Tema 6

Ecuaciones diferenciales de orden superior Es frecuente, en numerosos problemas de mec´anica o teor´ıa de circuitos el´ectricos, que las ecuaciones que rigen los procesos sean de orden mayor que uno. Por lo tanto, ser´a necesario trabajar con ecuaciones diferenciales de orden superior. Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n es una ecuaci´on que liga la variable independiente x, una funci´on inc´ognita y = y(x) y sus derivadas sucesivas y 0 , y 00 , . . . , y n) , es decir, es una expresi´on, bien de la forma:   F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 (forma impl´ıcita) o bien, si se puede despejar la derivada de mayor orden,   y (n) = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1)

6.1.

(forma expl´ıcita).

Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria (E.D.O.)

Definici´ on: Dada la ecuaci´ on diferencial de orden n:   y (n = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1)

f : D ⊂ IRn+1 −→ IR

se dice que z = z(x) z : I ⊂ IR −→ IR es soluci´ on de la ecuaci´on diferencial, si satisface: 1. z es n veces derivable en I.   2. x, z(x), z 0 (x), . . . , z (n−1) (x) ∈ D

∀x ∈ I.

  3. z (n) (x) = f x, z(x), z 0 (x), . . . , z (n−1) (x)

∀x ∈ I.

Es decir, soluci´on de una E.D.O. es toda funci´on que sustituida juntamente con sus derivadas en la ecuaci´on conduce a una identidad.

6.1.1.

Tipos de soluciones de una E.D.O.

Las soluciones de una E.D.O. pueden ser de tres tipos: 1. Soluci´ on general: soluci´ on de la ecuaci´on diferencial en la que aparecen tantas constantes arbitrarias como orden de la ecuaci´ on. En nuestro caso, al ser de orden n, la soluci´on general ser´a una familia de curvas de la forma: Φ(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0, siendo C1 , C2 , . . . , Cn constantes arbitrarias. 2. Soluci´ on particular: es una soluci´ on que se obtiene al fijar los valores de las constantes arbitrarias de la soluci´on general. 3. Soluci´ on singular: Es una soluci´ on que no est´a incluida en la soluci´on general; es decir, no se puede obtener a partir de ella asignando valores convenientes a las constantes arbitrarias. 1

6.1.2.

Formas en las que pueden aparecer las soluciones de una E.D.O.

La soluci´on de una ecuaci´ on diferencial puede venir dada de tres formas distintas: 1. en forma expl´ıcita si la inc´ ognita y viene despejada en funci´on de la variable independiente x. 2. en forma impl´ıcita si la soluci´ on viene expresada por una ecuaci´on que liga la inc´ognita y y la variable independiente x. 3. en forma param´ etrica si la soluci´ on viene dada en funci´on de un par´ametro. Definici´ on: A las gr´aficas de las soluciones se les llaman curvas integrales.

6.2.

Problemas de Cauchy

Un problema de Cauchy, o problema de valores iniciales, asociado a una E.D.O. es un problema (P ) de la forma    (n) 0 (n−1)  y = f x, y, y , . . . , y Ecuaci´on diferencial en forma expl´ıcita         y(x0 ) = y0  (P ) ≡     y 0 (x0 ) = y00  Condiciones iniciales   ···       n−1 y (n−1) (x0 ) = y0

6.2.1.

Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de un problema de Cauchy

Teorema 6.1 Sea (P ) un problema de Cauchy. Para el caso de E.D.O. de orden superior, el teorema de existencia y unicidad establece que 1. 2.

Existencia

Si f es continua en un entorno del punto (x0 , y0 , y00 , . . . , y0n−1 ) entonces (P ) posee soluci´ on.

∂f ∂f ∂f , 0 , . . . (n−1) existen y son continuas en un en∂y ∂y ∂y torno del punto (x0 , y0 , y00 , . . . , y0n−1 ) entonces (P ) posee soluci´ on u ´nica. Unicidad

Si adem´ as, las derivadas parciales

Es interesante hacer un estudio te´ orico previo de un ecuaci´on diferencial. Por ejemplo, el problema:       (P ) ≡     

problema antes de intentar calcular la soluci´on general de la y (XII) = y + xy (XI) y(0) = 0 y 0 (0) = 0 ··· y (XI) (0) = 0

tiene soluci´on u ´nica por cumplir las hip´ otesis del teorema. Por sustituci´on directa, se puede comprobar que y = 0 es soluci´on de (P ), y por tanto ser´ a la soluci´ on del problema, evit´andose as´ı la resoluci´on de la ecuaci´on diferencial y el de un sistema de 12 ecuaciones con 12 inc´ognitas (para determinar la soluci´on particular).

6.3.

Reducci´ on del orden de una E.D.O.

En el tema anterior se desarroll´ o como resolver diversos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por lo tanto, ser´ıa deseable que las ecuaciones diferenciales de orden superior, pudieran resolverse mediante ´estas, o bien se reduzcan a una ecuaci´ on diferencial de orden menor que la de partida. Veamos a continuaci´on una serie de casos que permiten reducir el orden de la ecuaci´on diferencial:

2

Ecuaciones de la forma y (n) = f (x)

6.3.1.

En este caso bastar´ a con integrar n veces para obtener la soluci´on general. Es importante recordar que cada vez que se realice una integral, se deber´ a incluir una constante arbitraria para que, al t´ermino de las n integrales, se obtenga la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial en funci´on de n constantes arbitrarias.

  Ecuaciones del tipo F x, y (k) , y (k+1) , . . . , y (n) = 0

6.3.2.

Son ecuaciones diferenciales en las que no aparece en forma expl´ıcita ni la inc´ognita y ni sus k − 1 primeras derivadas. En este caso, haciendo el cambio de variable p(x) = y (k) (x), la ecuaci´on quedar´a:   F x, p, p0 , . . . , p(n−k) = 0 reduci´endose as´ı, a una ecuaci´ on diferencial de orden n − k.

6.3.3.

Ecuaciones diferenciales homog´ eneas 

 Si F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0 es homog´enea respecto a y, y 0 , . . . , y (n) , es decir,   F x, λy, λy 0 , . . . , λy (n) = λm F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ), R

realizando el cambio de variable: y = e de orden una unidad inferior.

6.3.4.

z dx



equivalentemente, y 0 = yz(x)



se obtiene una ecuaci´on diferencial

  Ecuaciones del tipo F y, y 0 , . . . , y (n) = 0

Son ecuaciones diferenciales en las que no aparece en forma expl´ıcita la variable independiente x. En este caso, haciendo el cambio de variable y 0 = p(y), se obtiene una ecuaci´on diferencial de orden una unidad menor.



6.3.5.





Ecuaciones del tipo 0 = F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 

0

∂Φ x, y, y , . . . , y

(n−1)



∂x



En este caso Φ x, y, y 0 , . . . , y (n−1) = C1 es una ecuaci´on diferencial equivalente a la anterior de orden una unidad inferior.

6.4.

Ecuaciones diferenciales lineales

Se llama ecuaci´ on diferencial lineal de n-´esimo orden a una ecuaci´on que es lineal respecto a y (funci´on inc´ognita) y a sus n primeras derivadas, es decir, una ecuaci´on de la forma: a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = φ(x)

(6.1)

Si φ(x) = 0, la ecuaci´ on recibe el nombre de ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea. As´ı, dada la ecuaci´on diferencial lineal de la forma (6.1), la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea: a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0

(6.2)

recibe el nombre de ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea asociada, la cual va a tener un papel fundamental a la hora de encontrar la soluci´ on general de (6.1). Si a0 (x) 6= 0, dividiendo (6.1) por la funci´on a0 (x) se obtendr´a la ecuaci´on diferencial: y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = Ψ(x) donde bi (x) =

ai (x) i = 1, 2, . . . , n a0 (x)

y

Ψ(x) =

φ(x) . a0 (x)

3

(6.3)

6.4.1.

Teorema de existencia y unicidad

Teorema 6.2 Dado el problema de Cauchy  (n) y + b1 (x)y (n−1) +  · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = Ψ(x)      y(x0 ) = y0    y 0 (x0 ) = y00 (P ) ≡ Condiciones iniciales   ···      n−1  (n−1) y (x0 ) = y0

E.D. lineal

Si las funciones bi (x) i = 1, 2, . . . , n y Ψ(x) son continuas en un mismo dominio [a, b], entonces (P ) tiene soluci´ on u ´nica en [a, b]1 .

6.4.2.

Ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas. Operador L(D)

Dada la ecuaci´ on diferencial lineal (6.3), la correspondiente ecuaci´on diferencial lineal homog´enea asociada ser´a: y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = 0

(6.4)

que se suele escribir simb´ olicamente como L(D)[y] = 0 siendo L(D) el operador definido por: L(D) = Dn + b1 (x)Dn−1 + · · · + bn−1 (x)D + bn (x) donde D =

(6.5)

d es el operador derivada con respecto a la variable independiente x. dx

Propiedades del operador L(D) 1. L(D)[cy] = cL(D)[y] con c ∈ IR. 2. L(D)[y1 + y2 ] = L(D)[y1 ] + L(D)[y2 ]. " 3.

Como consecuencia de lo anterior:

L(D)

k X

# ci yi =

i=1

k X

ci L(D)[yi ] donde ci ∈ IR i = 1, 2, . . . k.

i=1

Es decir, el operador L(D) es un operador lineal. Bas´andonos en las propiedades anteriores, se demuestran una serie de resultados sobre las soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea (6.4). As´ı, Teorema 6.3 Si y1 e y2 son soluciones de L(D)[y] = 0, entonces: 1.

para cualquier constante c ∈ IR,

2.

y1 + y2 tambi´en es soluci´ on de L(D)[y] = 0.

c y1 tambi´en es soluci´ on de L(D)[y] = 0.

Corolario 6.1 Si y1 , y2 , . . . , yk son soluciones de L(D)[y] = 0 y c1 , c2 , . . . ck ∈ IR son constantes arbitrarias, enk X tonces y ∗ = ci yi tambi´en es soluci´ on de la misma ecuaci´ on lineal homog´enea L(D)[y] = 0. i=1

Definici´ on Dadas las funciones y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) definidas en [a, b], llamamos wronskiano, W (y1 , . . . , yn ) al valor del determinante: y1 (x) y2 (x) ··· yn (x) 0 y10 (x) y (x) · · · yn0 (x) 2 W (x) = W (y1 , . . . , yn ) = .. .. .. .. . . . . (n−1) (n−1) (n−1) y (x) y2 (x) · · · yn (x) 1 1 siempre

que x0 ∈ [a, b].

4

y se denota por W (x) o

Teorema 6.4 Si las funciones y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) son linealmente dependientes para todo x ∈ [a, b], entonces el wronskiano es nulo: W (x) = W (y1 , . . . , yn ) = 0. Teorema 6.5 Si las funciones y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) linealmente independientes en [a, b] son soluciones de la ecuaci´ on lineal homog´enea: L(D)[y] = y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = 0 donde bi (x) i = 1, 2, . . . , n son continuas en [a, b], entonces el wronskiano es distinto de cero en todos los puntos de [a, b]: W (x) = W (y1 , . . . , yn ) 6= 0. Definici´ on Dada la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea L(D)[y] = 0, llamamos sistema fundamental de soluciones a cualquier conjunto de n soluciones {y1 , y2 , . . . , yn } que sean linealmente independientes. Teorema 6.6 Sea la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea L(D)[y] = 0 con todas las funciones bi (x) i = 1, 2, . . . , n continuas en [a, b]. Consideremos un sistema fundamental de soluciones {y1 , y2 , . . . , yn } de L(D)[y] = 0. En tal n X caso, las combinaciones lineales de la forma y ∗ = ci yi con c1 , . . . , cn ∈ IR n constantes arbitrarias, forman la i=1

soluci´ on general de L(D)[y] = 0.

6.4.3.

Soluci´ on general de una ecuaci´ on diferencial lineal no homog´ enea

Para calcular la soluci´ on general de la ecuaci´on lineal no homog´enea: y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = Ψ(x) se har´a uso del siguiente teorema: Teorema 6.7 Sea yp una soluci´ on particular de y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = Ψ(x) y sea yh la soluci´ on general la ecuaci´ on homog´enea asociada: y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = 0 La soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial lineal no homog´enea ser´ a:

6.4.4.

y = yp + yh

M´ etodo para reducir el orden de una ecuaci´ on diferencial lineal homog´ enea

Sea y1 una soluci´ on no trivial de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea: L(D)[y] = y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = 0 Z entonces, mediante el cambio de variable y = y1 udx se reduce el orden de la ecuaci´on diferencial en una unidad.

6.5.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

En la secci´on anterior se presentaron las ecuaciones diferenciales lineales y su forma de resolverlas seg´ un el resultado del teorema 6.7. El procedimiento a seguir para resolverlas se puede esquematizar como sigue: 1.

Encontrar una soluci´ on particular yp de: y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = Ψ(x)

5

(6.6)

2.

Obtener la soluci´ on general yh de: y (n) + b1 (x)y (n−1) + · · · + bn−1 (x)y 0 + bn (x)y = 0

3.

(6.7)

Construir la soluci´ on general y de (6.6) como la suma y = yp + yh .

Normalmente, calcular la soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea (6.7) no es una tarea f´acil: se trata de encontrar n soluciones de la ecuaci´on que sean linealmente independientes, es decir, un sistema fundamental de soluciones. Sin embargo, para un caso particular de ecuaciones diferenciales lineales, las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, existe un m´etodo sencillo que permite encontrar la soluci´on general de (6.7). Definici´ on Se llama ecuaci´ on diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes a una ecuaci´on de la forma: a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = φ(x)

(6.8)

donde ai ∈ IR i = 0, 1, . . . , n. Si φ(x) = 0 la ecuaci´on se dice homog´enea. As´ı, la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de orden n con coeficientes constantes asociada a (6.8) ser´a: a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = 0

(6.9)

En este tema se resolver´ an las ecuaciones (6.8). Para ello, se desarrollar´a un m´etodo para obtener la soluci´on general yh de (6.9) y tres procedimientos para encontrar una soluci´on particular yp de (6.8).

6.5.1.

Problemas de Cauchy. Existencia y unicidad

Cualquier problema de Cauchy asociado a una ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes presenta la forma:  a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = φ(x) Ecuac. Difer.      y(x0 ) = y0    y 0 (x0 ) = y00 (P ) ≡ Condiciones iniciales      ···    y (n−1) (x0 ) = y0n−1 El teorema de existencia y unicidad de soluciones para problemas de Cauchy establece en este caso que: Teorema 6.8 Si φ(x) es continua, el problema de Cauchy (P ) posee soluci´ on u ´nica.

6.5.2.

El operador L(D)

Asociada a la ecuaci´ on diferencial (6.8), como en el caso del apartado anterior, se tendr´a el operador L(D). En este caso: L(D) = a0 Dn + a1 Dn−1 + · · · + an−1 D + an y, utilizando este operador, las ecuaciones (6.8) y (6.9) quedar´an: L(D)[y] = φ(x) y L(D)[y] = 0 respectivamente. Recordemos que la propiedad principal del operador L(D) es el hecho de ser un operador lineal, lo que permit´ıa demostrar f´acilmente que, siendo {y1 , y2 , . . . , yn } un sistema fundamental de L(D)[y] = 0, su soluci´on general es: yh =

n X

ci yi (x)

con ci i = 1, 2, . . . n constantes arbitrarias

i=1

6.6.

Resoluci´ on de E.D.L. con coeficientes constantes homog´ eneas

Una ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes homog´enea de la forma L(D)[y] = 0 tiene asociado el polinomio: P (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an (6.10) que se denomina polinomio caracter´ıstico. El siguiente resultado muestra que las soluciones de la ecuaci´on L(D)[y] = 0 est´an muy relacionadas con las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico.

6

Teorema 6.9 La funci´ on y = erx con r ∈ IR es soluci´ on de L(D)[y] = 0 si y s´ olo si r es ra´ız del polinomio caracter´ıstico P (λ). Teniendo en cuenta el resultado anterior, para resolver la ecuaci´on lineal homog´enea se estudiar´an en primer lugar las ra´ıces de P (λ). Seg´ un la naturaleza de estas ra´ıces (reales o complejas, simples o m´ ultiples) se tendr´a que: 1.

Si r es una ra´ız real y simple de P (λ), entonces erx es soluci´on de L(D)[y] = 0. Si r1 , r2 , . . . , rk son ra´ıces distintas reales y simples de P (λ) entonces, las correspondientes funciones exponenciales er1 x , er2 x , . . . , erk x , son linealmente independientes.

2.

Si s±it son dos ra´ıces complejas simples2 , entonces esx cos(tx) y esx sen(tx) son las dos soluciones, linealmente independientes, que aportan al sistema fundamental de soluciones.

3.

Si r es una ra´ız real con grado de multiplicidad m, entonces las m funciones erx , xerx , x2 erx , . . . , xm−1 erx son soluciones de la ecuaci´ on diferencial L(D)[y] = 0 linealmente independientes.

4.

Por u ´ltimo, si s ± it son dos ra´ıces complejas con grado de multiplicidad m, entonces esx cos(tx), xesx cos(tx), . . . , xm−1 esx cos(tx), esx sen(tx), xesx sen(tx), . . . , xm−1 esx sen(tx) son 2m soluciones de 6.9, linealmente independientes.

Con estos cuatro casos quedan recogidas todas las posibilidades para las ra´ıces de P (λ) y, por lo tanto, se puede obtener la soluci´ on general yh buscada.

6.7.

C´ alculo de soluciones particulares

Existen varios m´etodos para el c´ alculo de una soluci´on particular de la ecuaci´on lineal no homog´enea L(D)[y] = φ(x). En esta secci´ on se presentan los tres m´as usuales.

6.7.1.

M´ etodo operacional

El m´etodo consiste en poner la ecuaci´ on diferencial 6.8 en funci´on del operador derivada: L(D)[y] = φ(x) y determinar yp despejando: yp =

1 [φ(x)]. L(D)

Para ello ser´a necesario considerar ciertas propiedades de L(D), la definici´on del operador

1 L(D)

y sus propie-

dades. Propiedades de L(D) 1. L(D)[erx ] = erx P (r). 2. L(D2 )[sen(ax)] = sen(ax)Q(−a2 ) 3. L(D2 )[cos(ax)] = cos(ax)Q(−a2 ). 4. L(D)[erx f (x)] = erx L(D + r)f (x). 5. {L1 (D) + L2 (D)} [f (x)] = L1 (D)[f (x)] + L2 (D)[f (x)]. 6. {L1 (D) · L2 (D)} [f (x)] = L1 (D) [L2 (D)[f (x)]]. 7. L(D) · [L1 (D) + L2 (D)] = L(D) · L1 (D) + L(D) · L2 (D). Definici´ on Se define el operador 2 El

1 L(D)

como aquel que si

L(D)[y] = φ(x)

entonces

y=

1 [φ(x)]. L(D)

signo ± se debe a que si un n´ umero complejo z es ra´ız de un polinomio, tambi´ en lo es el correspondiente complejo conjugado z¯.

7

Propiedades de

1 L(D)

1.

1 1 [kf (x)] = k [f (x)] L(D) L(D)

2.

erx 1 [erx ] = L(D) P (r)

3.

1 sen(ax) [sen(ax)] = L(D2 ) Q(−a2 )

si Q(−a2 ) 6= 0.

4.

cos(ax) 1 [cos(ax)] = L(D2 ) Q(−a2 )

si Q(−a2 ) 6= 0.

5.

1 1 [erx f (x)] = erx f (x). L(D) L(D + r)

6. 7. 8. 9.

k ∈ IR.

si P (r) 6= 0.

1 1 1 [f1 (x) + f2 (x)] = [f1 (x)] + [f2 (x)]. L(D) L(D) L(D)   1 1 1 [f (x)] = [f (x)] . L1 (D) · L2 (D) L1 (D) L2 (D) Z 1 [f (x)] = f (x) dx. D 1 [p(x)] = C(D)[p(x)] siendo p(x) un polinomio de grado m y C(D) el cociente (de grado m) L(D) obtenido al realizar la divisi´ on larga 1 : L(D) .

6.7.2.

M´ etodo de Lagrange o variaci´ on de las constantes

El m´etodo de Lagrange o m´etodo de variaci´ on de las constantes consiste en, partiendo de la soluci´on general de n X ci yi , considerar, en vez de las constantes ci , funciones dependientes de x, ci (x), y buscar la homog´enea yh = i=1

tales funciones de tal forma que yp =

n X

ci (x)yi sea soluci´on de 6.8, lo que conduce a resolver el siguiente sistema

i=1

de ecuaciones:

 n X   Ci0 yi = 0     i=1   n  X    Ci0 yi0 = 0     i=1 ···  n   X (n−2)   Ci0 yi =0     i=1   n  X  Φ(x) (n−1)   Ci0 yi =  a0 i=1

el cual posee como determinante el wronskiano de las funciones y1 , . . . , yn , que es no nulo por formar ´estas un sistema fundamental de soluciones. Por lo tanto, es posible determinar las funciones Ci0 (x), inc´ognitas del sistema, y con ellas las funciones buscadas Ci (x).

6.7.3.

M´ etodo de los coeficientes indeterminados

Este m´etodo se puede aplicar siempre que la funci´on φ(x) presente alguna de las formas de las soluciones particulares de la ecuaci´ on homog´enea o cualquier combinaci´on lineal de ellas. La tabla 6.1 muestra la forma que va a tener yp seg´ un la funci´ on φ(x). La ventaja que tiene el m´etodo de Lagrange frente a los otros dos, es que siempre se puede aplicar independientemente de φ(x); por otro lado, presenta el gran inconveniente de su dificultad de c´alculo. 8

φ(x)

Condici´ on

Si φ(x) = Pm (x)erx

yp

P (r) 6= 0

yp = Qm (x)erx con Qm (x) un polinomio de grado m arbitrario

r es ra´ız de P (λ) con grado de multiplicidad l

yp = xl Qm (x)erx con Qm (x) un polinomio de grado m arbitrario

con Pm (x) un polinomio de grado m

  yp = esx Rk (x) cos(tx) + Sk (x) sen(tx)   Si φ(x) = esx Pm (x) cos(tx) + Qh (x) sen(tx)

con Pm (x) y Qh (x)

P (s + it) 6= 0

con Rk (x) y Sk (x) polinomios de grado k = m´ax(m, h) arbitrarios

polinomios

de grado m y h respectivamente

s + it es ra´ız de P (λ) con grado de multiplicidad l

  yp = xl esx Rk (x) cos(tx) + Sk (x) sen(tx) con Rk (x) y Sk (x) polinomios de grado k = m´ax(m, h) arbitrarios

Tabla 6.1: M´etodo de los coeficientes indeterminados Estos tres m´etodos pretenden encontrar una soluci´on particular, por lo que si se aplican los tres m´etodos para una misma ecuaci´ on diferencial, pueden obtenerse soluciones particulares distintas.

6.8.

Resoluci´ on de E.D.L. con coeficientes constantes no homog´ eneas

6.8.1.

Mediante transformadas de Laplace

Al igual que para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se pueden utilizar transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, siguiendo el siguiente esquema: 1. Aplicar transformadas a la ecuaci´ on diferencial que se pretende resolver. 2. Calcular la transformada de la funci´ on inc´ognita. 3. Obtener la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial mediante la transformada inversa. La propiedad fundamental que se aplicar´ a al resolver una ecuaci´on diferencial mediante transformadas es: h i L y (n) = sn y(s) − sn−1 y(0) − sn−2 y 0 (0) − · · · − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0) por lo tanto, el m´etodo de resoluci´ on por transformadas ser´a especialmente interesante cuando se quiera resolver un problema de Cauchy con las condiciones iniciales evaluadas en el punto x = 0.

6.8.2.

Como suma de la soluci´ on general de la homog´ enea asociada y la particular

Teniendo en cuenta el resultado del teorema 6.7, podemos obtener la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea como suma de la soluci´ on general yh de la homog´enea asociada (calculada en la secci´on 6.6) y de una soluci´ on particular yp de la completa (calculada en la secci´on 6.7).

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6.9.

Ecuaciones diferenciales de Euler

Una ecuaci´on diferencial es de Euler si presenta la forma: a0 (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + · · · + an−1 (ax + b)y 0 + an y = Φ(x) Dichas ecuaciones, mediante el cambio de variable ax + b = ez , se transforman en ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.

6.10.

Aplicaciones de las E.D.L. con coeficientes constantes

Las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes de orden dos, poseen numerosas aplicaciones en los problemas f´ısicos. Sirvan como muestra los dos ejemplos siguientes:

Figura 6.1: Circuito RLC. 1.

La figura 6.1 representa un circuito RLC. Si Q(t) es la carga del condensador y V (t) el voltaje o tensi´on aplicada al circuito, se tendr´ a (teniendo en cuenta la segunda ley de Kirchoff): V (t) = L

d2 Q dQ 1 +R + Q 2 dt dt C

que es una ecuaci´ on diferencial lineal de coeficientes constantes que permitir´a calcular la carga que posee el condensador en cada instante de tiempo. 2.

Los movimientos vibratorios son otros ejemplos en los cu´ales aparecen las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes de segundo orden: a)

Movimiento arm´ onico simple (o vibratorio libre no amortiguado), que se rige mediante la ecuaci´on diferencial d2 x K + x=0 dt2 m donde la inc´ ognita x es el desplazamiento sufrido por una masa m en funci´on del tiempo t, y K es una constante de proporcionalidad.

b)

Movimiento vibratorio amortiguado, que se rige mediante la ecuaci´on diferencial d2 x β dx K + + x=0 dt2 m dt m donde la nueva constante β es una constante de amortiguaci´on positiva.

c)

Movimiento vibratorio forzado, regido mediante la ecuaci´on diferencial d2 x β dx K f (t) + + x= dt2 m dt m m donde f (t) es la fuerza exterior que act´ ua sobre la masa oscilante sujeta al resorte.

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6.11.

Sistemas de ecuaciones diferenciales

Los problemas de la f´ısica y la tecnolog´ıa conducen a menudo a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con varias funciones inc´ ognitas, dependiendo todas de la misma variable y apareciendo, adem´as de las funciones, sus derivadas respecto a esa variable. As´ı, por ejemplo, la ecuaci´ on de movimiento de un punto material de masa m, bajo la acci´on de la fuerza F~ (t, ~r, ~r0 ) es: d2~r m 2 = F~ (t, ~r, ~r0 ); dt proyectando sobre los ejes de coordenadas, ´esta puede ser sustituida por un sistema de tres ecuaciones escalares de segundo orden: d2 ~x ~ x, y, z, x0 , y 0 , z 0 ) m 2 = X(t, dt m

d2 ~y ~ (t, x, y, z, x0 , y 0 , z 0 ) =Y dt2

d2 ~z ~ x, y, z, x0 , y 0 , z 0 ) = Z(t, dt2 o por un sistema de seis ecuaciones de primer orden, si se consideran como funciones desconocidas no s´olo las d~r coordenadas x, y, z del punto en movimiento, sino tambi´en las proyecciones x0 , y 0 , z 0 de su velocidad : dt  0 x =u     y0 = v    z0 = w (6.11) ~ x, y, z, u, v, w) mu0 = X(t,     ~ (t, x, y, z, u, v, w)  mv 0 = Y   0 ~ x, y, z, u, v, w) mw = Z(t, m

Para este caso, por regla general, se conocer´ an tanto la posici´on inicial del punto: x(t0 ) = x0 ;

y(t0 ) = y0 ;

z(t0 ) = z0 ,

u(t0 ) = u0 ;

v(t0 ) = v0 ;

w(t0 ) = w0

como la velocidad inicial

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, siendo x1 , x2 , . . . xn las inc´ognitas a resolver en funci´on de la variable independiente t, tiene el siguiente formato:  dx1    dt = f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn )       dx2 (6.12) = f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn )  dt    ··· ··· ···    dx  n  = fn (t, x1 , x2 , . . . , xn ) dt como el ejemplo 6.11; o bien, en forma sim´etrica: dx1 dx2 dxn dt = = ··· = f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) fn (t, x1 , x2 , . . . , xn ) 1

(6.13)

Una soluci´on del sistema 6.12 es un conjunto de n funciones x1 , x2 , . . . xn , derivables tales que verifican todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Para obtener la soluci´on general (esto es, la soluci´on que permita obtener todas las particulares escogiendo convenientemente las constantes) se precisan n integrales primeras que sean independientes (n relaciones independientes de la forma Φ(t, x1 , x2 , . . . , xn ) = C).

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Un problema de Cauchy asociado                     (P ) ≡                   

a un sistema de ecuaciones diferenciales tendr´a la forma:  dx1  = f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn )    dt      dx2 Sistema = f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn )  dt    ··· ··· ···    dxn  = fn (t, x1 , x2 , . . . , xn )  dt  x1 (t0 ) = m1    x2 (t0 ) = m2 Condiciones iniciales ···    xn (t0 ) = mn

As´ı, el sistema 6.11 junto con las condiciones iniciales de posici´on y velocidad, forman un problema de Cauchy. Los principales m´etodos para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales son: 1. Reducci´ on del sistema 6.12 a una ecuaci´ on de orden superior. Este m´etodo consiste esencialmente en derivar n − 1 veces una de las ecuaciones (es decir, una de las inc´ognitas) y de ellas despejar, si se puede, el resto de las inc´ognitas en funci´on de ´estas y sus derivadas. Por u ´ltimo se derivar´ a una vez m´ as, y despu´es de sustituir las inc´ognitas despejadas, se obtiene la ecuaci´on diferencial de orden superior (de orden n en este caso). Una vez resuelta dicha ecuaci´on, se obtendr´a la soluci´on general del sistema de forma f´acil. 2. Generalizaci´ on a sistemas de orden superior. Si el sistema de ecuaciones diferenciales es de orden superior, es decir, algunas de las inc´ognitas aparecen derivadas m´ as de una vez, se puede reducir a un sistema del tipo 6.12, mediante el uso de variables intermedias. 3. Determinaci´ on de combinaciones integrables. Para este caso interesa poner el sistema en la forma sim´etrica 6.13, y determinar n integrales primeras del sistema independientes, cuyo conjunto dar´a la soluci´on general de este sistema.

6.11.1.

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

En muchas aplicaciones surgen sistemas lineales, es decir, sistemas de la forma: dx1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + · · · + a1n (t)xn + b1 (t) dt dx2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + · · · + a2n (t)xn + b2 (t) dt ··· ··· ··· ··· dxn = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + · · · + ann (t)xn + bn (t) dt o, de forma abreviada: n

X dxi = aij xj + bi (t) dt j=1 Si bi (t) = 0 i = 1, 2, . . . , n, el sistema se llama homog´eneo.

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i = 1, 2, . . . , n

(6.14)

El teorema de existencia y                     (P ) ≡                   

unicidad de soluciones de un problema de Cauchy asociado a un sistema lineal:  dx1  = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + · · · + a1n (t)xn + b1 (t)    dt      dx2 Sistema = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + · · · + a2n (t)xn + b2 (t)  dt    ··· ··· ··· ···    dxn  = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + · · · + ann (t)xn + bn (t)  dt  x1 (t0 ) = m1    x2 (t0 ) = m2 Condiciones iniciales ···    xn (t0 ) = mn

establece que dicho sistema tendr´ a soluci´ on u ´nica siempre que todas las funciones aij (t) y bi (t) sean continuas. Para el caso particular de sistemas lineales con coeficientes constantes, adem´as de los tres m´etodos considerados en el apartado anterior, se puede utilizar dos m´etodos m´as para su resoluci´on: 1. Mediante transformadas de Laplace El esquema a seguir para resolver un sistema utilizando transformadas de Laplace es similar al esquema para resolver ecuaciones diferenciales: a)

Aplicar transformadas a las ecuaciones que forman el sistema que se pretende resolver.

b)

Calcular la transformada de cada una de las inc´ognitas.

c)

Obtener la soluci´ on de cada inc´ ognita mediante la transformada inversa.

Al igual que para el caso de resoluci´ on de ecuaciones diferenciales mediante transformadas, este m´etodo ser´a especialmente interesante cuando lo que se pretende es resolver un problema de Cauchy con las condiciones iniciales evaluadas en t = 0. 2. M´ etodo operacional d Mediante propiedades algebraicas del operador D = , se obtiene un procedimiento mec´anico de resoluci´on. dt Por ejemplo, dado el sistema:  0  x + y 0 − x + 2y = 1 + et y 0 + z 0 + 2y + z = 2et  0 x + z 0 − x + z = 3 + et mediante el operador D se transforma en el sistema:   (D − 1)x + (D + 2)y + (D + 2)y  (D − 1)x

+ +

(D + 1)z (D + 1)z

= 1 + et = 2et = 3 + et

que se trata de un sistema lineal, el cu´al, por eliminaci´on, conduce a las ecuaciones diferenciales de primer orden:   (D − 1)x = 2 (D + 2)y = et − 1  (D + 1)z = 1 + et

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