MATRICES:

TEORÍA COMPLEMEMENTARIA

Existe otro método para calcular la inversa y que sólo usaremos para matrices cuadradas de orden 2 o de orden 3. Para ello es necesario conocer estos dos conceptos: CÁLCULO DE LA INVERSA MEDIANTE EL DETERMINANTE Y LA ADJUNTA:

1

Conocido el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz Adjunta para poder calcular la inversa:

No debemos olvidarr la paridad, a la hora de calcular el adjunto de cada elemento, teniendo en cuenta la siguiente tabla:

Conocida la Adjunta sólo falta aplicar la siguiente fórmula:

2

Una de las aplicaciones máss interesantes de las matrices es la resolución de sistemas RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE MATRICES

3

4

MATRICES:

ACTIVIDADES

4 3  1. Sean las matrices A =    5 -2 

3 2 B=   6 7

y

a) Calcula el resultado de las siguientes operaciones. • A·B • B·A • A+B • B+A b) ¿Qué conclusión obtienes? c) ¿Qué condición tiene que cumplir una matriz C para poder efectuar el producto A·C? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada. d) ¿Qué condición tiene que cumplir cumplir una matriz D para poder efectuar el producto D·A? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada.

2. Sean las matrices :

4 7  A=  , B =  1 -2 

 3 7 -1    C = 4 1 6  y D = 2 0 3   

 0 -1 2   ,  5 -3 0 

 -1 0 -1     3 1 -2 

a) Averigua que dos matrices se pueden sumar y calcula el resultado. b) Averigua que dos matrices se pueden multiplicar y calcula el resultado. c) Realiza las siguientes operaciones: 2A A2 A3 C2 Bt Ct 3C + 2I3 Bt · A A · Bt d) Realiza las siguientes operaciones si es posible y en caso contrario indica por qué: A-1 B-1 C-11 D-1

3. Halla la inversa de las matrices:  2 1 0   A =  -3 4 -1  y  1 -5 -1   

 1 1 -2    B =  -3 4 0   -1 6 1   

4. Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A · B · C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices.

a 1 5. Sean las matrices A =  , B =  0 2

 1 b   y  0 3

 1 3 C=   2 5 

a) Halle los valores de a y b para que se verifique A - B + A·Bt = C. b) ¿Existe algún valor de b para que el producto B · Bt se igual a la matriz nula?

6. ¿Cuánto deben valer a, b, c y d para que P ·2Q = R Sean las matrices:

 1 2 P=  , a 0

 1 1 5 Q=   8 4 b

y

c d 6 R=    10 10 50 

a) Calcule,, si es posible, P · Q y Q · P, razonando la respuesta. b) ¿Cuánto deben valer a, b, c y d para que P ·2Q = R? 5

1 0  1 0  7. Halla todas las matrices cuadradas A de orden 2 que q verifiquen: A·   = ·A 1 1  1 1 

 − 1 0  , 8. Sean las matrices A =   1 2 a) b) c) d)

0 − 1 2  B =   1 − 1 0

y

 − 1 2 − 1  C =   0 1 − 1

Calcule (A – I2) · B Obtenga la matriz Bt y calcule, si es posible, Bt · A Calcule la matriz X que verifica A · X + B = C Calcule e la matriz X que verifica X· A + B = C

2 9. Sean las matrices A =  0

−1 0  , 2 − 1 

2 1   B =  2 2

y

 1 − 2   C= 0 2  − 2 0   

a) Calcule la matriz P que verifica B · P – A = Ct b) Determine las dimensiones de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A · M · C c) Determine las dimensiones de la matriz N para que Ct · N sea una matriz cuadrada.

10.

De una matriz A se sabe que su segunda fila es (-1 2) y su segunda columna es

 1   1 1 1 0 0     ⋅A =    2  . Halle los restantes elementos de A sabiendo que  2 0 1  0 −1   − 3    1 − 1    − 2 − 1 1 11. (Junio 05) Sean las matrices A =   y B =  2 0  − 1 0 1 − 2 1    t t a) Calcule la matriz C = B · A – A · B 4 b) Halle la matriz X que verifique A ⋅ B ⋅ X =   2

12. Resuelva la ecuación matricial 2X – C · D = (I + D) · C matrices: 0 1  C = 1 0 0 1 

13.

0  1 0 

y

siendo C y D las siguientes

0 1 1    D = 1 0 1  1 1 0  

 1 0 2 , Sean las matrices A =  − 2 1 0  

 − 2 B =    5

a) Calcule B · Bt – A · At b) Halle la matriz X que verifica (A · At) · X = B

14.

Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales: 3 2   2 5  y B =  , resuelva la ecuación matricial A · X + Bt = B, a) Dadas las matrices A =  2 4  − 3 1  donde X es una matriz cuadrada de orden 2.

1 0

. Calcule el valor de b para que B2 = I2 b) Sea la matriz B =  1 b   6

15.

2 1 , (Junio07) Sean las matrices A =   1 1

 1 x  B =  x 0

y

 0 − 1  C =  − 1 2 

a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2 = A b) Igualmente para que B + C = A-1 c) Determine x para que A + B + C = 3 · I2

16.

x 1  (Junio06) Sean las matrices A =    1 x + 1

y

 0 1 B=   1 1

a) Encuentre el valor o valores de x de forma que A – I2 = B-1 b) Igualmente para que A · B = I2

17.

Despeja la X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) b) c) d)

18.

A·X - B·X + C = I A·X·B - D·C = C A·X + X = D A·X·A = D

Sean los grafos siguientes:

a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2, 3, represente

los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia.  0 1 0   C = 1 0 1  0 1 0  

y

0 1 1    D = 1 0 1  1 1 0  

c) Realice la siguiente operación matricial: D · C — C · D

19. En un instituto “I” hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distancia entre A y B es 6 km la de B a C es 7 km, la de A a C es 10 km y la de A a I es 8km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B y recorre sucesivamente C, A e I; I la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I. I

a) Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de

cada pueblo por cada ruta.

7

b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es:

o o o

Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.

Determine la matriz N 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo. c) Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determina la matriz F =

0.12 M·N, e interpreta cada uno de sus elementos. A B C Ruta 1   M= Ruta 2 

Ruta1   

Ruta 2

Alumnos A   N = Alumnos B  Alumnos C 

y

    

20. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles dell tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 5 del tipo P y los de la categoría C fabrican 6 móviles del tipo M y 4 del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan 2 chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P se necesitan 4 chips y 6 conexiones. a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles es de cada tipo y otra matriz Y. de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. móv b) Realice el producto de matrices X Ye indique qué expresa dicho producto.

21. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte. F

G

H

 300 200 150  Carretera  T =   400 250 200 Tren Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 € por carretera y 180 € por tren, como indica la matriz C = (200, 180).

Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica. fábrica 22. Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1,5 1, kg de plátanos y otra necesita 0,5 kg de manzanas, 2,5 2, kg de ciruelas y 3 kg de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8 €/kg, los de las ciruelas 2,1 €/kg y los de los plátanos 1,9 €/kg y en la frutería rutería B son 1,7 1, €/kg, 2,3 €/kg y 1,75 €/kg respectivamente. Se escriben las matrices  2 M =   0, 5

1 2, 5

1, 5   3 

y

 1, 8 1, 7    N =  2, 1 2, 3   1, 9 1, 75   

a) Determine M · N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? 8

23. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, ata, a dos supermercados, S y H, H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y, y, en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos. productos leche  500 A=   460

queso

nata

300 300

250  S  200  H

leche  0,20 B=   0,25

queso

nata

4 3, 60

1 S  1,20  H

Efectúe el producto A · Bt y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

24. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

25. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, ecuaciones, por el método de Gauss y Cramer, clasificándolo previamente antes mediante el teorema de Rouchè.

9

MATRICES:_______ 26.

_______________________ACTIVIDADES RESUELTAS

13 -1  Sean las matrices A =  ,  0 9

3 2  B=   y C= 3 0

 1 x    x 0

Encuentre el valor o valores de x de forma que C2 + B = A  1 x   1 x   3 2  13 −1   · + =    x 0   x 0  3 0   0 9   1 + x2 x   3 2   13 −1   →  + =   x2   3 0   0 9   x  4 + x2 x + 2   13 −1   =   x2   0 9   x+3

27.

3 2  Dadas las matrices A =   2 4 

y

4 + x2 = 13  x + 2 = −1  x + 3 = 0 x2 = 9 

→ x = ±3 → x = −3 → x = −3

Solución : x = −3

→ x = ±3

 2 5 B=    -3 1 

A · X + Bt = B

Resuelve la ecuación matricial siguiente A · X + Bt = B

A-1 · A · X = A-1 · (B - Bt)

A · X = B - Bt

I2 · X = A-1 · (B - Bt)

Solución:

X = A-1·(B - Bt)

Cálculos: 3 2 1 0  3 2 1 0  12 0 6 −3  A−1 =  → →      2 4 0 1  −2F1 + 3·F2  0 8 −2 3  4F1 − F2  0 8 −2 3     6 F1 / 12  1 0 12 F2 / 8  0 1 −2 8 

 12  3  8 

−3

⇒

 1 −1   2 4 A =  3 − 1   8  4 −1

 2 −3  Bt =   5 1 

 1  1 −1   −1   2 5   2 −3    2   2 4 4 ·  0 8 =  2 4  X= ·  −  =       3   −3 1   5 1    −1 3   −8 0   −3 −2   −1 8 8  4  4

28.

0 2 (Junio08) Sean las matrices A =   3 0

y

 a b B=   6 1 

a) Calcule los valores de a y b para que A · B = B · A

12=3b  0 2  a b  a b 0 2  12 2   3b 2a   2=2a · = · ⇒ = ⇒              3 0 6 1  6 1  3 0  3a 3b   3 12   3a=3 3b=12 

→ b=4   → a=1   a=1  ⇒  → a=1  b=4 → b=4 

b) Para los valores a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X · B – A = I2

X · B – A = I2

X · B · B-1 = ( I2 + A) · B-1

X · B = I2 + A

X · I = (I2 + A) · B-1

X = ( 2 · B2 + I2) · B-1

10

 1 0 1 0 → B −1 =   F2 − 6·F1 6 1 0 1 

 1 0 1 0  1 0 −1     0 1 − 6 1  → B = − 6 1     

  1 0   0 2   1 0   1 2   1 0   − 11 2   =   ·   =    +   ·  X = ·   0 1   3 0   − 6 1   3 1   − 6 1   − 3 1 

29. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas as de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a) Representar esta información en dos matrices. G

P

T

A  1000 8000    B  8000 6000  C  4000 6000 

S

G  16 6    P  12 4 

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño modelos tamaño de estantería. Interpreta cada uno de los resultados. G

P

A  1000 8000    B  8000 6000  C  4000 6000 

T

S

G  16 6  ·   = P  12 4 

T

S

A  112000 38000    B  20000 72000  C  136000 48000 

Interpretación: 112000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo A 20000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 136000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C 38000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar fabricar todas las estanterías del tipo A 72000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 48000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C

30. (Junio09) Sea la igualdad A· X + B = A , donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión. a) (1 punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa. b) (2 puntos) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo

 2 5  0 − 3  y B =  . A =   1 3  −1 2  a) A· X + B = A ⇒ A· X = A − B ⇒ A −1 · A· X = A −1 · A − A −1 ·B ⇒ X = I − A −1 ·B a b  a b   2 5  1 0   2a + b 5a + 3b   1 0   ⇒  ·  =   ⇒   =   . b) Si A −1 =  c d   c d   1 3  0 1   2c + d 5c + 3d   0 1  Igualando elementos correspondientes: 11

 2a + b = 1 a=3 ⇒  ;  5a + 3b = 0 b = −5  3 − 5  . Por tanto, A −1 =  −1 2 

 2c + d = 0 c = −1 ⇒  .  5c + 3d = 1 b = 2

Luego,  1 0   3 − 5   0 − 3  −  ·  ⇒ X = I − A −1 ·B ⇒ X =  0 1 −1 2  −1 2   1 0   5 − 19   − 4 19   −  =  ⇒ X =  7   2 − 6   0 1  − 2 31.

(

)

(

)

(

)

−5 B = 3 −1 2 C = 1 2 3 (Junio11) Sean las matrices A = 21 − −1 5 3 . 3 , 0 1 1 ,

a) (1 punto) Calcule A2 − B ⋅ C t . b) (1,5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X + B = 2 ⋅ C .

(

)(

) (

)

(

) (

) (

)

 1 −1 a) A2 − B ⋅ C t = 21 −−35 · 21 −−35 − 03 −11 21  2 5  = −−11 54 − 57 −82 = −−86 −74 . 3 3   

b) En caso de existir A−1 será A ⋅ X + B = 2 ⋅ C ⇒ A ⋅ X = 2 ⋅ C − B ⇒ X = A −1 ( 2C − B ) .

La matriz inversa existe, pues A = −6 + 5 = −1 . De este modo A −1 =

1 t ( Adj( A)) A

) (

) (

−3 −1 ( 5 2) = −1

t

(

= 31 −−52

)

y por tanto

(

) (

)(

) (

)

X = A−1 ( 2C − B ) = 3 −5 ·  2· 1 2 3 − 3 −1 2  = 3 −5 · −1 5 4 = 7 −30 −13 . 1 −2 −2 9 5 3 −13 −6 1 −2  −1 5 3 0 1 1 

32.

(Septiembre08) Contesta de forma razonada: razonada a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por:

1 + 3x 2   3   5    ⋅   =  . − 1   y   4   x  1 0 1   b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de  0 1 0 . 1 2 0   1 + 3x 2   3   5  3 + 9x + 2 y 5  ⋅   =   ⇔   =   − 1  y   4   x  3x − y   4  9 x + 2 y = 2 Resolvemos el sistema de ecuaciones  ⇔ x = 2 , y = −2 3 3 x − y = 4  a) 

12

 1 0 1   1 −1 ( Aij ) t , siendo (Aij) la matriz de los adjuntos. b) Sea A =  0 1 0 . Hallamos A = A 1 2 0   0 − 1  0 0 − 2 1      −1 0  Como A = −1 y ( Aij ) =  2 − 1 − 2  ⇒ A =  0 1 −1 0  1 2 − 1 1    

EJERCICIOS SELECTIVIDAD ÚLTIMAS CONVOCATORIAS RESUELTOS JUNIO 2013

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JUNIO 2012

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ACTIVIDADES RESUELTAS DE SELECTIVIDAD OTRAS CONVOCATORIAS

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