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EXPLICACION PASO A PASO DEL METODO MATRICIAL DE CALCULO DE ESTRUCTURAS MATERIA: CALCULO DE ESTRUCTURAS Aplicación Asociada: FSFODB_V101 FSFODB = Flat Steel Frames – Open Data Base V101 = Versión de la Aplicación V.1.0.1 Alpha Este documento PDF trata de explicar de una manera sencilla el método de cálculo matricial de estructuras desde un punto de vista práctico, sin perder el marco pedagógico y docente. El archivo PDF que soporta esta explicación no pretende ser un libro de texto completo sobre la materia, sino un apoyo que junto al audiovisual asociado, la aplicación asociada, y el artículo y sitio web asociados, pretende acercar a estudiantes de arquitectura e ingeniería el método matricial de cálculo de estructuras. La comprensión de este método es esencial para entender el cálculo de conjuntos estructurales, y es también el paso previo para el análisis estructural por el método de los incrementos finitos. Eidos Series(n) Engineering espera que los usuarios del sitio web y los miembros de su comunidad aprecien el esfuerzo de divulgación expresado a través de este documento PDF. DESCRIPCION DEL METODO MATRICIAL DE CALCULO DE ESTRUCTURAS Restricciones: El método de cálculo matricial de estructuras explicado en el presente documento no es exhaustivo, aunque si lo es en el proceso y a nivel de concepto, y no en el tipo de estructuras que puede calcular. Estas restricciones se exponen a continuación: A) B) C) D)
El método solo es válido para estructuras o conjuntos estructurales rígidos o de nudos rígidos. Todos los apoyos de la estructura en este método son considerados empotrados. Las cargas en las barras son del tipo uniformemente repartido y para toda la longitud de la barra. Las barras serán siempre del tipo EMPOTRADO-EMPOTRADO.
Pasamos ahora a describir cada una de estas restricciones de manera que el usuario puede entender los límites del método explicado en este documento. Restricción A: El enunciado significa que todos los nudos de las estructuras definidas para este método serán del tipo RIGIDO, es decir, en ningún caso explica cómo habría que operar de manera algorítmica o matemática para resolver este problema si los nudos fuesen del tipo ARTICULADO. En las estructuras metálicas pueden aparecer nudos ARTICULADOS por la propia configuración de la estructura, mientras que en el caso del hormigón, todos los nudos (o al menos la mayoría) serían del tipo RIGIDO. Restricción B: Las estructuras pueden sustentarse de diferentes maneras: apoyos, apoyos articulados, apoyos de resorte, apoyos móviles y apoyos empotrados. Aunque en el método matricial de cálculo de estructuras tienen cabida todos estos tipos de apoyos, la aplicación asociada (por motivos de no hacerla muy extensa) solo tiene capacidad para resolver sistemas de ecuaciones donde los desplazamientos y rotaciones sean iguales a “0”. Por tanto, esta explicación del método solo es válida para estructuras sustentadas mediante APOYOS EMPOTRADOS. Restricción C: Una barra estructural puede estar cargada de diferentes maneras: carga uniformemente repartida en toda su longitud, carga uniformemente repartida en una longitud definida, cargas triangulares, cargas puntuales, momentos (par), etc… Con motivo de abreviar el método de cálculo y la aplicación asociada a esta lección estructural, solo se tratarán las barras solicitadas a cargas uniformemente repartidas en toda su longitud.
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Restricción D: En el análisis estructural, las barras pueden estar sustentadas en sus extremos de la siguiente manera: - ARTICULADA – ARTICULADA ------- Caso A - ARTICULADA – EMPOTRADA ------- Caso B - EMPOTRADA – EMPOTRADA ------- Caso C - EMPOTRADA – ARTICULADA ------- Caso D Este artículo o lección sobre el método de cálculo matricial de estructuras solo alcanza a las barras cuya sustentación sea del tipo EMPOTRADO-EMPOTRADO. Aunque la aplicación asociada a este documento PDF también calcula vuelos (cantilever), Eidos Series(n) ha detectado que los valores calculados para las deformaciones de la barra volada son algo menores que los esperados, algo debido a la programación del motor de cálculo, por lo que no procederemos a la explicación de estos casos. Eidos Series(n) Engineering espera evolucionar la aplicación y los documentos asociados de manera que todos los casos posibles de análisis estructural entren dentro de sus futuras lecciones sobre el cálculo matricial de estructuras. Una vez el lector ha leído y comprendido estas limitaciones a la lección, podrá elegir si continuar la lectura de este artículo divulgativo o abandonar. Si ha elegido seguir… BIENVENIDO A EIDOS SERIES(n) ENGINEERING Revista Experimental de Software sobre Arquitectura e Ingeniería Enseñanza y Aprendizaje LECCION 01: Definición geométrica de los Nudos. Antes de comenzar a trabajar sobre el análisis de la estructura, el primer paso que debemos tener en cuenta es la definición de la estructura desde un punto de vista geométrico, aspecto fundamental para después pasar al análisis matemático. La definición de los nudos de la estructura es algo muy sencillo. Los apartados que debemos considerar desde el punto de vista geométrico son solo dos: - Coordenada X: Coordenada (x) del NODO (NUDO) de la estructura en un plano cartesiano. (NO IMPORTA EL ORIGEN DE COORDENADAS) - Coordenada Y: Coordenada (y) del NODO (NUDO) de la estructura en un plano cartesiano. (NO IMPORTA EL ORIGEN DE COORDENADAS) En la herramienta asociada a este artículo hemos definido un ejemplo que nos servirá de guía a través de la explicación. La ilustración de la derecha muestra la posición geométrica de los nudos de nuestra estructura ejemplo. Se ha diseñado esta estructura especialmente para el ejemplo en curso debido a que su futura geometría no mostrará barras de ángulos semejantes. Para la definición geométrica de los NODOS de la estructura, es muy importante su posicionamiento dentro del plano cartesiano.
En la estructura base definida en la ilustración puede apreciarse que la caracterización de los nudos viene expresada de la siguiente manera: N(x,y), donde… N = Nombre del Nodo. (x,y) = Coordenadas cartesianas del Nodo en cm.
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Es muy importante comprender algunos conceptos: -
-
El nombre de los Nodos o Nudos no tiene ninguna importancia. Pueden utilizarse letras, caracteres griegos, y números de manera indistinta. Si son números, no tienen por que ser correlativos ni llevar un orden específico. Si son letras, el número de elementos quedará limitado al alfabeto utilizado, a menos que desarrollemos un algoritmo que pronostique identificaciones unívocas para cada nodo o nudo. Para la definición de los Nodos o Nudos, recomendamos utilizar letras en caso de pequeñas estructuras y explicaciones sobre una pizarra o encerado, y números si pretendemos desarrollar hojas de cálculo o una aplicación software. El orden de los nudos carece de importancia. La posición del origen de coordenada del plano cartesiano donde se representan los nudos no es importante; los nudos deben estar referenciados a este sistema de coordenadas, esté donde esté el origen.
Pese a todo lo mencionado anteriormente, RECOMENDAMOS lo siguiente: -
Es conveniente utilizar números para la definición del nombre de los nudos. Es conveniente que los números sean sucesivos, aunque no tiene importancia que no estén próximos. Por ejemplo: el nudo 1 puede conducir al 4 y al 7 (en una estructura de más nodos) o el 1 puede estar totalmente a la derecha y el 2 totalmente a la izquierda. Esto no tiene importancia. - Es importante que el número mayor (de mayor valor numérico) de la estructura, coincida con el número total de nudos de la estructura. Nmax = Número total de nudos de la estructura La estructura del ejemplo tiene un total de 4 nudos, y el nudo de mayor valor numérico es el 4.
Como puede deducirse de lo anteriormente descrito en ambos apartados, las recomendaciones solo tienen carácter de IMPRESCINDIBLES en el caso de que se defina como objetivo el desarrollo de una hoja de cálculo o de una aplicación informática o software. Las coordenadas y nombres de los nudos del ejemplo en curso quedarían expresados de la siguiente manera: - Nudo_01 = 01(200,0) formato N(x,y), en cm - Nudo_02 = 02(400,400) formato N(x,y), en cm - Nudo_03 = 03(800,500) formato N(x,y), en cm - Nudo_04 = 03(1000,0) formato N(x,y), en cm Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Definición geométrica de los Nudos) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 02: Definición de las variables de Nudos. Una vez han sido definidos los nudos de una manera geométrica, deberemos asignar variables a sus futuros comportamientos en función de: -
Giro. Desplazamiento.
Nota: Hay que tener en cuenta que la aplicación asociada a esta explicación (FSFODB_V101) está definida solamente para el cálculo plano de estructuras (2D), y no para el tratamiento y análisis estructural tridimensional (3D), por lo que solo se explicará el método matricial de cálculo de estructuras para el modelo de espacio euclídeo 2D. La explicación no pretende sumergirse demasiado en el por qué físico del comportamiento de los nudos sometidos a solicitaciones de barra y cargas, por lo que solo definiremos cómo deben ser las variables de desplazamiento y giro de los nudos. Para mayor profundidad, existe abundante bibliografía al respecto.
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Las variables de nudo (para el ejemplo en curso) quedarían expresadas de la siguiente manera: Nudo 01: - Ax_01 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable - Ay_01 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable - Oz_01 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable Nudo 02: - Ax_02 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 02) = Variable - Ay_02 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 02) = Variable - Oz_02 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 02) = Variable Nudo 03: - Ax_03 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 03) = Variable - Ay_03 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 03) = Variable - Oz_03 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 03) = Variable Nudo 04: - Ax_04 Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable - Ay_04 Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable - Oz_04 Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable Nota: Cuando se emplea el término “Variable”, hace referencia a “Incógnita”. La equivalencia quedaría pues de la siguiente manera: Variable = Incógnita Esto significa que deberemos averiguar el valor de estas variables o incógnitas utilizando el método matricial de cálculo de estructuras. Nota: Para la expresión numérica de magnitud de los desplazamientos en coordenadas generales de los nudos, se recomienda emplear la unidad de milímetros (mm). Milímetros: Milésima parte de 1 metro. 1 metro = 1000 milímetros; 1 m = 1000 mm. Nota: Para la expresión numérica de magnitud de los giros en los nudos en coordenadas generales, se recomienda emplear la unidad Radianes (Rad o rad). Radianes (radian): Arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio. Aunque por ahora no se ha profundizado en el protagonismo de los nudos, en apartados posteriores el usuario podrá comprender mejor el por qué de la definición de variables de nudo dentro del método de cálculo matricial de estructuras. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Definición de las variables de Nudos) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 03: Definición geométrica de las Barras. La definición geométrica de las barras que componen el conjunto estructural es igual de importante que la definición geométrica de los nudos. Al contrario de lo habitual para un ejercicio matemático, las barras no se definen de manera geométrica mediante la ecuación de la recta que la contiene, sino por las coordenadas origen y final de los nudos a los que acomete. Esto significa que los dos puntos más importantes de una recta serán su inicio y su final. Una vez aclarado este concepto, la definición de una barra dentro de un conjunto quedaría de la siguiente manera;
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Definición de la Barra = B [N(Origen),N(Final)] Siendo: B -> Nombre de la Barra. N -> Nombre del Nudo. Origen -> Coordenadas (x,y) del Nudo Origen. Final - > Coordenadas (x,y) del Nudo Final. Hay que realizar alguna aclaración: A) El nombre de la barra puede ser cualquiera: nombres propios, letras, numeros, etc… No tiene importancia. B) El nombre asignado a la barra debe ser unívoco = único. No obstante, se recomiendan el siguiente algoritmo para nominar las barras: - Nombre único automatizado. - Composición del nombre según el siguiente esquema: A) Nmin – Nmax Siendo: - Nmin -> Número del nudo origen (menor valor numérico). - Nmax -> Número del nudo final (mayor valor numérico). Ejemplo según el caso en curso. - Barra 1 – 2: Barra del Nudo 1 al 2. - Barra 2 – 3: Barra del Nudo 2 al 3. - Barra 3 – 4: Barra del Nudo 3 al 4. Al ser los nombres de los nudos “unívocos”, el algoritmo de nominación anterior puede quedar reducido de la siguiente manera: - B12 - B23 - B34 Como puede observarse en la figura de la derecha, las barras ya poseen un nombre único acorde con el algoritmo especificado. Este método produce nombres únicos de manera automática, sea cual sea la geometría de la estructura.
La forma expresada de algoritmo para la nominación de las Barras hace imposible la aparición de dos o más barras con el mismo nombre. La forma de leer el nombre no será B12 (B uno dos) sino B12 (B doce). Si lo que se pretende es la realización de un modelo de Excel o una aplicación informática, es conveniente, dentro de la base de datos asociada a la aplicación, expresar el nudo origen(Nmin) y el nudo final(Nmax) de la barra en diferentes columnas, de manera que podamos construir fácilmente el nombre de la barra por la “unión” o “concatenación” de los nombres de los nudos que une: Id 01 02 03
Nmin 1 2 3
Nmax 2 3 4
Nombre Barra 12 23 34
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Hasta el momento solo hemos definido una parte de la geometría de la barra que se describe por las coordenadas y nombres de los nudos extremos que la componen. Esencial es también describir el ángulo que forma la barra con los ejes “x” e “y”. Para averiguar este ángulo, utilizaremos el algoritmo matemático que se describe a continuación: SenoAlfaGrafico -> var Seno_AlfaGrafico: Number xMinimo,2)+Math.pow(yMaximo-yMinimo,2));
=
(yMaximo-yMinimo)/Math.sqrt(Math.pow(xMaximo-
Donde: - Number: Declaración del tipo de variable numérica. - yMáximo: Coordenada y(cm) del nudo de valor máximo que compone la barra. - yMínimo: Coordenada y(cm) del nudo de valor mínimo que compone la barra. - Math.sqrt(Número): Función que determina la raíz cuadrada del número encerrado entre paréntesis. En este caso, determina la raíz cuadrada de: Math.pow(xMaximo-xMinimo,2)+Math.pow(yMaximo-yMinimo,2) -
Math.pow(Número,Potencia): Función que determina la elevación de un número a la potencia indicada. Math.pow(xMaximo-xMinimo,2) Math.pow(yMaximo-yMinimo,2)
-> Eleva el primer término al cuadrado. -> Eleva el primer término al cuadrado.
CosenoAlfaGrafico -> var Coseno_AlfaGrafico: Number xMinimo,2)+Math.pow(yMaximo-yMinimo,2));
=
(xMaximo-xMinimo)/Math.sqrt(Math.pow(xMaximo-
Donde: - Number: Declaración del tipo de variable numérica. - xMáximo: Coordenada x(cm) del nudo de valor máximo que compone la barra. - xMínimo: Coordenada x(cm) del nudo de valor mínimo que compone la barra. - Math.sqrt(Número): Función que determina la raíz cuadrada del número encerrado entre paréntesis. En este caso, determina la raíz cuadrada de: Math.pow(xMaximo-xMinimo,2)+Math.pow(yMaximo-yMinimo,2) -
Math.pow(Número,Potencia): Función que determina la elevación de un número a la potencia indicada. Math.pow(xMaximo-xMinimo,2) Math.pow(yMaximo-yMinimo,2
Hasta ahora hemos calculado unos parámetros angulares, pero no podemos saber concretamente el ángulo que forma la barra con el eje (xy) por las siguientes razones: -
El valor del seno de un ángulo en el primer y segundo cuadrantes son idénticos. El valor del seno de un ángulo en el tercer y cuarto cuadrantes son idénticos. El valor del coseno de un ángulo en el primer y cuarto cuadrantes son idénticos. El valor del coseno de un ángulo en el segundo y tercer cuadrantes son idénticos.
Conocida esta problemática a la hora de determinar de manera unívoca el ángulo que forma la barra con los ejes (xy), se ofrece el siguiente algoritmo:
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var RadianesGrados: Number = 180/(Math.PI); var AnguloBarra_XOY: Number; INTERPRETACION: RadianesGrados -> Es una declaración de variable (en este caso constante) cuyo valor es:
180/PI = 180/(3.141592) Math.PI -> Devuelve el valor del número PI. AnguloBarra_XOY -> Es el ángulo que tratamos de definir expresado en grados sexagesimales. Inciso: Descripción de cómo pasar de grados a radianes y de radianes a grados. Radianes -> Grados radians = degrees * Math.PI/180 Grados -> Radianes degrees = radians * 180/Math.PI INTERPRETACION (Continuación): == -> Igual a.. != -> Distinto a.. && -> Y.. A) if (Seno_AlfaGrafico == 0 && Coseno_AlfaGrafico == 1) {AnguloBarra_XOY = 0 * RadianesGrados} Lectura: Si el seno de alfa gráfico es igual a “0” y el coseno de alfa gráfico es igual a “1”, entonces el valor del ángulo con los ejes (xy) será lo que hay entre corchetes {…}. B) if (Seno_AlfaGrafico == 0 && Coseno_AlfaGrafico == -1) {AnguloBarra_XOY = Math.PI * RadianesGrados} Lectura: Si el seno de alfa gráfico es igual a “0” y el coseno de alfa gráfico es igual a “-1”, entonces el valor del ángulo con los ejes (xy) será lo que hay entre corchetes {…}. C) if (Coseno_AlfaGrafico == 0 && Seno_AlfaGrafico == 1) {AnguloBarra_XOY = Math.PI/2 * RadianesGrados} Lectura: Si el coseno de alfa gráfico es igual a “0” y el seno de alfa gráfico es igual a “1”, entonces el valor del ángulo con los ejes (xy) será lo que hay entre corchetes {…}.
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D) if (Coseno_AlfaGrafico == 0 && Seno_AlfaGrafico == -1) {AnguloBarra_XOY = 3 * (Math.PI/2) * RadianesGrados} Lectura: Si el coseno de alfa gráfico es igual a “0” y el seno de alfa gráfico es igual a “-1”, entonces el valor del ángulo con los ejes (xy) será lo que hay entre corchetes {…}. E) Este es el caso cuando el coseno de alfa gráfico y el seno de alfa gráfico son ambos distintos de “0”. La lectura del algoritmo, una vez efectuados los ejemplos anteriores, es sencilla: if (Coseno_AlfaGrafico !== 0 && Seno_AlfaGrafico !== 0) { if (Coseno_AlfaGrafico > 0 && Seno_AlfaGrafico > 0 ) {AnguloBarra_XOY = (0) + Math.abs(Math.atan(Seno_Alfa/Coseno_Alfa) * RadianesGrados);} if (Coseno_AlfaGrafico < 0 && Seno_AlfaGrafico > 0 ) {AnguloBarra_XOY = ((Math.PI) * RadianesGrados) Math.abs(Math.atan(Seno_Alfa/Coseno_Alfa) * RadianesGrados);} if (Coseno_AlfaGrafico < 0 && Seno_AlfaGrafico < 0 ) {AnguloBarra_XOY = (Math.PI * RadianesGrados) + Math.abs(Math.atan(Seno_Alfa/Coseno_Alfa) * RadianesGrados);} if (Coseno_AlfaGrafico > 0 && Seno_AlfaGrafico < 0 ) {AnguloBarra_XOY = ((2) * Math.PI * RadianesGrados) Math.abs(Math.atan(Seno_Alfa/Coseno_Alfa) * RadianesGrados);} } Una vez hemos determinado de manera unívoca el ángulo de la barra respecto al sistema de coordenadas (xy) (en este caso solo se determina el ángulo con el eje “x”, puesto que una vez determinado este podremos saber fácilmente cual es el que forma con el eje “y”), el paso siguiente es mostrar el concepto de ANGULO TEORICO DE LA BARRA, definición (método) que siempre permanecerá constante para todas las barras. (Este ángulo se mide en Grados Sexagesimales) Angulo Teórico Barra (Radianes) -> var AnguloTeoricoBarra: Number = Math.atan((yMaximo-yMinimo)/(xMaximo-xMinimo)); Math.atan - > Devuelve el arco cuya tangente es el valor encerrado entre paréntesis. Como puede apreciarse y según las anteriores explicaciones, todos los términos de la declaración superior son conocidos.
La ilustración superior muestra los valores angulares que necesitamos para definir de manera unívoca la geometría de las barras que componen la estructura. Utilizando de manera conjunta esta explicación, el video-tutorial y la aplicación FSFOBD_V101, el usuario podrá comprender de manera precisa el proceso del cálculo matricial de estructuras en lo referente a la definición geométrica de las barras. Recuerde descargarse esta aplicación desde el sitio web de Eidos Series(n) Engineering y ejecutar un ejemplo para ver desde dentro y completamente al detalle el proceso del método de cálculo matricial de estructuras.
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Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (BARRAS) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 04: Definición de las Condiciones de Contorno. Para el caso del método de cálculo matricial de estructuras, las condiciones de contorno serán todas aquellas que crean algún tipo de restricción en la estructura. Estas restricciones pueden ser de muy diversos tipos, pero para el caso que nos ocupa, consideraremos las restricciones debidas a una hipotética cimentación de la estructura. Partimos de la estructura del ejemplo paralelo a esta explicación del método: Como puede apreciarse en la imagen de la derecha, se han introducido dos condiciones de sustentación (contorno) del tipo cimentación. Aunque la explicación solo comprende el caso de empotramientos, veremos que sucedería con las variables de nudos en otros casos:
Solo expondremos las condiciones de contorno para los nudos 1 y 4 (actuales en cimentación). Caso Apoyo Articulado: Nudo 01: - Ax_01 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 01) = 0. - Ay_01 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 01) = 0. - Oz_01 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable Nudo 04: - Ax_04 Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 04 = 0. - Ay_04 Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 04 = 0. - Oz_04 Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable Caso Apoyo Móvil a lo largo del Eje X: Nudo 01: - Ax_01 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable - Ay_01 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 01) = 0. - Oz_01 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable Nudo 04: - Ax_04 Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable - Ay_04 Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 04 = 0. - Oz_04 Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable
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Caso Apoyo Móvil a lo largo del Eje Y: Nudo 01: - Ax_01 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 01) = 0. - Ay_01 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable - Oz_01 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable Nudo 04: - Ax_04 Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 04 = 0. - Ay_04 Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable - Oz_04 Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable Caso Nudo Libre (Vuelos-Cantilever): Nudo 01: - Ax_01 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable - Ay_01 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable - Oz_01 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 01) = Variable Nudo 04: - Ax_04 Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable - Ay_04 Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable - Oz_04 Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 04 = Variable
Caso Empotrado (Caso que ocupa esta explicación y la aplicación asociada): Nudo 01: - Ax_01 (Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 01) = 0. - Ay_01 (Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 01) = 0. - Oz_01 (Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 01) = 0. Nudo 04: - Ax_04 Desplazamiento x en Coordenadas Generales del punto 04 = 0. - Ay_04 Desplazamiento y en Coordenadas Generales del punto 04 = 0. - Oz_04 Giro en radianes alrededor del eje z en Coordenadas Generales del punto 04 = 0. Como puede observarse, para el caso que nos ocupa, las variables de desplazamientos en los diferentes ejes y para el giro, se encuentran determinadas por el empotramiento, y su valor para cada una de las variables es “0”. Una vez determinadas estas variables (establecimiento de las condiciones de contorno), el objetivo del método matricial de cálculo de estructuras es encontrar el valor de las demás variables para cada uno de los nudos, y una vez efectuado este proceso, encontrar las relaciones entre las barras y los nudos. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Definición de las Condiciones de Contorno) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos.
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LECCION 05: Definición de las Características Físicas de las Barras. Hasta ahora, el tratamiento de las barras que componen el conjunto estructural se ha realizado desde un punto de vista geométrico y teórico. Ahora es el momento de determinar las propiedades físicas de las barras. El método matricial de cálculo de estructuras no diferencia entre diferentes materiales, es decir, es igualmente válido para acero, hormigón, madera, aluminio o cualquier otro material. Nota: Las explicaciones contenidas en este documento PDF están orientadas al cálculo de estructuras de acero. Las características necesarias a determinar para cada una de las barras teóricas de la estructura son las siguientes: -
Módulo de la Elasticidad Longitudinal: También conocido como Módulo de Young(E). Para el caso del acero, su valor es de: 2.100.000.000 21.000.000.000 21.000.000
-
Unidades Básicas Unidades Básicas Unidades Básicas
Área de la Sección: 2
Se puede expresar en cualquier unidad, pero recomendamos (m ). -
Momento de Inercia de la Barra en ambos ejes: Ix – Iy (Iz será el eje definido y los valores de Ix e Iy dependerán de la posición de la sección) el valor que sea el valor que sea el valor que sea
Unidades Básicas Unidades Básicas Unidades Básicas 4
Se puede expresar en cualquier unidad, pero recomendamos (m ). -
Módulo Resistente de la Sección en ambos ejes: el valor que sea el valor que sea el valor que sea
Unidades Básicas Unidades Básicas Unidades Básicas 3
Se puede expresar en cualquier unidad, pero recomendamos (m ). -
Radio de Giro de la Sección en ambos ejes: el valor que sea el valor que sea el valor que sea
Unidades Básicas Unidades Básicas Unidades Básicas
Se puede expresar en cualquier unidad, pero recomendamos (m). -
Longitud de la Barra: Este es un parámetro fácilmente deducible teniendo en cuenta que ya conocemos los valores de los nudos que delimitan la barra:
var LongitudBarra_cm: Number = Math.sqrt(Math.pow(xMaximoxMinimo,2)+Math.pow(yMaximo-yMinimo,2)); var LongitudBarra_m: Number = LongitudBarra_cm/100; 11 de 45
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Para introducir las propiedades físicas de las barras, la aplicación asociada a este documento desarrolla un modesto editor de propiedades fácilmente entendible para el usuario.
La ilustración superior muestra todas las características de una sección de acero laminado. Aunque solo las mencionadas anteriormente son ESTRICTAMENTE NECESARIAS para aplicar el método matricial de cálculo de estructuras, se ha creído conveniente insertar esta imagen para ilustrar al usuario sobre las propiedades físicas que puede contener una barra teórica estructural. Características Físicas de Cada Barra (Serie Laminado Ejemplo): - Barra 12: IPE-200 - Barra 23: IPE-300 - Barra 34: IPE-400 Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (CARACTERISTICAS FISICAS BARRAS) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 06: Parámetros de Cálculo en Barras. Hasta el momento se ha procedido según el siguiente esquema: -
NUDOS: - Definición Geométrica. - Condiciones de Contorno.
-
BARRAS: - Definición Geométrica. - Definición Física.
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Ahora tenemos todos los componentes para comenzar el análisis del conjunto por el método matricial de cálculo de estructura. Para realizar esto, es fundamental el cálculo de una serie de parámetros (tan solo 4) que son intrínsecos y absolutamente necesarios para la realización del método. El cálculo de estos parámetros se mantiene siempre constantes y se define de la siguiente manera: (Epsilon) -> ε = (E * A) / (L) Siendo: 2
E -> Módulo de la Elasticidad o Young (kN/m ) 2 A -> Area de la Sección (m ) L -> Longitud de la Barra (m) 3
(Rho) -> ρ = (12 * E * I) / (L ) Siendo: 2
E -> Módulo de la Elasticidad o Young (kN/m ) 4 I -> Momento de Inercia de la Sección (m ) L -> Longitud de la Barra (m) 2
(Ka) - > k = (6* E * I) / (L ) Siendo: 2
E -> Módulo de la Elasticidad o Young (kN/m ) 4 I -> Momento de Inercia de la Sección (m ) L -> Longitud de la Barra (m) (Nu) -> µ = (2 * E * I) / (L) Siendo: 2
E -> Módulo de la Elasticidad o Young (kN/m ) 4 I -> Momento de Inercia de la Sección (m ) L -> Longitud de la Barra (m) Como puede apreciarse según el orden cronológico de la explicación, todos los valores expuestos en este apartado son perfectamente calculables, ya que cada uno de sus componentes o variables son conocidos. Como puede apreciarse en su formulación, estos parámetros del método de cálculo matricial de estructuras son muy sencillos de calcular.
La ilustración superior muestra los valores de los parámetros calculados para el ejemplo de cálculo de este documento PDF. Dichos valores pueden observarse en la aplicación asociada (FSFODB_V101), de descarga gratuita desde nuestro sitio web.
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Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (PARAMETROS DE CALCULO EN BARRAS) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 07: Coeficientes de la Matriz de Rigidez de la Barra. Para una barra de sección constante y para el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas locales de la barra, es imprescindible el conocimiento de los coeficientes Cn (Cn) de cálculo, que se corresponden con los diferentes modelos de enlace de la barra estudiada: Para el conocimiento de estos coeficientes, es conveniente repasar algunas de sus reglas: -
Los coeficientes “Cn” son 10 en total. Su número total permanece siempre constante en modelos estructurales 2D. La posición de los coeficientes permanece constante dentro de la estructura de la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales.
Según el tipo de sustentación de los extremos de la barra, los coeficientes de la matriz tendrán los siguientes valores numéricos: Tipo de Sustentación Empotrado Empotrado Coeficiente Valor C01 1 C02 1 C03 1 C04 1 C05 1 C06 1 C07 1 C08 1 C09 1 C10 1
Tipo de Sustentación Articulado Empotrado Coeficiente Valor C01 ¼ C02 0 C03 ¼ C04 ½ C05 0 C06 0 C07 0 C08 ¼ C09 ½ C10 ¾
Tipo de Sustentación Empotrado Articulado Coeficiente Valor C01 ¼ C02 ½ C03 ¼ C04 0 C05 ¾ C06 ½ C07 0 C08 ¼ C09 0 C10 0
Tipo de Sustentación Articulado Articulado Coeficiente Valor C01 0 C02 0 C03 0 C04 0 C05 0 C06 0 C07 0 C08 0 C09 0 C10 0
Como se puede interpretar observando la tabla superior, se cumplen todas las reglas mencionadas anteriormente. Ahora hay que determinar la posición de estos coeficientes dentro de la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales. Conclusiones: A) Si la barra es del tipo empotrado-empotrado, utilizaremos los valores de los coeficientes “Cn” para este tipo de sustentación. B) Si la barra es del tipo articulado-empotrado, utilizaremos los valores de los coeficientes “Cn” para este tipo de sustentación. C) Si la barra es del tipo empotrado-articulado, utilizaremos los valores de los coeficientes “Cn” para este tipo de sustentación. D) Si la barra es del tipo articulado-articulado, utilizaremos los valores de los coeficientes “Cn” para este tipo de sustentación. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (COEFICIENTES MATRIZ DE RIGIDEZ) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna de cómo deben ser tratados. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. 14 de 45
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LECCION 08: Situación de los Coeficientes en la Matriz de Rigidez de la Barra. Aunque aún no hemos hablado de la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales, su presencia empieza a ser claramente definible. Una vez hemos comprendido los tipos de parámetros de cálculo de una barra y los coeficientes según el tipo de sustentación, es conveniente situarlos dentro del cuerpo central de la matriz de rigidez de la barra. Su situación sigue el siguiente esquema (modelo programable): a_m1 ε 0 0 ε 0 0
(+1) (-1) (+1) (-1)
a_m2 0 C01 C02 0 C03 C04
ρ k
(-1) (+2)
ρ k
(-1) (+1)
a_m3 0 C02 C05 0 C06 C07
k µ k µ
a_m4 ε 0 0 ε 0 0
(+1) (-1) (+1) (-1)
a_m5 0 C03 C06 0 C08 C09
ρ k
(-1) (+1)
ρ k
(-1) (+2)
a_m6 0 C04 C07 0 C09 C10
k µ k µ
Como puede observarse, cada parte de la matriz de 6 filas y 6 columnas, se encuentra sombreadas en diferentes colores. Esto es debido a que la matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales se encuentra compuesta por otras submatrices. Estas submatrices se definen de la siguiente manera: Matriz Kaa: ε 0 0
(+1) (-1)
0 C01 C02
ρ k
(-1) (+2)
0 C02 C05
k µ
(+1) (-1)
0 C03 C06
ρ k
(-1) (+1)
0 C04 C07
k µ
(+1) (-1)
0 C03 C04
ρ k
(-1) (+1)
0 C06 C07
k µ
(+1) (-1)
0 C08 C09
ρ k
(-1) (+2)
0 C09 C10
k µ
Matriz Kab: ε 0 0 Matriz Kba: ε 0 0 Matriz Kbb: ε 0 0
La forma en la que se calculan los valores de cada posición a_mn (m = Fila, n = Columna), sería de la siguiente manera:
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A_11 = ε A_12 = 0 A_13 = 0 A_14 = ε A_15 = 0 A_16 = 0
-> Nueva Nomenclatura Kaa_11 -> Nueva Nomenclatura Kaa_12 -> Nueva Nomenclatura Kaa_13 -> Nueva Nomenclatura Kab_11 -> Nueva Nomenclatura Kab_12 -> Nueva Nomenclatura Kab_13
A_21 = 0 A_22 = (+1)*C01*ρ A_23 = (-1)*C02*k A_24 = 0 A_25 = (+1)*C03*ρ A_26 = (-1)*C04*k
-> Nueva Nomenclatura Kaa_21 -> Nueva Nomenclatura Kaa_22 -> Nueva Nomenclatura Kaa_23 -> Nueva Nomenclatura Kab_21 -> Nueva Nomenclatura Kab_22 -> Nueva Nomenclatura Kab_23
A_31 = 0 A_32 = (-1)*C02*k A_33 = (+2)*C05*µ A_34 = 0 A_35 = (-1)*C06*k A_36 = (+1)*C07*µ
-> Nueva Nomenclatura Kaa_31 -> Nueva Nomenclatura Kaa_32 -> Nueva Nomenclatura Kaa_33 -> Nueva Nomenclatura Kab_31 -> Nueva Nomenclatura Kab_32 -> Nueva Nomenclatura Kab_33
A_41 = ε A_42 = 0 A_43 = 0 A_44 = ε A_45 = 0 A_46 = 0
-> Nueva Nomenclatura Kba_11 -> Nueva Nomenclatura Kba_12 -> Nueva Nomenclatura Kba_13 -> Nueva Nomenclatura Kbb_11 -> Nueva Nomenclatura Kbb_12 -> Nueva Nomenclatura Kbb_13
A_51 = 0 A_52 = (+1)*C03*ρ A_53 = (-1)*C06*k A_54 = 0 A_55 = (+1)*C08*ρ A_56 = (-1)*C09*k
-> Nueva Nomenclatura Kba_21 -> Nueva Nomenclatura Kba_22 -> Nueva Nomenclatura Kba_23 -> Nueva Nomenclatura Kbb_21 -> Nueva Nomenclatura Kbb_22 -> Nueva Nomenclatura Kbb_23
A_61 = 0 A_62 = (-1)*C04*k A_63 = (+1)*C07*µ A_64 = 0 A_65 = (-1)*C09*k A_66 = (+2)*C10*µ
-> Nueva Nomenclatura Kba_31 -> Nueva Nomenclatura Kba_32 -> Nueva Nomenclatura Kba_33 -> Nueva Nomenclatura Kbb_31 -> Nueva Nomenclatura Kbb_32 -> Nueva Nomenclatura Kbb_33
La evolución de la matriz de rigidez de la barra quedaría de la siguiente manera: PASO A): a_m1 ε 0 0 ε 0 0
(+1) (-1) (+1) (-1)
a_m2 0 C01 C02 0 C03 C04
ρ k
(-1) (+2)
ρ k
(-1) (+1)
a_m3 0 C02 C05 0 C06 C07
k µ k µ
a_m4 ε 0 0 ε 0 0
(+1) (-1) (+1) (-1)
a_m5 0 C03 C06 0 C08 C09
ρ k
(-1) (+1)
ρ k
(-1) (+2)
a_m6 0 C04 C07 0 C09 C10
k µ k µ
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PASO B): ε 0 0 ε 0 0
0 (+1)*C01*ρ (-1)*C02*k 0 (+1)*C03*ρ (-1)*C04*k
0 (-1)*C02*k (+2)*C05*µ 0 (-1)*C06*k (+1)*C07*µ
ε 0 0 ε 0 0
0 (+1)*C03*ρ (-1)*C06*k 0 (+1)*C08*ρ (-1)*C09*k
0 (-1)*C04*k (+1)*C07*µ 0 (-1)*C09*k (+2)*C10*µ
Kaa_12 Kaa_22 Kaa_32 Kba_12 Kba_22 Kba_32
Kaa_13 Kaa_23 Kaa_33 Kba_13 Kba_23 Kba_33
Kab_11 Kab_21 Kab_31 Kbb_11 Kbb_21 Kbb_31
Kab_12 Kab_22 Kab_32 Kbb_12 Kbb_22 Kbb_32
Kab_13 Kab_23 Kab_33 Kbb_13 Kbb_23 Kbb_33
PASO C): Kaa_11 Kaa_21 Kaa_31 Kba_11 Kba_21 Kba_31 PASO D):
Kaa
Kab
Kba
Kbb
Una vez comprendida esta evolución, el siguiente paso será definir completamente todos los elementos de la matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Situación de los Coeficientes en la Matriz de Rigidez de la Barra) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, videotutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 09: Matriz de Rigidez de la Barra en Coordenadas Locales. El aspecto general de la matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales tendrá siempre (2D) la siguiente configuración: a
b
a
px a py a mz b px b py b mz
=
Kaa_11 Kaa_21 Kaa_31 Kba_11 Kba_21 Kba_31
Kaa_12 Kaa_22 Kaa_32 Kba_12 Kba_22 Kba_32
Kaa_13 Kaa_23 Kaa_33 Kba_13 Kba_23 Kba_33
Kab_11 Kab_21 Kab_31 Kbb_11 Kbb_21 Kbb_31
Kab_12 Kab_22 Kab_32 Kbb_12 Kbb_22 Kbb_32
Kab_13 Kab_23 Kab_33 Kbb_13 Kbb_23 Kbb_33
a
*
δx a δy a θz b δx b δy b θz
a
b
En esta matriz son desconocidos los valores de las incógnitas de las Reacciones en los Extremos de la a a a b b b a a a b Barra (px , py , mz , px , py , mz ) y las Deformaciones y Giro en los Extremos de la Barra (δx , δy , θz , δx , b b δy , θz ). Nota: El superíndice (a) indica que se trata de variables del nudo de valor mínimo (Nmin). Nota: El superíndice (b) indica que se trata de variables del nudo de valor máximo (Nmax). Nota: Las columnas de los extremos derecho e izquierdo solo son notaciones. Nota: Todos los valores de las matrices “K” son conocidos (ver apartados anteriores).
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La matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales quedaría de la siguiente manera: a
px a py a mz b px b py b mz
=
Kaa_11 Kaa_21 Kaa_31 Kba_11 Kba_21 Kba_31
Kaa_12 Kaa_22 Kaa_32 Kba_12 Kba_22 Kba_32
Kaa_13 Kaa_23 Kaa_33 Kba_13 Kba_23 Kba_33
Kab_11 Kab_21 Kab_31 Kbb_11 Kbb_21 Kbb_31
Kab_12 Kab_22 Kab_32 Kbb_12 Kbb_22 Kbb_32
Kab_13 Kab_23 Kab_33 Kbb_13 Kbb_23 Kbb_33
a
*
δx a δy a θz b δx b δy b θz
La matriz constituye la descripción de un sistema de ecuaciones: si sabemos las deformaciones y giros a a a b b b de los extremos de la barra (δx , δy , θz , δx , δy , θz ) podremos obtener las reacciones en los extremos de la a a a b b b barra (px , py , mz , px , py , mz )…… y viceversa. PERO AUN NO SABEMOS NADA En la aplicación asociada a este documento PDF (FSFODB_V101: Descargable desde el sitio web de Eidos Series(n)), pueden observarse las matrices “K” del ejemplo estructural que explicamos de manera paralela. Dichas matrices son una PROPIEDAD de la barra física: Matriz Kaa = [Kaab] Nomenclatura de la Aplicación.
Matriz Kab = [Kab] Nomenclatura de la Aplicación.
Matriz Kba = [Kba] Nomenclatura de la Aplicación.
Matriz Kbb = [Kbba] Nomenclatura de la Aplicación.
Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Matriz de Rigidez de la Barra en Coordenadas Locales) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos.
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LECCION 10: Definición de la Barra Local. Hasta ahora se ha explicado la barra desde un punto de vista geométrico y físico sin profundizar sobre su sistema de ejes coordenados local. La explicación de la Lección 10 resulta pues insuficiente si se desconoce este sistema de coordenadas. La solución más razonable es explicarlo de una manera gráfica mediante ilustraciones:
La ilustración superior muestra el sistema de coordenadas locales para las reacciones en los extremos de la barra.
Por razones de edición gráfica, se ha sustituido la nomenclatura en la ilustración superior. Esta nomenclatura solo es válida para el gráfico, y no para los sistemas de ecuaciones de esta explicación: a
a
b
b
Dx = δx a a Dy = δy a a Oz = θz Dx = δx b b Dy = δy b b Oz = θz El ángulo de giro de la sección de la barra en los extremos, se mide desde el origen de coordenadas, hasta la recta tangente a la curva que indica el giro. Nota: El sistema de coordenadas locales de una barra permanece inalterado para cualquier configuración de barras en el espacio 2D.
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Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Definición de la Barra Local) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 11: Sistema de Coordenadas Generales (GLOBALES).
La ilustración muestra el sistema de coordenadas globales (SGG) del punto origen de coordenadas desde el cual se han referenciado tanto los nudos como las barras. Este es y será el sistema de coordenadas globales del método de cálculo matricial. Los sistemas con referencia SCG_01, SCG_02, SCG_03, SCG_04, son copia del sistema de coordenadas global referenciado a cada nudo. ¿Por qué? Muy sencillo. El método de cálculo matricial mostrará un giro para los extremos de cada barra. Los giros o rotaciones, son indiferentes del punto de representación espacial. Por esto, cuando sean calculados los giros de cada nudo en referencia al sistema SCG, sus valores serán idénticos para cada sistema referenciado: Giro en 01 Respecto a SCG = Giro en 01 Respecto a SCG_01 Giro en 02 Respecto a SCG = Giro en 02 Respecto a SCG_02 Giro en 03 Respecto a SCG = Giro en 03 Respecto a SCG_03 Giro en 04 Respecto a SCG = Giro en 04 Respecto a SCG_04 Algo similar sucede para los desplazamientos de los nudos. El cálculo matricial no pretende proporcionar los puntos origen y final de los desplazamientos “x” e “y” de cada nudo, sino el incremento de desplazamiento en ambas coordenadas desde el nudo original para el que se calcula el desplazamiento. Por esta razón, los sistemas de coordenadas son desplazables en el espacio 2D. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Sistema de Coordenadas Generales (GLOBALES)) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos.
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LECCION 12: Matriz de Rigidez de la Barra en Coordenadas Globales. Hasta ahora se ha descrito cómo definir o crear la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales. Se ha explicado el sistema de coordenadas locales de una barra, y se ha explicado también el sistema de coordenadas globales. Ahora habrá que definir la matriz de rigidez de la barra en coordenadas globales. Para acometer este proceso se necesitan una serie de transformaciones matemáticas que resultarán finalmente en la matriz de rigidez de la barra en coordenadas globales. Paso A) Partiremos de la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales: a
px a py a mz b px b py b mz
=
Kaa_11 Kaa_21 Kaa_31 Kba_11 Kba_21 Kba_31
Kaa_12 Kaa_22 Kaa_32 Kba_12 Kba_22 Kba_32
Kaa_13 Kaa_23 Kaa_33 Kba_13 Kba_23 Kba_33
Kab_11 Kab_21 Kab_31 Kbb_11 Kbb_21 Kbb_31
Kab_12 Kab_22 Kab_32 Kbb_12 Kbb_22 Kbb_32
Kab_13 Kab_23 Kab_33 Kbb_13 Kbb_23 Kbb_33
a
*
δx a δy a θz b δx b δy b θz
Si se hace memoria o se repasan las explicaciones anteriores, esta matriz puede definirse de una forma reducida: a
a
px a py a mz b px b py b mz
Kaa ó Kaab
Kab
=
* Kba
Kbb ó Kbba
δx a δy a θz b δx b δy b θz
Paso B) La matriz de rigidez de la barra en coordenadas globales tendrá este aspecto: a
a
Px a Py a Mz b Px b Py b Mz
MKaab
MKab
=
* Maba
MKbba
∆x a ∆y a Oz b ∆x b ∆y b Oz
Observando esta matriz se deducen varias conclusiones: - Las reacciones en ejes locales pasan a ser reacciones en ejes globales. - Las deformaciones y giros en ejes locales pasan a ser deformaciones y giros en ejes globales. - Sabiendo que las columnas de los extremos (tonos de azul) son incógnitas, y que las cuatro submatrices de la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales son conocidas, tan solo habrá que encontrar las relaciones entre las diferentes submatrices (enlaces de colores) para completar la matriz de rigidez en coordenadas globales. Paso C) Relaciones entre matrices: Las relaciones entre las matrices serán las siguientes: Cambio de Nomenclatura: - Kaa ó Kaab - Kab - Kba - Kbb ó Kbba
b
-> Kaa -> Kab -> Kba a -> Kbb
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RELACIONES: b
T
b
MKaa = Tab * Kaa * Tab T MKab = Tab * Kab * Tba T MKba = Tba * Kba * Tab a T a MKbb = Tba * Kbb * Tba Si enfrentamos una panorámica de las dos matrices (local y global), las relaciones comienzan a verse con claridad (Nueva Nomenclatura): a
a
px a py a mz b px b py b mz
b
Kaa
Kab
Kba
a
=
*
δx a δy a θz b δx b δy b θz
*
∆x a ∆y a Oz b ∆x b ∆y b Oz
Kbb
a
a
Px a Py a Mz b Px b Py b Mz
T
b
T
Tab * Kaa * Tab
Tab * Kab * Tba
= T
T
Tba * Kba * Tab
a
Tba * Kbb * Tba
Como puede observarse de las relaciones anteriores, tan solo tenemos dos matrices aún no definidas, T T que son las Tab y la Tba, puesto que la Tab y la Tba son matrices traspuestas de las anteriores. Paso D) Determinación de la Matriz Tab. La matriz Tab tendrá la siguiente configuración: Tab_11 Tab_21 Tab_31
Tab_12 Tab_22 Tab_32
Tab_13 Tab_23 Tab_33
Donde: var var var var var var var var var
Tab_11: Tab_12: Tab_13: Tab_21: Tab_22: Tab_23: Tab_31: Tab_32: Tab_33:
Number Number Number Number Number Number Number Number Number
= = = = = = = = =
Coseno_Alfa; Seno_Alfa; 0; (-1)* Seno_Alfa; Coseno_Alfa; 0; 0; 0; 1;
Por tanto: Coseno_Alfa (-1)* Seno_Alfa 0
Seno_Alfa Coseno_Alfa 0
0 0 1
Este es el formato que tendrá siempre la matriz Tab para cualquier espacio vectorial 2D.
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Pero ahora hay que plantear varias preguntas: ¿Coseno_Alfa de qué ángulo? ¿Seno_Alfa de qué ángulo? En la Leccion 03 (Definición Geométrica de las Barras) hablamos de dos tipos de ángulos: - El ángulo -> AnguloBarra_XOY, y el Angulo Teórico de la Barra. A este último ángulo es al que nos referimos en este apartado. Dicho ángulo se calculaba mediante la siguiente expresión invariable: var AnguloTeoricoBarra: Number = Math.atan((yMaximo-yMinimo)/(xMaximo-xMinimo));
La matriz Tab quedará de la siguiente manera para cada barra:
Paso E) Determinación de la Matriz Tba. La matriz Tba tendrá la siguiente configuración: Tba_11 Tba_21 Tba_31
Tba_12 Tba_22 Tba_32
Tba_13 Tba_23 Tba_33
Donde: var var var var var var var var var
Tba_11: Tba_12: Tba_13: Tba_21: Tba_22: Tba_23: Tba_31: Tba_32: Tba_33:
Number Number Number Number Number Number Number Number Number
= = = = = = = = =
(-1) (-1) 0; (1)* (-1) 0; 0; 0; 1;
* Coseno_Alfa; * Seno_Alfa; Seno_Alfa; * Coseno_Alfa;
Por tanto: (-1) * Coseno_Alfa (1)* Seno_Alfa 0
(-1) * Seno_Alfa (-1) * Coseno_Alfa 0
0 0 1
Este es el formato que tendrá siempre la matriz Tba para cualquier espacio vectorial 2D. La matriz Tba quedará de la siguiente manera para cada barra:
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Paso F) Determinación de la Matriz Tab . T
La matriz Tab será, como anticipamos antes, la matriz traspuesta de la Tab. La matriz Tab tiene esta definición:
Tab_11 Tab_21 Tab_31
Tab_12 Tab_22 Tab_32
Tab_13 Tab_23 Tab_33
Para calcular la traspuesta de una matriz dada, solo hay que cambiar filas por columnas procediendo mediante el siguiente patrón: Tab_11 Tab_12 Tab_13
Tab_21 Tab_22 Tab_23
Tab_31 Tab_32 Tab_33
T
La matriz Tab quedaría de la siguiente manera para el ejemplo paralelo a este documento:
T
Paso G) Determinación de la Matriz Tba . T
La matriz Tba será, como anticipamos antes, la matriz traspuesta de la Tba. La matriz Tba tiene esta definición:
Tba_11 Tba_21 Tba_31
Tba_12 Tba_22 Tba_32
Tba_13 Tba_23 Tba_33
Para calcular la traspuesta de una matriz dada, solo hay que cambiar filas por columnas procediendo mediante el siguiente patrón: Tba_11 Tba_12 Tba_13
Tba_21 Tba_22 Tba_23
Tba_31 Tba_32 Tba_33
T
La matriz Tba quedaría de la siguiente manera para el ejemplo paralelo a este documento:
Según lo expuesta hasta ahora en estos apartados, ya no queda ninguna matriz de la cual desconozcamos sus elementos y valores. Ahora habrá que proceder al calculo de las matrices: -
b
MKaa MKab Maba a MKbb
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Paso H) Proceso de Cálculo de lasa Matrices. En este punto, el usuario deberá conocer los procedimientos de cálculo matricial, en especial los procedimientos destinados al cálculo de producto de matrices, pues lo que se debe calcular es lo siguiente: a
Px a Py a Mz b Px b Py b Mz
a
b
b
MKaa = TabT * Kaa * Tab
T
MKab = Tab * Kab * Tba
=
* T
Maba = Tba * Kba * Tab
a
T
a
MKbb = Tba * Kbb * Tba
∆x a ∆y a Oz b ∆x b ∆y b Oz
Eidos Series(n) propone el siguiente algoritmo de cálculo para aquellos que deseen realizar una Excel o una aplicación informática capaz de calculas estructuras planas (la nomenclatura cambia un poco por motivos de programación, pero es fácilmente comprensible): b
MATRIZ MKaa : A_11 = (TabT_11 * Kaab_11) A_12 = (TabT_11 * Kaab_12) A_13 = (TabT_11 * Kaab_13) A_21 = (TabT_21 * Kaab_11) A_22 = (TabT_21 * Kaab_12) A_23 = (TabT_21 * Kaab_13) A_31 = (TabT_31 * Kaab_11) A_32 = (TabT_31 * Kaab_12) A_33 = (TabT_31 * Kaab_13) MKaab_11 = (A_11 * Tab_11) MKaab_12 = (A_11 * Tab_12) MKaab_13 = (A_11 * Tab_13) MKaab_21 = (A_21 * Tab_11) MKaab_22 = (A_21 * Tab_12) MKaab_23 = (A_21 * Tab_13) MKaab_31 = (A_31 * Tab_11) MKaab_32 = (A_31 * Tab_12) MKaab_33 = (A_31 * Tab_13)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
(TabT_12 * Kaab_21) + (TabT_13 * Kaab_31); (TabT_12 * Kaab_22) + (TabT_13 * Kaab_32); (TabT_12 * Kaab_23) + (TabT_13 * Kaab_33); (TabT_22 * Kaab_21) + (TabT_23 * Kaab_31); (TabT_22 * Kaab_22) + (TabT_23 * Kaab_32); (TabT_22 * Kaab_23) + (TabT_23 * Kaab_33); (TabT_32 * Kaab_21) + (TabT_33 * Kaab_31); (TabT_32 * Kaab_22) + (TabT_33 * Kaab_32); (TabT_32 * Kaab_23) + (TabT_33 * Kaab_33); (A_12 * Tab_21) + (A_13 * Tab_31); (A_12 * Tab_22) + (A_13 * Tab_32); (A_12 * Tab_23) + (A_13 * Tab_33); (A_22 * Tab_21) + (A_23 * Tab_31); (A_22 * Tab_22) + (A_23 * Tab_32); (A_22 * Tab_23) + (A_23 * Tab_33); (A_32 * Tab_21) + (A_33 * Tab_31); (A_32 * Tab_22) + (A_33 * Tab_32); (A_32 * Tab_23) + (A_33 * Tab_33);
MATRIZ MKab: A_11 = (TabT_11 A_12 = (TabT_11 A_13 = (TabT_11 A_21 = (TabT_21 A_22 = (TabT_21 A_23 = (TabT_21 A_31 = (TabT_31 A_32 = (TabT_31 A_33 = (TabT_31 MKab_11 = (A_11 MKab_12 = (A_11 MKab_13 = (A_11 MKab_21 = (A_21 MKab_22 = (A_21 MKab_23 = (A_21 MKab_31 = (A_31 MKab_32 = (A_31 MKab_33 = (A_31
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
Kab_11) Kab_12) Kab_13) Kab_11) Kab_12) Kab_13) Kab_11) Kab_12) Kab_13) Tba_11) Tba_12) Tba_13) Tba_11) Tba_12) Tba_13) Tba_11) Tba_12) Tba_13)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
(TabT_12 * Kab_21) + (TabT_13 * Kab_31); (TabT_12 * Kab_22) + (TabT_13 * Kab_32); (TabT_12 * Kab_23) + (TabT_13 * Kab_33); (TabT_22 * Kab_21) + (TabT_23 * Kab_31); (TabT_22 * Kab_22) + (TabT_23 * Kab_32); (TabT_22 * Kab_23) + (TabT_23 * Kab_33); (TabT_32 * Kab_21) + (TabT_33 * Kab_31); (TabT_32 * Kab_22) + (TabT_33 * Kab_32); (TabT_32 * Kab_23) + (TabT_33 * Kab_33); (A_12 * Tba_21) + (A_13 * Tba_31); (A_12 * Tba_22) + (A_13 * Tba_32); (A_12 * Tba_23) + (A_13 * Tba_33); (A_22 * Tba_21) + (A_23 * Tba_31); (A_22 * Tba_22) + (A_23 * Tba_32); (A_22 * Tba_23) + (A_23 * Tba_33); (A_32 * Tba_21) + (A_33 * Tba_31); (A_32 * Tba_22) + (A_33 * Tba_32); (A_32 * Tba_23) + (A_33 * Tba_33); 25 de 45
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MATRIZ MKba: A_11 = (TbaT_11 A_12 = (TbaT_11 A_13 = (TbaT_11 A_21 = (TbaT_21 A_22 = (TbaT_21 A_23 = (TbaT_21 A_31 = (TbaT_31 A_32 = (TbaT_31 A_33 = (TbaT_31 MKba_11 = (A_11 MKba_12 = (A_11 MKba_13 = (A_11 MKba_21 = (A_21 MKba_22 = (A_21 MKba_23 = (A_21 MKba_31 = (A_31 MKba_32 = (A_31 MKba_33 = (A_31
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
Kba_11) Kba_12) Kba_13) Kba_11) Kba_12) Kba_13) Kba_11) Kba_12) Kba_13) Tab_11) Tab_12) Tab_13) Tab_11) Tab_12) Tab_13) Tab_11) Tab_12) Tab_13)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
(TbaT_12 * Kba_21) + (TbaT_13 * Kba_31); (TbaT_12 * Kba_22) + (TbaT_13 * Kba_32); (TbaT_12 * Kba_23) + (TbaT_13 * Kba_33); (TbaT_22 * Kba_21) + (TbaT_23 * Kba_31); (TbaT_22 * Kba_22) + (TbaT_23 * Kba_32); (TbaT_22 * Kba_23) + (TbaT_23 * Kba_33); (TbaT_32 * Kba_21) + (TbaT_33 * Kba_31); (TbaT_32 * Kba_22) + (TbaT_33 * Kba_32); (TbaT_32 * Kba_23) + (TbaT_33 * Kba_33); (A_12 * Tab_21) + (A_13 * Tab_31); (A_12 * Tab_22) + (A_13 * Tab_32); (A_12 * Tab_23) + (A_13 * Tab_33); (A_22 * Tab_21) + (A_23 * Tab_31); (A_22 * Tab_22) + (A_23 * Tab_32); (A_22 * Tab_23) + (A_23 * Tab_33); (A_32 * Tab_21) + (A_33 * Tab_31); (A_32 * Tab_22) + (A_33 * Tab_32); (A_32 * Tab_23) + (A_33 * Tab_33);
a
MATRIZ MKbb : A_11 = (TbaT_11 * Kbba_11) A_12 = (TbaT_11 * Kbba_12) A_13 = (TbaT_11 * Kbba_13) A_21 = (TbaT_21 * Kbba_11) A_22 = (TbaT_21 * Kbba_12) A_23 = (TbaT_21 * Kbba_13) A_31 = (TbaT_31 * Kbba_11) A_32 = (TbaT_31 * Kbba_12) A_33 = (TbaT_31 * Kbba_13) MKbba_11 = (A_11 * Tba_11) MKbba_12 = (A_11 * Tba_12) MKbba_13 = (A_11 * Tba_13) MKbba_21 = (A_21 * Tba_11) MKbba_22 = (A_21 * Tba_12) MKbba_23 = (A_21 * Tba_13) MKbba_31 = (A_31 * Tba_11) MKbba_32 = (A_31 * Tba_12) MKbba_33 = (A_31 * Tba_13)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
(TbaT_12 * Kbba_21) + (TbaT_13 * Kbba_31); (TbaT_12 * Kbba_22) + (TbaT_13 * Kbba_32); (TbaT_12 * Kbba_23) + (TbaT_13 * Kbba_33); (TbaT_22 * Kbba_21) + (TbaT_23 * Kbba_31); (TbaT_22 * Kbba_22) + (TbaT_23 * Kbba_32); (TbaT_22 * Kbba_23) + (TbaT_23 * Kbba_33); (TbaT_32 * Kbba_21) + (TbaT_33 * Kbba_31); (TbaT_32 * Kbba_22) + (TbaT_33 * Kbba_32); (TbaT_32 * Kbba_23) + (TbaT_33 * Kbba_33); (A_12 * Tba_21) + (A_13 * Tba_31); (A_12 * Tba_22) + (A_13 * Tba_32); (A_12 * Tba_23) + (A_13 * Tba_33); (A_22 * Tba_21) + (A_23 * Tba_31); (A_22 * Tba_22) + (A_23 * Tba_32); (A_22 * Tba_23) + (A_23 * Tba_33); (A_32 * Tba_21) + (A_33 * Tba_31); (A_32 * Tba_22) + (A_33 * Tba_32); (A_32 * Tba_23) + (A_33 * Tba_33);
RESULTADOS (Ejemplo): b
MATRIZ MKaa :
MATRIZ MKab:
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MATRIZ MKba:
a
MATRIZ MKbb :
Paso I) Proceso de Montaje de la Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales. Una vez se ha calculado el valor de cada una de las matrices que componen la barra, hay que proceder a su montaje para conseguir el sistema de ecuaciones matricial (matriz de rigidez) de la barra en coordenadas globales. Teniendo en cuenta que conocemos la definición matricial de esta matriz, su montaje tan solo seguirá el siguiente esquema para cada barra de la estructura: a
a
Px a Py a Mz b Px b Py b Mz
b
MKaa = TabT * Kaa * Tab
MKab = Tab * Kab * Tba *
T
Maba = Tba * Kba * Tab
=
∆x a ∆y a Oz b ∆x b ∆y b Oz
T
=
a
Px a Py a Mz b Px b Py b Mz
b
MKaab_11 MKaab_21 MKaab_31 MKba_11 MKba_21 MKba_31
MKaab_12 MKaab_22 MKaab_32 MKba_12 MKba_22 MKba_32
MKaab_13 MKaab_23 MKaab_33 MKba_13 MKba_23 MKba_33
a
T
a
MKbb = Tba * Kbb * Tba MKab_11 MKab_21 MKab_31 MKbba_11 MKbba_21 MKbba_31
MKab_12 MKab_22 MKab_32 MKbba_12 MKbba_22 MKbba_32
MKab_13 MKab_23 MKab_33 MKbba_13 MKbba_23 MKbba_33
a
*
∆x a ∆y a Oz b ∆x b ∆y b Oz
Como puede apreciarse, una vez determinados los valores de cada una de las submatrices que componen la matriz de rigidez de una barra en coordenadas globales, su montaje no requiere mayor esfuerzo que seguir el esquema representado. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Matriz de Rigidez de una Barra en Coordenadas Globales) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 13: Cargas de Barra. Ya se ha explicado todo lo concerniente a la definición geométrica de barras y nudos, a las propiedades físicas de las barras, las incógnitas de giro y desplazamiento de los nudos, las condiciones de contorno y la matriz de rigidez (propiedad de las barras) de cada barra en coordenadas locales y globales. ¿Y ahora qué? Cualquier estructura está cargada por si misma (peso propio) o debe tener algún tipo de carga para la que se pretende calcular su comportamiento. La introducción de cargas en el método matricial de cálculo de estructuras sigue un esquema muy particular. Hay que comprender que el método matricial fue inicialmente diseñado para el cálculo de cargas y momentos situados en los nudos de la estructura. El concepto de Cargas de Barra lo que pretende es encontrar las relaciones existentes entre las cargas situadas en las barras y las reacciones que provoca en los nudos que conecta.
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La aplicación desarrollada por Eidos Series(n) Engineering, por motivos de tiempo de desarrollo, solo calcula el caso de cargas uniformemente repartidas a lo largo de toda la longitud de la barra. Este será el método que sigue esta explicación, aunque es perfectamente válido y adaptable a cualquier tipología de carga sobre la barra. Como se observa en la ilustración de la derecha (estructura del ejemplo), disponemos de las barras cargadas con laminados 12-IPE-200, 23-IPE-300 y 34-IPE400. Hay que observar que las secciones de estos laminados están orientadas en el sentido de su máxima resistencia a la flexión. La estructura está definida por sus nudos y barras según se expone en apartados anteriores, se han definido las condiciones de contorno, y conocemos todas las matrices de las barras, en coordenadas locales y globales. Estas barras, provistas de características físicas, muestran una carga uniformemente repartida a lo largo de toda su longitud. Si se observa el vector de carga (circulo con un triángulo en su centro), este vector está orientado en el sentido negativo del eje global “y”, es decir, en la dirección establecida para la gravedad.
Lo que trataremos de definir serán las reacciones de cada barra en los nudos a los que acomete y representarlas en el sistema de coordenadas locales de cada barra, expresado en apartados anteriores.
En este punto hay que realizar un inciso y explicar los desarrollos de cargas, reacciones y momentos implicados en este apartado. INCISO: Para determinar las reacciones en los nudos habrá que conocer previamente las ecuaciones que las determinan para el caso de una viga sustentada de la manera EMPOTRADO-EMPOTRADO.
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Para este caso en particular, las reacciones y momentos en los extremos serán los siguientes: Angulo de la Barra XOY -> Angulo de la Barra en Coordenadas Globales Rxa = (P * Sen(xoy) * L)/2 Rya = (P * Cos(xoy) * L)/2 2 Mza = (P * Cos(xoy) * L )/12
-> Rxb = (P * Sen(xoy) * L) -> Ryb = (P * Cos(xoy) * L) 2 -> Mzb = (P * Cos(xoy) * L )/12
P = carga uniformemente repartida -> kg/m -> kN/m L = longitud total de la barra -> m Siendo: Rxa Rya Rxb Ryb Mza Mzb Nmin Nmax
-> Reacción eje local “x” en el extremo A(Nmin) de la Barra -> Reacción eje local “y” en el extremo A(Nmin) de la Barra -> Reacción eje local “x” en el extremo B(Nnax) de la Barra -> Reacción eje local “x” en el extremo B(Nnax) de la Barra -> Momento en el extremo A(Nmin) de la Barra -> Momento en el extremo A(Nmax) de la Barra -> Nudo de valor numérico mínimo de la Barra -> Nudo de valor numérico máximo de la Barra
Para comprender todo esto, es necesario destripar un ejemplo: Barra 23(ejemplo) -> B23 Angulo de la Carga = -90º (Sentido de la Gravedad) Angulo de la Barra XOY (B23) = 14.036243º (Angulo de la Barra en Coordenadas Globales) Peso de la Barra (IPE-300) = 42.2 kg/m = 0.42 kN/m P = 0.42 kN/m Longitud de la Barra = 4.1231 m L = 4.1231 m
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Rya = (P * Cos(xoy) * L)/2 = (0.42 kN/m * Cos(14.036243º) * 4.1231 m)/2 = 0.839988 kN Ryb = (P * Cos(xoy) * L)/2 = (0.42 kN/m * Cos(14.036243º) * 4.1231 m)/2 = 0.839998 kN Rxa = (P * Sen(xoy) * L) = (0.42 kN/m * Sen(14.036243º) * 4.1231 m) = 0.419999 kN Rxb = (P * Sen(xoy) * L) = (0.42 kN/m * Sen(14.036243º) * 4.1231 m) = 0.419999 kN 2
2
Mza = (P * Cos(xoy) * L )/12 = (0.42 kN/m * [4.1231 m] )/12 = 0.577233 kNm 2 2 Mzb = (P * Cos(xoy) * L )/12 = (0.42 kN/m * [4.1231 m] )/12 = 0.577233 kNm Como se puede observar, ninguno de los valores tiene signo alguno. Para dotar a estos valores de signo, es conveniente comprender algunas cuestiones: Si se observa la figura de la derecha, lo que se describen las formulas anteriores es la descomposición del vector de carga (circulo con triangulo = -90º) en sus componentes perpendicular y tangencial a la barra para poder determinar así las reacciones en los nudos. La figura inferior muestra los momentos y reacciones en una barra horizontal. Estos momentos y reacciones, junto al sistema de ejes de coordenadas local de la barra, nos serviran para determinar el signo de las fuerzas antes calculadas.
Determinación Rya -> Si observamos la reacción en la barra de la figura anterior, y la comparamos con el sistema de coordenadas locales de la barra, observaremos que la reacción en el punto A tiene una dirección opuesta al sistema de ejes de coordenadas locales para ese punto (página 28). Por tanto, el signo de Rya será negativo. Rya = (P * Cos(xoy) * L)/2 = (0.42 kN/m * Cos(14.036243º) * 4.1231 m)/2 = (-1) * 0.839988 kN
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Determinación Ryb -> Si observamos la reacción en la barra de la figura anterior (referencia de la página anterior), y la comparamos con el sistema de coordenadas locales de la barra, observaremos que la reacción en el punto B tiene una dirección idéntica al sistema de ejes de coordenadas locales para ese punto (página 28). Por tanto, el signo de Ryb será positivo. Ryb = (P * Cos(xoy) * L)/2 = (0.42 kN/m * Cos(14.036243º) * 4.1231 m)/2 = (+1) * 0.839998 kN Determinación Rxa -> Si se observan las figuras de la página anterior es fácilmente deducible que el nudo A(2) soporta toda la carga de la componente tangencial de la barra, y que el nudo presentará oposición a esta carga para no perder su posición, con lo cual la reacción tratará de contrarrestar esta fuerza. Si observamos el sistema de coordenadas locales (página 28), comprenderemos que el sentido de esta reacción es contrario a la dirección establecida del eje “x” local para ese punto. Por tanto, el signo de Rax será negativo. Rxa = (P * Sen(xoy) * L) = (0.42 kN/m * Sen(14.036243º) * 4.1231 m) = (-1) * 0.419999 kN Determinación Rxb -> Si se observan las figuras de la página anterior es fácilmente deducible que el nudo B(3) soporta toda la carga de la componente tangencial de la barra, y que el nudo presentará oposición a esta carga para no perder su posición, con lo cual la reacción tratará de contrarrestar esta fuerza. Si observamos el sistema de coordenadas locales (página 28), comprenderemos que el sentido de esta reacción es idéntico a la dirección establecida del eje “x” local para ese punto. Por tanto, el signo de Rbx será positivo. Rxb = (P * Sen(xoy) * L) = (0.42 kN/m * Sen(14.036243º) * 4.1231 m) = (+1) * 0.419999 kN Determinación Mza -> Observando las figuras de la página anterior y comparándolas con el sistema de coordenadas locales de la barra (página 28) para el punto A(2), se deduce que el signo del momento en A(2) es positivo. 2
2
Mza = (P * Cos(xoy) * L )/12 = (0.42 kN/m * [4.1231 m] )/12 = (+1) 0.577233 kNm Determinación Mzb -> Observando las figuras de la página anterior y comparándolas con el sistema de coordenadas locales de la barra (página 28) para el punto B(3), se deduce que el signo del momento en B(3) es negativo. 2
2
Mzb = (P * Cos(xoy) * L )/12 = (0.42 kN/m * [4.1231 m] )/12 = (-1) * 0.577233 kNm A continuación exponemos los valores obtenidos mediante la aplicación asociada a este documento PDF.
Nota: La nomenclatura OWrabCx corresponde a la Hipótesis Peso Propio (Own Weight). Nota: “rab” se refiere al sistema de coordenadas de origen en “a” y final en “b”. Nota: “C” es el equivalente a la reacción. Nota: “x” para reacciones tangenciales a la barra. Nota: “y” para reacciones perpendiculares a la barra. Nota: “z” para reacciones de momento en los extremos de la barra. Ahora ya disponemos de la información suficiente para resolver el sistema de ecuaciones de una barra en coordenadas locales y calcular las deformaciones y giros en sus extremos. Pero hay que tener en cuenta que a los nudos origen y final acometen otras barras que también se encuentran sometidas a cargas, y que sus sistemas de coordenadas, aunque desarrollado por el mismo procedimiento, son incompatibles, por lo que sería un caos tratar de encontrar los desplazamientos y giros en los nudos. Para resolver esta importante inconveniencia, se deben obtener las relaciones entre todas las barras y nudos en un sistema compatible de coordenadas; y este sistema es el de coordenadas globales.
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px a py a mz b px b py b mz
=
Kaa_11 Kaa_21 Kaa_31 Kba_11 Kba_21 Kba_31
Kaa_12 Kaa_22 Kaa_32 Kba_12 Kba_22 Kba_32
Kaa_13 Kaa_23 Kaa_33 Kba_13 Kba_23 Kba_33
Kab_11 Kab_21 Kab_31 Kbb_11 Kbb_21 Kbb_31
Kab_12 Kab_22 Kab_32 Kbb_12 Kbb_22 Kbb_32
a
Kab_13 Kab_23 Kab_33 Kbb_13 Kbb_23 Kbb_33
*
δx a δy a θz b δx b δy b θz
Arriba se muestra el sistema de ecuaciones teórico para cada barra en coordenadas locales. Sustituyendo los valores de la columna del extremo izquierdo por los valores obtenidos anteriormente, podríamos calcular los desplazamientos y giros de los extremos de la barra en coordenadas locales, y luego ir sumándolos a las deformaciones y giros producidos por otras barras sobre el mismo nudo, y luego tratar de compatibilizarlo todo… UN CAOS. ¿Pero… cómo se soluciona esto? Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Cargas de Barras) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 14: Cargas Equivalentes de Barras y Nudos. Anteriormente hemos mencionado que el método de cálculo matricial de estructuras originalmente se diseño para calcular esfuerzos y reacciones en los nudos de la estructura. Desde que se ha comenzado esta explicación hasta este preciso instante, las diferentes lecciones nos han conducido a este punto. Ahora tenemos una estructura cargada en todas las barras por el peso propio del laminado que hemos seleccionado para dotarla de propiedades físicas. Estas cargas de barra han desembocado en reacciones en los extremos (los nudos), y estas reacciones se expresan en las coordenadas locales de cada barra. Sumar reacciones de nudos en diferentes sistemas de coordenadas resulta infructuoso, así que habrá que encontrar la forma de sumar todas estas reacciones procedentes de cada barra que desembocan en el mismo nudo. La forma de realizar esta operación es la siguiente: DEFINICION: Cargas Equivalentes de Barra = Son las cargas en los nudos debidas a las cargas de barra en coordenadas locales, referidas al sistema de coordenadas globales, y cambiadas de signo. ¿Cómo se realiza esta conversión? La operación se describe teóricamente mediante las siguientes ecuaciones: G
T
L
[Pab ] = (-1) * [Tab ] * [rab ] G T L [Pba ] = (-1) * [Tba ] * [rba ] Desglosado quedaría de la siguiente manera: G
Pxab G Pyab G Pzab
T
=
=
T
(-1) *
Tab _12 T Tab _22 T Tab _32
Tab _13 T Tab _23 T Tab _33
T
T
(-1) *
Tba _11 T Tba _21 T Tba _31
Tba _12 T Tba _22 T Tba _32
Tba _13 T Tba _23 T Tba _33
G
Pxba G Pyba G Pzba
T
Tab _11 T Tab _21 T Tab _31
L
*
rxab L ryab L rzab
*
rxba L ryba L rzba
T
L
Excepto las incógnitas de la columna de la izquierda, todo lo demás es conocido, pues los elementos de la columna del extremo derecho las hemos calculado en el apartado anterior, y equivalen a:
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L
Rxa = rxab L Rya = ryab L Mza = rzab L
Rxb = rxba L Ryb = ryba L Mzb = rzba Las soluciones para cada barra quedarían de la siguiente manera:
Cargas Equivalentes de Nudo = Es la suma vectorial de las cargas en los nudos debidas a las cargas de barra expresadas en coordenadas globales. Esto significa que al tener calculadas las cargas procedentes de cada barra para cada uno de los nudos, su suma (en coordenadas globales) será la suma de todas las cargas que inciden en el nudo estudiado. Por ejemplo (Estructura Ejemplo): Para el nudo (N1) L
EN(1)x = rx12 L EN(1)y = ry12 L EN(1)z = rz12 Como puede observarse, al nudo (N1) solo acomete la barra (B12). Para el nudo (N2) L
L
EN(2)x = rx21 + rx23 L L EN(2)y = ry21 + ry23 L L EN(2)z = rz21 + rz23 Para el nudo (N3) L
L
EN(3)x = rx32 + rx34 L L EN(3)y = ry32 + ry34 L L EN(3)z = rz32 + rz34 Para el nudo (N4) L
EN(4)x = rx43 L EN(4)y = ry43 L EN(4)z = rz43 Simplemente observando la numeración de todas estas ecuaciones se puede comprender fácilmente el sistema que se emplea a la hora de realizar las diferentes sumas. Hay que observar que a los nudos (N1) y (N4) solo acomete una barra, mientras a los nudos (N3) y (N4) acometen dos barras. Por si se necesita mayor aclaración, se exponen los resultados de estas operaciones según el programa adjunto a este documento PDF.
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Nota: En este punto debemos ofrecer una disculpa. La nomenclatura empleada en este documento es incompatible con la declaración de variables para cualquier lenguaje de programación. Entendemos que puede existir cierto nivel de confusión a la hora de comprender las diferentes variables y su significado, además de las continuas transformaciones de estas para tratar de adaptar la explicación al software adjunto. Esperamos que estos inconvenientes sean disculpados pues una lectura atenta y posteriores anotaciones sobre este documento impreso pueden ayudar al estudiante a homogeneizar la nomenclatura y despejar sus dudas. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Cargas Equivalentes de Barras y Nudos) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 15: Matriz de Ensamblaje de la Estructura. Ya disponemos de toda la documentación, definiciones, variables, constantes, etc para desarrollar completamente el método de cálculo matricial de estructuras. Hasta ahora, todo lo que se ha descrito podría describirse como “PASO PREVIO” al inicio del procedimiento. Hay que observar que hasta ahora somos nosotros quienes hemos definido nudos y barras de manera geométrica y física, y que todo lo calculado son solo derivaciones de las propiedades intrínsecas de la estructura diseñada. Ahora es el momento de descubrir las relaciones que nos permitirán desarrollar ecuaciones que puedan ser resolubles, y despejar así las diferentes incógnitas que plantea la estructura. La matriz de ensamblaje plantea un sistema completo de variables que pueden ser despejadas para su resolución. Para construir la matriz de ensamblaje hay que seguir un algoritmo de situación de cada una de las matrices que la componen: A) Es conveniente redactar una lista de las matrices de barra en coordenadas globales. B) Comprobar la correcta numeración y nominación de las matrices en coordenadas globales. C) La estructura debe estar numerada de forma correlativa desde el número 1 al “m”, que será el último nudo de la estructura e igual al total de nudos que la componen. D) Las matrices (submatrices) se ordenarán en una cuadrícula de “m” filas y “m” columnas. E) Las matrices MKaab y MKbba ocuparán la diagonal principal de la estructura. F) La diagonal se ordenará según las matrices que acometen al nudo al que corresponden. G) La mitad superior de la matriz la ocuparán las matrices MKab según su numeración. H) La mitad inferior de la matriz la ocuparán las matrices MKba según su numeración. I) Los espacios que no disponen de relación con las barras de la misma numeración en sus nudos extremos son nulas. No existe barra. Vistas estas reglas, el ensamblaje de la matriz completa de la estructura parece no tener pies ni cabeza y resulta de difícil comprensión, más aún cuando lo que se pretende es desarrollar un algoritmo matemático capaz de ordenarlas dentro de una cuadrícula. Para comprender como se realiza esta operación, lo mejor es explicarlo mediante un ejemplo: Sea la estructura de nuestro ejemplo paralelo a la explicación:
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Una de las reglas es que hay que componer una cuadricula de “m” filas y “m” columnas, donde “m” es el número total de nudos de la estructura. 01
02
03
04
01 02 03 04 Otra de las reglas, en este caso recomendación, es redactar la lista completa de las submatrices de cada barra en coordenadas globales.
Comenzaremos a construir la matriz de ensamblaje de la estructura completa: Al nudo (N1) solo llega una barra, y la barra discurre desde el Nmin(1) al Nmax(2): B12
01 02 03 04
01 MKaab_12
02
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Al nudo (N2) llegan dos barras: una desde el nudo uno (N1) y otra desde el (N3). La barra 12 conecta al nudo dos (N2) desde su extremo máximo, y la barra 23, conecta al nudo dos (N2) desde su extremo mínimo. Por tanto, una matriz será MKaab y la otra será MKbba. Observamos como se compone la matriz de rigidez de una barra: a
Px a Py a Mz b Px b Py b Mz
=
MKaab_11 MKaab_21 MKaab_31 MKba_11 MKba_21 MKba_31
MKaab_12 MKaab_22 MKaab_32 MKba_12 MKba_22 MKba_32
MKaab_13 MKaab_23 MKaab_33 MKba_13 MKba_23 MKba_33
MKab_11 MKab_21 MKab_31 MKbba_11 MKbba_21 MKbba_31
MKab_12 MKab_22 MKab_32 MKbba_12 MKbba_22 MKbba_32
MKab_13 MKab_23 MKab_33 MKbba_13 MKbba_23 MKbba_33
MK112_12 MK112_22 MK112_32 MK21_12 MK21_22 MK21_32
MK112_13 MK112_23 MK112_33 MK21_13 MK21_23 MK21_33
MK12_11 MK12_21 MK12_31 MK221_11 MK221_21 MK221_31
MK12_12 MK12_22 MK12_32 MK221_12 MK221_22 MK221_32
MK12_13 MK12_23 MK12_33 MK221_13 MK221_23 MK221_33
MK223_12 MK223_22 MK223_32 MK32_12 MK32_22 MK32_32
MK223_13 MK223_23 MK223_33 MK32_13 MK32_23 MK32_33
MK23_11 MK23_21 MK23_31 MK332_11 MK332_21 MK332_31
MK23_12 MK23_22 MK23_32 MK332_12 MK332_22 MK332_32
MK23_13 MK23_23 MK23_33 MK332_13 MK332_23 MK332_33
a
*
∆x a ∆y a Oz b ∆x b ∆y b Oz
*
∆x 1 ∆y 1 Oz 2 ∆x 2 ∆y 2 Oz
*
∆x 2 ∆y 2 Oz 3 ∆x 3 ∆y 3 Oz
Para la barra (B12) sería: 1
Px 1 Py 1 Mz 2 Px 2 Py 2 Mz
=
MK112_11 MK112_21 MK112_31 MK21_11 MK21_21 MK21_31
1
Para la barra (B23) sería: 2
Px 2 Py 2 Mz 3 Px 3 Py 3 Mz
=
MK223_11 MK223_21 MK223_31 MK32_11 MK32_21 MK32_31
2
El ensamblaje sería ahora de la siguiente manera:
01 02 03 04
01 MKaab_12
02
03
04
MKbba_12+MKaab_23
Operando de la misma manera la diagonal se completaría así, cumpliendo con la regla que dice que la diagonal la compondrán las matrices MKaab y MKbba.
01 02 03 04
01 MKaab_12
02
03
04
MKbba_12+MKaab_23 MKbba_23+MKaab_34 MKbba_34
La mitad superior de la estructura estará compuesta por las matrices Kab según su numeración:
01 02 03 04
01 MKaab_12
02 MKab_12 MKbba_12+MKaab_23
03
04
MKab_23 MKbba_23+MKaab_34
Mkab_34 MKbba_34
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La mitad inferior de la estructura estará compuesta por las matrices Kba según su numeración:
01 02 03 04
01 MKaab_12 MKba_12
02 MKab_12 MKbba_12+MKaab_23 MKba_23
03
04
MKab_23 MKbba_23+MKaab_34 MKba_34
Mkab_34 MKbba_34
Aquellos espacios de cuadrícula donde no existan ligaduras entre nudos, será cero (matriz nula)
01 02 03 04
01 MKaab_12 MKba_12 0 0
02 MKab_12 MKbba_12+MKaab_23 MKba_23 0
03 0 MKab_23 MKbba_23+MKaab_34 MKba_34
04 0 0 Mkab_34 MKbba_34
Al final de toda esta explicación por fin disponemos de la matriz de ensamblaje completa de la estructura en coordenadas globales. La matriz expresada, al disponer de cuatro nudos, y las submatrices de orden 3 (3x3), nos dará un total de 4x3 = 12 filas y 12 columnas. La suma de las submatrices para los nudos 2 y 3 habrá que realizarlas antes de montar el sistema de ecuaciones global.
La ilustración superior muestra la matriz de ensamblaje propuesta por la aplicación adjunta a este documento PDF (FSFODB_V101) sobre el método matricial de cálculo de estructuras. Podríamos probar configurar la estructura situando una barra entre el N01 y el N03, o entre el N04 y el N02 y explicar de nuevo el método de ensamblaje, pero creemos que el alumno o usuario debe crearse sus propios ejemplos y operando junto a la aplicación, comprender el proceso de ensamblaje. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Matriz de Ensamblaje de la Estructura) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 16: Composición de la Matriz General de la Estructura en Coordenadas Globales. Pese a todas las lecciones anteriores, aún nos encontramos a un paso de poder comenzar a mostrar resultados sobre las diferentes incógnitas que componen el método matricial de cálculo de estructuras. Pero una cosa es segura: estamos a un paso de poder establecer nuestro primer sistema de ecuaciones resolubles. Para organizar bien el sistema de ecuaciones, es imprescindible construirlo a partir de la MATRIZ DE ENSAMBLAJE, de la cual se ha explicado lo suficiente. Siguiendo el ejemplo paralelo a esta explicación, sabemos que la estructura la componen cuatro nudos (4) y que cada una de las submatrices (MK) en coordenadas globales es de orden (3). Esto nos proporciona una matriz total 4x3 = 12, es decir, una matriz de orden (12) (12 filas y 12 columnas), a las que habrá que añadir una matriz columna con las incógnitas de desplazamiento y giro de cada nudo en coordenadas globales. Esto se realiza de la siguiente manera:
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01
02
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05
06
07
08
09
10
11
12
¿? 1 ∆x 1 ∆y 1 Oz 2 ∆x 2 ∆y 2 Oz 3 ∆x 3 ∆y 3 Oz 4 ∆x 4 ∆y 4 Oz
=
Eq PX1 PY1 PO1 PX2 PY2 PO2 PX3 PY3 PO3 PX4 PY4 PO4
N01 N01 N01 N02 N02 N02 N03 N03 N03 N04 N04 N04
La pregunta que debemos hacer ahora es: ¿qué sabemos y qué no sabemos de este sistema de ecuaciones? -
La composición de todas las submatrices (coloreadas) (3x3 – orden 3) es conocida y procede de la matriz de ensamblaje de la estructura: 01 MKaab_12 MKba_12 0 0
01 02 03 04
02 MKab_12 MKbba_12+MKaab_23 MKba_23 0
03 0 MKab_23 MKbba_23+MKaab_34 MKba_34
04 0 0 Mkab_34 MKbba_34
- Los nudos (N01) y (N04) son empotramientos, por lo cual sus deformaciones y giros son “0”. Es decir: 1 1 1 4 4 4 ∆x , ∆y , Oz , ∆x , ∆y , Oz son nulos o iguales a “0”.
01
-
Todas las Cargas Equivalentes de Nudos libres son conocidas en aquellos nudos que no disponen de condiciones de contorno.
-
Las Cargas Equivalentes de Nudos en los que existen condiciones de contorno no son calculables, pues habrá que añadir las cargas procedentes de las reacciones en los apoyos.
02
0 0 0 0 0 0
03
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
MKba_12 0 0 0
0 0 0
0 0 0
04
0 0 0
05
0 0 0
06
07 0 0 0
08 0 0 0
09 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
¿? 0 0 0 2 ∆x 2 ∆y 2 Oz 3 ∆x 3 ∆y 3 Oz 0 0 0
0 0 0
MKbba_12+MKaab_23
MKab_23
MKba_23
MKbba_23+MKaab_34
0 0 0
Mkab_34
=
2
∆x 2 ∆y 2 Oz 3 ∆x 3 ∆y 3 Oz
Eq ¿? ¿? ¿? PX2 PY2 PO2 PX3 PY3 PO3 ¿? ¿? ¿?
N01 N01 N01 N02 N02 N02 N03 N03 N03 N04 N04 N04
PX2 PY2 PO2 PX3 PY3 PO3
N02 N02 N02 N03 N03 N03
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Las cargas equivalentes de nudo serán las que siguen:
Recordar que para el nudo (N01) y el nudo (N04), que son los que disponen de condiciones de contorno, los valores expuestos están incompletos, pues habría que sumar también las reacciones debidas a los empotramientos. La matriz completa para este caso de peso propio, quedaría de la siguiente manera (MODO DE PRESENTACION SEGÚN EL SOFTWARE ADJUNTO)
Nota: como puede observarse en la ilustración superior, las columnas no siguen un orden correlativo. Esto es debido al método por el cual el DATAGRID donde se exponen los datos queda ordenado. En próximas versiones del software se tratará de rectificar este inconveniente. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Composición de la Matriz General de la Estructura en Coordenadas Globales) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 17: Resolución del Sistema de Ecuaciones. En este apartado Eidos Series(n) Engineering no pretende explicar al alumno o usuario los métodos matemáticos mediante los cuales se pueden resolver sistemas de ecuaciones de “n” ecuaciones con “n” incógnitas. Tan solo mencionar que solo existe un método matemático programable, y que este método es el de GAUSS-JORDAN. En este punto recomendamos al alumno o usuario que busque información referente a los procedimientos y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. La ilustración inferior muestra el sistema completo de ecuaciones a resolver:
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La ilustración inferior muestra el sistema de ecuaciones resuelto mediante el método de Gauss-Jordan. Se observa perfectamente la finalidad del método de resolución y su estructura.
Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Resolución del Sistema de Ecuaciones) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 18: Cálculo de Esfuerzos y Reacciones en los Extremos de las Barras. Ahora mismo, y según todo lo expuesto sobre el método matricial de cálculo de estructuras, tenemos bastante información sobre las variables que necesitamos calcular, pero no toda la información para resolver el rompecabezas. Falta conocer el valor de las reacciones en los extremos de las barras. En este punto de la explicación, aclarar que al haber resuelto las variables de desplazamiento de cada nudo en coordenadas globales y haber descrito durante todo este proceso la relación física entre los esfuerzos y los desplazamientos, la resolución de los sistemas de ecuaciones planteados hasta el momento es directa. Para resolver los esfuerzos y reacciones en los extremos de las barras, deberemos operar creando una nueva matriz con los datos disponibles: A B12 B12 B12 B12 B12 B12 B23 B23 B23 B23 B23 B23 B34 B34 B34 B34 B34 B34
B 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4
C 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 4 4 4 3 3 3
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M 1
Kaab = K112
Kab = K12
Tab = T12
Kba = K21
Kbba = K221
Tba = T21
Kaab = K223
Kab = K23
Tab = T23
Kba = K32
Kbba = K332
Tba = T32
Kaab = K334
Kab = K34
Tab = T34
Kba = K43
Kbba = K443
Tba = T43
∆x 1 ∆y 1 Oz 2 ∆x 2 ∆y 2 Oz 2 ∆x 2 ∆y 2 Oz 3 ∆x 3 ∆y 3 Oz 3 ∆x 3 ∆y 3 Oz 4 ∆x 4 ∆y 4 Oz
N f(x)01 f(x)02 f(x)03 f(x)04 f(x)05 f(x)06 f(x)07 f(x)08 f(x)09 f(x)10 f(x)11 f(x)12 f(x)13 f(x)14 f(x)15 f(x)16 f(x)17 f(x)18
Ñ V01 V02 V03 V04 V05 V06 V07 V08 V09 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18
O rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz
P F(x)01 F(x)02 F(x)03 F(x)04 F(x)05 F(x)06 F(x)07 F(x)08 F(x)09 F(x)10 F(x)11 F(x)12 F(x)13 F(x)14 F(x)15 F(x)16 F(x)17 F(x)18
Q rabCx+F(x)01 rabCy+F(x)02 rabCz+F(x)03 rbaCx+F(x)04 rbaCy+F(x)05 rbaCz+F(x)06 rabCx+F(x)07 rabCy+F(x)08 rabCz+F(x)09 rbaCx+F(x)10 rbaCy+F(x)11 rbaCz+F(x)12 rabCx+F(x)13 rabCy+F(x)14 rabCz+F(x)15 rbaCx+F(x)16 rbaCy+F(x)17 rbaCz+F(x)18
R px12 py12 mz12 px21 py21 mz21 px23 py23 mz23 px32 py32 mz32 px34 py34 mz34 px43 py43 mz43
¡Ya está, eso es todo! ¡Se acabó el cálculo matricial! Pero un momento, habrá que explicar todo esto. Columna A) En al columna A hay que situar las barras según el esquema que deduce de la ilustración superior. De menor a mayor numeración de barra: 12, 23, 34. Hay que observar que cada barra tiene 6 elementos, según los grados de libertad de sus extremos: 3 grados por extremo por 2 extremos = 6.
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Columna B) Si se observa con atención la disposición de estos números, se deduce fácilmente que para cada barra, los tres primeros valores de cada fila corresponde al nombre del nudo de menor valor numérico, mientras que a las tres últimas filas le corresponde el nombre del nudo de mayor valor numérico. Columna C) Se trata de invertir los valores de la columna B. Un rápido vistazo a la ilustración de la página anterior servirá para comprender esto. Mencionar que estos tres apartados se exponen para aquellos que quieran encontrar un algoritmo preciso para el orden de situación de las matrices en el sistema de ecuaciones. Columnas D-L) Hasta ahora, y según el orden de explicación de este documento, disponemos de información suficiente sobre la composición y los valores de las matrices que describe la ilustración de la página anterior. Tan solo tendremos que ubicar correctamente los valores de cada una de ellas. Columna M) La columna “M” la componen los resultados de los desplazamientos y giros de cada uno de los nudos de la estructura. Estos desplazamientos ya se han calculado en el apartado de Ensamblaje de la Matriz. Columna N) Esta columna la componen los valores intermedios de la resolución del sistema matricial. Sus valores surgen de la multiplicación de las matrices Tab y Tba por sus respectivos desplazamientos siguiendo las funciones: 1
1
1
2
2
2
f(x)01 = Tab_11 * ∆x + Tab_12 * ∆y + Tab_13 * Oz 1 1 1 f(x)02 = Tab_21 * ∆x + Tab_22 * ∆y + Tab_23 * Oz 1 1 1 f(x)03 = Tab_31 * ∆x + Tab_32 * ∆y + Tab_33 * Oz f(x)04 = Tba_11 * ∆x + Tba_12 * ∆y + Tba_13 * Oz 2 2 2 f(x)05 = Tba_21 * ∆x + Tba_22 * ∆y + Tba_23 * Oz 2 2 2 f(x)06 = Tba_31 * ∆x + Tba_32 * ∆y + Tba_33 * Oz Como puede observarse, el montaje de la columna “N” es muy sencillo. Columna Ñ) Simplemente la forman los valores calculados para la columna “N”. La matriz a resolver quedaría ahora de la siguiente manera: A
B
C
D
E
F
G
H
I
Kaab = K112
Kab = K12
Kba = K21
Kbba = K221
Kaab = K223
Kab = K23
Kba = K32
Kbba = K332
Kaab = K334
Kab = K34
Kba = K43
Kbba = K443
J
K
L
M
N
Ñ V01 V02 V03 V04 V05 V06 V07 V08 V09 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18
O rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz
P F(x)01 F(x)02 F(x)03 F(x)04 F(x)05 F(x)06 F(x)07 F(x)08 F(x)09 F(x)10 F(x)11 F(x)12 F(x)13 F(x)14 F(x)15 F(x)16 F(x)17 F(x)18
Q rabCx+F(x)01 rabCy+F(x)02 rabCz+F(x)03 rbaCx+F(x)04 rbaCy+F(x)05 rbaCz+F(x)06 rabCx+F(x)07 rabCy+F(x)08 rabCz+F(x)09 rbaCx+F(x)10 rbaCy+F(x)11 rbaCz+F(x)12 rabCx+F(x)13 rabCy+F(x)14 rabCz+F(x)15 rbaCx+F(x)16 rbaCy+F(x)17 rbaCz+F(x)18
R px12 py12 mz12 px21 py21 mz21 px23 py23 mz23 px32 py32 mz32 px34 py34 mz34 px43 py43 mz43
Columna O) Todos los valores de la columna “O” son conocidos y han sido calculados previamente. Estos valores corresponden son las reacciones y momentos de los extremos de las barras en coordenadas locales.
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Columna P) La columna “P” procede del cálculo resultante de multiplicar las matrices “D-I” y “Ñ”, sombreadas en tonos de verde, tomando sus elementos de 6 en 6, y siguiendo el siguiente patrón: D_1 * V01 + E1 * V02 + F_1 * V03 + G_1 * V04 + H_1 * V05 + I1 * V06 D_2 * V01 + E2 * V02 + F_2 * V03 + G_2 * V04 + H_2 * V05 + I2 * V06 D_3 * V01 + E3 * V02 + F_3 * V03 + G_3 * V04 + H_3 * V05 + I3 * V06 D_4 * V01 + E4 * V02 + F_4 * V03 + G_4 * V04 + H_4 * V05 + I4 * V06 D_5 * V01 + E5 * V02 + F_5 * V03 + G_5 * V04 + H_5 * V05 + I5 * V06 D_6 * V01 + E6 * V02 + F_6 * V03 + G_6 * V04 + H_6 * V05 + I6 * V06 El esquema del algoritmo es sencillo de seguir. La matriz quedaría de la siguiente manera: A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ñ
O rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz rabCx rabCy rabCz rbaCx rbaCy rbaCz
P F(x)01 F(x)02 F(x)03 F(x)04 F(x)05 F(x)06 F(x)07 F(x)08 F(x)09 F(x)10 F(x)11 F(x)12 F(x)13 F(x)14 F(x)15 F(x)16 F(x)17 F(x)18
Q rabCx+F(x)01 rabCy+F(x)02 rabCz+F(x)03 rbaCx+F(x)04 rbaCy+F(x)05 rbaCz+F(x)06 rabCx+F(x)07 rabCy+F(x)08 rabCz+F(x)09 rbaCx+F(x)10 rbaCy+F(x)11 rbaCz+F(x)12 rabCx+F(x)13 rabCy+F(x)14 rabCz+F(x)15 rbaCx+F(x)16 rbaCy+F(x)17 rbaCz+F(x)18
R px12 py12 mz12 px21 py21 mz21 px23 py23 mz23 px32 py32 mz32 px34 py34 mz34 px43 py43 mz43
Todos los elementos son conocidos, excepto las incógnitas, situadas en la columna “R”. A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ñ
O
P
Q rabCx+F(x)01 rabCy+F(x)02 rabCz+F(x)03 rbaCx+F(x)04 rbaCy+F(x)05 rbaCz+F(x)06 rabCx+F(x)07 rabCy+F(x)08 rabCz+F(x)09 rbaCx+F(x)10 rbaCy+F(x)11 rbaCz+F(x)12 rabCx+F(x)13 rabCy+F(x)14 rabCz+F(x)15 rbaCx+F(x)16 rbaCy+F(x)17 rbaCz+F(x)18
R px12 py12 mz12 px21 py21 mz21 px23 py23 mz23 px32 py32 mz32 px34 py34 mz34 px43 py43 mz43
La resolución es ahora muy sencilla. ¿Y qué se ha calculado? Se han calculado los esfuerzos en los extremos de cada barra referidos a los ejes locales de cada barra. ab
px ab py ab mz ba px ba py ba Mz
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El cálculo matricial de todos los valores que necesitamos para comprender el comportamiento de la estructura, ha finalizado. Ahora deberemos comprender el significado gráfico y numérico de estos valores. Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Cálculo de Esfuerzos y Reacciones en los Extremos de las Barras) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, videotutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 19: Principio de Superposición. Anteriormente se ha comentado que el método de cálculo matricial de estructuras (METODO DE LA RIGIDEZ) inicialmente se desarrolló para calcular estructuras donde todos sus esfuerzos estuvieran aplicados en los nudos. La primera etapa del método explicado en este documento consiste en transformar las cargas ubicadas en las barras, en cargas equivalentes situadas en los nudos. El resultado del método explicado aporta los valores de los esfuerzos en los extremos de las barras en coordenadas locales. De esta manera podremos mostrar los valores gráficos de momentos, cortantes y axiales en cada punto de la barra siguiendo funciones sencillas: Momento Flector (mz
ab
ba
y mz ):
Mx = Ma – [(x/(L) * (Ma – Mb)]; Mx Ma Mb x L
- > Momento en un punto de la barra tomando como origen el nudo “a”. - > Momento en el nudo “a”. - > Momento en el nudo “b”. - > Punto donde queremos calcular el momento flector respecto al origen “a”. -> Longitud de la barra. ab
Esfuerzo Cortante (py
ba
y py ):
Vx = Va – [(x/(L) * (Va – Vb)]; Vx Va Vb x L
- > Cortante en “x” en un punto de la barra tomando como origen el nudo “a”. - > Reacción “y” en el nudo “a”. - > Reacción “y” en el nudo “b”. - > Punto donde queremos calcular el esfuerzo cortante respecto al origen “a”. -> Longitud de la barra.
Esfuerzo Axial (px
ab
ba
y px ):
Tx = Ta – [(x/(L) * (Ta – Tb)]; Tx Ta Tb x L
- > Axial en “x” en un punto de la barra tomando como origen el nudo “a”. - > Reacción “x” en el nudo “a”. - > Reacción “x” en el nudo “b”. - > Punto donde queremos calcular el esfuerzo axial respecto al origen “a”. -> Longitud de la barra.
Como puede deducirse de las diferentes ecuaciones para cada caso, todas estas funciones son del tipo lineal. Para calcular el valor del momento flector, esfuerzo cortante y esfuerzo axial en cada punto, habrá que sumar las ecuaciones correspondientes a los estados de carga de cada barra y sumarlos a los anteriores, obteniéndose así las diferentes gráficas para cada barra. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION. En el caso que estudia este documento PDF y la aplicación adjunta, las ecuaciones correspondientes a los esfuerzos debidos a las cargas de barra serán aquellas resultantes del estudio de un sistema EMPOTRADOEMPOTRADO.
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Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Principio de Superposición) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos. LECCION 20: Reacciones en los Apoyos. Para calcular las reacciones en los apoyos, habrá que operar de la siguiente manera: A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ñ
O
P
Q rabCx+F(x)01 rabCy+F(x)02 rabCz+F(x)03 rbaCx+F(x)04 rbaCy+F(x)05 rbaCz+F(x)06 rabCx+F(x)07 rabCy+F(x)08 rabCz+F(x)09 rbaCx+F(x)10 rbaCy+F(x)11 rbaCz+F(x)12 rabCx+F(x)13 rabCy+F(x)14 rabCz+F(x)15 rbaCx+F(x)16 rbaCy+F(x)17 rbaCz+F(x)18
R px12 py12 mz12 px21 py21 mz21 px23 py23 mz23 px32 py32 mz32 px34 py34 mz34 px43 py43 mz43
La columna “R” representa las incógnitas, y la columna “Q” el valor de esas incógnitas ya calculadas. Pero estos valores están referidos a los ejes locales de cada barra, y no a los ejes generales, que es donde queremos representar los valores de las reacciones en los apoyos. Para realizar esto, habrá que operar de la siguiente manera: ab
Px ab Py ab Mz
T
T
=
Tab _12 T Tab _22 T Tab _32
Tab _13 T Tab _23 T Tab _33
T
T
=
Tba _11 T Tba _21 T Tba _31
Tba _12 T Tba _22 T Tba _32
Tba _13 T Tba _23 T Tba _33
ba
Px ba Py ba Mz
T
Tab _11 T Tab _21 T Tab _31
ab
*
px ab py ab mz
*
px ba py ba mz
T
ba
En ambos sistemas matriciales, todos los elementos son conocidos excepto las incógnitas (sombreadas) por lo cual el cálculo resultará sencillo para cada barra. Las reacciones en los apoyos estarán determinadas por las siguientes ecuaciones: ab
ba
Px = Px + Px ab ba Py = Py + Py ab ba Mz = Mz + Mz ¡Y ya está todo calculado! Eidos Series(n) espera que, sobre esta materia en particular (Reacciones en los Apoyos) en el método matricial de cálculo de estructuras, no quede duda alguna. Para cualquier duda o aclaración, consulte nuestro sitio web, redes sociales de Eidos Series(n), los artículos, video-tutoriales y aplicaciones que desarrollamos.
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FINALIZACION. Eidos Series(n) Engineering es una empresa de reciente creación cuyo propósito es habilitar un espacio de divulgación sobre temas relacionados con la Arquitectura y la Ingeniería. Eidos Series(n) desarrolla este proyecto a través de Software de creación propia y artículos divulgativos integrados en su espacio web. Para alcanzar sus objetivos, Eidos Series(n) necesitará del apoyo de los miembros de su comunidad y de aquellos usuarios que deseen aportar al proyecto nuevos campos de estudio y trabajo, artículos divulgativos, algoritmos y métodos de cálculo programables en cualquier disciplina técnica. No olvide visitar el sitio web de Eidos Series(n) Engineering y realizar una suscripción a este proyecto. Sin el apoyo de estudiantes y profesionales del ámbito de la docencia, la arquitectura y la ingeniería, no podremos desarrollar todo el potencial de este interesante proyecto. Para comprender completamente este artículo divulgativo, recomendamos encarecidamente descargar la aplicación adjunta a la explicación (FSFODB_V101) desde el sitio web de Eidos Series(n) Engineering. Los video-tutoriales pueden encontrarlos en el sitio web y en YouTube.
Lista de Aplicaciones Disponibles de Eidos Series(n) Engineering a 5 de Septiembre de 2.014:
Calculo de las armaduras de tracción y compresión en una sección rectangular de hormigón. Redactor Técnico Publicación: Formación Académica: Especialidad Técnica: Lenguajes Programación: Contacto Personal: Contacto Corporativo:
Método del cálculo matricial de estructuras.
Cálculo de estructuras planas de acero.
D. Sebastián Moya Pérez Ingeniero Técnico Industrial Estructuras e Instalaciones Industriales FLEX, AS3, HTML, PHP, SQL
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