Determinantes Profesores Omar Dar´ıo Saldarriaga Ort´ız Iv´ an Dario G´ omez Hern´ an Giraldo

2009

Definici´ on Sea A una matriz de tama˜ no m × n, para 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n, definimos el ij-´esimo menor de A, al cual denotaremos por Aij , como la matriz obtenida de A al eliminar su i-´esima fila y j-´esima columna. Ejemplo  1 Sea A = 1 0

1 −1 2

0 1 3

 2 0 hallar el 24-´esimo menor de A. 0

Definici´ on Sea A una matriz de tama˜ no m × n, para 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n, definimos el ij-´esimo menor de A, al cual denotaremos por Aij , como la matriz obtenida de A al eliminar su i-´esima fila y j-´esima columna. Ejemplo  1 Sea A = 1 0

1 −1 2

0 1 3

 2 0 hallar el 24-´esimo menor de A. 0

Definici´ on (Determinante)   a11 · · · a1n  ..  una matriz de tama˜ .. Sea A =  ... no n × n. Definimos el . .  an1 · · · ann determinante de A, el cual denotaremos por det(A), recursivamente como sigue: Si n = 2 entonces det(A) = a11 a22 − a12 a21 Para n ≥ 3, n X det(A) = (−1)1+i a1i det (C1i ) i=1

= a11 det (A11 ) + · · · + (−1)1+n a1n det (A1n ) . Ejemplo 

2 Encuentre el determinante de la matriz A =  0 1

−1 1 1

 0 0 . 1

Definici´ on (Determinante)   a11 · · · a1n  ..  una matriz de tama˜ .. Sea A =  ... no n × n. Definimos el . .  an1 · · · ann determinante de A, el cual denotaremos por det(A), recursivamente como sigue: Si n = 2 entonces det(A) = a11 a22 − a12 a21 Para n ≥ 3, n X det(A) = (−1)1+i a1i det (C1i ) i=1

= a11 det (A11 ) + · · · + (−1)1+n a1n det (A1n ) . Ejemplo 

2 Encuentre el determinante de la matriz A =  0 1

−1 1 1

 0 0 . 1

Definici´ on Sea A una matriz n × n, el ij-´esimo cofactor de A, denotado por Cij , se define como Cij = (−1)i+j det Aij , donde Aij es el ij-´esimo menor de A. Observaciones Con esta definici´ on podemos re-escribir la f´ ormula de del determinante como sigue: det(A) =

n X

a1i C1i = a11 C11 + · · · + a1n C1n .

i=1

A esta f´ ormula se le conoce como la expansi´ on por cofactores de A a lo largo de la primera fila.

Definici´ on Sea A una matriz n × n, el ij-´esimo cofactor de A, denotado por Cij , se define como Cij = (−1)i+j det Aij , donde Aij es el ij-´esimo menor de A. Observaciones Con esta definici´ on podemos re-escribir la f´ ormula de del determinante como sigue: det(A) =

n X

a1i C1i = a11 C11 + · · · + a1n C1n .

i=1

A esta f´ ormula se le conoce como la expansi´ on por cofactores de A a lo largo de la primera fila. Ejemplo  −1 Sea A =  0 −1 de A.

1 1 2

 0 1, calcular C11 , C12 y C13 y calcular el determinante 1

Definici´ on Sea A una matriz n × n, el ij-´esimo cofactor de A, denotado por Cij , se define como Cij = (−1)i+j det Aij , donde Aij es el ij-´esimo menor de A. Observaciones Con esta definici´ on podemos re-escribir la f´ ormula de del determinante como sigue: det(A) =

n X

a1i C1i = a11 C11 + · · · + a1n C1n .

i=1

A esta f´ ormula se le conoce como la expansi´ on por cofactores de A a lo largo de la primera fila. Ejemplo  −1 Sea A =  0 −1 de A.

1 1 2

 0 1, calcular C11 , C12 y C13 y calcular el determinante 1

Lema 

a11  a21  Sea A =  .  .. an1

0 a22 .. . an2

··· ··· .. . ···

0 0 .. .

    una matriz triangular inferior, entonces 

ann det(A) = a11 a22 · · · ann .

Es decir, el determinante de una matriz triangular inferior es el producto de las entradas en la diagonal. Corolario Sea In la matriz identidad de tama˜ no n × n, entonces det(I) = 1.

Lema 

a11  a21  Sea A =  .  .. an1

0 a22 .. . an2

··· ··· .. . ···

0 0 .. .

    una matriz triangular inferior, entonces 

ann det(A) = a11 a22 · · · ann .

Es decir, el determinante de una matriz triangular inferior es el producto de las entradas en la diagonal. Corolario Sea In la matriz identidad de tama˜ no n × n, entonces det(I) = 1.

Teorema  a11 · · · a1n  ..  entonces el determinante de A se puede calcular .. Sea A =  ... . .  an1 · · · ann usando la expansi´ on por cofactores en cualquier fila y cualquier columna, es decir, para 1 ≤ i, j ≤ n tenemos que: 

det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin = | {z } Expansi´ on por cofactores en la fila i

n X

aik Cik

y

(1)

k=1

n X det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj = ahj Chj | {z } h=1 Expansi´ on por cofactores en la columna j

Ejemplo   −1 0 −1 1  usando expansi´ Calcular determinante de A =  2 0 on por 0 1 0 cofactores en la tercera fila y segunda columna.

(2)

Teorema  a11 · · · a1n  ..  entonces el determinante de A se puede calcular .. Sea A =  ... . .  an1 · · · ann usando la expansi´ on por cofactores en cualquier fila y cualquier columna, es decir, para 1 ≤ i, j ≤ n tenemos que: 

det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin = | {z } Expansi´ on por cofactores en la fila i

n X

aik Cik

y

(1)

k=1

n X det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj = ahj Chj | {z } h=1 Expansi´ on por cofactores en la columna j

Ejemplo   −1 0 −1 1  usando expansi´ Calcular determinante de A =  2 0 on por 0 1 0 cofactores en la tercera fila y segunda columna.

(2)

Corolario Sea A una matriz de tama˜ no n × n, si A tiene una fila o una columna de ceros, entonces det(A) = 0. Corolario Sea A una matriz de tama˜ no n × n entonces det(At ) = det(A).

Corolario Sea A una matriz de tama˜ no n × n, si A tiene una fila o una columna de ceros, entonces det(A) = 0. Corolario Sea A una matriz de tama˜ no n × n entonces det(At ) = det(A). Corolario 

a11  0  Sea A =  .  .. 0

a12 a22 .. . 0

··· ··· .. . ···

 a1n a21   ..  una matriz triangular superior, entonces .  a11 det(A) = a11 a22 · · · ann .

Corolario Sea A una matriz de tama˜ no n × n, si A tiene una fila o una columna de ceros, entonces det(A) = 0. Corolario Sea A una matriz de tama˜ no n × n entonces det(At ) = det(A). Corolario 

a11  0  Sea A =  .  .. 0

a12 a22 .. . 0

··· ··· .. . ···

 a1n a21   ..  una matriz triangular superior, entonces .  a11 det(A) = a11 a22 · · · ann .