Profr. Efraín Soto Apolinar.

Funciones especiales En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático. Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales. Función constante El caso especial: f ( x ) = a0 , con a0 ∈ R es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante. En este caso, f en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora. Por ejemplo, si nosotros asignamos x = 2, la máquina siempre nos devolverá el valor a0 . Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a x. Por eso no los transforma. Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de f ( x ) no cambia: f (x)

f ( x ) = a0

a0

La Función Constante

−2

−1

x 1

2

3

4

Observa que la función no involucra a la literal x, pues los valores que nos devolverá f no dependen de ninguna manera de los valores x que nosotros le vayamos dando. También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical (y) en y = a0 . Esto es obvio, puesto que f ( x ) siempre es igual a a0 , independientemente del valor del x que nosotros asignemos. En particular, cuando x = 0, y = f ( x ) = a0 . Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto (0, a0 ). Funciones escalonadas Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones. En el ejemplo estudiado en la sección ??, página ??, se explica un ejemplo que muestra una tabla con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos. Peso (gr) 0 < p ≤ 100 100 < p ≤ 200 200 < p ≤ 300 300 < p ≤ 400 400 < p ≤ 500

Importe ($) 12.50 19.00 25.25 31.50 37.50

Peso (gr) 500 < p ≤ 600 600 < p ≤ 700 700 < p ≤ 800 800 < p ≤ 900 900 < p ≤ 1000

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Importe ($) 43.50 49.35 55.20 61.00 66.50 1/5

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Al graficar los datos de la tabla obtenemos la siguiente gráfica escalonada: I ($) 70 60 50 40 30 20 10 p (gr) 1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

En el ejemplo mencionado se explica por qué esta relación sí es una función. Además, se trata de una función escalonada. Grafica la función piso, que se denota por: y = b x c, y que se define como sigue: Ejemplo 1

b x c = mayor entero ≤ x

• Por ejemplo, bπ c = 3, porque 3 es el número entero más grande que es menor que π ≈ 3.141592654 · · · . √ √ • b 26c = 5, porque 5 es el número entero más grande que es menor que 26. • Considerando que e = 2.718281828 · · · , entonces, bec = 2. √ 2 ◦ ◦ • bsin 45 c = 0, porque sin 45 = ≈ 0.7071067812 · · · . 2 √ 3 ◦ ◦ • bcos 30 c = 0, porque cos 30 = ≈ 0.8660254 · · · . 2 • Observa que la función piso solamente ignora los decimales del número y lo deja como un entero. • Otra forma de definir la función es: «es la función que trunca todos los dígitos a la derecha del punto decimal del número». • La gráfica de esta función es la siguiente:

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y 7 6 5 4 3 2 1 x 2

1

3

5

4

6

7

8

9

10

• ¿Puedes justificar por qué está definida en el punto (k, k + 0.5) (k ∈ Z) a partir de la definición?

Otra función escalonada es la función cielo que se denota por f ( x ) = d x e, y que se define por:

d x e = menor entero ≥ x Por ejemplo dπ e = 4, porque 4 es el menor número entero que es mayor que π. Se te queda como ejercicio elaborar la gráfica de esta función. Funciones compuestas La composición de funciones se puede interpretar de dos maneras distintas. (a) Suma de dos o más funciones diferentes para obtener una nueva función. (b) Sustituir una función en otra función para obtener una nueva función. Considera la función: y = 2x+

√

x

Ejemplo 2

como una función compuesta y muestra sus funciones componentes, es decir, sus distintas partes. • La función y = 2 x +

√

x está compuesta como la suma de las funciones: f1 (x) f2 (x)

= 2x √ = x

• El dominio de la función f 1 es el conjunto de todos los números reales • El dominio de la función f 2 es el conjunto de los números reales no negativos. www.aprendematematicas.org.mx

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• Entonces, el dominio de la función compuesta: y = f1 (x) + f2 (x) = 2 x +

√

x

es x ≥ 0, con x ∈ R. • Observa que tomamos la intersección de los dominios de las funciones f 1 y f 2 , porque, por ejemplo, si x = −5, la función f 1 sí puede transformar este√ valor, es decir, x = −5 sí está en / R. el dominio de f 1 , pero no está en el dominio de f 2 porque −5 ∈

En este sentido, una función polinomial y = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · · + a n x n es una función compuesta cuyas funciones componentes son los monomios: a0 ,

a2 x 2 ,

a1 x,

a3 x 3 ,

··· ,

an x n

En el siguiente capítulo veremos por qué el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales. Esto se debe a que el dominio de cada una de las funciones elementales tiene el mismo dominio: R. Para el caso (b), primero vamos a dar la definición de la operación composición de funciones. Definición 1

Composición de funciones Sean y = f ( x ) y y = g( x ) dos funciones. La composición de f en g, denotado por f ◦ g = f ( g( x )) se obtiene sustituyendo la expresión que le corresponde a g en f . Considera las funciones: f (x) =

Ejemplo 3

7x+1 x2 + 1

y

g( x ) = x + 1

Calcula f ◦ g.

• Para calcular f ◦ g basta sustituir g en f y simplificar la expresión, si es posible: f ◦ g = f ( g( x )) =

7 ( g( x )) + 1 7 ( x + 1) + 1 7x+8 = = 2 ( g( x ))2 + 1 ( x + 1)2 + 1 x +2x+2

Con esta definición de composición de funciones, podemos enunciar una propiedad de las funciones inversas: Propiedad de simetría de las funciones inversas Sean f y g funciones inversas. Entonces, Comentario

Ejemplo 4

f ◦ g = f ( g( x )) = x

y

g ◦ f = g( f ( x )) = x

En la página ?? se muestra que f ( x ) = x3 tiene por función inversa a la función g( x ) = Verifica que cumplen con la propiedad antes mencionada.

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√ 3

x.

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• Vamos a verificarlo sustituyendo de acuerdo a como se menciona en la propiedad: f ◦g

=

g◦ f

=

3  √ 3  f ( g( x )) = ( g( x ))3 = 3 x = x1/3 = x q  1/3 √ 3 g( f ( x )) = 3 f ( x ) = x3 = x3 =x

• Entonces, estas funciones si satisfacen esa condición.

En la lista de ejercicios se te pide que verifiques que las funciones que se estudiaron en la sección anterior (??) cumplen con la propiedad de simetría de las funciones inversas.

Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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