Tema 1: Probabilidad La probabilidad es la rama de las matemáticas que cuantifica las probabilidades de que suceda algo.  Sucesos aleatorios:  Experimento aleatorio: es aquel cuyo resultado depende del azar. No se puede predecir de antemano de entre los posibles resultados cuál va a suceder. Aunque sí podemos conocer todos los posibles resultados distintos. Ej: Tirar un dado, sacar una bola de un bingo, sacar una carta de una baraja.  Espacio muestral (E): es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ej: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, E={1, … ,99}, E={1 𝑂𝑟𝑜, 2 𝑂𝑟𝑜, … , 12 𝐵𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠}.  Suceso: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej: Si el experimento es tirar un dado y ver qué número sale, algunos sucesos serían: que salga un número par → A={ 2, 4, 6},

que salga un nº inferior a dos → B={ 1},

que salga un nº primo → C={ 1, 2, 3, 5},

que salga un nº < siete → D={ 1, 2, 3, 4, 5, 6},…

 Distintos tipos de sucesos: o Suceso elemental: Es cada uno de los resultados del espacio muestral. Ej: Que salga un 3 → A={ 3}, o Suceso seguro: es el suceso que ocurre siempre. Coincide con el espacio muestral. Ej: Que salga un nº inferior a siete → D={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} . Que salga un número positivo… o Suceso imposible: es el suceso que no puede ocurrir, que no pertenece al espacio muestral. Ej: Que salga un siete → F={Ø}.

Que salga un número negativo…

 Operaciones con sucesos: Sea el experimento tirar un dado. El espacio muestral es:

E={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sea A el suceso sacar un número par.

El suceso A es:

A={ 2, 4, 6}

Sea B el suceso sacar un número menor que 3. El suceso B es:

B={ 1, 2}

o Suceso contrario de A: Es todo suceso del espacio muestral que no pertenece a A. Se representa por Ac o 𝐴̅. Entre A y Ac tenemos todo el espacio muestral sin repetir elementos. Ej:

A={ 2, 4, 6} →

Ac={ 1, 3, 5}

o Unión de sucesos: 𝐴 ∪ 𝐵 es el conjunto formado por los sucesos elementales de A y de B sin repetir ninguno. Se suele decir:

- Sucesos de A o de B

- Sucesos de alguno de los dos

Ej: 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 4, 6} o Intersección de sucesos: 𝐴 ∩ 𝐵 es el conjunto de los sucesos formado por los sucesos elementales que pertenecen a la vez a A y a B. Se suele decir:

- Sucesos de A y de B

- Sucesos de ambos

Ej: 𝐴 ∩ 𝐵 = { 2}  Ejercicio 1: En el ejemplo anterior, sea el suceso C sacar un número mayor que 3. Halla los sucesos: a) C

b) 𝐴 ∪ 𝐶

c) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶

d) 𝐴 ∩ 𝐶

e) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

o Intersección de sucesos contrarios: A veces nos pueden pedir los siguientes sucesos: 𝐴 ∩Bc ,

Ac∩B

o

Ac∩Bc

En realidad sólo tendríamos que hallar los sucesos A, Ac, B y Bc, y ver los elementos que tienen en común según el caso.

A={ 2, 4, 6}

Ac={ 1, 3, 5}

B={ 1, 2}

Bc={ 3, 4, 5, 6}

Pero hay veces que no será fácil hacerlo así, y que nos interesará entender qué significa cada intersección: 𝐴 ∩Bc: todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. También veremos 𝐴 − 𝐵: Es como si a los sucesos que pertenecen a A les quitáramos aquellos que pertenecen a B. En realidad 𝐴 − (𝐴 ∩ 𝐵), ya que es lo que tienen en común. También veremos: los elementos que “sólo” pertenecen a A ó “solamente” a A. El suceso A∩Bc es:

A∩Bc ={ 4, 6}

Ac∩B: todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. También veremos 𝐵 − 𝐴: Es como si a los sucesos que pertenecen a B les quitáramos aquellos que pertenecen a A. En realidad 𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵), ya que es lo que tienen en común. También veremos: los elementos que “sólo” pertenecen a B ó “solamente” a B. El suceso Ac∩B es:

Ac∩B ={ 1}

Ac∩Bc: todos los elementos que no pertenecen a A y no pertenecen a B. También veremos: los elementos que no pertenecen “ni a uno ni a otro” ó a “ninguno” El suceso Ac∩Bc es:

Ac∩Bc ={ 3, 5}

 Ejercicio 2: En el ejemplo anterior, sea el suceso C sacar un número mayor que 3. Halla los sucesos: a) Ac∩C

b) B∩ Cc

c) 𝐴 ∩ Cc

d) B𝑐 ∩ 𝐶

o Unión de sucesos contrarios: A veces nos pueden pedir los siguientes sucesos: 𝐴 ∪Bc ,

Ac∪B

o

Ac∪Bc

En realidad sólo tendríamos que hallar los sucesos A, Ac, B y Bc, y ver los elementos que tienen pertenecen a ambos sin repetirse ninguno.  Ejercicio 3: En el ejemplo anterior, sea el suceso C sacar un número mayor que 3. Halla los sucesos: a) Ac∪C o

b) B∪ Cc

c) 𝐴 ∪ Cc

d) B𝑐 ∪ 𝐶

Leyes de Morgan: Relacionan la unión con la intersección, a través de los sucesos contrarios:

(A∪B)c = Ac∩Bc

(Ac∪B)c = A∩Bc

(A∪ Bc)c = Ac∩B

(Ac∪ Bc)c = A∩B

(A∩B)c = Ac∪Bc

(Ac∩B)c = A∪Bc

(A∩ Bc)c = Ac∪B

(Ac∩ Bc)c = A∪B

 Ejercicio 4: Comprueba con el ejemplo anterior alguna de las leyes de Morgan

 Sucesos Compatibles y Sucesos Incompatibles: o

Sucesos Compatibles: Si tienen elementos en común: C∩D≠ Ø Ej: A={ 2, 4, 6} B={2, 3, 4, 5} A∩B={2, 4}

o

Sucesos Incompatibles: Si no tienen elementos en común: A∩B= Ø Ej: C={ 2, 4, 6} D={3, 5} C∩D={ Ø}

 Probabilidad:  Definición de Probabilidad (Regla de Laplace): Si un suceso es equiprovable, entonces la probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Si indicamos la probabilidad de A por P(A), entonces P(A) = Ej:

A={ 2, 4, 6}

E={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A) =

3 6

𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

= 0,5 ó 50% (en porcentaje)

 Propiedades de la Probabilidad: o

La probabilidad del cualquier suceso A estará comprendida entre 0 y 1. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

o

La probabilidad del suceso seguro es 1,

o

La probabilidad del suceso imposible es 0, P(∅) = 0

o

La probabilidad de P(Ac) = 1 – P(A) Ej: A={ 2, 3} Ac={ 1, 4, 5, 6} P(A) =

2 6

P(E) = 1

= 0,333 P(Ac) =

4 6

= 0,667 P(Ac) = 1 - P(A) = 0,667

𝑃(𝐵 𝑐 ) = 1 − 0.3 = 0.7

𝑃(𝐵) = 0.3  Probabilidad de Intersecciones o

Diagrama de Venn:

o

Tabla de contingencia o tabla de doble entrada B

Bc

Total

A

P(A∩B)

P(A∩ Bc)

P(A)

Ac

P(Ac ∩B)

P(Ac ∩ Bc)

P(Ac)

Total

P(B)

P(Bc)

1

 Probabilidad de Uniones: o

Si dos sucesos son Compatibles → P(A∩B)≠0 → P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

o

Si dos sucesos son Incompatibles → P(A∩B)=0 → P(A∪B) = P(A) + P(B)

o

Fórmulas de otras uniones: P(A∪ 𝐵𝑐 )=P(A) + P(𝐵𝑐 ) - P(A∩ 𝐵𝑐 ) P(𝐴𝑐 ∪B)=P(𝐴𝑐 ) + P(B) - P(𝐴𝑐 ∩B)

o leyes de Mogan.

P(𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 )=P(𝐴𝑐 ) + P(𝐵𝑐 ) - P(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 )

 Experimentos compuestos: Hay experimentos que están compuestos de varios sucesos (dos o más). Ej: lanzar dos dados, tirar tres monedas, sacar dos cartas de una baraja, sacar tres bolas de un bingo… o

Lanzar dos dados es un experimento compuesto de dos sucesos simples, y es equivalente a lanzar un dado dos veces. La 2ª vez que tiro un dado la probabilidad de sacar cualquiera de los números no varía. 2

La probabilidad de sacar un número mayor que 4 al tirar un dado es 𝑃(𝐴) = 6 = 0,333 Si tiro dos dados, es como lanzar un dado dos veces, siendo la probabilidad de sacar un número 2

mayor de 4 cada vez la misma. 𝑃(𝐴) = 6 = 0,333 También pasa si lanzamos una moneda, o en otros experimentos. o

Sin embargo en otros experimentos compuestos como sacar dos cartas de una baraja es importante saber si tras el primer experimento simple, la carta es devuelta a la baraja, ya que la probabilidad de sacar la carta la segunda vez varía dependiendo del caso. La probabilidad de sacar un rey de una baraja es 𝑃(𝑅) =

4 40

= 0,1

Si saco dos cartas, es como pueden ocurrir dos cosas: - Con reemplazamiento: que la carta sea devuelta tras mirar la primera. En este caso, al igual que antes, la probabilidad la segunda vez no variará, y seguirá siendo de 𝑃(𝑅) =

4 40

= 0,1

- Sin reemplazamiento: que la carta no sea devuelta tras mirar la primera. En este caso, la segunda vez tendremos una carta menos, con lo que los casos posibles pasarán de 40 a 39. Pero es que además los casos favorables también pueden cambiar. Si la primera que saqué fue un rey pasarán a ser 3 reyes. Por lo que la segunda vez la probabilidad podrá ser de 3

4

𝑃(𝑅) = 39 = 0,077 si el primero fue un rey, o de 𝑃(𝑅) = 39 = 0,103 si el primero no fue un rey.  Sucesos Dependientes y Sucesos Independientes: o

Dos sucesos son Dependientes cuando el primer suceso influye en el siguiente.

o

Dos sucesos son Independientes cuando el primer suceso no influye en el siguiente.

 Probabilidad Condicionada: Se llama probabilidad de A condicionada a B y se representa por P(A/B) a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. La fórmula para hallar esta probabilidad es: P(A/B)= o

En los sucesos dependientes P(A/B) ≠ 𝑃(𝐴)

o

En los sucesos independientes P(A/B)= 𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵)

 Intersección de Sucesos Dependientes y de Sucesos Independientes: o

Sucesos dependientes: P(A/B) ≠ 𝑃(𝐴) → P(A∩ 𝐵) = P(A/B) ·P(B)

o

Sucesos independientes: P(A/B) = 𝑃(𝐴) →

P(A∩ 𝐵) = P(A)·P(B)

 Árbol: En algunos problemas de probabilidad nos ayudaremos de un árbol para solucionarlos:

 Regla del producto o de la probabilidad compuesta: En un diagrama de árbol, la regla dice que la probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forman. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ P(B/A)  Regla de la suma o de la probabilidad total:

En un diagrama de árbol, la regla dice que la

probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos. 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ P(B/A) + 𝑃(𝐴𝑐 ) ∙ P(B/𝐴𝑐 )

 Teorema de Bayes: P(A/B) =

𝑃(𝐴)∙P(B/A) 𝑃(𝐵)

=

𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵)