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MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto.

1 2) La recta r: 5 x − y − 9 = 0 , corta a la recta y = − x + 2 en el punto A. Obtener la 2 ecuación de una recta perpendicular a la recta r, que pase por el punto A y la ecuación de una recta paralela a r que tenga abscisa al origen igual a –2. Graficar todas las rectas. 3 5 x − en el punto A. Determinar las 2 2 coordenadas de todos los puntos del eje y que están a distancia 10 del punto A.

3) La recta r: 2 x − 3 y − 5 = 0 , corta a la recta y =

3 x − 1 . Calcular la longitud del segmento de dicha recta 4 que está contenido en el cuarto cuadrante.

4) Dada la recta de ecuación y =

5) Determinar el valor real de a, sabiendo que el punto A = (3; a ) es un punto de la recta 1 perpendicular a y = x + 1 que pasa por el punto B = (5;1) . 2

6) La recta r1 , tiene ordenada al origen 4 y abscisa al origen –8. Determinar la distancia del punto P = (− 3;−5) a la recta r1 . ∆

7) En el triángulo A B C : A = (1;2) , B = (−3;4) , la recta que pasa por A y por C tiene pendiente -2 y la que pasa por B y por C tiene pendiente 2. Calcular las coordenadas del vértice C y la longitud del lado AB .

8) Sea f (x) la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (1;3) y (− 1;−4 ) . Sea g (x ) 1 5 la recta perpendicular a h( x) = − x + 1 , que tiene abscisa al origen x = . Determinar 3 3 todos los valores reales de x para los cuales f (x) supera en más de 8 a g (x) . 9) Una función cuadrática f (x) , tiene coeficiente cuadrático –3, su gráfico pasa por el punto P = (1,6) y una raíz es -1. Determinar la expresión polinómica de f (x) , su gráfico y el conjunto imagen.

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10) Una función cuadrática g (x ) , tiene raíces opuestas. El producto de sus raíces es -7. La función g (x ) , toma su máximo valor en y = 7 . Obtener la expresión factorizada de la función g (x) .

11) La función cuadrática f (x) , es tal que f (−1) = 5 . Determinar f (x) , sabiendo además que los ceros de g ( x) = −2 x 2 + 3 x − 1 , son también ceros de f (x) . 12) Las funciones f ( x) = x + a y g ( x) = x 2 + bx + 2b , se intersecan en 2 puntos. Uno de ellos es (− 1;0 ) . a) Determinar el otro punto de intersección. b) Verificar gráficamente. 13) Determinar la intersección de f ( x) = −4 x 2 + 10 x − 6 con la recta determinada por P = (− 2;−2 ) y Q = (− 5;4 ) . Determinar la distancia entre los puntos de intersección.

1 14) Los gráficos de las funciones lineales r ( x ) = 5 x − 9 y q( x) = − x + 2 se cortan en el 2 punto A. Determinar la función cuadrática f(x), cuyo vértice es el punto A y corta al eje y en –3. Graficar las tres funciones. 15) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a y = x − 2 que corta a f ( x) = x 2 − x − 2 en un punto de abscisa x = 3 . 16) Los gráficos de las funciones lineales r ( x) = 2 x − 2 y q( x) = − x − 3 se intersecan en el punto A. El gráfico de la función cuadrática f(x) pasa por dicho punto e interseca el eje x en los mismos puntos que r(x) y q(x).Graficar las tres funciones. 17) La parábola y = x 2 + mx − h , tiene por vértice al punto V = (1;−4 ) , determinar intersecciones con los ejes, conjunto imagen, eje de simetría y gráfico de la parábola. 18) La recta r1 , tiene abscisa al origen 1 y ordenada al origen 3, la recta r2 , tiene ordenada al origen 1 y es ⊥ a r1 . Determinar los puntos de intersección de r2 con la función 1 1 3 f ( x) = − x 2 + x + . 18 3 2 19) Dadas: f ( x) = −2 x 2 − 2 y g ( x ) = mx − 1 , se pide: i) Determinar m, tal que: a) f(x) y g(x) sean secantes. b) f (x) y g (x) sean tangentes. c) f (x) y g (x) no tengan puntos en común. ii) Idem i) para f ( x) = −2 x 2 + x − 1 y g ( x ) = mx − 1

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20) Hallar k ∈ ℝ , de modo tal que la recta y = − x − 1 sea tangente al gráfico de f ( x) = x 2 + kx . Para el menor valor de k hallado, dar las coordenadas del punto de tangencia. 21) Determinar a y b, sabiendo que -1 y 2 son raíces de P ( x ) = ax 3 − 3x − bx 2 + 6 . 22) Determinar a y b, sabiendo que -1 es raíz de P ( x ) = 2 x 3 + ax 2 + bx + 10 y 2 es raíz de Q ( x ) = ax 3 + bx 2 + 28 . 23) Sabiendo que el conjunto de ceros de P(x) es C0 ={ -1, -2, 2}, y además P(1) = 2, determinar P(x) de menor grado posible, su conjunto de positividad, su conjunto de negatividad y gráfico aproximado. 24) Determinar el conjunto de positividad, de negatividad, de ceros y graficar: 5 15 P( x ) = − x 3 + x −5 2 2 25) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta y = -x+2, que pase por el punto de intersección de f ( x ) = x 3 + 4 x 2 + 2 x con g(x) = -3x-2, sabiendo que la abscisa del punto de intersección es un número entero mayor que –2 26) Determinar los valores de k ∈ ℝ , de modo que el conjunto de positividad de la función: f ( x) = −3 x 2 + kx + k sea C + ( f ) ≠ ∅ . 27) Sea f una función polinómica de grado 3 tal que f (1) = 4. Sabiendo que el gráfico de f(x) pasa por el origen de coordenadas y que los ceros de g ( x) = 3 x 2 − 7 x + 2 son también ceros de f(x), hallar f(x). Determinar el conjunto de positividad de f(x). 28) Dada la función polinómica definida por las fórmula M ( x) = −3 ( x − 3) ( x 3 − 2 x 2 − 3 x ) , se pide: a) Hallar todos los valores de x que verifican la inecuación M ( x ) ≥ 0 . c) Hallar la expresión de un polinomio P que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente: i) -5 es raíz de P ii) C + ( P ) = C + ( M ) iii) gr ( P) = 6 d) Sabiendo que 2 es la abscisa de uno de los puntos de intersección de los gráficos de las funciones S(x) y H ( x ) = −2 x 4 + 36 x 3 − 53 x 2 + 15 x − 92 , determinar las coordenadas de todos los puntos de intersección.

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29) Determinar la función polinómica f (x) de grado 3, tal que corte al eje y en y = 40 , y cuyo conjunto de positividad sea (− 1;2 ) ∪ (4; ∞ ) .

30) Hallar la expresión de una función polinómica h(x) que cumpla simultáneamente: C − ( h ) = C − ( f ) , siendo f ( x ) = x 4 − 8 x . C 0 ( h ) = C 0 ( g ) , siendo g( x ) = x3 − 4 x gr(h) = 6 h(1) = -2

31) Determinar analíticamente la intersección de f ( x) = x 3 − 5 x 2 con g ( x) = −7 x + 3 . Graficar ambas funciones. ax + 5 . , determinar los valores reales de a y de b sabiendo que la bx − 3 2 asíntota horizontal de f (x) es la recta de ecuación: y = , y que f (1) = 3 . Con los 3 valores reales obtenidos de a y de b, determinar dominio, conjunto imagen, conjunto de positividad y conjunto de negatividad de f (x) .

32) Dada f ( x ) =

33) Determinar analíticamente el o los puntos de intersección de f ( x) =

g ( x ) = −2 x 2 + 2 x −

− 2x + 1 con 2x − 2

1 . Graficar ambas funciones. 2

34) Determinar la ecuación de la recta que corta al gráfico de f ( x) = de abscisas x1 = 5 y

x2 = −9 .

14 en los puntos 2+ x

35) Dada g ( x) = 2 x 2 + 4 x − 6 , se pide: a) Determinar la función homográfica f (x) tal que la asíntota vertical sea el eje de simetría de la función cuadrática g ( x) , la asíntota horizontal pase por el punto donde la función cuadrática g (x ) corta al eje de las ordenadas, además el gráfico de la función homográfica f ( x) pasa por la mayor de las raíces de la función cuadrática g (x ) . b) Representar gráficamente ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos. 36) Se define P : ℝ → ℝ / P( x ) = A( x ) . B( x ) , siendo A(x) una función cuadrática que pasa por los puntos (1;2) y (3;2) e interseca al eje de las abscisas en un solo punto.

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B(x) es una función lineal, el gráfico interseca al eje de las ordenadas en 5 y C + ( B) = (−3, +∞) . Se pide: a) Escribir la expresión factorizada de P. b) Determinar los valores de a (reales) de forma tal que la recta de ecuación: y = ax + 6 sea tangente al gráfico de A. 37) Dada la función: P : ℝ → ℝ / P ( x ) = − x3 + 4 x , se pide: a) Hallar el conjunto solución de la inecuación: − x3 + 4 x ≤ 0 . b) Dar la expresión de una función polinómica B de grado 5, con las mismas raíces de P y C + ( B ) = ( −∞, −2 ) .

38) A continuación se muestra el gráfico de una función polinómica de grado 3 y una parábola. Determinar la fórmula de la función polinómica f .

39) Hallar la fórmula de la hipérbola y las coordenadas del punto P.

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RESPUESTAS

{

}

1) ∀k ∈ R − −2 2 ; 2 2 ; y h ∈ R 1 7 2) A = (2;1) , y = − x + , y = 5 x + 10 5 5 3) P = (0;−4 ) Q = (0;2 ) 5 4) 3 5) a = 5 6) d = 3 ⋅ 5  3  7) C =  − ;7  d AB = 2 ⋅ 5  2  8) x ∈ (7; ∞ )

27   Im =  − ∞;  4  10) g ( x) = − x + 7 ⋅ x − 7 5  1 11) f ( x) = ⋅  x −  ⋅ ( x − 1) 3  2 12) a) P = (3;4 ) 9) f ( x) = −3 x 2 + 3 x + 6 ;

(

)(

)

13) P1 = (0;−6) , P2 = (3;−12 ) ; 14) f ( x) = −( x − 2 ) + 1 15) y = − x + 7

d = 3⋅ 5

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3  1 −8 16) A =  − ; f ( x) = ⋅ (x − 1) ⋅ ( x + 3) , 4  3 3  17) m = -2 , h = 3 .Intersección con el eje x : x = 3, x = -1. Intersección con el eje y : y = -3. Im = [− 4; ∞ ) , Eje de simetría x = 1 18) A = (3;2 ) , B = (− 3;0)

(

) (

)

(

19) i) a) m ∈ − ∞;−2 2 ∪ 2 2 ; ∞ , b) m = 2 2 , c) m ∈ − 2 2 ;2 2 ii) a) m ≠ 1 , b) m = 1 , c) Nunca

)

20) k = 1 o k = - 3 Punto de tangencia (1;-2) 21) a = 3 ; b = 6 22) a = −5 , b = 3 1 23) P( x) = − ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 ) ; C + = (− ∞;−2 ) ∪ (− 1;2 ) ; 3 − C = (− 2;−1) ∪ (2; ∞ ) 24) C + = (− ∞;−2 ) ; C − = (− 2;1) ∪ (1; ∞ ) ; C 0 = {1;−2} 25) y = x + 2 26) k ∈ ( −∞, −12 ) ∪ ( 0, +∞ ) 1  1  27) f ( x) = −6 ⋅ x ⋅  x −  ⋅ ( x − 2) ; C + = (− ∞;0) ∪  ;2  3  3  28) a) x ∈ [ −1; 0] ∪ {3} c) ( −2; −18 ) y

29)

b) Una posible función P( x) = ax ( x + 5 ) ⋅ ( x + 1) 2

a