Universidad de Colima Facultad de Ciencias

Guía de Laboratorios Física Mecánica

Profesor: César A. Terrero Escalante

Normas Generales La parte experimental del curso de Física Mecánica está compuesta de doce prácticas de laboratorio que están descritas en esta guía. Los alumnos deben elaborar reportes correspondientes a cada una de estas prácticas, los cuales serán usados para evaluar la parte experimental del curso. Es importante que estos reportes sean elaborados siguiendo las reglas descritas más adelante en esta guía. Recibirán una calificación de cero aquellos reportes que sean entregados fuera del plazo correspondiente o relacionados con una práctica en la cual el alumno no haya participado. La participación se confirmará mediante la firma de la lista de asistencia. Firmar esta lista es responsabilidad exclusiva del alumno. En los exámenes parciales se incluirán preguntas sobre el contenido de las prácticas de laboratorio, además la calificación de los mismos se dará como:

CP = ( CE + CL )/2 donde CE es la calificación del exámen escrito y CL es la calificación promedio de los reportes correspondientes al período evaluado.

Elaboración de los reportes Lea atentamente las siguientes normas: 1. Los reportes podrán ser hechos de manera individual o en equipos de máximo tres alumnos. No se aceptarán reportes firmados por más de tres alumnos. 2. Cuando el reporte sea elaborado en equipo, los miembros del equipo tienen que haber realizado la práctica con el mismo equipo, el mismo día. 3. Los reportes deben ser entregados en la clase práctica siguiente a la de culminación de la práctica. 4. Para evitar atrasos, aconsejamos que los reportes sean elaborados oportunamente, dando tiempo para aclarar antes de la entrega las dudas que puedan surgir. 5. Los reportes deben tener la siguiente estructura: 1

a) Título de la práctica. b) Objetivos de la práctica.  Mencione los objetivos perseguidos en cada práctica, o sea, ¿qué cantidades físicas deben ser determinadas?, ¿qué leyes físicas deben ser verificadas?, ¿qué fenómenos deben ser estudiados? Evite copiar simplemente la guía. c) Material utilizado.  Haga un listado del material utilizado para el montaje de la práctica. d) Esquema experimental.  Haga un dibujo esquemático de la práctica. No olvide identificar los elementos principales de su esquema. e) Procedimiento experimental.  Describa de forma concisa (y sin copiar esta guía) el procedimiento realizado durante la práctica y también durante el procesamiento de los datos. Use los tiempos verbales correctos, o sea, en primera persona del plural, si la práctica fue realizada en equipo. Describa cómo fue montada la práctica, qué conexiones fueron hechas y por qué. No olvide hacer las observaciones especiales que afectaron sus mediciones. f) Recolección y procesamiento de los datos.  Las fórmulas deben acompañarse de una explicación concisa sobre su origen físico.  Ponga su datos y cálculos en tablas para que sean fácilmente verificados. Las tablas deben contener siempre títulos descriptivos, los símbolos y las unidades de las cantidades medidas o calculadas.  Los gráficos también deben tener títulos descriptivos. No olvide especificar las cantidades y unidades representadas por los ejes correspondientes. Nunca coloque en los ejes los valores medidos de las cantidades, sino valores igualmente espaciados para ayudar a la lectura de los puntos. Use siempre la escala adecuada para los ejes, ya sea, lineal, logarítmica u otra conveniente. Cuando tenga que ajustar una recta o curva sobre los puntos medidos, no lo haga a mano alzada. Sugerimos que se use el método de mínimos cuadrados descrito en un apéndice de esta guía. g) Resultados y conclusiones.

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 Describa sus resultados y conclusiones obtenidas, y haga un análisis de estos resultados, sin olvidar considerar las posibles fuentes de errores y las aproximaciones con respecto al caso ideal. Recuerde que todas sus conclusiones deben estar basadas en los datos experimentales, en caso contrario no deben ser consideradas como producto de su actividad experimental. 6. Las preguntas propuestas en la guía de prácticas tienen por objetivo estimular al alumno a pensar en algunos detalles relevantes, desde el punto de vista físico, para el experimento. Ellas deben ser respondidas en los puntos pertinentes de cada reporte como, por ejemplo, la sección de procesamiento de los datos o las conclusiones. Recuerde que los tópicos importantes que no sean abordados en los reportes podrán implicar una calificación más baja. 7. Sugerimos enfáticamente que los alumnos lean la sección de la guía correspondiente a cada práctica antes de realizar la misma. Este hábito facilitará su participación en los experimentos y la comprensión de sus resultados. 8. Al finalizar el reporte, relea su trabajo y revise si su exposición obedece a una línea lógica y el texto reproduce claramente el trabajo realizado. En el caso de que sus resultados hayan conducido a errores muy grandes, verifique si se manipularon correctamente las unidades involucradas en el problema y si juzga necesario repetir la práctica, discuta con su profesor una fecha oportuna.

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Práctica no. 1

Mediciones y desviaciones 1.1 Introducción El objetivo de una ciencia es entender algún aspecto, generalmente bien determinado, del mundo en que vivimos. Para esto no es suficiente la simple observación. Si consideramos a la Naturaleza como un juego muy complejo con reglas desconocidas, entonces la misión de los investigadores científicos es descubrir esas reglas, las leyes de la Naturaleza. Para descubrir estas leyes mediante la investigación experimental es necesaria una combinación de observación, raciocinio y experimento, que son etapas del Método Científico del Conocimiento. De forma simple, el Método Científico puede ser resumido de la siguiente forma: i. El primer paso es la observación. ii. Se realiza un conjunto de experimentos con el objetivo de aislar el fenómeno que se quiere estudiar. Así, se le puede observar muchas veces e identificar (separadamente) los factores que intervienen en el fenómeno dado. iii. En esta etapa surgen las hipótesis de trabajo. Es en este momento que, con base en las observaciones, el investigador intenta inferir las leyes que gobiernan el fenómeno estudiado, o sea, las "reglas del juego". Para simplificar el problema, el investigador necesita hacer abstracciones y eliminar de su estudio aquellos factores que no son esenciales. iv. Finalmente, las hipótesis elaboradas son verificadas con nuevos experimentos. Una teoría debe presentar las siguientes características: •

ser capaz de explicar un número grande de fenómenos con un número mínimo de leyes físicas,

•

predecir nuevos fenómenos que puedan ser observados (o sea, predicciones verficables).

En el estudio de un fenómeno físico es fundamental, por tanto, la realización de mediciones.

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La medición de las cantidades físicas nos permite obtener información acerca de cómo estas pueden estar correlacionadas, lo que caracterizaría el fenómeno estudiado.

Primera parte: Cifras significativas

Consideramos, para empezar, la cantidad física de longitud y su medición. Medir una longitud determinada significa compararla con otra, escogida previamente como patrón de medida. Este proceso es común en todas las mediciones. Así, toda medida presupone una unidad básica a ser escogida, por lo cual es arbitraria. Podemos escoger cualquier longitud (siempre que no varíe) como unidad del patrón de medida para la cantidad deseada (en este caso, la longitud). 1. Tome como unidad de medida la tira de cartulina que encontrará en su mesa. Escoja un nombre para esta unidad de medida. 2. Mida el largo y ancho de la superficie superior de su mesa usando esta tira como instrumento de medida. 3. Exprese el resultado en términos de su unidad de medida. ¿Cómo puede mejorar esa medición? 4. Calcule el área de la superficie de la mesa en términos de la unidad de longitud utilizada. 5. Defina ahora submúltiplos de su unidad de longitud, dividiéndola en 10 partes iguales (use 11 pautas de una hoja de cuaderno). Cada pedazo corresponderá a un décimo de la unidad original. 6. Mida nuevamente el largo y ancho de su mesa. Exprese el resultado en términos de la unidad de medida y décimas de esta. Compare la precisión de este resultado con la precisión del punto 3. Calcule el área de la mesa y compare con el resultado del punto 4. 7. Si dividiese cada décimo de su unidad de medida en otras 10 partes iguales y usase este nuevo instrumento para medir el largo de su mesa, ¿con cuántas cifras decimales expresaría su resultado? Y para el área de la mesa, ¿cuántas cifras decimales serían necesarias? 8. Si registrase estas medidas en un reporte, ¿qué información debería ser incluída para que, en el futuro, otra persona pudiese conocer las dimensiones de la mesa a partir de 5

la lectura de dicho reporte?

(Discusión sobre la unidad patrón (invariante y accesible), cifras significativas y desviación estimada). Debe haberse observado que la primera medición realizada utilizando toda la tira de cartulina como unidad de longitud no fue tan precisa como la segunda, puesto que debió sobrar un pedazo de mesa menor que el tamaño de la tira. El resultado puede ser expresado solamente con el número entero realmente leído, seguido por una cifra que representa la fracción de unidad estimada por el experimentador, acompañada por la unidad de medida. Por ejemplo, 9.X UNI, lo que significa que la longitud de la mesa sería, con certeza, 9 veces la unidad UNI y que el pedazo que sobra, menor que la unidad UNI, está siendo estimado en una fracción 0.X de UNI. La cifra X es llamada, cifra dudosa. Cuando la misma medición fue realizada con la unidad UNI subdividida en 10 partes, se debió obtener una mayor precisión puesto que el pedazo de mesa sobrante ahora debió ser menor. El resultado de la misma medición tiene ahora un número mayor de cifras: 9.4X UNI. La cifra dudosa se encuentra ahora en la centésima y no en la décima. Las cifras (en número mínimo1) que expresan el resultado de una medida son llamadas cifras significativas. Si hubiésemos subdividido nuevamente en 10 partes cada subdivisión ya hecha, el resultado de la medición podría ser expresado con tres cifras seguidas por la cifra dudosa, con un total de 4 cifras significativas (por ejemplo, 9.43X UNI). Al anotar el resultado de una medición, la última cifra escrita es la cifra dudosa que es estimada. De la misma manera se lee el resultado de la medición realizada por otra persona, de manera que es siempre posible conocer la precisión del instrumento utilizado para la medición. Podemos concluir entonces que el número de cifras significativas de una medida no es arbitrario, o sea, no podemos representar el resultado de una medición con cualquier número de cifras. Sólo debemos incluir las cifras que fueron realmente medidas con el instrumento de medición utilizado. Entonces, el número de cifras significativas depende del instrumento de medición usado. Por ejemplo, si estamos usando una regla graduada en milímetros (o sea, con una precisión milimétrica), entonces debemos expresar una medida de manera apropiada para reflejar esta 1 Con esto queremos decir que, por ejemplo, 5.64m y 005.64m representan la misma medida ya que tienen 3 cifras significativas, donde 4 centésimas es la cifra dudosa. En cambio, 5.64m y 5.640m expresan medidas diferentes.

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precisión, como se representa en la figura 1.1.

Figura 1.1: Medida de longitud al usar una regla graduada en milímetros. La misma medición hecha con un pie de rey (que tiene una precisión de décimas de milímetro) tendría una cifra significativa más, como puede observarse en la figura 1.2.

Figura 1.2: Medida de longitud al usar un pie de rey con precisión de décimas de milímetros. Los buenos fabricantes de instrumentos de medición tienen el cuidado de no marcar más subdivisiones de las que la precisión del instrumento permite. Por eso, podemos considerar, en general, que la desviación (o error) introducido por el instrumento en una lectura es de, aproximadamente, la mitad de la menor subdivisión de la escala del instrumento. A esta desviación se le denomina desviación estimada. Una única medida debe ser expresada como2: (medida ± desviación estimada) unidad. A continuación veremos algunos criterios a seguir en las operaciones con cifras significativas: 1. Suma y substracción: se procura conservar las cifras de la mayor medida. Por ejemplo: 10.2m + 0.543m = 10.7m Esta regla se puede comprender mejor si colocamos una x después de la cifra dudosa en cada uno de los lugares de suma o substracción. La x nos dice que no sabemos 2 Un desvío estimado debe tener solamente una cifra significativa.

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nada sobre el número correspondiente a ese lugar. La operación de suma nos daría: 10.2xxx +

0.543x 10.7xxx

2. Multiplicación y división: el resultado debe expresarse con el número de cifras significativas de la medida más pobre en cifras significativas, excepto en los casos en que el producto de las cifras más a la izquierda ya provee un número con más cifras que los originales (por ejemplo, 8.1g ˟ 5.23m/s = 45.1g m/s). En estos casos el resultado será el número de cifras significativas de la medida más pobre más una. Ejemplos: 1) 3.6s ˟5.1m/s = 18.4m 2) 2.386s ˟3.0m/s = 7.2m 3) 2.386s ˟3.00m/s = 7.16m 4) 2.386s ˟3m/s = 7m 5) 2.386s ˟4.7m/s ˟3.32g= 37.2 g m Ejercicios: Repita las cuentas de los ejemplos y muestre que son correctas.

Segunda parte: Desviaciones Vimos que el resultado de una medición tiene un número limitado de cifras significativas. Esto refleja la limitación de la precisión de cualquier instrumento utilizado. No obstante, la naturaleza del instrumento de medición no es el único factor que influye en el resultado de una medición. 1. Mida con un cronómetro el período del péndulo simple que puede ser montado con el material disponible en su mesa. El período es el tiempo necesario para que el pédulo complete un ciclo. Procure soltarlo siempre desde la misma altura, para evitar que las condiciones iniciales sean modificadas. 2. Repita esta medición 10 veces. 3. Construya una tabla en la cual consten el número de medida y el período 8

correspondiente. 4. ¿Las medidas son iguales? 5. ¿Cuál es la desviación estimada del instrumento de medición (el cronómetro)? Compare esa desviación con las variaciones encontradas entre las medidas. 6. ¿Cuáles son los factores principales que influenciaron sus errores o desviaciones? (O, mejor, ¿por qué las medidas son diferentes?). Como vimos en la actividad anterior, no siempre el error corresponde a la mitad de la menor división del instrumento de medición. Todavía hay un margen de error que no se debe al instrumento, sino al propio proceso de medición.

1.2 Valor promedio y desviación promedio. El valor promedio es el valor más probable cuando se hace una serie larga de mediciones de la misma cantidad en las mismas condiciones experimentales. El valor promedio es dado por:

donde xi es la i-ésima medida de la cantidad x y n es el número total de medidas. La desviación de una medida es la diferencia entre la medida y el valor promedio de las medidas:

con δi que representa la desviación de la i-ésima medida con relación al valor promedio. La desviación promedio de una serie de medidas es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de cada medida3:

En una serie de medidas, si hacemos la sumatoria de δi sobre todas las medidas, cuanto mayor sea el número de mediciones realizadas, más cercano a cero será el resultado. Observe, por 3 Como en el caso de la desviación estimada, la desviación promedio debe tener sólo una cifra significativa.

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tanto, que representa el promedio de los valores absolutos de las desviaciones δi y no del valor de estas. Existe también la desviación porcentual o relativa de la medida y la

desviación

porcentual (o relativa) promedio de una serie de medidas que son, respectivamente, |δi| y tomadas en porcentaje:

Preguntas: Con los resultados obtenidos en la segunda parte, responda: 1) ¿Cuál es la desviación promedio y la desviación porcentual promedio del período del péndulo simple? 2) Escriba el resultado del experimento (la medida del período simple considerado) de forma correcta.

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Práctica no. 2

Escalas y gráficos

2.1 Objetivos Construir gráficos a partir de los datos de las mediciones y obtener relaciones funcionales entre las cantidades físicas mediante estos gráficos.

2.2 Introducción Después de hechas las mediciones, si los resultados de los experimentos (o datos) se amontonan desordenadamente no nos brindarán ninguna información sobre la existencia o no de alguna relación entre ellos. Un procedimiento que facilita la identificación de estas relaciones, si existen, es la representación gráfica de los datos.

2.3 Primera parte: Escalas Para la construcción de un gráfico, primeramente debemos definir que es una escala. Una escala es un segmento de recta marcado con pequeños trazos transversales. A la distancia real entre estos trazos se le da el nombre de paso. Cada uno de estos trazos está asociado a un valor de la cantidad física estudiada. A la diferencia entre los valores de la cantidad física asociados a dos trazos consecutivos se le denomina tramo. Veamos un ejemplo:

p(paso) = 1cm; t(tramo) = 5g En este ejemplo, cada centímetro en el papel representa 5 gramos de masa. El módulo de una escala se define como la razón entre el paso y el tramo, M = p / t, o sea, nos dice cuál es la relación que existe entre la distancia en el papel y las variaciones de la cantidad 11

física. En el ejemplo anterior tenemos:

lo que significa que cada 1 cm en la escala representa 5 g. Podemos tener varios tipos de escalas, en dependencia del paso considerado. Se dice que una escala es lineal o uniforme si el paso es constante (tenemos una escala uniforme en el ejemplo anterior), o es variable si el paso cambia entre tramo y tramo. Generalmente estas variaciones del paso obedecen una relación funcional (logarítmica, de potencia, etc). La escala recibe el nombre de la función que determina la variación del paso. Para evitar el amontonamiento de los datos en una parte del gráfico, o sea, para distinguirlos mejor y optimizar el aprovechamiento del papel, debemos encontrar el módulo máximo, o sea: longitud del segmento de recta M ≤ ----------------------------------------intervalo de la cantidad medida Por ejemplo, si tenemos 10 cm para representar la velocidad de un cuerpo que varía de 0 a 15 m/s, el módulo máximo es de (10 cm) / (15 m/s). Esto significa que la escala que mejor aprovecharía el papel disponible (10 cm) sería aquella donde cada centímetro representase 1.5 m/s. No siempre el módulo máximo es un número entero o de fácil manipulación. En estos casos podemos optar por un módulo menor. Dejaremos de aprovechar todo el papel a cambio de tener una escala más razonable para la lectura. Recordatorios: i. No es conveniente registrar en los ejes los valores de las cantidades físicas medidas, ni trazar líneas para marcarlas. ii. En los extremos de los ejes deben estar indicadas las cantidades físicas correspondientes con sus respectivas unidades. Ejercicio 1: Construya una escala de temperaturas, de 0° a 35° C usando un segmento de recta de 10 cm.

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2.4 Segunda parte: Gráficos cartesianos El gráfico cartesiano nos es familiar porque es construido con una combinación de dos escalas ortogonales (o perpendiculares). El punto de intersección de las dos escalas es llamado origen del gráfico. Nótese que el origen del gráfico no corresponde necesariamente al origen de cada una de las escalas. A la escala horizontal le damos el nombre de eje de las absisas, mientras que a la escala vertical le llamamos eje de las ordenadas. La siguiente figura muestra un ejemplo de gráfico cartesiano, con pasos diferentes en los dos ejes.

2.5 Tercera parte: Determinación de la ecuación de una recta Consideremos una recta que relaciona las variables x y y: y=ax+b donde a y b son parámetros con un significado bien definido: a es el coeficiente angular de la recta (su pendiente, o sea, indica su grado de inclinación) y b corresponde al valor inicial de la variable y (o sea, el valor de y cuando x=0). Matemáticamente tenemos: x=0⇨y=b

y2 – y1

cateto opuesto a θ

sen θ

a = --------------- = --------------------------- = ------------- = tan θ x2 -x1

cateto adyacente a θ 13

cos θ

Experimento 1: 1. Mida el período de oscilación del péndulo simple para cinco longitudes diferentes del hilo. Haga la medición, por lo menos, tres veces (¿por qué?). Haga una tabla que asocie la longitud del hilo con el cuadrado del período T2. Construya un gráfico cartesiano con esos datos, colocando T2 en el eje de las ordenadas. Considere que la longitud máxima disponible para cada escala es de 10 cm. 2. Con esas mismas mediciones construya el gráfico l ✕ T. ¿Cuál es la ventaja de considerar T2 en lugar de T en este problema? Veamos a continuación algunos métodos para determinar la ecuación de una recta a partir de los datos. Si la función que relaciona dos variables es una recta o su linearización, esta recta será especificada unívocamente si conocemos a los parámetros a y b. Estos coeficientes pueden ser encontrados mediante los siguientes métodos (enlistados de menor a mayor rigor matemático): 1. Pendiente e intercepción: basta considerar que a indica la inclinación de la recta y b su intersección con el eje de las ordenadas cuando el valor de la absisa x es nulo. Entonces trazamos a simple vista una recta sobre los datos y determinamos sus parámetros directamente del gráfico, como se muestra en la figura.

2. Puntos escogidos: como la ecuación de la recta nos da dos incógnitas (a y b), podemos utilizar el método de geometría analítica, o sea, tomamos dos puntos P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2) y escribimos la ecuación de la recta al pasar por cada uno de ellos (ver la figura anterior). Tendremos entonces dos ecuaciones y dos parámetros a determinar. Basta resolver el sistema para obtener a y b. (Es importante escoger los puntos bien alejados entre sí, de manera que pequeños errores en sus coordenadas no conlleven a grandes diferencias entre la recta verdadera y la recta ajustada). 14

Tenemos:

de donde:

3. Promedios: Para un dato xi sea yi el valor de la coordenada correspondiente sobre la recta. Sean yi∓ las ordenadas de los datos cuyos puntos quedaron por debajo (-) o por arriba (+) de la recta. Consideramos la recta un buen ajuste a los puntos experimentales si:

donde n es el número de puntos experimentales. Conocemos que:

Entonces ,

Como tenemos dos coeficientes a determinar, a y b, podemos dividir la tabla disponible en dos partes y aplicar esta última ecuación a cada parte separadamente. Con las dos ecuaciones resultantes podemos formar un sistema cuya solución nos provee los valores de a y b. Este último método utiliza explícitamente la información de todos los datos experimentales 15

para determinar la recta que mejor los ajusta. Si el número de datos es suficientemente grande, entonces el ajuste debe resultar suficientemente bueno (¿cómo se puede valorar si el número de datos es suficientemente grande?).

Ejercicio 2: Con la tabla obtenida en el experimento 1 ( l ✕ T2): a. Obtenga la ecuación de la recta usando los tres métodos descritos aquí. b. Dibuje la tres rectas y compare los resultados.

2.6 Cuarta parte: Escalas logarítmicas – Un ejemplo de escala variable Una escala variable recibe el nombre de la función escogida para representarla. Una escala es logarítmica si el paso varía logarítmicamente. Se dice que esta escala es de una 1, 2 o 3 décadas si la función incluye 1, 2 o 3 potencias de 10, respectivamente. El módulo en estas escalas es calculado de la siguiente manera: si conocemos el tamaño máximo disponible para la construcción de la escala, L, y que la cantidad física varía entre xi y xj:

Por ejemplo, sea una escala a ser construida sobre un segmento de recta de 20 cm (L = 20 cm). Si queremos construir una escala logarítmica de dos décadas, debemos construir el módulo correspondiente para cada década (que utilizará la mitad del espacio disponible):

donde hemos usado que log(1) = 0 y log(10) = 1. El módulo nos permite descubrir cuál es la distancia, a partir del origen, que coincidirá con el valor del logaritmo de un determinado número. De ese modo, al construir la escala, los trazos son dibujados no en las posiciones correspondientes a los valores de la cantidad física estudiada, sino en las posiciones de sus logaritmos. Si definimos Lxi como la distancia desde el origen hasta el logaritmo de xi, entonces:

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Por lo tanto,

y la escala construida así tiene la forma:

Existen hojas de papel propias para gráficos en escala logarítmica. Pueden ser mono-log o di-log, dependiendo de si uno o los dos ejes son representados en

escala logarítmica,

respectivamente. El uso de tales escalas puede ser muy útil para la linealización de curvas experimentales. Por ejemplo, si una distribución de puntos experimentales está bien representada por una función exponencial, podemos transformarla en una recta si tomamos el logaritmo de ambas partes de la ecuación, o sea: es linealizado así:

lo que representa la ecuación de una recta para los puntos (x, log(y)). 17

Un procedimiento análogo transforma una función de potencia en una recta, mediante el cambio de variables:

Ejercicio 3: Linealice la función

Ejercicio 4: Utilice escalas logarítmicas para linealizar las curvas del experimento 1 y encuentre la ecuación de la recta a partir de estos nuevos gráficos. Compare sus resultados.

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Práctica no. 3

Procesamiento estadístico de los datos y propagación de errores 3.1 Introducción Como fue explicado en la práctica sobre mediciones y desviaciones, el resultado de una medición debe ser expresado de la siguiente forma:

donde •

A es el valor numérico de la cantidad x obtenido a partir de una o más mediciones (en este último caso A es el valor promedio de las mediciones),

•

ΔA es el valor numérico de la incertidumbre (o desviación) de la medición. Este corresponde a la desviación estimada del instrumento de medición, en el caso de una única medición, y a la desviación promedio (incrementada o no a la desviación estimada) en el caso de una serie de mediciones,

•

n es una potencia de 10, si es necesario usar notación científica,

•

u es la unidad de la cantidad x (por ejemplo, metro (m), en el caso de ser x una longitud). De un modo general podemos clasificar los errores o desviaciones en dos grupos: errores

sistemáticos y errores estadísticos (o accidentales). Los errores sistemáticos son debidos a factores que actúan siempre de la misma manera afectando los resultados de las mediciones. Ejemplos típicos de estos factores son a) errores en la calibración de los instrumentos, b) procedimiento incorrecto del experimentador, c) factores que son despreciados injustificadamente y d) defectos de los instrumentos. Los errores estadísticos son aquellos debidos a factores casuales y que ocurren de diferentes maneras en distintos momentos durante las mediciones. Sus causas más comunes son: a) variaciones de la temperatura, de la red eléctrica, de la humedad del aire, etc., b) errores de juicio (estimación de la menor división de la escala del instrumento en un grupo de mediciones, por ejemplo) y c) errores debidos a la naturaleza de la cantidad física medida.

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Los errores sistemáticos deben ser eliminados o minimizados por el experimentador. Por su parte, los errores estadísticos son inevitables. No obstante, estos últimos obedecen leyes matemáticas que nos permites sacar conclusiones sobre el fenómeno estudiado, incluso si las mediciones están sujetas a errores.

Primera parte 3.2 Histogramas y la función de densidad de probabilidad Un buen modo de representar el conjunto de datos resultante de una serie de mediciones es a través de un histograma. Este es un gráfico cartesiano en el cual, en el eje de las absisas se representan los valores de la cantidad medida, mientras que en el eje de las ordenadas se representa la frecuencia con que ocurre un valor dado en esa serie de mediciones. Por ejemplo, si tenemos las calificaciones de 36 estudiantes, las cuales varían entre 0 y 10, podemos organizarlas mediante un histograma de la siguiente forma: agrupamos a los estudiantes en función de sus calificaciones, •

5 estudiantes con calificación entre 0 y 2.0

•

8 estudiantes con calificación entre 2.1 y 4.0

•

13 estudiantes con calificación entre 4.1 y 6.0

•

6 estudiantes con calificación entre 6.1 y 8.0

•

4 estudiantes con calificación entre 8.1 y 10 En el histograma ponemos los intervalos de calificaciones en el eje horizontal y la frecuencia

de calificaciones (el número de estudiantes con una calificación dada) en el eje vertical, como se muestra en la figura.

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Experimento 1: 3.3 Material Necesario: ✔ Cronómetro simple ✔ Cronómetro con dos sensores ópticos ✔ Trillo de aire con un planeador ✔ Soporte para elevar el extremo del trillo 1 o 2 cm

3.4 Procedimiento: 1. Eleve uno de los extremos del trillo de aire utilizando un soporte de 1 o 2 cm. 2. Escoja un punto x1 aproximadamente a ¼ del extremo inferior del trillo de aire y anote esta posición. 3. Coloque un sensor óptico en x1 y otro aproximadamente a 100 cm de x1. 4. Prepare el cronómetro en el modo PULSE. Así el cronómetro será disparado cuando la luz del primer sensor sea interrumpida y será detenido cuando se interrumpa la luz del segundo sensor. 5. Presione RESET para limpiar el indicador del cronómetro. 6. El planador será colocado en la parte más alta del trillo de aire y liberado, siempre desde esta misma posición. Con los dos cronómetros, el simple y el óptico, registre el tiempo que toma al planador pasar entre los dos sensores. Repita la medición 100 veces. 7. Obtenga el valor promedio del tiempo medido con cada cronómetro. 8. Para las mediciones hechas con cada cronómetro, obtenga la desviación de cada uno de los datos con respecto al valor promedio. 9. Para las mediciones hechas con cada cronómetro, construya un histograma colocando las desviaciones en el eje horizontal y el número de datos correspondientes a cada desviación en el eje vertical. 10. Para las mediciones hechas con cada cronómetro, trace una curva aproximada que pase por los puntos medios de cada uno de los intervalos.

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3.5 Preguntas. 1. Si la probabilidad de ocurrencia de un determinado valor xi está dada por: N(xi) P(xi) = -----------N donde N(xi) es el número de mediciones con valor xi y N es el número total de mediciones, para las mediciones hechas con cada cronómetro, ¿cuál es el valor del tiempo que tiene mayor probabilidad de ocurrir? 2. Para las mediciones hechas con cada cronómetro, ¿cuál valor de tiempo debe estar más cerca del valor verdadero de la medición del tiempo de paso del planador entre los sensores? 3.

Compare los resultados obtenidos con cada cronómetro.

Segunda parte 3.6 Función de densidad de probabilidad: la distribución normal o curva de Gauss En el experimento anterior vimos que el valor promedio de un conjunto de datos Xi nos provee el valor más próximo posible al valor verdadero de la medición de la cantidad física X, porque en el valor promedio se concentra el mayor número de datos. El valor verdadero, por su parte, no es conocido. Si aumentaramos el número de datos procesados (o sea, si hubiésemos realizado 1000 o 10000 mediciones en lugar de 100), tendríamos un valor promedio aún más cercano al valor verdadero de la medición. De esta manera, si fuese posible extender el número de mediciones hasta infinito, tendríamos el valor verdadero de la medición y este coincidiría con el valor promedio de los datos. Aunque el valor promedio sea el más probable, no es el único posible. Todos los demás pueden ocurrir con cierta probabilidad, típicamente menor que la del promedio.

3.7 Procedimiento (Continuación): 11.

Encuentre la probabilidad de ocurrencia de cada resultado en el experimento y

construya un nuevo histograma, ahora con la desviación de cada medición en el eje

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horizontal y la probabilidad correspondiente en el eje vertical. 12.

Calcule la suma de todas las probabilidades, ¿qué significa el resultado?

La función de densidad de probabilidad está representada por una curva que describe la distribución de probabilidades para cada valor (o intervalo) de una medición. Una cantidad muy importante en la caracterización de un experimento, o de un conjunto de datos, es la varianza,

a partir de la cual se estima la desviación estándar de la muestra de datos, que nos dan una idea de cuán dispersos están los datos alrededor del valor promedio. Cuando una cantidad tiene un valor verdadero (la longitud de un objeto, por ejemplo), σ es un indicador de la precisión del experimento. Cuando la cantidad no tiene un valor verdadero (calificaciones en una prueba de Mecánica, por ejemplo), σ nos indica la forma en que los valores de la cantidad medida (calificación) varían alrededor del valor promedio. Existen diferentes funciones de densidad de probabilidad, unas más adecuadas que otras, en dependencia del problema estudiado. En el caso de las mediciones, estas típicamente siguen una distribución normal, dada por

que nos da la pro babilidad de obtener en una medición un valor cuyo desvío sea x - < x >. Si sustituimos 1/2σ2 por h2, conocido como módulo de precisión, tenemos:

Cuanto mayor sea h (o menor sea σ), más aguda resultará la curva resultante y los errores mayores tendrán una menor probabilidad de ocurrencia, lo que significa que la precisión del experimento es alta. Si h es pequeño (o sea, σ es grande), la curva será achatada (o dispersa) lo que revelará la baja precisión del experimento (habrá un número considerable de mediciones con grandes desviaciones). El área delimitada por la curva F entre las desviaciones –δ y +δ nos da la probabilidad de que un resultados de una medición difiera en más que δ de su valor verdadero. Para una distribución normal, si escogemos δ = σ, entonces esta probabilidad es del 68%.

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3.8 Procedimiento (Final): 13.

Utilice algún programa para dibujar las curvas de Gauss de los conjuntos de datos

obtenidos en este experimento. Compare cada curva con la curva correspondiente obtenida en el paso 10 de este procedimiento. Compare las dos curvas de Gauss entre sí.

Tercera parte 3.8 Propagación de errores Problemas: 1. Discuta las posibles respuestas y lo que su intuición indica respecto al error del resultado cuando trabajamos con las cantidades A=1001 ± 1 y B=2 ± 1 en las operaciones matemáticas siguientes (sugerencia, haga las operaciones con los extremos del intervalo de confianza): a) A + B y A – B b) A × B y A / B 2. Una medición del diámetro del Sol dió l = 1390600 km con un Δl = 400 km. Compare esta medida con la medida de A en el problema anterior y escoja la afirmación más adecuada (justifique su respuesta): a) la medida de A es mejor que la medida del diámetro del Sol, b) la medida de A es peor que la medida del diámetro del Sol, c) no puedo comparar ambas medidas 3. Calcule. a) La desviación percentual de A, b) La desviación percentual del diámetro del Sol, c) ¿Qué medida tiene una mayor desviación percentual? ¿Qué significa eso? En los experimentos es frecuente obtener medidas indirectas mediante el uso de relaciones funcionales que expresan leyes entre dos o más cantidades físicas. Supongamos que la cantidad V que se quiere determinar es una medición indirecta obtenida a partir de la función f que relaciona a V con las cantidades x y y medidas directamente, o sea, V = f(x,y). Por ejemplo, x podría ser el largo

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de la mesa de experimentos, y su ancho y V su área. ¿Cuál será la desviación ΔV? Para responder esa pregunta necesitamos hacer uso del cálculo diferencial 4. Una pequeña variación en x y y induce una pequeña variación en V llamada diferencial total:

Para los experimentos, podemos considerar dx, dy y dV como las desviaciones de x, y y V respectivamente, siempre que estas desviaciones sean pequeñas comparadas con las cantidades correspondientes. En este caso podemos escribir la ecuación anterior como:

Si

Δx y Δy poseen signos bien definidos, ΔV representa la desviación (o desviación

absoluta) de la cantidad V. Si Δx y Δy fueran precedidas del signo ±, ΔV será dada por el mayor valor del módulo de la última expresión, o sea,

La desviación relativa percentual será entonces dada por:

Veamos algunos ejemplos:

Primera regla: si la operación fuese de suma o sustracción, el error o desviación será 4 Es posible que en esta etapa el estudiante no esté familiarizado con el cálculo diferencial. Le sugerimos intentar comprender la esencia de las derivaciones y recordar las expresiones finales. Más adelante podrá regresar a este punto.

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la suma de los valores absolutos de las desviaciones.

y la desviación relativa es dada por:

Segunda regla: si la operación fuese un producto o división, el error relativo será igual a la suma de los errores relativos. Entonces, el error será:

Por lo tanto: o

Tercera regla: si la operación fuese de potencia (V=x n), el error relativo será igual a n veces el error relativo de la cantidad medida. Problemas: Calcule el error en los siguientes casos:

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Práctica no. 4

Velocidad Promedio versus Velocidad Instantánea 4.1 Objetivo Verificar la relación existente entre la velocidad promedio y la velocidad instantánea.

4.2 Introducción La velocidad promedio puede ser un concepto útil. Si sabemos que vamos a viajar como promedio 100 kilómetros por hora en un viaje de 400 kilómetros, es fácil determinar cuánto tiempo va a durar el viaje. Por otra parte al policía de tránsito en la autopista no le interesa nuestra velocidad promedio en los 400 kilómetros de viaje, sino nuestra velocidad en el instante en que apunta a nuestro automóvil con su radar, para poder determinar si merecemos o no una multa. Él necesita conocer nuestra velocidad instantánea. La velocidad promedio de un cuerpo se define como la razón entre el desplazamiento realizado por el cuerpo y el intervalo de tiempo transcurrido durante ese desplazamiento:

En el caso unidimensional se puede reescribir como:

Como se puede ver en la siguiente figura, representa la pendiente de la recta que une

los puntos cuyas coordenadas son (ta, xa) y (tb, xb). La velocidad promedio nos dice cuán rápidamente se desplaza un cuerpo desde su posición 27

inicial (xa) hasta su posición final (xb), pero no nos da ninguna información sobre cómo es este desplazamiento. Por ejemplo, el cuerpo podría hacer todo el recorrido con velocidad constante (en este caso su velocidad en cada instante sería igual a su velocidad promedio) o podría partir con cierta aceleración, detenerse unos segundos y luego continuar su camino con velocidad constante. Si para el recorrido total el cuerpo se demora la misma cantidad de tiempo, los dos movimientos tendrían la misma velocidad promedio. Si queremos información sobre la trayectoria continua seguida por el cuerpo, debemos conocer su velocidad instantánea, o sea:

Ahora v(t) representa la pendiente de la recta tangente a la curva x(t) en el instante t, como se presenta en la siguiente figura:

En otras palabras, para conocer la velocidad de un cuerpo en un instante de tiempo t debemos calcular su "velocidad promedio" entre dos instantes de tiempo t y t + Δt. Es obvio de que este sería un valor aproximado de la velocidad instantánea. Mientras menor sea el Δt considerado, más próximo del valor exacto de la velocidad instantánea estará nuestro resultado. Por eso definimos la velocidad instantánea como el límite de Δx/Δt cuando Δt tiende a cero. En este experimento se investigará esta relación entre las velocidades promedio e instantánea y se verá como una serie de velocidades promedios puede ser usada para deducir la velocidad instantánea.

4.3 Materiales ✔ Cronómetro con dos sensores ópticos ✔ trillo de aire con un planeador ✔ soporte para elevar el trillo de 1 a 2 cm

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4.4 Procedimiento 1. Eleve uno de los extremos del trillo de aire utilizando un soporte de 1 o 2 cm. 2. Escoja un punto x1 aproximadamente a ¼ del extremo inferior del trillo de aire y anote esta posición. 3. Coloque un sensor óptico en x1 y otro aproximadamente a 100 cm de x1. 4. Prepare el cronómetro en el modo PULSE. 5. Presione RESET para limpiar el indicador del cronómetro. 6. El planador será colocado en la parte más alta del trillo de aire y liberado, siempre desde esta misma posición. Registre el tiempo que toma al planador pasar entre los dos sensores. 7. Repita la medición al menos otras cuatro veces. 8. Ahora acerque en 5 cm el segundo sensor a aquel que se encuentra en la posición x1. Repita los pasos 6 y 7. 9. Continúe disminuyendo la distancia entre los sensores en 5 cm y repitiendo los pasos 6 y 7. 10. Construya una tabla como la que se muestra: D

t1

t2

t3

t4

t5







Δv

11. Construya un gráfico de la velocidad promedio versus la distancia entre los sensores.

4.5 Preguntas 1. ¿Cuál de las velocidades promedios estimada da la aproximación más cercana a la velocidad instantánea del planeador al pasar por el punto x1? 2. Usando sus datos, ¿puede estimar un valor aún más preciso para la velocidad instantánea en x1? Determine el error máximo esperado para la velocidad instantánea. 3. Al intentar determinar la velocidad instantánea, ¿qué factores influyen en la precisión de las mediciones? Discuta cómo cada factor influye en el resultado. 4. ¿Puede imaginar uno o más modos de medir la velocidad instantánea? ¿O es la velocidad instantánea una cantidad que debe ser siempre estimada a partir de mediciones

de

la 29

velocidad

promedio?

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Práctica no. 5

Cinemática sobre un plano inclinado 5.1 Objetivo Investigar cómo varía la velocidad de un objeto sometido a una acelaración constante.

5.2 Material necesario ✔ cronómetro con un sensor óptico ✔ trillo de aire con un planeador ✔ soporte para elevar una de las extremidades del trillo de aire 1 o 2 cm

5.3 Procedimiento 1. Eleve uno de los extremos del trillo de aire utilizando un soporte de 1 o 2 cm. 2. Inserte un taquete en la parte superior del planeador. Mueva el planeador de modo que el taquete interrumpa la luz del sensor óptico. Mida la longitud efectiva del taquete, o sea, la longitud que es "percibida" por el sensor óptico (para eso determine la posición de un punto fijo del planeador en el momento en que la luz es interrumpida _ se enciende la luz del LED sobre el sensor_ y luego determine la posición de este mismo punto cuando la luz deja de ser interrumpida _ se apaga el LED. La distancia entre los dos puntos nos dará la longitud deseada.). 3. Registre la posición del punto medio de esta longitud efectiva al pasar por el sensor óptico, que será denominada x1 (este punto debe estar aproximadamente en el centro del trillo de aire). 4. Prepare el cronómetro en el modo GATE. De esta forma el cronómetro registrará el intervalo de tiempo durante el cual la luz está interrumpida. 5. Presione RESET para limpiar el indicador del cronómetro. 6. El planador será colocado inicialmente 5 cm más arriba de x1 y liberado. Registre el tiempo que toma al planador pasar por el sensor. Repita este paso tres veces y calcule el valor medio. 7. Desplace la posición inicial del planeador 10, 15, 20, ..., 50 centímetros arriba de x1. Repita los pasos 5 y 6. 31

5.1 Datos y cálculos 1. Calcule la velocidad final en x1 para cada posición inicial en el eje horizontal. 2. Construya un gráfico de velocidad versus distancia, con la distancia medida sobre el eje horizontal. 3. Si el gráfico no se corresponde con una recta, cambie la variable dependiente hasta que obtenga una recta (por ejemplo, puede intentar con √v × d, v2 × d, 1/v × d, etc). Obtenga la relación matemática entre la velocidad del planeador sobre el plano inclinado y la distancia recorrida a lo largo del plano.

5.1 Preguntas 1. Las ecuaciones para el movimiento con aceleración constante (si se inició desde el reposo) son:

Elimine t de estas ecuaciones y determine la relación entre x y v. Usando el resultado de su experimento, ¿puede determinar la aceleración del planeador durante su movimiento de descenso sobre el plano inclinado? Si su respuesta es positiva, determine la aceleración. 2. A partir de la respuesta anterior, escriba la ecuación de movimiento para el planeador acelerado, dando su posición como función del tiempo. ¿Por qué las ecuaciones de movimiento son comúnmente expresadas en función del tiempo y no en función de la posición? 3. Describa como podría determinar la aceleración local de la gravedad en este experimento, si supone que el aire expulsado por el trillo es capaz de eliminar toda la fricción entre el planeador y el plano.

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Práctica no. 6

Caída libre 6.1 Objetivo Determinación de la aceleración local de la gravedad.

6.2 Introducción Desde los experimentos de Galileo se sabe que, si la resistencia del aire es despreciable, los cuerpos lanzados cerca de la superficie de la Tierra caen con la misma aceleración, independientemente de su forma o masa. Esta aceleración debida a la acción gravitacional de la Tierra sobre estos cuerpos es denominada aceleración de la gravedad, g. El movimiento de caída libre (o sea, bajo la acción exclusiva de la gravedad) de los cuerpos próximos a la superficie de la Tierra puede ser descrito por la ecuación horaria para un movimiento uniformemente acelerado:

donde y0 y v0 son la posición y la velocidad iniciales (t=0) del movimiento y escribimos y(t) tomando una escala vertical con el sentido positivo hacia arriba. En este caso la aceleración g está dirigida en sentido opuesto, de ahí el signo negativo en el término cuadrático en t. En este experimento verificaremos esta ecuación horaria y determinaremos el valor local de la aceleración de la gravedad, g.

6.3 Material necesario ✔ cronómetro electrónico ✔ mecanismo de lanzamiento vertical ✔ un sensor de impacto ✔ dos esferas de acero, una de 13 mm y otra de 16 mm de diámetro

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6.4 Procedimiento 1. Sujete la esfera de 13 mm de diámetro en el mecanismo de lanzamiento vertical, asegurándose que el mismo se encuentra en posición vertical. 2. Coloque el sensor de impacto a una distancia d de aproximadamente 2 metros, directamente debajo de la esfera, de modo que la esfera caiga en el centro del sensor. Mida la distancia d lo mejor que pueda y anótela. 3. Encienda el cronómetro y presione el botón RESET. 4. Suelte la esfera metálica usando el mecanismo de lanzamiento vertical. 5. Lea el tiempo de caída en el cronómetro y anótelo como t1. Repita la medición del tiempo otras cuatro veces, anotando los valores como t2, ..., t5 (no olvide presionar RESET antes de cada lectura). 6. Calcule el promedio de estos tiempos y anótelo como tm. 7. Repita los pasos 4, 5 y 6 con d aproximadamente 1.75 m, 1.5 m, 1.25 m, 1 m, 0.75 m y 0.5 m. 8. Repita los pasos del 1 al 7, usando ahora la esfera de 16 mm. 9. Construya una tabla que incluya los valores de d, t1 a t5, tm y t2m para cada esfera. 10. Construya un gráfico de d versus t2m, con d en el eje vertical.

6.5 Análisis y preguntas 1. Dentro de los límites de precisión del experimento, ¿los puntos experimentales definen una línea recta para cada esfera? 2. ¿La aceleración es constante para cada esfera? 3. Si los gráficos fuesen lineales, mida la pendiente de cada curva d × t2m. 4. Discuta los resultados obtenidos. 5. Discuta los errores involucrados en sus mediciones y explique cómo afectan sus conclusiones. Discuta cómo podría alterar su experimento para reducir los errores experimentales.

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Práctica no. 7

Conservación de la energía (trillo de aire) 7.1 Objetivo Verificar la conservación de la energía para un sistema conservativo usando el trillo de aire.

7.2 Introducción La ley de la conservación de la energía es uno de los postulados más importantes y útiles en la Física, aunque su verificación experimental es siempre difícil. Por ejemplo, si una barra cilíndrica rueda ladera abajo, su energía potencial gravitacional se convertirá en energía cinética (de traslación, movimiento del centro de masa cuesta abajo, y de rotación). En general, esto no será todo, la energía potencial también se convertirá en energía térmica, debido a la fricción de la superficie de la barra con la superficie de la ladera. Si la barra, durante su descenso, colisiona con otros objetos en su camino, parte de su energía mecánica será transmitida a estos objetos. La conservación de la energía implica que si sumamos todas las formas de energía presentes en el sistema (barra-ladera-objetos), obtendremos siempre la misma cantidad de energía. O sea, la energía contenida en el sistema (originalmente de tipo potencial gravitacional) puede transformarse en otras formas de energía (cinética de traslación y rotación, térmica, cinética de los objetos, etc) sin que haya pérdidas o ganancias de la energía total del sistema. La energía total se conserva. Para verificar esta conservación sería necesario medir todas las cantidades de energía intercambiadas a lo largo de la trayectoria de la barra, para constatar que toda la energía gravitacional fue convertida en otras formas de energía, o sea, ΔETOTAL=0. Esto sería extremadamente difícil. Se puede trabajar en sistemas simplificados, focalizando aspectos particulares del problema. Por ejemplo, si consideramos sistemas sobre el cual sólo actúan fuerzas conservativas (en este caso se debe minimizar la fricción que siempre está presente), deberemos tener la conservación de la energía mecánica. La energía mecánica incluye dos formas: la potencial y la cinética. Su conservación implica que:

7.3 Material necesario 1. Cronómetro con dos sensores ópticos. 35

2. Trillo de aire con un planeador. 3. Soporte para elevar el extremo del trillo de 1 a 2 cm.

7.4 Procedimiento 1. Nivele cuidadosamente el trillo de aire. 2. Mida la distancia entre los dos sensores (D), la longitud efectiva de la parte del planeador que interrumpe la luz del sensor óptico (L), la distancia entre los pies del trillo de aire y la masa del planeador. 3. Apoye uno de los pies del trillo sobre el soporte (ver figura). 4. Encienda el trillo de aire con la máxima potencia del sumistrador de aire. 5. Prepare el cronómetro en el modo GATE. 6. Suelte el planeador desde la parte más alta del trillo y mida los tiempos t1 y t2, respectivamente, que demora el planeador en interrumpir la luz en el primer y segundo sensor (use la función MEMORY para obtener ambos tiempos de forma simultánea). 7. Repita esta medición varias veces (no es necesario siempre soltar el planeador desde la misma posición). 8. Altere la masa del planeador un par de veces, añadiendo masas conocidas y repita las mediciones. 9. Repita todo el procedimiento, ahora con la mínima potencia del sumistrador de aire que sea necesaria para que el trillo se deslice.

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7.5 Cálculo y análisis 1. Calcule el ángulo θ de inclinación del trillo de aire. 2. Determine las velocidades v1 y v2, correspondientes a los tiempos t1 y t2, con las cuales el planeador pasa por el primer y segundo sensor óptico, respectivamente. 3. Calcule la energía cinética del planeador en t1 y t2. 4. Calcule la variación de la energía potencial entre los instantes t1 y t2. 5. Calcule la diferencia porcentual entre la energía mecánica entre los instantes t1 y t2. 6. ¿Se verifica la conservación de la energía mecánica? 7. ¿Cómo cambia el resultado para cada caso (dado por las diferentes masas y la diferente potencia del suministrador de aire)?

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Práctica no. 8

Conservación de la energía (lanzador de proyectiles) 8.1 Objetivo Verificar la conservación de la energía para un sistema conservativo usando el lanzador de proyectiles.

8.2 Introducción Veáse la introducción de la práctica 7. En ausencia de fricción, cuando una bola es lanzada verticalmente, se puede definir su energía potencial inicial como nula, U=0, y su energía cinética como K=½ mv0 , donde m es la masa de la bola y v0 la velocidad con que deja el cañón (veáse la figura). Cuando la bola alcanza su altura máxima, h, entonces K= 0 y U = mgh, donde g es la aceleración de la gravedad cerca de la superficie terrestre. La conservación de la energía implica que la K inicial tiene que ser igual a la U final. En ausencia de fricción, la distancia horizontal recorrida por una bola lanzada horizontalmente es dada por x=v0t, donde t es el tiempo de vuelo de la bola. En las condiciones indicadas, la distancia vertical que la bola cae es dada por y= ½ gt. Entonces el tiempo de vuelo es t=(2y/g)½

y la velocidad inicial puede ser

calculada como v0=x/t.

8.3 Material necesario 1. Lanzador de proyectiles. 2. Bola de plástico. 3. Cinta métrica. 4. Papel carbón. 5. Plomada.

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6. Papel blanco. 7. Cinta adhesiva.

8.4 Procedimiento 1. Coloque el lanzador de proyectiles, cerca del extremo de una mesa estable, con el lanzador apuntado hacia fuera de la mesa (vea la figura). 2. Apunte el lanzador hacia arriba y haga un tiro de prueba en el modo de alcance medio para asegurarse de que no alcanza el techo. Si lo alcanza, entonces cambie al modo de corto alcance y manténgalo así durante todo el experimento. 3. Ajuste el ángulo de lanzamiento a 0°, o sea, lanzamiento horizontal. 4. Coloque la bola plástica en el lanzador y cárguelo en el modo de alcance medio. Haga un disparo de prueba para localizar dónde la bola llega al piso. En esta posición ajuste con cinta adhesiva una hoja blanca. Coloque una hoja de carbón (la parte de carbón hacia abajo) sobre la hoja blanca y ajústela con cinta adhesiva (cuando la bola choque contra el piso debe dejar una marca en la hoja blanca). 5. Haga 10 disparos. 6. Mida la distancia vertical desde el fondo de la bola (esta posición está marcada en el extremo del cañón) hasta el piso. Anote esta distancia en una tabla. 7. Use la plomada para encontrar la posición en el piso que está justo debajo del extremo del cañón. Mida la distancia horizontal entre este punto y el borde más cercano de la hoja de papel blanco. Anótela en la tabla. 8. Determine el promedio de las 10 distancias de disparo medidas y anótelo en la tabla. 9. Usando la distancia vertical y la distancia promedio horizontal, calcule el tiempo de vuelo y la velocidad inicial de la bola, anótelos en la tabla. 10. Ajuste el ángulo del lanzador a 90°, o sea, lanzamiento vertical. 11. Lance la bola varias veces y mida la máxima altura conseguida por la bola. Anótela en la tabla. 12. Determine la masa de la bola y anótela en la tabla.

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8.5 Cálculo y análisis 1. Calcule la energía cinética inicial. 2. Calcule la energía potencial final. 3. Calcule la diferencia porcentual entre ambas energías. 4. ¿Se verifica la conservación de la energía? 5. ¿Cómo afectaría la fricción del aire el resultado para la energía cinética? 6. ¿Cómo afectaría la fricción del aire el resultado para la energía potencial?

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