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DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS LÓGICOS Cesar Velásquez Celis, Cristian Camilo Peña Guevara, Neidy Yised Carvajal Londoño. Programa de Ingeniería de sistemas, Facultad de Ingenierías, Universidad del Quindío - Colombia.  Resumen— En este trabajo se presenta dos casos en los que se implementaron dos circuitos en los cuales utilizamos los conocimientos adquiridos en la asignatura Electrónica Digital Para diseñar, simplificar y montar estos circuitos, Encontramos que simplificando estos circuitos ya sea con mapas de Karnaugh o algebra de Boole se reducen considerablemente, facilitando así su implementación.

Índice de Términos—Circuito Integrado, Algebra de Boole, Mapas de Karnaugh, Simplificar circuitos Lógicos.

I.

INTRODUCCIÓN

II. MARCO TEÓRICO El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto. El algebra de Boole cuenta con algunas propiedades (Ilustracion 1) las cuales permiten simplificar circuitos con mayor facilidad.

Ilustración 1 Propiedades Algebra De Boole

E

n la actualidad se cuentan con una enorme cantidad de circuitos electrónicos los cuales nos facilitan en gran medida las actividades que desarrollamos a diario, Gracias a la simplificación de circuitos y al desarrollo de nuevas tecnologías estos dispositivos son cada vez más pequeños, En el presente trabajo aplicamos algunos métodos de simplificación de circuitos lógicos como mapas de Karnaugh y algebra de Boole, Concretamente se implementaron dos circuitos el primero es un circuito de visualización el cual mostraba el nivel de combustible en un tanque mediante 4 LED´s, El segundo es un circuito combinacional que se encarga de convertir un código enviado por un puerto paralelo del PC a su equivalente para que enciendan 7 LED´s de la misma forma como un dado común con números aleatorios entre 0 y 6. Gracias a los métodos de simplificación vistos se redujeron enormemente las compuertas lógicas que se necesitaron para el correcto funcionamiento de los circuitos anteriores

Manuscrito entregado el sábado 21 de septiembre de 2013. Este trabajo fue desarrollado en la asignatura de Electrónica Digital. Cesar Velásquez Celis, e-mail: [email protected]. Cristian Camilo Peña Guevara, e-mail: [email protected]. Neidy Yised Carvajal Londoño, e-mail: [email protected].

Leyes De Morgan Las leyes de Morgan(Ilustración 2) definen realmente dos nuevas funciones lógicas de gran importancia que serán utilizadas como elementos básicos para la realización de los sistemas digitales. Estas dos funciones que realizan las expresiones (1) y (2), se denominan respectivamente NOR y NAND. Las tres funciones elementales: suma, producto e inversión lógica pueden ser realizadas mediante las funciones NOR y NAND.

Ilustración 2 Leyes De Morgan

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El álgebra de Boole tiene las siguientes desventajas:

formando grupos de rectángulos que encierren a los unos del mapa, las áreas deben ser potencia de 2 (ej. 1, 2, 4, 8, ...) y se debe tratar de agrupar el mayor número de unos posible. En resumen hay que tomar en cuenta al hacer estos grupos de unos (subcubos) lo siguiente:



No es un método sistemático (no hay un algoritmo paso a paso a seguir).



No es fácil saber cuándo la expresión ya está lo más reducida posible.



Es fácil cometer errores y es difícil revisar el procedimiento.

Por ello, es importante contar con un método como los mapas de Karnaugh, el cual es un método sistemático y además gráfico, por lo cual es más sencillo y poderoso para la simplificación de funciones booleanas.

     

Mapas De Karnaugh (Mapas K) El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2𝑛 filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2𝑛 cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa (Ilustración 3), albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.



2

Se puede visualizar también que los grupos pueden continuar en el lado opuesto como en el subcubo 1 de la figura dubujado en azul. Debemos utilizar todos los unos del mapa. Es mejor crear el menor numero de grupos. Los unos pueden estar en varios grupos. El número de unos dentro de un grupo debe de ser cualquier potencia de 2. Mientras más grande sea un grupo la simplificación de la función será mejor. No es necesario que todos los grupos tengan el mismo tamaño.

Ilustración 4 (Agrupacion De Terminos)

Finalmente se obtienes las ecuaciones con un proceso muy simple (Ilustración 5).

Ilustración 3 Construccion Mapas K Una vez construido el mapa de Karnaugh, la siguiente tarea es la de seleccionar conjunto de terminos denominados subcubos (Ilustracion 4) de manera que se obtenga el menor número de subcubos posible. Estos subcubos se seleccionan

Ilustración 5 (Seleccion De Ecuaciones Con Mapas K) III. MONTAJES, EXPERIMENTO Y RESULTADOS

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En esta sección describiremos el proceso para realizar el montaje de 2 circuitos el primero es un circuito de visualización el cual mostrara el nivel de combustible en un tanque mediante 4 LED´s, El segundo es un circuito combinacional que se encarga de convertir un código enviado por un puerto paralelo del PC a su equivalente para que enciendan 7 LED´s de la misma forma como un dado común con números aleatorios entre 0 y 6. Circuito 1 Materiales:         

1 Protoboard 2 Compuertas And (74ls08) 1 Compuerta Not (74ls04) 1compuerta Or (74ls32) 1 Dip switch 8 Resistencia de 220Ω 4 LED´s Cables Fuente 5v

Proceso 1. A partir del enunciado construimos la tabla de verdad (Tabla 1). 2. Utilizando Algebra de Boole obtuvimos y simplificamos las ecuaciones correspondientes a la salida del circuito. 3. Utilizando Mapas de Karnaugh obtuvimos simplificadas las ecuaciones(Ilustración 6) correspondientes a cada salida del circuito 4. Realizamos el montaje en la protoboard (Ilustración 7). 5. Realizamos la simulación y comprobamos los datos obtenidos experimentalmente (Ilustración 8)

Ilustración 6 Mapas K y Ecuaciones

Ilustración 7 Montaje en Protoboard Nota 1: Las ecuaciones simplificadas obtuvimos por Mapas K y por algebra de Boole fueron idénticas. Nota 2: Simplificando el circuito utilizamos en total 4 compuertas, Sin simplificar se hubieran requerido 9 compuertas. Tabla 1 Tabla De Verdad Circuito 1

Ilustración 8 Simulacion

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Circuito 2 Materiales:

           

2 Protoboard´s 1 Compuerta And (74ls08) 1compuerta Or (74ls32) 1 Dip switch 10 Resistencias de 220Ω 1 Resistencia 1k Ω 7 LED´s Cables Fuente 5v 1 Relé 1 Bombilla de AC 110v 1 transistor

Proceso 1.

A partir del enunciado construimos la tabla de verdad (Tabla 2) y la distribución de los LED¨s (ilustración 10).

2.

Utilizamos ecuaciones SOP y simplificamos las ecuaciones correspondientes a la salida del circuito.

3.

Utilizando Mapas de Karnaugh y teniendo en cuenta los términos Don´t care obtuvimos simplificadas las ecuaciones (Ilustración 10) correspondientes a cada salida del circuito.

4.

Realizamos el montaje en la protoboard (Ilustración 12).

5.

Realizamos la simulación y comprobamos los datos obtenidos experimentalmente (Ilustración 11).

Nota 1: Las ecuaciones simplificadas obtuvimos por Mapas K y por algebra de Boole fueron idénticas. Nota 2: Al utilizar términos Don´t care se simplificaron aún más los circuitos como lo muestra el ejemplo (Ilustración 12)

Ilustración 12 Comparacion con la ecuacion de salida g Nota 3: Simplificando el circuito utilizamos en total 2 compuertas, Sin simplificar se hubieran requerido 4 compuertas y sin usar términos Don´t care se hubieran utilizado 3 compuertas.

Ilustración 9 Distribucion de LED¨s Tabla 2 Tabla de Verdad

N° 0 1 2 3 4 5 6 7

ABC 000 001 010 011 100 101 110 111

a 0 0 1 1 1 1 1 d

b 0 0 0 0 0 0 1 d

c 0 0 0 0 1 1 1 d

d 0 0 0 0 1 1 1 d

Ilustración 10 Ecuaciones y mapas K

e 0 0 0 0 0 0 1 d

f 0 0 1 1 1 1 1 d

g 0 1 0 1 0 1 0 d

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IV. CONCLUSIONES 





Ilustración 11 Simulacion

El Algebra de Boole es bastante útil para simplificar circuitos lógicos sin embargo como pudimos analizar en el desarrollo de este laboratorio existen técnicas como los mapas K que simplifican con mayor facilidad partiendo de la tabla de verdad. La utilización de términos Don´t care reduce en gran medida las ecuaciones de los circuitos como lo pudimos observar desarrollando esta práctica, aunque si llegase a pasa una de las condiciones Don´t care el circuito llegaría a fallar. Los métodos de simplificación de circuitos lógicos son muy importantes ya que al implementarlos reducen en gran medida los circuitos y de esta manera ahorramos tiempo, dinero y espacio para la implementación de un circuito.

V. REFERENCIAS [1] Mano, M. M. (2003). Diseño digital. Pearson Educación. [2] Ronald J. Tocci, N. S. (2003). Sistemas Digitales. Pearson Educación. [3] Roth, C. H. (2005). Fundamentos de diseño lógico. Cengage Learning Editores.

Ilustración 12 Montaje Protoboard

Finalmente Agregamos al circuito 2 un circuito de potencia que permitía encender un bombillo AC 110V cuando el número visualizado sea el 6. Utilizamos    

Rele Transistor NPN Resistencia 1k Bombilla de 110v