PARADA TeÓRICA

31

Función afín. Ecuación explícita de la recta

A la función polinómica de primer grado f(x) = ax + b, siendo ay b números reales, se la denomina función afín. Los coeficientes principal e independiente de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. Ecuación explícita de la recta: y = ax + b ~ Ordenada al origen

+

t

-{-

Pendiente La representación

gráfica de una función afín es una recta .

• La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente (/1y)y la variación de la variable independiente (!1x) de cualquier punto de la misma. a-

Y2 - Yl X2 -

Xl

--

-

/1y

Ax

• La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al ejey. f(O) El valor de la pendiente y

,.

a>O

f·

=b

determina

que una función afín sea creciente,

constante

o decreciente.

. ,,= o

Constante Creciente

A las funciones,afines

Decreciente

que pasan por el origen de coordenadas

(0;0), se las denomina

funciones

lineales.

Representación gráfica de una función afín dada en forma explícita Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b) y .o partir de ella, representar par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a). . y .

'y"

-'&-2

•

x+ 1 •

"':'-- ••

b" 1

.¡

: ¡

un

PARADA TEÓRICA

32

Perpendicularidad y paralelismo entre rectas

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas siy solo si sus pendientes M: y

=

al.x

+

bl /\

=

P: y

+

a2.x

b2 /\

M //P

son iguales. ~

al

=

a2

y = Ox + b

N:y, = 5

H: y, = 1

G:y,=-3

-3

NIIHIIG

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares S: y

=

al.x

+ b1

/\

N: y

=

siy solo si sus pendientes

+ b2

a2.x

S -L N ~

/\

x

son inversos y opuestas. al

= - a21

:

LLZ

a) Hallar la ecuación

b)

de la recta que pasa por el punto (2; 1) Y es paralela

x =2 /\ Y = ax + b ~ Y = 5x - 9

1 = 5.2 + b ~

Hallar la ecuación

de la recta que pasa por el punto

x=-l

y=3

/\

y=ax+b 1 Y = -x

2

~

+-72

Y = 1

/\

/\ 1

3="2(-1)+b

a = 5 1 = 10 + b ~

0=-

1

2

ay

= 5x + l.

b = -9

(-1;3)

Y es perpendicular

a

y = -2x

+ 4.

Ecuación segmentaria de la recta Toda ecuación de la forma ~ + ~ = 1, representa una recta en forma segmentaria. Los denominadores my n representan a la abscisaya la ordenada al origen, respectivamente.

-fu+ *- =1

I

ordelnodo 01 orig:::

cbsciso.clcrigen

Dada la recta y = 3x - 2, para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria siguiente manera: y = 3x -

2 =>

n

'-...m

se procede de la

3x -y = 2.

Para representar gráficamente una función afín en forma segmentaria se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma.

Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma ~."""'I

Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente (a) y un punto perteneciente a la misma (Xl;Yl).

Y -

Yl

=

a(x -

i

Xl)

La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3) es: y - 3 = 2 (x - 1) => y - 3 = 2x - 2 => y = 2x - 2 + 3 => Y = 2x + 1

Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella: (x¡;y¡) y (X2;Y2).

y -

Yl

Y2 -

Yl

La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es:

C~j!)Y(~j2-) XI

YI

y -

1_

y =

"3 x

X2

2

x y 5 - 2 => -2-

3=12

Y2

-

4

"3 +

1 =>

1 _2

y="3x

x -3-

1

"3

2

=> Y- 1 =

(1"3x -"32) .2 =>

_

X -

Xl

X2 -

Xl

,

PARADA TeÓRICA

36

Sistemas de ecuaciones lineales I

Un sistema de ecuaciones grado con dos incógnitas

lineales formado

por dos ecuaciones

de ambas (conjunto

Dos rectas en un plano pueden ser

ax

dos rectas en el plano, y resolverlo

cada una, representa

es hallar la intersección

de primer

{

solución).

incidentes

(tienen

un punto en común) o

dx

paralelas

+ by =

e

+ ey =

f

(no tienen ningún

punto en común o son coincidentes). Los sistemas compatibles

compatibles e incompatibles, según tengan determinados o indeterminados, según tengan una

se clasifican

pueden ser

en

Rectas incidentes

o no solución; o infinitas

los sistemas

soluciones.

Rectas paralelas

... , ... ,.... 1··- ..·· ,.

R¡ ~

n

R2

Determinado

=

R¡ ~

(x¡;y¡)

(solución

única)

n R2

Indeterminado

'------------------------

= R¡ = R2 (infinitas

R¡ ~

soluciones)

Sistema

incompntible

(no tiene solución)

-----------------------~

Sistema

n R2 = 0

cornputible

Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales Para resolver gráficamente sistema de ejes

a) {2X

+y

y

un sistema de ecuaciones,

t.

hallar la intersección

= 1 x - y = 5

:=;.

Y2 -

se deben representar

ambas rectas en un mismo

de ambas.

-2x + 1 x - 5

Sistema compatible determinado S = {(2j-3)}

-x

b)

{ -x

+y +y

= 2 = -3

:=;.

Yl : { Y2 -

x

+

X -

Sistema incompatible 5=0

2 3

PARADA TEÓRICA

37

Sistemas de ecuaciones lineales 11

Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos permiten el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.

0:-=

Método de sustitución Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla X {

-

y = 1

2x - 3y = 1

(a)

Se despeja

x en la ecuación

(b)

Se reemplaza

(a):

x = 1 + Y

la "x" por 2 - Y = 1 =:> -y = 1 - 2 =:> Se reemplaza el valor de

3y + 2y = -16 - 9

Se reemplaza el valor de \ly" obtenido, en cualquiera xr+ (-5) -8 ::;. -5 + x -8 ::;. x = -3

de las dos ecuaciones,

=

9 + 3y

-16 - 2y

=

Se escribe el conjunto

solución:

=:>

5y

=

-25

y se calcula

=:>

y

=-

el de "x":

S = {(-3¡-S)}

Método de reducción por sumas y restas Se "igualan" los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando ambos mietnbrzs convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones para eliminar:.

{15X

5X +2y - 4 {

3x -3y

=

=:>

15

{(5X + 2y).3 = 4.3 (3x - 3y).2 = 15.2

'-------.....---------'

Se igualan los coeficientes de "y"

Se calcula el valor de "x": 21x = 42 =:> x = 2 Se reemplaza el valor de "x" obtenido, en cualquiera 5.2 + 2y = 4 =:> 2y = -6 =:> y = -3 Se escribe el conjunto solución: S = {(2j-3)} /

=:>

+ 6y

= 12

6x - 6y = 30 + 21x

=

42

'--------.....-----' Se suman las ecuaciones miembro a miembro

de las dos ecuaciones,

y se calcula

el de