UNIDAD 01

Introducción a la Programación Lineal

1.1 Modelo de Programación Lineal con dos variables Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks) Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema Producto

Pinturas para

Pinturas para

Disponibilidad

exteriores

interiores

diaria máxima

Componente

(toneladas)

Materia prima, M1

6

4

24

Materia prima, M2

1

2

6

Utilidad por toneladas

5

4

(miles de $)

Una encuesta de mercado indica que: la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Reddy desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.

El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos: • Las variables de decisión que se trata de determinar • El objetivo (la meta) que se trata de optimizar • Las restricciones que se deben satisfacer Definimos las variables: x1=toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores x2=toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se expresa así: Maximizar Z=5x1+4x2 A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda: (uso de la materia prima para ambas pinturas)=(disponibilidad máxima de materia prima) Según los datos del problema: Uso de la materia prima M1, por día = 6x1+4x2 toneladas Uso de la materia prima M2, por día = 1x1+2x2 toneladas Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan: 6x1+4x2≤24

(materia prima M1)

x1+2x2≤6

(materia prima M2)

La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x2-x1, no debe ser mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en: x2-x1≤1. La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como: x2≤2. Una restricción implícita (o “que se sobreentiende”) es que las variables x1 y x2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad:

x1≥0

y

x2≥0.

El modelo de Reddy Mikks completo es:

Maximizar:

Z = 5x1 + 4 x2

Sujeto a:

6 x1 + 4 x2 ≤ 24 x1 + 2 x2 ≤ 6 − x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x1 , x2 ≥ 0

EJEMPLOS INICIALES DE PROGRAMACION LINEAL 1.

Una firma industrial elabora dos productos, en las cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que deba fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación. O sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto. Producto

P1

P2

Componente

Disponibilidad (kilogramos)

A

1

3

15 000

B

2

1

10 000

C

2

2

12 000

D

1

1

10 000

Beneficios

4

3

US$Unidad Solución

x1 = Nº de Unidades de Producto

P1

x2 = Nº de Unidades de Producto

P2

Dado que x1 y x2 pueden tomar distintos valores reciben el nombre de "variables". Analizando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de transformación se tiene: Si en una unidad del Producto P1 entra 1 Kg. Del componente A, en x1 unidades de P2 entrarán.

[1]

⎛ Kg de componente ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ x1 ⎝ 1Unidad de P1 ⎠

(Unidades de P1 )

y para el producto P2 :

[2]

⎛ Kg de componente ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ x2 ⎝ 1Unidad de P2 ⎠

(Unidades de P2 )

Dado que la restricción impuesta dice que la disponibilidad del componente A es de 15 000 Kg es evidente que la suma de las expresiones anteriores deberá ser menor, a lo sumo igual a 15 000. Es decir 15 000 Kg constituye el máximo disponible de la componente A. Entonces eliminando las unidades de medida, se expresan en forma matemática de la siguiente forma: 1x1 + 3x2 ≤ 15 000

Aplicando el mismo análisis a los componentes B, C, y D, se tendrán las siguientes inecuaciones:

2 x1 + 1x 2 ≤ 10 000 2 x1 + 2 x 2 ≤ 12 000 1x1 + 1x 2 ≤ 10 000

Ahora bien, si el producto P1 genera un beneficio de US$4 por unidad, x1 unidades producirá un beneficio de US$ 4x1 y para el producto P2 , serán 3x2 soles de beneficio.

El beneficio total puede expresarse entonces como suma de los beneficios que deja cada producto. Entonces: Z = 4 x1 + 3x2

Pero lo que nosotros queremos es que este beneficio no sólo sea grande, sino que sea el mayor de todos; en una palabra, que sea máximo. Entonces el programa lineal correspondiente es: Z = 4 x1 + 3x2

Sujeto a: 1x1 + 3 x2 ≤ 15 000 2 x1 + 1x2 ≤ 10 000 2 x1 + 2 x2 ≤ 12 000 1x + 1x2 ≤ 10 000 1

x1 , x2 ≥ 0

2.

La Compañía "PROLANSA" produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta

US$2,00 por unidad, mientras que la materia prima

para cada clavo cuesta US$2,50. un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento Nº 1 y tres horas en el departamento Nº 2, mientras que un

tornillo requiere cuatro horas en el departamento Nº 1 y dos horas en el departamento Nº 2. El jornal por hora en cada departamento es de US$2,00. Si ambos productos se venden a US$18,00, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximicen las utilidades. Solución

x1 = Nº de tornillos/semana x2 = Nº de clavos/semana Utilidad = venta - costo Costo de los tornillos =

Utilidad

=

US$12 Unid + US$2 /Unid. = US$14 /Unid.

=

US$14 /Unid.

=

18 - 14 =

Costo de los clavos Utilidad

6 x 2 + US$US$2 /Unid.

=

US$4 /Unid.

5 x 2 + 2,5 = US$12,5 /Unid.

=

US$12,5 /Unid.

=

18 – 12,5 = US$5,50 /Unid.

Por lo tanto el programa lineal es: Max Z = 4 x1 + 5,50 x2

Sujeto a: 4 x1 + 2 x 2 ≤ 160 2 x1 + 3 x 2 ≤ 180 x1 , x 2 ≥ 0

3.

Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de un cierto producto, y usa dos tipos de materia prima (A y B), de los cuales se tienen disponibles 2 000 y 3 000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por unidad de los 3 modelos son: MATERIA PRIMA

REQUISITOS POR UNIDAD DE MODELO DADA I

II

III

A

2

3

5

B

4

2

7

El tiempo de mano de obra por cada unidad del modelo I es dos veces el modelo II y tres veces el modelo III. La fuerza laboral completa de la fábrica pudo producir el equivalente de 700 unidades del modelo I. Una encuesta de mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 200, 250 y 150 unidades respectivamente. Sin embargo, las relaciones del número de unidades producidas deben ser iguales a 3: 2: 5. Supongamos que los beneficios por unidad de los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 unidades monetarias. Formule el problema como un modelo de Programación lineal a fin de determinar el número de unidades de cada producto que maximiza el beneficio. Solución

x1 = Cantidad de Producción del Modelo I x2 = Cantidad de Producción del Modelo II x3 = Cantidad de Producción del Modelo III Función Objetivo

Max Z = 30 x1 + 20 x2 + 50 x3

Sujeto a: 1)

Con respecto a Materia Prima 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 2 000 4 x1 + 2 x2 + 7 x3 ≤ 3 000

2)

Con respecto a la Demanda Mínima x1 ≥ 200 x 2 ≥ 250 x3 ≥ 150

3)

Relación de las unidades producidas x1 x2

4)

=

2

,

x2 x3

=

2 5

,

x1 x3

=

3 5

Condición Laboral x1 +

5)

3

1 2

x2 +

1 3

x3 ≤ 700

Condiciones de no negatividad x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

4.

Para una cafetería que trabaja 24 horas se requiere las siguientes meseras:

HORAS DEL DIA

NÚMERO MÍNIMO DE MESERAS

2 - 6

4

6 - 10

8

10 - 14

10

14 - 18

7

18 - 22

12

22 - 2

4

Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas por día. El objeto es encontrar el número más pequeño requerido para cumplir los requisitos anteriores. Formule el problema como un modelo de Programación Lineal.

Solución ___

xi = Cantidad de meseras que ingresan en el turno i = 1,6 Función Objetivo Min Z =

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

Sujeto a:

+ x6 ≥ 4

Turno 1:

x1

Turno 2:

x1 + x2

Turno 3:

≥8

x2 + x3

≥ 10

x3 + x4

Turno 4:

≥7

x4 + x5

Turno 5:

≥ 12

x5 + x6 ≥ 4

Turno 6:

xi ≥ 0

Turno

horas 2

6

10

14

18

22

∀i = 1, … ,6

2

6

1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6

5.

Considere una Compañía que debe elaborar dos productos en determinado período (un trimestre) la Compañía puede pagar por materiales y mano de obra, con dinero obtenido de dos fuentes: fondos de la compañía (propio) y préstamos. La Compañía enfrenta tres decisiones. a.

¿Cuántas unidades debe producir del producto 1?

b.

¿Cuántas unidades debe producir del producto 2?

c.

¿Cuánto dinero debe obtener prestado para apoyar la producción de los dos modelos?

Al tomar estas decisiones la compañía desea Maximizar la ganancia sujeta a las condiciones siguientes: i.

Los productos de la compañía disfrutan de un mercado de ventas por lo tanto la empresa puede vender tantas unidades como pueda producir, más aún la cantidad producida no tiene efectos en los

precios del mercado ya que el volumen de producción de la compañía es pequeño con relación al volumen del mercado total. Por lo tanto a la Empresa le gustaría producir tantas unidades como fuera posible dentro de las restricciones financieras y de capacidad de su fábrica, estas restricciones junto con los datos de los costos y precios se dan en tabla adjunta. ii.

Los fondos propios de la Compañía disponibles durante el período son US$30 000

iii. Un banco prestará hasta US$20 000 por trimestre a una tasa de interés del 5% por trimestre, si la razón financiera conocida como la Prueba del ácido, de la compañía permanece en una proporción de 3 a 1 como mínimo mientras existe el adeudo. Recuerda que la prueba del ácido esta dada por la RAZON DE EFECTIVO más cuentas por cobrar a cuentas por pagar. iv. Como se observa en la figura adjunta, los pagos por mano de obra y materia prima se hacen al final del período de producción, por lo tanto el crédito necesario se obtiene en ese momento, los envíos de los productos fabricados, se hacen a crédito al final del período de producción. Finalmente el ingreso por ventas se recibe al final del siguiente período.

Producto

Precio de

Costo de

Horas para Producir una

Venta

Producción

Unidad en el Dpto. A

B

C

1

14

10

0,5

0,3

0,2

2

11

8

0,3

0,4

0,1

500

400

200

Horas Trimestre Solución:

Disponibles

por

x1 = Unidades del producto 1 x2 = Unidades del producto 2 x3 = Cantidad obtenida por el préstamo Producto

P.V.

C.P.

Horas por Producir A

B

C

1

14

10

0,5

0,3

0,2

2

11

8

0,3

0,4

0,1

500

400

200

Horas disponibles xi U1 = (14 − 10)x1 U 2 = (11 − 8)x2 U 3 = −0,05 x3

Max Z = 4 x1 + 3x2 − 0,05 x3

Sujeto a: 0,5 x1 + 0,3 x2 ≤ 500 0,3 x1 + 0,4 x2 ≤ 400 0, 2 x1 + 0,1x2 ≤ 200 10 x1 + 8 x2 ≤ 30 000 + x3 Fondos de la compañia x3 ≤ 20 000

30 000 + (4 x1 + 3 x2 + x3 ) x3 + 0,05 x3

≥

3 1

x1 , x2 , x3 ≥ 0

Préstamo

Prueba ácida

=

=

Efectivo + cuenta por cobrar Cuenta por pagar 30 000 + (4 x1 + 3 x2 + x3 ) x3 + 0,05 x3

≥

3 1

⇒ 2,15 x3 − 3 x2 − 4 x1 ≤ 30 000