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CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) – g(x) ha de ser, entonces, creciente en x = a (si la respuesta es afirmativa, justifíquese, en caso contrario, póngase un contraejemplo que lo confirme) 2.-junio 1994 a) Defina la derivada de una función f en el punto a. b) Aplicando la definición de derivada, demostrar que si f es derivable y periódica, de periodo T, entonces su derivada f´ también es periódica de periodo T. 3.-septiembre 1994 Sabiendo que f (x) y g (x) son dos funciones que tienen límites l y m cuando x→ a, pruébese que:

4.-septiembre 1994 Estudiar la continuidad de la función:

5.- junio 1995 a) Estudiar la derivabilidad en x = 0 de b) ¿Cuántos puntos hay en la función

que no tengan derivada? Justificar la respuesta.

6.-septiembre 1995 a) Hallar los máximos y los mínimos de la función . b) Sean u (x) y v (x) dos funciones derivables en un punto x. Pruébese que su producto u(x).v(x) es derivable, obteniendo la expresión de su derivada:

8.-junio 1996 Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5 pesetas. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, decide disminuir el precio por unidad y por cada x unidades cobra la siguiente cantidad:

Se pide: a) Hallar a para que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades? 9.- septiembre 1996 Se considera una ventana cuya parte inferior es rectangular y la superior una semicircunferencia. El perímetro de la ventana mide 6m. Halla las dimensiones x e y del rectángulo para que la superficie de la ventana sea máxima. (Expresar los resultados en función de π) 10.-septiembre 1996 La gráfica de la figura corresponde a la primera derivada de una función f (x) ¿Qué puede decirse sobre los posibles máximos y mínimos relativos de la función f(x)? Razonar la respuesta.

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11.-junio 1997 En la perforación de un cierto pozo, se sabe que el coste de la extracción del metro cuadrado de tierra a una profundidad de a x metros es proporcional a x , para un cierto número a>1. Llamaremos C(x) al coste de la extracción de tierra del pozo, desde la superficie hasta la profundidad de x metros. Sabiendo que C (2) = a) Hallar a. b) Hallar la profundidad h para la que C (h) = 128 C (1).

, se pide:

12.- junio 1997 Sea f: ℜ→ℜ una función derivable en ℜ; sean a y b dos raíces de la derivada f´(x) tales que entre ellas no hay ninguna otra raíz de f´(x). Razonar debidamente si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades: a) Entre a y b no existe ninguna raíz de f (x) b) Entre a y b existe una sola raíz de f (x) c) Entre a y b existen dos o más raíces de f (x) 13.-septiembre 1997 2 ¿Hay alguna función f(x) que no tenga límite cuando x→2 y que, sin embargo [f(x)] si tenga límite cuando x→2? Si la respuesta es afirmativa, póngase un ejemplo, y si es negativa justifíquese. 14.-septiembre 1998 En cada uno de los siguientes apartados indicar un ejemplo que muestre que el enunciado es falso. Justificar la respuesta: a) La suma de dos funciones discontinuas es una función discontinua. b) Toda función continua es derivable. 15.-septiembre 1998 Se considera un círculo de radio r. a) Probar que el rectángulo de área máxima inscrito en el círculo dado es un cuadrado. b) Considerando el círculo inscrito en dicho cuadrado, calcular el cociente entre las áreas de los círculos. 16.-junio 1999 Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60 m. 17.-junio 1999 Se considera la función:

a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4, 2]. b) Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza dicho teorema. 18.- junio 1999 Se considera la función:

Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Es continua en el punto x = 0? b) ¿Es derivable en el punto x = 0? c) ¿Alcanza algún extremo? 19.-septiembre 1999 Se considera un triángulo isósceles cuya base (el lado desigual) mide 10 cm y cuya altura mide 6 cm. En él se inscribe un rectángulo, cuya base está situada sobre la base del triángulo. a) Expresar el área A de dicho rectángulo en función de la longitud, x, de su base. b) Escribir el dominio de la función A (x) y dibujar su gráfica c) Hallar el valor máximo de dicha función. 20.-septiembre 1999 3 Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm . Averiguar las dimensiones de la caja para que la superficie exterior sea mínima. 21.-septiembre 1999 Comprobar que

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22.-junio 2000 Sea un polinomio que cumple f (1) = 0, f´ (0) = 2 y tiene dos extremos relativos para x = 1 y x = 2. a) Determinar a, b, c y d. b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos? 23.-junio 2000 a) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga al menos un máximo relativo en el punto (2, 3) y un mínimo relativo en el punto (3, 4). b) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado? 24.-septiembre 2000 Sea la función a) Determínese si tiene asíntotas de algún tipo. b) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos. 25.- septiembre 2000 Dados tres números

reales

cualesquiera

r1 ,

r2

y

r3 ,

hallar

el

número

real

x

que

minimiza

la

26.-junio 2001 a) Determinar los extremos relativos de la función . Dibujar su gráfica b) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P (3, -5) 27.-septiembre 2001 Sea P(x) un polinomio de grado 4 tal que: a) P(x) es una función par b) Dos de sus raíces son x = 1 y x = c) P(0) = 5 Se pide: a) Hallar sus puntos de inflexión b) Dibujar su gráfica 28.-septiembre 2002 Se considera la función real de variable real definida por:

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (3, 1) 29.-septiembre 2002 Sea f(x) una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que : f (0) = 1; f(1) =2; f´ (0)=3; f´(1) = 4 a) Calcular g´(0) siendo g(x) = f (x + f(0)) b) Calcular 30.-junio 2003 Calcula los siguientes límites: a)

b)

31.-junio 2003 Dada la función:

a) Hallar los puntos de discontinuidad de f. Determine razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.

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función

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32.-junio 2003 a) Dibuja la gráfica de la función b) Calcular el dominio de definición de

y su comportamiento para x→ ∞ y x→ - ∞

c) Determinar (si existen) los máximos y los mínimos absolutos de f (x) en su dominio de definición. 33.-modelo 2004 Dada la función:

a) Determinar su dominio y calcular los límites laterales cuando x→1 b) Estudiar su continuidad y hallar el valor de “a” para el que f es continua en x = 0 34.-modelo 2004 Se considera la función:

Se pide: a) Calcular sus puntos críticos en el intervalo abierto (-π, π). b) Calcular los extremos relativos y/o absolutos de la función en el intervalo cerrado [-π, π] c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) en el punto (π/4, f(π/4)) 35.-junio 2004 Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima. 36.-junio 2004 Dada la función se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la recta en el punto P (a, f(a)), donde 0 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima. 42.-septiembre 2005 Dada la función

, definida para x>1, hallar un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f (x) en ese

punto sea paralela al eje OX. 43.-modelo 2006 Dada la función

se pide hallar sus máximos y sus mínimos locales o globales.

44.-modelo 2006 a) Hallar el punto P en el que se cortan las gráficas de las funciones:

b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P a cada una de las curvas anteriores y demostrar que son perpendiculares. 45.-modelo 2006 Se considera la función:

a) Calcular los extremos locales y/o globales en el intervalo [-π, π] b) Comprobar la existencia de, al menos, un punto c perteneciente al intervalo [-π, π] tal que f´´(c) =0 (Sugerencia: utilizar el teorema de Rolle). Demostrar que en c hay un punto de inflexión. 46.-junio 2006 a) Dibujar la gráfica de la función b) Demostrar que la sucesión

indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. es monótona creciente.

c) Calcular 47.-septiembre 2006 a) Calcular los valores de a y b para que la función:

Sea continua para todo valor de x. b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior.

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48.-modelo 2007 Obtener el valor de k sabiendo que:

49.-junio 2007 Se considera la función donde m >0 es una constante. a) Para cada valor de m halla el valor de a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas. b) Hallar el valor de m para que la recta

sea tangente a la gráfica de f(x).

50.-junio 2007 Dibujar la gráfica de la función:

Indicando su dominio, intervalos de crecimiento y asíntotas. 51.-modelo 2008 Se considera la función

.

a) Hallar sus asíntotas y sus extremos locales. b) Calcular los puntos de inflexión de f(x) y dibujar su gráfica. 52.-modelo 2008 Calcular: a)

b)

53.-junio 2008 Estudiar los límites: a)

b)

54.-junio 2008 Obtener los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función:

55.-modelo 2009 Sea:

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x). b) Hallar los máximos y mínimos locales de f(x). c) Dibujar la gráfica de f(x) 56.-modelo 2009 Sea: a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en x = 0. b) Estudiar cuando se verifica que f´(x) = 0. Puesto que f(1) = f(-1), ¿Existe contradicción con el teorema de Rolle en el intervalo [-1, 1]?

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57.- junio2009 Calcular el siguiente límite:

Según los valores del parámetro a. 58.-septiembre 2009 Dada la función:

a) Hallar los valores de los parámetros a y b para los cuales la función es continua en x = 0 b) Para a =b=1, estudiar si la función f es derivable en x = 0, aplicando la definición de derivada. 59.- septiembre 2009 a) Dada la función:

Hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente sea 1. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica f(x) en el punto x = 0 c) Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real y tal que g(0) = 0, g(2) = 2. Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0, 2) tal que g´(c) = 1. 60.- junio 2010. Fase específica Hallar: a)

b) lim x→0 (1+ 4x 2 )

2

x3

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! 61.- junio 2010. Fase específica Dada la función:

, donde Ln significa logaritmo neperiano, se pide:

a) Determinar el dominio de definición de f(x) y las asíntotas verticales de su gráfica. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). 62.-junio 2010. Fase general Dada la función:

Donde Ln x, significa logaritmo neperiano de x, se pide: a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en ℜ. b) Hallar los puntos de corte con los ejes coordenados. c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisas x = 1. 63.- septiembre 2010. Fase específica Obtener el valor de a para que:

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64.-septiembre 2010. Fase específica Dada la función:

Se pide: a) Estudiar y obtener las asíntotas. b) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad. c) Representar gráficamente la función 65.-septiembre 2010. Fase general Calcular los límites: a) b)

66.- modelo 2011 Calcular los siguientes límites: a) b) Siendo tanx la tangente trigonométrica de x 67.- junio 2011 a) Calcular el siguiente límite: b) Demostrar que la ecuación respuesta indicando que teoremas se usan.

, sólo tiene una raíz real cualquiera que sea el número m. Justificar la

68.-junio 2011 Dada la función

. Se pide:

a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo. b) Obtener las asíntotas de la gráfica de para a = 1 c) Esbozar la gráfica de la función para a = 1. 69.- septiembre 2011 Dada la función:

Hallar el valor de k para que f sea continua en x = 0 . Justificar la respuesta.

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70.- modelo 2012 Halla el valor de λ para que la función:

Sea continua. Razonar la respuesta. 71.- modelo 2012 Dado el polinomio siguientes:

, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las condiciones

•

El polinomio P(x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas

•

La recta tangente a la gráfica de P (x) en el punto

sea

, x = -1. .

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