DIBUJO TÉCNICO II ÍNDICE: TEMA I: LUGARES GEOMÉTRICOS Y PROPORCIONALIDAD.........3 1.1.: LUGAR GEOMÉTRICO...........................................................................3 1.2.: PROPORCIONALIDAD: TEOREMA DE THALES...................................4 1.3.: MEDIA PROPORCIONAL........................................................................4 1.4.: TERCERA PROPORCIONAL...................................................................5 1.5.: CUARTA PROPORCIONAL.....................................................................5 1.6.: SECCIÓN AÚREA....................................................................................6

TEMA II: LA CIRCUNFERENCIA.........................................................7 2.1.: ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA...................................................7 2.2.: ARCO CAPAZ..........................................................................................8 2.3.: POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA...9 2.4.: EJE RADICAL..........................................................................................9 2.5.: RECTIFICACIONES DE ARCOS Y CIRCUNFERENCIAS....................12

TEMA III: CONSTRUCCIONES POLIGONALES...............................13 3.1.: PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO......................14 3.2.: POLÍGONOS REGULARES..................................................................15 3.3.: EQUIVALENCIA DE FIGURAS PLANAS.............................................17

TEMA IV: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.........................18 4.1.: HOMOGRAFÍAS Y HOMOLOGÍA.........................................................19 4.2.: LA INVERSIÓN......................................................................................23

TEMA V: TANGENCIAS......................................................................25 5.1.: ESTUDIO SISTEMÁTICO DE TANGENCIAS.......................................26

TEMA VI: CURVAS CÓNICAS...........................................................30 6.1.: TANGENTES A LAS CÓNICAS...........................................................32 2

DIBUJO TÉCNICO II TEMA I: LUGARES GEOMÉTRICOS Y PROPORCIONALIDAD. 1.1. LUGAR GEOMÉTRICO: Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas. * Así, por ejemplo, la MEDIATRIZ de un segmento se definiría como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de dos puntos fijos, extremos del segmento. Traza la mediatriz del segmento AB:

* La BISECTRIZ de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas. Traza la bisectriz del ángulo “rs”:

Cuando las rectas “r” y “s” no se cortan dentro de los límites del dibujo realizaremos el siguiente trazado:

3

DIBUJO TÉCNICO II Traza la bisectriz del ángulo “rs”:

1.2.: PROPORCIONALIDAD: TEOREMA DE THALES. Este teorema geométrico nos dice que dadas dos rectas convergentes cualesquiera cortadas por secantes paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra: División de un segmento en partes iguales basada en el teorema de Thales:

1.3.: MEDIA PROPORCIONAL: Dados dos segmentos “a” y “b” se llama MEDIA PROPORCIONAL de ambos (“x”) a aquel que a x = → x2=a×b → x= √ a×b x b cumple la siguiente proporción: Tenemos dos trazados gráficos para hallar la media proporcional de dos segmentos. Ambos se basan en dos teoremas formulados por Pitágoras: TEOREMA de la ALTURA (en todo triángulo rectángulo, la altura -x- relativa a la hipotenusa es la media proporcional o geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa: a y b). (1) TEOREMA del CATETO (en todo triángulo rectángulo, un cateto -”x” o “y”- es la media geométrica entre la hipotenusa -a- y la proyección de ese cateto sobre ella. (2) 4

DIBUJO TÉCNICO II (1) Teorema de la altura:

(1) Demostración matemática:

( a+b)2 =c 2 +d 2 = x 2 +b 2 + x 2 +a 2 =2x 2 +b 2 +a 2 a 2+2ab+b2=2x 2+b 2+a2 → x 2=a×b

(2) Teorema del cateto:

(2) Demostración matemática:

a 2 =x 2 + y 2 → y 2=a 2 −x 2 x 2 =b 2 +h2 → h 2 =x 2−b 2 y 2 =( a−b)2 +h2

a 2 −x 2 =(a−b )2+ x 2 −b2

a 2−x 2 =a 2−2ab+b 2 + x 2 −b 2 −2x 2=−2ab → x 2=a×b

1.4.: TERCERA PROPORCIONAL:

Dados dos segmentos “a” y “b” llamamos tercero proporcional (“x”) a aquel que cumple la siguiente proporción:

a b = b x

1.5.: CUARTA PROPORCIONAL:

Dados tres segmentos “a”, “b” y “c” llamamos cuarto proporcional (“x”) a aquel que cumple la siguiente proporción:

a c = b x 5

DIBUJO TÉCNICO II 1.6.: SECCIÓN AÚREA: Esta es una proporción de gran importancia en la historia de las artes desde la época clásica. Tal vez se deba a que el valor de esta proporción (Φ) número sagrado de los griegos, posee asombrosas propiedades matemáticas (aritméticas, algebráicas o geométricas):

Φ=1,618

2

Φ =2,618

1 =0,618 Φ

Dos segmentos “a” y ”b” se dice que tienen una proporción aúrea cuando el segmento menor es al mayor como el mayor es a la suma de los dos, es decir, siendo “a” mayor que “b”: El valor numérico de la proporción es constante y lo determinamos así:

b a = a a+b

b a = → b×(a+b)=a2 → a2 −b2−ab=0 → a a+b

a −b −ab 0 a a a √ 5+1 = 2 →( ) −( )−1=0 → = =1,618 (ϕ) 2 b b b 2 b b 2

2

2

2 n n−1 n−2 n−2 Si multiplicamos la equación ϕ =ϕ+1 por ϕ , obtendremos ϕ =ϕ +ϕ lo cual quiere decir que en cualquier progresión o serie de términos que tenga Φ por razón entre dos téminos sucesivos, cada término es igual a la suma de los dos anteriores (de ahí la fácil obtención gráfica de una serie conociendo dos términos sucesivos y mediante movimientos de compás):

OTRAS OBTENCIONES GRÁFICAS: Dado un segmento AB determinar su división aúrea:

Dado un segmento AB determinar un punto C que cumpla la proporción indicada:

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DIBUJO TÉCNICO II TEMA II: LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (centro de la circunferencia).

2.1.: ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA:

ÁNGULO CENTRAL

Cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia.

ÁNGULO SEMINSCRITO

ÁNGULO INSCRITO 1 Con el vértice sobre la circunf. y los lados cuerdas de ella. ̂ ̂ AOB V= 2

ÁNGULO INSCRITO 2 El valor de los ángulos inscritos es igual a la mitad del central correspondiente: ̂ ̂ AOB V= 2

ÁNGULO EXTERIOR

ÁNGULO INTERIOR

Igual que el inscrito pero con uno El que tiene su vértice en el de sus lados tangente a la interior de la circunferencia. Su circunferencia. valor es la semisuma de los centrales correspondientes: ̂ ̂ ̂ ̂ ´ B= A ´ O B´ + AOB ̂ ̂ ´+ A A V=A ´ BB ̂V= AOB 2 2 2 →

El que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia. Su valor es igual a la semidiferencia de los centrales.

̂ ̂ ̂ ´B= A ´ O B´ − AOB ̂ ̂ ´−A A V=A ´ BB 2 2

A ´ OB´+ AOB 2

→

7

A´ OB´− AOB 2

ÁNGULO INSCRITO 3 ̂ ̂ ̂ AOC BOC AOB ̂ ̂ ̂ AVC− V= BVC= − = 2 2 2

ÁNG. CIRCUNSCRITO Caso límite del ángulo exterior con sus lados tangentes a la circunferencia.

̂ ̂ ̂ ARS− ASR V= 2

DIBUJO TÉCNICO II 2.2.: ARCO CAPAZ: Se llama ARCO CAPAZ de un segmento AB para un ángulo dado, α, al lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB fijo bajo dicho ángulo. a Este lugar es un arco de circunferencia que tiene por extremos los del segmento. TRAZADO DEL ARCO CAPAZ: 1. Trazamos la mediatriz del segmento AB. 2. Llevamos a partir de uno de los extremos del segmento AB el ángulo dado: α 3. Por el mismo extremo se traza una perpendicular a esta línea recién trazada hasta que corte a la mediatriz del segmento. 4. Este punto de intersección es el centro del arco capaz que trazaremos hasta los extremos A y B. Este es el lugar geométrico buscado pues desde cualquier punto del arco AB el segmento se ve desde un ángulo AVB cuyo valor es la mitad del central correspondiente.

Si se completa el arco de centro “O” por el otro semiplano de AB, se obtiene el arco capaz para el ángulo suplementario de α.

De lo anterior se deduce que el arco capaz para un ángulo de 90o será siempre una semicircunferencia o, lo que es lo mismo, que cualquier triángulo inscrito en una semicircunferencia con un lado en su diámetro será un triángulo rectángulo.

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DIBUJO TÉCNICO II 2.3.: POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA: Se llama potencia de un punto “P” respecto a una circunferencia, situados ambos en el mismo plano, al producto de los segmentos determinados por dicho punto y los de intersección con la circunferencia de cualquier secante a ella trazado por “P”. La potencia es constante e independiente de la secante elegida. Los triángulos P-A1-B2 y P-A2-B1 son semejantes pues en ambos casos tienen ángulos iguales en “P” y en A2 y B2 por ser ángulos inscritos en el mismo arco A1-B1, por lo tanto.

PA

1

PB =

1

→ 2 2 PA ×PA =PB ×PB 1 2 1 2 PB

PA

VALOR DE LA POTENCIA: Cogemos una secante cualquiera, por ejemplo la que pasa por el centro: - POTENCIA = (d-r) x (d+r) = (d2 – r2) - Cuando “P” es exterior la potencia es positiva pues d>r. - Cuando “P” es interior la potencia es negativa pues d0):

Con una inversión negativa (k0):

Con una inversión negativa (k