Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural ESTUDIO PROBABILISTA SOBRE EXCENTRICIDAD ACCIDENTAL EN EDIFICIOS UTILIZANDO EL MÉTODO MONTE CARLO Jaime De la Colina Martínez1 y Bernardino Benítez Miranda.2 RESUMEN Se presentan los resultados de un estudio probabilista de la excentricidad accidental (ea) en edificios de varios pisos. El estudio incorpora resultados estadísticos de mediciones recientes de cargas vivas en edificios de tres tipos: departamentos, oficinas y escuelas. El trabajo, el cual utiliza el Método Monte Carlo, estudia el efecto de varias variables en el cálculo de las funciones de densidad de probabilidad (FDP) de la excentricidad accidental en edificios. A diferencia de algunos códigos de construcción actuales que dan un solo valor de la excentricidad accidental para todo tipo de edificios, el propósito de este estudio es ofrecer FDP´s para diferentes condiciones de diseño, llevando a recomendaciones específicas de ea asociadas con una probabilidad de excedencia dada y constante. El estudio reconoce que se deben especificar diferentes valores de ea dependiendo de: 1) Tipo de estructura (losas pesadas llevan a variaciones más pequeñas de ea en comparación con losas ligeras), 2) Uso del edificio (cargas vivas grandes llevan a grandes variaciones de ea en comparación con cargas vivas pequeñas), 3) Altura de entrepiso (entrepisos superiores tendrán valores mayores de ea en comparación con entrepisos inferiores). Se incorpora también al estudio la rigidez de los elementos resistentes a movimiento lateral como una variable aleatoria. ABSTRACT Results of a probabilistic study on accidental eccentricity (ea) in multistory buildings are presented. The study incorporates statistical results of recent live-load measurements in buildings of three types: apartments, offices, and schools. The work, which uses the Monte Carlo method, studies the effect of several variables on the computation of probability density functions (PDF) of the accidental eccentricity on buildings. Opposite to several current building codes that give one value of the accidental eccentricity for all types of buildings, the purpose of this study is to offer PDFs for several design conditions, leading to specific recommendations of ea associated with a given (and constant) probability of exceedance. The study recognizes that different values of ea should be specified in building codes depending on: 1) structure type (heavy slabs lead to smaller variations of ea than light slabs), 2) building use (large live loads lead to larger variations of ea than small live loads), and 3) story height (upper stories will have larger values of ea than lower ones). Stiffness of lateral resisting elements is also incorporated in the study as a random variable. INTRODUCCIÓN Los terremotos provocan fuerzas en los edificios que deben ser resistidas por los elementos estructurales que los conforman. Las magnitudes de estas fuerzas dependen del tipo de suelo donde se encuentre desplantado el edificio, de la geometría de la estructura y de la resistencia de los materiales con que esté hecha. La distribución en planta de las cargas que el edificio tiene que soportar cuando esté en servicio también es otro factor que afecta considerablemente la respuesta de las estructuras ante un sismo.

1 Profesor e Investigador, Facultad de Ingeniería, Universidad Coatepec s/n, Col. Universidad, 50000 Toluca, Estado [email protected] 2 Estudiante de posgrado, Facultad de Ingeniería, Universidad Coatepec s/n, Col. Universidad, 50000 Toluca, Estado [email protected]

Autónoma del Estado de México, Cerro de de México. Teléfono, (722) 214-0855; Autónoma del Estado de México, Cerro de de México. Teléfono: (722) 126-4941;

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Tomando en cuenta las masas de todo objeto o persona que se encuentre en un entrepiso, así como de todos los elementos estructurales, se calcula un centro de masas. Considerando las rigideces de las columnas, trabes y muros se obtiene también un centro de rigideces. Para fines de diseño, se considera que la fuerza de un sismo está distribuida en cada nivel, aplicada específicamente en su centro de masas. La fuerza cortante de entrepiso está definida como la resultante de todas las fuerzas laterales arriba del piso en consideración. El punto por donde pasa esa resultante se denomina centro de cortante. Obviamente, la posición del centro de cortante va a depender de la posición de los centros de masa de los entrepisos superiores. LAS EXCENTRICIDADES Los centros de cortante y de rigideces no tienen la misma localización, y dependen de la distribución de las cargas laterales. La distancia entre el centro de cortante y el centro de rigideces se denomina excentricidad. Tso (1990) menciona que existen dos formas de definir la excentricidad. Una es excentricidad de piso (floor eccentricity), definida como la distancia horizontal entre el centro de rigideces y el centro de masas del entrepiso. Otra es la excentricidad de entrepiso (story eccentricity), definida como la distancia entre el centro de cortante del entrepiso y el centro de rigideces. En este trabajo se tomará la definición de excentricidad de entrepiso (story eccentricity) para llevar a cabo la investigación, ya que se va a tomar en cuenta la interacción de los centros de masa de diferentes entrepisos en el análisis. EL FENÓMENO DE TORSIÓN EN LOS EDIFICIOS Si la posición del centro de rigideces y la del centro de cortante son iguales no existen efectos de torsión en la estructura. Si no coinciden, existe un momento torsionante en la planta del edificio, causando así fuerzas mayores por soportar en los elementos estructurales. En este caso también se suele establecer que se trata de un sistema torsionalmente desbalanceado. Un edificio debe ser diseñado tomando en cuenta su excentricidad natural, definida como la excentricidad resultante de la configuración arquitectónica de los elementos resistentes y de las características nominales de carga y resistencia de la estructura. En caso contrario, los efectos del sismo, traducidos en efectos de torsión, pueden llevar a una respuesta no satisfactoria de la estructura. Así, un edificio con efectos de torsión resulta tener un comportamiento mejor si fue diseñado propiamente para resistir tales efectos. No es posible conocer con precisión la posición del centro de rigideces y la posición del centro de cortante que definen la excentricidad natural. Es difícil definir el centro de rigideces con exactitud debido a las variaciones en la rigidez que proporcionan los elementos estructurales. Dichas variaciones son debido a incertidumbres en las propiedades de los materiales, así como a cambios en las dimensiones de los elementos. El centro de cortante depende de la distribución de las masas en cada entrepiso y presenta también muchas variaciones. Por esto, para calcular el momento torsionante es necesario tomar en cuenta una excentricidad accidental (ea) para considerar la incertidumbre en la posición de los centros mencionados. Las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (2004) consideran la excentricidad accidental como un diez por ciento de la dimensión de la planta que se considera, medida perpendicularmente a la dirección de la acción del sismo. Esto es válido para cualquier tipo de sistema de piso que se tenga, ya sea pesado o ligero. Tampoco hace diferencia alguna entre el uso que se le da a la estructura. Las cargas vivas que están presentes en un edificio destinado a una escuela distan mucho de ser iguales a las cargas vivas que se presentan en uno destinado a oficinas o en uno destinado a departamentos. El efecto de esta diferencia entre cargas aumenta si se considera el sistema de piso que se tiene, ya sea losa maciza, losa reticular o losa de concreto sobre lámina troquelada de acero, pues la relación entre las cargas muertas y vivas es diferente. TRABAJOS PREVIOS DE INVESTIGACIÓN Anteriormente, Ruiz et al. (2001a, 2001b, 2003) llevaron a cabo estudios de la variación de la magnitud de la carga viva en edificios. Se llegó a recomendaciones para magnitudes de cargas vivas de diseño en función del

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural área tributaria. En dicho estudio se presentan las distribuciones de las cargas en las diferentes plantas estudiadas: salones de clase, departamentos habitación de interés social y oficinas. Los autores no estiman una función de densidad de probabilidad para la posición del centro de cortante. Tampoco presentan funciones de distribución en planta de las cargas vivas. Dichas funciones son necesarias para poder llevar a cabo un estudio que incluya la excentricidad. De-la-Colina y Almeida (2004) realizaron una investigación sobre torsión accidental en edificios. En dicho trabajo se estudió la excentricidad accidental con un enfoque probabilístico basado en simulaciones Monte Carlo. Se utilizó un modelo con elementos resistentes laterales bilineales con distribución fija en planta; la función de distribución de las cargas se asumió triangular, debido a falta de información al respecto. Se evaluaron probabilidades de excedencia de las demandas de ductilidad. Los autores recomendaron determinar con mayor precisión patrones de distribución de los centros de masa y de los centros de rigidez. Por lo anterior, resulta claro que la distribución triangular asumida para la distribución de las cargas puede no representar con suficiente precisión la función de distribución de las cargas. Por otro lado, el estudio de la variación de la posición del centro de rigideces tiene muchas variables implicadas y es complejo. Ramsay (1979) consideró que la función de densidad de probabilidad de la rigidez de elementos resistentes toma la forma de distribución de Gauss. Del mismo modo, De la Llera y Chopra (1994) realizaron un estudio que utilizaba la función de densidad de probabilidad de Gauss para las rigideces de los elementos resistentes. Por otra parte, Heredia Zavoni, et al. (2001) realizaron un estudio de torsión accidental en sistemas simétricos por efecto de incertidumbre en la rigidez; analizaron la respuesta en función de los coeficientes de variación y de la correlación de la rigidez entre los ejes de resistencia mediante simulaciones de Monte Carlo. Dadas las características nominales de simetría del sistema estudiado por Heredia, el centro de masas coincide con el centro geométrico, además de que no consideran ninguna variación en la posición del centro de masas. Los autores también modelan la rigidez lateral como el producto de una variable aleatoria con densidad de probabilidad lognormal con el valor nominal de la rigidez. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN Se tiene como objetivo general estudiar desde el punto de vista probabilista la excentricidad accidental en edificios de tal manera que el análisis de resultados permita: 1.

Determinar las variaciones de la excentricidad para las diferentes combinaciones de sistemas de piso de losa maciza, losa reticular y losa de concreto sobre lámina troquelada de acero con estructuras destinadas a escuelas, oficinas y departamentos habitación.

2.

Dar recomendaciones para el factor β de excentricidad accidental dependiente de la probabilidad de excedencia de cargas vivas y muertas que se quiera tener para cada combinación estudiada.

Los objetivos específicos que se consideran para el presente trabajo son: a. b. c. d.

Llevar a cabo el análisis estadístico de los datos de cargas vivas en planta de estudios previos. Obtener funciones de distribución de probabilidad de cargas vivas y muertas tanto en su posición como en su magnitud en planta para cada una de las combinaciones de los casos anteriormente mencionados. Conocer la interacción de las cargas de entrepiso para varios niveles. Realizar la simulación para obtener la función de distribución de probabilidad para la excentricidad.

ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO Este estudio utiliza la función de densidad de probabilidad de Gauss para las rigideces de los elementos resistentes por considerarla la más probable a presentarse y por ser la que más se ha estudiado. En cuanto a las masas, se llevó a cabo el análisis de datos reales y la definición de la función de densidad de probabilidad

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de la posición del centro de cortante. La contribución del presente trabajo es que se integró el análisis de datos reales para la obtención de una función de densidad de probabilidad de magnitud y posición de masas con la consideración de la variación normal de las rigideces de los elementos. Actualmente, los códigos de construcción toman en cuenta el producto de la longitud de la dimensión de la planta que se considera, medida perpendicularmente a la dirección de la acción del sismo (b), por un factor β para estimar la excentricidad accidental. El Uniform Building Code (1997) toma en cuenta un factor β = 0.05, mientras que el National Building Code of Canada (1985) considera un factor β = 0.10. El Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (2004) toma también un factor β = 0.10. El asunto principal por investigar en este estudio fue que el factor β considerado para excentricidad accidental puede variar, dependiendo del sistema de piso que se tenga, así como del uso que se le dé a la estructura. Se llevó a cabo un análisis de la distribución de las cargas en las plantas de los edificios, en estructuras con uso para salones de clase, para oficinas y para departamentos habitación de interés social, en combinación con sistemas de piso de losa maciza, losa reticular y losa de concreto sobre lámina troquelada de acero. Se obtuvo una forma más precisa de la función de densidad de probabilidad de la posición del centro de masas, y por lo tanto del centro de cortante. La función de densidad de probabilidad para las rigideces de los elementos se tomó con distribución gaussiana, de manera análoga a lo que hicieron Chopra et al. (1994) y Ramsay et al. (1979). Con los resultados obtenidos se dan recomendaciones de la excentricidad accidental para las diferentes combinaciones de tipo de losa y uso mencionados. ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN El alcance de este trabajo en cuanto al estudio de la distribución de las cargas es encontrar una función de distribución para la magnitud de la masa en planta, así como una función de densidad de probabilidad para la posición del centro de cortante. Para las cargas vivas, solamente se consideran tres casos: 1) en salones de clase, 2) en oficinas y 3) en departamentos habitación de interés social. En el caso de los salones de clase, se usaron 34 plantas de muestreos que se llevaron a cabo en 8 escuelas del Distrito Federal por Ruiz et al. (2001a) El área total muestreada en escuelas fue de 13,700.19 m2. Para oficinas, se estudian 14 plantas en 4 edificios inspeccionadas por Ruiz et al. (2001b). El área total estudiada fue de 14,890 m2. En los departamentos habitación de interés social, se utilizaron 15 plantas tipo de edificios multifamiliares estudiadas por Ruiz et al. (2003) El área total estudiada es de 2624.02 m2. El tipo de carga que estos estudios presentan es el de cargas vivas instantáneas sostenidas. Se utiliza dicha información debido a que se considera ya aceptada, y a que en un futuro será posible establecer parámetros de comparación. El utilizar otros estudios complicaría este proceso, pues también se quiere tener una perspectiva de las cargas en México, mas no en otros países. Para el caso de la carga muerta, los sistemas de piso que se analizaron son: a) losa maciza, b) losa reticular y c) losa de concreto sobre lámina troquelada de acero. No se toman en cuenta en este estudio otro tipo de usos de edificios. Para el caso de salones de clase y oficinas se analizaron los tres sistemas de piso mencionados, no así en el uso de departamentos habitación, pues se ha visto que la gran mayoría de los edificios que son construidos para este fin son estructurados en mampostería y losa maciza. Por esto, el único sistema estudiado en el uso de habitación en este trabajo es el de losa maciza. Para cada uso de estructura, se propusieron dos plantas tipo, representativas de las plantas estudiadas por Ruiz et al. (2001a, 2001b, 2003), así como de las plantas más comúnmente usadas. Las plantas propuestas para cada caso, así como su correspondiente distribución de columnas se presentan en las figuras 1, 2 y 3. Para el caso de oficinas se estudió el caso de 5 y 10 niveles; para los departamentos habitación, 3 y 5 niveles; para las escuelas, 2 y 3 niveles. Dichos casos se consideran también representativos de lo más común en cada caso. La definición de la función de densidad de probabilidad de las rigideces de las columnas no es objeto de estudio de este trabajo. Para efectos de la simulación, se tomaron en cuenta los trabajos de Ramsay, et al. (1979) y De la Llera y Chopra (1994), los cuales consideran una función de densidad de probabilidad gaussiana para la variación de la rigidez de columnas.

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Finalmente, con los resultados de las simulaciones se establecieron recomendaciones para el factor β de excentricidad accidental de acuerdo a la probabilidad de excedencia que se quiera tener para cada combinación estudiada. El análisis de confiabilidad resulta fuera del alcance de este trabajo. CARGAS VIVAS EN PLANTAS DE ESTUDIO SALONES DE CLASE La información que a continuación se presenta es el resultado de una investigación llevada a cabo por Ruiz et al. (2001a). La descripción detallada de las escuelas visitadas, así como el procedimiento general de estimación de cargas se especifica en el trabajo mencionado. Los resultados del muestreo de cargas vivas presentados incluyen pesos de pupitres y otros muebles que existan en el salón, así como pesos de estudiantes y maestros. Un ejemplo de las plantas mencionadas se muestra en la fig. 1. En dicha figura se muestra en el inciso a) la planta de las oficinas dividida en una cuadrícula imaginaria que representa las áreas básicas. Dentro de cada área básica se presenta la carga actuante en dicha área por metro cuadrado. Esto se representa gráficamente en el isométrico que se encuentra en el inciso b) de la figura. Las áreas básicas son diferentes para cada escuela. Éstas oscilan entre 15 y 20 m2. Las áreas totales y las áreas básicas de cada institución se muestran en la tabla 1.

Figura 1 Cargas por área básica de la planta baja de la escuela primaria “Insurgentes Bravo”

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Tabla 1 Áreas totales y áreas básicas consideradas en cada institución Planta Escuela Primaria "Insurgentes Bravo". Escuela Primaria "Gral. Francisco Menéndez". Escuela Secundaria No. 168. Escuela Secundaria No. 185. Escuela Nacional Preparatoria No. 5. Escuela Nacional Preparatoria No. 6. División de Ciencias Básicas, Fac. de Ing, UNAM. Facultad de Contaduría y Administración, UNAM

2

Área, m . 540 816 931.5 800.64 2237 2856 1335.13 4183.92

2

Área básica, m . 15 16 17.25 16.68 16.57 17 18.54 19.37

El área total muestreada fue de 13,700.19 m2. EDIFICIOS DE OFICINAS Ruiz et al. ( 2001b) menciona que para llevar a cabo este estudio se obtuvieron histogramas de los objetos que más frecuentemente se encuentran en las oficinas como libros, hojas de papel, folders, sillas, computadoras personales, etc. A partir de las mediciones hechas, se construyó una tabla básica de valores medios de aproximadamente 60 objetos típicos de oficina. Dicha tabla se modificó dependiendo de las características específicas de cada conjunto de oficinas estudiadas. El procedimiento general para la estimación de cargas consistió en los siguientes pasos: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Arreglos preliminares para solicitar autorización para visitar las oficinas. Inspección inicial del inmueble y verificación de su estado de carga. Peso de algunos muebles atípicos. Elección del tamaño de las áreas básicas, menores a 20 m2. Estimación visual de las cargas instantáneas en las áreas básicas. Dibujo de la planta de la oficina en estudio.

Se muestreó un total de 14,890 m2. Ésta área es suficientemente grande como para observar cierta tendencia que siguen las cargas vivas en oficinas, misma que se ha podido observar en otros estudios que cuentan con mayor información estadística de cargas vivas en oficinas con un área muestreada de aproximadamente 353,000 m2 ( Chalk y Corotis, 1980; Harris y Corotis, 1981). Se muestran en la tabla 2 los edificios estudiados, además de un ejemplo de planta en estudio de edificios de oficina en estudio en la figura 2.

Figura 2 Cargas por área básica del edificio del Instituto de Ingeniería, Mecánica Aplicada

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Tabla 2 Áreas totales y áreas básicas consideradas en cada edificio EDIFICIO

Área, m2.

Área básica m2.

1) Instituto de Ingeniería, UNAM, Edificio 2. 2) Dir. Gral de Institutos Tecnológicos (DGIT y DGETA, SEP) 3) Instituto Mexicano del Petróleo (SIPE y SIPPI). 4) Ingenieros Civiles Asociados (ICA).

232 1975 1784.6 786.8

1.00 x 1.00 3.56 x 3.65 3.30 x 3.30 2.55 x 2.55

DEPARTAMENTOS HABITACIÓN DE INTERÉS SOCIAL Ruiz et al. (2003) seleccionaron quince edificios del Instituto del Fondo Nacional para la Vivienda de los Trabajadores (INFONAVIT, 1979) para la estimación de las cargas en las diferentes plantas tipo. En este trabajo solo se presentan los resultados obtenidos por Ruiz et al. (2003). La descripción detallada de las plantas tipo, y la metodología para la obtención de las cargas se presenta en la referencia anteriormente mencionada. La figura 3 ilustra un ejemplo de los resultados obtenidos de la estimación de las cargas. El inciso a) muestra en planta la carga por unidad de área. El inciso b) muestra un gráfico tridimensional de la distribución de las cargas vivas en una de las plantas tipo. En la tabla 3 se muestra el área de piso analizado para cada planta tipo, así como el área básica para cada planta tipo y el área total utilizada en el estudio.

Figura 3 Cargas por área básica del edificio multifamiliar Tolteca Tabla 3 Áreas totales y áreas básicas consideradas en cada edificio Planta tipo Multifamiliar Tarasco. Multifamiliar Tolteca. Multifamiliar Mixteco. Multifamiliar Uruapan. Multifamiliar Actopan. Multifamiliar Cuitzeo. Multifamiliar Yuriria. Multifamiliar El Pípila. Multifamiliar Carpio. Multifamiliar Tres Guerras. Multifamiliar Dolores. Multifamiliar Chapultepec. Multifamiliar Acatempan. Multifamiliar Churubusco. Multifamiliar Escobedo.

Área (m2). 105.9 228.68 120.98 124.92 132.58 268.4 135 137.88 143.1 144 146.24 146.88 307.76 159.74 321.96

Área básica (m2). 8.63 8.6 10.73 8.97 10.28 10.33 10.52 13.61 10.62 17.64 10.59 14.51 10.5 10.57 14.05

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TIPOS DE LOSA PROPUESTOS En la tabla 4 se muestran los espesores de losa propuestos. Para la losa maciza se tomó el espesor total de la losa; para la losa reticular el espesor dado es el de la losa superior maciza; para el caso de losa de lámina de acero con concreto el espesor dado es el del firme de compresión arriba de la cresta de la losa. Como se puede apreciar, en el caso de departamentos sólo se utilizó el sistema de piso de losa maciza, pues se consideró que los otros dos sistemas de piso no eran representativos de lo que en realidad se utiliza para este uso. Tabla 4 Espesores de losa o capa de compresión para cada caso de estudio, en centímetros Losa maciza 15 20 10

Escuelas Oficinas Departamentos

Losa reticular 6 10 ---

Losa lámina – concreto 6 10 ---

En la tabla 5 se muestran los pesos de cada losa. Se consideró el peso adicional de elementos no estructurales, como losetas, rellenos y plafones, además de casetones en el caso de la losa reticular. Tabla 5 Peso en kilogramos por metro cuadrado de losa para cada caso Losa maciza 530 650 410

Escuelas Oficinas Departamentos

Losa reticular 432 528 ---

Losa lámina – concreto 443 539 ---

ESTUDIO PROBABILISTA OBTENCIÓN DE LAS FDP´S PARA LAS CARGAS VIVAS Primeramente se obtuvo la información estadística de las distribuciones de carga viva instantánea en salones de clase, en edificios de oficinas y en departamentos habitación de interés social. La fuente de toda la información fueron los trabajos de Ruiz et al. (2001a, 2001b, 2003). Utilizando los histogramas de carga por área básica, para cada planta estudiada se obtuvo el centro de masa mediante el método de primer momento. Se calculó el primer momento de cada celda multiplicando su carga por su distancia a un costado de la planta. El centro de masa en cada dirección se obtuvo mediante la división de la suma de todos los momentos de cada celda entre la suma de las cargas de todas las celdas. Así, para cada planta estudiada se obtuvieron dos centros de masa de carga viva, uno en cada dirección, y una intensidad de carga viva promedio. Los centros de masa se normalizaron dividiéndolos entre la dimensión correspondiente. Con esta información se calculó la media y la desviación estándar de dichos valores para cada uso. Se realizó la prueba de normalidad chi cuadrada en el caso de los centros de masa. Para la intensidad, debido al número de datos, se llevó a cabo la prueba de normalidad Kolmogorov – Smirnov. Los resultados de dichas pruebas, así como las medias y las desviaciones estándar para cada caso se muestran en la tabla 6. Tabla 6 Resultados de pruebas de normalidad para cada caso Uso

X CM CV

σ CM CV

Escuelas Oficinas Departamentos

0.495 0.498 0.508

0.030 0.037 0.039

Chi cuadrada No pasó OK OK

X ICV [kg/m2] 72.4 64.89 46.37

σ ICV [kg/m2] 19.8 18.94 9.25

Kolmogorov Smirnov No pasó OK OK

Como se ve en la tabla 6, solamente en el caso de uso de escuelas los datos no pasaron las pruebas de normalidad. Por lo anterior, en el caso de escuelas se utilizó la forma empírica de la distribución de los datos para la generación de las variables aleatorias.

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural OBTENCIÓN DE LAS FDP´S PARA LAS CARGAS MUERTAS El valor determinista del peso de las losas propuestas se tomó como valor promedio de la intensidad de cargas muertas, y se utilizó el coeficiente de variación de 0.10 recomendado por Melchers (1987) para esta variable, pues esta referencia ha sido utilizada en otros importantes trabajos de investigación, como el de De la Llera y Chopra (1994). Posteriormente se consideró que la posición del centro de masas del sistema de losa, es decir, por carga muerta, es determinista, tomándola en el centro geométrico de la losa. Una vez hecho lo mencionado anteriormente, se calculó la posición del centro de masas por carga viva y por carga muerta. Se procesó toda la información y se obtuvo una función de densidad de probabilidad para la magnitud de la masa y también para la posición del centro de masas. Estas dos funciones se calcularon para cada combinación de tipo de uso de edificio y de tipo de losa, excepto en el caso de uso de habitación, pues, como ya se mencionó, en éste se utilizó solamente el sistema de piso de losa maciza. OBTENCIÓN DE LAS FDP´S PARA EL CENTRO DE RIGIDECES Para el centro de rigideces se propusieron dos plantas tipo por cada combinación mencionada, haciendo la distribución espacial de los elementos resistentes, en este caso columnas. Las plantas propuestas se muestran en las figuras 4, 5 y 6. Combinando esta distribución con la función de distribución normal de las rigideces de los elementos utilizada por Ramsay et al. (1979) y De la Llera y Chopra (1994), se obtuvo la fdp del centro de rigideces. Dicha distribución es de una rigidez unitaria con desviación estándar de 0.11.

Figura 4 Distribución de columnas en planta en escuelas

Figura 5 Distribución de columnas en planta en oficinas

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Figura 6 Distribución de columnas en planta en departamentos habitación

SIMULACIÓN DE EXCENTRICIDADES CON EL MÉTODO DE MONTE CARLO DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO Una vez obtenidas las funciones de densidad de probabilidad de la magnitud de la masa y de la posición del centro de masas para cada tipo de uso, así como la fdp de centro de rigideces, se procedió a la modelación, utilizando el método de Monte Carlo. Fishman (1996) encontró que el método de Monte Carlo provee soluciones aproximadas a una variedad de problemas matemáticos a través de la realización de experimentos de muestreo estadístico. De todos los métodos numéricos que producen soluciones aproximadas, el método de Monte Carlo es en el que más rápidamente decrece el error. Esta propiedad da al método gran ventaja en eficiencia computacional a medida que el tamaño del problema aumenta. Es por esto que se utilizará dicho método de simulación en este trabajo de investigación. GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS Los números aleatorios se generaron con el generador congruencial lineal del módulo multiplicativo primo (prime modulus multiplicative linear congruential generator), recomendado por Law y Kelton (2000), por ser un generador aceptable y bien probado, además de poder ser utilizado prácticamente por cualquier computadora. Los detalles de esta formulación se pueden encontrar en la referencia anterior. Se obtuvieron números aleatorios con una distribución uniforme, para posteriormente generar las variables aleatorias. GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS El método de la transformada inversa se utilizó en este trabajo, ya que permite pasar de una distribución uniforme a una distribución normal con ciertos parámetros solamente a través de un sencillo método numérico, ya que la inversa de la distribución normal no tiene una forma cerrada. Se obtuvo primeramente la transformación a una distribución normal estándar, para después hacer la transformación a la distribución normal con parámetros específicos, simplemente multiplicando por la desviación estándar y sumando la media. GRUPOS DE SIMULACIONES Se analizaron 272 casos en total, combinando las siguientes variables: uso, planta, losa, altura, entrepiso y dirección. Se consideraron 3 usos: escuelas, oficinas y departamentos; 2 plantas para cada uso, una cuadrada y otra rectangular; 3 tipos de losa: maciza, reticular y losa de lámina con concreto, excepto para el uso de departamentos, donde sólo se utilizó la losa maciza. Se manejaron dos alturas diferentes para cada uso, 2 y 3 niveles para escuelas, 5 y 10 entrepisos para oficinas y 3 y 5 niveles para departamentos habitación. La altura de entrepiso se consideró siempre constante a 3 metros para todos los casos. Obviamente se calculó la

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural excentricidad para cada entrepiso y en las direcciones x e y. Para el uso de escuelas se tuvo un total de 60 casos, para oficinas 180 y para departamentos solamente 32. La suma de todas las combinaciones mencionadas nos da 272. NÚMERO DE SIMULACIONES Para el uso de departamentos habitación, se tuvieron 1000 corridas, mientras que para los otros dos casos se tuvieron en promedio 950 corridas. Dichos números permitieron tener intervalos de confianza máximos equivalentes al 0.5 por ciento de la media, con α = 0.05. Los parámetros anteriores resultaron adecuados para el nivel de precisión que se requería para el estudio. ANÁLISIS DE RESULTADOS A continuación se muestran los resultados obtenidos de la simulación. Se obtuvo la media y la desviación estándar de cada conjunto de simulaciones. A cada conjunto se le llevó a cabo la prueba de normalidad, y de los 272 casos analizados, solamente 14 no pasaron la prueba de normalidad, que representan el 5.14 % de los casos analizados. Aún así se presentan todos los resultados para tener una referencia de los datos. Una cuestión muy importante de los datos presentados es que las probabilidades de excedencia resultaron prácticamente nulas para los valores de excentricidad accidental de 0.05 y 0.1. Los valores medios de probabilidad de excedencia que se dan en todas las gráficas es la probabilidad de excedencia de 0.02, que es el valor donde se empiezan a presentar valores significativos. En la tabla 7 se explica la nomenclatura utilizada en las gráficas. En la figura 7 se muestran las probabilidades de excedencia para el uso de escuelas. Tabla 7 Nomenclatura utilizada en las gráficas de resultados U = USO P = PLANTA L = LOSA

1 = escuelas 2 = oficinas 3 = departamentos 1 = planta cuadrada 2 = planta rectangular 1 = losa maciza 2 = losa reticular 3 = losa de lámina con concreto

Las variables “X” y “Y” indican la dirección de análisis para la excentricidad. La variable A indica la altura en estudio, que varía dependiendo del uso. Para cada uso se propusieron dos alturas, como se muestra en la tabla 8. Tabla 8 Número de entrepisos por altura y por uso. U = USO USO 1 (ESCUELAS) USO 2 (OFICINAS) USO 3 (DEPARTAMENTOS)

A1 = ALTURA 1 2 5 3

A2 = ALTURA 2 3 10 5

Todas las propuestas de configuración estructural fueron hechas basándose en lo que es más probable encontrar en la realidad. Las alturas se propusieron a lo más común de acuerdo al uso que se le da a la estructura. En cada una de las figuras se pueden apreciar dos gráficos, uno para cada dirección. En cada gráfico se pueden apreciar los tres tipos de losa en las dos alturas propuestas, resultando en 6 líneas en cada gráfico. Cada figura representa uno de los tres usos en cuestión.

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USO 1: ESCUELAS En la figura 7 se indica que la probabilidad de excedencia máxima del valor 0.02 de la excentricidad accidental máxima para el uso de escuelas es de 0.035. Para la altura 1 la losa reticular arrojó las probabilidades de excedencia mayores en ambas direcciones, mientras que para la altura 2 las probabilidades presentan resultados similares para cada losa y para cada altura. La dirección Y presentó probabilidades mayores en general, que es mayor a la dirección X.

Figura 7 Probabilidades de excedencia del valor 0.02 de la excentricidad accidental para escuelas con planta cuadrada

Para la planta rectangular el valor máximo de probabilidad de excedencia fue de 0.01 en dirección X y de 0.1 en la dirección Y. La losa maciza y la losa reticular en la altura 1 tuvieron prácticamente el mismo comportamiento en la dirección X; en la altura 2 en los entrepisos superiores se tuvo mayor probabilidad de excedencia en el caso de la losa maciza. En la dirección Y los resultados fueron muy similares para todos los casos, como se ve en la figura 8.

Figura 8 Probabilidades de excedencia del valor 0.02 de la excentricidad accidental para escuelas con planta rectangular

USO 2: OFICINAS En la figura 9 se puede apreciar claramente la influencia de la altura de la estructura en el valor de la probabilidad de excedencia. En ambas direcciones, en ambas alturas y en todas las losas se puede apreciar que la probabilidad de excedencia disminuye a medida que disminuye la altura de la estructura. El valor máximo de la probabilidad en este uso es de 0.01. La diferencia entre losas no es muy grande en las alturas mayores, mientras que para la altura 1 es mayor esta diferencia entre losas.

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Figura 9 Probabilidades de excedencia del valor 0.02 de la excentricidad accidental para oficinas con planta cuadrada

Figura 10 Probabilidades de excedencia del valor 0.02 de la excentricidad accidental para oficinas con planta rectangular

Para el caso de la planta rectangular la diferencia de probabilidades en función de la altura es todavía apreciable en la dirección X (dirección larga), mientras que en la dirección Y la variación disminuye. La probabilidad de excedencia máxima para la dirección X es de 0.045, mientras que para la dirección Y es de 0.08. Las probabilidades son mayores para la dirección corta. La diferencia en las losas tiende a ser más significativa en los entrepisos superiores. USO 3: DEPARTAMENTOS HABITACIÓN Como ya se comentó anteriormente, en este uso solamente se tomó en cuenta la losa maciza, pues se consideró que los otros sistemas de piso no eran representativos de los sistemas que se utilizan comúnmente. Las gráficas que se presentan son para losa maciza, ambas plantas y ambas alturas. Como se puede apreciar en la figura 11, la probabilidad máxima de excedencia es similar en ambas direcciones. Para la planta 1 (cuadrada) la probabilidad máxima de excedencia es de 0.07; para la planta rectangular es de 0.02, siendo un tanto menor en la dirección X. El aumento de la probabilidad de excedencia proporcionalmente a la altura también se puede observar en estas gráficas.

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Figura 11 Probabilidades de excedencia del valor 0.02 de la excentricidad accidental para departamentos habitación

En la figura 12 se muestra un comparativo global de las probabilidades de excedencia en función del uso, de la planta y de la dirección. Para las oficinas, en la planta cuadrada las probabilidades resultaron prácticamente iguales para las dos direcciones, y con un valor máximo de 0.01. Para las oficinas planta rectangular los valores entre direcciones difieren aproximadamente en 0.04. Los valores son mayores en comparación con las oficinas planta cuadrada. Para el uso de departamentos, las probabilidades no variaron mucho en cuanto a dirección, pero fueron mayores en la planta cuadrada que en la rectangular. En la planta cuadrada hubo máximas de 0.075, mientras que en la rectangular la máxima fue de 0.025. Para las escuelas, hubo gran variación entre direcciones en la planta rectangular. En la dirección Y se presentó un máximo de más de 0.1, mientras que en la dirección X sólo llegó a 0.01. Para la planta cuadrada el promedio estuvo en 0.02.

Figura 12 Probabilidades de excedencia del valor 0.02 de la excentricidad accidental para diferente uso, planta y dirección

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural CONCLUSIONES Tomando como base los datos obtenidos, se puede afirmar que el valor de la excentricidad accidental que se recomienda en los reglamentos de 0.1 y 0.05 son conservadores, pues se obtuvieron valores nulos de probabilidad de excedencia de dichas cantidades. Se percibió también de manera muy clara la variación de la probabilidad de excedencia en función de la altura de entrepiso, así como del tipo de losa. El uso que se le da a la estructura, relacionado con las intensidades y distribuciones de carga viva, juegan también un papel fundamental en la definición de la excentricidad accidental. RECOMENDACIONES Con este estudio se pudo identificar la forma en que ciertas variables afectan la definición de la excentricidad accidental, pero sólo de forma cualitativa. Es necesario llevar a cabo un estudio más a fondo para poder cuantificar y parametrizar las variaciones detectadas, para poder dar recomendaciones de diseño bien fundamentadas. De igual manera es necesario estudiar edificios de más altura, y con plantas irregulares, incluyendo muros, para obtener más información. Es deseable incluir más información acerca de las cargas vivas, ya que en este estudio el número de distribuciones de carga viva en planta fue reducido. Es necesario también evaluar si es mejor agregar todo el trabajo de cálculo necesario para definir la excentricidad accidental en función de losas, cargas vivas, y altura de entrepiso, o simplemente tomar un valor como se ha hecho hasta ahora, tal vez un poco menos conservador. REFERENCIAS De-la-Colina, J., and Almeida C. (2004), “Probabilistic study on accidental torsion of low-rise buildings”, Earthquake Spectra, Earthquake Engineering Research Institute, Vol. 20, No. 1, February 2004. pp. 2541. De la Llera, J.C., and Chopra, A.K. (1994). “Accidental and natural torsion in earthquake response and design of buildings”, Earthquake Engineering Research Center. Report No. UCB/EERC-94/07, College of Engineering, University of California at Berkeley, June 1994. pp.27-50. Fishman, George S. (1996). “Monte Carlo, concepts, algorithms and applications”, Ed. Springer. United States, pp. 19-27. Gobierno del Distrito Federal. (2004). “Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal”, México, D.F. pp. 2-20. Heredia Zavoni E. et al., (2001). “Torsión accidental en sistemas simétricos por medio de la incertidumbre en la rigidez”, Memorias del XII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica. Guadalajara, Jalisco, México. 2001. International Conference of Building Officials (ICBO). (1997). “Uniform Building Code”, Whittier, CA. Law A.M., Kelton W.D., (2000). “Simulation modeling and analysis”, Ed. Mc. Graw-Hill. (745 pp.). Melchers, R.E., (1987). “Structural Reliability: Analysis and Prediction”, Ellis Horwood, Chichester, W. Sussex, England, 1987. National Research Council of Canada (NRCC). (1985). “National Building Code of Canada”, Ottawa, Ontario. Ramsay, R., Mirza, S.A., and MacGregor, J. (1979). “Monte Carlo study of short time deflections of reinforced concrete beams”, ACI J. 76, pp. 897-918. Ruiz, S. et al. (2001a). “Cargas vivas máximas de diseño para salones de clase”, Publicación 621, Serie azul, Instituto de Ingeniería, UNAM. Ruiz, S. et al. (2001b). “Cargas vivas máximas de diseño para edificios de oficinas en la Ciudad de México”, Publicación 623, Serie azul, Instituto de Ingeniería, UNAM.

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