 3b)(2 x − bx + b
2
mcm = x 2 − 16a 2 2
2
2
− 11ax + 44a 2 = 11a
)
− 11ax = 11a − 44a 2
− 11ax = 11a (1− 4a)
2 x 3 + 5x 2b + 3b 2 x = 2 x 3 + 5bx − 2b 2 x + 3b 3 2
3b 2 x + 2b 2 x = 3b 3 3b x= 5 3 x x 1 x x 5a + 13b 17. + = − + 4 b a 3 b a 12a
x = − (1 − 4a) x = 4a − 1
3 ax + bx 1 ax − bx 5a + 13b ⇒ = + 4 ab 3 ab 12a 3ax + 3bx ax − bx 5a + 13b ⇒ = + mcm = 12ab 4ab 3ab 12a
x2 x+ a 1 22. x + a + a 2 + ax = a 2
a + x 2 = x 2 + 2ax + a 2 a − a 2 = 2ax
a (1 − a) =x 2a 1− a =x 2
9ax + 9bx = 4ax − 4bx + 5ab + 13b 2 5ax + 13bx = 5ab + 13b 2
x (5a + 13b) = b (5a + 13b) x=b 2
(x + a )(3x − a ) = 3 (x − b)
2
mcm = 3 (3x − a )
2
2
2ax + 6bx = a 2 + 3ab
2 x (a + 3b) = a (a + 3b) x=
a 2
2
23.
2 (a + x) 3(b + x ) 6 (a 2 − 2b2 ) − = b a ab
mcm = ab
2a (a + x) − 3b (b + x ) = 6 (a 2 − 2b2 )
+ 3ab − 3b 2
3x + 2ax − a = 3x − 6bx + 3b + 3ab − 3b 2
mcm = a (x + a)
a + x 2 = (x + a)
3 (3ax + 3bx ) = 4 (ax − bx ) + b (5a + 13b)
x + a (x − b) 3ab − 3b 2 = + 3 3x − a 9 x − 3a
− 16a 2 ) = 11a
2 x − 11ax + 12a − 2 x + 32a 2 = 11a 2
mcm = x + 3b
2
18.
= a (2 x + ab)
x + 2ax + a − x + 2ax − a = 2ax + a 2b 2
2
x= −
mcm = ( x − a )( x + a ) 2
mcm = (m + x )(x − n)
2
)
( x + a ) − (x − a )
x = 2 (3b − a)
x+ m n+ x = x − n m+ x
b− a 2
a 2 x + ab 20. x + a − x − a = x−a x+a x2 − a2
ax = 2a (3b − a)
15.
mcm = (3x + b)(3x − a )
2
2a 2 + 2ax − 3b 2 − 3bx = 6a 2 − 12b2 2ax − 3bx = 4a 2 − 9b2
x (2a − 3b) = (2a − 3b)(2a + 3b) x = 2a + 3b
(
) (
1 )( ) (2mn − 3m n) n nm (n − x ) − n (m − n)(m + x) = n − (2mn
2 24. m n − x − m − n m + x = n −
2
mcm = n
2
3
2
− 3m2 n)
mn 2 − mnx − m2 n + mn2 − mnx + n2 x = n 3 − 2mn2 + 3m2 n − 2mnx + n 2 x = − 4mn2 + 4m2 n + n3 nx (n − 2m) = n (n2 − 4mn + 4m2 ) x (n − 2m) = (n − 2m)
2
x = n − 2m
EJERCICIO 145 x → N º buscado 1. 3x = 2 x − 11 x− 8
8 x − 3x = 8 (2 x − 11) 5x = 16x − 88 − 11x = − 88 − 88 x= − 11 x=8
2. x → N º buscado x+
5x = 3x − 14 6
6 x + 5x = 6 (3x − 14) 11x = 18 x − 84 − 7 x = − 84 x=
− 84 −7
x = 12
3. x → N º que se resta 6x 22 − x = 11 + 5
5(22 − x) = 55 + 6x
110 − 5x = 55 + 6 x − 11x = − 55 x=5 4. x → Nº que tiene diferencia 5 7 x − x = 30 mcm = 8 4 8 10x − 7x = 240 3x = 240 x = 80 5. x → Nº buscado 3 1 x − 17 = x − x mcm = 30 5 6 30x − 510 = 18 x − 5x − 510 = − 17 x 30 = x
6. x → N º buscado x 3 1 1 + x − 49 = 2 x − x 6 5 8 12 x 3 x mcm = 120 ⇒ + x − 49 = 5 8 6 24 x + 45x − 5. 880 = 20 x
49 x = 5 .880 x = 120 7. x → Edad de A 3x → Edad de B 5 3x 3x x+ − 4= 2 5 5 5x + 3x − 20 = 6 x
10. x → Lo que tenia 1 1 x − x + x = 39 mcm = 24 3 8 24 x − 8 x − 3x = 936 13x = 936 x = 72 bs. 11. x → Nº buscado x mcm = 3 3x − 48 = 3 9x − 144 = x
8x = 144 x = 18 12. x → Nº buscado
2 x = 20 x = 10 años → Edad de A 3⋅ 10 30 ⇒ = = 6 años → Edad de B 5 5 8. x → Lo que tiene A
7x → Lo que tiene B 8 7x x + 90 = 2 mcm = 8 8 8 x + 720 = 14 x − 6 x = − 720 x = $ 120 → Tiene A 7 ⋅ 120 ⇒ = $ 105 → Tiene B 8 9. x → Long. pieza 3x = 40 mcm = 5 x− 5 5x − 3x = 200 2x = 200 x = 100 m
x + 30 2 8x − 38 = x + 60 7x = 98 x = 14 4x − 19 =
mcm = 5
mcm = 2
13. x → Nº buscado x = x − 10 mcm = 2 2 160 − x = 2x − 20 − 3x = − 180 x = 60 80 −
14. x → Nº buscado 7x 4x −2= mcm = 40 8 5 35x − 80 = 32 x 3x = 80 80 3 x = 26 23 x=
15. x → Ancho del buque 8x 9 8x 56 = 9 504 = 8x 504 =x 8 63 Pies = x
800 − 744 =
EJERCICIO 146 1.
x → N º menor
x → N º menor
2.
x + 1→ N º mayor 4 ( x + 1) = x− 4 5 4x + 4 = x− 4 5
3.
x + 1→ N º mayor
3 ( x + 1) 7x − 17 = mcm = 40 5 8
35x − 680 = 24 ( x + 1)
x − 81 =
− x = − 24
13x = 1. 612
x = 24 → N º menor
x = 124 → N º menor
⇒ x+1
⇒ x+1
= 64 + 1 = 65→ N º mayor
= 124 + 1 = 125
⇒ x+1
mcm = 20
20 x − 1. 620 = 15x − 8 (x + 1)
11x = 704 x = 64 → N º menor
4 x + 4 = 5x − 20
3x 2 (x + 1) − 4 5
20 x − 1. 620 = 15x − 8 x − 8
35x − 680 = 24 x + 24
4 x + 4 = 5 ( x − 4)
x → N º menor x + 1→ N º mayor
x → N º mayor
= 24 + 1 = 25 → N º mayor 4.
x → N º menor
5.
x + 1 → N º mayor
3( x + 1) 1 1 x − 8= mcm = 660 (x + 1) + 33 5 20
132 ( x + 1) + 20x − 5. 280 = 99 (x + 1) 132 x + 132 + 20x − 5.280 = 99 x + 99
152 x − 99 x = 5.148 + 99 53x = 5. 247 x = 99 → N º menor
2 x → N º menor 2 x + 2 → N º mayor
(2 x + 2)
2
x + x + 1− 25 =
2x 5
5(2 x − 24) = 2 x
10 x − 120 = 2 x 8x = 120 x = $ 15 → Gane ayer ⇒ x + 1 = 15 + 1 = $ 16 → Gane hoy 9.
x → Tiene B x + 1 → Tiene A x − 8=
4 ( x + 1)
− 4 mcm = 5 5 5x − 40 = 4 x + 4 − 20
8 x = 320 x = 40 ⇒ 2 x = 2 ⋅ 40 = 80 → N º menor
5x − 4 x = 40 − 16
⇒ 2 x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor
8.
x → Gane ayer x + 1 → Gane hoy
− ( 2 x ) = 324
4 x 2 + 8 x + 4 − 4 x 2 = 324
⇒ x + 1 = 99 + 1 = 100 → N º mayor
7.
6.
2
x = $ 24 → Tiene B ⇒ x + 1 = 24 + 1 = $ 25 ⇒ Tiene A
x → N º menor x + 1 → N º medio x + 2 → N º mayor x x+1 x+ 2 + + =9 20 27 41
mcm = 22 .140
1.107 x + 820 ( x + 1) + 540 ( x + 2) = 199 . 260
1.107 x + 820 x + 820 + 540 x + 1. 080 = 199 . 260 2 . 467 x = 197 . 360 x = 80 → N º menor ⇒ x + 1 = 80 + 1 = 81 → N º medio ⇒ x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor
x → N º menor x + 1 → N º medio
10.
x + 2 → N º mayor
3x 5 ( x + 2 ) + − 31 = x + 1 mcm = 30 5 6
18 x + 25 ( x + 2) − 930 = 30 x + 30 18 x + 25x + 50 − 930 = 30 x + 30 43x − 30 x = 880 + 30 13x = 910
x = 70 x → N º menor ⇒ x + 1 = 70 + 1 = 71
→ N º medio
⇒ x + 2 = 70 + 2 = 72 → N º mayor
x → N º menor x + 1 → N º medio x + 2 → N º mayor
3( x + 1) 3x 1 − − 1 = ( x + 2) mcm = 770 7 10 11
330 ( x + 1) − 231x − 770 = 70 ( x + 2) 330 x + 330 − 231x − 770 = 70 x + 140 29 x = 580
x = 20 → N º menor ⇒ x + 1 = 20 + 1 = 21 → N º medio ⇒ x + 2 = 20 + 2 = 22 → N º mayor
11.
x → Edad B x + 2 → Edad A x − 2 → Edad C
12.
x + 1 → Edad C
7 ( x + 2) x + x − 2 − 12 = 8
17 ( x − 1) (x + 1) − x = 5 − 4 5 ( x + 2 x + 1) − 5x = 17 ( x − 1) − 20 2
8 (2 x − 14) = 7 ( x + 2)
2
16 x − 112 = 7 x + 14 9 x = 126
2
mcm = 5
2
5x + 10 x + 5 − 5x = 17 x − 17 − 20 − 7 x = − 42 2
x = 14 → Edad B
2
x = 6 → Edad B ⇒ x − 1 = 6 − 1 = 5 → Edad A ⇒ x + 1 = 6 + 1 = 7 → Edad C
⇒ x + 2 = 14 + 2 = 16 → Edad A ⇒ x − 2 = 14 − 2 = 12 → Edad C
EJERCICIO 147 x → N º mayor 1. 59 − x → N º menor x−5 =2 59 − x
x → Edad B x − 1 → Edad A
3.
x → N º mayor x − 44 → N º menor
5.
2 x − 40
3(260 − x )
x−2 =3 x − 44
2 x − 40 = 1.560 − 6 x
x − 2 = 3x − 132 − 2 x = − 130
x − 5 = 118 − 2 x 3x = 123
8 x = 1. 600 x = 200 → Parte mayor
x = 65 → N º mayor ⇒ x − 44 = 65 − 44 = 21 → N º menor
x = 41 → N º mayor ⇒ 59 − x = 59 − 41 = 18 → N º menor
⇒ 260 − x
6. x → N º mayor 2. 436 − x → N º menor
x → N º mayor 4. x − 56 → N º menor
x − 73 =2 436 − x
x − 8 = 3 ( x − 56)
x − 73 = 872 − 2 x 3x = 945 x = 315 → N º mayor ⇒ 436 − x = 436 − 315 = 121 → N º menor
= 260 − 200 = 60 → Parte menor x → Parte de A 196 − x → Parte de B 3x − 16 8 =1 196 − x 5 3x − 128 5 ⋅ =1 8 196 − x
x−8 =3 x − 56
x − 73 = 2 (436 − x )
=2
2 x − 40 = 6 (260 − x )
x − 2 = 3 ( x − 44)
x − 5 = 2 (59 − x )
x → Parte mayor 260 − x → Parte menor
5 (3x − 128) = 8 (196 − x )
x − 8 = 3 x − 168 − 2 x = − 160 x = 80 → N º mayor ⇒ x − 56 = 80 − 56 = 24 → N º menor
15x − 640 = 1.568 − 8 x 23x = 2 . 208 x = 96 soles → Parte de A ⇒ 196 − x = 196 − 96 = 100 soles → Parte de B
EJERCICIO 148 1. x → Ganó el 1er día x → Ganó el 2º día 2 x → Ganó el 3 er día 4 x x x + + = 175 mcm = 4 2 4 4 x + 2 x + x = 700 7 x = 700 x = $ 100 → Ganó el 1er día x 100 = = $ 50 → Ganó el 2º día 2 2 x 100 ⇒ = = $ 25 → Ganó el 3 er día 4 4 ⇒
2.
x → Perdió miercoles
3. x → Tiene A
3 x → Perdió jueves 5 1 x → Perdió viernes 2 3 1 x + x + x = 252 mcm = 10 5 2 10x + 6x + 5 x = 2 . 520 21x = 2 . 520 x = $ 120 → Perdió miercoles 3 ⇒ ⋅120 = $ 72 → Perdió jueves 5 1 ⇒ ⋅120 = $ 60 → Perdió viernes 2
2 x → Tiene B 3 2 x → Tiene C 5 2x 2 x + = 248 mcm = 15 x+ 3 5 15x + 10x + 6x = 3 . 720 31x = 3 . 720 x = 120 suc. → Tiene A 2 ⇒ ⋅ 120 = 80 sucres → Tiene B 3 2 ⇒ ⋅ 120 = 48 sucres → Tiene C 5
4.
x → Edad A 3 x → Edad B 5 9 x → Edad C 40 3x 9x + = 73 mcm = 40 x+ 5 40 40x + 24x + 9x = 2 . 920 73x = 2 . 920
x = 40 40 años → edad de A 3 ⇒ ⋅ 40 = 24 años → edaddeB 5 9 ⇒ ⋅ 40 = 9 años → edadde C 40 er 5. x → 1 día 1 x → 2º día 3 1 x → 3º día 9 1 x → 4º día 27 1 1 1 x+ x+ x+ x = 120 mcm = 27 3 9 27 27x + 9x + 3x + x = 3 . 240 40x = 3 . 240 x = 81 Km. 81 Km. → 1er día 1 ⇒ ⋅ 81= 27 Km. → 2º día 3 1 ⇒ ⋅ 81= 9 Km. → 3º día 9 1 ⇒ ⋅ 81= 3 Km. → 4º día 27 6.
x → 1ª semana 11 x → 2ª semana 10 121 x → 3ª semana 100 1. 331 → 4ª semana 1.000
Continuación 6. 1. 000 Km. → 1ª semana 11 ⇒ ⋅1. 000 = 1.100 Km. → 2ª semana 10 121 ⇒ ⋅1. 000 = 1. 210 Km. → 3ª semana 100 1. 331 ⇒ ⋅1. 000 = 1. 331Km. → 4ª semana 1. 000
7. x → 1ª Persona
;
x → 2 ª Persona 2 x → 4 ª Persona 40
x → 3ª Persona ; 8 x → 5ª Persona 400 x x x x x+ + + + = 330 .500 mcm = 400 2 8 40 400 400 x + 200 x + 50 x + 10 x + x = 132 ' 200 . 000 661x = 132 ' 200 . 000 x = 200 . 000 colones 200 . 000 colones → 1ª Persona x 200 . 000 ⇒ = = 100 . 000 colones → 2 ª Persona 2 2 x 200 . 000 ⇒ = = 25 . 000 colones → 3ª Persona 8 8 x 200 . 000 ⇒ = = 5. 000 colones → 4 ª Persona 40 40 x 200 . 000 ⇒ = = 500 colones → 5ª Persona 400 400
8.
x → Re c. en barco 4 x → Re c. en tren 9 5 x → Re c. en avión 18 4 x 5x + = 9 . 362 mcm = 18 x+ 9 18 18x + 8x + 5x = 168 . 516 31x = 168. 516
11 121 1. 331 x = 5 . 436 Km. x+ x+ x = 4 . 641 mcm = 1. 000 10 100 1. 000 5 . 436 Km. → Re c. en barco 1. 000x + 1.100x + 1. 210x + 1. 331x = 4' 641. 000 4 4 ⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 2 . 416 Km. → Re c. en tren 4 . 641x = 4' 641. 000 9 9 x = 1. 000 Km. 5 5 ⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 1. 510 Km. → Re c. en avión 18 18 Continúa x+
EJERCICIO 149 1. x → Tenía al principio 5. x → Aves en la granja 8. x → Tenía al principio 4 x 2 ( x − 20) x → Palomas x − − 15 = 30 mcm = 2 = 10 mcm = 3 x − 20 − 5 2 3 4 x 2x − x − 30 = 60 3x − 60 − 2 ( x − 20) = 30 Re sto x− x= 5 5 x = 90 3x − 60 − 2 x + 40 = 30 x 3 3 Tenía al principio $ 90 → ⋅ = x → Gallinas x − 20 = 30 5 4 20 x = 50 4 x 3x − = 4 mcm = 20 x− $ 50 → Tenía al principio 5 20 x → Tenía al principio 2. 20x − 16x − 3x = 80 9. x → Tenía al principio x x x = 80 3 − = 21 mcm = 4 x − x + 1. 300 = x + 100 2 4 80 → Aves en la granja 4 2x − x = 84 mcm = 4 4 4 ⇒ x = ⋅ 80 = 64 → Palomas x = 84 4 x − 3x + 5 . 200 = 4 x + 400 5 5 84 Q. → Tenía al principio 3 3 − 3x = − 4 . 800 ⇒ ⋅ 80 = 12 → Gallinas x= 3. x → Tengo ahora 20 20 x = 1. 600 4 → Gallos 4 ( x + 7) 1. 600 suc. → Tenía al principio = 20 mcm = 5 x + 7− 6. x → Tenía al principio 5 4 x 5x + 35 − 4 (x + 7) = 100 x− x= → quedó 5 5 5x + 35 − 4 x − 28 = 100 2 x 2 x + 7 = 100 ⋅ = x → Perdí 10. x → Tenía al principio 3 5 15 x = 93 3 x 4 2 → quedó x− x= x− x− x − 8 = 0 mcm = 15 $ 93 → Tengo ahora 4 4 5 15 → x Tenía al principio 4. 2 x x 15x − 12x − 2x − 120 = 0 ⋅ = → Libros 2x 3 3 4 6 120 = x = x → quedó x− 5 5 3 x 2 120 soles → Tenía al principio x − x − = x − 38 5 3 1 4 6 5 ⋅ x = x → prestó 7. x → Tenía al principio 6 5 2 mcm = 60 5 Luego x− x + 42 = x + 2 mcm = 12 60x − 45x − 10x = 24x − 2 . 280 12 2 1 − 19x = − 2 . 280 12x − 5x + 504 = 12x + 24 x − x − x = 500 mcm = 10 5 2 x = 120 − 5x = − 480 10x − 4x − 5x = 5 . 000 $ 120 → Tenía al principio x = 96 x = 5 . 000 $ 96 → Tenía al principio 5 . 000 bs. → Tenía al principio
EJERCICIO 150 1.
x → Edad actual A 3x → Edad actual B 1 x − 15 = (3x − 15) mcm = 6 6 6x − 90 = 3x − 15 3x = 75 x = 25 años → Edad actual A ⇒ 3x = 25⋅ 3 = 75 años → Edad actual B
2.
x → Edad actual B 3x → Edad actual A 3x + 20 = 2 ( x + 20)
3x + 20 = 2 x + 40 x = 20 años → Edad actual B ⇒ 3x = 3⋅ 20 = 60 años → Edad actual A
3.
x → Edad actual A 9 x − 5 = ( x + 5) mcm = 11 11 11x − 55 = 9 x + 45 2 x = 100 x = 50
8.
3( x − 15) mcm = 8 8 8 x − 320 = 3x − 45 5x = 275 x = 55 55 años → Edad padre ⇒ x − 25 = 55 − 25 = 30 años → Edad hijo x − 25 − 15 =
50 años → Edad actual A 4.
x → Edad actual A
2 ( x − 6) = x + 24
2 x − 12 = x + 24 x = 36 36 años → Edad actual A 5.
x → Edad hijo 3x → Edad padre 2 ( x + 16) = 3x + 16
2 x + 32 = 3x + 16 16 = x 16 años → Edad hijo ⇒ 3x = 3⋅ 16 = 48 años → Edad padre
6. x → Edad padre 2 x → Edad hijo 5
2 ( x − 8) 2 x = − 8 mcm = 35 7 5 10 x − 80 = 14 x − 280 200 = 4 x
50 = x 50 años → Edad padre ⇒
2 2 x = ⋅ 50 = 20 años → Edad hijo 5 5
7. x → Edad actual de A 65 − x → Edad actual de B
5( x + 10) mcm = 12 12 900 − 12 x = 5x + 50 850 = 17 x 50 = x 50 años → Edad actual de A ⇒ 65 − x = 65 − 50 = 15 años → Edad actual de B 65 − x + 10 =
x → Edad padre x − 25 → Edad hijo
9.
2 x → Edad padre hace 10 años x → Edad hijo hace 10 años 2 x + 10 → Edad actual padre x + 10 → Edad actual hijo 3 ( x + 10 + 10) 2 4 x + 40 = 3x + 60
2 x + 10 + 10 =
mcm = 2
x = 20 ⇒ 2 x + 10 = 2 ⋅ 20 + 10 = 50 años → Ed . act . padre ⇒ x + 10 = 20 + 10 = 30 años → Ed . act . hijo
10. x + 18 → Edad de A x → Edad de B
5( x − 18) mcm = 2 2 2 x = 5x − 90 90 = 3x 30 = x 30 años → Edad de B ⇒ x + 18 = 30 + 18 = 48 años → Edad A x + 18 − 18 =
11. 3x → Edad A x → Edad B 3x − 4 + x − 4 = x + 16 4x − 8 = x + 16 3x = 24 x=8 8 años → Edad B ⇒ 3x = 3 ⋅ 8 = 24 años → Edad A
x → Tiene A 2 x → Tiene B 3 x → Tiene B 2 7 2 x → Tiene A x + 22 = ( x − 22) mcm = 15 3 5 4 ( x + 20) 10 x + 330 = 21x − 462 2 x − 20 = mcm = 5 5 792 = 11x 10 x − 100 = 4 x + 80 72 = x $ 72 → Tiene A 6 x = 180 2 2 ⇒ x = ⋅ 72 = $ 48 → Tiene B x = 30 3 3 30 soles → Tiene B 7. x → Tiene B ⇒ 2 x = 2 ⋅ 30 = 60 soles → Tiene A 4 x → Tiene A x → Tiene B 5 4 x x + 13 = x − 5 mcm = 5 → Tiene A 5 2 x 4x + 65 = 5x − 25 x − 24 = + 24 mcm = 2 2 90 = x $ 90 → Tiene B 2x − 48 = x + 48 4 4 ⇒ x = ⋅ 90 = $ 72 → Tiene A x = 96 5 5 96 colones → Tiene B 8. x → Tiene A x 96 x ⇒ = = 48 colones → Tiene A → Tiene B 2 2 2 x → Tiene A x 1 + x = x + 5 mcm = 6 2 x → Tiene B 2 3 3x + 2x = 6x + 30 3 2 x − 6) = x + 6 mcm = 5 ( 5x = 6x + 30 5 6 x − 18 = 5x + 30 30 = x $ 30 → Tiene A x 30 x = 48 ⇒ = = $ 15 → Tiene B 2 2 $ 48 → Tiene A 9. x → Empezaron A y B ⇒ 2 x = 2 ⋅ 48 = $ 96 → Tiene B 3 x → Tiene A x − x = x − 24 mcm = 5 5 3 x → Tiene B 5x − 3x = 5x − 120 5 − 3x = − 120 3 9 x + 30 = (x − 30) mcm = 5 x = 40 5 5 40 balboas → Empezaron A y B 3x + 150 = 9 x − 270 x Empezaron A y B → 10. 420 = 6 x
EJERCICIO 151 1.
2.
3.
4.
70 = x $ 70 → Tiene A 3 3 ⇒ x = ⋅ 70 = $ 42 → Tiene B 5 5 5. x → Tiene A yB x + 30 x − 30 = mcm = 2 2 2x − 60 = x + 30 x = 90 90 suc. → Tiene A yB
6.
x−
EJERCICIO 152 1. x → N º años que pasan 3 28 + x = x + 38 mcm = 4 4 112 + 4 x = 3x + 114
(
x=2 2 → años pasan 2. x → N º años que pasan 7 30 + x = x + 25 mcm = 6 6 180 + 6 x = 7 x + 175
(
3x = 12 x − x − 288 3x = 11x − 288 − 8 x = − 288 x = 36 36 soles → Empezaron A y B
)
5= x 5 → años pasan 3. x → N º años hace 9 48 − x = 52 − x 10 mcm = 10
(
)
480 − 10 x = 468 − 9 x 12 = x 12 → años hace 4. x → N º años hace 1 18 − x = 27 − x 4 mcm = 4
(
)
72 − 4 x = 27 − x 45 = 3x 15 = x 15 → años hace 5. x → La suma de dinero 3 50 + x = x + 22 mcm = 5 5 150 + 3x = 5x + 110
(
)
40 = 2 x 20 = x
3 x x = → Le queda B 4 4
x → 3ª parte de lo queda B 12 x x + 288 + 24 = → ha ganado A 12 12 x x + 288 = x− mcm = 12 12 4
)
$ 20 → La suma de dinero 6. x → Gastó cada uno 3 90 − x = 50 − x mcm = 11 11 270 − 3x = 550 − 11x
(
)
8 x = 280 x = 35 35 Q. → Gastó cada uno
7.
x → Edad actual hermano 3 x → Edad actual persona 8. x → ganó cada uno 4 3 54 + x + 32 + x = 4x + 66 (x + x) + 4 x + x = 75 2x + 86 = 4x + 66 3 20 = 2x 3x + x = 75 mcm = 4 4 10 = x 12 x + 3x = 300 $ 10 → ganó cada uno x = 20 20 años → Edad actual hermano 3 3 ⇒ x = ⋅ 20 = 15 años → Edad actual persona 4 4
EJERCICIO 153 1. x + 3 → Long. rect . x → Ancho rect .
(x + 4)(x + 1) − 22 = x (x + 3)
5.
)
600 = 5x 120 = x 120 bs. → Le dió A a B
EJERCICIO 154 1.
x → Numerador x − 2 → Deno min ador 1 x = x−2+7 2
48m ⋅12m → Dimensiones
x → Long. del cuadrado
x=9
Equiv. al rect .
1 x = x+5 2 2x = x + 5
9m → Ancho rect .
x + 7 → Long. del rect .
x=5 5 → Numerador
⇒ x + 3 = 9 + 3 = 12m → Long. rect .
x − 6 → Ancho del rect .
5 − 2 = 3 → Deno min ador
(x + 5)(2 x + 5) − 160 = 2 x
2
2 x 2 + 15x + 25 − 160 = 2 x 2 15x = 135 x= 9 9m⋅ 18m → Dimensiones
(x + 7)(x − 6) = x
5 → fracción 3 2 2 x + x − 42 = x x → Numerador 2. x = 42 x + 1 → Deno min ador 1 x ⇒ x + 7 = 42 + 7 = 49 → Long. del rect . = + 1 + 15 3 x ⇒ − = − = →
2. x → Una de las dim ensiones 2 x → La otra dim ensión
x 6 42 6 36
x 2 + 25x + 150 + 150 = x 2 + 30 x 300 = 5x
x − 8 x + 15 + 115 = x + 2 x
60 = x
− 10 x = − 130
60m → Ancho
x = 13
⇒ x + 30 = 60 + 30 = 90m → Long. 90m ⋅ 60m → Dimensiones
15m ⋅ 13m → Dimensiones
Continúa
1 x = x + 16 3 3x = x + 16
2
2
x + 24 → Long. del rect . 2 x − 12 → Ancho del rect . 2 x x x + 24 − 12 = x − 12 2 2 2
Ancho del rect.
(x + 30 − 20)(x + 15) + 150 = x (x + 30) (x + 10)(x + 15) + 150 = x + 30x
(x − 5)(x − 3) + 115 = x (x + 2) 2
2
49m ⋅ 36m → Dimensiones x → Ancho 6. x + 30 → Longitud
3. x + 2 → Una dim ensión x → Otra dim ensión
4.
(
Continuación x 4. + 24 = x mcm = 2 2 x + 48 = 2x 48 = x
x 2 + 5x + 4 − 22 = x 2 + 3x 2 x = 18
9. x → Le dió A a B 1 153 − x = 12 + x mcm = 4 4 612 − 4 x = 12 + x
x → Ancho
7.
x + 10 → Longitud
(x + 8)(x + 1) = x (x + 10) x + 9 x + 8 = x + 10 x 2
2
8 = x → Ancho ⇒ x + 10 = 8 + 10 = 18 → Long. 18m ⋅ 8m → Dimensiones
2 x = 16 x=8 8 → Numerador 8 + 1= 9 → Deno min ador 8 → Fracción 9 3. x − 8 → Numerador x → Deno min ador
x − 8+1 = x+1 x− 7 = x+1
3 4 3 4
4 ( x − 7) = 3( x + 1) 4 x − 28 = 3x + 3 x = 31 31 − 8 = 23 → Numerador 31 → Deno min ador 23 → Fracción 31
4.
x → Numerador
x → Numerador
5.
2 x + 1→ Deno min ador x−4 1 = 2x + 1 3
2 x + 6 → Deno min ador 4 x + 15 = 2x + 6 − 1 3
3 ( x − 4) = 2 x + 1
x x = 3 −2 x + 1+ 4 x + 1
x + 15 4 = 2x + 5 3
3x − 12 = 2 x + 1 x = 13 13 → Numerador 2 ⋅ 13 + 1 = 27 → Deno min ador 13 → Fracción 27
3x + 45 = 8 x + 20 25 = 5x 5= x 5 → Numerador
x → Numerador
5 → Fracción 16
3x − 1→ Deno min ador 11 x+8 = 3x − 1 + 4 12 x + 8 11 = 3x + 3 12
3x x = −2 x+5 x+1
3 ( x + 15) = 4 (2 x + 5)
2 ⋅ 5 + 6 = 16 → Deno min ador 7.
x → Numerador x + 1→ Deno min ador
6.
8.
x → Numerador x − 22 → Deno min ador x x − 15 − = 3 mcm = x − 22 x − 22 x − 22
mcm = (x + 5)( x + 1)
x ( x + 1) = 3x (x + 5) − 2 (x + 5)(x + 1) x 2 + x = 3x 2 + 15x − 2 x 2 − 12 x − 10 x = 3x − 10 10 = 2 x 5= x 5 → Numerador 5 + 1 = 6 → Deno min ador 5 → Fracción 6
x − ( x − 15) = 3 ( x − 22)
12 ( x + 8) = 33( x + 1)
15 = 3x − 66
12 x + 96 = 33x + 33
81 = 3x
63 = 21x
27 = x
3= x 3 → Numerador
27 → Numerador
3 ⋅ 3 − 1 = 8 → Deno min ador
27 − 22 = 5 → Deno min ador
3 → Fracción 8
27 → Fracción 5
EJERCICIO 155 1.
x → cifra de unidades x + 2 → cifra de decenas
10 ( x + 2) + x
10 x + 20 + x 11x + 20 → El Número 11x + 20 2 ( x + 1)
=7
11x + 20 = 14 ( x + 1) 11x + 20 = 14 x + 14 6 = 3x 2= x 2 → cifra de unidades 2 + 2 = 4 → cifra de decenas 42 → N º buscado
2.
x → cifra de unidades x − 4 → cifra de decenas
10 ( x − 4) + x
3.
x → cifra de unidades 2 x → cifra de decenas
10 x − 40 + x 11x − 40 → El Número
10 ( 2 x ) + x − 9 21x − 9 → N º dis min uido en 9
11x − 40
21x − 9 =6 3x 21x − 9 = 18x
2 ( x − 2)
=4
11x − 40 = 8 x − 16 3x = 24 x=8 8 → cifra de unidades 8 − 4 = 4 → cifra de decenas 48 → N º buscado
3x = 9 x= 3 63 → N º buscado
4.
x → cifra de unidades x + 1 → cifra de decenas
10 ( x + 1) + x 3 (11x + 10)
33x + 30 → N º multip.* 3 33x + 30 = 21(2 x + 1) 33x + 30 = 42 x + 21 9 = 9x 1= x 1 → Cifra de unidades 1 + 1 = 2 → Cifra de decenas 21 → N º buscado 5.
x → cifra de unidades 7 − x → cifra de decenas
10 (7 − x ) + x + 8
78 − 9 x → N º aumentado en 8 78 − 9 x
2 (7 − x )
=6
78 − 9 x = 12 (7 − x ) 78 − 9 x = 84 − 12 x 3x = 6 x=2
52 → N º buscado 6.
x → cifra de unidades x + 2 → cifra de decenas
10 (x + 2) + x
11x + 20 → El Número 11x + 20 − 27 = 10 x 11x − 7 = 10 x x= 7 7 → cifra de unidades 7 + 2 = 9 → cifra de decenas 97 → N º buscado 7. x → cifra de unidades
2 x → cifra de decenas 10 ( 2 x) + x − 4 21x − 4 → N º dis min en 4 21x − 4 = 20 2x − x 21x − 4 = 20x x=4 84 → N º buscado
EJERCICIO 156 1. x → Días trabaj. juntos 1 1 1 + = mcm = 6x 3 6 x 2x + x = 6 3x = 6 x=2
Continuación 4. 8x + 2x + 5x = 12 15x = 12
12 15 4 x= 5 x=
2 días → Hacen la obra 2. x → Tiempo en llenar depósito 4 de día hacen la obra 1 1 1 5 mcm = 20x + = 10 20 x 5. x → Tiempo en llenar depósito 2x + x = 20 1 1 1 1 + + = mcm = 60x 3x = 20 5 6 12 x 20 12x + 10x + 5x = 60 x= 3 27x = 60 x = 6 23 60 x= 6 23 min. → En llenar depósito 27 x = 2 29 3. x → Hacen obra juntos 1 1 1 1 + + = 4 6 12 x 3x + 2x + x = 12
mcm = 12 x
6 x = 12 x=2 2 días → Hacen obra juntos 4. x → Hacen obra juntos 1 1 1 1 + + = 1 21 6 2 25 x 2 1 5 1 mcm = 12x + + = 3 6 12 x
2 29 min → Llenar el depósito 6. x → Tiempo en llenar depósito 1 1 1 1 mcm = 40x + − = 4 8 20 x 10x + 5x − 2x = 40 13x = 40 40 x= 13 x = 3 131
3 131 min. → Llenar el depósito
Continúa
EJERCICIO 157 1.
ABCD = x AB = 5 X BC = 12 CD = 30 x = 5 + 30 +
x 12
x 12 12x = 420 + x 11x = 420 420 2 x= = 38 11 11 x = 35 +
2.
3.
5.
AB = x BD = 15
ABCD = x
AB = x
AB = 10 x BC = 12 CD = 15
BD = 30
AC = 50 X CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 50 + mcm = 12 12 12x + 180 = 600 + x 11x = 420 420 x= 11 2 x = 38 11
AC = 40 CD =
x 12
ABCD = AB + BC + CD x + 15 12 x x = 25 + 12 mcm = 12 x = 10 +
AB + BD = AC + CD x mcm = 12 12 12x + 360 = 480 + x x + 30 = 40 +
12x = 300 + x
11x = 120
11x = 300 300 x= 11 3 x = 27 11
120 11 x = 10 10 11 x=
4.
6.
AB = x BD = 45 AC = 50 x CD = 12 AC + CD = AB + BD x = x + 45 mcm = 12 50 + 12 600 + x = 12x + 540 60 = 11x 60 =x 11 5 5 11 =x
x 12 BC = 30 AB =
ABC = x ABC = AB + BC x + 30 mcm = 12 12 12x = x + 360 x=
11x = 360 360 x= 11 8 x = 32 11
ABC = x AB = 20 x BC = 12 ABC = AB + BC x x = 20 + mcm = 12 12 12x = 240 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11
7.
8.
10.
ABCD = x
ABCD = x AB = 30 x BC = 12 CD = 15 ABCD = AB + BC + CD x x = 30 + + 15 mcm = 12 12 12x = 360 + x + 180 11x = 540 540 x= 11 1 x = 49 11
AB = x BD = 15 AC = 30 x CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 30 + 12 x x− = 15 mcm = 12 12 12x − x = 180 11x = 180 180 x= 11 4 x = 16 11
AB = 15 x BC = 12 CD = 5
ABC = x AB = 50 x BC = 12 ABC = AB + BC x x = 50 + mcm = 12 12 12x = 600 + x 11x = 600 600 x= 11 6 x = 54 11 9.
ABCD = AB + BC + CD x +5 x = 15 + 12 x x = 20 + mcm = 12 12 12x = 240 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11
11.
AB = x BD = 15 AC = 35 x 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 35 + 12 12x + 180 = 420 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11 CD =
ABCD = x AB = 40 x BC = 12 CD = 10 ABCD = AB + BC + CD x x = 40 + + 10 12 x x = 50 + mcm = 12 12 12x = 600 + x 11x = 600 600 x= 11 6 x = 54 11 Continúa
11. Continuación
EJERCICIO 158
1.
x → N º mayor x − 6 → N º menor x 3 − 10 = ( x − 6) mcm = 8 8 2 4 x − 80 = 3x − 18 x = 62 → N º mayor 62 − 6 = 56 → N º menor
AB = x BD = 10 AC = 40 x CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 10 = 40 + 12 x = 30 x− 12 mcm = 12 12x − x = 360 11x = 360 360 x= 11 8 x = 32 11
3. x → Nº buscado x+6 +5 8 x + 46 → Cociente sumado 5 8 x + 46 8 = x + 46 → Nueva sum ÷ en 2 2 16 x + 46 =4 16 x + 46 = 64 x = 18 → Nº buscado
2. x → Le dió A a B 11 120 − x = 90 + x mcm = 10 10 1. 320 − 11x = 900 + 10 x
(
)
420 = 21x 20 = x $ 20 → Le dió A a B
4. x → Persona favorecida 5 x → Persona que recibió menos 7 5 x + x = 48 . 000 mcm = 7 7 7x + 5x = 336 . 000 12x = 336 . 000 x = 28 . 000
28 . 000 soles → Pers. favorecida 5 ⋅ 28 . 000 = 20 . 000 7 20 . 000 soles → Pers. que rec .men.
5.
x → Parte mayor 84 − x → Parte menor 1 1 x = (84 − x ) 10 4
mcm = 20
2 x = 5(84 − x ) 2 x = 420 − 5x 7 x = 420 x = 60
60 → Parte mayor 84 − 60 = 24 → Parte menor 6.
7.
x → Parte mayor 120 − x → Parte menor 3 120 − x = x mcm = 5 5 600 − 5x = 3x 600 = 8x 75 = x → Parte mayor 120 − 75 = 45 → Parte menor
9.
x → Edad de A 2 x → Edad de B 5 2 2 4 ⋅ x= x → Edad de C 3 5 15 4 2 x+ x+ x = 25 mcm = 15 5 15 15x + 6x + 4x = 375 25x = 375 x = 15 15 años → Edad de A 2 ⋅15 = 6 años → Edad de B 5 4 ⋅15 = 4 años → Edad de C 15
12. Continuación
7x 3 21x ⋅ = → Vr. total vta. 4 2 8 de todos los lib. Luego 21x 51x − = 54 mcm = 40 8 40 105x − 51x = 2 .160 54x = 2 .160 x = 40 7x 7 ⋅ 40 = = 70 4 4 70 → Total libros comprados
10. x → Costo auto x 8 . 000 + = x + 2 . 000 mcm = 3 3 24 . 000 + x = 3x + 6 . 000 13. x → Sueldo mensual 18 . 000 = 2x
x 3 7 + x = x → mensual 2 8 8 7 15x − 15 x = 300 mcm = 8 8 120 x − 105x = 2 . 400 15x = 2 . 400 x = 160 $ 160 → Sueldo mensual
9 . 000 = x 9 . 000 bs → Costo auto
11. x → Libros compre 7x 5x − = 8 mcm = 2 2 2 7x − 5 x = 16 2x = 16 x = 8 → Lib. compre
8. x → Lo que tenía 12. 1 x → Gastó en ropa 5 3 x → Gastó en libros 8 1 3 x − x − x − 102 = 0 mcm = 40 5 8 40x − 8x − 15x − 4 . 080 = 0 17x = 4 . 080 x = 240 1 ⋅ 240 = $ 48 → Gastó en ropa 5 3 ⋅ 240 = $ 90 → Gastó en libros 8
x → Cierto N º de libros 3x → Vr. cierto N º de libros 4 3x 7 21x 3 → Vr. del N º = 4 10 40 4 de lib. ant . 3x 21x 51x + = → Vr. total de 4 40 40 lib. compré x+
3x 7 x = → total lib. comp. 4 4 Continúa
x → 1ª parte 5x → 2ª parte 6 3 5x 1 ⋅ = x → 3ª parte 5 6 2 1 1 1 ⋅ x = x → 4ª parte 3 2 6 5x 1 1 + x + x = 150 x+ 6 2 6 mcm = 6 6x + 5x + 3x + x = 900 15x = 900 x = 60 60 → 1ª parte 5 ⋅ 60 = 50 → 2ª parte 6 1 ⋅ 60 = 30 → 3ª parte 2 1 ⋅ 60 = 10 → 4ª parte 6
14.
18. x → Edad actual B 22. x → libros que compró x 5x x → Libros más x+ = → Edad actual A 4 4 4 400 320 1 x = − 10 = x − 10 mcm = 40 5x x 4 10 4 10 x − 400 = 4 x − 40 320 400 6 x = 360 = −2 mcm = x x x x = 60 320 = 400 − 2x 60 años → Edad actual B 2x = 80 ABC = x 60 x = 40 = 15 años → Edad actual A AB = 45 4 40 libros → compró x BC = 400 12 = $ 10 → Pagópor c / u 19. x → N º mayor 40 ABC = AB + BC x − 1 → N º menor x x → Suma repartida 23. 2 1 x = 45 + mcm = 12 x 2 − x − 1 − 43 = x−1 12 x 11 − 30 → Re cibió A 12x = 540 + x 2 1 2 2 − + − − = − 2 1 43 1 x x x x 11x = 540 3x 11 + 20 → Re cibió B 540 7 1 x= 2 x − 44 = x−1 11 x 3x 11 − 30 + + 20 + 30 = x 1 x = 49 11 2 7 11 2 x − 44 = x − 1 mcm = 14 15. x → Edad A 22 x − 484 = x − 1 7 x + 6 x + 280 = 14 x x − 10 → Edad B 21x = 483 280 = x 3 x = 23 x − 10 − 15 = x − 15 mcm = 4 4 280 23 → N º mayor − 30 = $ 110 → Re c. A 4 x − 40 − 60 = 3x − 45 2 23 − 1 = 22 → N º menor 4 x − 100 = 3x − 45 3 ( 280) + 20 = $ 140 → Re c. B x = 55 7 → x Vr . sortija 20. 55 años → Edad A x → Lib. comprad. 24. 3. 000 + x 7 = 1.500 + x mcm = 12 55 − 10 = 45 años → Edad B 6 x 12 → Vr. de x lib. 5 16. x → Puede hacerla A 21. 000 + 7 x = 18 . 000 + 12 x x 2x 1 1 1 → Re sto x− = 3. 000 = 5x mcm = 60x + = 3 3 10 x 6 600 = x 2x 9 3x 6x + 60 = 10x ⋅ = → Vr. vta resto 600 sucres → Vr. sortija 3 4 2 60 = 4 x 3x 6x 15 = x − = 9 mcm = 10 x → Nº personas 21. 2 5 15 días → Puede hacerla A 1 6x 15x − 12x = 90 x+ x= → Nº más de pers. 17. x → Parte mayor 5 5 3x = 90 650 − x → Parte menor 120 100 x = 30 = x 6x x = 650 − x − 50 30 → Libros comprados 5 5 25. x → Fortuna 100 120 x = − 2 mcm = x = 600 − x mcm = 5 x x x x x 5 x − − − = 2 . 500 100 = 120 − 2x x = 3 . 000 − 5x 2 4 6 mcm = 12 2x = 20 6x = 3 . 000 12x − 6x − 3x − 2x = 30 . 000 x = 10 x = 500 x = 30 . 000 10 personas → Se repartió $ 500 → Parte mayor 30 . 000 colones → Fortuna ⇒ 650 − 500 = 150 → Parte menor
(
(
)
(
(
)
)
)
(
)
(
)
(
)
30. 26. x → sueldo anual 3x x x x− − − = 810 5 8 20 mcm = 40 40x − 24 x − 5x − 2x = 32 . 400 9x = 32 . 400 x = 3 . 600 3 . 600 balboas → sueldo anual 27. x → Ahorros 3x 5x 5x − = → Le quedaba x− 8 12 24 3 5x x ⋅ = 5 24 8 5x x − = 400 mcm = 24 24 8 5x − 3x = 9 . 600 2x = 9 . 600 31. x = 4 . 800
$ 4 . 800 → ahorros 28. x → Parte mayor
350 − x → Parte menor 3x 17 = x− 350 − x − (350 − x) 5 15 mcm = 15 5. 250 − 15x − 9 x = 15x − 5. 950 + 17 x − 24 x − 32 x = − 11. 200 − 56 x = − 11. 200 x = 200 200 → Parte mayor 350 − 200 = 150 → Parte menor
29.
x → Suma repartida $ 15 → Re cibió A x − 15 = B + C x − 15 − C = B C= A+ B
180 = x $ 180 → Suma recibida
2 2 33. x + 2 x + 1= x + 111 2 x = 110
3 x → N º piezas de 20 ctvs 4 2 3x x ⋅ = → N º piezas de 10 ctvs 3 4 2 3 0 ,10 x = 9 , 60 x + (0 , 20 x) + 4 2 mcm = 4 4 x + 0 , 6 x + 0 , 2 x = 38 , 4 4 , 8 x = 38 , 4
x = 55 55 → hom bres en el lado del 1er cuadrado
(55) + 36 2
= 3. 061 → Homb. en la tropa 34. x → Lo que tenía 5x x x− − 20 = + 16 8 4 mcm = 8 8x − 5x − 160 = 2x + 128
x=8 8 → Pesos 3 ⋅ 8 = 6 → piezas de 20 ctvs 4 8 = 4 → piezas de 10 ctvs 2
x = 288 $ 288 → tenía
x → Capital primitivo 35. 1 x → 1er año 5 x 4x x− = → Le quedaba 5 5 3 4x 6x ⋅ = → 2º año 10 5 25 4x 6x 26x + = → Tenia al term. 5 25 25 el 2º año 3 26x 78x ⋅ = → 3er año 5 25 125 x 6x 78x x− + + = 13 . 312 5 25 125 125x − 25x + 30x + 78x = 1' 664 . 000 208x = 1' 664 . 000 x = 8 . 000 8 . 000 Q. → Capitalprimitivo
C = 15 + ( x − 15 − C)
C= x − C 2C = x x C= 2 2 x x 15 + 15 + ⋅ + = x 3 2 2 x x 30 + + = x 3 2 180 + 2 x + 3x = 6 x
Continuación
x → Pesos
32. x → Edad de A 2 x − 10 = x + 5 mcm = 3 3 3x − 30 = 2 x + 10
(
)
x = 40 40 años → Edad de A 33. x → Cant . hom bres en el lado del 1er cuadrado mcm = 6 2 x + 36 → Hombres en la tropa
(x + 1)
2
= x 2 + 36 + 75 Continúa
x → Empezó a jugar 2 x − 60 → Le quedaba − 180 3 (2 x − 60) = 6x 10 10 6 x − 180 7 x − =0 x + x − 60 − 10 8 mcm = 40 80 x − 2 . 400 − 24 x + 720 − 35x = 0 21x = 1. 680 x = 80 80 Lempiras → Empezó a jugar
36.
x → Cifra unidades x + 5 → Cifra decenas
10 ( x + 5) + x − 18 = 6 ( x + 5 + x) 10 x + 50 + x − 18 = 12 x + 30 2= x 2 → Cifra unidades 2 + 5 = 7 → Cifra decenas 72 → N º buscado
37. x → Unidades 9 − x → Decenas
10 (9 − x ) + x − 27 = 10 x + 9 − x 90 − 10 x + x − 27 = 10 x + 9 − x 54 = 18 x 3= x 3 → Unidades 9 − 3 = 6 → Decenas 63 → N º buscado
38.
x → Mangos que había 2 x − 12 x → Quedaban x− − 4= 3 3 1 2 x − 12 2 x + 42 + 6= 3 3 9 2 x + 42 9 + 9 = x + 102 2 9 x 2 x + 42 x + 102 x− − 4− − =0 9 9 3 mcm = 9 9 x − 3x − 36 − 2 x − 42 − x − 102 = 0 3x = 180 x = 60 60 → Mangos había
39. x → Ganó c / u 7 80 + x = 50 + x mcm = 10 10 560 + 7 x = 500 + 10 x
(
)
60 = 3x 20 = x $ 20 → Ganó c / u 40.
x → Pluma fuente 3 x → Lapicero 5 5 (x − 0 , 20) = 53 x + 0 , 30 6 mcm = 30 25x − 5 = 18 x + 9 7 x = 14 x=2 $ 2 → Costo la pluma 3⋅ 2 = $ 1, 20 → Costo lapicero 5
41. x → Tenía el lunes antes de
x x+4 + 2= → Lunes 2 2 x + 4 x − 4 x− = → Quedaba 2 2 x−4 2 + 2 = x + 4 → Martes 2 4 x − 4 x + 4 x − 12 → Quedaba − = 4 2 4 x − 12 4 + 2 = x + 4 → Miercoles 2 8 Continúa
Continuación 41. x − 12 − x + 4 = 0
8 4 2 x − 24 − x − 4 = 0
mcm = 8
x − 28 = 0 x = 28 ⇒ $ 28 → Tenía el lunes antes de 42. x → Capital primitivo 3x − 12 . 000 x − 6 . 000 = → Tenía 2 2 3 x − 12 . 000 3x − 36 . 000 2 − 6 . 000 = → 2º año 2 4 3x − 12 . 000 3x − 36 . 000 9 x − 60 . 000 + = → Tenía 2 4 4 9 x − 60 . 000 9 x − 108 . 000 4 − 6 . 000 = → 3º año 2 8 9x − 60 . 000 9x − 108 . 000 + = 32 . 250 mcm = 8 4 8 18x − 120 . 000 + 9x − 108 . 000 = 258 . 000 27x = 486 . 000 x+
x = 18 . 000 $ 18 . 000 → Capital primitivo
43. x → Pr ecio traje $ 15 → Pr ecio bastón 3x s + 15 = 4 x + 15 − 5 = 2s x + 10 → Pr ecio sombrero 2 3x x + 10 + 15 = mcm = 4 2 4 2x + 20 + 60 = 3x 80 = x
$ 80 → Pr ecio traje 80 + 10 = $ 45 → Pr ecio sombrero 2 44. x → Espacio recorrido por perro y conejo Perro Conejo sup uesto 2 5 Pr egunta ? 50 2 ⋅ 50 Luego: → Saltos del perro con respecto a la ventaja 5 Perro Conejo sup uesto 3 8 Pr egunta 8x Luego: 3
x
?
→ Saltos que avanza el conejo al ser alcanzado
Continúa
Continuación 44.
sup uesto
46.
Perro Conejo 2 5
Pr egunta ? x 5x → Saltos que da el perro Luego : 2 para alcanzar al conejo Entonces: 8x 2 ⋅ 50 5x − = mcm = 6 3 5 2 16x − 120 = 15x x = 120 5 ⋅120 = 300 → Saltos del perro 2 para alcanzar el conejo 45. x → Espacio recorrido por perro y liebre Perro Liebre sup uesto 3 4
Pr egunta ? 60 3 ⋅ 60 → Saltos del perro con Luego: 4 respecto a la ventaja Perro Liebre sup uesto 5 8 Pr egunta ? x 8x → Saltos que avanza la Luego: 5 liebre al ser alcanzada Perro Liebre sup uesto 3 4 Pr egunta ? x 4x → Saltos que da el perro Luego: 3 para alcanzar a la liebre Entonces : 8x 3 ⋅ 60 4x − = 5 4 3 8x 4x − 45 = mcm = 15 5 3 24x − 675 = 20x 4x = 675 x = 168 , 75 4 ⋅168 , 75 = 225 → Saltos del perro 3 para alcanzar la liebre
AB = x AC = 50 x CD = 12 BD = 6 AB + BD = AC + CD x x + 6 = 50 + 12 x x− = 44 mcm = 12 12 12x − x = 528 11x = 528 528 x= 11 x = 48 47. x → Aporta A 3 x → Aporta B 4 x 4x → 1er año A x− = 5 5 3x 3x + 12 . 000 + 3. 000 = → 1er año B 4 4 4 x + 8 . 000 4x + 1. 600 = → 2º año A 5 5 3x + 12 . 000 1 3x + 12 . 000 − mcm = 36 4 9 4
27 x + 108 . 000 − 3x − 12 . 000 36
24 x + 96 . 000 3 (8 x + 32 . 000) = 36 36 8 x + 32 . 000 → 2º año B 12 Entonces : 4 x + 8 . 000 8 x + 32 . 000 = mcm = 60 5 12 48 x + 96 . 000 = 40x + 160 . 000 8 x = 64 . 000 x = 8 . 000 8 . 000 bs → Aportó A 3⋅ 8 . 000 = 6 . 000 bs → Aportó B 4
50. Buey → $ 80 P + 80 = 2C
48. x → Años para que la edad del padre sea = a la suma de sus hijos 60 + x = 16 + x + 14 + x 60 + x = 30 + 2x 30 = x 30 años → Edad del padre sea igual a la suma de sus hijos
C + 80 =
13 P 2
Luego: P + 80 =C 2 13 P P + 80 + 80 = mcm = 2 2 2 P + 80 + 160 = 13 P 240 = 12 P 20 = P $ 20 → Costo el perro 20 + 80 =C mcm = 2 2 20 + 80 = 2C
49. x → Km. recorridos x x + = 12 mcm = 50 50 10 x + 5 x = 600 6x = 600 x = 100 100 → Km. recorridos
100 = 2C 50 = C $ 50 → Costo el caballo
EJERCICIO 159 1. a = 30m v = 8m s v ' = 5m s 30 ⋅ 8 x= 8−5 240 x= 3 x = 80m 2. a = 160 Km v = 50 Km h
v ' = − 30 Km h x=
160 ⋅ 50
50 − (− 30)
8 . 000 x= 80 x = 100 Km. 3. a = 200 Km v = 90 Km h
v ' = 40 Km h 200 ⋅ 90 90 − 40 Continúa
x=
Continuación 18 . 000 50 x = 360 Km de A
3. x =
5. a = 550 Km v = 100 Km
h Km v ' = − 120
De B. Como la dis tan cia entre A y B es 200 Km
x=
Entonces B recorrió 360 Km − 200 Km = 160 Km
4. a = 80 Km v = 90 Km
h
v ' = 70 Km h 80 ⋅ 90 90 − 70 7 . 200 x= 20 x = 360 Km El tiempo empleado x=
en encontrarse será . 360 Km = 4 horas 90 Km h
h
De A. 550 ⋅ 100
100 − (− 120)
55 . 000 220 x = 250 Km Como los trenes pasan por A y B a las 8 am x=
Entonces De A. x = 250 Km v = 100 Km h Tiempo empleado para los 250 Km. es 250 Km 100 Km h
= 2 , 5 horas
2 , 5 horas → 2 h 30 min. Luego : 8 am + 2 h 30 min = 10 : 30 10 : 30 am → Se encuentran
6. a = 70 Km v = 9 Km h
7. A y B dis tan tes 29 Km ⇒ 29 21 Km − 2 12 Km = 27 Km
v ' = − 5 Km h x → Dis tan cia recorrida por A al encontrarse 70 ⋅ 9 x= 9 − (− 5)
a = 27 Km v = 5 Km h v ' = − 4 Km
630 14 x = 45 Km → A Como A recorrió 45 Km Entonces B 70 Km − 45 Km = 25 Km → B 9. a = 186 Km v=v v'= − v x=
x=
8. Re corrido tren de c arg a en 3 horas es
1 2
x=
Km (3 h) = 126 Km h a = 126 Km
42
v = 60 Km h v ' = 42 Km h
h
27 ⋅ 5
5 − (− 4)
x=
135 9 x = 15 Km Luego A recorre x=
7 . 560 18 x = 420 Km x=
420 Km → Alcanza el tren de
15 Km + 2 12 Km = 17 21 Km B recorre
186 v
v − (− v )
pasajeros al de c arg a El tiempo empleado es:
29 21 Km − 17 21 Km = 12 Km
186v x= 2v x = 93 Km.
126 ⋅ 60 60 − 42
420 Km = 7 horas 60 Km h
EJERCICIO 162 1. b = 10 cm h = 8 cm b ⋅h A= 2 10 cm ⋅ 8 cm A= 2 A = 40 cm2
4. v = 9 m s
2
2
π = 3 ,14 C = 2π ⋅ r C = 2 ⋅ 3 ,14 ⋅ 5m C = 10m ⋅ 3 ,14 C = 31, 4 m
2
a 2 = 16m2 + 9m2 a = 25m
(8 m)
2
2
A=
A = 3 ,14 ⋅ 25m2 8. r = 5m
2
d 2
A = 3 ,14 (5m)
2
a = 25m2 a = 5m
2 A = 32 m2
9. h = 9m
r = 2m π = 3 ,14
6. a = 13 m
c = 5m
3. t = 15 s
b2 = a 2 − c2
v = 9ms e= v⋅t
(
e = (15 s) 9 m s e = 135 m
)
2
b = 169m − 25m 2
p v 8 , 24 g D= 8 cm3 D=
D = 1, 03 g
cm3
11. L = 4m 2
3 4 ( 4m) 2 3 A= 4 A = 4m2 3 A=
L
A = 6 , 92m2
h⋅π ⋅r 3 2 9m ⋅ 3 ,14 ( 2m) v= 3 v = 12m2 ⋅ 3 , 14 2
b = (13m) − (5m) 2
2
A = 78 , 5m2
a 2 = ( 4m) + ( 3m)
2
V = 8 cm3
A = π ⋅r2
c = 3m
a =b +c
2. d = 8 m
10. P = 8 , 24 g
π = 3 ,14
5. b = 4 m 2
A=
7. r = 5m
e = 108 m e 108 m t= ⇒ t= v 9ms t = 12 s
2
2
2
b 2 = 144m2 b = 144m b = 12m
2
v=
v = 37 , 68m2
12. N = 6
S = 180 (6 − 2) !
S = 180 ( 4) !
S = 720
!
EJERCICIO 163 8. V = Vo − a ⋅ t
1. e = v ⋅ t e v= Rta t e t= Rta v
V + a ⋅ t = V0 Rta a ⋅ t = V0 − V
b + b ' A= h 2
2.
2 A = h (b + b ') 2A = h Rta b+ b' 3. e = 1 a ⋅ t 2 2 2e = a ⋅ t 2 2e = a Rta t2
t=
V0 − V Rta a
Rta
f ⋅ p ' = p ( f − p ') f ⋅ p' =p f − p'
10. a = b + c 2
a 2 − c 2 = b Rta a2 − b2 = c2 a − b = c Rta 2
14.
11. V = a ⋅ t V = t Rta a V a= Rta t 12.
6. a = b + c − 2bx a 2 − b 2 − c 2 = − 2bx 2
a2 − b2 − c2 =x 2b 2 2 2 b +c −a = x Rta 2b
7. V = Vo + a ⋅ t
V − a ⋅ t = V0 Rta V − V0 = a ⋅ t V − V0 =a t
Rta
V − V0 =t a
Rta
1 1 1 = − f p' p p '⋅ p f ⋅ p− f ⋅ p' = f ⋅ p '⋅ p f ⋅ p '⋅ p
15.
p'=
p⋅ f Rta p+ f Continúa
V2 2a 2ae = V 2 e=
2ae = V Rta
1 2 a⋅t 2 2e = 2V0 ⋅ t + a ⋅ t 2 e = V0 ⋅ t +
2e − a ⋅ t 2 = V0 2⋅ t
20.
u = a + (n − 1) r
u − (n − 1) r = a Rta u − a = (n − 1) r
u− a = n−1 r u− a + 1= n r u− a+ r = n Rta r u − a + r = nr
Rta
1 e = V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 2 2e = 2V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 2e + a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t 2e + a ⋅ t 2 = V0 2⋅t
u − a = nr − r
u − a = r (n − 1)
Rta
a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t − 2e 2V ⋅ t − 2e a= 0 2 t
p'=
p '(p + f )= p⋅ f
19.
2e − a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t
p ' ⋅ p = f ( p − p ')
f ( p − p ') p f ⋅ p f ⋅ p' − p'= p p f ⋅ p' p'= f − p f ⋅ p' =f p'+ p p '⋅ p + f ⋅ p ' =f p
Rta
e d e 2 v = d v 2 ⋅ d = e Rta e d = 2 Rta v
2
c ⋅ t ⋅r 100 100 I = c ⋅ t ⋅ r 100 I = c Rta t ⋅r 100 I = t Rta r⋅c 100 I = r Rta c⋅t I=
18. E = I ⋅R E = R Rta I E = I Rta R
13. v =
a2 − c2 = b2
2
17.
p '⋅ p + f ⋅ p ' =f 12. p p' ⋅ p f ⋅ p ' + =f p p f ⋅ p' =f p'+ p f ⋅ p' = f − p' p
9. D = P V DV = P
2
A = r Rta π
−
V0 − V t
P Rta D P = VD Rta
2 5. A = π ⋅ r A 2 =r π
2
a=
V=
1 4. A = a ⋅ l ⋅ n 2 2A = a ⋅ l ⋅ n 2A = a Rta l ⋅n 2A = l Rta n⋅ a 2A = n Rta l⋅ a
2
Continuación
u− a =r n−1
16.
V=
u = a Rta r n −1 u n−1 =r a
h ⋅π ⋅ r 2 3
3V = h Rta π ⋅r 2 3V 2 =r π ⋅h 3v = r Rta π ⋅h
u = a ⋅r n − 1
21.
2 (V0 ⋅ t − e) a= Rta t2
Rta
n −1
22.
u = r Rta a
Q t Q = I⋅ t I=
Q =t I
Rta Rta
EJERCICIO 164 1.
x − 5 < 2x − 6 − 5 + 6 < 2x − x 1< x 1 → Lim. inf erior de x
2. 5x − 12 > 3x − 4 5x − 3x > 12 − 4 2x > 8 x>4 4 → Lim. inf eror de x 3.
x − 6 > 21− 8x x + 8x > 21+ 6 9x > 27 x>3 3 → Lim. inf erior de x
(
)(
)
(
)(
)
8. x + 2 x − 1 + 26 < x + 4 x + 5
6 x 2 + 7 x + 2 > 6 x 2 + 13x − 5 2 + 5 > 13x − 7 x 7 > 6x 7 >x 6
9. 3 ( x − 2) + 2 x ( x + 3) > (2 x − 1)( x + 4)
3x − 6 + 2 x 2 + 6 x > 2 x 2 + 7 x − 4 9x − 6> 7x − 4
14.
9x − 7x > − 4 + 6 2x > 2
(
x>1
) (
)(
x 2 + 5x + 6 − 12 > x 2 + 2 x
) (
5x − 2 x > 6
)
3x > 6
6 x 2 + 6 − 6 x 2 + 8 x + 8 < 15x + 63
x>2
8 x + 14 < 15x + 63 8 x − 15x < 63 − 14
15.
− 7 x < 49 7 x > − 49
5 x > + 10 3 3 6x − 5 > x + 30
(
)(
) (
)(
6x − x > 30 + 5 5 x > 35
15x − 5 − 20 < 6 x + 2 15x − 6 x < 25 + 2
)
9 x < 27
x 2 + x − 20 < x 2 − 5x + 6
x< 3
5x + x < 20 + 6 6 x < 26
x>7
x 5x < +2 4 2 12x − 16 + x < 10x + 8 12x + x − 10x < 16 + 8 3x < 24 x −7 11. x − 4 x + 5 < x − 3 x − 2
x+ 3 4 x − > 3 x+2 3
(x + 2)(x + 3) − 12 > x ( x + 2)
10. 6 x 2 + 1 − 2 x − 4 3x + 2 < 3 5x + 21
5. 2x −
2x + 1 2x + 5 > 3x − 1 3x + 2
(3x + 2)(2 x + 1) > (2 x + 5)(3x − 1)
x 2 + x − 2 + 26 < x 2 + 9 x + 20 24 − 20 < 9 x − x 4 < 8x 1 x + 1− x x>2
17. x → Nº s. enteros x x 12. + 15 > + 1 2 3 2 3 2 3 2 4 x − 12 x + 9 + 4 x − 28 x < 4 x − 24 x + 48 x − 32 2 2 2x + 90 > 3x + 6 x −1 − 7> x − 2 7. − 12 x − 48 x < − 9 − 32 90 − 6 > 3x − 2x 2 2 − 60x < − 41 x − 2x + 1− 7 > x − 4 x + 4 84 > x − 6 − 4 > − 4x + 2x 60x > 41 Nº s. enteros menores − 10 > − 2 x 41 x> que 84 Rta 60 10 < 2 x
(
)
(
(2 x − 3)
2
+ 4 x 2 ( x − 7) < 4 ( x − 2)
3
)
5< x
EJERCICIO 165 1. x − 3 > 5 y 2x + 5 > 17 2x + 5 > 17 x−3>5 2x > 12 x>5+3 x>8 x>6 x > 8 Rta
y 2x + 9 > 3x 2. 5 − x > − 6 − x> −6−5 −x>−9 x < 11 x 4x + 11 4 − 2x > 10 − 5x 2x > 6 3x > 6 x>3 x>2 x > 3 Rta
4. 5x − 4 > 7x − 16 y 8 − 7x < 16 − 15x 12 > 2x 8x < 8 x x x < 1 Rta 5.
8. ( x − 1)( x + 2) < ( x + 2)( x − 3) y
− 3< x < − 2
7.
x−1 x− 5 < x+ 4 x−1
(x − 1) < (x − 5)(x + 4) 2
x 2 + 5x + 6 > x 2 + 6 x − 16 22 > x
x 2 − 2 x + 1< x 2 − x − 20 21< x 21< x < 22
5 x > 20 x>4
4 < x < 6 Rta
EJERCICIO 166 3.
Rta
10. x → Nº s. enteros x 3x − 6 > + 4 y 4x + 8 < 3x + 15 2 6x − 12 > x + 8 x 20 x>4 4 < x < 7 Luego son 5 y 6 Rta
x x 2 − 1> − 1 21 y 2x − 3 35 > x + 4 3 5 3x − 12 > 4x − 18 10x − 18 > 5x + 2
x = Ky 1. x = Ky 2. 9 = K6 2 = K3 9 2 =K =K 6 3 3 2 x = ⋅8 24 = y 2 3 x = 12 3 ⋅ 24 =y 2 36 = y
Rta
y
(x + 2)(x + 3) > (x − 2)(x + 8)
2x − 3 < x + 10 y 6x − 4 > 5x + 6 2x − x < 10 + 3 6x − 5x > 6 + 4 x < 13 x > 10 10 < x < 13 Rta
18 − 12 > 4 x − 3x 6>x
x+ 2 x− 2 > x+8 x+3
9.
120 < 20x 6 20 Rta
6.
x 2 + 8 x + 15 > x 2 + 7 x + 12 x> − 3
x + 2 y 2x + < 6 x − 23 25 2 4 5 2x − 12 > x + 8 10x + 3 < 30x − 117 x > 20
(x + 3)(x + 5) > (x + 4)(x + 3)
x2 + x − 2 < x2 − x − 6 2x < − 4
A = KBC 30 = K (2)(5) 30 =K 10 3= K A = 3(7)( 4) A = 84
4. x = KYZ
4 = K ( 3)(6) 4 =K 18 2 =K 9 10 = Ky9 2 10 = y9 9 10 = 2 y 5= y
K B K 3= 5 15 = K
5. A =
K 7 15 A= = 2 71 7 A=
K A 1 K = 3 1 2 1 = 2K 3 1 =K 6 1 1 1 1 = 6 ⇒ = 12 A 12 6A ⇒ 6A = 12 ⇒ A = 2
6. B =
K 11. A → Area del 12. Ap → Area piramide KB K y 9. x = K y 2 − 1 10. x = 2 cuadrado 8. x = −1 y a → apotema C Z 2 → d Diagonal = − K 48 5 1 K → perim. de la b. pb K 12 4K 9= 2 8= 3= 2 Ap = Kapb − 3 1 = A Kd 3 8 48 = K 25 − 1 2 2 8 = 4K m2 = K (12m)(80m) 480 24 = 4 K K 18m = K ( 6m) 48 = 9 =K 2 =K 480m2 = K (960m2 ) 6 =K 8 24 18m2 =K 2⋅7 72 = K 7 ⋅6 480m2 2= K 36m2 A= 10 = =K 14 960m2 Z 72 1 x = 2 72 − 1 x= 2 = K A =1 1 42 5 −1 2 =K Z= x = 2 ⋅ 48 2 10 1 2 72 1 A = (10m) x = 96 x= Z = 4 51 Ap = ( 6m)( 40m) 2 24 2 100m2 x=3 240m2 A= Ap = 2 2 A = 50m2 Ap = 120m2
7. A =
( ( (
) ) )
(
)
(
)
(
)
13. Vp → Vol. piramide
h → Altura Ab → Area base Vp = KhAb
96m3 = K ⋅ 8m (36m2 ) 96m = K (288m 3
3
)
14. Ao → Area circulo
r → Radio
15. Lo → Long. circunf. r → Radio
Ao = Kr 2 616 cm = K (14cm) 2
2
616 cm2 =K 196 cm2 22 =K 7 22 Ao = (7 cm)2 7 Ao = 22 ⋅ 7 cm2
1 =K 3 1 Vp = ⋅ 12m (64m2 ) 3 768m3 Vp = 3 Vp = 256 m3
Ao = 154 cm2
16.
Lo = Kr 44cm = K ⋅ 7cm 44 =K 7 44 r 66cm = 7 462 cm = 44r 462 cm = r 44 10 21 cm = r
K y2 K 4= 2 6 36 ⋅ 4 = K 144 = K x=
9= y2 =
144 y2
144 9
144 9 12 y= ± 3 y= ±4 y=±
EJERCICIO 167 1. A = KB 10 = K 5 2 = K ⇒ A = 2B 2. e → Espacio V → Velocidad t → Tiempo e = KVt Si K = 1⇒ e = Vt 3. Ar → Area rombo D → Diag mayor D ' → Diag menor A = KDD '
24 cm = K ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm 2
24 cm2 = K ⋅ 48 cm2 1 =K 2 1 A = DD ' 2 KB 4. A = C 3B K=3 ⇒A= C C = Kr 5. 132 cm = K ⋅ 21cm 132 cm =K 21cm 44 =K 7 44 C= r 7
6. C → Espacio ( h)
t → Tiempo h → Altura (e) e= K⋅t
2
19 , 6 m = K ( 2s) 19 , 6 m =K 4s2 m 4 ,9 2 = K s e = 4 ,9 t2 7. F =
2
KmV 2 r
8. y → Función x → Vble. indep. y = 2x + 3 9. L → Lado de un cuad. inscrito en un circulo r → Radio L = K ⋅r
K= 2 L= 2⋅ r 10. y → Función x → Vble. indep.
x2 y= +2 2
11. y =
5 − 2x 3
12. F → Fuerza de atracc. m → Masa cuerpo1 m ' → Masa cuerpo 2
d → Dis tan cia K ⋅m ⋅m ' F= d2 13. h → Altura ∆ A → Area del ∆ B → Base K⋅A h= B K ⋅ 20 cm2 10 cm = 4 cm 10 cm = K ⋅ 5 cm 2 =K 2A h= B 14. W → Energ. cinetica m → Masa V → Velocidad W = KmV 2 1 2 1 W = mV 2 2
K=
15. B → Area base piramide V → Volumen h → Altura
K 16. x = y
K 17. x = 2 y
K 5 10 = K
K 22 12 = K
2=
KV h K ⋅ 400 100 = 12 1. 200 = K ⋅ 400 3=K 3V B= h B=
x=
10 y
KB C K ⋅ 24 3= 4 12 = K ⋅ 24 1 =K 2 1 B 2 A= C B A= 2C
18. A =
3=
x=
12 y2
EJERCICIO 173 1. x + y = 5 y=5−x 5 − x → Entero y + Para que y sea entero y + el mayor valor que podemos dar a x es 4 . Por tan to las soluciones enteras y + son:
x =1 x=2 x=3 x=4
y=4 y=3 y=2 y =1
2. 2x + 3y = 37 2x = 37 − 3y 37 − 3y x= 2 36 1 2y y + − − x= 2 2 2 2 1− y x = 18 − y + 2 1− y x − 18 + y = 2 1− y → Entero 2 3 − 3y → Entero 2 2 1 2y y + − − 2 2 2 2 1− y → Entero 1− y + 2 Continúa
2. Continuación
3. Continuación
1− y =m 2 1 − y = 2m
x − 14 + y =
− y = 2m − 1 y = 1 − 2m
⇒ 2 x + 3 (1 − 2m) = 37 2 x + 3 − 6m = 37 2 x = 34 + 6m
2 (17 + 3m) 2 x = 17 + 3m x=
y = 1 − 2m → m entero x = 17 + 3m m = 0 y = 1 x = 17 sol m= 1 y = − 1 → no m= −1 y = 3 m= − 2 y = 5 m= − 3 y = 7
x = 14 sol x = 11 sol x = 8 sol
m = − 4 y = 9 x = 5 sol m = − 5 y = 11 x = 2 sol m = − 6 y = 13 x = − 1 → no 3. 3x + 5y = 43 3x = 43 − 5y 43 − 5y x= 3 42 1 3y 2y + − − x= 3 3 3 3 1− 2y x = 14 − y + 3 Continúa
1− 2 y 3
1− 2 y → Entero 3 2− 4y → Entero 3 2 3 y 1y − − 3 3 3 2− y − y+ 3 2− y =m 3 2 − y = 3m − y = 3m − 2 y = 2 − 3m 3x + 5(2 − 3m) = 43
3x + 10 − 15m = 43 3x = 33 + 15m
3(11+ 5m) 3 x = 11 + 5m x=
y = 2 − 3m x = 11+ 5m m= 0 x = 11 m= 1 x = 16 m= − 1 x = 6 m= − 2 x = 1 m= − 3 x = − 4
y = 2 sol y = − 1 → No y = 5 sol y = 8 sol → No
4. x + 3 y = 9 x = 9 − 3y 9 − 3y → Entero 3 − y → Entero
3− y = m − y = m− 3 y = 3− m
x + 3(3 − m) = 9 x + 9 − 3m = 9 x = 3m y = 3− m x = 3m m= 0 x = 0 m= 1 x = 3 m= 2 x = 6
y = 3 → No y=2 sol y=1 sol
m = 3 x = 9 y = 0 → No m = 4 x = 12 y = − 1 → No 5. 7 x + 8 y = 115 7 x = 115 − 8 y
115 − 8 y 7 112 3 7 y y + − − x= 7 7 7 7 3− y x = 16 − y + 7 x=
3− y → Entero 7 24 − 8 y → Entero 7 24 7 y y − − 7 7 7 24 − y − y+ 7 24 − y =m 7 24 − y = 7m − y = 7m − 24 y = 24 − 7m
7 x + 8 (24 − 7m) = 115 7 x + 192 − 56m = 115 7 x − 56m = − 77
7 (8m − 11) x= 7 x = 8m − 11
Continúa
5. Continuación
y = 24 − 7m x = 8m − 11 m=0 x = − 11 → No m =1 x = − 3 → No m=2 x = 5 y = 10 sol m = 3 x = 13 y = 3 sol m = 4 x = 21 y = − 4 → No m = − 1 x = − 19 → No
x=
25 1 5 y − − 5 5 5
1 x + = 5− y 5 5− y = m − y = m− 5 y = 5− m
x + 25 − 5m = 24
136 − 15x y= 7 133 3 14 x x + − − y= 7 7 7 7 3− x y = 19 − 2 x + 7 3− x y − 19 + 2 x = 7 3− x → Entero 7 24 − 8x → Entero 7 24 7 x x − − 7 7 7 24 − x − x+ 7 24 − x =m 7 24 − x = 7m − x = 7m − 24 x = 24 − 7m
15(24 − 7m) + 7 y = 136 360 − 105m + 7 y = 136 − 105m + 7 y = − 224
7 (15m − 32) 7 y = 15m − 32 y=
x = 24 − 7m y = 15m − 32 m= 0
x = 24 y = − 32
→ No
m= 1
x = 17 y = − 17
→ No
m= 2
x = 10 y = − 2
m= 3
x= 3
m= 4
x= −4
m = − 1 x = − 31
x = 24 + 1 − 1 − 5 y
x + 5(5 − m) = 24
6. 15x + 7 y = 136 7 y = 136 − 15x
y = 13
7. x + 5 y = 24 x = 24 − 5 y
→ No sol
→ No → No
x = 31 y = − 47 → No
x = 5m − 1 y = 5− m x = 5m − 1 m= 0
x = − 1 → No
m= 1
x=4
y= 4
sol
m= 2 m= 3
x=9 x = 14
y=3 y= 2
sol sol
m= 4
x = 19
y=1
sol
m= 5
x = 24
y= 0
→ No
m= 6
x = 29
y = − 1 → No
m= − 1 x = − 6
→ No
8. 9x + 11y = 203 9x = 203 − 11y 203 − 11y x= 9 198 5 9y 2y + − − x= 9 9 9 9 5 − 2y x = 22 − y + 9 5 − 2y x − 22 + y = 9 5 − 2y → Entero 9 25 − 10y → Entero 9 18 7 9y y + − − 9 9 9 9 7−y 2−y+ 9 7−y =m 9 7 − y = 9m − y = 9m − 7 y = 7 − 9m Continúa
10. 8 x + 13 y = 162 8x = 162 − 13 y
8. Continuación 9 x + 11(7 − 9m) = 203 9 (14 + 11m) 9 x = 14 + 11m x= y = 7 − 9m x = 14 + 11m m= 0 m= 1
x = 14 x = 25
y= 7 sol y = − 2 → No y = 16 sol
m= − 1 x = 3
m = − 2 x = − 8 → No
9. 5x + 2 y = 73 2 y = 73 − 5x
73 − 5x 2 72 1 4 x x + − − y= 2 2 2 2 1− x y = 36 − 2 x + 2 1− x y − 36 + 2 x = 2 1− x =m 2 1− x = 2m − x = 2m − 1 y=
x = 1 − 2m
5(1− 2m) + 2 y = 73 5 − 10m + 2 y = 73 y=
2 (34 + 5m)
2 y = 34 + 5m x = 1− 2m y = 34 + 5m m= 0
x=1
m= 1
x= −1
162 − 13y 8 160 2 8 y 5y + − − x= 8 8 8 8 2 − 5y x = 20 − y + 8 2 − 5y x − 20 + y = 8 2 − 5y → Entero 8 10 − 25 y → Entero 8 10 24 y y − − 8 8 8 10 − y − 3y + 8 10 − y =m 8 10 − y = 8m − y = 8m − 10 y = 10 − 8m x=
9 x + 77 − 99m = 203
y = 34 sol → No
m= − 1 x = 3
y = 29 sol
m= − 2 x = 5 m= − 3 x = 7 m= − 4 x = 9
y = 24 sol y = 19 sol
m = − 5 x = 11
y=9
sol
m = − 6 x = 13
y=4
sol
m = − 7 x = 15
y = − 1 → No
y = 14 sol
8 x + 13(10 − 8m) = 162
8x + 130 − 104m = 162
8 (4 + 13m) 8 x = 4 + 13m
11. Continuación
10 2 5x x + − − 5 5 5 5 2− x 2− x+ 5 2− x 2− x+ 5 2− x =m 5 2 − x = 5m − x = 5m − 2 x = 2 − 5m
7 (2 − 5m) + 5 y = 104 14 − 35m + 5 y = 104
5 (18 + 7m) 5 y = 18 + 7m y=
x = 12 − 5m y = 18 + 7m m= 0
x=2
y = 18 sol
m= 1
x= −3
→ No
m= − 1
x= 7
y = 11 sol
m= − 2
x = 12
y=4
m= − 3
x = 17 y = − 3 → No
sol
x=
y = 10 − 8m x = 4 + 13m m= 0 x= 4 y = 10 sol m= 1 x = 17 y = 2 sol m= 2 x = 30 y = − 6 → No m = − 1 x = − 9 → No 11. 7x + 5y = 104 5y = 104 − 7x 104 − 7x y= 5 100 4 5x 2x y= + − − 5 5 5 5 4 − 2x y = 20 − x + 5 4 − 2x y − 20 + x = 5 4 − 2x → Entero 5 12 − 6x → Entero 5 Continúa
12. 10 x + y = 32 y = 32 − 10 x
y = 32 + 2 − 2 − 10 x 30 2 10 x + − 10 10 10 2 y = 3+ − x 10 2 y − = 3− x 10 3− x = m y=
− x = m− 3 x = 3− m
10 (3 − m) + y = 32 30 − 10m + y = 32 y = 2 + 10m m= 0
x= 3
m= 1
x=2
y=2 y = 12
sol
m= 2
x=1
y = 22
sol
m= 3
x= 0
y = 32 → No
m= 4
x= −1
m= − 1
x=4
sol
→ No y = − 8 → No
13. 9 x + 4 y = 86 4 y = 86 − 9 x
16. 10 x + 13 y = 294 10 x = 294 − 13 y
14. Continuación 9 x + 11(45 − 9m) = 207
86 − 9 x 4 84 2 8x x = + − − y 4 4 4 4 2− x y = 21 − 2 x + 4 2− x y − 21+ 2 x = 4 2− x =m 4 2 − x = 4m y=
9 x + 495 − 99m = 207
9 (11m − 32) 9 x = 11m − 32 x=
y = 45 − 9m x = 11m − 32 m= 0
x = − 32 → No
m= 1 m= 2
x = − 21 → No x = − 10 → No
m= 3
x=1
y = 18 sol
9 (2 − 4m) + 4 y = 86
m= 4 m= 5
x = 12 x = 23
y = 9 sol y = 0 → No
18 − 36m + 4 y = 86
m= 6
x = 34
y = − 9 → No
− x = 4m − 2 x = 2 − 4m
y=
4 (17 + 9m)
m = − 1 x = − 43
→ No
4 y = 17 + 9m
10 x + 13 (28 − 10m) = 294
x = 2 − 4m m= 0
x=2
y = 17 sol
m= 1
x = − 2 → No
m= − 1
x= 6
y= 8
m= − 2
x = 10
y = − 1 → No
sol
14. 9x + 11y = 207 9x = 207 − 11y 207 − 11y x= 9 198 9 9y 2y x= + − − 9 9 9 9 9 − 2y x = 22 − y + 9 9 − 2y x − 22 + y = 9 9 − 2y → Entero 9 45 − 10y → Entero 9 45 9y y − − 9 9 9 45 − y =m 9 45 − y = 9m − y = 9m − 45 y = 45 − 9m Continúa
294 − 13 y 10 290 4 10 y 3 y + − − x= 10 10 10 10 4 − 3y x − 29 + y = 10 4 − 3y → Entero 10 28 − 21y → Entero 10 28 20 y y − − 10 10 10 28 − y − 2y + 10 28 − y =m 10 28 − y = 10m − y = 10m − 28 y = 28 − 10m x=
10 x + 364 − 130m = 294
15. 11x + 12 y = 354 11x = 354 − 12 y
354 − 12 y x= 11 352 2 11y y + − − x= 11 11 11 11 2− y x = 32 − y + 11 2− y x − 32 + y = 11 2− y =m 11 2 − y = 11m − y = 11m − 2 y = 2 − 11m
11x + 12 (2 − 11m) = 354 11x + 24 − 132m = 354 x=
11(30 + 12m) 11
x = 30 + 12m y = 2 − 11m m= 0
x = 30 y = 2
m= 1
x = 42 y = − 9 → No
sol
m = − 1 x = 18 y = 13
sol
m= − 2 x = 6
sol
y = 24
m = − 3 x = − 6 → No
10 (13m − 7) 10 x = 13m − 7 x=
y = 28 − 10m → No m= 0 x = − 7 m=1 x = 6 y = 18 sol m = 2 x = 19 y = 8 sol m = 3 x = 32 y = − 2 → No m = − 1 x = − 20 → No 17. 11x + 8y = 300 8y = 300 − 11x 300 − 11x y= 8 296 4 3x 8x y= + − − 8 8 8 8 4 − 3x y = 37 − x + 8 4 − 3x y − 37 + x = 8 4 − 3x → Entero 8 12 − 9x → Entero 8 Continúa
Continuación
18. Continuación y = 192 − 21m m = 0 x = − 195 → No m = 7 x = − 20 → No m=8 x = 5 y = 24 sol m = 9 x = 30 y = 3 sol m = 10 x = 55 y = − 18 → No m = − 1 x = − 220 → No
12 8x x − − 17. 8 8 8 12 − x =m 8 12 − x = 8m − x = 8m − 12 x = 12 − 8m
11(12 − 8m) + 8 y = 300 132 − 88m + 8 y = 300
8 (21 + 11m) y= 8 y = 21 + 11m
x = 12 − 8m m= 0 m= 1
x = 12 x=4
y = 21 y = 32
m= 2 m= − 1
x= −4 x = 20
→ No y = 10 sol
m= − 2
x = 28
y = − 1 → No
sol sol
18. 21x + 25 y = 705 21x = 705 − 25 y
705 − 25 y 21 693 12 21y 4 y + − − x= 21 21 21 21 12 − 4 y x = 33 − y + 21 12 − 4 y → Entero 21 192 − 64 y → Entero 21 192 63 y y − − 21 21 21 192 − y − 3y + 21 192 − y =m 21 192 − y = 21m − y = 21m − 192 y = 192 − 21m x=
21x + 25 (192 − 21m) = 705 21x + 4 .800 − 525m = 705
21(25m − 195) 21 x = 25m − 195 x=
Continúa
19. 3x − 4 y = 5 3x = 5 + 4 y
5+ 4y x= 3 2 3 3y y + x= + + 3 3 3 3 2+ y x = 1+ y + 3 2+ y x − 1− y = 3 2+ y =m 3 2 + y = 3m y = 3m − 2
3x − 4 (3m − 2) = 5 3x − 12m + 8 = 5
3 (4m − 1) 3 x = 4m − 1 x=
y = 3m − 2 m = 1 x = 3 y = 1 sol m = 2 x = 7 y = 4 sol m = 3 x = 11 y = 7 sol 20. 5x − 8y = 1 5x = 1+ 8y
x=
1+ 8y 5
1+ 8y → Entero 5 2 + 16y → Entero 5 2 15y y + + 5 5 5 2+y 3y + 5 2+y =m 5 Continúa
20. Continuación
2 + y = 5m y = 5m − 2
5x − 8 (5m − 2) = 1 5x − 40m + 16 = 1
5 (8m − 3) 5 x = 8m − 3 x=
y = 5m − 2 m= 1
x=5
m= 2 m= 3
x = 13 y = 8 sol x = 21 y = 13 sol
y= 3
sol
21. 7 x − 13 y = 43 7 x = 43 + 13 y
43 + 13 y 7 42 1 7 y 6 y + + + x= 7 7 7 7 1+ 6 y x = 6+ y + 7 1+ 6 y x − 6− y = 7 1+ 6y → Entero 7 6 + 36 y → Entero 7 6 35 y y + + 7 7 7 6+ y 5y + 7 6+ y =m 7 6 + y = 7m y = 7m − 6 x=
7 x − 13(7m − 6) = 43
7 x − 91m + 78 = 43
7 (13m − 5) 7 x = 13m − 5 x=
y = 7m − 6 y=1 sol m= 1 x = 8 m = 2 x = 21 y = 8 sol m = 3 x = 34 y = 15 sol
22. 11x − 12 y = 0 11x = 12 y
12 y 11 11y y + x= 11 11 y x− y= 11 y =m 11 y = 11m x=
11x − 12 (11m) = 0 11x − 132m = 0 x = 12m y = 11m m = 1 x = 12 y = 11 sol m = 2 x = 24 y = 22 sol m = 3 x = 36 y = 33 sol 23. 14 x − 17 y = 32 14 x = 32 + 17 y
32 + 17 y 14 28 4 14 y 3 y + + + x= 14 14 14 14 4 + 3y x= 2+ y+ 14 x=
4 + 3y → Entero 14 20 + 15 y → Entero 14 14 6 14 y y + + + 14 14 14 14 6+ y 1+ y + 14 6+ y =m 14 6 + y = 14m y = 14m − 6
24. 7 x − 11y = 83 7 x = 83 + 11y
83 + 11y 7 77 6 7 y 4 y + + + x= 7 7 7 7 6+ 4y x = 11 + y + 7 6+ 4y x − 11− y = 7 6+ 4y → Entero 7 12 + 8 y → Entero 7 7 5 7y y + + + 7 7 7 7 5+ y 1+ y + 7 5+ y =m 7 5 + y = 7m y = 7m − 5 x=
7 x − 11(7m − 5) = 83 7 x − 77m + 55 = 83
7 (11m + 4) 7 x = 11m + 4 x=
y = 7m − 5 m = 1 x = 15 y = 2 sol m = 2 x = 26 y = 9 sol m = 3 x = 37 y = 16 sol
25. 8x − 13y = 407 8x = 407 + 13y 407 + 13y x= 8 400 7 8y 5y + + + x= 8 8 8 8 7 + 5y x = 50 + y + 8 14 x − 17 (14m − 6) = 32 7 + 5y 14 x − 238m + 102 = 32 x − 50 − y = 8 14 (17m − 5) 7 + 5y x= → Entero 14 8 x = 17m − 5 35 + 25y → Entero y = 14m − 6 8 m = 1 x = 12 y = 8 sol 32 3 24y y + + + m = 2 x = 29 y = 22 sol 8 8 8 8 m = 3 x = 46 y = 36 sol Continúa
25. Continuación 3+ y 4 + 3y + 8 3+ y =m 8 3 + y = 8m
y = 8m − 3
8 x − 13 (8m − 3) = 407 8 x − 104m + 39 = 407
8 (13m + 46) 8 x = 13m + 46 x=
y = 8m − 3 m = 1 x = 59 y = 5 sol m = 2 x = 72 y = 13 sol m = 3 x = 85 y = 21 sol 26. 20 y − 23x = 411 20 y = 411 + 23x
411 + 23x 20 400 11 20 x 3x + + + y= 20 20 20 20 11 + 3x y = 20 + x + 20 11 + 3x y − 20 − x = 20 11 + 3x → Entero 20 77 + 21x → Entero 20 60 17 20 x x + + + 20 20 20 20 17 + x 3+ x + 20 17 + x =m 20 17 + x = 20m x = 20m − 17 y=
20 y − 23 (20m − 17) = 411
20 y − 460m + 391 = 411 y=
20 (23m + 1) 20
x = 20m − 17 y = 23m + 1 m = 1 x = 3 y = 24 sol m = 2 x = 23 y = 47 sol m = 3 x = 43 y = 70 sol
27. 5 y − 7 x = 312 5 y = 312 + 7 x
312 + 7 x 5 310 2 5x 2 x + + + y= 5 5 5 5 2 + 2x y = 62 + x + 5 2 + 2x y − 62 − x = 5 2 + 2x → Entero 5 6 + 6x → Entero 5 5 1 5x x + + + 5 5 5 5 1+ x 1+ x + 5 1+ x =m 5 1 + x = 5m x = 5m − 1 y=
5 y − 7 (5m − 1) = 312 5 y − 35m + 7 = 312
5 (7m + 61) 5 y = 7m + 61 y=
x = 5m − 1 m = 1 x = 4 y = 68 m = 2 x = 9 y = 75 m = 3 x = 14 y = 82
EJERCICIO 174 1. x → Billetes $ 2 y → Billetes $ 5
2x + 5y = 42 2x = 42 − 5y 42 − 5y x= 2 40 2 3y 2y + − − x= 2 2 2 2 2 − 3y x = 20 − y + 2 2 − 3y x − 20 + y = 2 2 − 3y → Entero 2 Continúa
1. Continuación
2. Continuación y = 1− m m=0 x = 7 y = 1 sol m =1 x = 9 y = 0 → No m = − 1 x = 5 y = 2 sol
2 2y y − − 2 2 2 2− y − y+ 2 2− y =m 2 2 − y = 2m
m = − 2 x = 3 y = 3 sol m = − 3 x = 1 y = 4 sol m = − 4 x = − 1 → No
− y = 2m − 2
1 de $ 5 y 4 de $ 10
y = 2 − 2m
3 de $ 5 y 3 de $ 10
2 x + 5 (2 − 2m) = 42
5 de $ 5 y 2 de $ 10
2 x + 10 − 10m = 42
2 (5m + 16) 2 x = 5m + 16 x=
y = 2 − 2m m= 0
x = 16
y=2
m= 1
x = 21
y=0
m= 2 m= −1
x = 26 x = 11
y = − 2 → No y = 4 sol
sol → No
m= − 2 x = 6
y=6
sol
m= − 3 x =1
y=8
sol
m = − 4 x = − 4 → No 1 de $ 2 y 8 de $ 5 6 de $ 2 y 6 de $ 5 11 de $ 2 y 4 de $ 5 ó 16 de $ 2 y 2 de $ 5 2. x → Monedas de $ 5 y → Monedas de $ 10
5x + 10 y = 45 5x = 45 − 10 y 45 − 10 y x= 5 40 5 5 y 5 y + − − x= 5 5 5 5 5 − 5y x = 8− y + 5 x − 8 + y = 1− y 1− y = m − y = m− 1 y = 1− m 5x + 10 (1 − m) = 45 5x + 10 − 10m = 45
5 (2m + 7) 5 x = 2m + 7 Continúa x=
7 de $ 5 y 1 de $ 10 3. 5x + 3 y = 62
3y = 62 − 5x 62 − 5x y= 3 60 2 3x 2 x + − − y= 3 3 3 3 2 − 2x y = 20 − x + 3 2 − 2x y − 20 + x = 3 2 − 2x → Entero 3 10 − 10 x → Entero 3 9 1 9x x + − − 3 3 3 3 1− x 3 − 3x + 3 1− x =m 3 1− x = 3m − x = 3m − 1 x = 1 − 3m
5(1 − 3m) + 3 y = 62 5 − 15m + 3 y = 62
3(5m + 19) 3 y = 5m + 19 y=
x = 1 − 3m m= 0 x = 1 y = 19 sol → No m= 1 x= −2 m= − 1 x = 4 y = 14 sol m= − 2 x = 7 y = 9 sol m = − 3 x = 10 y = 4 sol 1 y 19 ; 4 y 14 ; 7 y 9 ; 10 y 4
4. x → Sombreros y → Pares de zapatos
5. x → Metros de lana y → Metros de seda
8 x + 15 y = 340 8 x = 340 − 15 y 340 − 15 y x= 8 336 4 8 y 7 y + − − x= 8 8 8 8 4 − 7y x = 42 − y + 8 4 − 7y − + = x 42 y 8 4 − 7y → Entero 8 28 − 49 y → Entero 8 24 4 48 y y + − − 8 8 8 8 4− y 3− 6y + 8 4− y =m 8 4 − y = 8m − y = 8m − 4 y = 4 − 8m 8 x + 15(4 − 8m) = 340 8 x + 60 − 120m = 340
8 (15m + 35) 8 x = 15m + 35 x=
y = 4 − 8m m = 0 x = 35 y = 4 sol m= 1 x = 50 y = − 4 → No m = − 1 x = 20 y = 12 sol m= − 2 x = 5 y = 20 sol m = − 3 x = − 10 → No 5 sombreros y 20 pares de zap. 20 sombreros y 12 pares de zap. 35 sombreros y 4 pares de zap.
1, 50x + 2 , 50 y = 42 → Si multiplico por 2 la ecuación inicial no se altera . Luego 3x + 5y = 84 3x = 84 − 5y 84 − 5y x= 3 81 3 3y 2 y − x= + − 3 3 3 3 3− 2 y x = 27 − y + 3 3− 2 y x − 27 + y = 3 3− 2y → Entero 3 15 − 10 y → Entero 3 12 3 9 y y + − − 3 3 3 3 3− y 4 − 3y + 3 3− y =m 3 3 − y = 3m − y = 3m − 3 y = 3 − 3m
6. x → niños y → adultos
0 , 45x + y = 17 (20) 9 x + 20 y = 340 9 x = 340 − 20 y 340 − 20 y x= 9 333 7 18 y 2 y + − − x= 9 9 9 9 7 − 2y x = 37 − 2 y + 9 7 − 2y x − 37 + 2 y = 9 7 − 2y → Entero 9 98 − 28 y → Entero 9 90 8 27 y y + − − 9 9 9 9 8− y 10 − 3 y + 9 8− y =m 9 8 − y = 9m − y = 9m − 8 y = 8 − 9m 9 x + 20 (8 − 9m) = 340
9 x + 160 − 180m = 340
9 (20m + 20) 9 x = 20m + 20
3x + 5(3 − 3m) = 84
x=
3x + 15 − 15m = 84
3(5m + 23) 3 x = 5m + 23 x=
y = 3 − 3m m= 0 x = 23 y = 3 sol m= 1 x = 28 y = 0 → No m = − 1 x = 18 y = 6 sol m = − 2 x = 13 y = 9 sol m= − 3 x = 8 y = 12 sol m= − 4 x = 3 y = 15 sol m = − 5 x = − 2 → No 3m de lana y 15m de seda 8m de lana y 12m de seda 13m de lana y 9m de seda 18m de lana y 6m de seda 23m de lana y 3m de seda
y = 8 − 9m m = 0 x = 20 y = 8 sol m=1 x=0 y = − 1 → No m= −1 x= 0 y = 17 → No m = − 2 x = − 20 → No 20 niños y 8 adultos 7. x → Caballos y → Vacas
460 x + 440 y = 41. 000 (÷ 20) 23x + 22 y = 2 . 050 22 y = 2 . 050 − 23x 2 . 050 − 23x y= 22 2 . 046 4 22 x x + − − y= 22 22 22 22 Continúa
7. Continuación 4− x y = 93 − x + 22 4− x =m 22 4 − x = 22m − x = 22m − 4
8. Continuación
y = 3m − 1 m = 0 x = − 1 → No m = 1 x = 4 y = 2 sol Los Nº s son 4 y 2
x = 4 − 22m
23 (4 − 22m) + 22 y = 2 . 050 92 − 506m + 22 y = 2 . 050
22 (23m + 89) 22 y = 23m + 89 y=
x = 4 − 22m m= 0 m= 1 m= − 1
x = 4 y = 89 sol x = − 18 → No x = 26 y = 66 sol
m = − 2 x = 48 y = 43 sol m = − 3 x = 70 y = 20 sol m = − 4 x = 92 y = − 3 → No 4 caballos y 89 vacas 26 caballos y 66 vacas 48 caballos y 43 vacas 70 caballos y 20 vacas 8.
3x + 3 = 5 y + 5 3x − 5 y = 2 3x = 2 + 5 y 2 + 5y x= 3 2 + 5y → Entero 3 4 + 10 y → Entero 3 3 1 9y y + + + 3 3 3 3 1+ y 1 + 3y + 3 1+ y =m 3 1 + y = 3m y = 3m − 1 3x − 5 (3m − 1) = 2 3x − 15m + 5 = 2
3 (5m − 1) 3 x = 5m − 1 Continúa x=
9. x → Monedas de 0 , 25 y → Monedas de 0 ,10
0 , 25x + 0 ,10 y = 2 ,10 (100) 25x + 10 y = 210 10 y = 210 − 25x 210 − 25x y= 10 200 10 20 x 5x + − − y= 10 10 10 10 10 − 5x y = 20 − 2 x + 10 2− x y − 20 + 2 x = 2 2− x =m 2 2 − x = 2m − x = 2m − 2 x = 2 − 2m 25(2 − 2m) + 10 y = 210 50 − 50m + 10 y = 210
10 (5m + 16) 10 y = 5m + 16 y=
x = 2 − 2m m= 0 x=2 m= 1 x=0 m= − 1 x = 4 m= − 2 x = 6 m= − 3 x = 8 m = − 4 x = 10 2 mon. de 0 , 25 4 mon. de 0 , 25 6 mon. de 0 , 25 8 mon. de 0 , 25
y = 16 sol → No y = 11 sol y = 6 sol y = 1 sol y = − 4 → No y 16 mon. de 0 ,10 y 11 mon. de 0 ,10 y 6 mon. de 0 ,10 y 1 mon. de 0 ,10
EJERCICIO 175 21. x + 1= 0 x = −1
23. x − y = 2 x=0 y=−2 x=2 y=0
y−4=0 y=4
3x + y = 18 x = 0 y = 18 x=6 y=0
con
Escala 1:2
+ 3x
y=
18
(-1 ,4)
y=4
x=-1
(5,3)
0
y x-
2 =
0 Intersección → (− 1 , 4) 22. 3x = 2y 3x − 2 y = 0 x =1
con
y = 1 21
x+y=5 x=0 y=5 x=5
y=0
Intersección
24. 2x − y = 0
→ (5 , 3) 5x + 4y = − 26
con
x=0
y = − 6 21
x=−2
y=−4
3x =
2x -
2y
y=
0
x =1 y = 2
4y = 6 -2
(-2,- 4)
5
(2,3)
+
y=
Intersección
5x
x+
0
0
→ (2 , 3)
Intersección → (− 2 , − 4)
25. 5x + 6y = − 9 x = 0 y = − 1 21
4x − 3y = 24
con
x=0 y= −8
x=3 y=−4
x=3
y=−4
27. 3x + 8y = 28 x=4 y=2 x=0
5x − 2y = − 30 x=0 y = 15
con
y = 3 21
x=−2
y = 10
Escala 1:2
=
-9
2y =
6y
-30
0 +
5x -
5x
3x +
8y =
28
4x
-3 y
=
(- 4 ,5 )
24
(3,-4)
0
Intersección →
con
6x − 7y = − 9 x=2 y=3 x=−5 y=−3
Intersección → 28. y − 4 = 0 y=4
7x + 2y = 22 x = 0 y = 11 x=2 y=4
con
= -7 y 6x
= 2y
x+5=0
(− 4 , 5)
+ 7x
-9
22
0
(2 ,4 )
26. x + 5 = 0 x=−5
(3 , − 4)
y-4=0
(-5,-3)
0
Intersección →
(− 5 , − 3)
Intersección →
(2 , 4)
29. 6x = − 5y 6x + 5y = 0 x=5 y=−6
con
4x − 3y = − 38 x = − 2 y = 10 x =1 y = 14
30. 5x − 2y = − 14 x=0 y=7 x=−2 y=2
8x − 5y = − 17 x =1 y=5 x=−4 y=−3
con
Escala 1:2
0
6x = -5 y
5y =
5x -
(-5 ,6)
-17
-14
38
2y =
y -3
-
8x -
4x
=
0
(-4 ,-3 )
Intersección
→ (− 5 , 6)
Intersección
→
(− 4 , − 3)
EJERCICIO 176 1. x + 6 y = 27 ; 7 x − 3 y = 9 x = 27 − 6 y 7 x = 9 + 3 y
9 + 3y 7 9 + 3y 27 − 6 y = 7 x=
7 (27 − 6 y ) = 9 + 3y
189 − 42 y = 9 + 3 y 180 = 45 y 4= y x + 6 ( 4) = 27 x + 24 = 27 x=3 sol : x = 3 y = 4
2. 3x − 2 y = − 2 ; 5x + 8 y = − 60 3x = − 2 + 2 y 5 x = − 60 − 8 y
x= −
2 − 2y 60 + 8 y x= − 3 5 2− 2y 60 + 8 y − =− 3 5
5 (2 − 2 y ) = 3 (60 + 8 y ) 10 − 10 y = 180 + 24 y − 170 = 34 y − 5= y
3 x − 2 (− 5) = − 2 3x + 10 = − 2 3x = − 12 x= −4 sol : x = − 4
y= −5
2x − y = − 4 3. 3x + 5 y = 7 ; − y = − 4 − 2x 5 y = 7 − 3x y=
7 − 3x y = 4 + 2x 5 7 − 3x = 4 + 2x 5
7 − 3x = 5(4 + 2 x) 7 − 3x = 20 + 10 x − 13 = 13x − 1= x
2 (− 1) − y = − 4 − 2− y= − 4 − y= −2 y=2 sol : x = − 1 y = 2
; 9 x + 8 y = 13 4. 7 x − 4 y = 5 7x = 5+ 4 y 9 x = 13 − 8 y x=
5+ 4 y 7
x=
9 (5 + 4 y ) = 7 (13 − 8 y )
13 − 8 y 9
x=
45 + 36 y = 91 − 56 y 92 y = 46 46 1 = y= 92 2 1 9 x + 8 = 13 2
x=
12 (11y − 87) = 15 (27 − 5 y)
y=
y=
4 (7 − 9 x) = 16 ( 3x )
3x 4
28 − 36 x = 48x 28 = 84 x 28 1 = x= 84 3 4 y − 1= 0 4y = 1 1 y= 4 1 1 sol : x = y= 3 4
8 (11y − 29) = 14 (13y − 30) 88 y − 232 = 182 y − 420 188 = 94 y 2= y 13(2) − 8 x = 30 26 − 8 x = 30 − 8x = 4 1 x= − 2 1 sol : x = − y=2 2
12 x + 5 (7) = 27
1. 449 =7 207
12 x + 35 = 27 12 x = − 8 x= −
8 2 =− 12 3
2 3
y=7
sol : x = −
8. 7 x + 9 y = 42 9 y = 42 − 7 x
y=
6. 14 x − 11y = − 29 ; 13 y − 8 x = 30 14 x = 11y − 29 − 8 x = 30 − 13y
11y − 29 x= 14
27 − 5 y 12
132 y − 1. 044 = 405 − 75 y 207 y = 1. 449
; 4 y − 3x = 0 5. 9 x + 16 y = 7 16 y = 7 − 9 x 4 y = 3x 7 − 9x 16
11y − 87 15
− 12 x − 5 y = − 27 12 x = 27 − 5 y
9 x + 4 = 13 9x = 9 x=1 1 sol : x = 1 y = 2
y=
7. 15x − 11y = − 87 15x = 11y − 87
13 y − 30 x= 8
42 − 7 x 9
12 x + 10 y = − 4 10 y = − 4 − 12 x 4 + 12 x y= − 10
10 (42 − 7 x ) = − 9 (4 + 12 x ) 420 − 70 x = − 36 − 108x 38 x = − 456 x = − 12
12 (− 12) + 10 y = − 4 − 144 + 10 y = − 4
10 y = 140 sol : x = − 12
y = 14 y = 14
9. 6 x − 18 y = − 85 ;
24 x − 5 y = − 5
− 18 y = − 6 x − 85 6 x + 85 y= 18
5 (6 x + 85) = 18 (5 + 24 x )
− 5 y = − 5 − 24 x 5 + 24 x y= 5
30 x + 425 = 90 + 432 x 335 = 402 x
EJERCICIO 177 1. x + 3 y = 6 ; 5x − 2 y = 13 x = 6 − 3y
5 (6 − 3 y ) − 2 y = 13
30 − 15 y − 2 y = 13 − 17 y = − 17 y=1
335 5 = x= 402 6 5 6 − 18 y = − 85 6
x + 3 (1) = 6 x + 3= 6 x=3 sol : x = 3 y = 1
5 − 18 y = − 85 − 18 y = − 90 y=5 5 sol : x = y=5 6
2. 5x + 7 y = − 1 ; − 3x + 4 y = − 24 5x = − 1 − 7 y
1+ 7 y x= − 5 1+ 7 y 3 + 4 y = − 24 5 3 + 21y + 4 y = − 24 5 3 + 21y + 20 y = − 120 41y = − 123 y= −3
4. x − 5 y = 8 ; − 7 x + 8 y = 25 8 y = 25 + 7 x
y= 25 + 7 x =8 x − 5 8
8 x − 5(25 + 7 x ) = 64 8x − 125 − 35x = 64 x= −7
− 3x − 12 = − 24 − 3x = − 12 x=4 sol : x = 4 y = − 3
sol : x = − 7 y = − 3
32 x − 9 (8 − 3x ) = − 308 32 x − 72 + 27 x = − 308 59 x = − 236 x=−4
3 (− 4) + 4 y = 8
− 12 + 4 y = 8 4 y = 20 y=5 sol :
x= −4
y=5
11 + 18 y 10 11 + 18 y − 9y = − 5 − 16 10 x=−
− 7 − 5y = 8 − 5 y = 15
8 − 3x y= 4 8 − 3x 8x − 9 = − 77 4
6. 10 x + 18 y = − 11 ; 16 x − 9 y = − 5 10 x = − 11 − 18 y
− 27 x = 189
− 3x + 4 (− 3) = − 24
3. 3x + 4 y = 8 ; 8 x − 9 y = − 77 4 y = 8 − 3x
25 + 7 x 8
y= −3
− 16 (11 + 18 y) − 90 y = − 50
5. 15x + 11y = 32 ; 7 y − 9 x = 8
− 176 − 288 y − 90 y = − 50 − 378 y = 126
7 y = 8 + 9x 8 + 9x y= 7 8 + 9x = 32 15x + 11 7
105x + 11(8 + 9 x) = 224
105x + 88 + 99 x = 224 204 x = 136 136 2 = x= 204 3 2 15 + 11y = 32 3 10 + 11y = 32 11y = 22 y= 2 2 sol : x = y=2 3
y= − 1 10 x + 18 − = − 11 3 10 x − 6 = − 11 10x = − 5 x= − sol : x = −
1 2
1 2
y= −
1 3
126 1 =− 378 3
8. 32 x − 25 y = 13 ; 16 x + 15 y = 1
16 x = 1 − 15 y
7. 4 x + 5 y = 5 ; − 4 x − 10 y = − 7
10 y = 7 − 4 x 7 − 4x y= 10
7 − 4x 4x + 5 =5 10
x=
1 − 15 y 16
9. 11x − 13y = − 163
; − 8x + 7 y = 94 11x = − 163 + 13y 163 − 13y x= − 11 163 − 13y 8 + 7 y = 94 11
1 − 15 y − 25 y = 13 32 16 2 (1 − 15 y ) − 25 y = 13 2 − 30 y − 25 y = 13 2 − 55 y = 13
8 x + 7 − 4 x = 10 4x = 3 3 x= 4
− 55 y = 11 y= −
3 4 + 5y = 5 4
8 (163 − 13y ) + 77 y = 1. 034
1 5
1. 304 − 104 y + 77 y = 1. 034 − 27 y = − 270
1 16 x + 15 − = 1 5
3 + 5y = 5
y = 10 11x − 13(10) = − 163 11x − 130 = − 163 11x = − 33
16 x − 3 = 1
5y = 2 2 y= 5 3 2 sol : x = y= 4 5
16 x = 4 x= x=
sol :
1 4
1 1 y= − 4 5
x= − 3 x= − 3 y = 10
sol :
EJERCICIO 178 1.
6x − 5y = − 9 4 x + 3y = 13
( 2)
(− 3)
3.
− 12 x − 9 y = − 39 − 19 y = − 57
31x
y= 3 4 x + 9 = 13 4x = 4 x=1
y= −1
7 x − 15 (− 1) = 1
7 x + 15 = 1 7 x = − 14 x=−2 sol : x = − 2 y = − 1
= 217 x= 7
10 x − 3 (− 2) = 36
10 x = 30 x=3 sol : x = 3 y = − 2
sol : x = 7 y = − 5 4.
9 x + 11y = − 14 6 x − 5 y = − 34 36 x + 44 y = − 56 − 36 x + 30 y = 204 74 y = 148 y=2 6 x − 5 (2) = − 34 6 x − 10 = − 34 6 x = − 24 x= −4 sol : x = − 4 y = 2
(− 5)
− 28 y = 56 y= −2
− 4 y = 20 y= −5
sol : x = 1 y = 3
− 57 y = 57
2x + 5y = − 4 10 x − 3 y = 36 − 10 x − 25 y = 20
3(7) − 4 y = 41 21 − 4 y = 41
4 x + 3( 3) = 13
7 x − 15 y = 1 − 7 x − 42 y = 56
5. 10 x − 3 y = 36
11x + 6 y = 47 (2) 9 x − 12 y = 123 22 x + 12 y = 94
12 x − 10 y = − 18
2. 7 x − 15 y = 1 − x − 6 y = 8 ( 7)
3x − 4 y = 41 ( 3)
( 4)
(− 6)
6.
11x − 9 y = 2 13x − 15y = − 2 55x − 45 y = 10 − 39 x + 45 y = 6 = 16
16x
x=1 11(1) − 9 y = 2 11 − 9 y = 2 − 9y = − 9 y=1 sol : x = 1
y=1
(5)
(− 3)
7.
18 x + 5y = − 11 ( 2)
(− 3)
12 x + 11y = 31 36 x + 10 y = − 22 − 36 x − 33 y = − 93 y=5
− 14 x + 12 y = − 19 ( 6)
24 x − 17 y = 10
84 x − 98 y = 140 − 84 x + 72 y = − 114
x= − 2 y=5
9x + 7y = − 4
(− 11)
11x − 13y = − 48 ( 9) − 99 x − 77 y = 44 99 x − 117 y = − 432 − 194 y = − 388 y=2
12 x = 6 1 x= 2 1 sol : x = y= −1 2 10. 15x − y = 40 (8)
29 y = − 58 y= −2
36x − 11(− 2) = − 14 36 x + 22 = − 14 36 x = − 36 x= −1 sol : x = − 1 y = − 2
19 x + 8 y = 236
− 161y = 644 y= −4
= 556
12 x − 17 (− 4) = 104
15 (4) − y = 40
9 x + 14 = − 4 9 x = − 18
12 x + 68 = 104 12 x = 36 x=3 sol : x = 3 y = − 4
60 − y = 40 − y = − 20
x= −2
y = 20
sol : x = − 2 y = 2
15x + 19 y = − 31 (− 4) 60 x − 85 y = 520 − 60 x − 76 y = 124
120x − 8 y = 320
x=4
9 x + 7 ( 2) = − 4
12 x − 17 y = 104 (5)
12.
19 x + 8 y = 236
139 x
sol : x = 4
(− 3)
72 x − 22 y = − 28 − 72 x + 51y = − 30
12 x + 14 = 20
18 x + 25 = − 11 18 x = − 36
36x − 11y = − 14 (2)
11.
12 x − 14 (− 1) = 20
18 x + 5(5) = − 11
8.
12 x − 14 y = 20 ( 7)
− 26 y = 26 y= −1
− 23 y = − 115
sol : x = − 2
9.
y = 20
EJERCICIO 179 1.
8x − 5 = 7 y − 9 8x − 7 y = − 9 + 5 8x − 7 y = − 4 6x = 3y + 6
x − 3 = 3y − 7 x − 3y = − 4
6x − 3y = 6 8x − 7 y = − 4 6x − 3y = 6 24 x − 21y = − 12 − 24 x + 12 y = − 24 − 9 y = − 36 y=4 6 x − 3 ( 4) = 6 6 x − 12 = 6 6 x = 18 x=3 sol : x = 3 y = 4
3. 3 ( x + 2) = 2 y
2. x − 1 = y + 1 x− y= 2
x− y = 2
(3)
( − 4)
x − 3y = − 4
(− 1)
x− y = 2 − x + 3y = 4 2y = 6 y=3 x − 3= 2 x=5 sol : x = 5 y = 3
2 ( y + 5) = 7 x
3x + 6 = 2 y
2 y + 10 = 7 x
3x − 2 y = − 6 3x − 2 y = − 6 ;
7 x − 2 y = 10 7 x − 2 y = 10
3x = − 6 + 2 y 6− 2y x= − 3
7 x = 10 + 2 y 10 + 2 y x= 7
− 7 (6 − 2 y ) = 3(10 + 2 y ) − 42 + 14 y = 30 + 6 y 8 y = 72 y=9 7 x − 2 ( 9) = 10 7 x − 18 = 10 7 x = 28 x=4 sol : x = 4 y = 9
4.
x − 1 = 2 ( y + 6) x − 1 = 2 y + 12 x − 2 y = 13 x = 13 + 2 y
6. Continuación
8. Continuación
− 5 y = − 40
30 − 2x + 7 − = − 6 89
y=8
− 178 x − 210 = − 534
x − 2 (8) = − 10
x + 6 = 3 (1 − 2 y)
x + 6 = 3− 6y x + 6y = − 3 x = − 3− 6y 13 + 2 y = − 3 − 6 y − 3 − 6 y − 2 y = 13 − 8 y = 16 y= −2
x − 16 = − 10
− 178 x = − 324
x=6
x=
sol : x = 6 y = 8 73 sol : x = 1 89
7. ( x − y ) − (6 x + 8 y) = − (10 x + 5 y + 3)
x − y − 6 x − 8 y = − 10 x − 5 y − 3 − 5x − 9 y = − 10 x − 5 y − 3
x − 2 (− 2) = 13
5x − 4 y = − 3
(x + y) − (9 y − 11x) = 2 y − 2 x
x + 4 = 13 x=9 sol : x = 9 y = − 2
x + y − 9 y + 11x = 2 y − 2 x 12 x − 8 y = 2 y − 2 x
5. 30 − (8 − x ) = 2 y + 30
14 x − 10 y = 0
(5)
5x − 4 y = − 3
30 − 8 + x = 2 y + 30 x − 2y = 8
14 x − 10 y =
5x − 29 = x − (5 − 4 y )
(− 2)
0
25x − 20 y = − 15
5x − 29 = x − 5 + 4 y
− 28x + 20 y = 0
4 x − 4 y = 24
− 3x
x− y=6 x − 2y = 8
(− 1)
− 4 y = − 28 y=7
y=−2
x − 2 (− 2 ) = 8
(
x=4 sol : x = 4 y = − 2
6. 3x − (9 x + y ) = 5 y − (2 x + 9 y)
3x − 9 x − y = 5 y − 2 x − 9 y − 4 x + 3y = 0
4 x − (3y + 7) = 5 y − 47 4 x − 3 y − 7 = 5 y − 47 4 x − 8 y = − 40 x − 2 y = − 10 − 4 x + 3y = 0 x − 2 y = − 10 ( 4) − 4 x + 3y = 0 4 x − 8 y = − 40
) (
)
8. 5 x + 3 y − 7 x + 8 y = − 6
x+4=8
Continúa
5x + 15y − 7 x − 8 y = − 6 − 2x + 7 y = − 6
7 x − 9 y − 2 ( x − 18 y) = 0
7 x − 9 y − 2 x + 36 y = 0 5x + 27 y = 0 − 2x + 7y = − 6 5x + 27 y = 0
(− 9)
2x − y = 0 18 x − 4 y = − 10 − 18 x + 9 y = 0
10. 3x − 4 y − 2 (2 x − 7) = 0
sol : x = 5 y = 7
− y=2
10 ( y − x) = 11y − 12 x
10 y − 10 x = 11y − 12 x 2x − y = 0 18 x − 4 y = − 10
2x + 2 = 0 2x = − 2 x= −1 sol : x = − 1 y = − 2
25 − 4 y = − 3
− x+ y =−6
2 x + 10 = 4 y − 16 x 18 x − 4 y = − 10
2 x − (− 2) = 0
= − 15
5 (5) − 4 y = − 3
x − 2y = 8
9. 2 ( x + 5) = 4 ( y − 4 x )
5 y = − 10 y= −2
x=5
x− y =6
324 73 = 1 89 178 30 y= − 89
(5) ( 2)
− 10 x + 35y = − 30 10x + 54 y = 0 89 y = − 30 30 y= − 89 Continúa
3x − 4 y − 4 x + 14 = 0 − x − 4 y = − 14 x + 4 y = 14
5 ( x − 1) − (2 y − 1) = 0 5x − 5 − 2 y + 1 = 0 5x − 2 y = 4 x + 4 y = 14 5x − 2 y = 4
( 2)
x + 4 y = 14 10x − 4 y = 8 11x
= 22 x= 2
2 + 4 y = 14 4 y = 12 y=3 sol : x = 2 y = 3
11. 12 (x + 2 y ) − 8 (2 x + y ) = 2 (5x − 6 y )
12. x ( y − 2) − y ( x − 3) = − 14
12 x + 24 y − 16 x − 8 y = 10 x − 12 y − 4 x + 16 y = 10 x − 12 y − 14 x + 28 y = 0 − x + 2y = 0
xy − 2 x − xy + 3 y = − 14 − 2 x + 3 y = − 14
y ( x − 6) − x ( y + 9) = 54
20 ( x − 4 y ) = − 10
xy − 6 y − xy − 9 x = 54 − 9 x − 6 y = 54
20 x − 80 y = − 10 2x − 8y = − 1
3x + 2 y = − 18 − 2 x + 3 y = − 14 ( 3)
− x + 2 y = 0 ( 2) 2x − 8y = − 1
3x + 2 y = − 18 ( 2) − 6 x + 9 y = − 42
− 2x + 4 y = 0 2x − 8y = − 1
6 x + 4 y = − 36 13 y = − 78
− 4y = −1 1 y= 4 1 − x + 2 = 0 4 − 4x + 2 = 0 − 4x = − 2 1 x= 2 1 1 sol : x = y= 2 4
y=−6
− 2 x + 3(− 6) = − 14 − 2 x − 18 = − 14 − 2x = 4 x=−2 sol : x = − 2
y= −6
EJERCICIO 180 1.
3x + y = 11 2 3x + 2 y = 22
2.
y =7 2 2 x + y = 14 x+
3x + 2 y = 22 ;
2 x + y = 14
3x = 22 − 2 y
2 x = 14 − y
22 − 2 y x= 3
14 − y x= 2
2 (22 − 2 y ) = 3 (14 − y ) 44 − 4 y = 42 − 3 y − y=−2
5x − y=9 12 5x − 12 y = 108
3y = 15 4 ; 4 x − 3 y = 60 ;
5x = 108 + 12 y 108 + 12 y x= 5 108 + 12 y 4 − 3 y = 60 5
4 (108 + 12 y ) − 15 y = 300 432 + 48 y − 15 y = 300 33 y = − 132 4 x − 3 (− 4) = 60
y=2 2 x + 2 = 14
4 x + 12 = 60 4 x = 48
2 x = 12
x = 12
x=6 sol :
x=6
sol : y=2
x−
x = 12
y= −4
y= −4
3.
x y x + =5 ; 3 y − = 26 7 3 14 3x + 7 y = 105 ; 42 y − x = 364 3x + 7 y = 105 − x + 42 y = 364 3x + 7 y = 105 − 3x + 126 y = 1. 092 133 y = 1.197 y= 9 3x + 7 (9) = 105 3x + 63 = 105 3x = 42 x = 14 sol : x = 14 y = 9
(3)
4.
x y y x = = −1 ; 5 4 3 3 y= x− 3 4 x = 5y x− y= 3 4 x − 5y = 0 4 x − 5y = 0 x − y= 3
7.
11 x y x y − 59 − =− + = ; 8 5 10 5 4 40 5x − 8 y = − 44 ; 8 x + 10 y = − 59 8 x + 10 y = − 59 ( 4)
8 x − 5( 4) = − 4 8x − 20 = − 4 8x = 16 x= 2
25x − 40 y = − 220
sol : x = 2 y = 4
5x − 8 y = − 44 (5)
(− 4)
4 x − 5y = 0 − 4 x + 4 y = − 12
32 x + 40 y = − 236 = − 456
57 x
− y = − 12 y = 12 x − 12 = 3 x = 15 sol : x = 15 y = 12 3x 1 − y= 2 ; 5 4 12 x − 5 y = 40
− 40 − 8 y = − 44 − 8y = − 4
5y 2 4 x = 5y 4 x − 5y = 0
(− 1)
12 x − 5y = 40
8.
− 7y 8
2 x 3y 1 5x − =1 ; y− = 2 6. 3 4 8 6 8 x − 9 y = 12 ; 3 y − 20 x = 48 8 x − 9 y = 12
(3)
8 x − 9 y = 12 − 60 x + 9 y = 144 = 156 x= −3
8 (− 3) − 9 y = 12
− 24 − 9 y = 12 − 9 y = 36 y= −4 sol : x = − 3 y = − 4
(5)
(− 6)
60 x + 25 y = − 30 − 60 x + 42 y = 432
x=
196 + 21y 4
67 y = 402 y= 6 10 x − 7 (6) = − 72 10 x − 42 = − 72 10 x = − 30 x= − 3 sol : x = − 3 y = 6
− 28 y = 1.568 + 168 y − 196 y = 1. 568
4 (5) − 5 y = 0 20 − 5y = 0 − 5y = − 20 y= 4 sol : x = 5 y = 4
− 52 x
1 2
− 28 y = 8 (196 + 21y )
x=5
− 20 x + 3 y = 48
10 x − 7 y = − 72 y=
1 3y x y + =0 ; =7 x− 7 8 7 4 8 x + 7 y = 0 ; 4 x − 21y = 196 8x = − 7 y 4 x = 196 + 21y x=
= − 40
12 x + 5 y = − 6
1 2
sol : x = − 8
4 x − 5y = 0 − 12 x + 5y = − 40 − 8x
12 x + 5y = − 6 5x 7 y − = − 12 3 6 10 x − 7 y = − 72
5 (− 8) − 8 y = − 44
2x =
4 x − 5y = 0
10. 12 x + 5 y + 6 = 0
x= −8
y= 5.
9. Continuación
y= −8
− 7 (− 8) 8 x= 7 sol : x = 7 y = − 8 x=
9.
2x + 1 y = 5 4
; 2 x − 3y = − 8
4 (2 x + 1) = 5 y 8x + 4 = 5y 8x − 5y = − 4 2 x − 3y = − 8
(− 4)
8x − 5y = − 4 − 8 x + 12 y = 32 8x − 5y = − 4 7 y = 28 y=4 Continúa
x 11. = 3 ( y + 2) 5
x = 15( y + 2) x = 15 y + 30 224 y + 3x = 5 5 y + 15x = 224 15x = 224 − y 224 − y x= 15
15 (15 y + 30) = 224 − y 225 y + 450 = 224 − y 226 y = − 226 y= −1
x = 15(− 1) + 30
x = − 15 + 30 x = 15 sol : x = 15 y = − 1
12.
1 x y x y 13 − =− − = ; 5 6 30 3 20 12 6x − 5y = − 1 ; 20 x − 3y = 65
15.
(− 5)
20 x − 3y = 65 18 x − 15y = − 3
3y = 24 y=8 x = 2 (8) − 9
y=5
x= 7
sol : x = 4 y = 5
sol : x = 7 y = 8
x− 3 y− 4 − =0 ; 3 4
x− 4 y+ 2 + =3 2 5
4 ( x − 3) − 3( y − 4) = 0 ; 5( x − 4) + 2 ( y + 2) = 30 4 x − 12 − 3 y + 12 = 0 4 x − 3y = 0
16.
; 5x − 20 + 2 y + 4 = 30 5x + 2 y = 46
5x + 4 y = − 1
x
23y = 184 y=8
y=8
18 ( x − 1) − 12 ( y − 1) = − 13 18 x − 12 y = − 7 18 x − 12 y = − 7
(− 4)
18x − 12 y = − 7 − 8 x + 12 y = 12
2 x − 3y = − 3
x+ y x− y = 6 12
;
2 (x + y) = x − y ;
y= −1
x= 3
− 3y = − 4
sol : x = 3 y = − 1
y=
y=
4 3
2x = y+3 3
2 x = 3 ( y + 3)
2x + 2 y = x − y ; 2 x = 3y + 9 x + 3y = 0 ; 2 x − 3y = 9 x = − 3y
x = − 3 (− 1)
1 2 − 3y = − 3 2
sol :
; 2 x + 2 − 3y − 3 = − 4
17.
− 6 y − 3y = 9 − 9y = 9
1 2
4 3 1 x= 2
x+1 y+1 2 − =− 3 2 3
2 (− 3 y) − 3 y = 9
=5 x=
=−9
− 36 + 3y = − 3 3y = 33 y = 11 sol : x = − 9 y = 11
x−1 y−1 13 − =− ; 2 3 36
10x
(− 3)
4 (− 9) + 3y = − 3
3(8) x= 4 x=6
2 x − 3y = − 3
( 4)
16x + 12 y = − 12 − 15x − 12 y = 3
15y + 8 y = 184
14.
3y + 3 1 + 5x y= − ; 4 4 4 x = − 3y − 3 ; 4 y = − 1 − 5x 4 x + 3y = − 3 4 y + 5x = − 1 x= −
4 x + 3y = − 3
3y 4
3y 5 + 2 y = 46 4
sol : x = 6
2x − 8 = y − 2 2x − y = 6
4 y − 18 − y = 6
6 ( 4) − 5 y = − 1 − 5 y = − 25
x=
;
x− 4 y− 2 = 5 10
2 (2 y − 9) − y = 6
= − 328 x= 4
13.
x + 1= 2 y − 8 x − 2y = − 9 x = 2y − 9
− 100 x + 15y = − 325 − 82 x
;
x + 1 = 2 ( y − 4) ; 2 ( x − 4 ) = y − 2
( 3)
6x − 5y = − 1
x+1 y− 4 = 10 5
y−3 =6 5 15x − y + 3 = 30
18. 3x −
20.
15x − y = 27
xy − 4 y = xy − 6 x 6x − 4 y = 0 5 11 − =0 x− 3 y−1
3x − 4 x − 2 y = − 28 + 2
27 + y 15
x + 2 y = 26
5 ( y − 1) − 11( x − 3) = 0
3x − y 3 y − x − = y − 13 8 6
x−2 =9 3y − 7 21y − x + 2 = 63
5 y − 5 − 11x + 33 = 0 11x − 5 y = 28
3 (3x − y ) − 4 (3 y − x ) = 24 ( y − 13)
− x + 21y = 61
13x − 15 y − 24 y = − 312
− x = 61 − 21y
x + 2y =
27 + y = 15 (21y − 61)
26
30 x − 20 y = 0 − 44 x + 20 y = − 112
− 13x − 26 y = − 338
− 314 y = − 942
− 14 x
13x − 39 y = − 312
y=3
− 65 y = − 650
27 + 3 15 x=2 sol : x = 2
x + 2 (10) = 26 x + 20 = 26
y=3
x=6
x+ y y− x 7 − = 6 3 24
sol : x = 6 y = 10
4 (x + y) − 8 ( y − x) = 7
4 x + 4 y − 8 y + 8x = 7 12 x − 4 y = 7 x x− y 5 + = 2 6 12
6x + 2 x − 2 y = 5 8x − 2 y = 5 8x − 2 y = 5
(− 2 )
12 x − 4 y = 7 − 16 x + 4 y = − 10 − 4x
=−3 x=
3 4
3 12 − 4 y = 7 4 9− 4y = 7 − 4y = − 2
sol :
12 −
3x − 2 y = 3y + 2 6
72 − 3x + 2 y = 6 (3 y + 2)
6 x + 2 ( x − y) = 5
12 x − 4 y = 7
21.
1 y= 2 3 1 x= y= 4 2
− 3x + 2 y − 18 y = 12 − 72 3x + 16 y = 60 5 y − 3x = x− y 3
5 y − 3x = 3 ( x − y )
− 3x − 3x + 5 y + 3 y = 0 6x − 8 y = 0 3x + 16 y = 60 6x − 8 y = 0
( 2)
3x + 16 y = 60 12 x − 16 y = 0 15x
= 60 x=4
6 (4) − 8 y = 0 − 8 y = − 24 y=3 sol : x = 4 y = 3
= − 112 x=8
11(8) − 5 y = 28 − 5 y = 28 − 88 − 5 y = − 60 y = 12 sol : x = 8 y = 12
y = 10
x=
(− 4)
11x − 5 y = 28
(− 13)
13x − 39 y = − 312
27 + y = 315 y − 915
(5)
6x − 4 y = 0
13x − 39 y = − 312
x = 21y − 61
19.
22. y ( x − 4) = x ( y − 6)
x − 2 − 2 ( y − x ) = 4 ( x − 7)
15x = 27 + y x=
x−2 y− x − = x−7 4 2
23.
3 ( x + 3 y ) 21 = 5x + 6 y 17
51( x + 3 y) = 21(5x + 6 y) 51x + 153 y = 105x + 126 y − 54 x + 27 y = 0 2x − y = 0 4x − 7 y =−2 2y + 1
4 x − 7 y = − 2 (2 y + 1) 4x − 7 y = − 4 y − 2 4 x − 3y = − 2 2x − y = 0
(− 2)
4 x − 3y = 2 − 4x + 2 y = 0 4 x − 3y = − 2 y=2 2x − 2 = 0 2x = 2 x=1 sol : x = 1 y = 2
24.
7 7 =− 2 x − 3y + 6 3x − 2 y − 1
26.
7 (3x − 2 y − 1) = − 7 (2 x − 3 y + 6)
x− y= −1 6 10 = x− y+ 4 y+ 2
5x − 8 y = − 14
98 x
x − y = − 1 (− 8)
− 8x + 8 y = 8 5x − 8 y = − 14
− y= −3 y= 3 sol : x = 2 y = 3
x+ y+1 3 = x+ y−1 4
4 ( x + y + 1) = 3( x + y − 1) 4 x + 4 y + 4 = 3x + 3 y − 3 x+ y= − 7 8x − 6 y = 0 x + y = − 7 (6) 8x − 6 y = 0 6 x + 6 y = − 42 14 x
= − 42 x= −3 − 3+ y = − 7 y= − 4
sol : x = − 3 y = − 4
x + y − 1 = − 15 ( x − y + 1) x + y − 1 = − 15x + 15 y − 15
27.
16 x − 14 y = − 14
(3)
8x − 7 y = − 7 10 x − 7 y = 7
= 49
10 x − 7 y = 7
1 2
− 8x + 7 y = 7
1 − 6y = − 1 2 1 − 12 y = − 2 − 12 y = − 3 1 y= 4 1 1 sol : x = y = 2 4
=−6 x=2 2− y= −1
x + y = − 7x + 7 y
10x − 7 y = 7 x+ y−1 = − 15 x− y+1
2 x − 12 y = − 2 96 x + 12 y = 51
x=
− 3x
8x − 6 y = 0
20 x − 14 y = 14
x − 6 y = − 1 ( 2) 32 x + 4 y = 17
x + y = − 7 (x − y)
17 x − 17 y − 17 = − 3x − 3 y − 3
8 y − 8 x − 24 x − 12 y = − 17 32 x + 4 y = 17
6 y + 12 = 10 x − 10 y + 40 − 28 = 10 x − 16 y − 14 = 5x − 8 y
x+ y =−7 x− y
17 ( x − y − 1) = − 3( x + y + 1)
8 ( y − x ) − 12 (2 x + y ) = − 17
6 ( y + 2) = 10 ( x − y + 4)
25.
x 3 y 33 − 8= − 4 2 4 x − 32 = 6 y − 33 x − 6y = − 1 y − x 2x + y 17 − =− 3 2 24
21x − 14 y − 7 = − 14 x + 21y − 42 35x − 35y = − 35
x− y−1 3 =− x+ y+1 17
28.
x− 2 y−7 = x+ 2 y−5
( y − 5)(x − 2) = ( y − 7)(x + 2) xy − 2 y − 5x + 10 = xy + 2 y − 7 x − 14 2 x − 4 y = − 24 x − 2 y = − 12 x = − 12 + 2 y x+1 y− 3 = x−1 y−5
( y − 5)(x + 1) = (x − 1)( y − 3)
xy + y − 5x − 5 = xy − 3x − y + 3 − 2x + 2 y = 8 − x+ y=4 x= y−4 − 12 + 2 y = y − 4 y=8 x = 8− 4 x=4 sol : x = 4 y = 8
(− 1)
8x − 7 y = − 7
2x
= 14 x= 7
10 ( 7) − 7 y = 7 − 7 y = − 63 y=9 sol : x = 7 y = 9 29.
6x + 9 y − 4 2 = 4x − 6y + 5 5
5 (6 x + 9 y − 4) = 2 (4 x − 6 y + 5) 30x + 45 y − 20 = 8 x − 12 y + 10 22 x + 57 y = 30 2 x + 3y − 3 6 = 3x + 2 y − 4 11
11(2 x + 3y − 3) = 6 (3x + 2 y − 4) 22 x + 33 y − 33 = 18x + 12 y − 24 4 x + 21y = 9 22 x + 57 y = 30 4 x + 21y = 9 44 x + 114 y = 60 − 44 x − 231y = − 99 − 117 y = − 39 y=
1 3
1 4 x + 21 = 9 3 4x + 7 = 9 4x = 2 1 x= 2 1 1 sol : x = y= 2 3
( 2)
(− 11)
30.
3x + 2 y =−9 x + y − 15
32.
23(3x + 4 y ) = − 30 ( x − 6 y )
3x + 2 y = − 9 ( x + y − 15)
69 x + 92 y = − 30x + 180 y
3x + 2 y = − 9 x − 9 y + 135 12 x + 11y = 135
99 x − 88 y = 0
37 (9 x − y ) = − 63(3 + x − y )
32 x − 15 y + 15 = − 24 32 x − 15y = − 39
333x − 37 y = − 189 − 63x + 63 y 396 x − 100 y = − 189
(− 3)
9x − 8y =
96 x + 88 y = 1. 080 − 96x + 45y = 117
396 x − 100 y = − 189 − 396 x + 352 y =
133 y = 1.197 y= 9
9x = − 6
sol : x = x−
−2 3
−2 −3 y= 3 4
4x + 1 2 y − 5 = 9 3
9 x − (4 x + 1) = 3(2 y − 5) 9 x − 4 x − 1 = 6 y − 15 5x − 6 y = − 14 3 y + 2 x + 18 = y− 7 10 70 y − 10 (3 y + 2) = 7 ( x + 18)
y + 62 − 2 (1 − x ) = 80 y − 2 + 2 x = 18
(− 1)
2 x + 17 y = − 940 − 2 x − y = − 20 16 y = − 960 y = − 60 2 x − 60 = 20 2 x = 80 x = 40 sol : x = 40
33.
70 y − 30 y − 20 = 7 x + 126 − 146 = 7 x − 40 y 7 x − 40 y = − 146 5x − 6 y = − 14 − 35x + 200 y = 730 35x − 42 y = − 98 158 y = 632 y= 4 5x − 6 ( 4) = − 14 5x = − 14 + 24
y = − 60
x= 2 sol : x = 2 y = 4
+ by = b 2 + 2b 2 y + by = b 2 + 2b
y (2 + b) = b (b + 2) 2x + b = b + 2 2x = 2 x=1 sol : x = 1
9x + 6 = 0
2 x + 5 − 17 (5 − y ) = − 1. 020
y + 62 − (1 − x ) = 40 2
2bx
y=b
− 3 9x − 8 =0 4
2x + 5 − (5 − y ) = − 60 17
2 x − 85 + 17 y = − 1. 025 2 x + 17 y = − 940
(− 44)
2bx + by = b 2 + 2b bx − y = 0 − 2bx + 2 y = 0 − 2bx + 2 y =0
−3 y= 4
x=
20
0
252 y = − 189
12 x + 11(9) = 135 12 x = 135 − 99 12 x = 36 x=3 sol : x = 3 y = 9
2x + y =
0
2x + y = b + 2
2.
396 x − 100 y = − 189
(8)
32 x − 15 y = − 39
2 x + y = 20 2 x + 17 y = − 940
x =a a +y=a +b y=b sol: x = a y = b
9x − y 63 =− 3+ x − y 37
32 x − 15( y − 1) = − 24
31.
1. x + y = a + b ; x − y = a − b x+y=a+b x−y=a−b
9x − 8y = 0
4 x 5( y − 1) − = −1 3 8
12 x + 11y = 135
EJERICIO 181
3x + 4 y 30 =− 23 x − 6y
(− 5) ( 7)
y=b
3. 2x − y = 3a ; x − 2y = 0 − 2x + 4y = 0 2x − y = 3a − 2x + 4y = 0
3y = 3a y=a 2x − a = 3a 2x = 4a x = 2a sol: x = 2a y = a 4. x − y = 1− a ; x + y = 1+ a x − y = 1− a x + y = 1+ a
=2 x =1 1+ y = 1+ a y=a sol: x = 1 y = a 2x
x x 5. a + y = 2b ; b − y = a − b x + ay = 2ab ; x − by = ab − b 2 = 2ab x + ay −x
+ by = b 2 − ab
=0 abx − b2 y − abx − aby = − a − b − b 2 y − aby = − (a + b) − yb (b + a ) = − (a + b)
y (a + b) = b (b + a ) y=b x + ab = 2ab x = ab sol : x = ab y=b
− yb = − 1 ⇒ y =
ax = 1 ⇒ x = sol : x =
abx + b 2 y = 2ab 2
− mnx + n y
y (b − a ) = a (b − a 2
2
y = m− n − mny = m3 + mn 2
m2 x m2 x + n 2 x
= m3 + mn 2 + m2 n + n 3
x (m2 + n 2 ) = (m + n)(m2 + n 2 ) x = m+ n
x+ y=a+b
sol : x = m + n
− ax − ay = − a 2 − ab ax + by = a 2 + b 2
10.
− ab
2
= a 2 + b2
by − ay =
m2 n + n 3
x (m2 + n 2 ) = m (m2 + n 2 ) + n (m2 + n 2 )
x + b = 2b x=b sol : x = b y = a
b 2 − ab
y (b − a ) = b (b − a )
y = m− n
x y + = 2m ; m n 2 xn + ym = 2m n xmn + ym2 − xmn
mx − ny = m3 − mn 2 xmn − n2 y = m3n − mn 3 =
2m3n
+ n y = mn − m3n 2
3
ym2 + yn2 = mn3 + m3n
y=b
y (m2 + n2 ) = mn (n2 + m2 )
x+b=a+b x=a sol : x = a
+ mn 2
n 2 x + mny =
− ay = − a
y = mn y=b
− n3
y (m2 + n 2 ) = (m2 + n 2 )(m − n)
)
a ( x + b) = 2ab
ax + by
− m2 n
y (m2 + n 2 ) = m2 (m − n) + n 2 (m − n)
ax + ba = 2ab
− ax
=
n 2 y + m2 y = m3 − m2n + mn 2 − n 3
y= a
7.
mnx + m2 y = m3 + mn 2
3
+ m2 y = m3
mnx 2ab 2
2
2
2
b2 y − a 2 y = − a 3 + ab 2
nx + my = m2 + n 2
;
mnx − n y = m n + n
− a 2 y = − a 3 − ab 2 2
1 1 y= a b
2
− abx − a 2 y = − a 3 − ab 2 − abx
1 a
2 2 9. mx − ny = m + n
x y a 2 + b2 + = a b ab bx + ay = a 2 + b 2 =
1 b
1 ax − b = 0 b
x y + =2 b a ax + by = 2ab
abx + b2 y
x+ y=
abx − b 2 y = 0
ay + by = b 2 + ab
6.
a+b ab abx + aby = a + b
ax − by = 0 ;
8.
xn + m n = 2m n 2
2
xn = m2 n ⇒ x = m2 sol : x = m2 y = mn
11. x + y = a
− a x − a y = − 2a c 2
ax + ay = a
2
ax − by = a (a + b) + b − ax − ay
− 2a 2 c
2
3
− 2a 2 y = 2 a 3 − 2 a 2 c − 2a 2 y = 2a 2 (a − c)
= − a2 − by = a + ab + b
− ay − by =
2
− y= a− c y = c− a x + c − a = 2c x− a= c ⇒ x= c+ a sol : x = a + c y= c− a
ab + b2
− y (a + b) = b (a + b) − y=b y= −b x−b= a
15.
x= a+b x= a+b
ax − by = 0
;
b 2 ax − b 3 y = 0
y= −b
− b ax + a by 2
a 2by − b 3 y = a 2 − b 2
− ny = m
mx
−n
2
by (a 2 − b 2 ) = a 2 − b 2 by = 1 1 y= b
2
= − m2 + mn
my − ny =
mn − n 2
1 ax − b = 0 b
y (m − n) = n (m − n) y=n x − n = m− n x=m sol : x = m
13.
x y + =0 a b bx + ay = 0 − abx
y=n
x 2 y 2b − a + = b a ab ax + 2by = 2b2 − a 2 2
;
− a2 y = 0
abx + 2b2 y
= a 2 − b2
2
12. x − y = m − n mx − my = m2 − mn
a 2 − b2 ab a 2by − b 2ax = a 2 − b 2 ay − bx =
− b3 y = 0
b 2 ax
− mx + my
; a 2 x − a 2 y = 2a 3
2
a x − a y = 2a 2
2
sol :
2
− a2 x − a2 y = 2
ax − by = a 2 + ab + b 2 ax
; a 2 ( x − y ) = 2a 3
x + y = 2c
14.
= 2b 3 − a 2b
2b2 y − a 2 y = 2b 3 − a 2b
y (2b 2 − a 2 ) = b (2b 2 − a 2 )
2
ax = 1 1 x= a 1 1 sol : x = y= a b x y 16. + =a+b ; b2 a 2 a 2 x + b 2 y = a 3b2 + a 2b 3 ;
bx = − ab x= −a sol : x = − a y=b
x − y = ab 2 − a 2b a x − a 2 y = a 3b2 − a 4b 2
− a 2 x − b2 y
= − a 3b2 − a 2b3 − a y = a 3b2
2
2
a x
− b2 y − a 2 y =
− a 4b − a 2b 3 − a 4b
− y (a 2 + b 2 ) = − a 2b (b2 + a 2 ) − y = − a 2b
y=b x b + =0 a b bx + ab = 0
x − y = ab (b − a )
y = a 2b 2
x ab =a+b + b2 a 2 3 x + b = ab2 + b3 x = ab2 sol : x = ab 2 y = a 2b
m3 − n 3 nx + my = m + n ; mx − ny = 17. mn m2 nx + m3 y = m3 + m2 n m2 nx − mn2 y = m3 − n 3 − m nx − m y 2
3
bx + b 2 + ay − ab = a 2 + ab
2
− mn2 y = m3
m2 nx
b ( x + b) + a ( y − b) = a (a + b)
=−m −m n
3
− m y − mn y = 3
2
− ym (m + n ) = − n (m + n 2
abx + ab2 + a 2 y − a 2b = a 3 + a 2b
− n3 − m n− n
2
2
2
2
− abx − ab 2 − a 2 y = − a 3 − 2a 2b x−a y−a a+b − =− b a a
3
)
a ( x − a ) − b ( y − a ) = − b (a + b)
ym = n y=
x+b y−b a+b + = a b b
19.
ax − a 2 − by + ba = − ba − b 2
n m
abx − a 2b − b 2 y + b 2 a = − b 2 a − b 3
n nx + m = m + n m
abx − a 2b − b 2 y = − 2b 2 a − b 3 − abx − ab 2
nx + n = m + n
−a b
abx
nx = m
− a2 y
ab 2 + a 2b + a 3 + b3 = a 2 y + b 2 y
b 2 (a + b) + a 2 (b + a ) = y (a 2 + b 2 )
(b
ax + bx − ay + by = ab − b
b ( x + b) + a 2 = a (a + b)
2
2
bx + b 2 + a 2 = a 2 + ab
bx = ab − b 2 ⇒ bx = b (a − b) ⇒ x = a − b
− ax + bx + ay + by = − b 2 + 3ab ax + bx − ay + by = − b + ab 2
sol : x = a − b y = a + b
+ 2by = − 2b2 + 4ab
2b ( x + y ) = 2b (2a − b) x + y = 2a − b ax − bx − ay − by = b2 − 3ab ax + bx − ay + by = − b + ab 2
− 2ay
=
− 2ab
20.
x y 1 + = a + b a + b ab
− a 2by = − a 2
a bx + ab y 2
− y= − a y=a sol :
x= a−b y=a
=
2
ab 2 y − a 2by =
− ab
a2 + b2 b 2 − ab
ayb (b − a ) = b (b − a ) ayb = b ay = 1
x− y= −b
a−b− y= −b
2
− a 2bx
x + y = 2a − b
x=a−b
a 2bx + ab 2 y = a 2 + b 2
− a bx − a by = − a − ab 2
2a (x − y ) = − 2ab
= 2 (a − b)
x y a 2 + b2 + = 2 2 b a a b
;
abx + aby = a + b 2
x− y= −b
2x
+ a 2 )(a + b) = y (a 2 + b 2 )
x+b a+b−b a+b + = a b b
ax − bx − ay − by = b2 − 3ab
(a + b) x − (a − b) y = ab − b
2
a+b= y
18. (a − b) x − (a + b) y = b2 − 3ab
2ax
− 2b 2 a − b 3
2
− ab 2 − a 2b − a 2 y − b 2 y = − a 3 − 2a 2b − 2b 2 a − b 3
m x= n m n sol : x = y= n m
2bx
= − a 3 − 2a 2b −b y=
2
y=
1 a
1 abx + ab = a + b a abx + b = a + b abx = a ⇒ bx = 1 ⇒ x = sol : x =
1 b
y=
1 a
1 b
EJERCICIO 182 1.
1 2 7 2 1 4 + = + = ; x y 6 x y 3 2 4 7 − − =− x y 3 2 1 4 + = x y 3 −3 = −1 y 3=y 2 1 4 + = x 3 3 6 + x = 4x 6 = 3x ⇒ 2 = x sol: x = 2 y = 3
2.
3 2 1 2 5 23 ; − = + = x y 2 x y 12 6 4 − + = −1 x y 6 15 23 + = x y 4 19 19 = y 4 4=y 3 2 1 − = x 4 2 6−x= x 6 = 2x 3=x sol: x = 3 y = 4
3.
5 4 7 6 + =7 ; − =4 x y x y 15 12 + = 21 x y 14 12 − =8 x y 29 x
= 29 1= x
5 4 + =7 1 y 5y + 4 = 7 y 4 = 2y 2=y sol: x = 1 y = 2
4.
12 5 13 18 7 19 ; + =− + =− x y x y 2 2 36 15 39 − − = x y 2 36 14 38 + =− x y 2 1 1 = y 2 −2=y 36 − 7x = − 19x 12x = − 36 x=−3 sol: x = − 3 y = − 2 −
9 3 5 4 5. + = 27 ; + = 22 x y x y 3 1 + =9 x y 12 4 − − = − 36 x y 5 4 + = 22 x y 7 − x
6. Continuación
4 11 + = 50 x 1 4 4 + 44 = 50 x 4 + 44x = 50x 4 = 6x 2 =x 3 2 1 sol: x = y= 3 4 7.
41 x
1 =x 2
6 8 4 11 6. x − y = − 23 ; x + y = 50 12 16 − + = 46 x y 12 33 + = 150 x y 49 = 196 y 1 =y 4 Continúa
= − 41
− 1= x 7 15 − − =−4 1 y − 7y − 15 = − 4y − 15 = 3y −5=y sol: x = − 1 y = − 5
= − 14
5 4 4 + = 22 ⇒ 10 + = 22 1 y y 2 10y + 4 = 22y 4 = 12y 1 =y 3 1 1 sol: x = y= 2 3
9 10 7 15 + = − 11 ; − =−4 x y x y 27 30 + = − 33 x y 14 30 − =−8 x y
8.
1 3 3 1 5 4 − = + =− ; 2x y 4 3 x 2y 1 3 3 − = 2x y 4 1 5 2 − − = 2x 4 y 3 −
17 17 = 4 y 12 − 12 = 4 y
− 3= y 1 5 4 + =− 3 x 2 (− 3) 6 − 5x = − 8 x 3x = − 6 x= −2 sol : x = − 2 y = − 3
2
1
11
1
3
4
9. 5x − 3 y = − 45 ; 10 x − 5 y = 5 −
2 1 11 + = 10 x 6 y 90 2 6 8 − = 10 x 5 y 5
3 7 2 1 8 103 10. x − 3 y = 3 ; 4 x + y = 84 3 7 1 − = 4 x 12 y 6 3 24 309 − − =− 4x 84 y
31 31 = 30 y 18 − 18 = 30 y 3 − =y 5 1 3 4 = + 10 x 3 5 5 5 3 + 30 x = 24 x −
− 295 − 295 = 12 y 84 y=7 3 7 2 − = x 3 ( 7) 3 9 − x = 2x
6x = − 3 ⇒ x = − x=−
sol :
1 1 1 1 + =a ; − =b x y x y 1 1 + = a x y 1 1 − + =−b x y
12.
sol : x = 3 y = 7
1 3 y=− 2 5
13.
2 2 = a−b ⇒ =y y a−b 1 1 − =b 2 x a−b
2 3b 2 − 3a a b − = + =2 ; x y a x y 2a 3ab − = 2 − 3a x y 2a 2b − − =−4 x y
2 − x (a − b) = 2bx
2 − ax + xb = 2bx − ax = bx − 2 − ax − bx = − 2 x (a + b) = 2 ⇒ x = sol : x =
2 a+b
3 1 107 6 1 14 + = + = ; 10 x 3y 60 5x 4 y 5 3 2 107 + = 5x 3 y 30 3 1 7 − − =− 5x 8 y 5 13 13 = 24 y 6 1 =y 4 6 1 14 + = 5x 1 5 4 4 6 + 5x = 14 x
9 = 3x 3= x
1 2
11.
b (− 3a − 2) = − 3a − 2 y b= y a b + =2 x b a + x = 2x a= x sol : x = a y = b
6 = 9x 2 =x 3 2 1 sol : x = y= 3 4 2 2 m+ n m n 14. x + y = mn ; x − y = 0 2n 2n m + n + = x y m 2m 2n − = 0 x y 2 (m + n) m + n = x m 2m = x m n − =0 2m y y − 2n = 0 y = 2n sol : x = 2m y = 2n
2 2 y= a+b a−b
EJERCICIO 183 4 1. 2
5 3
2 2. 3 3.
5
−2 −8
2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 7 = 10 − 21= − 11
6.
9 − 11 9 ⋅ 7 − (− 11)(− 3) = 63 − 33 = 30 −3 7
5
4
3
9
5 −2
5(− 8) − (− 3)(− 2) = − 40 − 6 = − 46
5.
−2
7 4.
7
5 −3
4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 12 − 10 = 2
− 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 5 = − 6 − 20 = − 26
7.
7 (− 2) − 9 ⋅ 5 = − 14 − 45 = − 59
8.
− 15 − 1 13 12 − 1 13 − 9
2
− 15⋅ 2 − 13(− 1) = − 30 + 13 = − 17
12 (− 9) − (13) (− 1) = − 108 + 13 = − 95
10 3 9. 17 13 10 ⋅13 − 3 ⋅17 = 130 − 51= 79 11.
8 −3
2 8 (0) − 2 (− 3) = 0 + 6 = 6 0
10.
12.
−5
−8
− 19 − 21
(− 5)(− 21) − (− 8)(− 19) = 105 − 152 = − 47
31 − 85 31⋅ 43 − (− 85)(− 20) = 1. 333 − 1. 700 = − 367 − 20 43
EJERCICIO 184 4. 15x − 44y = − 6 − 27x + 32y = − 1
1. 7x + 8y = 29 5x + 11y = 26
29 8 26 11 319 − 208 111 = = =3 x= 7 8 77 − 40 37 5 11 7 5 y= 7 5
29 26 182 − 145 37 = = =1 8 37 37 11
sol: x = 3
y =1
2. 3x − 4y = 13 8x − 5y = − 5
−4 − 5 − 65 − 20 − 85 = = =−5 −4 − 15 + 32 17 −5
3 8 y= 3 8
13 − 5 − 15 − 104 − 119 = = = −7 −4 17 17 −5 y= −7
3. 13x − 31y = − 326 25x + 37y = 146
− 326 − 31 146 37 x= − 31 13 25 37 x=
− 12 . 062 + 4 . 526 − 7 . 536 = = −6 481+ 775 1. 256
13 25 y= 13 25
x=
− 192 − 44 − 236 1 = = 480 − 1.188 − 708 3
15 − 6 − 27 − 1 y= 15 − 44 − 27 32 − 15 − 162 − 177 1 = = − 708 − 708 4 1 1 sol: x = y= 3 4 y=
13 −5 x= 3 8
sol: x = − 5
− 6 − 44 −1 32 x= 15 − 44 − 27 32
− 326 146 − 31 37
1. 898 + 8 .150 10 . 048 = =8 y= 1. 256 1. 256 sol: x = − 6 y = 8
5. 8x = − 9y 8 x + 9y = 0
7 2x + 5 + 3y = 2 4x + 10 + 6y = 7 4 x + 6y = − 3 0 −3 x= 8 4 x=
9 6 9 6
0 + 27 27 9 = = = 2 41 48 − 36 12 4
8 4 y= 8 4
0 −3 9 6
− 24 − 0 − 24 = =−2 12 12 1 sol: x = 2 4 y=−2 y=
6. ax − by = − 1 ax + by = 7
−1 − b 7 b x= a −b a b x=
− b + 7b 6b 3 = = ab + ab 2ab a −1 7 −b b
a a y= a a
7a + a 8a 4 = = 2ab 2ab b 3 4 sol: x = y= a b y=
7. 3x − ( y + 2) = 2 y + 1
3x − y − 2 = 2 y + 1 3x − 3 y = 3 x− y=1
5 y − ( x + 3) = 3x + 1 5 y − x − 3 = 3x + 1 − 4 x + 5y = 4 −1
1 x=
5 5+ 4 =9 x= −1 5− 4 −4 5
4
1
1 1 −4 4 4+ 4 =8 y= y= 1 −1 1 −4 5 sol : x = 9
y=8
8. ax + 2y = 2 ax − 3y = − 1 2 ax − 6y = − 2
2 a a − 2 − 2a − 2a − 4a 1 = = = y= 2 a − 8a − 8a 2 a −6
9.
− 12 x + 5 y − 7 = 0
x=
y = − 12
2 3a 3 + a 2 − 2a 2 a (3a − 1) = =a x= 3a 2 − a a (3a − 1)
1
a2
y=
6a − 3a − 1 a (3a − 1)
sol : x = a
3a − 1 1 = a (3a − 1) a
y=
1 a
x+ y =4 x− y
14.
x + y = 4 ( x − y)
mx + 4 y = 2 (m + 1)
x + y = 4x − 4 y − 3x + 5 y = 0
−2
x− y−1 1 = x+ y+1 9
9 ( x − y − 1) = x + y + 1
20 + 4 (m + 1) 4 (6 + m) = =2 12 + 2m 2 (6 + m)
6 (m + 1) − 5m 2 (6 + m)
sol : x = 2
9x − 9 y − 9 = x + y + 1 8 x − 10 y = 10 4 x − 5y = 5
5
0
m 2 (m + 1) y= −2 3 4 m y=
=
5
y= −1
63
3. 604 + 2 . 479 =7 y= 869 sol : x = 5 y = 7
12. 3x − 2 y = 5
3
a2
37
− 67
sol : x = − 1
x=
a2 a
2 . 331 + 2 . 014 4 . 345 = =5 2 .142 − 1. 273 869 34
56 − 60 − 4 = = −1 y= 40 − 36 4
a
63
− 67 106 y= 34 − 19
2 (m + 1) 4 x= −2 3 4 m
x + ay = 2 a x + a 2 y = 2a
2a a
x=
5
− 25 + 21 − 4 = = −1 40 − 36 4
5
10. 3x + ay = 3a + 1
3a + 1
− 67
7 5 8 −3
− 12
− 19
106 63 x= 34 − 19
8 −5
sol: x = − 8
3
37
− 12 x + 5y = 7
− 12 7 y= 8 −3
1 y= 3
63 y − 4 x − 1 = 63x + 105 − 67 x + 63 y = 106
5 y − 25 − 12 x + 18 = 0
− 12
4x + 1 = 3x + 5 21
63 y − (4 x + 1) = 21(3x + 5)
5 ( y − 5) − 6 (2 x − 3) = 0
− 48 2 0 − 2 96 − 0 96 = = =−8 x= 3 2 − 6 − 6 − 12 3 −2
1
3y −
y − 5 2x − 3 − =0 6 5
x=
2a x= 3
34 x − 19 y = 37
8x − 3y = − 5
x y + =−4 4 6 3x + 2y = − 48 x y − =0 8 12 3x − 2y = 0
2y + 3 = y+2 17
34 x − 2 y − 3 = 17 y + 34
8x − 3 y + 25 = 20
−5 −3
3 − 48 3 0 0 + 144 = = − 12 y= 3 2 − 12 3 −2
2x −
34 x − (2 y + 3) = 17 ( y + 2)
8 x + 16 − 3 y + 9 = 20
1 1 y= 2 a
3a + 1
13.
8 ( x + 2) − 3 ( y − 3) = 20
2 2 −2 −6 − 12 + 4 −8 1 = = = x= 2 a − 6a − 2a − 8a a a −6
sol: x =
x+2 y−3 5 − = 3 8 6
11.
5
5 −5 0 − 25 − 25 = = =5 x= − 3 5 15 − 20 − 5 4 −5 =
1 y= 2
1 m+ 6 = 2 (6 + m) 2
−3 0 y=
4 5 − 15 − 0 = =3 −3 5 −5 4 −5
sol : x = 5
y= 3
x + 9 y + 21 16. x − 9 = y + 39
(x + 9)( y + 39) = ( x − 9)( y + 21)
15. x − y = 2b
xy + 39 x + 9 y + 351 = xy + 21x − 9 y − 189 18 x + 18 y = − 540
x y + =2 a+b a−b
x (a − b) + y (a + b) = 2 (a 2 − b 2 )
x=
2 (a 2 − b2 ) a + b
( y + 11)( x + 8) = ( y + 19)(x − 8)
−1 a+b
1 a−b
xy + 8 y + 11x + 88 = xy − 8 y + 19 x − 152 − 8 x + 16 y = − 240
2b (a + b) + 2 (a 2 − b2 ) 2a (b + a) = = b+ a 2a a+b+ a−b 1
y=
x + 8 y + 19 = x − 8 y + 11
−1
2b
x=
x + y = − 30
− x + 2 y = − 30 − 30 − 30 x= 1 −1
2b
a − b 2 (a 2 − b2 ) −1 1 a−b
1 2 − 60 + 30 − 30 = = = − 10 1 2+1 3 2
1 − 30 − 1 − 30 − 30 − 30 − 60 = = = − 20 y= 1 1 3 3 2 −1
a+b
2 (a 2 − b 2 ) − 2b (a − b) 2a (a − b) = =a−b 2a 2a sol : x = a + b y = a − b y=
sol : x = − 10
y = − 20
EJERCICIO 185 1. x − y = 1 x = 0 y = −1 y=0 x= 1
x+y=7 x=0 y=7 y=0 x=7
2. x − 2y = 10
2x + 3y = − 8
x=0 y=−5
x=0
y=0
y=0 x=−4
x = 10
y = − 2 23
x + y = 7 =
1
+ 3y
(4,3)
2x
x
-y
=
x
= y -2
10
-8
(2,-4)
sol :
x=4
y=3
sol :
x=2
Y=-4
3. 5x − 3y = 0 x=3 y=5
5. 3x + 4 y = 15
7 x − y = − 16 x = 0 y = 16
x=5 x=1
5x
= y -3
3x +
0
4y =
15
(1,3)
7x y=
-16
y = 0 x = − 2 27 Escala 1:2
2x + y = 5 x= 0 y=5 x= 2 y=1
y= 0 y=3
+ 2x y=
(-3,-5)
5
sol : x = - 3 4. 3x = − 4y 3x + 4y = 0 x=4 y=−3
3x +
sol :
5x − 6y = 38 x=−2 y=−8 y=−3 x=4
x=1
0
5x + 2y = 16
5x
4 x + 3 y = 10 x=−2 y=6 x=1 y=2
x=2 y=3 x=4 y= −2
(4,-3)
= y -6
y= 3
6. 5x + 2 y = 16
10 = 3y + 4x
4y =
y=-5
38
sol : x = 4
(4,-2)
y=-3
sol : x = 4
y=-2
y−4=x+2 −x+y=6 x=0 y=6 x= −6 y=0
9.
x y 1 3x − 2y = − 1 − =− 2 3 6 x=3 y=5 ; x=−3 y=−4 x y 7 + =− 4 x + 3y = − 7 3 4 12 x = −1 y = −1 ; x = − 4 y = 3
4x
-2 y
=
-1
7. x + 8 = y + 2 x−y= −6 x=0 y=6 x= −6 y=0
+ x
2
(-1,-1)
sol : x = - 1
sol : Equivalentes
3x y 8. 5 + 4 = 2 12 x + 5 y = 40 x= 0 y=8 x=5 y= −4
3x
-7
=
=
-4 y
2
3y
8
+ y
+
+ x
=
x − 5 y = 25 x=0 x=5
y=−5 y= −4
10. x + 3y = 6
y=-1
3x + 9y = 10
x=0 y=2
x = 0 y = 1 91
x=6 y=0
x = 3 31 y = 0
+ 12x = 5y
x+
3y =
6
40
3x +9y =10
(5,-4) 25 x - 5y =
sol : x = 5
y=-4
sol : Incompatibles
11. 2x + 3y = − 13 x = − 2 y = − 3 ; x = − 5 y = −1 6x + 9y = − 39 x = − 2 y = − 3 , x = − 5 y = −1
13. x + y = 9 x=6 y=3 ; x=4 y=5 x − y = −1 x = 0 y =1 ; x = 2 y = 3 x − 2y = − 6 x=0 y=3 ; x=2 y=4
(4,5)
-1 3
-1
3y =
-6
x+
=
-3 9
-y
9y =
= 2y x-
x
6x +
2x +
y=
9
sol : Equivalentes
x−2 y−3 12. − =4 2 3
3 ( x − 2) − 2 ( y − 3) = 24
y− 2 x− 3 11 + =− 2 3 3
3( y − 2) + 2 ( x − 3) = − 22
3x − 6 − 2 y + 6 = 24
3 y − 6 + 2 x − 6 = − 22
3x − 2 y = 24
2 x + 3 y = − 10
x= 6 y= − 3 x= 4
sol : x = 4
x=4 y= −6
y= − 6
y=5
14. x + y = 5 x=0 y=5 ; x=2 y=3 3x + 4y = 18 x=2 y=3 ; x=−2 y=6 2x + 3y = 13 x = 2 y = 3 ; x = 5 y =1
x= −2 y= − 2
x+ 4y = 18 y =
5
+
2y =
2x
24
3x +
3y 0 -1
3x -
=
(2,3) 2x +
(4,-6)
sol : x = 4
y=-6
sol : x = 2
y=3
3y =
13
EJERCICIO 186
15. 2x + y = − 1 x = 0 y = −1 ; x = −1 y =1 x − 2y = − 13 x=−5 y=4 ; x=−3 y=5 3x − 2y = − 19 x=−5 y=2 ; x=−3 y=5
1. x + y + z = 6 x − y + 2z = 5
x − y − 3z = − 10 x+ y+ z = 6 x − y + 2z = 5
-1 y= + 2x
2 x + 3z = 11 x+ y+ z = 6 x − y − 3z = − 10
(-3,5)
− 2z = − 4 x− z= − 2 2 x + 3z = 11 x − z = − 2 ( 3)
-1 9
3 -1
2 x + 3z = 11 3x − 3z = − 6
3x
-2 y
=
x
y= -2
2x
=5 x=1
5x
sol : x = - 3
2 (1) + 3z = 11 2 + 3z = 11 3z = 9 z= 3 1+ y + 3 = 6 y+ 4= 6 y=2
y=5
2y − x = − 4 4 x − 5y = 7 16. x − y = 1 x = 0 y = −1 x = 0 y = − 2 x = − 2 y = − 3 x =1 y = 0 x = 2 y = −1 x = 3 y =1
sol : x = 1 y = 2 z = 3 2. x + y + z = 12
x
-y
=
y= -5 4x
(-2,-3)
1 2y 7
-x
=
-4
2x − y + z = 7 x + 2y − z = 6 x + y + z = 12 2x − y + z = 7 3x
+ 2 z = 19
2 x − y + z = 7 ( 2) x + 2y − z = 6 4 x − 2 y + 2z = 14 x + 2y − z = 6 5x
+ z = 20 3x + 2 z = 19 5x + z = 20
(− 2 )
3x + 2 z = 19 − 10 x − 2 z = − 40 − 7x sol : x = - 2
y=-3 Continúa
= − 21 x= 3
2. Continuación 5( 3) + z = 20
4. Continuación
15 + z = 20 z=5
x − 4 y + 3z = 26
6x + 3y − 9z = − 3 x − 3 y − 2 z = − 12
3 + y + 5 = 12 y + 8 = 12
7x
y= 4 sol : x = 3 y = 4 z = 5 3. x − y + z = 2 x+ y+ z= 4 2x + 2 y − z = − 4 x− y+ z = 2 x+ y+ z =4
5x − 2 y + z = 24 (2) 2 x + 5 y − 2 z = − 14
− 11z = − 15
7 x − 11z = − 15
− 15x + 6 y − 3z = − 72 x − 4 y + 3z = 26
x− 2= −1 x=1
− 14 x + 2 y
+ z= 0
4x + z = 0
5. 2 x + 3 y + z = 1 6 x − 2 y − z = − 14
2 x − 2 y + 2z = 4 2x + 2 y − z = − 4 x + z = 3 (− 1)
12 x + y = 34 (− 2)
− 24 x − 2 y = − 68 − 14 x + 2 y = − 46 − 38 x 12 (3) + y = 34 36 + y = 34 y= −2
3 − 4 (− 2) + 3z = 26
3x + y − z = 1
=−3 x= −1
5x + 4 y
3 + 8 + 3z = 26 3z = 15 z=5 sol : x = 3 y = − 2 z = 5
=2
2 x + 3y + z = 1
− 1+ z = 3 z= 4 − 1− y + 4 = 2 − y + 3= 2 − y= −1 y=1 sol : x = − 1 y = 1 z = 4 4. 2 x + y − 3z = − 1
6 x − 2 y − z = − 14 8x + y
= − 13 5x + 4 y = 2 8 x + y = − 13
x − 3 y − 2z = − 12 3x − 2 y − z = − 5
(− 4 )
5x + 4 y = 2
7. 4 x + 2 y + 3z = 8 3x + 4 y + 2 z = − 1
2 x − y + 5z = 3
4 x + 2 y + 3z = 8 (− 2)
− 32 x − 4 y = 52 − 27 x
3x + 4 y + 2 z = − 1
= 54
− 8 x − 4 y − 6z = − 16 3x + 4 y + 2 z = − 1
x= − 2
2 x + y − 3z = − 1 (2) 3x − 2 y − z = − 5
8 (− 2) + y = − 13 − 16 + y = − 13 y= 3
4 x + 2 y − 6z = − 2 3x − 2 y − z = − 5
2 (− 2) + 3( 3) + z = 1
− 7z = − 7 x− z= −1
5+ z = 1
Continúa
= − 114 x=3
2 x + 3y + z = 1
4x + z = 0
= − 46
− 14 x + 2 y = − 46
3x + y − z = 1
− x− z= − 3
= 34
x − 4 y + 3z = 26
− 4z = − 8 z= 2
2 (1) + y − 3 (2) = − 1 2 + y − 6= − 1 y− 4= −1 y= 3 sol : x = 1 y = 3 z = 2
7x
12 x + y
5x − 2 y + z = 24 (− 3)
− 7 x + 7z = 7 7 x − 11z = − 15
x − y + z = 2 ( 2) 2x + 2 y − z = − 4
3x
10x − 4 y + 2 z = 48 2 x + 5 y − 2 z = − 14
x − z = − 1 (− 7)
+ 2z = 6 x+ z= 3
2x
4x
6. 5x − 2 y + z = 24 2 x + 5 y − 2 z = − 14
2 x + y − 3z = − 1 (3) x − 3y − 2 z = − 12
− 4+ 9+ z=1 z= − 4 sol : x = − 2 y = 3 z = − 4
− 5x
− 4 z = − 17
5x + 4 z = 17 4 x + 2 y + 3z = 8 2 x − y + 5z = 3 (2) 4 x + 2 y + 3z = 8 4 x − 2 y + 10z = 6 8x
+ 13z = 14 Continúa
10. Continuación
9. 2 x + 4 y + 3z = 3 10 x − 8 y − 9z = 0
7. Continuación
8 x + 13z = 14 (− 5)
4 x + 4 y − 3z = 2
5x + 4 z = 17 (8)
2 x + 4 y + 3z = 3 ( 3) 3x + 5 y
− 40x − 65z = − 70 40 x + 32 z = 136
6 x + 12 y + 9z = 9 10x − 8 y − 9z = 0
z= −2
16 x + 4 y 10 x − 8 y − 9z = 0
5x + 4 (− 2) = 17
5x − 8 = 17 5x = 25
=9
− 2 x − 20 y
4 x + 3(− 6) = 2
=−6
x + 10 y = 3 16x + 4 y = 9 (5)
sol : x = 5 y = − 3 z = − 2
x + 10 y = 3 (− 2)
80 x + 20 y = 45 − 2 x − 20 y = − 6
8. 6 x + 3 y + 2 z = 12 9 x − y + 4 z = 37 10 x + 5 y + 3z = 21 6 x + 3 y + 2 z = 12 9 x − y + 4 z = 37 ( 3) 6 x + 3 y + 2 z = 12 27 x − 3 y + 12 z = 111 33x
+ 14 z = 123
45x − 5 y + 20z = 185 10 x + 5 y + 3z = 21 + 23z = 206 33x + 14 z = 123 (5) 55x + 23z = 206
165x + 70z = 615 − 165x − 69 z = − 618
7 x + 3 y − 4 z = − 35
4y = 1 1 y= 4 1 1 2 + 4 + 3z = 3 2 4 1 + 1+ 3z = 3 3z = 1
1 1 sol : x = y= 2 4
1 3 1 z= 3
10. 3x + y + z = 1
x=5
6 (5) + 3 y + 2 (− 3) = 12 30 + 3 y − 6 = 12 3 y + 24 = 12 3 y = − 12 y= −4 sol : x = 5 y = − 4 z = − 3
7 x + 3 y − 4 z = − 35 − 3x − 3 y + 18z = 81 4x
+ 14z = 46
2 x + 7 z = 23 3x − 2 y + 5z = 38
+ 11z = 12
15x
4 x − y + 5z = − 6 (2) 6 x + 2 y − 3z = 33 8x − 2 y + 10z = − 12 6 x + 2 y − 3z = 33 14 x
+ 7z = 21 2x + z = 3 15x + 11z = 12
2 x + z = 3 (− 11)
15x + 11z = 12 − 22 x − 11z = − 33 − 7x
= − 21 x=3
2 ( 3) + z = 3 z= − 3
x + y + 2z = − 17 3x + y + z = 1 x + 2y − z = 1 =2
x + 2 y − z = 1 ( 2) x + y + 2 z = − 17 Continúa
12 − y − 15 = − 6 − y − 3= − 6 − y= −3 y= 3 sol : x = 3 y = 3 z = − 3
x + y − 6z = − 27 (2) 13. 9 x + 4 y − 10z = 6 3x − 2 y + 5z = 38 6 x − 8 y + 5z = − 1 2 x + 2 y − 12z = − 54 12 x + 12 y − 15z = 10 5x
− 7 z = − 16 2 x + 7 z = 23 5x − 7 z = − 16 7x
x + 2y − z = 1
4 x + 3y
12 x − 3y + 15z = − 18 3x + 3 y − 4z = 30
x + y − 6z = − 27 (− 3) 4 ( 3) − y + 5(− 3) = − 6
z=
z= − 3
33x − 42 = 123 33x = 165
x + y − 6z = − 27
1 16 + 4 y = 9 2
(− 3)
33x + 14 (− 3) = 123
1 2
8+ 4y = 9
9 x − y + 4 z = 37 (5) 10 x + 5 y + 3z = 21
55x
x=
4 x − 18 = 2 4 x = 20 x=5 5 − 6 + 2z = − 17 2z = − 16 z= −8 sol : x = 5 y = − 6 z = − 8
11. 7 x + 3 y − 4 z = − 35 3x − 2 y + 5z = 38
= 39
78 x
(− 4)
− 11y = 66 y= −6
10x − 8 y − 9z = 0
10 − y − 10 = 3 − y=3 y= −3
4 x − y + 5z = − 6 (3) 3x + 3y − 4 z = 30
( 3)
12 x + 9 y = 6 − 12 x − 20 y = 60
− 12 x − 12 y + 9z = − 6
2 (5) − y + 5(− 2) = 3
2
3x + 5 y = − 15
4 x + 4 y − 3z = 2 (− 3)
x=5
3x + 3y − 4 z = 30 6 x + 2 y − 3z = 33
= − 15 4 x + 3y =
10x − 8 y − 9z = 0
− 33z = 66
12. 4 x − y + 5z = − 6
2 x + 4 y − 2z = 2 x + y + 2 z = − 17
= 7 x=1
2 (1) + 7 z = 23 7 z = 21 z=3 1 + y − 6 (3) = − 27 y − 17 = − 27 y = − 10 sol : x = 1 y = − 10 z = 3
6 x − 8 y + 5z = − 1 (− 2)
12 x + 12 y − 15z = 10 − 12 x + 16 y − 10z = 2 12 x + 12 y − 15z = 10 28 y − 25z = 12 9 x + 4 y − 10z = 6 6 x − 8 y + 5z = − 1
( 2)
(− 3)
18 x + 8 y − 20z = 12 − 18 x + 24 y − 15z = 3 32 y − 35z = 15 Continúa
13. Continuación
28 y − 25z = 12 32 y − 35z = 15
(− 8) ( 7)
− 224 y + 200z = − 96
14. Continuación
10 x − (− 2) + z = 10
1 10 − (− 2) + z = 10 5 2 + 2 + z = 10 z= 6
224 y − 245z = 105 − 45z = 9 z= −
1 5
1 28 y − 25 − = 12 5 28 y + 5 = 12 28 y = 7 1 4 1 1 6x − 8 + 5 − = − 1 4 5
sol : x =
6x = 2 1 x= 3 1 1 1 sol : x = y= z= − 3 4 5
1 y= − 2 z= 6 5
15. x + y = 1 y+ z= −1
z+ x= −6 x+ y
= 1
y + z = − 1 (− 1)
y=
6x − 2 − 1 = − 1
17. y + z = − 8 2x + z = 9
x+ y =1 − y− z=1 x x− z= 2 x+ z= −6
− z= 2
19. 3z − 5x = 10 5x − 3 y = − 7
3y − 5z = − 13 − 5x + 3z = 10 − =−7 5 x 3 y 2 x + z = 9 (− 1) − 3y + 3z = 3 y+ z= −8 − y+ z=1 − 2x − z= − 9 3y − 5z = − 13 − 2 x + y = − 17 − y + z = 1 ( 3) − 2 x + y = − 17 3 y − 5z = − 13 2 x + 3y = − 3 − 3 y + 3z = 3 4 y = − 20
3y + 2 x = − 3 y+ z= −8
y= −5 − 5+ z = − 8 z= − 3 2x − 3= 9 2 x = 12 x= 6 sol : x = 6 y = − 5 z = − 3
− 2 z = − 10 z= 5 − y + 5= 1 − y= −4 y= 4
5x − 3( 4) = − 7 5x − 12 = − 7 5x = 5 x=1 sol : x = 1 y = 4 z = 5
=−4 x= −2 − 2+ y=1 18. 3x − 2 y = 0 y=3 3 y − 4 z = 25 14. 5x + 3 y − z = − 11 3+ z = − 1 z − 5x = − 14 10 x − y + z = 10 z= −4 3 y − 4z = 25 20. 15x + 2 y − z = − 7 sol : x = − 2 y = 3 z = − 4 ( ) − 5x + z = − 14 4 5x + 3 y − z = − 11 10 x − y + z = 10 16. x + 2 y = − 1 3 y − 4z = 25 2y + z = 0 − 20 x + 4 z = − 56 = −1 15x + 2 y x + 2 z = 11 10 x − y + z = 10 − 20 x + 3y = − 31 = −1 x + 2y 15x + 2 y − z = − 7 − 20 x + 3y = − 31 ( 2) 2 y + z = 0 (− 1) = 3 25x + y 3x − 2 y = 0 ( 3) + = −1 x y 2 15x + 2 y = − 1 − 40 x + 6 y = − 62 − 2y − z = 0 25x + y = 3 (− 2) 9x − 6y = 0 − z= −1 x 15x + 2 y = − 1 − 31x = − 62 x − z = − 1 (− 1) − 50 x − 2 y = − 6 x= 2 x + 2 z = 11 − 35x =−7 3 ( 2) − 2 y = 0 − x+ z = 1 1 6− 2y = 0 x= x + 2 z = 11 5 − 2y = − 6 3z = 12 1 y=3 15 + 2 y = − 1 5 z= 4 3 ( 3) − 4z = 25 3+ 2 y = − 1 x− 4= −1 ⇒ x= 3 − 4 z = 16 2y = − 4 3+ 2 y = − 1 z= − 4 y= −2 2y = − 4 ⇒ y = − 2 sol : x = 2 y = 3 z = − 4 Continúa sol : x = 3 y = − 2 z = 4 2x
x − 2y = 0 y − 2z = 5 x+ y+ z=8 x + y+ z=8 x − 2y
= 0 (− 1)
x+ y+ z=8 − x + 2y
=0
3y + z = 8 3y + z = 8 ( 2) y − 2z = 5 6 y + 2z = 16 y − 2z = 5 7y
= 21 y=3
x − 2 ( 3) = 0 x − 6= 0 x=6 6 + 3+ z = 8 z= −1 sol : x = 6 y = 3 z = − 1
21. 5x − 3z = 2 2z − y = − 5 x + 2 y − 4z = 8
x + 2 y − 4z = 8 − y + 2 z = − 5 ( 2) x + 2 y − 4z = 8 − 2 y + 4 z = − 10 x 5 (− 2) − 3z = 2
=−2
− 10 − 3z = 2 − 3z = 12
23. Continuación
24. Continuación
x−y+z=3 x + y − z =1
6 − 2y + 18 = 0 − 2y + 24 = 0 − 2y = − 24 y = 12 sol: x = 6 y = 12 z = 18
=4 x=2
2x
2−y+5=3 −y+7=3 −y=−4 y=4 sol: x = 2 y = 4 z = 5
z= −4
2 (− 4 ) − y = − 5 − 8− y = − 5 − y=3 y=−3
sol: x = − 2 y = − 3 z = − 4 22. 2 x − z = 14 4 x + y − z = 41
3x − y + 5z = 53 4 x + y − z = 41
24.
x y z + − =3 2 2 3 3x + 3 y − 2 z = 18 x y z + − = −5 3 6 2 2 x + y − 3z = − 30 x y z − + =0 6 3 6 − x 2y + z = 0 3x + 3 y − 2 z = 18 (2)
3x − y + 5z = 53
x − 2 y + z = 0 (3)
+ 4 z = 94
7x
6 x + 6 y − 4 z = 36 3x − 6 y + 3z = 0
7 x + 4 z = 94 2 x − z = 14 (4) 7 x + 4 z = 94 8 x − 4 z = 56 15x
= 150 x = 10
2 (10) − z = 14 20 − z = 14 − z= −6 z=6 4 (10) + y − 6 = 41 y + 34 = 41 y=7 sol: x = 10 y = 7 z = 6 23. x + y − z = 1 z+x−y=3 z−x+y=7 z+x−y=3 z−x+y=7
2z = 10 ⇒ z = 5 Continúa
9x
− z = 36
2 x + y − 3z = − 30 (2) x − 2y + z = 0 4 x + 2 y − 6z = − 60 x − 2y + z = 0 − 5z = − 60 x − z = − 12 9 x − z = 36
5x
x − z = − 12
(− 1)
9 x − z = 36 − x + z = 12 = 48 x=6 6 − z = − 12 − z = − 18 z = 18
8x
Continúa
25.
x y z + + = 21 3 4 3 4 x + 3 y + 4 z = 252 x y z + − =0 5 6 3 6 x + 5 y − 10z = 0 x y z + − =3 10 3 6 3x + 10 y − 5z = 90 6 x + 5 y − 10z = 0
(− 2)
3x + 10 y − 5z = 90 − 12 x − 10 y + 20z = 0 3x + 10 y − 5z = 90 − 9x
+ 15z = 90 − 3x + 5z = 30
4 x + 3 y + 4 z = 252 3x + 10 y − 5z = 90
(10)
(− 3)
40 x + 30 y + 40z = 2 . 520 − 9 x − 30 y + 15z = − 270 + 55z = 2 . 250
31x
− 3x + 5z = 30
(− 11)
31x + 55z = 2 . 250 33x − 55z = − 330 31x + 55z = 2 . 250 64 x
= 1. 920 x = 30
− 3 ( 30) + 5z = 30 − 90 + 5z = 30 5z = 120 z = 24 6 (30) + 5 y − 10 (24) = 0 180 − 240 + 5 y = 0 5 y = 60 y = 12 sol : x = 30 y = 12 z = 24
y+ z =4 3 3x − y − z = 12 x+ z = 10 y− 8 8 y − x − z = 80
10 ( y − z ) = 3 (x + 2) 10 y − 10z = 3x + 6 3x − 10 y + 10z = − 6
y− x =5 2 2 z − y + x = 10
2 x − 5 y − 2 z = − 20 (5) 3x − 10 y + 10z = − 6
3x − y − z = 12 (− 1)
10 x − 25 y − 10z = − 100
− x + 8 y − z = 80 − x + 8 y − z = 80 = 68
5x − 2 y = 28
− 2 x + 16 y − 2 z = 160
− 149 x
x − y + 2 z = 10
(2)
(− 35)
= − 1.192 x=8
5 (8) − 2 y = 28
= 170
(− 4 )
40 − 2 y = 28 − 2 y = − 12 y=6
− 4 x + 9 y = 68 4 x − 60 y = − 680
2 (8) − 5 (6) − 2 z = − 20
− 51y = − 612 y = 12
16 − 30 − 2 z = − 20 − 2z = − 6
− 4 x + 9 (12) = 68 − 4 x + 108 = 68 − 4 x = − 40 x = 10 3 (10) − 12 − z = 12 30 − 12 − z = 12 18 − z = 12 z=6 sol : x = 10 y = 12 z = 6 27.
= − 106
26 x − 70 y = − 212 − 175x + 70 y = − 980
x − y + 2 z = 10
− x + 15 y = 170
13x − 35 y 13x − 35 y = − 106
− x + 8 y − z = 80 (2)
− 4 x + 9 y = 68
x+ y y+4 = 7 5
5 ( x + y ) = 7 ( y + 4) 5x + 5 y = 7 y + 28 5x − 2 y = 28 x− z y−4 = 5 2
2 ( x − z ) = 5 ( y − 4)
2 x − 2 z = 5 y − 20 2 x − 5 y − 2 z = − 20 Continúa
− x − 3y + 3z = − 22 (5) 5x − y − 5z = 22 − 5x − 15 y + 15z = − 110 − 16 y + 10z = − 88 − 8 y + 5z = − 44 − 8 y + 5z = − 44 8 y − 7z = 36 − 2z = − 8 z= 4
3x − 10 y + 10z = − 6
− 3x + y + z = − 12
− x + 15y
5x − y − 5z = 22
y− z x+2 = 3 10
z−
− 4x + 9 y
28. Continuación
27. Continuación
26. x −
z= 3 sol : x = 8 y = 6 z = 3 28.
z+ 4 = x−6 2 2 y − z − 4 = 2 x − 12 − 2x + 2 y − z = − 8 x−7 = y−5 z− 3 3z − x + 7 = 3 y − 15 − x − 3 y + 3z = − 22 y+2 = z+ 4 x− 5 5x − y − 2 = 5z + 20 5x − y − 5z = 22 − 2x + 2 y − z = − 8 y−
− x − 3 y + 3z = − 22 (− 2) − 2x + 2 y − z = − 8 2 x + 6 y − 6z = 44
8 y − 7z = 36 Continúa
8 y − 7 (4) = 36 8 y − 28 = 36 8 y = 64 y=8 − x − 3(8) + 3(4) = − 22 − x − 12 = − 22 x = 10 sol : x = 10 y = 8 z = 4 29.
y− z =3 2 2x − 2 y + y − z = 6 2x − y − z = 6 x− y x− z − =0 2 4 2x − 2 y − x + z = 0 x − 2y + z = 0 y− z − x= −5 2 y − z − 2 x = − 10 2x − y − z = 6 − 2 x + y − z = − 10 x− y+
− 2z = − 4 z= 2 x − 2y + z = 0 2x − y − z = 6
(− 2 )
x − 2y + z = 0 − 4 x + 2 y + 2 z = − 12 − 3x
+ 3z = − 12
− 3x + 3(2) = − 12 − 3x + 6 = − 12 − 3x = − 18 x=6 Continúa
29. Continuación
31.
6 − 2y + 2 = 0 − 2y + 8 = 0 − 2y = − 8 y=4 sol: x = 6 y = 4 z = 2
30.
1 + x 1 x 1 + x 1 − x
1 y
3 x
=5
=
5
1 − =−6 z 1 1 − = −1 y z 1 1 − = −1 y z 1 1 + = 7 y z 2 y
(− 1)
3 2 + = 2 x y 2 2 3 − − =− 2 y z
1 + = 6 (− 1) z 1 y
3 2 + = 2 x y 2 2 3 + = y z 2
2 1 = 2 z 3 2 1 ( 2) − = x z 2 1 4 4 + = x z 3 6 4 − =1 x z 1 4 4 + = x z 3 7 7 = 3 x x=3
3 2 + =2 3 y 2 1+ = 2 y 2 =1 y 2= y 3 2 1 − = 3 z 2 2 1 1− = z 2 2 1 − =− 2 z 4= z sol : x = 3 y = 2 z = 4
=6 1 =y 3
1 1 + =5 x 1 3 1 + 3= 5 x 1 =2 x 1 =x 2 1 1 + =6 1 z 2 1 2+ = 6 z 1 =4 z 1 =z 4 1 1 1 sol : x = y = z= 2 3 4
−
32.
1 4 2 + + =−6 x y z 3 2 4 + + = 3 (− 2) x y z 1 4 2 + + =−6 x y z 6 4 8 − − − =−6 x y z 5 6 − − = − 12 x z Continúa
32. Continuación 1 4 2 + + = − 6 (5) x y z
6 5 6 − − = 31 (4) x y z 5 20 10 + + = − 30 x y z 24 20 24 − − = 124 x y z 29 14 − = 94 x z 5 6 − − = 12 (− 7) x z 29 14 − = 94 (3) x z 35 42 + = 84 x z 87 42 − = 282 x z 122 = 366 x 122 = 366 x 1 =x 3 5 6 − = − 12 1 z 3 6 − 15 − = − 12 z 6 − =3 z − 2= z −
1 4 2 + + =−6 1 y −2 3 4 3 + − 1= − 6 y 4 = −8 y 1 − =y 2 1 1 sol : x = y= − z= −2 3 2
EJERCICIO 187 1. 1
2
1 1 1
3 0 2
4 2 1
1
3
4
1 2 1 −3 −1 4 1 2 1 −3
3 −1 −8
−3
−2 3
8.
5 −2 3
⇒ − 15 − 8 − 6 + 6 − 12 − 10 = − 45
−7
3
3 2 −1 − 3
5 4
3 2 3 2 −1 − 3
5 5 4
⇒ − 45 − 10 + 24 + 45 − 24 + 10 = 0
4
1
9. 5
2
3
2 −3 1 2 −3 4
0 7 1
6 3 5
1 4 2
2 5 3
2 −3
0
6
1
2
3. − 3
⇒ 63 + 4 + 0 + 3 + 0 − 56 = 14 4. 2 5 3 −4 6 2 2 5
−1
3 −4
3
⇒ 25 + 72 + 12 − 9 − 40 − 60 = 0 10. 12
5
10
8 −6 9 7 4 −2 12 5 10
3 4 −1
8 −6
9
⇒ 144 + 320 + 315 + 420 − 432 + 80 = 847
⇒ − 32 − 6 + 90 − 24 − 12 − 60 = − 44 5.
−8
5
⇒ 35 + 0 + 24 − 224 + 0 − 6 = − 171
⇒6 +0+ 8− 3−0− 4 =7 2.
2
−3 −7 4 0 5 2
7.
1
5 −1 − 6 −2 5 3
11. − 9 7
3 −5
−4 −3
3 4 2 5 −1 − 6 −2 5 3
4 −9 7
6 3 −5
1 −4 −3
⇒ 50 + 48 − 9 + 90 − 60 − 4 = 115
⇒ 45 − 168 − 36 − 80 − 162 − 21= − 422
6. 4
1
5
3 12 4
2 3 1
−6 2 5
3
2
−6
⇒ 16 + 45 − 72 − 120 + 72 − 6 = − 65
12.
11 − 5 − 12 3 − 13 1
7 8 9
11 − 5 − 12 3
7 8
⇒ 297 − 84 + 520 + 273 − 88 − 540 = 378
EJERCICIO 188
2. Continuación
1. x + y + z = 11 x − y + 3z = 13 2x + 2y − z = 7
x=
11 13 7 11 13 x= 1 1 2 1 1 x=
1 1 −1 3 2 −1 1 1 −1 3 1 1 3 −1 2 −1 1 1 3 −1
11+ 26 + 21+ 7 − 66 + 13 12 = =2 1+ 2 + 6 + 2 − 6 + 1 6 1 11 1 13
1 3 −1
y= 2 7 1 11 1 13
− 18 + 2 + 6 + 6 + 12 + 3 11 = = −1 3 − 4 − 1− 1− 2 − 6 − 11
y=
1 1 −6 2 1 −1 z= 1 −2 −6 1 1 −6 2 1 −1 − 6 + 24 − 1+ 6 − 2 + 12 33 = =−3 − 11 − 11 sol: x = − 1 y = − 2 z = − 3 z=
3. 2 x + 3 y + 4 z = 3
2 x + 6 y + 8z = 5 4x + 9 y − 4z = 4
1 3
− 13 + 7 + 66 − 26 − 21+ 11 24 = =4 6 6 1 1 11 1 − 1 13 z= 2 2 7 1 1 11 1 − 1 13 − 7 + 22 + 26 + 22 − 26 − 7 30 = =5 6 6 sol: x = 2 y=4 z=5
x=
z=
2. x + y + z = − 6 2x + y − z = − 1 x − 2y + 3z = − 6
−6 −6 −1 x= 1 2 1 1 2
1
1 −1 3 1 −1
− 3 − 12 + 6 + 1− 6 + 36 22 = = −2 − 11 − 11
y=
−6 −1
−6 −1 −6 −6 −1
1 2 y= 1 1 2
3 5 4 3 5
3 4 6 8 9 −4 3 4 6 8
2 2 4 2
3 4 6 8 9 −4 3 4
2
6
2 2
1
1 −1 −2 3 1 1 1 −1 1 1 1 −1 3 −2 1 1 1 −1
8
− 72 + 180 + 96 − 96 − 216 + 60 − 48 1 = x= = − 48 + 72 + 96 − 96 − 144 + 24 − 96 2
y= 4 2 2 y=
3 5
4 8
4 −4 3 4 5 8
− 40 + 32 + 96 − 80 − 64 + 24 − 32 1 = = − 96 − 96 3
2 2 z= 4 2 2
3 6 9 3 6
3 5 4 3 5
48 + 54 + 60 − 72 − 90 − 24 − 24 1 = = − 96 − 96 4 1 1 1 sol : x = y= z= 2 3 4 z=
4. 4x − y + z = 4 2x + 2y − z = 2 6x − 2y + 3z = 12
4 2 12 4 2 x= 4 2 6 4 2 x=
5. Continuación
x=
−1 1 2 −1 −2 3 −1 1 2 −1 −1 1 2 −1 −2 3 −1 1 2 −1
24 − 4 + 12 − 24 − 8 + 6 6 1 = = 24 − 4 + 6 − 12 − 8 + 6 12 2
4 4 1 2 2 −1 y = 6 12 3 4 4 1 2 2 −1
66 + 25 − 104 − 260 − 11+ 60 − 224 = =−2 6 + 15 + 16 + 40 − 1+ 36 112
1 11 3 5 y = 4 − 26 1 11 3 5
− 15 − 390 + 44 − 100 + 26 + 99 − 336 = =−3 112 112 1 4 11 3 −2 5 1 − 26 z= 4 1 4 11 3 −2 5 y=
52 + 33 + 80 + 88 − 5 + 312 560 = =5 112 112 sol: x = − 2 y=−3 z=5 z=
6. 7x + 10y + 4z = − 2
24 + 24 − 24 − 12 + 48 − 24 36 = =3 y= 12 12 4 −1 4 2 2 2 z = 6 − 2 12 4 −1 4 2 2 2
5x − 2y + 6z = 38 3x + y − z = 21 −2
10 38 − 2
21 −2 x=
96 − 16 − 12 − 48 + 16 + 24 60 = =5 12 12 1 sol: x = y=3 z=5 2 z=
5. x + 4y + 5z = 11 3x − 2y + z = 5 4x + y − 3z = − 26
11
4
5 1 −3 5 1
5
5 −2 1 − 26 1 − 3 11 4 5 5 −2 1 x= 1 4 5 3 −2 1 4 1 −3 1 4 5 3 −2 1 Continúa
x=
1 10
4 6 −1 4
38 − 2
6
7 5
10 −2
4 6
3
1
−1
7 5
10 −2
4 6
− 4 + 152 + 1. 260 + 168 + 12 + 380 1. 968 = =8 14 + 20 + 180 + 24 − 42 + 50 246 7
−2
4
5
38
6
y= 3 7
21 −2
−1
5
38
6
y=
4
− 266 + 420 − 36 − 456 − 882 − 10 − 1. 230 = =−5 246 246 7 10 − 2
5 z= 3
−2
7 5
10 −2
1
38 21 −2 38
− 294 − 10 + 1. 140 − 12 − 266 − 1. 050 − 492 z= = =−2 246 246 sol : x = 8 y=−5 z=−2
8. Continuación
7. 4x + 7y + 5z = − 2 6x + 3y + 7z = 6
x=
x − y + 9z = − 21 −2
7 6 3 − 21 − 1 −2 7 6 3 x= 4 7 6 3 −1 1 4 7 6 3 x=
− 54 − 30 − 1. 029 + 315 − 14 − 378 − 1.190 = =5 − 238 108 − 30 + 49 − 15 + 28 − 378
4 6 y= 1 4 6 y=
5 7 9 5 7 5 7 9 5 7
−2 6 − 21 −2 6
5 7 9 5 7
216 − 630 − 14 − 30 + 588 + 108 238 = = −1 − 238 − 238
4 7 6 3 z = 1 −1 4 7 6 3
− 110 + 192 + 990 − 66 + 396 − 800 602 = =−2 15 + 12 − 240 + 16 − 54 − 50 − 301
y=
8x + 3y − 5z = − 33 − 22 32 − 33 − 22 32 x= 3 2 8 3 2
−5 2 −1 6 3 −5 −5 2 −1 6 −5 2 −1 6 3 −5 −5 2 −1 6
Continúa
−5 −1 3 −5 −1
3 2 z= 8 3 2
− 22 32 − 33 − 22 32
99 − 132 − 1. 280 − 176 − 288 − 330 − 2 .107 = =7 − 301 − 301 sol: x = − 2 y=6 z=7 z=
9. x + y + z = 3 x + 2y = 6 2x + 3y = 6
x=
− 252 + 12 + 42 + 6 + 24 + 882 714 z= = =−3 − 238 − 238 sol: x = 5 y = −1 z= −3 8. 3x − 5y + 2z = − 22 2x − y + 6z = 32
2 6 −5 2 6
− 480 − 132 − 1. 056 − 512 + 594 − 220 − 1. 806 = =6 − 301 − 301
−2 6 − 21 −2 6
− 22 32 − 33 − 22 32
3 2 y= 8 3 2
3
1
1
6 6 3
2 3 1
0 0 1
6
2
0
1 1
1 2
1 0
2 1
3 1
0 1
1
2
0
0 + 18 + 0 − 12 + 0 + 0 6 = =−6 x= 0+3+0−4+0+0 −1 1
3
1
1 y= 2
6 6
0 0
1 1
3
1
6
0
y=
0 + 6 + 0 − 12 + 0 + 0 − 6 = =6 −1 −1 1 1
1 2
3 6
z= 2 1
3 1
6 3
1
2
6
12 + 9 + 12 − 12 − 18 − 6 − 3 =3 = z= −1 −1 sol : x = − 6
y=6
z=3
10. 3x − 2y = − 1 4x + z = − 28 x + 2y + 3z = − 43
−1 − 28 − 43 −1 − 28 x= 3 4 1 3 4 x=
−2 0 2 −2 0 −2 0 2 −2 0
11. Continuación x=
0 1 3 0 1 0 1 3 0 1
0 + 0 + 86 + 0 + 2 − 168 − 80 = = −5 0 + 0 − 2 + 0 − 6 + 24 16
3 −1 4 − 28 y = 1 − 43 3 −1 4 − 28
x y z − + =1 3 4 4 4 x − 3y + 3z = 12
x=
3
−4 3
−4 3 −6
4
−3
3
3 −1
−6 −4
4 1
−3
3 −6
Continúa
3
1
6
−6
− 96 + 0 − 288 − 72 + 0 + 48 − 408 = =8 y= − 51 − 51 4 1
−3 3
12 6
z= 4 4
−1 −3
0 12
1
3
6
0 − 12 − 72 − 144 + 24 + 0 − 204 = =4 z= − 51 − 51 x= 6
y=8
z=4
x + y = 2z + 3 ; 3 x + 3y = 6z + y ; x + 3y − 6z = 9 9 1 44 9 1 x= 1 1 4 1 1
y= 3 −6
1 4
3
0 12
3 −1 −1 3 −1 3 −1 −1 3 −1
x − y =1
; ;
y + 11 4 4x + 4z = y + 44 4x − y + 4z = 44
−6 0 4 −6 0 −6 0 4 −6 0
− 36 + 6 + 0 − 264 + 0 − 12 − 306 = =9 − 4 + 6 + 0 − 24 + 0 − 12 − 34
1 1 y= 4 1 1
x + 3y − 6z = 6 x y z − − =0 2 8 2 4x − y − 4z = 0 3
y= 4 4
x=
x y + − z=1 6 2 2x + 6 y − 12z = 12
−1 −3
−6
12.
0 − 8 + 56 + 0 + 168 − 344 − 128 = =−8 16 16 sol: x = − 5 y=−7 z=−8
0 12 6
6
3 0 1
z=
−3
12
sol :
− 252 + 0 − 1+ 0 + 129 + 12 − 112 = = −7 16 16 −1 3 −2 4 0 − 28 z= 1 2 − 43 −1 3 −2 4 0 − 28
12 6
4 1
0 1
y=
11.
− 144 − 18 + 0 + 0 − 72 − 72 − 306 = =6 − 48 − 3 + 72 − 36 − 24 − 12 − 51
9 1 44 9 1
−6 0 4 −6 0
4 − 264 + 0 + 24 + 0 − 36 − 272 = =8 − 34 − 34
1 1 z= 4 1 1
3 −1 −1 3 −1
9 1 44 9 1
− 44 − 9 + 12 + 36 + 1− 132 − 136 = =4 − 34 − 34 sol: x = 9 y=8 z=4 z=
x+z=
EJERCICIO 191 1. x + 2y + z = 8 Plano
ABC
2x + 2y + z = 9 x + 2y + z = 8
Plano DEF
2 x + 2y + z = 9
3x + 3y + 5z = 24 Plano GHI
3x + 3y + 5z = 24
Para y = 0 z = 0
x=8
Para y = 0 z = 0 x = 4 21
Para y = 0 z = 0 x = 8
Para x = 0 z = 0
y=4
Para x = 0 z = 0 y = 4 21
Para x = 0 z = 0 y = 8
Para x = 0 y = 0
z=8
Para x = 0 y = 0 z = 9
Para x = 0 y = 0 z = 4 45
D
A
G
N
3
R
1
M
C F
2
B E
H
Sol : x = 1
y= 2 z = 3
I
Q
2. x + y + z = 5 Plano ABC
x+y+z=5
3x + 2y + z = 8 Plano DEF 3x + 2y + z = 8
2x + 3y + 3z = 14 Plano GHI 2x + 3y + 3z = 14
Para y = 0 z = 0
x=5
Para y = 0 z = 0 x = 2 23
Para y = 0 z = 0 x = 7
Para x = 0 z = 0
y=5
Para x = 0 z = 0 y = 4
Para x = 0 z = 0 y = 4 23
Para x = 0 y = 0
z=5
Para x = 0 y = 0 z = 8
Para x = 0 y = 0 z = 4 23
D
A G Q
N
3
1
F
1 M
R E H B
sol : x = 1
y=1
z=3
C
I
3. 2 x + 2 y + 3z = 23 Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 23
2 x + 3y + 2 z = 20 Plano DEF
4 x + 3 y + 2z = 24
2 x + 3 y + 2 z = 20
Plano GHI
4 x + 3 y + 2 z = 24
Para y = 0 z = 0
x = 11
1 2
Para y = 0 z = 0 x = 10
Para y = 0 z = 0 x = 6
Para x = 0 z = 0
y = 11 12
Para x = 0 z = 0 y = 6 23
Para x = 0 z = 0 y = 8
Para x = 0 y = 0
z = 7 23
Para x = 0 y = 0 z = 10
Para x = 0 y = 0 z = 12
G
D
Q A
N
5
I M 2
E
R
2
H
B
sol : x = 2
y=2
z=5
F
C
4. 2 x + 2 y + 3z = 24 Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 24
4 x + 5y + 2z = 35 Plano DEF
3x + 2 y + z = 19
4 x + 5 y + 2 z = 35
Plano GHI
3x + 2 y + z = 19
Para y = 0 z = 0
x = 12
Para y = 0 z = 0 x = 8 43
Para y = 0 z = 0 x = 6 13
Para x = 0 z = 0
y = 12
Para x = 0 z = 0 y = 7
Para x = 0 z = 0 y = 9 12
Para x = 0 y = 0
z=8
Para x = 0 y = 0 z = 17
1 2
Para x = 0 y = 0 z = 19 M
G D
M
Q
M
M
M
A
M
M
N
4 I
3
F
M
C
M
M 3
M M
R M E M
M
H
M B M
sol : x = 3
y=3
z=4
5. 3x + 4y + 5z = 35
Plano
ABC
2x + 5y + 3z = 27 3x + 4y + 5z = 35
2x + y + z = 13
2x + 5y + 3z = 27
Plano DEF
Plano GHI 2x + y + z = 13
Para y = 0 z = 0
x = 11 23
Para y = 0 z = 0 x = 13 21
Para y = 0 z = 0 x = 6 21
Para x = 0 z = 0
y = 8 34
Para x = 0 z = 0 y = 5 25
Para x = 0 z = 0 y = 13
Para x = 0 y = 0
z=7
Para x = 0 y = 0 z = 9
Para x = 0 y = 0 z = 13
G
D Q
A
M
3 C
I 2 4 N
R
E
B
H
sol : x = 4
y=2
z=3
F
6. 4x + 3y + 5z = 42 Plano ABC 4x + 3y + 5z = 42
3x + 4y + 3z = 33 2x + 5y + 2z = 29 Plano DEF 3x + 4y + 3z = 33 Plano GHI 2x + 5y + 2z = 29
Para y = 0 z = 0
x = 10 21
Para y = 0 z = 0 x = 11
Para y = 0 z = 0 x = 14 21
Para x = 0 z = 0
y = 14
Para x = 0 z = 0 y = 8
Para x = 0 z = 0 y = 5 45
Para x = 0 y = 0
z = 8 25
Para x = 0 y = 0 z = 11
1 4
Para x = 0 y = 0 z = 14 21
G
D
A
R M
5 C N
3 2 Q
H
E
B
sol : x = 2
y=3
z=5
F
I
5. x → Cifra decenas y → Cifra unidades
10 x + y − 17 =5 x+ y
10 x + y − 17 = 5( x + y ) 5x − 4 y = 17 10 x + y − 2 = 19 y−2
10 x + y − 2 = 19 ( y − 2) 10 x − 18 y = − 36 5x − 9 y = − 18 5x − 4 y = 17
5x − 9 y = − 18 (− 1) 5x − 4 y = 17 − 5x + 9 y = 18 5 y = 35 ⇒ y = 7 5x − 4 (7) = 17 5x − 28 = 17 5x = 45 ⇒ x = 9 sol : 97 6. x → Cifra decenas y → Cifra unidades
10 x + y + 9 = 10 y + x 9x − 9 y = − 9 x− y= −1 10 y + x − 1 =6 7 x + 10 y = 43 x− y = −1
(− 1)
x + 10 y = 43 − x+ y = 1 x + 10 y = 43 11y = 44 ⇒ y = 4 x− 4= −1 ⇒ x= 3 sol : 34 7. x → Cifra decenas y → Cifra unidades x+ y= 9
10 ( x + 1) + y − 1 = 10 y + x 10 x + 10 + y − 1 = 10 y + x 9x − 9 y = − 9 x− y= −1 x+ y= 9 x− y= −1 2x = 8 ⇒ x = 4 4+ y= 9 ⇒ y= 5 sol : 45
EJERCICIO 199 1. x → Monedas de 20 cts. y → Monedas de 10 cts.
x +
y=
(− 10)
78
20 x + 10 y = 1.130 − 10 x − 10 y = − 780 20 x + 10 y = 1.130 10 x
= 350 x = 35
35 + y = 78 y = 43 sol : 35 Mon. de 20 cts. 43 Mon. de 10 cts. 2. x → Monedas de $ 5 y → Monedas de $ 4
x + y = 91 (− 4)
5x + 4 y = 404 − 4 x − 4 y = − 364 5x + 4 y = 404
x+
y =
700
(− 15)
= 7 .500 x = 300 300 + y = 700 y = 400 sol : 300 adultos y 400 niños 4. x → Monedas de 20 cts. y → Monedas de 25 cts.
(− 20)
− 20 x − 20 y = − 880 20 x + 25 y = 995 Continúa
x + 2 y = 419
y = 132 x + 132 = 287 x = 155 sol : 155 Billetes de $ 1 132 Billetes de $ 2
(− 3)
− 3x − 3 y = − 102 3x + 7 y = 174
25x
20 x + 25 y = 995
(− 1)
− x − y = − 287 x + 2 y = 419
x + y = 34
− 15x − 15 y = − 10 .500 40 x + 15 y = 18 . 000
y = 44
x + y = 287
3x + 7 y = 174
40 x + 15 y = 18 . 000
x +
5. x → Billetes de $ 1 y → Billetes de $ 2
6. x → Libros de 3 col. y → Libros de 7 col.
= 40 x 40 + y = 91 y = 51 sol : 40 Mon. de $ 5 51 Mon. de $ 4 3. x → N º de adultos y → N º de niños
4. Continuación 5y = 115 y = 23 x + 23 = 44 x = 21 sol: 21 Monedas de 20 cts. 23 Monedas de 25 cts.
4 y = 72 y = 18 x + 18 = 34 x = 16 sol : 16 libros de 3 col. 18 libros de 7 col. 7. x → N º de trajes y → N º de sombreros
x +
y=
54
(− 45)
375x + 45 y = 6 . 720 − 45x − 45 y = − 2 . 430 375x + 45 y = 6 . 720 = 4 . 290 x = 13 13 + y = 54 ⇒ y = 41 sol : 13 trajes 41 sombreros 330 x
EJERCICIO 200 1. A − 1 = B + 1 A− B= 2
4. A − 10 = 2 ( B − 10)
A − 2 B = − 10
A + 1 = 3 ( B − 1)
A − 3B = − 4 A− B = 2
3 ( A + 10) = B + 10 4
3 ( A + 10) = 4 (B + 10)
(− 1)
3 A − 4 B = 10
A − 3B = − 4
A − 2 B = − 10 (− 2)
− A+ B = − 2 A − 3B = − 4
3 A − 4 B = 10 − 2 A + 4 B = 20 3 A − 4 B = 10
− 2B = − 6 B=3 A − 3= 2 A=5 sol : A → $ 5 B → $ 3
2 ( A − 2) = B + 2 2A− B= 6
B = 20 sol : A → 30 Años B → 20 Años 5.
8 A + 6 = ( B + 6) 5
2A− B = 6
5 ( A + 6) = 8 ( B + 6)
− A+ B= 4 2A− B= 6
5 A − 8 B = 18
= 10 A 10 − B = − 4 − B = − 14 B = 14 sol : A → 10 soles B → 14 soles
− 4 A + 8 B = 24 5 A − 8 B = 18 = 42
A
B = 24 sol : A → 42 Años
P− J = 6
4 ( J − 3) = P + 3 P − 4 J = − 15
(− 1)
P − 4 J = − 15 − P+ J = − 6 P − 4 J = − 15 − 3J = − 21 J=7
B → 24 Años 6.
A − 5=
3 (B − 5) 2
9y 5
3 ( x + 4) = y + 4 5 3x + 12 = 5 y + 20 3x − 5 y = 8 5x − 9 y = 0 ( 3)
3x − 5 y = 8 (− 5) 15x − 27 y = 0 − 15x + 25y = − 40 y = 20 9 x = (20) 5 x = 9 ( 4) x = 36 sol : 36 Años → tiene el hom bre 20 Años → tiene la esposa
5 ( A + 35) = B − 35 17 5 A + 175 = 17 B − 595 5 A − 17 B = − 770 A− B =
50
2 ( A − 5) = 3( B − 5)
5 A − 17 B = − 770
2 A − 3B = − 5 7 ( A + 10) = B + 10 9
− 5 A + 5 B = − 250
7 ( A + 10) = 9 ( B + 10) 7 A − 9 B = 20
(− 3)
P − 7 = 6 ⇒ P = 13
2 A − 3B = − 5
sol : Pedro → $ 13
7 A − 9 B = 20 Continúa
Juan → $ 7
B = 25 sol : A → 35 Años B → 25 Años
8. A − 25 = B + 25 A − B = 50
42 − 2 B = − 6 − 2 B = − 48
P − 3= J + 3
6
(− 4 )
A − 2B = − 6 5 A − 8 B = 18
3. P → Pedro J → Juan
P− J =
A − 6 = 2 ( B − 6) A − 2B = − 6
(− 1)
A − B= −4
= 35
A
2 ( 35) − 3B = − 5 70 − 3B = − 5
x=
30 − 2 B = − 10 − 2 B = − 40
2. B − 2 = A + 2 A− B = − 4
7 A − 9 B = 20
7. x → Edad Hombre y → Edad Esposa
= 30
A
6. Continuación − 6 A + 9 B = 15
(− 5)
5 A − 17 B = − 770 − 12 B = − 1. 020 B = 85 A − 85 = 50 A = 135 sol : A → 135 Lempiras B → 85 Lempiras
9. x → Edad padre y → Edad hijo 1 ( x − 6) = y − 6 5 x − 6 = 5 y − 30 x − 5y = − 24 2 ( x + 9) = y + 9 5 2 x + 18 = 5y + 45 2 x − 5y = 27
10. P + 15 = 5 ( J − 15) P − 5 J = − 90
3 ( P − 20) = J + 20 3 P − J = 80
P − 5 J = − 90 (− 3) 3P − J =
− x + 5y = 24 2 x − 5y = 27
80
− 3 P + 15 J = 270 3 P − J = 80
x − 5y = − 24 (− 1)
2 x − 5y = 27
11.
B B + 60 = 4 B − − 60 2 2 2 A + B + 120 = 8B − 4 B − 480 2 A + B + 120 = 4 B − 480 2 A − 3B = − 600 B + 80 − 310 = A − 80 B − 230 = A − 80 A − B = − 150 2 A − 3B = − 600 A+
14 J = 350
A − B = − 150
J = 25
(− 2)
2 A − 3B = − 600 − 2 A + 2 B = 300
3 P − 25 = 80 3 P = 105
P = 35 = 51 x sol : 35 cts. → tenia Pedro 51 − 5 y = − 24 25 cts. → tenia Juan − 5 y = − 75 y = 15 sol : 51 Años → Edad padre 15 Años → Edad hijo
B = 300 A − 300 = − 150 A = 150 cts. sol : $ 1, 50 → tiene A $ 3 → tiene B
12. x → Edad de Enrique y → Edad hermana 3 x − 6 = ( y − 6) 2 2 x − 12 = 3 y − 18 2 x − 3y = − 6 4 ( x + 6) = 5 ( y + 6) 4 x + 24 = 5 y + 30 4 x − 5y = 6
2 x − 3 y = − 6 (− 2 ) 4 x − 5y = 6 − 4 x + 6 y = 12 4 x − 5y = 6 y = 18 2 x − 3 (18) = − 6 2 x − 54 = − 6 2 x = 48 x = 24 sol : 24 Añ. → Ed . Enrique 18 Añ. → Ed . herm.
EJERCICIO 201 1. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. del rio x + y → Veloc. bote a favor del agua x − y → Veloc. bote contra la corriente 10 =1 x+y x + y = 10 4 =1 x−y x−y=4 x + y = 10 x−y= 4
= 14 x=7 7−y=4 y=3 sol: 7 Km 2x
2. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. del rio x + y → Veloc. bote a favor del agua
x − y → Veloc. bote contra agua 28 7 = x+y 4 7x + 7y = 112 x + y = 16 24 =3 x−y 3x − 3y = 24 x−y=8 x + y = 16 x−y= 8 = 24 x = 12 12 − y = 8 y=4 sol: 12 Km 2x
h → Veloc. bote agua tranq.
3 Km h → Veloc. del rio
h → Bote
4 Km h → Rio
3. x → Tiempo ida y → Tiempo vuelta
x+ y=5 8 12 = x y 12 x − 8 y = 0 x + y = 5 (8) 12 x − 8 y = 0 8 x + 8 y = 40 20 x
= 40 x=2
12 ( 2) − 8 y = 0 − 8 y = − 24 y=3 sol : 2h → Tiempo ida 3h → Tiempo vuelta
4. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. rio x + y → Veloc. bote a favor
de la cte x − y → Veloc. bote en contra de la cte 40 5 = x+y 2 5x + 5y = 80 x + y = 16 40 =5 x−y 5x − 5y = 40 x−y=8 x + y = 16 x−y= 8 = 24 ⇒ x = 12 12 − y = 8 ⇒ y = 4 sol: 12h → Veloc. bote 4h → Veloc. rio 5. x → tiempo ida y → tiempo vuelta 2x
x+ y=6 20 40 = x y 40 x − 20 y = 0 2x − y = 0 x+ y=6 2x − y = 0 3x
=6
6. x → tiempo ida y → tiempo vuelta
⇒ x=2
z → Pr ecio kilo fríjoles 5x + 3 y + 4z = 1, 18 4 x + 5 y + 3z = 1, 45 2 x + y + 2 z = 0 , 46 5x + 3 y + 4z = 1, 18
(− 3)
4 x + 5 y + 3z = 1, 45 ( 4) Continúa
z → N º menor x+ y z − 1= 3 3z − 3 = x + y x + y − 3z = − 3 x + y + z = 37 y − z = x − 13 x − y + z = 13
2 x + 2 y = 10 3x − 2 y = 0 5x
= 10
x=2 2+ y = 5 y=3 sol : 2h → tiempo ida 3h → tiempo vuelta Entonces 32 Km = 16 Km h → Veloc. rio abajo 2h
x + y + z = 37 x + y − 3z = − 3
− 4 z = − 40 z = 10 x + y + z = 37 x − y + z = 13 2x
h → Veloc. bote
6 Km h → Veloc. rio 2. Continuación
− 15x − 9 y − 12 z = − 3 , 54 16 x + 20 y + 12 z = 5 , 80 x + 11y
= 2 , 26
4 x + 5 y + 3z = 1, 45 2 x + y + 2 z = 0 , 46
+ 2 z = 50
2 x + 2 (10) = 50 2 x = 30 x = 15 15 + y + 10 = 37 y + 25= 37 y = 12 sol: 15 , 12 , 10
= 20
x = 10 10 + y = 16 y= 6 sol :10 Km
(− 1)
− x − y − z = − 37 x + y − 3z = − 3
12 Km = 4 Km h → Veloc. rio arriba 3h Luego x → Veloc. bote y → Veloc. rio x + y = 16 x− y= 4
sol : 2h → tiempo ida 4h → tiempo vuelta 2. x → Pr ecio kilo azúcar y → Pr ecio kilo café
1. x → N º mayor y → N º medio
x + y = 5 ( 2) 3x − 2 y = 0
2x
2 ( 2) − y = 0 − y= −4 ⇒ y=4
EJERCICIO 202
x+ y=5 8 12 = x y 12 x − 8 y = 0 3x − 2 y = 0
( 2)
(− 3)
8 x + 10 y + 6z = 2 , 90 − 6 x − 3 y − 6z = − 1, 38 Continúa
2. Continuación
2. Continuación = 1, 52 2x + 7 y
x + 11y = 2 , 26
(− 2)
2 x + 7 y = 1, 52 − 2 x − 22 y = − 4 , 52 2 x + 7 y = 1, 52 − 15 y = − 3 1 5 y = 0,2 y=
Continúa
2 x + 7 (0 , 2) = 1 , 52 2 x + 1 , 4 = 1 , 52 2 x = 0 , 12 x = 0 , 06
2 (0 , 06) + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46 0 , 12 + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46 2 z = 0 , 14 z = 0 , 07 sol : 6 cts. → Kilo Az. 20 cts. → Kilo café 7 cts. → Kilo fríjoles
3. x → Cifra centenas y → Cifra decenas
z → Cifra unidades x + y + z = 15
2 x + 2 y − 3z = 0 99 x − 99 z = 99 x− z=1
(− 2)
2 x + 2 y − 3z = 0 − 2 x − 2 y − 2 z = − 30 0
− 5z = − 30 z=6 x − 6= 1 x=7 7 + y + 6 = 15 y + 13 = 15 y= 2
sol : 726
4. x → N º mayor y → N º medio
= 135 x = 45 2 x + 6 y + 9 z = 702 3x
8
2 x + 6 y + 9 z = 702 18 x − 9 y − 9 z = 72 = 774
Continúa
x + y + z = 6 ( 31) 59 x − 31y + z = 0 31x + 31y + 31z = 186 59 x − 31y + z = 0 + 32z = 186 45x + 16z = 93
(− 45)
( 9)
x y z + + = 15 8 9 5 45x + 40 y + 72 z = 5. 400 z + x = 65 x + y + z = 110 + z = 65 (− 1)
x
45x + 16z = 93
x + y + z = 110 −x − z = − 65
− 45x + 45z = 90 45x + 16z = 93
y = 45 45x + 40 y + 72 z = 5. 400
61z = 183 z=3 x − 3= − 2 x=1 1+ y + 3= 6 y+ 4= 6 y=2 sol : 123
y+ z 2 2x − 8 = y + z 2x − y − z = 8 x + y + z = 127 2x − y − z = 8
20 x − 3 y
z → Cifra unidades x+ y+ z= 6 sol: 80! , 55! , 45! 100 x + 10 y + z = 41 x+ y 100 x + 10 y + z = 41x + 41y 59 x − 31y + z = 0 7. x → N º de vacas 100 x + 10 y + z + 198 = 100z + 10 y + x y → N º de caballos 99 x − 99z = − 198 z → N º de terneros x− z= − 2 x + y + z = 110
x − z =−2
x− 4=
= 160 x = 80 80 − z = 35 z = 45 80 + y + 45 = 180 y + 125 = 180 y = 55 2x
5. x → Cifra centenas y → Cifra decenas
90x
z → N º menor x + y + z = 127 z y x + + = 39 2 3 9 2 x + 6 y + 9 z = 702
2x − y − z =
z − 20 = x − y x − y − z = − 20 x + y + z = 180 x − y − z = − 20
900 − 3 y = 774 − 3 y = − 126
z = 40 sol: 45 , 42 , 40
100 x + 10 y + z − 99 = 100z + 10 y + x
2 x + 2 y − 3z =
6. Continuación
20 (45) − 3 y = 774
y = 42 45 + 42 + z = 127
3z 2 2 x + 2 y = 3z x+ y=
x + y + z = 15
4. Continuación
6. x → Angulo mayor y → Angulo medio z → Angulo menor x + y + z = 180 x − 35 = z x − z = 35 Continúa
x
+ z =
65 (− 45)
45x + 40 y + 72 z = 5. 400 − 45x − 45z = − 2 . 925 40 y + 27 z = 2 . 475 40 (45) + 27 z = 2 . 475 1. 800 + 27z = 2 . 475 27 z = 675 z = 25 x + 45 + 25 = 110 x + 70 = 110 x = 40 sol : 40 vacas ; 45 caballos ; 25 terneros
8. x → Cifra centenas y → Cifra decenas
z → Cifra unidades x + y + z = 10 x+ y− 4= z x+ y− z= 4 x + z − 6= y x− y+ z= 6 x + y + z = 10
x + y − z = 4 (− 1) x + y + z = 10 − x− y+ z= − 4 2z = 6 z= 3 x + y + z = 10 + 2 z = 16 x+ z=8
A 2 A − 2C = 0 A − 10 = B C=
A − B = 10 A + B + C = 140 = 10 A− B 2A
+ C = 150
100z + 10 y + x =
3. 993x − 660 y − 10 . 659 z = 0 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0 100 x = 300 x=3 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0
2 A + C = 150 ( 2)
x
x=5 5 + y + 3 = 10
= 300 A = 60
sol : 523 11.
9. x → Angulo mayor y → Angulo medio
z → Angulo menor x + y + z = 180 x + y = 135 y + z = 110 x + y + z = 180 y + z = 110
(− 1)
x + y + z = 180 − y − z = − 110 = 70 x 70 + y = 135 y = 65 70 + 65 + z = 180 135 + z = 180 z = 45 sol : 70! , 65! , 45!
y
+
z
= 6 (220) 0
220 x + 220 y + 220z = 1. 320 1.551x
− 3. 333z = 1. 320
1.551( 3) − 3. 333z = 1. 320 4 . 653 − 3. 333z = 1. 320 z=1 3 + y + 1= 6 y+ 4= 6 y=2
A − 1= C + 1 A− C= 2 B − 1= C B− C=1 A + 5 = 2C A − 2C = − 5 − C= 2 A B− C= 1 A + B − 2C = 3 A + B − 2C = 3 A
+
1. 331x − 220 y − 3.553z =
A − 2C = 0 4 A + 2C = 300 A − 2C = 0 5A
41(100 x + 10 y + z )
107 10 . 700z + 1. 070 y + 107 x = 4 .100x + 410 y + 41z
B = 50 sol : A → 60bs. B → 50bs. C → 30bs.
x + 3= 8
y=2
12. x + y + z = 6
2 ( 60) + C = 150 C = 30 60 + B + 30 = 140
x− y+ z= 6 2x
10. A + B + C = 140
− 2C = − 5 (− 1)
A + B − 2C = 3 −A + 2C = 5 =8 B 8− C =1 C= 7 A− 7= 2 A= 9 sol : A → $ 9 B → $8 C → $ 7
sol :
321
13. A − 2 = B + 2 A− B= 4
B − 1= C + 1 B− C= 2 8 A= C 5 5 A − 8C = 0 =4 A− B B−C= 2 A
−C= 6
A− C = 6
(− 8)
5 A − 8C = 0 − 8 A + 8C = − 48 5 A − 8C = 0 − 3A
= − 48 A = 16 16 − B = 4 B = 12 12 − C = 2 C = 10 sol : A → 16Q B → 12Q C → 10Q
14. x → Cifra centena y → Cifra decena
15.
z → Cifra unidades 100 x = 400 x= 4 x+ y+ z= 9
16 (100x + 10 y + z ) 49 4 . 900z + 490 y + 49 x = 1. 600 x + 160 y + 16z 1.551x − 330 y − 4 .884z = 0 517 x − 110 y − 1. 628z = 0 517 x − 110 y − 1. 628z = 0 100z + 10 y + x =
x +
+
y
= 9 (110)
z
5A
517 x − 110 y − 1. 628z = 0 110 x + 110 y + 110z = 990
5 A − 7C =
627 ( 4) − 1.518z = 990 2 .508 − 1.518z = 990 − 1.518z = − 1.518 z=1 4 + y + 1= 9 y + 5= 9 y=4 sol : 441
15. Continuación
C = 10 5 A − 7 (10) = 5 5 A = 75 A = 15 2 (15) + B − 10 = 32 B + 20 = 32 B = 12 sol : 15 , 12 10
− 7C = 5 3 A − B − 6C = − 27 A + B − 3C = − 3 4A
− 1.518z = 990
627 x
2 A + B = C + 32 2 A + B − C = 32 B + 2C = A + 9 3 B + 6C = 3 A + 27 3 A − B − 6C = − 27 A+ B = C−1 3 A + B = 3C − 3 A + B − 3C = − 3 2 A + B − C = 32 3 A − B − 6C = − 27
5
− 9C = − 30
(− 4)
4 A − 9C = − 30 (5)
− 20 A + 28C = − 20 20 A − 45C = − 150 − 17C = − 170
EJERCICIO 203 1. x → Ancho y → L arg o
2 ( x + y ) = 18
4 y = 5x 5x − 4 y = 0 x + y = 9 ( 4) 5x − 4 y = 0 4 x + 4 y = 36 5x − 4 y = 0 9x
= 36
x=4 4+ y= 9 y=5 sol : 5m ⋅ 4m 2.
A = 2B A − 2B = 0 A − 12 = B + 12 A − B = 24 Continúa
2. Continuación A − 2B = 0
3. Continuación
A − B = 24
− 3x + 2 y = 25
(− 1)
x + y = 25 ( 3)
0
3x + 3 y = 75
− A + B = − 24
− 3x + 2 y = 25
A − 2B =
B = 24 A − 24 = 24 A = 48 sol : A → 48 balboas B → 24 balboas 3. x → Ancho y → L arg o
(x + 1)( y + 1) = 26 + xy
xy + x + y + 1 = 26 + xy x + y = 25
(x + 2)( y − 3) = 19 + xy
xy − 3x + 2 y − 6 = 19 + xy − 3x + 2 y = 25 Continúa
5 y = 100 y = 20 x + 20 = 25 x=5 sol : 20m ⋅ 5m 4. x → Pr ecio carro y → Pr ecio caballo z → Pr ecio arreos x + y + z = 200 x + z = y + 20 x − y + z = 20 y + z = x + 40 x − y − z = − 40 Continúa
4. Continuación x + y + z = 200 x − y − z = − 40
= 160 x = 80 x + y + z = 200 x − y + z = 20
2x
2x + 2z = 220 x + z = 110 80 + z = 110 z = 30 80 + y + 30 = 200 y + 110 = 200 y = 90 sol:$ 80 → Costo carro $ 90 → Costo caballo $ 30 → Costo arreos
5. x → 1er Número y → 2º Número
z → 3er Número x + y = z + 18 x + y − z = 18 x + z − 78 = y x − y + z = 78 y + z = x + 102 x − y − z = − 102 x + y − z = 18 x − y + z = 78 = 96 x = 48 x − y + z = 78 x − y − z = − 102
7 (0 , 3) + 6 y = 4 , 8
x − y = 25 x + y = 55 2x
2 ,1 + 6 y = 4 , 8 6y = 2 , 7 y = 0 , 45
= 80 x = 40
40 − y = 25 y = 15 sol: 40 Km h → Veloc. del pájaro tranq.
6. x → Cifra decenas y → Cifra unidades x+y=6 10x + y − 36 = 10y + x 9x − 9y = 36 x−y=4 x+y=6 x−y=4
= 10 x=5 5+ y =6 y =1 sol: 51 2x
7. x → Veloc. pájaro y → Veloc. viento x + y → Veloc. pájaro a favor
x − y → Veloc. pájaro contra 55 =1 x+y x + y = 55 25 =1 x−y Continúa
− 5 y = − 90 y = 18
xy = ( x + 5)( y − 2) xy = xy − 2 x + 5 y − 10
2 x − 5y = − 10
xy = ( x − 5)( y + 4) xy = xy + 4 x − 5 y − 20
(− 1)
2 x − 5 y = − 10 = − 30 x = 15
2 (15) − 5 y = − 10 30 − 5y = − 10 − 5y = − 40 y=8 sol : 15 → Libros compró $ 8 → cos tó c / u 9. x → Pr ecio kilo café y → Pr ecio kilo té
7 x + 6y = 4 ,8
(− 9)
8 x + 9 y = 6 , 45 (6)
− 63x − 54 y = − 43 , 2 48 x + 54 y = 38 , 7 − 15x
= − 4 ,5 x = 0,3 Continúa
x + 18 = 50 x = 32 sol : 32 → trajes de $ 40 18 → trajes de $ 35 11. x → Numerador
− 4 x + 5 y = − 20 − 2x
50 (− 40)
− 40 x − 40 y = − 2 . 000 40 x + 35 y = 1. 910
8. x → N º de libros y → Pr ecio de c / u
4 x − 5 y = 20
10. x → trajes de $ 40 y → trajes de $ 35
40 x + 35 y = 1. 910
viento
4 x − 5y = 20 2 x − 5 y = − 10
sol : 30 cts. → Costo kilo café 45 cts. → Costo kilo té
x + y =
15 Km h → Veloc. del
2x
2x − 2y = − 24 x − y = − 12 48 − y = − 12 y = 60 48 + 60 − z = 18 108 − 18 = z 90 = z sol: 48 , 60 , 90
9. Continuación
7. Continuación
y → Deno min ador x −1 1 = y 3 3x − 3 = y 3x − y = 3 x 1 = y−2 2 2x = y − 2 − 2x + y = 2 3x − y = 3 − 2x + y = 2 x
=5
3 (5) − y = 3 − y = − 12 y = 12 12. x → 1a bolsa
y → 2a bolsa x + y = 200 x − 15 = y + 15 x − y = 30 Continúa
sol :
5 12
12. Continuación x + y = 200 x − y = 30
15. x → N º de personas y → Pr ecio c / u
17. Continuación 5x − 6y = 0
xy = ( x + 10)( y − 5)
= 230 x = 115 115 + y = 200 y = 85
xy = xy − 5x + 10 y − 50 5x − 10 y = − 50 x − 2 y = − 10
sol: 115 soles → 1a bolsa
xy = xy + 5x − 6 y − 30 5x − 6 y = 30 5x − 6 y = 30
2x
85 soles → 2a bolsa 13. x → Pr ecio caballo y → Pr ecio coche
x + 20 = 3 y x − 3 y = − 20 3x 20 + y = 5 3x = 100 + 5 y 3x − 5 y = 100
x − 3 y = − 20 (− 3)
3x − 5 y = 100 − 3x + 9 y = 60 3x − 5 y = 100 4 y = 160 y = 40 x − 3 ( 40) = − 20 x = 100 sol : 100 soles → Costó el caballo 40 soles → Costó el coche 14. x → Cifra decenas y → Cifra unidades
10 x + y = 6 ( x + y) 10 x + y = 6 x + 6 y 4 x − 5y = 0
10 x + y − 9 = 10 y + x 9x − 9 y = 9 x− y=1 4 x − 5y = 0 x − y =1
(− 5)
4 x − 5y = 0 − 5x + 5 y = − 5 −x
= −5 x=5
5− y = 1 y= 4
sol : 54
xy = ( x − 6)( y + 5)
x − 2 y = − 10
(− 3)
5x − 6 y = 30 − 3x + 6 y = 30 = 60 x = 30
2x 30 − 2 y = − 10 − 2 y = − 40
y = 20 sol : 30 → Personas 20 bs. → c / u
− 6x + 6y = − 60 −x
= − 60 x = 60
60 − y = 10 y = 50 sol: $ 60 → gané ayer $ 50 → gané hoy er 18. x → 1 nùmero y → 2º nùmero
x 3 = y 5 x − 10 1 = y − 10 2 5x − 3 y = 0
2 x − y = 10 (− 3)
5x − 3 y = 0 − 6 x + 3 y = − 30
16. A + B = 1. 080
2A B = B− 5 4 20 A − 8 A = 20 B − 5B 12 A − 15B = 0 4 A − 5B = 0
−x
A−
A + B = 1. 080 (5) 4 A − 5B = 0 5 A + 5B = 5. 400 4 A − 5B = 0 9A
= 5. 400 A = 600
600 + B = 1. 080 B = 480 sol : A → 600 sucres B → 480 sucres 17. x → gané ayer y → gané hoy
y + 10 = x 5x y= 6 5x − 6 y = 0 5x − 6 y = 0 x − y = 10 Continúa
= − 30 x = 30
2 (30) − y = 10 60 − y = 10 y = 50 sol : 30 , 50
19. A + 4 = B − 4 A− B= −8
9 ( A − 4) 5 5B + 20 = 9 A − 36 9 A − 5B = 56 B+ 4=
A − B = − 8 (− 5)
9 A − 5B = 56 − 5 A + 5B = 40 9 A − 5B = 56 = 96 A = 24 24 − B = − 8 B = 32 sol : A → 24 lempiras B → 32 lempiras 4A
(− 6)
20. A − 20 = 2 ( B − 20)
A − 2 B = − 20 9 (B + 30) 7 7 A + 210 = 9 B + 270 A + 30 =
7 A − 9 B = 60 A − 2 B = − 20
(− 7 )
7 A − 9 B = 60
21. Continuación 12 + y = 16 y=4
sol: 12 Km h → Veloc. bote 4 Km h → Veloc. rio 22.
− 7 A + 14 B = 140 7 A − 9 B = 60 5B = 200 B = 40 A − 2 ( 40) = − 20
A − 2 B = 15 (− 5)
A − 80 = − 20
5 A − 9 B = 90 − 5 A + 10 B = − 75
A = 60 sol : A → 60 Años B → 40 Años 21. x → tiempo ida y → tiempo vuelta x+y=3 4 8 = x y 8x − 4y = 0 2x − y = 0 x+y=3 2x − y = 0 3x
=3 x =1
A B − 2= 9 5 5 A − 90 = 9 B 5 A − 9 B = 90 2 B = A − 15 A − 2 B = 15 5 A − 9 B = 90
B = 15 A − 2 (15) = 15 A − 30 = 15 A = 45 sol : A → 45 Años B → 15 Años 23.
5A − 4B = 4 7 A − 2 = 6B 7 A − 6B = 2
2y = 10 y=5 x+5=6 x =1 sol: 15
25. x → L arg o y → Ancho
2 ( x + y ) = 58
2 x + 2 y = 58 x + y = 29
(x + 2)( y − 2) = xy − 46
xy − 2 x + 2 y − 4 = xy − 46 − 2 x + 2 y = − 42 x − y = 21 x + y = 29 x − y = 21 2x
= 50 x = 25
25 + y = 29 y=4 sol : 25 m ⋅ 4m
5 A − 4 B = 4 (6)
(− 4)
7 A − 6B = 2
Si 1h → tiempo de ida 2 h → tiempo de vuelta Entonces 16 Km = 16 Km h → Veloc. a favor 1h 16 Km = 8 Km h → Veloc. en contra 2h Luego x → Veloc. del bote y → Veloc. delrio x + y = 16 x−y= 8
− 28 A + 24 B = − 8
= 24 x = 12 Continúa
−x+y=4 x+y=6
5A − 4 = 4B
1+ y = 3 y=2
2x
24. Continuación
30 A − 24 B = 24 2A
= 16 A= 8
26. x → L arg o y → Ancho 2 x + 2 y = 56
x + y = 28
( y − 2)(x + 2) = xy
5(8) − 4 B = 4 40 − 4 B = 4 − 4 B = − 36 B= 9 sol : A → 8 Km B → 9 Km 24. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades y−x=4 10x + y + 10y + x = 66 11x + 11y = 66 x+y=6 Continúa
xy + 2 y − 2 x − 4 = xy 2x − 2 y = − 4 x− y= −4 x + y = 28 x− y= − 4 2x
= 24 x = 12
12 + y = 28 y = 16 sol : 16 m ⋅ 12 m
EJERCICIO 204 1. m = 6 n = 3 3 3 3
A6 = 6 ⋅ 5 .... (6 − 3 + 1) A6 = 6 ⋅ 5⋅ 4 A6 = 120
2. P5 = 5!
P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P5 = 120
9. P 5 − 1 = P 4
P4 = 4 !
P 3 = 3!
P4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2
P 3 = 3⋅ 2
P4 = 24
P 3 =6
10. P 6 = 6! P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P6 = 720
3. m = 7 n = 5
A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 5 + 1) = P5 5! ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7 6 5 4 3 5 C7= 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 . 520 2 5 C7= 120 5 C 7 = 21 5
5
C7=
4. m = 6
n= 2
A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 2 + 1)
2 2
A 6 = 6⋅ 5
2
A 6 = 30
5. m = 5 n = 3
A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
3 3
A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3
3
A 5 = 60
6. m = 12 n = 5
16. P 5 − 2 = P 3
11. Siendo el 1º P 6 = 6!
P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
17. m = 5 n = 3 3
A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
3
A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3
3
A 5 = 60
18. P 11− 1 = P 10
P6 = 720
P 10 = 10!
sin lugar fijo P 7 = 7!
P 10 = 3 . 628 . 800
P 10 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
P 7 = 7P 6 P 7 = 7 ⋅ 720 P 7 = 5 . 040 12. En un banco P 6 = 720
En una mesa redonda P 6 −1 = P 5 P 5 = 5! P 5 = 120
A 12 12 ⋅ 11.... (12 − 5 + 1) = 13. m = 9 n = 3 P5 5! 3 A 9 = 9 ⋅ 8 ....(9 − 3 + 1) 12 ⋅11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
19. m = 8 n = 3
C8=
3
C8=
3
C 8 = 4⋅7⋅2
3
C 8 = 56
5
C 12 = C 12 =
5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1
5
C 12 = 3⋅11⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
5
C 12 = 792
7. P 7 = 7! P 7 = 7⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2
P 7 = 5 . 040 8. m = 7 n = 4
A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 4 + 1) = P4 4!
4 4
C7=
4
C7=
4
C 7 = 7 ⋅5
4
C 7 = 35
7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1
3
A 9 = 9 ⋅ 8⋅ 7
3
A 9 = 504
14. P 4 − 1 = P 3
P 3 = 3!
8⋅ 7 ⋅ 6 3⋅ 2
20. m = 6
n= 3
5
A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 3 + 1)
5
A 6 = 6 ⋅ 5⋅ 4
5
A 6 = 120
5
5
A 8 8 ⋅ 7 .... (8 − 3 + 1) = P3 3!
3 3
21. Palabras dist int as
P 8 = 8! P 8 = 8⋅7 ⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2 P 8 = 40 . 320
P 3 =6 15. m = 5 n = 3
Vocales fijas P 5 = 5!
P 5 = 120 A 5 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1) = P3 3! 22. P 5 − 1 = P 4 ⋅ ⋅ 5 4 3 3 C5= 3⋅ 2 P 4 = 4! 3 C 5 = 5⋅ 2 P 4 = 4 ⋅3⋅2 3 P 4 = 24 C 5 = 10 3
3
C5=
EJERCICIO 205 1.
(4a 2 )2 = 16a 4 (
11.
)
3
2. − 5a = − 125a 3
12.
( )
2
4 2
2 3 3
6.
(4a b c ) = 64a b c
6 9 12
(− 6x y ) = 36x y 8. (− 7ab c ) = − 343a b c 4 5 2
7.
8 10
3 4 3
9.
3 9 12
(a mbn )x = a mxbnx
10.
(− 2 x y z ) = 16x 3 5 6 4
3 4
2
2
4
2ab 2 16a 4b8 = 81m12 3m3
15.
20. −
8 4 12
5
2
6 9
2 3 4 3
3x 2 9x4 = 19. − 4 y 16 y 2
9 3
(a 2b3c)m = a 2mb3mcm
13.
(− 6a b) = 36a b 5. (− 2 x y ) = − 8 x y 2
3
3
(− m nx ) = m n x 14. (− 3a b) = − 243a b
3
3. 3xy = 27 x 3 y 3 4.
(− 3m n) = − 27m n
10 5
(7 x y z ) = 49 x 5 6 8 2 2
5
2m3n 32m15n5 = 243x 20 3x 4
21.
10 12 16
y z
2
3a 3b 2 9a 6b 4 = 22. − 4 16
x x = 2 16. − 2y 4y 2
8m 2m 17. − 2 = − 6 n n 3
4
mn2 m4 n8 = 3 81
3
23. −
5
a 2b 4 a 10b 20 =− 2 32
3
12 20 24
y z
ab2 a 3b 6 = 18. 125 5
24. −
EJERCICIO 206 7. ( xy − a b )
5 4 1. (a + 7b )
2 2 2
2
= a 10 + 2a 5 (7b 4 ) + 49b8 = a + 14a b + 49b 10
(
5 4
2. 3x − 5xy 4
8
)
3 2
= 9 x 8 − 2 (3x 4 ) (5xy 3 ) + 25x 2 y 6 = 9 x 8 − 30 x 5 y 3 + 25x 2 y 6
(
3. a b − a 2 3
)
5 2
= a 4b 6 − 2a 2b 3 (a 5 ) + a 10 = a 4b 6 − 2a 7b 3 + a 10
(
4. 7 x − 8 x y
)
= 49 x − 2 (7 x 5 )(8x 3 y 4 ) + 64 x 6 y 8 10
(
)
2 3 2
5. 9ab + 5a b
= 81a 2b4 + 2 (9ab 2 )(5a 2b 3 ) + 25a 4b 6 = 81a 2b4 + 90a 3b5 + 25a 4b 6
(
2 3
)
3 2 2
6. 3x y − 7 x y
2
x 2y 8. 2 + 3 =
2 2
4 4
2 x2 x 2y 4y + 2 + 2 3 4 9
3a 2b − 5 2
=
2
= 9 x 4 y 6 − 2 (3x 2 y 3 )(7 x 3 y 2 ) + 49 x 6 y 4 = 9 x 4 y 6 − 42 x 5 y 5 + 49 x 6 y 4
=
a 5 3a 3b 7 9a 6b14 a10 − 2 + 81 49 9 7
a10 2a 8b 7 9a 6b14 − + 81 21 49 2 2m4 5n 3 12. 5 − 4 =
2 2
4m8 25n 6 − m4 n 3 + 25 16 2 x y2 13. + 3 4 =
4
9a 3a b 4b − + 16 5 25
5x 3 3xy 2 + 10. 6 5
2m4 5n 3 25n 6 4m8 − 2 + 25 16 5 4
=
2
3a 2 2b 2 4b 4 9a 4 − 2 + 16 4 5 25 4
2
=
2
x 2 2 xy 4 y 2 = + + 4 3 9
= 49 x10 − 112 x 8 y 4 + 64 x 6 y 8 2
=
= x y − 2a b xy + a b 2
9. 4
3 4 2
5
= x 2 y 2 − 2 (xy )(a 2b 2 ) + a 4b 4
a 5 3a 3b 7 − 11. 9 7
2
=
5x 3 3xy 2 9 x 2 y 4 25x 6 + 2 + 36 25 6 5
=
25x 6 9 x2 y4 + x4 y2 + 36 25
2 4 x2 x y y + 2 + 3 4 16 9
x 2 xy 2 y 4 + + 9 6 16 2 2 x 3y − 14. 3 5 =
=
2 4x2 2 x 3y 9 y − 2 + 3 5 25 9
=
4 x 2 4 xy 9 y 2 − + 9 5 25
a 3 4a 2 + 15. 8 7b =
2
5x 7 3 y 6 5x 7 3 y 6 9 y12 25x14 2 − = − 4 + 36 y 8 6 y 4 10 x 2 6 y 10 x 2 100 x 4
17.
a 3 4a 2 16a 4 a 6 a 5 16a 4 a6 + 2 = + + + 8 7b 49b 2 64 7b 49b 2 64
3 2x4 16. 2 x − 3 =
2
=
25x 14 x 5 y 2 9 y12 − + 36 y 8 2 100 x 4
2
3a 6 4a 2 3a 6 4a 2 16a 4 9a12 − 5 = − 2 + 9b 64 8 9b5 81b10 8
2
18.
4 8 9 9 4 x8 3 2x 4x = 2 − 2x3 + + 2 − 2 2x 3 4x 9 4x 9
=
9a12 a 8 16a 4 − + 64 3b5 81b10
EJERCICIO 207
(2a + 3b) = 8a + 3(4a )(3b) + 3 (2a ) (9b ) + 27b = 8a + 36a b + 54ab + 27b 2. (4a − 3b ) = 64a − 3 (16a )(3b ) + 3 ( 4a ) (9b ) − 27b = 64a − 144a b + 108ab − 27b 3. (5x + 6 y ) = 125x + 3 (25x ) (6 y ) + 3 (5x ) (36 y ) + 216 y = 125x + 450 x y + 540 x y + 216 y 4. (4 x − 3xy ) = 64 x − 3 (16 x ) (3xy ) + 3(4 x ) (9 x y ) − 27 x y = 64 x − 144 x y + 108 x y − 27 x y 5. (7a − 5a b ) 3
1.
3
2 3
2
2
3
3 3
3
2 3
4
2 3 3
2
2
3
2
6
4
9
6
3
4
3
2
2
6
6
3
2
2 4
2
3
9
3 6
3
2 2
6
4
4 3
9
7 2
6
2 6
5 4
9
3 6
= 343a12 − 3 (49a 8 )(5a 2b 3 ) + 3 (7a 4 )(25a 4b 6 ) − 125a 6b 9 = 343a12 − 735a10b 3 + 525a 8b 6 − 125a 6b 9
(a + 9a x ) = a 7. (8 x − 7 x y ) 5 4 3
8
6.
4
24
+ 3 (a 16 )(9a 5 x 4 ) + 3(a 8 )(81a 10 x 8 ) + 729a15 x12 = a 24 + 27a 21 x 4 + 243a 18 x 8 + 729a 15 x12
2 4 3
= 512 x12 − 3(64 x 8 )(7 x 2 y 4 ) + 3(8 x 4 )(49 x 4 y 8 ) − 343x 6 y12 = 512 x12 − 1. 344 x10 y 4 + 1.176 x 8 y 8 − 343x 6 y12
8.
(3a b − 5a b ) 2
3 2 3
= 27a 6b 3 − 3 (9a 4b2 )(5a 3b2 ) + 3 (3a 2b)(25a 6b 4 ) − 125a 9b 6 = 27a 6b 3 − 135a 7b 4 + 225a 8b5 − 125a 9b 6
4 6 3 2 2 4 6 a 2 2b 2 1 2b 2 a 3 a 4b 8b a a b 2ab 8b = + + + a+ + + 3 = + 3 2 9 27 8 3 8 2 3 27 4 3 2 3
9.
3a 2 16b4 64b 6 27a 6 27a 4b 2 36a 2b 4 64b 6 9a 4 4b 2 3a 2 4b 2 27a 6 = − + − − 3 − − + 3 = 5 64 64 20 25 125 4 25 125 16 5 4 3
10.
5a 2b 3b 4 11. 6 − 10 =
25a 4b 2 3b 4 5a 2b 9b8 27b12 125a 6b 3 5a 4b 6 9a 2b 9 27b12 125a 6b 3 − 3 = − + − + 3 − 216 216 8 40 1. 000 36 10 6 100 1. 000
7 x5 4 y6 12. 8 − 7 =
3
3
49 x10 4 y 6 7 x 5 16 y12 64 y 18 343x15 21x10 y 6 6 x 5 y 12 64 y18 343x15 − 3 = − + + + 3 + 512 512 16 7 343 64 7 8 49 343
x 2 3 y x 9 y 2 27 y 3 x 3 x 3y x3 9 27 y 27 y 3 + + 6 + 2 = 3 + 3 2 2 + 3 4 + 6 = 3 + 13. x 8y 4 y 2 x3 x 2 y x 8y 4y x 2y x 3
2a 2 25 125 8a 6 6a 4 15a 2 125 4a 4 5 2a 2 5 8a 6 = − + − − 3 − 3 = − 3 + 3 14. 5 4b 6 8b 9 125 5b 3 2b 6 8b 9 5 2b 125 25 2b 3
15. 4 x − 4
9 x 2 27 x 3 3x 3x 144 x 9 108 x 6 27 x 3 12 12 8 4 + − 9 6 − 9 = 64 x − 3 = 64 x − 3 (16 x ) 3 + 3 (4 x ) y y y3 y6 y y y 3
4 6 3 2 3 6 3a 4b 2 27a 3 9a 2 4b 2 3a 16b 64b 27a 27a 72ab 64b + = + 3 + = + + 16. 3 + 3 2 3 + 2b 25 125 8b 8b 5 25 125 2b 5 4b 5 3
4 5 8 10 7 4 5 343 49 4 5 7 8 10 12 15 343 147 x y 21x y −x y = − 3 x y + 3 x y − x y = − + − x12 y15 8 512 64 8 512 64 8
17.
3
m6 6n 2 m3 36n4 216n 6 m9 m4 n 2 18n 4 216n6 m3 6n 2 m9 = − + − − 3 2 + 3 4 − − 2 = 18. 216 2 m6 m m6 6 m 216 36 m 6 m
EJERCICIO 208 1. x 2 − 2 x + 1
= x 4 + 4 x 2 + 1+ 2 x 2 (− 2 x) + 2 x 2 (1) + 2 (− 2 x) (1) = x 4 + 4 x 2 + 1 − 4 x 3 + 2 x 2 − 4 x = x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 1
2. 2 x 2 + x + 1
= 4 x 4 + x 2 + 1+ 2 (2 x 2 )( x ) + 2 (2 x 2 ) (1) + 2 ( x)(1) = 4 x 4 + x 2 + 1 + 4 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 4 x 4 + 4 x 3 + 5x 2 + 2 x + 1
( )
( )
3. x 2 − 5x + 2 = x 4 + 25x 2 + 4 + 2 (x 2 ) − 5x + 2 ( x 2 )( 2) + 2 − 5x ( 2) = x 4 + 25x 2 + 4 − 10 x 3 + 4 x 2 − 20 x
(
)
(
= x 4 − 10 x 3 + 29 x 2 − 20 x + 4
)
4. x 3 − 5x 2 + 6 = x 6 + 25x 4 + 36 + 2 ( x 3 ) − 5x 2 + 2 (x 3 ) (6) + 2 − 5x 2 ( 6) = x 6 + 25x 4 + 36 − 10 x5 + 12 x 3 − 60 x 2
(
)
= x 6 − 10x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60x 2 + 36
(
)
5. 4a 4 − 3a 2 + 5 = 16a 8 + 9a 4 + 25 + 2 (4a 4 ) − 3a 2 + 2 (4a 4 ) (5) + 2 − 3a 2 (5)
= 16a + 9a + 25 − 24a + 40a − 30a = 16a − 24a + 49a 4 − 30a 2 + 25 8
4
6
4
2
8
6
( ) ( )( )
( )
6. x + 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 2 ( x) 2 y + 2 ( x) − z + 2 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 4 xy − 2 xz − 4 yz 7. 3 − x 3 − x 6
= 9 + x 6 + x12 + 2 (3) (− x 3 ) + 2 (3) (− x 6 ) + 2 (− x 3 )(− x 6 ) = 9 + x 6 + x12 − 6 x 3 − 6 x 6 + 2 x 9 = x12 + 2 x 9 − 5x 6 − 6 x 3 + 9
(
)
(
)
8. 5x 4 − 7 x 2 + 3x = 25x 8 + 49 x 4 + 9 x 2 + 2 (5x 4 ) − 7 x 2 + 2 (5x 4 ) ( 3x) + 2 − 7 x 2 ( 3x)
= 25x + 49 x + 9 x − 70x + 30 x − 42 x = 25x − 70x + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2 8
4
2
6
5
3
8
6
(
)
(
9. 2a 2 + 2ab − 3b 2 = 4a 4 + 4a 2b 2 + 9b 4 + 2 (2a 2 ) ( 2ab) + 2 (2a 2 ) − 3b 2 + 2 ( 2ab) − 3b 2
)
= 4a + 4a b + 9b + 8a b − 12a b − 12ab = 4a + 8a b − 8a b − 12ab 3 + 9b4 4
2 2
4
3
2 2
(
3
)
4
3
2 2
(
)
10. m3 − 2m2n + 2n 4 = m6 + 4m4 n 2 + 4n8 + 2 (m3 ) − 2m2 n + 2 (m3 )(2n 4 ) + 2 − 2m2n (2n 4 )
= m6 + 4m4 n2 + 4n8 − 4m5n + 4m3n4 − 8m2 n5 = m6 − 4m5n + 4m4n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 11.
2 a c a2 c2 c2 ac bc a a c c a −b+ = + b 2 + + 2 (− b) + 2 + 2 (− b) = + b 2 + − ab + − 2 2 4 4 4 2 4 4 16 16 4 2
12.
2 5 x2 25 x 25 2 x 50 y x x 5 5 x − 5y + = + 25 y 2 + + 2 (− 5y ) + 2 + 2 (− 5 y) = + 25 y 2 + − 2 xy + − 3 25 9 5 5 3 3 25 9 3 3 5
=
x2 2x 50 y 25 − 2 xy + + 25 y 2 − + 25 3 3 9
2 4 4 2 2 2 13. x − x + 2 = x + x 2 + 4 + 2 x − x + 2 x 2 + 2 2 − x = x + x 2 + 4 − x 3 + 2 x − 4 x
2
3
4
2
9
( )
3
2 3
( )
4
9
3
3
x4 5x 2 4 x 4 = − x3 + − + 4 3 3 9 14.
2 2 a 1 x a2 1 x2 2x a 1 a x 1 x a 1 x 2a − + = + + + 2 − + 2 + 2 − = 2 + + 2 − + 2− x 3 x a 3 a x 9 a 3x x 3 a x2 9 a2 3a
= 15.
3a 2 a 3a 2 4 3a 2 a 4 9a 4 a 2 16 a 4 − + = + + + 2 − + 2 + 2 − 2 5 4 2 5 16 4 25 4 2 4 5 =
16.
a 2 2a 2 x x 2 19 − − + + x 2 3x 3a a 2 9
9a 4 a 2 16 3a 3 6a 2 4a 9a 4 3a 3 29a 2 4a 16 + + − + − = − + − + 16 4 25 4 5 5 16 4 20 5 25
2 a 2 3 a 2 b2 a 2 3 b2 a 4 9 b 4 3 b − + = + + + 2 − + 2 + 2 − 5 9 4 5 9 16 25 81 4 5 4 9
=
a 4 9 b 4 3a 2 a 2b 2 2b 2 a 4 3a 2 a 2b 2 9 2b 2 b 4 + + − + − = − + + − + 16 25 81 10 18 15 16 10 18 25 15 81
(
)
(
)
(
)
17. x 3 − x 2 + x + 1 = x 6 + x 4 + x 2 + 1 + 2 (x 3 ) − x 2 + 2 (x 3 )( x ) + 2 x 3 + 2 − x 2 ( x) + 2 − x 2 + 2 x
= x + x + x + 1 − 2 x + 2 x + 2 x − 2 x − 2 x + 2 x = x − 2 x + 3x − x 2 + 2 x + 1 6
4
2
5
4
3
3
2
6
5
4
3 2 18. x − 3x − 2 x + 2
= x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 + 2 (x 3 )(− 3x 2 ) + 2 ( x 3 ) (− 2 x) + 2 (x 3 )(2) + 2 (− 3x 2 )(− 2 x) + 2 (− 3x 2 ) (2) + 2 (− 2 x) (2) = x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 − 6x 5 − 4 x 4 + 4 x 3 + 12 x 3 − 12 x 2 − 8 x = x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16x 3 − 8 x 2 − 8 x + 4
4 2 19. x + 3x − 4 x + 5
= x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 2 (x 4 )(3x 2 ) + 2 (x 4 ) (− 4 x ) + 2 (x 4 ) (5) + 2 (3x 2 )(− 4 x) + 2 (3x 2 )(5) + 2 (− 4 x ) (5) = x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 6 x 6 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 30 x 2 − 40 x = x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25
20. x 4 − 4 x 3 + 2 x − 3
= x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 + 2 (x 4 )(− 4 x 3 ) + 2 (x 4 )( 2 x) + 2 (x 4 )(− 3) + 2 (− 4 x 3 ) (2 x) + 2 (− 4 x 3 )(− 3) + 2 ( 2 x ) (− 3) = x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 − 8 x 7 + 4 x5 − 6x 4 − 16 x 4 + 24 x 3 − 12 x = x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9
21. 3 − 6a + a − a 2
3
= 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 + 2 (3) (− 6a ) + 2 (3) (a 2 ) + 2 (3) (− a 3 ) + 2 (− 6a )(a 2 ) + 2 (− 6a )(− a 3 ) + 2 (a 2 ) (− a 3 ) = 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 − 36a + 6a 2 − 6a 3 − 12a 3 + 12a 4 − 2a 5 = a 6 − 2a 5 + 13a 4 − 18a 3 + 42a 2 − 36a + 9
22.
x3 2x − x2 + +2 2 3 x3 x3 2x x3 x6 4x2 2x 2x = + x4 + + 4 + 2 (− x 2 ) + 2 + 2 ( 2) + 2 (− x 2 ) + 2 (− x 2 )(2) + 2 (2) 3 3 4 9 2 2 3 2 =
x6 4x2 2x4 4x3 8x x 6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x + − + +4 + x4 + + 4 − x5 + + 2x3 − − 4x2 + = − x5 + 3 3 9 3 4 9 3 3 3 4
23.
a 3 2a 2 3a 1 − + − 2 3 4 2 a 3 2a 2 a 3 3a a3 a 6 4 a 4 9a 2 1 = + + + + 2 − + 2 + 2 − 4 9 16 4 2 3 2 4 2 =
2a 2 3a 2a 2 1 1 3a 1 + 2 − + 2− − + 2 − 4 2 2 3 4 3 2
a 6 4a 4 9a 2 1 2a 5 3a 4 a 3 2a 2 3a a 6 2a 5 43a 4 3a 3 59a 2 3a 1 + + + − + − − a3 + − = − + − + − + 4 9 16 4 3 4 2 3 4 4 3 36 2 48 4 4
24. x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2
= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 + 2 ( x 5 ) (− x 4 ) + 2 ( x 5 )( x 3 ) + 2 ( x 5 ) (− x 2 ) + 2 ( x 5 ) ( x ) + 2 ( x 5 ) (− 2) + 2 (− x 4 ) ( x 3 ) + 2 (− x 4 )(− x 2 ) + 2 (− x 4 ) ( x ) + 2 (− x 4 )(− 2) + 2 ( x 3 ) (− x 2 ) + 2 ( x 3 ) ( x ) + 2 ( x 3 ) (− 2) + 2 (− x 2 ) ( x) + 2 (− x 2 )(− 2) + 2 ( x) (− 2)
= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 − 2 x 9 + 2 x 8 − 2 x 7 + 2 x 6 − 4 x 5 − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 2 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x = x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8 x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4
EJERCICIO 209
( )2 ( x) + 3(x 2 )2 (1) + 3( x)2 (x 2 ) + 3( x)2 (1) + 3(x 2 ) + 3( x) + 6 (x 2 )( x)(1)
1. x 2 + x + 1 = x 6 + x 3 + 1 + 3 x 2
= x 6 + x 3 + 1 + 3x 5 + 3x 4 + 3x 4 + 3x 2 + 3x 2 + 3x + 6 x 3 = x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
( )2 (− x) + 3(2 x 2 )2 (− 1) + 3(− x)2 (− 1) + 3(− x)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (− x)
2. 2 x 2 − x − 1 = 8 x 6 − x 3 − 1 + 3 2 x 2
+ 6 (2 x 2 )(− x)(− 1)
= 8x 6 − x 3 − 1 − 12 x 5 − 12 x 4 − 3x 2 + 6x 4 + 6 x 2 − 3x + 12 x 3 = 8x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1 3. 1 − 3x + 2 x
2
2 = 1 − 27 x 3 + 8 x 6 + 3(1) (− 3x ) + 3(12 )(2 x 2 ) + 3(− 3x ) (1) + 3(− 3x) (2 x 2 ) + 3(2 x 2 ) (1) + 3(2 x 2 ) (− 3x) 2
2
2
2
+ 6 (1) (− 3x ) (2 x 2 )
= 1 − 27 x 3 + 8 x 6 − 9 x + 6x 2 + 27 x 2 + 54 x 4 + 12 x 4 − 36 x 5 − 36x 3 = 1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36x 5 + 8 x 6 2 4. 2 − 3x + x
2 2 = 8 − 27 x 3 + x 6 + 3 (2) (− 3x ) + 3 (2) (x 2 ) + 3(− 3x ) (2) + 3(− 3x ) (x 2 ) + 3( x 2 ) (2) + 3 (x 2 ) (− 3x) + 6 (2) (− 3x) (x 2 ) 2
2
2
2
= 8 − 27 x 3 + x 6 − 36 x + 12 x 2 + 54 x 2 + 27 x 4 + 6x 4 − 9 x 5 − 36 x 3 = x 6 − 9 x5 + 33x 4 − 63x 3 + 66x 2 − 36 x + 8 5. x 3 − 2 x 2 − 4
= x 9 − 8 x 6 − 64 + 3( x 3 ) (− 2 x 2 ) + 3 (x 3 ) (− 4) + 3 (− 2 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 2 x 2 ) (− 4) + 3 (− 4) ( x 3 ) + 3 (− 4) (− 2 x 2 ) 2
2
2
2
2
2
+ 6 (x 3 )(− 2 x 2 )(− 4)
= x 9 − 8 x 6 − 64 − 6 x 8 − 12 x 6 + 12 x 7 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 + 48 x 5 = x 9 − 6 x 8 + 12 x 7 − 20 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 − 64 4 2 6. x − x − 2
= x12 − x 6 − 8 + 3 (x 4 ) (− x 2 ) + 3 (x 4 ) (− 2) + 3 (− x 2 ) ( x 4 ) + 3 (− x 2 ) (− 2) + 3 (− 2) (x 4 ) + 3 (− 2) (− x 2 ) 2
2
2
2
2
2
+ 6 (x 4 )(− x 2 )(− 2)
= x12 − x 6 − 8 − 3x10 − 6 x 8 + 3x 8 − 6 x 4 + 12 x 4 − 12 x 2 + 12 x 6 = x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8
3 7. a +
2 a2 a2 a a6 a3 a 2 2 a − = a9 + − + 3(a 3 ) + 3 (a 3 ) − + 3 3 2 3 8 27 2 2
2
2
2 a2 a a − + 3 − (a 3 ) 3 2 3
(a ) + 3 3
2 2 a2 a a a + 3 − + 6a 3 − 3 2 2 3
= a9 +
a 6 a 3 3a 8 3a 7 a 5 a 5 a 4 3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3 − + − a7 + − + + − a6 = a9 + − − + + − 8 27 2 4 4 3 6 2 4 8 12 6 27 2
2 2 2 2 x2 x x2 x x6 x3 x x x 2 x − + 2= − + 8 + 3 − + 3 (x 2 )2 2 (2) + 3 − + 3 − (2) + 3 (2) 8. 3 2 3 2 3 8 27 2 3 2
x2 x x 2 + 3 ( 2) − + 6 − ( 2) 3 2 3 =
x6 x3 x 5 3x 4 x 4 2 x 2 x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2 − + 8− + + + + 6x 2 − 4 x − 2 x 3 = − + − + − 4x + 8 8 27 4 2 6 3 8 4 3 27 3
3 2 9. a − a + a − 1
= a 9 − a 6 + a 3 − 1 + 3 (a 3 ) (− a 2 ) + 3 (a 3 ) ( a ) + 3 (a 3 ) (− 1) + 3 (− a 2 ) (a 3 ) + 3 (− a 2 ) ( a ) 2
2
2
2
2
+ 3 (− a 2 ) (− 1) + 3a 2 (a 3 ) + 3a 2 (− a 2 ) + 3a 2 (− 1) + 3 (− 1) (a 3 ) + 3 (− 1) (− a 2 ) + 3(− 1) (a ) 2
2
2
2
+ 6 (a 3 ) (− a 2 ) (a ) + 6 (a 3 )(− a 2 )(− 1) + 6 (a 3 )( a ) (− 1) + 6 (− a 2 )( a ) (− 1)
= a 9 − a 6 + a 3 − 1 − 3a 8 + 3a 7 − 3a 6 + 3a 7 + 3a 5 − 3a 4 + 3a 5 − 3a 4 − 3a 2 + 3a 3 − 3a 2 + 3a − 6a 6 + 6a 5 − 6a 4 + 6a 3 = a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1
(
) ( ) ( ) (x ) + 3(− 2 x ) ( x) + 3 (− 2 x ) (− 3) + 3x (x ) + 3x (− 2 x ) + 3x (− 3) + 6 (x ) (− 2 x )( x ) + 6 ( x ) (− 2 x )(− 3) + 6 (x )( x ) (− 3) + 6 (− 2 x )( x ) (− 3) + 3 (− 3) ( x ) + 3 (− 3) (− 2 x ) + 3(− 3) x
3 2 9 6 3 3 2 3 3 2 10. x − 2 x + x − 3 = x − 8 x + x − 27 + 3 (x ) − 2 x + 3 (x ) ( x) + 3 ( x ) − 3 + 3 − 2 x 2
2 2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
2 2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
= x 9 − 8 x 6 + x 3 − 27 − 6 x 8 + 3x 7 − 9 x 6 + 12 x 7 + 12 x 5 − 36x 4 + 3x 5 − 6 x 4 − 9 x 2 − 12 x 6 + 36 x 5 − 18 x 4 + 36 x 3 + 27 x 3 − 54 x 2 + 27 x = x 9 − 6 x 8 + 15x 7 − 29 x 6 + 51x 5 − 60 x 4 + 64 x 3 − 63x 2 + 27 x − 27 3 2 11. x − 4 x + 2 x − 3
= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 + 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) + 3(x 3 ) (2 x) + 3(x 3 ) (− 3) + 3 (− 4 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 4 x 2 ) (2 x ) 2
2
2
2
2
+ 3 (− 4 x 2 ) (− 3) + 3 (2 x ) (x 3 ) + 3 (2 x) (− 4 x 2 ) + 3 (2 x) (− 3) + 3(− 3) (x 3 ) + 3(− 3) (− 4 x 2 ) 2
2
2
2
2
2
+ 3 (− 3) (2 x ) + 6 (x 3 ) (− 4 x 2 ) (2 x ) + 6 (x 3 )(− 4 x 2 )(− 3) + 6 (x 3 )(2 x ) (− 3) + 6 (− 4 x 2 ) (2 x ) (− 3) 2
= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 − 12 x 8 + 6 x 7 − 9 x 6 + 48 x 7 + 96 x 5 − 144 x 4 + 12 x 5 − 48 x 4 − 36 x 2 + 27 x 3 − 108 x 2 + 54 x − 48 x 6 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3 = x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27
(
)
(
) ( ) + 3(− x ) (2 x ) + 3(− x ) (− x ) + 3(2 x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (− x ) + 3(− x ) (− x ) + 3 (− x ) (2 x ) + 6 (− x ) (2 x ) + 6 (2 x )(− x ) + 6 (− x )(− x ) + 6 (− x ) (2 x ) (− x )
12. 1 − x 2 + 2 x 4 − x 6 = 1 − x 6 + 8 x12 − x18 + 3 − x 2 + 3 (2 x 4 ) + 3 − x 6 + 3 − x 2 4 2 2
4 2
4
4 2
2
4
6
2 2
6 2
6
2
2
6
6 2
2
4
2 2
4
2
6 2
6
= 1 − x 6 + 8 x12 − x18 − 3x 2 + 6 x 4 − 3x 6 + 3x 4 + 6 x 8 − 3x10 + 12 x 8 − 12 x10 − 12 x14 + 3x12 − 3x14 + 6 x16 − 12 x 6 − 12 x10 + 6x 8 + 12 x12 = 1 − 3x 2 + 9 x 4 − 16x 6 + 24 x 8 − 27 x10 + 23x12 − 15x14 + 6 x16 − x18
6
4
EJERCICIO 210 4⋅ 3 2 2 6⋅ 2 3 4 x ( 2) − x (2) + (2) = x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16 2 3 4 ⋅ 3 2 2 6⋅ 2 4 3 4 4 3 a (3) + a ( 3) + ( 3) = a 4 + 12a 3 + 54a 2 + 108a + 81 2. (a + 3) = a + 4a (3) + 2 3 5⋅ 4 3 2 10 ⋅ 3 2 3 10 ⋅ 2 5 5 4 ( 2) x − ( 2) x + (2) x 4 − x 5 = 32 − 80 x + 80x 2 − 40 x 3 + 10 x 4 − x 5 3. (2 − x ) = ( 2) − 5 ( 2) x + 2 3 4
(
)
4 3 1. x − 2 = x − 4 x ( 2) + 4
(
4. 2 x + 5 y
)
4
6⋅ 2 4⋅ 3 2 3 4 ( 2 x) 2 (5y ) + (2 x) (5y ) + (5 y) = 16 x 4 + 160 x 3 y + 600x 2 y 2 + 1. 000xy 3 + 625y 4 2 3 6 6 ⋅ 5 4 2 15⋅ 4 3 3 20 ⋅ 3 2 4 15⋅ 2 5 6 a − 3 = a 6 − 6a 5 ( 3) + a (3) − a ( 3) + a (3) − a (3) + (3) 2 3 4 5 = a 6 − 18a 5 + 135a 4 − 540a 3 + 1. 215a 2 − 1. 458a + 729 6 15⋅ 2 6⋅ 5 15⋅ 4 20 ⋅ 3 6 5 ( 2a ) 4 b 2 − ( 2a ) 3 b 3 + ( 2a ) 2 b 4 − ( 2a )b5 + b 6 2 a − b = ( 2a ) − 6 ( 2a ) b + 2 3 4 5 = 64a 6 − 192a 5b + 240a 4b 2 − 160a 3b 3 + 60a 2b 4 − 12ab 5 + b 6 ⋅ ⋅ 5 5⋅ 4 2 3 5 4 (x ) (2 y 3 )2 + 103 3 (x 2 )2 (2 y 3 )3 + 104 2 (x 2 )(2 y 3 )4 + (2 y 3 )5 x 2 + 2 y 3 = (x 2 ) + 5(x 2 ) (2 y 3 ) + 2 = x10 + 10x 8 y 3 + 40 x 6 y 6 + 80 x 4 y 9 + 80 x 2 y12 + 32 y15 6 6 ⋅ 5 3 4 2 15⋅ 4 3 3 3 20 ⋅ 3 3 2 4 15⋅ 2 3 6 5 (x ) (1) + 3 (x ) (1) + 4 (x ) (1) + 5 (x )(1)5 + (1)6 x 3 + 1 = (x 3 ) + 6 (x 3 ) (1) + 2 = x18 + 6x15 + 15x12 + 20 x 9 + 15x 6 + 6 x 3 + 1 5 5⋅ 4 10 ⋅ 3 10 ⋅ 2 5 4 ( 2a ) 3 ( 3b) 2 − ( 2a ) 2 ( 3b) 3 + ( 2a )( 3b) 4 − ( 3b)5 2a − 3b = ( 2a ) − 5 ( 2a ) ( 3b) + 2 3 4 = 32a 5 − 240a 4b + 720a 3b 2 − 1. 080a 2b 3 + 810ab 4 − 243b5
= ( 2 x) + 4 ( 2 x) (5 y) + 4
5.
(
6.
(
7.
(
8.
(
9.
(
3
)
)
)
)
)
(
4 3 10. x − 5 y
)
6
⋅ ⋅ ⋅ 6⋅5 4 4 (x ) (5 y 3 )2 − 153 4 (x 4 )3 (5 y 3 )3 + 204 3 (x 4 )2 (5y 3 )4 − 155 2 (x 4 )(5y 3 )5 + (5y 3 )6 2 = x 24 − 30 x 20 y 3 + 375x16 y 6 − 2 .500 x12 y 9 + 9 . 375x 8 y 12 − 18 . 750 x 4 y 15 + 15. 625 y18 = (x 4 ) − 6 (x 4 ) (5 y 3 ) + 6
y
5
6
11. 2 x − 2
6⋅5 y 15⋅ 4 y 20 ⋅ 3 y 15⋅ 2 y y 6 5 y (2 x ) 4 − ( 2 x) 3 + (2 x ) 2 − ( 2 x) + = (2 x ) − 6 (2 x ) + 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 2
= 64 x 6 − 96 x 5 y + 60 x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 +
12. 3 −
5
3
4
5
6
15 2 4 3 5 y 6 x y − xy + 4 8 64 2
3
4
2 5⋅ 4 3 x 2 10 ⋅ 3 2 x 2 10 ⋅ 2 x 2 x 2 x2 5 4 x ( 3) − ( 3) + ( 3) − = ( 3) − 5 ( 3) + 3 3 4 3 2 3 3 3 3
5
10 6 5 8 x10 x + x − 3 27 243 6⋅5 15⋅ 4 20 ⋅ 3 3 4 6 3 6 3 5 4 3 4 13. (2m − 3n ) = (2m ) − 6 (2m ) (3n ) + (2m ) (3n 4 )2 − 3 (2m3 )3 (3n 4 )3 + 4 (2m3 )2 (3n 4 )4 2 15⋅ 2 − (2m3 )(3n 4 )5 + (3n 4 )6 5 = 64m18 − 576m15n 4 + 2 .160m12 n 8 − 4 . 320m9 n12 + 4 .860m6n16 − 2 . 916m3n 20 + 729n 24 = 243 − 135x 2 + 30 x 4 −
(
)
2 14. x − 3
7
7 ⋅ 6 2 5 2 21⋅ 5 2 4 3 35⋅ 4 2 3 4 35⋅ 3 2 2 5 21⋅ 2 2 (x ) (3) − 3 (x ) (3) + 4 (x ) (3) − 5 (x ) (3) + 6 (x )(3) 6 − (3)7 2 = x14 − 21x12 + 189 x 10 − 945x 8 + 2 . 835x 6 − 5.103x 4 + 5.103x 2 − 2 .187
= ( x 2 ) − 7 (x 2 ) (3) + 7
6
5
15. 3a −
2
3
4
2 b 2 10 ⋅ 3 b 2 10 ⋅ 2 b2 b2 b2 5⋅ 4 5 4 b (3a ) 3 − (3a )2 + (3a ) − = (3a ) − 5 (3a ) + 3 3 4 3 3 3 3 3 2
= 243a 5 − 135a 4b 2 + 30a 3b4 −
(
2 2 16. x + 2 y
5
10 2 6 5 8 b10 ab + ab − 3 27 243
7⋅6 2 5 21⋅ 5 35⋅ 4 (x ) (2 y 2 )2 + 3 (x 2 )4 (2 y 2 )3 + 4 (x 2 )3 (2 y 2 )4 2 35⋅ 3 2 2 21⋅ 2 + (x ) (2 y 2 )5 + 6 (x 2 )(2 y 2 )6 + (2 y 2 )7 5 = x14 + 14 x12 y 2 + 84 x10 y 4 + 280 x 8 y 6 + 560 x 6 y 8 + 672 x 4 y10 + 448 x 2 y 12 + 128 y14
) = (x ) 7
2 7
+ 7 ( x 2 ) (2 y 2 ) + 6
17. x 3 − 1 8 = ( x 3 )8 − 8 ( x 3 )7 (1) + 8 ⋅ 7 ( x 3 )6 (1) 2 − 28 ⋅ 6 ( x 3 )5 (1) 3 + 56 ⋅ 5 ( x 3 )4 (1) 4 − 70 ⋅ 4 ( x 3 )3 (1)5
(
)
y 2
2 3 4 56 ⋅ 3 3 2 6 28 ⋅ 2 3 7 8 + (x ) (1) − 7 (x )(1) + (1) 6 = x 24 − 8 x 21 + 28x18 − 56x15 + 70 x12 − 56x 9 + 28x 6 − 8 x 3 + 1 9
y 2
18. x 2 − = ( x 2 ) − 9 ( x 2 ) + 9
8
y y y 9⋅8 2 7 y 36 ⋅ 7 84 ⋅ 6 126 ⋅ 5 (x ) 2 − 3 (x 2 )6 2 + 4 (x 2 )5 2 − 5 (x 2 )4 2 2 2
(
x2 2 y2 20. 2 + 3
7
8
9
7⋅6 21⋅ 5 35⋅ 4 (2m3 )5 (n 4 )2 − 3 (2m3 )4 (n 4 )3 + 4 (2m3 )3 (n 4 )4 2 35⋅ 3 21⋅ 2 − (2m3 )2 (n4 )5 + 6 (2m3 )(n4 )6 − (n4 )7 5 = 128m21 − 448m18n 4 + 672m15n8 − 560m12 n12 + 280m9 n16 − 84m6n 20 + 14m3n 24 − n 28
) = (2m ) 7
4
9 16 21 63 10 4 63 8 5 21 6 6 9 4 7 9 2 8 y9 x y + 9 x14 y 2 − x12 y 3 + x y − x y + x y − x y + x y − 2 2 8 16 16 32 256 512
= x18 − 19. 2m3 − n 4
3
y y 126 ⋅ 4 2 3 y 84 ⋅ 3 2 2 y 36 ⋅ 2 (x ) 2 − 7 (x ) 2 + 8 (x 2 ) 2 − 2 6 6
+
5
3 7
− 7 (2m3 ) (n 4 ) + 6
5
5
4
3
2
2
3
4
x2 x 2 2 y 2 5⋅ 4 x 2 2 y 2 10 ⋅ 3 x 2 2 y 2 10 ⋅ 2 x 2 2 y 2 2 y 2 = + 5 + + + + 3 2 3 4 2 3 3 2 2 3 2 2 3 =
x10 5x 8 y 2 5x 6 y 4 20 x 4 y 6 40 x 2 y 8 32 y10 + + + + + 32 24 9 27 81 243
15 ⋅ 4 1 5a 20 ⋅ 3 1 5a 1 5a 1 1 5a 6 ⋅ 5 1 5a − = − 6 + − + 5 5 2 21. 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 6
6
5
4
15 ⋅ 2 1 5a 5a + 5 5 2 2 5
− =
2
3
3
6
3a 3a 2 5a 3 375a 4 1. 875a 5 15 . 625a 6 1 − + − + − + 2 16 16 64 15.625 625 20
2
4
5
5
EJERCICIO 211 NOT A: T riángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio NOTA: Triángulo
1 1
1
1
2
1 1 6
1
7
1 1 1
9
36
10
(
45
1
21
70
7
56
126
)
6
35
84
252
1
28
126
210
1
15
35 56
120
5
20
84
1
10
15
28
4
10
21
8
1
6
5
1
3
4
1
1
3
8
210
9
120
45
1. a + 2b = a 6 + 6a 5 ( 2b ) + 15a 4 (2b) + 20a 3 ( 2b) + 15a 2 ( 2b) + 6a (2b) + (2b) 6
2
3
1
36
4
5
1 10
1
6
= a 6 + 12a 5b + 60a 4b 2 + 160a 3b 3 + 240a 2b 4 + 192ab5 + 64b 6
(
2. 2m2 − 3n 3
) = (2m ) − 5(2m ) (3n ) + 10 (2m ) (3n ) 5
2 5
2 4
2 3
3
3 2
− 10 (2m2 ) (3n 3 ) + 5 (2m2 )(3n 3 ) − (3n 3 ) 2
3
4
5
= 32m10 − 240m8n 3 + 720m6n 6 − 1. 080m4 n 9 + 810m2 n12 − 243n15
(
3. x 2 + y 3
) = (x ) + 6 (x ) ( y ) + 15(x ) ( y ) 6
2 6
2 5
3 2
2 4
3
+ 20 (x 2 ) ( y 3 ) + 15( x 2 ) ( y 3 ) + 6 (x 2 ) ( y 3 ) + ( y 3 ) 3
3
4
2
5
6
= x12 + 6 x10 y 3 + 15x 8 y 6 + 20 x 6 y 9 + 15x 4 y12 + 6 x 2 y15 + y 18
(
4. 3 − y
)
7 7
= ( 3) − 7 (3) ( y 7 ) + 21(3) ( y 7 ) − 35 (3) ( y 7 ) + 35( 3) ( y 7 ) − 21(3) ( y 7 ) + 7 ( 3) ( y 7 ) − ( y 7 ) 7
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
7
= 2 .187 − 5.103 y 7 + 5.103 y14 − 2 .835 y 21 + 945y 28 − 189 y 35 + 21y 42 − y 49
(
5. 2 x 3 − 3 y 4
)
6
= (2 x 3 ) − 6 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 20 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 6 (2 x 3 )(3 y 4 ) + (3 y 4 ) 6
5
2
4
3
3
2
4
5
6
= 64 x18 − 576 x15 y 4 + 2 .160 x12 y 8 − 4 . 320 x 9 y12 + 4 .860 x 6 y16 − 2 . 916 x 3 y 20 + 729 y 24 5
5
4
x2 x2 x2 x2 + y 3 = + 5 y 3 + 10 2 2 2 2
6.
= 6
3
(y )
3 2
x2 + 10 2
2
(y )
3 3
x2 4 5 + 5 ( y 3 ) + ( y 3 ) 2
x10 5x 8 y 3 5x 6 y 6 5x 4 y 9 5x 2 y12 + + + + + y15 32 16 4 2 2 6
5
4
2
3
3
2
4
5
a 3 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 3 − = − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 7. 3 b 3 3 b 3 b 3 b 3 b 3 b b =
(
8. 1 − x 4
6
a 6 2a 5 5a 4 20a 3 135a 2 486a 729 − + − 3 + − 5 + 6 729 27b 3b 2 b b4 b b
)
8
= (1) − 8 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 70 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 8 (1) (x 4 ) + (x 4 ) 8
7
6
2
5
3
4
= 1 − 8 x 4 + 28 x 8 − 56 x12 + 70 x16 − 56 x 20 + 28 x 24 − 8 x 28 + x 32
4
3
5
2
6
7
8
7
2
3
2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 9. 3x − 2 y = 3x − 7 3x 2 y + 21 3x 2 y − 35 3x 2 y + 35 3x 2 y 7
6
5
5
4
6
2 3 3 2 3 − 21 + 7 − 3x 2 y 2 y 3x 2 y 2
=
3
4
7
128 224 56 70 105 567 1. 701 2 .187 − + − + − + − 2 .187 x 7 243x 6 y 9 x 5 y 2 3x 4 y 3 2 x 3 y 4 8 x 2 y 5 32 xy 6 128 y 7
7
2
3
2 2 2 2 2 m2 2 2 m 2 m 2 m 2 m − = − 7 + 21 − 35 + 35 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 7
6
5
4
3
4
10.
5
6
7
2 2 2 2 2 m 2 m m − 21 + 7 − m 2 m 2 2
=
(
128 224 168 35m5 21m8 7m11 m14 − 70m2 + − + − 7 − 4 + m m m 2 8 32 128
) ( ) + 8 (x ) mn + 28 (x ) (mn) 8
11. x + mn = x 3
3 8
3 7
3 6
2
5 4 3 + 56 ( x 3 ) (mn) + 70(x 3 ) ( mn) + 56 (x 3 ) ( mn) 3
4
5
6 7 8 + 28( x 3 ) (mn) + 8 (x 3 ) (mn) + ( mn) 2
= x 24 + 8 x 21mn + 28 x18m2 n2 + 56 x15m3n 3 + 70 x12 m4 n 4 + 56 x 9 m5n5 + 28 x 6m6n 6 + 8 x 3m7 n 7 + m8n8 9
2
3
4
2 2 2 2 2 b2 9 8b 7 b 6b 5b 4b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + − + − 3 3 9 3 36 3 84 3 126 3 126 3 12. 3 3 3 3 3 3 6
7
8
2 2 b2 b2 3b 2 b + 84(3) − 36(3) + 9(3) − 3 3 3 3
13. 1 −
5
9
= 19 . 683 − 19 . 683b 2 + 8 . 748b 4 − 2 . 268b6 + 378b8 − 42b10 +
28b12 4b14 b16 b18 − + − 9 27 243 19 . 683
2
5
10
3
4
1 10 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 = (1) − 10 (1) + 45(1) − 120 (1) + 210(1) − 252 (1) + 210 (1) x x x x x x x 7
8
9
1 1 3 1 2 1 − 120 (1) + 45(1) − 10 (1) + x x x x = 1−
(
14. 2 m2 − 5n 5
10
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 + − + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10 x x x x x x x x x2 x3
) = (2m ) − 6 (2m ) (5n ) + 15(2m ) (5n ) 6
6
2 6
2 5
2 4
5
5 2
− 20 (2m2 ) (5n5 ) + 15 (2m2 ) (5n 5 ) 3
3
2
4
− 6 (2m2 )(5n 5 ) + (5n 5 ) 5
6
= 64m12 − 960m10n5 + 6 . 000m8n10 − 20 . 000m6n15 + 37 . 500m4 n 20 − 37 . 500m2 n 25 + 15. 625n 30
15. 4 −
x5 4
7
2
3
4
5
6
5 5 5 5 5 x5 x 5 7 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x = ( 4) − 7 ( 4) + 21( 4) − 35 (4) + 35 ( 4) − 21( 4) + 7 ( 4) − 4 4 4 4 4 4 4
= 16 . 384 − 7 .168 x 5 + 1. 344 x10 − 140 x15 +
35x 20 21x 25 7 x 30 x 35 − + − 4 64 1. 024 16 . 384
7
EJERCICIO 212
(
1. x − y
=
)
5
(
)
6
donde r = 4
(
2 5. a − 2b
(
)
(
(
9. a 2 + b
)
=
=
donde r = 10
)
6
donde r = 6
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 b ( 2a )8 −5 − 2 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5
6 −1
b5 = 56 (8a 3 ) − 32
= − 14a 3b5 donde r = 8
)
2 11
= − 330 x 4 y 14
(
2 10. 1 − x
)
12
donde r = 9
9 −1 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 12 − 8 (1) (− x 2 ) = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
= 5. 005a 12b 9
(
8
= 330 x 4 (− y14 )
6
15⋅ 14 ⋅ 13⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 2 15 − 9 10 −1 = (a ) (b) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
2 11. 2a − b
b 2
8 −1 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 11− 7 ( x ) (− y 2 ) = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7
= 210 ( x 8 ) (64 y 6 )
15
donde r = 5
8. x − y
donde r = 5
6. 2a −
= 2 . 016a 10b 4
donde r = 7
= 13. 440 x y
9
11
= 330 x 4
= 126 (a 10 )(16b 4 )
7 −1 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 10 − 6 = (x ) (− 2 y) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6
8
)
)
11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 11− 4 (1) ( x)5 −1 = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
9 ⋅ 8⋅ 7 ⋅ 6 2 9−4 = (a ) (− 2b)5−1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
= − 4 . 320 x 3 y 3
7. x − 2 y
(
3. 1 + x
donde r = 4
= − 2 . 240a 4b 3
= 20 (27 x 3 ) (− 8 y 3 )
10
7
= 35a 4 (− 64b 3 )
4 −1 6 ⋅ 5⋅ 4 (3x )6 − 3 (− 2 y ) 1⋅ 2 ⋅ 3
2
)
7 ⋅ 6⋅ 5 7−3 4 −1 (a ) (− 4b) = 1⋅ 2 ⋅ 3
2 5⋅ 4 ( x )5− 2 (− y ) = 10 x 3 y 2 1⋅ 2
4. 3x − 2 y
=
(
2. a − 4b
donde r = 3
= 495x 16
(
12. 3x 2 − y 2
donde r = 6
6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 6 −1 ( 2a ) 6 −5 (− b 2 ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5
=
)
8
donde r = 5
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 8− 4 5−1 (3x ) (− y 2 ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
= 70 (81x 8 )( y 8 )
= 6 ( 2a ) (− b10 )
= 5 . 670 x 8 y 8
= − 12ab10
EJERCICIO 213 1.
4a 2b 4 = ± 2ab 2
2.
25x6 y8 = ± 5x3 y4
3.
3
27a b = 3ab
4.
3
− 8a 3b6 x12 = − 2ab 2 x 4
3 9
5
− 243m5n15 = − 3mn3 81x6 y8 z20 = ± 9x3 y4 z10
10.
3
3
4 5
12.
4
81a b
16a 8b16 = ± 2a 2b 4
13.
6
64a12b18 c 30 = ± 2a 2b 3 c 5
64x y
= ± 8x y
6.
4
7.
5
x15 y 20z25 = x 3 y 4 z5
14.
8.
3
− 64a 3 x 6 y18 = − 4ax 2 y 6
15.
9a 2 3a =± 2 25x 4 5x
16.
17.
3
12
24
= ± 3a b
3 6
18.
5
19.
4
49a 2nb 4n = ± 7a nb 2n 5
− x5ny10 x = − xny2 x
20.
7
x 2m xm =± 4n 121y 11y 2n
21.
−
27a 3 3a =− 3 64x 9 4x
22.
3
−
−
a 5b10 ab 2 =− 3 15 32x 2x
23.
9
a18 a2 = 3 9 27 b c bc
24.
10
1. 000x9 y18 = 10x 3 y6
11.
8 10
5.
9.
a8 a2 =± 4 12 81b c 3bc 3 128 2 = x14 x 2
125x 9 5x 3 =− 216m12 6m4
x 20 x2 =± 3 30 1. 024y 2y
EJERCICIO 214 1.
16 x 2 − 24 xy 2 + 9 y 4
4 x − 3y 2
(8x − 3y ) (− 3y )
− 16 x 2
2
2
− 24 xy 2 + 9 y 4 24 xy − 9 y 2
= − 24 xy 2 + 9 y 4
4
0 2.
25a 4 − 70a 3 x + 49a 2 x 2 5a 2 − 7ax
(10a
− 25a 4
2
− 7ax )(− 7ax )
− 70a x + 49a x 3
= − 70a 3 x + 49a 2 x 2
2 2
70a x − 49a x 3
2 2
0 3.
x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1 x 2 − 2 x + 1
(2 x
− x4
2
− 2 x)(− 2 x)
− 4 x 3 + 6x 2 4x − 4x 3
= − 4 x3 + 4 x 2
2
2x2 − 4x + 1
(2 x
2
− 4 x + 1) (1)
− 2x + 4x − 1
= 2 x2 − 4 x + 1
2
0 4.
4a 4 + 4a 3 + 5a 2 + 2a + 1
2a 2 + a + 1
(4a
− 4a 4 4a + 5a 3
2
+ a)(a) = 4a 3 + a 2
2
− 4a 3 − a 2 4a 2 + 2a + 1
(4a
2
+ 2a + 1) (1)
− 4a − 2 a − 1
= 4a 2 + 2a + 1
2
0 5.
n4 − 10n3 + 29n2 − 20n + 4
n2 − 5n + 2
(2n
− n4 − 10n + 29n 3
2
− 5n)(− 5n) = − 10n3 + 25n 2
2
10n3 − 25n 2 4n 2 − 20n + 4 − 4n + 20n − 4 2
0
(2n
2
− 10n + 2) ( 2) = 4n2 − 20n + 4
6.
x 6 − 10 x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60 x 2 + 36
x 3 − 5x 2 + 6
(2 x
− x6
3
− 5x 2 )(− 5x 2 )
− 10 x 5 + 25x 4 10 x − 25x 5
= − 10 x 5 + 25x 4
4
(2 x
12 x 3 − 60 x 2 + 36
3
− 10 x 2 + 6) ( 6)
− 12 x 3 + 60 x 2 − 36
= 12 x 3 − 60 x 2 + 36
0 7.
16a − 24a + 49a − 30a + 25 8
6
4
4a 4 − 3a 2 + 5
2
(8a
− 16a 8
− 3a 2 )(− 3a 2 )
4
− 24a 6 + 49a 4
= − 24a 6 + 9a 4
24a 6 − 9a 4
(8a
40a 4 − 30a 2 + 25
4
− 6a 2 + 5) (5)
− 40a 4 + 30a 2 − 25
= 40a 4 − 30a 2 + 25
0 8.
x + 4 xy − 2 xz − 4 yz + 4 y 2 + z 2
x + 2y − z
2
−x
(2 x + 2 y)(2 y)
2
4 xy − 2 xz
+ 4y
− 4 xy
= 4 xy + 4 y 2
2
− 4y
2
− 2 xz − 4 yz
+ z2
2 xz + 4 yz
−z
(2 x + 4 y − z)(− z) = − 2 xz − 4 yz + z 2
2
0 9.
x + 2 x − 5x − 6 x + 9 12
9
6
x6 + x3 − 3
3
(2 x
− x12
6
2 x 9 − 5x 6
+ x 3 ) (x 3 ) = 2x9 + x6
− 2x9 − x6
(2 x
− 6x 6 − 6x 3 + 9
6
+ 2 x 3 − 3) (− 3)
6x 6 + 6x 3 − 9
= − 6x6 − 6x3 + 9
0 10.
25x 8 − 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2
5x 4 − 7 x 2 + 3x
(10x
− 25x 8
4
− 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 70 x
− 49 x
6
= − 70 x 6 + 49 x 4
4
− 42 x 3 + 9 x 2
30 x 5 − 30 x
− 7 x 2 ) (− 7 x 2 )
+ 42 x − 9 x
5
3
0
2
(10x
4
− 14 x 2 + 3x) ( 3x) = 30 x 5 − 42 x 3 + 9 x 2
4a 4 + 8a 3b − 8a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4
11.
2a 2 + 2ab − 3b 2
(4a
− 4a 4
+ 2ab) (2ab)
2
8a b − 8a b 3
= 8a 3b + 4a 2b 2
2 2
− 8a 3b − 4a 2b 2
(4a
− 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4
2
+ 4ab − 3b 2 ) (− 3b 2 )
12 a 2b 2 + 12ab 3 − 9b 4
= − 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4
0 x 6 − 2 x 5 + 3x 4 − x 2 + 2 x + 1
12.
x3 − x2 + x + 1
(2 x
− x6
3
− x 2 ) (− x 2 )
− 2 x 5 + 3x 4
= − 2 x5 + x4
2 x5 − x 4
(2 x
2x4 − x2 + 2 x
3
− 2 x 2 + x) ( x)
2x3 − 2 x4 − x2
= 2x4 − 2x3 + x2
2x3
− 2x2 + 2x + 1
− 2x3
+ 2x2 − 2x − 1
(2 x
3
− 2 x 2 + 2 x + 1 ) (1) = 2x3 − 2x2 + 2x + 1
0 13.
x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 − 8x + 4
x 3 − 3x 2 − 2 x + 2
(2 x
− x6
3
− 3x 2 ) ( − 3 x 2 )
− 6 x 5 + 5x 4 6x − 9 x 5
= − 6x5 + 9 x 4
4
(2 x
− 4 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2
3
− 6 x 2 − 2 x) (− 2 x )
4 x 4 − 12 x 3 − 4 x 2
= − 4 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2
4 x 3 − 12 x 2 − 8 x + 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 8 x − 4
(2 x
3
− 6 x 2 − 4 x + 2) ( 2) = 4 x 3 − 12 x 2 − 8x + 4
0 14.
x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25
x 4 + 3x 2 − 4 x + 5
(2 x
− x8 6 x 6 − 8x 5 + 19 x 4 − 6x 6
(2 x
− 9x4 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 8x
+ 24 x − 16 x
5
3
+ 30 x 2 − 40 x + 25
− 10 x 4
− 30 x 2 + 40 x − 25 0
+ 3x 2 ) (3x 2 ) = 6 x 6 + 9 x 4
4
+ 6 x 2 − 4 x ) (− 4 x) = − 8 x 5 − 24 x 3 + 16 x 2
2
4
10 x
4
(2 x
4
+ 6 x 2 − 8 x + 5) (5) = 10 x 4 + 30 x 2 − 40 x + 25
15.
x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9
x4 − 4x3 + 2x − 3
(2 x
− x8 − 8x 7 + 16 x 6
(2 x
8x 7 − 16x 6
4
− 4 x 3 ) (− 4 x 3 ) = − 8 x 7 + 16 x 6
4
− 8x 3 + 2 x) ( 2 x )
4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 16 x 5
− 4x
4
− 6x + 24 x
= 4 x 5 − 16x 4 + 4 x 2
2
3
− 12 x + 9
6 x 4 − 24 x 3
+ 12 x − 9
4
(2 x
4
− 8x 3 + 4 x − 3) (− 3) = − 6 x 4 + 24 x 3 − 12 x + 9
0 16.
9 − 36a + 42a − 18a + 13a − 2a + a 2
3
4
5
6
3 − 6a + a 2 − a 3
(6 − 6a)(− 6a) = − 36a + 36a
−9 − 36a + 42a 2
(6 − 12a + a )(a ) = 6a
36a − 36a 2
2
6a − 18a + 13a 2
3
2
− 12a 3 + a 4
4
(6 − 12a + 2a
− 6a 2 + 12a 3 − a 4
2
− a 3 ) (− a 3 )
− 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6 6a − 12a + 2a − a 3
2
2
4
5
= − 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6
6
0
9 x − 24 x + 28 x − 22 x + 12 x 2 − 4 x + 1 6
17.
5
4
3
3x 3 − 4 x 2 + 2 x − 1
(6x
− 9x6 − 24 x 5 + 28 x 4
(6x
24 x 5 − 16 x 4
3
3
− 4 x 2 ) (− 4 x 2 ) = − 24 x 5 + 16 x 4
− 8 x 2 + 2 x) ( 2 x )
12 x 4 − 22 x 3 + 12 x 2
= 12 x 4 − 16 x 3 + 4 x 2
− 12 x 4 + 16 x 3 − 4 x 2 − 6x 3 + 8x 2 − 4 x + 1
(6x
3
− 8x 2 + 4 x − 1) (− 1)
6x − 8x + 4 x − 1 3
= − 6x3 + 8x2 − 4 x + 1
2
0 18.
16 x − 40x + 73x − 84 x + 66x 2 − 36 x + 9 6
5
4
3
4 x 3 − 5x 2 + 6 x − 3
(8x
− 16 x 6 − 40x 5 + 73x 4
(8x
40 x 5 − 25x 4
3
3
48 x 4 − 84 x 3 + 66 x 2
− 5x 2 ) (− 5x 2 ) = − 40 x 5 + 25x 4
− 10 x 2 + 6 x) ( 6 x) = 48x 4 − 60 x 3 + 36x 2
− 48 x 4 + 60 x 3 − 36 x 2 − 24 x 3 + 30x 2 − 36 x + 9 24 x 3 − 30 x 2 + 36 x − 9 0
(8x
3
− 10x 2 + 12 x − 3)
(− 3) = − 24 x 3 + 30 x 2 − 36x + 9
19.
m6 − 4m5n + 4m4 n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8
m3 − 2m2 n + 2n 4
(2m
− m6
3
− 2m2 n) (− 2m2 n)
− 4m5n + 4m4 n 2
= − 4m5n + 4m4 n 2
4m n − 4m n 5
4 2
(2m
4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 − 4m n + 8m n − 4n 3 4
2 5
3
− 4m2 n + 2n 4 ) (2n 4 ) = 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8
8
0 20.
9 x 6 − 6 x 5 y + 13x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4 − 8 xy 5 + 4 y 6
3x 3 − x 2 y + 2 xy 2 − 2 y 3
(6x
− 9x6 − 6x y + 13x y 5
4
− x 2 y )(− x 2 y) = − 6 x 5 y + x 4 y 2
3
2
(6x
6x5 y − x 4 y 2
3
− 2 x 2 y + 2 xy 2 ) (2 xy 2 )
12 x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4
= 12 x 4 y 2 − 4 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4
− 12 x 4 y 2 + 4 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4
(6x
− 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6
3
− 2 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 ) (− 2 y 3 )
12 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4 + 8 xy 5 − 4 y 6
= − 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6
0
21.
16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4 − 4ab5 + b 6
4a 3 − 3a 2b + 2ab2 − b 3
(8a
− 16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2
(8a
24a 5b − 9a 4b 2
3
− 3a 2b)(− 3a 2b) = − 24a 5b + 9a 4b 2
3
− 6a 2b + 2ab 2 ) (2ab 2 )
16a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4
= 16a 4b 2 − 12a 3b 3 + 4a 2b 4
− 16a b + 12a b − 4a b 4 2
3 3
2 4
(8a
− 8a 3b3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6
3
− 6a 2b + 4ab 2 − b 3 ) (− b 3 )
8a 3b 3 − 6a 2b 4 + 4ab5 − b 6
= − 8a 3b 3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6
0 22.
36x 8 − 36x 6 y 2 + 48x 5 y 3 − 15x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 6 x 4 − 3x 2 y 2 + 4 xy 3 − 2 y 4
(12 x
− 36x 8 − 36 x y + 48 x y − 15x y 6
2
5
3
4
(12 x
− 9x 4 y4
36x 6 y 2
48 x 5 y 3 − 24 x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28x 2 y 6 − 48x y 5
+ 24 x y − 16 x y
3
3
− 24 x 4 y 4 4
24 x y
− 3x 2 y 2 )(− 3x 2 y 2 ) = − 36x 6 y 2 + 9 x 4 y 4
4
4
4
5
2
(12 x
6
+ 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 − 12 x y + 16xy − 4 y 2
0
6
4
7
8
− 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 ) (4 xy 3 ) = 48 x 5 y 3 − 24 x 3 y 5 + 16x 2 y 6
4
− 6 x y + 8xy 3 − 2 y 4 ) (− 2 y 4 ) 2
2
= − 24 x 4 y 4 + 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8
23.
25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 5a 3 − 4a 2 x + ax 2 − 2 x 3
(10a
− 25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2
(10a
40a 5 x − 16a 4 x 2 10a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4
− 4a 2 x)(− 4a 2 x ) = − 40a 5 x + 16a 4 x 2
− 8a 2 x + ax 2 ) (ax 2 ) = 10a 4 x 2 − 8a 3 x 3 + a 2 x 4
3
(10a
− 10a 4 x 2 + 8a 3 x 3 − a 2 x 4
3
3
− 8a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3 )(− 2 x 3 )
− 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6
= − 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6
20a 3 x 3 − 16a 2 x 4 + 4ax 5 − 4 x 6 0
24.
4a 8 − 12a 7 + 17a 6 − 16a 5 + 14a 4 − 10a 3 + 5a 2 − 2a + 1
2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a + 1
− 4a 8 − 12a + 17a 7
(4a
4
− 3a 3 )(− 3a 3 ) = − 12a 7 + 9a 6
(4a
4
− 6a 3 + 2a 2 ) (2a 2 )
6
12a 7 − 9a 6 8a 6 − 16a 5 + 14a 4
= 8a 6 − 12a 5 + 4a 4
− 8a 6 + 12a 5 − 4a 4
(4a
− 4a 5 + 10a 4 − 10a 3 + 5a 2 4a − 6a + 4a − a 5
4
3
− 6a 3 + 4a 2 − a )(− a )
4
= − 4a 5 + 6a 4 − 4a 3 + a 2
2
4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1 − 4a 4 + 6a 3 − 4a 2 + 2a − 1
(4a
4
− 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1) (1) = 4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1
0
25.
x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4
x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2
(2 x
− x10 − 2 x 9 + 3x 8 2 x9 − x8 2 x − 4 x + 5x 8
7
− x 4 )(− x 4 ) = − 2 x 9 + x 8
5
(2 x
5
− 2 x 4 + x 3 ) (x 3 ) = 2 x 8 − 2 x 7 + x 6
(2 x
5
− 2 x 4 + 2 x 3 − x 2 )(− x 2 )
6
− 2 x8 + 2 x 7 − x 6 − 2 x 7 + 4 x 6 − 8 x5 + 7 x 4
= − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x5 + x 4
2 x 7 − 2 x 6 + 2 x5 − x 4 2 x 6 − 6 x 5 + 6 x 4 − 6 x 3 + 5x 2
(2 x
5
− 2 x 6 + 2 x5 − 2 x4 + 2 x 3 − x 2 − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4 4 x5 − 4 x 4 + 4 x 3 − 4 x 2 + 4 x − 4 0
− 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + x) ( x ) = 2 x 6 − 2 x5 + 2 x 4 − 2 x 3 + x 2
(2 x
5
− 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 2)(− 2) = − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4
EJERCICIO 215 x4 5x 2 4 x 4 − x3 + − + 4 3 3 9
1.
−
x2 2 − x+ 2 3
x4 4
(x − x3 +
2
− x ) (− x ) = − x 3 + x 2
5x 2 3 2 2 2x2 4x 4 2 − + x − 2x + = 3 3 3 3 9
x3 − x2 2x2 4x 4 − + 3 3 9 2x2 4x 4 − + − 3 3 9 0
a 2 2a 19 2 x x 2 − + − + x 2 3x 9 3a a 2
2.
−
a 1 x − + x 3 a 2a 1 2a 1 1 − − = − + x 3 3 3x 9
a2 x2 −
2a 19 + 3x 9 2a 1 − 3x 9
2x x2 2a 2 x x − + = 2− + x 3 a a 3a a 2
2x x2 + 3a a 2 2x x2 −2 + − 3a a 2 0 2−
a2 ac bc c2 − ab + b2 + − + 4 4 2 16
3.
−
a2 4
a c − b+ 2 4
(a − b) (− b) = − ab + b
2
− ab + b 2 c c ac bc c2 a − 2b + = − + 4 4 4 2 16
ab − b2 ac bc c2 − + 4 2 16 ac bc c2 − + − 4 2 16 0
9a 4 3a 3 29a 2 4a 16 − + − + 16 4 20 5 25
4.
−
3a 2 a 4 − + 4 2 5 3a 2 a a 3a 3 a 2 + − − = − 4 4 2 2 2
9a 4 16 −
3a 3 29a 2 + 4 20 3a 3 a2 − 4 4
3a 2 4 4 6a 2 4a 16 −a+ = − + 5 5 5 5 25 2
6a 2 4a 16 − + 5 5 25 6a 2 4a 16 − + − 5 5 25 0
a 4 a 3b 3a 2b 2 b4 + + − ab 3 + 16 2 4 4
5.
−
a2 a 3b 2 2 +a b + ab ( ab) = 2 2
a4 16 a 3b 3a 2b 2 + 2 4 a 3b 2 2 − −a b 2 −
a2 b 2 b2 a 2b 2 b4 + 2ab − − = − − ab 3 + 2 2 4 4 2
a 2b 2 b4 − ab 3 + 4 4 a 2b 2 b4 3 + ab − 4 4 0
x2 2x 25 50 y + − 2 xy + − + 25 y 2 25 3 9 3
6.
−
a2 b2 + ab − 4 2
x 5 + − 5y 5 3 2 x 5 5 2 x 25 + + = 5 3 3 3 9
x2 25 2x 25 − 2 xy + 3 9 2x 25 − − 3 9 − 2 xy 2 xy
50 y 2 x 10 + 25 y 2 + − 5 y (− 5 y ) = − 2 xy − 5 3 3 50 y + 25 y 2 3 50 y + − 25 y 2 3 0 −
x 4 4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − + − + 9 3 15 5 25
7.
−
x2 y2 − 2 xy + 3 5 2x2 4x3 y − 2 xy (− 2 xy ) = − + 4x2 y2 3 3
x4 9 −
4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 + − 3 15 5 3 4x y − 4x2 y2 3
2 x2 y 2 y 2 2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − 4 xy + = − + 5 5 15 5 25 3
2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − + 25 15 5 2 2 3 2 x y 4 xy y 4 − + − 15 5 25 0
a 4 3a 2 9 a 2b2 2b 2 b 4 − + + − + 16 10 25 18 15 81
8.
−
a 2 3 b2 − + 4 5 9 a 2 3 3 3a 2 9 − − = − + 10 25 2 5 5
a4 16 −
3a 2 9 + 10 25 3a 2 9 − 10 25
a 2 6 b 2 b 2 a 2b 2 2b 2 b 4 − + = − + 2 5 9 9 18 15 81 a 2b 2 2b 2 b4 − + 18 15 81 a 2b 2 2b 2 b 4 − + − 18 15 81 0
9.
x2 + 4x + 2 −
4 1 + y x2
x + 2−
1 x
(2 x + 2) (2) = 4 x + 4
− x2 4x + 2
2x + 4 −
− 4x − 4 4 + y 4 2+ − y
− 2−
0
1 x2 1 x2
1 − x
1 4 1 = − 2− + 2 x x x
x 2 10 x 79 20 4 − + − + 2 9 3 3 x x
10.
−
10 x 2x + 25 − 5 (− 5) = − 3 3
x2 9 −
11.
−
x 2 − 5+ x 3
10 x 79 + 3 3 10 x − 25 3 4 20 4 − + 3 x x2 4 20 4 − + − 2 3 x x 0
2 2 4 20 4 2x − 10 + = − + 2 3 x x 3 x x
a4 30 9 − 5a 2 + 28 − 2 + 4 a a 4
a2 3 − 5+ 2 a 2
a4 4
(a
2
− 5)(− 5) = − 5a 2 + 25
− 5a 2 + 28 3 3 30 9 2 a − 10 + 2 2 = 3 − 2 + 4 a a a a
5a 2 − 25 30 9 + a2 a4 30 9 −3 + 2 − 4 a a 0 3 −
a 4 2a 3 a 2 2ax x2 + + 2− − 2+ 2 a 9 3x x 3
12.
−
a2 a x + − 3 x a 2a 2 a a 2 a 3 a 2 + = + x x 3x x 2 3
a4 9 2a 3 a 2 + 3x x 2 3 2a a 2 − − 3x x 2
2 a 2 2a x x x2 2ax + − − = − − 2+ 2 x a a a 3 3 −
x2 2ax − 2+ 2 a 3 x2 2ax + 2− 2 a 3 0
9a 2 3a 65 x 4 x 2 − + − + x 2 2 x 16 3a 9a 2
13.
−
3a 1 2 x − + x 4 3a 3a 1 6a 1 1 + − − = − x 4 4 2 x 16
9a 2 x2 −
3a 65 + 2 x 16 3a 1 − 2 x 16
x 4x2 6a 1 2 x 2 x − + = 4− + 2 x 2 3a 3a 3a 9a
x 4x2 + 3a 9a 2 x 4x2 − 4+ − 3a 9a 2 0 4−
9 x 4 + 30 x 2 + 55 +
14.
50 25 + x2 x4
− 9x4
3x 2 + 5 +
(6x
2
5 x2
+ 5) (5) = 30 x 2 + 25
30x 2 + 55 − 30 x 2 − 25
5 5 50 25 2 6 x + 10 + 2 2 = 30 + 2 + 4 x x x x
50 25 + x2 x4 50 25 − 30 − 2 − 4 x x 0 30 +
4a 2 2a 19 5x 25x 2 − + − + 25x 2 5x 12 3a 9a 2
15.
−
2a 1 5x − + 5x 2 3a 2a 1 4a 1 1 − − = − + 5x 2 2 5x 4
4a 2 25x 2 −
2a 19 + 5x 12 2a 1 − 5x 4 4 5x 25x 2 − + 3 3a 9a 2 4 5x 25x 2 − − + 3 3a 9a 2 0
5x 5x 4 5x 25x 2 4a − 1+ = − + 5x 3a 3a 3 3a 9a 2
x 4 x 3 y 3x 2 y 2 xy 3 y 4 − + + + 16 4 20 5 25
16.
−
x 2 xy y 2 − − 4 2 5 x 2 xy xy x3 y x2 y2 − − = − + 4 4 2 2 2
x4 16 −
x 3 y 3x 2 y 2 + 4 20 x3 y x2 y2 − 4 4 −
x2 y2 y2 x 2 y 2 xy 3 y 4 + + − xy − − = − 5 5 10 5 25 2
x 2 y 2 xy 3 y 4 + + 10 5 25 3 2 2 xy y 4 x y − − 10 5 25 0
4a 2b 2 2ab 21 7 xy 49 x 2 y 2 − + − + 49 x 2 y 2 7 xy 20 5ab 25a 2b 2
17.
−
4ab 1 1 2ab 1 + − − = − 7 xy 4 7 xy 2 2
4a 2b 2 49 x 2 y 2 −
2ab 21 + 7 xy 20 2ab 1 − 7 xy 4 4 7 xy 49 x 2 y 2 − + 5 5ab 25a 2b 2 4 7 xy 49 x 2 y 2 − + − 5 5ab 25a 2b 2 0
9a 2 x 2 6ax 23 4mn 4m2 n 2 + − + 2 2 − 25m n 25mn 75 45ax 81a 2 x 2
18.
−
2ab 1 7 xy − + 7 xy 2 5ab
4ab 7 xy 7 xy − 1+ 5ab 5ab 7 xy =
4 7 xy 49 x 2 y 2 − + 5 5ab 25a 2b 2
3ax 1 10mn − + 5mn 5 45ax 6ax 1 6ax 1 1 − − = − + 5mn 5 5 25mn 25
9a 2 x 2 25m2n 2 −
6ax 23 + 25mn 75 6ax 1 − 25mn 25 20 4mn 4m2n 2 − + 75 45ax 81a 2 x 2 20 4mn 4m2n 2 − + − 75 45ax 81a 2 x 2 0
6ax 2 10mn 10mn − + 5mn 5 45ax 45ax =
20 4mn 4m2 n 2 − + 75 45ax 81a 2 x 2
x6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x − x5 + + − + +4 4 3 3 9 3
19.
x3 2x − x2 + +2 2 3
x6 4
−
(x − x5 +
3
− x 2 )(− x 2 ) = − x 5 + x 4
5x 4 3 2x 2x 2x4 4x3 4 x2 3 − + x − 2x2 + = 3 3 3 3 9
x5 − x 4 2 x 4 2 x 3 32 x 2 + − 3 3 9 2x4 4x3 4x2 − + − 3 3 9
8x 4x 3 + 2 (2) = 2 x 3 − 4 x 2 + + 4 x − 2x2 + 3 3
8x +4 3 8x − 2x3 + 4x2 − − 4 3 0 2x3 − 4x2 +
1 3a 59a 2 3a 3 43a 4 2a 5 1a 6 − + − + − + 4 4 48 2 36 3 4
20.
1 3a 2a 2 a 3 − + − 2 4 3 2 3a 9a 2 3a 3a 1− − = − + 4 4 4 16
1 4
−
−
3a 59a 2 + 4 48 3a 9a 2 − 4 16
3a 2a 2 2a 2 2a 2 4a 4 + − a3 + 1− = 2 3 3 3 9
2a 2 3a 3 43a 4 − + 3 2 36 2a 2 4a 4 3 − + a − 3 9 −
3a 4a 2 a 3 a 3 + − − 1− 2 3 2 2
a 3 3a 4 2a 5 a 6 + − + 2 4 3 4 a 3 3a 4 2a 5 a 6 − + − 2 4 3 4 0
=−
EJERCICIO 216 1.
3
8 − 36 y + 54 y 2 − 27 y 3
2 − 3y 3(2) = 12
−8
2
− 36 y + 54 y 2 − 27 y 3
3 (2) (− 3 y) = − 36 y 2
36 y − 54 y 2 + 27 y 3
3 (2) (− 3 y) = 54 y 2
0
(− 3 y )
2
3
= − 27 y 3
a 3 3a 4 2a 5 a 6 + − + 2 4 3 4
2.
3
64a 6 + 240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6
4a 2 + 5b 2 3 (4a 2 ) = 48a 4 2
− 64a 6
3 (4a 2 ) (5b 2 ) = 240a 4b 2 2
240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6
3 (4a 2 )(5b 2 ) = 300a 2b 4 2
− 240a 4b 2 − 300a 2b 4 − 125b 6
(5b2 )3 = 125b 6
0 3.
3
x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
x2 + x + 1 3 ( x 2 ) = 3x 4 2
− x6
3 ( x 2 ) ( x ) = 3x 5 2
3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3
3 (x 2 )(x 2 ) = 3x 4
− 3x 5 − 3x 4 − x 3 3x 4 + 6 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
x3 = x3 3 ( x 2 + x ) = 3x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 2
− 3 x 4 − 6 x 3 − 6 x 2 − 3x − 1
3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 4 + 6 x 3 + 3x 2 2
0
3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 2 + 3x 2
(1)3 = 1 4.
3
8 x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1
2x2 − x − 1 3 (2 x 2 ) = 12 x 4 2
− 8x 6
3 (2 x 2 ) (− x ) = − 12 x 5 2
− 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3
3 (2 x 2 )(− x ) = 6 x 4 2
12 x 5 − 6 x 4 + x 3
(− x)
3
− 12 x 4 + 12 x 3 + 3x 2 − 3x − 1
= − x3
12 x − 12 x − 3x + 3x + 1 4
3
2
3 (2 x 2 − x ) = 12 x 4 − 12 x 3 + 3x 2 2
0
3 (2 x 2 − x ) (− 1) = − 12 x 4 + 12 x 3 − 3x 2 2
3 (2 x 2 − x )(− 1) = 6 x 2 − 3x 2
(− 1)
3
5.
3
1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36 x 5 + 8 x 6
= −1
1 − 3x + 2 x 2 3 (1) = 3
−1
2
3 (1) (− 3x ) = − 9 x
− 9 x + 33x 2 − 63x 3
2
3 (1) (− 3x ) = 27 x 2 2
9 x − 27 x 2 + 27 x 3 6 x 2 − 36 x 3 + 66 x 4 − 36 x 5 + 8 x 6 − 6 x + 36 x − 66 x + 36 x − 8 x 2
3
4
0
5
(− 3x)
3
= − 27 x 3
6
3 (1 − 3x ) = 3 − 18 x + 27 x 2 2
3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 6 x 2 − 36 x 3 + 54 x 4 2
3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 12 x 4 − 36 x 5 2
(2 x 2 )3 = 8 x 6
6.
3
x 6 − 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3 + 66 x 2 − 36x + 8
x 2 − 3x + 2 3 ( x 2 ) = 3x 4 2
− x6
3 ( x 2 ) (− 3 x ) = − 9 x 5 2
− 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3
3 (x 2 ) (− 3x ) = 27 x 4 2
9 x 5 − 27 x 4 + 27 x 3
(− 3x) = − 27 x 3
6 x 4 − 36x 3 + 66x 2 − 36 x + 8
3
− 6 x + 36 x − 66 x + 36x − 8 4
3
2
3 ( x 2 − 3x ) = 3x 4 − 18x 3 + 27 x 2 2
0
3 ( x 2 − 3x ) (2) = 6 x 4 − 36x 3 + 54 x 2 2
3 ( x 2 − 3x ) (2) = 12 x 2 − 36 x 2
( 2) 3 = 8 7.
3
x 9 − 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6 + 48x 5 − 48x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64
x3 − 2 x2 − 4 3 ( x 3 ) = 3x 6 2
− x9
3( x 3 ) (− 2 x 2 ) = − 6 x 8 2
− 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6
3( x) (− 2 x 2 ) = 12 x 7
6 x8 − 12 x 7 + 8x 6
2
3
(− 2 x ) = − 8x 2 3
− 12 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64
6
12 x 6 − 48x 5 + 48 x 4 − 48x 3 + 96x 2 + 64 3( x 3 − 2 x 2 ) = 3x 6 − 12 x 5 + 12 x 4 2
0
3( x 3 − 2 x 2 ) (− 4) = − 12 x 6 + 48x 5 − 48x 4 2
3( x 3 − 2 x 2 )(− 4) = 48x 3 − 96 x 2 (− 4)3 = − 64 2
8.
3
x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8
x4 − x2 − 2 3 ( x 4 ) = 3x 8 2
− x12
3( x 4 ) (− x 2 ) = − 3x10 2
− 3x10 − 3x 8 + 11x 6
3 ( x 4 )(− x 2 ) = 3x 8 2
3x10 − 3x 8 + x 6 − 6 x 8 + 12 x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8
(− x ) = − x 2 3
6
6 x 8 − 12 x 6 − 6 x 4 + 12 x 2 + 8 0
3 ( x 4 − x 2 ) = 3 x 8 − 6 x 6 + 3x 4 2
3 ( x 4 − x 2 ) (− 2) = − 6x 8 + 12 x 6 − 6 x 4 2
3 ( x 4 − x 2 )(− 2) = 12 x 4 − 12 x 2 2
(− 2) = − 8 3
9.
8x 6 − 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3 + 33x 2 − 9 x + 1
3
2 x 2 − 3x + 1 3(2 x 2 ) = 12 x 4 2
− 8x 6
3 (2 x 2 ) (− 3x) = − 36 x 5 2
− 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3
3 (2 x 2 ) (− 3x ) = 54 x 4 2
36 x 5 − 54 x 4 + 27 x 3
(− 3x) = − 27 x 3
12 x 4 − 36 x 3 + 33x 2 − 9 x + 1
3
− 12 x 4 + 36 x 3 − 33x 2 + 9 x − 1 3 (2 x 2 − 3x ) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2 2
0
3(2 x 2 − 3x) (1) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2 2
3(2 x 2 − 3x) (1) = 6 x 2 − 9 x 2
(1) 3 = 1 10.
3
27a 6 − 135a 5 + 117a 4 + 235a 3 − 156a 2 − 240a − 64
3a 2 − 5a − 4 3(3a 2 ) = 27a 4 2
− 27a 6
3(3a 2 ) (− 5a ) = − 135a 5 2
− 135a 5 + 117a 4 + 235a 3
3(3a 2 ) (− 5a ) = 225a 4 2
135a 5 − 225a 4 + 125a 3
(− 5a)
3
− 108a 4 + 360a 3 − 156a 2 − 240a − 64
= − 125a 3
108a 4 − 360a 3 + 156a 2 + 240a + 64 0
3 (3a 2 − 5a ) = 27a 4 − 90a 3 + 75a 2 2
3(3a 2 − 5a ) (− 4) = − 108a 4 + 360a 3 − 300a 2 2
3(3a 2 − 5a ) (− 4) = 144a 2 − 240a 2
(− 4) = − 64 3
11.
3
a 6 − 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3 + 15a 2b 4 − 6ab5 + b 6
a 2 − 2ab + b 2 3(a 2 ) = 3a 4 2
− a6
3 (a 2 ) (− 2ab) = − 6a 5b 2
− 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3
3 (a 2 )(− 2ab) = 12a 4b 2 2
6a 5b − 12a 4b2 + 8a 3b 3 3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 15a 2b4 − 6ab5 + b6
(− 2ab) = − 8a b 3
3 3
− 3a 4b2 + 12a 3b3 − 15a 2b 4 + 6ab5 − b6 0
3(a 2 − 2ab) = 3a 4 − 12a 3b + 12a 2b2 2
2 3 (a 2 − 2ab) (b) = 3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 12a 2b 4 2
3 (a 2 − 2ab) (b 2 ) = 3a 2b 4 − 6ab5 2
(b2 )3 = b6
12.
3
x 6 − 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3 + 210 x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6
x 2 − 3xy + 5y 2 3 ( x 2 ) = 3x 4 2
− x6
3(x 2 ) (− 3xy) = − 9 x 5 y 2
− 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3
3( x 2 ) (− 3xy) = 27 x 4 y 2 2
9 x 5 y − 27 x 4 y 2 + 27 x 3 y 3
(− 3xy) = − 27 x y 3
15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 210x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6
3
3
− 15x 4 y 2 + 80 x 3 y 3 − 210x 2 y 4 + 225xy 5 − 125 y 6 3( x 2 − 3xy) = 3x 4 − 18 x 3 y + 27 x 2 y 2 2
0
3 ( x 2 − 3xy ) (5y 2 ) = 15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 135x 2 y 4 2
3 ( x 2 − 3xy ) (5 y 2 ) = 75x 2 y 4 − 225xy 5 2
(5y ) = 125y 2 3
13.
3
a12 − 3a10 + 15a 8 − 25a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64
6
a4 − a2 + 4 3 (a 4 ) = 3a 8 2
− a 12
3(a 4 ) (− a 2 ) = − 3a 10 2
− 3a 10 + 15a 8 − 25a 6
3 (a 4 ) (− a 2 ) = 3a 8 2
3a10 − 3a 8 + a 6
(− a ) = − a 2 3
12a 8 − 24a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64
6
− 12a 8 + 24a 6 − 60a 4 + 48a 2 − 64 3(a 4 − a 2 ) = 3a 8 − 6a 6 + 3a 4 2
0
3 (a 4 − a 2 ) (4) = 12a 8 − 24a 6 + 12a 4 2
3 (a 4 − a 2 ) (4) = 48a 4 − 48a 2 2
(4) 3 = 64
14.
3
a 9 − 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8x 9
a 3 − 3a 2 x + 2 x 3 3(a 3 ) = 3a 6 2
− a9
3(a 3 ) (− 3a 2 x ) = − 9a 8 x 2
− 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3
3(a 3 )(− 3a 2 x ) = 27a 7 x 2 2
9a 8 x − 27a 7 x 2 + 27a 6 x 3 6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8 x 9 − 6a x + 36a x − 54a x − 12a x + 36a x − 8 x 6 3
5 4
4 5
3 6
0
2 7
(− 3a x) = − 27a x 2
3
6 3
9
3 (a 3 − 3a 2 x) = 3a 6 − 18a 5 x + 27a 4 x 2 2
3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 2
3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 2
(2 x 3 )3 = 8 x 9
15.
3
a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1
a3 − a2 + a − 1 3 (a 3 ) = 3a 6 2
− a9
3(a 3 ) (− a 2 ) = − 3a 8 2
− 3a 8 + 6a 7 − 10a 6
3 (a 3 ) (− a 2 ) = 3a 7 2
3a 8 − 3a 7 + a 6
(− a ) = − a 2 3
3a 7 − 9a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3
6
− 3a 7 + 6a 6 − 6a 5 + 3a 4 − a 3 3 (a 3 − a 2 ) = 3a 6 − 6a 5 + 3a 4 2
− 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 9a 3 − 6a 2 + 3a − 1
3 (a 3 − a 2 ) (a ) = 3a 7 − 6a 6 + 3a 5 2
3a 6 − 6a 5 + 9a 4 − 9a 3 + 6a 2 − 3a + 1
3 (a 3 − a 2 ) (a 2 ) = 3a 5 − 3a 4
0
(a 3 ) = a 3
3(a 3 − a 2 + a ) = 3a 6 + 3a 4 + 3a 2 − 6a 5 + 6a 4 − 6a 3 2
3(a 3 − a 2 + a ) (− 1) = − 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 6a 3 − 3a 2 2
3(a 3 − a 2 + a )(− 1) = 3a 3 − 3a 2 + 3a 2
(− 1)
3
16.
3
x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27
= −1
x 3 − 4 x2 + 2 x − 3 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) = − 12 x 8
3 ( x 3 ) = 3x 6 2
− x9
3(x 3 )(− 4 x 2 ) = 48x 7 2
− 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 12 x − 48x + 64 x 8
7
2
(− 4 x ) = − 64 x 2 3
6
6
3 (x 3 − 4 x 2 ) = 3x 6 − 24 x 5 + 48 x 4 2
6 x 7 − 57 x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3
3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 6 x 7 − 48x 6 + 96 x 5 2
− 6x 7 + 48 x 6 − 108 x 5 + 48 x 4 − 8x 3 − 9 x 6 + 72 x 5 − 180 x 4 + 171x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27
3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 12 x 5 − 48x 4
9 x 6 − 72 x 5 + 180 x 4 − 171x 3 + 144 x 2 − 54 x + 27
2
(2 x ) = 8 x 3 3
0 3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) = 3x 6 + 48 x 4 + 12 x 2 − 24 x 5 + 12 x 4 − 48 x 3 2
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) (− 3) = − 9 x 6 − 144 x 4 − 36 x 2 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3 2
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x )(− 3) = 27 x 3 − 108 x 2 + 54 x 2
(− 3) = − 27 3
EJERCICIO 217 x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2 − + − + − 4x + 8 8 4 3 27 3
3
1.
−
x2 x − +2 2 3 2
x 2 3x 4 3 = 4 2
x6 8 −
2
x 5 5x 4 55x 3 + − 4 3 27
x2 x x5 3 − = − 4 2 3
x5 x 4 x3 − + 4 6 27
x2 x 2 x4 3 − = 6 2 3 3
x3 x − = − 3 27
3x 4 20x 2 − 2x3 + − 4x + 8 2 3 −
3x 4 20 x 2 + 2x3 − + 4x − 8 2 3 2
x 2 x 3x 4 x2 − x3 + 3 − = 4 3 2 3
0
2
x2 x 3x 4 2x2 − 2x3 + 3 − ( 2) = 2 3 2 3 x2 x 2 3 − ( 2) = 6 x 2 − 4 x 2 3
( 2) 3 = 8
2.
3
a9 +
3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3 − − + + − 2 4 8 12 6 27
a3 +
a2 a − 2 3
3(a 3 ) = 3a 6 2
− a9
2 3a 8 2a 3(a 3 ) = 2 2
3a 8 a 7 7a 6 − − 2 4 8
2
a 2 3a 7 3(a ) = 4 2 3
−
3
a2 a6 = 2 8
3a 8 3a 7 a 6 − − 2 4 8 − a7 − a6 +
a5 a 4 a 3 + − 12 6 27
2
a2 3a 4 3 a 3 + = 3a 6 + 3a 5 + 4 2 2
a2 a a5 3 a 3 + − = − a 7 − a 6 − 2 3 4 a5 a 4 a 3 a + a − − + 12 6 27 7
6
2 a 2 a a5 a 4 3 a 3 + − = + 2 3 3 6 3
0
a3 a − = − 3 27
x3 9x2 60 36 8 − + 15x − 45 + − 2 + 3 x x x 8 4
3
3.
x 2 − 3+ x 2 2
2 x 3x 3 = 2 4
−
x 3 2
x3 8 −
2
(− 3) = − 94x
2
2 27 x x 3 (− 3) = 2 2
9x2 + 15x − 45 4
(− 3)
3
= − 27
2 x 3x − 9 x + 27 3 − 3 = 2 4 2
2
9 x 27 x − + 27 4 2 3x 60 36 8 − 18 + − 2 + 3 x x x 2
54 x 2 3x 3 − 3 = − 18 + 2 x 2 x 2
6 36 x 2 3 − 3 = − 2 2 x x x 2
−
3x 60 36 8 + 18 − + 2 − 3 x x x 2 0
a 3 3a 2 15a 5 15b 3b2 b3 − + − + − + 8b 3 4b 2 8b 2 8a 4a 2 8a 3
3
4.
−
8 2 = 3 x x 3
a b − 1+ 2b 2a 2
2 a 3a 3 = 2 2b 4b
a3 8b 3 −
a 3 2b
3a 2 15a 5 + − 4b 2 8b 2
2
(− 1) = − 34ab
2 2
3a 2 a 3 (− 1) = 2b 2b 3a 2 3a − +1 4b2 2b
(− 1)
3
= −1
3a 3 15b 3b 2 b3 − + − + 8b 2 8a 4a 2 8a 3 2
2 a 3a 3a 3 − 1 = 2 − + 3 2b 4b b
−
3a 3 15b 3b2 b 3 + − + − 8b 2 8a 4a 2 8a 3
2
a b 3a 3 3b 3 − 1 = − + 2b 2a 8b 2 2a 2
0
2 a b 3b 3b 3 − 1 = − 2 2b 2a 8a 4a 3
b3 b = 3 2a 8a
8a 3 2a 2 a 13 x x2 x3 + − − 2− 3 − 2 + 27 x 3x 18 x 24 36a 6a 27a 3
3
5.
2a 1 x − − 3x 2 3a 2 2 a 4a 3 = 2 3 x 3x 2
−
2a 2 2a 1 3 − = − 2 3x 2 3x 2
8a 3 27 x 3 −
2
a 2a 1 3 − = 3x 2 2 x
2a 2 a 13 + + 3x 2 18 x 24
3
1 1 − = − 2 8 a 2a 2 1 − + 3x 2 2 x 8 −
x2 x3 4a 2 x + − − 2− 9 x 3 36a 6a 27a 3
2
2 2a 1 4a 2a 3 + 3 − = 2 − 3 x 2 3x x 4 2
4a 2 x 2a 1 x + − 3 − − = − 3x 2 3a 9 x 3 4a x x2 x3 4a 2 − + + 2+ 9 x 3 36a 6a 27a 3 0
8a 3 4a 2 3a 27b 27b2 27b3 + 4+ + + 3 + 2 + 27b 3b b 8a 16a 2 64a 3
3
6.
−
2
2 2a 1 x 2 x x − 2 3 − − = 3x 2 3a 9a 6a
3
x3 x − = − 3a 27a 3
2a 3b + 1+ 3b 4a 2
2 2 a 4a 3 = 2 3b 3b
8a 3 27b 3
−
2
4a 2 3a + +4 3b2 b
4a 2 2a 3 (1) = 2 3b 3b
4 a 2 2a − −1 3b2 b
2 a 2 2a 3 (1) = 3b b
a 27b 27b2 27b3 + 3+ + + b 8a 16a 2 64a 3 a 27b 27b2 27b3 − − 3− − − b 8a 16a 2 64a 3
(1) 3 = 1 2
2 2a 4a 4a +3 3 + 1 = 2 + 3b b 3b 2
0
9b 2a 3b a 3 + 1 = + 3 + 3b 4a b 4a 2
9b 27b 2 2a 3b 3 + 1 = + 3b 4a 8a 16a 2 3
27b 3 3b = 4a 64a 3
EJERCICIO 218 1
2
1. x 3 =
3
4
2
8. 3x 7 y 5 z 7 = 3 7 x 2
x
3 5
1
2. m = 5 m3
5
4 5
5. a b =
= a
= bc abc
4
b
4
6.
= 8mn
= x x =x x
5
y
4
5
5
y
5 6
11. 4a b c = 4a
z
y
4
4
n
7. 2a b = 2 a 5
= 4a
z
23
23
b
7
2 5
3 5
7 6
4
5
6
y 6 = 3x 2 y 5
5
c
b
6
21. 5a
b
13.
a4
14.
b
a5 = a
24.
x7 = x 3
8
n
m 3
bn = 3a 2 b 3 1
m
9
n8 = 3m 6 n 5
5
23. 3 am
7 3
7
22. 3 6 m7
5 2
3
x 2 y 3z9 = 5ax 5 y 5 z 5
5
c5
4 5
5
5
2
b b b 6 c5 3
3
20. 2 4 ab 3c 5 = 2a 4 b 4 c 4
5
3 3
= 4a 2 b 2
z
= 2 5 a 4 b2 b2 b = 2b 2
b5 = a 2 b 3
3
19. 3 x 7
2
12. 5m n x = 5 5 m2n3 x 4
5 2
a3
1
7 3
2
= x3
2 3
5
3
18.
= 8m 3 n3n3n2
b
2
4 5
m = m3 5
10. 8mn = 8m 3 n8
3
b 2b
= b 5 a4 3 1 1 x2y4z5
1 3
17. 2 4 x 5 = 2x 4
3
8 3
a
5
x = x2
= 4 ab 4bc 4 c 3
=x y 5
1
15. 16.
4
3 2
z2
7
3
4.
7
9. a 4 b 4 c 4 = 4 ab 5 c 7
3. 4a 4 = 4 4 a 3 1 xy 2
y4
5
n
a
3
x
r
b3 c x = a m b n c r
EJERCICIO 219 −
3.
a − 4b
1 − 2
a 4b 1 − −2 3
4.
3x y
=
1 2
3
=
1
1 a
=
x2y 3 −
5.
1
=
1
4
x2
−
3 5
=
−
1 2 5
14.
5a
1 − 3
b
3 − 4
4a
7a b c
−
−
2 3
=
=
3 5
c− 1 =
1
1 2
−4 2
4x 2 y
17.
2a b 2a c 2a c = = 3 a − 4 c − 1 a 2b 3 b
y
m n
4x 2 y
c2
2
4b
15. 5 1 3
3
a b4c
1 a 3a 2 x 2 x 2
y
=
7
3a 2 x 4
3
4
9 2
2 3
4a a c 7b2 4a c 7b 2
1 2 x3
b 2 c2 4x 3 3
1
1 2
−
=
1 7
18.
2 3
2m − 5n− 7 2 = a 2m3n− 4 a 2m3m5n− 4n7 2 = 2 8 3 amn
−
3
−
2
3a 4 b 5 c4
3m− 4n 2 3m3n 2 n4 3n 2 13. = = 8m− 3n− 4 8m4 8m
a2c 6. a b c = b
8.
3
y
1 4
x − 1y − 2z − 3 a 2b5 c 8 12. − 2 − 5 − 8 = a b c xy 2 z3
3
2 −1
7.
11. b
1
m 2 n− 5 =
−2 −3
1
a 2 x− 2 16. 3a 3 x 2 y − 1 =
1 x2 = 9. −2 2x 2 3 5 10. x − 1y − 5 = 3xy
a2 2 −3 1. a b = 3 b 3 −5 2. 3x = 5 x
1
3a 2mn
19.
−
2
a 4b 5 = 3c 4
1 3 − 2 4
3
= 3a 2a 3mm 2 nn 4
a − 3m n
3
7
= 3a 5m 2 n 4 −
2
x 3y 20.
2
x yz
−
1 4
−
1 2
= 2
1
1
z2
z2
2 3
x x yy
1 4
=
8
5
x3y4
EJERCICIO 220 9.
2
1. 2.
a 1 = b 2 a − 2b 2 3x − 1 3 = 2 y2 xy
10.
4mn2 4 = −1 − 2 3 3. x3 m n x 4.
5.
11.
a − 1b − 3 1 = 3 3ab 3 2 − 3
3c 7
7c
2 3
5x
1 4
2
y
3a 5
1 x 2 y− 2
17. 1
b 3c − 2 =
2 3
2
a c b
3x − 1y y3
−
1 2
3
=
xy 3 y
1 2
7x − 5 y
−
18.
xy
3 4
1 − 3
= a 4b 3 1
3
=
a − 4b
3a 5 x 5 y 4 = 7 1
1 −3
2m2
7 2
19.
3m− 3n a3
2 1 − 2 2
9m n
−
1 4
=
m 1 = 7. 5 5m3
1
= a3x − 2y 2
20.
1 − x2y 2
3a 2b3 = 3a 2ab 3 x − 1 = 3a 3b3 x − 1 a − 1x
21.
14.
3a = 3ab − 2 b2
3xy 2z3 2 2 3 3 2 4 6 22. − 1 − 2 − 3 = 3xxy y z z = 3x y z x y z
16.
x
−
1 2
−
1
− m− 2n− 1x 2 − 2 4 −1 5 2 23. − 4 − 5 − 2 = m m n n x 2 x m n x
1
4
3a − 2b3 3 = 2 4 −3 c4 a c b
1
2m2m3n 4 2m5n 4 = 3 3
2 = 2a − 1 a
x 2y 2 2 2 3 15. − 2 = x yy = x y y
−3
8.
2 − 3
3
1
=
13.
2 −
a
1 2 y2
1
1
2x 4 = 6. 5y 2
−
2m− 2n 2 = 12. 9
3
=
x
= 4x 2 y − 2 y
1
3
= m2n4 x 2
2
EJERCICIO 221
1.
x
−
1 2
1
=
1 2.
a
−
1 2
b
5
3.
5a 7 b
=
1 2
x
=
2 3
1
a 3
1 2
b
1 3
=
3x 4.
5.
x
=
1 2
−
x
2 − 5
−
1 2
3 4
2m n =
6.
4x
1 3
=
y
−
1
3
=
4
3
2 n 2 5
=
a = 4a 2
=
1 2
x
a a4x
4a 3 5
4 7
−
3 2
=
1 2
=
2
4 a a a
a b
2
2
−
4 3
1
=
3
a 14. b
4a a 1 = = 5
x
=3
4 3
−
3 2
−
3 2
4a
2 n
10. x
2 − 3
y z
−
y3 2
=
4
3
x 3z7 11.
3
5
=
2
1
x − 2m − 3n
−
2 5
1
= 2
3
xmn
4 x
2 3
2 3
= x y = x 5
3
5
3 3
y
=
1 x3 x
3
b2
=
1 2
1 x3x
3
a2 b 2b
=
a
a 2a
=
b b a a
1
3
m
x 3
1
2
=x
4
a 2a 4 x
1 2
3
4
5
9.
b
x2
x
2
−2
2 5
5
y3
x2
7
=
1 1 1 − 21 3 − 6 15. x = x = 1 = 6 x x6
z4 1
2
xm
1 1 1 − 21 = 12. a = 3 = 3 a a a a2
3 5
n
2
16.
a− 3 = a
−
3 2
=
1 3
a2
3
3 x5
7.
=
3
3
a2
2
5 7 a5
=
1 3
m 1
b
23 13. x
3
= =
a 3
5 7 a5
3
3 2
1
−
−
−
x4
=
2
b −1
8.
x
3a
2
17.
2 x − 3 y − 4 = 2x
−
3 2
y
−
4 2
=
2 3 2
x y2
18.
2
2
a3
a3
=
x− 5 3
x 2
3 m 19.
20. a
3 5 4
−
=a
5 2
3m
=
5 4 n− 3
−
5
5n
b− 3 =
2 3
b
−
1 22.
23.
−
2 3
24.
a
−
3 5
=
3y 2 x
−1 3
n
=
2 3
−3
3 b4
7
7 2
b
−
6 2
= a 2 b3
33. 8 27
−
1 3
=
8
2 3
x −
1 2
=m n
−
3 3
1
=
25 36
−
34.
1 2
3
32 35. 243
−
1 5
=
27
36. − 64
5 92
9
=
2 3
(
29. − 27
)
= 3
1
)
2 5
2
− 27
3
5
16 81
− 32
38.
= − 2⋅− 2 = 4 −
3 2
=
1 49 3
= =
1 49 2
−
5 4
=
49
2
1 1 = 49 ⋅ 7 343
4 4
16 2 = 81 3
3
(− 27) 64 − 27
3 3
64 − 27
5
43. 9 2 ⋅ 27
−
1 3
=
814 4 81 4 4
16 16 81⋅ 3 243 = = = 7 19 32 16 ⋅ 2 32
=
=
44. 243
5
3
8 42
4
= 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 32
2
16 4 4
=
1 4
42. 8 3 ⋅ 4 2 = 3 8
642
81
=
16 4 81
5 4
4
1 4
2 3
1 3 37. − 3 = 9 = 729 9
2
−
1
=
3
3
)
81 = 16
4⋅4 16 = = = 1 79 − 3⋅ − 3 9
= 5 (− 32) = 5 − 32
31. 49
=
= 3 (− 27)
= − 3⋅ − 3 = 9
(
64
41. (5
1 1 −4 16
2 3
− 27
5
= 3 − 27 30. − 32
1
=
1 = = = 2 2 243 9 9 9 81 9 2 3
9
252 25 9 ⋅ 3 27 = = 25⋅ 5 125
2435
3
1
92
=
1
1
=
3
252
1 2
1 4
1
92
=
1 2
32 5 5 243 3 1 = 5 = =12 32 2 −
3 2
3
25 36 6 1 = = =15 25 5
1 2
= 81 4 81 = 9 ⋅ 3 = 27 5 2
)
27 3 1 = =12 8 2
36
=
−
25 = 9
3 7 −2 9
40. (2
1 3
3
27. 81 = 81 81
−
243 5 243 − 32 5 − 32
3⋅ 3 9 = = 2 41 − 2⋅ − 2 4
=
27 3
=
2
28. 9
5
=5
1
3y 2
26. 8 3 = 3 82 = 3 64 = 4 1 2
2
− 32 5
3
=x2
2 = (16) (16) = 16 16 = 64
3 4
2435
=
16 4 = 81 9 16 ⋅ 2 32 = = 81⋅ 3 243
(16) 3
25. 16 =
2
2 5
92 92 9
m n 3 2
−
32 39. − 243
42 42 4
=
1 a
1 2
3 4
4
y− 4 m
3m n 5
1
=
a− 7 b− 6 3x
−
2 3
=
3 5
a 21. x 2 x − 1 = x2 x
3 4
45 4 2 32. = 9 95
5 x2
=
3 4
−
2 3
7 5
−
1 5
95 3
27
92
92 3
9
= 81
3
⋅128 7
128 3 243
= =
7
128 7 128 7 128 3
2⋅2⋅2 8 = = 2 23 3 3
EJERCICIO 222 1
1
1
6. a 2 x 3 + a
1. a − 2 + a − 1b 2 + x 0 para a = 3 b = 4
−
1 2
x
−
1 3
1
+
−
a x
1
= 3− 2 + 3− 1 ⋅ 4 2 + x0
1
1
−
1
−
1 2
1
+ x2 y −3 + x0 y 3 1 2
para x = 4 y = 1
3 3 3 + 34 37 = + 16 + 1 = + 17 = = = 18 12 2 2 2 4
7.
1 3 a −4 − 2 4 para a = 4 b = 16 −1 + a b b 1 3 4−4 − −3 = 2 (4) ⋅ 16 + −1 + 4 2 ⋅ 16 4 16 2 16 4 = 3 ⋅ 16 + 4 + 4 4 4 (16) 2 ⋅ 16
− 3. 2a b + 3
3 4
4.
1 − 2
2 16
x +x y y −2
1 − 3
1 2 4
= 16
− x0 y0 +
x y
4 3
para x = 16 y = 8
−3
3
8+
3 4
3− 2 −1 −3 + 3( 3) ⋅ 162 ( 2) − 16−1
1 2
1
+ 16 4 + 1
16 ⋅ 2 −1
16 3 256 2 + ⋅ − + 4 16 + 1 32 3 2 3 32 16
16 1 + 32 − + 2 + 1 9 18 16 1 32 + 630 − 1 661 = + 35 − = = = 36 13 18 9 18 18 18 =
8.
2 1 x0 x −2 3 5 + y0 0 + x − y + y −1 3y
para x = 8 y = 32
2 1 1 8− 2 + 8 3 − 32 5 + −1 + 1 3(1) 32
9. a
−
1 3
1
−
b
1 8
x y 0 −2 para x = 81 5. −1 + 0 + 2 x + x y x y
3− 2
1 32 2 = + 3 (2 3 ) − 5 32 + 2 + 1 3 8 1 2 1 1 1 2 + 18 + 3 23 = + 2 − 2 + + 1= + 3 + = = = 3 56 3 2 3 2 6 6
1 16 1 − 1 + 3 = 512 + − 1 + 1 4⋅ 2 8 8 8 = 512
0
=
=
1 1 16 16 − − 2 ⋅ 8 3 − 160 ⋅ 80 + 4 − 2 + 16 8 83 1 16 = 4 162 4 16 ⋅ 82 + − 1+ 3 16 3 8 (83 )8
= 4 ⋅ 2 ⋅ 64 +
+ 3 (1)
1 4
1 a −2 a −2 −1 2 − 3 − 1 + b 4 + c0 −1 + 3a b c b b 2 c −1 para b = 16 c = 2 a = 3
=
1 1 1 8 + 1 + 4 13 + + = = 2 16 4 16 16
3 4
=
1 −
1
−3
1 1 + + 2 16
1
1 + 4 16 ⋅ 8 + 3 16 3 8 1 1 = 8+ + 16 + 3 = 27 + = 27 18 4⋅2 8 = 16
= 3 ( 4) + 4 2 (1) + 1 (1) 3
=
para a = 16 x = 8
16 ⋅ 8−1
1 1 4 + +1 32 3 1 2 1+ 6 + 9 16 = + + 1= = = 1 79 9 3 9 9 −
+ 3x 0 −1
= 16 2 ⋅ 8 3 + 16 2 ⋅ 8 3 +
=
2. 3x
1 4
= 27 y=3
3 1 3− 3 = −1 + + 2 (1) + 814 ⋅ 3− 2 81 1 4 1 812 4 81 = 81 + 3 + 2 + 3 32 1 9⋅3 1 1 = 83 + + = 83 + + 3 = 86 + = 86 271 27 9 27 27
−
1 3
4 − 5
−
+ a 0b −
2
3
1
a b5 −
a 1 4 − 5
+ (1) 243 −
−
2 3
para a = 27 b = 243 2
3
27 ⋅ 2435 −
243 =
3
1 5 5 4 2 − (3 ) + 243 − 3 5 (35 ) − 27
1 2 = − 34 + 243 − 3 ( 3) − 32 3 1 1 = + 162 − 27 − 9 = + 126 = 126 13 3 3
1 27
3
(33 )2
−
2 3
EJERCICIO 223 2
3
2
3
7. 3m 5 m− 5 = 3m 5 − 5 = 3m− 5
2. a − 2a − 3 = a − 2 − 3 = a − 5
8. 2a 4 a − 2 = 2a 4 − 2 = 2a 4
3. x 3 x − 3 = x3 − 3 = x0 = 1
9. x − 2 x − 3 = x − 2 − 3 = x − 3
1 2
1 +1 2
4. a a = a 1
1
1
3
1
3
1
1
3
1
3 2
=a
1
3
1
1
1
2
1
1
7
4
1
5
1
1
1
3
2
1
1
1
1
1
3
2
1
1
4
1
2
1
2
3
3
17. m− 3 n 3 m− 3 n 3 = m− 3 − 3 n 3 + 3 = m− 3 n 3 = m− 1n
12. a − 1b − 2 ab 2
4
1
16. a − 2 b 4 a 2 b 4 = a − 2 + 2 b 4 + 4 = a 0b 4 = b
11. 4a − 2a − 2 = 4a − 2 − 2 = 4a − 2
6. a 4 a 4 = a 4 + 4 = a 4 = a
1
15. a 3b − 1a − 2b − 2 = a 3 − 2b − 1− 2 = ab − 3
2
1
3
1
14. 3a 2b 2 2a − 2b − 2 = 3 ⋅ 2a 2 − 2b 2 − 2 = 6a 0b0 = 6
10. 3n2n− 3 = 3n2 − 3 = 3n 3
5. x 2 x 4 = x 2 + 4 = x 4
1
13. x − 3 y 2 x − 2 y − 2 = x − 3 − 2 y 2 − 2 = x − 5 y 0 = x − 5
1
1. x 2 x − 3 = x 2 + b− 3g= x − 1
3
3
5
5
18. 2a − 1b 4 ab − 2 = 2a − 1+ 1b 4 − 2 = 2a 0b − 4 = 2b − 4
= a − 1+ 1b − 2 + 2 = a 0b 0 = 1
EJERCICIO 224 2
2. x − 1+ x 2
1. a − 4 + 3a − 2 + 2
a a
−4
−a
−8
−2
+ 3a
−6
a a
+ 2a
3
−4
−6
+ 3a
−2
+a
1
−
3
5.
2a − a + 2a 1
1
2 3
3a − 5
1
− 2 −1
−a b
− 2 −1
a b b
−
4 3
6.
4
2
x3
− 2x 3
3
1
2 3
−
2 3
x2 − 2 5
−
2 3
+ 2a + 8a
−
4 3
−
4 3
+x 3
+ 10a
1 4
−
1 2
1
x 4 + 2x 4 − x 4 3
4 − 3
+1
−
x 4 + 2x 4 − x 1
−
1
− 8a
− 8a − 2
1
− 2 x 4 − 4 x 4 + 2x
−2
−
1 4
−
1 4
−
1 4
1
x 4 + 2x 5
1
− 4x 4 + 4x
−x −x
x − 3y − 2 − x − 5y − 4 + x − 7y − 6
b − 3 + a − 1b − 2 + a − 2b − 1
−3
2
8. x − 1y − 1 + x − 3 y − 3 + x − 5 y − 5
− a − 3b − 1 + a − 4
−a b
2 3
1
x 3 + 2x 3 + 1
x4
7. a 2b − 1 + a + b
−1 − 2
− 4a
− 4a
1
2a + a 4 − a 2 + 3a 4 − 2
a b
2 3
+ 1 − 2a
1 4
− 2a 2 + a 4 − 2
−2 −2
−
3a − 6 + 6a
1 2
−
− 2 + 2a
2 3
1
3
2 a3
3+a
1 4
2a − a 4 + 2a 2 3 4
2
x 4 + x 2 − 2 + 3x − 2 − x − 4
+2
1
1
2
− 2x − 4 x 3 − 2x 3
−1 + x− 2 − x− 4
+2
−2
1 3
−
x 3 + 2x + x 3
2x 2 − 2 + 2x − 2
4. 2a 4 − a 2 + 2a 4
a4 + 1 −a
4
x4 − x 2 + 1
+ 2a − 4
− a − 6 − 3a − 4 − 2a − 2 −8
1
x3 − 2 + x
x2 + 2 − x − 2
+1
1
3. x + 2x 3 + x 3
−2
− 2 −1
+a b
x − 4y − 3 + x − 6y − 5 + x − 8 y − 7 −a +a
−3
−3
− x − 6 y − 5 − x − 8 y − 7 − x − 10 y − 9 −4
+a b −4
+a b
+ x − 8 y − 7 + x − 10 y − 9 + x − 12 y − 11 x − 4y − 3
+ x − 8y − 7
+ x − 12 y − 11
−
3 4
−
3 4
1
3
−
9. a 4 b − 3 + a 4 b − 2 − a 1 2
−1
a b − 2 + 3a 5 4
1 2
−
1 4
14. 2x − 3 + x − 1 + 4x − 2
b−1
x − 1 − 2x − 2 + x − 3
b
2 − 3x − 1 + x − 2 + 4 x − 3
3 4
1 4
− 4x − 1 + 6x − 2 − 2x − 3 − 8x − 4
a b− 4 + a b − 3 − a b − 2 3
1
− 2a 4 b − 3 − 2a 4 b − 2 + 2a 1 a 4 b− 2
3 5 a 4 b− 4
3 − a 4 b− 3
1 4 b−1 −
+5
10. a − 1 + 2
a− 2 + 2
1
3
−
1
−
1
+ 2b − 2
3
+ 2b − 2
1
2
−2+a5 −a
3
3
3
4x + 3x 2 y 1 3
3
1 2
2 3
1
2 3
7 3
1 3
2 3
− x y2
2 − 2m
x + 3a x + 2a x x − 2a x 2 + a x − 3ax
1 a5
−
1 3
−
1 5
−
1 5
+a − 2a
+a
−
−
+a+a
3 5
3 5
−
2 3 1
2 5 3
4 3
2 3
5 3
4 3
4 3
2
4
2m + 4m 3
4
5
2 3
2
13. 5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1
1
18. x
3 3 4y2
+ 3x
−
5 1 4y2
− 3x
15a 3 − 9a 2 + 12a − 6
x − 2 y 2 + 3x −1
−
1 1 1 4y−x4y2
−
3 4
−
−x
3 3 2y2
3 3 − − 3x 2 y 2
− 25a + 15 − 20a − 1 + 10a − 2 − 19a + 17 − 24a + 10a
+ 2 + 4m
−
x
−1
−
1 3
−
1 3
+ 2m 3 + 6 + 4m
3a + 2 − 5a − 1 10a − 6a + 8 − 4a
1
− 2m 3 − 6m 3 − 4
4 3
− 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3
15a + a
2 5
+ 2m
5 3
+ 2a x 2 − 4a x + 2ax − 6a x
2
5
− m− 1n 2
1
2 3
7
5
2m + 6m 3 + 4m 3
4 3
+ 3a x − 6ax + 3a x − 9a x
2
1
1 5
2
5 3
x3
−
−
2
1 3
1 3
−
17. m + 3m 3 + 2m 3
1 3
2 3
1
1
12. x − 2a x + a x − 3a 4 3
3
− 6a 5
1 2
2 3
−
1
−
4x 2 y 2 − x 2 y + xy 2 − x 2 y 2 5 2
1
+ 2a 5 − a 5
4x 2 − x 2 y 2 + x 2 y − xy 2 3
3
1
3 3
1
− 2a 5 − 4a 5 + 2a
1
1
3
+ m2n − n2
16. a 5 + 2a 5 − a
x2 + y2
3
1
3
m2
+ a − 1b − 1 1
1
3
+ m 2 n − n 2 + m 2 n2 − m− 1n 2
11. 4x 2 − x 2 y 2 + xy − x 2 y 2
5
1
1
1
− 2a − 1b − 1 − 2
1
3
+ mn 2 − m 2 n + n 2 − m 2 n2 1 3 − − a 2b 2
3 1 − 2b 2
1
m2 + n2 + m 2n 3
+ a − 1b − 1 + 2
1
1
m 2 − mn 2 + m 2 n − n 2
1 3 − − a 2b 2
3
1
15. m − m 2 n 2 + n − m 2 n 2
3 − a 4
+ 2a − 1b − 1
3 1 − − a 2b 2
−
2 − 7 x − 1 + 9x − 2 − x − 3 − 7 x − 4 + 4x − 5
3 4
+ b− 1
3 1 − − a 2b 2
a− 2 + a
3a
−
+ 2b − 1
1 1 − − a 2b 2
−
−
+ 2x − 2 − 3x − 3 + x − 4 + 4 x − 5
1 4 b−1
1 − a 4 b−1 −
1 1 − − a 2b 2
a− 1 −
+ 3a
−
−
1 1 − 4y 2
− x − 1y − 9x − 1y + 3 x
−
1 1 2y2
−
1 1 2y2
− x − 1y − 3x
−2
x
−2 2
y
−1
− 11x y
+1 +1
2 −1
3 −3
19. x y + 5x y −3 3
20. a
4 −5
+ 2x y
−
2 1 3b 2 2
−2
3a 3 b
x − 1y 2 + 5 + 2xy − 2
3 + 6a
− 1− 5xy − 2 − 2x 2 y − 4
+ a
+ 3xy − 2 + 15x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6 x − 1y 2 + 4
1 2
−
x y − x y + 3x − 1y − 1
+ 2a
−
2 3
−
2 3
−
4 3 3 b − a − 2b 2
+ 1+ a
−
2 3
1
b 2 − 3a 1 b2
a 3 + 7a
2 3
−
−
4 3
−
4 3
+ 2a
+ 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6
1
b2
−
b 3
b − a − 2b 2
4 3b +
1
3
3
+ a − 2b 2 − a
b2
−
8 3 b2
−
8 3
2a − 2b 2 − a
b2
EJERCICIO 225 1. a 2 ÷ a − 2 = a 2 − b− 2 g= a 2 + 2 = a 4 2. x
−3
÷x =x 2
1 2
3. m ÷ m
1 − 4
−3−2
=m
=x
1 1 − − 2 4
1 1 + 4
= m2
7
7
7
5
12. a − 3 ÷ a − 4 = a − 3 − − 4 = a − 3+ 4 = a − 4
−5
13. x − 2 y − 1 ÷ x − 3 y − 2 = x − 2 + 3 y − 1+ 2 = xy
3
= m4
1
1
1
1
2
1
4. a 2 ÷ a 5 = a 2 − 5 = a − 3
14. a 2 b 3 ÷ ab = a 2 − 1b 3 − 1 = a − 2 b − 3
5. x − 3 ÷ x − 7 = x − 3 − b− 7g= x − 3 + 7 = x 4
15. a 2b − 3 ÷ a − 1b = a 2 + 1b − 3 − 1 = a 3b − 4
1 2
6. a ÷ a = a 2
1 −1 2
1
=a
7. x − 3 ÷ x − 3 = x 2 5
8. a ÷ a 9. m
−
3 4
1 − 5
=a
1 2
2 1 − − 5 5
÷m =m
10. a ÷ a = a 2
11. 4 x 5 ÷ 2 x
3 1 − 4 2
1 −1 3 =
−
1 5
a
−
1
1
2
1
1
1
16. x − 2 y − 3 ÷ x − 2 y − 1 = x − 2 + 2 y − 3 + 1 = x 0 y 3 = y 3
=x
=a
2 1 − + 3 3
2 1 + 5 5
−
=m
=x
=a
−
1 3
3
3
1
3
3
1
3
3
5
3
17. m 4 n− 4 ÷ m− 2 n 4 = m 4 + 2 n− 4 − 4 = m 4 n− 2
3 5
2 −2 18. 8 x y 5 ÷ 4 xy
5 4
1
2 3
−
1 5
2
= 1
1
1
3
8 − 2 −1 5 + 5 = 2x − 3 y 5 x y 4 1
7
19. a 3 b ÷ a − 4 b − 3 = a 3 + 4 b1+ 3 = a 12 b 4
2 1 3 4 5 − − 5 + x = 2x 5 5 = 2x 5 2 2
=
2
1
2 1 − − − 3 3
−
1 3
1 − 2
1
20. x − 4 y − 5 ÷ x2 y − 1 = x − 4 − 2 y − 5 + 1 = x − 6 y − 4
EJERCICIO 226 2. 1.
x − 8 + 2x − 6 −x
−8
+x
−6
3x
−6
+ x− 2 + 2 x− 4 − x− 2 +1
−x
−4
− x
−4
x + x
2x
− 2x
−2
+ 3x
−2
+2
2
− 2a 3
4
2
2
1
− a 3 − 2a − a 3
a3 −2+a
− 2a − 3a 3 2
+2
− 2x − 4 + 2x − 2 − 2
1
+ 2a + 4a 3 + 2a 3 2
1
a 3 + 2a 3 + 1 2
1
+ 1 a + 2a 3 + a 3
2
−2
− 3x − 6 + 3x − 4 − 3x − 2 −4
−4
4
a3
1
− a 3 − 2a 3 − 1
−
1 3
3.
3
m4 + m2 − 2 + 3m− 2 − m− 4 m2 − 1+ m− 2
4.
m2 + 2 − m − 2
− m 4 + m2 − 1 2m − 3 + 3m 2
1
1
1
2x + x 4 − x 2 + 3x 4 − 2 3
x 4 + 1− x
1
3
− 2x − 2x 4 + 2x 2
−2
3
− 2m2 + 2 − 2m− 2
1
−
1 4
1
1
2x 4 − x 2 + 2x 4 1
− x 4 + x 2 + 3x 4
− 1 + m− 2 − m− 4
3
1
1
+ x4 +x2 − x4
+ 1 − m− 2 + m− 4
1
1
2x 2 + 2x 4 − 2 1
1
− 2x 2 − 2x 4 + 2
2
5.
3m 3 − 5
+ 10m
2 3
− 3m − 1+ 4m
4 3
− 8m− 2
3+m
2 − 3
− 6 + 4m + 6 + 2m
2 − 3 2 − 3 −
2 3
−
2 3
6m − 6m
7.
−
−
2 3
2 3
− 4m
m − 2 + 2m + 10m − 8m
− 2m
4 3
6.
2 − 3
4 − 3
4 3
−
4 3
5
1
− 4a 4 + 4a
a4 5
3
− 8m− 2 + 8m− 2
1
+ a 4 − 2a
4x − 2 + x − 1 − 3 + 2x x − 3 − 2x − 2 + x − 1
− 8 x − 4 + 2x − 3 + 7 x − 2 − 7 x − 1 8x − 4 + 2x − 3 − 6 x − 2 + 4 x − 1 4 x − 3 + x − 2 − 3x − 1 + 2 − 4 x − 3 − x − 2 + 3x − 1 − 2
a
−
1
1
− a −12b −11 + a −10b − 9 − a −8b − 7 −10 − 9
b
− a −10b − 9 + a − 8b − 7 − a − 6b − 5 a − 8b − 7 − a − 6b − 5 + a − 4b − 3 − a − 8b − 7 + a − 6b − 5 − a − 4b − 3
3 4
a − 7b − 6 − a −5b − 4 + a − 3b − 2 a −5b − 5 + a − 3b − 3 + a −1b −1
1
a2 −2+a 3
− a 4 + 2a
+ a − 4b − 3
−
−
1 2
1
a 4 + 2a 4 − a 1
3
+ a − 8b − 7
−a
1
− 2a 4 + 4a 4 − 2a
− 4x − 5 − x − 4 + 3x − 3 − 2x − 2
1 4
− a 4 + 2a 4 − a 4 3
4 x − 5 − 7 x − 4 − x − 3 + 9x − 2 − 7x − 1 + 2
−12 −11 8. a b
−
2a 4 − 5a 4 + 4a
4 − 3
−
+ 2m
−
−
−
−
1 4 1 4
1 4
1 4
−a +a
−
−
3 4
3 4
−
1 4
m − 4n
9.
+ m− 2n− 1
+ n− 3
m− 4 − m− 3n− 1 + m− 2n− 2
− m− 4n + m− 3 − m− 2n− 1
n + m + m2n− 1
m− 3 − m− 3 + m− 2n− 1 − m− 1n− 2 m− 2n− 1 − m− 1n− 2 + n− 3 − m− 2n− 1 + m− 1n− 2 − n− 3
10.
a 2 − 19a + 17 − 24a − 1 + 10a − 2 3a + 2 − 5a − 1
15a 3 +
5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1
− 15a 3 − 10a 2 + 25a − 9a 2 + 6a + 17 + 9a 2 + 6a − 15 12a + 2 − 24a − 1 − 12a − 8 + 20a − 1 − 6 − 4a − 1 + 10a − 2 + 6 + 4a − 1 − 10a − 2
11.
5
3
a 4 b− 4 − a 4 b − 3 5
+ 5a
3
−
1 4 b− 1 −
3a
−
1
3
1
−
1 4 b− 1
3
1
−
1 4 b−1
− a 4 b − 3 + 2a 4 b − 2 − 3a 1
− a 4 b − 2 + 2a 1
+ a 4 b − 2 − 2a
− x− 2 + x
−
3 1 − 2y 2
+ x − 1y − 1
−
3 1 − 2y 2
− x − 1y − 1
−
3 1 − 2y 2
−
3 1 − 2y 2
2x − 2x
− 2x − 1y − 1 + 2x
−
1 4 b−1 −
3a
−
1 4 b−1 +
3a
−
3 4
−
3 4
+ 2y − 2
1 2b
1
x−1 − x
−
x − 1 + 2x
+ 2x − 1y − 1 − 2x 2x − 1y − 1 − 2x
−
a 4 b− 3 + a 4 b− 2 − a
a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2 + 5a
x− 2 + x
1
a 2 b − 1 − 2 + 3a 3
− a 4 b − 4 + 2a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2
12.
3 4
−
1 3 − 2y 2
−
1 3 − 2y 2
1 − 2
y
3 − 2
+ 2y − 2 − 2y − 2
1 1 − 2y 2 −
−
+ y−1
1 1 − 2y 2
+ 2y − 1
1 4 b− 1
1
13.
− 6m 5
m 3
+m
−
3 5
3
1
2
− m − 2m 5 + m 5 3
1
m 5 + 2m 5 − m m5 − 2 −m
−
−
1 5
2
14.
2 5
2x + 4 x 3 2
2
1 5
2m + 4m − 2m 1
− m 5 − 2m 1
+ m 5 + 2m
−
−
1 5 1 5
2
−m
−
−
3 5 3 5
1
− 2 x 3 − 6 − 4x
1
1
− x 2 y2
1
x2 + y2
1
3
1
1
3
4x 2 − x 2 y 2 − xy − x 2 y 2
1
− x2 y 2 3
+ x2y 2 − x 2 y 3
− x2y 3
3
+ x 2 y − xy 2 3
1
− xy 2 − x 2 y 2 3
1
+ xy 2 + x 2 y 2
7
4
7
4
5
2
− 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3
x3 1
2
5
2
5
2
5
4
4
+ 2a 3 x 2 + 4a 3 x 3 + 6ax 3 2
5
4
4
a 3 x 3 − ax 3 − 3a 3 x 2
5
1
2
2
2
2
1
x − 2a 3 x 3 + a 3 x 3 − 3a
− 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3 − 7ax 3 1
4
x 3 + 2a 3 x + 3a 3 x 3 1
− x 3 − 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3 1
1
1
1
1
1
2x 3 + 6 + 4 x
− 4 x 2 − 4x 2 y 2
16.
2 − 2x
+ 2x 3 + 6 x 3 + 4 +m
4
4
− a 3 x 3 − 2ax 3 − 3a 3 x 4
4
5
2
− 3ax 3 − 6a 3 x − 9a 3 x 3 4
4
5
2
+ 3ax 3 + 6a 3 x + 9a 3 x 3
2
−
1 3
−
1 3
1
x + 3x 3 + 2x 3
1
− 2x 3 − 4x 3 + 2
1 − 5
4x 2 + 3x 2 y 2 5
1 3
1
3 5
5
−
− 2x − 6x 3 − 4 x 3
− 2m 5 − 5m 5
15.
+ 2 + 4x
−
1 3
+ 2x
−
2 3
3
17.
1
a2 3
3
5
+ a 2b − b 2
− a − 1b 2
1
1
1
a2 +b2 +a
1
1
− a 2 − ab 2 − a 2 b
1 2b
1
a − a 2b2 + b − a
1
3
− ab 2
−b2
1
−
1
−
1 3 2b 2
3
+ ab 2 + a 2 b + b 2 1
a 2b 1
3
− a 2b − b2 − a
−
1 2 b2
−
1 2 b2
− a − 1b 2
−
1 2 b2
+ a − 1b 2
3
−b2 −a 3
+b2 +a
18.
m− 2 n 2
5
5
− 11m−1n −
3
3
−
3
3
−
+1
3
3
−
1
1
−
− m − 2n 2 − 3m 2 n 2 + m−1n
5
1
−
3
−
1
m 4 n 2 − 3m 4 − m 4 n
− 3m 2 n 2 − 10 m−1n −
3
3
−
1
1
+ 3m 2 n 2 + 9 m −1n − 3m 2 n 2 −
1
1
−
1
1
− m−1n − 3m 2 n 2 + 1 + m−1n + 3m 2 n 2 − 1 19.
x − 1y 2 + 4
+ 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6
− x − 1y 2 + 1 − 3xy − 2
x − 3 y 3 − x − 2 y + 3x − 1y − 1 x 2 y − 1 + 5 x 3 y − 3 + 2x 4 y − 5
5 − 3xy − 2 + 13x 2 y − 4 − 5 + 5xy − 2 − 15x 2 y − 4 2xy − 2 − 2x 2 y − 4 + 6x 3y − 6 − 2xy − 2 + 2x 2 y − 4 − 6x 3 y − 6
20.
3 + 7a −3−a
−
2
1
3
b2
−
2 3
−
2 3
−
2 3
6a − 6a
1
b2 −a
3
+ a − 2b 2 − a 4 3
−
1
b2 − a
4 3
−
4 3
1
− 3a + 3a
−
8 3
2
b2
b
−
b 2 − 2a
−
4 3
4 − 3
3a 3 b a
3
b + a − 2b 2 3
b − 2a − 2b 2 3
b − a − 2b 2 − a 3
b + a − 2b 2 + a
−
8
−
8
3
3
b2 b2
1
m 4 n 2 + 3m 4 n − m 4 n 2
−
2 3
−
1 2
+ 1+ a
1
b 2 + 2a
−
4 3
−
2
1
3
b2 3
b − a − 2b 2
−
1 2
EJERCICIO 227 2
(a ) = a = a 3 2. (a − 2b −1 ) = a − 2 ⋅3 b −1⋅3 = a − 6b − 3 −1 2
1.
−1⋅ 2
7.
−2
2
8.
1 2 2 2 1 21 13 ⋅2 ⋅2 2 2a b = 2 a 2 b 3 = 4a 2 b 3 = 4ab 3
9.
(a − 3b−1 )4 = a − 3⋅4b−1⋅4 = a −12b− 4
2
3.
6 3 23 ⋅2 3 a = a2 = a2 = a
4.
3 9 43 ⋅3 x = x4 = x4
5.
3 6 3 43 ⋅2 m = m4 = m4 = m2
1 2 1 − 4 14 ⋅2 x y = x − 4 ⋅2 y 4 = x − 8 y 4 = x − 8 y 2
6
3
10.
2 1 12 6 23 − 21 ⋅6 − ⋅6 − 4 3 x y = x 3 y 2 = x 3 y 2 = x y− 5
2
11.
2 10 25 − 3 ⋅5 5 35 15 2 15 3a b = 3 a 5 b − ⋅ = 243a 5 b − = 243a b − 3
3
2 6 − 23 − ⋅3 − 3 = a 3 = a−2 6. a = a
12.
1 1 3 3 3 − 21 − 13 − ⋅3 − ⋅3 − − − 2m n = 2 3 m 2 n 3 = 8m 2 n 3 = 8m 2 n −1
EJERCICIO 228
1
1
2
1
2
1
1
1
2
7. 4 x 3 − y
1. a 2 + b 2 = a 2 + 2 a 2 b 2 + b 2 1
−
1 2
2
2
43 3 −1 −1 = x − 2 x4 y 2 + y 2 3
1
3
1
2
3
2
3
1
1
2
3
1
−
1 2
2
2
1−
(
− − 4. a b − a b 2 3
3
1 2
1
+ 4 m2 = m − 1 + 4 m 2 + 4 m 2
)
2
(
−2
+ b
( )
) = (a ) 2
−2 2
−
2
− 2 (a − 1 ) 3b + 3b −
3 4
+ 9b
−
1
= a − 4 + 2a − 2b 2 + b
3 − 4
2
−1
−
3 4
+ mn − 2
3
2
1
(
3
x 2 − 3 y −1 3
2
3
1 2
= a + 3a 3 b 3 + 3a 3b 3 + b 10.
3 2
1 1 + 2 (a − 2 ) b 2 + b 2
3
1
2
n 4 + mn − 2
2
2
3 − 4
= a − 2 − 6a −1b 6. a
1
1 2
= m − 4 n 2 − 2m 2 n
3
= a − 4b6 − 2ab + a 6b − 4 5. a − 1 − 3b = a −1
2
1 1 1 1 1 1 = a 3 + 3 a 3 b 3 + 3 a 3 b 3 + b 3
= a − 4b 6 − 2a − 2 + 3b 3− 2 + a 6b − 4 2
−2+
13 13 9. a + b
2 2
2
1
= m − 4 n 2 − 2m
= (a − 2b 3 ) − 2 (a − 2b 3 )(a 3b − 2 ) + (a 3b − 2 )
3 − 4
+ y −1
2
−1 −1 2 + 2m = m 2 + 2 ( 2m) m 2 + ( 2m) = m− 1 + 4m
1
1 2
1 1 1 1 = m− 2 n 4 − 2 m− 2 n 4 m 2 n − 1 + m 2 n − 1
2
= x 2 − 2x 4 y 3 + y 3 3. m
1
−
−2 −1 8. m n 4 − m 2 n
2. x 4 − y 3 = x 4 − 2 x 4 y 3 + y 3 3
3
= x 2 − 2x 4 y
= a + 2a 2 b 2 + b
2
)
3
2
2 2 2 2 3 = x 3 − 3 x 3 (3 y −1 ) + 3 x 3 (3y −1 ) − (3 y −1 ) 4
2
= x 2 − 9 x 3 y −1 + 27 x 3 y − 2 − 27 y − 3
3
3
2
2
3
3 4 3 2 9 23 23 23 − 23 23 − 23 − 23 − − − 2 2 3 2 3 −3 2 11. m + 4n = m + 3 m 4n + 3 m 4n + 4n = m + 12m n + 48m n + 64n 3
2
3
1 1 1 1 3 −4 − 21 − − − − −4 3 −4 2 −4 − 12 −8 − 2 − 4 −1 2 2 2 2 12. 2a − 3b = (2a ) − 3 (2a ) 3b + 3 (2a ) 3b − 3b = 8a − 36a b + 54a b − 27b
13.
(
x−
3
2
2
3
3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 y = x 2 − 3 x 2 y 3 + 3 x 2 y 3 − y 3 = x 2 − 3xy 3 + 3x 2 y 3 − y
)
3
3
4
4
3
2
2
3
4
3 2 4 1 8 12 23 12 12 23 12 23 21 23 23 2 2 3 3 2 2 3 14. a + b = a + 4 a b + 6 a b + 4 a b + b = a + 4a b + 6ab + 4a b + b 4
2
3
1 1 1 − 2 − 13 − 13 −2 4 −2 3 − 3 −2 2 − 3 −2 − 3 15. x − y = ( x ) − 4 ( x ) y + 6 ( x ) y − 4 ( x ) y + y −
1
= x −8 − 4 x − 6 y 3 + 6x − 4 y
1
16. x 3 + y
−
3 4
5
5
2 3
− 4 x − 2 y −1 + y
4
−
3
4 3 2
2
3
4
13 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 −3 = x + 5 x 3 y 4 + 10 x 3 y 4 + 10 x 3 y 4 + 5 x 3 y 4 + y 4 5
4
= x 3 + 5x 3 y 17.
−
4
−
3 4
+ 10 xy
5
−
3 2
2
+ 10 x 3 y
9 4
−
4
1
+ 5x 3 y − 3 + y
3
−
15 4
2
2
3
4
1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m − 3 n = m 2 − 5 m 2 n 3 + 10 m 2 n 3 − 10 m 2 n 3 + 5 m 2 n 3 − n 3
(
)
5
1
3
2
1
4
5
5
5
= m 2 − 5m2 n 3 + 10m 2 n 3 − 10mn + 5m 2 n 3 − n 3
(
18. a − 2 m 2
)
6
2
3
4
5
1 1 1 1 1 1 3 2 6 5 4 = (a 2 ) − 6 (a 2 ) 2m 2 + 15 (a 2 ) 2m 2 − 20 (a 2 ) 2m 2 + 15(a 2 ) 2m 2 − 6 (a 2 ) 2m 2 + 2m 2 1
5
3
= a12 − 12a10m 2 + 60a 8m − 160a 6m 2 + 240a 4 m2 − 192a 2 m 2 + 64m3
(
19. x − 3 + 4 y
) = (x ) + 5(x ) y 5
−3 5
−3 4
1 4
2
3
4
1 1 1 1 −3 3 −3 2 −3 + 10 (x ) y 4 + 10 (x ) y 4 + 5(x ) y 4 + y 4
1
1
3
5
5
= x −15 + 5x −12 y 4 + 10x − 9 y 2 + 10 x − 6 y 4 + 5x − 3 y + y 4
(
20. a
−2
+ 3a −1 + 2) = (a − 2 ) + (3a −1 ) + (2) + 2 (a − 2 )(3a −1 ) + 2 (a − 2 )( 2) + 2 (3a −1 )(2) 2
2
2
2
= a − 4 + 9a − 2 + 4 + 6a − 3 + 4a − 2 + 12a −1 = a − 4 + 6a − 3 + 13a − 2 + 12a −1 + 4 2
2
2
2
1 12 41 21 41 − 41 12 41 12 − 41 41 − 41 − 4 21. x − x + 2 x = x + − x + 2 x + 2 x − x + 2 x 2 x + 2 − x 2 x 1
= x + x 2 + 4x
22. a
−
1 2
2
−
1 2
3
1
3
1
1
− 2x 4 + 4x 4 − 4 = x − 2x 4 + x 2 + 4x 4 − 4 + 4x
2
2
−
1 −1 1 −1 −1 1 1 2 + 3 + a 2 = a 2 + ( 3) + a 2 + 2 a 2 ( 3) + 2 a 2 a 2 + 2 (3) a 2
= a −1 + 9 + a + 6a
−
1 2
1
1
+ 2 + 6a 2 = a + 6a 2 + 11 + 6a
−
1 2
+ a −1
1 2
6
3
1
2
3
2
1
2
3
1
3
1
23. m + 2m 4 − 3m 2 = ( m) 2 + 2m 4 + − 3m 2 + 2 ( m) 2m 4 + 2 ( m) − 3m 2 + 2 2m 4 − 3m 2 3
7
3
5
7
3
5
= m2 + 4m 2 + 9m + 4m 4 − 6m 2 − 12m 4 = m2 + 4m 4 − 2m 2 − 12m 4 + 9m 2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24. a 2 b − 3 − 2 + a − 2 b 3 = a 2 b − 3 + − 2 2 + a − 2 b 3 + 2 a 2 b − 3 − 2 + 2 a 2 b − 3 a − 2 b 3 + 2 − 2 a − 2 b 3
( )
2 −1 3
2 − 3
1 1 − 2 3
( )
1 1 − 2 3
2 − 3
( )
1 1 − 2 3
1 − 2
2 −1 3
1 3
= ab + 4 + a b − 4a b + 2 − 4a b = ab − 4a b + 6 − 4a b + a b
1 2
1 4
3
1 2
3
1
3
( )
3
1
2
1
1
2
2
2
1 1 1 − 1) + 3 x 4 x 2 + 3 x 4 (− 1) (
25. x + x − 1 = x + x 4 + − 1 + 3 x 2 x 4 + 3 x 2
1 1 1 1 2 2 + 3(− 1) x 2 + 3 (− 1) x 4 + 6 x 2 x 4 (− 1) 3
3
5
1
1
1
3
3
5
3
1
= x 2 + x 4 − 1 + 3x 4 − 3x + 3x − 3x 2 + 3x 2 + 3x 4 − 6 x 4 = x 2 + 3x 4 − 5x 4 + 3x 4 − 1 2 2 2 2 2 26. a 3 − 2 + a − 3 = a 3 + − 2 3 + a − 3 + 3 a 3 3
3
3
( )
2
2
(− 2) + 3 a
2 2 − 23 2 2 − a + 3 (− 2) a 3 + 3(− 2) a 3 2
2 3
2
2 −2 + 3 a a + 3 a (− 2) + 6 a 3 (− 2) a 3 2 − 3
2 3
2 − 3
4
2
2
= a 2 − 8 + a − 2 − 6a 3 + 3a 3 + 12a 3 + 12a 4 3
2 3
= a 2 − 6a + 15a − 20 + 15a
1
1
1
3
1
3
1
3
2 − 3
1
− 6a 3
4 − 3
−
2 3
+ 3a
−
2 3
− 6a
−
4 3
− 12
+ a −2 1
2
1
1
2
1
1
2
1
27. m 6 + 2m 3 + m 2 = m 6 + 2m 3 + m 2 + 3 m 6 2m 3 + 3 m 6 m 2 + 3 2m 3 m 6 2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 3 2 m 3 m 2 + 3 m 2 m 6 + 3 m 2 2m 3 + 6 m 6 2m 3 m 2 1
3
2
5
5
7
7
4
= m 2 + 8m + m 2 + 6m 3 + 3m 6 + 12m 6 + 12m 6 + 3m 6 + 6m 3 + 12m 3
4
7
5
2
1
= m 2 + 6m 3 + 15m 6 + 20m + 15m 6 + 6m 3 + m 2
EJERCICIO 229
1.
x − 4 + 6 x − 3 + 13x − 2 + 12 x −1 + 4
x − 2 + 3 x −1 + 2
(2 x
− x −4 + 6 x − 3 + 13x − 2 − 6x −3 − 9 x −2 4 x − 2 + 12 x −1 + 4 − 4 x − 2 − 12 x −1 − 4
(2 x
−2
−2
+ 3x −1 ) (3x −1 ) = 6 x − 3 + 9 x − 2 + 6 x −1 + 2 ) ( 2 ) = 4 x − 2 + 12 x −1 + 4
1
2.
−
1
m + 6m 2 + 11 + 6m 2 + m−1
1
m2 + 3 + m
−
1 2
1 21 2m + 3 ( 3) = 6m 2 + 9
−m 1
6m 2 + 11 1 1 21 − − 2m + 6 + m 2 m 2
1
− 6m 2 − 9 −
1
−
2 + 6m 2 + m−1 −
1
= 2 + 6m 2 + m−1
1
− 2 − 6m 2 − m−1
4
3.
2
1
9a 3 − 6a + 25a 3 − 8a 3 + 16
2
1
3a 3 − a 3 + 4 23 13 13 6a − a − a
4
− 9a 3 2
2
− 6a + 25a 3
= − 6a + a 3
2
+ 6a − a 3 2
1
2
1
24a 3 − 8a 3 + 16 − 24a 3 + 8a 3 − 16
7
4.
3
5
a 2 + 4a 4 − 2a 2 − 12a 4 + 9a
1 23 6a − 2a 3 + 4 (4) 2
1
= 24a 3 − 8a 3 + 16
3
1
a + 2a 4 − 3a 2
3 3 2a + 2a 4 2a 4
− a2 7
3
7
3
7
+ 4a 4 − 2a 2
3
= 4a 4 + 4a 2
− 4a 4 − 4a 2 3
5
3
5
− 6a 2 − 12a 4 + 9a + 6a 2 + 12a 4 − 9a
3 1 1 2a + 4a 4 − 3a 2 − 3a 2 3
5
= − 6a 2 − 12a 4 + 9a
mn
5.
− mn
−
2 3
−
2 3
1
−
1
−
1
1
2
1
− 4m 2 n 3 + 6 − 4m 2 n 3 + m−1n 3
−
1
−
1
1
m2 n 3 − 2 + m 2 n 3 21 − 13 2m n − 2 (− 2)
1
−
1
1
−
1
1
− 4m 2 n 3 + 6
−
1
= − 4m 2 n 3 + 4
+ 4m 2 n 3 − 4 −
1
1
2
−
1
1
2
1 1 12 − 13 −1 1 − 2m n − 4 + m 2 n 3 m 2 n 3
2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3
4
6.
3
2
1
−
− 2 + 4m 2 n 3 − m−1n 3
1
2
= 2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3 1
a 5 − 8a 5 + 10a 5 + 24a 5 + 9
2
1
a 5 − 4a 5 − 3 1 1 25 2a − 4a 5 − 4a 5
4
− a5 3
2
3
2
3
− 8a 5 + 10a 5
2
= − 8a 5 + 16a 5
+ 8a 5 − 16a 5 2
1
2
1
− 6a 5 + 24a 5 + 9 + 6a 5 − 24a 5 − 9 7.
3
a − 3 − 6a
−
5 2
3 2
−
+ 21a − 2 − 44a
−
1
+ 63a −1 − 54a 2 + 27
1 25 2a − 8a 5 − 3 (− 3) 2
1
= − 6a 5 + 24a 5 + 9 a − 1 − 2a
−
1 2
+3
3(a −1 ) = 3a − 2 2
− a −3 − 6a
−
5 2
−
5
+ 21a − 2 − 44a
−
−
3 2
+ 6a 2 − 12a − 2 + 8a
1 5 2 − − 3(a −1 ) − 2a 2 = − 6a 2
3 2
2
1 − 3(a −1 ) − 2a 2 = 12a − 2
−
3
−
3 2
−
1
−
1
9a − 2 − 36a 2 + 63a −1 − 54a 2 + 27 − 9a − 2 + 36a
3
1 3 − − − 2a 2 = − 8a 2
− 63a −1 + 54a 2 − 27 2
3 1 − − 3 a −1 − 2a 2 = 3a − 2 − 12a 2 + 12a −1 2
1 3 − − 3 a − 1 − 2a 2 (3) = 9a − 2 − 36a 2 + 36a −1 1 1 − − 2 3 a − 1 − 2a 2 (3) = 27a −1 − 54a 2
(3)3 = 27
8.
3
4
2
−
2
−
4
2
x 2 − 6 x 3 + 15x 3 − 20 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2
x3 − 2+ x
2 3
−
2
4 2 3 x 3 = 3x 3
− x2
4 2 3 x 3 (− 2 ) = − 6 x 3 2
4
2
4
2
− 6x 3 + 15x 3 − 20
2 2 2 3 x 3 (− 2) = 12 x 3
+ 6 x 3 − 12 x 3 + 8 2
−
2
−
2
−
2
−
(− 2 ) = − 8
4
3
3x 3 − 12 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2 4
− 3x 3 + 12 − 15x 3 + 6 x 3 − x − 2 2
4 2 2 3 x 3 − 2 = 3x 3 − 12 x 3 + 12 2 2 2 −2 − 3 x 3 − 2 x 3 = 3x 3 − 12 + 12 x 3 2
2 3 x 3 − 2
2
2 4 − 23 − − x = 3x 3 − 6 x 3
− 23 −2 x = x 3
3
9.
3
5
a 2 + 3a 4
−a
3
1
1
1
− 5a 4 + 3a 4 − 1 a 2 + a 4 − 1 2
1 3 a 2 = 3a
3 2
5
+ 3a 4 5
3
2
5 1 1 3 a 2 a 4 = 3a 4
1
− 5a 4 + 3a 4
1 3 a 2
3
− 3a 4 − 3a − a 4
3
1
3
1
− 3a − 6a 4 + 3a 4 − 1
2
41 a = 3a 3
3 14 a = a4
+ 3a + 6a 4 − 3a 4 + 1 2
3 1 1 1 3 a 2 + a 4 = 3a + 6a 4 + 3a 2 2
3 1 1 1 3 a 2 + a 4 (− 1) = − 3a − 6a 4 − 3a 2 1 1 1 1 2 3 a 2 + a 4 (− 1) = 3a 2 + 3a 4
(− 1) = − 1 3
EJERCICIO 230
2ax −1 19 2 xa −1 + − + x 2a − 2 3 9 3
a2 x−2 −
1.
1 ax −1 − + a −1 x 3 1 1 2ax −1 − − 3 3
− a 2 x −2 2ax −1 19 + 3 9 −1 2ax 1 + − 3 9
−
2−
2a − 1 x 2 − 2 +x a 3
− 2+
2a − 1 x − a −2 x2 3
x 2 − 4 + 2 x −1 + 4 x − 2 − 4 x − 3 + x − 4
2.
2 2ax −1 − + a −1 x (a −1 x) 3 = 2−
(2 x − 2 x )(− 2 x ) = − 4 + 4 x −1
− 4 + 2 x −1 + 4 x − 2
(2 x − 4 x
− 4x −2
+4 2 x −1 − 2x
− 4 x−3 + x −4
−1
−3
+ 4x − x
− 10a + 4 + 25a − 2
+ 20a − 4a
m4 − 5m2 + 28 − 30m− 2 + 9m− 4 4 −
− 5a −1 )(− 5a −1 )
= − 10a + 25a − 2
−3
−4
2
−2
(2a
− 20a − 3 + 4a − 4
+4
+ x − 2 )(x − 2 )
a 2 − 5a −1 + 2a − 2
(2a − 25a
−2
= 2 x −1 − 4 x − 3 + x − 4
− a4 + 10a
−1
−1
−4
a 4 − 10a + 4 + 25a − 2 − 20a − 3 + 4a − 4
4.
2a − 1 x + a −2 x2 3
x − 2 x −1 + x − 2
− x2
3.
2ax −1 1 + 3 9
=−
m4 4 − 5m2 + 28 + 5m2 − 25 3 − 30m− 2 + 9m− 4 − 3 + 30m− 2 − 9m− 4
−4
2
− 10a −1 + 2a − 2 ) (2a − 2 )
= 4 − 20a − 3 + 4a − 4
m2 − 5 + 3m− 2 2
(m
2
− 5)(− 5) = − 5m2 + 25
(m
2
− 10 + 3m− 2 )(3m− 2 ) = 3 − 30m− 2 + 9m− 4
4 x 2 y − 2 2 xy − 1 19 5x −1 y 25x − 2 y 2 − + − + 25 5 12 3 9
5.
−
2 xy − 1 1 5x −1 y − + 5 2 3 4 xy − 1 1 1 2 xy −1 1 − − = − + 2 2 5 4 5
4 x2 y −2 25 2 xy −1 19 + 5 12 2 xy −1 1 + − 5 4 −
4 xy −1 5x − 1 y 5x − 1 y − 1+ 3 3 5
4 5x − 1 y 25x − 2 y 2 − + 9 3 3 −1 4 5x y 25x − 2 y 2 − + − 3 3 9 2ax a 4 2a 3 x − 1 + + a2 x −2 − − 2 + a −2 x2 9 3 3
6.
−
4 5x −1 y 25x − 2 y 2 = − + 3 3 9
a2 + ax − 1 − a −1 x 3 2a 2 2a 3 x − 1 + ax −1 (ax −1 ) = + a 2 x −2 3 3
a4 9 2a 3 x − 1 + a2 x−2 3 2a 3 x − 1 − − a2 x−2 3
2a 2 + 2ax −1 − a − 1 x (− a −1 x ) 3 2ax − 2 + a −2 x2 3 2ax + + 2 − a −2 x2 3 −
9m4 + 30m2 + 55 + 50m− 2 + 25m− 4
7.
=−
3m2 + 5 + 5m− 2
(6m
− 9 m4 + 30m2 + 55 30 + 50m− 2 + 25m− 4 −2
− 30 − 50m − 25m
+ 5)(5) = 30m2 + 25
2
(6m
− 30m2 − 25
2
+ 10 + 5m− 2 )(5m− 2 )
= 30 + 50m− 2 + 25m− 4
−4
4a 2b2 x − 2 y − 2 2abx −1 y −1 21 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2a − 2b − 2 − + − + 49 7 20 5 25
8.
−
2ax − 2 + a −2 x2 3
2abx −1 y −1 1 7a −1b −1 xy − + 7 2 5 4abx −1 y −1 1 1 − − 7 2 2
4 a 2b 2 x − 2 y − 2 49 −
2abx −1 y −1 21 + 7 20 −1 −1 2abx y 1 − 7 4 4 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2 a − 2b − 2 − + 5 25 5 4 7 xya −1b −1 49a − 2b − 2 x 2 y 2 − + − 5 5 25
= −
2abx −1 y −1 1 + 7 4
4abx −1 y −1 7a −1b −1 xy 7a −1b −1 xy − 1+ 7 5 5 =
4 7a −1b −1 xy 49a − 2b − 2 x 2 y 2 − + 5 5 25
ab
9.
− ab
−
2 3
−
2 3
1
−
1
1
−
− 4a 2 b 3 + 6 − 4b 3 a
1 2
2
1
+ a −1b 3
−
1
−
1 1
a 2b 3 − 2 + a 2b 3 1 1 21 − 13 − 2a b − 2 (− 2) = − 4a 2 b 3 + 4
1
−
1
1
−
1
− 4a 2 b 3 + 6 1 1 21 − 13 −1 1 − 2a b − 4 + a 2 b 3 a 2 b 3
+ 4a 2 b 3 − 4 −
1 1
2
−
1 1
2
−
2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3
1 1
2
= 2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3
− 2 + 4a 2 b 3 − a −1b 3 a 4b 4 + 6a 2b 2 + 7 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4
10.
a 2b 2 + 3 − a − 2b − 2
− a 4b 4
(2a b
+ 3) (3) = 6a 2b 2 + 9
(2a b
+ 6 − a − 2b − 2 )(− a − 2b − 2 )
2 2
+ 6a 2b 2 + 7 − 6a 2b 2 − 9
2 2
− 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4 −2 −2
= − 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4
−4 −4
+ 2 + 6a b − a b 2
1
1
−
1
−
1
xy 3 − 8 x 2 y 3 + 18 − 8 x 2 y 3 + x −1 y
11.
−
2 3
1
1
−
1
x2 y3 − 4+ x 2 y
−
1 3
1 1 21 13 2 x y − 4 (− 4) = − 8 x 2 y 3 + 16
2
− xy 3 1
1
1
1
− 8 x 2 y 3 + 18 1 1 1 1 12 13 − − − − 2x y − 8 + x 2 y 3 x 2 y 3
+ 8 x 2 y 3 − 16 −
1
−
1
−
2 3
−
1
−
1
−
2 3
2 − 8 x 2 y 3 + x −1 y − 2 + 8 x 2 y 3 − x −1 y
−
1
−
1
= 2 − 8x 2 y 3 + x −1 y
−
2 3
EJERCICIO 231 7. 3 81x 3y 4 = 3 92 ⋅ x2 xy 4 = 3 ⋅ 9xy 2 x = 27xy 2 x
18 = 2 ⋅ 32 = 3 2
1.
2. 3 48 = 3 3⋅ 2 4 = 3⋅ 2 2
3 = 12 3
16 = 3 2 ⋅ 23 = 2 3 2
3.
3
4.
13 1 1 128 = 3 26 ⋅ 2 = ⋅ 22 2 2 2
3
2 =2 3 2
5. 2 4 243 = 2 4 34 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 4 3 = 6 4 3 6.
8.
50a 2b = 2 ⋅ 52 a 2b = 5a 2b
9.
1 1 2 2 108a 5b7 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ a 4ab 6b 2 2 2 = ⋅ 3a 2b 3 3ab = 3a 2b3 3ab 2 3 3 2 3⋅5 3 n 5m = 3n3 5m 125mn6 = 5 ⋅ 5mn6 = 5 5 5
10. 2a 44a b c = 2a 2 ⋅ 11a ab bc c 3 7 9
2
2
6
8
= 2 ⋅ 2a ⋅ ab 3c 4 11abc = 4a 2b3c4 = 11abc
= 2 3 2 3 ⋅ 2 x 2 y 6 y = 2 ⋅ 2y 2
12.
2 3
3
2 3
=
3
2x 2 y = 4 y 2 3 2x 2 y
27m2n8 3
3 3 375a 8b 5x 3a 2 3 ⋅ 5a 2 3 2 3 3 3 = 3a b = 5 ⋅ 3a 6 a 2b = x 5x 5x 14 14 4 4 3 4 4 4 81a b = 3 a b = a b =a b 20. 3 3 3
19.
11. 2 3 16x 2 y 7
33 m2n6n2 =
2⋅3 2 n 3
m2n2 = 2n2 3 m2n2
3
13. 5a 3 160x 7 y 9 z13
14.
3
9a + 18b = 9 (a + 2b) = 32 (a + 2b) = 3 a + 2b
22.
3a 3b2 − 3a 2b 2 = 3a 2b2 (a − 1) = ab 3 (a − 1) = ab 3a − 3
20 xz = 10ax 2 y 3 z 4
3
4
5b
15. 3 4 5x 8 y14 z16 = 3 4 5x 8 y12 y 2 z16 = 3x 2 y 3z 4 16.
2 5
5
=
2 5
23.
20xz
80a 4b 5c12 = 4 24 ⋅ 5a 4b4bc12 = 2abc 3
4
4
5y 2
2 5 x 2 y10 y =
5
x2y =
4y 2 5
5
= 2 2 ⋅ 2 xy 4 ( x + 2) = 2 y 2 2 x ( x + 2) = 2 y 2 2 x 2 + 4 x
2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 = 2 ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 2 ( x − y) = ( x − y ) 2 2
25.
2⋅2 2 y 5
8 x 2 y 4 + 16 xy 4
24.
32 x 2 y11 5
3a 2b
21.
= 5a 3 2 3 ⋅ 20x 6 xy 9 z12 z = 5 ⋅ 2ax 2 y 3 z 4
3
x2y
(a − b)(a − b ) = (a − b)(a − b)(a + b) = (a − b) (a + b) = (a − b) 2
2
2
17. 2xy 3 128x 2 y 8
2am2 + 4amn + 2an 2
26.
= 2xy 3 26 ⋅ 2x 2 y 6 y 2
a+b
= 2a (m2 + 2mn + n 2 ) = 2a (m + n) = (m + n) 2a 2
= 2 ⋅ 22 xyy 2
3
2x 2 y 2 = 8xy 3
3
1 27a 3m7 18. 3a 3am 3 1 3 2 ⋅ 3a 2 am6m = = 3a 3a
2x 2 y 2
9a 3 − 36a 2 + 36a
27.
= 32 a (a 2 − 2a + 4) 3am = m3 3am
= 3 a (a − 2) = 3 (a − 2) a = (3a − 6) a 2
EJERCICIO 232 1.
1 1⋅ 5 5 1 5 = = = 5 5⋅5 52 5
2.
3 3⋅2 6 1 = = = 8 8⋅2 24 22
6=
1 6 4
3 ⋅ 22 a 2 y 3 ⋅ 2a = 34 y 4 2 ⋅ 32 y 2
3 7. 2
4a 2 3 = 27y 3 2
8. 5
9n 32 ⋅ 5mn 5 ⋅ 3 =5 = 3 5m 5 2 m4 5m2
3y =
5mn =
3 m2
a 3y 2
3y
5mn
1 2 ⋅1 2 2 3. 2 2 = 2 2 ⋅ 2 = 2 2 2 = 2 2 = 2
5a 3 a 5 ⋅ 6a 3 6 =6 4 2 2 = 2 30a 2a = 30a 9. 6 2 24x 2 ⋅3 x 2 ⋅ 3x 2x
1 1⋅ 6 6 3 1 4. 3 6 = 3 6 ⋅ 6 = 3 6 2 = 6 6 = 2 6
10.
1 1 2 1 2⋅3 1 6 1 5. 2 3 = 2 3 ⋅ 3 = 2 32 = 2 ⋅ 3 6 = 6 6
11. 5 3
6.
a2 = 8x
a2 x a = 2 2 ⋅ 2x 2 2x
x a = 2 2x
2x a = 2x 22 4x
12.
3
3
2 3 2 ⋅ 32 1 3 18 = = 3 33 3 1 =5 5
3
52 5 = 53 5
3
52 = 3 25
8 23 ⋅ 3x 2 3 3x =3 3 3 = 2 9x 3 x 3x
2 13. 2b
14.
2 3
3
15. 2xy
125 = 2b2 4b5
3
53 ⋅ 2b 2 ⋅ 5b 2 = 23 b6 2b 2
3
3
2b = 5 3 2b
27 x 2 2 3 3 ⋅ 4ab 2 x 2 2⋅3 = 3 = 2 4 16a b 3 2 6 a 3b 6 3 ⋅ 22 ab 2
81a 2 = 2xy 4x 3 y
4
3
1 2ab 2
4ab 2 x 2 =
3
4ab 2 x 2
34 ⋅ 22 a 2 xy 3 2 ⋅ 3xy 4 2 3 = 4a xy = 3 4 4a 2 xy 3 24 x 4 y 4 2xy
4
EJERCICIO 233 1
2 4
1 2
8.
8
2
1
9.
10
1.
4
9 = 3 =3 =3 = 3
2.
6
4 = 6 22 = 2 6 = 2 3 = 3 2
3.
9
27 = 3 = 3 = 3 = 3 3
4.
8
2
4
9
3
3 9
1 3
4 8
1 2
4
5. 3 12 64 = 3 12 26 = 3 ⋅ 2 6.
4
1
12
10. 6 12
32x10 y15 3
= 10 25 x10 y15 = 2 2 xy 2 = x 2y 3 = x 2y 2 y = xy 2y
16 = 2 = 2 = 2 = 2 8
64m6n18 1
1 2
= 3⋅2 = 3 2
11.
=
12
6
343a 9 x12 1
25a b
2 4
2 4
1 2
1 2
3
3
= 6 73 a 9 x12 = 7 2 a 2 x 2 = x 2 7a 3 = x 2 7a 2a = ax 2 7a
1 2
= 4 52 a 2b 2 = 5 a b = 5 a b = 5ab 1 3
1
26 m6n18 = 2 2 m 2 n 2 = 2mn3 = 2mn2n = n 2mn
2 2 2 4
1
81x 4 y 8 = 8 34 x 4 y 8 = 3 2 x 2 y = y 3x
1 3
15
12.
2 3
m10n15 x 20 2
7. 5 6 49a 2b 4 = 5 6 72 a 2b 4 = 5 ⋅ 7 a b = 5 3 7ab 2
4
= m 3 nx 3 = n 3 m2 x 4 = n 3 m2 x 3 x = nx 3 m2 x
EJERCICIO 234 1. 2 3 = 22 ⋅ 3 = 12 2. 3 5 = 32 ⋅ 5 = 45 3.
5a b = (5a) b = 25a b 2
8.
4m 3 2m2 = 3 ( 4m) (2m2 ) = 3 (64m3 )(2m2 ) = 3 128m5
9.
2a 4 8ab3 = 4 ( 2a) (8ab3 ) = 4 (16a 4 )(8ab3 ) = 4 128a 5b3
2
3
4
(
)
a = a+b
(
)
2x = x+1
10. a + b
2
1 2 1 1 = 2 = ⋅2 = 4. 2 2 4 2 5.
3a 2a = ( 3a ) ⋅ 2a = 9a (2a ) = 18a
6.
5x 2 y 3 = (5x 2 y ) 3 = (25x 4 y 2 ) 3 = 75x 4 y 2 12. (x − 1)
7.
ab 2 3 a 2b
2
2
2
2
2
4
11. x + 1
2
(a + b)
2
(x + 1) 2 x = 2
x+1
=
3
(x − 1) (x − 2) = x−1
3.
5 = 5 = 125 6
1. 3
3
6
2= 2 = 4 6
2
6
2. 4
a 2 + ab
2x2 + 2x
x 2 − 3x + 2
12
36 =
12
729
4
4 =
12
256
8 =
12
3
4=
12
=4 3
4
8=
12
3
(x + 1)2 x =
3=
2= 2 =4 4 2
(a + b)(a) =
(x − 1)(x − 2) =
EJERCICIO 235 4
=
x−2 x−1 2
= 3 (ab 2 ) (a 2b) = 3 (a 3b 6 )(a 2b) = 3 a 5b 7
(a )
a+b
3
512
2=
12
26 =
12
64
3
3=
12
3 =
12
81
4
5 =
12
53 =
6
7=
12
72 =
4.
6.
12
49
= ( 5x )
= 125x
3
6
(4 x y)
2
4x2 y =
6
7a 3b
3
2ab
15 5 = (2ab)
5
3a 2 x
=
4
6
8.
125
3
15
7.
9.
12
6
5x
5.
4
3
6
2
10
7x3 =
20
(7 x 3 )2 = 20 49 x 6
15
15
11.
15
8a 2 x 3 = 12 (8a 2 x 3 ) = 512a 6 x 9 3
12
2
= x12
(5m )
7 2
= 3 a 12 18
(x 5 )2
18
= 4 x10 18
10 5 = (2m)
2m
12.
3 5 a3x4 = 3
10
= 32m5 10
(a x )
3 4 2
= 3 a 6 x8 10
= 2 10 x 7 y 2
2 10 x 7 y 2
= 25m14 18
3 = 6 33 = 6 27
4. 3
5
2 = 6 22 = 6 4
6
32
3
5.
4 5
7 = 7 3 = 343 12
10
Luego el orden es: 4 7 ,
6
= 6 52 = 6 25 = 6 32
Luego el orden es: 6 32 , 3 , 3 5
2
12 12 2 15 = (15) = 225
15
3 =
20
=
20
15 =
20
4
35 =
20
243
=
20
256
15 =
20
225
4
4 2
Luego el orden es: 5 4 ,
6 6 3. 11 = (11) = 1. 331 3
6.
43 = ( 43) = 6 1.849 6
6
18
5 = 6 53 = 6 125
12
(5x 2 )3 = 4 12 125x 6
12
3
18
12
18 3 3 a 2 = 3 (a 2 )
4 9 x5 = 4
3a5m4 = 12 (3a 5m4 ) = 9a10m8
(x )
12
1 6 3 1 18 3 3 1 18 9 b = (b ) = 2 b 2 2
= 5a 3 x 2
18
= 2 a4
12
4 5x 2 = 4
= 27a 6 x 3
5a 3 x 2
x2 =
= 2 a4
a
4
(3a 2 x)3
2 6
3
12 6 3 2b = 3 (2b) = 3 64b 6
15
Luego el orden es: 5 ,
3
(2b2 )4 = 20 16b8
= 32a 5b5
5m7 =
4
20
12
9
6
2b2 =
20
10. 2
EJERCICIO 236
2.
5
= 6 7a 3b
2 y 3 = 18 (2 y 3 ) = 18 8 y 9
3
20 5 3a = (3a) = 243a 5
3
= 6 16 x 4 y 2
6
1.
4
2
3 6 9
3
Luego el orden es : 43 , 11
2=
18
6
2 =
18
64
3=
18
3
3 =
18
27
9=
18
9 =
18
81
2
Luego el orden es: 9 9 ,
4
3
3,
2 ,
10
6
15
3
EJERCICIO 237
(
)
1. 7 2 − 15 2 = 7 − 15
2= −8 2
(
2. 4 3 − 20 3 + 19 3 = 4 − 20 + 19
3.
)
3 = 3 3 4.
5 − 22 5 − 8 5 = (1 − 22 − 8) 5 = − 29 5
2 − 9 2 + 30 2 − 40 2 = (1 − 9 + 30 − 40) 2 = − 18 2
5.
3 1 1 3 1 3− 2 2− 2= − 2= 2= 2 4 2 4 4 2 4
6.
3 2 3 3 − 5 3 − 3 = − 1 3 = 3 3= − 5 5 5 5
1 3 7. 2 5 − 5+ 5 2 4 1 3 9 8 − 2 + 3 = 2− + 5= 5 5= 2 4 4 4 1 1 3+5 3− 3 8. 4 8 1 41 1 2 + 40 − 1 3 = + 5− 3 = 3= 4 8 8 8
(
9. a b − 3a b + 7a b = a − 3a + 7a
)
b = 5a b
(
10. 3x y + a − x
)
y − 2x
y
= (3x + a − x − 2 x) y = a
(
)
11. x − 1
y
3 + (x − 3) 3 + 4 3
= ( x − 1 + x − 3 + 4) 3 = 2 x 3
12.
1 3
3
2 −
2 3
3
2+2
1 2 = − + 2 3 3 13.
3 5
3
2 −
1 4
3
3
(
2
1 − 2 + 6 2= 3
2 +
2 14. x 3 a − a − 2 x
3
)
1 6 3
3
3
2=
5 3
3
36 − 15 + 10 2 = 60
2 3
2 =
31 3 2 60
a 2 + (2a − 3x ) 3 a 2
= ( x − a + 2 x + 2a − 3x ) 3 a 2 = a 3 a 2
EJERCICIO 238 4. 1.
45 =
3 ⋅5 = 3 5 2
− 27 = − 32 ⋅ 3 = − 3 3
− 4 2 ⋅5 =
− 4 ⋅ 2 3 5 = − 32 5
3 80 =
3 24 ⋅ 5 =
3⋅ 2 2 5 = 12 5
− 5 800 = − 5 24 ⋅ 2 ⋅ 52 = − 5⋅ 22 ⋅ 5 2 = − 100 2
Entonces:
Entonces:
= 3 5− 3 3−2 5
= 105 2 − 100 2 − 32 5 + 12 5
175 =
52 ⋅ 7 = 5 7
243 =
34 ⋅ 3 = 9 3
= (105 − 100) 2 + (− 32 + 12) 5 = 5 2 − 20 5 1 1 2 12 = 2 ⋅3 = 3 5. 2 2 1 1 2 − 18 = − 3 ⋅2 = − 2 3 3 3 4 3 48 = 2 ⋅3 = 3 3 4 4 1 1 2 72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 6 6 Entonces:
− 63 = − 32 ⋅ 7 = − 3 7 − 2 75 = − 2 52 ⋅ 3 = − 10 3 Entonces: = 5 7 + 9 3 − 3 7 − 10 3
= 3 + 3 3 − 2 + 2 = (1 + 3) 3 = 4 3
= (5 − 3) 7 + (9 − 10) 3 = 2 7 − 3 6. 3.
7 ⋅ 3⋅ 5 2 = 105 2
− 4 320 =
6
− 20 = − 2 2 ⋅ 5 = − 2 5
= (3 − 2) 5 − 3 3 = 5 − 3 3 2.
7 450 = 7 32 ⋅ 52 ⋅ 2 =
80 =
24 ⋅ 5 =
22 5 = 4 5
− 2 252 = − 2 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7 = − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 7 = − 12 7 3 405 =
3 34 ⋅ 5 =
3⋅ 32 5 = 27 5
− 3 500 = − 3 2 2 ⋅ 52 ⋅ 5 = − 3⋅ 2 ⋅ 5 5 = − 30 5 Entonces: = 4 5 + 27 5 − 30 5 − 12 7
= (4 + 27 − 30) 5 − 12 7 = 5 − 12 7
3 3 4 22 ⋅ 3 176 = 2 ⋅ 11 = 11 = 3 11 4 4 4 2⋅3 2 2 2 − 45 = − 3 ⋅5 = − 5= −2 5 3 3 3 1 1 6 23 320 = 2 ⋅5 = 5= 5 8 8 8 1 1 2 5 275 = 5 ⋅ 11 = 11 = 11 5 5 5 Entonces: = 3 11 + 11 − 2 5 + 5
= (3 + 1) 11 − (2 + 1) 5 = 4 11 − 5
7.
1 1 147 = 3⋅ 7 2 = 3 10. 7 7 1 1 2 2 − 700 = − 2 ⋅5 ⋅ 7 = − 2 7 5 5 1 1 1 28 = 22 ⋅ 7 = 7 10 10 5 1 1 6 2 .187 = 3 ⋅3 = 9 3 3 3 Entonces : 1 = 3+9 3−2 7 + 7 5 1 = (1 + 9) 3 + − 2 + 7 5 = 10 3 −
1 = 3
8.
−
1 = 2
9 7 5
5 3 = 3 5 1 − 2 −5
5 15 1 15 = 3 52 3
3 = 4
13.
25ax 2 = 49b =
1 3 1 3 − =− 2 22 4
2 1 =− 2 22 2
72 b = 7 b
− 9ax 2 = − 32 ax 2 = − 3x a entonces :
1 15 1 = −5 2 2 = − 15 15 3 ⋅5 3
= 5 x a − 3x a + 7 b = (5x − 3x ) a + 7 b
1 3 1 = 3 2 2 = 3 3 12 2 ⋅3 2
= 2x a + 7 b Entonces: 1 1 1 1 = 15 − 15 − 3+ 3 3 3 4 2 2 = 2m n 14. 2 m n 1 1 1 2 2 2 3 =− + 3= − 9m n = − 3 m n = − 3m n 4 2 4 16mn2 =
3 1 = 3 32 3
52 ax 2 = 5x a
24 mn2 = 4n m
− 4mn2 = − 22 mn2 = − 2n m 11. 5 128 =
−
3 3 1 = = 3 4 22 2 Entonces:
Entonces :
5 2 6 ⋅ 2 = 40 2
= 2m n − 3m n + 4n m − 2n m = (2m − 3m) n + (4n − 2n) m
1 1 1 3 1 = − =− 3 3 3 3 32 9
= − m n + 2n m
− 5 98 = − 5 7 2 ⋅ 2 = − 35 2 1 = 27 Entonces:
1 1 1 = 3+ 3− 2 3 2 2 1 1 1 = + 3− 2 3 2 2 5 1 = 3− 2 6 2
3 1 3 = 34 9 6 15. a 320 x = a 2 ⋅ 5x = 8a 5x
= 40 2 − 35 2 −
1 1 3+ 3 9 9
− 7 5a 2 x
= (40 − 35) 2 = 5 2
= − 7a 5x
− (a − 4b) 5x
Entonces : = 8a 5x − 7a 5x − (a − 4b) 5x
9 = 5
32 ⋅ 5 3 5 = 52 5
−
1 = 6
−
−
1 5 1 =− =− 5 20 2 2 ⋅ 52 10
9.
6 1 =− 6 62 6
6= 6 Entonces: 3 1 = 5− 5 10
1 5− 6+ 6 6
3 1 1 = − 5 + − + 1 6 6 5 10 1 5 = 5+ 6 2 6
12.
= (8a − 7a − a + 4b) 5x = 4b 5x
2 700 = 2 2 2 ⋅ 52 ⋅ 7 = 20 7 − 15 4
5 1 = − 15 2 2 = − 5 3 ⋅5 45 5 = 16
1 − 56 = 7 Entonces:
4
5 = 5 24
7 − 56 2 = − 8 7 7
= 20 7 − 8 7 −
16.
9 x − 9 = 32 ( x − 1) = 3 x − 1 4 x − 4 = 22 ( x − 1) = 2 x − 1 −5 x−1 Entonces:
5+
= (20 − 8) 7 = 12 7
5
= 3 x−1+ 2 x−1− 5 x −1 = (3 + 2 − 5) x − 1 = 0
17.
2 a 4 ( x + 3 y ) = 2a 2 x + 3 y
2 a 4 x + 3a 4 y =
EJERCICIO 239
− a 2 9 x + 27 y = − a 2 32 ( x + 3 y ) = − 3a 2 x + 3 y
− 4a + 4 =
(a + 1)
= 3 a +1− 2 a+1+
(a − b)
a+b = a−b
a+1
(a + 1)
2
3
−
= a+1
a 2 − b2
(a − b)
2
= a 2 − b2
− (a + b)
a−b a 2 − b2 = − a 2 − b2 = − (a + b) a+b (a + b)2
(2a − 2b)
1 = 2 (a − b) a−b
1. 029 =
3
73 ⋅ 3 = 7 3 3
3
53 ⋅ 5 = − 5 3 5
625 = −
3
= (2 − 5) 3 5 + 7 3 3 = 7 3 3 − 3 3 5 2 3 250 = 2 3 53 ⋅ 2 = 10 3 2 − 4 3 24 = − 4 3 23 ⋅ 3 = − 8 3 3 − 6 3 16 = − 6 3 23 ⋅ 2 = − 12 3 2 3
a−b
(a − b)
2
=2 a− b
2 .187 =
3
36 ⋅ 3 = 9 3 3
Entonces: = 10 3 2 − 12 3 2 + 9 3 3 − 8 3 3 = (10 − 12) 3 2 + (9 − 8) 3 3 =
= a 2 − b 2 − a 2 − b2 + 2 a − b = 2 a − b
5 3 48 = 5 3 2 3 ⋅ 6 = 10 3 6
3
5.
81 =
3
3
3− 2 3 2
33 ⋅ 3 = 3 3 3
− 3 3 375 = − 3 3 5 3 ⋅ 3 = − 15 3 3
− 3 3 3. 645 = − 3 3 36 ⋅ 5 = − 27 3 5 − 2 3 384 = − 2 3 2 6 ⋅ 6 = − 8 3 6 4 3 1. 715 =
23 ⋅ 5 = 2 3 5
= 2 3 5 − 53 5 + 7 3 3
3.
entonces :
4.
3
Entonces :
a + 1 = (3 − 2 + 1) a + 1 = 2 a + 1
(a − b)
40 =
3
2.
− 22 (a + 1) = − 2 a + 1
Entonces :
19.
=33 2 −23 2 −23 3 = 3 2 −23 3
3a a+1 = 3 a+1 a
1 = (a + 1) a+1
33 ⋅ 2 = 3 2
Entonces:
= (2a 2 − 3a 2 + 5a 2 ) x + 3 y = 4a 2 x + 3 y a+1 = a2
3
− 3 16 = − 3 23 ⋅ 2 = − 2 3 2
= 2a 2 x + 3 y − 3a 2 x + 3 y + 5a 2 x + 3 y
3a
54 =
− 3 24 = − 3 23 ⋅ 3 = − 2 3 3
Entonces :
18.
3
1.
52 a 4 ( x + 3 y ) = 5a 2 x + 3 y
25a 4 x + 75a 4 y =
3
686 =
3
73 ⋅ 2 = 7 3 2
2 3 648 = 2 3 2 3 ⋅ 33 ⋅ 3 = 12 3 3
4 3 7 3 ⋅ 5 = 28 3 5
Entonces :
Entonces:
= 10 3 6 − 8 3 6 − 27 3 5 + 28 3 5
= 3 3 3 + 12 3 3 − 15 3 3 + 7 3 2 = 7 3 2
= (10 − 8) 3 6 + (− 27 + 28) 3 5 = 2 3 6 + 13 13 3 24 = 2 ⋅3 = 3 3 6. 2 2 2 2 − 3 54 = − 3 33 ⋅ 2 = − 2 3 2 3 3 33 33 3 375 = 5 ⋅3 = 3 3 3 5 5 1 1 − 3 128 = − 3 2 6 ⋅ 2 = − 3 2 4 4 Entonces: = 3 3 + 33 3 − 2 3 2 − 3 2
= (1 + 3) 3 + (− 2 − 1) 2 = 4 3 − 3 2 3
3
3
3
3
5
7.
33 33 3 625 = 5 ⋅5 = 3 3 5 5 5 3 3 − 3 192 = − 3 2 6 ⋅ 3 = − 6 3 3 2 2 13 1 1. 715 = 3 7 3 ⋅ 5 = 3 5 7 7 3 3 − 3 1.536 = − 3 2 9 ⋅ 3 = − 3 3 3 8 8 Entonces : = 3 3 5+
3
5−6 3 3−3 3 3
= (3 + 1) 3 5 + (− 6 − 3) 3 3 = 4 3 5 − 9 3 3
3
8. 3
1 = 4
3
1 = 3
3
2 13 2 = 23 2
3 ( ) − 4 − 81 = − 4 (− 3) ⋅ 3 = 12 3 − − 375 = − (− 5) ⋅ 3 = 5 3 3
12. 3 3 − 24 = 3 3 − 2 ⋅ 3 = − 6
9 13 9 = 33 3
2 2 1 =− 3 3 =− 3 2 27 3 3 Entonces: 1 1 1 = 3 2− 3 2+ 3 9 2 3 3 13 1 1 1 1 3 9= 3 2+ 3 9 = − 2+ 2 3 3 6 3 −
1 9 = 63 3 3 = 24 2 ⋅3
63
9.
−2
3
1 = 25
3
5 =−2 64
3
3
3
10. 7
3
3
= − 6 3 3 + 12 3 3 + 5 3 3
= (− 6 + 12 + 5) 3 3 = 11 3 3
3 − 10 3 − 40 = − 10 3 (2) (− 5) = − 20 3 − 5
5 13 5 = 53 5
3 − 2 3 − 54 = − 2 3 ( 3) (− 2) = − 6 3 − 2
3
1 = 2
3
Entonces : = 16 3 − 5 − 20 3 − 5 − 6 3 − 2 + 24 3 − 2 = (16 − 20) 3 − 5 + (− 6 + 24) 3 − 2
3
= − 4 3 − 5 + 18 3 − 2
9
= 11.
= 3a
− 20 3
3
3
2
2 − 4b 3 2 + (4b − 3a ) 3 2
3
250b = a
−
3
3
3ab
3
53 2b = 5a
= −b
3
− 5 2a b = − 5a 3
3
2b
3a 3
2b
3
3b 3a Entonces :
2 73 = 2 23 8
5a
3
2b − 5a
3
2b − b 3 3a + 3b
= (− b + 3b) 3 3a = 2b
Entonces: 13 7 1 7 2+ 3 2= + 3 2= 8 8 8 8
3
15. a
3
1 5 = − 20 3 3 3 = − 2 3 5 200 2 ⋅5
=2 3 5−2 3 5+
3
= (3a − 4b + 4b − 3a ) 3 2 = 0
23 3 3 ⋅5 = 2 3 5 3 13 2 13 = 2 2 26 8 7 4
2 3
Entonces :
13 1 3 1 1 4+ 3 4+3 7−3 7= + 3 4= 3 4 4 2 4 2 4
1 = 4
6
3
(4b − 3a)
3
7 4
3
− b 128 = − b 2 ⋅ 2 = − 4b 2 3
4 13 = 4 23 2
2 3 135 = 3 13 1 = 2 32
3 3 2a 3 = 3a
14.
7 7 = − 23 3 = − 3 7 8 2 Entonces:
−2
9 3 3 ( 2) (− 2) = 24 3 − 2
3 3 − 1. 024 =
5 1 =− 3 5 23 ⋅ 23 2
4 13 = 4 26 4
3
6 4 3 (2) (− 5) = 16 3 − 5
4 3 − 320 =
13.
1 7 = 73 3 = 3 7 49 7 1 = 16
3
Entonces:
9
Entonces: 1 1 = 3 2 − 3 5+ 3 9 5 2 3 1 1 = − 3 5+ 3 9 = − 3 5+ 5 2 10
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3a
3
3a
EJERCICIO 240 9. 3 6 ⋅ 14 ⋅ 2 35 = 6 2 . 940 = 6 22 ⋅ 72 ⋅15 = 84 15
3 ⋅ 6 = 18 = 32 ⋅ 2 = 3 2
1.
2. 5 21⋅ 2 3 = 10 63 = 10 32 ⋅ 7 = 30 7 3.
1 2 1 1 2 14 ⋅ 21 = 294 = 7 ⋅6 = 6 2 7 7 7
4.
3
12 ⋅ 3 9 = 3 108 = 3 33 ⋅ 4 = 3 3 4
11. 3 3 45 ⋅
53 15 ⋅12 3 50 = 10 3 750 = 10 3 53 ⋅ 6 = 50 3 6 5. 6 6. x 2a ⋅
x 1 5a = 10a 2 = x 10 a a
7. 5 12 ⋅ 3 75 = 15 900 = 15 22 ⋅ 32 ⋅ 52 = 450 8.
3 4
3
9a 2 ⋅ 8
3
3ab = 6
3
27a 3b = 6a
3
1 2 3 21 ⋅ 42 ⋅ 22 2 3 7 1 1 2 2 2 = 19 . 404 = 2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅11 = 6 11 7 7
10.
33 b = 18a
3
13 15 ⋅ 4 6
12.
5 6
7 3 ⋅ 8 5
13.
2 2 3 a x⋅ x 2
3
20 = 2 3 13 . 500 = 2
3
5 3 ⋅ 33 ⋅ 4 = 30
4
4 1 1 1 2 1 = = = 2 7 2 2 2 22 4 x 3 = a x
1 3 = a3 x
ax 3 = ax a 2 ax
1 x 2 2x 2xy 2 14. 3 y 2 ⋅ 6 y = 2 y 3 = 2 y 4 = y 2
b
3
2xy
EJERCICIO 241 2− 3
1.
2 = 4− 6
2 5 +3 3
5 5 −8 7
2 25 + 10 15
35 25 − 55 35
+ 3 15 + 15 9
− 56 35 + 88 49
7 5 +5 3
= 2 25 + 13 15 + 15 9
= 35 25 − 111 35 + 88 49
2 3
= 10 + 13 15 + 45
= 175 − 111 35 + 616
=
= 791− 111 35
= 2− 6 2.
= 14 15 + 10 9 = 14 15 + 30
6.
2 3+ 5−5 2
3.
(
= 4 2 32 ⋅ 5 + 52 ⋅ 3 − 5 30
(
= 4 6 5 + 5 3 − 5 30 2− 3 2 +2 3 6
+2 6 −2 9 = 4 + 6 −2 9 = 2+ 6 −6 =
2+ 3+ 5
9.
3 7 −2 3
2− 3 4 + 6 + 10
15 21 − 10 9
= 8 45 + 4 75 − 20 30
4 −
55 + 13 15
5 3 +4 7
4 15
4.
7 5 − 11 7
8.
5 +5 3
5.
6 −4
)
− 8 21
)
= 7 21 − 10 9 + 12 49 = 7 21 − 30 + 84
= 4
+ 10 − 9 − 15
= 2
+ 10 − 3 − 15
10.
a −2 x
2 −3 3+ 5 2 + 2 3− 5
3 a + x
4 − 3 6 + 10
3 a 2 − 6 ax
+2 6
+ ax − 2 x 2 = 3 a − 5 ax − 2 x 2
= 3a − 5 ax − 2x
− 9 − 15
= 10 − 15 − 1
= 7 21 + 54 7.
− 6
+ 12 49
2
− 6 9 + 2 15 − 10
+ 3 15 − 25
= 4− 6
− 6 9 + 5 15 − 25
= 2 − 6
− 18 + 5 15 − 5
= 5 15 − 6 − 21
11.
a+1+ a−1
15.
2 3− 6+ 5
a+1+ 2 a−1
3 + 6 +3 5 2 9−
18 +
(a + 1)
2
15
+ 2 18
− 36 + + 6 15
+ a2 − 1 + 2 a2 − 1 + 2
30
− 3 30 + 3 25
(a − 1)
2
= a + 1 + 3 a 2 − 1 + 2a − 2
= 2 9 + 3 ⋅ 2 + 7 15 − 36 − 2 30 + 3 25 2
= 3a + 3 a 2 − 1 − 1
= 6 + 3 2 + 7 15 − 6 − 2 30 + 15 = 7 15 + 3 2 − 2 30 + 15
12.
16. 2 x + 2 − 2
x+2−3
a + a+1 2
( x + 2)
=2
( x + 2)
a + 2 a+1
2
− 2 x+ 2 −6 x+2+6
a2 + a2 + a + 2 a2 + a + 2
(a + 1)
2
−8 x+ 2 + 6
= 2x + 4 − 8 x + 2 + 6
(a + 1)
2
= a2 + 3 a2 + a + 2
2
= 2 x + 10 − 8 x + 2
= a + 3 a 2 + a + 2a + 2 = 3a + 3 a 2 + a + 2
13.
17. 3 a − 2 a + x
2 a +3 a+ x
2 a −3 a−b
6 a 2 − 4 a 2 + ax
3 a + a−b 6 a 2 − 9 a 2 − ab
+ 9 a 2 + ax − 6
(a + x) (a + x)
2
2 a 2 − ab − 3
(a − b)
= 6 a 2 + 5 a 2 + ax − 6
= 6 a 2 − 7 a 2 − ab − 3
(a − b)
= 6a + 5 a 2 + ax − 6a − 6 x
2
2
2
= 5 a 2 + ax − 6 x
= 6a − 7 a 2 − ab − 3a + 3b = 3a + 3b − 7 a 2 − ab
a+ x − a− x
18. 14.
a+ x − 2 a− x
1− x + x 2
(a + x)
2 x + 1− x 2
2
2 x 1− x 2 + 2 x2 x 1− x 2
+
(1− x )
2 2
=
(a + x)
2
−
a2 − x2
− 2 a2 − x2 + 2
(a − x)
− 3 a2 − x2 + 2
(a − x)
= 3x 1 − x 2 + 2 x 2 + 1 − x 2
= a + x − 3 a 2 − x 2 + 2a − 2 x
= 3x 1 − x 2 + x 2 + 1
= 3a − x − 3 a 2 − x 2
2
2
EJERCICIO 242
5.
3
2 x 2 = 6 (2 x 2 ) = 6 4 x 4
6
x3 ⋅ 6 4x4 = 6 4x7
2
6
6
= x 6 4x 2. 3 2ab = 3 4 ( 2ab) = 3 4a b 2
4
2 2
3 4 4a 2b2 ⋅ 4 4 8a 3 = 12 4 32a 5b 2 4
2
2
= 6 81x 4 y 2 81x 4 y 2 ⋅ 6 81x 5 = 6 6 . 561x 9 y 2 = 6 36 ⋅ 32 x 6 x 3 y 2 = 3x 6 9 x 3 y 2
(a 2b2 )4
12
= a 8b8 12
2 4 3a 3b = 2 12 (3a 3b)
3
=2 12
ab ⋅2 8 8
12
12
12
244 .140 . 625x10 y 9
=
12
512 x 10 y 9 = 5 12 x 10 y 9
27a b
7.
27a b = 2 27a b 12
9 3
17 11 3
= 2 27a12 a 5b11 = 2a
12
EJERCICIO 243
2.
4 6 2 3
2 3a
=
1 5
4.
5 3xy
5 11
27a b
=
1 5
25 x 5 ⋅
= 10
15 . 625x 4
10
10
2 4 x 2 ⋅ 10
1 16 x 2
25 ⋅ 2 4 x 2 x 5 24 x 2 5
1
= 25 x 5 = ( 2 x ) 10 = ( 2 x) 2 = 2 x 10
3
2 2b 2 6 2b 2 8b 3 = = 6 3 3 a 3 a 3 a
9.
4m2 =
1 1 1 =6 =6 3 2x 2x 8x
=
3 6 35 4 37
2 = 6 (x 2 ) = 6 x 4
=
36 1 4 9
6
2
x − 3 6 4 6 x 6 8x ⋅ x = = 6 8 8 2 16 = 8x 2
3a 1 3 = a 5
1 3xy 4 2 = 3. 3 6 x 4 75x 2 y 3
3
6 =2 2 3
=2
10 a
15. 625x 4
3
9 3
2
10
=
12
1.
2 2
12
4 x = 10 (2 2 x ) = 2 4 x 2
5
(125x )
12
10
2 15 (4m2 )5 2 3 3 3 a2 3 a2 3 a4 6 2 15 5 10 = = 6 4 4 2 2 2 = 4 m 8 4b 8 2 b 8 2 b 3 3 3 4 35 3 15 2 4 3 2 6 2 b 36 a (4 m n) 16m4 n = ⋅ 4 4 3 a 3 8 24 b4 3 15 6 12 3 = 4 m n 1 a 1 6 25 ab5 1 4 32ab5 = 6 = = 4 2b 4 2 6 b 6 8b 2 15 5 10 3 15 6 12 3 4 m ⋅ 4 m n 3 4 3 1 1 1 6 1 16 1 1 15 11 22 3 = = 4 m n 10. 2 3 2 3 = 2 33 2 1 15 22 22 3 2 = 2 m n 3 3 1 3 6 1 3 1 2 = = 6 4 2 9 2 9 2 3 1 = 15 215 ⋅ 2 7 m15m7 n 3 2 16 1 36 1 6 15 15 3 ⋅ 4 ⋅ 243 = m 2 7 m7 n 3 = m 128m7 n 3 2 3 2 3
9 x 2 y = 6 (9 x 2 y )
a 2b 2 =
12
10 5 2 x = ( 2 x ) = 25 x 5
8.
15 . 625x 6 y 9 ⋅
6. 3
= 24a 4 2ab 2
3
3 3
2
12
2
= 12 2 ⋅ 2a ab 4
4
6
125x 2 = =
= 4x x
3
(25x y )
12
= 12 15. 625x 6 y 9
6
4.
25x 2 y 3 =
x = 6 x3
1.
3.
4
3xy 2 = 3y x 3 75x 2 y 3 1 1 2 2 = 25xy 2 = 5 xy = y x 3xy 5 5
3 3 16a 5 5.
3
4 2a
2
3 6 34 4 36 1 4 1 2 1 1 = ( 3) 6 = ( 3) 3 = 3 32 = 3 9 4 4 4 4 =
=
3 4
3
5 1 15 6 2 = 6. 10 2 60 3 3 4x a 3 x 2 7.
2 3
2 a x
= 2x
16a 5 3 3 3 3 = 8a = 2a 2 4 4
3
23 a 3 =
3 a 2
1 2 =1 3=1 3 =1 3 2 4 4 4 22 8 3 a 3x2 a ax = 2x = 2x = 2 ax a 2x3 x x2
2a 3 2 x 6ax 2 3 = 8. a 3 3 3a x 3x 2
3
13 3 9. 1 3 6
x2 x2 1 = 2x 2 3 = 2x 2 3 3 = 2x 3 x 2 3 x x x
1 2 6 = 3 1 3 3
1 2 =2 3 3 =2 1 2 3
3
3 ⋅ 22 3 = 12 23
EJERCICIO 244 1.
3
1 1 1 3 2 x = 6 (2 x) = 6 23 x 3 4. 2 2 2 16 3 3 2 x 1 25 x 5 1 2 =2 6 = 2 6 6 6 = 6 32 x 5 16 4 4 2x 2 x x 2 x 4
2 = 6 22 2 = 6 23
=
6
22
6
3
2
=6
22 6 1 6 25 1 6 32 = = = 23 2 26 2
5.
9 x = 6 (32 x ) = 6 36 x 3 = 3 6 x 3 3
2. 3
3x 2 = 6 (3x 2 ) = 6 9 x 4
(5m2n)5 = 15 55 m10n5
3
5m2 n =
5
15 m3n 2 = (m3n 2 ) = m9 n 6
15
3
2
15
=
55 m10 n 5
= 15
15
15
55 m 15 55 mn14 1 15 = = 3 .125mn14 n n15 n
m9 n 6 34 x 5 1 6 x3 1 5 6 6 = 6 4 =3 =3 = 3 6 6 = 81x 12 3 4 5 2 3 4 5 2 2 6 8 10 12 4 3x x 9x 9x4 6. 6 18 x y z = (3 ⋅ 2 x y z ) = 3 ⋅ 2 x y z 9x
36 x3
3.
6
(2 3 a 3b)4 = 12 212 a12b 4 = 2a 12 b4 3 12 12 4 4a 2 = (4a 2 ) = 2 6 a 6 3
8a 3b =
3x 2 y 2 z 3 = 12 (3x 2 y 2 z 3 ) = 12 33 x 6 y 6 z 9 3
4
12
12
=
12
=
2a b 4 12
7.
26 a 6
= 2a
2 6 a 6b 4 12 4 2 4 2 4 = 2 ⋅2 a a b 212 a 12
12
4
= 12 12 y 2 z
3
m 9 27m3 9
27m2
4
1
6
33 x 6 y 6 z 9
=m 9 m
2 4 2 2 6 3 6 8. 5 4ab = 5 (2 ab) = 5 2 a b
2
= ( 2ab) 3 ⋅ (2a ) 6 = 3 2ab ⋅ 6 2a 2 ⇒ 3 2ab = 6 (2ab) =
12
3m4 = 9 (3m4 ) = 9 27m12 = m 9 27m3
3
=
= ( 2ab) 12 ⋅ ( 2a ) 12 1
34 ⋅ 2 2 x 6 y 8 z10
4
2
4
1 1 1 3 2a 2 = 6 (2a 2 ) = 6 2 3 a 6 10 10 10 46 4 2 2 2 ab 2b 2 2a 2 b 2 8 6 = 5 =8 6 4 =8 6 = 2a 2 b 2 1 6 3 6 a a6 a 2 a 10
4a 2b 2
= 6 4a 2b 2 ⋅ 6 2a = 6 8a 3b 2
EJERCICIO 245
(4 2. (2 3. (5 4. (2
) 3) = 2 7) = 5 4) = 2 2
2 = 4 2 2 2 = 16 ⋅ 2 = 32
1.
2
2
3
2
32 = 4 ⋅ 3 = 12
2
2
5.
6.
(3
3
)
2a 2b = 34 3 (2a 2b) = 81 3 23 ⋅ 2 ⋅ a 3a 3a 2b3b = 162a 2b 2a 2b 4
( 8x ) = 4
3
2
4
4
(2 x )
3 3 2
1
= 2 x ( 2 x) 2 = 2 x 2 x
72 = 25⋅ 7 = 175
2 3
24 = 4 3 23 ⋅ 2 = 8 3 2
2
= 4 2 4 ⋅ 22 x 4 x 2 = 2 x 4 22 x 2 = 2 x ( 2 x ) 4
7.
( 81ab ) = 5
3
3
5
(34 ab3 )3 = 5 35 ⋅ 35 ⋅ 32 a 3b5b4 = 9b 5 9a 3b4
( 18 ) = 18 = (18) = (18) = 18 = 3 ⋅ 2 = 3 9. (4a 2 x ) = ( 4a) ( 2 x ) = 16a ( 2 x ) = 32a x 10. (2 x + 1) = 2 ( x + 1) = 4( x + 1) = 4 x + 4 11. (3 x − a ) = 3 ( x − a ) = 9 ( x − a ) = 9 x − 9a 3
6
8.
3 6
3
6
2
2
2
(
= 43
6
2
16.
2
17.
18.
(4
a3 19.
1 2
)
15.
(
(
x +1− 4 x
=
(x + 1)
2
2
− 2 ⋅ 4 x + 1 x + 42 x 2
a + 1− a −1
= 2 − 2 6 + 3= 5− 2 6
=
(a + 1)
(a − 1)
2
− 2 a +1 a −1+
(
)
)
2
(2 x − 1) + 2 ⋅ 2 2 x − 1 2 x + 1 + (2 x + 1) = 4 (2 x − 1) + 4 4 x − 1 + 2 x + 1 2
= 22
= 32 + 8 6 + 3 = 35 + 8 6 5− 7 = 5 − 2 5 7 + 7
2
2
20. 2 2 x − 1 + 2 x + 1
2 + 3 = 4 2 2 2 + 2 ⋅ 4 2 3 + 32
2
)
= a + 1 − 2 a 2 − 1 + a − 1 = 2a − 2 a 2 − 1
2
)
2
)
(
2
2 − 3 = 22 − 2 2 3 + 32
2
(x − 1)
2
= x + 1 − 8 x 2 + x + 16 x = 17 x + 1 − 8 x 2 + x
= 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 a
14.
)
x + x − 1 = x2 + 2 x x − 1 +
= 2x + 2 x2 − x − 1
3
3 6
(
(
= x + 2 x2 − x + x − 1
= 64 6 36 a 6a 3b 6b 6
13.
2
2
)
6
)
7 − 6 = 52 7 2 − 2 ⋅ 5⋅ 6 7 + 62 = 175 − 60 7 + 36 = 211 − 60 7
(32 a 3b4 )3
= 192ab 2
(5
2
2
2
9a 3b 4
6
2
2
2
2
12. 4
1 2
2
2
2
= 8x − 4 + 4 4 x2 − 1 + 2 x + 1
= 5 − 2 35 + 7 = 12 − 2 35
= 10 x − 3 + 4 4 x 2 − 1
EJERCICIO 246 1.
8.
1
2
a = a = (a) 6 = a 3 = 3 a 2
3
2
6
3
1
2.
3
8 = 8 = ( 2) 6 = ( 2) 2 = 2
3.
4
81 = 3 = ( 3) 8 = ( 3) 2 = 3
6
8
5.
7.
1
3
12
9.
35 3 =
10.
4
3
6
2
2 6
2
6
3
35 ⋅ 3 = 36 = (3) 10 = (3) 5 = 5 33 = 5 27 10
4
2
1
1
2 ⇒ ab = 4 ( ab) = 4 a 2b 2
1 3
= 4 a 2b 2
1 2
2 2 = 3 2 2 ⋅ 2 = 6 2 3 = ( 2) = ( 2) = 2 2
5
= ab ⋅ 4 b
3 6
4
1
a 4b 6 = 8 a 4b 4b 2 = ( ab) 8 (b) 8 = ( ab) 2 (b) 4
4a = 2 a = (2a ) = (2a ) = 3 2a 2
3
27a 3 = 33 a 3 = (3a) 12 = (3a) 4 = 4 3a
3a = 4 3a
4.
6.
4
4
3 4
b=
10
11.
5 3
12.
3
1
25a 2 = 8 52 a 2 = (5a) 8 = (5a ) 4 = 4 5a
4
4
a 2b 3
2
x10 = 15 x10 = x 15 = x 3 = 3 x2
(a + b)
2
= 6 (a + b) = (a + b) 6 = (a + b)3 = 3 a + b 2
2
1
EJERCICIO 247 1
1. 2.
3 5 2
⋅ ⋅
3 3 2 2
= =
3 32 5 2 22
= =
3 3 5 2 2
5
3 5 3 5 3 5 3 5 ⋅ = = = 3. 4 ⋅5 20 4 5 5 4 52 2a
4.
2ax
⋅
2ax 2ax
=
2a 2ax 22 a 2 x 2
=
2a 2ax = 2ax
5. 2ax x
3
4a 1
6.
3
9x
2
⋅
⋅
3 3
2a 2a
3
2
3x
3
3x 2
= =
5 3 2a 3
3
3
2 a
3
3x 2
3
33 x 3
= =
5 3 2a 2a 3
3x 2 3x
3 7.
4
9a
⋅
4 4
6 8.
5 3 3x x
9.
4
27x
2
⋅
32 a 3 2
3 a
=
3
3
3 x
3
32 x 2
⋅
2
4 4
2
3x 2 3x
2
3 4 32 a 3 4
=
=
4
3 a 3
=
4
2
6 3 x
2
=
5 3 33 x 3 x 4 3x 2 4
4
3 x
=
4
3 4 9a 3 4 9a 3 = a 3a 3
2
3
10.
6 9x 2 9x = 15x 5x
1 5
8a
4
⋅
5
22 a
5
2
2 a
=
5 5
4a 5
2 a
5
=
5
4a 2a
2
mn 5n2 mn 5n2 mn 5n mn 5n ⋅ = = = 11. 3mn 3m 3 mn mn 3 m2n2
2
1
x 4 3x 2 4 3x 2 = 3x 3
12.
4
5a 25x
3
⋅
4
52 x
4
2
4
=
5 x
25x 4
4
5a 5 x
4
=
4
25x 25ax
EJERCICIO 248
1.
3 − 2 1− 2 3 − 3 2 − 2 + 22 3 − 4 2 + 2 5 − 4 2 ⋅ = = = =4 2 −5 1− 2 −1 1+ 2 1− 2 1− 22
2.
5 + 2 3 4 + 3 20 + 5 3 + 8 3 + 2 32 20 + 13 3 + 6 26 + 13 3 ⋅ = = = =2+ 3 16 − 3 13 4− 3 4+ 3 4 2 − 32 2 − 5
3.
2+ 5
7 +2 5
4.
7− 5
2 − 5
⋅
2 − 5 7+ 5
⋅
7+ 5
22 − 2 2 5 + 52
=
2 − 5 2
=
2
=
2 − 2 10 + 5 7 − 2 10 2 10 − 7 = = 2−5 3 −3
7 + 35 + 2 35 + 2 52 2
72 − 52
=
7 + 3 35 + 10 17 + 3 35 = 7−5 2
5.
2 − 3 5 2 2 − 5 2 22 − 10 − 6 10 + 3 52 4 − 7 10 + 15 19 − 7 10 ⋅ = = = 8−5 3 2 2+ 5 2 2− 5 2 2 22 − 5 2
6.
19 5 2 +4 3 95 2 + 76 3 95 2 + 76 3 95 2 + 76 3 ⋅ = = = 50 − 48 2 5 2 − 4 3 5 2 + 4 3 5 2 2 2 − 4 2 32 3 2
⋅
7 2 +6 3
=
21 22 + 18 6
=
42 + 18 6 42 + 18 6 21+ 9 6 = =− 98 − 108 5 − 10
7.
7 2 −6 3 7 2 +6 3
8.
4 3 − 3 7 2 3 − 3 7 8 32 − 12 21 − 6 21 + 9 7 2 24 − 18 21 + 63 87 − 18 21 6 21 − 29 ⋅ = = = = 12 − 63 − 51 17 2 3+3 7 2 3−3 7 2 2 32 − 32 7 2
9.
5 2 − 6 3 4 2 + 3 3 20 22 + 15 6 − 24 6 − 18 32 40 − 9 6 − 54 − 14 − 9 6 14 + 9 6 ⋅ = = = =− 2 2 2 2 32 27 5 5 − 4 2 −3 3 4 2 +3 3 4 2 −3 3 7 + 3 11
5 7 − 4 11
10. 5 7 + 4 11 ⋅ 5 7 − 4 11 = 11.
5 7 2 − 4 77 + 15 77 − 12 112 5 2 7 2 − 4 2 112
=
35 + 11 77 − 132 − 97 + 11 77 = = 97 − 11 77 175 − 176 −1
5 + 2 7 − 2 10 7 5 − 2 50 + 7 2 − 2 20 ⋅ = 7 + 2 10 7 − 2 10 7 2 − 2 2 10 2 =
12.
7 2 22 − 6 2 3 2
7 5 − 2 5 2 ⋅ 2 + 7 2 − 2 22 ⋅ 5 49 − 40
=
7 5 − 10 2 + 7 2 − 4 5 3 5 − 3 2 5− 2 = = 9 9 3
9 3 − 3 2 6 + 6 54 3 + 9 18 − 18 2 − 3 12 ⋅ = 6− 6 6+ 6 62 − 62 =
54 3 + 9 3 2 ⋅ 2 − 18 2 − 3 2 2 ⋅ 3 36 − 6
=
54 3 + 27 2 − 18 2 − 6 3 48 3 + 9 2 16 3 + 3 2 = = 30 30 10
13.
a+ x
⋅
2 a− x
2 a+ x 2 a− x =
2 a 2 − ax + 2 ax − x 2 2
a −
2
2
x − x−1 14.
x + x−1 =
=
x
=
2
x+2 − 2
2a + ax − x 4a − x
=
=
x − x−1
(x − 1)
2
x2 − 2 x x − 1 +
(x − 1)
x − 2 x2 − x + x − 1 x − ( x − 1)
= a − a+1
15.
a + a+1 =
a − a +1
⋅
x + 2 + 2 2x + 4 + 2 x + 4 + 2 2x + 4 = x+ 2− 2 x a
(a + 4)
a+4−
a
a+4−
a
−2 a+4
(a + 4)
2
a + a2
− a2
a + 4 − 2 a 2 + 4a + a 2a + 4 − 2 a 2 + 4a = 4 a + 4− a =
(a + 1)
(a + 1)
a+b− a−b
18.
2
a− 2 a + a + a+1
a+b + a−b
(a + b)
2
a − (a + 1)
=
a + 2 − a 2 + 4a 2
2a + 1 − 2 a + a = 2 a 2 + a − 2a − 1 −1
=
⋅
a+b− a−b a+b− a−b
−2 a+b
a−b+
(a + b)
(a − b)
2
2
=
⋅
2
a2 − 2 a a + 1 + a2 −
2 + 22
− 22
a − a +1
2
=
2
2
= 2 x − 1− 2 x 2 − x
x+2 + 2
( x + 2)
a+4 + a =
x+2 + 2
⋅
+2 x+2
a+4−
17.
2
x2 −
( x + 2)
2
x − x−1
⋅
x+2 + 2
16.
−
a + b − 2 a 2 − b2 + a − b a+b− a+b
(a − b)
2
2
=
2a − 2 a 2 − b 2 a − = 2b
a 2 − b2 b
EJERCICIO 249
( (
) )
2+ 3 + 5 3 ⋅ 2 + 3− 5 2 + 3 + 5
1.
= =
(
6 + 9 + 15
) ( ) 2
= =
(
)
3 + 6 + 15 3 + 6 + 15 2 6 6 6 + 2 36 + 2 90 6 6 + 12 + 6 10 6 6 + 2 + 10 2 + 6 + 10 = ⋅ = = = = 2 24 24 4 2 + 2 6 + 3− 5 2 6 2 6 2 6
( )
2 ⋅ 2 + 3+ 6
2.
2
2+ 3 − 5
(
( (
) 3) −
2+ 3 − 6 2+
6
2 + 6 − 12
) ( 6) 2
2+ 3 −
2
2 + 6 − 2 3 2 + 6 − 2 3 2 6 + 1 4 6 + 2 + 12 + 6 − 4 18 − 2 3 5 6 + 14 − 12 2 − 2 3 = ⋅ = = 2 23 2 + 2 6 + 3− 6 2 6−1 2 6+1 2 6 −1
( )
3.
( (
) )
2+ 3 − 5 2− 3 ⋅ 2+ 3+ 5 2+ 3 − 5 =
3+ 5 ⋅ 2 + 3+ 5
4.
4 − 3 − 2 5 + 15
(2 + 3) − ( 5) 2
=
2
=
1 − 2 5 + 15 4 + 4 3 + 3− 5
=
=
1 − 2 5 + 15 2 − 4 3 ⋅ 2+ 4 3 2− 4 3
=
= = =
2 − 4 3 − 4 5 + 8 15 + 2 15 − 4 45
(
22 − 4 3
=
=
2
2 − 4 3 − 4 5 + 10 15 − 12 5 − 44
(
)= 2
2 2 3 + 8 5 − 5 15 − 1 44 6+ 3+ 2 ⋅ 6+ 3− 2
5.
)
( (
=
3 + 8 5 − 5 15 − 1 22
) )
=
6+ 3 + 2 6+ 3 + 2
) ( 2) 2
2
6+ 3 −
) 3) −
2+ 3 − 5 2+
5
6 + 10 + 3 − 5
(
) ( 5) 2
2
2+ 3 −
10 + 6 − 2 2 + 2 6 + 3− 5 10 + 6 − 2 2 6 ⋅ 2 6 2 6 2 60 + 2 36 − 4 6
(2 6 )
2
4 15 + 12 − 4 6 24
(
4 15 + 3 − 6 24 2− 5 ⋅ 2 + 5 − 10
6.
6 + 3 + 2 + 2 18 + 2 12 + 2 6
(
( (
)=
( (
15 + 3 − 6 6
) 5) +
2 + 5 + 10 2+
=
2 − 5 + 20 − 50 2 + 2 10 + 5 − 10
10
=
11 + 6 2 + 4 3 + 2 6 6 + 2 18 + 3 − 2
=
=
11 + 6 2 + 4 3 + 2 6 2 18 − 7 ⋅ 2 18 + 7 2 18 − 7
2 5 − 5 2 − 3 2 10 + 3 ⋅ 2 10 − 3 2 10 + 3
=
4 50 + 6 5 − 10 20 − 15 2 − 6 10 − 9 40 − 9
=
22 18 − 77 + 12 36 − 42 2 + 8 54 − 28 3 + 4 108 − 14 6
(2
)
20 2 + 6 5 − 20 5 − 15 2 − 6 10 − 9 31 5 2 − 14 5 − 6 10 − 9 = 31
2
18 − 49
=
66 2 − 77 + 72 − 42 2 + 24 6 − 28 3 + 24 3 − 14 6 72 − 49
=
24 2 − 4 3 + 10 6 − 5 23
=
EJERCICIO 250 2
1.
2+ 3
2− 3
⋅
2− 3
=
2− 6 2− 6 = 6 −2 = −1 2−3
3.
2 + 5 1+ 5 ⋅ 1− 5 1+ 5 =
3
2.
3 −2 5 =
⋅
3 +2 5 3 +2 5
3 + 2 15 3 + 2 15 3 + 2 15 = =− 3 − 20 − 17 17
2+2 5 + 5 +5 7+3 5 7+3 5 = =− 1− 5 −4 4 2+ 5
4.
2− 5 =
⋅
2+ 5 2+ 5
2 + 2 10 + 5 7 + 2 10 7 + 2 10 = =− 2−5 −3 3
5.
2 3− 7
5 2 +3 3 3 2 +4 3 ⋅ 3 2 −4 3 3 2 +4 3
7.
3− 7
6 − 2 21 − 21 + 7 13 − 3 21 3 21 − 13 = = 3−7 −4 4
=
6.
3− 7
⋅
3+ 7
=
6 + 2 5 2 6 + 5 12 + 5 30 + 10 22 + 5 30 ⋅ = = 24 − 5 19 2 6− 5 2 6+ 5
30 + 29 6 + 36 66 + 29 6 66 + 29 6 = =− 18 − 48 − 30 30
7 − 2 11 2 7 − 11 14 − 5 77 + 22 36 − 5 77 ⋅ = = 28 − 11 17 2 7 + 11 2 7 − 11
8.
EJERCICIO 251 1.
6. 15 −
x−8=2
(
)
3
7 x − 1 = 12
2
3=
3
7x − 1
x − 8= 4
33 =
(
7x − 1
x − 8 = 22
3
x + 10 − x + 19 = − 1
9.
(
) (
2. 5 − 3x + 1 = 0
5 = 3x + 1
3
5 = x + 19 52 =
25 = 3x + 1 24 = 3x 8= x
7.
x + x+ 7 =7
(
)
32 =
)
9 x 2 − 5 = (3x − 1)
2
9 x − 5 = 9 x − 6x + 1 2
− 6 = − 6x 1= x x2 − 2x + 1 = 9 − x
( x − 1)
2
11.
( ) x
8.
) ( 2
4 x − 11 = 7 2 x − 29
= 9− x
x − 1= 9 − x 2 x = 10 x=5
2
(
2
2
5x − 19 − 5x = − 1
(
) ( 2
5x − 19 =
)
5x − 1
2
5x − 19 = 5x − 2 5x + 1 − 20 = − 2 5x
) ( 2
3x − 5 = 9 − 3x − 14
10 = 5x 100 = 5x
)
2
20 = x
3x − 5 = 81 − 18 3x − 14 + 3x − 14 − 72 = − 18 3x − 14 4 =
)
4 x − 11 = 49 (2 x − 29)
3x − 5 + 3x − 14 = 9
2
5.
(
9= x
9 x 2 − 5 = 3x − 1
2
)
4 x − 11 = 98 x − 1. 421 1. 410 = 94 x 15 = x
3= x
9 x 2 − 5 − 3x = − 1
(
)
− 6= − 2 x
2
x + 19
4 x − 11 = 7 2 x − 29
1= 7 − 2 x
5x − 2 = 23 5x − 2 = 8 5x = 10 x=2
4.
) (
x+ 7 = 7− x
2
7 = 49 − 14 x
5x − 2 = 2 3
3
10.
2
x + 7 = 49 − 14 x + x
3. 7 + 3 5x − 2 = 9
(
(
25 = x + 19 6= x
5 = (3x + 1)
3
2
− 10 = − 2 x + 19
2
2
x + 19 − 1
x + 10 = x + 19 − 2 x + 19 + 1
)
27 = 7 x − 1 28 = 7 x 4= x
x = 12
)
2
x + 10 =
(
3x − 14
16 = 3x − 14 30 = 3x 10 = x
)
2
12.
x − 2 + 5 = x + 53
(
) ( 2
x− 2 +5 =
x + 53
x − 2 + 10 x − 2 + 25 = x + 53 10 x − 2 = 30 x−2=3 x− 2= 9 x = 11
)
2
13.
9 x − 14 = 3 x + 10 − 4
(
) ( 2
9 x − 14 = 3 x + 10 − 4
18.
)
2
9 x − 14 = 9 ( x + 10) − 24 x + 10 + 16
9 x + 7 − x − 16x − 7 = 0
(
(− 2
5 = x + 10 25 = x + 10 15 = x
) ( 2
x+8−4
16 x − 7
)
2
)
9 x 2 + 7 x = (6 x − 14) 2
2
4 (9 x 2 + 7 x ) = 36x 2 − 168 x + 196 36 x 2 + 28x = 36 x 2 − 168 x + 196 196 x = 196 x =1
x − 16 − x + 8 = − 4 x − 16 =
2
− 2 9 x 2 + 7 x = 6 x − 14
− 120 = − 24 x + 10
(
) (
x =
9 x + 7 − 2 9 x 2 + 7 x + x = 16 x − 7
− 14 = 90 − 24 x + 10 + 16
14.
9x + 7 −
)
2
x − 16 = x + 8 − 8 x + 8 + 16 − 40 = − 8 x + 8 25 = x + 8 5x − 1 + 3 = 5x + 26
(
) ( 2
5x − 1 + 3 =
5x + 26
(
) ( 2
9 x + 10 − 2 x + 3 =
2
13x + 22 − x + 2 = 4 9 x 2 + 37 x + 30
)
12 x + 24 = 4 9 x 2 + 37 x + 30 3x + 6 =
6 5x − 1 = 18
(3x + 6)
2
5x − 1 = 3
9 x 2 + 37 x + 30
(
=
9 x 2 + 37 x + 30
)
2
9 x 2 + 36x + 36 = 9 x 2 + 37 x + 30 36 − 30 = 37 x − 36 x 6= x
5x − 1 = 9 5x = 10 x= 2
13 − 13 + 4 x = 2 x
(13 − 2 x ) = ( 2
13 + 4 x
)
2
169 − 52 x + 4 x = 13 + 4 x
20.
− 52 x = − 156 x=3 x=9 17.
)
2
5x − 1 + 6 5x − 1 + 9 = 5x + 26
16.
x− 2
9 x + 10 − 4 9 x 2 + 37 x + 30 + 4 ( x + 3) = x − 2
17 = x 15.
9 x + 10 − 2 x + 3 = x − 2
19.
5= x + 8
(
) (
x− 4 + x+ 4 = 2 x−1
x − 4 + 2 x − 16 + x + 4 = 4 ( x − 1)
)
2
2
2 x + 2 x − 16 = 4 x − 4 2
(2
)
x 2 − 16 = (2 x − 4) 2
(
) ( 2
18 x − 8 =
2x − 4 + 2 2x + 1
)
2
4 x 2 − 64 = 4 x 2 − 16x + 16 − 80 = − 16 x 5= x
2
18 x − 8 = 2 x − 4 + 4 4 x 2 − 6x − 4 + 4 (2 x + 1) 18 x − 8 = 10 x + 4 4 x 2 − 6x − 4
x− 4 + x+4 = 2 x−1 2
18 x − 8 − 2 x − 4 − 2 2 x + 1 = 0
8x − 8 = 4 4 x 2 − 6x − 4 2 x − 2 = 4 x2 − 6x − 4
(2 x − 2)
2
=
(
4 x2 − 6x − 4
4 x 2 − 8x + 4 = 4 x2 − 6x − 4 − 2x = − 8 x=4
)
2
21.
8 x + 9 − 18 x + 34 + 2 x + 7 = 0
(
) ( 2
8x + 9 + 2 x + 7 =
18 x + 34
)
2
x − a + x + a = 4 x − 2a
24.
8 x + 9 + 2 16 x 2 + 74 x + 63 + 2 x + 7 = 18 x + 34
(
) ( 2
x− a + x+ a =
10 x + 16 + 2 16 x + 74 x + 63 = 18 x + 34 2 16 x + 74 x + 63 = 8 x + 18
2 x 2 − a 2 = 2 x − 2a
16 x + 74 x + 63 = 4 x + 9 2
2
)
x2 − a2 = x − a
+ 74 x + 63 = (4 x + 9)
(
2
16 x 2 + 74 x + 63 = 16 x 2 + 72 x + 81 2 x = 18 x=9
(
) ( 2
x−2 − x−5 =
4 x − 23
)
x − 2 − 2 x 2 − 7 x + 10 + x − 5 = 4 x − 23
(
x 2 − 7 x + 10
)
(
) (
x+6+2 x+9 =
9 x + 70
x + 6 + 4 x 2 + 15x + 54 + 4 ( x + 9) = 9 x + 70
26.
)
4 x 2 + 15x + 54 = 4 x + 28 x 2 + 15x + 54 = x + 7
(
)
2
x 2 + 15x + 54 = x 2 + 14 x + 49 x= −5
2
2
x + 4a − x + 2 a − 1 = 1
(
) ( 2
x + 4a − 1 =
x + 2a − 1
2a + 2 = 2 x + 4a a + 1 = x + 4a
(a + 1) = ( 2
x + 4a
a 2 + 2a + 1 = x + 4a a 2 − 2a + 1 = x
(a − 1)
2
x + 15x + 54 = ( x + 7) 2
)
x + 4 a − 2 x + 4 a + 1 = x + 2a − 1 2
5x + 42 + 4 x 2 + 15x + 54 = 9 x + 70
2
x + 2b
2
2
2
2
2
x + 6 − 9 x + 70 = − 2 x + 9
23.
) (
x − 4ab =
( x ) = (a + b) x = (a + b)
2
64 − 16 x + x = x − 7 x 10 54 = 9 x 6= x 2
(
x =b+ a
− x + 8 = x 2 − 7 x + 10 =
x − 4ab = − 2b + x
4b x = 4b 2 + 4ab
− 2 x + 16 = 2 x 2 − 7 x + 10
(8 − x)
2
x − 4ab = x − 4b x + 4b 2
2 x − 7 − 4 x + 23 = 2 x 2 − 7 x + 10
2
2
2ax = 2a 2 x=a
25.
2
) = (x − a)
x2 − a2
x 2 − a 2 = x 2 − 2ax + a 2
x − 2 − x − 5 = 4 x − 23
22.
2
2 x + 2 x 2 − a 2 = 4 x − 2a
2
( 16x
)
x − a + 2 x 2 − a 2 + x + a = 4 x − 2a
2
2
4 x − 2a
=x
)
2
)
2
EJERCICIO 252 10 x
x + x+5=
1.
6 = x+8− x x+8
5.
) ( 2
x 2 + 5x = 10 − x 2
2
(
)
x 2 + 8 x = ( x + 2) 2
x= 4 55 4 x − 11
4 x − 11 + 2 x = 2
x=1 8 = x+9 x− 3+ x+9
6.
(x − 3)(x + 9) + 8 = (x + 9)
2
+ 2 x (4 x − 11) = 55
x 2 + 6 x − 27 + 8 = x + 9
4 x − 11 + 2 4 x 2 − 11x = 55
(
2 4 x 2 − 11x = 66 − 4 x
)
x 2 + 6 x − 27 = ( x + 1) 2
)
4 x 2 − 11x = (33 − 2 x) 2
2
4 x 2 − 11x = 1. 089 − 132 x + 4 x 2 121x = 1. 089 x=9
x= 7
x+4 x + 11 = x−2 x −1
7.
(
x+4
)(
) (
x −1 =
( x − 4)
=
(
x−2
)
2
18 = 6 x
x2 − x2 − 7x = 4 2
)(
x + 11
x + 3 x − 4 = x + 9 x − 22 2
4 x
x − x− 7 =
3.
2
x 2 + 6 x − 27 = x 2 + 2 x + 1 4 x = 28
4 x 2 − 11x = 33 − 2 x
(
2
x 2 + 8x = x2 + 4 x + 4 4x = 4
25x = 100
(4 x − 11)
− x ( x + 8)
x 2 + 8x = x + 2
)
x 2 + 5x = 100 − 20x + x 2
2.
2
6 = x + 8 − x 2 + 8x
x 2 + x 2 + 5x = 10
(
(x + 8)
6=
x − 7x 2
3= x
)
( 3) = ( x )
2
2
2
9= x
x 2 − 8 x + 16 = x 2 − 7 x 16 = x
2 x + 6 − 4x − 3 =
8. .
2 4.
(
)(
x−2
x−2 x +1 = x+4 x + 13
) (
x + 13 =
)(
x +1
x =5
( x)
2
= 52
x = 25
(x + 6)(4 x − 3) − (4 x − 3) = 9 2 4 x + 21x − 18 − (4 x − 3) = 9 2
2
x+4
x 2 + 11 x − 26 = x 2 + 5 x + 4 6 x = 30
9 4x − 3
)
2 4 x 2 + 21x − 18 − 4 x + 3 = 9
(2
)
4 x 2 + 21x − 18 = (4 x + 6) 2
2
4 (4 x 2 + 21x − 18) = 16x 2 + 48 x + 36 16 x 2 + 84 x − 72 = 16 x 2 + 48 x + 36 36 x = 108 x= 3
x −2 2 x −5 = x + 2 2 x −1
9.
(
)(
) (
x + 14 − x − 7 =
10.
(x + 14)(x − 7) − (x − 7) = 6 x + 7 x − 98 − ( x − 7) = 6 2
)(
x − 2 2 x −1 = 2 x −5
x+2
)
2
2 x − 5 x + 2 = 2 x − x − 10 2
6 x−7
2
x 2 + 7 x − 98 − x + 7 = 6
12 = 4 x
(
3= x
)
x 2 + 7 x − 98 = ( x − 1) 2
2
x 2 + 7 x − 98 = x 2 − 2 x + 1 9 x = 99
(3)2 = ( x )
2
9= x
x = 11
EJERCICIO 253 1.
− a 2 = a 2 (− 1) = a − 1 = a i
7.
− 12 = 22 ⋅ 3(− 1) = 2 3 − 1 = 2 i 3
2.
− 2 = 2 (− 1) = 2 − 1 = 2 i
8.
− 7 = 7 (− 1) = 7
9.
− 27 = 32 ⋅ 3(− 1) = 3 3 − 1 = 3i 3
( ) 4. − 81 = 9 (− 1) = 9 − 1 = 9 i 5. − 6 = 6 (− 1) = 6 − 1 = 6 i 6. 3 − b = 3 b b (− 1) = 3b (− 1) = 3b 3. 2 − 9 = 2 32 − 1 = 6 − 1 = 6 i 2
4
2 2
2
2
i
(− 1) =
7i
10.
− 4m4 = 2 2 m2 m2 (− 1) = 2m2 − 1 = 2 i m2
11.
−
12.
− a 2 − b2 = − 1(a 2 + b 2 ) = − 1 a 2 + b2 = i a 2 + b 2
1 1 1 1 = 2 (− 1) = −1= i 16 4 4 4
EJERCICIO 254 1.
−4=
22 (− 1) = 2 i
− 16 = 42 (− 1) = 4 i = 2 i + 4 i = 6i
4.
3 − 64 = 3 82 (− 1) = 24 i − 5 − 49 = − 5 72 (− 1) = − 35i 3 − 121 = 3 11 (− 1) = 33i
7.
2
− 2 − 45 = − 2 32 ⋅ 5(− 1) = − 6 5 i
= 24 i − 35i + 33i = 22 i 2.
− 25 =
52 (− 1) = 5i
− 81 =
9 2 (− 1) = 9 i
− − 49 = − 72 (− 1) = − 7 i = 5i + 9 i − 7 i = 7 i 3.
2 − 9 = 2 32 (− 1) = 6 i 3 − 100 = 3 102 (− 1) = 30 i = 6 i + 30 i = 36 i
( ) − a = a a (− 1) = a i − a = a a (− 1) = a i = 2a i + a i + a i = i (2a + a + a ) − 18 = 3 ⋅ 2 (− 1) = 3 2 i 6. − 8 = 2 ⋅ 2 (− 1) = 2 2 i 2 − 50 = 2 5 ⋅ 2 (− 1) = 10 2 i
3 − 125 = 3 52 ⋅ 5(− 1) = 15 5 i
2 2 5. 2 − a = 2 a − 1 = 2a i 4
2
6
4
2
2
2
3
= 6 5 i − 6 5 i + 15 5 i = 15 5 i
2
3
2
3 − 20 = 3 22 ⋅ 5 (− 1) = 6 5 i
3
8.
− a4 =
a 4 (− 1) = a 2 i
4 − 9a 4 = 4 32 a 4 (− 1) = 12a 2 i
2
− 3 − 4a 4 = − 3 2 2 a 4 (− 1) = − 6a 2 i
2
= a 2 i + 12a 2 i − 6a 2 i = 7a 2 i
2
= 3 2 i + 2 2 i + 10 2 i = 15 2 i
EJERCICIO 255 − 16 ⋅ − 25
1.
(
−1
= 20 (− 1)
)
2
= 6 35
= 9 − 1⋅ 7 − 1
( − 1)
= 15 (− 1)
= − 63
= 60 9 4
)
2
= 60 ⋅ 3⋅ 2 (1) = 360
(
)
2
−1
= 960 (− 1)
= 6 4 72 = 12 ⋅ 7 (− 1)
2
− 3⋅ − 2
−4+ −9
12.
− 25 − − 16
= 7 − 1⋅ 2 − 1 ⋅ 3 − 1
= 3 − 1⋅ 2 − 1
3
10
e− 1j = 42 e − − 1j = 42
( − 1)
2
= 6 (− 1)
( − 1) + 15( − 1) − 8 ( − 1) − 12 ( − 1) 2
2
2
2
10 (− 1) + 7 (− 1) − 12 (− 1)
= − 42 − 1
=− 6
2
= 15 xy
− 49 ⋅ − 4 ⋅ − 9
8.
( − 1)
= − 15 xy (− 1)
= − 84
= − 960
= − 10 − 7 + 12 = − 5
= − 42 i
14. 2 − 2 + 5 − 3
−2 +3 −5
−2−4 −3
2 −2 −6 −5 2 4
= − 15 xy
( ) −1
4
= − 5 x − 1⋅3 y − 1
= 2 7 − 1⋅3 4 7 − 1
= 30 − 1 ⋅ 32 − 1
( − 1)
11. − 5 − x ⋅ 3 − y
7. 2 − 7 ⋅ 3 − 28
= 5⋅ 6 − 1 ⋅ 4 ⋅ 8 − 1
13.
= 2 3 − 1⋅ 3 3 − 1⋅ 2 2 − 1⋅5 2 − 1
= − 15
3. 5 − 36 ⋅ 4 − 64
= 6
(
−1
− 12 ⋅ − 27 ⋅ − 8 ⋅ − 50
10.
= 3 − 1 ⋅ 25 3 − 1 = 5 32
= 63 (− 1)
4.
= − 30 i
− 3 ⋅ − 75
2
= 960
= − 30 − 1
= − 6 35 6.
( − 1) 100 (− − 1)
=3
2
= 6 35 (− 1)
− 81 ⋅ − 49
= 63
( − 1)
−1
3
= 3 2 ⋅ 5⋅ 10
= 2 5 − 1⋅ 3 7 − 1
= − 20 2.
= 2 − 1 ⋅ 3 5 − 1 ⋅ 10
5. 2 − 5 ⋅ 3 − 7
= 4 − 1⋅5 − 1 = 20
− 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ − 10
9.
( − 1) + 6 10 ( − 1) − 6 10 ( − 1) − 18 2
2
2
4 (− 1) − 90 (− 1)
2 4 25
( − 1)
( − 1) + 5 6 ( − 1) − 8 6 ( − 1) − 20 9 ( − 1) 2
2
2
2
4 (− 1)
= − 4 + 90 = 86
− 3 6 (− 1)
2
− 60 (− 1)
= − 4 + 3 6 + 60 = 56 + 3 6
EJERCICIO 256 − 16 1.
−4
=
4 −1 2 −1
=2
− 10 2.
−2
=
10 − 1 2 −1
=
10 = 5 2
− 81 3.
−3
=
9 −1 3 −1
=
9 3
=
9 3 9
=
9 3 =3 3 3
− 90 4.
−5
=
− 150 5.
−3
3 10 − 1
=
5 −1 5 6 −1 3 −1
=3
=5
7.
10 =3 2 5
6.
5 −4
=
60 − 1 10 − 1
−6
− 315 8.
6 =5 2 3
−7 − 27
4
9.
10 − 36
2 − 18
=6
−3
4
4
10.
4
=
− 300 − 12
6 −1
7 −1
4
27 − 1
4
=
3 −1 4
6 2
=
3 35 − 1
=
=
6 2 −1
6
=3
6 12
=
36
6 22 ⋅ 3 6
=2 3
35 =3 5 7 2
=4
1
27 4 = 9 = 4 32 = 3 4 = 3 2 = 3 3
300 − 1
4
=
12 − 1
2
=4
1
300 4 = 25 = 4 5 2 = 5 4 = 5 2 = 5 12
EJERCICIO 257 1. 2 + 3 − 1
4. 5 +
−1
7. 2 + − 2
5 − 2 −1
7 + 2 −1
4− − 3
7+
9 + 7 −1
−1
7+ i
6+
21+ 10 − 1
( 6+ ( 6+
21+ 10 i 2. − 4 − 5 − 1 5.
− 2 + 8 −1 − 6 + 3 −1 − 6 + 3i
3 − 2i 5 − 8i − 10 + 13 i
6.
8 + 7 −1
)
)
2− 3 i
− 4 + − 16
) ( 2)+ ( 2)+ ( 2)+ (
(3 + (3 + (3 + (3 +
1 − i 4 + 3i
5 + 2 + 7i
20 − 4 i
2 i − 3i
)
2− −9
2 + 5i
20 − 4 − 1
2 −1− 3 −1
7+ −5
8.
− 2 + 3i
3. 12 − 11 − 1
(
2 +
)
5 − 1 − 9 − 1 + 16 − 1 5 i − 3i + 4 i
) 5 + 1)i
)
5i + i
EJERCICIO 258
(
) (
= (7 + 7) + (− 2 + 2) − 1
) ( ) = (9 + 9) + (i − i ) 3
(
) (
= (− 5 − 5) + (− 3 + 3) − 1 = − 5⋅ 2 = − 10
(
) (
4. − 7 − 5 − 1 + − 7 + 5 − 1
= (− 7 − 7) + (− 5 + 5) − 1 = − 7⋅2 = − 14
)
= (8 + 8) + (− 3 + 3) 2 − 1 = 8⋅ 2 = 16
= 9⋅ 2 = 18
)
) (
5. 8 − 3 − 2 + 8 + 3 − 2
3. 9 + i 3 + 9 − i 3
= 7⋅2 = 14 2. − 5 − 3 − 1 + − 5 + 3 − 1
(
(
)
1. 7 − 2 − 1 + 7 + 2 − 1
)
6.
( =
) ( 2 − i 3) 2 ) + (i − i ) 3
2+i 3 +
(
2+
=2 2
EJERCICIO 259
(
) (
)
5. (15 − 4
1. 3 − 2 − 1 − 5 + 3 − 1
3− 2 − 1
)(
(
8+ 4 −1 5 + 14 − 1
(
)(
3. − 1 − − 1 − − 7 − 8 − 1
− 1−
+ 7+8 −1
)
− 3 − 6i
( ( (
8 + 130 − 1
)
8 + 130 i
) (
)
(
2 + − 25 − 1 − 6 i
4− 7 −1
2 + (− 5i − 6 i )
− 5+ 3 − 1
2−
(
2−
)(
)
7− − 3
)
(
15 + − 7 − 1 − 3 − 1
( 15 − (
2 + (− 11i )
− 1− 4 − 1
) 3) + (− 11i ) 3) − 11i
2 − 3 + (− 5i − 6 i )
8− − 7
− 3 − 6i
)
)
3+ 6 −1
10. 8 − − 7 − − 7 + − 3
5 − − 25
4. 4 − 7 − 1 − 5 − 3 − 1
)(
2 −5 −1 −
− 3 + 50 − 1
(
)(
(
9.
)
)
5− 3 i
2 − 5i
7. 5 − − 25 − 3 + 6 i
6+ 7 − 1
(
)(
5i − 3i
11 + 80 − 1
−1
6 + 7i
( 2+( 2+
6. 11 + 80 − 1 − 3 − 50 − 1
− 3 + 10 − 1 5 + 14 i
2+ 5 −1− 3 −1
7 + 3i
)
)
− 2− − 3
7+ 3 −1
2. 8 + 4 − 1 − 3 − 10 − 1
)(
4+ −5
− 8+ 7 − 1
− 2−5 −1
(
(
8. 4 + − 5 − 2 + − 3
)
15 − 4 − 1
− 5− 3 − 1 − 2 − 5i
)(
− 1 − 8− 7 − 1
15 + − 7 i − 3 i
2 − 11i
− 1− 4 i
)
)
)
7+ 3 i
EJERCICIO 260
(
)(
1. 2 − − 1 − 2 + − 1
(
)
)(
3. − 3 − 7 − 1 − − 3 + 7 − 1
− 3− 7 − 1 + 3− 7 − 1
2− −1− 2− −1 = (2 − 2) + (− 1 − 1) − 1
= (− 3 + 3) + (− 7 − 7) − 1
= − 2 −1
= − 7⋅2 − 1
= − 2i
= − 14i
(
) (
2. 7 + 3 − 1 − 7 − 3 − 1
)
(
)
5.
(
)(
2+ −3 −
)
2 + − 3− 2 + − 3 =
(
)
2 − 2 + (1 + 1) 3 − 1
= 2 3 −1 = 2 3i
(
) (
6. − 5 − 4 − 2 − − 5 + 4 − 2
)(
4. − 5 + − 2 − − 5 − − 2
)
− 5−4 −2+ 5−4 −2
− 5+ − 2 + 5+ − 2
− 5−4 −2
= (7 − 7) + (3 + 3) − 1
= (− 5 + 5) + (1 + 1) 2 − 1
+ 5− 4 − 2
= 6 −1
= 2 2 −1
= 6i
=2 2i
7+ 3 −1− 7+ 3 −1
2− −3
−8 − 2 = − 8 2 −1 = −8 2i
)
EJERCICIO 261
EJERCICIO 262
1. 3 − 4 − 1
5. 3 + − 2
5− 3 − 1
5− − 2
= 1− i 2
15 + 5 2 − 1
15 − 20 − 1 − 9 − 1 + 12
( )( )
1. 1 − i 1 + i
( − 1)
2
− 3 2 −1− 2 2
= 1−
( − 1)
15 + 2 2 − 1 − 4 (− 1)
15 − 29 i − 12 3 − 29 i
15 + 2 2 i + 2
= 1+ 1= 2
(
[
− 8 − 1 − 14
3.
− 4 2 −1− 2 3
( − 1)
2
(
(20 + 6 ) + (5
3. 7 − − 4
( − 1)
6+
35 − 10 i + 21i + 6 41 + 11i
( 8.
(
)( = (2 3) − (4 i ) 2
)
[
( )] = 12 − [16 (− 1)]
( − 1)
2
) (
11 + − 25
(
(
−1
)
2
( = 25 − ( = 25 −
)
15 + 2 i
5 + 15 i + 2 15 i + 6 (− 1) 5 + 3 15 i − 6 3 15 i − 1
−2
)
)
2
)
2
2 −1
[ ( − 1) ]
5+ − 3
+ 2 5 3 −1+ 2 9
)(
5. 5 − − 2 5 + − 2
2
= 25 − 2
[
]
= 25 − 2 (− 1)
25 + 5 3 − 1
88 − 11 9 − 1
2
= 12 + 16 = 28
15 i + 2 i − 10
6 − 10 +
)
2
= 4 (3) − 16 − 1
5+ 2 − 3
4. 8 − − 9
+ 8 25 − 1 − 9 25
(
2
4. 2 3 + 4 i 2 3 − 4 i
6 + 15 i + 4 i + 10 (− 1)
35 − 10 − 1 + 21 − 1 − 36 (− 1)
2
= 2 + 25 = 27
)
3−4 2 i
+ 2 2 −1+ 5 2
2
)( 2 + 5i) = ( 2 ) − (5i ) 2 − 5i
( )] = 2 − [25(− 1)]
6 + 3 5 −1
35 − 5 4 − 1
88 − 33i + 40 i − 15 (− 1)
)
(
[
3+ −2
5+ − 9
]
= 2 − 25 − 1
2 + −5
7.
+ 7 9 −1− 4 9
( − 1)
2
20 + 5 3 − 4 2 i + 6
− 12 − 29 i + 14 2 − 29 i
)
2
20 + 5 3 i − 4 2 i − 6 (− 1)
− 12 − 29 − 1 − 14 (− 1)
88 + 7 i + 15 103 + 7 i
= 9 + 4 = 13
20 + 5 3 − 1
− 12 − 21 − 1
(
= 9 − 4 (− 1)
5− − 2
− 3− 2 − 1
)
2
= 32 − 2 − 1
17 + 2 2 i
4+ 7 −1
)(
2. 3 + 2 − 1 3 − 2 − 1
6. 4 + − 3 2.
2
= 1 − (− 1)
2
15 − 29 − 1 + 12 (− 1)
( − 1)
( − 1)
2
= 25 + 2 = 27
(
)( = 81 − ( − 5 ) = 81 − ( 5 − 1) = 81 − [5 (− 1)]
6. − 9 − − 5 − 9 + − 5 2
2
= 81 + 5 = 86
)
EJERCICIO 263 1.
1+ − 1 1+ − 1 ⋅ 1− − 1 1+ − 1 =
2.
4.
( − 1) = 1 + 2 i − 1 = 2 i = i 1+ 1 2 1 − ( − 1) 2
1+ 2 − 1 +
8 − 5i 7 − 6 i 56 − 83i + 30 i 2 56 − 83i − 30 26 − 83i ⋅ = = = 7 + 6 i 7 − 6i 49 − 36 i 2 49 + 36 85
(
2
3+ − 1 3+ − 1 ⋅ 3− − 1 3+ − 1 =
=
9 + 6 − 1 + (− 1) 9 + 6 i − 1 8 + 6 i 4 + 3i = = = 2 9+1 10 5 9− −1
( )
6.
5− 3 − 1 3− 4 − 1 ⋅ 3. 3+ 4 − 1 3− 4 − 1 =
15 − 29 − 1 + 12 (− 1) 15 − 29 i − 12 3 − 29 i = = 2 25 9 − 16 (− 1) 9− 4 −1
(
)
]
2
)
20 + 21 3 i − 12 8 + 21 3 i = 73 25 − (− 48)
2+2 −5 4 2+ −5 ⋅ 4 2 − −5 4 2 + −5 =
[
( ) (− 1)
4 + − 3 5 + 4 − 3 20 + 21 3 − 1 + 4 3 2 5. 5 − 4 − 3 ⋅ 5 + 4 − 3 = 25 − 4 3 − 1
=
4
( 2 ) + 9 2 5 − 1 + 2 ( 5) (− 1) 16 ( 2 ) − ( 5 − 1) 2
2
2
2
8 + 9 10 i − 10 9 10 i − 2 = 32 + 5 37
EJERCICIO 265 1.
3 x 2 − 5x + 2 = 0 5x 2 x2 − + =0 3 3 5x 2 x2 − =− 3 3 5x 25 25 2 2 x − + = − 3 36 36 3 2 5 25 − 24 x− = 6 36 x−
5 1 =± 6 6 5 1 x= ± 6 6
5+ 1 =1 6 5− 1 4 2 = = x2 = 6 6 3 2 2. 4 x + 3x − 22 = 0 3x 22 x2 + = 4 4 3x 9 11 9 2 x + + = + 4 64 2 64 2 3 352 + 9 x+ = 8 64 Continúa x1 =
2. Continuación
3 361 =± 8 64 3 19 x=− ± 8 8 − 3 + 19 16 x1 = = =2 8 8 22 11 − 3 − 19 x2 = =− =− 8 8 4 x+
3.
x 2 + 11x = − 24 121 121 x 2 + 11x + = − 24 4 4 2 11 121 − 96 x+ = 2 4 11 25 =± 2 4 11 5 x= − ± 2 2 − 11 + 5 − 6 x1 = = =−3 2 2 − 11 − 5 − 16 x2 = = = −8 2 2 x+
x 2 = 16 x − 63
4.
x − 16 x = − 63 2
x 2 − 16 x + 64 = 64 − 63
(x − 8)
2
=1
x − 8= ±1 x = 8±1 x1 = 8 + 1 = 9 x2 = 8 − 1 = 7 2 5. 12 x − 4 − 9 x = 0
− 9 x 2 + 12 x = 4 9 x 2 − 12 x = − 4 12 x 4 =− 9 9 4x 4 4 4 2 + = − x − 3 9 9 9 2 2 x− = 0 3 x2 −
x− x1 = x2 =
2 3
2 =0 3
2 6. 5x − 7 x − 90 = 0
x=
7 ± 7 2 − 4 (5) (− 90)
10.
− 7 x + 12 x + 64 = 0 2
2 (5)
7 ± 49 + 1. 800 10 7 ± 1.849 7 ± 43 = x= 10 10 7 + 43 50 = =5 x1 = 10 10 36 7 − 43 =− = − 3 53 x2 = 10 10
x=
6x − x − 222 = 0 1 ± 1 + 4 (6)( 222) 2 (6) 2
x + 11 = 10 x 2 10 x 2 − x − 11 = 0 x=
1 ± 12 − 4 (10) (− 11) 2 (10)
1 ± 1 + 440 20 1 ± 21 x= 20 1 + 21 22 = = 1 101 x1 = 20 20 1 − 21 − 20 = = −1 x2 = 20 20
2 (− 7)
x= =
2 176 ± (176) − 4 (64)(121)
2 ( 64)
176 ± 30 .976 − 30 . 976
128 176 3 = 18 x1 = x2 = 128
8 x + 5 = 36 x 2
14.
− 36 x + 8 x + 5 = 0 2
2 − 8 ± (8) − 4 (− 36) (5)
x=
x=
8.
− 12 ± (12) − 4 (− 7) (64)
− 12 ± 1. 936 x= − 14 − 12 ± 44 x= − 14 − 12 + 44 32 =− = − 2 27 x1 = − 14 14 − 12 − 44 − 56 = =4 x2 = − 14 − 14
6 x 2 = x + 222
1 ± 5. 329 12 1 ± 73 x= 12 1 + 73 74 = = 6 16 x1 = 12 12 1 − 73 − 72 = =−6 x2 = 12 12
64 x 2 − 176 x + 121 = 0
− 12 ± 144 + 1. 792 x= − 14
2
x=
176x = 121 + 64 x 2
13.
2
x=
7.
12 x − 7 x 2 + 64 = 0
x 2 = 15x − 56
11.
x 2 + 15x + 56 = 0 x=
2 − 15 ± (15) − 4 (1)(56) 2 (1)
− 15 ± 225 − 224 2 − 15 ± 1 x= 2 − 15 + 1 − 14 = =−7 x1 = 2 2 − 15 − 1 − 16 = = −8 x2 = 2 2 x=
2 (− 36)
− 8 ± 64 + 720 x= − 72 x=
− 8 ± 784 − 72
x=
− 8 ± 28 − 72
x1 =
− 8 + 28 20 5 =− =− − 72 72 18
x2 =
− 8 − 28 − 36 1 = = − 72 − 72 2
x=
9. 49 x 2 − 70 x + 25 = 0
x=
2 70 ± (70) − 4 (49)( 25) 2 ( 49)
70 ± 4 . 900 − 4 . 900 98 70 5 x1 = x2 = = 98 7 x=
2 12. 32 x + 18 x − 17 = 0
− 18 ± (18) − 4 ( 32) (− 17)
15. 27 x 2 + 12 x − 7 = 0
2
x=
2 ( 32)
− 18 ± 324 + 2 .176 x= 64 − 18 ± 2 .500 x= 64 − 18 ± 50 x= 64 − 18 + 50 32 1 = = x1 = 64 64 2 − 18 − 50 − 68 = = − 1 161 x2 = 64 64
x=
2 − 12 ± (12) − 4 (27) (− 7)
2 ( 27)
− 12 ± 144 + 756 x= 54 − 12 ± 900 x= 54 − 12 + 30 18 1 = = x1 = 54 54 3 − 12 − 30 − 42 7 = =− x2 = 54 54 9
17. 8 x 2 − 2 x − 3 = 0
15x = 25x 2 + 2
16.
25x 2 − 15x + 2 = 0
x=
2 15 ± (15) − 4 ( 25)( 2) x= 2 ( 25)
x=
2 2 ± ( 2) − 4 (8) (− 3)
2 x + x − 105 = 0 2
2 (8)
2 ± 4 + 96 16 2 ± 100 x= 16 2 ± 10 x= 16 2 + 10 12 3 = = x1 = 16 16 4 2 − 10 − 8 1 = =− x2 = 16 16 2
50 15 ± 25 x= 50 15 + 5 20 2 = = x1 = 50 50 5 15 − 5 10 1 = = x2 = 50 50 5
2 − 1 ± (1) − 4 ( 2) (− 105)
x=
x=
15 ± 225 − 200
105 = 2 x 2 + x
18.
2 ( 2)
− 1 ± 1 + 840 4 − 1 ± 841 x= 4 − 1 ± 29 x= 4 − 1 + 29 28 = =7 x1 = 4 4 − 1 − 29 − 30 = = − 7 21 x2 = 4 4 x=
EJERCICIO 266 x (x + 3) = 5x + 3
1.
(
x 2 + 3x = 5 x + 3 x 2 + 3x − 5 x − 3 = 0
x=
(− 2)
2
2.
x=
2 − 9 ± (9) − 4 (1) (− 22)
2 (1)
9 ± 169 x= 2 − 9 + 13 4 = =2 x1 = 2 2 − 9 − 13 − 22 = = − 11 x2 = 2 2
2
2
25x 2 + 100 x + 100 = x 2 − 14 x + 49 − 81
9 x + 1= 2 x 2 + x − 9
24 x 2 + 114 x + 132 = 0
x=
4 x 2 + 19 x + 22 = 0
8±
(− 8)
2
− 4 (2) (− 10)
x=
2 ( 2)
x=
(2 x − 3) − (x + 5) 2
4.
2
= − 23
4 x 2 − 12 x + 9 − x 2 − 10x − 25 + 23 = 0 3x 2 − 22 x + 7 = 0 22 ± (22) − 4 (3)(7) 2 (3) 2
x=
22 ± 400 6 22 ± 20 x= 6 22 + 20 42 = =7 x1 = 6 6 22 − 20 2 1 x2 = = = 6 6 3
2 − 19 ± (19) − 4 ( 4)( 22) 2 ( 4)
− 19 ± 361 − 352 8 − 19 ± 3 x= 8 − 19 + 3 − 16 = =−2 x1 = 8 8 − 19 − 3 − 22 = = − 2 43 x2 = 8 8
8 ± 64 + 80 x= 4 8 ± 12 x= 4 8 + 12 20 = =5 x1 = 4 4 8 − 12 − 4 = = −1 x2 = 4 4
9 x − 6 = − x 2 + 16 x 2 + 9 x − 22 = 0
25(x + 2) = (x − 7) − 81
5.
0 = 2 x − 8 x − 10
2 (1)
3 (3x − 2) = (x + 4)(4 − x )
)
2
− 4 (1)(− 3)
2 ± 4 + 12 x= 2 2± 4 x= 2 2+ 4 6 = =3 x1 = 2 2 2− 4 − 2 = = −1 x2 = 2 2
)(
9 x + 1 = 3x 2 − 15 − x 2 + x + 6
x2 − 2x − 3= 0 2±
) (
3. 9 x + 1 = 3 x 2 − 5 − x − 3 x + 2
(
) (
)
(
)
6. 3x x − 2 − x − 6 = 23 x − 3
3x − 6 x − x + 6 = 23x − 69 2
3x 2 − 30 x + 75 = 0 x 2 − 10 x + 25 = 0
x=
x=
10 ±
(− 10)
2
− 4 (1)( 25)
2 (1)
10 ± 100 − 100 2 10 x1 = x2 = = 5 2 x=
(
) (
)
(
)
7. 7 x − 3 − 5 x 2 − 1 = x 2 − 5x x + 2
(x + 4) − (x − 3) 3
10.
7 x − 21 − 5x 2 + 5 = x 2 − 5x 2 − 10x
21x 2 + 21x − 252 = 0
− x + 17 x − 16 = 0
− x 2 − x + 12 = 0
2
2 − 17 ± (17) − 4 (− 1)(− 16)
x=
2 (− 1)
− 17 ± 225 x= −2
x1 =
− 17 + 15 − 2 = =1 −2 −2
x2 =
− 17 − 15 − 32 = = 16 −2 −2
(x − 5) − (x − 6) = (2 x − 3) 2
8.
1±
(− 1)
− 4 (− 1) (12)
2
2 (− 1)
1 ± 49 x= −2 1± 7 x= −2 1+ 7 8 = =−4 x1 = −2 −2 1− 7 − 6 = =3 x2 = −2 −2
− 17 ± 15 −2
x=
2
2
− 118
(x + 2) − (x − 1) = x (3x + 4) + 8 3
11.
x 2 − 10 x + 25 − x 2 + 12 x − 36 = 4 x 2 − 12 x + 9 − 118 2 x − 11 = 4 x − 12 x − 109
6 x 2 + 5x + 1 = 0
4 x − 14 x − 98 = 0 2
x=
2 x − 7 x − 49 = 0 2
x=
7±
(− 7)
− 4 ( 2) (− 49)
− 5 ± 25 − 24 12 − 5+ 1 − 4 1 = =− x1 = 12 12 3 − 5− 1 − 6 1 = =− x2 = 12 12 2
7 ± 441 4 7 + 21 28 = =7 x1 = 4 4 7 − 21 − 14 = = − 3 12 x2 = 4 4 x=
9.
(5x − 4) − (3x + 5)(2 x − 1) = 20x (x − 2) + 27 2
12.
2
2
2 − 5 ± (5) − 4 ( 6)(1) 2 ( 6)
x=
2 ( 2)
(5x − 2) − (3x + 1)
− x 2 − 60 = 0
25x 2 − 40 x + 16 − 6 x 2 − 7 x + 5 = 20 x 2 − 40 x + 27 19 x 2 − 47 x + 21 = 20 x 2 − 40 x + 27
25x − 20 x + 4 − 9 x − 6 x − 1 − x − 60 = 0 2
2
2
− x2 − 7x − 6 = 0
15x − 26 x − 57 = 0 2
x=
26 ±
(− 26)
2
− 4 (15) (− 57)
2 (15)
26 ± 676 + 3. 420 x= 30 26 ± 64 x= 30 26 + 64 90 = =3 x1 = 30 30 26 − 64 − 38 = = − 1 154 x2 = 30 30
3
x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 − x 3 + 3x 2 − 3x + 1 = 3x 2 + 4 x + 8
2
2
= 343
x 3 + 12 x 2 + 48x + 64 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 343 = 0
7 x − 16 − 5x 2 = − 4 x 2 − 10x
x=
3
x= x=
7±
(− 7 )
2
− 4 (− 1)(− 6)
2 (− 1)
7 ± 49 − 24 −2
7 ± 25 −2 7 + 5 12 = =−6 x1 = −2 −2 7−5 2 = = −1 x2 = −2 −2 x=
EJERCICIO 267
(
)
(− 3) ± (− 3) 2
4
(
)(
−2
) (
)
8. x − 2 x + 2 − 7 x − 1 = 21
x 2 − 4 − 7 x + 7 − 21 = 0
5x − 5x − 4 x + 14 x + 8 = 0 2
2
x= −
) (
5. 5x x − 1 − 2 2 x 2 − 7 x = − 8
2 1. x − 3x + 2 = 0
2
x 2 − 7 x − 18 = 0
x2 + 9x + 8 = 0
3 9 ± −2 2 4
x=−
( 9) 2 9 ± −8 2 4
(− 7) ± (− 7) x= −
3 1 ± 2 4 3 1 4 x1 = + = = 2 2 2 2 3 1 2 x2 = − = = 1 2 2 2
x=−
9 81 ± −8 2 4
x=
9 49 ± 2 4 9 7 −2 = −1 x1 = − + = 2 2 2 9 7 − 16 = −8 x2 = − − = 2 2 2
x=
x= x=
(− 2) ± (− 2)
2
2
4
− (− 15)
x1 = 1 + 4 = 5 x2 = 1 − 4 = − 3
2
2
x = 19 x − 88
(− 19) ± (− 19) 4
19 361 ± − 88 2 4
19 9 ± 2 4 19 3 22 = 11 x1 = + = 2 2 2 19 3 16 x2 = − = = 8 2 2 2 x=
x 2 + 4 x = 285
4.
x 2 + 4 x − 285 = 0
( 4) 4 ± − (− 285) 2 4 2
x= −
x = − 2 ± 4 + 285 x = − 2 ± 289 x1 = − 2 + 17 = 15 x2 = − 2 − 17 = − 19
(x − 1)
2
7.
− (− 65)
2
x − 2 x + 1 + 11x + 199 = 3x − x + 4 x − 4 2
2
x 2 + x − 2 − 2 x 2 − 5x + 12 − x + 14 = 0 − x 2 − 5x + 24 = 0 x 2 + 5x − 24 = 0
x − 5x − 204 = 0 2
x=
(− 5) ± 2
(5) 4
− (− 204)
5 25 ± + 204 2 4
5 841 ± 2 4 5 29 34 = = 17 x1 = + 2 2 2 5 29 − 24 = − 12 x2 = − = 2 2 2 x=
− (− 11)
10. ( x − 1)( x + 2) − (2 x − 3)( x + 4) − x + 14 = 0
x 2 + 9 x + 200 = 2 x 2 + 4 x − 4
x= −
4
x = 5 ± 36 x1 = 5 + 6 = 11 x2 = 5 − 6 = − 1
2
2
)
x = 5 ± 25 + 11
+ 11x + 199 = 3x 2 − (x − 2)
2
(− 10) ± (− 10)
2
x= −
x1 = 4 + 9 = 13 x2 = 4 − 9 = − 5
− 88
) (
2
x 2 − 10x − 11 = 0
x= 4± 9
2
2
4
)(
2 x − x − 3x + 10 = 7 x + 21
x = 4 ± 16 + 65
x 2 − 19 x + 88 = 0
x=
(
2
x − 8 x − 65 = 0
2
3.
7 49 ± + 18 2 4
2
(− 8) ± (− 8) x= −
− (− 18)
9. 2 x 2 − x − 2 x + 5 = 7 x + 3
x 2 − 7 x − 6 − x − 59 = 0
x = 1± 4
4
7 121 ± 2 4 7 11 18 x1 = + = = 9 2 2 2 7 11 − 4 =−2 x2 = − = 2 2 2
x 2 − (7 x + 6) = x + 59
6.
x = 1 ± 1 + 15
x= −
2
x=−
2. x 2 − 2 x − 15 = 0
x= −
2
x= −
(5) 5 ± − (− 24) 2 4
x= −
5 25 ± + 24 2 4
2
5 121 ± 2 4 5 11 6 x1 = − + = = 3 2 2 2 5 11 − 16 =−8 x2 = − − = 2 2 2 x= −
EJERCICIO 268 1.
x2 x 3 − = mcm = 10 5 2 10 2 x 2 − 5x = 3
4.
x=
(− 5)
5±
5 ± 25 + 24 4 5± 7 x= 4 5 + 7 12 = =3 x1 = 4 4 5− 7 − 2 1 = =− x2 = 4 4 2
x= x=
x=
− 4 (8) (− 26)
5.
(− 21) ± (− 21)
2
4
21 81 ± 2 4 21 9 30 = 15 x1 = + = 2 2 2 21 9 12 x2 = − = = 6 2 2 2 x=
− 90
5 1 − = 1 mcm = x + 2 x x+2
5x + 10 − x = x + 2 x x − 2 x − 10 = 0 2
(− 2) ± (− 2)
2
x=−
2
4
− (− 10)
x=
2 − 6 ± (6) − 4 (14) (− 20)
2 (14)
− 6 ± 1.156 − 6 ± 34 = x= 28 28 − 6 + 34 28 = =1 x1 = 28 28 − 6 − 34 − 40 = = − 1 73 x2 = 28 28 8.
1 1 1 − = x− 2 x−1 6
mcm = 6 ( x − 2)( x − 1)
6 ( x − 1) − 6 ( x − 2) = ( x − 2)( x − 1) 6 x − 6 − 6x + 12 = x 2 − 3x + 2 6 = x 2 − 3x + 2 0 = x 2 − 3x − 4
x1 = 1 + 11 x2 = 1 − 11 15 11x + 5 − = −1 x x2
4
− (− 4)
3 9 ± +4 2 4
x=
mcm = x 2
15x − (11x + 5) = − x 2 x2 + 4x − 5= 0
( 4) 4 ± − (− 5) 2 4 2
x= −
2
x=
x = 1 ± 11
6.
(− 3) ± (− 3)
2
x= −
3 25 3 5 ± = ± 2 4 2 2 3 5 8 x1 = + = = 4 2 2 2 3 5 −2 = −1 x2 = − = 2 2 2
x = 1 ± 1 + 10
x − 3x = 18 ( x − 5)
x 2 − 21x + 90 = 0
14 x 2 + 6x − 20 = 0
2
2
x 2 − 3x = 18 x − 90
23x 2 + 30x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15
2 5 1 + − 1 = x + 2 mcm = x x
2 (8)
2
− 13 ± 169 + 2 . 432 −8
− 13 − 51 − 64 = =8 x2 = −8 −8
x2 x − = 3 (x − 5) mcm = 6 6 2
x= −
2 (− 4)
− 13 ± 51 8 − 13 + 51 38 = = − 4 43 x1 = −8 −8
3 ± 9 + 832 x= 16 3 ± 29 x= 16 3 + 29 32 = =2 x1 = 16 16 3 − 29 − 26 = = − 1 85 x2 = 16 16 3.
2 − 13 ± (13) − 4 (− 4)(152)
x=
13 3 2. 4 x − = mcm = 2 x x 2 8 x 2 − 26 = 3x 2
8 x 2 + 8 x + 15x 2 + 22 x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15
− 4 x + 13x + 152 = 0
x=
(− 3)
8x ( x + 1) + (5x − 1)(3x + 5) = 3(3x + 5)( x + 1)
2
2 ( 2)
3±
8x 5x − 1 + = 3 mcm = (3x + 5)( x + 1) 3x + 5 x + 1
5x − 20 + 8 x − 40 − 4 x 2 + 212 = 0
− 4 ( 2) (− 3)
8 x 2 − 3x − 26 = 0
7.
5( x − 4) + 8 ( x − 5) = 4 (x 2 − 53)
2 x 2 − 5x − 3 = 0 2
1 (x − 4) + 25 (x − 5) = 15 (x 2 − 53) 4 mcm = 20
9. 1 −
2x − 3 x − 2 = x+5 10
10 ( x + 5) − 10 (2 x − 3) = ( x + 5)( x − 2) 10x + 50 − 20x + 30 = x 2 + 3x − 10 − 10x + 80 = x 2 + 3x − 10
x= − 2± 4+5 x= − 2±3 x1 = − 2 + 3 = 1 x2 = − 2 − 3 = − 5
mcm = 10 ( x + 5)
0 = x 2 + 13x − 90 x= −
(13)2 13 ± − (− 90) 2 4 Continúa
9. Continuación
x= −
13 169 ± + 90 2 4
12.
(
)
mcm = 12 (x − 1)
12 (4 x 2 ) − 3 (x − 1)(1 − 3x ) = 4 ( x − 1) ( 20 x )
13 529 ± 2 4 − 13 23 x= ± 2 2 − 13 23 10 x1 = + = =5 2 2 2 − 13 23 − 36 x2 = − = = − 18 2 2 2 x= −
10. x − 13 = 5 − 10 5x + 3 x x2
4 x 2 1 − 3x 20 x − = x−1 4 3
48 x 2 + 9 x 2 − 12 x + 3 = 80 x 2 − 80 x − 23x 2 + 68 x + 3 = 0 x=
2 − 68 ± ( 68) − 4 (− 23) ( 3)
2 (− 23)
− 68 ± 4 . 624 + 276 − 68 ± 4 . 900 − 68 ± 70 = = x= − 46 − 46 − 46 − 68 + 70 − 68 − 70 − 138 2 1 = =− = =3 ; x2 = x1 = − 46 − 46 − 46 − 46 23
mcm = x 2
x ( x − 13) = 5x 2 − 10 (5x + 3) x 2 − 13x = 5x 2 − 50 x − 30
− 4 x 2 + 37 x + 30 = 0 − 37 ± ( 37) − 4 (− 4) ( 30) 2
x= x=
13.
6 (2 x − 1)(3x − 1) − 6 x ( 2 x ) − 7 x (2 x − 1) = 0
2 (− 4)
− 37 ±
6 (6 x 2 − 5x + 1) − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0
1. 369 + 480 −8
36 x 2 − 30 x + 6 − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0
37 ± 1.849 x= −8 − 37 ± 43 x= −8 − 37 + 43 6 3 = =− x1 = −8 −8 4 − 37 − 43 − 80 = = 10 x2 = −8 −8 11.
x x−2 5 − = 2 x−2 x
2 x − 2 (x − 4 x + 4) = 5x − 10 x 2
2
2 x 2 − 2 x 2 + 8 x − 8 = 5x 2 − 10 x 0 = 5x − 18 x + 8 2
x=
− (− 18) ±
(− 18)
2
x=
2 23 ± ( 23) − 4 (10)( 6) 2 (10)
23 ± 529 − 240 23 ± 289 23 ± 17 = = 20 20 20 23 + 17 40 23 − 17 6 3 = = 2 ; x2 = = = x1 = 20 10 20 20 20 x=
14.
5x − 8 7 x − 4 = x−1 x+2
(x + 2)(5x − 8) = (7 x − 4)(x − 1) 5x 2 + 2 x − 16 = 7 x 2 − 11x + 4 0 = 2 x 2 − 13x + 20
− 4 (5)(8)
2 (5)
18 ± 324 − 160 10 18 ± 164 x= 10 x=
18 ± 2 2 ⋅ 41 18 ± 2 41 9 ± 41 = = 10 10 5 9 + 41 9 − 41 ; x2 = x1 = 5 5 x=
10 x 2 − 23x + 6 = 0
mcm = 2 x ( x − 2)
2 x ( x ) − 2 ( x − 2)( x − 2) = 5x (x − 2) 2
3x − 1 2x 7 − − = 0 mcm = 6 x (2 x − 1) 2x − 1 6 x
x=
2 13 ± (13) − 4 ( 2)( 20) 2 ( 2)
13 ± 169 − 160 13 ± 9 13 ± 3 = = 4 4 4 13 + 3 16 13 − 3 10 5 = = 4 ; x2 = = = = 2 12 x1 = 4 4 4 4 2 x=
15.
x + 3 5x − 1 − =0 2x − 1 4x + 7
18.
mcm = (2 x − 1)(4 x + 7)
40 − 48 ( x − 1) = 29 ( x 2 − 1)
(x + 3)(4 x + 7) − (5x − 1)(2 x − 1) = 0
40 − 48 x + 48 = 29 x 2 − 29
4 x 2 + 19 x + 21 − 10 x 2 + 7 x − 1 = 0
− 29 x 2 − 48 x + 117 = 0
− 6 x 2 + 26 x + 20 = 0 3x 2 − 13x − 10 = 0 x=
13 ±
(− 13)
2
mcm = 8 ( x 2 − 1)
5 6 − = 3 85 x2 − 1 x + 1
x=
− 4 ( 3) (− 10)
− (− 48) ±
(482 ) − 4 (− 29)(117) 2 (− 29)
48 ± 2 . 304 + 13. 572 48 ± 126 = − 58 − 58 48 + 126 174 48 − 126 − 78 10 = = − 3 ; x2 = = = 1 29 x1 = − 58 − 58 − 58 − 58
2 ( 3)
x=
13 ± 169 + 120 13 ± 289 13 ± 17 = = 6 6 6 13 + 17 30 13 − 17 − 4 2 = = 5 ; x2 = = =− x1 = 6 6 6 6 3 x=
19.
1 1 1 16. 4 − x − 6 = x + 1
x − 1 x + 1 2x + 9 + = x+1 x−1 x+ 3
(x − 1)( x − 1)(x + 3) + ( x + 1)(x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)( x + 1)(x − 1) (x − 2 x + 1)(x + 3) + (x + 2 x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)(x − 1)
mcm = 6 (4 − x )( x + 1)
6 (x + 1) − (4 − x )(x + 1) = 6 (4 − x )
mcm = ( x + 1)( x − 1)( x + 3)
2
2
2
x + 3x − 2 x − 6 x + x + 3 + x + 3x + 2 x + 6 x + x + 3 = 2 x − 2 x + 9 x 2 − 9 3
2
2
3
2
6 x + 6 + x − 3x − 4 = 24 − 6 x
2
3
2 x 3 + 6x 2 + 2 x + 6 = 2 x 3 + 9 x 2 − 2 x − 9
2
0 = 3x 2 − 4 x − 15
x 2 + 3x + 2 = 24 − 6 x x 2 + 9 x − 22 = 0
x=
( 9) 9 ± − (− 22) 2 4 2
x= −
x+ 4 x+ 2 1 − = x + 5 x + 3 24
mcm = 24 ( x + 5)( x + 3)
x=
20.
24 ( x + 3)( x + 4) − 24 ( x + 2)( x + 5) = ( x + 5)( x + 3)
24 x + 168 x + 288 − 24 x 2 − 168 x − 240 = x 2 + 8 x + 15 2
2 ( 3)
4 ± 16 + 180
4 ± 196 4 ± 14 = = 6 6 6 4 + 14 18 4 − 14 − 10 = = 3 x2 = = = − 1 23 x1 = 6 6 6 6
9 9 81 169 − 9 13 ± + 22 = − ± = ± 2 4 2 4 2 2 − 9 13 4 − 9 13 − 22 + = = 2 ; x2 = − = = − 11 x1 = 2 2 2 2 2 2 x= −
17.
2 4 ± ( 4) − 4 ( 3) (− 15)
3 ( x − 2)( x + 1) − ( x + 2)( x + 1) = ( x + 2)( x − 2) 3x 2 − 3 x − 6 − x 2 − 3 x − 2 = x 2 − 4
48 = x + 8 x + 15 2
2 x 2 − 6x − 8 = x2 − 4
0 = x 2 + 8x − 33
(8) 8 ± − (− 33) 2 4
x 2 − 6x − 4 = 0
2
x= −
x = − 4 ± 16 + 33 = − 4 ± 49 = − 4 ± 7 x1 = − 4 + 7 = 3 ;
x2 = − 4 − 7 = − 11
mcm = ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
3 1 1 − = x+ 2 x− 2 x+1
(− 6) ± (− 6)
2
x= −
2
x1 = 3 + 13
4
;
− (− 4) = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13
x2 = 3 − 13
11. Continuación
EJERCICIO 269 1.
x − x − 6= 0
20x 2 − 27 x = 14
7.
2
(x − 3)(x + 2) = 0 x1 = 3
x2 = − 2
20 x 2 − 27 x − 14 = 0
(20 x )2 − 27 (20 x ) − 280 = 0
2.
5⋅ 4
(x + 9)(x − 2) = 0 x1 = − 9
x2 = 2 8 x − 65 = − x 2
3.
x + 8x − 65 = 0 2
(x + 13)(x − 5) = 0 x1 = − 13
108 2 54 2
22 ⋅ 3 − 32
27 3
12 − 9 = 3
9
3
3
3
(4 x − 24)(4 x − 3) = 0 4
( x − 6)(4 x − 3) = 0 x − 6= 0
(x + 12)(x − 9) = 0 x1 = − 12
5⋅ 6
2x + 7x − 4 = 0
( 2 x) 2 + 7 ( 2 x) − 8 = 0
(2 x + 8)(2 x − 1) = 0 2
(x + 4)(2 x 1) = 0 x+ 4= 0
2 x − 1= 0
x1 = − 4
x2 =
5x − 3 = 0
13.
6x = − 5 5x = 3 −5 3 x1 = x2 = 6 5 9. 60 = 8 x 2 + 157 x
(x + 9)(x − 8) = 0
(6x + 15)(6x − 4) = 0 3⋅ 2
(2 x + 5)(3x − 2) = 0 2x + 5= 0 3x − 2 = 0 5 2 1 x1 = − = − 2 2 x2 = 2 3
2
3 ( x + 2) − (2 x − 5) = 9
(x + 20)(8x − 3) = 0
2
3x 2 + 12 x + 12 − 2 x + 5 − 9 = 0
x + 20 = 0 x1 = − 20
8x − 3 = 0 8x = 3 3 x2 = 8 10. x ( x − 1) − 5 (x − 2) = 2 x 2 − x − 5x + 10 − 2 = 0
3x 2 + 10 x + 8 = 0
(3x ) + 10 (3x ) + 24 = 0 2
(3x + 6)(3x + 4) = 0 3
( x + 2)(3x + 4) = 0 x+ 2= 0 x1 = − 2
x 2 − 6x + 8 = 0
(x − 4)(x − 2) = 0 x−4=0 x1 = 4 11.
(x − 2) − (2 x + 3)
2
= − 80
x 2 − 4 x + 4 − 4 x 2 − 12 x − 9 + 80 = 0 − 3x 2 − 16 x + 75 = 0 3x 2 + 16 x − 75 = 0
( 3x) 2 + 16 (3x) − 225 = 0
(3x + 25)(3x − 9) = 0 3
Continúa
3x + 4 = 0 3x = − 4 x2 =
x− 2= 0 x2 = 2 2
2x − 5 = 3 mcm = 3 3
14. ( x + 2) −
8
6 x 2 + 11x − 10 = 0
( 6x ) 2 + 11( 6 x) − 60 = 0
x + 9= 0 x − 8= 0 x1 = − 9 x2 = 8
(8x + 160)(8x − 3) = 0
1 2
x+2 74 mcm = x + x= x x x + 2 + x 2 = 74 x 2 + x − 72 = 0
(8 x)2 + 157 (8x) − 480 = 0
6x 2 = 10 − 11x
6.
4x = 3 3 x2 = 4
(6x + 5)(5x − 3) = 0 6x + 5 = 0
x2 = 9
2
4x − 3 = 0
x1 = 6
8 x 2 + 157 x − 60 = 0
1
5.
4 x 2 − 27 x + 18 = 0
(30x + 25)(30x − 18) = 0
x = 108 − 3x x + 3x − 108 = 0
6 9 4 − =− mcm = 3x 2 3 x2 x 18 − 27 x = − 4 x 2
(4 x ) 2 − 27 ( 4 x ) + 72 = 0
(30 x) 2 + 7 (30 x) − 450 = 0
2
2
x2 = 3
7 2 x1 = = 1 43 x2 = − 4 5 2 8. 7 x = 15 − 30 x 30x 2 + 7 x − 15 = 0
x2 = 5
4.
x − 3= 0
3x = − 25
12.
(4 x − 7)(5x + 2) = 0
x + 7 x − 18 = 0 2
3x + 25 = 0 25 = − 8 13 x1 = − 3
(20x − 35)(20x + 8) = 0
x + 7 x = 18 2
(3x + 25)(x − 3) = 0
15.
−4 = − 1 13 3
3x + 15 x + x= mcm = 4 ( x − 2) 4 x−2
4 x + 4 x ( x − 2) = (3x + 15)( x − 2) 4 x + 4 x 2 − 8 x = 3x 2 + 9 x − 30 x 2 − 13x + 30 = 0
(x − 10)(x − 3) = 0 x − 10 = 0 x1 = 10
x − 3= 0 x2 = 3
16.
6 4 5 − = x − 4 x 12
mcm = 12 x (x − 4)
4x − 1 2x + 1 19. 2 x + 3 = 6 x + 5
72 x − 48 ( x − 4) = 5x ( x − 4)
(6x + 5)(4 x − 1) = (2 x + 1)(2 x + 3)
72 x − 48 x + 192 = 5x 2 − 20 x
24 x 2 + 14 x − 5 = 4 x 2 + 8 x + 3
5x 2 − 44 x − 192 = 0
20 x 2 + 6 x − 8 = 0
(5x ) 2 − 44 (5x) − 960 = 0
10 x 2 + 3x − 4 = 0
(5x − 60)(5x + 16) = 0
(10 x ) 2 + 3 (10 x ) − 40 = 0
(10x + 8)(10x − 5) = 0
5
(x − 12)(5x + 16) = 0 x − 12 = 0 x1 = 12
2⋅5
5x + 16 = 0 5x = − 16 − 16 = − 3 15 x2 = 5
(5x + 4)(2 x − 1) = 0
(x − 2) − (x − 3) 3
17.
3
5x + 4 = 0 5x = − 4 −4 x1 = 5
= 37
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 37 = 0 3x 2 − 15x − 18 = 0
20.
( 3x) 2 − 15( 3x) − 54 = 0
(3x − 18)(3x + 3) = 0
3x + 2 9 x + 14 = 5− mcm = 12 x 4 12 x 3x (3x + 2) = 60 x − (9 x + 14) 9 x 2 + 6 x = 60 x − 9 x − 14
3x − 18 = 0 3x + 3 = 0 3x = 18 3x = − 3 x1 = 6 x2 = − 1 x−1 x+3 − 2= mcm = 3 ( x + 1) 18. x+1 3
9 x − 45x + 14 = 0 2
(9 x ) 2 − 45(9 x ) + 126 = 0
(9 x − 42)(9 x − 3) = 0 3⋅ 3
(3x − 14)(3x − 1) = 0
3 ( x − 1) − 6 ( x + 1) = ( x + 3)(x + 1)
3x − 14 = 0 3x = 14 14 x1 = 3 x1 = 4 23
3x − 3 − 6 x − 6 = x + 4 x + 3 2
x + 7 x + 12 = 0 2
(x + 4)(x + 3) = 0 x+ 4= 0 x1 = − 4
2 x − 1= 0 2x = 1 1 x2 = 2
x + 3= 0 x2 = − 3
3x − 1 = 0 3x = 1 1 x2 = 3
EJERCICIO 270 2 2 1. x + 2ax − 35a = 0
(x + 7a)(x − 5a) = 0 x + 7a = 0
x − 5a = 0
x1 = − 7a
x2 = 5a
10 x 2 = 36a 2 − 37ax
2.
10 x + 37ax − 36a 2 = 0 2
x=
2 − 37a ± ( 37a ) − 4 (10) (− 36a 2 )
2 (10)
− 37a ± 2 .809a − 37a ± 53a = 20 20 − 37a + 53a 16a 4a = = x1 = 20 20 5 − 37a − 53a − 90a − 9a = = x2 = 20 20 2 2
x=
a 2 x 2 + abx − 2b 2 = 0
3.
(a 2 x)
2
+ ab (a 2 x) − 2a 2b2 = 0
(a x + 2ab)(a x − ab) = 0 2
2
a 2 x + 2ab = 0 a 2 x = − 2ab − 2ab x1 = 2 a 2b x1 = − a
a 2 x − ab = 0 a 2 x = ab ab x2 = 2 a b x2 = a
89bx = 42 x 2 + 22b 2
4.
42 x − 89bx + 22b2 = 0 2
x=
− (− 89b) ±
(− 89b) − 4 (42) (22b2 ) 2
2 ( 42)
x 2 − 2ax = 6ab − 3bx
9.
x 2 + 3bx − 2ax − 6ab = 0
x ( x + 3b) − 2a ( x + 3b) = 0
(x + 3b) (x − 2a) = 0
89 ± 4 . 225b 2 89b ± 65b = x= 84 84 89b − 65b 24b 2b = = x1 = 84 84 7 89b + 65b 154b 11b = = x2 = 84 84 6
x + 3b = 0 x1 = − 3b
(
) 3x (2 x − m) + 2n (2 x − m) = 0 (2 x − m)(3x + 2n) = 0
2 10. 3 2 x − mx + 4nx − 2mn = 0
x 2 + ax = 20a 2
5.
2x − m = 0 2x = m
x + ax − 20a 2 = 0 2
(x + 5a)(x − 4a) = 0 x + 5a = 0 x1 = − 5a
x − 4a = 0 x2 = 4a
x1 =
2 2 2 6. 2 x = abx + 3a b
11.
2 x 2 − abx − 3a 2b2 = 0
(2 x − 3ab)(2 x + 2ab) = 0 2
(2 x − 3ab)(x + ab) = 0
2
b x + 2abx − 3a = 0
(b x)
2
2
2
2
+ 2ab (b x ) − 3a b = 0 2
2
b⋅b
(bx + 3a) (bx − a ) = 0 bx + 3a = 0 bx − a = 0 bx = − 3a bx = a a 3a x1 = − x2 = b b x 2 + ax − bx = ab
8.
x + ax − bx − ab = 0 2
x (x + a) − b ( x + a) = 0
( x − b) (x + a) = 0
x− b= 0 x1 = b
x+ a= 0 x2 = − a
2
x+ a=0 x2 = − a
abx 2 − x (b − 2a ) = 2
2
abx 2 + 2ax − bx − 2 = 0
ax (bx + 2) − (bx + 2) = 0
(bx + 2)(ax − 1) = 0
2 2
(b x + 3ab)(b x − ab) = 0 2
(x − a ) − b (x + a) = 0 (x + a)( x − a) − b (x + a) = 0 (x − a − b)(x + a) = 0
abx 2 − bx + 2ax − 2 = 0
b x + 2abx = 3a 2
2n 3
x 2 − a 2 − bx − ab = 0
12.
x2 = − ab
7.
x2 = −
x− a− b= 0 x1 = a + b
x + ab = 0 x = − ab
2
3x + 2n = 0 3x = − 2 n
m 2
2
(2 x) 2 − ab ( 2 x ) − 6a 2b2 = 0
2 x − 3ab = 0 2 x = 3ab 3ab x1 = 2
x − 2a = 0 x2 = 2a
bx + 2 = 0
ax − 1 = 0
bx = − 2
ax = 1
−2 x1 = b
x2 =
1 a
2 2 2 13. x − 2ax + a − b = 0
x=
2 − (− 2a ) ± ( 2a ) − 4 (a 2 − b 2 )
2
2a ± 4a − 4a 2 + 4b 2 2a ± 2b = 2 2 2a + 2b 2 (a + b) = =a+b x1 = 2 2 2
x=
x2 =
2a − 2b 2 (a − b) = =a−b 2 2
(
)
14. 4 x x − b + b2 = 4m2
4 x − 4bx + b2 − 4m2 = 0 2
x= x= x=
− (− 4b) ±
(− 4b)
2
x 2 + xm3 − 2 xm2 − 2m5 = 0
− 4 (4) (b2 − 4m2 )
x ( x + m3 ) − 2 m2 ( x + m3 ) = 0
2 ( 4)
(x + m )(x − 2m ) = 0 3
4b ± 16b 2 − 16b2 + 64m2
x + m3 = 0
8
4b + 8m 4 (b + 2m) b + 2m = = 8 8 2
6x 2 − 2bx − 15ax + 5ab = 0
2 x (3x − b) − 5a (3x − b) = 0
(3x − b)(2 x − 5a) = 0
2 2 2 15. x − b + 4a − 4ax = 0
3x − b = 0
x 2 − 4ax − b2 + 4a 2 = 0
(− 4a)
2
− 4 (− b 2 + 4a 2 )
2
4a ± 16a 2 + 4b 2 − 16a 2 4a ± 2b = 2 2 4a + 2b 2 (2a + b) = = 2a + b x1 = 2 2
x2 = 2m2
3
2 20. 6 x − 15ax = 2bx − 5ab
4b − 8m 4 (b − 2m) b − 2m = = x2 = 8 8 2
− (− 4a ) ±
2
x − 2m 2 = 0
x1 = − m
4b ± 64m2 4b ± 8m = 8 8
x1 =
x=
x 2 + m2 x (m − 2) = 2m5
19.
2 x − 5a = 0
3x = b
2 x = 5a
b x1 = 3
x2 =
5a 2
x=
x2 = 16.
4a − 2b 2 (2a − b) = = 2a − b 2 2
2 21. 3x + a − x = 0 mcm = 4a 4 2 2a 3ax + 2a 2 − 2 x 2 = 0
2 x 2 − 3ax − 2a 2 = 0
( 2 x ) − 3a ( 2 x ) − 4a 2 = 0 2
x 2 − (a + 2) x = − 2a
(2 x − 4a)(2 x + a ) = 0
x 2 − ax − 2 x + 2a = 0
x (x − a) − 2 (x − a) = 0
2
(x − 2a )(2 x + a) = 0
(x − a)(x − 2) = 0
x−a= 0 x1 = a
17.
x − 2a = 0
x− 2= 0 x2 = 2
x1 = 2a
2x + a = 0 2x = − a x2 = −
x 2 + 2 x (4 − 3a ) = 48a
a 2
x 2 + 8 x − 6ax − 48a = 0
x ( x + 8) − 6a ( x + 8) = 0
(x + 8)(x − 6a) = 0
x + 8= 0 x − 6a = 0 x1 = − 8 x2 = 6a
x 2 − 2 x = m2 + 2 m
18.
x 2 − m2 − 2 x − 2m = 0
(x + m)( x − m) − 2 (x + m) = 0 (x − m − 2)(x + m) = 0 x − m− 2 = 0 x1 = m + 2
x + m= 0 x2 = − m
22.
2 x − b 2bx − b 2 = 2 3x
3x (2 x − b) = 2 (2bx − b2 ) 6 x 2 − 3bx − 4bx + 2b 2 = 0
3x (2 x − b) − 2b (2 x − b) = 0
(2 x − b)(3x − 2b) = 0
2x − b = 0 2x = b
3x − 2b = 0 3x = 2b
b 2
x2 =
x1 =
2b 3
a + x a − 2x 23. a − x + a + x = − 4
mcm = a 2 − x 2
(a + x)(a + x) + (a − 2 x)(a − x) = − 4 (a
2
− x2 )
a 2 + 2ax + x 2 + a 2 − 3ax + 2 x 2 = − 4a 2 + 4 x 2 6a 2 − ax − x 2 = 0 x 2 + ax − 6a 2 = 0
(x + 3a)( x − 2a) = 0 x + 3a = 0
x − 2a = 0
x1 = − 3a
x2 = 2a
26.
2x − b x 2x − = b x + b 4b
mcm = 4b (x + b)
4 (2 x − b)( x + b) − 4bx = 2 x ( x + b) 8 x 2 + 4bx − 4b 2 − 4bx = 2 x 2 + 2bx 6 x 2 − 2bx − 4b2 = 0 3x 2 − bx − 2b2 = 0
( 3x) − b ( 3x ) − 6b2 = 0 2
(3x − 3b)(3x + 2b) = 0 3
(x − b)(3x + 2b) = 0 x2 a2 = x − 1 2 (a − 2)
24.
x−b= 0 x1 = b
3x + 2b = 0 3x = − 2b
2 (a − 2) x 2 = a 2 ( x − 1) x (2a − 4) = a x − a 2
2
x2 = −
2
2b 3
x (2a − 4) − a 2 x + a 2 = 0 2
− (− a 2 ) ±
x= x= x=
2 2
− 4 (2a − 4) (a 2 )
2 (2a − 4)
EJERCICIO 271
a 2 ± a 4 − 8a 3 + 16a 2 2 (2a − 4)
2 1. 3x = 48
a 2 ± a 2 (a 2 − 8a + 16)
x 2 = 16
4a − 8 a ± a (a − 4) 2
x=
(− a )
4 (a − 2)
a + a − 4a 2
x1 =
2
4 (a − 2)
=
a 2 ± a 2 − 4a 4 (a − 2)
2a − 4 a 4 (a − 2)
2
4 (a − 2)
= 2
a − ( a − 4a ) 2
x2 =
2
2
=
=
2a (a − 2) a = 4 (a − 2) 2
a 4a = 4 (a − 2) a − 2
x = 16 x=±4
4. 9x 2 − a 2 = 0
9x 2 = a 2 x2 =
2. 5x 2 − 9 = 46
a2 9 a x=± 3 x=
5x 2 = 55 x 2 = 11 x = 11 x = ± 11
a2 9
(
)(
)
5. x + 5 x − 5 = − 7
2 1 25. x + = + 2a mcm = ax x a ax 2 + 2a = x + 2a 2 x ax 2 − x + 2a − 2a 2 x = 0
x (ax − 1) − 2a (ax − 1) = 0
(ax − 1)(x − 2a) = 0
ax − 1 = 0 ax = 1 x1 =
1 a
x − 2a = 0 x = 2a x2 = 2a
3. 7x 2 + 14 = 0
x − 25 = − 7
x2 + 2 = 0
x 2 = 18
x =−2 2
2
x = 18
x= −2
x = 32 ⋅ 2
x = 2 −1
x= ±3 2
x=± 2 i
(
)(
)
6. 2 x − 3 2 x + 3 − 135 = 0 11.
4 x − 9 − 135 = 0 2
2x − 3 x − 2 = x − 3 x −1
x 2 = 36
2 x 2 − 5x + 3 = x 2 − 5x + 6
x = 36
x2 − 3 = 0
x= ± 6
(
)(
) (
mcm = (x − 3)( x − 1)
(2 x − 3)(x − 1) = (x − 2)(x − 3)
4 x = 144 2
x2 = 3
)
2
7. 3 x + 2 x − 2 = x − 4 + 8 x
x= ± 3
3x 2 − 12 = x 2 − 8 x + 16 + 8 x 2 x 2 − 28 = 0
12.
2 x 2 = 28 x 2 = 14
x 2 − 5 4x 2 − 1 14x 2 − 1 + − =0 3 5 15 2 2 2 5x − 25 + 12x − 3 − 14x + 1= 0 3x 2 − 27 = 0
x = ± 14
3x 2 = 27
1 1 1 8. x + 3 x − 3 = 3 x2 −
(
x2 = 9 x= 9 x=±3
1 1 − =0 9 3 4 x2 = 9 4 x= ± 9 2 x= ± 3
)(
) (
)(
13. 2 x − 3 −
x2 + 1 =−7 x−2
mcm = x − 2
2 x (x − 2) − 3( x − 2) − ( x 2 + 1) = − 7 (x − 2) 2 x 2 − 4 x − 3x + 6 − x 2 − 1 = − 7 x + 14
)
x 2 + 5 = 14
9. 2 x − 1 x + 2 − x + 4 x − 1 + 5 = 0
x2 = 9
2 x 2 + 3x − 2 − x 2 − 3 x + 4 + 5 = 0
x= 9 x= ±3
x2 + 7 = 0 x2 = − 7 x= 7 −1 x= ± 7i 10.
x2 = 1 x= 1 x= ±1
EJERCICIO 272
x ( x − 5) = 0
x1 = 0 x − 5 = 0 x2 = 5
mcm = 4 x 2 − 1
4x2 = 4
4 =x ±2=x
x 2 − 5x = 0
3 =2 4x2 − 1
12 x 2 − 6 = 8x 2 − 2
4 = x2
x 2 = 5x
3−
3(4 x 2 − 1) − 3 = 2 (4 x 2 − 1)
5 1 7 − = mcm = 12x 2 2x 2 6x 2 12 30 − 2 = 7x 2 28 = 7x 2
1.
14.
2.
4 x 2 = − 32 x 4 x 2 + 32 x = 0 4 x ( x + 8) = 0
4x = 0 x + 8 = 0 x1 = 0 x2 = − 8
3. x 2 − 3x = 3x 2 − 4 x
0 = 2x2 − x
0 = x (2 x − 1) 0 = x1 0 = 2 x − 1 1= 2 x ⇒
1 =x 2 2
5x 2 + 4 = 2 ( x + 2)
4.
(x − 3) − (2 x + 5) 2
5.
− 3x 2 − 26 x = 0
5x − 2 x = 0 2
2 x (2 x − 1) = 0
x (3x + 26) = 0
x (5x − 2) = 0
x1 = 0
5x − 2 = 0 5x = 2 2 x2 = 5
2x = 0 2x − 1= 0 x1 = 0 2x = 1 1 x2 = 2
3x + 26 = 0 3x = − 26 − 26 = − 8 23 x2 = 3
7. (4 x − 1)(2 x + 3) = ( x + 3)( x − 1)
8.
8 x 2 + 10 x − 3 = x 2 + 2 x − 3
x+1 x+ 4 − =1 x−1 x− 2
mcm = ( x − 1)(x − 2)
(x + 1)(x − 2) − (x + 4)(x − 1) = (x − 1)(x − 2)
7 x 2 + 8x = 0
x 2 − x − 2 − x 2 − 3 x + 4 = x 2 − 3x + 2
x (7 x + 8) = 0 x1 = 0
x2 x − 9 3 − = mcm = 12 6. 3 6 2 2 4 x − 2 x + 18 = 18
= − 16
x 2 − 6 x + 9 − 4 x 2 − 20 x − 25 + 16 = 0
5x 2 + 4 = 2 x + 4
x1 = 0
2
0 = x2 + x
7x + 8 = 0 7x = − 8
0 = x (x + 1) x1 = 0
8 7 x2 = − 1 71 x2 = −
x + 1= 0 x2 = − 1
EJERCICIO 273 1. x + 4 x + 1 = 5
4x + 1 = 5− x
(
)
4 x + 1 = (5 − x ) 2
2
4 x + 1 = 25 − 10x + x 2 0 = x 2 − 14 x + 24
0 = (x − 12)(x − 2)
5x − 1 + x + 3 = 4
3.
(
2.
2 x − x − 1 = 3x − 7
2 5x 2 + 14 x − 3 = 14 − 6 x
(7 − x)
=
(
)
5x 2 + 14 x − 3 = (7 − 3x) 2
2
5x 2 + 14 x − 3 = 49 − 42 x + 9 x 2 0 = 4 x − 56 x + 52 2
0 = x 2 − 14 x + 13
7− x= x−1 2
2
5x − 1 + 2 5x 2 + 14 x − 3 + x + 3 = 16
x − 12 = 0 x1 = 12 → Re chazo sol extraña x− 2= 0 x2 = 2 → sol que satisface
)
5x − 1 + x + 3 = 16
(x − 1)
2
49 − 14 x + x = x − 1 2
x 2 − 15x + 50 = 0
(x − 10)(x − 5) = 0 x − 10 = 0
x1 = 10 → Re chazo sol extraña x − 5= 0 x2 = 5 → sol que satisface
0 = ( x − 13)( x − 1) x − 13 = 0 x1 = 13 → Re chazo por sol extraña x − 1= 0 x2 = 1 → sol que satisface
6. Continuación
2 x − x+5=1
4.
(2 x ) = (1 + 2
x+5
7 x 2 − 24 x − 16 = 0
)
2
(7 x) − 24 (7 x) − 112 = 0 2
(7 x − 28)(7 x + 4) = 0
4 x = 1+ 2 x + 5 + x + 5 3x − 6 = 2 x + 5
(3x − 6) = (2 2
x+5
7
(x − 4)(7 x + 4) = 0
)
2
x − 4 = 0 ⇒ x1 = 4 → sol factible 7x + 4 = 0 4 7 x = − 4 ⇒ x2 = − → sol inadmisible 7
9 x − 36x + 36 = 4 x + 20 2
9 x 2 − 40x + 16 = 0
(9 x) − 40 (9 x) + 144 = 0 2
(9 x − 36)(9 x − 4) = 0
5x − 1 − 3 − x = 2 x
7.
(
9
(x − 4)(9 x − 4) = 0 x− 4= 0 x1 = 4
5.
→ sol que satisface
2
4 (2 x − 1) = 2 10 x 2 − 2 x
4 → Re chazo por sol extraña 9
) ( 2
2x − 1 = 3− x + 3
(4 x − 2)
2
)
)
( 6 x ) − 14 (6 x ) + 24 = 0
(6x − 12)(6x − 2) = 0 6
(x − 2)(6x − 2) = 0
36 (x + 3) = 169 − 26 x + x 2
x− 2= 0 x1 = 2 → sol factible 6x − 2 = 0 6x = 2
36 x + 108 = 169 − 26 x + x 2 0 = x 2 − 62 x + 61
0 = (x − 61)(x − 1) x − 61 = 0 x1 = 61 → Re chazo por sol extraña x − 1= 0 x2 = 1 → sol que satisface
x2 =
3x + 1 + 5x = 16 x + 1
8.
2 15x 2 + 5x = 8 x
) ( ) 2
2
x − 3 + 2x + 1 = 2 x
( 15x
x − 3 + 2 2 x − 5x − 3 + 2 x + 1 = 4 x 2
)
2
4 (2 x 2 − 5x − 3) = x 2 + 4 x + 4 8 x 2 − 20 x − 12 = x 2 + 4 x + 4 Continúa
2
)
2
+ 5x = ( 4 x )
2
15x 2 + 5x = 16x 2
2 x 2 − 5x − 3 = ( x + 2) 2
1 → sol inadmisible 3
3x + 1 + 2 15x 2 + 5x + 5x = 16 x + 1
x − 3 + 2x + 1 − 2 x = 0
(2
2
6 x 2 − 14 x + 4 = 0
2
(
( 10x
2
x + 3 = (13 − x ) 2
=
− 2x
16 x 2 − 16 x + 4 = 10 x 2 − 2 x
2
x − 13 = − 6 x + 3
(6
)
8 x − 4 = 2 10 x 2 − 2 x
2x − 1 + x + 3 = 3
(
3− x
− 2 10 x 2 − 2 x = − 8 x + 4
2x − 1= 9 − 6 x + 3 + x + 3
6.
2
5x − 1 − 2 10 x 2 − 2 x + 2 x = 3 − x
9x − 4 = 0 9x = 4 x2 =
) (
5x − 1 − 2 x =
0 = x − 5x 2
0 = x ( x − 5) x1 = 0 → sol admisible x − 5= 0 x2 = 5 → sol admisible
)
2
2x + 4x − 3 = 3
9.
2 x = x+7 +
12.
2x + 4x − 3 = 9
(
)
2
(2
4 x − 3 = 81 − 36 x + 4 x 2
3x − 2 x − 225 = 0
( 3x ) − 2 (3x ) − 675 = 0 2
(3x − 27)(3x + 25) = 0
x− 7= 0
3
x1 = 7 → Re chazo por
(x − 9)(3x + 25) = 0
sol inadmisible
x − 9 = 0 ⇒ x1 = 9 → sol aceptada 25 → sol inadmisible 3x + 25 = 0 ⇒ x2 = − 3
x − 3= 0 x2 = 3 → sol aceptada
x+ x+8 = 2 x
13.
x + x + 8 = 4x
6 =5 x+ 3
(
)
2
x+ 3
9x2 − x − 8 = 0
)
2
( 9 x ) − 1(9 x) − 72 = 0 2
x2 − 7x + 6 = 0
(9 x − 9)(9 x + 8) = 0
(x − 1)(x − 6) = 0
9 x − 1 = 0 ⇒ x1 = 1 → sol aceptada
x − 1= 0 x1 = 1 → sol admisible x − 6= 0 x2 = 6 → sol admisible
4 =5 x
x+
8 → sol rechazada 9 6 − x + x + 7 − 12 x + 1 = 0
9 x + 8 = 0 ⇒ x2 = − 14.
(
) ( 2
6− x + x + 7 =
)
12 x + 1
2
6 − x + 2 42 − x − x 2 + x + 7 = 12 x + 1
( x) + 4= 5 x (x + 4) = (5 x )
2 42 − x − x 2 = 12 x − 12
2
2
2
x + 8 = 9x2
2
2
11.
)
x + 8 = ( 3x )
x + 3 + 6= 5 x + 3
(x + 9) = (5
)
+8
2
4 x + 28 x = x 2 + 30x + 225
0 = ( x − 7)( x − 3)
(
x2 + 7x
2
2
0 = x 2 − 10 x + 21
x+3+
2
2
0 = 4 x 2 − 40 x + 84
10.
( x + 7) = ( x + 15)
2 x2 + 7x =
4 x − 3 = (9 − 2 x ) 2
8 x+7
2
x 2 + 8 x + 16 = 25x
(
42 − x − x 2
x − 16 = 0 x1 = 16 → sol admisible x − 1= 0 x2 = 1 → sol admisible
2
2
42 − x − x 2 = 36 x 2 − 72 x + 36 0 = 37 x 2 − 71x − 6
x 2 − 17 x + 16 = 0
(x − 16)(x − 1) = 0
) = (6x − 6)
( 37 x ) 2 − 71( 37 x) − 222 = 0
(37 x − 74)(37 x + 3) = 0 37
(x − 2)(37 x + 3) = 0 x − 2 = 0 ⇒ x1 = 2 → sol aceptada 37 x + 3 = 0 37 x = − 3 ⇒ x2 = −
3 → sol inadmisible 37
EJERCICIO 274 2 11. x − 4x + 3 = 0 x y
0
3
1
0
2
−1
3
0
−1
0 1 2 3 −1
8
sol : x 1 = 1 x 2 = 3 2 12. x − 6x + 8 = 0 x y
0
8
1 2
3 0
3
−1
4
0
sol : x 1 = 2
13. x 2 − 2x − 3 = 0 x y
−3 −4 −3 0 0
sol : x 1 = -1 x 2 = 3 2 14. x + 4x + 3 = 0 x y
0 3 −1 0 − 2 −1 −3 0 1 8
x2 =4
sol: x1 = − 3
x2 = − 1
2 15. x = 6 − x
x + x−6=0 x y 2
−6
0
1 −4 2 0 3 6 −1 − 6 −3 0
17. x 2 + 8x + 16 = 0 x y 0
16
−2
4
−4 −6
0 4
sol : x 1 = x 2 = -4 sol : x 1 = -3
x2 = 2
16. x = 2x − 1 2
x 2 − 2x + 1= 0 x y 0 1 2 3 −1
1 0 1 4 4
sol : x1 = x 2 = 1
2 18. x − 4 = 0 x y
1 −3 2 0 3 5 −1 − 3 −2 0 −3 5 0 −4
sol : x 1 = -2 x 2 = 2
19. x 2 = 3x + 10
x 2 − 3x − 10 = 0 x y 0 − 10 3 − 10 5 0 −1 − 6 −2 0
21. 2x 2 − 9x + 10 = 0 x y
0 1 2 3 4
10 3 0 1 6
sol : x 1 = -2 x 2 = 5
sol : x 1 = 2 20. x 2 − 4 x = − 4
x 2 − 4x + 4 = 0 x y 0 4 1 1 2 0 3 1 −1 9
sol : x 1 = x 2 = 2
x 2 = 2 21
22. 2x 2 − 5x − 7 = 0 x y
0 1 3 4 −1
−7 − 10 −4 5 0
sol : x 1 = -1
x 2 = 3 21
EJERCICIO 275 1.
x + (9 − x ) = 53 2
x 2 + 81 − 18 x + x 2 = 53 2 x − 18 x + 28 = 0 2
x − 9 x + 14 = 0 2
(x − 7)( x − 2) = 0
x1 = 7 x2 = 2 7 → N º mayor 9 − 7 = 2 → N º menor
x → N º positivo 3x → Otro Número 5 x 3 x = 2 .160 5 3x = 10 .800 2
x 2 = 3. 600 x = ± 3. 600 x1 = 60 x2 = − 60 60 → N º positivo 3 ( 60) = 36 → Otro Número 5
3.
x → Edad de A x − 3 → Edad de B x 2 + (x − 3) = 317 2
x 2 + x 2 − 6 x + 9 = 317 2 x 2 − 6x − 308 = 0 x 2 − 3x − 154 = 0
(x − 14)(x + 11) = 0 x1 = 14
x2 = − 11
14 años → Edad de A 14 − 3 = 11 años → Edad de B 4.
x 2 − 9 = 8 ( x − 2)
x → N º mayor 9 − x → N º menor 2
2.
5. x → N º buscado
x → Un Número 3x → El otro Número
(3x) 2 − x 2 = 1.800 9 x 2 − x 2 = 1.800
(x − 7)( x − 1) = 0 x1 = 7
16 x 2 + x 2 = 860 . 625
x2 = 1
17 x 2 = 860 . 625
7 → N º buscado
x 2 = 50 . 625
6. x + 1 → N º mayor x → N º menor
(x + 1)
2
x = ± 50 . 625 x1 = 225
− 57 = 3x
x 2 + 2 x + 1 − 57 = 3x x 2 − x − 56 = 0
225 sucres → Costo arreos
(x − 8)(x + 7) = 0
x1 = 8 x2 = − 7 8 → N º menor 8 + 1= 9 → N º mayor
(x − 7 + x)(x − 7) = 184 (2 x − 7)(x − 7) = 184
Area = x ( x + 4)
2 x 2 − 21x + 49 = 184
= x2 + 4x Doble del area = 2 x 2 + 8 x 2
+ 8x
3(15) = 45→ El otro Número
(2 x) − 21(2 x ) − 270 = 0
(2 x − 30)(2 x + 9) = 0 (x − 15)(2 x + 9) = 0
x 2 − 4 x − 32 = 0
(x − 8)(x + 4) = 0
x1 = 8 x2 = − 4 8m + 4m = 12m → L arg o 8m → Ancho 8. x → N º sa cos comp. 1. 000 bs. → cos to cada saco x 1. 000 1. 000 = −5 x + 10 x
1. 000 x = ( x + 10)1. 000 − 5x ( x + 10) 103 x = 103 x + 104 − 5x 2 − 50 x x + 10 x − 2 . 000 = 0
15 → Un Número
2 x 2 − 21x − 135 = 0 2
x 2 + 12 x + 32 = 2 x 2 + 8 x
x = 225 x = ± 225 x2 = − 15
10. x − 7 → N º menor x → N º mayor
7. x + 4 → L arg o x → Ancho
(x + 8)(x + 4) = 2 x
2
(x + 50)(x − 40) = 0
x1 = − 50
x2 = − 225
4 ( 225) = 900 900 sucres → Costo caballo
5x 2 + 50 x − 104 = 0
x1 = 15
x → Costo arreos
( 4 x ) 2 + x 2 = 860 . 625
x2 − 8x + 7 = 0
8 x 2 = 1.800 2
9. 4 x → Costo caballo
x 2 − 9 = 8 x − 16
x2 = 40
40 → N º sa cos comp. 1. 000 bs. = 25 bs. → cos to cada saco 40
9 2 15 → N º mayor 15 − 7 = 8 → N º menor x1 = 15
11.
x2 = −
x → Edad de A 23 − x → Edad de B x (23 − x) = 102
23x − x 2 = 102 x 2 − 23x + 102 = 0
(x − 17)(x − 6) = 0 x1 = 17 x2 = 6 17 años → Edad de A 6 años → Edad de B
12. x → N º de libros 180 → Costo c / u x 180 180 = +1 x− 6 x
180 x = 180 ( x − 6) + x ( x − 6) 180 x = 180x − 1. 080 + x 2 − 6x 0 = x 2 − 6 x − 1. 080
16. x → Re lojes comp. 192 → Costo cada reloj x 192 3x = x 4 768 = 3x 2
20. x → Tiempo de recorrido 240 240 + 20 = x x−2
240 (x − 2) + 20 x ( x − 2) = 240x
240x − 480 + 20 x 2 − 40 x = 240 x
256 = x 2
20 x 2 − 40 x − 480 = 0
± 256 = x x1 = 16 x 2 = − 16
x 2 − 2 x − 24 = 0
(x − 6)(x + 4) = 0 16 → Re lojes comp. = 6 x x x1 = 36 x2 = − 30 1 2 =−4 192 = → Costo cada reloj $12 → 6 horas Tiempo de recorrido 36 → Libros 16 180 17. x → Libros comp. = $ 5 → Costo c / u x → Caballos comp. 21. 36 150 2 000 . → Costo cada lib. → Pr ecio cada caballo x x 13. x → N º de filas 150 150 2 . 000 2 . 000 + 80 180 + 1= + 60 = → N º soldados cada fila x x−5 x x−2 x 0 = ( x − 36)( x + 30)
2 . 000 x − 4 . 000 + 60 x 2 − 120 x = 2 . 080 x
150 x − 750 + x − 5x = 150 x 2
0 = x + 8 x − 180 2
0 = ( x + 18)( x − 10) x1 = − 18 x2 = 10 10 → N º de filas 180 = 18 → N º soldados 10 cada fila 14. x → Costo del reloj x2 x % de x = 100 x2 + x = 75 100 x 2 + 100 x = 7 .500
x 2 + 100 x − 7 .500 = 0
(x + 150)(x − 50) = 0
x1 = − 150 x2 = 50 50 soles → Costo del reloj 15. x → Pers. comp. 1. 200 − 194 = x x 1. 200 − 194 x = x 2
x 2 + 194 x − 1. 200 = 0
(x + 200)(x − 6) = 0
x1 = − 200
2 . 000 ( x − 2) + 60 x ( x − 2) = 2 . 080 x
150 (x − 5) + x ( x − 5) = 150 x
180 − 8= x x 180 − 8 x = x 2
x2 = 6
6 → Pers. comp. el auto
60 x 2 − 200 x − 4 . 000 = 0
x 2 − 5x − 750 = 0
3x 2 − 10 x − 200 = 0
(x − 30)(x + 25) = 0
x1 = 30 x2 = − 25 30 → Libros comp. 150 = $ 5 → Costo cada lib. 30 18. x → Libros comp. 200 − 10 = x x 200 − 10x = x 2 x 2 + 10 x − 200 = 0
(x + 20)(x − 10) = 0 x1 = − 20 x2 = 10 10 → Libros comp. 19. x → Plumas comp. 24 → Pr ecio c / u x 24 24 − 1= x x+4
( 3x ) − 10 ( 3x ) − 600 = 0 2
22.
(3x − 30)(3x + 20) = 0 (x − 10)(3x + 20) = 0
20 3 10 → Caballos comp. 2 . 000 = $ 200 → Pr ecio c / caballo 10 x1 = 10
x → N º menor x + 1 → N º int ermedio x + 2 → N º mayor x + 2 3x = x + 1 10
10 ( x + 2) = 3x ( x + 1) 10 x + 20 = 3x 2 + 3x
0 = 3x 2 − 7 x − 20 0 = (3x ) − 7 (3x) − 60 2
24 ( x + 4) − x ( x + 4) = 24 x
0 = (3x − 12)(3x + 5)
24 x + 96 − x 2 − 4 x = 24 x x 2 + 4 x − 96 = 0
(x + 12)(x − 8) = 0 x1 = − 12 x2 = 8 8 → Plumas comp.
24 = $ 3 → Pr ecio c / u 8
x2 = −
0 = ( x − 4)(3x + 5)
−5 3 4 → N º menor 4 + 1 = 5 → N º int ermedio 4 + 2 = 6 → N º mayor x1 = 4
x2 =
23.
x → Un Nº. 180 → El otro Nº. x 180 x =1 1 4 x 180 5 = x2 4 720 = 5x 2 144 = x 2
26. Continuación x 2 − 10 x − 704 = 0
x1 = 32 x2 = − 22 32 → N º mayor
(150 + x)(x − 5) = 150x
150 x − 750 + x − 5x = 150 x 2
x 2 − 5x − 750 = 0
(x − 30)( x + 25) = 0
x ⋅ x = 9 (20 − x)(20 − x ) x = 9 (400 − 40 x + x
(x + 190)(x − 90) = 0
x1 = − 190
x2 = 90 90 Q. → Costo del caballo 26. x → Nº mayor 352 → Nº menor x x 10 =2+ 352 352 x x x2 10x =2+ 352 352 x 2 = 704 + 10x Continùa
)
x = 3. 600 − 360x + 9 x 2 0 = 8 x 2 − 360 x + 3. 600 0 = x 2 − 45x + 450
0 = (x − 30)(x − 15)
90 x − x 2 + 3x = 90 x − 270 x 2 − 3x − 270 = 0
(x − 18)(x + 15) = 0
x1 = 18 x2 = − 15 18 → Personas que van 90 = $ 5 → Valor c / u 18 31. x → N º buscado 84 − 5= x x 84 − 5x = x 2
x1 = 30 x2 = 15 15m → Long. pieza mayor 20 − 15 = 5m → Long. pieza menor x → Tiempo en horas 28. 200 → Veloc. del tren x 32. 200 200 = + 10 x x−1 200 (x − 1) = 200 x + 10 x ( x − 1)
200 x − 200 = 200 x + 10 x 2 − 10 x
150 = 5 ctvs. → Costo c / naranja 30 25. x → Costo del caballo x2 + x = 171 100 2 x + 100x = 17 .100
x + 100 x − 17 .100 = 0
2
2
x1 = 30 x2 = − 25 30 → N º naranjas comp.
2
90 x − x ( x − 3) = 90 ( x − 3)
352 = 11 → N º menor 32 x → Long. pieza mayor 27. 20 − x → Long. pieza menor 2
0 = 10 x 2 − 10 x + 200 0 = x − x + 20 2
0 = (x − 5)( x + 4) x1 = 5
x → Personas que van 90 → Valor c / u x 90 90 − 1= x−3 x
(x − 32)(x + 22) = 0
± 144 = x x1 = 12 x 2 = − 12 12 → Un Nº. 180 = 15 → El otro Nº. 12 x → N º naranjas comp. 24. 150 → Costo c / naranja x 150 + 1 ( x − 5) = 150 x
30.
x2 = − 4
x 2 + 5x − 84 = 0
(x + 12)(x − 7) = 0 x1 = − 12 x2 = 7 7 → N º buscado
x → Edad actual A x − 6= x + 6
(x − 6) = ( 2
x+6
)
2
x 2 − 12 x + 36 = x + 6 x 2 − 13x + 30 = 0
(x − 10)(x − 3) = 0
x1 = 10 x2 = 3 10 años → Edad actual A
200 x → Libros comp. = 40 Km h → Veloc. del tren 33. 5 40 29. x → Dias trabj. → Pr ecio de c / libro x 84 x − 2 → N º de plumas → Valor del jornal x 40 40 84 84 = −1 − 1= x x−2 x x+2 40 ( x − 2) = 40 x − x ( x − 2) 84 ( x + 2) − x ( x + 2) = 84 x 40 x − 80 = 40 x − x 2 + 2 x 2 84 x + 168 − x − 2 x = 84 x x 2 − 2 x − 80 = 0 x 2 + 2 x − 168 = 0 (x − 10)(x + 8) = 0 (x + 14)(x − 12) = 0 x1 = 10 x2 = − 8 x1 = − 14 x2 = 12 → 10 Libros comp. 12 → Dias trabj. 84 = 7 col → Valor del jornal 12
40 = $ 4 → Pr ecio c / libro 10
EJERCICIO 276 2 1. 3x + 5x − 2 = 0
b − 4ac = 5 − 4 ( 3) (− 2) = 25 + 24 = 49 2
2 7. 2 x − 9 x + 7 = 0
b 2 − 4ac = (− 9) − 4 (2)( 7) = 81 − 56 = 25 2
2
Re ales y desiguales , racionales
Re ales y desiguales , racionales
2 2. 2 x − 4 x + 1 = 0
b 2 − 4ac = (− 4) − 4 (2)(1) = 16 − 8 = 8
8. 36 x 2 + 12 x + 1 = 0
b 2 − 4ac = (12) − 4 ( 36)(1) = 144 − 144 = 0
2
2
Re ales y desiguales , irracionales 2 3. 4 x − 4 x + 1 = 0
b 2 − 4ac = (− 4) − 4 ( 4)(1) = 16 − 16 = 0
Re ales e iguales 9. 4 x 2 − 5x + 3 = 0
b 2 − 4ac = (− 5) − 4 ( 4)( 3) = 25 − 48 = − 23
2
2
Re ales e iguales
Im aginarias
2 4. 3x − 2 x + 5 = 0
b 2 − 4ac = (− 2) − 4 ( 3)(5) = 4 − 60 = − 56
2 10. x + x − 1 = 0
b 2 − 4ac = (1) − 4 (1) (− 1) = 1 + 4 = 5
2
2
Im aginarias
Re ales y desiguales , irracionales
2 5. x − 10 x + 25 = 0
b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1)( 25) = 100 − 100 = 0
2 11. 5x − 7 x + 8 = 0
b 2 − 4ac = (− 7) − 4 (5)(8) = 49 − 160 = − 111
2
2
Re ales e iguales
Im aginarias
2 6. x − 5x − 5 = 0
b 2 − 4ac = (− 5) − 4 (1) (− 5) = 25 + 20 = 45
2 12. x − 10 x − 11 = 0
2
Re ales y desiguales , irracionales
b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1) (− 11) = 100 + 44 = 144 2
Re ales y desiguales , racionales
EJERCICIO 277 2 1. x + x − 6 = 0
4. Continuación
Suma 2 + (− 3) = − 1
1 Pr oducto − 3 = − 1 3
Si son raices
5. 5x 2 − 11x + 2 = 0 11x 2 x2 − + =0 5 5 1 9 Suma 2 − = 5 5 No son raices
Pr oducto 2 (− 3) = − 6
2. x 2 − 4x − 5 = 0
Suma 1+ 5 = 6 No son raices 2 3. 2 x − x − 1 = 0 x 1 x2 − − = 0 2 2 1 1 Suma 1 − = 2 2 1 1 Pr oducto 1 − = − 2 2 Si son raices
4. 3x 2 + 8x − 3 = 0 8x x2 + − 1= 0 3 1 8 Suma − 3 + = − 3 3 Continúa
Si son raices
6. 4 x 2 + 17 x + 4 = 0
17 x + 1= 0 4 1 17 Suma − 4 − = − 4 4 1 Pr oducto − 4 − = 1 4 Si son raices x2 +
7. 5x 2 + 24x − 5 = 0 24 x2 + x − 1= 0 5 Continúa
7. Continuación 1 26 Suma − 5 − = − 5 5 No son raices 8. x 2 + 3x − 28 = 0
Suma 4 − 7 = − 3
Pr oducto 4 (− 7) = − 28
Si
son raices
2 9. 6 x + x − 2 = 0 x 1 x2 + − = 0 6 3 1 2 1 − =− Suma 2 3 6 1 1 2 Pr oducto − = − 2 3 3 Si son raices
2 10. 8x − 2x − 3 = 0 1 3 x2 − x − = 0 4 8 1 3 1 Suma − =− 2 4 4 No son raices
EJERCICIO 278 1. Suma 3 + 4 = 7
Pr oducto 3(4) = 12 Luego x 2 − 7 x + 12 = 0
2. Suma − 1 + 3 = 2 Pr oducto − 1( 3) = − 3
Luego x 2 − 2 x − 3 = 0 3. Suma − 5 − 7 = − 12
Pr oducto − 5(− 7) = 35 Luego x 2 + 12 x + 35 = 0
4. Suma − 10 + 11 = 1
Pr oducto − 10 (11) = − 110 Luego x 2 − x − 110 = 0
1 3 = 2 2 1 1 Pr oducto 1 = 2 2 3x 1 + =0 Luego x 2 − 2 2 2 ⇒ 2 x − 3x + 1 = 0
5. Suma 1 +
1 11 6. Suma − 2 − = − 5 5 1 2 Pr oducto − 2 − = 5 5 x 2 11 + =0 Luego x 2 + 5 5 2 ⇒ 5x + 11x + 2 = 0 2 7 = 3 3 2 Pr oducto 3 − = − 2 3 7x −2=0 Luego x 2 − 3 2 ⇒ 3x − 7 x − 6 = 0
7. Suma 3 −
3 7 =− 2 2 3 Pr oducto − 2 − = 3 2
8. Suma
−2−
7x + 3= 0 Luego x + 2 2 ⇒ 2x + 7x + 6 = 0 2
1 1 0− = − 3 3 1 Pr oducto 0 − = 0 3
16. Suma
1 3 1 + = 2 4 4 3 1 3 Pr oducto − = − 2 4 8
9. Suma −
x 3 − =0 4 8 3 ⇒ 4x2 − x − = 0 2 ⇒ 8x 2 − 2 x − 3 = 0
Luego x 2 −
10. Suma − 5 +
Pr oducto
2 33 =− 7 7 10 2 − 5 = − 7 7
33x 10 − =0 Luego x + 7 7 2 ⇒ 7 x + 33x − 10 = 0 2
5 13 = 3 3 5 Pr oducto 6 − = − 10 3
11. Suma 6 −
13 x − 10 = 0 3 ⇒ 3x 2 − 13x − 30 = 0 Luego x 2 −
1 17 =− 8 8 1 1 Pr oducto − 2 − = 8 4 17 1 Luego x 2 + x+ =0 8 4 ⇒ 8 x 2 + 17 x + 2 = 0
12. Suma − 2 −
13. Suma 18 − 52 = − 34
Pr oducto 18 (− 52) = − 936 Luego x 2 + 34 x − 936 = 0
14. Suma − 15 − 11 = − 26
Pr oducto − 15 (− 11) = 165 Luego x 2 + 26 x + 165 = 0
15. Suma 0 + 2 = 2
Pr oducto 0 ( 2) = 0 Luego x 2 − 2 x = 0
x =0 3 2 ⇒ 3x + x = 0 Luego x 2 +
17. Suma 5 − 5 = 0
Pr oducto 5 (− 5) = − 25 Luego x 2 − 25 = 0
1 1 − =0 2 2 1 1 1 Pr oducto − = − 2 2 4
18. Suma
1 =0 4 2 ⇒ 4 x − 1= 0 Luego x 2 −
19. Suma 7 + 7 = 14
Pr oducto 7 ( 7) = 49 Luego x 2 − 14 x + 49 = 0
11 13 = 3 3 88 11 Pr oducto 8 − = − 3 3 13 88 2 =0 Luego x − x− 3 3 ⇒ 3x 2 − 13x − 88 = 0
20. Suma 8 −
5 9 16 − =− 6 2 3 5 9 15 Pr oducto − − = 6 2 4
21. Suma −
16 15 x+ =0 3 4 ⇒ 12 x 2 + 64 x + 45 = 0 Luego x 2 +
11 2 73 + =− 2 7 14 11 11 2 Pr oducto − = − 2 7 7
22. Suma −
73 11 x− =0 14 7 ⇒ 14 x 2 + 73x − 22 = 0 Luego x 2 +
23. Suma 2a − a = a
Pr oducto 2a (− a) = − 2a 2 Luego x 2 − ax − 2a 2 = 0
2b b 5b 28. Suma 1 + 2 + 1 − 2 = 2 + =− 26. Suma b + a − b = a 3 4 12 2 Pr oducto 1 + 2 1 − 2 = − 1 2b b − b Pr oducto b (a − b) = ab − b2 Pr oducto − = 3 4 6 Luego x 2 − 2 x − 1 = 0 Luego x 2 − ax + ab − b2 = 0 2 b 5b Luego x 2 + x− = 0 29. Suma 2 + 5 + 2 − 5 = 4 12 6 a b 3a − 2b ⇒ 12 x 2 + 5bx − 2b2 = 0 27. Suma − = Pr oducto 2 + 5 2 − 5 = − 1 2 3 6 m m a b − ab Luego x 2 − 4 x − 1 = 0 25. Suma m − = Pr oducto − = 2 2 2 3 6 m2 m − a b ab 3 2 30. Suma 3 + − 1 + 3 − − 1 = 6 2 Pr oducto m − = − =0 Luego x − x− 2 2 6 6 Pr oducto 3 + − 1 3 − − 1 = 10 m m2 ⇒ 6 x 2 − (3a − 2b) x − ab = 0 Luego x 2 − x − =0 2 2 Luego x 2 − 6 x + 10 = 0 ⇒ 2 x 2 − mx − m2 = 0 24. Suma −
(
)(
(
)(
(
)(
)
)
)
EJERCICIO 279 2 1. x − 11x + 30 = 0
3 x − 1= 0 2 2 2 x − 3x − 2 = 0 x2 −
6.
(x − 6)(x − 5) = 0 x1 = 6
x2 = 5
(2 x ) 2 − 3 (2 x ) − 4 = 0
(2 x − 4)(2 x + 1) = 0 (x − 2)(2 x + 1) = 0
2. x 2 + 33x + 260 = 0
(33) 33 ± − 260 2 4 2
x= −
x1 = 2
− 33 1. 089 − 1. 040 ± x= 2 4 − 33 49 ± x= 2 4 − 33 7 ± x= 2 2 33 7 − 26 + = = − 13 x1 = − 2 2 2 − 33 7 − 40 − = = − 20 x2 = 2 2 2
( 3x ) + 22 (3x ) + 72 = 0
(3x + 18)(3x + 4) = 0 (x + 6)(3x + 4) = 0
x1 = − 6
x1 = − 42
x2 = − 7
2 5. x − 6 x − 247 = 0
(x − 19)(x + 13) = 0 x1 = 19
x2 = − 13
4 3
x 3 − =0 4 8 8x 2 − 2 x − 3 = 0 x2 −
8.
2 4. x + 49 x + 294 = 0
(x + 42)(x + 7) = 0
x2 = −
(8 x )2 − 2 (8 x) − 24 = 0
(8x − 6)(8x + 4) = 0 (4 x − 3)(2 x + 1) = 0
x1 =
3 4
x2 = −
( 7 x ) 2 + 95 (7 x) − 294 = 0
(7 x + 98)(7 x − 3) = 0 (x + 14)(7 x − 3) = 0
x1 = − 14
2
(x + 18)(x − 17) = 0 x2 = 17
1 2
22 x2 + x + 8= 0 3 2 3x + 22 x + 24 = 0
7.
2 3. x + x − 306 = 0
x1 = − 18
x2 = −
95 x − 6= 0 7 2 7 x + 95x − 42 = 0 x2 +
9.
1 2
10.
x2 =
3 7
10 x + 1= 0 3 2 3x + 10 x + 3 = 0 x2 +
x=
2 − 10 ± (10) − 4 ( 3)( 3)
2 ( 3)
− 10 ± 64 − 10 ± 8 = 6 6 − 10 + 8 − 2 1 = =− x1 = 6 6 3 − 10 − 8 − 18 = =−3 x2 = 6 6 31 3 =0 x2 − x+ 11. 40 20 40x 2 − 31x + 6 = 0 x=
(40 x )2 − 31( 40 x) + 240 = 0
(40x − 16)(40x − 15) = 0 (5x − 2)(8x − 3) = 0
x1 =
2 5
x2 =
3 8
x 5 − =0 6 9 2 18 x + 3x − 10 = 0 x2 +
12.
11 =0 4 4 x 2 − 4 x − 11 = 0
17. x 2 − x −
(18 x) 2 + 3 (18x ) − 180 = 0
(18x + 15)(18x − 12) = 0 (6x + 5)(3x − 2) = 0 −5 6
x1 =
x2 =
x= x=
2 3
7 3 x− =0 20 10 20 x 2 − 7 x − 6 = 0
x2 −
13.
(20 x ) − 7 (20 x ) − 120 = 0 2
(20x − 15)(20x + 8) = 0 (4 x − 3)(5x + 2) = 0 3 4
x1 =
x2 =
−2 5
4 x2 = − 5 59 1 x − x+ = 0 72 6 72 x 2 − 59 x + 12 = 0 2
(72 x )2 − 59 (72 x ) + 864 = 0
(72 x − 32)(72 x − 27) = 0 (9 x − 4)(8x − 3) = 0 4 9
x2 =
x=
− (− 2 ) ±
3 8
)
(
)
x2 =
4 − 8 3 4 1 − 2 3 1− 2 3 1 = = = − 3 8 8 2 2
2 − 12 ± (12) − 4 ( 9) (− 59)
2 ( 9)
x=
− 12 ± 2 . 268 − 12 ± 22 ⋅ 34 ⋅ 7 − 12 ± 18 7 = = 18 18 18
x1 =
− 12 + 18 7 6 − 2 + 3 7 − 2 + 3 7 2 = = =− + 7 18 18 3 3
x2 =
− 12 − 18 7 − 6 2 + 3 7 − 2 − 3 7 2 = = =− − 7 18 18 3 3
(
)
(
)
(x − 2a)(x + a) = 0 x1 = 2a
x2 = − a
2 2 20. x + 7bx + 10b = 0
(x + 5b)(x + 2b) = 0
(− 2)
2
2 (1)
x1 = − 5b
− 4 (1) (− 4)
2 ± 20 2 ± 2 5 = 2 2
(
)
(
)
2 − 2 5 2 1− 5 = = 1− 5 2 2
x2 = − 2b
mx m2 − =0 2 9 18x 2 − 9mx − 2m2 = 0 x2 −
21.
2 + 2 5 2 1+ 5 = = 1+ 5 x1 = 2 2 x2 =
(
2 2 19. x − ax − 2a = 0
2 16. x − 2 x − 4 = 0
x=
4 ± 64 ⋅ 3 4 ± 8 3 = 8 8
4 + 8 3 4 1+ 2 3 1+ 2 3 1 = = = + 3 8 8 2 2
x=
(5x − 25)(5x + 4) = 0 (x − 5)(5x + 4) = 0
x1 =
− 4 (4) (− 11)
2 ( 4)
x1 =
(5x )2 − 21(5x ) − 100 = 0
15.
2
4 59 x− =0 3 9 9 x 2 + 12 x − 59 = 0
21x − 4= 0 5 2 5x − 21x − 20 = 0
x1 = 5
(− 4)
18. x 2 +
x2 −
14.
− (− 4) ±
(18x )2 − 9m (18x) − 36m2 = 0
(18x − 12m)(18x + 3m) = 0 (6x − 4m)(6x + m) = 0
x1 =
4m 2m = 6 3
x2 = −
m 6
EJERCICIO 280
x=
− (− 16) ±
(− 16)
2
− 4 ( 63)
2 16 ± 4 16 ± 2 = x= 2 2 16 + 2 18 = =9 x1 = 2 2 16 − 2 14 = =7 x2 = 2 2 x 2 − 16 x + 63 = (x − 9)(x − 7) 2 2. x + 24 x + 143 = 0
x=
− 24 ±
x=
2 − 5 ± (5) − 4 (12) (− 2)
[
2 (12)
=
4
][
]
x=
− 4 (12)(12)
2 (12)
25 ± 49 25 ± 7 = 24 24 25 + 7 32 4 = = x1 = 24 24 3 25 − 7 18 3 = = x2 = 24 24 4 4 3 12 x 2 − 25x + 12 = 12 x − x − 3 4 =
12 (3x − 4)(4 x − 3) 12
= (3x − 4)(4 x − 3)
12 (4 x − 1)(3x + 2) 12
2 9. 8 x + 50 x + 63
− (− 155)
x 2 − 26 x − 155 = (x − 31)(x + 5)
2 (5)
2 ( 2)
− 1 ± 49 − 1 ± 7 = x= 4 4 − 1+ 7 6 3 = = x1 = 4 4 2 − 1− 7 8 =− =−2 x2 = 4 4 3 2 x 2 + x − 6 = 2 x − ( x + 2) 2 2 x − 3 = 2 ( x + 2) 2 = (2 x − 3)( x + 2)
2 50 ± (50) − 4 (8)(63) 2 (8)
− 50 ± 484 − 50 ± 22 = 16 16 7 − 50 + 22 − 28 = =− x1 = 16 16 4 − 50 − 22 72 9 =− =− x2 = 16 16 2 7 9 8 x 2 + 50 x + 63 = 8 x + x + 4 2 x=
= (4 x + 7)(2 x + 9)
= (5x + 1)(x + 8)
2 4. 2 x + x − 6 = 0 2 − 1 ± (1) − 4 (2) (− 6)
x=
2 − 41 ± (41) − 4 (5)(8)
− 41 ± 1.521 − 41 ± 39 = x= 10 10 − 41 + 39 2 1 =− =− x1 = 10 10 5 − 41 − 39 − 80 = = −8 x2 = 10 10 1 5x 2 + 41x + 8 = 5 x + (x + 8) 5
x = 13 ± 324 = 13 ± 18 x1 = 13 + 18 = 31 x2 = 13 − 18 = − 5
x=
2
x=
6. 5x 2 + 41x + 8
2 3. x − 26 x − 155 = 0
2
(− 25)
= (4 x − 1)(3x + 2)
= (x + 11)(x + 13)
( 26) 2
− (− 25) ±
4 x − 1 3x + 2 = 12 4 3
x 2 + 24 x + 143 = x − (− 11) x − (− 13)
(− 26) ±
x=
− 5 ± 121 − 5 ± 11 = x= 24 24 − 5 + 11 6 1 = = x1 = 24 24 4 − 5 − 11 − 16 2 = =− x2 = 24 24 3 1 2 12 x 2 + 5x − 2 = 12 x − x + 4 3
(24) 2 − 4 (143)
2 − 24 ± 4 − 24 ± 2 = x= 2 2 − 24 + 2 − 22 = = − 11 x1 = 2 2 − 24 − 2 − 26 = = − 13 x2 = 2 2
x= −
2 8. 12 x − 25x + 12
5. 12 x 2 + 5x − 2 = 0
2 1. x − 16 x + 63 = 0
7. 6 x 2 + 7 x − 10
x=
2 − 7 ± (7) − 4 (6) (− 10)
2 10. 27 x + 30 x + 7
2 (6)
− 7 ± 289 − 7 ± 17 = 12 12 − 7 + 17 10 5 = = x1 = 12 12 6 − 7 − 17 − 24 = =−2 x2 = 12 12 5 6x 2 + 7 x − 10 = 6 x − ( x + 2) 6 x=
= (6 x − 5)(x + 2)
x=
2 − 30 ± ( 30) − 4 (27)(7) 2 (27)
− 30 ± 144 − 30 ± 12 = 54 54 18 1 − 30 + 12 =− =− x1 = 54 54 3 − 30 − 12 42 7 =− =− x2 = 54 54 9 1 7 27 x 2 + 30 x + 7 = 27 x + x + 3 9 x=
= (3x + 1)(9 x + 7)
14. Continuación
2 11. 30 x − 61x + 30
− (− 61) ±
x=
(− 61)
2
− 4 (30)(30)
2 (30)
61 ± 121 61 ± 11 = x= 60 60 61 + 11 72 6 = = x1 = 60 60 5 61 − 11 50 5 = = x2 = 60 60 6 5 6 30x 2 − 61x + 30 = 30 x − x − 5 6 = (5x − 6)(6 x − 5)
2 12. 11x − 153x − 180
− (− 153) ±
x=
(− 153)
2
2 (11)
− 4 (11) (− 180)
= ( x − 15)(11x + 12)
1 1 1 25 ± − (− 6) = − ± 2 4 2 4 1 5 4 x1 = − + = = 2 2 2 2 1 5 6 x2 = − − = − = − 3 2 2 2 x= −
x 2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3)
6 − x − x 2 = (2 − x )(3 + x )
15. 15 + 4 x − 4 x 2
x=
2 − 4 ± ( 4) − 4 (15) (− 4)
2 (− 4)
(− 9) − 4 (− 2)(5) 2 (− 2) 2
9 ± 121 9 ± 11 = −4 −4
9 + 11 20 = =−5 −4 −4 9 − 11 − 2 1 = = x2 = −4 −4 2 Continúa x1 =
− 4 ± 256 −8
x=
− 4 + 16 12 3 = =− −8 −8 2 − 4 − 16 − 20 5 = = x2 = −8 −8 2 x1 =
15 + 4 x − 4 x 2 = − 4 x +
3 x− 2
5 2
= − (2 x + 3)(2 x − 5) = (3 + 2 x)(5 − 2 x )
2 16. 4 + 13x − 12 x
12 x 2 − 13x − 4 x=
− (− 13) ±
(− 13)
2
2 (12)
− 4 (12) (− 4)
x=
13 ± 361 24
x=
55 ± 5. 041 144
13 + 19 32 4 = = 24 24 3 13 − 19 − 6 1 = =− x2 = 24 24 4 4 1 12 x 2 − 13x − 4 = 12 x − x + 3 4 = (3x − 4)(1 + 4 x )
4 + 13x − 12 x = (4 − 3x )(1 + 4 x ) 2
2 17. 72 x − 55x − 7
2
− (− 9) ±
x= x=
= ( x + 5)(1 − 2 x )
x1 =
2 13. 6 − x − x x2 + x − 6
14. 5 − 9 x − 2 x
1 2
= − ( x + 5)(2 x − 1)
153 ±
31. 329 153 ± 177 = 22 22 153 + 177 330 = = 15 x1 = 22 22 153 − 177 24 12 =− =− x2 = 22 22 11 12 2 11x − 153x − 180 = 11( x − 15) x + 11 x=
5 − 9 x − 2 x 2 = − 2 ( x + 5) x −
x=
− (− 55) ±
(− 55)
2
− 4 (72) (− 7)
2 ( 72) 55 + 71 126 7 = = x1 = 144 144 8 55 − 71 − 16 1 = =− x2 = 144 144 9 7 1 72 x 2 − 55x − 7 = 72 x − x + 8 9 = (8 x − 7)(9 x + 1)
21. 18 x 2 + 31x − 49 18. 6 + 31x − 30 x
x=
2
2 − 31 ± ( 31) − 4 (− 30) (6)
2 (− 30)
− 31 ± 1. 681 − 60 − 31 + 41 10 1 = =− x1 = − 60 − 60 6 − 31 − 41 − 72 6 = = x2 = − 60 − 60 5 x=
6 1 6 + 31x − 30 x 2 = − 30 x + x − 6 5 = − (6 x + 1)(5x − 6) = (1 + 6 x)(6 − 5x )
x=
2 − 31 ± (31) − 4 (18) (− 49)
2 (18)
− 31 ± 4 . 489 x= 36 − 31 + 67 36 = =1 x1 = 36 36 − 31 − 67 − 98 49 = =− x2 = 36 36 18 49 18 x 2 + 31x − 49 = 18 ( x − 1) x + 18 = ( x − 1)(18x + 49)
22. 6 x − ax − 2a 2
x=
− (− a ) ±
2
(− a )
− 4 ( 6) (− 2a 2 )
2
2 ( 6)
=
a ± 49a 2 12
a + 7a 8a 2a = = 12 12 3 a − 7a − 6a 1 = =− a x2 = 12 12 2 2 a 6 x 2 − ax − 2a 2 = 6 x − a x + 3 2 x1 =
19. 10 x 2 + 207 x − 63
x=
2 − 207 ± ( 207) − 4 (10) (− 63)
2 (10)
− 207 ± 45. 369 20 − 207 + 213 6 3 = = x1 = 20 20 10 − 207 − 213 − 420 = = − 21 x2 = 20 20
= (3x − 2a )(2 x + a )
x=
3 10 x 2 + 207 x − 63 = 10 x − ( x + 21) 10 = (10 x − 3)( x + 21)
2 20. 100 − 15x − x
2 2 23. 5x + 22 xy − 15 y
x=
− 22 y ±
(22 y)
2
2 (5)
− 22 y ± 784 y 2 − 22 ± 28 y = 10 10 − 22 y + 28 y 6 y 3 = = y x1 = 10 10 5 − 22 y − 28 y 50 y x2 = =− = − 5y 10 10 3y 5x 2 + 22 xy − 15 y 2 = 5 x − ( x + 5 y ) 5 x=
= (5x − 3 y )( x + 5 y )
x 2 + 15x − 100
(15) 15 ± − (− 100) 2 4 2
x= −
− 4 (5) (− 15 y 2 )
− 15 625 ± 2 4 − 15 25 10 + = =5 x1 = 2 2 2 − 15 25 − 40 − = = − 20 x2 = 2 2 2 x=
x 2 + 15x − 100 = ( x − 5)( x + 20)
− x 2 − 15x + 100 = − ( x − 5)( x + 20) = (5 − x)(20 + x)
24. 15x − 32mx − 7m 2
x=
− (− 32m) ±
2
(− 32m)
2
2 (15)
− 4 (15) (− 7m2 )
32m ± 1. 444m2 32m ± 38m = x= 30 30 32m + 38m 70m 7m = = x1 = 30 30 3 m 32m − 38m − 6m = =− x2 = 30 30 5 m 7m 2 2 15x − 32mx − 7m = 15 x + x − 5 3 = (5x + m)(3x − 7m)
EJERCICIO 282
(x
2
+ 1)( x 2 − 1) = 0
x 2 + 1= 0
x 2 − 1= 0
x2 = − 1
x2 = 1
x= ± −1
x= ± 1
x= ±i
x= ±1
2. x 3 + 1 = 0
(x + 1)(x
− x + 1) = 0
2
x + 1= 0 x1 = − 1 x2 − x + 1= 0
(− 1) ± (− 1)
2
x= −
2
4
−1
3 −1 1 3 1 ± − = ± 2 4 2 2
x=
1 i 3 1+ i 3 + = 2 2 2 1 i 3 1− i 3 = x3 = − 2 2 2 x2 =
3. x 4 = 81
8. Continuación
(x − 9)(x + 9) = 0 (x − 3)(x + 3)(x + 9) = 0 2
2
2
x − 3= 0 x1 = 3
x + 3= 0 x2 = − 3
x2 = − 9 x= ± 9 −1 = ± 9i x4 = − 3i
4. x 4 − 256 = 0
(x − 16)(x + 16) = 0 (x + 4)(x − 4)(x + 16) = 0 2
2
2
x+ 4= 0 x1 = − 4
− 2 x + 4) = 0
x+ 2= 0 x1 = − 2 x − 2x + 4 = 0 2
− (− 2) ± x= 2
(− 2)
( 3) 2 −3 ± −9 2 4
x=
27 − 1 − 3 3 3i −3 ± = ± 2 2 2 4
− 3− 3 3 i 2 x 2 − 3x + 9 = 0
2
x3 =
−4
4
x=
x− 4= 0 x2 = 4
2 3 −1 12 2 = 1± = 1+ i 3 − (− 3) − 3) ( 4 2 ± −9 x= 2 4 x2 = 1 + i 3 x3 = 1 − i 3 27 − 1 3 3 3 i 3 6. x 4 − 625 = 0 = ± x= ± 2 2 2 4 2 2 (x − 25)(x + 25) = 0 3+ 3 3 i 3− 3 3i x5 = x6 = (x + 5)(x − 5)(x 2 + 25) = 0 2 2 x + 5= 0 x − 5= 0 x1 = − 5 x2 = 5 3 2 9. x = 8 x + 25 = 0 x3 − 8 = 0
x 2 = − 25
(x − 2)(x
x = ± 25 − 1 = ± 5i x3 = 5 i
(x + 4)(x
2
x+ 4= 0 x1 = − 4
x=
(− 4 )
2
x 2 = − 16 x = ± 16 − 1 = ± 4 i x4 = − 4 i
x = − 1± 3 i
− 4 (1)(16)
x2 = − 1 + 3 i
2 (1)
4 ± 16 − 64 2 4 + − 48 4 + 4 = x2 = 2 4 − − 48 4 − 4 = x3 = 2
x3 = − 1 − 3 i
x=
3 −1 = 2 + 2 3i 2 10. x 4 = 64 3 −1 x 4 − 64 = 0 = 2 − 2 3i 2 x2 − 8 x2 + 8 = 0
(x − 27)(x + 27) = 0 (x − 3)(x + 3x + 9)(x + 3)(x 3
(
x + 3x + 9 = 0 2
Continúa
x + 3= 0 x2 = − 3
)(
x2 = 8
3
x − 3= 0 x1 = 3
( 2) 2 −2 ± −4 2 4
x = − 1± 3 − 1
x 2 − 4 x + 16 = 0
6 8. x − 729 = 0
+ 2 x + 4) = 0
x2 + 2 x + 4 = 0
− 4 x + 16) = 0
− (− 4 ) ±
2
x− 2= 0 x1 = 2
x4 = − 5 i
2
x 2 + 16 = 0
− 3 + 3 3i 2
x4 =
x = 1± −
x=
x + 9= 0 2
x3 = 3i
2
3 7. x + 64 = 0
x 4 − 81 = 0
x3 = 4 i
( ) (x + 2)(x
5. x 3 + 8 = 0
1. x 4 − 1= 0
2
− 3x + 9) = 0
x = 22 ⋅ 2
)
x2 = − 8 x= 8 −1
x= ±2 2 x= ±2 2 i x1 = 2 2
x3 = 2 2 i
x2 = − 2 2 x4 = − 2 2 i
EJERCICIO 283 4 2 6. x + 16 x − 225 = 0
4 2 1. x − 10 x + 9 = 0
(x − 9)( x − 1) = 0 (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) = 0 2
2
x + 3= 0 x1 = − 3 x + 1= 0 x3 = − 1
x − 3= 0 x2 = 3 x − 1= 0 x4 = 1
4 2 2. x − 13x + 36 = 0
(x
− 4)( x − 9) = 0
2
2
x2 − 4 = 0 x2 − 9 = 0 x2 = 4
x2 = 9
x= ± 4 x= ± 9 x1 = 2 x3 = 3 x2 = − 2 x4 = − 3
(x (x
2 2
(x − 25)(x − 4) = 0 (x + 5)(x − 5)( x + 2)(x − 2) = 0 x − 5= 0
x1 = − 5
x2 = 5
x+ 2= 0
x − 2= 0
x3 = − 2
x4 = 2
4. x − 61x + 900 = 0 4
2
2
− 36)(x 2 − 25) = 0
x 2 − 36 = 0
x3 = 5 i
x 2 = 25
x = ± 36 x = ± 25 x1 = 6 x3 = 5 x2 = − 6 x4 = − 5 5. x 4 + 3x 2 − 4 = 0
(x (x
2 2
+ 4)( x 2 − 1) = 0
+ 4)( x + 1)( x − 1) = 0
x + 1= 0 x1 = − 1
x − 1= 0 x2 = 1
x + 4= 0 2
7. x − 45x − 196 = 0 2
(x − 49)(x + 4) = 0 (x + 7)(x − 7)(x + 4) = 0 2
x = 4 − 1 = ± 2i x4 = − 2 i
(9 x )
(9 x − 36)(9 x − 4) = 0 (x − 4)(9 x − 4) = 0 (x + 2)(x − 2)(9 x − 4) = 0 2
x+ 7= 0 x1 = − 7
x − 7= 0 x2 = 7
x2 + 4 = 0
x+ 2= 0 x1 = − 2
x4 = − 2 i
8. x 4 − 6 x 2 + 5 = 0
2
− 5)( x 2 − 1) = 0
− 5)( x + 1)( x − 1) = 0
x + 1= 0 x1 = − 1
x − 1= 0 x2 = 1
x2 − 5= 0 x2 = 5 x= ± 5 x3 = 5
x4 = − 5
9. 4 x 4 − 37 x 2 + 9 = 0
(4 x )
2 2
− 37 (4 x 2 ) + 36 = 0
(4 x − 36)(4 x − 1) = 0 (x − 9)(4 x − 1) = 0 2
2
2
2
x − 9 = 0 4 x − 1= 0 2
2
1 x= ± 4
x =9 2
x1 = 3 x2 = − 3
x− 2= 0 x2 = 2
9x2 − 4 = 0 x= ± x3 =
2 3
4 9 x4 = −
2 3
11. 25x 4 + 9 x 2 − 16 = 0 2
x = 4 − 1 = ± 2i
2
2
25(x 2 ) + 9 x 2 − 16 = 0
x2 = − 4
(x (x
2
2
2
x3 = 2 i
− 40 (9 x 2 ) + 144 = 0
2 2
2
x= ± 9
x2 = − 4 x3 = 2 i
x4 = − 5 i
4
10. 9 x 4 − 40 x 2 + 16 = 0
2
x = ± 25 − 1
x 2 − 25 = 0
x 2 = 36
x − 3= 0 x2 = 3
x 2 + 25 = 0
2
x + 5= 0
(x
+ 25)( x + 3)(x − 3) = 0
x + 3= 0 x1 = − 3
4 2 3. x − 29 x + 100 = 0 2
+ 25)( x − 9) = 0 2
1 2 1 x4 = − 2 x3 =
x2 =
2 − 9 ± ( 9) − 4 ( 25) (− 16)
2 (25)
− 9 ± 1. 681 − 9 ± 41 = 50 50 − + 9 41 32 16 = = x2 = 50 50 25 16 4 4 x= ± x = x2 = − 25 1 5 5 − − − 9 41 50 = = −1 x2 = 50 50 x = ± − 1 x3 = i x4 = − i x2 =
4 2 12. 4 x + 11x − 3 = 0
(4 x 2 )2 + 11(4 x 2 ) − 12 = 0
(4 x + 12)(4 x − 1) = 0 (x + 3)(4 x − 1) = 0 2
2
2
2
x2 + 3 = 0 x2 = − 3 x = ± − 3 = ± 3 −1= ± 3i x1 = 3i
x2 = − 3i
4x2 − 1= 0
(2 x + 1)(2 x − 1) = 0 2 x + 1= 0 x3 = −
1 2
2 x − 1= 0 x4 =
1 2
(
2 2 13. (2 x + 1) − ( x − 3) = 80 4 2 4 x + 4 x + 1 − x 4 + 6 x 2 − 9 = 80 2
(3x )
(3x (3x (3x
+ 10 (3x ) − 264 = 0
(3x − 3)(3x + 1) = 0 (x − 1)(3x + 1) = 0 (x + 1)(x − 1)(3x + 1) = 0 2
+ 22)( x − 4) = 0 2
x+ 2= 0
x + 1= 0 x1 = − 1
x2 = 2
3x + 22 = 0 2
x2 = x= ±
x=
3
x3 =
22 3 i 66 ⋅ = 3 3 3 22 3 − i 66 ⋅ = 3 3 3
x4 = − i
(x
3
x3 − 8 = 0
x 3 + 1= 0
x3 = 8
x3 = − 1
x= 3 8
x= 3 −1
x1 = 2
x2 = − 1
(x − 8) = 0 (x − 2)(x + 2 x + 4) = 0
(x
3
+ 27)( x 3 + 3) = 0
x 3 + 27 = 0
x3 + 3= 0
x 3 = − 27
prob.9)
x=
3
− 27
x=3 −3
x= − 3
x4 = − 1 − 3 i 3
2
x5 =
1+ 3 i 2
x6 =
1− 3 i 2
i 3 i 3 ⋅ = 3 3 3 i i 3 3 ⋅ =− 3 3 3
4 2
− 25)( x 4 − 16) = 0
+ 5)(x 2 − 5)( x 2 + 4)( x 2 − 4) = 0
x2 − 5= 0
x= − 3 3
x2 − 4 = 0
x= ± 5
x= ± 4 x= ±2
10 5 5. x − 33x + 32 = 0
(x
5
− 32)( x5 − 1) = 0
3. 8 x + 15x − 2 = 0 3
(8x )
3 2
+ 15 (8 x ) − 16 = 0
(8x + 16)(8x − 1) = 0 (x + 2)(8x − 1) = 0 3
x3 + 2 = 0 x =−2 3
x= 3 −2 x= −3 2
3
8x 3 − 1 = 0 1 x= 8 1 x= 2
x5 − 1= 0
x = 5 32 x=2
3
3
(x + 1) = 0 (x + 1)(x − x + 1) (ver ejerc. 282 prob.2)
3
x 5 − 32 = 0 6
3
x3 = − 1 + 3 i
i
x3 = − 3
2
(ver ejerc. 282
=±
(x (x
3
x2 + 2x + 4 = 0
3
4. x 8 − 41x 4 + 400 = 0 6 3 2. x + 30 x + 81 = 0
− 8)( x 3 + 1) = 0
−1
x4 = −
EJERCICIO 284 6 3 1. x − 7 x − 8 = 0
x − 1= 0 x2 = 1
3x 2 + 1 = 0
− 22 3 22 − 1
x3 = i
2
2
x− 2= 0
x1 = − 2
2
2
+ 22)( x + 2)( x − 2) = 0
2
2
(3x 2 )2 − 2 (3x 2 ) − 3 = 0
2
2
2
3x 4 − 2 x 2 − 1 = 0
2
+ 22)(3x − 12) = 0
2
)
3x + 2 x = 4 x − 12 + 13 4
3x 4 + 10 x 2 − 88 = 0 2 2
) (
2 2 2 14. x 3x + 2 = 4 x − 3 + 13
2
x= 5 1 x=1
−4 −2 6. x − 13x + 36 = 0
(x
−2
− 9)( x − 2 − 4) = 0
x −2 − 9 = 0 x
−2
=9
x −2 − 4 = 0 x −2 = 4
1 1 =9 =4 x2 x2 1 1 = x2 = x2 9 4 1 1 ± =x ± =x 9 4 1 1 1 1 x1 = ; x2 = − ; x3 = ; x4 = − 3 3 2 2
− 10 −5 8. x = 242 x + 243
7. x
−6
−3
+ 35x = − 216
x
(x
x − 6 + 35x − 3 + 216 = 0
(x
−3
+ 27)( x − 3 + 8) = 0
−3
−5
x + 8= 0
x − 3 = − 27 1 = − 27 x3 1 =x − 27
1 =−8 x3 1 =x −8
1 x= − 3
− 242 x − 243 = 0 − 243)(x −5 + 1) = 0
x −5 + 1 = 0
−5
x −3 = − 8
3
3
−5
x − 5 − 243 = 0
−3
x + 27 = 0
3
−10
5
−5
x = 243
x = −1
1 = 243 x5 1 =x 243
1 = −1 x5 1 =x −1
5
1 3 = −5 3 x 16 x 11. x=
1 x= − 2
x= −1
x3 − 9x 2 + 8 = 0
9.
23 23 x − 8 x − 1 = 0 3
x 2 − 1= 0
x3 = 8
x3 = 1
x = 64
x3 = 1
3
x = 3 64 x= 4 1
1
21 1 3x − 15 3x 2 − 1 = 0
12 21 x + 3 x − 2 = 0 1 2
1 2
x=−3
x=2
x = (− 3)
x = ( 2)
x=9
x=4
2
2
EJERCICIO 285 5 + 24
2 m = (8) − 28
m = (5) − 24 2
5+ 1 5− 1 + 2 2
=
8 − 60
32 − 700
4.
2 m = (8) − 60
2 m = (32) − 700
m= 4
m = 324 = 18
m= 2 =
8+ 2 8− 2 − 2 2
= 5− 3
=
32 + 18 32 − 18 − 2 2
= 25 − 7 = 5− 7
1
x = ( 2)
4
x=
4
1 16
11 + 2 30
7.
11 + 120 2 m = (11) − 120 = 1
14 + 8 14 − 8 + 2 2
=
11 + 1 11 − 1 + 2 2
= 6+ 5 84 − 18 3
13 + 88 2 m = (13) − 88
1 x= 2
x = 16
8. 6.
24 x =1
x=2
4
= 11 + 3
= 7 +1
= 3+ 2 2.
=
2 x 4 − 1= 0
x4 = 2
m = 64 = 8
8+ 6 8− 6 + 2 2
1
x4 − 2 = 0
2 m = (14) − 132
m= 6
m= 1
14 + 132
5.
m = 36
m= 1
=
8 + 28
3.
41 41 x − 2 2 x − 1 = 0 1
1 2
3x − 15 = 0 3x − 1 = 0 15 1 x= x= 3 3 2 1 2 x = (5) x= 3 1 x = 25 x= 9
1 2
x + 3= 0 x − 2 = 0
1.
41 41 2 x − 4 2 x − 1 = 0
1 9 x − 16 3x 2 + 15 = 0
x + x2 − 6= 0
1
1 1 4 x 2 − 5 2 x 4 + 4 = 0
3x − 16 x + 5 = 0 10. x + x = 6
x=1
12. 2 x 2 − 5x 4 + 2 = 0
1 2
1 2
3
x2 − 8= 0
84 − 972 2 m = (84) − 972
m = 81 = 9
m = 6 . 084 = 78
13 + 9 13 − 9 = + 2 2
=
= 11 + 2
= 81 − 3 = 9 − 3
84 + 78 84 − 78 − 2 2
21 + 6 10
9.
21 + 360
253 − 25. 200
2 m = (21) − 360
m = ( 253) − 25. 200 2
m = 81 = 9
28 + 14 3
10.
293 − 19 .800 m = ( 293) − 19 .800 2
28 + 14 28 − 14 + 2 2
293 + 257 293 − 257 − 2 2
=
14 − 4 6
16.
m = 100 = 10
m=
= 22 ⋅ 3 − 2 = 2 3 − 2
m= 4 = 2
55 + 1. 800
=
1 1 1 2 1 3 + = + 2 3 2 2 3 3
=
7+1 7−1 + 2 2
2
73 − 5. 040
m=
= 45 − 28 = 3 5 − 2 7
2 m = ( 7) − 48 = 1
= 4 + 3= 2+ 3
73 − 12 35
73 + 17 73 − 17 − 2 2
7 + 48
1 1 2+ 3 2 3
1 3 m= − 4 2
m = 289 = 17
7+ 4 3
20.
3 1 − 4 2
17.
2 m = ( 73) − 5. 040
=
5 1 − 6 6 2
=
m = 1. 225 = 35
6+ 2 6− 2 + 2 2
= 4 + 2 = 2+ 2
=
m = (55) − 1. 800
=
1 1 = 36 6
55 + 30 2
2
13.
6+ 4 2 2 m = (6) − 32
5 1 + 6 6+ 2
= 45 + 10 = 3 5 + 10
9 7 − 16 16 2
6 + 32
2 5 m= − 6 3
= 12 − 2
55 + 35 55 − 35 + 2 2
1 1 2 1 + = + 2 16 2 4
2
14 + 10 14 − 10 = − 2 2
=
=
19.
5 2 + 6 3
2
12.
=
9 7 + 16 16 + 2
= 275 − 18 = 5 11 − 3 2
14 − 96 m = (14) − 96
49 7 = 256 16
m = 66 . 049 = 257
= 21 + 7 11.
m=
293 − 30 22
15.
m = 196 = 14 =
2
= 225 − 28 = 15 − 2 7
28 + 588 2 m = ( 28) − 588
1 9 m= − 16 8
253 + 197 253 − 197 − 2 2
=
9 1 + 16 8
18.
m = 38 . 809 = 197
21 + 9 21− 9 + = 15 + 6 2 2
=
253 − 60 7
14.
8+ 2 7
21.
8 + 28
1 1 = 16 4
2 m = (8) − 28
=
3 1 + 4 4− 2
=
1 1 2 1 − = − 2 4 2 2
3 1 − 4 4 2
m = 36 = 6 =
8+ 6 8− 6 + 2 2
= 7 +1
10 + 2 21
22.
24 − 2 143
24.
10 + 84
9 + 72
24 − 572
m = (10) − 84
2 m = ( 24) − 572
2 m = (9) − 72
m = 16 = 4
m= 4 = 2
m= 9 = 3
2
=
10 + 4 10 − 4 + 2 2 18 + 6 5
24 + 2 24 − 2 − 2 2
=
= 7+ 3 23.
9+ 6 2
26.
=
= 6+ 3
= 13 − 11 30 − 20 2
25.
18 + 180
9+ 3 9− 3 + 2 2 98 − 24 5
27.
98 − 2 . 880
30 − 800
m = (18) − 180
2 m = ( 30) − 800
2 m = ( 98) − 2 . 880
m = 144 = 12
m = 100 = 10
m = 6 . 724 = 82
18 + 12 18 − 12 = + 2 2
=
= 15 + 3
= 20 − 10 = 2 5 − 10
2
30 + 10 30 − 10 − 2 2
=
98 + 82 98 − 82 − 2 2
= 90 − 8 = 3 10 − 2 2
EJERCICIO 286 Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula: u = a + (n - 1) r donde: u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad de términos ; r es la razón de cambio. 1. a = 7 n = 9 r = 10 − 7 = 3
1 3 1 1 7 21 7 7 n = 12 r = − = 15. a = n = 27 r = − = 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 1 11 13 7 7 7 91 98 = = 3 41 u = + 26 = + u = + 11 = + = = 49 4 2 4 4 2 2 2 4 2 2 2 5 2 1 7 1 7 4 12. a = n = 17 r = − = 16. a = n = 36 r = − = − 3 6 3 6 9 3 9 9 u = 9 + 47 (3) = 9 + 141 = 150 2 1 7 4 4. a = 3 n = 63 r = 17 − 10 = 7 u = + 16 u = + 35 − 6 9 3 9 ( ) u = 3 + 62 7 = 3 + 434 = 437 2 8 10 7 140 133 1 u= + = = 33 u= − =− = − 14 79 5. a = 11 n = 12 r = 6 − 11 = − 5 3 3 3 9 9 9 u = 11 + 11(− 5) = 11 − 55 = − 44 3 11 3 1 13. a = n = 25 r = 17. a = 2 n = 15 r = 1 − 2 = − 9 − = 6. a = 19 n = 28 r = 5 − 12 = − 7 8 24 8 12 7 8 7 56 3 u = 19 + 27 (− 7) = 19 − 189 = − 170 1 2 9 u = + 24 u = + 14 − 12 56 8 7 7. a = 3 n = 13 r = − 5 − (− 1) = − 4 3 19 2 126 110 u = 3 + 12 (− 4) = 3 − 48 = − 45 u = + 2 = = 2 83 u= − =− = − 1 27 28 8 8 7 56 56 = = = − = − a 8 n 54 r 0 8 8 8. 1 7 1 13 3 14 3 1 18. a = − n = 21 r = − + =− u = 8 + 53 (− 8) = 8 − 424 = − 416 14. a = n = 19 r = − = 3 8 3 24 5 15 5 3 9. a = − 7 n = 31 r = 1 − (− 3) = 4 1 13 3 1 u = + 18 u = − + 20 − 24 3 3 5 u = − 7 + 30 (4) = − 7 + 120 = 113 1 39 121 3 20 109 10. a = − 8 n = 17 r = 12 − 2 = 10 1 u= + = = 10 12 u= − − =− = − 7 154 3 4 12 5 3 15 u = − 8 + 16 (10) = − 8 + 160 = 152
u = 7 + 8 (3) = 7 + 24 = 31 2. a = 5 n = 12 r = 10 − 5 = 5 u = 5 + 11(5) = 5 + 55 = 60 a 3. = 9 n = 48 r = 15 − 12 = 3
11. a =
1 9 1 14 27 14 1 n = 13 r = − + = − 2 22. a = n = 41 r = − =− 4 4 4 5 10 5 10 1 1 97 14 1 = − 24 41 u = − + 12 (− 2) = − − 24 = − u= + 40 − 4 4 4
19. a = −
24. a = − 4 n = 19 2 10 r= − + 4= 3 3 10 u = − 4 + 18 3
10 5 14 6 − 4 = − = − 1 15 u= u = − 4 + 60 = 56 5 5 3 3 3 9 25. a = 3 n = 39 23. a = − n = 26 r = + = 5 17 5 10 5 10 11 35 11 3 r = − − 3= − − =− n = 33 r = 21. a = 4 4 3 9 3 12 3 4 u = − + 25 17 5 10 11 61 u = 3 + 38 − 3 11 4 + 32 − = − 24 = − = − 20 13 u= 3 45 219 4 3 3 3 u= − + = = 21 109 323 317 5 2 10 =− = − 158 21 u = 3− 1 5 1 5 n = 19 r = − + = 3 6 2 6 49 5 5 1 u = − + 18 = − + 9 = = 8 16 2 6 6 6
20. a = −
2
2
EJERCICIO 287 Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:
a = u − (n − 1) r
r=
u− a n−1
n=
u− a+ r r
Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ; a es el primer término de la progresión.
2 n = 15 7 2 a = 20 − (14) 7 a = 20 − 4 = 16
1. u = 20 r =
2. u = − 18 n = 32 r = 3
a = − 18 − (31)( 3) a = − 18 − 93 = − 111 3. u = 1 n = 9 r = 1 − 3 = 1 4 4 1 a = 1− (8) = 1 − 2 = − 1 4
25 n= 7 3 Se plantea la ecuación para encontrar la razón 25 − 2r = 7 3 25 − 2r = 7 − 3 4 − 2r = − 3
4. u =
Continúa
4. Continuación
4 2 = 6 3 25 2 − ( 6) a= 3 3 25 12 13 − = = 4 13 a= 3 3 3 5. a = 3 n = 6 u = 8 8−3 5 r= = =1 6 −1 5 6. a = − 1 n = 10 u = − 4 r=
r=
− 4 − (− 1) 3 1 =− =− 10 − 1 9 3
1 3 n = 17 u = − 2 8 3 1 7 − − − 7 8 2 r= = 8 =− 17 − 1 16 128
7. a =
8. a = 5 n = 18 u = − 80 − 80 − 5 − 85 r= = =−5 18 − 1 17 9. a = − 42 n = 92
u = 1. 050
1. 050 − (− 42) 1. 092 = = 12 r= 92 − 1 91
10. a = 4 u = 30 r =6−4=2 30 − 4 + 2 28 n= = = 14 2 2 11. a = 5 u = 18 1 16 r= −5= 3 3 1 18 − 5 + 3 n= 1 3 1 40 13 + 3 n= = 3 = 40 1 1 3 3 12. a =
26 5
u = 18
26 4 = 5 5 26 4 18 − + 5 5 n= 4 5 22 68 18 − 5 = 5 = 68 = 17 n= 4 4 4 5 5 r=6−
EJERCICIO 288 1. r = 19 − 15 = 4
a = 15
n=8
u = 15 + (7) 4 u = 15 + 28 = 43 s=
(15 + 43)8
2 s = (58)(4) = 232 2. a = 31 n = 19 r=7
u = 31 + (18) 7 u = 31 + 126 = 157 s=
(31 + 157)(19)
2 3. 572 = 1. 786 s= 2 3. a = 42 n = 24 r = − 10 u = 42 + (23) (− 10) u = − 188 s=
(42 − 188) (24) 2
s = (− 146) (12) = − 1. 752
4. a = − 10 n = 80 r = 4
u = − 10 + ( 79)( 4)
u = − 10 + 316 = 306 s=
(− 10 + 306)(80)
2 s = ( 296)( 40) = 11.840 5. a = 11 n = 60 r = − 10 u = 11 + (59) (− 10) u = 11 − 590 = − 579
(11 − 579)(60) s= 2
s = (− 568) ( 30) = − 17 . 040
6. a = − 5 n = 50 r = − 8 u = − 5 + ( 49) (− 8) u = − 5 − 392 = − 397
(− 5 − 397)(50) s= 2
s = (− 402 ) ( 25) = − 10 . 050
1 1 n= 9 r= 2 2 1 1 u = + (8) 2 2 1 9 u= + 4= 2 2 1 9 + ( 9) 2 2 s= 2 45 s = = 22 12 2
7. a =
3 1 n = 14 r = 10 10 3 1 u = + (13) 10 10 3 13 8 u= + = 10 10 5 3 8 + (14) 10 5 s= 2 133 s= = 13 103 10
8. a =
3 3 n = 19 r = 4 4 3 3 u = + 18 4 4 3 27 57 = u= + 4 2 4 3 57 19 + 4 4 s= 2 19 (15) 285 = = 142 12 s= 2 2
9. a =
2 3 n = 34 r = − 5 11 2 3 u = + 33 − 11 5 2 43 u= − 9= − 5 5 2 43 34 − 5 5 s= 2 1. 394 = − 139 25 s= − 10
10. a =
7 4 n = 11 r = 3 5 47 7 47 − 35 4 r= − = = 15 3 15 5 7 4 u = + 10 5 3
11. a =
7 31 + 8= 3 3 7 31 11 + 3 3 s= 2 418 = 69 23 s= 6
u=
13 n = 46 4 73 13 8 2 r= − = = 20 4 20 5 13 2 u = + 45 5 4
12. a =
13 85 + 18 = 4 4 13 85 46 + 4 4 s= 2 4 . 508 = 563 21 s= 8
u=
13. a = − 2 n = 17 r =
1 9 + 2= 4 4
9 u = − 2 + 16 = − 2 + 36 = 34 4 s=
17 (− 2 + 34) = 17 (16) = 272 2
14. a = − 5 n = 12
r=−
37 3 + 5= 8 8
7 3 u = − 5 + 11 = − 8 8 7 12 − 5 − 8 s= 2 141 47 = − 35 41 s = 6 − = − 8 4
EJERCICIO 289 1. u = 11 a = 3 n = 5 11− 3 8 r= = =2 5 −1 4 ⇒3+2=5 5+2=7 7+ 2=9 Luego ÷ 3. 5. 7. 9. 11. 2. u = − 5 a = 19 m = 7 − 5 − 19 − 24 r= = = −3 7 +1 8
⇒ 19 − 3 = 16 16 − 3 = 13 13 − 3 = 10 10 − 3 = 7 7−3=4 4 − 3 =1 1− 3 = − 2 Luego ÷ 19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. − 2. − 5. 3. u = − 73 a = − 13 n = 7 − 73 + 13 − 60 r= = = − 10 7 −1 6
⇒ − 13 − 10 = − 23 − 23 − 10 = − 33 − 33 − 10 = − 43 − 43 − 10 = − 53 − 53 − 10 = − 63 Luego ÷ − 13. − 23. − 33. − 43. − 53. − 63. − 73. 4. u = 53 a = − 42 m = 4 53 + 42 95 r= = = 19 4 +1 5
⇒ − 42 + 19 = − 23 − 23 + 19 = − 4 − 4 + 19 = 15 15 + 19 = 34 Luego ÷ − 42. − 23. − 4. 15. 34. 53. 5. u = − 9 a = − 81 n = 7 − 9 + 81 72 = = 12 r= 7 −1 6
⇒ − 81+ 12 = − 69 − 69 + 12 = − 57 − 57 + 12 = − 45 − 45 + 12 = − 33 − 33 + 12 = − 21 Luego ÷ − 81. − 69. − 57. − 45. − 33. − 21. − 9.
6. u = 3 a = 1 m = 3 3 −1 2 1 r= = = 3 +1 4 2
1 3 = 2 2 3 1 + =2 2 2 1 5 2+ = 2 2 3 5 Luego ÷ 1. . 2. . 3. 2 2 ÷ 1. 1 21 . 2. 2 21 . 3. ⇒ 1+
7. u = 12 a = 5 n = 6 12 − 5 7 r= = 6 −1 5
7 32 = 5 5 32 7 39 + = 5 5 5 39 7 46 + = 5 5 5 46 7 53 + = 5 5 5 32 39 46 53 . . . . 12. Luego ÷ 5. 5 5 5 5 ÷ 5. 6 25 . 7 45 . 9 51 . 10 53 . 12. ⇒5+
8. u = 3 a = − 4 m = 5 3+4 7 r= = 5 +1 6 7 17 ⇒−4+ =− 6 6 5 17 7 − + =− 6 6 3 5 7 1 − + =− 3 6 2 1 7 2 − + = 2 6 3 2 7 11 + = 3 6 6 17 5 1 2 11 Luego ÷ − 4. − . − . − . . . 3. 6 3 2 3 6 1 2 ÷ − 4. − 2 56 . − 1 23 . − . . − 1 56 . 3. 2 3
1 3 a= n=7 8 4 1 3 5 − − 5 8 4 r= = 8 =− 7 −1 6 48 3 5 31 ⇒ − = 4 48 48 31 5 13 − = 48 48 24 13 5 7 − = 24 48 16 7 5 1 − = 16 48 3 1 5 11 − = 3 48 48 3 31 13 7 1 11 1 . . . . . . Luego ÷ . 4 48 24 16 3 48 8
9. u =
11. Continuación 13 19 5 − = 48 144 36 5 19 1 − = 36 144 144 2 77 29 13 5 1 1 Luego ÷ . . . . . .− . 3 144 72 48 36 144 8 12. u = − 5 a = − 2 m = 7 3 −5+2 r= =− 7 +1 8
3 19 =− 8 8 19 3 11 − − =− 8 8 4 11 3 25 − − =− 4 8 8 25 3 7 − − =− 8 8 2 7 3 31 − − =− 2 8 8 31 3 17 − − =− 8 8 4 17 3 37 − − =− 4 8 8 Luego ÷ − 2. − 2 38 . − 2 34 . − 3 81 . − 3 21 . − 3 78 . − 4 41 . − 4 58 . − 5. ⇒−2−
10. u = 3 a = − 1 m = 6 3 +1 4 r= = 6 +1 7 4 3 ⇒ − 1+ = − 7 7 3 4 1 − + = 7 7 7 1 4 5 + = 7 1 7 7 7 a= n = 10 13. u = − 10 2 5 4 9 + = 7 1 6 7 7 7 − − − 2 10 2 9 4 13 r= = 5 =− + = 10 1 9 15 − 7 7 7 1 2 11 13 4 17 ⇒ − = + = 2 15 30 7 7 7 11 2 7 3 1 5 9 13 17 − = Luego ÷ − 1. − . . . . . . 3. 30 15 30 7 7 7 7 7 7 7 2 1 3 1 5 − = ÷ − 1. − . . . 1 27 . 1 67 . 2 73 . 3. 30 15 10 7 7 7 1 2 1 − =− 1 2 10 15 30 11. u = − a= n= 7 8 3 1 2 1 − − =− 1 2 19 30 15 6 − − − 19 1 2 3 r = 8 3 = 24 = − − − =− 7 −1 6 144 6 15 10 2 19 77 3 2 13 ⇒ − = − − =− 3 144 144 10 15 30 77 19 29 13 2 17 − = − − =− 144 144 72 30 15 30 29 19 13 Luego − = 72 144 48 1 11 7 1 1 1 3 13 17 7 . . .− .− .− .− .− .− . ÷ . Continúa 2 30 30 10 30 6 10 30 30 10
EJERCICIO 290 1. a = 7 n = 20 r = 7 u = 7 + (19)( 7)
11. Continuación. 7. 32 → N º normal de dientes en la boca
u = 7 + 133 = 140
de un adulto
s=
u = 10 + (31)(2) = 72
(7 + 140)(20)
2 s = 147 ⋅ 10 = 1. 470 2. a = 5 n = 80 r = 5 u = 5 + ( 79)(5)
u = 5 + 395 = 400
(5 + 400)(80) s=
2 s = 405⋅ 40 = 16 . 200 3. a = 9 n = 43 r = 10 u = 9 + ( 42)(10)
u = 9 + 420 = 429 s=
(9 + 429)(43)
2 s = 219 ⋅ 43 = 9 . 417 4. a = 2 n = 100 r = 2 u = 2 + (99)(2)
u = 2 + 198 = 200 s=
(2 + 200)(100)
2 s = 202 ⋅ 50 = 10 .100 5. a = 9 n = 100 r = 2 u = 9 + ( 99)(2)
u = 9 + 198 = 207 s=
(9 + 207)(100)
2 s = 216 ⋅ 50 = 10 .800 6. a = 8 n = 50 r = 3 u = 8 + (49)(3)
u = 8 + 147 = 155 s=
(8 + 155)(50)
2 s = 163⋅ 25 s = 4 . 075 ÷ 100 s = $ 40 , 75
a = 10
n = 32 r = 2
(10 + 72) (32) s= 2 s = 1. 312 ÷ 10 s = $ 131, 20
8. a = 77
n = 72 r = 11
x 3x + x+ = 2 . 400 2 2 x + 2 x + 3x = 4 .800 6 x = 4 .800
⇒
x = 800 El 1º año ahorro →
x 800 = = 400 sucres 2 2
Para el 2º año x 800 = = 400 2 2 u = 400 + (1)( 400) = 800 sucres a = 400 n = 2
r=
u = 77 + (71)(11) = 858
Para el 3º año a = 400 n = 3 r = 400
s=
u = 400 + ( 2)(400) = 1. 200 sucres
(77 + 858) (72)
2 s = 935⋅ 36 = 33. 660 9. n = 5⋅ 12 = 60 a=2 r=3 u = 2 + (59)( 3) u = 2 + 177 = 179 s=
(2 + 179)(60)
2 s = 181⋅ 30 = 5. 430 bs. 10. a = 600 r = 25 Si n = 8
u = 600 + ( 7)( 25) u = 775 ÷ 100 Avanzó 7 , 75 m en el 8º segundo s → Dis tan cia recorrida en 8 seg. s=
(600 + 775)(8)
2 s = 1. 375⋅ 4 s = 5 . 500 ÷ 100 = 55 m 11. s = 2 . 400 n = 3 x → Ahorro el 2º año x → Ahorro el 1º año 2 x x r=x− = 2 2 Luego el 3º año Ahorro: x 3x x+ = 2 2 Continúa
12. 2º y 4º = 22 3º y 7º = 34
El tér min o medio entre el 2º y el 4º es el 3º por tan to es una progresión impar. Luego el duplo del 3º tér min o es 22 x → 3er tér min o 2x = 22 x = 11 Luego 11 → 3er tér min o Como 3º + 7º = 34 11+ 7º = 34 7º = 23 23 → es el 7º tér min o Interpolación para conocer el 4º tér min o ÷ 11 . . . 23 Donde n = 5 a = 11 u = 23 23 − 11 12 r= = =3 5 −1 4 4º tér min o → 3º + r = 11+ 3 = 14 2º tér min o → 22 − 4º = 22 − 14 = 8 13. n = 32 a = 5 u = 5 + (31)(3)
r=3
u = 5 + 93 = 98 s=
(5 + 98) 32
2 s = 103⋅ 16 = $ 1. 648
14. a = 50
r = − 5 12
n =8
11 u = 50 + ( 7) − 2
17. a = 500 u = 1. 900
r = 200
21. a = 51 r = 2
u = 813
813 − 51 + 2 764 = = 382 n= 2 2
1. 900 − 500 + 200 n= 200 n = 8 años
100 − 77 23 = = 11 21 Km (813 + 51)( 382) 2 2 s= 2 23 18. n = 11 a = 1.180 u = 6 .180 50 + 8 s = (864)(191) = 165. 024 2 6 .180 − 1.180 = 246 Km s= r= 2 11− 1 15. 3º y 10º tér min os son 22. 5º → 31 9º → 59 5 . 000 = $ 500 r= equidis tan tes a los int erpolando 10 extremos 1º y 12º,Luego n = 5 a = 31 u = 59 la suma de estos extremos 19. n = 5 u = 3. 000 r = − 300 59 − 31 28 = =7 r= es igual a las suma de a = 3. 000 − ( 4) (− 300) 5 −1 4 los tér min os equidis tan tes 10º térm. → 59 + 7 = 66 a = 3. 000 + 1. 200 = 4 . 200 soles 3º + 10º = 1º + 12º 11º térm. → 66 + 7 = 73 como 1º + 12º = 53 21 12º térm. → 73 + 7 = 80 20. a = 161 r = 322 n = 5 ⇒ 3º + 10º = 53 21 u = 161 + (4)( 322) = 1. 449 16. n = 11 a = − 2 u = − 52 23. n = 3 a = 12 . 500 u = 20 . 500 (1. 449 + 161)(5) s= − 52 − (− 2) 50 a + u = 12 .500 + 20 .500 2 = − = −5 r= 11− 1 10 a + u = 33 . 000 (1. 610) (5) s= 2º térm. → − 2 − 5 = − 7 Luego 2 (2º term.) = 33 . 000 2 3º térm. → − 7 − 5 = − 12 8 . 050 2º term. = 16 . 500 colones = 4 . 025 s= 4º térm. → − 12 − 5 = − 17 2 = 4 . 025 ÷ 10 = 402 , 5 pies 5º térm. → − 17 − 5 = − 22 6º térm. → − 22 − 5 = − 27 u=
8. a = − 3 n = 6
EJERCICIO 291 1. a = 3 n = 7
r = 6 ÷ 3= 2 u = 3 (2 u = 3 (2
7 −1 6
)
)
u = 3⋅ 64 = 192 1 n=8 3 r = 3 ÷ 1= 3
2. a =
1 8 −1 (3 ) 3 6 u = 3 = 729 3. a = 8 n = 9 1 r = 4 ÷ 8= 2 1 9 −1 u = 8 2 u=
8 1 1 u= 8 = 5 = 2 2 32
4. a = 1 n = 6
4 5 2 ⋅ = 25 2 5 2 6 −1 u = 1 5 r=
u=
25 32 = 55 3 .125
1 n= 6 2 1 2 r = ⋅2= 5 5 6−1 1 2 u = 2 5
6. a =
u=
5. a = 3 n = 7
2 r = 2 ÷ 3= 3 2 7 −1 u = 3 3 u=
2 6 64 = 35 243
7. a =
24 16 = 55 3 .125
9 4
n= 8
4 4 r = 3⋅ = 9 3 7 9 4 u = 4 3 u=
4 6 4 . 096 = = 16 208 243 35 243
r = 6 ÷ (− 3) = − 2
[
u = − 3 (− 2 )
5
]
u = − 3 (− 32) = 96
9. a = 3 n = 9
r = − 1÷ 3 = −
1 3
1 u = 3 − 3 1 1 u= 7 = 3 2 .187 5 10. a = n= 5 6 1 6 3 r= ⋅ = 2 5 5 4 5 3 u = 6 5 8
u=
33 27 = 2 ⋅ 53 250
3 n=5 5 3 5 5 r= − = − 2 3 2
3 n=8 4 1 2 r = (− 2 ) = − 3 3 7 3 2 u = − 4 3
r = 1 ÷ (− 4) = −
1 4
1 u = 16 − 4 1 1 u= − 5 = − 4 1. 024 7
u= −
3 n = 10 4 1 4 1 r= − − = 4 3 3
13. a = −
12. a =
11. a = 16 n = 8
14. a = −
4 3 5 − 5 2 3⋅ 53 375 = − 23 167 u= − 4 = − 2 16
9 3 1 4 3 1 1 u= − =− 4 ⋅ 38 26 . 244
u= −
25 32 =− 36 729
u= −
EJERCICIO 292 1 1 u= n= 7 2 64 1 1 6 26 64 2 a= = 6 =1 6 = 1 2 1 26 2
1. r =
2. r =
2 64 u= 3 2 .187
4. a = 2 u = 64
64 = 2
r=5 5. a =
n= 9
r=
1 3
6
5
n=6
26 5 5 = 2 =2 2
u = 243
1 512
8. a = 8 u =
r=
1 1 1 1 512 = 6 =6 6 =± 8 4 . 096 4 4
6
n=7
243 6 = 729 = 6 36 = ± 3 1 3
64 26 6 8 2 .187 37 = 2 ⋅ 3 = 3 = 3 6. a = − 5 u = 640 n = 8 a= 8 a= 8 8 7 2 2 ⋅3 22 4 2 640 3 38 r=7 −5 32 125 2 3. r = ⋅ = 625 16 5 r = 7 − 128 = 7 − 27 = − 2 32 u= n= 6 729 3 u= n=6 625 7. a = 2 2 5 32 2 3 4 25 ⋅ 55 a = 6255 = 5 5 = 5 4 = 5 1 1 2 2 ⋅5 r=5 2 =5 = 2 729 243 3 5 5 5 2
n= 7
9. a =
r=
625 16
4
u=1
n= 5
1 16 4 24 2 =4 = =± 625 625 54 5 16
10. a =
r=7
27 64
u= −
2 n=8 81
2 81 27 64
−
r=7 −
2 ⋅ 2 6 7 27 2 = − 7 =− 3 4 ⋅ 33 3 3
EJERCICIO 293 1. a = 6 n = 5
1 r = 3÷ 6= 2 1 4 1 3 u = 6 = 6 = 16 8 2 3 1 −6 8 2 s= 1 −1 2 93 93 = 11 85 s = − (− 2 ) = 16 8
2. a = 4 n = 6 r = − 8÷ 4= − 2
[
u = 4 (− 2)
5
]
u = 4 (− 32) = − 128 − 128 (− 2) − 4 − 2−1 252 = − 84 s= −3 s=
3. a = 12 n = 7
1
4. a = n = 10 1 4 3 1 r = ⋅4 = 2 1 6 4 1 2 = u = 12 = 12 729 243 1 3 r = 4 ÷ 12 =
4 1 − 12 243 3 s= 1 −1 3 8 . 744 3 s= − − 729 2 s=
26 . 232 1.446 = 17 1.458 = 17 241 243 1. 458
u= s=
[2 ] = 128 9
4
128 (2) −
1 4
2−1 1. 023 = 255 43 s= 4
9 n= 8 4 3 4 2 r= ⋅ = 2 9 3 7 9 2 25 u = = 5 4 3 3
7. a = − 6 n = 10
5. a =
r = − 3 ÷ (− 6) =
s=
− 6 . 305 (− 3) 2 . 916
18 . 915 1.419 473 = 6 2 .916 = 6 972 2 . 916 1 n= 7 6. a = − 10 1 r = (− 10) = − 2 5 1 64 32 =− u= − (− 2)6 = − 10 10 5 32 1 − (− 2) + 10 s= 5 − 2−1 129 129 = − 4 103 s = 10 = − −3 30 s=
[
1 2
1 9 3 u = − 6 = − 8 2 2 3 1 − 8 +6 2 2 s= 1 −1 2 3 . 069 6 .138 253 = − 11 256 s = 512 = 1 − 512 − 2
25 2 9 − 35 3 4 s= 2 −1 3 28 − 38 s = 6 2 (− 3) 3 ⋅2
]
8. a = 2
3 n= 6 2 3 2 r = 1÷ = 2 3 5 3 2 2 4 16 u= = 4 = 2 3 3 81
9. a =
n=8
1 2 1 7 1 1 u = 2 − = − 6 = − 2 64 2 r = − 1÷ 2 = −
1 1 − −2 64 2 s= 1 − −1 2 255 510 128 21 s= = = 1 126 384 = 1 64 3 384 2 −
16 2 3 − 81 3 2 s= 2 −1 3 179 − 1 486 17 s= = 4 162 1 − 3 = a 9 n= 6 10. r = 1 ÷ (− 3) = −
1 3
5
1 1 1 u= 9 − = − 3 = − 3 3 27 1 1 − − 9 27 3 s= 1 − −1 3 728 − s = 81 4 − 3 2 .184 240 20 = 6 324 = 6 27 s= 324 −
EJERCICIO 294 1. a = 5 u = 3 .125
r=4
n= 5
3 .125 = 25 ± 5 5
5 (± 5) = ± 25
± 25 (± 5) = 125
125 (± 5) = ± 625 ÷ ÷ 5: ± 25:125: ± 625: 3 .125 2. a = − 7 u = − 224 m = 4
− 224 5 r=5 = 32 = 2 −7 − 7 ⋅ 2 = − 14 − 14 ⋅ 2 = − 28 − 28 ⋅ 2 = − 56 − 56 ⋅ 2 = − 112 ÷ ÷ − 7 : − 14 : − 28: − 56 : − 112: − 224
3. a = 128 u = 2 n = 7
2 6 1 1 = =± 128 26 2 1 128 ± = ± 64 2 r= 6
1 ± 64 ± = 32 2 1 32 ± = ± 16 2 1 ± 16 ± = 8 2 1 8 ± = ± 4 2 ÷ ÷ 128 : ± 64 : 32 : ± 16:8: ± 4 : 2
9 16 u= n= 6 2 27 16 25 2 r = 5 27 = 5 5 = 9 3 3 2 9 2 =3 2 3
4. a =
2 3 = 2 3 2 4 2 = 3 3 4 2 8 = 3 3 9 9 4 8 16 ÷ ÷ : 3: 2 : : : 2 3 9 27 8 16 1 ÷ ÷ 4 2 : 3: 2 : 1 13 : : 9 27
2 .187 m= 6 64 2 .187 7 7 64 = 7 3 = 3 r= 2 27 2 3 2 = 3 2
5. a = 2
u=
6. a =
4 9
u=
27 256
n= 6
7. a = 8 u =
27 35 3 256 r=5 =5 5 = 4 4 4 9 4 3 1 = 9 4 3
3 9 3 = 2 2
1 3 1 = 3 4 4
9 3 27 = 2 2 4
1 3 3 = 4 4 16
27 3 81 = 4 2 8
3 3 9 = 16 4 64 4 1 1 3 9 27 : ÷÷ : : : : 9 3 4 16 64 256
81 3 243 = 8 2 16 243 3 729 = 16 2 32
25 : 34 11 ÷ ÷ 2 : 3: 4 21 : 6 43 : 10 81 : 15 163 : 22 32 64
1 32
m= 7
1 1 1 32 r= =8 8 =± 8 2 2 1 8 ± = ± 4 2 8
1 ± 4± = 2 2 1 2± = ±1 2 1 1 ± 1 ± = 2 2 1 1 1 ± = ± 2 2 4 ±
1 ± 4
1 1 = 2 8
1 1 1 ± = ± 8 2 16 ÷ ÷ 8 : ± 4 : 2 : ± 1:
EJERCICIO 295 3 1 4 1 −2 2 r= = 5. a = 1 1 1 = 4 4 3 3 3. a = − 5 r = ⋅ = −5 5 2 2 4 3 3 5 25 − −5 2 2 8 s= = =− s= = = = 2 23 4 = 4 = 9 =11 s = 2 3 1 3 3 8 3 1 2 8 1− 1− 1− 5 5 4 4 3 3 = − 8 31 1 1 1 1 1 6 2. a = r = ⋅ 2 = 2 6 3 8 1 2 6. a = 6 r = 7 ⋅ 6 = 7 a 4 r = − = − − = 4. 1 1 3 4 3 1 1 3 2 2 7 −4 −4 = = s= 6 6 s= = = = 1 61 1 2 4 = = − 12 s= 6 1 6 1− 2 1 1 − 3 3 1− 7 7 3 3 1. a = 2 r =
1 1 1 1 1 :± : : ± : 2 4 8 16 32
2 1 1 ⋅ =− 5 2 5 2 2 10 2 s= = = =13 1 6 6 1+ 5 5
7. a = 2 r = −
−6 3 = − 14 7 98 − 14 − 14 =− s= = 3 4 4 1− 7 7 = − 24 21
8. a = − 14 r =
EJERCICIO 296
1.
6 6 6 ! + + 10 100 1. 000 6 6 10 1 r= = 10 100 6 10 6 6 6 2 10 10 = = = s= 1 9 9 3 1− 10 10
a=
2.
12 12 12 ! + + 100 10 . 000 1. 000 . 000 12 12 100 1 = r= 100 10 . 000 12 100 12 12 12 4 100 100 = = = s= 1 99 99 33 1− 100 100
a=
3.
159 159 ! + 1. 000 1. 000 . 000 a=
159 159 103 1 = 3 r= 10 106 159 103
159 159 3 3 159 53 10 s= = 10 = = 1 999 999 333 1− 3 3 10 10
32 32 32 4. + + ! 100 10 . 000 1. 000 . 000 32 32 100 1 a= r= = 100 10 . 000 32 100 32 32 32 s = 100 = 100 = 99 99 1 1− 100 100
5.
144 144 144 ! + + 103 106 109 144 144 103 1 a= 3 r= 6 = 10 10 144 103 144 144 3 3 144 16 10 = 10 = = s= 1 999 999 111 1− 3 3 10 10
3 5 5 6. 10 + 100 + 1. 000 ! a=
5 100
r=
8.
5 100 1 = 1. 000 5 10
5 5 5 1 100 100 = = = s= 1 9 90 18 1− 10 10 3 1 64 16 = s= + = 10 18 180 45 18 1 1 ! + + 7. 100 103 104 1 1 1 a = 3 r = 4 ⋅103 = 10 10 10 1 1 3 3 1 s = 10 = 10 = 1 9 900 1− 10 10 18 1 163 s= + = 100 900 900
3 18 18 ! + + 10 103 105 18 18 103 1 a= 3 r= 5 = 10 10 18 100
18 18 103 = 103 = 1 1 99 55 1− 100 100 3 1 175 7 s= + = = 10 55 550 22 18 18 18 ! + + 9. 2 + 100 104 106 18 18 100 1 a= r= 4 = 100 10 18 100 s=
18 18 2 100 100 s= = = 99 11 1 1− 100 100 2 24 s= 2+ = 11 11
EJERCICIO 297 1. a = 2 Para
r=2 saber
cuanto
gano el sábado → n = 6
u = 2 (25 ) = 64 Lempiras
Para saber cuanto gané de lunes a sábado utilizo S
para los 6
primeros
tér min os de
la progresión. ÷ ÷ 2 : 4 : 8!
Donde a = 2 r = 2 u = 64
64 ( 2) − 2 = 126 Lempiras s= 2−1 2. n = 20 r = 2
u = 1(2
19
a=1
) = 524 . 288
524 . 288 ( 2) − 1 2−1 s = 1. 048 .575 ÷ 100 s = $ 10 . 485 , 75 s=
3. n = 8 r =
a=
1 3
u=1
1 1 = 2 .187 balboas 7 = 1 1 2 .187 3
4. n = 9 → Im par Como es una sucesión impar
6. a =
los tér min os equidis tan, luego y último tér min o es igual al producto entre el 3º y el 7º tér min o.
5. n = 5
u=
2 u = 160 n = 5 3 160 160 = 810 a= 4 = 16 2 81 3
7. r =
8 81
4 2 = 81 9 Se encuentra la razón 3er tér min o =
2 160 − 810 3 s= 2 −1 3 2 .110 − 3 = $ 2 .110 s= 1 − 3
para n = 3 , entre el 3º y 5º tér min o. 8 36 2 81 = = r= 2 81 3 9 2 3 1 ⋅ = → 2º tér min o 9 2 3 1 3 1 ⋅ = → 1º tér min o 3 2 2
n=4
1 1 1 32 r=3 =3 = 1 8 2 4 1 1 ⋅2 = → 6º tér min o 32 16
la multiplicación del primer
Entonces la respuesta es : 1 = 216
1 1 u= 4 32
8. a = 59 . 049 u = 100 . 000 n = 6 r=5
100 . 000 5 10 5 10 = = 59 . 049 95 9
9. r =
1 3
a = 24 . 300
10. n = 15 a = 1
n= 6
u = ( 3) = 4 . 782 . 969
5
24 . 300 1 = 100 u = 24 . 300 = 3 243
s=
1 72 . 800 100 − 24 . 300 − 3 72 . 800 3 = = 36 . 400 bs. = s= 1 2 2 − −1 3 3
EJERCICIO 298
(
1. Log 532 ⋅ 0 ,184
)
= 2 , 72591 + 1 , 26482 = 1, 99073 ⇒ 10 1,99073 = 97 , 888
= 1, 858434 + 2 , 022276 = 1, 88071 ⇒ 101, 88071 = 75 , 981873 ≅ 75 , 982
10. Log 9 .114 − Log 0 , 02 = Log 9 .114 + Co log 0 , 02
2. Log191, 7 + Log 432 = 2 , 28262 + 2 , 63548 = 4 , 9181 ⇒ Anti log 4 , 9181= 82 . 814 , 4
= 3 , 959709 + 1, 698970 = 5 , 658679 ⇒ Anti log 5 , 658679 = 455 . 699 , 97 ≅ 455.700
3. Log 0 , 7 + Log 0 , 013 + Log 0 , 9 = 1, 84510 + 2,11394 + 1, 95424 = − 2 , 08672 − 2 , 08672
4 . 782 . 969 ( 3) − 1 14 . 348 . 906 = = $ 7 .174 . 453 3− 1 2
9. Log 0 , 72183 − Log 0 , 0095 = Log 0 , 72183 + Co log 0 , 0095
= Log 532 + Log 0 , 184
⇒ 10
r=3
14
10 11. Log 2 = 10 (log 2)
= 10 (0 , 301029)
= 3 , 010299 Anti log 3 , 010299 = 1. 024
(
= 0 , 00819
= 3 (1,176091)
= 3 (− 1) + 3 (0 , 176091)
4. Log 7 , 5 + Log 8 ,16 + Log 0 , 35 + Log10 . 037 = 0 , 875061+ 0 ,911690 + 1, 544068 + 4 , 001603 = 4 − 1+ 2 , 332422 = 5 , 332422 ⇒ 10 5 , 332422 = 214 . 991, 85
)
12. Log 0 , 153 = 3 log 0 ,15
= − 2 , 471727 10
− 2 , 471727
= 0 , 00337499 ≅ 0 , 003375
13. Log 18 , 654 = 4 (log 18 , 65)
= 4 (1, 270678)
≅ 214 . 992
= 5 , 082715
5. Log 3 , 2 + Log 4 , 3 + Log 7 , 8 + Log103 , 4 + Log 0 , 019
Anti log = 0 , 505149 + 0 , 633468 + 0 , 892094 + 2 , 014520 + 2, 278753 = 2 , 323988 ⇒ Anti log 2 , 323988 = 210, 857 14. Log 2 ⋅ 0 , 084 6. Log 95 ,18 − Log 7 , 23 = 1, 978317 − 0 , 859138 = 1,119179 ⇒ Anti log 1,119179 = 13 ,15767031≅ 13 ,1577
(
= Log 8 ,125 + Co log 0 , 9324 = 0 , 940220 ⇒ 100 , 940220 = 8 , 714063 ≅ 8 , 7141 8. Log 7 . 653 , 95 − Log12 , 354 = log 7 . 653 , 95 + Co log 12 , 354
= 3 , 883885 + 2, 908192 = 2 , 792077 ⇒ Anti log 2 , 792077 = 619 , 55
)
≅ 120 . 980 , 5
2
= log (0 , 168)
2
= 2 (log 0 , 168)
= 2 ( 1 , 225309)
= 2 (− 1) + 2 (0 , 225309)
7. Log 8 ,125 − Log 0 , 9324
= 0 , 909823 + 0 , 030397
5 , 082715 = 120 . 980 , 4916
= − 1, 549382 = 2 , 450618 10
− 1, 549382
= 0 , 028223963 ≅ 0 , 028224
Anti log 2 , 450618 = 0 , 028224
6 15. Log 7 , 2 = 6 (log 7 , 2)
= 6 (0 , 857332)
= 5 , 143994 Anti log 5 , 143994 = 139 . 313 , 75
log 3 0 , 477121 = = 0 , 238560 2 2 Anti log 0 , 238560 = 1, 7320483 ≅ 1, 73205
16. Log 3 =
log 2 0 , 301029 = = 0 ,100343 3 3 100 ,100343 = 1, 259921
log 63 1, 799340 = = 0 , 359868 5 5 100 , 359868 = 2 , 290172
19. Log 5 63 =
17. Log 3 2 =
log 5 0 , 698970 = = 0 ,174742 18. Log 5 = 4 4 Anti log 0 ,174742 = 1, 495348 ≅ 1, 49535
log 815 2 , 911157 = = 0 , 415879 7 7 Anti log 0 , 415879 = 2 , 605431
20. Log 7 815 =
4
EJERCICIO 299 1. Log 515 + log 78 ,19 + co log 6 ,13
9. 35 ⋅ 0 , 2 4 = 5 log 3 + 4 log 0 , 2
= 5 (0 , 47712) + 4 (1 , 30103)
= 2 , 711807 + 1, 893151+ 1, 212539 = 3 , 817497 → Anti log 3 , 817497 = 6 . 568 , 96 ≅ 6 . 569
= 2 , 38561 − 2 , 79588
2. Log 23 , 054 + log 934 ,5 + co log 8 .164
= − 0 , 41027 → 10− 0 , 41027 = 0 , 3888
= 1, 36275 + 2 , 97058 + 4,0881
* En la tabla se busca 1 , 58973
= 0 , 42143 → Anti log 0 , 42143 = 2 , 63894
⇒ Anti log 0 , 58973 = 0 , 3888
3. Log 8 ,14 + log 9 , 73 + co log 0 , 6 + co log 7 , 8
= 0 , 91062 + 0 , 98811+ 0 , 22185 + 1 ,10791
10.
= 1, 22849 → Anti log 1, 22849 = 16 , 923461≅ 16 , 9235 4. Log 513 , 4 + log 9 ,132 + co log 85 , 3 + co log10 , 764
= 2 , 71046 + 0 , 96057 + 2 , 06905 + 2 , 96802 = 0 , 7081 → Anti log 0 , 7081= 5 ,10622
→ Anti log 0 , 66757 = 4 , 651199 ≅ 4 , 6512
5. Log 53 , 245 + log 4 . 325 , 6 + co log 32 , 815 + co log 91, 79
= 1, 72628 + 3 , 63605 + 2 , 48392 + 2 , 03721 = 1, 88346 → Anti log 1, 88346 = 76 , 4645
11.
6. Log 32 , 6 + log 841, 9 + co log 0 , 017 + co log 732 ,14
= 1, 51322 + 2 , 92526 + 1, 76955 + 3 ,135406 = 3 , 343436 → Anti log 3 , 343436 = 2 . 205 ,139151
12. 8 log 3 + 5 co log 5 , 6
= 8 (0 , 47712) + 5 (1 , 25181)
7. Log 95 , 36 + log 0 ,14 + co log 83 , 7 + co log 2 , 936
= 3 , 81696 − 3 , 74095 = 0 , 07601 → Anti log 0 , 07601 = 1,19127 ≅ 1,1913
= 1, 97937 + 1 ,14613 + 2 , 07727 + 1 , 53224 = − 1, 26499 → Anti log − 1, 26499 = 0 , 054326 El signo negativo se anula puesto que se encuentra en el numerador y en el deno min ador luego la respuesta es positiva
1 1 3 log 2 + log 3 + log 5 5 2 4 1 1 3 = (0 , 30103) + (0 , 47712) + (0 , 69897) 5 2 4 = 0 , 060206 + 0 , 23856 + 0 , 5242275 = 0 , 82299 → Anti log 0 , 82299 = 6 , 65257 ≅ 6 , 6526
Como existe un signo negativo en la operación entonces este afecta el resultado total , luego la respuesta final es ≅ − 2 . 205 ,14
1 2 log 5 + log 3 2 3 1 2 = (0 , 69897) + (0 , 47712) 2 3 = 0 , 349485 + 0 , 31808 = 0 , 66757
13. 7 log 0 , 53 + 3 co log 2 , 5
8. Log 7 , 2 + log 8 ,135 + co log 0 , 003 + co log 9 .134 , 7
= 0 , 85733 + 0 , 91036 + 2 , 52288 + 4 , 03930 = 0 , 32987 → Anti log 0 , 32987 = − 2 ,137333 ≅ − 2 ,13734
= 7 (1 , 72428) + 3(1 , 60206) = − 1, 93004 − 1, 19382 = − 3 ,12386 → 10− 3,12386 = 0 , 000751865
* En la tabla se busca 4 , 87614
14.
2 5 log 3 + co log 2 5 3 2 5 = (0 , 47712) + ( 1 , 69897) 5 3 = 0 ,190848 − 0 , 501717
21.
= − 0 , 310869 → 10− 0 , 310869 = 0 , 488799 ≅ 0 , 4888 * En la tabla se busca 1 , 68914 Log 7 , 86 + Log 8 ,14 15. 2 0 , 89542 + 0 , 91062 = 2 1, 80604 = 2 = 0 , 90302 → Anti log 0 , 90302 = 7 , 9987 16.
Log 932 , 5 + Log 813 , 6 + Log 0 , 005 2 2 , 96965 + 2 , 91041+ 3 , 69897 = 2 3 , 57903 = 2 = 1, 78952 Anti log 1, 78952 = 61, 59138
17.
Log 93 , 7 + Log104 , 2 + co log 8 , 35 + co log 7 , 3 2 1, 97174 + 2 , 01787 + 1 , 07831+ 1 ,13668 = 2 2 , 2046 = = 1,1023 → Anti log 1,1023 = 12 , 656174 2
18.
3 3 log 0 , 0316 + co log 0 ,1615 2 2 3 = (2 , 49969 + 0 , 79183) 2 3 = (− 0 , 70848) = − 1, 06272 = 2 , 93728 2 10−1, 06272 = 0 , 086552 Anti log 2 , 93728 = 0 , 08655625
22.
3 2 log 3 + co log 5 4 3 3 2 = (0 , 47712) + (1 , 30103) 4 3 = 0 , 35784 − 0 , 46598 = − 0 ,10814 = 1 , 89186 Anti log 1 , 89186 = 0 , 77958
23.
Log15 + Co log 4 7 1,17609 + 1 , 39794 7 0 , 57403 = = 0 , 082 7 Anti log 0 , 082 = 1, 20782 =
24.
Log 5 + Co log 3 5 0 , 69897 + 1 , 52288 = 0 , 04437 5 Anti log 0 , 04437 = − 1,10756 =
Log 23 , 725 + Log 9 ,182 + Log 7 ,184 6 Log 5 + Co log 8 25. 3 5 1, 37521+ 0 , 96294 + 0 , 85637 6 = = 0 , 69897 + 1 , 09691 3 5 3 ,19452 6 = = 1, 06484 Anti log 1, 06484 = − 11, 610207 = − 0 , 20412 = − 0 , 24494 = 1 , 75506 3 5 log 1 , 75506 = 0 , 568926 ≅ 0 , 56893 Anti Log12 . 316 + Log 0 , 25 + co log 931, 8 + co log 0 , 07
(
)
( (
19.
4 4 , 09047 + 1 , 39794 + 3 , 03068 + 1,15490 = 4 1, 67399 = = 0 , 41849 → Anti log 0 , 41849 = 2 , 621125 4
20.
Log 56 . 813 + co log 22 .117 5 4 , 75446 + 5 , 65527 5 0 , 40973 = = 0 , 081946 → Anti log 0 , 081946 = 1, 20766 5 =
26.
)
)
Log 3 + Co log 5 Log 5 + Co log 7 + 2 3 =
3 (0 , 47712 + 1 , 30103) + 2 (0 , 69897 + 1 , 15490) 6
3 (− 0 , 22185) + 2 (− 0 ,14613) = 6 − 0 , 6655 − 0 , 29226 = 6 − 0 , 95781 = = − 0 ,159635 = 1 , 840364 6 10 − 0 ,159635 = 0 , 6924126 Anti log 1 , 840364 = 0 , 69241
27.
Log 2 Log 3 Log 0 , 2 + + 7 5 3
2 log 0 , 75 + log 39 , 162 + co log 0 , 07 + co log 3 , 89 29. 15 (0 , 30103) + 21(0 , 47712) + 35 (1 , 30103) 2 = 105 2 (1 , 87506) + 1, 59286 + 1, 15490 + 1 , 41005 = 4 , 51545 + 10 , 01952 − 24 , 46395 2 = 105 1, 90793 = = 0 , 953965 = 8 , 99425 ≅ 8 , 9943 − 9 , 92898 2 = = − 0 , 094562 = 1 , 905438 105 Anti log 1 , 905438 = 0 , 8043369 ≅ 0 , 80434 3 log 0 , 2 + 2 log 0 , 3 + 4 co log 0 , 05 + co log 3 , 25 Log 32 ,14 Log 59 , 3 Co log 317, 6 30. 28. + + 2 2 3 4 + 3 1 30103 2 1 47712 , , ( ) ( ) + 4 (1, 30103) + 1 , 48812 6 (1, 50705) + 4 (1, 77305) + 3 (3 , 49812) = = 2 12 − 3 + 0 , 90309 − 2 + 0 , 95424 + 5 , 20412 − 1 + 0 , 48812 9 , 0423 + 7 , 0922 − 7 , 50564 = = 2 12 1 54957 , 8 , 62886 = = 0 , 774785 = = 0 , 71907 2 12 Anti log 0 , 774785 = 5 , 95366 Anti log 0 , 71907 = 5 , 2368483 ≅ 5 , 23685
EJERCICIO 300 2 2 1. 36 = 2 ⋅ 3 Log 36 = 2 log 2 + 2 log 3
= 2 (0 , 301030) + 2 (0 , 477121)
= 0 , 60206 + 0 , 954242 Log 36 = 1, 556302 2. 75 = 3⋅ 5 Log 75 = log 3 + 2 log 5 2
= 0 , 477121 + 2 (0 , 698970)
= 0 , 477121 + 1, 39794 Log 75 = 1, 875061 3. 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Log 30 = log 2 + log 3 + log 5 = 0 , 301030 + 0 , 477121+ 0 , 698970 Log 30 = 1, 477121 4 4. 48 = 2 ⋅ 3 Log 48 = 4 log 2 + log 3
= 4 (0 , 301030) + 0 , 477121
= 1, 20412 + 0 , 477121 Log 48 = 1, 681241 3 5. 120 = 2 ⋅ 3⋅ 5 Log 120 = 3 log 2 + log 3 + log 5
= 3(0 , 30103) + 0 , 477121 + 0 , 69897
= 0 , 90309 + 1,176091 Log 120 = 2 , 079181
2 6. 98 = 7 ⋅ 2 Log 98 = 2 log 7 + log 2
= 2 (0 , 845098) + 0 , 30103
= 1, 690196 + 0 , 30103 Log 98 = 1, 991226 3 7. 343 = 7 Log 343 = 3 log 7
= 3 (0 , 845098)
Log 343 = 2 , 535294 Log 0 , 343 = 1 , 535294 2 2 8. 225 = 5 ⋅ 3 Log 225 = 2 log 5 + 2 log 3
= 2 (0 , 69897) + 2 (0 , 477121) = 1 , 39794 + 0 , 954242 = 2 , 352182
Log 22 , 5 = 1, 352182 9. 196 = 2 2 ⋅ 7 2
Log 196 = 2 (log 2 + log 7)
= 2 (0 , 30103 + 0 , 845098) = 2 (1 , 146128)
= 2 , 292256 Log 1 , 96 = 0 , 292256
3 10. 875 = 5 ⋅ 7 Log 875 = 3 log 5 + log 7
= 3 (0 , 69897) + 0 , 845098 = 2 , 09691 + 0 , 845098 = 2 , 942008
5 = 2 ,5 2 2 25 = 5
2 21 =
13.
Log 25 = 2 (0 , 69897)
2 31 =
16.
7 3
7 3 = log 7 + co log 3
Log 2 31 = log
= 1, 39794
= 0 , 845098 + 1 , 522879
Log 2 12 = 0 , 397940
= 0 , 367977 14. 1 21 = 3 = 1, 5 143 11. 2 . 025 = 3 ⋅ 5 2 13 = 17. 11 Log 2 . 025 = 4 log 3 + 2 log 5 15 = 3 ⋅ 5 143 Log 13 = log = 4 (0 , 477121) + 2 (0 , 69897) Log15 = log 3 + log 5 11 = 0 , 477121+ 0 , 698970 = 1, 908484 + 1, 39794 = log 143 + co log11 = 1,176091 = 3 , 306424 = 2 ,155336 + 2 , 958607 Log1 21 = 0 ,176091 Log 202 , 5 = 2 , 306424 Log 13 = 1,113943 6 7 12. 448 = 2 ⋅ 7 15. 225 1 25 = = 1, 4 18. 25 = 5 Log 448 = 6 log 2 + log 7 9 14 = 7 ⋅ 2 225 = 6 (0 , 30103) + 0 , 845098 Log 25 = log Log14 = log 7 + log 2 9 = 1, 80618 + 0 , 845098 = 0 , 845098 + 0 , 30103 = log 225 + co log 9 = 2 , 651278 = 1,146128 = 2 , 352183 + 1 , 045757 Log 44 , 8 = 1, 651278 Log1 25 = 0 ,146128 Log 25 = 1, 397940
Log 0 , 875 = 1 , 942008 4
2
EJERCICIO 301
4. 9 x = 0 , 576
1. 5 = 3
Log 9 x = log 0 , 576
x
Log 5 = log 3 x log 5 = log 3
x log 9 = 1 , 76042
x
x (0 , 69897) = 0 , 477121 x=
x (0 , 95424) = 1 , 76042
1 , 76042 x= 0 , 95424 − 0 , 23958 x= 0 , 95424 x = − 0 , 2510689 x ≅ − 0 , 25107
0 , 477121 = 0 , 6826 0 , 69897
2. 7 = 512 x
Log 7 x = log 512 x log 7 = log 512 2 , 70927 x= = 3 , 205864 0 , 845098 x ≅ 3 , 2059 x 3. 0 , 2 = 0 , 0016
Log 0 , 2 x = log 0 , 0016 x log 0 , 2 = log 0 , 0016
x +1 5. 3 = 729
Log 3x +1 = 729
(x + 1) log 3 = log 729 (x + 1)(0 , 477121) = 2 , 86273
Log 23 x + 1 = log 128
(3x + 1) log 2 = 2 ,10721 (3x + 1)(0 , 30103) = 2 ,10721 3x + 1 = 7 3x = 6 x=2 2 x −1 = 2 .187 8. 3 Log 32 x −1 = log 2 .187
(2 x − 1) log 3 = 3 , 33985 (2 x − 1)(0 , 477121) = 3 , 33985
x + 1 = 6 , 00944 x = 6 , 00944 − 1 x = 5 , 00944 ⇒ x ≅ 5
x (1 , 30103) = 3 , 20412 x −2
3 , 20412 6. 5 = 625 1 , 30103 Log 5x − 2 = log 625 −3 0 , 20412 (x − 2) log 5 = 2 , 79588 + x= − 0 , 69897 − 0 , 69897 2 , 79588 x− 2= x = 4 , 29203 − 0 , 29203 0 , 69897 x= 4 x − 2 = 4⇒ x = 6 x=
3 x +1 = 128 7. 2
2 x − 1= 7 2x = 8⇒ x = 4 9. 112 x = 915
Log112 x = log 915 2x log11= 2 , 96142 2 , 96142 1, 04139 2x = 2 , 84372
2x =
x = 1, 42186
EJERCICIO 302 1. a = 3
u = 48
r =6÷3=2
2 . 048 8 4 r= = 81 6 3 2 . 048 Log + Co log 6 81 n= 4 Log 3 Log 2 . 048 + Co log 81+ Co log 6 n= Log 4 + Co log 3
4. a = 6 u =
Log 48 + Co log 3 n= +1 Log 2 1, 68124 + 1 , 522879 +1 0 , 30103 1, 204119 n= +1 = 4 +1 = 5 0 , 30103 n=
n=
243 3 r= 16 2 Log 243 16 + Co log 2 +1 n= 3 Log 2 Log 243 + co log16 + co log 2 n= +1 Log1, 5
2. a = 2
3 , 31133 + 2 , 09151+ 1 , 22184
0 , 60206 + 1 , 522879 0 , 62468 n= +1 0 ,124939 n = 4 , 999879 + 1 n = 5 , 999879 n ≅6
u=
2 , 38461+ 2 , 79588 + 1 , 69897 +1 0 ,176091 0 , 87946 + 1 = 4 , 994 + 1 n = 5 , 994 n ≅ 6 n= 0 ,176091
+1
n=
625 5 r = = 2,5 8 2 625 Log + Co log 2 8 +1 n= Log 2 , 5
5. a = 2 u =
3. a = 4 u = 512 r = 8 ÷ 4 = 2 Log 512 + Co log 4 n= +1 Log 2
n=
Log 625 + Co log 8 + Co log 2 +1 Log 2 , 5
2 , 79588 + 1 , 09691+ 1 , 69897 +1 0 , 39794 1, 59176 +1 = 4 +1 = 5 n= 0 , 39794
2 , 70927 + 1 , 39794 +1 0 , 30103 2 ,10721 n= +1 = 7 +1 = 8 0 , 30103
n=
n=
EJERCICIO 303 1. c = 500
r = 0 , 06
t=3
C = 500 (1 + 0 , 06)
2. c = 3 . 500
r = 0 , 07
t=5
C = 3.500 (1 + 0 , 07)
3
5
C = 500 (1, 06)
3
Log C = Log 500 (1 , 06)
Log C = Log 500 + 3 log 1 , 06
Log C = 2 , 69897 + 3 (0 , 02531) Log C = 2 , 7749 Anti log 2 , 7749 = $ 595 , 51
C = 8 .132 (1 + 0 , 09)
10
Log C = Log 3.500 (1, 07)
5
3
3. c = 8 .132 r = 0 , 09 t = 10
Log C = Log 3.500 + 5 Log 1, 07 = 3 , 54407 + 5(0 , 02938)
= 3 , 54407 + 0 ,1469 Log C = 3 , 69097 Anti log 3 , 69097 = 4 . 908 , 94 soles
Log C = Log 8 .132 (1, 09)
10
= Log 8 .132 + 10 Log 1, 09 = 3 , 91020 + 10 (0 , 03743)
= 3 , 91020 + 0 , 3743 Log C = 4 , 2845 Anti log 4 , 2845 = 19 . 253 , 070 bs.
4. c = 930
r = 0 , 035 t = 7
8. c = 800
C = 930 (1 + 0 , 035)
7
t=4
r=
0 , 03 = 0 , 015 2
C = 800 (1 + 0 , 015)
4
Log C = Log 930 (1, 035)
7
Log C = Log 800 (1 + 0 , 015)
4
= Log 930 + 7 Log 1, 035
= Log 800 + 4 log 1, 015
= 2 , 9684829 + 7 (0 , 0149403)
= 2 , 90309 + 4 (0 , 00647)
= 2 , 9684829 + 0 , 01045821 Log C = 3 , 073065 Anti log 3 , 073065 = $ 1.183 , 2186
5. C = 12 . 318 t = 6 17 4 , 25 = 4 , 25 ⇒ = 0 , 0425 r = 4 41 = 4 100
C = 12 . 318 (1 + 0 , 0425)
= 2 , 90309 + 0 , 02588 Log C = 2 , 92897 Anti log C = $ 849 , 09
9. c = 900
t=
12 =4 3
r=
C = 900 (1 + 0 , 01)
0 , 04 = 0 , 01 4
4
Log C = Log 900 + 4 log 1 , 01
= 2 , 954242 + 4 (0 , 004321)
6
Log C = Log 12 . 318 (1, 0425)
6
= Log 12 . 318 + 6 Log 1, 0425 = 4 , 0905402 + 6 (0 , 018076)
= 4 , 0905402 + 0 ,108456 Log C = 4 ,1989962 Anti log 4 ,1989962 = $ 15.812 , 34204
= 2 , 954242 + 0 , 017284 = 2 , 971526 Anti log 2 , 971526 = $ 936 , 54 10. r = 0 , 05
c=
C = 972 , 60 972 , 60
t=4
(1 + 0 , 05)
4
Log c = log 972 , 6 + 4 co log 1, 05 6. C = 24 .186 t = 7 11 5,5 = 0 , 055 r = 5 21 = = 5 , 5 ⇒ 2 100
C = 24 .186 (1 + 0 , 055)
7
Log C = Log 24 .186 (1, 055)
7
= Log 24 .186 + 7 log 1, 055
= 4 , 383564 + 7 (0 , 0232524) = 4 , 383564 + 0 ,1627668 Log C = 4 , 5463308 Anti log 4 , 5463308 = 35.182 , 83244 sucres
t=5 7. C = 54 . 293 15 3 , 75 = 3 , 75 ⇒ = 0 , 0375 r = 3 43 = 4 100 Log C = Log 54 . 293 (1, 0375)
= 2 , 987934 + 4 (1 , 978811) = 2 , 987934 − 0 , 084756
Log c = 2 , 903178 Anti log 2 , 903178 = $ 800 ,16 11. C = 1. 893 , 5 t = 6 9 4 ,5 = 0 , 045 r = 4 21 = = 4 , 5 ⇒ 2 100 1. 893 , 5 c= (1 + 0 , 045)6
Log c = log 1.893 , 5 + 6 co log 1 , 045 = 3 , 277265 + 6 ( 1 , 980883)
= 3 , 277265 − 0 ,114702 = 3 ,162563 Anti log 3 , 162563 = $ 1. 454 , 02 12. C = 54 .198 ,16
5
= Log 54 . 293 + 5 log 1, 0375 = 4 , 734743 + 5(0 , 015988) = 4 , 734743 + 0 , 07994 = 4 , 814683 Anti log 4 , 814683 = $ 65. 265 , 399
c=
r = 0 , 08 t = 7
54 .198 ,16
(1+ 0 , 08)
7
Log c = log 54 .198 ,16 + 7 co log 1, 08
= 4 , 733984 + 7 (1 , 966576)
= 4 , 733984 − 0 , 233968 Log c = 4 , 500016 Anti log 4 , 500016 = 31. 623 , 9 ≅ 31. 624 Q.
16. c = 6 . 354
13. c = 600 r = 0 , 03 C = 695 , 56 Log 695 , 56 − Log 600 t= Log1, 03 2 , 842334 − 2 , 778151 t= 0 , 012837 0 , 064183 t= = 4 , 9998 ≅ 5 años 0 , 012837 14. c = 1. 215 C = 1. 709 , 61 r = 0 , 05
t= t=
t = 4 C = 7 .151, 46 Log 7 .151, 46 − Log 6 . 354 4 3 , 854394 − 3 , 803047 = 4
Log (1 + r ) =
Log (1 + r ) = 0 , 012836
Anti log 0 , 012836 = 1, 03 1 + r = 1, 03
Log 1. 709 , 61− log 1. 215
r = 0 , 03 ⇒ 3 %
Log (1 + 0 , 05)
3 , 232897 − 3 , 084576 0 , 021189
17. c = 900
r = 0 , 05
C = 900 (1 + 0 , 05)
1 t = 2 + = 2 , 33333 3
2 , 33333
0 , 148321 = 7 años t= 0 , 021189 15. c = 800 t = 4 C = 1. 048 , 63 log 1. 048 , 63 − log 800 Log (1 + r ) = 4 3 , 020622 − 2 , 903089 Log (1 + r ) = 4 0 , 117533 = 0 , 029384 Log (1 + r ) = 4 Anti log 0 , 029384 = 1, 07
Log C = Log 900 + 2 , 33333 log 1 , 05
= 2 , 954242 + 2 , 33333(0 , 0211892)
= 2 , 954242 + 0 , 049441 = 3 , 003683 Anti log 3 , 003683 = 1. 008 , 52 Los int ereses producidos represen tan la diferencia entre la suma inicial y lo que se ha convertido ⇒ Intereses producidos = 1. 008 , 52 − 900
1 + r = 1, 07 r = 0 , 07 ⇒ 7 %
= $ 108 , 52
EJERCICIO 304
1. c = 40 . 000 r = 0 , 05
t = 10
40 . 000 (0 , 05)(1, 05)
10
a=
(1, 05) − 1 Log (1, 05) = 10 Log 1, 05 = 10 (0 , 0211892) 10
10
= 0 , 211892 Anti log 0 , 211892 = 1, 62889 Log a = log 40 . 000 + log 0 , 05 + log 1 , 62889 + co log 0 , 62889 = 4 , 602059 + 2 , 69897 + 0 , 211892 + 0 , 2014253 = 3 , 7143463 Anti log 3 , 7143463 = $ 5.180 , 21
2. c = 85. 000 r = 0 , 03 t = 12
5. c = 3 . 000 r = 0 , 06 t = 5 a = 3 . 000 ⋅ 0 , 237396 a = 712 ,188 ≅ 712 , 19 bs.
85. 000 (0 , 03)(1 + 0 , 03)
12
a=
(1+ 0 , 03) − 1 Log (1, 03) = 12 log 1, 03 = 12 (0 , 012837) 12
12
= 0 ,154044 Anti log 0 , 154044 = 1, 425761 Log a = log 85. 000 + log 0 , 03 + log 1 , 425761 + co log 0 , 425761 = 4 , 929418 + 2 , 477121 + 0 ,154044 + 0 , 370834 = 3 , 931417 Anti log 3 , 931417 = 8 .539 , 2 soles
3. c = 600 . 000 r = 0 , 05
(1, 06)
5
−1
180 (1 , 338226) a= 0 , 338226 240 , 88068 0 , 338226 a = 712 ,1885367 ≅ 712 , 19 bs. a=
NOTA: 0 , 237396 → Vr. que aparece en la tabla de int erés compuesto decreciente para el 6% en 5 años. 1 , 338226 → Vr . que aparece en la tabla de int erés compuesto para el 6% a 5 años.
t = 20
600 . 000 (0 , 05)(1 + 0 , 05)
20
a=
3 . 000 (0 , 06)(1 , 06)
5
a=
(1 + 0 , 05) − 1 Log (1, 05) = 20 log 1, 05 = 20 (0 , 0211892) 20
20
= 0 , 423784 Anti log 0 , 423784 = 2 , 65328 Log a = log 600 . 000 + log 0 , 05 + log 2 , 65328 + co log 1 , 65328 = 5 , 778151 + 2 , 69897 + 0 , 423784 + 1 , 781653 = 4 , 682558 Anti log 4 , 682558 = $ 48 .145 , 75
4. c = 5 ' 000 . 000
r = 0 , 06
t = 30
5 ' 000 . 000 (0 , 06)(1 + 0 , 06)
30
a=
(1+ 0 , 06)
30
−1
Log (1, 06) = 30 log 1, 06 30
= 30 (0 , 025306)
= 0 , 75918 Anti log 0 , 75918 = 5 , 7435 log a = log 5 ' 000 . 000 + log 0 , 06 + log 5 , 7435 + co log 4 , 7435 = 6 , 69897 + 2 , 778151 + 0 , 75918 + 1 , 323901 = 5 , 5602 Anti log 5 , 5602 = 363. 245 , 2 bs.
6. c = 12 . 000 r = 0 , 07 t = 12 a = 12 . 000 ⋅ 0 ,125902 a = 1. 510 , 824 bs.
7. c = 350 . 000
r = 4 21 % t = 3
a = 350 . 000 ⋅ 0 , 363773 a = 127 . 320 , 55 sucres
8. c = 425 . 000 r = 6% t = 10 a = 425 . 000 ⋅ 0 ,135868 a = 57 . 743 , 9 soles 9. c = 90 . 750 r = 5% t = 25 a = 90 . 750 ⋅ 0 , 070952 a = 6 . 438 , 894 bs. 10. c = 73 . 550 r = 5 21 % t = 30 a = 73 . 550 ⋅ 0 , 068805 a = 5 . 060 , 60775 ≅ 5 . 060 , 61 bs. 11. c = 473 . 000 r = 3 21 %
t=9
a = 473 . 000 ⋅ 0 ,131446 a = 62 .173 , 958 ≅ 62 .173 , 96 sucres
12. c = 45. 800 r = 4% a = 45.800 ⋅ 0 , 057830
t = 30
a = 2 . 648 , 614 soles 45. 800 (0 , 04)(1, 04)
30
a=
(1, 04) − 1 Log (1, 04) = 30 log 1, 04 = 30 (0 , 017033) 30
30
= 0 , 51099 Anti log 0 , 51099 = 3 , 243321 Log a = Log 45.800 + log 0 , 04 + log 3 , 243321 + co log 2 , 243321 = 4 , 660865 + 2 , 60206 + 0 , 510989 + 1 , 649108 = 3 , 423022 Anti log 3 , 423022 = 2 . 648 , 61 soles
EJERCICIO 305 1. c = 30 . 000 r = 0 , 06 t = 9 30 . 000 (0 , 06) i= (1+ 0 , 06)10 − (1+ 0 , 06)
Log (1, 06) = 10 log 1 , 06 10
= 10 (0 , 02531) = 0 , 2531
Anti log 0 , 2531 = 1 , 791018 Log i = Log 30 . 000 + log 0 , 06 + co log 0 , 731018
3. c = 200 . 000 r = 0 , 05
i=
(1, 05) − 1, 05 Log (1, 05) = 41log 1 , 05 = 41(0 , 0211892)
Anti log 3 , 391344 = $ 2 . 462 , 38
2. c = 90 . 000 r = 0 , 04 t = 20
i=
90 . 000 (0 , 04)
(1, 04)
21
− 1, 04
En la tabla de int erés compuesto (1, 04) = 2 , 278768 21
Log i = Log 90 . 000 + log 0 , 04 + co log 1, 238768 = 4 , 95424 + 2 , 60206 + 1 , 90701 = 3 , 4633 Anti log 3 , 4633 = 2 . 906 , 03 sucres
41
41
= 0 , 868757 Anti log 0 , 868757 = 7 , 391915 Log i = Log 200 . 000 + log 0 , 05 + co log 6 , 341915 = 5 , 30103 + 2 , 69897 + 1 ,19777
= 4 , 477121 + 2 , 778151 + 0 ,136072 = 3 , 391344
200 . 000 (0 , 05)
t = 40
= 3 ,19777 Anti log 3 ,19777 = $ 1. 576 , 79
4. c = 40 . 000 r = 0 , 06 t = 25
i=
40 . 000 (0 , 06)
(1, 06) − 1, 06 (1, 06) → 4 , 549383 26
26
Log i = log 40 . 000 + log 0 , 06 + co log 3 , 489383 = 4 , 60206 + 2 , 778151 + 1 , 457251 = 2 , 837462 Anti log 2 , 337462 = $ 687 , 79