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EL RINCÓN OLÍMPICO Pedro Alegría (*) Vamos a ofrecer en este número las soluciones de los problemas publicados en el número 33 de la revista (correspondiente a noviembre de 2008) los cuales fueron propuestos en el concurso "Problemas con premio" de la séptima edición de la "Zientzia astea" celebrado entre los días 12 y 16 de noviembre de 2008 en Bilbao. Como es habitual, a continuación proponemos una nueva lista de problemas de dificultad variable. Te animamos a que trates de resolverlos y nos envíes las soluciones. En próximas ediciones publicaremos las que nos hayan parecido más ilustrativas e ingeniosas.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS ANTERIORES Más fáciles 25. Tenemos dos toneles iguales, el primero lleno de alcohol y el segundo lleno de agua. Se pasa una cucharita de alcohol del primer tonel al segundo y se mezcla bien, y después se pasa una cucharita de líquido de la mezcla del segundo tonel al primero. ¿Hay ahora más agua en el tonel de alcohol que alcohol en el tonel de agua o al revés? Para llegar a la respuesta, realizaremos el proceso indicado llamando x a la capacidad de la cucharita, A a la cantidad inicial de alcohol en el primer tonel y B a la cantidad inicial de agua en el segundo tonel. Después del primer trasvase, tendremos en el primer tonel una cantidad de alcohol igual a "A – x" y en el segundo tonel una cantidad de alcohol igual a "x" y una cantidad de agua igual a "B". En el segundo trasvase, pasaremos una cantidad de alcohol igual a "y" y una cantidad de agua igual a "z", donde "x = y + z". De este modo, en el primer tonel la cantidad de alcohol es igual a "A – x + y" y la cantidad de agua es igual a "z", mientras que en el segundo tonel la cantidad de alcohol es igual a "x – y" y la cantidad de agua es igual a "B – z". Basta recordar que "x = y + z" para deducir que queda la misma cantidad de agua en el tonel de alcohol que alcohol en el tonel de agua. 26. En cierto poblado africano viven 800 mujeres. El tres por ciento de ellas llevan un pendiente. Del otro 97 por ciento restante, la mitad llevan dos pendientes y la otra mitad no lleva ninguno. ¿Cuántos pendientes llevan en total todas las mujeres?

(*) Dpto. Matemáticas, Universidad del País Vasco.

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Independientemente de los porcentajes establecidos, si agrupamos a las mujeres del segundo grupo en parejas, una con dos pendientes y una sin pendientes, cada dos mujeres llevan dos pendientes, lo que en total indica que habrá tantos pendientes como mujeres. Como las del primer grupo también cumplen esa propiedad, deducimos fácilmente que el total de pendientes será 800. 27. El año 1971 una persona afirmó: – Yo tenía n años en el año n2. ¿Cuál fue el año de nacimiento de dicha persona? Buscamos en primer lugar el número cuyo cuadrado sea más próximo a 1971, pero menor que 1971. Resulta que 442 = 1936. Esto indica que n = 44, de modo que el año de nacimiento será 1936 – 44 = 1892. 28. Con dos relojes de arena, uno de siete minutos y otro de 11 minutos de duración, ¿cuál es la forma más rápida de calcular los 15 minutos necesarios para cocer un huevo? Se ponen en marcha los dos relojes simultáneamente en el momento en que empieza a cocer el huevo. Después de siete minutos, se gira el reloj que dura los siete minutos (de modo que el otro reloj todavía necesita otros cuatro minutos para terminar). Cuando haya terminado el reloj de once minutos, que es el momento en que faltan tres minutos para que acabe el reloj de siete minutos, se gira nuevamente el reloj de siete minutos (porque tiene acumulados cuatro minutos). Cuando acaba este reloj han pasado exactamente 15 minutos, los necesarios para terminar la cocción.

Intermedios 29. Tres personas, Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en un reunión. La dama comenta: – Es curioso que nuestros apellidos sean Blanco, Rubio y Castaño y que nos hayamos reunido tres personas con ese color de pelo. – Sí, –dijo la persona de pelo rubio– pero nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido. – Es verdad –dijo quien se apellidaba Blanco–. Si la dama no tiene el pelo castaño, ¿cuál es el apellido de la dama y de qué color es su pelo? Teniendo en cuenta que nadie tiene el color de pelo que coincida con el apellido, sólo nos quedan dos opciones (representamos con mayúsculas las iniciales de los apellidos y con minúsculas las iniciales de los colores del pelo): 1.

B-r R-c C-b

2.

B-c R-b C-r

La secuencia de la conversación indica que la persona de pelo rubio no se apellida Blanco, de modo que la primera opción no es válida.

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Como la dama empieza hablando y contesta la persona de pelo rubio, deducimos que la dama no tiene el pelo rubio. El último dato nos indica que tampoco tiene el pelo castaño. La única alternativa es pues que la dama se apellide Rubio y tenga el pelo blanco. 30. Utilizando una escalera mecánica para bajar a la estación del Metro y andando con paso regular, observo que necesito 50 escalones para bajar. Si luego vuelvo a subirla corriendo, a una velocidad cinco veces mi paso normal anterior, compruebo que necesito 125 escalones para llegar arriba. ¿Cuántos escalones visibles tiene la escalera mecánica cuando se encuentra parada? Si llamamos x al número de escalones que baja la escalera mecánica por cada escalón que bajo andando, como necesito 50 escalones para bajar, el número total de escalones bajados es igual a 50 + 50 x. Por otra parte, como subo a una velocidad cinco veces mi paso normal, el aparato baja x/5 escalones por cada escalón que subo. El número total de escalones es ahora 125 – 125 x/5. Igualando ambas cantidades, resulta 50 + 50 x = 125 – 25 x, es decir x = 1, lo cual indica que el número de escalones que tiene la escalera mecánica es igual a 100. 31. Dos tenistas, llamémosles Ramón y Roberto, jugaron nueve partidos de tenis, alternando en cada partido el primero que saca. Ramón ganó seis y Roberto tres. Cinco de los partidos los ganó el jugador que no empezó sacando. ¿Quién empezó sacando el primer partido? Llamemos R al jugador que empieza sacando y R’ al segundo jugador. En la tabla siguiente mostramos los partidos ganados y perdidos por cada jugador con su propio saque: Gana

Pierde

Saca R

x

5–x

Saca R’

y

4-y

Así pues, R ha ganado un total de 4 + x – y partidos y R’ ha ganado un total de 5 – x + y partidos. Además, el total de juegos ganados con el saque del contrario es 5 – x + 4 – y. Como 5 = 5 – x + 4 – y, deducimos que x + y = 4. Si fuera Roberto el primero en sacar, tendríamos que 3 = 4 + x – y, o bien y – x = 1. Como y + x = 4, resulta que 2y = 5, lo que es imposible. Si fuera Ramón el primero en sacar, tendríamos que 6 = 4 + x – y, o bien x – y = 2. Resulta así que x = 3, y = 1, lo cual coincide con el enunciado. 32. Sobre una mesa están colocadas tres cartas en fila. Sabemos que a la derecha de un rey hay una o dos sotas. A la izquierda de una sota hay una o dos sotas. A la izquierda de una carta de oros hay una o dos cartas de espadas. A la derecha de una carta de espadas hay una o dos cartas de espadas. ¿Cuáles son las tres cartas?

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De la primera información, deducimos las siguientes posibilidades (donde X representa cualquier carta): X-Rey-Sota

Rey-X-Sota

Rey-Sota-Sota

Rey-Sota-X

Como a la izquierda de una sota debe haber una o dos sotas, las posibilidades anteriores se pueden precisar del siguiente modo: Sota-Rey-Sota

Rey-Sota-Sota

Rey-Sota-Sota

Rey-Sota-Sota,

las cuales se reducen a los dos únicos casos Sota-Rey-Sota o Rey-Sota-Sota. Realizando el mismo razonamiento con los palos, llegamos nuevamente a las dos posibilidades Espadas-Espadas-Oros o Espadas-Oros-Espadas. Combinando ambos resultados, la única alternativa posible es que las tres cartas sean el Rey de espadas, la Sota de oros y la Sota de espadas.

Menos fáciles 33. ¿Existe alguna potencia de 2, que al escribirla en el sistema decimal tenga todos sus dígitos distintos de cero y sea posible reordenar los mismos para formar con ellos otra potencia de 2 distinta? Justificar la respuesta. Supongamos que 2n = ak · 10k + ak–1 10k–1+ … + a1 · 10 + a0. Como 10m [ 1 (mód 9), para cualquier m, entonces 2n (ak + ak–1 + … + a1 + a0)(mód 9). Cualquier otra potencia de dos formada por las mismas cifras sólo puede ser de la forma 2n · 2, 2n · 4, 2" · 8, 2n / 2, 2n / 4 ó 2n / 8. En todos los casos, si llamamos x = ak + ak–1 + … + a1 + a0, tiene que cumplirse que 2n+k [ x (mód 9), ya que 2n+k tiene las mismas cifras que 2n. En el primer caso, debe ser 2x [ x (mód 9), de modo que 2 [ 1 (mód 9), lo que es absurdo. Un razonamiento similar permite descartar el resto de los casos. Se deduce por tanto que no puede haber otra potencia de dos formada por las mismas cifras del número inicial. 34. Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden una unidad. ¿Cuál será la lon gitud del tercer lado para que el área del triángulo sea máxima? Si colocamos el triángulo con uno de los lados iguales como base, el área será máxima cuando la altura sea máxima. Esto se consigue cuando el ángulo entre los dos lados iguales sea de 90 grados, es decir el triángulo sea rectángulo. En este caso, el área es ½ y el tercer lado, correspondiente a la hipotenusa, mide V2. 35. ¿Es posible construir un cubo de dimensiones 6 x 6 x 6 utilizando 27 ladrillos iguales de dimensiones 1 x 2 x 4? Vamos a suponer que dicha construcción es posible. Suponemos que el cubo original está dividido en 27 cubitos de dimensiones 2 x 2 x 2, los cuales están pintados alternativamente de

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blanco y negro. Habrá pues 14 cubos de un color y 13 cubos del otro. Si suponemos que hay 14 negros y 13 blancos, la cara anterior del cubo original se vería así:

Con esta disposición, los ladrillos 1 x 2 x 4 con los que se ha construido el cubo, sea cual sea su situación, tendrán la mitad de su volumen en la zona blanca y la otra mitad en la zona negra (se pueden ver todas las posibilidades en la figura anterior). Entonces la mitad del volumen total sería blanca lo que contradice el hecho de que hay más cubos de tamaño 2 x 2 x 2 negros que blancos. 36. El matrimonio formado por Juan y Alicia asistió a una fiesta en la que se encontraron a otros cuatro matrimonios. Durante las presentaciones se estrecharon varias manos, en las que nadie estrechó la mano de su pareja ni estrechó más de una vez la mano a una misma persona. Al final de las presentaciones Juan preguntó a todos los asistentes, incluyendo a su esposa, el número de manos que había estrechado. Sorprendentemente, todos dieron una respuesta diferente. ¿Cuántas manos estrechó Alicia? Como nadie ha estrechado la mano de su pareja, el máximo de manos que da una persona es ocho. Como son nueve personas las que han dado una cantidad distinta de manos, una de ellas ha dado ocho manos. Así pues, todos, salvo su pareja, ya han estrechado al menos una mano. Por lo tanto, su pareja no ha saludado a nadie. Análogamente, la pareja de quien ha estrechado siete manos ha dado una sola mano. Del mismo modo podemos emparejar los números 2 con 6, 3 con 5 y 4 con 4. Esta única repetición debe corresponder al número de manos estrechadas por Alicia..

ENUNCIADOS DE LOS NUEVOS PROBLEMAS Más fáciles 37. ¿Puede ser cierta la siguiente frase? – Anteayer yo tenía 33 años, y el año que viene cumpliré 36. En caso de que sea cierta, ¿qué día es hoy y cuál es el día de mi cumpleaños?

38. Dos hermanos echaron una carrera de 100 metros. El mayor ganó por 3 metros, es decir, cuando el mayor llegó a la meta, el menor había recorrido 97 metros. Volvieron a echar la carrera, pero ahora el hermano mayor empezó tres metros por detrás de la línea de salida. Suponiendo que los dos corrieron como la primera vez, ¿quién ganó esta carrera?

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39. Seis jóvenes se apuntaron a un curso de teoría de números. Con el propósito de recordar más fácilmente sus nombres, el profesor los sentó en el orden siguiente: Lulú Nogués Aldo Sastre Edit Resnik

Rucucu Atrogno Eric Incorto Emilse Ischia

¿Cuál es el sistema que usó?

40. Mi padre tiene 44 años. Mi perro, ocho. Si mi perro fuese humano, tendría 66 años de edad. ¿Qué edad tendría mi padre si fuera perro? ¿Cuántos años sumarían mi padre y mi perro si ambos fueran humanos?

Intermedios 41. Tenemos dos cajas cúbicas de dimensiones iguales. Una de ellas contiene una gran esfera de hierro cuyo diámetro es igual a la altura de la caja. La otra caja está llena de bolas de hierro pequeñas colocadas en sucesivas capas, todas iguales, ocupando toda la caja. ¿Qué caja pesa más?

42. Siete sultanes tienen en total 2.879 mujeres. No hay dos con la misma cantidad. Si dividimos la cantidad de mujeres de uno cualquiera de esos harenes por la cantidad de mujeres de cualquier otro harén menor, el resultado es siempre un número entero. ¿Cuántas mujeres hay en cada uno de los harenes?

43. ¿Cuántas páginas tiene un libro en cuya numeración se emplearon 3.901 caracteres? 44. La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes que viene es 38. Sabiendo que todas las fechas son de un mismo año, ¿en qué mes estamos?

Menos fáciles 45. Una familia de matemáticos, el padre Samuel, la madre Samanta y el hijo Saúl, mantienen la siguiente conversación en algún momento del siglo XX: – Padre: Mi edad ha sido múltiplo de la tuya, Samanta, en tres ocasiones; y de la tuya, Saúl, en dos, y una vez más que lo será todavía, si Dios quiere. – Madre: La mía ha sido cinco veces múltiplo de la tuya Saúl, y ya no volverá a ocurrir. – Hijo: Efectivamente. Y el año actual es múltiplo de nuestras edades. ¿En qué año nació cada uno?

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46. Dos rectángulos del mismo perímetro tienen áreas que se diferencian en 13 metros cuadrados. Si las dimensiones de los rectángulos son cuatro números enteros distintos y la menor mide 4 metros, calcular el resto de las dimensiones.

47. Probar que no puede cortarse un cubo por un plano de modo que la sección resul tante sea un pentágono regular.

48. Dos amigos se encuentran en la calle y mantienen la siguiente conversación: – Estuve la semana pasada participando en un congreso donde había 19 asistentes, los cuales estábamos numerados del uno al 19. Me encontré con tres extranjeros y me enteré que les habían asignado tres números consecutivos. – ¿Supiste qué números eran? – Para averiguarlo, me dirigí a ellos y les pregunté si alguno de ellos tenía asignado un cuadrado perfecto. Me contestaron con un monosílabo. – ¿Fue un sí o un no? – Espera, después de hacer mis cálculos les pregunté si alguno de ellos había recibido un número primo. Otra vez me contestaron con un monosílabo. – ¿Averiguaste así qué números eran? – Sí, y tú también podrás deducirlo si te cuento que el número de tu amigo Juan era el doble del mío. ¿Cuáles eran los números?

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Icosidodecaedro truncado

Icosaedro truncado