GERMÁN BERNABEU SORIA FRANCISCO FERNÁNDEZ-ARÉVALO SÁNCHEZ-ARÉVALO

LOS PENTAMINOS (El juego de los juegos)

Edita: GENERALITAT VALENCIANA Conselleria d’Educació Avda. Campanar,32 – 46015 València - 2009 -

ISBN: 978-84-482-4446-0

***** Imprime: GRAFIBEL 2010 S.L. c/. Padre Mariana, 15 – bajos Tel. 965 20 48 92. 03004 Alicante

Depósito legal:A-786-2009 ***** © De los autores sobre la parte literaria y la Generalitat Valenciana sobre la presente edición

***** Se puede acceder a la versión en PDF de este libro en la sección de publicaciones de la Biblioteca Virtual del CEFIRE de Elda http://www.lavirtu.com

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o. En el recuerdo a Miguel de Guzmán, por todo lo que él nos ha enseñado y lo mucho que hemos aprendido.

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INDICE

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8.

9. 10. 11.

Prólogo ……………………………………………………................... Agradecimientos ………………………………………………………. Introducción ………………………………………………................... Una breve historia …………………………………………………….. Poliminos ………………………………………………….................... 3.1. Los pentaminos …………………………………………………. 3.2. El material ………………………………………………………. Posiciones de los pentaminos …………………………………………. Copiado de figuras …………………………………………..………... Construcciones bidimensionales ……………………………………… 6.1. Rectángulos ……………………………………………………... 6.2. Romboides …………………………………………… ………… 6.3. El tablero de 8 x 8 ………………………………………………. 6.4. La triplicación ………………………………………................... 6.5. Los números …………………………………………………….. 6.6. Las letras ……………………………………………................... 6.7. Pirámides ……………………………………………................... 6.8. Otras figuras …………………………………………………….. Repartir las piezas en un número de figuras iguales ...……...………… Construcciones tridimensionales ……………………………………… 8.1. Cúbicas ………………………………………………………….. 8.2. Pentaminos ……………………………………………………… 8.3. Otras construcciones ……………………………………………. Codificación de las construcciones …………………………………… Solucionario ………………………………………………................... Bibliografía …………………………………………………………….

Página 7 9 11 15 19 23 25 29 35 41 41 46 49 77 89 99 102 106 133 155 155 157 163 165 171 191

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Prólogo La competencia matemática es una de las consideradas básicas y como tal se incorpora a nuestro currículo educativo. Esto se explica por resultar imprescindible su adquisición en la realización personal, social, laboral y ciudadana y en la posibilidad de nuestro alumnado a la hora de generar un aprendizaje permanente a lo largo de su vida. El compromiso del sistema educativo con las posibilidades de desarrollo de nuestro alumnado, exige proporcionar a éste entornos que permitan su aplicación a una amplia variedad de situaciones futuras diversas y, en cierto modo, impredecibles, y en dotarle de herramientas para resolver problemas reales con los que inevitablemente se habrá de enfrentar. Dicho compromiso no es ajeno a este libro que ha elegido el juego como vehículo de conocimiento y propiciador de razonamientos y estrategias de interpretación, expresión y resolución de problemas. Desde esta aproximación lúdica a las matemáticas, con indudables aplicaciones en torno a los principios de conservación de la cantidad y la forma, sus autores, Germán Bernabeu Soria y Francisco Fernández Arévalo, responden al reto clásico de enseñar deleitando que no pierde actualidad, si cabe, adquiere un mayor protagonismo en este principio de siglo XXI. Quiero expresar mi felicitación a esta iniciativa tan loable de conciliar entretenimiento y conocimiento; fomento de destrezas para aplicar principios y procedimientos y actitudes basadas en la investigación de las certezas a través del razonamiento matemático. Alejandro Font de Mora Turón Conseller d’Educació

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Agradecimientos Queremos dejar constancia de nuestro agradecimiento a todas aquellas personas que nos han apoyado para que este libro se pudiera realizar. En primer lugar al director del CEFIRE Pedro Civera por su insistencia y disposición para que lo sacara del cajón y de una vez se publicara, así como su meticulosa supervisión de los originales aportando su experiencia y bien hacer, a Jesús Mª. García y Agustín Caruana por sus revisiones y acertadas consideraciones, a Jesús A. García por sus colaboraciones informáticas así como el hacer posible la difusión del mismo a través de la página Web del CEFIRE, a Vladi Monzó por su inestimable colabración y en definitiva, a todos aquellos que conociendo desde hace algunos años el trabajo, nos han animado a que finalmente lo diéramos a conocer.

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1. Introducción Es para nosotros una satisfacción presentar este trabajo, con su correspondiente material, a todo el profesorado y al de matemáticas en particular, así como a aquellos que gustan de conocer nuevos retos e intentan descubrir los caminos que llevan a su comprensión. Somos profesores, como tantos otros, atraídos de todo lo que huele a matemáticas, de sus enunciados y definiciones, de su teoría y demostraciones, de sus leyes y sus postulados, de su historia y de sus leyendas y, en definitiva, de todo aquello que la ciencia de los números y de las figuras1 nos aporta. Pero si existe un apartado dentro o fuera de ella, desde donde cualquiera puede asomarse a esta disciplina de una manera especial, es a través de los juegos. Ya en la antigüedad Aristóteles consideró su importancia relacionándolos con la felicidad y la virtud al entender que esta actividad se desarrollaba en un plano superior del ser humano, libre del sometimiento de otros actos dictados por la necesidad. Desde ese principio todo aquello que nos permite disfrutar de las matemáticas nos atrae, nos gusta y nos motiva. Estamos convencidos de que los juegos son sin duda elementos motivadores de primer orden, favorecedores de la adquisición de hábitos y actitudes. El juego es una potencia capaz de desarrollar la libre creación y el sentido de libertad de las personas frente a la rutina y el embrutecimiento del trabajo monótono. Roger Caillois. Es claro que, especialmente en la tarea de iniciar a los más jóvenes en la labor matemática, el sabor a juego puede impregnar de tal modo el trabajo, que lo haga mucho más motivador, estimulante, incluso agradable y, para algunos aún, apasionante. De hecho, han sido numerosos los intentos de presentar los principios matemáticos que rigen muchos de los juegos de todas las épocas, a fin de poner más en claro las conexiones entre juego y matemáticas. Desgraciadamente para el desarrollo científico en nuestro país, la aportación española en este campo ha sido casi nula. Nuestros científicos y nuestros enseñantes, se han tomado demasiado en serio su ciencia y su enseñanza, y han considerado ligero y casquivano cualquier intento de mezclar placer con deber. Sería deseable que nuestros profesores, con una visión más abierta y más responsable, aprendieran a aprovechar los estímulos y motivaciones que este espíritu de juego puede ser capaz de infundir en sus enseñantes. Miguel de Guzmán. 1

Definición matemática utilizada como base de las dos disciplinas tradicionales.

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Los puzzles geométricos (tangrams, mosaicos, cubo Soma, etc.) han sido y son algunos de los tipos de juegos que más nos han traído de cabeza y, al mismo tiempo, más nos han “enganchado”. Desde el momento en que hemos tenido conocimiento de alguno de ellos dedicamos horas a su estudio y disfrute. La posibilidad de descubrir algo nuevo nos ha llenado de gozo, tanto mientras buscábamos afanosamente la solución como al conseguirla. Una de estas propuestas consiste en la utilización de los poliminos2. Estos se pueden definir como “un conjunto de figuras geométricas diferentes que se pueden obtener al unir dos o más cuadrados contiguos de un tablero de ajedrez”. Dependiendo del número de cuadrados que se unan tendremos los dominos, triminos, tetraminos, pentaminos, hexaminos, heptaminos, octominos3, etc. pero los tres primeros por resultar escasas las posibilidades de trabajar con ellos y los últimos por resultar excesivo el número de piezas obtenidas y por tanto demasiado complejos, hemos decidido plantear este trabajo con los pentaminos “conjunto de todas las figuras geométricas que se pueden formar con cinco cuadrados contiguos de un tablero de ajedrez”. Queremos aclarar que si bien los pentaminos son figuras planas no tridimensionales, con el fin de poder hacer uso de ellos con mayores posibilidades, el material que vamos a utilizar (y que adjuntamos) van a ser pentacubos “figuras compuestas por la unión de cinco cubos”. Ahora bien, debemos tener en cuenta que mientras el número máximo de pentaminos que podemos obtener4 son 12, en el caso de los pentacubos podemos encontrar 29 estructuras diferentes5, puesto que aparte de las composiciones planas se pueden obtener otras que se elevan en el espacio, incrementando con ello el número de propuestas y actividades. Sin embargo, dado que nuestro objetivo en este caso son los pentaminos, sólo vamos a trabajar con ellos, o mejor dicho, con sus equivalentes cúbicos. En nuestro peregrinaje por los fondos bibliográficos referentes al tema, si bien hemos encontrado algunas referencias de libros, trabajos, revistas, programas informáticos, etc., prácticamente ninguno de ellos ha sido editado en español. Los trabajos encontrados en nuestro país son escasos, por no decir prácticamente nulos, y quizás un poco más por esta razón, y por la necesidad que sentimos de que sea conocido, hemos creído necesario la elaboración de este sencillo manual acompañado de su correspondiente juego. Estamos convencidos, que van a poder disfrutar con él, tanto como hemos disfrutado nosotros. Al final del libro, en el apartado sobre bibliografía, relacionamos algunos trabajos de los cuales tenemos referencia y que abordan con mayor o menor intensidad propuestas sobre el tema, conscientes de que la mayoría de ellos son difíciles de conseguir. Queremos insistir que si bien este trabajo va dirigido al alumnado a partir de Secundaria sería impensable por nuestra parte no reconocer que el verdadero potencial de 2

Aunque hemos encontrado diferentes maneras de llamarlos –polyominos, poliminós, poliminoes, ...– el nombre que a lo largo del trabajo vamos a utilizar va a ser el de poliminos, únicamente por considerarlo aceptable. 3 También en el nombre de los diferentes poliminos hemos adoptado aquellos que, a nuestro modesto entender, mejor sonaba en la utilización de nuestro idioma, independientemente de cualquier otra circunstancia por considerar. 4 Figuras planas. 5 Los 12 equivalentes a los pentaminos y 17 pentacubos suplementarios.

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este material está en el profesorado, en el uso que éste sea capaz de hacer, en cómo recibirlo, abordarlo y trabajarlo, elaborando y presentando las diferentes propuestas de trabajo para el aula (copiar, repetir, construir,…). Es ahí donde presenta todo su sentido como herramienta y ayuda para el trabajo, especialmente indicado como un elemento más en el despertar de los alumnos en los principios de la investigación, no excluyente, al mismo tiempo, del disfrute y el placer que debe producir el desarrollo de cualquier propuesta investigadora. Finalmente, indicaremos que la mayoría de las propuestas planteadas en el texto no excluyen en ningún caso otras nuevas o diferentes, a juicio del profesorado, o bien variaciones sobre las mismas que enriquecería aún más el trabajo presentado. Queremos destacar que el orden de las mismas es puramente orientativo. Los autores

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2. Una breve historia Los pentaminos, como ya hemos indicado, son unas estructuras formadas por cinco cuadrados adyacentes tomados en un tablero de ajedrez. Se dieron a conocer al mundo matemático en 1953 por Solomon W. Golomb, profesor de Ingeniería y Matemáticas en la Universidad del Sur de California, en una presentación realizada en el Harvard Mathematics Club. Posteriormente en 1954 publicó un articulo titulado "Checker Boards and Polyominoes" en la prestigiosa revista American Mathematical Monthly, donde se utilizó por primera vez el término polyomino, al cual él mismo definió como "juego simple de conectar cuadrados". Tres años después, en 1957, Scientific Americam les dedicó su primer artículo. Desde entonces y hasta nuestro días se han convertido en un pasatiempo enormemente popular en muchísimos países, aunque no en el nuestro, del que se han publicado centenares de problemas y nuevas y curiosas configuraciones. Aunque la popularidad más o menos reciente que han alcanzado los poliminos se debe a Golomb, el primer problema sobre pentaminos conocido fue publicado en 1907 en un precioso librito titulado Canterbury Puzzles escrito por Henry Ernest Dudeney. Dudeney presentó el “acertijo” de encajar los 12 pentaminos y un tetramino (el de 2 por 2) en un tablero de 8 x 8. Este es el problema más antiguo que se conoce con referencia a los pentaminos y viene acompañado por una vieja historia que, según Dudeney, se registra con tanta frecuencia en las viejas crónicas que sin duda ha de ser auténtica. La siguiente versión fue extraída por el propio Dudeney de "La vida de Guillermo el Conquistador" de Hayward publicada en 1613. Hacia fines de su reinado, designó a sus dos hijos, Roberto y Enrique, Gobernadores de Normandía, con autoridad conjunta, de forma que uno controlara la inocencia y veleidad del otro. Estos fueron juntos a visitar al rey francés, que se encontraba en Constanza: allí ocupando el tiempo en variedad de diversiones. Enrique jugó al ajedrez con Luís, entonces Delfín de Francia y le ganó por lejos. Ante esto Luís comenzó a descuidar su lengua, lo cual le hizo perder el respeto de Enrique. La gran impaciencia de uno y la poca indulgencia del otro, encendió el calor entre ellos al fin, que Luís arrojó las piezas a la cara de Enrique. A su turno Enrique golpeó a Luís con el tablero, con lo que le hizo salir sangre, y lo hubiera matado allí mismo de no haber sido que su hermano Roberto lo detuvo. Ante esta situación, rápidamente montaron dos caballos, y consiguieron llegar a Pontoise sin ser alcanzados por los furiosos franceses.

Ahora bien, la tradición –aquí no tan fiable– dice que, como consecuencia del golpe el tablero se partió por las líneas de división de los cuadrados, al estar estas rebajadas, en 13

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trozos diferentes, doce de cinco cuadros y uno de cuatro –12 pentaminos y 1 tetramino–, semejante a como tenemos en el dibujo.

Fig. 1 La propuesta dada por Dudeney consistía en conseguir mediante la unión de las trece piezas diferentes obtenidas volver a formar el cuadrado de ocho por ocho. A partir de los años veinte fueron apareciendo en diversas publicaciones muchas soluciones al problema de Dudeney y, en diciembre de 1954, una prestigiosa publicación británica The Fairy Chess Review reunió los resultados obtenidos más interesantes del problema. Bastantes años después el problema volvió a interesar, tanto que en 1958, comienzo de las computadoras, se programó una de ellas para generar las soluciones del cuadrado de 8 x 8. Se encontraron 65 soluciones distintas sin contar con las adicionales obtenidas por rotaciones y simetrías. En 1965 Golomb publicó su famoso libro POLYOMINOES puzzles, patterns, problems, and packings que se ha convertido en la referencia clásica de los poliminos. El libro hace un análisis sobre los poliminos en general, aunque dedica una parte a los pentaminos. En él se plantean numerosos problemas (enigmas) a partir de la unión de las doce piezas originarias –no utiliza el tetramino de dos por dos– tales como la construcción de los rectángulos de 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15 y 3 x 20, de algunos romboides y de otras diferentes figuras, algunas de las cuales todavía sin solución.

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Hoy sabemos que para el rectángulo de 6 x 10 existen 2339 soluciones diferentes, para el de 5 x 12 existen 1010, para el de 4 x 15 hay 368 soluciones y para el de 3 x 20 únicamente se han encontrado 2 soluciones posibles, excluyendo las simetrías y giros. El enorme potencial que presentaban los polyominoes, como Golomb los llamó, fue tan importante que hasta Martín Gardner, considerado el gran talento matemático de la Scientific Americam, le dedicó varios capítulos en sus libros titulados en español Enigmas matemáticos y Diversiones matemáticas. El éxito fue tal que muchas personas empezaron a recortar las ya famosas formas geométricas en papel o cartulina y a jugar con ellas, pasando de ser un problema básicamente matemático a transformarse en un juego popular. En la actualidad no resulta complicado encontrarlo en cualquier juguetería, librería especializada o grandes almacenes hecho en casi cualquier tipo de material y color y a precios asequibles. También es posible construirlo a partir de la unión de pequeños cubos pegados por sus caras y pintados del color que más guste. El material que nosotros adjuntamos está realizado en un material ligero y agradable conocido como EVA que permite fácilmente su uso y transporte. De cualquier manera el objetivo final de nuestra propuesta es dar a conocer a quienes no lo conocían el que para nosotros es el juego de los juegos6 y, en consecuencia, poder contribuir de forma modesta a una mayor difusión del mismo.

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Lo denominamos así como consecuencia de la enorme variedad de propuestas que se pueden plantear, considerando que a cada una de ellas se le puede tratar como de un verdadero juego.

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3. Poliminos

Si unimos dos cuadrados, como en el ejemplo, la figura que obtenemos recibe el nombre de dominó o domino. Si son tres los cuadrados que se unen forman lo que se conoce como triminós o triminos. Si unimos cuatro formarán un tetramino, cinco pentamino, seis hexamino, siete heptamino y así sucesivamente. Al conjunto de todos ellos le llamamos poliminos. Podemos definir por tanto a los poliminos como curiosas configuraciones geométricas que recubren varios cuadros interconectados de un tablero de ajedrez. A partir de esta premisa es posible confeccionar todo un conjunto de figuras según el número de cuadrados empleados y sus diferentes disposiciones. En el caso de los dominos sólo encontramos una figura, que puede presentarse tanto en forma horizontal como en vertical aunque evidentemente se trata de la misma.

En el caso de los triminos encontramos dos figuras diferentes.

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Cinco tetraminos diferentes podemos formar mediante la unión de cuatro cuadrados7.

A

B

C

D

E Y con los pentaminos, ¿cuántos diferentes podemos encontrar? Seguramente serán bastantes, pero vamos a intentar averiguarlo. 7

En estas piezas se basa el mundialmente conocido juego del "Tetris".

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Para hacerlo más fácil: cogemos una hoja cuadriculada –puede ser la tabla que tienes a continuación o en otra hoja aparte– y comenzamos a rellenar de forma organizada, con el fin de encontrar todos los posibles. Ojo, no vale repetir ni cambiar la posición. Si girando el papel o mirando en el espejo obtenemos otra figura igual a la inicial es que está repetida. Una cosa son las figuras y otra, sus diferentes posiciones.

Efectivamente, como habrás podido comprobar, solo hay en total 12 configuraciones diferentes, ni una más ni una menos. Existen por tanto 12 pentaminos. Si quieres continuar con la investigación podríamos intentar conseguir: a) El número de hexaminos. b) El de heptaminos c) … Seguro que vas disfrutar con ello. De todas formas, si te lías o te resulta excesivamente complicado, puedes encontrar el número de cada uno de ellos en el apartado del solucionario.

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No nos planteamos intentar averiguar manualmente y con su demostración gráfica el número de posibilidades que podemos encontrar para un polimino de ocho, nueve, diez, once,...n cuadrados. No obstante, si te gustan los retos y te consideras gran aficionado a las matemáticas, quizás en algún momento seas capaz de conseguir una fórmula que te permita saber exactamente el número de n–minos diferentes que existen.8

8

Desde que Dudeney presentó su famoso problema con los doce pentaminos y su posterior difusión, muchos han sido los intentos de seguir clasificando los poliminos según su tamaño. En 1962 Lea los clasificó hasta el tamaño 9 pero incorrectamente. Posteriormente en 1967 David A. Klarner clasificó hasta el tamaño 12. Tambien en ese año T. R. Parkin y otros clasificaron hasta el tamaño 15. Más tarde, en 1971, Lunnon clasificó hasta el tamaño 18 con un programa que tardó 175 horas en calcularlo. Y finalmente en 1981, D. H. Redelmeier consiguió clasificar hasta el tamaño 24. Hoy, en la actualidad, existen programas informáticos que generan las figuras y calculan el número de n– minos que pueden construirse. Pero sin duda lo más interesante, al menos para nosotros, es introducirse en ello y disfrutar con la investigación.

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3.1. Los Pentaminos Si disponemos los doce pentaminos obtenidos de manera determinada podemos apreciar que se asemejan a algunas letras del alfabeto, de manera que para su mejor identificación vamos dar nombre a cada pieza según la letra a la que se asemeja. Así tenemos,

U

T

V

Z

I

N

P

X

W

Y

F

L

Con el fin de retener en la memoria el nombre de las piezas podemos hacer uso de esta sencilla regla mnemotécnica. •

Las siete últimas letras del abecedario (TUVWXYZ)

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T •

U

W

X

Y

Más las consonantes y una I de la palabra FILiPiNo.

F

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V

I

L

P

N

Z

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3.2. El material Como ya hemos indicado anteriormente los pentaminos consisten en doce piezas confeccionadas bidimensionalmente, es decir, dibujadas sobre un tablero cuadriculado y posteriormente recortadas (cartulina, plástico,...). Con el fin de hacer más aceptable la manipulación de las mismas y la propuesta en algunos casos de construcciones tridimensionales, hemos optado por presentar las piezas con estructura cúbica de 1,5 cm. de lado.

Estos son los doce pentaminos –pentacubos– que vamos a utilizar a lo largo de este trabajo. Son estructuras formadas por cinco cubos unidos por sus caras en una superficie plana.

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Todas las propuestas presentadas a lo largo del cuaderno se realizarán sobre las bases cuadriculadas que se encuentran en cada una de las hojas (tableros), o sobre fotocopia de las mismas. El uso en el aula, con fotocopias del tablero de cada actividad, servirá para realizar el trabajo individual, el trabajo cooperativo o en algunos casos de competición, siempre a juicio del profesor.

Cada actividad tendrá la duración que el profesor o profesora considere, en función de las características del alumnado y de la dificultad que presente la propuesta. También pensamos que el uso de un color determinado para cada una de ellas facilitaría la utilización y posterior comprobación de los ejemplos propuestos. Nosotros hemos decidido utilizar los siguientes para cada una de las piezas que se mantendrán a lo largo de todo el cuaderno y especialmente en el apartado de tridimensionales, con el fin de poder encontrar de manera más fácil la solución. El juego que se adjunta es monocromo y sólo en el color no se ajusta a lo establecido en el cuaderno.

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Las piezas y su color

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4. Posiciones de los pentaminos en el plano Podemos situar en el plano a cada uno de los pentaminos en diferentes posiciones. Comenzamos con la figura que menos variaciones presenta, es la X. Podemos comprobar que no presenta más que una posición, incluido sus giros o simetrías.

X

En segundo lugar tenemos el pentamino I. Únicamente presenta dos posiciones diferentes a las cuales las vamos a diferenciar llamándoles posición I1 y posición I2.

I1

I2

Los siguientes pentaminos presentan cuatro posiciones diferentes en el plano a las cuales nombraremos con la letra correspondiente y los subíndices 1, 2, 3 y 4.

Estas son:

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T.

T1

T2

T3

T4

U.

U1

U2

U3

U4

V.

V1

V2

V3

V4

W.

W1

W2

W3

W4

Z2

Z3

Z4

Z.

Z1 30

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El resto de los pentaminos se presentan de ocho posiciones diferentes en el plano. F.

F1

F2

F5

F3

F6

F4

F7

F8

P.

P1

P5

P2

P3

P6

P4

P7

P8

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L.

L1

L5

L2

L6

L3

L4

L7

L8

N.

N1

N2

N5

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N6

N3

N7

N4

N8

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Finalmente el Y.

Y1

Y5

Y2

Y6

Y3

Y7

Y4

Y8

Como podemos apreciar hemos obtenido 63 formas diferentes de presentar los 12 pentaminos en el plano. Ocho posibilidades de rotación y reflexión para los pentaminos asimétricos F, L, N, P, e Y. Cuatro posibilidades de reflexión para los pentaminos simétricos T, U, V, W y Z. Dos posibilidades para el pentamino I. Y una tan sólo para el pentamino X por ser totalmente simétrico.

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5. Copiado de figuras Construir figuras semejantes Un primer grupo de actividades a realizar pueden ser mediante el copiado de figuras. Básicamente consiste en construir con un número de piezas determinado (2, 3, 4,… piezas) una figura modelo y con el resto de ellas construir otras semejantes al modelo propuesto. La superficie utilizada en cada construcción, así como su forma, debe ser la misma. Empezamos con un sencillo modelo de dos piezas. Tomamos por ejemplo la F y la N, con el resto de figuras debemos obtener la misma composición.

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Podemos plantear propuestas en la que el modelo utiliza tres piezas dispuestas de la forma que más nos guste, ocupando consecuentemente una superficie de quince cuadrados. Como por ejemplo, el siguiente.

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También podemos plantear construcciones donde se utilicen cuatro piezas. Intenta realizar con el resto de las piezas, tres figuras como la propuesta.

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Otro modelo de cuatro piezas.

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Se pueden plantear otros modelos con cinco, seis o más piezas, como este.

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6. Construcciones bidimensionales 6.1 Rectángulos Si juntamos los 12 pentaminos sin dejar huecos entre ellos obtendremos un rectángulo formado por 60 cuadrículas. Ahora bien, esta figura la podemos construir de diferentes maneras, según el número de cuadrados que tenga cada lado. Son los rectángulos de 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15 y 3 x 20. Cada una de ellas se puede formar mediante la unión de los 12 pentaminos y si bien resulta algo complicado conseguirlo, la propuesta se convierte en un reto muy interesante.

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El rectángulo de 6 x 10. Se trata del rectángulo con más posibilidades de realizar. Se conocen 2.339 formas diferentes de construirlo. ¿De cuántas lo puedes hacer tú? Aquí tienes el tablero base para intentarlo.

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El rectángulo de 5 x 12. Ocupa el segundo lugar de posibilidades para conseguirlo con 1.010 maneras diferentes. Coloca las piezas sobre el tablero sin dejar huecos entre ellas. Seguro que lo consigues.

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Este es el rectángulo de 4 x 15 con 368 maneras diferentes de realizarlo.

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Y finalmente el rectángulo de 3 x 20 que tan sólo tiene 2 soluciones distintas. Teniendo en cuenta que el tamaño real de la figura excede al de esta página la hemos presentado en forma reducida. Deberás tener en cuenta que si la utilizas como tablero base para la construcción las piezas sobresaldrán las piezas por lo que, si quieres usarla, tendrás que ampliarla hasta conseguir cuadrículas de 1,5 cm. de lado.

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6.2. Romboides También podemos construir romboides. Este es tablero de 6 x 10.

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Tablero del romboide de 5 x 12.

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Como en el caso de los rectángulos las siguientes figuras plantean el problema de su presentación a tamaño real. Por tanto los romboides de 6 x 10 y el de 5 x 12 están considerados a tamaño de 1,5 cm. Mientras que los romboides de 4 x 15 y 3 x 20 de esta página tienen un tamaño reducido.

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6.3. El tablero de 8 x 8 - Con un tetramino. Se trata de la primera estructura conocida. Es el problema presentado por Henry Ernest Dudeney en 1907 en sus famosos Canterbury Puzzles, al que ya nos hemos referido anteriormente. Se construye la figura con los doce pentaminos más el tetramino de dos por dos, situando éste último en cualquier lugar del tablero. Aquí te presentamos una de ellas, donde el tetramino se encuentra en el centro de la figura, pero se pueden construir otras diferentes según el lugar donde este sea colocado. De todas ellas se han encontrado más de 16.000 soluciones. Si intentamos clasificarlas según la posición del tetramino (resulta interesante) nos encontramos con que el total de propuestas son únicamente de diez, descontando las simetrías y los giros. Posición 1. El tetramino centrado (65 soluciones).

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Posición 2. El tetramino está situado en una de las cuatro esquinas (5.027 soluciones). Intenta obtener cualquiera de ellas.

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Posición 3. El tetramino se encuentra en el lateral ocupando el 2º. y 3º cuadrado de la primera y segunda líneas (3.207 soluciones). Recordad que al girar el cuadrado obtenemos la misma figura aunque en cuatro posiciones diferentes.

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Posición 4. El tetramino lateral ocupa los cuadrados 3º y 4º de las dos primeras líneas (1.839 soluciones).

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Posición 5. El tetramino lateral situado en los espacios 4º. y 5º. (se han encontrado 1.288 soluciones). A partir de ésta cualquier propuesta presentada con el tetramino situado en un lateral del cuadrado de 8 x 8 se tratará de una simetría o rotación de la presentada.

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Posición 6. El tetramino ocupa la 2ª y 3ª línea y en los cuadrados 2º y 3º (987 soluciones).

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Posición 7. El tetramino ocupa los cuadros 3º y 4º de la segunda y tercera filas (1.662 soluciones).

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Posición 8. El tetramino ocupa los cuadrados 4º y 5º de la segunda y tercera filas (721 soluciones). Recordemos que todas las figuras que se puedan obtener mediante la colocación del tetramino situado entre las filas segunda y tercera son simetrías o giros de las presentadas.

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Posición 9. El tetramino ocupa en este caso los cuadrados 3º y 4º de la tercera y cuarta filas (582 soluciones).

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Posición 10. El tetramino ocupa los cuadrados 4º y 5º de la tercera y cuarta filas (768 soluciones).

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El 8 x 8 con cuatro monominos. Las siguientes propuestas son variaciones del "enigma" de Dudeney, en los que hemos cambiado el tetramino de dos por dos por cuatro monominos –o cuadrados vacíos– que pueden estar situados en diferentes lugares del tablero. En este primer caso el tetramino se separa en monominos y éstos se desplazan en diagonal un cuadrado hacia arriba y hacia abajo. La figura obtenida así es la siguiente, presentando el conjunto una estructura simétrica.

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En esta variante los cuadrados elegidos se alejan un cuadro más del centro del tablero quedando la figura totalmente simétrica.

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Y finalmente, en este caso, los monominos se sitúan en las esquinas del tablero.

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Ahora vamos a realizar una serie donde los monominos se sitúan sobre una de las diagonales del tablero. Por ejemplo esta.

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En esta versión, situada sobre la diagonal con los cuadrados elegidos contiguos, pero trasladados en este caso hacia una de las esquinas del tablero.

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Una versión semejante a la anterior colocados también en la diagonal pero separando los monominos por un cuadrado situado entre cada dos de ellos.

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En esta otra variante también se encuentran situados en la diagonal en forma simétrica respecto a la otra diagonal de manera que se encuentren dos contiguos (los centrales) y dos alternos.

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En este modelo los cuadrados vacíos elegidos se han obtenido mediante desplazamiento lateral por rotación, del tetramino central.

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El mismo caso que el anterior pero mediante desplazamiento lateral de tres cuadrados, quedando situados estos en la parte exterior de la figura.

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En esta variante los cuadrados elegidos se encuentran simétricos respecto al eje central del tablero.

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Aquí tenemos una versión donde los cuadrados vacíos están juntos y en el centro de uno de los lados del cuadrado.

69

Recursos para el aula

En esta los espacios vacíos elegidos están situados en los lados opuestos y dos a dos.

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LOS PENTAMINOS

Esta versión, parecida a la anterior los cuadrados vacíos se encuentran situados dos a dos y a ambos lados del eje central de forma que se puede obtener uno de ellos mediante el giro de 180 grados del otro.

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Recursos para el aula

Uniendo los monominos y colocándolos adecuadamente podemos obtener algunas figuras interesantes, como por ejemplo ésta con forma de cara.

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LOS PENTAMINOS

Aquí tenemos otra también con forma de cara.

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Recursos para el aula

Aquí vemos otra más.

74

LOS PENTAMINOS

Esta es otra variante posible, aunque en este caso resulte un poco extraña.

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Recursos para el aula

Parecida a la anterior pero uniendo tres por un lado y uno por otro.

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LOS PENTAMINOS

6.4. La triplicación Las triplicación consisten en formar los doce nombres (letras) con que llamamos a los pentaminos, pero usando nueve de ellos. El fin es obtener cada uno en un tamaño tres veces superior (triple) y dado que este incremento se produce en las dos dimensiones – largo y ancho– cada pieza inicialmente formada de 5 cuadrados se transformará en otra de 45. Empezamos por ejemplo con la triplicación de la U. Con nueve de las doce piezas hemos de conseguir completar la figura de abajo. Existen 48 posibilidades diferentes de conseguirlo.

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Recursos para el aula

Aquí tenemos la P. Como en el caso anterior vamos a construirla con nueve de las piezas. Elige las que más te gusten e inténtalo. Si te resulta difícil puedes probar con otras. La P es la que más posibilidades diferentes tiene de conseguir la solución, exactamente 497.

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LOS PENTAMINOS

Vamos a intentarlo con la F. La triplicación de esta letra permite encontrar hasta 125 soluciones diferentes.

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Recursos para el aula

Y ahora con la Z. Para su triplicación se han encontrado hasta 131 formas distintas de conseguirlo.

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LOS PENTAMINOS

Y ahora la X. De ésta solamente se han encontrado 15 soluciones diferentes.

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Recursos para el aula

Ahora vamos con la V. Hasta de 63 formas diferentes se pueden colocar las piezas para conseguir formar la figura.

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LOS PENTAMINOS

Con no demasiada imaginación percibimos que se trata de la T. Se conocen hasta 106 maneras de construirla.

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Recursos para el aula

La L. Se han encontrado 113 maneras distintas de obtenerla.

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LOS PENTAMINOS

Para formar la Y tenemos 86 formas distintas.

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Recursos para el aula

Podemos triplicar la N de 68 maneras diferentes.

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LOS PENTAMINOS

Para la I tan sólo se han encontrado 19.

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Recursos para el aula

Y finalmente para la W se han encontrado 91 soluciones. Recuerda que podemos obtener variantes donde intervenga el pentamino modelo (en este caso W) y otras donde no.

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LOS PENTAMINOS

6.5 Los números También los números son susceptibles de construirse con los doce pentaminos. Existen variantes que utilizan menor número de piezas pero nuestra propuesta inicial es empleando todas. Comenzamos con el 0.

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Recursos para el aula

El 1.

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LOS PENTAMINOS

Aquí tenemos el 2. Esta es una de las figuras para construirlo pero seguro que hay otras.

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Recursos para el aula

Y ahora el 3.

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LOS PENTAMINOS

Aquí tenemos el 4. Como en los casos anteriores ésta es una manera de plantearlo aunque hay otras.

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El 5, como puedes apreciar, se trata de un simétrico del 2.

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LOS PENTAMINOS

Vamos con el 6.

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Recursos para el aula

A continuación tenemos el 7.

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LOS PENTAMINOS

Mira este 8. Quizás no resulta muy atractivo pero, si no te gusta, intenta modificarlo y construirlo de otra manera.

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Recursos para el aula

El 9. Como puedes observar se trata del 6 con un giro de 180º.

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LOS PENTAMINOS

6.6. Las letras Igual que los números también las letras se pueden obtener con la combinación de los doce pentaminos. Vamos a plantear algunas de ellas y el intentar obtener el resto queda a tu voluntad. Por ejemplo la K.

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Recursos para el aula

La Z. No se trata de la triplicación que hemos visto anteriormente ya que en este caso utilizamos todas las piezas.

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LOS PENTAMINOS

La H. También en este caso la figura no es especialmente atractiva pero con un poco de imaginación la podemos considerar adecuada, ya que se trata de una figura de sesenta cuadros y con forma determinada. Posiblemente, si buscas, encontrarás otras propuestas. Tan sólo es cuestión de intentarlo.

101

Recursos para el aula

6.7. Pirámides Unión de 64 casillas con 4 en blanco y en forma de pirámide. Vamos con la primera de ellas con tetramino centrado en la base.

102

LOS PENTAMINOS

En esta pirámide los cuadrados libres son un monomino y un trimino.

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Recursos para el aula

El tetramino vacío cambia de posición respecto a la primera.

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LOS PENTAMINOS

Otra pirámide diferente. Esta dispone el tetramino en vertical.

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Recursos para el aula

6.8. Otras figuras Otras muchas figuras podemos construir con los doce pentaminos, por ejemplo diferentes cruces. Ésta es una de ellas.

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LOS PENTAMINOS

Otra variedad de cruz.

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Recursos para el aula

En éste caso, la figura de cruz deja de espacio vacío otra cruz en el interior (se trata de la pieza X). Recuerda que se deben utilizar las doce piezas.

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LOS PENTAMINOS

Y finalmente aquí vemos otro modelo de cruz con hueco vacío de un monomino justo en el centro.

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Recursos para el aula

Animales También podemos formar diferentes animales. A continuación presentamos algunos de ellos y dejamos a la libre voluntad de cada uno obtener otros. Este es uno de ellos. Posemos asociarlo a la figura de un elefante.

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LOS PENTAMINOS

A esta figura, con un poco de imaginación, podemos llamarla dromedario.

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Recursos para el aula

En este caso se trata de un bonito cisne.

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LOS PENTAMINOS

Esta figura puede representar un búho.

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Recursos para el aula

Y esta una lechuza.

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LOS PENTAMINOS

Construir las diferentes piezas del ajedrez es un reto interesante como por ejemplo, una torre alta.

115

Recursos para el aula

También podemos hacer una torre baja. Aquí la tienes.

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LOS PENTAMINOS

Un alfil.

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Recursos para el aula

E incluso el rey o la reina. Cuidado, están dibujados a tamaño reducido.

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LOS PENTAMINOS

Sin olvidarnos, por supuesto, del peón.

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Recursos para el aula

Ventanas Si agrupamos los huecos como en este caso obtenemos las ventanas. En un tablero de 66 cuadrados se dejan los 6 cuadrados vacíos juntos y en el centro.

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LOS PENTAMINOS

En esta otra hemos construido una figura de 80 cuadrados con 20 vacíos en el centro.

121

Recursos para el aula

Seguimos con la figura de 10 x 8, sólo que en esta ocasión hemos dejado el hueco en la parte superior derecha de la figura.

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LOS PENTAMINOS

Y en este caso en la parte superior izquierda.

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Recursos para el aula

Enrejados Se trata, como podemos apreciar en la figura, de rectángulos con gran cantidad de cuadros vacíos repartidos en forma más o menos regular. Este es uno de ellos.

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LOS PENTAMINOS

Aquí tenemos otro distinto.

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Recursos para el aula

Y, como podemos apreciar, un ejemplo algo diferente a los anteriores.

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LOS PENTAMINOS

Más figuras Se pueden construir otras muchas figuras de diferentes estilos. Sin intentar ser demasiado exhaustivos presentamos algunas de ellas. Una cara.

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Recursos para el aula

Un puente.

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LOS PENTAMINOS

Unas aspas, por la similitud que presentan con las de un molino.

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Recursos para el aula

Un rectángulo con huecos centrales colocados simétricamente.

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LOS PENTAMINOS

O que estos huecos tengan la forma de los diferentes pentaminos.

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Recursos para el aula

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LOS PENTAMINOS

7. Repartir las doce piezas en un número determinado de figuras iguales Por ejemplo en dos rectángulos de 6 x 5.

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Recursos para el aula

En dos L.

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LOS PENTAMINOS

En dos partes complementarias de un cuadrado sin esquinas.

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Recursos para el aula

En dos figuras en forma de C.

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LOS PENTAMINOS

En otras dos figuras como las que puedes observar.

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Recursos para el aula

Las escaleras Provienen de la división de los rectángulos en dos partes iguales y al mismo tiempo complementarias. En este caso se obtiene de dividir el rectángulo de 6 x 10.

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LOS PENTAMINOS

En este modelo, si juntamos ambas mitades obtendremos el rectángulo de 5 x 12.

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Recursos para el aula

Esta, como puedes apreciar es otra variante de la división del rectángulo de 5 x 12. Si juntas ambas figuras lo obtendrás.

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LOS PENTAMINOS

Hemos dividido en este caso el rectángulo de 4 x 15.

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Recursos para el aula

Y finalmente el de 3 x 20, como se presenta a continuación.

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LOS PENTAMINOS

Para terminar este apartado introducimos esta variante que resulta muy atractiva. Consiste en el tablero de 8 x 8 pero a su vez repartidas las piezas en dos partes iguales y complementarias, con los monominos situados en las esquinas del tablero. El hecho de presentar así ambas mitades sólo persigue una mejor comprensión.

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Recursos para el aula

También el reparto de las doce piezas se puede realizar formando tres figuras iguales como en este ejemplo.

144

LOS PENTAMINOS

Aquí un modelo diferente al anterior.

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Recursos para el aula

Otro modelo distinto pero igualmente válido.

146

LOS PENTAMINOS

Aquí puedes apreciar otro más.

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Recursos para el aula

El cuadrado de la esquina inferior lo colocamos en la segunda fila.

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LOS PENTAMINOS

O los dos cuadrados de la base los llevamos a un lateral.

149

Recursos para el aula

En éste el domino de la esquina lo repartimos en dos monominos.

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LOS PENTAMINOS

Aún hay más alternativas. Aquí tienes otro diferente.

151

Recursos para el aula

Y otro más.

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LOS PENTAMINOS

Una última variante.

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Recursos para el aula

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LOS PENTAMINOS

8. Construcciones tridimensionales 8.1. Cúbicas Si entre las diferentes propuestas que nos presenta este juego tuviéramos que destacar algunas, sin duda que esas serían las construcciones tridimensionales. Entendemos que resultan algo más complicadas que las bidimensionales, pero por ese mismo principio, el reto que supone abordar cada caso es una verdadera gozada. Empezamos con las tres construcciones básicas. Consisten en los tres prismas cúbicos de medidas 3 x 4 x 5, 2 x 5 x 6 y 2 x 3 x 10, siempre refiriéndonos al número de cuadrados –en este caso cubos– que forman el lado. El tridimensional de 3 x 4 x 59. De esta construcción se han encontrado 3.940 soluciones distintas.

9

Su disposición gráfica se presenta según la forma largo, ancho, alto (5 x 4 x 3).

155

Recursos para el aula

Tridimensional 2 x 5 x 6. Se pueden conseguir 264 soluciones.

Tridimensional 2 x 3 x 10. Tan solo hemos encontrado 12 soluciones.

156

LOS PENTAMINOS

8.2. Pentaminos También los pentaminos se pueden construir de manera tridimensional. No debemos confundir la triplicación bidimensional de los mismos, en las cuales se utilizaban nueve piezas, con su construcción tridimensional, para las que forzosamente han de utilizase las doce. Solamente se han conseguido construir diez de las doce figuras, ya que tanto de la X como de la W, hasta el momento no se han encontrado ninguna solución. En primer lugar tenemos la T. De ella se pueden conseguir 3 soluciones diferentes.

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Recursos para el aula

La U. Hasta 10 soluciones diferentes podemos encontrar.

La V. Podemos obtenerla de 21 maneras distintas.

158

LOS PENTAMINOS

La Y, con tan solo 7 soluciones.

La Z. De ésta letra se pueden conseguir de 24 formas distintas.

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Recursos para el aula

La F. De ésta solo podemos decir que hasta este momento tan sólo se ha encontrado una solución.

De la I, se pueden obtener 12 soluciones. Fíjate que en realidad, se trata de la figura cúbica de 2 x 3 x 10.

160

LOS PENTAMINOS

La L. Se trata de una figura con bastantes soluciones. Se le conocen 99 diferentes.

La P. De la siguiente figura obtener una solución es algo más fácil ya que es de la que más posibilidades se han encontrado. Existen 1082 diferentes.

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Recursos para el aula

Y finalmente la N. Tercera en número de soluciones con 51 diferentes.

162

LOS PENTAMINOS

8.3. Otras construcciones Por ejemplo, la pirámide de 55 cubos. Utilizaremos once de las doce piezas.

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Recursos para el aula

Una escalera. Para construirla se necesitan las doce piezas.

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LOS PENTAMINOS

9. Diferentes maneras de codificar las construcciones 9.1. Por su representación gráfica La forma más sencilla de retener una construcción realizada es mediante su dibujo con las piezas marcadas o coloreadas como hemos realizado a lo largo de todo el cuaderno y en la siguiente construcción.

Pero no por ello es la única. Existen otras formas, a veces algo más complejas, pero muy interesantes.

9.2. Números y letras Si consideramos cada una de las casillas del tablero representadas por el par de elementos formado por los puntos de los ejes a los que pertenece podemos indicar cada uno de los pentaminos donde se encuentra situado. Veamos un ejemplo. Tomemos un tablero de 4 x 15 en el a las casillas partiendo de arriba hacia abajo y de izquierda a la derecha recibirán un nombre. Si consideramos las 60 casillas de que consta el rectángulo, y tomando el nombre de los ejes como un par de elementos formado por los números y letras, llamaríamos a la primera casilla 1a, 1b a la segunda, 1c a la tercera,..., 2a, 2b..., 3a,... y así sucesivamente hasta completar la figura. 1 2 3 4 a 1a 2a 3a 4a b a1b 2b 3b 4b c 1c 2c 3c d 1d

165

Recursos para el aula

Por lo tanto, y tomando el modelo representado en la figura de la página anterior la situación de cada uno de los pentaminos es la siguiente: I : 1a,2a,3a,4a,5a L : 7c,7d,8d,9d,10d

T : 13a,14a,15a,14b,14c

De esta manera, a partir de sus coordenadas, representaríamos todas las piezas situadas en un determinado tablero10. 9.3. Figuras y su posición Tomando como base lo tratado en el punto 4 de este trabajo hemos desarrollado las diferentes maneras de orientar en el espacio cada uno de los pentaminos. A partir de cada una de ellos, y en consecuencia, mediante el nombre asignado (la figura y su posición), podemos codificar las distintas construcciones que vamos obteniendo de una manera relativamente sencilla. Únicamente hemos de establecer las normas de lectura (de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha) en el orden que se han establecido las coordenadas, que en este caso no se indicará por casillas sino por piezas. De nuevo tomamos como modelo el representado en la figura la codificación mediante este sistema vendrá determinada por el orden en que aparecen los diferentes pentaminos –en primer lugar la I, después la U, a continuación la Y, le sigue la W,... y sus posiciones en el plano son, la I presenta la posición 2, la U se encuentra situada en su posición 4, la Y se encuentra en su posición 8, la W está en su posición 1,...

Así la codificación completa de la anterior construcción será:

I2 U4 Y8 W1 X Z1 L5 F5 N2 P6 T1 V1 De forma que cada pentamino viene representado por su nombre y un número en subíndice. También se puede representar mediante la letra –el nombre y el número escrito de manera natural11. En las propuestas de actividades para el aula, podemos plantear dos tipos de ellas: 10

También se puede representar mediante pares de números: 11, 12, 13 siempre el primer número corresponde al eje horizontal y el segundo al vertical. 11

I2, U4, Y8, W1 ...

166

LOS PENTAMINOS

a. Mediante la codificación de una figura b. Su descodificación Como por ejemplo. a. Dada la siguiente construcción,

Realizar su codificación. b. A partir de la siguiente codificación.

Código:

F1 L6 I1 P3 N7 W3 Y1 T4 Z2 X V3 U4

Construir la figura. 9.4. Letras y posición Otra manera, más sencilla que la anterior, podría ser mediante la repetición de las letras de su nombre y su posición en el plano colocadas en las casillas que ocupa la figura. Estas son las representaciones de los 12 pentaminos.

F F F F F V V V V V

I I I I I

L L L L L X X X X X

P P P P P W W W W W

N N N N N

T T T T T

U U U U U

Y Y Y Y Y

Z Z Z Z Z

167

Recursos para el aula

Este sistema es semejante al de las representaciones mediante los dibujos de las construcciones sólo que estos son sustituidos por sus nombres. Esta forma tiene como inconveniente una visualización inicial de mayor complejidad que si los nombres fueran sustituidos por simples colores. Tomemos de nuevo como ejemplo el siguiente.

La representación mediante este sistema de codificación gráfica será la que vemos a continuación:

I P P P

I P P T

I T T T

I W W T

I N W W

N N X W

N X X X

N F X Y

F F Y Y

Z F F Y

Z Z Z Y

V U Z U

V U U U

V V V L

L L L L

Como podemos apreciar simplemente hemos sustituido las piezas por sus nombres. Podemos apreciarlo en estos otros ejemplos, como a triplicación de la F y la T

T T T U U X N U X X X U U X Z V V V

I T N N Y Z Z Z V

O de diferentes cruces.

168

I I I I T P P P N N P P Y Y Y Y Z V

U U X L U X X X U U X W I I I I I V

L N W W Y Y Y Y V

L L P P N L P P N N N P W W Y V V V

LOS PENTAMINOS

X N N W U U W W U W W F U U F F F Y P P P T

X X X N N N F Y Y Y Y P P T T T

V V V U U X F U X X X U U X T T T W W L L L L

X L L L L L Z V Z Z Z V Z V V V I I I I I T

V Z F F F I T W W N N N Y L

V Z Z Z Z P P F P P P I I I I T W N N Y Y Y Y

8.5. Letras y posición tridimensional Las codificaciones presentadas en último lugar son especialmente atractivas para la trascripción de construcciones tridimensionales, dada la complejidad de su representación gráfica mediante dibujo, ya que ésta presenta bastantes dificultades para una adecuada observación. Tomemos por ejemplo la construcción de 3 x 4 x 5. Teniendo en cuenta que posee tres niveles –de abajo hacia arriba–, la distribución de las piezas puede ser la siguiente:

Niveles P P T T T

1º. I W I Z I Z I F I F

L L L L V

P P Y T U

2º. W W Y Z Y F Y F Y U

L N N N V

W P X T U

3º. W Z X Z X X X F U U

N N V V V

169

Recursos para el aula

Presentamos a continuación una de las torres escalonadas12 con sus cinco niveles.

Niveles I L L W W

12

N N V V V

1º X F Z Z V

F F F Y V

F Y Y Y Y

I L W W

2º X X N U N Z N U

X U U U

3º I P X L P Z W P Z

Como habrás podido comprobar esta torre utiliza solamente 11 piezas.

170

4º I P L P

5º I

LOS PENTAMINOS

9. SOLUCIONARIO Clasificación de D.H. Redelmeier del número de poliminos que pueden obtenerse en función del número de monominos que lo integren. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

p(n)13 1 1 2 5 12 35 108 369 1285 4655 17073 63600 238591 901971 3426576 13079255 50107909 192622052 742624232 2870671915 11123060678 43191857688 168047007728 654999700403

n = número de monominos que forman la figura p(n) = número de poliminos diferentes que se pueden obtener

13

Sólo se contabilizan los poliminos bidimensionales, excluyéndose las opciones tridimensionales.

171

Recursos para el aula

Rectángulos

6 x 10

5 x 12

4 x 15

3 x 20

172

LOS PENTAMINOS

Romboides

6 x 10

5 x 12

4 x 15

3 x 20

173

Recursos para el aula

Tablero de 8 x 8 Con un tetramino

174

LOS PENTAMINOS

Con cuatro monominos

175

Recursos para el aula

Figuras triplicadas

176

LOS PENTAMINOS

Algunos números y letras

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Recursos para el aula

Pirámides

178

LOS PENTAMINOS

Cruces

179

Recursos para el aula

Animales

Elefante

Dromedario

Cisne

Buho

Lechuza

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LOS PENTAMINOS

Piezas de ajedrez

Torre alta

Torre baja

Alfil

Peón

Rey

Reina

181

Recursos para el aula

Ventanas

Enrejados

182

LOS PENTAMINOS

Otras figuras

Cara

Puente

Aspas

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Recursos para el aula

Distribución de todas las piezas en dos figuras iguales

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LOS PENTAMINOS

En tres figuras iguales

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Recursos para el aula

Tridimensionales cúbicas

3x4x5

2x5x6

2 x 3 x 10

186

LOS PENTAMINOS

Pentaminos tridimensionales.

187

Recursos para el aula

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LOS PENTAMINOS

Otras construcciones. Pirámide

Escalera

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Recursos para el aula

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LOS PENTAMINOS

10. BIBLIOGRAFÍA •

Dedicada principalmente al tema de los poliminos.

DUDENEY, H. E. 1988. Los acertijos de Canterbury y otros problemas curiosos. Ediciones Granica – Argentina. GOLOMB, SOLOMON W. 1965. Poliminoes.Puzzles, Patterns, Problems, and Packinngs. Edición en inglés. ( No tenemos referencia de que haya sido editado en España). GOLOMB, SOLOMON W. 1994. Pentaminoes. La Prensa Universitaria de Princetown, New Jersey, nº. 148, páginas 6–10. MARTÍN GARDNER, 1958 y 1988. Hexaflexagons y Otras diversiones matemáticas. Libro Científico Americano de Juegos y Enigmas matemáticos. MARTIN, George E. 1991. Poliminoes: Una guía a los enigmas y problemas de azulejado. Asociación Matemática de América. Serie Espectro. ONSLOW, B. 1990. Pentaminoes Revisited. El Maestro americano nº 9, páginas 5– 10. •

Clásica sobre juegos y recreaciones matemáticas donde el tema de los poliminos suele aparecer entre otras diversas cuestiones. Debido a la gran cantidad de autores y títulos que actualmente abordan estos temas, únicamente vamos a relacionar aquellos que para nosotros, en lo personal, ha constituido una obra de especial significación.

ALEM, J.P. 1984. Juegos de ingenio y entretenimiento matemático. 2 vols. Gedisa Barcelona. BOLT, B. 1989. Actividades matemáticas. Labor - Barcelona. BOLT, B. 1991. 101 proyectos matemáticos. Labor – Barcelona. CORBALÁN, F. y GAIRIN, J. M. 1988. Problemas a mí. Juegos matemáticos. Edinumen – Madrid. DIENES, Z.P. 1980. Lógica y juegos lógicos. Teide – Madrid. FABRETTI, C. 1982. Problemas de ingenio. Bruguera – Barcelona. GUIK, E. Y. 1989. Juegos matemáticos recreativos.Mir – Moscú. GUZMAN, M. de, 1977. Mirar y ver. Alhambra – Madrid. GUZMAN, M. de, 1984. Cuentos con cuentas. Labor – Barcelona. GUZMAN, M. de, 1988. Aventuras matemáticas. Labor – Barcelona. HOLT, M. 1988. Matemáticas recreativas 2. Martínez Roca – Barcelona. HOLT, M. 1988. Matemáticas recreativas 3. Martínez Roca – Barcelona. KRAITCHIK, M. 1953. Mathematical Recreations, Dover – Nueva York.

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Recursos para el aula

LUCAS, E. 1960, 1982. Récreations mathématiques, 4 vols. Gauthiers-Villars – Paris. MATAIX, M. 1979. Divertimentos lógicos y matemáticos. Marcombo – Barcelona. MATAIX, M. 1979. El discreto encanto de las matemáticas. Marcombo – Barcelona. MATAIX, M. 1981. Cajón de sastre matemático. Marcombo – Barcelona. MATAIX, M. 1981. Fácil, menos fácil y difícil. Marcombo – Barcelona. O’BEIRNE, T.H. 1965. Puzzles and Paradoxes, Oxford Universisty Press – Londres. PERELMAN, Y. 1968. Matemáticas recreativas. Martínez Roca – Barcelona. PERELMAN, Y. 1970. El divertido juego de las matemáticas. Círculo de Lectores. PERELMAN, Y. 1975. Problemas y experimentos recreativos. Mir – Moscú. SMULLYAN, R. 1981. ¿Cómo se llama este libro?. El enigma de Drácula y otros pasamientos lógicos. Cátedra – Madrid. SMULLYAN, R. 1983. ¿La dama o el tigre? y otros pasamientos lógicos. Cátedra – Madrid. •

Un apartado especial merece Martin Gardner, al que nos hemos referido en el trabajo, y que desde los años cincuenta ha escrito las columnas de Scientific American (editado en España con el título de Investigación y Ciencia): Circo matemático, 1983. Alianza Editorial – Madrid. Carnaval matemático, 1983. Alianza Editorial – Madrid. Festival mágico-matemático, 1984. Alianza Editorial – Madrid. Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas, 1985. Labor – Barcelona. ¡ Ajá ¡, 1985. Labor – Barcelona. Paradojas ¡ Ajá ¡, 1986. Labor – Barcelona.

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