Introducción

Figura 1. Deportes que utilizan la esfera

1. ¿Qué tienen en común los objetos con los que se juegan los deportes mostrados? ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles son las características de estos objetos? ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ 3. ¿A partir de qué figura geométrica se forma este sólido de revolución? ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________

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Objetivos de aprendizaje Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, área de la superficie y volumen de la esfera. Caracterizar objetos con forma esférica a partir del área de su superficie. Reconocer las formas esféricas a partir de los elementos que la componen. Caracterizar objetos con forma esférica a partir del volumen. Relacionar los volúmenes de esferas, conos y cilindros en la solución de situaciones problema.

Introducción al tema

La esfera y sus aplicaciones arquitectónicas Como lo expresa Franco (2001) en su artículo sobre la esfera y la arquitectura: “La esfera y la circunferencia se han considerado desde la antigüedad como símbolos de perfección, en gran medida por su simetría, considerándose por ello en ocasiones como símbolos de lo divino” (p. 1) El filósofo griego Jenófanes (565-470 a.c), afirmó que existía un ser supremo cuya forma era esférica. Los matemáticos a través de todos los tiempos se han fascinado con las propiedades de la esfera y los objetos geométricos, además los arquitectos han utilizado las figuras geométricas como fuente de inspiración para sus creaciones, incluyendo en los diseños cúpulas y edificaciones de gran tamaño. A continuación se enuncian tres edificaciones que dan cuenta de la importancia de las figuras geométricas a lo largo de la historia.

Figura 2. Cúpula de la roca de Jerusalén

Figura 3. Santa Sofía,Estambul

Figura 4. Domo Cecut

1. Cúpula de la roca en Jerusalén. 2. Santa Sofía, Estambul (532-537) 3. Domo Cecut, en Tijuana Podemos tomar la figura 2, como México. una representación de una semiesfera.

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Actividad 1 Representa y describe tres objetos cotidianos que tengan forma esférica.

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Observa con atención la formación de la esfera. definiendo conceptos:

Figura 5. Formación de la esfera

Figura 6. Formación de la esfera

¿Cuál es la figura geométrica a partir de la cual se forma la esfera? ____________________________________________________________________________________________________ Describa el proceso de formación de la esfera: _________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

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Actividad 2

Construyendo la noción de esfera Partiendo de lo observado en la animación de la actividad 1, organiza la definición de esfera partiendo de las esferas de la figura 7.

esfera

alrededor

cuerpo

girar

círculo

generado

diámetros

Figura 7. Términos de la esfera

Definición 1 de la esfera: __________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ Socializa la definición. Definición 2 de la esfera, posterior a la explicación del docente _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________

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Actividad 3 Observa la información presentada sobre el centro, radio y la circunferencia máxima de la esfera. Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera. Radio: Distancia del centro a un punto cualquiera de la superficie de la esfera. Circunferencia máxima: Línea de intersección entre la superficie esférica con un plano que pasa por el centro de la esfera. Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie esférica. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es igual a dos radios. Traza en las figuras, de la 8 a la 13, cada uno de los elemento de la esfera.

Centro

Diámetro

Figura 8. Elementos de la esfera

Figura 9. Elementos de la esfera

Cuerda

Polos

Figura 10. Elementos de la esfera SM_M_G09_U02_L03_M

Figura 11. Elementos de la esfera

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Circunferencia máxima

Radio Figura 12. Elementos de la esfera

Figura 13. Elementos de la esfera

Actividad 4

Describo el proceso para hallar la medida del radio

Para calcular el radio de la esfera se realiza el trazo cortando la esfera (d) y el radio r, lo que nos permite aplicar el teorema de Pitágoras, en el triángulo que se forma.

R d r

Figura 14. Representación del torema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se expresa así: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Reemplazando la información para la figura 14 se tiene:

R2=d2+r2 Sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

√R2 =√d2+r2 Y obtenemos el radio:

R =√d2+r2

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Partiendo de la información sobre cómo hallar el radio de la esfera, resuelve la siguiente situación. Calcula el radio de una esfera de 45 cm de radio de la sección, resultante de cortarla como se muestra en la figura 15, mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 35 cm. Partiendo de la información

d=35 R r=45

R =√d2+r2

Figura 15. Esfera

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Actividad 5

Actividad práctica. Identificando el círculo máximo de la esfera y su relación con el área Realiza la actividad para establecer la fórmula del área de la esfera. Para desarrollar la actividad se requieren los siguientes elementos: Media esfera de icopor, como se muestra en la figura 16. Un trozo de cuerda. Cartulina o cartón. Tijeras

Figura 16. Semiesfera de icopor, cuerda, tijeras y cartulina

Para empezar vamos a cubrir la superficie de la semiesfera dándole una vuelta con la cuerda.

P

Cuando termines de cubrir con una vuelta la semiesfera completamente, corta la cuerda y mídela. Ahora toma la semiesfera y gírala. Utilizando la cartulina cubre la parte superior. C Circulo

Figura 17. Semiesfera de icopor. Paso 1

Circulo

Figura 18. Semiesfera de icopor. Paso 2

Figura 19. Semiesfera de icopor. Paso 3

Cuando hayas realizado este procedimiento, empieza a cubrir esta superficie con la cuerda que utilizaste anteriormente y anota lo que observaste.

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Compara la medida de las cuerdas. ¿Cuál midió más? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ¿Cuál es la relación entre las dos medidas? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ RECUERDA: El área del circulo es igual a: A=π .r2 ¿Qué puedes concluir del área de la semiesfera? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ Con las observaciones anteriores ¿cuál será el área de la esfera? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ Observa el círculo máximo de la esfera. si partimos una esfera, mediante un plano que pase por el centro, obtenemos lo que se denomina círculo máximo, si se realiza un corte sin pasar por su centro lo que obtenemos es un círculo menor. Para entender el concepto imaginemos que la figura 20 representa la tierra. Y vamos a trazar los tres paralelos principales: la línea del Ecuador, que representaría el círculo máximo; los paralelos del Trópico de Cáncer (Norte) y Trópico de Capricornio (Sur), pueden nombrarse como círculos menores. Realiza la división en la figura 21, especificando a que círculo corresponde cada línea.

r=

4m

Figura 20. Esfera inscrita en un cilindro

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Figura 21. Representación círculo máximo y menor

Identificando el área del círculo máximo. Se determina el área de la superficie de un plano de un cuerpo de revolución, y vendrá dada por:

A=4πr2 Para hallar entonces el área de la esfera se deben conocer los elementos que componen la fórmula.

π=3,14 es un valor aproximado y r=radio de la esfera.

¿Cuál es el radio si sabemos que la esfera está inscrita en un cilindro de 4m?

____________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ Ahora determina el área de la esfera.

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Actividad 6

Un poco de Historia

Arquímedes fue un sabio reconocido por el estudio de las palancas, además del cálculo del volumen de la esfera. Este último descubrimiento fue el más estimado por Arquímedes. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto (tal vez porque en ese entonces se hablaba de los cuerpos perfectos) que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas. Figura 22. Representación de Arquímedes.

Arquímedes para llegar a determinar el volumen de la esfera tomó como referencia la figura 20. Una semiesfera (la mitad de una esfera) y junto a ella un cono recto y un cilindro recto, estos tres elementos tenían una característica: su base igual a un círculo máximo de la semiesfera. R d d

R

R

R

Figura 23. Semiesfera, cono y cilindro.Representación de Arquímedes

Posterior a sus representaciones realizó un corte de las tres figuras por un plano paralelo, preguntándose cómo serían las secciones en el cilindro, en la semiesfera y en el cono.

R R

A continuación observa las figuras de cada corte por separado y determina los elementos que la integran. En el cilindro se obtiene un círculo de radio r (no olvides que el radio es la mitad del diámetro d). En la esfera también será un círculo, pero su radio dependerá de la distancia d. Mirando.

Figura 24. Corte del cilindro

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R

d

Ahora la figura 25 de la semiesfera. En su interior se forma un triángulo, que teniendo la referencia de teorema de Pitágoras, se expresaría de la siguiente forma: el radio de la sección es r, entonces

r

r2 + d2=R2 Figura 25. Corte de la semiesfera

R d d

R

En la figura 26, en el corte realizado al cono, se determina que el radio de apertura del cono es de 45º, resulta que el radio es d. Así: R 2 2 2 2 2 Sección R Cilindro=πr =π(r +d )=πr +πd =Sección semiesfera+Sección Cono

R Figura 26. Corte del cono

Como el radio de apertura del cono es de 45º, resulta que el radio es d. Así:

Sección Cilindro=πr2=π(r2+d2 )=πr2+πd2 =Sección semiesfera+Sección Cono En la figura 27 se observan cortes paralelos en los que se ven “rebanadas”.

Figura 27. Corte paralelo de la semiesfera, el cono y el cilindro

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de las apreciaciones de Arquímedes se determina.

Volumen cilindro = πr3 Volumen cono = π r3 ⁄3 Volumen semiesfera= 2π r3 ⁄3 Entonces el volumen de la esfera es: Volumen esfera= 4/3 πr3 Ahora para determinar el área de la esfera se suman el volumen de todas las pirámides y se tiene factor común R3⁄ 3

Área de la esfera =4πr2 Guía de observación de video Partiendo de la información del video sobre el principio de Arquímedes y Cavalieri. Completa la siguiente información en la tabla 1: Tabla 1. El volumen de la esfera

Figura

SM_M_G09_U02_L03_M

Volumen

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Realiza en compañía del docente el siguiente ejercicio: De la zona esférica que resulta de cortar una bola de 20 cm de diámetro figura 28, con dos planos paralelos que dista, respectivamente 5 cm y 7 cm del centro de la esfera. Calcula el área de la zona esférica y el área de la esfera. RECUERDA los siguientes datos: Casquete 1

el área de la zona esférica se expresa así:

AZona esférica= Aesfera-(Acasquete 1+ Acasquete 2)

10 cm

7 cm 5 cm

el área de la esfera (del casquete) se expresa así: Casquete 2

Acasquete =2∙π∙r∙h

Figura 28. Casquetes de la esfera

Primero determinemos el casquete del corte de 7cm y a este lo nombramos número 1. Al casquete de 5 cm, lo denominaremos 2

Conociendo el área de la esfera que es:

Acasquete =2∙π∙r∙h

Aesfera=4∙π∙r2

Tenemos entonces para el casquete 1

Reemplazando se tiene

Acasquete 1 =2∙π∙10∙7=140π

Aesfera=4∙π∙102=400π

Ahora para el casquete 2

Ahora para determinar el área de la zona esférica.

Acasquete 2 =2∙π∙10∙5=100π

AZona esférica= Aesfera-(Acasquete 1+ Acasquete 1) AZona esférica= 400π-(140π+ 100π)=160π

Realizando la multiplicación por π , se tiene: 502,4 cm2 aproximadamente es la respuesta al área de la zona esférica.

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Actividad 7

Con la observación del video de la actividad 6 sobre los estudios de Cavalieri, determina el volumen de una esfera de 45cm de radio. Calcula el volumen de la esfera de círculo de 45cm de radio.

VE= 45 cm

Figura 29. Ejercicio radio de la esfera

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4 π∙r3 3

Actividad 8

Con la información presentada en la figura 30. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 4m de altura. La expresión matemática para hallar el área es:

A=4∙π∙r2

4m

Para determinar el volumen de la esfera es:

V= 4 π∙r3 3

Figura 30. Ejercicio de la esfera

Recuerda que el radio de la esfera es la mitad de la altura del cilindro

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Partiendo de la información del ejercicio anterior, plantea tú propio ejercicio. Ubica en la figura 31 el dato de altura del cilindro; posteriormente determina los valores del radio, el área y el volumen de la esfera.

r= Altura del cilindro= 2r=

Figura 31. Ejercicio altura,radio,área y volumen del cilindro

Radio

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Área de la esfera

Volumen de la esfera

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Definición de superficie esférica: Una superficie esférica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro. Definición de esfera: Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica. • Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera. • Radio: Distancia del centro a un punto cualquiera de la superficie de la esfera. • Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie esférica. • Diámetro: Cuerda que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es igual a dos radios. • Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Polo

Diámetro

Cuerda

Centro Radio

Polo Figura 32. Elementos de la esfera

Cálculo del radio de una esfera: el radio de una esfera se puede determinar, partiendo del teorema de Pitágoras.

R2=d2+r2

R d

Expresado de otra forma seria:

r

R =√d2+r2 Figura 33. Representación del teorema de Pitágoras

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Área de la superficie esférica

A=4∙π∙r2 Volumen de la esfera

r

V= 4 π∙r3 3

Figura 34. Área de la superficie esférica

La representación que se realiza de la esfera terrestre, permite observar dos cortes o divisiones imaginarias: los paralelos y meridianos (líneas que sirven para medir la longitud y la latitud de cualquier punto). Las dos más importantes son: la línea Equinoccial o Ecuador (paralelo 0) y el Meridiano de Greenwinch (meridiano 0), ambos cortes corresponden a un círculo máximo. Figura 35. Representación de la esfera terrestre

Partes de la esfera Huso esférico: SSe denomina a la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella. Un ejemplo son los meridianos terrestres. Para determinar el área del huso esférico,retomemos la ecuación de la superficie de la esfera, 4∙π∙r2 La superficie de la esfera corresponde a 360°, entonces si necesitamos conocer el área del huso esférico en un determinado punto se expresaría así:

Huso

Figura 36. Elementos de la esfera

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4∙π∙r2 A= n 360°

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Casquete esférico Se considera a la parte de una esfera cortada por un plano. Si dicho plano pasa por el centro de la esfera, la altura del casquete es igual al radio de la esfera, y el casquete esférico será un hemisferio (semiesfera).

R r

La expresión matemática para el área del casquete esférico es:

h

A=2∙π∙R∙h

Figura 37. Casquete esférico

Para el volumen del casquete:

1 V= 3 π∙h2∙(3R-h)

SM_M_G09_U02_L03_S

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1. Calcular el área de una esfera que tiene un volumen de 216 ∙ π cm3

2. El volumen de una esfera es de 52 cm3 Calcula el área de la sección transversal que pasa por su diámetro.

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3. El área de una superficie esférica es 116π cm2 Calcula el volumen de otra esfera cuyo radio mide el triple que la esfera anterior

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Lista de figuras Figura 1. Deportes que utilizan la esfera Figura 2. Cúpula de la roca en Jerusalén Sustructu. (2005, Agosto 5).Dome of the Rock Chain Dome. [Fotografía]. Recuperada de: http:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/Dome_of_the_Rock_Chain_Dome.jpg Figura 3. Santa sofia, Estambul Oberazzi. (2007, Febrero 10).More Hagia Sofía. [Fotografía]. Recuperado de: https://c1.staticflickr. com/3/2235/2109809340_55938ceda5_z.jpg Figura 4. Domo Cecut Oscar10191. (2006, Abril 3). Domo IMAX en el CECUT. [Fotografía]. Tijuana México. Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/randychico/122828473/ Figura 5. Formación de la esfera Figura 6. Formación de la esfera Figura 7. Palabras relacionadas con la esferaa Figura 8. Elementos de la esfera Figura 9. Elementos de la esfera Figura 10. Elementos de la esfera Figura 11. Elementos de la esfera Figura 12. Elementos de la esfera Figura 13. Elementos de la esfera Figura 14. Representación del teorema de Pitágoras Figura 15. Representación de la esfera con el teorema de Pitágoras Figura 16. Semiesfera de icopor, cuerda, tijeras y cartulina Figura 17. Semiesfera de icopor paso 1 Figura 18. Semiesfera de icopor paso 2 Figura 19. Semiesfera de icopor paso 3 Figura 20. Esfera inscrita en un cilindro Figura 21. Representación círculo máximo y menor

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Figura 22. Representación de Arquímedes Figura 23. Semiesfera, cono y cilindro. Representación de Arquímedes Figura 24. Corte del cilindro Figura 25. Corte de la semiesfera Figura 26. Corte del cono Figura 27. Corte paralelo de la semiesfera, el cono y el cilindro Figura 28. Casquetes de la esfera Figura 29. Ejercicio radio de la esfera Figura 30. Ejercicio de la esfera Figura 31. Ejercicio altura, radio, área y volumen del cilindro Figura 32. Elementos de la esfera Figura 33. Representación del teorema de Pitágoras Figura 34. Área de la superficie esférica Figura 35. Representación de la esfera terrestre Santek. (2009, Julio 4). Océano Atlántico. [Ilustración]. Recuperado de: http://upload.wikimedia.org/ wikipedia/commons/1/19/Oceano_Atlantico.png Figura 36. Elementos de la esfera Figura 37. Casquete esférico

Bibliografía Franco, A. (2011, 11). La esfera en la arquitectura. Buenas tareas. Recuperado 05, 2014, de http://www. buenastareas.com/ensayos/La-Esfera-En-La-Arquitectura/3162499.html Ciencia fácil. (2014) Arquímedes y el volumen de la esfera [online] Recuperado de: http://www.cienciafacil.com/paginaesfera.html

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