La Ecuación  de  Schrödinger             

Dr. Héctor René VEGA‐CARRILLO    Notas del curso de Física Moderna  Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica  Universidad Autónoma de Zacatecas    Buzón electrónico: [email protected]  Portal: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html 

    Documento: FM/Notas/ecsh‐7/04030311 

mie/3‐Mzo/2011 

Contenido              1.  INTRODUCCIÓN. .................................................................................................. 3  2.‐ LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER ........................................................................... 5  3.‐ SIGNIFICADO FÍSICO DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER ........... 6  4.‐ LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN DIFERENTES SISTEMAS COORDENADOS ........ 8   

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1. 

INTRODUCCIÓN. 

    En  1926,  Erwin  Schrodinger  publicó  un  artículo  donde  aparece,  por  primera  vez,  su  famosa  ecuación  de  onda.  Esta  ecuación  describe  la  forma  en  que  se  propagan  las  ondas  de  materia.  Unos  meses  antes  de  que  se  publicara  este  trabajo  Werner  Heisenberg  había  publicado  un  artículo  donde  planteó  una  teoría  cuyo  objetivo  era  explicar los fenómenos atómicos y se basaba solo en cantidades que se pueden medir.  Estas  cantidades  de  energía,  posición  y  momentúm  (cantidad  de  movimiento)  se  representaban mediante matrices, las cantidades que aparecían en la diagonal de cada  matriz representaban los resultados posibles de un proceso de medición.    En ese momento pareció que las teorías de Schrodinger y de Heisenberg eran distintas,  tiempo después, el mismo Schrodinger, demostró que ambas teorías eran equivalentes  y su única diferencia era que utilizaron herramientas matemáticas distintas. Esta teoría  se  conoce  hoy  como  Mecánica  ondulatoria,  o  más  apropiadamente,  Mecánica  Cuántica.    A finales de 1925 Schrodinger encontró una ecuación, cuyo aspecto general era similar  a la ecuación de onda de la Física clásica, que permitía describir el comportamiento de  partículas  con  masa,  como  los  electrones,  esa  ecuación  se  conoce  hoy  como  la  Ecuación de Schrodinger.     La  Ecuación  de  Schrodinger  contiene  derivadas  en  el  tiempo  y  en  espacio  de  una  función  de  onda.    Mas  que  definir  un  proceso  para  derivarla,  la  ecuación  de  Schrodinger  debe  verse  como  una  ley  fundamental,  tan  importante  en  la  Mecánica  Cuántica como la segunda Ley de Newton lo es para la Física Clásica.    La ecuación de Schrodinger describe el movimiento de partículas con masa a través de  analizarlas  a  partir  de  sus  características  ondulatorias  y  solo  funciona  cuando  las 

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velocidades de las partículas son tales que no alcanzan valores relativistas, esto es que  la velocidad de la partícula es muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz.    En  su  momento  Schrodinger  intentó  derivar  una  ecuación  que  también  incluyera  los  fenómenos relativistas pero fracasó en su empeño y no fue sino hasta 1928 que Paul A.  M. Dirac lo logró.         

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2.‐ LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER    En  este  curso  vamos  a  definir  la  Ecuación  de  Schrodinger  como  un  postulado.  Así.  la  ecuación que describe una partícula de masa m que se mueve en una dimensión esta  definida por la ecuación (1).   

h 2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) h ∂ Ψ (x, t ) − + V( x, t ) Ψ ( x, t ) = i 2 2 2π ∂t 8π m ∂x

 

(1) 

  En la ecuación (1), Ψ(x, t) es la función de onda y depende del espacio, representado  por la variable x, y por el tiempo, representado por la variable t. En esta ecuación es  común expresar h/(2 π) por ħ. 

A diferencia de la ecuación de onda de la Física Clásica, en la ecuación (1) aparece el  número imaginario i (i = (‐1)1/2), por lo que las soluciones que satisface a esta ecuación  no pertenecen necesariamente a los reales. También, es indispensable aclarar que la  solución  de  esta  ecuación  da  una  función  Ψ  que  no  es  una  cantidad  física  que  se  pueda  medir,  como  es  el  caso  de  la  función  de  onda  de  la  Física  Clásica  y  si  no  se  puede medir que tipo de experimento se debe realizar para corroborar la veracidad de  la  teoría  que  está  detrás  de  esta  ecuación.  Esta  reflexión  nos  obliga  a  plantear  la  siguiente pregunta: ¿cuál es el significado físico de Ψ?.

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3.‐ SIGNIFICADO FÍSICO DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE  SCHRODINGER    La función Ψ por si sola no tiene significado físico, sin embargo una cantidad derivada  de ésta si lo tiene. Este significado lo encontró Max Born quien, paradójicamente en un  principio fue un fuerte opositor a las teorías de Einstein y de Schrodinger.    La  interpretación  de  Born  se  basa  es  establecer  que  la  probabilidad  de  encontrar  un  electrón en un cierto diferencial del espacio, dx, es una cantidad que se puede medir.  Esta medición se hace contando el número de veces que encontramos el electrón en  dx  y  dividiendo  esa  cantidad  por  el  número  de  electrones  arrojados.  El  cociente  resultante  representa  una  probabilidad.  Esta  probabilidad  es  similar  a  la  que  obtenemos  si  hacemos  el  siguiente  experimento  simple:  Si  arrojamos  un  moneda  particular,  digamos  100  veces,  y  hacemos  el  registro  del  número  de  veces  que  cae  “águila”,  digamos  por  caso  que  de  las  100  veces  que  arrojamos  la  moneda  60  resultaron ser “águila”, luego entonces la probabilidad de que salga “águila” al arrojar  es moneda particular es 60/100, es decir p(águila) = 0.6 o bien 60%.    En  virtud  de  la  naturaleza  compleja  de  Ψ  definimos  esa  función  de  distribución  de  probabilidad (P(x,t) dx) de la siguiente forma,  2

P( x , t )dx = Ψ ∗ ( x , t ) Ψ ( x, t ) dx = Ψ ( x , t ) dx

 

(2) 

  Y  significa  la  probabilidad  de  encontrar  al  electrón  entre  un  punto  x  y  x  +  dx.  En  la  ecuación (2), Ψ*(x,t) es el complejo conjugado de Ψ(x,t) y se obtiene sustituyendo  i  con – i.    La  probabilidad  de  encontrar  un  electrón  en  el  espacio  será  siempre  1  y  esta  aseveración se expresa mediante la ecuación (3).   

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+∞

∫Ψ

∗

Ψ dx = 1

 

(3) 

−∞

A la ecuación (3) se le llama condición de normalización y su importancia radica en el  hecho  de  que  define  restricciones  a  las  posibles  soluciones  de  la  ecuación  de  Schrodinger;  una  de  estas  restricciones  es  que  la  función Ψ(x,  t)  debe  tender  a  cero  conforme x → ± ∞, con esto aseguramos que la integral de la ecuación (3) siempre será  finita. Lo anterior puede expresarse a través de los siguientes límites, 

lim

x→−∞

Ψ =

lim

Ψ → 0

 

(4) 

x→+∞

  Habiendo  establecido  lo  anterior  solo  nos  resta  definir  un  procedimiento,  exacto  (analítico)  o  aproximado  (numérico)  que  nos  permita  resolver  la  ecuación  de  Schrodinger.         

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4.‐  LA  ECUACIÓN  DE  SCHRODINGER  EN  DIFERENTES  SISTEMAS  COORDENADOS    En forma general la Ecuación de Schrodinger se puede expresar mediante la ecuación  (5).   

−

h2 h ∂ Ψ (r, t ) ∇ 2 Ψ (r, t ) + V(r, t ) Ψ (r, t ) = i   2 2π ∂t 8π m

 

 

(5) 

  donde,  ∇2  se  conoce  como  el  Laplaciano  u  operador  de  Laplace,  cuya  estructura  cambia con el sistema de coordenadas. 

El Laplaciano, algunos también le llaman Laplaciana, en coordenadas rectangulares se  expresa como se muestra en la ecuación (6).    2

∇ =

∂2 ∂ x2

+

∂2 ∂ y2

+

∂2 ∂ z2

 

 

 

 

 

(6) 

  En coordenadas cilíndricas y esféricas el Laplaciano se expresa mediante la ecuación  (7) y (8) respectivamente.   

∇2 =

1 ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂   + + + ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ θ2 ∂ z 2

 

 

 

 

(7) 

1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 1 ∂2 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎜ sen θ ⎟+ ⎜r ⎟+    ∇ = 2 ∂ θ ⎟⎠ r 2 sen 2 θ ∂ φ 2 r ∂ r ⎜⎝ ∂ r ⎟⎠ r 2 sen θ ∂θ ⎜⎝

(8) 

  2

   

8

Así  pues,  la  ecuación  de  Schrodinger  en  tres  dimensiones  y  en  coordenadas  rectangulares se expresaría sustituyendo el operador laplaciano, tal y como se muestra  en la siguiente ecuación.    −

h2 8 π2 m

⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎜⎜ 2 + + ∂ y2 ∂ z2 ⎝∂x

⎞ h ∂ Ψ ( x , y, z , t ) ⎟⎟ Ψ ( x, y, z, t ) + V( x , y, z, t ) Ψ ( x , y.z, t ) = i 2π ∂t ⎠

   

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