EQUIVALENCIA Concepto

C

C

D

B

A

C

DB

D

A

A

B

C

B

D

B

AC

B

Dos figuras planas se denominan Equivalentes cuando siendo de distinta forma tienen la misma superficie.

G

D

En la izquierda se han dibujado un cuadrado y un triángulo isósceles equivalentes. El proceso seguido se plantea en la parte superior del gráfico. El cuadrado ABCD es equivalente al triángulo isósceles EFG .

B

A

E

F

D

Transformación de un polígono de n lados en otro equivalente de (n-1) lados Sea el pentágono ABCDE, que remos transformarlo en un cuadrilátero equivalente, para ello: 1.- Trazamos una diagonal del polígono e n n ue s t ro c a s o h em os t ra zad o AD.Triángulo ADE. 2.- Por el vértice intermedio, E. trazamos una paralela a la diagonal que corta a la prolongación del lado AB en el punto F., unimos E con F y obtenemos el triángulo ADF; vamos a estudiar las áreas de los triángulos ADE y ADF:

C

E Paralela a AD F D

B

A

D

h

Ambos triángulos tienen un lado común el lado AD, vamos a utilizar este lado como base del triángulo. - Área del ADE será base x altura /2, AD x h/2, siendo h, la altura sobre AD, esto es, el segmento de perpendicular EM desde E.

M

E

h F

A

A Paralelas

- Área del ADF será base x altura /2, AD x h/2, siendo h, la altura sobre AD, esto es, el segmento de perpendicular FM desde F. Estas dos alturas, h, son iguales dado que hemos trazado paralelas luego ambos triángulos tienen el mismo área, son equivalentes.

N

Paralelas

D

D

Mediante este procedimiento hemos pasado de un pentágono ABCDE a un cuadrilátero BCDF, equivalente.

C

E

C

Paralela a AD F

A

B

F

A

B

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Equivalencia -01diciembre 2011

EQUIVALENCIA

Transformación de un cuadrilátero en un triángulo equivalente. D

Aplicando el método general explicado en la página anterior podemos reducir un cuadrilátero a un triángulo equivalente, reduciendo un lado.

D

C

B

A

E

A

B

E

Transformación de un polígono, hexágono, en un triángulo equivalente. E

E

E

D

A

B

D

C

F

G

D

D

C

G

B

H I

G

H I

C

Se ha indicado el proceso gráficamente: - Trazamos la altura sobre la base y la dividimos en dos partes iguales, h/2. - Construimos el rectángulo de base la del triángulo y altura h/2.

C

M 1

E

2

N

1

B

H

En la parte inferior se transforma un triángulo, cualquiera, ABC, en un rectángulo equivalente, ABDE.

Transformación de un triángulo en un rectángulo equivalente.

A

En la parte inferior hemos pasado, reduciendo lados aplicando el proceso sucesivamente, de un hexágono a un triángulo equivalentes, mínimo polígono posible.

D

E

D

B

A

B

2

A

Para hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo necesitamos hallar la media proporcional de los 2 lados del rectángulo, esto es, l = axb. En nuestro ejemplo hemos aplicado el teorema de la altura. Obtenido l, construimos el cuadrado.

Transformación de un rectángulo en un cuadrado equivalente.

D C

D

C

C

D

l b

A

a

B

A

a

B

b

A

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l

B

Equivalencia -02diciembre 2011

EQUIVALENCIA

Transformación de un polígono regular en un rectángulo equivalente. E

E

D

F

Recordando que el área de un polígono regular era: Semiperímetro x Apotema, construimos un rectángulo de lados el semiperímetro y el apotema del polígono. En nuestro ejemplo hemos transformado un hexágono regular en rectángulo.

D

Q

C F

D

C

C

Apotema A

A

B

B

A

B

semiperímetro

1.- Hallamos el rectángulo equivalente al circulo, para ello rectificamos la semicircunferencia r = l3 + l4, suma de los lados del triángulo y del cuadrado inscritos. El rectángulo equivalente tiene como lados r y r.

Transformación de un círculo en un cuadrado equivalente.

2.- Hallamos la media proporcional a los lados r y r, y obtenemos el lado l, del cuadrado equivalente. F

H

B Q

C

A

D C

D

l3 l4

B

A

r

B

M

E

A

G

Composición del rectángulo en el cuadrado equivalente. G

F

3 2

M

C

D N

3 1 2 A

B

E

Vamos a descomponer el rectángulo en tres partes para luego componer el cuadrado equivalente. 1.- Superponemos el cuadrado y el rectángulo y unimos los vértices extremos, B y G, cortando al rectángulo y al cuadrado en M y N, respectivamente.

3 1

3 2

Estudiamos las figuras que se forman: - Pentágono 1 común a las dos figuras. - Triángulo 2 igual en ambas figuras. - Triángulo 3 el mismo para las dos figuras. Componiendo de una u ptra manera construimos un rectángulo o un cuadrado.

1

2

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Equivalencia -03diciembre 2011

EQUIVALENCIA

Transformación de un triángulo equilátero en un cuadrado equivalente. C

En primer lugar, figuras 1, 2 y 3, se ha transformado el triángulo ABC en un rectángulo equivalente de base AB y altura h/2. El procedimiento, ya conocido, se indica en las figuras.

C

1

2

D

E 2

1

A

BA

figura 1

G

Lado 4

D

E

B A

figura 2

figura 3

G

H 3

4

E

D

4 3

A

4 1

F

B

figura 4

1

3

A

I

2

2

41

1

3

41

B

figura 5

2

B

Una vez hallado el rectángulo, buscamos, fig. 4, el lado del cuadrado equivalente al rectángulo hallando la media proporcinal de sus lados. Superponemos las dos figuras y uniendo los vértices A y G descomponemos en las partes 3, 4 y 5, que permiten componer una u otra figura, fig. 5. En las partes 4 y 5 recortamos los triángulos 1 y 2 del rectángulo 41 y 52, con los que podemos componer el cuadrado o el triángulo equivalentes, fig. 6, 7 y 8.

41

3

3

figura 6

figura 7

figura 8

C

C l/2

D

D

G

G

l/2 I A

E

F

l/2

B

A

l/4

H

F

E

B

Un procedimiento para transformar el triángulo equilátero en un cuadrado equivalente es el ideado por Dudeney. En las figuras 1 a 4 se visualiza el proceso. Este método no es exacto, el resultado es un rectángulo de lados muy parecidos, pero no iguales. El segmento EG es menor que la suma de los segmentos HF y DI.

figura 2

figura 1 C

2 1

D

2

1

G H

I

4

4

3

A

E

figura 3

F

B

3

figura 4

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Equivalencia -04diciembre 2011

EQUIVALENCIA EQUICOMPOSICIÓN DE POLÍGONOS

Construcción de un cuadrado equivalente a la suma de otros dos.

Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros dos es sencillo si recordamos el teorema de Pitágoras: (Suma de los cuadrados de los catetos igual al cuadrado de la hipotenusa) Si observamos el triángulo rectángulo de lados a, b y c, de la izquierda vemos que el cuadrado de lado c es igual a la suma de los de lado a y b, También nos puede servir para hallar la diferencia de dos cuadrados.

c

a

b

a2+b2=c2

er

N

er

1 Método C

D

C

D

2

D

C 1

G

G

F 1

A

2

A

E

B

figura 1

G

F

M

figura 2

E

M

1 Método Sean los cuadrados de la figura 1, unimos los vértices A y G se obtiene el lado buscado. Trasladamos, fig. 2, ese lado hasta F y lo giramos 90º por D, vemos que convergen en M y F se forman dos triángulos, 1 y 2, iguales. Trasladamos, fig. 3, esos triángulos y obtenemos el cuad r ado su m a de l os anteriores. 2º Método

a-b 2

2º Método a+b 2

D

C

D

a-b 2

C 4

G

a+b 2

F

G

1

N

2 MB

a+b 2

A

E

B figura 2

figura 1

2

F

Para obtener las 4 partes trasladamos los lados del 1 cuadrado que buscamos a los F 3 puntos M y N, que se obtienen E con la semidiferencia y la B semisuma de los lados de los 4 cuadrados de partida. Se cortan, E fig. 1, ortogonalmente y en su figura 3 punto medio. En la fig. 2 vemos que se han formado 4 trapezoides iguales de dos ángulos rectos, 1, 2, 3 y 4. Los situamos alrededor del cuadrado pequeño, fig. 3 y obtenemos el cuadrado suma.

G

3

a-b 2

A

Este método sólo descompone el cuadrado grande en 4 partes iguales que se adosan al cuadrado pequeño.

er

3er Método

C

D

H D

HD 2

2 4 G A

G A

B

3

B 1

1 I

E figura 1

F

I

E figura 2

F I figura 3

3 Método H Este método es sustractivo, inscribimos nuestros cuadrados, fig. 1, dentro de un 3 tercer cuadrado, DIFH, de forma que la diferencia entre éste y los primitivos son 2 rectángulos. Dividimos éstos rectángulos, fig. 2, en 4 triángulos iguales, 1, 2, 3 y 4, de hipotenusa el lado 4 buscado. Los situamos en las esquinas F del cuadrado y dentro nos queda el cuadrado buscado.

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Equivalencia -05diciembre 2011