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PARADA TeÓRICA
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Función afín. Ecuación explícita de la recta
A la función polinómica de primer grado f(x) = ax + b, siendo ay b números reales, se la denomina función afín. Los coeficientes principal e independiente de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. Ecuación explícita de la recta: y = ax + b ~ Ordenada al origen
+
t
-{-
Pendiente La representación
gráfica de una función afín es una recta .
• La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente (/1y)y la variación de la variable independiente (!1x) de cualquier punto de la misma. a-
Y2 - Yl X2 -
Xl
--
-
/1y
Ax
• La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al ejey. f(O) El valor de la pendiente y
,.
a>O
f·
=b
determina
que una función afín sea creciente,
constante
o decreciente.
. ,,= o
Constante Creciente
A las funciones,afines
Decreciente
que pasan por el origen de coordenadas
(0;0), se las denomina
funciones
lineales.
Representación gráfica de una función afín dada en forma explícita Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b) y .o partir de ella, representar par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a). . y .
'y"
-'&-2
•
x+ 1 •
"':'-- ••
b" 1
.¡
: ¡
un
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Perpendicularidad y paralelismo entre rectas
Rectas paralelas Dos rectas son paralelas siy solo si sus pendientes M: y
=
al.x
+
bl /\
=
P: y
+
a2.x
b2 /\
M //P
son iguales. ~
al
=
a2
y = Ox + b
N:y, = 5
H: y, = 1
G:y,=-3
-3
NIIHIIG
Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares S: y
=
al.x
+ b1
/\
N: y
=
siy solo si sus pendientes
+ b2
a2.x
S -L N ~
/\
x
son inversos y opuestas. al
= - a21
:
LLZ
a) Hallar la ecuación
b)
de la recta que pasa por el punto (2; 1) Y es paralela
x =2 /\ Y = ax + b ~ Y = 5x - 9
1 = 5.2 + b ~
Hallar la ecuación
de la recta que pasa por el punto
x=-l
y=3
/\
y=ax+b 1 Y = -x
2
~
+-72
Y = 1
/\
/\ 1
3="2(-1)+b
a = 5 1 = 10 + b ~
0=-
1
2
ay
= 5x + l.
b = -9
(-1;3)
Y es perpendicular
a
y = -2x
+ 4.
Ecuación segmentaria de la recta Toda ecuación de la forma ~ + ~ = 1, representa una recta en forma segmentaria. Los denominadores my n representan a la abscisaya la ordenada al origen, respectivamente.
-fu+ *- =1
I
ordelnodo 01 orig:::
cbsciso.clcrigen
Dada la recta y = 3x - 2, para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria siguiente manera: y = 3x -
2 =>
n
'-...m
se procede de la
3x -y = 2.
Para representar gráficamente una función afín en forma segmentaria se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma.
Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma ~."""'I
Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente (a) y un punto perteneciente a la misma (Xl;Yl).
Y -
Yl
=
a(x -
i
Xl)
La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3) es: y - 3 = 2 (x - 1) => y - 3 = 2x - 2 => y = 2x - 2 + 3 => Y = 2x + 1
Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella: (x¡;y¡) y (X2;Y2).
y -
Yl
Y2 -
Yl
La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es:
C~j!)Y(~j2-) XI
YI
y -
1_
y =
"3 x
X2
2
x y 5 - 2 => -2-
3=12
Y2
-
4
"3 +
1 =>
1 _2
y="3x
x -3-
1
"3
2
=> Y- 1 =
(1"3x -"32) .2 =>
_
X -
Xl
X2 -
Xl
,
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Sistemas de ecuaciones lineales I
Un sistema de ecuaciones grado con dos incógnitas
lineales formado
por dos ecuaciones
de ambas (conjunto
Dos rectas en un plano pueden ser
ax
dos rectas en el plano, y resolverlo
cada una, representa
es hallar la intersección
de primer
{
solución).
incidentes
(tienen
un punto en común) o
dx
paralelas
+ by =
e
+ ey =
f
(no tienen ningún
punto en común o son coincidentes). Los sistemas compatibles
compatibles e incompatibles, según tengan determinados o indeterminados, según tengan una
se clasifican
pueden ser
en
Rectas incidentes
o no solución; o infinitas
los sistemas
soluciones.
Rectas paralelas
... , ... ,.... 1··- ..·· ,.
R¡ ~
n
R2
Determinado
=
R¡ ~
(x¡;y¡)
(solución
única)
n R2
Indeterminado
'------------------------
= R¡ = R2 (infinitas
R¡ ~
soluciones)
Sistema
incompntible
(no tiene solución)
-----------------------~
Sistema
n R2 = 0
cornputible
Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales Para resolver gráficamente sistema de ejes
a) {2X
+y
y
un sistema de ecuaciones,
t.
hallar la intersección
= 1 x - y = 5
:=;.
Y2 -
se deben representar
ambas rectas en un mismo
de ambas.
-2x + 1 x - 5
Sistema compatible determinado S = {(2j-3)}
-x
b)
{ -x
+y +y
= 2 = -3
:=;.
Yl : { Y2 -
x
+
X -
Sistema incompatible 5=0
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Sistemas de ecuaciones lineales 11
Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos permiten el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.
0:-=
Método de sustitución Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla X {
-
y = 1
2x - 3y = 1
(a)
Se despeja
x en la ecuación
(b)
Se reemplaza
(a):
x = 1 + Y
la "x" por 2 - Y = 1 =:> -y = 1 - 2 =:> Se reemplaza el valor de
3y + 2y = -16 - 9
Se reemplaza el valor de \ly" obtenido, en cualquiera xr+ (-5) -8 ::;. -5 + x -8 ::;. x = -3
de las dos ecuaciones,
=
9 + 3y
-16 - 2y
=
Se escribe el conjunto
solución:
=:>
5y
=
-25
y se calcula
=:>
y
=-
el de "x":
S = {(-3¡-S)}
Método de reducción por sumas y restas Se "igualan" los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando ambos mietnbrzs convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones para eliminar:.
{15X
5X +2y - 4 {
3x -3y
=
=:>
15
{(5X + 2y).3 = 4.3 (3x - 3y).2 = 15.2
'-------.....---------'
Se igualan los coeficientes de "y"
Se calcula el valor de "x": 21x = 42 =:> x = 2 Se reemplaza el valor de "x" obtenido, en cualquiera 5.2 + 2y = 4 =:> 2y = -6 =:> y = -3 Se escribe el conjunto solución: S = {(2j-3)} /
=:>
+ 6y
= 12
6x - 6y = 30 + 21x
=
42
'--------.....-----' Se suman las ecuaciones miembro a miembro
de las dos ecuaciones,
y se calcula
el de