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EL BURR

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HEXAGONAL, QUE ES UNA VARIANTE DE UN PUZZLE DE NUEVA FACTURA,

TIENE COMO OBJETIVO RECONSTRUIR EL CONJUNTO TRABADO A PARTIR DE LAS

NO

HEXSTICKS, 12 PIEZAS SEPARADAS.

ES UN JUEGO SIMPLE, PERO CON PACIENCIA, SENTIDO COMÚN Y DESTREZA ACABA POR TENER SOLUCIÓN.

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5. Juegos n2

• Burr hexagonal

Piezas trabadas en estrella

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• La forma de las piezas En la mayoría de estos puzzles las piezas son prismas de sección cuadrada, a los que se les practica una serie de cortes que permiten su encaje. En el caso del Burr hexagonal, como indica su nombre, las piezas son de sección hexagonal. Seis de las piezas tienen dos cortes, tres tienen un solo corte, y las tres restantes presentan tres cortes:

exsticks fue creado por uno de los más prolíficos inventores de puzzles mecánicos de los últimos tiempos: Stewart Coffin, quien lo patentó en 1970. De manera simultánea e independiente, el mismo puzzle fue creado por Bill Cutler en 1964. El Burr hexagonal es una variante de Hexsticks.

• Ancestros de piezas trabadas En el fascinante mundo de los rompecabezas mecánicos existe una prolífica familia de especial interés: los burr. Se trata de juegos formados por tres o más piezas que se engarzan entre sí para dar lugar a un conjunto de particular belleza. El más conocido miembro de esta familia es la Cruz del maestro de seis piezas, cuyo origen, aunque incierto, es anterior a 1803, la fecha de la que data el registro más antiguo de este juego en los catálogos de juguetes Bestermeier.

 El Burr hexagonal es un rompecabezas formado por 12 piezas de madera de sección hexagonal, todas con las mismas dimensiones, a las que se les ha practicado uno o más cortes que permiten el bello ensamblaje de la fotografía.

Octaedros preciosos El rompecabezas está constituido por cuatro conjuntos de tres piezas cuyos ejes son paralelos entre sí. Al unir el centro de las bases de cada uno de estos prismas se obtiene un triángulo equilátero. Los lados interiores de las bases y el triángulo mencionado dibujan un «cuarto» hexágono del mismo tamaño que los anteriores:

Cada uno de estos cuatro conjuntos de piezas se apoya en el eje ternario de un octaedro imaginario, tal como se observa en las imágenes de la columna siguiente:

La octaédrica es una de las estructuras más comunes en la formación de cristales naturales. En concreto, los diamantes suelen aparecer en dicha forma. A la hora de tallar la piedra, es habitual rebajar el vértice superior del octaedro; se obtiene así lo que se conoce como «meseta» o «tabla». A esta base se le añaden nuevas facetas hasta llegar a formas extraordinariamente elaboradas como la talla Peruzzi, que presenta 57 facetas.

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5. Juegos n2

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Solución

1 Para empezar, disponer de forma triangular tres de las piezas con dos cortes, tal como muestra la figura.

2 Con el fin de mantener cohesionada la construcción resultante, apoyar las tres piezas de un corte sobre los lados del conjunto hasta encajarlas.

4 Deslizar este grupo triangular por fuera de las piezas guía hasta encajarlo con la estructura.

3 Disponer ahora las tres piezas con dos cortes restantes formando un triángulo como el de la figura superior.

5 Encajar las tres piezas con tres cortes de igual modo que en el paso 1.

6 A continuación, dar la vuelta completa al grupo de piezas y encajarlo en la estructura.

7 El rompecabezas está resuelto.

El dodecaedro invisible Aún existe una forma geométrica adicional asociada a este bello puzzle, aunque permanece literalmente oculta a la vista. En efecto, en el interior del rompecabezas descansa, por siempre invisible, un agujero en forma de dodecaedro rómbico. 2

Webs para ampliar información http://johnrausch.com/PuzzlingWorld/default.htm En esta web está contenido el libro The puzzling world of polyhedral dissections (El misterioso mundo de las disecciones poliédricas), un auténtico clásico en el ámbito del estudio de los rompecabezas geométricos, escrito por el mismo Stewart Coffin.

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BAJO LA BELLA APARIENCIA DE ESTE JUEGO SE ESCONDE UN ENDIABLADO PROBLEMA DE COMBINACIONES. AUNQUE EXISTEN VARIOS CENTENARES DE SOLUCIONES CORRECTAS, HAY QUE IDENTIFICARLAS ENTRE DECENAS DE BILLONES DE ORDENACIONES POSIBLES.

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5. Juegos n1

• El herbolario

Ordenando cajones

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l objetivo de este juego clásico es disponer la totalidad de las piezas en la caja. Su aspecto evoca los herbolarios donde los antiguos farmacéuticos depositaban los ungüentos y las plantas medicinales; las piezas móviles harían las veces de cajones.

• Los cajones El herbolario contiene 16 piezas móviles o «cajones», dispuestos en 4 filas y 4 columnas, que se diferencian entre sí por los salientes laterales y las bandas marrones horizontales. De los primeros, un cajón cualquiera puede tener dos a cada lado, uno en alguno de los lados, o ninguno; las segundas se reparten de modo similar. Las piezas que no presentan saliente en uno o más de sus extremos tienen en su lugar una muesca, de un tamaño tal que ambos elementos encajan limpiamente. Como se observa, tanto los salientes (y

sus correspondientes muescas) como las barras pueden combinarse de cuatro modos distintos, lo que arroja un total de 4 ҂ 4 = = 16 combinaciones posibles de salientes/muescas y barras. Dieciséis cajones son, precisamente, los que contiene nuestro herbolario.

 El juego reproduce los armarios de las antiguas farmacias y herboristerías, con la salvedad de que ningún boticario se complicaría tanto la vida a la hora de ubicar los cajones de un mueble.

 La tabla de relaciones ofrece una representación simplificada de cada uno de los cajones. Una flecha hacia fuera situada en un lateral o en la parte superior o inferior indica un saliente o una barra horizontal, respectivamente; la ausencia de laterales o de barras se indica mediante una flecha hacia dentro. Por su parte, la flecha roja indica la orientación espacial correcta para cada cajón.

• El marco El marco presenta también salientes y muescas. Lo que resulta más difícil de apreciar es que también posee una barra horizontal en la parte superior. La disposición de ambos elementos resulta clave para determinar el número de soluciones posibles, como se verá más adelante. A efectos de mostrar la estructuras del juego, es aconsejable representar las piezas móviles de modo simplificado, tal como se muestra en la tabla de relaciones adjunta. • La solución de partida En la figura siguiente se muestra la configuración original en modo simplificado:

El creador: Jean Claude Constantin Con más de veinte años de trayectoria, el francés Jean Claude Constantin es uno de los inventores de puzzles más prolíficos y exitosos del mundo. Sus creaciones, a menudo realizadas en maderas exóticas y, más raramente, en metal, destacan por su inventiva desbordante.

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• A vueltas con el problema No existe un método sencillo para generar soluciones a partir de un herbolario desmontado. Bastante más fácil resulta, sin embargo, derivar nuevas soluciones a partir de un montaje dado. En concreto, y partiendo de la solución inicial, se empezará por rotar el herbolario 90º en sentido horario. Obsérvese que el sentido de las flechas superior e inferior se mantiene, pero que el de las laterales es ahora el inverso del original:

90º

Procedemos ahora a invertir las flechas laterales, tal como hicimos en el caso anterior. Dicha manipulación genera a su vez una nueva solución:

Para recuperar la orientación correcta, invertiremos las flechas laterales (las modificaciones se muestran en azul):

La configuración resultante constituye una nueva solución:

Si disponemos un espejo en el extremo derecho del herbolario original, el reflejo nos mostrará una nueva configuración: 2

Si hubiéramos dispuesto el espejo en el extremo superior del herbolario, el reflejo nos ofrecería una configuración donde las flechas que se encontrarían en sentido contrario al correcto serían las superiores y las inferiores. Si se invierten las flechas según el procedimiento seguido en los dos casos anteriores, obtendríamos una nueva solución. Si rotáramos la configuración original 180º, al invertir tanto las flechas horizontales como verticales nos encontraríamos con una cuarta solución.

¿Cuántas soluciones hay en total? El experto alemán Jacques Haubrich ha estudiado mediante algoritmos las diferentes soluciones posibles de herbolarios de 4 x 4. Si se toma como dado el sentido de las flechas de las partes superior e inferior, se obtienen hasta 17 combinaciones diferentes de flechas laterales. La combinación con menor número de soluciones tiene 160 ,y la que más, 1.052. Para el caso concreto de nuestro herbolario (recuadrado en azul), los cajones pueden adoptar hasta 652 con160 s. 652 s. figuraciones distintas.

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5. Juegos n4

RETO QUE PLANTEA ESTE BELLO PUZZLE CONSISTE EN ENSAMBLAR SUS PIEZAS DE MANERA QUE SE

FORME UN CUBO CON SU CENTRO Y EL CENTRO DE LOS LADOS VACÍO. LA FIGURA RESULTANTE EVOCA LA DENOMINADA

«ESPONJA

DE

MENGER»,

UN OBJETO FRACTAL DE PROPIEDADES EXTRAORDINARIAS.

• La Esponja

Un juego fractal

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l puzzle La Esponja pertenece al tipo put together (juntar), y se clasifica técnicamente entre los de montaje 1.2 tridimensional. Está formado por 20 piezas repartidas en dos conjuntos idénticos de diez. Cada una de estas diez piezas, distintas entre sí, se ha obtenido tomando dos caras consecutivas del cubo y colocando los huecos y los pines de todas las formas posibles respecto de las cuatro caras restantes:

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ficies con rugosidades. Su estudio languideció en las décadas siguientes, seguramente porque se precisaba de una tecnología informática que en aquella época no estaba suficientemente desarrollada.

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El aspecto del rompecabezas una vez resuelto recuerda a un objeto geométrico conocido como la «Esponja de Menger». Este objeto posee unas características fuera de lo común: a medida que se va construyendo, su superficie tiende a infinito y su volumen, a cero. La Esponja de Menger pertenece a una clase especial de objetos geométricos conocida como «objetos fractales», el estudio de los cuales constituye un episodio fundamental de la matemática de nuestro tiempo. • «Monstruos matemáticos» A finales del siglo XIX, se descubrieron objetos matemáticos que desafiaban la geometría euclídea tradicional, y que por ello fueron denominados «monstruos matemáticos». Fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el ilustre científico francés Henri Poincaré en el transcurso de sus investigaciones sobre funciones no derivables; es decir, en términos menos precisos, curvas o super-

 De arriba abajo, las tres primeras iteraciones de la Esponja de Menger. Este fractal se obtiene al extraer de forma reiterada el cubo central y los seis cubos medios de las caras de un cubo original, previamente subdividido en 27 cubitos. La primera iteración es muy parecida al puzzle.

• La geometría fractal El interés por estos abstrusos objetos matemáticos se reavivó a mediados del siglo pasado con el intento de dar solución a errores observados en algunas transmisiones de datos. El francés de origen polaco Benoït Mandelbrot estudió los patrones de comportamiento de estos errores y comprobó que tras su aparente irregularidad se escondía un concepto clave: la autosimilaridad interna. Así, en 1967, esbozó por primera vez en uno de sus artículos lo que hoy conocemos como geometría fractal y que, con posterioridad, daría a conocer en su obra Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión (1975). En esta obra puede leerse: «Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo rectilíneo. En términos más generales, creo que muchas formas naturales son tan irregulares y fragmentadas que, en comparación con Euclides, la Naturaleza no sólo presenta un grado superior de complejidad, sino que ésta se da a un nivel completamente diferente. En respuesta a este desafío, concebí y desarrollé una nueva geometría de la Naturaleza (...) Permite describir muchas de las formas irregulares y frag-

Los creadores: María Isabel Binimelis Bassa y Albert Violant i Holz Albert Violant i Holz, matemático balear, es un experto de talla mundial en el ámbito de la recreación matemática, amén de un reputado creador de rompecabezas y juegos. El puzzle La Esponja, desarrollado de forma conjunta con su esposa, la matemática y artista plástica María Isabel Binimelis Bassa, aúna belleza formal y reflexión matemática de alto nivel.

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mentadas que nos rodean identificando una serie de formas que llamo fractales.» Mandelbrot bautizaba así estos objetos mediante un neologismo que haría fortuna: «fractal», del latín fractus, que significa «interrumpido» o «irregular», en alusión a su apariencia.

Esponja de Menger posee una dimensión de un valor igual a 2,72683308... • Autosimilaridad Otra característica esencial de los objetos fractales es la autosimilaridad. En un fractal se revela, cada vez que cambiamos la escala, un claro parecido con la imagen anterior. Algunos ejemplos son la semejanza entre la rama de un árbol y el propio árbol, entre el sistema circulatorio y la red de capilares sanguíneos, etc. La autosimilaridad se podría definir de manera intuitiva como «la parte contiene el todo», del mismo modo que el aspecto de La Esponja recuerda las piezas cúbicas que la componen.

• La dimensión fractal En la geometría convencional, la dimensión de un objeto tiene un valor entero. Así, por ejemplo, un punto tiene dimensión cero; una línea tiene dimensión uno; una superficie, dos; y un espacio, tres. La dimensión de un objeto fractal, sin embargo, no tiene por qué ser un número natural; así, la

Solución La solución de este puzzle no es única, lo que aumenta el interés por encontrar variantes personales. Una de las soluciones posibles es la recogida en el diagrama siguiente, donde la única pieza del puzzle que no es visible en el dibujo se completa con toda facilidad. Montar la base del puzzle. Comenzar por la pieza 5, en la esquina izquierda, y seguir ordenadamente hasta completar un cuadrado con las piezas restantes (4, 6, 7, 10, 3, 8 y 2).

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Colocar ahora las cuatro piezas que componen el piso intermedio, todas ellas oscuras (6, 4, 1 y 7).

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Finalmente, montar el piso superior con las piezas restantes (9, 5, 8, 3,10, 1, 9 y 2).

Fractales en la red: www.fractales.org En castellano, exclusivamente sobre fractales. www.fractovia.org Web dedicada al arte fractal. www.fractal.org Es la que se puede considerar la web «oficial». www.fractaldomains.com En esta web se puede obtener software para crear fractales.

LA ROSA

ES UN PUZZLE DE PIEZAS ENTRELAZADAS DE ELEGANTE SIMPLICIDAD CUYA SIMETRÍA

ROTACIONAL EXTERNA RECUERDA A LA BELLA FLOR QUE LE DA SU NOMBRE Y A, POR EJEMPLO, LAS HÉLICES DE LOS BARCOS.

• Entrelazando piezas iguales

La Rosa Los creadores: Karin y Jürg von Känel Karin y Jürg von Känel son un matrimonio de matemáticos suizos a quienes les une una gran pasión por los puzzles, en especial los de piezas entrelazadas y realizados en madera. Activos desde mediados de la década de 1980, han dado a luz clásicos modernos como Hechizo de Luna, Danza solar o La Rosa.

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l juego La Rosa fue creado por Karin y Jürg von Känel con motivo de su participación en la vigésimotercera edición de la IPP, celebrada en Chicago en 2004. El nombre en inglés de este puzzle es Karin’s Rose Burr.

 La Rosa es un juego de elementos simples, formado por tres piezas exactamente iguales entre sí. El objetivo consiste en unir las piezas para formar el conjunto que se observa en la figura. Esto se logra con una serie de movimientos tales como pequeños giros o torsiones, que permiten que las piezas queden «entrelazadas».

Hélices y simetría Entre la infinidad de objetos con algún tipo de simetría creados por el hombre destaca, por su importancia en numerosas aplicaciones, uno muy conocido: la hélice. Su funcionamiento se basa justamente en la simetría que presenta, la llamada «simetría de rotación». Se dice que una figura o un cuerpo tienen simetría de rotación n veces si, tras rotarlo respecto a un punto una cantidad de grados (360°/n, para n entero positivo), se obtiene una imagen que coincide con la figura original. La Rosa presenta simetría de rotación 3 veces; por esta razón, la disposición de las piezas en el puzzle montado recuerda las palas de la hélice de un barco. La hélice fue patentada por el ingeniero norteamericano de origen sueco John Ericson en 1836. Las palas están ubicadas con un ángulo respecto del plano de giro, de modo que al rotar la nave es impulsada hacia adelante, con un movimiento similar al del tornillo. Hasta la llegada de la hélice, el medio de propulsión utilizado en embarcaciones era la rueda de palas; este elemento tenía la desventaja de que estaba sumergido sólo en parte y de que, frente al oleaje y el movimiento de la embarcación, en ocasiones quedaba fuera del agua, dificultando así la maniobrabilidad y el desplazamiento. Además, la acción de las palas era discontinua. La hélice llegó para resolver ambos problemas: se encuentra completamente sumergida, lejos del oleaje, y la interacción con el agua es continua y uniforme.

• Las piezas Las piezas que forman La Rosa, todas ellas iguales, están formadas por un marco de sección cuadrada que define la estructura de tres planos virtuales, perpendiculares entre sí. El objeto final puede considerarse la obtención de un cubo de mayor tamaño, formado por otros pequeños, al cual le faltan algunos de esos pequeños cubos. La disposición final de las piezas es simétrica respecto del eje que formaría el tallo de una rosa. Cada pieza está formada por 13 pequeños cubos. En la ilustración se muestra una de las piezas desde dos ángulos diferentes, lo que permite apreciar con todo detalle su forma completa.

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• La simetría de La Rosa Los puzzles de Karin y Jürg von Känel se caracterizan por el bello diseño de las piezas y el estudiado secreto que esconden. En el caso de La Rosa, las formas redondeadas de algunas aristas recuerda las curvas de los pétalos. Por otro lado, que haya únicamente tres piezas y que éstas sean idénticas son pistas muy importantes a la hora de orientar correctamente las piezas en la solución. La siguiente ilustración muestra un esquema sintético de una pieza, en el cual se indican los planos que forman sus partes: xy (en verde), xz (en rojo) e yz (en azul):

En el puzzle resuelto, las tres piezas están rotadas, una respecto de las otras, alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas (O), equidistante de los ejes x, y, z:

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La superposición en el espacio de estas tres piezas con sus respectivas orientaciones es lo que da origen a la estructura del puzzle completo. y

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Webs para ampliar información http://www.woodpuzzles.com/index.html Página oficial de Karin y Jürg von Känel.

Solución El secreto que permite resolver el puzzle de La Rosa reside en la posición ligeramente girada en que se disponen las piezas antes de proceder a su montaje final. La secuencia fotográfica muestra esta solución paso a paso.

Paso 1: Coger dos de las piezas y enlazarlas recordando que una de las piezas se encuentra levemente girada.

Paso 2: Insertar la tercera pieza como se muestra en la imagen haciendo para ello una pequeña torsión.

Paso 3: Deslizar las tres piezas simultáneamente entre sí como indican las flechas.

Paso 4: Encajar las piezas del conjunto para obtener el puzzle en su montaje definitivo.

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Llave Dos llaves y una sola combinación para separarlas. Fíjate bien, una de ellas tiene un elemento más que te ayudará a sacar la otra. Separa las llaves con solo 3 pasos. La mecánica está en colocar primero la llave abierta dentro de la otra y girar las dos a la vez para colocarla en el otro lado y así conseguir que pase por la ranura que tiene la llave cerrada, una vez en esta posición tira la llave hacia arriba, vuelve a girar las dos llaves a la vez y sácala por una de las ranuras que tienen las llaves en la parte del mango.