Cap´ıtulo 9

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden En este tema vamos a ofrecer una introducci´ on a las edp de primer orden, considerando la clasificaci´on y la soluci´ on de algunos casos especiales de ecuaciones de este tipo. Veremos que la resoluci´ on de este tipo de ecuaciones est´a estrechamente relacionada con la integraci´on de ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales, en general no lineales.

9.1

Introducci´ on

De acuerdo con lo estudiado en el cap´ıtulo precedente, diremos que una edp de primer orden para una funci´ on u definida en una regi´ on U de Rn es una relaci´on de la forma F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = g(x1 , x2 , . . . , xn , u),

(9.1.1)

donde la posible existencia de t´erminos que dependen s´ olo de las variables independientes y de la funci´ on u se ha separado, escribi´endola expl´ıcitamente como una funci´ on g(x1 , x2 , . . . , xn , u). Obviamente se trata de un caso especial de la definici´on dada en (8.2.4). Por lo que respecta a la interpretaci´ on gom´etrica de las soluciones de (8.2.4) o de (9.1.1), dado que ser´ an funciones u(x1 , x2 , . . . , xn ), claramente podr´ an ser consideradas como hipersuperficies n–dimensionales en el espacio Rn+1 de las variables (x1 , x2 , . . . , xn , u), denominadas superficies integrales (o hipersuperficies integrales) de la edp. Particularizando algunas otras definiciones del tema anterior al caso que ahora no ocupa, podemos ver que la forma general de una edp lineal de primer orden es n
k=1

ak (x1 , . . . , xn )

∂u(x1 , . . . , xn ) = c(x1 , . . . , xn ) u(x1 , . . . , xn ) + d(x1 , . . . , xn ), ∂xk

(9.1.2)

y la forma m´as general de una edp de primer orden cuasilineal es n
k=1

ak (x1 , . . . , xn , u)

∂u(x1 , . . . , xn ) = c(x1 , . . . , xn , u). ∂xk

(9.1.3)

Este tipo de ecuaciones aparecen en problemas de c´alculo variacional, en mec´ anica y en o´ptica geom´etrica. La ecuaci´on es lineal respecto de las derivadas, pero puede ser no lineal respecto a la funci´ on inc´ ognita u. 15

16

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden


Ejercicio 1: clasificar las siguientes edp: √ x1 − x2 (ux1 x1 )2 = 0. a) b) x1 ux2 − x2 ux1 = u. c) x1 ux1 + eu x2 ux2 − x1 x2 u = 0. d) (x21 + x22 + x23 )

∂3u ∂u ∂u + (cos x2 ) + = 0. 3 ∂x2 ∂x3 ∂x1

e) ux uy = 1. f ) x u = y u2y − (tan x)ux = 1. g) u = x ux + yu + u2x + u2y + ux uy . h) (y − z)ux + (z − x)uy + (x − y)uz = 0. Aunque la teor´ıa que vamos a exponer inmediatamente se puede desarrollar exactamente igual para un n´ umero cualquiera n de variables independientes, resulta mucho m´ as conveniente desde el punto de vista pedag´ ogico hacerlo de forma expl´ıcita para n = 2, ya que esto permite mostrar de manera mucho m´as clara la interpretaci´ on geom´etrica de las edp de primer orden y de sus soluciones. As´ı pues, en lo sucesivo trabajaremos casi siempre en el caso bidimensional, con lo cual es mucho m´as c´omodo denominar a las dos variables independientes (x, y) en lugar de (x1 , x2 ). Adem´as se suele introducir la siguiente notaci´ on para las derivadas primeras ∂u ∂u := p, := q, (9.1.4) ∂x ∂y nomenclatura a la que nos sumamos y con lo cual la edp m´ as general de primer orden se escribe en forma simb´olica as´ı: F (x, y, u, p, q) = 0. (9.1.5)
Ejercicio 2: clasificar las siguientes edp de primer orden y reescribirlas en t´ erminos de las derivadas de la funci´ on inc´ ognita u(x, y): a) x p + y q = 0. b) x q 3 − y p = u. c) (p + q + 1) u2 = 1. d) (p2 + q 2 + 1) u2 = 1. e) q + p2 = 0. f ) x2 p + y 2 q = (x + y)u. √ g) u2 p + u q = (x + y)u. h) (y + ux) p − (x + yu) q = x2 − y 2 .
Ejercicio 3: seleccionar aquellas ecuaciones del Ejercicio 1 que sean de primer orden en con dos variables independientes y reescribirlas en t´ erminos de p y q.

9.2. El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden

9.2

17

El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden

Aunque est´ a fuera de nuestros objetivos una discusi´ on pormenorizada y rigurosa de los teoremas de existencia y unicidad, s´ı parece adecuado para el nivel de este curso dar una idea somera de qu´e es lo que entenderemos por teoremas de este tipo en el contexto de las edp. Las condiciones para asegurar la existencia y la unicidad de soluciones de las edp de primer orden se suelen expresar en una forma que se denomina el problema de Cauchy que, en el caso de dos variables independientes, puede formularse como sigue.

Problema de Cauchy: supongamos que • xo (s), yo (s), uo (s) son funciones continuas y con derivada primera continua en M = (s1 , s2 ) ⊂ R, es decir, son de clase C 1 (M ); • F (x, y, u, p, q) es una funci´ on continua de sus cinco variables en una cierta regi´ on U del espacio R5 . Se desea establecer la existencia de una funci´on φ(x, y) que tenga las siguientes propiedades: 1. φ(x, y) y sus derivadas parciales respecto de x e y son funciones continuas de las dos variables en una cierta regi´ on R ⊂ R2 . 2. Para cualquier valor de (x, y) que pertenezca a la regi´on R, el punto (x, y, φ(x, y), φx (x, y), φy (x, y)) est´a en U ⊂ R5 y adem´as F (x, y, φ(x, y), φx (x, y), φy (x, y)) = 0. 3. Para todo s ∈ M , el punto (xo (s), yo (s)) ∈ R y φ(xo (s), yo (s)) = uo (s). Dicho en t´erminos geom´etricos, se desea demostrar que existe una superficie u = φ(x, y) que contenga a una curva Γ dada en forma param´etrica por las ecuaciones x = xo (s),

y = yo (s),

u = uo (s).

(9.2.1)

En cualquier punto de la superficie se cumple adem´ as que el vector normal a ella, que es precisamente (ux , uy , −1) ≡ (p, q, −1), es tal que F (x, y, u, p, q) = 0.

(9.2.2)

18

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

9.2.1

Teorema de existencia y unicidad de Kovalevskaya

La que acabamos de dar es s´olo una de las ocho maneras diferentes y equivalentes en las cuales puede formularse el problema de Cauchy. El punto destacado es que el problema no puede resolverse con tanta generalidad como se acaba de proponer: para que exista una soluci´on de la edp (9.1.5) que pase por una curva de ecuaciones (9.2.1) es preciso efectuar otras suposiciones sobre la forma tanto de la funci´ on F como de la curva Γ. De hecho, existe toda una familia de teoremas de existencia, dependiendo de las hip´ otesis adicionales que se elijan para F y Γ. Aqu´ı s´olo mencionaremos uno de ellos, el cl´asico debido a la matem´atica rusa Sofia Vasilievna Kovalevskaya, para que se vea el tipo de exigencias que se deben imponer. Teorema 1 (de Kovalevskaya): consideremos una funci´ on g(y) tal que ella y todas sus derivadas son continuas en el intervalo |y − yo | < δ (es decir, es de clase C ∞ en ese intervalo) y un n´ umero real dado, xo ; supongamos tambi´en que uo = g(yo ), qo = g  (yo ) y que la funci´ on f (x, y, u, q) es de clase C ∞ en la regi´ on S = {|x − xo | < δ, |y − yo | < δ, |q − qo | < δ} (es decir, en esa regi´on la funci´ on y todas sus derivadas parciales son continuas), entonces existe una u ´nica funci´ on φ(x, y) tal que: on R = {|x − xo | < δ1 , |y − yo | < δ2 }. 1. φ(x, y) es de clase C ∞ en la regi´ 2. Para todo (x, y) ∈ R, u = φ(x, y) es una soluci´ on de la edp de primer orden escrita en forma normal ux = f (x, y, u, uy ). 3. Para todos los valores de y en el intervalo |y − yo | < δ1 , se verifica que φ(xo , y) = g(y).

9.2.2

Soluci´ ones generales y completas

Antes de adentrarnos en la explicaci´ on de los diversos m´etodos de resoluci´on de edp de primer orden, es necesario precisar los diversos tipos de soluciones que vamos a encontrar. Definici´ on 1: llamaremos soluci´ on completa o integral completa de la edp de primer orden (9.1.5) a toda relaci´ on f (x, y, u, a, b) = 0 (9.2.3) entre las variables {x, y, u} que contenga dos constantes arbitrarias a y b y que sea una soluci´on de la edp (9.1.5). Definici´ on 2: llamaremos soluci´ on general o integral general de la edp de primer orden (9.1.5) a toda relaci´ on ϕ(v, w) = 0 (9.2.4) que sea soluci´on de la edp (9.1.5) y que involucre una funci´ on arbitraria ϕ, de dos funciones conocidas v(x, y, u) y w(x, y, u). En principio parece obvio que una integral general proporciona un conjunto de soluciones mucho m´as grande de la edp de primer orden que estemos estudiando que una integral completa (en una caso tenemos una funci´ on arbitraria ϕ mientras que en el otro s´olo tenemos dos constantes arbitrarias a y b). Sin embargo, como veremos luego, esto no es realmente as´ı, pues una vez que se conoce una integral completa es posible obtener, a partir de ella, una integral general.

9.3. La ecuaci´on cuasilineal de primer orden

19

Existen otras soluciones, importantes para las edp1 no lineales, que se obtienen como envolventes. Para las edp1 cuasilineales en teor´ıa es posible obtener la solucion general (en la pr´ actica puede ser complicado). Sin embargo, para las edp1 no lineales esto suele ser imposible y habitualmente no se plantea encontrar la soluci´ on general sino resolver el problema de Cauchy, del queya hemos hablado anteriormente. En ocasiones la variable y se identifica con el tiempo t y el problema que se plantea es hallar la soluci´ on de la edp, u(x, t) tal que u(x, 0) = h(x). Este problema se denomina de condiciones iniciales y es un caso particular de problema de Cauchy en el que la curva dato es {x = s, t = 0, u = h(s)}.

9.3

La ecuaci´ on cuasilineal de primer orden

La ecuaci´on cuasilineal de primer orden y dos variables independientes tiene la forma: a(x, y, u) ux + b(x, y, u) uy = c(x, y, u)

(9.3.1)

donde a(x, y, u), b(x, y, u) y c(x, y, u) son tres funciones conocidas definidas en un cierto dominio de R3 . La funci´ on u(x, y) es la inc´ ognita y est´ a definida en una cierta regi´ on D del 3 plano real (u(x, y) : D → R). La expresi´ on u = u(x, y) es una superficie en R . Por lo tanto, las soluciones de la ecuaci´on cuasilineal (9.3.1) pueden considerarse superficies en R3 a las que llamaremos superficies integrales. Consideremos una tal superficie y escrib´amosla de la forma ϕ(x, y, u) = 0 = u(x, y) − u. La ecuaci´on del plano tangente a la superficie en el punto P0 = (x0 , y0 , u0 ) es    ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ  (x − x0 ) + (y − y0 ) + (u − u0 ) = 0 (9.3.2) ∂x P0 ∂y P0 ∂u P0 esto es,

  ∂u  ∂u  (x − x0 ) + (y − y0 ) − (u − u0 ) = 0 ∂x P0 ∂y P0

(9.3.3)

Como el punto (x, y, u) pertenece a este plano, (x − x0 , y − y0 , u − u0 ) es un vector que est´a en dicho plano. Por consiguiente, de (9.3.3) se deduce que (ux , uy , −1) es un vector perpendicular a este plano tangente, y por lo tanto tambi´en es normal a la superficie soluci´ on. Consideremos ahora el vector de componentes (a, b, c). Teniendo en cuenta (9.3.1), este vector es en cada punto perpendicular a (ux , uy , −1). Por consiguiente, seg´ un lo comentado anteriormente, est´a en el plano tangente. Llamaremos curvas caracter´ısticas de la ecuaci´on diferencial a todas aquellas curvas tales que en el punto P0 = (x0 , y0 , u0 ) ∈ R3 admitan como vector tangente (a(P0 ), b(P0 ), c(P0 )), y on. Sabemos que estas curvas son trayectorias del siguiente esto ∀P0 dentro de una cierta regi´ sistema de ecuaciones ordinarias: dx dy du = = . a(x, y, u) b(x, y, u) c(x, y, u)

(9.3.4)

Llamando dt a esta relaci´on, podemos poner: dx = a(x, y, u), dt

dy = b(x, y, u), dt

du = c(x, y, u). dt

(9.3.5)

20

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Este sistema tiene como soluciones x = x(t), y = y(t) y u = u(t), que es la ecuaci´on de la trayectoria en t´erminos del par´ ametro t. Sabemos que, por el punto P0 pasa una y s´ olo una de estas curvas caracter´ısticas. Teorema 2: sea u = u(x, y) una superficie en R3 tal que sea uni´ on de curvas caracter´ısticas que satisfacen elsistema (9.3.4) o (9.3.5). Entonces u = u(x, y) es una superficie integral de la edp1 que aparece en la ecuaci´on (9.3.1). Rec´ıprocamente, sea P0 = (x0 , y0 , u0 ), γ una curva caracter´ıstica conteniendo a P0 , y S ≡ u = u(x, y) una superficie integral conteniendo a P0 . Entonces γ est´a totalmente contenida en S. Demostraci´ on: sea u = u(x, y) una superficie uni´ on de curvas caracter´ısticas. En cada punto de la curva, el vector tangente a la misma es (a, b, c) y el vector normal (ux , uy , −1). Ahora bien, como la curva est´ a contenida en la superficie, su tangente en un determinado punto estar´ a contenida en el plano tangente a la superficie en dicho punto. Por consiguiente, (a, b, c) y (ux , uy , −1) son perpendiculares en cada punto de la superficie y, por lo tanto, aux + buy − c = 0, es decir, u(x, y) satisface la ecuaci´on diferencial. Veamos el rec´ıproco. Sea γ = (x(t), y(t), u(t)) la curva caracter´ıstica pasando por el punto P0 = (x(t0 ), y(t0 ), u(t0 )) que pertenece a la superficie soluci´on S ≡ u = u(x, y). Escribamos W (t) = u(t) − u(x(t), y(t)).

(9.3.6)

Si conseguimos demostrar que W (t) es cero para cualquier valor del par´ ametro t, entonces habremos probado que la curva γ est´a totalmente contenida en la superficie integral S. Desde luego, W (t0 ) = 0, pues P0 est´a en S. Derivando la expresi´ on anterior y aplicando (9.3.5) y (9.3.6) queda: dW dt

dx dy du − ux (x(t), y(t)) − uy (x(t), y(t)) = c − ux (x(t), y(t)) a − uy (x(t), y(t)) b dt dt dt = c(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t))) − ux (x(t), y(t)) a(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t)))

=

−uy (x(t), y(t)) b(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t))).

(9.3.7)

Ahora bien, γ es una curva caracter´ıstica que suponemos conocida. Por lo tanto las funciones x = x(t); y = y(t); u = u(t) son conocidas. Tambi´en conocemos la superficie integral S y por consiguiente la funci´ on u(x(t), y(t)). De esta manera, podemos escribir (9.3.7) bajo la forma de la siguiente ecuaci´ on diferencial: dW = F (W, t). dt

(9.3.8)

Obviamente W ≡ 0 es una soluci´ on particular de (9.3.8), pues por (9.3.7), haciendo W id´enticamente cero obtengo la ecuaci´on diferencial para la cual u(x, y) es una superficie soluci´on. Si suponemos que F (W, t) posee las suficientes condiciones de regularidad, entonces existir´ a una u ´nica soluci´ on de (9.3.8) con un valor prefijado para W (t0 ). Ahora bien, el punto P0 est´a en S y en γ. Esto se traduce en la condici´ on W (t0 ) = 0. Existe pues y es u ´nica la soluci´ on de (9.3.8) verificando esta condici´ on. Esta es W (t) ≡ 0. De esta manera, u(t) = u(x(t), y(t)) y por lo tanto todos los puntos de γ satisfacen la ecuaci´on de la superficie soluci´ on. Por lo tanto, γ ⊂ S. Con esto concluye la demostraci´on del teorema. Supongamos ahora que dos superficies integrales, S1 y S2 , tienen un punto en com´ un. Sea γ la curva caracter´ıstica que pasa por dicho punto. Entonces γ ⊂ S1 ∩ S2 , la curva estar´ a

9.3. La ecuaci´on cuasilineal de primer orden

21

contenida en las dos superficies integrales. Ello es un corolario inmediato del teorema anterior. Supongamos ahora que dos superficies integrales distintas, S1 y S2 , se cortan a lo largo de una curva que llamaremos γ. Sea P ∈ γ y π1 y π2 los respectivos planos tangentes a las dos superficies integrales a las dos superficies integrales en P . Tanto π1 como π2 contienen al vector (a(P ), b(P ), c(P )), ya que las dos superficies son soluci´ on. Como estamos suponiendo que las superficies son diferentes, π1 = π2 y (a(P ), b(P ), c(P )) ∈ π1 ∩ π2 . Este vector ser´a tangente a γ en P , pues dicha tangente tiene que estar a la vez en π1 y π2 . As´ı la tangente en un punto arbitrario de γ tiene la direcci´on (a, b, c) y, como consecuencia, la curva γ es caracter´ıstica. De forma pr´ actica, para hallar las superficies integrales de la edp1 cuasilineal (9.3.1) hemos visto que hay que resolver el sistema (9.3.4) o (9.3.5). Esto, en principio, puede hacerse de dos maneras: 1. Hallando dos integrales primeras funcionalmente independientes de (9.3.4), sean f1 (x, y, u) = C1 ,

f2 (x, y, u) = C2 .

(9.3.9)

De aqu´ı se obtiene la integral general de (9.3.1) como una funci´ on arbitraria ϕ(r, s) de las dos integrales primeras, es decir ϕ(f1 (x, y, u), f2 (x, y, u)) = 0.

(9.3.10)

Otras formas equivalentes de esta relaci´on son f1 (x, y, u) = ψ1 (f2 (x, y, u)) = 0

o

f2 (x, y, u) = ψ2 (f1 (x, y, u)) = 0,

(9.3.11)

siendo ψ1 (z) y ψ2 (z) dos funciones arbitrarias. 2. Hallando la soluci´ on de las curvas caracter´ısticas de (9.3.5) en forma param´etrica: x = x(t) + K1 ,

y = y(t) + K2 ,

z = z(t) + K3 .

(9.3.12)

Con uniones de curvas de este tipo se forma tambi´en las superficies integrales.

9.3.1

El problema de Cauchy para la ecuaci´ on cuasilineal de primer orden

Supongamos que queremos hallar la soluci´ on de la ecuaci´on (9.3.1) a(x, y, u) ux + b(x, y, u) uy = c(x, y, u) que contenga a la curva dato Γ, que puede darse bien en forma param´etrica Γ ≡ {x = f (s), y = g(s), u = h(s)},

(9.3.13)

Γ ≡ {g1 (x, y, u) = 0, g2 (x, y, u) = 0}.

(9.3.14)

bien en forma impl´ıcita Para calcular la superficie soluci´ on pasando por la curva dato, consideremos todos los puntos de la curva y todas las curvas caracter´ısticas pasando por cada uno de ellos. Como las superficies soluci´on son uniones de curvas caracter´ısticas, este procedimiento nos va a

22

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

dar una superficie soluci´ on conteniendo a la curva dato, siempre y cuando la propia curva dato no sea una curva caracter´ıstica (en cuyo caso el problema no estar´a adecuadamente planteado). Adem´ as, debido a que por cada punto pasa una sola curva caracter´ıstica, la soluci´on conteniendo a la curva dato ser´ au ´nica (salvo en el caso ya indicado de que ´esta sea ya una curva caracter´ıstica). En el caso de que la curva dato venga dada en param´etricas, nos ser´a u ´til contar con las soluciones de (9.3.5) en la forma (9.3.12). La superficie soluci´ on que buscamos puede ponerse en forma biparam´etrica siendo sus coordenadas x = X(s, t),

y = Y (s, t),

u = U (s, t).

(9.3.15)

Aqu´ı s parametriza la curva dato. Por cada uno de los puntos de la curva dato, ha de pasar una curva caracter´ıstica parametrizada por t. De esta manera, cada punto de la superficie soluci´on viene dado por dos coordenadas: la s nos indica en qu´e curva caracter´ıstica est´a, mientras que la t nos se˜ nala su localizaci´ on en la curva caracter´ıstica. Podemos siempre ajustar t de tal manera que t = 0 corresponda a la intersecci´on de la correspondiente curva caracter´ıstica con la curva dato, es decir, X(s, 0) = f (s),

Y (s, 0) = g(s),

U (s, 0) = h(s).

(9.3.16)

Ejemplo 1: hallemos la soluci´on de la ecuaci´on uy + cux = 0 donde c es una constante, con la condici´ on inicial u(x, 0) = h(x), donde h(x) es una funci´ on conocida. La curva curva dato correspondiente a esta condici´ on inicial es {x = s, y = 0, u = h(s)}. El sistema caracter´ıstico es dx dy du = c, = 1, = 0. (9.3.17) dt dt dt Integremos ahora el sistema caracter´ıstico y dejemos las constantes en funci´on de s. Obtenemos lo siguiente: x = X(s, t) = ct + ϕ(s),

y = Y (s, t) = t + ψ(s),

u = U (s, t) = η(s).

(9.3.18)

Para encontrar los valores de las funciones en s, en principio desconocidas, utilizamos la condici´ on inicial. De una manera m´ as precisa, la condici´ on de que si t = 0 estamos dentro de la curva dato: X(s, 0) = ϕ(s) = s ;

Y (s, 0) = ψ(s) = 0

;

U (s, 0) = η(s) = h(s)

(9.3.19)

Luego la superficie soluci´ on es: x = s + ct,

y = t,

u = h(s),

(9.3.20)

en forma param´etrica. Podemos ponerla en lo forma u = u(x, y) sin m´as que eliminar los dos par´ ametros: u = h(x − cy). (9.3.21) En caso de contar con la soluci´ on general de la edp1 en la forma (9.3.10), lo que hay que hacer es imponer que la curva dato debe estar contenida en la superficie, para as´ı fijar la funci´ on ϕ de forma precisa.

9.3. La ecuaci´on cuasilineal de primer orden

23

Ejemplo 2: hallemos la soluci´on general de la edp1 yp − xq = xyu2 y despu´es la soluci´on particular al problema de Cauchy con curva dato x = y = u. Como sabemos, las curvas caracter´ısticas se obtienen al resolver un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en este caso es dx dy du . = = y −x xyu2 Dos integrales primeras del sistema se obtienen f´acilmente: x2 1 + = C2 . 2 u La soluci´on general adopta cualquiera de las siguientes formas equivalentes    2  x2 x x2 1 1 1 = 0, x2 + y 2 = ψ1 , + + + = ψ2 (x2 + y 2 ), ϕ x2 + y 2 , 2 u 2 u 2 u x2 + y 2 = C1 ,

donde ϕ, ψ1 , ψ2 son funciones arbitrarias. Para determinar la soluci´ on particular al problema de Cauchy que nos dan, imponemos la condici´ on de la curva dato sobre cualquiera de las tres ecuaciones anteriores, para fijar alguna de las funciones que hasta ahora son arbitrarias. Por comodidad elegimos la u ´ltima de esas ecuaciones, eliminando las variables y, u: x2 1 + = ψ2 (2x2 ). 2 x Para hallar ψ2 hago un cambio de variable: 2x2 = z ≥ 0, de modo que la nueva variable es el argumento de lafunci´ on inc´ ognita. Necesito ahora despejar la variable x en funci´ on de la nueva z: x = ± z/2 (en principio guardo el doble signo). Eliminamos ahora x en la ecuaci´on que contiene ψ2 (2x2 ):  2 z ψ2 (z) = ± . 4 z De este modo hemos determinado completamente el valor de la funci´on ψ2 . Podemos escribir ahora la soluci´ on al problema de Cauchy dado:   2 2 x2 1 1 x2 + y 2 y 2 − x2 , o bien . + = ± = ± 2 2 2 2 u 4 x +y u 4 x + y2 Para concluir esta secci´on, indicar que si hubiera m´ as de dos variables independientes y la edp1 fuera cuasilineal, el m´etodo de resoluci´on es exactamente el mismo: dada la edp1 cuasilineal (9.1.3) n
k=1

ak (x1 , . . . , xn , u)

∂u(x1 , . . . , xn ) = c(x1 , . . . , xn , u), ∂xk

hay que hallar soluciones del sistema nolineal asociado dx1 dx2 dxn du = = ··· = = a1 (x1 , . . . , xn , u) a2 (x1 , . . . , xn , u) an (x1 , . . . , xn , u) c(x1 , . . . , xn , u) y proceder seg´ un lo descrito anteriormente para hallar, bien la soluci´ on general, bien la soluci´on a un problema de Cauchy.

24

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

9.4

La ecuaci´ on no lineal F (x, y, u, ux , uy ) = 0

Estudiaremos ahora la manera de resolver las ecuaciones no lineales de primer orden, suponiendo tambi´en que s´olo hay dos variables independientes (la generalizaci´ on al caso de n variables es sencillo). Tendremos una ecuaci´on F (x, y, u, p, q) = 0,

(9.4.1)

con p := ∂u/∂x, q := ∂u/∂y. En cada punto (xo , yo , uo ) de la superficie integral la ecuaci´ on (9.4.1) define una familia de planos (cuyos vectores normales son, como ya hemos comentado, (p, q, −1)), o su envolvente, el llamado cono de Monge; cada una de las rectas contenidas en el cono proporciona una direcci´ on para generar curvas caracter´ısticas. Para ser precisos, lo que tenemos ahora son bandas caracter´ısticas, ya que en cada punto no s´ olo hay que determinar una direcci´ on, tambi´en un plano tangente. Aunque ahora la resoluci´ on es m´as enrevesada que en el caso cuasilineal, en la pr´ actica lo que habr´ a que hacer es resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias un poco m´ as complicado que en el caso cuasilineal dx dy du dp dq = = =− =− = dt. Fp Fq pFp + qFq Fx + pFu Fy + qFu Si no somos capaces de hallar ninguna soluci´ on de ese sistema, ni siquiera una integral primera, deberemos recurrir a m´etodos num´ericos aproximados si queremos conocer la soluci´on del problema planteado. Comentaremos a continuaci´on el resultado m´ as importante referente al tipo de edp1 nolineales representadas por (9.4.1). Teorema 2: sea Ω una regi´on de R5 en la que cumple lo siguiente 1.- F ∈ C 2 (Ω). 2.- |Fp | + |Fq | > 0 en Ω. Consideremos ahora la curva Γ (se trata de una curva dato para resolver un problema de Cauchy) escrita en funci´ on de un param´etro s ∈ I ⊂ R: Γ ≡ {x = α(s), y = β(s), u = γ(s)}, donde α, β, γ ∈ C 1 (I) y |α (s)| + |β  (s)| > 0, ∀ s ∈ I. Supongamos ahora que existen dos funciones σ(s) y τ (s) verificando las siguientes condiciones: α (s) σ(s) + β  (s) τ (s) = γ  (s),

(9.4.2)

F (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)) = 0, y adem´as la llamada condici´ on de transversalidad:   Fp (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)) Fq (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s))    α (s) β  (s)

(9.4.3)

    = 0. 

Con estas condiciones, existe una superficie integral u = ϕ(x, y) tal que: 1.- γ(s) = ϕ(α(s), β(s)), esto es, la curva dato Γ est´a en la superficie integral. 2.- σ(s) = ϕx (α(s), β(s)). 3.- τ (s) = ϕy (α(s), β(s)).

(9.4.4)

9.4. La ecuaci´on no lineal F (x, y, u, ux , uy ) = 0

25

Este teorema no se va a demostrar. A continuaci´on presentaremos una serie de comentarios sobre este resultado. A la curva en R5 dada por {α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)} se le llama banda integral. El origen de este nombre es el siguiente: la condici´on (9.4.3) nos determina un vector (σ(s), τ (s), −1) perpendicular en cada punto, determinado por el valor de s, a la correspondiente tangente a Γ. Estos dos vectores nos determinan un plano tangente a cada punto de Γ que es llamado la escama correspondiente al valor s del par´ ametro. La banda integral es entonces el conjunto de todas las escamas a lo largo de Γ. La condici´ on |α (s)| + |β  (s)| > 0 se impone para que est´e bien definida la banda integral. El c´ alculo de la superficie integral buscada exige el an´ alisis del siguiente sistema no lineal asociado a la edp1 (9.4.1), denominado sistema caracter´ıstico: dx dy du dp dq = = =− =− = dt. Fp Fq pFp + qFq Fx + pFu Fy + qFu

(9.4.5)

Para resolver este sistema (y por tanto la ecuaci´on en derivadas parciales de primer disponemos de dos m´etodos el de Darboux-Cauchy y el de Lagrange-Charpit. Las soluci´ on de este sistema se denominan l´ıneas caracter´ısticas. Puede observarse que en particular de que la edp1 se cuasilineal, las tres primeras ecuaciones resultantes de coinciden exactamente con el sistema (9.3.4) o (9.3.5), que permite determinar las caracter´ısticas en el caso cuasilineal.

9.4.1

orden) curvas el caso (9.4.5) curvas

M´ etodo de Darboux-Cauchy

Este procedimiento proporciona una interpretaci´ on geom´etrica muy clara del problema y de su soluci´on, pero exige conocer la soluci´ on completa del sistema caracter´ıstico (9.4.5), que ser´a un conjunto de cinco funciones de la variable auxiliar t, que representan una banda caracter´ıstica, es decir, una curva junto con un plano tangente en cada uno de sus puntos: {x(t), y(t), u(t), p(t), q(t)}. Se han de verificar adem´ as las llamadas condiciones de banda. Tambi´en ahora se puede presentar el problema de Cauchy: encontrar la superficie integral que contiene una cierta curva Γ ≡ {f (s), g(s), h(s)}; para ello lo que se hace es resolver (9.4.5) teniendo en cuenta que la superficie buscada u = u(x, y) ha de contener la curva, obteni´endose la superficie soluci´ on en forma param´etrica (x(t, s), y(t, s), u(t, s)). Para ver como funciona este m´etodo, lomejor es analizar alg´ un ejemplo. Ejemplo 2: consideremos la siguiente edp1 no lineal ∂u ∂u ∂u ∂u x+ y− = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y

(9.4.6)

Pong´ amosla en la forma F (x, y, u, p, q) = 0: px + qy − pq = 0.

(9.4.7)

Queremos encontrar la soluci´ on pasando por la curva Γ ≡ {x = α(s) = 0, y = β(s) = s, u = γ(s) = s},

(9.4.8)

que es obviamente la bisectriz del plano (y, u). Par determinar si existe una soluci´ on u ´nica, veamos si existen dos funciones σ(s) y τ (s) satisfaciendo las debidas condiciones (9.4.2)– (9.4.3). En nuestro caso, estas condiciones son: 0 · σ(s) + 1 · τ (s) = 1,

(9.4.9)

0 · σ(s) + s τ (s) − σ(s) τ (s) = 0.

(9.4.10)

26

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Estas ecuaciones tienen una u ´nica soluci´ on que es τ (s) = 1,

σ(s) = s.

(9.4.11)

Tenemos, por consiguiente, una sola banda integral B ≡ (0, s, s, s, 1).

(9.4.12)

Vamos ahora a comprobar que se verifica la condici´ on de transversalidad (9.4.4). Como Fp = x − q y Fq = y − p, tenemos:    −1 0    (9.4.13)  0 1  = −1, lo cual demuestra que la soluci´ on est´a bien definida. Para calcularla consideremos el sistema (9.4.5), que en nuestro caso particular es el siguiente: dt =

dx dy du dp dq = = =− =− . x−q y−p px + qy − 2pq p q

(9.4.14)

Nuestro objetivo es encontrar una soluci´ on del tipo: {x = x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t), p = p(s, t), q = q(s, t)}

(9.4.15)

que satisfaga las siguientes condiciones iniciales: {x(s, 0) = α(t), y(s, 0) = β(s), u(s, 0) = γ(s), p(s, 0) = σ(s), q(s, 0) = τ (s)}.

(9.4.16)

De esta manera, encontramos una superficie en R5 . Su proyecci´on a R3 mediante sus tres primeras coordenadas nos dar´ a la superficie soluci´ on. Esta ser´ a: {x = x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t)}

(9.4.17)

en funci´ on de los par´ ametros s y t. Para encontrarla vamos a integrar el sistema, paso a paso, escribiendo las constantes que surgen en funci´ on del par´ ametro s: dp ⇒ p(s, t) = a(s) e−t , p dq dt = − ⇒ q(s, t) = b(s) e−t , q

dt = −

p(s, 0) = a(s) = σ(s) = s ⇒ p(s, t) = s e−t .

(9.4.18)

q(s, 0) = b(s) = τ (s) = 1 ⇒ q(s, t) = e−t .

(9.4.19)

Estas son las ecuaciones m´as sencillas de resolver del sistema (9.4.14). Tenemos tambi´en dt =

dx 1 1 dx ⇒ = x − e−t ⇒ x(s, t) = A(s) et + e−t , x(s, 0) = A(s) + = α(s), x−q dt 2 2

lo que implica que x(s, t) = La ecuaci´on dt =

dy y−p

1 −t (e − et ) 2

(9.4.20)

se resuelve de una manera similar y da como soluci´on y(s, t) =

s −t (e + et ). 2

(9.4.21)

9.4. La ecuaci´on no lineal F (x, y, u, ux , uy ) = 0

27

Resolvamos ahora la ecuaci´on

du . px + qy − 2pq Sustituyendo (9.4.18)–(9.4.21) en la ecuaci´ on anterior, se obtiene dt =

dt = −

du . s e−2t

(9.4.22)

(9.4.23)

Integrando resulta

s (9.4.24) (1 + e−2t ) 2 Las ecuaciones (9.4.20), (9.4.21) y (9.4.24) nos dan, de forma param´etrica la soluci´ on de nuestro problema. Aunque no siempre es posible, en este caso concreto se pueden eliminar los dos par´ ametros (s, t) entre estas tres ecuaciones, para dar la soluci´on al problema de Cauchy en forma impl´ıcita, siendo ´esta la siguiente: u(s, t) =

u2 = y 2 + 2xyu.

(9.4.25)

Un c´alculo sencillo permite demostrar que ´esta es efectivamente una soluci´on de la edp1 (9.4.6) y que la curva dato (9.4.8) est´ a contenida en esta superficie. Ejemplo 3: consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial en derivadas parciales: F (x, y, u, p, q) ≡ p + q 2 − 2x − 4y 2 = 0.

(9.4.26)

Queremos encontrar una superficie soluci´ on que contenga a la siguiente curva: Γ ≡ {x = α(s) = s, y = β(s) = s, u = γ(s) = 2s2 }.

(9.4.27)

Calculemos, en primer lugar la banda integral. Las ecuaciones (9.4.2) y (9.4.3) son, en este caso: σ(s) + σ(s) = 4s, σ(s) + τ (s) − 2s − 4s 2

2

= 0.

(9.4.28) (9.4.29)

Recordemos que hemos substituido p por σ(s) y q por τ (s) en la edp1 (9.4.26). Restando (9.4.28) de (9.4.29), encontramos la siguiente ecuaci´ on para τ (s): τ 2 (s) − τ (s) + 2s − 4s2 = 0.

(9.4.30)

Esta ecuaci´on tiene dos soluciones: τ (s) = 2s y τ (s) = 1 − 2s. A estos dos valores de τ (s) le corresponden dos valores de σ(s), a saber: σ(s) = 2s y σ(s) = 6s − 1, respectivamente. Por lo tanto, en este ejemplo nos encontramos con la existencia de dos bandas integrales (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)), que son en este caso B1 ≡ (s, s, 2s2 , 2s, 2s),

(9.4.31)

B2 ≡ (s, s, 2s , 6s − 1, 1 − 2s).

(9.4.32)

2

Es de esperar que a cada una de estas bandas integrales le corresponda una soluci´ on de la edp1 (9.4.26) conteniendo a la curva dato. Para ello es condici´ on suficiente que se verifique la condici´ on de transversalidad. Veamos ´este aspecto. Para B1 , tenemos:      Fp Fq   1 4s  1  =  (9.4.33)  α β    1 1  = 1 − 4s = 0, salvo para s = 4 .

28

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Luego existir´ a la correspondiente superficie soluci´ on siempre que s = 1/4. No se puede garantizar, sin embargo, que el punto de la superficie para s = 14 , que es( 14 , 14 , 18 ), pueda ser considerado de la superficie soluci´ on. Lo mismo sucede con la segunda banda integral. En efecto, la condici´ on de transversalidad para B2 dice que:    1 2 − 4s    = 4s − 1 = 0, salvo para s = 1 . (9.4.34)  1  1 4 Vemos que, en este caso, existen dos superficies soluci´on conteniendo a la curva dada, salvo un punto. El resto del problema se propone como ejercicio.

9.4.2

M´ etodo de Lagrange-Charpit

A diferencia del anterior, el m´ etodo de Lagrange-Charpit s´olo requiere conocer una integral primera; la soluci´ on que ofrece, en principio, no es tan general como con el procedimiento anterior, pero en la mayor´ıa de los casos permitir´a tambi´en resolver el problema con unas condiciones iniciales dadas (el problema de Cauchy). Consideremos el sistema caracter´ıstico (9.4.5) asociado a la edp1: dt =

dx dy du dp dq = = =− =− . Fp Fq pFp + qFq Fx + pFu Fy + qFu

Supongamos que hemos sido capaces de determinar una integral primera de este sistema, sea G(x, y, u, p, q, ) = a. Consideremos ahora las ecuaciones: F (x, y, u, p, q) = 0,

G(x, y, u, p, q) = a,

(9.4.35)

donde a es una constante arbitraria. Supongamos que F y G son funcionalmente independientes respecto de las variables p y q. Para ello se ha de verificar que el jacobiano ∂(G, F ) = Fp Gq − Fq Gp = 0. ∂(p, q)

(9.4.36)

Si lo anterior se cumple, en principio ser´ a posible despejar p y q del sistema (9.4.35), expres´andolas en t´erminos de (x, y, u, a). Hecho esto, consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial en diferenciales totales: du = p(x, y, u, a) dx + q(x, y, u, a) dy.

(9.4.37)

Supongamos que esta ecuaci´on de Pfaff admite una soluci´ on de la forma u = ϕ(x, y, a, b). Entonces ∂ϕ ∂ϕ = p, = q, (9.4.38) ∂x ∂y y por consiguiente u = ϕ(x, y, a, b) satisface la ecuaci´on (9.4.1) para todo valor de las constantes a, y b esto es, hemos hallado una familia de soluciones de (9.4.1) dependiente de dos par´ ametros: se trata por tanto de una soluci´ on completa de la edp1. Nos falta demostrar que (9.4.37) es siempre integrable. Para ello vamos a probar que se verifica la condici´ on necesaria y suficiente para la integrabilidad de este tipo de ecuaciones:

9.5. La ecuaci´on de continuidad

29

· rot

= 0, siendo X

= (p, q, −1). Pero X

· rot

= −pqu + qpu − (qx − py ), con lo que la

X

X X condici´ on necesaria y suficiente para la integrabilidad de la ecuaci´ on de Pfaff (9.4.37) es py + qpu = qx + pqu .

(9.4.39)

Para comprobar que se verifica (9.4.39), derivemos con respecto a x y a y las ecuaciones (9.4.35). Como resultado de esta derivaci´ on se obtiene: Fx + pFu + Fp (px + ppu ) + Fq (qx + pqu ) = 0,

(9.4.40)

Gx + pGu + Gp (px + ppu ) + Gq (qx + pqu ) = 0,

(9.4.41)

Fy + qFu + Fp (py + qpu ) + Fq (qy + qqu ) = 0,

(9.4.42)

Gy + qGu + Gp (py + qpu ) + Gq (qy + qqu ) = 0.

(9.4.43)

Multiplicando estas ecuaciones respectivamente por Gp , −Fp , Gq y −Fq y sumando, resulta: (Fp Gq − Fq Gp ) [py + qpu − (qx + pqu )] =

(9.4.44)

= −(Fx + pFu ) Gp + (Gx + pGu ) Fp − (Fy + qFu ) Gq + (Gy + qGu ) Fq . Diferenciemos ahora la integral primera de (9.4.35) y dividamos el resultado por dt: Gx

dx dy du dp dq + Gy + Gu + Gp + Gq = 0. dt dt dt dt dt

(9.4.45)

En esta u ´ltima ecuaci´ on utilicemos el sistema caracter´ıstico (9.4.5), escrito en la forma dy du dp dq dx = Fp , = Fq , = pFp + qFq , − = Fx + pFu , − = Fy + qFu . dt dt dt dt dt Queda lo siguiente Gx Fp + Gy Fq + Gu (pFp + qFq ) − Gp (Fx + pFu ) − Gq (Fy + qFu ) = 0.

(9.4.46)

Notemos que el miembro de la izquierda de (9.4.46) coincide justamente con el miembro de la izquierda de (9.4.44). Por lo tanto (Fp Gq − Fq Gp ) [py + qpu − (qx + pqu )] = 0.

(9.4.47)

Como adem´as se verifica (9.4.36), queda finalmente py + qpu − (qx + pqu ) = 0,

(9.4.48)

que es justamente la condici´on necesaria y suficiente para la integrabilidad de la ecuaci´ on de Pfaff, demostrando as´ı la integrabilidad de (9.4.37).

9.5

La ecuaci´ on de continuidad

Consideremos un sistema unidimensional representado en la figura siguiente:

30

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

dx

x

Sea u(x, t) la densidad de “objetos” en el punto x en el instante t y sea j(x, t) el flujo de esos “objetos” en x y en t, es decir, el n´ umero de objetos que en t cruzan el punto x por unidad de tiempo. Suponiendo que en dx no se crean ni se destruyen objetos, el n´ umero de objetos en dx var´ıa con el tiempo debido a los que entran o salen por la izquierda y la derecha. Matem´aticamente, ∂ ∂j [u(x, t)dx] = j(x, t) − j(x + dx, t) = − dx ∂t ∂x

⇒

∂u ∂j + = 0. ∂t ∂x

Habitualmente se trata de calcular u(x, t) con una condici´ on inicial u(x, 0) = h(x). Para poder resolver esta ecuaci´on es necesario conocer una relaci´on entre el flujo y la densidad, lo que nos definir´ a el modelo de sistema que estamos estudiando. En F´ısica es frecuente usar modelos lineales en los que j ∝ x, lo cual es v´alido cuando la densidad es peque˜ na. Sin embargo en ocasiones un modelo lineal no es realista, especialmente a densidades altas, y es necesario estudiar modelos no lineales. Vamos a suponer que los objetos son autom´ oviles y el sistema una carretera. Veamos qu´e caracter´ısticas debe tener el modelo (relaci´on entre la densidad de coches y su flujo) para que ´este sea realista: a) Si no hay coches el flujo debe nulo. b) A medida que la densidad de coches aumenta, el flujo aumentar´ a tambi´en; pero si aumenta demasiado, la circulaci´ on se hace m´as problem´ atica y el flujo acabar´ a disminuyendo, hasta que, para una densidad cr´ıtica, el tr´ afico se atasca y el flujo ser´a nulo. Este comportamiento cualitativo puede modelarse por la funci´ on j(u) = Au(1 − u) = A(u − u2 ),

A>0

(9.5.1)

que se representa en la gr´afica siguiente. 0.3

x*(1-x) x

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

0.25

0.5

0.75

1

9.5. La ecuaci´on de continuidad

31

Con esta elecci´on:

∂j dj ∂u ∂u = = A(1 − 2u) . ∂x du ∂x ∂x Para este modelo, la ecuaci´on de continuidad es ∂u ∂u + A(1 − 2u) = 0. ∂t ∂x Observemos que se trata de una edp1 cuasilineal. Tendremos que a˜ nadir una condici´ on inicial (curva dato): u(x, 0) = h(x), Γ ≡ {x = s, t = 0, u = h(s)}. El sistema caracter´ıstico es: dt du dx = = = dτ. A(1 − 2u) 1 0 Indicar que dada la presencia del tiempo en la edp1 que estamos analizando, hemos preferido cambiar el nombre del par´ ametro usado para describir las curvas caracter´ısticas (usualmente t), pasando a designarlo como τ . Para integrar este sistema caracter´ıstico hay que tener en cuenta que las dos u ´ltimas estan desacopladas, pero no la primera, que depende de u: u = k1 (s),

t = τ + k2 (s),

dx = A[1 − 2k1 (s)]dτ ⇒ x = A[1 − 2k1 (s)]τ + k3 (s). Para τ = 0 tenemos u = k1 (s) = h(s), Y la soluci´on ser´a:

t = k2 (s) = 0,

  t = τ, x = A[1 − 2h(s)]τ + s,  u = h(s),

x = k3 (s) = s.

u = h(x − A[1 − 2u]t).

Esta forma de la soluci´ on da muy poca informaci´ on sobre la evoluci´ on temporal (t > 0) del sistema. Para poder entenderla mejor es necesario especificar cu´al es la distribuci´ on inicial h(x). Supongamos una distribuci´ on inicial dada por la funci´ on  1 s ≤ 0,      1−s 0 ≤ s ≤ 1, h(s) =      0 s ≥ 1. 1 0.8 0.6 0.4 0.2

-2

-1

1

2

3

32

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Sustituyendo ya t por τ , tenemos: x = A[1 − 2h(s)]t + s,

u = h(s).

Para poder escribir u como funci´ on de x y de t es necesario eliminar s, para lo cual hemos de considerar los distintos intervalos de s en la definici´ on de h(s): (a) s ≤ 0 ⇒ h(s) = 1 ⇒ u = 1, x = −At + s, de donde despejando s y teniendo en cuenta que s ≤ 0, resulta: x + At ≤ 0 ⇒ u(x, t) = 1. (b) 0 ≤ s ≤ 1 ⇒ h(s) = 1 − s ⇒ u = 1 − s,

x = A(2s − 1)t + s.

Despejando s de la segunda relaci´ on, sustituyendo en la primera e imponiendo la condici´on 0 ≤ s ≤ 1, resulta −At ≤ x ≤ 1 + At

⇒

u(x, t) =

1 + At − x . 1 + 2At

(c) s ≥ 1 ⇒ h(s) = 0 ⇒ u = 0, x = At + s. Repitiendo el proceso anterior resulta x ≥ 1 + At

⇒

u(x, t) = 0.

En definitiva, la soluci´ on, como funci´ on de x y t es de la forma:   1 si x ≤ −At,       1 + At − x u(x, t) = si −At ≤ x ≤ 1 + At,  1 + 2At       0 si x ≥ 1 + At. Representamos ahora esta soluci´on para el caso concreto A = 1: 1 0.8 0.6 0.4 0.2

-2

-1

1

t=0

2

3

9.6. Problemas

33

1 0.8 0.6 0.4 0.2

-1

-2

1

2

3

2

3

t=1/2

1 0.8 0.6 0.4 0.2

-1

-2

1

t=1

9.6

Problemas

1. Resu´elvase la ecuaci´ on ut + fx = 0 con la condici´ on u(x, 0) = φ(x) en los siguientes casos:  A(1 − u)u    ku f (u) = u2    1 2 u , con φ(x) = x. 2 2. Resu´elvanse las ecuaciones diferenciales que siguen con las condiciones iniciales indicadas en cada caso a)

ux + ut + 2u = 0,

u(x, 0) = sin x.

b)

xux + ut + tu = 0,

c)

ux + ut = 0,

d)

xux + tut + 2u = 0,

e)

aux + buy + cut + f u = 0,

f)

ux + ut + tu = 0,

g)

ux + 2uy + 2u = 0,

h)

ux + ut = −ku, 1 ux + u t = − , x

i)

u(x, 0) = f (x).

u(x, 0) = cos x. u(x, 1) = sin x. 2

u(x, y, 0) = e−(x

+y 2 )

; a, b, c, f ctes.

u(x, 0) = f (x). u(x, y) = f (x, y) sobre la curva y = x. u(x, 0) = φ(x). u(x, 0) = φ(x).

3. Resu´elvanse los siguientes sistemas:  ∂u1 ∂u2 ∂u1  + + =0  ∂t ∂x ∂x a)   ∂u2 + 4 ∂u1 + ∂u2 = 0 ∂t ∂x ∂x

u1 (x, 0) = f (x), u2 (x, 0) = g(x).

34

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

b)

c)

 ∂u1 ∂u2  +8 =0  ∂t ∂x   ∂u2 + 2 ∂u1 = 0 ∂t ∂x  ∂u ∂v   − = h1  ∂x ∂y ∂u ∂v    − = h2 ∂x ∂y

u1 (x, 0) = f (x), u2 (x, 0) = g(x).

u(0, y) = f (y), v(0, y) = g(y); h1 , h2 ctes.

4. Resu´elvanse las ecuaciones que siguen con las condiciones indicadas. Dib´ ujense las soluciones para diferentes valores de t.  0, x < 0 u(x, 0) = a) ut + uux = 0, x, 0 ≤ x.  0, x < 0 b) ut + u2 ux = 0, u(x, 0) = x, 0 ≤ x. 5. Encu´entrense las superficies integrales que pasan por las curvas que se especifican en cada caso: a)

(y − u)ux + (u − x)uy = x − y,

b)

xux − yuy + u = 0,

u(x0 , y) = φ(y), x0 = 0.

c)

yux − xuy = 1 + u ,

u = 0, x2 + y 2 = 1.

d)

yux − xuy = 1 + u ,

u = 0, xy = 1.

e)

yux + xuy = u,

u = x3 , y = 0.

f)

xuy = u,

u = 0, xy = 1.

2 2

y = 0, u = f (x).

g)

uux − yuy = 0

h)

yux = u,

x = 2, u = y.

i)

xux − yuy = u,

y = 1, u = 3x.

x = 1, u = f (y).

6. Resu´elvanse los siguientes problemas de valores iniciales a)

yuux + uy = 0,

x = 0, u = y 3 .

b)

5xux − 3yuy = 15(u − 5),

c)

ux + uy + uz = 0,

d)

xux + 2yuy + 3zuz = 4u,

e)

ux − 2xuy = 0,

f)

(x − 1)ux + (y − 2)uy = u − 3,

g)

ux + uy = u2 ,

u(x, 0) = h(x).

h)

yux − xuy = u,

u(x, 0) = h(x).

i)

uy + cux = 0, n
xk uxk = αu,

u(x, 0) = h(x), c = cte.

j)

x = 1, u = f (y). x = 0, u = f (y, z). x = 1, u = f (y, z). x = 1, u = y 2 .

u(x1 , , xn−1 , 1) = h(x1 , , xn−1 ), α cte.

k=1

k)

uy + uux = 0,

l)

uy = xuux ,

m)

xux + yuy + uz = u,

n)

uy + a(u)ux = 0,

n ˜)

uy + ux = 1,

u(x, 0) = h(x). u(x, 0) = x. u(x, y, 0) = h(x, y). u(x, 0) = h(x). x = s, y = s2 , u = s + 1.

7. Elim´ınese la funci´ on arbitraria f de la ecuaci´ on u = f (xy/u). 8. H´ allese la ecuaci´ on en derivadas parciales que resulta al eliminar la funci´ on arbitraria f en la ecuaci´ on u = f (a(x, y)).

9.6. Problemas

35

9. Dada la ecuaci´ on a(x, y)wxx +2b(x, y)wxy +c(x, y)wyy = h(x, y, wx , wy ), demu´estrese que es equivalente al sistema a(x, y)ux + b(x, y)vx + b(x, y)uy + c(x, y)vy

=

h(x, y, u, v)

vx − u y

=

0.

Resu´elvase en el caso en el que a = 1, b2 = c (constantes), h = wx + bwy con las condiciones w(0, y) = f (y), wx (0, y) = g(y). 10. Dada la ecuaci´ on (x2 + xy)

∂u ∂u − (xy + y 2 ) = (y − x)(2x + 2y + u), ∂x ∂y

h´ allese la superficie integral que pasa por la curva x = 1, u = f (y). 11. Dada la ecuaci´ on (y − u)

∂u ∂u + (x − y) = u − x, ∂x ∂y

h´ allese la superficie integral que pasa por la curva y = 1, u = x2 . 12. Dada la ecuaci´ on

∂u ∂u + (u − x) = u + y, ∂x ∂y h´ allese la superficie integral que pasa por el eje x. (y + x)

13. Dada la ecuaci´ on (xy − u)

∂u ∂u + (y 2 − 1) = uy − x, ∂x ∂y

allese as´ımismo la que pasa por h´ allese la superficie integral que pasa por la curva y = 0, x2 − u2 = 1. H´ u = 0, x2 + y 2 = 1.   ux   yu   x

14. Dada la ecuaci´ on

uy xu y

−1 xy u

    = 0,  

h´ allese la superficie integral que pasa por x = t, y = t, u = 1/t2 . 15. H´ allese la ecuaci´ on general, en t´erminos finitos, de las superficies tales que si por un punto  P cualquiera    de una de ellas se traza la normal, y ´esta corta al plano (x, y) en el punto N , se tiene que ON  = N P . 16. Consideremos el haz biparam´etrico u2 = a2 − x2 − (y − b)2 . Obt´engase la ecuaci´ on diferencial que lo origina. H´ allense las cuatro superficies integrales correspondientes a las relaciones a2 = 2b2 , b = 7, a2 − b2 = 1 y a2 = b2 − 1. 17. Dada la ecuaci´ on yu dx + xu dy + f (xy) du = 0, h´ allese la forma m´ as general de la funci´ on f para que: (a) tengamos una diferencial exacta; (b) la ecuaci´ on sea completamente integrable; Int´egrese la ecuaci´ on cuando f (xy) = x2 y 2 + xy. 18. H´ allense las superficies ortogonales a las curvas del campo vectorial  = (u2 , x3 y, −x2 y). F 19. Consid´erese el conjunto de superficies u = φ(x, y, u, f (ψ(x, y, u))) donde φ, ψ son funciones determinadas y f es arbitraria.

36

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

(a) Demu´estrese que la ecuaci´ on diferencial de estas superficies es una ecuaci´ on cuasilineal. (b) Demu´estrese que para que la citada ecuaci´ on diferencial sea de la forma ψy (x, y, u)p − ψx (x, y, u)q = 0 es necesario y suficiente que la matriz jacobiana ∂(φ, ψ) ∂(x, y, u) tenga rango menor que dos. 20. Compru´ebese que la teor´ıa desarrollada no se aplica, por lo menos directamente, a las ecuaciones (p − q 2 )2 + (x − y)2 + u2

=

0.

(p − q 2 )2 + u2

=

0.

2 2

=

0.

(p − q )

21. Obt´enganse las bandas caracter´ısticas de la ecuaci´ on p = q 2 . Calc´ ulese la superficie integral que pasa 2 por la curva x = 1, y = s, u = s usando los dos m´etodos conocidos: el de Darboux-Cauchy o de las caracter´ısticas y el de Lagrange-Charpit. Calc´ ulense tambi´en las superficies integrales que pasan por las curvas iniciales    x=0 y=x y=0 . a) b) c) u=0 u=0 u = x2 22. Calc´ ulese, usando los m´etodos de Darboux-Cauchy y de Lagrange-Charpit, la superficie integral de la ecuaci´ on pq = xy que pasa por la curva u = x, y = 0. 23. Encu´entrese la superficie integral de la ecuaci´ on p + q 2 − 2x − 4y 2 = 0 que pasa por la curva x = t, y = t, z = 2t2 . 24. Dada la ecuaci´ on p2 + q 2 = u2 , encu´entrense (a) las superficies integrales que pasen por la l´ınea {x = t, y = 0, u = 1}; (b) las superficies integrales que pasen por la curva {x = cos t, y = sin t, u = 1}. 25. Dada la ecuaci´ on en derivadas parciales xp + yq +

1 2 (p + q 2 ) − u = 0, 2

encu´entrese cu´ antas superficies integrales pasan por la curva u(x, 0) =

1 (1 − x2 ) 2

y calc´ ulese cu´ ales son. 26. Dada la ecuaci´ on p2 + q 2 = 2(x2 + y 2 ) + 4(x + y + 1) h´ allese la banda integral que pasa por la escama E 0 = (−1, 0, −3/2, 1, −1). 27. Dada la ecuaci´ on p2 + q 2 = f (x, y), que admite como superficie integral u = x2 + y 2 + 7, se considera la banda que es soluci´ on del sistema caracter´ıstico y pasa por la escama E 0 = (0, 1, 13, 2, 0). H´ allese la proyecci´ on de la curva que sustenta la banda citada sobre el plano (x, y).

9.6. Problemas

37

28. H´ allese la soluci´ on de q + p2 x + y = 0 que pasa por la curva Γ = {x = s2 , y = 1, u = s}. Consid´erese la curva caracter´ıstica C que est´ a contenida en la superficie anterior y pasa por el punto (1,1,1). Sabiendo que el punto M = (a, 3, b) pertenece a la curva C, calc´ ulense a y b. 29. H´ allense las superficies integrales de la ecuaci´ on p2 − q 2 − 2u = 0 que pasan por la curva Γ = {x = 0, u = (1 + y)2 }. Com´entese la naturaleza de las superficies obtenidas. 30. Dado el punto P = (0, 0, c), h´ allese la ecuaci´ on en derivadas parciales de primer orden de las superficies tales que la intersecci´ on de un plano tangente cualquiera con la perpendicular trazada por P al mismo sea un punto del plano (x, y). Demu´estrese que a lo largo de una banda caracter´ıstica p y q son constantes y tambi´en que las curvas caracter´ısticas son rectas. Por consideraciones puramente geom´etricas resulta claro que el paraboloide de revoluci´ on 4cu = x2 + y 2 es una de las superficies que verifica la condici´ on del enunciado (por otra parte es inmediato comprobar que satisface la ecuaci´ on diferencial). ¿C´ omo se explica que este paraboloide no est´e engendrado por curvas caracter´ısticas? 31. Dada la ecuaci´ on p2 + q 2 = 1, est´ udiese si existe superficie integral que contenga al arco de h´elice x = cos s, y = sin s, u = s; 0 ≤ s ≤

π . 2

32. Elim´ınense las constantes a, b del haz biparam´etrico de superficies (x − a)2 + (y − b)2 + u2 = 1, y las constantes m, n de (y − mx − n)2 = (1 + m2 )(1 − u2 ). Compru´ebese que se obtiene la misma ecuaci´ on diferencial (llamada de las superficies tubulares) y expl´ıquese el por qu´e de este mismo resultado. Partiendo de√la primera integral completa, h´ allense las superficies integrales que pasan por la √curva {x2 + √ √ √ √ y 2 = 14 , u = 23 } y escama ( 12 , 0, 23 , 33 , 0), y por la curva {y = u = 22 } y escama (0, 22 , 22 , 0, −1). H´ allense las mismas superficies partiendo de la segunda integral completa. 33. H´ allese una integral completa de la ecuaci´ on p = (qy + u)2 . 34. Dada la ecuaci´ on pq = 4xyu, compru´ebese que la funci´ on u = (x2 + a)(y 2 + b) es una integral completa. H´ allese la envolvente de la familia uniparam´etrica de superficies que se obtiene al hacer a = b y compru´ebese que tambi´en es una soluci´ on. 35. Dada la ecuaci´ on de los rayos de luz en un medio bidimensional homog´eneo p2 + q 2 = 1, (a) h´ allese una curva caracter´ıstica que pase por los puntos (0, 0, 0) y (3, 4, ξ), siendo ξ un n´ umero real; (b) h´ allese una curva caracter´ıstica que pase por los puntos (0, 0, 13) y (3, 4, η), siendo η un n´ umero real; (c) expl´ıquese la relaci´ on entre los dos resultados anteriores. 36. Dada la ecuaci´ on p2 + q 2 = f (x, y) y el paraboloide 2u = (x − 3)2 + (y − 3)2 que es una superficie integral de ella, se considera la escama E 0 = (x0 , y0 , u0 , p0 , q0 ) perteneciente al paraboloide y tal que x0 = y0 = 1.

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Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

(a) Def´ınase la banda que pasa por E0 y es soluci´ on del sistema caracter´ıstico. (b) Expl´ıquese la posici´ on relativa de la banda respecto del paraboloide. 37. Dada la ecuaci´ on p2 + q 2 = 1 y la curva Γ = {y = 1, u2 = x2 + 1}, (a) h´ allese la superficie integral S que pasa por Γ; (b) sabiendo que los puntos P = (3/4, 1, 5/4) ∈ Γ y Q = (a, b, 10) est´ an en una misma curva caracter´ıstica C contenida en S, determ´ınense los valores de a y b; (c) determ´ınese el valor num´erico de µ sabiendo que el punto M = (a, b, µ) est´ a en la curva caracter´ıstica que pasa por la escama E 0 = (3/4, 1, 6, 3/5, q).

9.7

Bibliograf´ıa

1. Broman, A, Introduction to Partial Differential Equations from Fourier Series to Boundary-value Problems, Addison-Wesley, 1970. 2. Castro Figueroa, A.R., Curso b´ asico de ecuaciones en derivadas parciales, Addison Wesley Iberoamericana, 1997. 3. Elsgoltz, L., Ecuaciones diferenciales y c´ alculo variacional , MIR, 1969. 4. Evans, L.C., Partial Differential Equations, Graduate studies in Mathematics, Vol 19, American Mathematical Society, 1998. 5. John, F., Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1986. 6. L´opez, G., Partial Differential Equations of First Order and Their Applications to Physics, World Scientific, 1999. 7. Puig-Adam, P., Ecuaciones diferenciales, Nuevas Gr´ aficas, 1962. 8. Sneddon, I. N., Elements of Partial Differental Equations, McGraw-Hill, 1957. 9. Zwillinger, D., Handbook of Differential Equations, Academic Press, 1992.