EFECTO HALL EN SEMICONDUCTORES 1− INTRODUCCIÓN TEÓRICA AL EFECTO HALL: El efecto Hall consiste en que en un metal o semiconductor con corriente, situado en un campo magnético perpendicular al vector densidad de corriente, surge un campo eléctrico transversal y un diferencia de potencial. La causa del efecto Hall es la desviación que experimentan los electrones que se mueven en el campo magnético bajo la acción de la fuerza de Lorentz. Las siguientes figuras muestran las direcciones del campo magnético B, de la densidad de corriente J, la fuerza de Lorentz F, la velocidad de las cargas V (según sean estas positivas o negativas), así como los signos de las cargas concentradas en las caras opuestas superior e inferior para cada tipo de carga (negativa y positiva). La figura 1a es válida para metales y semiconductores tipo n; para semiconductores tipo p, los signos de las cargas que se concentran en las superficies son opuestos (figura 1b).

fig. 1a fig. 1b Las cargas siguen siendo desviadas por el campo magnético hasta que la acción de la fuerza en el campo eléctrico transversal equilibre la fuerza de Lorentz. La diferencia de potencial debida al efecto Hall es pues, en el equilibrio:

(1) 1

2− MONTAJE DE LA EXPERIENCIA: En primer lugar, necesitamos crear un campo magnético, en el cual colocar la muestra. Para ello usaremos dos bobinas recorridas en sentidos contrarios por una intensidad IB, que mediremos con un amperímetro. Sobre los núcleos de cada una de las bobinas colocaremos una pieza metálica, para "doblar" las lineas de campo magnético y hacer que los efectos de ambas bobinas se sumen en la zona en la que se colocará la muestra (ver figura 2).

fig. 2 El sentido del campo resultante dependerá de la dirección de la intensidad suministrada a las bobinas y del sentido del arrollamiento de sus espiras (regla de la mano derecha). Supondremos que hemos fijado ambos parámetros de tal forma que el sentido del campo B sea el indicado en la figura 2. Otras elecciones del campo B también son posibles, siempre que los campos creados por cada bobina sean tales que se sumen en el lugar donde va colocada la muestra. El primer paso que daremos cuando comencemos a tratar los datos recogidos será deducir una expresión experimental que nos permita conocer el campo B en el lugar de la muestra en función de la intensidad que circule por las espiras de las bobinas. Usaremos una muestra de un semiconductor (Ge) de dimensiones 2x1x0.5 Cm, en la que la intensidad circula en el sentido que podemos ver en el siguiente esquema:

2

fig. 3 Por otro lado, la muestra estará soldada sobre una placa de circuito con sendas pistas conectadas a ella, gracias a las cuales, podremos hacer que una intensidad recorra la muestra, así como medir el voltaje Hall, UH. Para realizar las mediciones, colocaremos un amperímetro en serie, de tal forma que podamos conocer la intensidad que circula por la muestra. También colocaremos un voltímetro de la forma indicada en la figura 4. Sobre la forma de colocar el voltímetro, debemos notar que podemos escoger cualquiera de los dos terminales como referencia (potencial 0). La diferencia entre escoger uno u otro residirá en el signo del voltaje medido. Nosotros supondremos en un principio que el menor potencial se encuentra en el terminal situado en la parte de abajo de la figura 4. Si la diferencia de potencial medida es positiva, esta suposición será la correcta; si es negativa, la suposición será errónea y el menor potencial estará en el terminal situado en la parte de arriba en la figura 4.

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fig. 4 3− DETERMINACION CUALITATIVA DEL TIPO DE SEMICONDUCTOR (n O p): Tras la realización del montaje, procedemos a colocar la muestra en el interior de campo magnético. Tras la determinación del sentido de este con la regla de la mano derecha y de la densidad de intensidad J, podremos saber, gracias a la regla del sacacorchos, la dirección de la fuerza de Lorentz F. Habíamos supuesto que el menor potencial correspondía a la parte de "abajo" de la muestra, mientras que comprobamos que la fuerza de Lorentz crecía hacia "arriba". El voltaje medido con el voltímetro resulta ser negativo, así que nuestra suposición es errónea y el menor potencial se encuentra en la parte de "arriba". Esto se corresponde con la figura 1a, por lo que, tal y como explicábamos en la introducción teórica, la muestra es un semiconductor de tipo n (sabemos que el germanio es un semiconductor: sólo nos faltaba saber de qué tipo). 4− DETERMINACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR LAS BOBINAS EN FUNCIÓN DE LA INTENSIDAD QUE CIRCULA POR ELLAS: Una de las variables que manejaremos a lo largo de todo el análisis de datos de la experiencia, será el campo magnético B al que someteremos la muestra. Sin embargo, no mediremos este campo, sino la intensidad que circula por las bobinas que lo inducen. Debemos pues determinar, antes de hacer cualquier otra cosa, la dependencia del campo B con la intensidad IB que circula por las espiras de las bobinas. Para ello mediremos con un magnetómetro el campo magnético creado en el lugar donde colocaremos la muestra para varias intensidades circulando por las espiras de las bobinas IB. 4

Los datos obtenidos fueron los siguientes: IB (A) 0 0.25 0.51 0.73 1.00 1.29 1.48 1.78 2.00 0.21 2.51 2.75 3.02 3.27 3.53 3.75 4.03

ERROR DE IB 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

B (mT) 9.4 33.0 62.2 85.9 118.1 152.0 173.2 210 231 254 287 313 342 368 397 424 445

ERROR DE B 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Representando ahora el valor del campo frente a la intensidad que recorre las espiras y haciendo una regresión lineal, podemos averiguar la dependencia del campo magnético B al que sometemos la muestra en función de la intensidad IB que circula por las espiras. La representación es la siguiente:

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fig. 5 Y los resultados de la regresión: Linear Regression for DATA1_B: Y=A+B*X Param Value sd A 9.15324 1.78706 B 110.07619 0.75987 R = 0.99964 SD = 3.85867, N = 17 P = 5.1382E−25 Tomaremos la desviación estandard de cada parámetro como el error correspondiente a ese parámetro (redondearemos según el valor del error), por lo que la expresión del campo B quedará:

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(2) donde la intensidad IB está expresada en amperios y el campo B viene dado en militeslas. Por tanto, el error cometido al calcular B mediante esta expresión será:

(3) Donde hemos usado para calcular este error la formula para calcular el error de una medida indirecta:

(4) 5− DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE HALL: 5.1− PARA UN CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE: Debemos reparar en que la linea que une los puntos en los que medimos la diferencia de potencial no es perfectamente perpendicular a la dirección de la intensidad que circula por la muestra (ver figura 4). Eso va a causar que la diferencia de potencial que medimos no sea debida enteramente al efecto Hall. Antes de nada calcularemos la corrección que debemos emplear debido a este fenómeno. Para ello, hagamos mediciones del efecto Hall sobre la muestra, pero con campo magnético B = 0. Contrariamente a lo que cabría esperar viendo la expresión (1), la diferencia de potencial medida con el voltímetro no es 0. Para corregir este problema, representaremos los datos así obtenidos y restaremos la expresión de la recta resultante de la regresión a la de la recta que conseguimos sin tener en cuenta este fenómeno. Los datos medidos cuando B=0 son: I (mA) 0.0 11.0 20.5 30.8 40.9 59.3

ERROR DE I 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

V (mV) 0.0 −9.4 −17.4 −26.2 −34.8 −50.5

ERROR DE V 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Cuya gráfica es:

7

fig. 6 El resultado de la regresión: Linear Regression for DATA1_B: Y=A+B*X Param Value sd A 0.00625 0.02415 B −0.85131 0.00072 R = −1 SD = 0.03455, N = 6 P = 3.1374E−12 Ahora procedamos al análisis de datos obtenidos para un campo B constante y distinto de 0.

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Fijaremos la intensidad que circula por las espiras a un valor determinado (1.99 A en nuestro caso), con lo que también fijaremos el campo magnético al que someteremos la muestra. A continuación iremos variando la intensidad I que circula por la muestra y, para cada uno de estos valores, mediremos con el voltímetro el voltaje Hall UH (ver figura 4). Obtenemos así los siguientes datos: I (mA) −52.4 −44.8 −37.8 −34.0 −28.9 −18.6 −12.3 −8.5 0 11.2 15.3 20.1 26.6 30.4 38.9 42.6 51.7 60.1

ERROR DE I 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

V (mV) 115.7 99.2 84.0 35.3 63.9 41.0 27.1 18.4 0.0 −25.2 −34.4 −45.2 −59.7 −68.4 −87.2 −96.0 −116.4 −135.2

ERROR DE V 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Representemos el voltaje Hall frente a la intensidad y mediante una regresión lineal calculemos su pendiente:

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fig. 7 La regresión lineal de estos datos da como resultado: Linear Regression for DATA1_B: Y=A+B*X Param Value sd A −0.55691 0.0868 B −2.23218 0.00256 R = −0.99999 SD = 0.35313, N = 17 P = 1.0262E−36 De donde concluimos que la pendiente de la curva es −2.232+/−0.003.

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Teniendo en cuenta la fuente de error comentada al principio de esta sección y el calculo de la corrección adecuada, la pendiente que buscamos es: (−2.232+/−0.003) − (−0.8513+/−0.0007) = (−1.381+/−0.003) donde para calcular el error hemos empleado la expresión (4). De la formula (1) podemos deducir:

Calculemos ahora el campo magnético B al que sometimos la muestra, con su error, usando las expresiones (2) y (3) para I-B = 1.99 A. B = 228+/−11 mT Por lo tanto, RH será (usamos formula (4) para calcular el error y d = 0.1Cm. (figura 3)): RH = −6.0E−3+/−0.3E−3 mT−1 5.2− PARA UNA INTENSIDAD CIRCULANDO POR LA MUESTRA CONSTANTE: Ahora mediremos el efecto Hall manteniendo constante la intensidad que circula por la muestra y variando le campo magnético al que se ve sometido. Para evitar desviaciones del valor fijado de la intensidad mientras tomamos las medidas, colocaremos una resistencia tampón conectada en serie con la muestra. Esta resistencia tiene un valor de 984ð y el valor de la intensidad que circula por la muestra será en todo momento de 10mA. Dividiremos esta parte de la experiencia en dos partes: una en la que el sentido del campo B sea positivo (según lo definido en la figura 2) y otra en la que sea negativo. 5.2.1− PARA UN CAMPO B POSITIVO. La intensidad a través de la muestra será de 10mA. Mediremos la intensidad que pasa por las espiras del electroimán y calcularemos el campo correspondiente según la expresión (2), y su error según la (3). Los datos correspondientes son: IB (A) ERROR DE IB V (mV) ERROR DE V B (mT) ERROR DE B 0,00 0,01 −8,6 0,1 9 2 0,49 0,01 −11,9 0,1 63 2 1,03 0,01 −16,0 0,1 122 2 1,47 0,01 −19,4 0,1 171 3 1,99 0,01 −23,2 0,1 228 3 11

2,51 0,01 −26,9 0,1 285 3 3,01 0,01 −30,2 0,1 340 3 3,50 0,01 −33,2 0,1 394 4 4,01 0,01 −36,0 0,1 450 4 Representemos ahora el voltaje medido frente al campo magnético B al que sometemos la muestra:

fig. 8 Haciendo ahora una regresión lineal, obtenemos: Linear Regression for DATA1_B: Y=A+B*X Param Value sd A −8,31592 0,30095 B −0,06332 0,00112

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R = −0,99891 SD = 0,4764, N = 9 P = 1,3847E−10 La pendiente de esta curva es pues −0.063+/−0.001. De la expresión (1) podemos deducir que en este caso:

Con lo que nos queda un valor de RH (calculando el error a partir de (4)): RH = (−6.3+/−0.1)E−3 ðmT−1 5.2.2− PARA UN CAMPO B NEGATIVO: Procedemos ahora de forma completamente análoga a la anterior, pero invirtiendo el sentido en que la intensidad recorre las espiras de las bobinas. En esta ocasión los datos son: IB (A) ERROR DE IB V (mV) ERROR DE V B (mT) ERROR DE B 0,00 0,01 −7,1 0,1 9 2 −0,49 0,01 −3,8 0,1 −45 2 −1,05 0,01 0,4 0,1 −107 2 −1,52 0,01 3,9 0,1 −158 3 −1,99 0,01 7,3 0,1 −210 3 −2,49 0,01 10,8 0,1 −265 3 −3,00 0,01 14,4 0,1 −321 3 −3,53 0,01 17,6 0,1 −379 4 −4,15 0,01 21,0 0,1 −448 4 Y la gráfica:

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fig. 9 El ajuste da: Linear Regression for DATA1_B: Y=A+B*X Param Value sd A −6,25265 0,28421 B −0,06277 0,0011 R = −0,99893 SD = 0,47834, N = 9 P = 1,3356E−10 Donde vemos que la pendiente es en esta ocasión −0.063+/−0.001. Operando igual que en el caso anterior, y fijándonos que esta pendiente es virtualmente la misma que en aquel caso, tenemos, una vez más: 14

RH = (−6.3+/−0.1)E−3 ðmT−1 5.3− CONCLUSION Y COMENTARIOS: VALOR DEL COEFICIENTE HALL. A la vista de los resultados, podemos ver que el error cometido al calcular el coeficiente Hall de la muestra es menor usando el método de mantener la corriente de la muestra constante y variar el campo magnético B al que la sometemos, por lo que este demuestra ser un método mejor. Podemos ahora hacer la media de los tres resultados obtenidos, con lo que la precisión será aun mayor. El error de esta media lo deducimos a partir de la expresión (4) y vendrá dado por:

Recordemos los resultados obtenidos anteriormente: RH1 = (−6.0+/−0.3)E−3 ðmT−1 RH2 = (−6.3+/−0.1)E−3 ðmT−1 RH3 = (−6.3+/−0.1)E−3 ðmT−1 Por lo que, calculando la media el resultado final queda: RH = (−6.2+/−0.1)E−3 ðmT−1 6− DETERMINACIÓN DE LA MAGNETORESISTENCIA: Otro fenómeno relacionado con el efecto Hall es la variación de la resistencia de una muestra en función del campo magnético B al que se ve sometido. En esta parte de la experiencia, buscaremos una expresión analítica para esta dependencia. Para ello, haremos pasar una intensidad determinada por la muestra (utilizaremos una resistencia tampón de 984 ), a la que someteremos a diversos valores del campo magnético B, a la vez que medimos la diferencia de potencial entre los extremos de la muestra. De esta forma, dividiendo el voltaje medido entre la intensidad que pasa a través de la muestra sabremos la resistencia de la misma (ley de ohm) y, representando esta frente al campo B, averiguaremos la dependencia de aquella con esta. La intensidad que circula por la muestra la fijamos en 5.0+/−0.1 mA. Atendiendo a todo esto podemos confeccionar la siguiente tabla: IB (A) 0,00 0,49 1,00 1,49 1,99

ERR. IB 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

V (mV) 193,3 193,3 193,6 194,0 194,5

ERR. V 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

B (T) 0,009 0,063 0,119 0,173 0,228

ERR. B 0,002 0,002 0,002 0,003 0,003

R () 38,66 38,66 38,72 38,8 38,9

ERR. R 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 15

2,48 3,00 3,48 3,60 3,81 3,97

0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

195,4 196,2 197,2 197,5 197,8 198,0

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0,282 0,339 0,392 0,405 0,428 0,446

0,003 0,003 0,004 0,004 0,004 0,004

39,08 39,24 39,44 39,5 39,56 39,6

0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8

Representemos la resistencia frente al campo magnético:

fig. 10 Como podemos observar, aunque el error es mucho más pequeño que el valor de la resistencia, es sin embargo del mismo orden que la diferencia entre los valores máximo y mínimo de los valores medidos de la resistencia, por lo que DE ESTA GRAFICA NO PODEMOS OBTENER NINGUNA INFORMACIÓN FIABLE. Por otro lado, debemos notar que estamos trabajando con una muestra de unas ciertas dimensiones (ver figura 3), por lo que tendremos que hallar la resistencia de la muestra por unidad de superficie y longitud (resistividad). La sección de la muestra será: 1E−3 x 10E−3 = 10E−6 m2. Y su longitud: 20E−3 m. 16

Por tanto:

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