1

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO. Ejercicios de la unidad 11 Posición y desplazamiento. 1.-

Escribe el vector de posición y calcula sus módulos correspondientes para los siguientes puntos: P1 (4,2,–1), P2 (–3,1,0) y P3 (1,0,–5); Las unidades de las coordenadas están en el Sistema Internacional.

2.-

Sea r(t) = (3t – 4) i + 3 j – 2 k, en unidades del SI, el vector de posición de un móvil Calcula r(t) para t = 2 y t = 5 s así como el vector desplazamiento entre ambos instantes.

3.-

Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación: r(t) = [(t2 – 5 t – 2) i + (3 t +1) j] m.

4.-

Las ecuaciones paramétricas de un móvil son: x = 2 t – 1, y = 2 t2 + t – 4, en unidades SI. Obtén la ecuación de la trayectoria y decide qué tipo de curva es.

5.-

El vector de posición de una partícula es: r(t) = (2 t2 + t – 1) i + (t +2) j, en unidades Sl. Determina: a) El vector de posición en los instantes t = 1 y t = 3 s. b) El vector desplazamiento entre los instantes anteriores y su módulo. c) La ecuación de la trayectoria en unidades SI. Dibuja aproximadamente esta trayectoria.

Velocidad. 6.-

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) el espacio recorrido es siempre igual al módulo del vector desplazamiento; b) el espacio recorrido es siempre igual al módulo del vector desplazamiento sólo en los movimientos lineales; c) la velocidad y la rapidez instantáneas son magnitudes idénticas; d) el módulo de la velocidad instantánea es siempre igual a la rapidez instantánea; e) el módulo de la velocidad media es siempre igual a la rapidez media; f) un móvil cuya rapidez es distinta de cero puede tener el módulo de su vector velocidad media igual a cero entre dos puntos de su trayectoria.

7.-

Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2,5 s y t = 3,5 s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [(t2 + 4 t – 2) i + (3t – 1) j] m.

8.-

Un móvil se desplaza en línea recta a lo largo del eje x ocupando las siguientes posiciones a cada instante de tiempo: t (s) 0 2 4 6 8 10 12 x (m) 0 8 32 72 112 152 192 Contesta: a) A partir de los datos, ¿cuántos movimientos distintos observas? b) ¿Cuál será la ecuación de la posición en función del tiempo en cada tramo? c) ¿Cual es el vector posición en los instantes t = 1 s y t = 9 s? d) ¿Cual es el vector desplazamiento y el vector velocidad media entre los puntos del apartado anterior?

9.-

Un movimiento viene determinado por las siguientes ecuaciones paramétricas: x(t) = 5 – t; y(t) = 3 t2 – 2 t + 7; en unidades del S.I.. Expresa en forma cartesiana a) los vectores de posición para t = 3 s y t = 5 s. b) el vector desplazamiento entre ambos puntos. c) Calcula, bien usando derivadas, o bien de forma aproximada

2 utilizando Δt = 0,01 s las componentes del vector velocidad para t = 3 s y su módulo. d) Escribe la ecuación de la trayectoria. 10.- Un móvil sigue el recorrido A→B→C indicado en el gráfico (las distancias se miden en metros). a) Calcular el vector desplazamiento en cada uno de los dos tramos. b) Si el tiempo que tarda en completar el tramo A→B es de 5 s y el B→C de 10 s, calcula el vector velocidad media de cada tramo así como la velocidad media total; c) Calcula los módulos de todas las velocidades obtenidas en el apartado anterior. 11.- Calcular la velocidad instantánea, usando derivadas y de manera aproximada utilizando intervalos Δt = 0,01 s, en el instante t = 3s, así como su módulo para un móvil cuya ecuación del vector posición es: r(t) = [(t2 + t – 2) i + (4t – 1) j] m. 12.- Un avión situado en A se dispone a despegar. Inicia su recorrido por las pistas auxiliares, pasando por los puntos B y C hasta que llega a D en la cabecera de la pista de despegue. Si las coordenadas están puestas en metros a) calcular el vector desplazamiento en cada tramo. b) Si los tiempos que tarda en completar cada tramo son 28, 50 y 30 s respectivamente, calcula el vector velocidad media de cada tramo y el total, así como sus módulos.

Aceleración 13.- Razona si un motorista que lleve una velocidad constante a lo largo de un circuito cerrado sufrirá aceleración. 14.- Calcular la expresión del vector aceleración, usando derivadas o de manera aproximada utilizando intervalos Δt = 0,01 s, del movimiento cuyo vector velocidad era v(t) = [(2 t2 – 1) i + (3 t + 2) j] m/s en el instantes t = 5 s, así como su módulo. 15.- Un móvil va por un circuito circular de 50 m de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v(t) = (4 t – 2) m/s. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal; c) el módulo del vector a a los 3 s. 16.- Un móvil se desplaza por el plano XY según las ecuaciones paramétricas: x = t3 + 4; y = 2 t2 – t +5, en unidades del SI. Calcula: a) la expresión de la velocidad y de la aceleración del móvil; b) Calcular el módulo de la velocidad y de la aceleración para t = 12 s. 17.- La ecuación de posición de un móvil es: r(t) = (2 t2 + 2) i + [(8/3) t3 – 1] j + (t + 2) k (se expresa la posición en metros al expresar el tiempo en segundos). Calcular: a) el vector velocidad y su módulo en función de “t”; b) el vector aceleración y su módulo en función de “t”; c) la aceleración tangencial y la normal en función de “t”; d) el radio de curvatura para t = 2s.

3

SOLUCIONES (Elementos del Movimiento). |r1| = [42 + 22 + (–1)2 ]1/2 m = 4,58 m |r2| = [(–3)2 + 12]1/2 m = 3,16 m |r3| = [12 + (–5)2]1/2 m = 5,10 m

1.-

P1 (4,2,–1): r1 = (4 i + 2 j – k) m ; P2 (–3,1,0): r2 = (–3 i + j) m ; P3 (1,0,–5): r3 = (i – 5 k) m ;

2.-

r(t=2 s) = [(3 · 2 – 4) i + 3 j – 2 k] m = (2 i + 3 j – 2 k) m r(t=5 s) = [(3 · 5 – 4) i + 3 j – 2 k] m = (11 i + 3 j – 2 k) m Δr = r(t=5 s) – r(t=2 s) = (11 i + 3 j – 2 k) m – (2 i + 3 j – 2 k) m = = {(11 – 2) i + (3 –3) j +[–2 – (–2)] k} m = 9 i m

3.-

r(t) = [(t2 – 5 t – 2) i + (3 t +1) j] m; Ec. Paramétricas: x = (t2 – 5 t – 2) m ; y = (3 t + 1) m Despejamos “t” en una de las ecuaciones: t = (y –1)/3

y sustituimos en la otra:

(y –1)2 (y –1) y2 –2y + 1 5y – 5 y2 –2y + 1 – 15y + 15 – 18 x = –––––– – 5 –––––– – 2 = ––––––––– – ––––– – 2 = –––––––––––––––––––––– 32 3 9 3 9 y2 – 17 y – 2 x = –––––––––– 9

Ecuación de la trayectoria:

4.-

x = 2 t – 1, y = 2 t2 + t – 4 Despejamos “t” en la primera ecuación: t = (x +1)/2 y sustituyendo en la segunda: Ecuación de la trayectoria: y=

5.-

1 2 3 x + x−3 2 2

Se trata de una parábola

a) r(t) = [(2 t2 + t – 1) i + (t +2) j] m r(t= 1s) = [(2 ·12 + 1 – 1) i + (1 +2) j] m = (2 i + 3 j) m r(t= 3s) = [(2 ·32 + 3 – 1) i + (3 +2) j] m = (20 i + 5 j) m b) Δr = r(t=3s) – r(t=1s) =(20 i + 5 j) m – (2 i + 3 j) m = (18 i + 2 j) m |Δr| = (182 + 22 )1/2 m = 18,11 m c) x = 2 t2 + t – 1 ; y = t +2 ⇒ t = y – 2 x = 2 (y – 2)2 + y – 2 – 1 = 2 y2 – 8 y + 8 + y – 2 – 1 = 2 y2 – 7 y + 5 Ecuación de la trayectoria: x = 2 y2 – 7 y + 5

6.-

a) FALSO. En un circuito cerrado, cundo un móvil pasa dos veces por el mismo punto, al ser la posición de ambos momentos la misma, el vector desplazamientos y por tanto su módulo son nulos. Sin embargo, el espacio recorrido es la longitud del circuito multiplicado por el número de vueltas b) FALSO. Sería cierto sólo si no se cambiara de sentido. Si el móvil cambia de sentido no lo es. Por ejemplo, si lanzamos un objeto hacia arriba y éste cae de nuevo al punto de partida, el módulo del vector desplazamiento sería nulo, mientras que el espacio recorrido sería el doble de la altura máxima que ha alcanzado. c) FALSO. La velocidad instantánea es una magnitud vectorial mientras que la rapidez es una magnitud escalar.

4 d) VERDADERO. Al tratarse de desplazamientos infinitesimales, la trayectoria viene a coincidir con la dirección del vector desplazamiento de forma que |Δr| ≅ Δs, por lo que sus respectivas derivadas con respecto al tiempo coincidirán. e) FALSO. Al hablar de desplazamiento en intervalos no infinitesimales, en general |Δr| ≠ Δs, por lo que sus respectivas derivadas con respecto al tiempo tampoco coincidirán. f) VERDADERO. Siempre que el móvil pase dos veces por el mismo punto |Δr| = 0, y por tanto vm = 0, mientras que Δs ≠ 0 ya que la rapidez es distinta de 0. 7.-

r(t) = [(t2 + 4 t – 2) i + (3t – 1) j] m r(t= 2,5 s) = [(2,52 + 4·2,5 – 2) i + (3·2,5 –1) j] m = (14,25 i + 6,5 j) m r(t= 3,5 s) = [(3,52 + 4·3,5 – 2) i + (3·3,5 – 1) j] m = (24,25 i + 9,5 j) m Δr = r(t=3,5s) – r(t=2,5s) = (10 i + 3 j) m Δr (10 i + 3 j) m vm = ––– = –––––––––––– = (10 i + 3 j) m/s Δt 3,5 s – 2,5 s

8.-

|Δvm| = (102 + 32)1/2 m/s = 10,44 m/s

a) 2 movimientos. Hasta t = 6 s, cada Δt = 2s el desplazamiento por el eje x es cada vez mayor. A partir de t = 6 s, cada 2s se desplaza siempre 40 m. b) Primer movimiento: r(t) = 2t2 i m ; Segundo movimiento: r(t) = 72 + 20 (t – 6) i m = (20 t – 48 ) i m c) r(t= 1s) = 2 ·12 i m = 2 i m r(t= 9s) = (20 · 9 – 48) i m = 132 i m d) Δr = r(t=9s) – r(t=1s) = 132 i m –2 i m = 130 i m Δr 130 i m vm = ––– = –––––––– = 16,25 i m/s Δt 9s–1s

9.-

x(t) =; y(t) = 3 t2 – 2 t + 7 a) r(t= 3s) = [(5 – 3) i + (3 · 32 – 2 · 3 + 7) j] m = (2 i + 28 j) m r(t= 5s) = [(5 – 5) i + (3 · 52 – 2 · 5 + 7) j] m = 72 j m b) Δr = r(t=5s) – r(t=3s) = 72 j m – (2 i + 28 j)m = (–2 i + 44 j) m c)

dr d [(5 – t ) i + (3 t2 – 2 t + 7) j) m v = ––– = ––––––––––––––––––––––––––– = [– i + (6 t – 2) j] m/s dt dt

v(t= 3s) = [– i + (6 · 3 – 2) j] m/s = (– i + 16 j) m/s ; |v| = [(–1)2 + 162]1/2 m/s = 16,03 m/s r(t= 3s) = (2 i + 28 j) m r(t= 3,01s) = [(5 – 3,01) i + (3 · 3,012 – 2 · 3,01 + 7) j] m = (1,99 i + 28,1603 j) m Δr = r(t=3,01s) – r(t=3s) = (–0,01 i + 0,1603 j) m Δr (–0,01 i + 0,1603 j) m v ≅ ––– = –––––––––––––––––– = (– i + 16,03 j) m/s; |v| ≅ [(–1)2 + 16,032]1/2 m/s = 16,06 m/s Δt 3,01 s – 3 s d) t = 5 – x ⇒ y = 3 · (5–x)2 –2·(5–x) +7 = 75 – 30 x + 3 x2 –10 + 2 x + 7 = 3 x2 – 28 x +72 y = 3 x2 – 28 x +72

5 10.- a) rA = 2 j m; rB = (4 i + 4 j) m ; ΔrA→B = rB – rA = (4 i + 2 j) m ; b)

rC = (6 i + j) m ΔrB→C = rC – rB = (2 i – 3 j) m

ΔrA→B (4 i + 2 j) m vm(A→B) = –––––– = –––––––––– = [(4/5) i + (2/5) j] m/s Δt 5s ΔrB→C (2 i –3 j) m vm(B→C) = –––––– = –––––––––– = [(1/5) i – (3/10) j)] m/s Δt 10 s ΔrA→C (6 i – j) m vm(A→C) = –––––– = –––––––––– = [(6/15) i – (1/15) j] m/s Δt 15 s

c) |Δvm(A→B)| = [(4/5)2 + (2/5)2]1/2 m/s = 0,89 m/s |Δvm(B→C)| = [(1/5)2 + (–3/10)2]1/2 m/s = 0,36 m/s |Δvm(A→C)| = [(6/15)2 + (–1/15)2]1/2 m/s = 0,41 m/s 11.- r(t) = [(t2 + t – 2) i + (4t – 1) j] m dr d [(t2 + t – 2) i + (4t – 1) j] m v = ––– = ––––––––––––––––––––––––––– = [(2t + 1) i + 4 j] m/s dt dt v(t= 3s) = [(2·3 + 1) i + 4 j]m/s = (7 i + 4 j) m/s ; |v| = [72 + 42]1/2 m/s = 8,06 m/s r(t= 3s) = [(32 + 3 – 2) i + (4·3 – 1) j] m = (10 i + 11 j) m r(t= 3,01s) = [(3,012 + 3,01 – 2) i + (4·3,01 – 1) j] m = (10,0701 i + 11,04 j) m Δr = r(t=3,01s) – r(t=3s) = (0,0701 i + 0,04 j) m Δr (0,0701 i + 0,04 j) m v ≅ ––– = ––––––––––––––––––– = (7,01 i + 4 j) m/s ; |v| ≅ [7,012 + 42]1/2 m/s = 8,07 m/s Δt 3,01 s – 3 s G G JJJJG JG JG G G G G 12.- a) Tramo AB: ΔrAB = rB − rA = ⎡ 300 i + 150 j − 100 i + 50 j ⎤ m = 200 i + 100 j m ⎣ ⎦ G JJJJG JJG JG G G G G Tramo BC: ΔrBC = rC − rB = ⎡ 800 i + 150 j − 300 i + 150 j ⎤ m = 500 i m ⎣ ⎦ JG JJJJG JJG JJG G G G G Tramo CD: ΔrCD = rD − rC = ⎡ 800 i + 300 j − 800 i + 150 j ⎤ m = 150 j m ⎣ ⎦ G G JJJJG JJJJG G G G m Gm 200 i + 100 j m JJJG Δr JJJG Δr 500 i m BC AB = = 7,14 i + 3, 57 j b) vAB = ; vBC = = = 10 i s s 28 s 50 s t AB t BC JJJJG G Gm JJJG Δr 150 j m = 50 j vCD = CD = s 30 s tCD G G G G G G JJJJG G G m 800 i + 300 j m − 100 i + 150 j m 700 i + 150 j m JJJJG Δr vTotal = AD = = 6, 48 i + 1, 39 j = s t AD 28 s + 50 s + 30 s 108 s

( ( (

(

)

(

) ( ) ( ) (

(

) (

(

)

)

)

)

)

)

(

)

(

)

6 JJJG JJJG m m m m 2 2 2 2 ; vBC = vBCx v AB = v ABx + v ABy = 7,142 + 3,57 2 = 7, 98 + vBCy = 102 = 10 s s s s JJJG JJJ G m m m m 2 2 2 2 ; vTot = v ADx vCD = vCDx + vCDy = 502 = 50 + v ADy = 6, 482 + 1,392 = 43, 92 s s s s

13.- SÍ. Al llevar una velocidad constante a lo largo de un circuito cerrado, obviamente se refiere a la rapidez, ya que si se tratara del vector velocidad no podría volver al punto de partida. Al no haber cambio en el módulo de la velocidad no existirá aceleración tangencial. Sin embargo, como en un circuito cerrado existen curvas, en todas ellas existirá aceleración tangencial cuyo valor dependerá del radio de las mismas (v2/R). 14.- v(t) = [(2 t2 – 1) i + (3 t + 2) j] m/s dv d [(2 t2 – 1) i + (3 t + 2) j] m/s a = ––– = ––––––––––––––––––––––––– = [4t i + 3 j] m/s2 dt dt a(t= 5s) = (4·5 i + 3 j)m/s2 = (20 i + 3 j) m/s2 ; |a| = [202 + 32]1/2 m/s = 20,22 m/s2 v(t= 5s) = [(2 · 52 – 1) i + (3 · 5 + 2) j] m/s = (49 i + 17 j) m/s v(t= 5,01s) = [(2 · 5,012 – 1) i + (3 · 5,01 + 2) j] m/s = (49,2002 i + 17,03 j) m/s Δv = v(t=5,01s) – v(t=5s) = (0,2002 i + 0,03 j) m/s Δv (0,2002 i + 0,03 j) m/s a ≅ ––– = ––––––––––––––––––– = (20,02 i + 3 j) m/s ; |a| ≅ [20,022 + 32]1/2 m/s = 20,24 m/s2 Δt 5,01 s – 5 s 15.- v(t) = (4 t – 2) m/s a)

dv (4 t – 2) m/s b) v2 (4 t – 2)2 m2/s2 2 at = ––– = –––––––––– = 4 m/s ; an = –– = ––––––––––– = dt dt R 50 m

c)

2

|a(t= 3s)| =

2 ⎞ m 8 ⎛ 8 2 4 2 + ⎜ ⋅ 32 + ⋅ 3 + ⎟ 2 = 5,60 m/s 25 ⎠ s 25 ⎝ 25

16.- r(t) = [(t3 + 4) i + (2 t2 – t + 5) j] m a) v(t= 12 s) = [3·122 i + (4·12 – 1) j]m/s = (432 i + 47 j) m/s ;

|v(t= 12 s)| =

432 2 + 47 2 m = 434.55 m/s s

dv [3t2 i + (4t – 1) j] m/s a = ––– = ––––––––––––––––––– = (6t i + 4 j) m/s2 dt dt b) v(t= 12 s) = [3·122 i + (4·12 – 1) j]m/s = (432 i + 47 j) m/s ; 432 2 + 47 2 m = 434.55 m/s s a(t= 12 s) = [6·12 i + 4 j]m/s2 = (72 i + 4 j) m/s2 ;

|v(t= 12 s)| = |a(t= 12 s)| =

72 2 + 4 2 m

s

= 72,11 m/s2

8 2 8 2 m –– t + –– t + –– ––2 25 25 25 s

7 17.- r(t) = (2 t2 + 2) i + [(8/3) t3 – 1] j + (t + 2) k a)

dr d {(2 t2 + 2) i + [(8/3) t3 – 1)] j + (t + 2) k} m v = ––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = (4 t i + 8 t2 j + k) m/s dt dt

|v| = b)

dv (4 t i + 8 t2 j + k) m/s a = ––– = ––––––––––––––––––– = (4 i + 16 t j) m/s2 dt dt

|a| = c)

2 64 t 4 + 16 t 2 + 1 m = (8 t + 1) m/s s

256 t 2 + 16 m s 2

d|v| (8 t2 + 1) m/s at = ––– = –––––––––– = 16 t m/s2 dt dt |a|2 = at2 + an2 ⇒ a n = a 2 − a t 2 = (256 t 2 + 16) − (16 t) 2 m s 2 = 4 m/s2

d)

v2 an = ––– ⇒ R

v(t=2s)2 (8 ·22 + 1)2 m2/s2 R(t= 2s) = ––––––– = –––––––––––––– = 272,25 m an 4 m/s2

Soluciones a los ejercicios de los apuntes: A.-

⌫ t (s)

G r (m)

y Coordenadas

0

G 8 j

(0,8)

2

G G 4 i +8 j

(4,8)

4

G G 8 i +8 j

(8,8)

6

G G 12 i + 8 j

(12,8)

JJJJG rt = 0 s

JJJJG rt = 2 s

JJJJG rt = 4 s

5

5 B.-

JJJJG rt = 6 s

⌫ Ecuaciones paramétricas: x = t – 2 ; y = 2t2 + 4t –3 Despejando “t” de la 1ª ecuación: t = x + 2, y sustituyendo en la segunda: y = 2 (x + 2)2 + 4 (x + 2) – 3 = 2 (x2 + 4x + 4) + 4(x + 2) –3 y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3 Ecuación de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x +13

10

x

8

C.-

x , 3 y sustituyendo en y = 2 t2 – 6 queda:

⌫ Despejando “t” de x = 3 t ⇒ t = 2

⎛x⎞ y = 2⎜ ⎟ − 6 ; ⎝3⎠

y=

2 2 x −6 9

0 2 4

D.-

⌫

6

( −6)2 = 6,00 62 + 22 = 6,32 122 + 26 2 = 28,63 182 + 662 = 68,41

y 50

25

10

5

E.-

G r (t) (m)

G r (t) (m) G –6 j G G 6 i +2 j G G 12 i + 26 j G G 18 i + 66 j

t (s)

15

x

y

0

–6

6

2

12

26

18

66

x

JG G G JG G G ⌫ r1 ( t = 2s ) = 6 i + 2 j m ; r2 ( t = 4s ) = 12 i + 26 j m JJG JG JG G G JG G G JJJG G G Δr = 6 i + 24 j m Δr = r2 − r1 = Δx i + Δy j + Δz k = ⎡⎣(12 − 6 ) i + ( 26 − 2 ) j ⎤⎦ m ; JJG Δr = 62 + 242 m = 24,74 m

(

)

(

)

(

)

JG G G JG G G ⌫ r1 ( t = 2s ) = 4 i − 7 j m ; r2 ( t = 5s ) = 46 i − 19 j m JJG JG JG G G Δr ( 2s → 5s ) = r2 − r1 = 42i − 12 j m G G JJG 42 i − 12 j m JJG G G m Δr v m ( 2s → 5s ) = = = 14 i − 4 j Δt 5s − 2s s JJG m 2 m v m = 142 + ( −4 ) = 14,56 s s G G.- ⌫ Si queremos calcular v (t = 2 s) de forma másJG aproximada deberemos tomar un Δt aún JG menor, por ejemplo 0,01 s, y conocer la posición en r1 (t = 2 s) y en r3 (t = 2,01 s). JG G G G JG G r1 ( t = 2s ) = 6 i + 2 j m ; r3 ( t = 2,01s ) = 6,03 i + 2,0802 j m JJG JG JG G G Δr ( 2 s → 2,01s ) = r3 − r1 = 0,03i + 0,0822 j m

(

F.-

(

(

)

) (

)

(

(

)

(

)

)

)

(

)

9

G G JJG 0,03 i + 0,0802 j m JJJJJG G G m Δr v aprox ( t = 2s ) = = = 3 i + 8,02 j Δt 0,01s s

(

)

(

)

JJG m m v m = 32 + 8,022 = 8,56 s s

y

5 0

2 5