UNIDAD 3

MÓDULO “GESTIÓN FINANCIERA” – ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS DAVID ESPINOSA SALAS - I.E.S. GREGORIO PRIETO (VALDEPEÑAS) UNIDAD 3. EQUIVALENCIA FINANCIERA

Unidad 3. Equivalencia financiera 0. ÍNDICE. 1. CAPITALES EQUIVALENTES. 2. VENCIMIENTO COMÚN. 3. VENCIMIENTO MEDIO. 3.1.

Caso particular del vencimiento medio.

4. CAPITALES EQUIVALENTES EN DESCUENTO RACIONAL. ACTIVIDADES FINALES.

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UNIDAD 3. EQUIVALENCIA FINANCIERA

1. CAPITALES EQUIVALENTES. Dos conjuntos de capitales son financieramente equivalentes cuando tienen el mismo valor actual, al calcularse al mismo tanto. En la práctica mercantil, los cálculos de equivalencia se suelen realizar con el descuento comercial, aunque también se puede emplear el descuento racional. Si se desea sustituir una serie de capitales de nominal C1, C2, C3,..., Ch, con vencimientos en n1, n2, n3,..., nh, por uno equivalente de nominal Cn y vencimiento en n, bastará con que la suma de los valores actuales de los primeros sea igual al valor actual de este último. Aplicando el descuento comercial y suponiendo que el tanto de valoración anual es el mismo para todos los capitales y que el tiempo viene expresado en m-ésimos (fracciones) de año, la equivalencia financiera en el origen implica:

C01 + C02 + C03 + C04 +......+ C0h = C0n Donde C01 , C02 , C03 ,...... C0h representan el valor efectivo o valor actual de los capitales C1, C2, C3,..., Ch . Por otro lado, C0n representa el valor efectivo o valor actual del capital Cn

C01 + C02 + C03 + C04 +......+ C0h C1

C2

C3 ........................ Ch

Cn

n1

n2

n3 ..........................nh

n

= C0n

0

Cuando se aplica el descuento comercial, el valor efectivo de un capital es igual al nominal menos el correspondiente descuento. Por lo tanto:

C1 – Dc1 + C2 – Dc2 + C3 – Dc3 +.........+ Ch – Dch = Cn – Dcn www.davidespinosa.es

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Es decir:

C1 – (C1 × i × n1 /m) + C2 – (C2 × i × n2 /m) + C3 – (C3 × i × n3 /m) + .............................+ Ch – (Ch × i × nh /m) = Cn – (Cn × i × n /m) Si además, tenemos en cuenta que D = m/i , resulta que:

C1 – C1 × n1 /D + C2 – C2 × n2 /D + C3 – C3 × n3 /D + .......................+ Ch – Ch × nh /D = Cn – Cn × n /D Por lo tanto:

C1 + C2 + C3 + ..................+ Ch – (C1 × n1 /D + C2 × n2 /D + C3 × n3 /D + .........................+ Ch × nh /D) = Cn × (1 – n /D) A partir de esta ecuación, se puede obtener el nominal Cn del capital que sustituye a los capitales iniciales:

∑ Cj

- 1/D ×

∑ (Cj × nj)

D×

Cn =

∑ Cj - ∑ (Cj × nj)

= (1 – n /D)

D-n

Ejemplo 1. Se desea sustituir el pago de cuatro capitales de 800€, 1.200€, 360€ y 1.800€, con vencimiento respectivamente los días 24 de mayo, 15 de junio, 12 de julio y 25 de agosto, por un único capital con vencimiento el día 30 de junio. ¿Cuál será el valor de ese único pago que sustituye a los otros cuatro, si se aplica un tanto de descuento comercial anual del 5% a la operación y el momento actual es el 1 de mayo. Año civil.

Cj × nj

nj

Cj

D = m/i = 365/0,05 = 7.300 800€ 1.200€ 360€ 1.800€

∑ Cj

23 45 72 116

∑ (Cj

= 4.160€ D×

18.400 54.000 25.920 208.800

∑ Cj - ∑ (Cj

Cn =

n = 60 días

× nj) = 307.120 7.300 × 4.160 – 307.120

× nj) =

D-n

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= 4.152,06€ 7.300 - 60

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UNIDAD 3. EQUIVALENCIA FINANCIERA

2. VENCIMIENTO COMÚN. El vencimiento común es el momento o fecha en que vence el capital que sustituye a los capitales iniciales. A partir de las expresiones de la pregunta anterior, se puede despejar n para obtener su valor, que en este caso es lo que queremos averiguar:

D × (Cn -

∑ Cj ) + ∑ (Cj × nj)

n=

Cn

Ejemplo 2. CORTINA S.A. dispone de tres letras de nominal 300€, 500€ y 800€ con vencimiento el 5 de octubre, el 24 de noviembre y el 7 de diciembre respectivamente. Se acuerda sustituir estas letras por un único pago de 1.595,46€. ¿En qué fecha habrá de producirse el cobro de esta última cantidad, si se aplica un tanto de descuento comercial anual del 6%. La fecha de la operación es el 15 de septiembre. AÑO CIVIL.

Cj × nj

nj

Cj

D = m/i = 365/0,06 = 6.083,33 300€ 500€ 800€

∑ Cj

20 70 83

∑ (Cj

= 1.600€

D × (Cn -

6.000 35.000 66.400

∑ Cj ) + ∑ (Cj

Cn = 1.595,46€

× nj) = 107.400

× nj)

n=

6.083,33 × (1.595,46 – 1.600) + 107.400 =

Cn

= 50 días 1.595,46

Por lo tanto, el pago único debe efectuarse el día 4 de noviembre.

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Ejemplo 3. Calcular el vencimiento común de un capital de 1.105,48€ que sustituye a otros cuatro cuyos nominales son 100€, 200€, 300€ y 500€, y que vencen respectivamente dentro de un trimestre, dos trimestres, tres trimestres y cuatro trimestres. El tanto de descuento comercial anual que se aplica a la operación es el 4,67%.

Cj

nj

Cj × nj

100€ 200€ 300€ 500€

1 2 3 4

100 400 900 2.000

D = m/i = 4/0,0467 = 85,653

∑ Cj

∑ (Cj

= 1.100€

D × (Cn -

∑ Cj ) + ∑ (Cj

× nj) = 3.400

85,653 × (1.105,48 – 1.100) + 3.400

× nj)

n=

Cn = 1.105,48€

=

= 3,5 trimestres

Cn

1.105,48

Por lo tanto, el pago único se debe efectuar dentro de 3,5 trimestres, es decir, dentro de 10 meses y 15 días.

3. VENCIMIENTO MEDIO. El vencimiento medio constituye una variante del vencimiento común, caracterizada porque el nominal Cn del capital único es igual a la suma de los nominales de los capitales que pretende sustituir:

Cn = ∑ Cj Por lo tanto, el vencimiento medio vendrá dado por la siguiente expresión:

∑ (Cj × nj) n= Cn www.davidespinosa.es

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UNIDAD 3. EQUIVALENCIA FINANCIERA

Ejemplo 4. Quedando cuatro letras para concluir el pago de una máquina por importe de 100€, 200€, 300€ y 400€ con vencimiento a 45, 65, 78 y 100 días respectivamente, se desean sustituir por una única letra cuyo importe sea igual a la suma de todos los nominales. ¿Cuál será el vencimiento de esta última?. El tanto de descuento comercial anual que se aplica a la operación es del 8% anual.

Cj × nj

nj

Cj

Cn = ∑ Cj = 1.000€ 100€ 200€ 300€ 400€

45 65 78 100

∑ Cj = 1.000€

4.500 13.000 23.400 40.000

∑ (Cj

∑ (Cj

× nj) = 80.900

× nj)

n=

80.900 =

Cn

= 80,9 días 1.000

La letra única que sustituye a las otra cuatro, vence aproximadamente dentro de 81 días. Como se puede comprobar, el tanto de valoración no se necesita para calcular el vencimiento medio.

3.1. Caso particular del vencimiento medio. El vencimiento medio presenta un caso particular, que se da cuando los capitales a sustituir, son todos iguales entre sí.

C1 = C2 = C3 = ... = Ch = C En este caso, el vencimiento medio será igual a:

∑ (Cj × nj) n=

Cn

C × ∑ nj =

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h×C

∑ nj =

h

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Donde h representa el número de capitales que van a ser sustituidos y que intervienen en la operación, siendo el vencimiento medio la media aritmética de ellos. Ejemplo 5. Tres capitales de 30.000€ cada uno con vencimiento a los 30, 40 y 50 días quieren sustituirse por un capital único de 90.000€. ¿Cuál será la fecha de vencimiento del mismo?. Nos encontramos ante el caso particular del vencimiento medio, ya que los tres capitales a sustituir son iguales entre sí.

120

∑ nj n=

=

= 40 días

h

3

4. CAPITALES EQUIVALENTES EN DESCUENTO RACIONAL. Cn C0 =

Partiendo de la expresión:

1+i×n

y aplicando el concepto de capitales equivalentes

C01 + C02 + C03 + C04 +…...+ C0h = C0n

resulta que:

Cn

C1 =

1+i×n

C2 +

1 + i × n1

C3 +

1 + i × n2

Ch +……..+

1 + i × n3

1 + i × nh

Si se despeja para obtener el valor de Cn

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Cj Cn = (1 + i × n) ∑ 1 + i × nj

Ejemplo 6. Se desea sustituir el pago de cuatro capitales de 150.000€, 200.000€, 75.000€ y 320.000€ con vencimiento los días 24 de mayo, 15 de junio, 12 de julio y 25 de agosto por uno único el día 30 de junio. ¿Cuál será el valor de ese único pago que sustituye a los cuatro si se aplica un tipo anual del 5% a la operación y la fecha de la misma es el día 1 de mayo. Año civil. Descuento racional.

n1 = 23 días; n2 = 45 días; n3 = 72 días; n4 = 116 días; n = 60 días; Cj

1 + i × nj

------------ --------------150.000 1,003150685 200.000 1,006164384 75.000 1,009863014 320.000 1,015890411 ------------ ---------------

Cj 1 + i × nj ------------------149.528,8816 198.774,6766 74.267,4986 314.994,6062 ------------------737.565,663

Cj Cn = (1 + i × n) ∑

= (1 + 0,05 × 60 / 365) × 737.565,663 = 743.627,84€

1 + i × nj

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ACTIVIDADES FINALES 1.

ANDE S.A., sabe que el día 7 de abril recibirá un cobro de 345€. Por otro lado, tiene una deuda con INE S.A., distribuida en tres pagos de 91,70€, 187,40€ y 67€, con vencimiento, respectivamente, a finales de los meses de febrero, marzo y abril. Comprueba si los tres pagos anteriores se pueden sustituir por uno único el mismo día en que se recibió el cobro. El tanto de descuento comercial aplicado es el 4% anual. Año civil. Fecha de la operación el 15 de enero.

2.

¿Qué tanto de descuento comercial anual fue el que se aplicó a una operación en la que dos capitales que vencen dentro de 60 y 120 días de nominal 18.743,22€ y 12.973,42€ respectivamente fueron sustituidos por uno de 31.330,96€ en el momento actual?. Año civil.

3.

En una operación financiera en la que se sustituyeron dos capitales de 1.000€ cada uno y con vencimientos que desconocemos, pero que se diferencian entre sí 30 días, se sabe que el capital que los sustituyó asciende a 2.009,63€ y que vence el día 15 de marzo. Si el tanto de descuento comercial aplicado fue del 6% anual y hoy es 15 de enero, ¿cuáles fueron los vencimientos de cada uno de los capitales?. Año civil.

4.

Para finalizar el pago por la compra de una máquina nos restan cinco efectos variables en progresión aritmética de razón 10.000, siendo el primer término 250.000€. El tiempo también varía en progresión aritmética de razón 10 y el primero vence dentro de diez días. Si la cantidad que sustituye a todas las anteriores es de 1.350.048,15€ y el tanto de descuento comercial aplicado a la operación es del 5% anual, ¿en qué fecha vence esta última cantidad?. Año civil.

5.

¿Cuál fue el importe de cada uno de los tres capitales iguales y con vencimiento a finales de los meses de junio, agosto y octubre, que fue sustituido por uno único de 23.740,45€ y vencimiento a los 31 días del ajuste de la operación, lo que se hizo el día 30 de junio?. El tanto de descuento comercial aplicado fue de un 5,45% anual. Año civil.

6.

El día 12 de septiembre se realiza una operación de sustitución de un conjunto de capitales de nominal 12.000€, 15.720,56€ y 25.678,90€ y vencimiento a los dos, tres y cuatro meses, respectivamente, por otro igual a su suma. ¿En qué fecha se hará dicha sustitución?.

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UNIDAD 3. EQUIVALENCIA FINANCIERA

7.

El día 2 de septiembre se realiza una operación financiera por la cual tres pagos de 187,22€, 1.970,82€ y 2.180€ con vencimiento respectivamente los días 15 de septiembre, 15 de octubre y 15 de noviembre son sustituidos por uno igual a la suma de los nominales. ¿En qué fecha habrá de hacerse el único pago?. Año civil.

8.

Dentro de 120 días D. Félix Alcázar ha de cobrar 10.000€. Como quiera que D. Félix desea fraccionar el cobro en cinco de 2.000€. ¿En qué fechas se han de producir dichos cobros si entre ellos ha de haber una diferencia de 30 días?.

9.

Para disponer de suficiente efectivo con motivo del pago de las nóminas, ofrecemos a un cliente que tiene varios efectos pendientes de pago, de 3.000€, 4.000€ y 3.750€ y con vencimiento dentro de 30, 60 y 90 días, que nos haga un único pago de 10.707,82€, que es el importe de las nóminas. Para propiciar la operación le ofrecemos un tipo inferior al de mercado; es decir, un 3,75% anual en este momento. ¿Cuándo se habrá de hacer efectiva la cantidad que sustituye los pagos?. Si faltan 25 días para el pago de las nóminas, ¿será posible obtener la liquidez deseada en el momento oportuno?. Año civil.

10. ¿Cuál será la fecha en la que tres capitales de 50.000€, 60.000€ y 25.000€ y vencimiento a los 45, 60 y 90 días son sustituidos por uno único de 134.950,94 €?. Se aplica un tipo del 4,5% anual a la operación y se utiliza el descuento racional. Año civil.

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