SIGMA 30

LABORATORIO DE MATEMÁTICAS (*) Grupo Mayrit (**) 1. INTRODUCCIÓN El objetivo que nos marcamos al elaborar este trabajo fue diseñar unas “prácticas” de laboratorio de Matemáticas, entendiéndolas como actividades que pueden realizar los alumnos y alumnas de Educación Secundaria Obligatoria con materiales manipulables. Con estas prácticas pretendemos facilitar al profesorado la utilización de estos recursos didácticos y metodológicos. No obstante, creemos que las mejores prácticas son las que diseña o adapta cada profesor para sus alumnos. No es nuestra intención desarrollar todo el currículo de la E.S.O. mediante este tipo de actividades, ni tampoco trasladar la clase a un aula distinta de la habitual, sino que se trata de trabajar algunos de los contenidos de una manera experimental, a través de experiencias concretas, mediante las cuales cada alumno, guiado por su profesor, pueda trazar una línea personal de aprendizaje, convirtiéndose en un participante activo en la clase de matemáticas, que construye sus propios conocimientos. Las actividad es están pensadas para trabajar diferentes aspectos de los contenidos de Matemáticas, como pueden ser los siguientes: • Introducir conceptos. • Aplicar conceptos y/o procedimientos. • Consolidar conceptos. • Corregir errores. • Consolidar destrezas de cálculo. • Descubrir y/o comprobar propiedades.

2. ORGANIZACIÓN Y ESTRUCTURA Hemos tenido en cuenta los contenidos de Matemáticas para la Educación Secundaria Obligatoria, que aparecen en el Decreto de Currículo de la Comunidad de Madrid (B.O.C.M. del 12/2/2002).

(*) Esta es una primera entrega del Laboratorio de Matemáticas que tendrá continuidad en Números de SIGMA posteriores. (**) Grupo Mayrit: Menchu Bas, Aurora Bell-lloch, Alejandro González, Natividad Herranz, Mª Carmen Recio, Guido Ramellini, Rosario del Rincón, Ana Rodrigo, Damián Valdevira y Mª Dolores Vela.

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Grupo Mayrit

Este trabajo contiene las siguientes secciones: • Tablas con los contenidos de matemáticas para la E.S.O. organizados por bloques y cursos. En ellas aparecen enumerados dichos contenidos y, al lado, los códigos de las prácticas vinculadas con cada uno, si las hubiera, así como el material necesario para realizarlas. • Índice de las prácticas, ordenadas alfabéticamente según su código. • Fichas de las actividades. La primera es la del profesor y a continuación se presenta la del alumno, que pueden tener más de una página. La ficha del profesor y la del alumno se identifican mediante un código y están ordenadas alfabéticamente según el mismo. Este código consta de tres letras, las tres primeras letras del nombre del material manipulable utilizado, seguidas de un número. Las fichas van encabezadas por el título de la práctica. En la ficha del profesor aparecen, además, unos iconos que hacen referencia al tiempo estimado para realizar la práctica o actividad, el tipo de agrupamiento de los alumnos y el bloque de contenidos en el que está encuadrada. AGRUPAMIENTO

Individual

Pareja

Grupo pequeño

Clase

TIEMPO NECESARIO PARA LA ACTIVIDAD

BLOQUES DE CONTENIDOS

Números

Álgebra

Geometría

Funciones

Probabilidad

Tabla de iconos que aparecen en las fichas del profesor En la ficha hay una primera parte indicando el tema, el material y el nivel al que va dirigida; se sugiere cuándo hacerla, para qué sirve y si la práctica necesita alguna preparación antes de proponérsela al alumnado. También se recogen los conocimientos previos que necesitan tener los alumnos antes de realizarla. En la segunda parte está la información e instrucciones que se han de dar al alumnado para que realice la actividad y, en algunos casos, consejos prácticos para un mejor desarrollo de la misma.

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Laboratorio de Matemáticas

La ficha del alumno contiene la tarea que va a realizar. Algunas prácticas debe llevarlas a cabo de una forma bastante pautada para llegar a la conclusión final, mientras que en otras puede hacerlo de forma más libre. Los materiales manipulables utilizados en estas actividades son: • • • • • • • • • • • • • • • • •

Barajas de funciones. Pistas de álgebra. Varillas de mecano. Mira. Geoplano. Libro de espejos. Policubos. Bingo. Puzzles pitagóricos y del cuadrado del binomio. Barajas de álgebra. Barajas de números enteros. Dominós de fracciones, dominó combi, de áreas y perímetros. Dados. Canódromos. Chinchetas. Laberintos. Tablero de múltiplos y divisores.

Muchos de ellos forman parte de los maletines del Proyecto Didáctico Uso de materiales de apoyo para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas comercializados por Proyecto Sur de Ediciones, distribuidos por la Consejería de Educación de la Comunidad de Madrid a los Institutos que han participado en dicho proyecto. Estos u otros similares se pueden encontrar en tiendas especializadas en material didáctico. Algunos se pueden construir fácilmente, incluso con los alumnos.

3. GESTIÓN DE LA CLASE Todas estas prácticas de laboratorio de Matemáticas han sido experimentadas en nuestras clases, con un solo profesor y unos 25 ó 30 alumnos. No obstante, pensamos que para trabajar de manera óptima con ellas, la clase tendría que desdoblarse en más de un grupo, o bien, que dos profesores estuvieran a la vez en la misma aula, atendiendo simultáneamente a los alumnos del grupo.

Presentación de la actividad El profesor es el que organiza, orienta y guía el trabajo de los alumnos. Antes de repartir el material a los alumnos hay que explicarles claramente lo que se va a hacer y qué se espera de ellos. Sugerimos los siguientes pasos: • Hacer una breve introducción de la práctica. • Explicar lo que tienen que hacer con el material (jugar una partida, construir unas figuras, elaborar reglas del juego...).

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Grupo Mayrit

• Dar a conocer los objetivos (no se trata de jugar con el material sin más, sino que se van a trabajar unos contenidos de otra manera). • Aclarar que su trabajo y sus reflexiones deberán quedar recogidos en la ficha del alumno entregada al efecto o en su cuaderno, según los casos. Después de repartir el material de trabajo, el profesor debe observar lo que hace cada grupo y cada alumno dentro del grupo o en su tarea individual. A veces, tendrá que cambiar el material o reorientar la actividad de los que terminan pronto o que se ven desbordados por la tarea. El nivel asignado a cada actividad esorientativo. La misma práctica puede trabajarse con grupos de distinto curso o nivel, en unos para introducir o reforzar conocimientos y en otros para ampliarlos.

4. AGRUPAMIENTO DE LOS ALUMNOS Algunas actividades están previstas para que los alumnos las realicen individualmente, otras en parejas, otras en pequeños grupos y otras con toda la clase. Es conveniente que sea el profesor quien organice los grupos. Tendrá que decidir si éstos son homogéneos o heterogéneos según los objetivos que se propone con la actividad elegida o según las características de la clase.

5. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Al entregar a los alumnos el material con el que van a trabajar y la ficha con las tareas a realizar es conveniente dejarles unos minutos para que se familiaricen con él (lo toquen, vean como funciona, hagan construcciones, se lo enseñen unos a otros, ...). Ellos lo harán de todas formas y de no tenerlo previsto las interrupciones del trabajo serán continuas. Se trata de que disfruten aprendiendo, simultaneando la manipulación con la realización de las tareas que se les piden: construir, observar, anotar, dibujar, sacar conclusiones, etc. Hay que dejarles trabajar con libertad, pero también recordarles que deben recapacitar sobre lo que están haciendo, sin perder de vista el objetivo propuesto inicialmente y, en la mayoría de los casos, reflejarlo verbal o gráficamente en su hoja de trabajo o en su cuaderno. Es interesante pedirles que hagan en casa un pequeño informe-resumen del desarrollo de la práctica en el que, además, deben figurar las conclusiones.

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Laboratorio de Matemáticas

CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS EN LA E.S.O. NÚMEROS CURSO 1º

CONTENIDOS

MATERIAL

CÓDIGO DE LA ACTIVIDAD

Números naturales. Sistema de numeración decimal.

Bingo.

BIN-1

Tablas para el cálculo mental.

TAB-3

Divisibilidad.

Bingo.

BIN-2

Tablero de múltiplos y divisores. TAB-4 Dominó de fracciones 2.

DOM-2

Bingo.

BIN-3

Relación de divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números naturales.

Tablero múltiplos y divisores.

TAB-4

Operaciones elementales con fracciones, decimales y números enteros. Jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis. Estimaciones, aproximaciones y redondeos.

Dominó de fracciones 1.

DOM-1

Dominó de fracciones 2.

DOM-2

Dominó de fracciones.

DOM-3

Bingo.

BIN-3

Laberinto de números.

TAB-5

Cartas de números enteros.

BAR-1 ; BAR-2

Magnitudes directa e inversamente proporcionales. Porcentajes.

Geoplano ortogonal.

GEO-7

Números racionales. Operaciones elementales y potencias de exponente entero. Jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis.

Laberinto de números.

TAB-5

Fracciones. Números decimales. Operaciones elementales. Redondeos. Potencias de exponente natural. Raíces cuadradas exactas. Las magnitudes y su medida. El sistema métrico decimal. El euro. Magnitudes directamente proporcionales. Porcentajes. 2º

Raíces cuadradas aproximadas. Medida del tiempo y de los ángulos. Precisión y estimación en las medidas.

3º

Aproximaciones y errores.

…/…

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Grupo Mayrit

NÚMEROS …/… CURSO 3º

CONTENIDOS

CÓDIGO DE LA ACTIVIDAD

MATERIAL

Reconocimiento de números irracionales. Sucesiones numéricas. Iniciación a las progresiones aritméticas y geométricas.

4º

Iniciación al número real. La recta real. Notación científica. Operaciones en notación científica. Potencias de exponente fraccionario y radicales. Operaciones con radicales numéricos sencillos.

Dominó Combi 3.

DOM-4

Dominó Combi 4.

DOM-5

ÁLGEBRA CURSO

CONTENIDOS

1º

No hay.

2º

Interpretación de fórmulas y expresiones algebraicas.

CÓDIGO DE LA ACTIVIDAD

MATERIAL

Pistas de álgebra.

TAB-1

Dominó de áreas.

DOM-6

Dominó de perímetros.

DOM-7

Pistas de álgebra.

TAB-1; TAB-2

Identidades notables.

Puzzles del teorema de Pitágoras y del cuadrado de un binomio.

PUZ-1

Resolución algebraica de ecuaciones de primer grado y de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Baraja de ecuaciones.

BAR-4

Dominó de áreas.

DOM-6

Dominó de perímetros.

DOM-7

Pistas de álgebra.

TAB-2

Ecuaciones de primer grado. 3º

Polinomios. Operaciones elementales.

Ecuación de segundo grado. 4º

Repaso y profundización en el cálculo algebraico: operaciones con polinomios. Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones de segundo grado. Sistemas de ecuaciones lineales.

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Laboratorio de Matemáticas

GEOMETRÍA CURSO 1º

CONTENIDOS

MATERIAL

Elementos básicos de la geometría del plano.

Mira.

MIR-1;MIR-2

Descripción, construcción, clasificación y propiedades características de las figuras planas elementales.

Varillas de Mecano. Libro de espejos. Geoplano ortogonal Mira. Puzzle del teorema de Pitágoras. Geoplano circular.

MEC-1 ; MEC-2 ESP-3 GEO-9 MIR-2 Puz-2 GEO-1

Cálculo de áreas y perímetros de las figuras pla- Mecano. nas elementales. Geoplano ortogonal. 2º

CÓDIGO DE LA ACTIVIDAD

MEC-3 GEO-11

Elementos básicos de la geometría del espacio. Descripción, desarrollo y propiedades características de los cuerpos geométricos elementales. Cálculo de áreas y volúmenes.

Varillas de mecano. Policubos.

MEC-3 POL-2

Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras.

Varillas de mecano. Puzzle del teorema de Pitágoras.

MEC-1; MEC-2 PUZ-2

Semejanza.

Geoplano ortogonal.

GEO-7

Teorema de Tales.

Geoplano ortogonal.

GEO-8

Razón de semejanza.

Policubos.

POL-1

Varillas de mecano. Libro de espejos. Geoplano ortogonal. Geoplano circular. Policubos.

MEC-1; MEC-2; MEC-3 ESP-3 GEO-10; GEO-11; GEO-12 GEO-1 POL-1

Traslaciones giros y simetrías en el plano.

Mira. Espejo. Libro de espejos. Geoplano ortogonal.

MIR-1 ESP-1 ESP-2 GEO-2; GEO-3; GEO-4

Figuras semejantes. Razón de semejanza.

Policubos.

POL-1

Escalas. 3º

Descripción y propiedades elementales de las figuras planas y de los cuerpos elementales.

Cálculo de áreas y volúmenes. Poliedros regulares. La esfera. El globo terráqueo.

4º

Teorema de Tales. Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Iniciación a la geometría analítica plana.

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Grupo Mayrit

FUNCIONES CURSO 1º

CONTENIDOS

MATERIAL

CÓDIGO DE LA ACTIVIDAD

Construcción e interpretación de tablas de valores. Interpretación y lectura de gráficas relacionadas con los fenómenos naturales, la vida cotidiana y el mundo de la información.

2º

Coordenadas cartesianas. Tablas de valores y gráficas cartesianas. Relaciones funcionales entre magnitudes directamente proporcionales.

Baraja de funciones.

BAR-3

Geoplano ortogonal.

GEO-7

Distintas formas de expresar una fun- Baraja de funciones. ción.

BAR-3

Interpretación y lectura de gráficas relacionadas con los fenómenos naturales, la vida cotidiana y el mundo de la información. 3º

Relaciones funcionales.

Estudio gráfico de una función: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, simetrías, continuidad y periodicidad. Estudio gráfico y algebraico de las funciones constantes, lineales y afines. Interpretación y lectura de gráficas en problemas relacionados con fenómenos naturales, la vida cotidiana y el mundo de la información. 4º

Funciones. Estudio gráfico de una función. Características globales de las gráficas: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetrías y periodicidad. Estudio de las funciones polinómicas Geoplano ortogonal. de primer y segundo grado y de las funciones exponenciales o de proporcionalidad inversa sencillas

GEO-5

Interpretación y lectura de gráficas en problemas relacionados con fenómenos naturales, de la vida cotidiana y el mundo de la información.

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SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk.

Laboratorio de Matemáticas

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD CURSO

CONTENIDOS

1º

Construcción e interpretación de tablas de valores. Interpretación y lectura de gráficas relacionadas con los fenómenos naturales, la vida cotidiana y el mundo de la información.

2º

Estadística unidimensional. Distribuciones discretas. Tablas de frecuencias y diagramas de barras.

MATERIAL

CÓDIGO DE LA ACTIVIDAD

Media aritmética y moda. 3º

Estadística unidimensional. Tablas de frecuencias y gráficos estadísticos. Parámetros de centralización y dispersión. Experimentos aleatorios.

Laberinto 1.

LAB-1

Laberinto 2.

LAB-2

Chinchetas.

CHI-1

Dados.

DAD-1

Laberinto 1.

LAB-1

Laberinto 2.

LAB-2

Chinchetas.

CHI-1

Dados cúbicos.

DAD-1

Experimentos aleatorios y sucesos.

Chinchetas.

CHI-1

Probabilidad simple y compuesta.

Bingo.

BIN-5

Canódromo 1.

CAN-1

Canódromo 2.

CAN-2

Canódromo 1.

CAN-1

Frecuencia y probabilidad de un suceso.

Cálculo de probabilidades mediante la ley de Laplace. 4º

Variables discretas y continuas. Intervalos y marcas de clases. Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias, gráficos de barras y de sectores, histogramas y polígonos de frecuencias. Cálculo e interpretación de Los parámetros de centralización y dispersión.

Utilización de distintas técnicas combinatorias en la asignación de probabilidades simples y compuestas.

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

Canódromo 2.

CAN-2

Bingo.

BIN-4; BIN-5

Dados cúbicos blancos.

DAD-2

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Grupo Mayrit

ACTIVIDADES - NÚMEROS EL CERO GANA Código BAR-1 (Ficha del profesor) TEMA

MATERIAL

NIVEL

NÚMEROS ENTEROS

BARAJA DE NÚMEROS ENTEROS (Proyecto Sur de Ediciones)

1º ó 2º ESO

CUÁNDO HACERLA: Como introducción y aplicación de la operación suma.

SIRVE PARA:

• Trabajar el opuesto de un número. • Descomponer un número en suma y resta de varios. NECESITAS:

• Cartas de números enteros desde el –18 al 17. • Ficha del alumno.

PREPARACIÓN DE LA PRÁCTICA:

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Si el grupo es muy heterogéneo conviene tener a mano más juegos.

• Suma y resta de números enteros. • Números opuestos.

REGLAS DEL JUEGO:

• Con una baraja pueden jugar de 3 a 6 alumnos. • Se colocan 4 cartas boca arriba en la mesa y se reparten las restantes. • Se juega por turnos, cada alumno en su turno comprueba si alguna de sus cartas suma cero con una o varias de las cartas que hay sobre la mesa. Si es así, se lleva la suya con las que suman cero y se las guarda. • Si no tiene para llevarse, coloca una de sus cartas sobre la mesa y pasa el turno. • La partida termina cuando un jugador se ha quedado sin cartas. • Gana quien más cartas tenga guardadas, no en la mano, y se anota un punto. • El juego termina cuando un jugador haya totalizado la cantidad de puntos que se haya acordado.

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SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk.

Laboratorio de Matemáticas

EL CERO GANA Código BAR-1 (Ficha del alumno) TEMA

FECHA

NÚMEROS ENTEROS

SIRVE PARA:

• Trabajar el opuesto de un número. • Descomponer un número en suma y resta de varios. NECESITAS:

• Cartas de números enteros desde el –18 al 17.

REGLAS DEL JUEGO:

• Con una baraja podéis jugar de 3 a 6 jugadores. • Se colocan 4 cartas boca arriba en la mesa y se reparten las restantes. • Cuando llegue tu turno, comprueba si alguna de tus cartas suma cero con una o varias de las cartas que hay sobre la mesa. Si es así, llévate la tuya con las que suman cero y guárdalas. • Si no puedes, coloca una de tus cartas sobre la mesa y pasa el turno. • La partida termina cuando un jugador se ha quedado sin cartas. • Gana quien más cartas tenga guardadas, no en la mano, y se anota un punto. • El juego termina cuando uno de vosotros haya totalizado la cantidad de puntos que se haya acordado. PUNTUACIONES DE LAS PARTIDAS Partida Nº

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

Jugador 4

Jugador 5

Jugador 6

1 2 3 4 5 6 7 TOTAL

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

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Grupo Mayrit

ACTIVIDADES - ÁLGEBRA FAMILIAS DE ECUACIONES Código BAR-4 (Ficha del profesor) TEMA

MATERIAL

NIVEL

ÁLGEBRA

BARAJA DE ÁLGEBRA (Proyecto Sur de Ediciones)

3º ESO

CUÁNDO HACERLA: Antes o después de trabajar la resolución de ecuaciones, según el nivel del grupo..

SIRVE PARA:

• Resolver mentalmente una ecuación sencilla. • Comprobar la solución de una ecuación. NECESITAS:

• Cartas de álgebra. • Ficha del alumno.

PREPARACIÓN DE LA PRÁCTICA:

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

• Resolución de ecuaciones sencillas de primer grado.

REGLAS DEL JUEGO: (Juego para 3 ó 4 jugadores parecido al “Cinquillo”).

• La baraja tiene 40 cartas: 10 familias, compuesta cada una por 3 ecuaciones equivalentes y su solución. • Se reparten 6 cartas a cada jugador, dejando las que sobran bocabajo sobre la mesa. • Sale el jugador que tenga la carta amarilla (solución) más alta. • El siguiente jugador puede poner una ecuación equivalente sobre la anterior u otra solución, según decida. Si no puede poner, roba una carta del montón, si puede la coloca y si no, pasa turno. • La partida termina cuando un jugador se ha quedado sin cartas. • Gana la partida el jugador que antes se quede sin cartas y se apunta -10. • Cada jugador contará los puntos, en valor absoluto, que tiene en su mano y se los apunta. • El juego termina después de 5 manos. Gana el jugador que menos puntos acumule.

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SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk.

Laboratorio de Matemáticas

DESARROLLO:

• En la ficha del alumno se plantean actividades para analizar la baraja. • Debe acordarse el orden en el que se colocarán las cartas, según su color. (Por ejemplo: amarillo

→ verde → rojo → azul).

• Tras cada partida, el profesor comprobará que la solución de cada columna es la correcta, antes de jugar otra partida. OBSERVACIONES:

• En caso de bloqueo, es útil que el alumno resuelva la ecuación en papel aparte antes de colocar la carta sobre la mesa. • Los componentes de cada grupo deben asegurarse de que nadie hace trampas “por error”. (Es fácil confundir las cartas que tienen solución negativa).

FAMILIAS DE ECUACIONES Código BAR-4 (Ficha del alumno) TEMA

FECHA

ÁLGEBRA SIRVE PARA:

• Resolver mentalmente una ecuación sencilla. • Comprobar la solución de una ecuación.

NECESITAS:

• Cartas de álgebra.

DESARROLLO: Observa las cartas que se te entregan: en las cartas de color azul, rojo y verde aparecen ecuaciones de primer grado. Antes de comenzar a jugar, contesta a las siguientes preguntas: 1. Las cartas de color amarillo solamente tienen un número ¿qué significa ese número? 2. ¿Qué tienen en común las cartas de un mismo color? 3. ¿Qué tienen en común estas cuatro cartas?

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

2

AMARILLA

2x = 4

VERDE

3x – 1 = x +3

ROJA

x/2 = 1

AZUL

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Grupo Mayrit

4. Completa esta tabla con otra familia de la baraja: AMARILLA VERDE ROJA AZUL REGLAS DEL JUEGO: (Juego para 3 ó 4 jugadores) Se reparten 6 cartas a cada jugador y las sobrantes se dejan en la mesa. Sale el jugador que tenga la carta amarilla (solución) más alta. Por turno, cada jugador pone una carta equivalente de otro color debajo de la primera (como se indica en el ejemplo, siguiendo el mismo orden de colores) o bien pone otra carta amarilla; y si no puede hacer ninguna de las dos cosas coge una carta del montón, si las hubiera; si puede la coloca y, si no, pasa turno. Gana la partida el jugador que antes se quede sin cartas en la mano. Al finalizar se contabilizan los puntos de la siguiente forma:

• Se le otorgarán -10 puntos al ganador de la partida y al resto la suma de los valores absolutos de las cartas que tenga en la mano. • Gana el juego el jugador que tenga menor número de puntos. Anotamos los puntos en la siguiente tabla:

NOMBRE:

1ª partida

2ª partida

3ª partida

4ª partida

5ª partida

TOTAL DE PUNTOS

Al finalizar el juego contesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Conviene poner todas las amarillas cuánto antes? 2. ¿Te parece justa la forma de asignar los puntos? 3. Propón otra forma de puntuar al terminar cada mano.

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ACTIVIDADES - GEOMETRÍA REFLEJOS Código ESP-1 (Ficha del profesor) TEMA

MATERIAL

NIVEL

SIMETRÍAS

ESPEJOS

3º ESO

CUÁNDO HACERLA: Al empezar las simetrías.

SIRVE PARA:

• Introducir al alumno en las simetrías. • Descubrir ejes de simetría. NECESITAS:

• Espejos. • Regla. • Ficha del alumno.

PREPARACIÓN DE LA PRÁCTICA: Ninguna.

CONOCIMIENTOS PREVIOS: Ninguno.

DESARROLLO:

• Se trata de ir introduciendo al alumno en las propiedades que cumplen las simetrías sin que, por el momento, formalice. • El alumno realizará las actividades propuestas en la ficha del alumno. OBSERVACIONES:

• La actividad 5 se puede presentar como trabajo de grupo.

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

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Grupo Mayrit

REFLEJOS Código ESP-1 (Ficha del alumno) TEMA

FECHA

SIMETRÍAS

SIRVE PARA:

• Ver la relación entre una figura y su reflejada. • Buscar ejes de simetría de figuras.

NECESITAS:

• Un espejo. • Una regla.

DESARROLLO:

1. Traza una línea recta y coloca un espejo perpendicularmente al papel de manera que la corte. ¿Qué observas? Ve variando el ángulo que forma el espejo con la línea. En cada caso, ¿crees que este ángulo y su reflejado son iguales? • El segmento dibujado y el reflejado, ¿son iguales?

2. Dibuja primero y después comprueba: Si la línea de puntos fuese un espejo, ¿qué imagen obtendríamos?

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SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk.

Laboratorio de Matemáticas

3. Imagina que la línea de puntos es un espejo: Dibuja la figura que verías reflejada.

4. En los siguientes dibujos se pueden dibujar líneas de modo que colocando un espejo sobre ellas perpendicularmente al papel se puede ver la figura completa: Búscalas.

Cada una de estas líneas se conoce como eje de simetría de la figura. 5. Busca los ejes de simetría de todas las letras del alfabeto y completa la siguiente tabla como muestra el ejemplo: NUMERO DE EJES DE SIMETRÍA

LETRAS DEL ALFABETO

0 1

A,

2

H,

3 4 MÁS DE 4

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

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Grupo Mayrit

ACTIVIDADES - FUNCIONES FUNCIONES Y SUS DISFRACES Código BAR-3 (Ficha del profesor) TEMA

MATERIAL

NIVEL

FUNCIONES

BARAJA DE FUNCIONES I (Proyecto Sur de Ediciones)

2º, 3º ESO

CUÁNDO HACERLA: Después de ver las distintas formas de expresar una función lineal.

SIRVE PARA: Relacionar la tabla, la gráfica, la expresión analítica y la expresión verbal de una función.

NECESITAS:

• Barajas de funciones I. • Ficha del alumno.

PREPARACIÓN DE LA PRÁCTICA: El profesor decidirá si los alumnos trabajan con toda la baraja o sólo con parte de ella, prescindiendo de algunas funciones o de alguna forma de expresión de las mismas.

CONOCIMIENTOS PREVIOS: Formas de expresar una función.

REGLAS DEL JUEGO: (Juego para 3 ó 4 jugadores parecido al “Cinquillo”).

• Esta baraja tiene 40 cartas correspondientes a cuatro formas de expresar 10 funciones lineales. El color de cada carta se corresponde con una de las forma de expresarla. • Se reparten 6 cartas a cada jugador y se dejan las que sobran boca arriba sobre la mesa. Si tienes alguna pareja en la mano, la guardas. • Cuando te llega el turno, si tienes una carta para emparejar con alguna de la mesa, te llevas la de la mesa y guardas la pareja, y pasa el turno. Si no tienes, pones una carta sobre la mesa y pasa el turno. • Finaliza el juego cuando un jugador se queda sin cartas. • Gana quien tenga más parejas al finalizar el juego.

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SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk.

Laboratorio de Matemáticas

DESARROLLO:

• Antes de empezar a jugar los alumnos deben realizar emparejamientos: gráfica-expresión analítica, expresión analítica- enunciado, tabla-gráfica etc... • Tras cada partida el profesor comprobará que los emparejamientos son correctos.

OBSERVACIONES:

• El profesor decidirá el número de alumnos de cada grupo. • Jugar con toda la baraja requiere cierta agilidad en el manejo de las funciones y puede resultar lento.

FUNCIONES Y SUS DISFRACES Código BAR-3 (Ficha del alumno) TEMA

FECHA

FUNCIONES

SIRVE PARA: Relacionar la tabla, la gráfica, la expresión analítica y la expresión verbal de una función.

NECESITAS:

• Una baraja de funciones I.

REGLAS DEL JUEGO:

• Se trata de conseguir el mayor número posible de parejas de cartas. Una pareja está formada por dos cartas que representan a una misma función. • Se reparten 6 cartas a cada jugador y se dejan las que sobran boca arriba sobre la mesa. • Si tienes alguna pareja en la mano, la guardas. • Cuando te llega el turno, si tienes una carta para emparejar con alguna de la mesa, te llevas las dos (las guardas) y pasa el turno. Si no, pones una carta sobre la mesa y pasa el turno. • Finaliza el juego cuando un jugador se queda sin cartas. • Gana quien tenga más parejas al finalizar el juego.

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

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Grupo Mayrit

ACTIVIDADES - PROBABILIDAD LA COLA DEL CINE Código BIN-4 (Ficha del profesor) TEMA

MATERIAL

NIVEL

PROBABILIDAD DE UN SUCESO COMPUESTO

BINGO Y BOLAS DE COLORES

4º ESO

CUÁNDO HACERLA: Como introducción al empleo de técnicas combinatorias para resolver problemas relacionados con la probabilidad.

SIRVE PARA: Obtener de manera aproximada, recurriendo a la simulación del experimento aleatorio y a la “Ley de los grandes números”, la probabilidad asociada a un suceso compuesto. NECESITAS:

• Bingos con bolas de colores. • Ficha del alumno.

PREPARACIÓN DE LA PRÁCTICA: Ninguna.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

• Ley de los grandes números.

DESARROLLO: “Delante de la taquilla de un cine hay una cola de 10 personas; cinco de ellas tienen un billete de 5 €, mientras que las otras cinco tienen cada una un billete de 10 €. La entrada vale 5 € y al abrirse la taquilla no hay dinero en la caja. No sabemos cuál es la distribución de las personas en la cola, de manera que podrán darse distintas posibilidades. ¿Qué probabilidad asignarías al hecho de que nadie tenga que esperar por falta de cambio?” Una posible simulación consiste en introducir en el bingo diez bolas, cinco de un color y cinco de otro, que simularán a las diez personas que están en la cola del cine. Al extraer las diez bolas sucesivamente y sin reemplazamiento se van obteniendo las posibles situaciones en la cola del cine.

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SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk.

Laboratorio de Matemáticas

DESARROLLO:

• Otra posibilidad puede ser, sortear la posición en la cola de las cinco personas que disponen del billete de 10 €, lanzando cinco veces un dado (o ruleta) decimal, eliminando las repeticiones. • Para que la actividad sea más rica, debemos ir reflexionando en cada momento sobre las características de las “muestras-colas” que extraemos ya que por ejemplo: – Si la primera corresponde a un billete de 10 €, entonces seguro que hay espera y ya no necesitamos completar la extracción. – Si cuando aparece un “billete de 10 €”, no han aparecido al menos un número de “billetes de 5 €” igual a la cantidad de “billetes de 10 €” que ya tenemos; podemos asegurar, sin necesidad de continuar con la extracción, que va a haber espera. – No es difícil ir pensando el número de veces que vamos a poder dar el cambio en función de las extracciones que vayamos haciendo. Todo esto simplifica mucho las cosas y hace que la simulación sea más ágil.

OBSERVACIONES:

• Puede ser interesante guiar a los alumnos sobre el modo de diseñar la simulación y hacer algunas pruebas en gran grupo para lograr la completa asimilación. • El objetivo de esta actividad es: ante la imposibilidad de realizar una experimentación real, hacer un traba-jo experimental a través de una simulación y valorar la posibilidad de utilizarla para abordar el estudio de la resolución teórica. • La resolución teórica permite trabajar conceptos relacionados con la “Combinatoria” tales como las permutaciones con repetición, para calcular probabilidades compuestas. • Obliga al alumno a desarrollar estrategias para elaborar un recuento siguiendo pautas determinadas. • Se puede abordar el estudio teórico de esta situación, bien para toda la clase o sólo a determinados grupos y siempre en los casos más sencillos; para colas con una composición análoga a la que planteamos, es decir, con un número par de personas y en las que la mitad de las personas tengan el dinero justo de la entrada y la otra mitad el doble de dicha cantidad. Además a partir de los casos más sencillos, podremos generalizar el resultado para un número par cualquiera (2n) de personas. RESOLUCIÓN TEÓRICA Para 2 personas Evidentemente, la probabilidad de que no haya espera es: 1/2 Para 4 personas El número total de colas = PR

2,2 4

=

4! =6 2!2!

De las seis posibles colas sólo las dos siguientes conducen a una situación sin espera: 5 5

5 10

10 5

10 10

Aplicando la “Regla de Laplace”, la probabilidad de que no haya espera es: 1/3 Para 6 personas En este caso, el número total de colas = PR

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

3,3 6

=

6! = 20 3!3!

65

Grupo Mayrit

OBSERVACIONES: De estas 20 colas, sólo las siguientes cinco nos llevan a una situación sin espera: 5 5 5 5 5

5 5 5 10 10

5 10 10 5 5

10 10 5 10 5

10 5 10 5 10

10 10 10 10 10

Por tanto, la probabilidad de que no haya espera es: 1/4 Para 2n personas Generalizando, para 2n personas, la probabilidad de que no haya espera es:

1 n+1

FUNCIONES Y SUS DISFRACES Código BIN-4 (Ficha del alumno) TEMA

FECHA

PROBABILIDAD DE UN SUCESO COMPUESTO

SIRVE PARA: Obtener de manera aproximada, haciendo una simulación del experimento aleatorio y con la “Ley de los grandes nú-meros”, la probabilidad asociada a un suceso compuestos.

NECESITAS:

• Un bingo con bolas de colores.

REGLAS DEL JUEGO: “Delante de la taquilla de un cine hay una cola de 10 personas; cinco de ellas tienen un billete de 5 €, mientras que las otras cinco tienen cada una un billete de 10 €. La entra-da vale 5 €, y al abrirse la taquilla no hay dinero en la caja. No sabemos cuál es la distribución de las personas en la cola, de manera que podrán darse distintas posibilidades. ¿Qué probabilidad asignarías al hecho de que nadie tenga que esperar por falta de cambio?” 1. Diseña una simulación que te permita obtener aproximadamente, aplicando la “Ley de los grandes números”, la probabilidad del suceso mencionado. Haz una breve descripción de la simulación que vas a emplear.

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SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk.

Laboratorio de Matemáticas

REGLAS DEL JUEGO: “Delante de la taquilla de un cine hay una cola de 10 personas; cinco de ellas tienen un billete de 5 €, mientras que las otras cinco tienen cada una un billete de 10 €. La entra-da vale 5 €, y al abrirse la taquilla no hay dinero en la caja. No sabemos cuál es la distribución de las personas en la cola, de manera que podrán darse distintas posibilidades. ¿Qué probabilidad asignarías al hecho de que nadie tenga que esperar por falta de cambio?” 1. Diseña una simulación que te permita obtener aproximadamente, aplicando la “Ley de los grandes números”, la probabilidad del suceso mencionado. Haz una breve descripción de la simulación que vas a emplear. 2. Realiza 20 veces la simulación y recoge los resultados que has obtenido en la siguiente tabla. Resultados posibles

Recuento

Nº de veces que ocurre (fa)

“Sin espera” “Con espera” 3. Pon en común tus resultados con los de tus compañeros, y rellenad entre todos la siguiente tabla. Número de simulaciones Resultados posibles

20 fa

40 fr

fa

60 fr

fa

80 fr

fa

100 fr

fa

120 fr

fa

fr

“Sin espera” “Con espera” 4. ¿Qué probabilidad podemos asignar al suceso “nadie tiene que esperar por falta de cambio”?

Mayo 2007 • 2007ko Maiatza

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utes ttes de to e n u L s e porter L r() illé pour hard Eule te n é o d e L n . o s ti e c Instruc ntes Espe les différe