UNIDAD III – ANALISIS DE GESTION – MATEMATICA FINANCIERA INTRODUCCION En economía y finanzas, una persona o entidad financiera que presta dinero a otros esperando que le sea devuelto al cabo de un tiempo espera ser compensado por ello, en concreto lo común es prestarlo con la expectativa de que le sea devuelta una cantidad ligeramente superior a la inicialmente prestada, que le compense por la inconveniencia de no poder hacer uso de ese dinero durante un tiempo. Además esperará recibir compensación por el riesgo asociado a que el préstamo no le sea devuelto o que la cantidad que le sea devuelta tenga una menor capacidad de compra debido a la inflación. El concepto básico que se encierra en este análisis es que el valor de un peso hoy es distinto al valor de ese mismo peso en el futuro. Pensemos cuantos bienes, por ejemplo comprábamos con $ 100.00 hace un año y cuantos bienes compramos con $ 100,00 hoy. En términos generales, a nivel individual, la tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada. La tasa de interés (o tipo de interés) es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero". Hay tres causas que explican la diferencia en la valoración del dinero: 1. Riesgo: Vivimos en un mundo de incertidumbre, tener un peso en el bolsillo hoy nos permite comprar cosas hoy, pero la promesa de un pago en el futuro es nada más que eso, una promesa, hasta el momento en que se concreta. Dicha promesa de pago futuro puede haber sido hecha con la mejor buena voluntad, pero una gran cantidad de imprevistos pueden ocurrir, entre hoy y la fecha de pago, que impidan el cumplimiento de la misma. 2. Inmediatez en la satisfacción: La naturaleza humana hace que valoremos mucho más la satisfacción de una necesidad hoy que en el futuro, por lo cual generalmente es preferible obtener una suma de ingreso lo más pronto posible, salvo que ciertas consideraciones (impuestos, por ejemplo) nos dicten lo contrario. 3. Oportunidades de inversión: Un peso recibido hoy es más valioso que uno recibido en un futuro debido a las alternativas de inversión que existen disponibles para ese peso en la actualidad. Prestando o invirtiendo hoy, puedo obtener una suma considerablemente mayor en un determinado lapso de tiempo.

1

CONCEPTO DE INTERES Uno de los conceptos del ámbito de las finanzas más difundidos y aplicados en la vida cotidiana es el de "interés"; al que se lo puede definir como: “La retribución que se debe abonar al titular de una suma de dinero, por el uso del mismo durante un período determinado.” La palabra interés significa la renta que se paga por el uso de dinero ajeno, o la renta que se gana por invertir dinero propio. Para concretar esto, es necesario realizar ciertas precisiones sobre la forma de cálculo del interés. Existen dos formas básicas de calcular el interés, ellas son el interés simple y el interés compuesto. Gráficamente veremos que dos operaciones que involucren el mismo capital, el mismo plazo y la misma tasa; pero una sometida al cálculo mediante la denominada fórmula de “interés simple” y la otra a la denominada fórmula de “interés compuesto”; producirán un interés distinto. Interés Simple El sistema de interés simple se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período NO se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período. Esta es la diferencia o elemento que hace que una suma de dinero colocada a interés simple produzca un interés menor a que si fuera colocada a interés compuesto, es que en el primero los intereses producidos por el capital en el período no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo. Es decir que los intereses que genere este capital invertido a interés simple serán igual en todos los períodos por los que dure la inversión (suponiendo que el resto de los factores, plazo y nivel de tasa no varíen). Una persona tiene la posibilidad de gastar o invertir el dinero que proveniente de sus ingresos no destine a cubrir necesidades básicas. Si optan por ahorrarlo, es porque esperan satisfacer necesidades en el futuro. Una manera de ahorrar es invertir un capital en una Institución que actúa como intermediario financiero (Banco). Recordemos que cuando la gente deposita su dinero en el banco y recibe a cambio un cierto interés (tasa de interés pasiva), a su vez esa entidad utiliza los capitales depositados para efectuar préstamos a una tasa de interés mayor (tasa de interés activa). En una operación financiera intervienen tres elementos: • Capital inicial invertido que se representa con la letra “C” • Cantidad de momentos en el tiempo (vigencia de la operación) que se representan con la letra “n” • Tasa de interés (porcentaje del capital invertido) que se representa con la letra “i”

2

Estas tres variables son las variables de las que depende el interés. Decimos entonces que si se coloca un capital inicial “C” a una tasa de interés “i” durante “n” momentos, para calcular las ganancias en conceptos de interés obtenidos después de “n” momentos, se utiliza la siguiente fórmula: I=C×i×n Donde: i = r/100 De esta formula se desprenden tres identidades: 1. Si conocemos el interés simple obtenido después de “n” períodos de tiempo a una tasa de interés (i = r/100), podemos obtener el capital inicial que generó ese valor final. C =

I i.n

2. Si lo que se desconoce es la cantidad de períodos de tiempo; n =

I C.i

3. Para calcular el porcentaje del capital invertido: i =

I C.n

Nota: “El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial.”

> Mto 0 C0 C0 C0

Mto 1 C1 = C0 + I C1 = C0 + C0.i C1 = C0 (1+i)

Mto 2 C2 = C0 + I C2 = C0 + C0.i C2 = C0 (1+i)

Mto 3

…………………………

Mto n

C3 = C0 + I

…………………………

Cn = C0 + I

C3 = C0 + C0.i

…………………………

Cn = C0 + C0.i

C3 = C0 (1+i)

…………………………

Cn = C0 (1+i)

Ejemplo: Si disponemos de $ 100.000,00 que invertimos al 5 % anual simple durante tres años; C0 = 100.000,00 r = 5 anual i = 0,05 anual n=3 I=C×i×n I = 100.000,00 × 0.05 × 3

3

I = 15.000,00 En términos de Capitalización Simple: Fin del 1º año VF = C0.i = 5.000,00 Fin del 2º año I = C0.i = 5.000,00 Fin del 3º año I = C0.i = 5.000,00 Utilizando la fórmula de Capitalización Simple es más rápido: VF = C0 x [1 + (i x n)] VF = 100.000,00 x [1 + (0.05 X 3)] VF = 100.000,00 x (1 + 0.15) VF = 100.000,00 x 1.15 VF = 115.000,00 Ejemplo: Calcular el interés producido por un capital de $ 5.000,00 colocado durante 3 años al 9 % anual. C = $ 5.000,00 r = 9 anual i = 0.09 anual n=3 I=C×i×n I = 5.000,00 x 0.09 x 3 I = 1.350,00 Usando la formula de capitalización simple; VF = C0 x [1 + (i x n)] VF = 5.000,00 x [1 + (0.09 x 3)] VF = 5.000,00 x (1 + 0.27) VF = 5.000,00 x 1.27 VF = 6.350,00 Ejemplo: Un capital de $ 10.000,00 genera un interés de 1.400,00 al cabo de 2 años, calcular la tasa de interés de la inversión. I=C×i×n i =

I C.n

i =

1.400,00

4

10.000,00.2 i = 0.07

Ejemplo: Si se dispone de un capital de $ 15.000,00 y la posibilidad de invertirlo a una tasa de interés anual del 8 %, calcular el tiempo que se necesita mantener la inversión para generar $ 3.000,00 de intereses I=C×i×n n =

I C.i

n

=

3.000 15.000 x 0.08

n = 3.000,00 1.200,00 n = 2.5 Interés Compuesto El interés compuesto se calcula sobre el monto acumulado al finalizar cada uno de los períodos de tiempo. Cuando se invierte a interés compuesto, los intereses que se obtienen son reinvertidos para obtener más intereses en los próximos períodos. De esta forma obtenemos intereses sobre intereses y esto es la “capitalización” del dinero, un concepto fundamental para entender la Matemática Financiera. El capital cambia en cada periodo, pues hay que sumar al capital anterior el interés producido en ese periodo. El sistema de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que el interés producido por el capital en el período se acumula al mismo para generar intereses en el próximo período. Por lo que si al vencimiento de la operación se renueva la misma por un nuevo período al incorporarse los intereses al capital original; se podrá observar que los intereses que ganará en este segundo período serán mayores a los generados en el primero. Ello es una consecuencia de que el capital colocado es superior al habérsele acumulado los intereses ganados en el primer período y así sucesivamente. Designamos con C0 al capital inicial. El segundo capital C1 se obtiene sumando los intereses al primer capital: C2 = C1 + I

5

En el segundo período los intereses producidos son mayores por ser mayor el capital C2. Para el tercer periodo el capital es; C3 = C2 + I. Y así sucesivamente. Designamos con Cn al capital en el periodo n. Se tiene; Cn = Cn-1+I Pero como In = Cn x i, entonces; Cn =Cn-1 x (1+i).

> Mto 0

Mto 1

Mto 2

Mto 3

………………………… …………………………

Mto n

C0

C1 = C0 + I

C2 = C1 + I

C3 = C2 + I

C0

C1 = C0 + C0.i

C2 = C1 + C1.i

C3 = C2 + C2.i

…………………………

Cn = Cn-1 + Cn-1.i

C0

C1 = C0 (1+i)

C2 = C1 (1+i)

C3 = C2 (1+i)

…………………………

Cn = Cn-1 (1+i)

…………………………

Cn = C0 (1+i)(1+1)…(1+i)

…………………………

Cn = C0 (1+i)^n

C0 C0

C1 = C0 (1+i) C1 = C0 (1+i)

C2 = C0 (1+i)(1+i) C2 = C0 (1+i)^2

C2 = C0 (1+i)(1+i)(1+i) C2 = C0 (1+i)^3

Cn = Cn-1 + I

Si la inversión dura “n” momentos, los sucesivos capitales se obtienen multiplicando siempre por el mismo número (1+i) y forman una progresión geométrica cuyo primer término es el capital inicial C0, utilizando la fórmula para calcular los términos de una progresión geométrica obtenemos: VF = C0 x (1+i) ^ n Ejemplo: Si disponemos de $ 100.000,00 que invertimos al 5% anual compuesto durante tres años. C0 = 100.000,00 r = 5 anual i = 0,05 anual. n=3 Fin 1º año C1 = C0 + I C1 = C0 + C0.i C1 = C0 + (1+i) C1 = 100.000,00 x 1,05 C1 = 105.000,00 Fin 2º año C2 = C1 + I C2 = C1 + C1.i C2 = C1 + (1+i) C1 = 105.000,00 x 1,05 C2 = 110.250,00

6

Fin 3º año C3 = C2 + I C3 = C2 + C2.i C3 = C2 + (1+i) C3 = 110.250,00 x 1,05 C3 = 115.762,50 Utilizando la fórmula es más rápido: VF = C0 x (1+i) ^ n VF = 100.000,00 x (1 + 0.05) ^ 3 VF = 100.000,00 x (1.05) ^ 3 VF = 115.762,50 Los intereses ganados se calculan como la diferencia entre el capital final y el capital invertido: I = VF - C0 I =115.762,50 - 100.000,00 I = 15.762,50 Ejemplo: Hallar el valor futuro de una inversión de $ 10.000,00 a una tasa del 4 % durante 3 años. VF = C0 x (1+i) ^ n VF = 10.000,00 x (1 + 0.04) ^ 3 VF = 10.000,00 x (1.04) ^ 3 VF = 10.000,00 x 1.124864 VF = 11.248,64 Análisis numérico comparativo Para tornar más gráfica la explicación realizada, se desarrolla un cuadro comparativo de una operación de préstamo de dinero, realizando el cálculo del interés utilizando cada uno de los dos sistemas. Capital $ 10.000,00 - Período inversión: 30 días - Se renueva durante 6 períodos - Tasa a 30 días: 1 % INTERES SIMPLE

INTERES COMPUESTO

CAPITAL

INTERESES

CAPITAL AL INICIO DEL PERIODO

INTERESES

MONTO AL VENCIMIENTO

1

10.000,00

100,00

10.000,00

100,00

10.100,00

2

10.000,00

100,00

10.100,00

101,00

10.201,00

3

10.000,00

100,00

10.201,00

102,01

10.303,01

4

10.000,00

100,00

10.303,01

103,03

10.406,04

5

10.000,00

100,00

10.406,04

104,06

10.510,10

6

10.000,00

100,00

10.510,10

105,10

10.615,20

600,00

Total intereses ganados

615,20

Nº de período

Total intereses ganados

7

Diferencia entre interés simple e interés compuesto Existe una importante diferencia entre el interés simple y el compuesto. Cuando se invierte a interés compuesto, los intereses devengados son reinvertidos para obtener más intereses en los próximos períodos. Al contrario, en una inversión que produce interés simple solo se reciben intereses sobre el capital inicial (principal) invertido o prestado. Para recordar: Debemos tener en cuenta que período # momento. El tiempo se divide en períodos, pero podemos tener momentos con distintos períodos de tiempo: Períodos Mensuales Mes 01

Mes 02

Mes 03

Mes 04

Mes 05

> Mto 0

Mto 1

Mto 2

Mto 3

Mto 4

Mto 5,,,,,,,

Períodos Bimestrales Bimestre 01

Bimestre 02

Bimestre 03

Bimestre 04

Bimestre 05

> Mto 0

Mto 1

Mto 2

Mto 3

Mto 4

Mto 5,,,,,,,

La Tasa de Interés Nominal y su relación con la Tasa de Interés Efectiva Es común escuchar hablar de tasa de interés nominal anual (TNA) y de tasa de interés efectiva anual (TEA). Sin duda alguna el caso más común que se presenta es el de los certificados de depósito a plazo fijo, en donde se puede apreciar que aparece impresa una tasa con las siglas TNA, es la denominada Tasa Nominal Anual. Esta sirve para calcular el interés utilizando la fórmula más sencilla para cálculo de interés que existe, que es la denominada fórmula de interés simple descripta anteriormente. Por ejemplo, si se deposita en un banco en concepto de plazo fijo $ 10.000,00 a 30 días de plazo a una Tasa Nominal Anual del 8 %, los intereses que generaría dicha colocación surgirían del siguiente cálculo: Interés = $ 10.000,00 x (8 %) x (30 días/365 días) Interés = $ 10.000,00 x 0,08 x 0,08219178 = $ 65.75

8

Usando la tasa nominal anual se hace posible que el gran público (que no maneja los conocimientos de matemática financiera avanzada), logre la comprensión y el control de la liquidación de intereses mediante la utilización de la fórmula de interés simple. Es decir que la tasa nominal de interés es una tasa cuya única razón de ser es posibilitar que el público pueda controlar su depósito mediante la aplicación de la fórmula de interés simple. Pero esta tasa no indicará el rendimiento real de esa inversión al cabo de 365 días dado que "no contempla el “efecto de la capitalización de los intereses”. Es decir, si al vencimiento de los 30 días renueva el plazo fijo por otro período similar, incorporando los intereses al capital y suponiendo que la tasa de interés es la misma; se podrá observar que los intereses que se ganarán en el segundo período de 30 días serán mayores a los generados en el primero; debido a que el capital colocado es superior al habérsele acumulado al depositado originalmente, los intereses ganados en el primer período y así sucesivamente. Si se repite esta operación, al cabo de 365 días se habrá obtenido una tasa efectiva anual (T.E.A) del 8,3041 % que es la que indica el rendimiento de la inversión y que es superior a la tasa nominal anual (T.N.A) que figura en el certificado. La determinación de esta tasa efectiva anual de interés se realiza sobre la base de la denominada “fórmula de interés compuesto”, cuya utilización para la persona que no posee conocimientos de matemática financiera resulta sensiblemente más compleja que la fórmula de interés simple, y ella es la siguiente: I = C0 X [(1+i) – 1] ^ n Donde: i: Es la tasa de interés efectiva anual expresada en tanto por uno n: Es un número que resulta de dividir la cantidad de días por el cuál se realiza la inversión dividido 365 que son los días del año. Cuando los banqueros definen la tasa de interés que van a pagar a un depositante (en su caso cobrar a un acreedor), piensan en tasas efectivas, y luego que toman la decisión que fija el nivel de la misma; calculan las tasas nominales equivalentes a ellas. Conocer esta diferencia entre tasa efectiva anual y nominal anual también resulta muy importante en el momento de evaluar el costo de un préstamo. Las tasas efectivas son aquellas que forman parte de los procesos de capitalización y de actualización. En cambio, una tasa nominal, solamente es una definición o una forma de expresar una tasa efectiva. Las tasas nominales no se utilizan directamente en las fórmulas de la matemática financiera. En tal sentido, las tasas de interés nominales siempre deberán contar con la información de cómo se capitalizan.

9

Ejemplo: si tenemos una Tasa Nominal Anual (TNA) que se capitaliza mensualmente, esto significa que la tasa efectiva a ser usada es mensual. Otro caso sería contar con una TNA que se capitaliza trimestralmente, lo que significa que la tasa efectiva será trimestral. ¿Cómo se halla el valor de la tasa de interés efectiva? Las tasas nominales pueden ser divididas o multiplicadas de tal manera de convertirla en una tasa efectiva o también en una tasa proporcional: • Si queremos pasar de una tasa nominal a una efectiva: Si se recibe la información de una tasa nominal con su capitalización respectiva, entonces esta tasa se divide o se multiplica, según sea el caso por un coeficiente, al que se le denomina normalmente con la letra “m”. • Si queremos pasar de una tasa nominal a una proporcional: Cuando la tasa nominal se divide o multiplica, se halla su respectiva tasa proporcional. Ejemplo: si se tiene una TNA del 24 % que se capitaliza mensualmente: TNA = 24 % TNA = 0.24 TN mensual = 0.24 / 12 TN mensual = 0.02 TN mensual = 2 % Esta TNA del 24 % también puede convertirse a una TN semestral, la misma que sería del 12 %. TNA = 24 % TNA = 0.24 TN semestral = 0.24 / 2 TN semestral = 0.12 TN semestral = 12 % “Dada una tasa nominal y su forma de capitalización, ésta no varía si la tasa nominal se convirtiera a otra tasa nominal proporcional”. Por ejemplo, si tenemos nuevamente la TNA del 24 % y se capitaliza mensualmente, podemos hallar la tasa nominal proporcional mensual que sería 2 %. Como la TNA se capitaliza mensualmente, la tasa proporcional hallada del 2 % también deberá capitalizarse mensualmente, pero como esta tasa nominal también es mensual, entonces la TEM simplemente es igual que la Tasa Nominal Mensual (TN mensual) Conclusión: Las tasas nominales siempre deberán ir acompañadas de su forma de capitalización. La tasa nominal puede ser convertida a una tasa proporcional, sin afectar la forma de capitalización. Lo que variaría sería el coeficiente “m”, que es aquel que convierte a la tasa nominal en una efectiva. Ejemplo: si la TNA es del 24 % y la capitalización es mensual, el coeficiente “m” será 12; si esta tasa nominal la convertimos en una TN semestral, ésta será del 12 %; sin embargo, para convertirla en efectiva (TE mensual), deberá dividirse entre 6 y ya no entre 12. En este último caso, como la tasa nominal se ha transformado a una tasa semestral, el coeficiente “m” tendrá un valor de seis. Lo importante de las tasas nominales es que es una especie de “representación” de la tasa efectiva.

10

La Tasa de Interés Efectiva Las tasas efectivas son las que capitalizan o actualizan un monto de dinero. Son las que utilizan las fórmulas de la matemática financiera. Ahora bien, las tasas de interés efectivas pueden convertirse de un período a otro, es decir, se pueden hallar sus tasas de interés efectivas equivalentes. En otras palabras, toda tasa de interés efectiva de un periodo determinado de capitalización tiene su tasa de interés efectiva equivalente en otro período de capitalización. Una diferencia notoria con la tasa de interés nominal es que la efectiva no se divide ni se multiplica. Las tasas nominales pueden ser transformadas a otras proporcionalmente pero el período de capitalización sigue siendo el mismo. Un capital puede ser capitalizado con diferentes tasas efectivas, las mismas que se relacionan con diferentes períodos de capitalización, pero el horizonte de capitalización puede ser el mismo. Entonces, si tenemos $ 1.000.000,00 y se desea capitalizar durante un año, entonces se puede efectuar la operación con una Tasa Efectiva Anual (TEA), o también con su equivalente mensual, que vendría a ser una TE mensual pero que capitaliza doce veces en un año. También sería igual utilizar una TE semestral como tasa equivalente de una TEA, teniendo en consideración que la TE semestral capitaliza dos veces en un año. La diferencia con las tasas nominales, es que éstas se pueden transformar independientemente de la capitalización. En tal sentido, la tasa nominal se podría definir como “una presentación de cómo se va a capitalizar o actualizar un monto de dinero en un horizonte de tiempo”. Para la conversión de una tasa efectiva a otra tasa efectiva deberá tenerse en cuenta que el horizonte de tiempo de la operación financiera deberá ser el mismo mas no así el periodo capitalizable (Recordar la diferencia entre periodo y momento). Por lo tanto en términos de tasa efectiva se pueden plantear las siguientes ecuaciones: (1 + TEA) = (1 + TE Mensual) ^ 12

TE Mensual = 12 (1+TEA) – 1

(1 + TEA) = (1 + iem) ^ 12 = 12 (1+TEA) – 1 Donde: iem = Tasa equivalente mensual La TE Mensual (iem) hará las veces de tasa equivalente de una TEA. La TEA capitaliza una vez en un año, y la iem capitaliza doce veces al año. Sin embargo el horizonte de tiempo de ambos miembros de la ecuación es un año. La diferencia está en que la TEA abarca todo el horizonte en una capitalización y la TEM solamente abarca un mes, consecuentemente capitaliza doce veces. En términos generales; (1 + TEA) = (1 + ie) ^ H/F

11

Donde el coeficiente H será 12 si está en meses, y 360 si está en días; el coeficiente f será 1 si está en meses y 30 si está en días. Lo importante es que “H” y “f” estén en la misma unidad de tiempo al igual que la tasa equivalente. Esta es una ecuación que relaciona una TEA con una tasa equivalente de cualquier periodo, pudiendo ser una TE mensual, TE bimestral, TE trimestral, TE semestral o una TEA. Inclusive la tasa equivalente puede estar en días como por ejemplo, 12 días, 35 días, etc. Ejemplo: Supongamos que tenemos un capital de $ 1.000,00 y se deposita en una Caja de ahorros que paga una tasa efectiva mensual del 2 %. Para hallar el valor futuro de este capital dentro de un año: VF = C0 X (1 + im) ^ 12 VF = 1.000,00 X (1+0.02) ^12 = 1.268,24 Si queremos ver cual es la TEA equivalente a esta tasa mensual; im = 0.02

Utilizando la fórmula general;

(1 + TEA) = (1 + ie) ^ H/F Si H = 12 Si F = 1 (1 + TEA) = (1 + 0.02) ^ 12/1 TEA = (1.02) ^12 – 1 TEA = 1.26824 – 1 TEA = 0.26824 La TEA correspondiente a una im del 2 % es del 26.82 % ACTUALIZACION Y DESCUENTO DESCUENTO Descuento Simple Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización.

> Mto 0

Mto 1

Mto n-3

Mto n-2

Mto n-1

Mto n

C0 = C1 – I

C1 = C0 – I

Cn-3 = C0 – I

Cn-2 = C0 – I

Cn-1 = C0 – I

Cn = C0 – I

C0 = C1 – I

C1 = C0 – (C0 x i)

Cn-3 = C0 – (C0 x i)

Cn-2 = C0 – (C0 x i)

Cn-1 = C0 – (C0 x i)

Cn = C0 – (C0 x i)

C0 = C1 – I

C1 = C0 x (1-i)

Cn-3 = C0 x (1-i)

Cn-2 = C0 x (1-i)

Cn-1 = C0 x (1-i)

Cn = C0 x (1-i)

En este tipo de operación los intereses no son productivos, lo que significa que a medida que se generan no se restan del capital de partida para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período.

12

En una operación de descuento el punto de partida es el capital futuro conocido (VF) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Debemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: • La duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) • El interés aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente que a partir de ahora llamaremos C0) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la reducción de esa misma carga financiera. Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión: D = Cn – C0 Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total del intervalo de tiempo que se anticipe el capital futuro. Se cumple entonces la siguiente expresión; D=Cxixn Descuento Compuesto Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización. El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de interés efectivo (i).

> Mto 0

Mto 1

Mto n-3

Mto n-2

Mto n-1

Mto n

C0

C1=C0 + I

Cn-3=Cn-4 + I

Cn-2=Cn-3 + I

Cn-1=Cn-2 + I

Cn=Cn-1 + I

C0

C1=C0 +(C0 x i)

Cn-3=Cn-4 + I

Cn-2=Cn-3 + I

Cn-1=Cn-2 + I

Cn=Cn-1 + I

C0

C1=C0 +(C0 x i)

C0

C1=C0 +(C0 x i)

Cn-3=Cn-4 + (Cn-4 x i) Cn-3=C0 x (1+i) ^n3

Cn-2=Cn-3 + (Cn-3 x i) Cn-2=C0 x (1+i) ^n-2

Cn-1=Cn-2 + (Cn-2 x i) Cn-1=C0 x (1+i) ^n1

Cn=Cn-1 + (Cn-1 x i) Cn = C0 x (1+i) ^n

13

Los intereses son productivos, lo que significa que a medida que se generan se restan del capital de partida para producir y restar nuevos intereses en el futuro y, por tanto los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del período anterior, al tanto de interés vigente en dicho período. Si consideramos los momentos de la operación; Período n: cn Período n-1: Cn-1 = Cn – In Cn-1 = Cn – Cn-1 x i Si agrupamos términos; Cn-1 + Cn-1 x i = Cn Despejamos Cn-1; Cn-1 = Cn / (1+i) Período n-2: Cn-2 = Cn-1 – In-2 Cn-2 = Cn-1 – Cn-2 x i Si agrupamos términos; Cn-2 + Cn-2 x i = Cn-1 Despejamos Cn-2; Cn-2 = Cn-1 / (1+i) Cn-2 = (Cn / (1+i)) / (1+i) Cn-2 = Cn / (1+i) ^ 2 Período n-3: Cn-3 = Cn-2 – In-3 Cn-3 = Cn-2 – Cn-3 x i Si agrupamos términos; Cn-3 + Cn-3 x i = Cn-2 Despejamos Cn-3; Cn-3 = Cn-2 / (1+i) Cn-3 = (Cn / (1+i) ^ 2) / (1+i) Cn-3 = Cn / (1+i) ^ 3 Período 0: C0 = C1 – I0 C0 = C1 – C0 x i Si agrupamos términos; C0 + C0 x i = C1 Despejamos C0; C0 = C1 / (1+i) C0 = (Cn / (1+i) ^ n-1) / (1+i) C0 = Cn / (1+i) ^ n De otra forma, partiendo de la expresión fundamental de la capitalización compuesta, se despeja el capital inicial (C0): VF = C0 x (1+i) ^ n C0 = VF / (1+i) ^ n O lo que es lo mismo; C0 = Cn / (1+i) ^ n

14

En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: • Duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) • El interés aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual, C0) será menor, siendo la diferencia entre el capital final y el inicial los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. Resumiendo, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma carga financiera. Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (D), o descuento propiamente dicho: D = Cn – C0 D = Cn – Cn / (1+i) ^ n D = Cn x {1 – [1 / (1+i) ^ n]} Ejemplo: Se desea anticipar el pago de una deuda de $ 24.000,00 que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de interés del 5% anual compuesto? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado? Cn = $ 24.000,00 n = 3 años i = 0.05 anual compuesto C0 = Cn / (1+i) ^ n C0 = 24.000,00 / (1+0.05) ^ 3 C0 = 24.000,00 / (1.05) ^ 3 C0 = 24.000,00 / 1.157625 C0 = 20.732,11 SI calculamos el ahorro de la operación D = Cn x {1 – [1 / (1+i) ^ n]} D = 24.000,00 x {1 – [1 / (1+0.05) ^ 3]} D = 24.000,00 x [1 – (1 / 1.157625)] D = 24.000,00 x (1 – 0.8638376) D = 24.000,00 x 0.1361624 D = 3.267,89 Tasa de Descuento (d) La tasa de descuento es la medida financiera que se aplica para determinar el valor actual de un pago futuro. La tasa de descuento se diferencia de la tasa de interés, en que esta se aplica a una cantidad original para obtener el incremento que sumado a ella da la cantidad final, mientras que el descuento se resta de una cantidad esperada para obtener una cantidad en el presente En este caso se considera generador de los intereses de un período el capital al final del mismo, utilizando la tasa de descuento (d) vigente en dicho período.

15

> Mto 0

Mto 1

Mto n-3

Mto n-2

Mto n-1

Mto n

C0 = C1 – I

C1=C2 - I

Cn-3 = Cn-2 - I

Cn-2 = Cn-1 - I

Cn-1 = Cn - I

Cn

C0 = C1 – (C1 x d)

C1 = C2 - (C2 x d)

Cn-3=Cn-2 - (Cn-2 x d)

Cn-2=Cn-1 – (Cn-1 x d)

Cn-1 = Cn – (Cn x d)

Cn

C0 = Cn x (1-d) ^n

C1 = Cn +(1-d) ^n-1

Cn-3=Cn-2 +(1-d) ^3

Cn-2=Cn-1 x (1-d) ^2

Cn-1 = Cn x (1-d)

Cn

El proceso es el siguiente; Período n: Cn Período n-1: Cn-1 = Cn – In Cn-1 = Cn – Cn x d Si agrupamos términos; Cn-1 = Cn x (1 – d) Período n-2: Cn-2 = Cn-1 – In-2 Cn-2 = Cn-1 – Cn-1 x d Si agrupamos términos; Cn-2 = Cn-1 x (1 – d) Cn-2 = Cn x (1 – d) x (1 – d) Cn-2 = Cn x (1 – d) ^ 2 Período n-3: Cn-3 = Cn-2 – In-3 Cn-3 = Cn-2 – Cn-2 x d Si agrupamos términos; Cn-3 = Cn-2 x (1 – d) Cn-3 = Cn x (1 – d) ^ 2 x (1 – d) Cn-3 = Cn x (1 – d) ^ 3 Período 0: C0 = C1 – I0 C0 = C1 – C1 x d Si agrupamos términos; C0 = C1 x (1 – d) C0 = Cn x (1 – d) ^ n-1 x (1 – d) C0 = Cn x (1 – d) ^ n Así podemos determinar el capital inicial de una operación de acuerdo a la tasa de descuento (d) que se obtiene por el hecho de adelantar ese pago: C0 = Cn x (1 – d) ^ n

16

De esta forma, una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (D): D = Cn – C0 D = Cn – Cn x (1 – d) ^ n De esta manera obtenemos que, D = Cn x [1 – (1 – d) ^ n] Ejemplo: Se desea anticipar un capital de $ 10.000,00 que vence dentro de 5 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado? C0 = Cn x (1 – d) ^ n C0 = 10.000,00 x (1 – 0.10) ^ 5 C0 = 10.000,00 x (0.90) ^ 5 C0 = 10.000,00 x 0.59049 C0 = 5.904,90 D = Cn x [1 – (1 – d) ^ n] D = 10.000,00 x [1 – (1 – 0.10) ^ 5] D = 10.000,00 x [1 – (0.90) ^ 5] D = 10.000,00 x (1 – 0.59049) D = 10.000,00 x 0.40951 D = 4.095,10 Equivalencia entre la tasa de interés y la tasa de descuento Al evaluar los dos procedimientos de descuento, se observa que descontando un capital cualquiera, con el mismo tiempo y con el mismo porcentaje, los resultados serán diferentes según se realice por un procedimiento u otro. Por lo tanto, es necesario encontrar la relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento para que el resultado de la anticipación sea el mismo cualquiera sea el modelo de descuento empleado. Esta relación de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos, por lo que si: D = Cn x {1 – [1 / (1+i) ^ n]} usando la tasa de interés (1) D = Cn x [1 – (1 – d) ^ n] usando la tasa de descuento (2) Si igualamos (1) y (2); Cn x {1 – [1 / (1+i) ^ n]} = Cn x [1 – (1 – d) ^ n] 1 – [1 / (1+i) ^ n] = 1 – (1 – d) ^ n – [1 / (1+i) ^ n] = – (1 – d) ^ n Multiplicamos ambos miembros por – 1; 1 / (1+i) ^ n = (1 – d) ^ n

17

Extrayendo la raíz n de la ecuación; 1 / (1+i) = (1 – d) d = 1 – [1/ (1+i)] Usando factor común; d = (1 + i – 1) / (1 + i) Podemos realizar la equivalencia de tasas; d = i / (1 + i) Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia es independiente de la duración de la operación. Por tanto, se cumple que para una tasa de interés solamente habrá una tasa de descuento que produzca el mismo efecto, es decir, sea equivalente (y viceversa) sin tener en cuenta el tiempo en la operación. Ejemplo: Se desea anticipar el pago de una deuda de $ 24.000 que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta…? 1. A una tasa de interés del 5% anual (interés compuesto): Cn = 24.000,00 n = 3 años i = 0.05 C0 = Cn / (1 + i) ^ n C0 = 24.000,00 / (1 + 0.05) ^ 3 C0 = 24.000,00 / (1 + 0.05) ^ 3 C0 = 24.000,00 / (1.05) ^ 3 C0 = 24.000,00 / 1.157625 C0 = 20.732,11 D = Cn x {1 – [1 / (1+i) ^ n]} D = 24.000,00 x {1 – [1 / (1+0.05) ^ 3]} D = 24.000,00 x {1 – [1 / (1.05) ^ 3]} D = 24.000,00 x [1 – (1 / 1.157625)] D = 24.000,00 x [1 – (1 / 1.157625)] D = 24.000,00 x (1 – 0.8638376) D = 24.000,00 x 0.1361624 D = 3.267,89 2. A una tasa de descuento del 5% anual (tasa de descuento): Cn = 24.000,00 n = 3 años d = 0.05 C0 = Cn x (1 – d) ^ n C0 = 24.000,00 x (1 – 0.05) ^ 3 C0 = 24.000,00 x (0.95) ^ 3 C0 = 24.000,00 x 0.857375 C0 = 20.577,00

18

D = Cn x [1 – (1 – d) ^ n] D = 24.000,00 x [1 – (1 – 0.05) ^ 3] D = 24.000,00 x [1 – (0.95) ^ 3] D = 24.000,00 x (1 – 0.857375) D = 24.000,00 x 0.142625 D = 24.000,00 x 0.142625 D = 3.423,00 Por tanto, aplicando una tasa de interés y una tasa de descuento idénticas los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el interés compuesto debido a que el capital que genera intereses es el capital inicial (más pequeño) y en consecuencia menor el ahorro por la anticipación. Para conseguir el mismo resultado habría que calcular el tipo de descuento equivalente al 5% de interés mediante la relación de equivalencia: d = i / (1 + i) d = 0.05 / (1 + 0.05) d = 0.05 / (1.05) d = 0.047619 Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado será: C0 = Cn x (1 – d) ^ n C0 = 24.000,00 x (1 – 0.047619) ^ 3 C0 = 24.000,00 x (1 – 0.047619) ^ 3 C0 = 24.000,00 x (0.952381) ^ 3 C0 = 24.000,00 x (0.952381) ^ 3 C0 = 24.000,00 x 0.86383773 C0 = 20.732,11 RENTAS Hasta ahora las operaciones financieras que hemos analizado se componían de un capital único (o pocos) tanto en la prestación como en la contraprestación. Sin embargo, hay un gran número de operaciones que se componen de un elevado número de capitales: la constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos, etc. En todas ellas intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora A través de un método matemático que se pueden desplazar un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. “La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo”. Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos: • Existencia de varios capitales(al menos dos) • Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea)

19

Elementos • • • • • • •

Fuente de la renta: es el fenómeno económico que da origen a la renta. Inicio: momento en el que comienza a devengarse el primer capital. Final: momento en el que termina de devengarse el último capital. Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta. Término: cada uno de los capitales que componen la renta. Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. Tasa de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

Períodos Mensuales C1

C2

C3

Cn-1

Cn

> Mto 0

Mto 1

Mto 2

Mto 3

Mto n-1

Mto n

Duración = Mn – M0 Inicio

Final

El valor financiero de una renta en el momento t (Vt) Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo t. •

Si t = 0 hablamos del Valor Actual, es decir, el resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero.

•

Si t = n hablamos del Valor Final, es decir, el resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n.

Clases de renta Según la composición del capital Constante: cuando todos los capitales son iguales. Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir: •

Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente.

•

Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden. En progresión geométrica. En progresión aritmética.

20

Según la duración en el tiempo Temporal: tienen un número finito y conocido de capitales. Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de capitales. Según el vencimiento del término Vencida: los capitales se encuentran al final de cada período de tiempo. Adelantada: los capitales se sitúan a principio de cada período. Según el momento de valoración Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final. Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen. Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final. Según la periodicidad del vencimiento Entera: El término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el la tasa, cualquiera que sea la unidad tomada. No entera: el término de la tasa Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada la tasa Según la el tipo de interés empleado en el cálculo Simple: cuando se emplea el interés simple, para desplazar los capitales. Compuesta: cuando se emplea la de capitalización compuesta. Para el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, será necesario clasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en función de la combinación que presente habrá que aplicar una u otra, según proceda. Rentas Temporarias Las rentas temporarias son aquellas cuyo número de periodos es finito. Anualidad Vencida Se paga al final de cada periodo.

c

c

c

…………………

c

>

M0

M1

VA=

c (1+i)

M2

+

c (1+i)^2

M3

+

c (1+i)^3

Mn

+

c (1+i)^4

+

………

+

c (1+i)^n

21

Si multiplicamos ambos términos por (1 + i) c

VA(1+i) =

c

+

+

(1+i)

c

+

(1+i)^2

c (1+i)^3

+

………

+

c (1+i)^n-1

Si ahora restamos a la nueva igualdad la anterior; VA (1+i) - VA =

c

c

+

c

+

(1+i)

(1+i)^2

Simplificamos los términos iguales; VA (1+i) - VA =

c

+

…… …

c (1+i)^n1

-

c (1+i)

+

c (1+i)^2

+

…… …

+

c (1+i)^n

c

-

(1+i)^n

Aplicamos propiedad distributiva; VA + VA X i - VA =

c

-

VA X i =

c

-

c (1+i)^n c (1+i)^n

Entonces; VA =

c

[ 1 -

i

1 (1+i)^n

]

Anualidad Adelantada Se paga al inicio de cada periodo.

c

c

c

c

…………………

c

> M0

M1

M2

M3

Mn

Cuando calculamos el Valor Actual (VA) de una anualidad vencida nos da el valor de la anualidad en el momento 0, entonces, cuando la anualidad se paga en forma adelantada hay que tener en cuenta la cuota del momento inicial: VA =

c i

[ 1 -

1 (1+i)^n

] + c

Sacando factor común y trabajando matemáticamente; VA =

c i

(1+i) [ 1 -

1 (1+i)^n

]

22

Rentas Perpetuas Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de periodos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas sólo se le podrá calcular valor actual pero nunca el valor final, y todo ello con independencia de que sea vencida o adelantada, constante o variable, etc. Perpetuidad Vencida Se paga al final de cada periodo. c

c

c

…………………

> M0 VA =

c

M1 c

+

(1+i)

+

(1+i)^2

M2 c

M3 c

+

(1+i)^3

(1+i)^4

…………………

+

……………….…

+

……………….…

Infinito

Si multiplicamos a esta igualdad por (1 + i) VA(1+i) =

c

C

+

+

(1+i)

c

c

+

(1+i)^2

(1+i)^3

Si ahora restamos a la nueva igualdad la anterior; VA (1+i) - VA =

c

+

c (1+i)

+

c (1+i)^2

+

………

-

c (1+i)

+

c (1+i)^2

+

c (1+i)^3

Simplificamos los términos iguales; VA (1+i) - VA =

c

Entonces; VA =

c i

Perpetuidad adelantada Se paga al final de cada periodo. c

c

c

c

…………………

> M0

M1

M2

M3

…………………

Infinito

23

Cuando calculamos el Valor Actual (VA) de una perpetuidad vencida nos da el valor de la anualidad en el momento 0, entonces, cuando la perpetuidad se paga en forma adelantada hay que tener en cuenta la cuota del momento inicial: VA =

c

+

i

c

Utilizando denominador común; c+cxi

VA =

i

Sacando factor común; VA =

c

(1+i)

i

IMPOSICIONES Y SISTEMAS DE AMORTIZACION La Imposición es un caso particular de renta en el cual cada término devenga interés (simple o compuesto) desde la fecha de su abono hasta la fecha final. Imposiciones vencidas Se paga al final de cada periodo. c

c

c

…………………

> M0

M1

M2

M3

c

VA =

i

[

1 -

………………… 1

(1+i)^n

n

]

Imposiciones adelantadas Se paga al inicio de cada periodo. c

c

c

c

…………………

> M0

M1

M2

M3

……………n-1

n

Cuando calculamos el Valor Actual (VA) y se paga en forma adelantada hay que tener en cuenta la cuota del momento inicial:

24

VA =

c i

(1+i)

[

1 -

1 (1+i)^n

]

Préstamos El préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación múltiple. En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamada prestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los) vencimiento(s) pactado(s) y a pagar intereses en los vencimientos señalados en el contrato. La operación de amortización consiste en distribuir con periodicidad la devolución del principal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida del préstamo. Los pagos periódicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad de rembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. La terminología utilizada será la siguiente: C0 = Importe del préstamo, cantidad financiada. n = Número de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contraída la deuda. I = Tasa de interés efectiva convenida Ck = Término amortizable al final del período k, pago total realizado por el prestatario en cada vencimiento (mensual, trimestral, semestral). Por lo tanto: Ck = Ik + Ak Ik = interés del período k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por el período correspondiente. Ak = amortización del período k, cantidad destinada a devolver deuda en cada vencimiento. Ck = Capital pendiente de amortización en el momento k. Es el saldo por pagar del préstamo Mk =Capital total amortizado al final del período k. Es importante tener SIEMPRE en cuenta que: 1. Los intereses de cada período se calculan sobre el capital a principio del período: Ik =

Ck-1 x i

2. El parámetro que amortiza directamente el capital es la amortización (A), e indirectamente el término amortizable = cuota 3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmética de todas las amortizaciones periódicas C0 = A1 + A2 + A3 +...............+ An 4. El capital pendiente es la suma aritmética de las cuotas de amortización que queden por amortizar. Ck = Ak+1 + Ak+2 + Ak+3 +............... An Aunque también se obtiene por la diferencia entre el importe del préstamo y el total amortizado hasta ese momento. Ck = C0 − mk

25

Principales Sistemas de Amortización de Préstamos Según la finalidad a la que se destinen los términos amortizables es posible distinguir diferentes formas de llevar a cabo la devolución del capital inicial: es lo que se “sistema de amortización” del préstamo. 1. Préstamos amortizables mediante reembolso único del principal al final de la operación. a. Sin pago periódico de intereses: Préstamo simple. Se trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez. Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del préstamo más los intereses devengados y acumulados. La acumulación de intereses se puede realizar tanto en régimen de capitalización simple como en compuesta. b. Con pago periódico de intereses: Sistema americano. El sistema Americano establece una sola amortización al final de un período, en el cual solo se pagan intereses. Al no haber pagos de capital, los intereses son fijos. El deudor paga mensualmente los intereses y al finalizar el plazo convenido debe cancelar el total del capital. Son hipotecas que por lo general se pactan a uno o dos años, existiendo cláusulas de renovación automática y de cancelaciones parciales. El tipo de amortización "Americano" beneficiará a quienes necesiten abonar cuotas bajas durante un periodo de tiempo y puedan efectuar la cancelación de capital al vencimiento del plazo pactado. 2. Préstamos reembolsables mediante una serie de pagos periódicos a. Sistema Francés Este sistema de amortización se caracteriza porque los términos amortizables (cuotas) permanecen constantes durante toda la vida del préstamo. De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad destinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que el tiempo va transcurriendo. Si es vencido:

C0

c

c

c

…………………

> M0

M1

M2

C0 =

M3

c i

[

1 -

…………… 1

(1+i)^n

n

]

26

Si es adelantado

C0-c

c

c

c

………………c

> M0

M1

M2

M3

c

C0 =

(1+i)

i

[

………….n-1 1

1 -

(1+i)^n

n

]

Donde C0 representa el importe del préstamo, n el número de pagos en los que se amortiza el préstamo, c el término amortizable. Ejemplo1: Se toma un préstamo por $ 100.000 pagadero en tres cuotas anuales vencidas al 10% anual por el sistema francés. c

C0 =

[

i

100.000 =

100.000 =

100.000 =

100.000 =

c=

c 0.10 c 0.10 c 0.10 c 0.10

1 -

1

]

(1+i)^n

[

1 -

[

1 -

1 (1+0.10)^3 1 1.331

[

0.2486852

]

(

0.2486852

)

]

]

40211.48

AÑO 0

CUOTA

INTERES -

AMORTIZACION TOTAL AMORT -

-

-

SALDO 100.000,00

1

40.211,48

10.000,00

30.211,48

30.211,48

69.788,52

2

40.211,48

6.978,85

33.232,63

63.444,11

36.555,89

3

40.211,48

3.655,59

36.555,89

100.000,00

0,00

27

b. Sistema Alemán Este sistema es también llamado método de cuota de amortización constante o método lineal En este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los períodos la misma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortización (Ak) se mantiene constante durante todo el préstamo. Considerando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés constante i, y amortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que: A1 = A2 = A3 =………… An = A Sabiendo que la suma de todas las cuotas es el importe del préstamo y que, además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir: Co = A1 + A2 + A3 +…………..An En este sistema; A1 = A2 = A3 =……..= An = A Entonces; Co = A x n Por lo tanto, A=

C0 n

Ejemplo: Se toma un préstamo por $ 100.000,00 pagadero en tres cuotas anuales al 10% anual por el sistema alemán A=

A=

A=

C0 n 100.000 3 33.333,33 AÑO 0

CUOTA

INTERES -

AMORTIZACION TOTAL AMORT -

-

-

SALDO 100.000,00

1

43.333,33

10.000,00

33.333,33

33.333,33

66.666,67

2

40.000,00

6.666,67

33.333,33

66.666,66

33.333,34

3

36.666,66

3.333,33

33.333,33

99.999,99

0,01

28