EJERCICIO S DE FUNCIO NES 1) Dadas las siguientes funciones: a)f(x)= e)f(x)=

3x − 6 x − 4x + 5 2x − 1 (x 2 − 4)(2 x + 3)

i)f(x)= 3 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

b) f(x)=

2

x2 −9 x

2x x−4

c)f(x)= 3 x2 − 9

d)f(x)=

3x − 2 x+2

f)f(x)= x 2 + 1

g)f(x)=

j)f(x)= log(2 x + 4 )

k)f(x)= log2 (

h)f(x)=

x +1 x 1 x 3 + x2 − 2

x −3 ) l)f(x) Ln (9 − x 2 ) x +1

Hallar su dominio. Hallar los puntos de corte con los ejes. Comprobar si las funciones b, c, f, g, y h son pares o impares. En las funciones a, b, c hallar la imagen del punto x = -2 Comprobar si para la función del apartado a) existe algún valor de x para el cual f(x) = 1 Comprobar si para la función del apartado b) existe algún valor de x para el cual f(x)=2/3 ¿ Para que valores de x son las funciones de los apartados a, b y e f(x)≥0? ¿ Para que valores de x son las funciones de los apartados c, d y g f(x)≥2?

2) Representar gráficamente las funciones siguientes: b) f(x)= x2 − 3 x

a) f(x) = |2x-3|

c)f(x)=E(x)

3 x − 2 si x ≤ −1

d) f(x)=

f)f(x)=3 x

5 x

si − 1 < x ≤ 2

x 2

si x > 2

g) f(x)= log3 x

x2 − 4 x

si x ≤ 0

e)f(x)= 2 − x si 0 < x < 2 4

h) f(x)=10 x

si x ≥ 4

i)f(x)=

1 3

x

j)f(x)= log1 ( x) 3

Indica el dominio y el recorrido de las funciones anteriores Indica la inversa de las funciones f, g, h, i, j, y k respecto de la composición de aplicaciones. 3). Dadas las funciones f(x) = x 2 + 3,

g(x) =

3x + 4 5

,

h(x) =

x +1 , 2x + 5

i(x) = x 2 + 3

a) Hallar f(g(x)); h(g(x)); g(f(x)); g(h(x); i(h(x)). Dominio de cada una de ellas . b) Hallar f-l(x); g-l(x); h -1 (x); i-1 (x). Indica el dominio de estas funciones y comprueba el resultado (son inversas respecto a la composición ) c) Representa g-l(x) .Compara las gráficas de g(x) y de g-l(x) . 4) Dada la siguiente grafica de una función: a)Dominio Recorrido de la función. b)Puntos de corte con los ejes. ¿para que valores de x es f(x)= -1? c)Intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

Mat I CNS funciones P1

SUCESIO NES Para cada una de las siguientes cuestiones, razona todo lo que afirmes. l.-Una determinada sucesión tiene por límite 0'000001. ¿Puede tener dicha sucesión infinitos términos negativos? 2.-¿Puede tener todos sus términos negativos una sucesión cuyo límite sea 0? 3.-¿Puede tener infinitos términos negativos una sucesión cuyo límite sea +∝ ? 4.-Una determinada sucesión tiene por límite 0'000001. ¿Es posible que dicha sucesión tenga más términos negativos que positivos? 5.-Una determinada sucesión tiene límite + +∝. ¿Hay más términos de dicha sucesión mayores que 10 50 o menores que 10 5O? 6.-Una determinada sucesión tiene por límite 6. Consideramos el intervalo (5'9999999, 6'0000001). ¿Habrá más términos de la sucesión pertenecientes al intervalo o no pertenecientes? 7.-Una determinada sucesión tiene por límite -∝.Consideramos los siguientes intervalos: (100,101) y (1000000,0). ¿Es posible que dicha sucesión tenga más términos pertenecientes al primer intervalo que al segundo? 8.-Una determinada sucesión tiene por límite 4. Consideramos los siguientes intervalos: (-9,-8) y (0,4). ¿Es posible que dicha sucesión tenga más términos pertenecientes al primer intervalo que al segundo? 9.-Una sucesión tiene por límite 3. ¿Es posible que dicha sucesión tenga infinitos términos no pertenecientes al intervalo (2'999,3'001)? 10.-Indica razonadamente si las siguientes sucesiones poseen o no límite (real, + ∝ -∝). a) an =

1 n +5

b)an =

f) an = n 3 j) an =

m)an =

n3

si n > 10000

n2 n

3

n

(−1)n n

d) an =

2

h) an = n −1 n +1

e ) an = (-l) n

n −1

i) an =

n2

si n es

si n es

n

par

si n es impar

r)an=

n2

2n2 + 5

l)an = 1 n

par

n) an = 1 si n es impar

par

si n es impar si n es

1 si n es

n2 − 1 n3

par

5 si n es impar

si n ≤ 10000

n

−3

k) an =

1 n

q)an = 2

c)an =

g) an = -4n 2 +n

(−3) n n

n2

t) an =

n −5 n +3

p)an =

2 n

si n ≤ 10000 si n > 10000

si n es

par

1 si n es impar n •

si n ≤ 100000

− n si n > 100000

u) an = n 3 -3n 2 +n

s)an =

v) an=

3 si n es 4 1 n

•

si n ≠ 4 +1 n +3

11) Para la sucesión del apartado 10 f) ¿ a partir de que termino son estos mayores de 12000? Para la sucesión del apartado 10 a) ¿ a partir de que termino son estos menores de 1/15?

Mat I CNS funciones P2

LÍMITES DE FUNCIO NES. CO NTINUIDAD

1.-Sea f(x) la grafica representada al margen Hallar el dominio y completa : f(0)= lim f ( x ) = f(-3)= x →− 5

lim f ( x ) = x→ 3

lim f ( x ) = lim f ( x ) =

x →+∞

x →− 3

¿Para que valores de x es f(x)>2? .Indica su recorrido y los tipos de discontinuidad .

2.- Hallar k para que la función

a)

5x 2 − 13x − 6 f ( x) = x2 − 9 k x=3

b)

kx3 − 2 x 2 f ( x) = 2 x4 − 2 x2 1 x =0

x≠3

x≠0

2ax + 3 x 1

x2 0 ≤ x π1 sea continua en todo su dominio de definición. k (3 − x ) 1< x ≤ 2

3.-Inventa una función que verifique : lim f ( x ) = 1 ; lim f ( x ) = 2 ; lim f ( x ) = ∞ ; lim f ( x ) = −∞ ; ∃ lim f ( x ) ; f (1)=3. x →−∞

x →∞

x →3

4.- Calcular los siguientes límites:

(

a) lim − 3x 3 + 2 x 2 + 3 x →∞

)

2 x2 + 3 x d) lim x →−∞ 5 x 3 − x − 2 − 2 x3 + 8 g) lim 2 x →∞ x + x + 1 x2 + 4 x + 3 j) lim 2 x →− 1 x + 2 x + 1 1− 2 − x x →1 x −1 2x + 3 o) lim 2 x →1 x + 2 x + 1

m) lim

Mat I CNS funciones P3

x →− 1

(

b) lim 3x 2 − 8 x x →3

)

2x 3 + 3x e) lim 3 x →∞ 3 x − x 4 3 x 3 + 8x h) lim x →−∞ − 2x 2 + 8 x k) lim

x3 − 2 x2 +1

x →1

x3 − 3 x + 2

n) lim x →2

p) lim( x →∞

3x − 2 − 2 x−2 2

5x + 3 1 − ) x x3 −2

x → −1

(

c) lim − 2 x 2 + 5 x→ 2

)

3 x3 + 5 x f) lim x →−∞ x − 2x 3 x 3 − 3x 2 + 2 x i) lim x→ 2 x2 − 4 x2 + 5 + x x+5

l) lim x →2

x2 + 1 x → −1 x2 − 1

ñ) lim q) lim x →2

1− 3 − x x −2

r ) lim

x 2 − 2x − x 2 + 2

u) lim x→ ∞

x2 − 5x + 1 3x − x +1 2

x →∞

s) lim x 2 − x 4 + 2 x

t) lim

x →∞

v) lim x→2

x →∞

x2 − 2x 2x − 4 + x−2 x −2

x2 − 3 2x + 1

3x3 − 8 x 4 − 7 w) lim − x→ ∞ − x2 − 8 x+7

5.-Dadas las siguientes funciones, contesta a las cuestiones, con la ayuda de las graficas: a) lim f ( x ), lim f ( x), x →−∞

x →∞

lim f ( x),

x →− 3−

lim f ( x ), lim f ( x ), f ( 0), f ( 4 )

x →− 3 +

x → 2+

¿ para que valores de x es f(x)=2?

b) lim f ( x)

x →0 +

lim f ( x )

x →0−

lim f ( x )

x →∞

lim f ( x )

x →−∞

¿Existe algún máximo o mínimo? ¿Cuáles? ¿Existe f(0)? Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento

c) Dominio, crecimiento, decrecimiento, asintotas,

lim f ( x), lim− f (x), lim+ f ( x), lim− f ( x), lim+ f (x ), lim− f (x),

x→ − 2

x →4

x→ 4

x→ 0

x →0

x→8

lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x), f (2 ), lim− f ( x), lim+ f (x)

x→ 8+

x→ ∞

x→ −∞

x→ 2

3x 2 − 5 si x ≤ 1 6.- Sea f(x) = 2 x + 3 si 1 < x < 3 3 x si x > 3 a) lim+ f ( x ) x →1

f)

b) lim− f ( x ) x →1

x→ 2

se pide :

c) lim f ( x)

d) lim+ f ( x )

x →1

x →3

e) lim− f ( x ) x →3

lim f ( x) g) lim+ f ( x) h) lim− f (x ) i) ) lim f ( x) j) lim f ( x ) x→3

x →2

7.- Sea f(x) =

x −3 x2 − 9 4

si x ≠ 3 si x = 3

a) lim+ f ( x ) b) lim− f ( x ) x →3

x→2

x →2

x →3

x →∞

se pide

c) lim f ( x) x→3

8.- Hallar las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes gráficas: a) f(x) =

3x 2 + 2x x 2 − 4x + 3

b) f(x) =

3 x2 − 8 x x2 − 4

c) f(x)= 2x 2 –5x +7 d) f(x)=

6 x 3 − 12 x 2 + 6 x 2 x 3 − 3x 2 + 1 a)Calcular límites cuando x → 1; x → 0; x → ∞;

2x + 3 3x + 2

9.- Dada la función f ( x ) =

Mat I CNS funciones P4

x → −∞

b)Estudiar su continuidad

10.- Dada la función : f ( x ) =

x 4 − 3 x3 + 2 x2 Estudiar su continuidad y sus asíntotas. x2 − x

11.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones e indica el tipo de discontinuidad a) f ( x ) =

x 3 + 5x 2 + x − 1 3x 2 − 4x − 4

b ) f (x) =

x 3 + 5 x 2 + 10 x + 12 x 3 + 2x 2 − 2 x + 3

c) f (x) =

x 4 − 6x 2 + 8x − 3 x 4 − 2 x 2 + 2x − 1

12.- Analizar los tipos de discontinuidad de las siguientes funciones x + 1 si a) f ( x ) = x − 1 si

x≤2 x>2

2 −x si d) f ( x ) = 2 x + 4 si x3 si

x ≤ −1 −1< x < 0 0< x

x 2 + 1 si x ≤ 0 b) f ( x ) = 2 x − 1 si 0 < x < 1 2

− x + 3x

si − 1 < x < 0

x3

si

c) 1 − x si

si 1 < x

ex si e) f ( x ) = ln x si 2 − 2x + 3x si

1 x

0 < x ≤1 1< x

x≤0 0< x 0). 2. Usa la definición de derivada para calcular la derivada de: a) f(x)=1+ x en x=0; b) f(x)=x +x 2 en x = 1 c) f(x)= 1 + x en x =3 3. Calcula la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y = 1+ x en x =1 b) y = 1 + x + x 2 en x = 0. 4. Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: a) f(x)=3

b) f(x)=3-x-x 2

2

3

3

4

c) f(x)= 3 − 4 x + x 3 −

x −2

d) f(x) = 1

5. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función: f(x) = x

1 + x si x < 0 1 − x si x ≥ 0

si x ≤ 1

2− x

2

si x > 1

f y f ´. 6. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: a) f(x)= E(x) b) f(x)= x -|x| c) f(x)= |x 2 -1|

M at I CNS funciones P5

. Representa gráficamente

7. Halla c para que las siguientes funciones sean continuas en todo su dominio de definición 2

a) f(x)=

cx − 3 si

x≤2

cx + 2 si

b) g(x)=

c 2x

¿ Es derivable f(x) en x =2?

x>2 x