Mecánica
 Tema
04.
Cables.


Cecilia
Pardo
Sanjurjo
 DPTO.
DE
INGENIERÍA
ESTRUCTURAL
Y
MECÁNICA
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Cables Los hilos o cables son elementos ampliamente utilizados en ingeniería, unas veces como elemento de sujeción (puente colgante, catenaria de un tren, teleférico…) y otras como elemento que hay que sustentar (líneas de alta tensión) Vamos a considerar hilos ideales: sólidos deformables de sección despreciable y longitud constante (inextensibles) pero que no presentan resistencia alguna a flexión

altonivel.com

ojodigital.com

Catenaria de tren eliatron.blogspot.com

Mecánica.upm

Hilos sin carga: Los tramos sin carga (ni peso) son elementos a dos fuerzas, siempre a tracción (tensión). No admiten compresiones (se aflojan, no mantienen nada) T

T

Hilos con cargas en algunos de sus puntos: Los puntos donde están aplicadas las cargas han de estar en equilibrio. Cada tramo de hilo por la tensión correspondiente y se plantea el equilibrio de esos puntos. La curva de equilibrio es una línea quebrada. A B

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Vamos a suponer un ejemplo algo más sencillo, con cargas sólo verticales.

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A

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Ecs. equilibrio nudos: ∑ Fx = 0 ) T1x = X A ⎫⎪ ⎬ nudo A = 0 F T = Y ∑ y 1y A ⎪ ⎭

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∑ Fx = 0 ) T3x = XB ⎫⎪ ⎬ nudo B ∑ Fy = 0 T3y = YB ⎪⎭

)

∑ Fx = 0 ) T1x = T2x

)

∑ Fy = 0 T1y = T2y

⎫⎪ ⎬ nudo Q + Q⎪ ⎭

∑ Fx = 0 ) T2x = T3x

)

∑ Fy = 0 T2y + T3y

⎫⎪ ⎬ nudo W = W⎪ ⎭

Cuando las cargas son verticales, la componente horizontal de la tensión es la misma en cualquier punto del hilo

Componentes de las tensiones: Tx = T1 cos α1

T1y = T1senα1

2 T1 = Tx2 + T1y

tgα1 =

T1y Tx

Y análogamente para T2 y T3 tg α1 =

Relaciones ángulos y distancias:

y1 y − y1 y − y3 ; tg α 2 = 2 ; tg α 3 = 2 x1 x2 x3

L = L1 + L 2 + L 3

La longitud del hilo:

L 2 = x 22 + ( y 2 − y1 )

2

L1 = x12 + y12

L 3 = x 23 + ( y 2 − y 3 )

2

Relaciones distancias y tensiones: T1y T1x

=

y1 ; x1

T2y T2x

=

y 2 − y1 ; x2

T3y T3x

=

y2 − y 3 x3

La tensión máxima es la del tramo con mayor inclinación (en uno de los apoyos)

Ejemplo: Hallar la tensión del hilo en cada tramo, así como su longitud #

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Equilibrio del sistema completo M A = 0 ) 9·YB = 16·2 + 26·5 → YB = 18 kp

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∑ Fy = 0 YA = 24 kp ∑ Fx = 0 ) X A = XB

Equilibrio de nudos:

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∑ Fy = 0 T3 sen 36.87 = 18 → T3 = 30 kp

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∑ Fx = 0 T3 cos36.87 = XB → XB = 24 kp

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∑ Fy = 0 T2senα 2 + 18 = 26

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∑ Fx = 0 T2 cosα 2 = 24

tgα 2 =

26 − 18 1 = → α 2 = 18.4º 24 3

30 kp

T2 !2

T2 = 8 10 kp

26

T1 !1 18.4º

8!10 16

)

∑ Fy = 0 16 + 8 = T1senα1

)

∑ Fx = 0 24 = T1 cosα1 tgα1 = 1→ α1 = 45º

36.87º

T1 = 24 2 kp

Una alternativa es plantear el equilibrio de un trozo mayor de la estructura, cortando el hilo por donde interese ( 3 incógnitas) y aplicando las ecs del sólido rígido: #$ "

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MA = 0 0.8T3 ·3 + 0.6T3 ·5 = 16·2 + 26·5

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T3 = 30 kp

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∑ Fx = 0 X A = 24

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∑ Fy = 0 YA + 30·0.6 = 16 + 26 → YA = 24

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Resueltas las tensiones y ángulos se completa la geometría y se puede calcular la longitud del hilo: #

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L1 = 2 2 m ; L2 = 32 + 12 = 10 m ; L3 = 5 m L=L1 + L2 + L3  11 m

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Si el número de cargas aumenta, los tramos rectos cada vez son más cortos hasta que dejan de apreciarse y el hilo adquiere una curvatura continua cuando la carga lo es.

En cualquier caso, la tensión en un punto del hilo es tangente a la curva del hilo en dicho punto

Sólo vamos a estudiar los casos más importantes en ingeniería: -  Cable que mantiene carga constante por unidad de longitud horizontal - Cable pesado (carga constante por unidad de longitud de cable)

Cable parabólico: carga constante por unidad de longitud horizontal luz Y

x s O

P

flecha y X po

Supongamos que tenemos un hilo colgado de dos puntos situados a la misma altura y que está sometido a una ley rectangular de carga en la dirección horizontal po N/m. Se trata de un sistema simétrico con un mínimo central. Luz: distancia entre los puntos de apoyo del cable Flecha: distancia vertical desde un apoyo al punto más bajo del cable Aislamos un trozo comprendido entre el mínimo y un punto P de coordenadas ( x, y).

La ley de carga rectangular se sustituye por su resultante en el centro de gravedad: pox en x/2

Ty

Esa fracción de hilo está en equilibrio: ∑ Fx = 0 )

Tx = To

∑ Fy = 0

Ty = p o x

)

x/2 pox

y

To

x 1 po 2 M P = 0 ) p o x = To y → y = x 2 2 To

Tx

P

O

x po

Hemos obtenido así las componentes de la tensión en cualquier punto y la curva de equilibrio del hilo: una parábola respecto a ejes XY con origen en el mínimo de la misma La componente horizontal de la tensión es la misma en todos los puntos La tensión en el punto P:

T= Tx2 + Ty2 = To2 + p 2o x 2

Nótese que el punto del cable en dónde la tensión es máxima corresponde al más alejado del mínimo o de máxima altura

T

x/2 pox

Tx = Tcos θ = To Ty = Tsenθ

! P

tgθ =

y

To

Ty To

x

O

Si queremos saber que longitud de hilo hay de O a P: 2

p 2o x 2 ⎛ dy ⎞ ds = dx + dy = dx 1 + ⎜ ⎟ = dx 1 + 2 ⎝ dx ⎠ To 2

L OP ≡ s =

2

P ∫O ds

=

x ∫0 dx

1+

p 2o x 2 To2

p 2o x 2 To ⎛ p o x p 2o x 2 1 ⎡⎢ = x 1+ 2 + ln ⎜ + 1+ 2 ⎜ T 2⎢ p To To o ⎝ o ⎣

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎠ ⎥ ⎦

A veces los apoyos no están a la misma altura: la ecuación de la curva es la misma refiriendo las coordenadas al sistema de ejes en el mínimo !

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Puente colgante: el tablero de peso P y longitud L, cuelga mediante muchos hilos equiespaciados en la dirección horizontal, de forma que cada uno transfiere la misma carga a cada punto del cable colgado entre los pilares del puente y que, por tanto, tiene forma parabólica. $%&

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po =

P L

carga por unidad de abscisa que llega a cada punto del cable colgado

Dos formas de mantener una carga uniforme

Mediante elementos a tensión pura (cables) Curva de equilibrio parabólica

Mediante elementos a compresión Misma curva de equilibrio, invertida: Arco parabólico

Ortigosa de los Cameros

Arcos parabólicos

Carga constante por unidad de longitud de cable (catenaria) Otro caso de hilo sometido a carga continua que tiene interés es el cable sometido a una carga constante por unidad de longitud (de cable) que puede ser propio peso del cable

po

Ejemplos:

X

eliatron.blogspot.com

La ecuación de equilibrio del hilo se puede integrar, obteniéndose: Ty

Y

Tx

s

1) Ec. de equilibrio del hilo ⎛ x⎞ y = c Ch ⎜ ⎟ ⎝ c⎠

y

catenaria

c

c = parámetro de la catenaria O

x

X

2) Tensión en un punto: Coseno hiperbólico:

e x + e −x Ch x = 2

Ch 0 = 1

Seno hiperbólico:

e x − e −x Sh x = 2

Sh 0 = 0

Tx = To = p o c = cte ⎫ ⎪ ⎛ x⎞ ⎬ T = To Ch ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ x⎞ Ty = To Sh ⎜ ⎟ c ⎪ ⎝ c⎠ ⎭ 3) Longitud desde el mínimo a un punto: ⎛ x⎞ s = c Sh ⎜ ⎟ ⎝ c⎠

Cuando los ángulos de inclinación de los tramos de hilo respecto a la dirección horizontal son pequeños, los ds y dx son muy parecidos: en ese caso la luz entre los apoyos es muy grande comparada con la flecha y la parábola y la catenaria son también muy parecidas, pudiéndose aproximar una por la otra .

Cuando se da esa situación se suele utilizar la expresión de la longitud de la catenaria para calcular la longitud de la parábola:

⎛ x⎞ L OP ≡ spar ≅ scat = c Sh ⎜ ⎟ ⎝ c⎠ cuando

flecha 1 luz

o bien

con c tal que c =

x 1 c

To po

Teleférico: catenaria + cargas discretas (cabina)

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Equilibrio de nudo + tramo BC (catenaria 1)+ tramo AC (catenaria 2) !"#$%&'()&

Catenarias a tensión y a compresión

Hectorscerbo.com.ar (Puente Kinta- Kyo)

31) La luz del arco central del puente colgante representado en la figura es de 500 m. La flecha en su centro es de 50 m. Los cables pueden resistir una tensión máxima de 5000 kN. Determinar: a) La carga por metro horizontal de calzada que puede resistir. b) La longitud del cable en la cuerda central

31) La luz del arco central del puente colgante representado en la figura es de 500 m. La flecha en su centro es de 50 m. Los cables pueden resistir una tensión máxima de 5000 kN. Determinar: a) La carga por metro horizontal de calzada que puede resistir. b) La longitud del cable en la cuerda central

500 m A

B

50 m

Apoyos misma altura: simétrica, mínimo central Tmáx en el punto más alto

Tmáx=TA=TB=5000 kN

TAy

ypar 250 po

To

A

50 m

To 125

O

Equilibrio de media cuerda: M A = 0 ) 50 To = ( 250p o )125

)

∑ Fy = 0 TAy = 250 p o

xpar Tmáx = TA =

250 m

2 To2 + TAy = 5000

Sustituyendo To y Tay y elevando al cuadrado:

5000 2 = 250 2 p 2o + 625 2 p 2o

p o ≅ 7.43 kN/m

•  Se podrían haber empleado las fórmulas de la parábola: yA

p o x 2A = 2To

→

p o 250 2 50 = 2To

TAy = p o x A = 250 p o

To = 625 p o

To = 625 p o

Longitud del hilo entre A y B: ⎡ 2 2⎞ 1 ⎢ 1 ⎛ xA ⎛ xA ⎞ ⎛ xA ⎞ ⎟ L = 2 s A = 2· xA 1 + ⎜ + ln ⎜ + 1+ ⎜ ⎝ c ⎟⎠ ⎝ c ⎟⎠ ⎟ 2 ⎢ c ⎜⎝ c ⎠ ⎣

En donde se ha sustituido

c=

To = 625 m po

⎤ ⎥ = 513.01 m ⎥ ⎦

x A = 250 m

Aproximada mediante una catenaria: flecha 50 = = 0.1  1 luz 500 L aprox = 2 s A = 2·c Sh

xA 250 = 2· 625 Sh = 513.44 m c 625

(exacta)

Quedan muchos puentes por hacer