Desarrollo Presentación El Proyecto Eratóstenes 2012 en el que hemos participado fue una propuesta1 del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires (Argentina), del Laboratorio Pierre Auger, de la Universidad Tecnológica Nacional Regional Mendoza (Argentina) y de la Asociación de Física de Argentina. La propuesta fue anunciada y difundida en su día por el Programa NASE (Network Astronomy School Education) que fue promovido por el Ministerio de Educación de la Provincia de Santa Fe. Para poder participar accedimos al sitio Web del Proyecto Eratóstenes de la Universidad Nacional de Buenos Aires y registramos allí nuestra escuela. Desde su base de datos y por correo electrónico pudimos contactar con otros centros escolares y cotejar pares de medidas. Así fuimos realizando nuestros propios cálculos utilizando un procedimiento muy parecido al que usó Eratóstenes hace 2300 años. Más tarde, desde la Universidad de Buenos Aires, se analizaría toda la información recopilada para obtener un radio promedio de la Tierra acorde con todas las medidas realizadas por todos los participantes en el Proyecto.

Objetivos del Proyecto • • • • •

Comprender los aspectos geométricos que hacen que los rayos del Sol incidan sobre la Tierra de manera diferente en distintas latitudes. Describir cómo determinar el mediodía solar verdadero en el lugar donde uno vive. Medir el ángulo que forman los rayos del Sol con la vertical. Describir cómo se midió el Radio de la Tierra por primera vez hace 2300 años. Calcular el radio terrestre con una aproximación muy aceptable. Formar parte de un proyecto colectivo, desde el cual, con el diálogo activo de diferentes grupos, se puede alcanzar un objetivo común.

Un poco de historia y base teórica Hace unos 2300 años, el sabio Eratóstenes (Cirene, 274 a C – Alejandría, 194 a C) midió, con bastante exactitud y por primera vez, el tamaño de la Tierra. Eratóstenes tuvo noticia de que, en la ciudad de Siena (actual Asuán), en el momento del mediodía del solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendiculares hacia el suelo y lograban llegar hasta el fondo de un profundo pozo de agua. Este hecho sólo ocurría al mediodía de ese día especial desde el punto de vista astronómico. Sin embargo, en la ciudad de Alejandría, al mediodía del solsticio de verano, los rayos del sol no incidían de forma perpendicular sobre la tierra: todos los objetos proyectaban algo de sombra.

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Figura 1. Eratóstenes en Alejandría y Siena (Egipto)

Dicha propuesta fue una adaptación Argentina del proyecto WYP Eratosthenes Project http://www.physics2005.org/projects/eratosthenes/TeachersGuide.pdf realizado en Estados Unidos con ocasión del Año Internacional de la Física en 2005.

Eratóstenes pensó que, si la Tierra era plana, todos los objetos deberían proyectar sombras proporcionales en los mismos instantes. No obstante, si la Tierra estaba curvada (esférica), esta diferencia observada entre Alejandría y Siena podría tener explicación.

Figura 2. Efecto de curvatura Eratóstenes razonaba que la prolongación de los rayos del sol en la ciudad de Siena (al igual que la prolongación inferior de todos los objetos verticales) debería llegar hasta el centro de la Tierra. Así mismo, la prolongación inferior de todos los objetos verticales en Alejandría también debería llegar hasta el centro de la Tierra. Ambas prolongaciones formarían un ángulo central θ. Figura 3. Ángulo central θ Puesto que los rayos solares llegarían paralelos a la Tierra, este ángulo θ sería fácilmente determinable si pudiéramos medir el ángulo que forman los rayos del sol con la vertical en Alejandría (Principio de Tales).

Figura 4. Principio de Tales

Figura 5. Determinación de θ

El ángulo de inclinación de los rayos solares en Alejandría se puede determinar fácilmente midiendo la longitud de la sombra y la altura de una columna vertical:

θ = arctan

original de Eratóstenes)

No obstante, es mucho más interesante expresar los ángulos en radianes:

sombra = 7,2º (medida altura

7,2º = 7,2º

2π ⋅ rad = 0,126rad 360º

Ya que un ángulo central medido en radianes viene fácilmente determinado como cociente entre la longitud de arco y el radio de la circunferencia con el que ha sido trazado:

θ=

d R

Cuenta la historia que Eratóstenes contrató un pequeño ejército para que estimara a pie la distancia entre Alejandría y Siena. Distancia entre Alejandría y Siena (Asuán): 800 Km Y así:

θ=

d d 800 ⇒R= = = 6366 Km R θ 0,126

Un valor muy próximo al aceptado hoy en día (6371 Km) Figura 6. Distancia entre Alejandría y Siena

Método empleado por nuestro equipo En primer lugar preparamos un gnomon lo más fiable que se nos ocurrió con objeto de asegurar la verticalidad, la horizontalidad y minimizar los errores en las medidas. Utilizamos un trípode de un pequeño telescopio y le acoplamos en la parte superior una lámina de plástico con un orificio de 1 cm de diámetro. Por ese orificio entrarían los rayos del sol y se proyectarían sobre una superficie blanca horizontal. Una plomada suspendida desde ese mismo orificio nos proporcionaría verticalidad y la altura del gnomon. La distancia desde el pie de la plomada hasta el punto luminoso proyectado en el suelo nos daría la longitud de la “sombra” del gnomon. Una regla, un nivel, un papel blanco, un rotulador y un bloc de notas fueron todas las cosas que por demás necesitaríamos.

θ = arctan

x h

Figura 7. Determinación de θ

Sin embargo, al establecer contacto con ciudades situadas en el hemisferio sur debimos modificar un poco el método empleado. Cada uno de los observadores (nosotros en el Norte y casi todos los demás en el Sur) determinaríamos la inclinación de los rayos del sol respecto a la vertical observando alturas y sombras en su respectivos aparatos de medición. Serían los ángulos: θN y θS

De otro lado, cada uno de los observadores determinaríamos la distancia de nuestra ubicación hasta el ecuador: dN y dS. Esto puede hacerse desde Google Earth, Google maps o bien desde la dirección: http://www.wfu.edu/biology/albatross/espanol/gcircle/calcfull.html Proporcionando nuestra latitud (38 N) en dicha aplicación y 0 N para el ecuador.

Figura 8. Aplicación On Line de cálculo de distancia al ecuador

Figura 9. θ y d como suma de dos mediciones

Ahora, el ángulo central hasta las dos ciudades es: θ = θN + θS Y la distancia entre ciudades (supuestas en el mismo meridiano): d = dN + dS

Y así, otra vez:

θ=

d d ⇒R= R θ

La suposición de que las dos ciudades estén en el mismo meridiano no conduce a errores muy grandes ya que las mediciones se realizan en ambos casos en el momento de mediodía verdadero: cuando el sol alcanza su máxima altitud sobre el horizonte. A posteriori, nosotros hemos ideado una mejora en el método respecto a esta última cuestión.

En el caso de que las dos ciudades estén en el mismo hemisferio, el ángulo central hasta las dos ciudades es: θ = θN - θS Y la distancia entre ciudades (supuestas en el mismo meridiano): d = dN - dS

Pero en definitiva, otra vez:

θ=

d d ⇒R= R θ Figura 10. θ y d como diferencia de dos mediciones

Determinación del mediodía verdadero En la teoría más simple, el mediodía debería ocurrir a las 12:00 h. Pero no es cierto. De un lado, la hora oficial de cada país da uniformidad a todos los relojes sin tener en cuenta la longitud geográfica de cada localidad. De otra parte, en muchos países se establecen adelantos de hora oficial respecto a la hora astronómica con objeto de ahorrar energía eléctrica (una hora o dos horas en España según las épocas). Y finalmente, como la Tierra no posee un movimiento circular uniforme, los mediodías verdaderos adelantan o atrasan según las estaciones.

Figura 11. Cálculos del mediodía verdadero en Úbeda y mediciones

En las fechas en que realizamos las mediciones (septiembre) teníamos un adelanto oficial de 2 h. Por estar a 3º 22’ al Oeste del meridiano de Greenwich debimos sumar 13min 28s. De la tabla de la ecuación del tiempo2 (Universidad de Alicante) fuimos restando algunos minutos y segundos cada día de observación hasta determinar la hora oficial del mediodía verdadero.

Calendario de actividades Los momentos de observación se realizaron en fechas previas al equinoccio de otoño: entre el 9 y el 21 de septiembre. 1.- 9 de septiembre de 2012: Todavía quedaban 8 días para comenzar nuestro curso académico cuando todos nuestros alumnos de ciencias de 4º de la ESO se presentaron voluntarios a desarrollar el proyecto. Este primer día dispusimos nuestros instrumentos en el patio de nuestro colegio y determinamos de forma experimental el mediodía verdadero. Para ello trazamos un arco de circunferencia con centro en la caída de la plomada. Entre las 13:00 y las 15:00 fuimos señalando, de diez en diez minutos, las proyecciones del sol sobre la hoja de papel. Los momentos más importantes eran aquellos en que el sol tocaba la curva trazada. El punto medio de estos dos, junto con la caída de la plomada nos determina la dirección del mediodía verdadero.

Figura 12. Procedimiento para calcular el mediodía verdadero

Aunque pronto supimos que este momento varía día tras día y recurrimos, en consecuencia, a hacer cálculos del mismo para las siguientes fechas (véase la tabla anterior en la figura 10). 2.- Todos los días, desde el 10 de septiembre hasta el 21 de septiembre, tomamos medidas y anotamos las lecturas (a excepción del día 18 que se presentó muy nublado). 3.- Todos los días, también desde el 10 de septiembre hasta el 21, registramos nuestras observaciones en la base de datos de la Universidad de Argentina a través de su Web. Con todas ellas se haría un cálculo estadístico general de todas las escuelas participantes. 4.- Durante todo el mes de septiembre y parte de octubre fuimos estableciendo contacto con otras escuelas (29 en total), a través de correo electrónico, para intercambiar pares de medidas y realizar nuestros cálculos individuales. También intercambiamos fotografías y métodos de cálculo. Nuestros muchachos/as (alumnos de la ESO), así también, pudieron hablar con sus compañeros de proyecto en otros países de edades similares.

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Ver anexo: tabla ecuación del tiempo (Universidad de Alicante)

Según el Informe Final3 presentado por la Universidad de Argentina: “En total participaron 167 escuelas americanas y dos españolas. Los alumnos involucrados en la actividad superaron el número de 12.000. Las mediciones se realizaron entre el 10/09 y el 21/09 de septiembre de 2012. Los pares de escuelas que aportaron a la medición conjunta fueron 110, distribuidas de acuerdo a métodos de optimización en base a las coordenadas geográficas de todos los participantes y al día de medición. Los valores obtenidos por cada par de escuelas para el radio terrestre R variaron entre 4.000Km y 9.000Km. Con los resultados obtenidos se confeccionó un histograma, y se realizó un ajuste con una distribución gaussiana. A partir de dicho ajuste se obtuvo como resultado: R = (6.430 ± 120) Km”. 5.- 9 y 10 de abril. Presentación del proyecto en las IV Jornadas de la Ciencia de Úbeda. 6.- 11 de mayo de 2013. Con motivo del 18 aniversario del Parque de las ciencias de Granada, nuestros alumnos expusieron sus experiencias a otros centros y al público en general en la XVI Feria de la Ciencia y Jornada de Puertas Abiertas. También expusieron un corto científico en el III Maratón de documentales científicos en el aula invitando a participar en la nueva edición 2013 del Proyecto Eratóstenes iberoamericano. http://www.parqueciencias.com/parqueciencias/actividades/aniversario2013.html

Nuestro trabajo Hemos contactado con 29 centros escolares diferentes y hemos realizado 46 pares de medidas con sus correspondientes cálculos. Mostramos aquí unos pocos ejemplos de los cálculos realizados con algunas de ellas:

Figura 13. Cálculos realizados con algunas escuelas asociadas 3

Ver anexo: Informe Final Proyecto Eratóstenes 2012 (Universidad de Argentina)

Los cálculos realizados en la Hoja Excel anterior siguen las pautas explicadas en puntos anteriores: 1. De la altura de gnomon y su sombra obtenemos el ángulo de inclinación de los rayos solares respecto a la vertical del lugar (columna F) por mediación de:

θ = arctan

sombra (medido gnomon

en radianes) y se suman los dos valores obtenidos para obtener el ángulo central total θ. 2. Sumamos las distancias respectivas al ecuador para obtener la distancia total d (columna E). 3. Y finalmente se calcula: R =

d

θ

(columna G), estimando el error cometido (columna H).

Observación: cuando las dos ciudades están en el mismo hemisferio restamos ángulos y distancias como ya habíamos mencionado.

En muchos casos obtuvimos resultados verdaderamente buenos (errores menores del 1%). Además de la fiabilidad de nuestro gnomon, se suma la gran distancia en latitud que nos separa de las escuelas asociadas. Todo ello hace que los errores se minimicen. Es por ello por lo que nos gustaría difundir esta experiencia a otros centros españoles en una edición próxima. Los resultados de los 46 pares de medidas pueden verse en una Hoja Excel fabricada por nuestro equipo.

Nuestra aportación particular al método Como las ciudades asociadas están muy separadas en longitud geográfica (pensemos aquí en una media de 60º) se produce un pequeño error de método.

Podemos observar en las figuras 11 y 14 cómo la longitud mínima de la sombra de cada día va aumentando cada 24 horas. Por ejemplo: el día 10 de septiembre medía 64,2 cm, mientras que el día 11 medía 65,4 cm. Una diferencia de 1,2 cm nada despreciable. El tiempo de retraso entre las dos medidas realizadas en diferentes localizaciones se debe a la rotación de la Tierra hasta que se alcanza el mediodía verdadero del segundo punto de observación. Si la rotación completa (360º) conlleva un aumento de 1,2 cm en la longitud de nuestra sombra, los 60º (en media) deberían llevar un aumento de 60º x 1,2 cm / 360º = 0,2cm. Como sabemos nuestra longitud y las de las escuelas asociadas, podemos hacer correcciones sumando a nuestra sombra una pequeña cantidad. De esa manera simulamos que estamos sobre el mismo meridiano y que realizamos la medición en el mismo instante. Figura 14. Variación diaria de la sombra mínima

Véanse algunos ejemplos de esta corrección en las figuras siguientes.

Figura 15. Detalle de las correcciones

Figura 16. Algunos ejemplos con nuestras correcciones añadidas