matemática iii - ciu geometría

Ejercicios adicionales de geometría 2 Ángulos 1. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 40 grados. ¿Podrías hallarlos? 2. Dos ángulos son complementarios y uno es cuatro veces mayor que el otro. ¿Podrías hallarlos? 3. Dos ángulos son suplementarios y uno es tres veces mayor que el otro. ¿Podrías hallarlos? 4. Dos ángulos son suplementarios y uno es tres séptimos del otro. ¿Podrías hallarlos? 5. Doña Rogelia, vecina de Orejilla de Abajo, tiene un prado sin cercar en forma triangular y una cabra. Sabido es que las cabras son muy comedoras y doña Rogelia, que no quiere tener problemas con la vecina, decide atar la cabra con una cuerda a una estaca. Según el lugar donde clava la estaca acorta o alarga la cuerda de modo que la cabra pueda ir lo más lejos posible pero sin llegar a pacer la hierba de la vecina. Los primeros días coloca la estaca de modo que alcanza solamente a dos lados de cada uno de los ángulos. a) Haz un esquema aproximado de la situación b) ¿Dónde colocar la estaca? c) ¿Cómo se llama geométricamente la figura que tiene esta propiedad de que todos sus puntos equidistan de los dos lados de un ángulo? d) Haz la construcción geométrica correspondiente. 6. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos de: a) 8 lados b) 10 lados c) 15 lados d) 40 lados

Semejanza, teorema de Thales 1. De las siguientes parejas de triángulos, se listan las longitudes de los lados, di cuáles son semejantes y cuáles no, indicando cuál es, en caso afirmativo, la proporción de la semejanza:

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a)

3, 4, 5

6, 8, 10

b)

6, 6, 6

6, 6, 6

c)

6, 7, 8

7, 8, 9

2. Te dan el triángulo de lados 3 cm., 4 cm. y 5 cm. Escribe los lados de otros cinco triángulos semejantes al dado. 3. Halla el triágulo de lados enteros más pequeño semejante a cada uno de los casos siguientes: a) 6cm., 8cm., 10cm. b) 9cm., 12cm., 15cm. c) 12cm., 16cm., 20cm. d) 15cm., 20cm., 25cm. 4. Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la proporción de la semejanza y los valores de los lados desconocidos: a)

3, 4, 5

6, x, y

b)

6, 6, 6

x, y, 24

c)

x, 5, 8

12, y, 16

5. Las medidas de un terreno triangular son 300 m., 400 m. y 500 m. En un triángulo a escala, es decir, semejante al del terreno, el lado más pequeño tiene por homólogo un lado que mide 6 cm. Halla los restantes lados. 6. En un mapa, la distancia entre dos ciudades es 3 cm. Halla la escala del mapa sabiendo que ambas ciudades están a una distancia de 66 km. 7. En un mapa con escala 1:25000, dos lugares están separados 4 cm. Determina la distancia real entre ambos lugares. 8. Un pino en un momento del día arroja una sombra de 12 m. En ese mismo momento, otro pino de 1,60 m. arroja una sombra de 80 cm. Calcula su altura. 9. Una torre de una iglesia en un momento del día arroja una sombra de 15 m. En ese mismo momento, la sombra de una vara vertical de 1 m. arroja una sombra de 1,2 cm. Calcula su altura. 10. A continuación se muestran las medidas de los lados de los triángulos rectángulos que aparecen en monumentos, esculturas... egipcios. En algunos triángulos los lados no se pueden leer.

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a) Comprueba si las ternas que aparecen son correctas. b) Calcula el dato que falta en las ternas incompletas. Se señala con X: 12-35-X 20-X-29 X-28-35 28-45-X 45-60-X X-12-13 X-36-39 21-72-75 33-X-65 X-55-73

24-X-145 X-52-65 65-72-73 X-15-17 20-X-101 27-36-X X-75-85 X-135-153

11. Calcula la altura sobre el lado distinto de los siguientes triángulos isósceles cuyos lados miden: a) a = 21 b = 21 c = 16 b) a = 14 b = 14 c = 18 c) a = 12 b = 12 c = 8 d) a = 16 b = 16 c = 10 12. Calcula la diagonal de los ortoedros cuyas aristas miden: a) a = 3 b = 6 c = 8 b) a = 2 b = 4 c = 9 c) a = 12 b = 14 c = 18 d) a = 16 b = 20 c = 30 13. Calcula los lados de los cuadrados sabiendo que las diagonales miden: a) 20 cm. b) 64 cm. c) 24 cm. d) 12 cm. 14. Calcula los lados de los cuadrados sabiendo que están inscritos en una circunferencia de radio: a) 20 cm. b) 64 cm. c) 24 cm. d) 12 cm.

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15. Calcula los lados de los cubos sabiendo que las diagonales miden: a) 20 cm. b) 64 cm. c) 24 cm. d) 12 cm. 16. Calcula los lados de los cubos sabiendo que están inscritos en una superficie esférica de radio: a) 8 cm. b) 125 cm. c) 36 cm. d) 16 cm. 17. Los siguientes datos corresponden a la medida de los lados de triángulos. ¿Cuáles son rectágulos? a) b = 3 c = 4 a = 5 b) b = 3 c = 6 a = 8 c) b = 6 c = 8 a = 10 d) b = 12 c = 16 a = 20 e) b = 12 c = 20 a = 30 18. Un carpintero construye marcos de madera rectangulares para ventanas. Para que no se deformen clava un travesaño en diagonal. Indica cuáles de los marcos están bien hechos sabiendo que la longitud del interior de los lados y del travesaño miden: a) b = 30 c = 40 a = 50 b) b = 20 c = 20 a = 30 c) b = 60 c = 80 a = 100 d) b = 120 c = 160 a = 200 e) b = 120 c = 200 a = 300 19. Problema del bambú (texto indio del siglo IX) Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. ¿A que altura se ha roto?

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20. Problema de las fuentes (Leonardo de Pisa) Dos torres, una de 30 pasos de altura y otra de 40, están separadas 50 pasos. Entre las dos se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pájaros que están en las almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A que distancia de las torres se encuentra la fuente? 21. Un albañil apoya una escalera de 5 m. contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 m. del muro. Calcula un valor aproximado de la altura a la que se encuentra la parte superior de la escalera. 22. Un emisor de televisión tiene 40 m. de altura hasta el inicio de la antena. Se quiere sujetar al suelo con tres cables. Si las fijaciones del suelo están a 30 m. de la base del emisor, ¿cuál es la longitud de estos cables? 23. La nave de una fábrica mide 12 m. de ancho, 16 m. de largo y 4,5 m. de alto. Halla la máxima distancia posible entre dos puntos de su interior. 24. En un octoedro sus dimensiones son proporcionales a los núemros 3, 4 y 12 y la diferencia entre la mayor y la menor es 18 m. Halla las dimensiones y la medida de la diagonal. 25. Un marmolista tiene en su taller una columna de 1,5 m. de largo. Si su sección es circular y mide 20 cm de radio, ¿cuáles son las dimensiones aproximadas de la mayor columna de sección cuadrada que puede tallar de dicha columna? 26. Un trapecio isósceles tiene por lados 14 cm., 5 cm., 6 cm. y 5 cm.. Calcula la distancia entre los lados paralelos. 27. Un triágulo isósceles tiene 160 cm. de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y el área. 28. Problema del junco (de un texto indio del siglo XI) Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado desde su raíz de modo que su cabeza toca la orilla a ras del agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco? 29. Los ángulos de un triángulo miden 18, 16 y 9 cm. Determina qué cantidad igual se debe restar a cada uno para que resulte un triángulo rectángulo.

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30. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en centímetros, tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados. 31. En un círculo de diámetro 25 m. se inscribe un rectángulo cuyos lados difieren en 17 m. Halla la medida de estos lados. 32. Ya sabes que el tamaño de los televisores se mide en pulgadas. Así, cuando decimos que un televisor tiene 20 pulgadas, queremos decir que la pantalla, que es rectángular tiene 20 pulgadas de diagonal. Además, las dimensiones de la pantalla no son cualesquiera, sino que están en la relación de 3 a 4, es decir, que el 3 cociente de los lados es . Calcula, en centímetros, las dimensiones 4 de un televisor de 30 pulgadas (la pulgada equivale a 2.54 cm.). 33. Hacer el ejercicio anterior pero suponiendo una relación 9 a 16 más común actualmente entre los televisores pantalla plana y de alta definición.

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