Matem´ aticas para administraci´ on y econom´ıa Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Unidad I (Cap´ıtulo 16 del texto)

´ lculo de Varias Variables Ca 1.1 Funciones de varias variables. 1.2 Derivadas parciales. 1.3 Aplicaciones de las derivadas parciales. 1.4 Diferenciaci´ on parcial impl´ıcita. 1.5 Derivadas parciales de orden superior. 1.6 Regla de la cadena. 1.7 M´ aximos y m´ınimos para funciones de dos variables. 1.8 Multiplicadores de Lagrange

Derivadas parciales

Derivadas parciales fy (x0 , y0 ) = l´ım

h→0

f (x0 y0 + h) − f (x0 , y0 ) . h

Derivadas Parciales:

Definici´on Sup´ongase que z = f (x; y). La derivada parcial de f respecto de x, se denota mediante: ∂z o fx (x, y) ∂x Es obtenida mediante la derivaci´ on de la funci´on f respecto de x, si y permanece constante.

Derivadas Parciales:

Definici´on Sup´ongase que z = f (x; y). La derivada parcial de f respecto de y, se denota mediante: ∂z ∂y

o

fy (x, y)

Es obtenida mediante la derivaci´ on de la funci´on f respecto de y, si x permanece constante.

Ejemplo

1

Para la funci´on f (x; y) = x2 − xy 2 + ln(xy)

1 2

Halle las derivadas parciales fx (x; y) y fy (x; y). Halle el valor de fx (−1; −2) y fy (1; 2).

Soluci´on Recordando las reglas b´asicas de derivaci´ on y tomando en cuenta que la derivada parcial implica que todas las dem´as variables son constantes: fx (x; y) = 2x − y 2 + fy (x; y) = −2xy +

1 1 (y) = 2x − y 2 + xy x 1 1 (x) = −2xy + xy y

Evaluando fx (−1; −2) = 2(−1) − (−2)2 + fy (1; 2) = −2(1)(2) +

1 = −7 (−1)

1 7 =− (2) 2

Aplicaci´ones

Productividad marginal del capital y de la mano de obra Un fabricante estima que la producci´ on anual de cierta f´ abrica est´ a dada por Q(K; L) = 30K 0,3 L0,7 unidades, donde K es el gasto de capital en miles de d´ olares y L es el tama˜ no de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. Halle la productividad marginal de capital QK y la productividad marginal de mano de obra QL cuando el gasto de capital es $630 000 y el nivel de mano de obra es 830 horas-trabajador. Si los costos de los factores capital y mano de obra son los mismos, ¿qu´e factor conviene aumentar su empleo en una unidad?

Soluci´on Por definici´ on, la productividad marginal del trabajo es la derivada parcial de la funci´ on de producci´ on con respecto al trabajo y la productividad marginal del capital es la derivada parcial de la funci´ on de producci´ on con respecto al capital, por lo tanto. QK (K; L) = 30(0,3)K −0,7 L0,7 = 9,6K −0,7 L0,7 QL (K; L) = 30(0,7)K 0,3 L−0,3 = 21K 0,3 L−0,3 Evaluando QK (630; 830) = 9,6(630)−0,7 (830)0,7 = 11,6 QL (630; 830) = 21(630)0,3 (830)−0,3 = 19,3 De acuerdo a estos resultados, emplear una unidad adicional de trabajo (L) tiene un efecto mayor en el aumento de la producci´ on que cuando se emplea una unidad adicional de capital (K). Por lo tanto, en este caso es mejor emplear una unidad adicional de trabajo que capital.

Aplicaci´ones Ley de demanda Suponga que se demandan D1 (p1 ; p2 ) unidades del primer art´ıculo y D2 (p1 ; p2 ) unidades del segundo cuando los precios unitarios de los art´ıculos son p1 y p2 , respectivamente. Es razonable esperar que la demanda disminuya cuando el precio aumenta, entonces: ∂D1 ∂p1

0 ∂p2 ∂p1 Ejemplo: Art´ıculos sustitutos o competitivos: como la mantequilla y la margarina.

Aplicaci´ones

Art´ıculos Complementarios Se dice que dos art´ıculos son complementarios si un decremento en la demanda de uno de ellos causa un decremento en la demanda del otro. La demanda de uno se reduce respecto al precio del otro, es decir: ∂D1 ∂D2