Unidad 1 Matrices

y deterMinantes

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: • Identiicará qué es una matriz y cuáles son sus elementos. • Distinguirá los principales tipos de matrices. • Realizará operaciones básicas entre matrices y comprenderá sus propiedades. • Calculará determinantes aplicando la regla de Sarrus y el desarrollo por cofactores. • Aplicará el método de Cramer para resolver sistemas de n-ecuaciones con n-incógnitas.

Álgebralineal

Introducción

E

n esta unidad se estudiarán los conceptos de matriz y determinante, los cuales son una herramienta fundamental para realizar y simplificar cálculos con varias ecuaciones relacionadas entre sí, con muchas aplicaciones en ingeniería, física, economía, matemáticas y otras ciencias.

1.1. Matrices: Conceptos generales E1 propósito de esta sección es sentar las bases para aprender las distintas relaciones entre las matrices, para ello comenzaremos con la definición de vector renglón y vector columna. Definición 1.1. Un vector renglón de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera (n-ada): (x1, x2,…, xn)

(1)

Definición 1.2. Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera (n-ada):  x1     x2      xn 

(2)

En (1) o (2) x1 se llama primera componente del vector, x2 es la segunda componente y así sucesivamente. En general, xk se llama la k‑ésima componente del vector. Cualquier vector cuyas componentes sean todas cero se llama vector cero.

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Unidad 1

Ejemplo 1 a) ( – 1, 5) es un vector renglón con dos componentes.  3  b)  −2  5 

   es un vector columna con tres componentes.  

c) (0, 0, 0, 0 ) es un vector renglón cero con cuatro componentes.

Nota. La palabra ordenado en la definición de un vector es esencial. Dos vectores con las mismas componentes escritas en diferente orden no son iguales. Por ejemplo, los vectores (3, –5) y ( –5, 3) no son iguales (ver definición 1.12 más adelante). Las componentes de todos los vectores en este texto son números reales, los cuales llamaremos escalares. Por ejemplo, los números 2 , − π , 7, 3 5 son escalares. En realidad los vectores son tipos especiales de matrices, concepto que a continuación se define.

Definición 1.3. Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz es un arreglo rectangular de m × n números dispuestos en m renglones y n columnas de la forma:  a11   a21  ... A=  ai1  ...   am1 

a12 a22 ... ai 2 ... am 2

... a1 j ... a2 j ... ... ... aij ... ... ... amj

... a1n   ... a2 n  ... ...   ... ain  ... ...   ... amn 

Donde cada aij es un número llamado entrada o componente ij de la matriz A que se encuentra en el renglón i y en la columna j de A. En lugar del símbolo A se usa Am×n para remarcar de cuántos renglones y cuántas columnas consta. E1 i-ésimo renglón de A determina un vector renglón (ai1, ai2,..., ain), y la

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Álgebralineal  a1 j    a2 j j-ésima columna de A determina un vector columna   .       amj  Definición 1.4. Una matriz A que cuenta con m renglones y n columnas es de orden m×n y se denota por Am×n. En ocasiones se escribirá la matriz A como A = [aij]. Por lo general, las matrices se denotarán con letras mayúsculas.

Ejemplo 2  −5 a) A =   0  1  b) B =  −2  8 

4 c) C =  π

1  es una matriz de orden 2 × 2. Se denota A2×2 7

3  5  es una matriz de orden 3 × 2. Se denota B3×2 4 

−3

2

1 0  es una matriz de orden 2 × 4. Se denota C2×4 −2 7 

Existe una matriz que contiene el mismo número de vectores renglón que los vectores columna la cual se define a continuación. Definición 1.5. Si A es una matriz de orden m × n con m = n, entonces A es una matriz cuadrada, de orden n y las entradas a11, a22, a33, . . ., ann forman la diagonal principal.

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Unidad 1

Ejemplo 3  5 3 a) A2×2 =   es una matriz cuadrada y las entradas a11 = 5, a22 = 4  −1 4  son la entrada de la diagonal principal.  −2 3 1   b) B3×3 =  6 0 4  es una matriz cuadrada  −5 7 8    a11 = −2, a22 = 0, a33 = 8 forman la diagonal principal.

y

las

entradas

Definición 1.6. Una matriz cuadrada de orden n × n, cuyas entradas de la diagonal principal son iguales a uno y todas las demás son cero, se llama matriz identidad de orden n × n y se denota por In×n.

Ejemplo 4 1 a) I 2×2 =  0 1 b) I 3×3 =  0 0 

0  matriz identidad de orden 2 × 2. 1

0 0  1 0  matriz identidad de orden 3 × 3. 0 1 

Definición 1.7. Una matriz de orden m × n cuyas entradas son todas cero se llama matriz cero de orden m × n y se denota por 0m×n.

Ejemplo 5 0 a) 02×3 =  0 0 b) 03×2 =  0 0 

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0 0  matriz cero de orden 2 × 3. 0 0 0  0  matriz cero de orden 3 × 2 0 

Álgebralineal

Ejercicio 1  3 2 1 1. ¿Qué afirmación es verdadera respecto a la siguiente matriz  ?  4 2 0 a) Es una matriz cuadrada. b) Es una matriz de orden 3 × 2. c) Es una matriz de orden 2 × 3. d) Es una matriz identidad. 3  4 2. Dada la matriz B =  0 inciso:  4

2 8 1 3

1 0  0 −1  contesta lo que se te pide en cada 3 2  1 5 

a) Identifica el tercer renglón de B. b) Identifica la segunda columna de B. c) Identifica las entradas b31 , b22 , b34 . 3. a) Determina el número de renglones y de columnas, así como el orden de las matrices. b) Identifica la entrada a32 de A y la entrada b13 de B.  −1 0   2   A =  2 3  B =   4  5 1  

7 −5   −3 6 

4. a) Escribe la matriz identidad de orden 4 × 4. b) Escribe la matriz cero de orden 3 × 4.

1.2. Tipos de matrices En esta sección se definen algunos tipos de matrices, los cuales serán de utilidad a lo largo del texto.

Definición 1.8. Una matriz cuadrada A = [aij] de orden n se llama diagonal si todas sus entradas fuera de la diagonal principal son cero.

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Unidad 1

Ejemplo 6  −1 0 0  a) A =  0 4 0  es diagonal, ya que todas las entradas fuera de la  0 0 2   diagonal principal son cero. 0 0 0 1   0 −3 0 0  no es diagonal, ya que hay una entrada distinta b) B = 0 0 5 0    2 0 0 −1  de cero, b41 = 2, fuera de la diagonal principal. La existencia de matrices en las cuales por debajo o por encima de la diagonal son cero, se definen como matriz triangular superior y matriz triangular inferior.

Definición 1.9. Una matriz cuadrada A = [aij] de orden n se llama triangular superior si todas las entradas abajo de la diagonal principal son cero.

Ejemplo 7 3 5 1   a) A =  0 −1 0  es triangular superior, ya que todas las entradas abajo 0 0 4   de la diagonal principal son cero. 4 7 0 1   0 5 0 2 b) B =  no es triangular superior, ya que hay una entrada  0 −1 6 −3    0 0 8  0 distinta de cero, b32 = –1, abajo de la diagonal principal. Definición 1.10. Una matriz cuadrada A = [aij] de orden n se llama triangular inferior si todas sus entradas arriba de la diagonal principal son cero.

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Álgebralineal

Ejemplo 8  2 0 −1   a) A =  5 1 0  no es triangular inferior, ya que hay una entrada  0 3 −4    distinta de cero, a13 = –1 arriba de la diagonal principal.

0 0 0  3   0 5 0 0 b) B =  es triangular inferior, ya que todas las entradas − 2 1 0 0   7 −2 6   4 arriba de la diagonal principal son cero. Asociada a cualquier matriz A = [aij] de orden m × n hay una matriz de orden n × m, que es llamada transpuesta de A; ésta se define como sigue: Definición 1.11. Si A = [aij] es una matriz de orden m × n, su transpuesta denotada por AT es la matriz de orden n × m y se obtiene convirtiendo cada renglón de A en la columna correspondiente de AT.

Ejemplo 9  2 −1 3  a) Determina la transpuesta de A2×3 =    0 5 −2  A1 escribir cada renglón de A como la columna correspondiente de AT se tiene que  2 0   A =  −1 5  es de orden 3 × 2  3 −2    T

b) Determina la  1 0 5 4   B =  −2 1 3 −7   0 6 −1 8   

transpuesta

de

la

matriz

de

orden

3×4,

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Unidad 1 A1 escribir cada renglón de B como la columna correspondiente de BT se tiene que  1 −2 0    0 1 6 de orden 4 × 3 BT =  5 3 −1     4 −7 8  A continuación se definirán matrices simétricas y antisimétricas, y para ello se requieren los siguientes conceptos.

Definición 1.12. Dos matrices A y B son iguales, denotado A = B, si tienen el mismo orden y sus entradas correspondientes son iguales.

Ejemplo 10 9   5 9 5 a)  =  3 4   4 − 1 2    1 3 5   1 3 −5  b)   ≠  4 −1 3   4 −1 3 

Son iguales porque todas sus entradas correspondientes son iguales. Son distintas porque al menos una de sus entradas correspondientes no son iguales.

Definición 1.13. Si A = [aij] es una matriz de orden m × n, entonces se define –A como la matriz –A = [–aij] de orden m × n.

Ejemplo 11  −2 3 5  Si A =   , determina –A. Por definición de –A se tiene que  1 −4 −6  −3 − 5   2 −3 −5   −( − 2) −A =   =  − 1 −( − 4) −( − 6)   −1 4 6 

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Álgebralineal Definición 1.14. Una matriz cuadrada A de n × n es simétrica si A = AT.

Ejemplo 12  1 2 a) Determina si A =   es simétrica.  −2 3  Calculando la transpuesta de A se tiene que:  1 −2  T AT =   así A ≠ A . Por lo tanto, A no es simétrica.  2 3 2  1 −4   b) Determina si B =  −4 7 5  es simétrica.  2 5 0   Calculando la transpuesta de B se tiene que:  1  B =  −4  2  T

−4 7 5

2  5  así B = B T, de tal manera que B es simétrica. 0 

Definición 1.15. Una matriz cuadrada A = [aij] de orden n × n es antisimétrica T si A = − A

Ejemplo 13  1 −6  a) Determina si A =   es antisimétrica. 0 6  −1 6   1 6 T Como AT =   , entonces A ≠ − A . Así A no es  y − A=  −6 0   −6 0  antisimétrica.

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Unidad 1  0  b) Determina si B =  −1  1 

 0  Como B =  1  −1  T

−1 0 2

1 0 −2

−1   2  es antisimétrica. 0 

1  0   −2  y − B =  1  −1 0  

−1 1  0 −2  , entonces BT = − B . 2 0 

Por lo tanto, B es antisimétrica.

Ejercicio 2 1. ¿Cuál de las siguientes matrices 1 0 1 1 0 0   −1 0 0        A =  0 0 0  , B = 1 0 0  , C =  0 2 0  , 1 0 0 1 0 0   0 0 5      

 0 3 1 0 0 0 0 1 1       D =  0 0 −2  , E =  1 0 0  , F =  0 0 2  , 0 0 0 0 0 0 0 0 3       es de alguno de los tipos listados? a) Triangular superior. b) Triangular inferior. c) Diagonal. d) Nada de lo anterior. 2. Determina cuál de las siguientes matrices es simétrica: 3 2 a) A =    3 −5   1 −3 b) B =  −3 2  5 1 

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5  −1  4 

Álgebralineal  −2 1 0    c) C =  1 4 7   0 7 3    1   2 d) D =   3   −4

2 0 −1 7

3 −4  7 −1  5 6 6 9 

3. Di si las siguientes matrices son antisimétricas o no:  0 −3  a) A =   0 3  0 −2  b) B =  2 0  −3 5   0   −1 c) C =  −4  2 

3  5 0  1

4

0

2

− 2 −3

0 −5

−2   3  5 0 

1.3. Operaciones con matrices En esta sección presentaremos las operaciones matriciales básicas: suma, multiplicación por escalar y multiplicación matricial. Definición 1.16. Sean A = [aij] y B = [bij] matrices de orden m × n, la suma de A y B es la matriz de orden m×n A + B = [aij + bij] de m × n, es decir, A + B se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.

Nota. Si A y B son de distinto orden, entonces su suma no está definida.

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Unidad 1

Ejemplo 14  5 1 3 a) Determina la suma de A =   y B=   8  2×1  4 2  2×2 Como A y B tienen distinto orden no se pueden sumar. 5  7 −1  2 1 3 b) Determina la suma de A =    yB= 1 −2  3  − 4 0 5 Dado que A y B tienen el mismo orden se pueden sumar y  2 1 3  7 A+ B = +  − 4 0 5  3

5  2 + 7 1 −1 3 + 5   9 0 8 −1 =  = 1 −2   − 4 + 3 0 + 1 5 − 2   −1 1 3 

Cuando trabajamos con matrices, a los números los llamamos escalares. Las matrices serán reales y la multiplicación de un escalar por una matriz se define como sigue: Definición 1.17. Si c es un escalar y A = [aij] es una matriz de orden m × n, entonces la multiplicación del escalar c y la matriz A es la matriz cA = [caij] de m × n, es decir, cA se obtiene al multiplicar cada componente de A por c.

Ejemplo 15 1  −3   a) Para c = –1 y A =  6 0  , determina cA.  5 −2    1   (−1)(−3) (−1)(1)   3  −3      Por definición cA = (−1)  6 0  =  (−1)(6) (−1)(0)  =  −6  5 −2   (−1)(5) (−1)(−2)   −5     

 3 5 2 y A =  1  , determina cA. 5  2 1 2  3 5   ( 52 ) (3) ( 52 ) (5 )  65 Por definición cA =  1 = = 5  2 1   ( 52 ) ( 12 ) ( 52 ) (1)   15 b) Para c =

28

2 2 5

−1   0 2 

Álgebralineal La suma y la multiplicación por un escalar de matrices cumplen ciertas propiedades, éstas se resumen en el siguiente teorema. Teorema 1.1. Sean A, B y C matrices de orden m × n cualesquiera, y sean a y b escalares cualesquiera. Entonces son válidas las siguientes afirmaciones: 1) A + 0 = 0 + A = A

Elemento neutro aditivo (donde 0 representa la matriz cero de m × n).

2) A + B = B + A

Propiedad conmutativa para la suma.

3) (A + B) + C = A +(B + C)

Propiedad asociativa para la suma.

4) A + (–A) = (–A) + A = 0

Inverso aditivo.

5) a(A + B) = aA + aB

Propiedad distributiva de un escalar para la suma de matrices.

6) (a + b)A = aA + bA

Propiedad distributiva de suma de escalares por una matriz.

7) (ab)A = a(bA)

Propiedad asociativa de la multiplicación de escalares por una matriz.

8) 1A = A

Neutro multiplicativo.

Ahora definiremos el producto interno de un vector renglón y un vector columna. Esta definición será de gran utilidad en el concepto de producto matricial.  b1    b2 Definición 1.18. Sea a = (a1, a2, . . ., an) un vector renglón y b =   un  vector columna.    bn  Se define el producto interno de a y b (también llamado producto escalar o producto punto), denotado por a • b, como el escalar dado por a • b= a1b1 + a2b2 +. . .+ anbn

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Unidad 1 Nota. Al tomar el producto interno del vector renglón a y el vector columna b es necesario que a y b tengan el mismo número de componentes.

Ejemplo 16  2   a) Determina el producto interno de a = (1, 4, –3) y b =  1  1   Por definición  2   a • b = (1, 4, − 3) •  1  = (1)(2) + (4)(1) + (−3)(1) = 2 + 4 − 3 = 3 1    7  2 b) Determina el producto interno de a = (0, − 1, 2, 4 ) y b =   1   −1 Por definición:

 7  2 a • b = (0, − 1, 2, 4) •   1   −1

     

   = (0)(7) + (−1)(2) + (2)(1) + (4)(−1) = 0 − 2 + 2 − 4 = −4   

Las propiedades del producto interno se especifican en el siguiente resultado: Teorema 1.2. Sean a, b, c, tres n-vectores y sea α un escalar, entonces son válidas las siguientes afirmaciones: i) ii) iii) iv)

30

a•0 = 0 a •b = b• a a • (b + c ) = a • b + a • c (α a )• b = α (a • b )

Álgebralineal Ahora estamos listos para definir el producto matricial. Definición 1.19. Sea A = [aij] una matriz de orden m × n y B = [bjk] una matriz de orden n × p. Se define el producto de A y B como la matriz AB = [cik] de orden m × p, donde la entrada cik es el producto interno del i-ésimo renglón de A con la k-ésima columna de B; esto es  b1k    b cik = (ai1 , ai 2 , ..., ain )   2 k  = ai1b1k + ai 2b2 k +  + ain bnk       bnk 

Nota. El producto de A y B sólo está definido cuando el número de columnas de A es igual al número de renglones de B. De la definición 1.19. tenemos que si Am×n y Bn×p, entonces AB tiene orden m × p. Por ejemplo, (A3×5) (B5×7) = (AB)3×7

Ejemplo 17  4 Sean A =  2  −1 

0  1 4  −3  y B =   , determina AB  −1 3  2×2 5 3×2

 c11 Sea AB =  c21 c  31

c12   c22  , entonces c11 se obtiene como sigue: c32 

Como A tiene orden 3 × 2 y B tiene orden 2 × 2, entonces AB está definida y es de orden 3 × 2.

 4 Con A =  2  −1 

0  −3  5 3×2

 1 4 y B=   −1 3  2×2

b   1 así, c11 = (a11 , a12 )   11  = (4, 0)    = 4 − 0 = 4  −1  b21 

31

Unidad 1 Para calcular c12 se toma: b   4 c12 = (a11 , a12 )   12  = (4, 0)    = 16 + 0 = 16  3  b22  Continuando con el procedimiento anterior, se tiene que:  1 c21 = (2, −3)    = 2 + 3 = 5 ,  −1  1 c31 = (−1, 5)    = −1 − 5 = −6  −1  4 Por tanto, AB =  5  −6 

 4 c22 = (2, −3)    = 8 − 9 = −1 ,  3

 4 y c32 = (−1, 5)    = −4 + 15 = 11 .  3

16   −1  11 

Nota. La multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es, en general AB ≠ BA. Por ejemplo: 1 4  4 AB =     2 8   −1

−8   0 0   = 2 0 0

 4 −8   1 4   −12 −48  y BA =   =   2  2 8  3 12   −1 Las propiedades básicas de la multiplicación matricial definidas para matrices de Am×n, Bn×p y Cp×q, así como por la matriz 0 y la matriz identidad I, son resumidas en el teorema siguiente:

Teorema 1.3. La suma y producto de matrices están definidos, por lo que se tienen las siguientes propiedades: 1) 2) 3) 4) 5)

32

A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC IA = A y BI = B 0A = 0 y A0 = 0

Propiedad asociativa de la multiplicación. Propiedad distributiva izquierda. Propiedad distributiva derecha. Propiedad multiplicativa de la matriz identidad. Propiedad multiplicativa de la matriz cero.

Álgebralineal De estas propiedades observamos que las matrices A, B, C, cero (0) e identidad (I), deberán cumplir con la condición de orden para la multiplicación. Veamos cómo las operaciones matriciales básicas afectan la transposición.

Teorema 1.4. Con A y B matrices, c un escalar las propiedades para la matriz transpuesta están definidas como sigue: 1) 2) 3) 4)

T (A ) = A T T T (A + B ) = A + B T

Transpuesta de una matriz transpuesta. Transpuesta de una suma. Transpuesta de un producto escalar. Transpuesta de un producto de matrices.

T (cA ) = cA T T T ( AB ) = B A T

Ejercicio 3 1. Calcula las siguientes operaciones. Si no se puede, di por qué: 1

a)  0

1 1 −1  1 1 −1

b) −3  2

−1   0 1  +  1  1 2 

c)  5 

−2   7 + 7  10

8  −3 

1 2   4 3

d) − (1 −2 ) +   −2

3  7

 −6 

7   3

e)  4 −5  −  −5

−2   1 6 

2. Si es posible, calcula  3

a)   (1 2 )  4  3

b) (1 2)    4

33

Unidad 1 1

c)  4

 −3  d)  2  −7   −1  e)  1  4 

−2   1  0   −2

0 1 −5   0 4  3

2

0 2

1 7

2 −4 0 −1  0  5  −1   

3 3 3  2

4  0

5 0  2 1 0 2  −1 1 

3. Obtén el tercer renglón de AB si  3 4   A =  4 3, 1 2  

1 2 5 6 B=  6 5 2 1

4. Para las matrices  1 3 A= ,  −2 5 

 1 0 3 B= ,  −1 2 1 

 4 −1  C =   1 −3 

determina: a) (AT)T b) (A + C)T c) (AB)T

1.4. Determinantes de 2×2 y 3×3. Desarrollo por la regla de Sarrus El concepto de determinante fue descubierto por Cramer durante sus investigaciones acerca de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En la actualidad los determinantes se encuentran asociados de manera natural con las matrices. En este apartado estudiaremos uno de los métodos más sencillos para calcular determinantes de 2×2 y de 3×3: la regla de Sarrus.

34

Álgebralineal

Definición 1.20. Un determinante es una función que asocia una matriz cuadrada A de orden n a un escalar, que se denota por det A o A .

Ejemplo 18 3

2 3  , det A = A = −1  4

a) Si A =  4

4 b) Si B =  3 0 

2 −1

−1  4  1  , det B = B = 3 4  0

5 2 1

5 2 1

−1 1 4

A continuación se explicará la regla de Sarrus para calcular determinantes de matrices de 2×2 y de 3×3. Para matrices de 2×2 la regla de Sarrus dice:

Se efectúa el producto de elementos de la diagonal principal y a éste se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

La diagonal secundaria está formada por los elementos a21 y a12 . a

a 

Así, si A =  11 12  ,  a21 a22  det A =

a11 a21

a12 = a11a22 − a21a12 a22

Ejemplo 19  5 3

= (5)(1) − (−2)(3) = 5 − (−6) = 5 + 6 = 11 a) Si A =   , det A = −2 1  −2 1  4

7

5 3

= (4)(−2) − (1)(7) = −8 − (7) = −8 − 7 = −15 b) Si B =   , det B = 1 −2  1 −2  4

7

Para matrices de 3×3 la regla de Sarrus dice:

35

Unidad 1

Se repiten los dos primeros renglones después del tercero, obteniendo una matriz de 5×3. A continuación se efectúa la suma de los productos de la diagonal principal y de las dos “diagonales paralelas” a ella. A esta suma se restan los productos de los elementos de la diagonal secundaria y de las dos “diagonales paralelas” a ella:

En una matriz de 3×3 la diagonal secundaria es formada por los elementos a31, a22 y a13.

det A=

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a11

a12

a13

a21

a22

a23

= a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a21a12 a33 − a11a32 a23 − a32 a22 a13

Ejemplo 20  1

a) Si A =  − 4

0 5

 1 

1 det A = − 4 1 1

b) Si B =  4 1 

36

−2

0 5 −2

2 0 −2

−3   2 , 0 

1 0 −3 −4 5 2 = 1 −2 0 1 0 −4 5 −1   2 , −1 

−3 (1)(5 )(0 ) + (−4 )(−2 )(−3) + (1)(0 )(2 ) − 2 (−4 )(0 )(0 ) − (1)(−2 )(2 ) − (1)(5 )(−3) = 0 = 0 − 24 + 0 − 0 + 4 + 15 = −3 −5 2

Álgebralineal

1 det B = 4 1

2 0 −2

1 −1 4 2 = 1 −1 1 4

2 0 −2 2 0

−1 (1)(0 )(−1) + (4 )(−2 )(−1) + (1)(2 )(2 ) − 2 (4 )(2 )(−1) − (1)(−2 )(2 ) − (1)(0 )(−1) = −1 = 0+8+ 4+8+ 4+0 = −1 24 2

Nota. Es importante subrayar que la regla de Sarrus sólo se aplica a determinantes de 2×2 y 3×3.

Ejercicio 4 1. Encuentra los siguientes determinantes usando la regla de Sarrus: −2 = 0

a)

3 6

b)

7 5 = −1 3

5 c) 6 −1 1 d) 8 −3

0 2 0

−1 1 2

−3 1= 2 0 3= −1

1.5. Determinantes y desarrollo por menores y cofactores Vimos en la sección anterior que la regla de Sarrus sólo es aplicable a determinantes de 2×2 o de 3×3. ¿Cómo podemos encontrar el determinante de una matriz de orden 5×5? La respuesta a esta pregunta la daremos en esta sección donde emplearemos el método de menores y cofactores.

37

Unidad 1

Definición 1.21. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea Mij la matriz de (n–1)×(n–1) obtenida de A eliminando el renglón i y la columna j. Mij se llama menor ij de A. Nota. Es posible que el lector encuentre otros textos donde se defina al menor como el determinante de la matriz Mij, sin embargo, a lo largo de este libro llamaremos menor sólo a la matriz Mij.

Ejemplo 21 −1 4 1 5 3 −4 3 5

9  −3  encuentra los menores M 13 y M 32 5  6  Para encontrar el menor M13 eliminamos de A el primer renglón (2, −1, 4, 9 ) 2  0 Sea A =  6  0

 4  5 y la tercera columna  −4   5  0 1 −3    5 entonces M 13 =  6 3 0 3 6  

2    0  , tal como se ilustra: A =   6    0

−1 1 3 3

4 5 −4 5

9  −3  , 5  6 

Para encontrar el menor M32 eliminamos de A el tercer renglón 4 9  2 −1  −1      1  0 1 5 −3  , así: A =  , (6, 3, −4, 5 ) y la segunda columna   3  6 3 −4 5      3  3 5 6  0 entonces M 32

2  = 0 0 

4 5 5

9  −3  6 

Definición 1.22. Sea A una matriz de orden n. El cofactor ij de A, denotado por Aij, se obtiene tomando el determinante del menor ij y multiplicándolo por (–1)i+j. Aij = (−1)

i+ j

38

M ij

Álgebralineal Observa que (−1)

i+ j

 1 si i + j es par = −1 si i + j es impar

Ejemplo 22

1  2 Encuentra los cofactores A32 y A24 de la matriz A =  1  4

−3 4 5 0

Para encontrar el cofactor A32 encontramos el menor M 32 entonces A32 = (−1)

3+ 2

5 0 9 2

6  3 −2   7 

1 5 6   =  2 0 3 , 4 2 7  

1 5 6 2 0 3 = (−1) [(0 + 24 + 60) − (70 + 6 + 0) ] = (−1) (84 − 76 ) = −8 4 2 7

(Observa que como 3+2 es impar (−1)

3+ 2

= −1 ).

Mediante el mismo procedimiento encontramos el cofactor A24: A24 = (−1)

2+ 4

1 −3 1 5 4 0

5 9 = 1[(10 + 0 − 108) − (−6 + 0 + 100) ] = −98 − 94 = −192 2

(Observa que como 2+4 es par (−1)

2+ 4

= 1 ).

Ahora definiremos el determinante de una matriz de orden n mediante el desarrollo de cofactores; asumimos que ya sabemos lo que es un determinante de (n–1)×(n–1).

Definición 1.23. Sea A = [a ij] una matriz de orden n. Entonces el det(A) = |A| puede ser evaluado desarrollando por cofactores a lo largo de cualquier renglón o cualquier columna de la siguiente manera: det(A) = A = (−1)i +1 ai1 M i1 + (−1)i + 2 ai 2 M i 2 + ... + (−1)i + n ain M in

(*)

39

Unidad 1

o

det(A) = A = (−1)1+ j a1 j M 1 j + (−1) 2 + j a2 j M 2 j +  + (−1) n + j anj M nj

(**)

para i = 1, 2, . . ., n (renglones) o j = 1, 2, . . ., n (columnas).

Ejemplo 23 1  a) Calcula el determinante de A =  1 5 renglón. 

0  −2  a lo largo del segundo 2 

3 4 1

En este caso, i = 2 y n = 3, entonces aplicando (*) se tiene que: A = (−1) 2 +1 a21 M 21 + (−1) 2 + 2 a22 M 22 + (−1) 2 + 3 a23 M 23 = (−1)(1)

3 0 1 0 1 3 + (1)(4) + (−1)(−2 ) 1 2 5 2 5 1

=(–1)(6)+(4)(2)+(2)(1–15)=–6+8–28=–26 2 3 b) Calcula el determinante de A =  1 4 5 1 columna. 

0  −2  a lo largo de la tercera 2 

En este caso, j = 3 y n = 3, entonces aplicando (**) se tiene que: A = (−1)1+ 3 a13 M 13 + (−1) 2 + 3 a23 M 23 + (−1)3+ 3 a33 M 33

= (1)(0)

1 4 2 3 2 3 + (−1) (−2 ) + (1) (2) 5 1 5 1 1 4

= (0) + (2)(2 – 15) + (2)(8 – 3) = –26 + 10 = –16 Nota. Por lo general, se trata de desarrollar un determinante respecto al renglón o columna que tenga más ceros. Con esto se evita el cálculo de algunos de los menores, ya que el valor del determinante es único. En el siguiente teorema se resumen las propiedades básicas de los determinantes.

40

Álgebralineal

Teorema 1.5. Sean A y B matrices de orden n, entonces: 1) Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces detA=0. 2) Si A tiene dos renglones o columnas que son iguales, entonces det A=0. 3) Si A tiene dos renglones o columnas que son múltiplos entre sí, entonces det A=0. 4) El determinante de AT es igual al determinante de A, esto es det AT = det A.

5) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes de cada una de las matrices, esto es det AB = (det A )(det B ) .

Ejemplo 24 a) det A =

−5 3 2 1 0 3 0 0 0 = 0 det B = 4 0 5 = 0 −1 3 1 −2 0 2

Tienen un renglón o columna de ceros (propiedad 1). 3 1 5 6 b) det A = −2 4 0 = 0 det B = 1 3 1 5 −2

−1 4 7

6 1 =0 −2

Tienen dos renglones o columnas iguales (propiedad 2). 1 2 3 2 c) det A = −2 6 5 = 0 det B = 0 2 4 6 1

−5 3 4

6 0 =0 3

Tienen dos renglones o columnas que son múltiplos entre sí (propiedad 3).

d)

a)

det A =

2 5 2 = −1 7 5

14 + 5 = 19

−1 = det AT (propiedad 4). 7

14 + 5 = 19

3 4 6 det ( AB ) = det    0 1 4

3 4 6 det A det B =   0 1 4

0  34 − 4    = det   = −34 + 16 = −18 −1    4 − 1

0 = (3)(−6) = −18 −1

(propiedad 5).

41

Unidad 1

Ejercicio 5 1. Evalúa los determinantes respecto al renglón o columna que se pide: −5 a) 3 −1 2

b) 3 7

2 −1 1

1 4 respecto al segundo renglón. 1

−4 5 2 −1 respecto a la tercera columna. 0 −6

2. Encuentra el determinante utilizando las propiedades del teorema 1.5 e indica cuál de ellas usaste: 4 5 −1 a) 6 7 1 = 4 5 −1 5 b) 0 7 1 c) 4 5 0 d) 0 0

−2 3 0 0 = −8 10

−2 4 −8 16 = 7 4 2 8 1

6 −8 = 1

3. Dadas las matrices  3 −5  A = 4 2  6 −10 

1  −3 5   1 −3   6, B =   y C =   4 2  7 −6  2 

comprueba lo siguiente: (a) det(A) = 0 (b) det(B) = det(BT) (c) det(B C) = det(B) det(C)

42

Álgebralineal

1.6. Solución de sistemas lineales n×n empleando la Regla de Cramer En esta sección explicaremos un método muy útil, llamado Regla de Cramer, para resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n variables que tenga una solución única. El término lineal proviene de la palabra línea. La ecuación de una línea en el plano xy es una ecuación de la forma: ax + by = c

(1)

donde a, b y c son constantes, y a y b no son ambas cero. En general, una ecuación lineal en las variables x1, x2 , . . ., xn es una ecuación de la forma: a1x l + a2 x2 + ...+ anxn = b

(2)

donde a1,a2 ,. . .,an y b son constantes, y a1,...,an no son todas cero. Una solución de la ecuación lineal (2) es una sucesión de números t1, t2 ,...,tn, tales que si sustituimos x1 = t1, x2 = t2 , . . . , xn = t n en (2) se cumple la igualdad. Resolver una ecuación lineal significa encontrar todas sus soluciones; el conjunto de soluciones se llama conjunto solución.

Ejemplo 25 Resuelve la ecuación lineal 4x–5y = 3. Despejando y de la ecuación obtenemos que y =

resolver se tiene que c ∈ R con x = c, por lo que y =

4x − 3 . Entonces para 5

4c − 3 es la solución de la 5

ecuación. Con frecuencia deseamos resolver varias ecuaciones lineales al mismo tiempo. Una colección finita de ecuaciones lineales en las variables x l , x2 , . . ., xn se llama sistema de ecuaciones lineales. En esta parte daremos una regla para resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n variables, esto es un sistema de la forma:

43

Unidad 1 a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = b2

(3)

 an1 x1 + an 2 x2 +  + ann xn = bn

Una solución del sistema lineal (3) es una sucesión de n números t1, t2 ,...,t n con la propiedad de que cada ecuación de (3) se satisface cuando x1 = t1, x2 = t2 ,. . ., xn = t n son sustituidas en (3). Definición 1.24. Un sistema lineal que no tiene solución se llama inconsistente. Un sistema lineal con al menos una solución es consistente. E1 sistema lineal (3) se puede expresar como una ecuación matricial de la siguiente forma: Ax=b. (4) donde  a11  a A =  21     an1

a12  a1n   x1   b1       a22  a2 n  x b , x= 2 y b= 2              an 2  ann   xn   bn 

La ecuación (4) es la ecuación matricial asociada al sistema (3), y la matriz A es la matriz de coeficientes del sistema (3).

Ejemplo 26 Determina la ecuación matricial del sistema lineal siguiente: 2x − 3y + 4z = 5 4x −z=2 − x + y + 2z = 1

La ecuación matricial del sistema está dada como:  2   4  −1 

44

−3 0 1

4 x   5     −1   y  =  2  2   z   1 

Álgebralineal Antes de enunciar la Regla de Cramer, daremos una interpretación geométrica del conjunto solución de un sistema lineal de 2×2. Considera un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables: a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2

Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una recta en el plano xy. Así, geométricamente se tienen tres casos: (1) Si las rectas se cortan en un punto, entonces el sistema tiene una solución dada por el punto de intersección. (2) Si las rectas son paralelas, entonces el sistema no tiene solución. (3) Si las rectas coinciden, entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones, representadas por todos los puntos sobre la recta. Las siguientes figuras ilustran dichas condiciones:

Figura 1.1

Figura 1.2

Figura 1.3

Ahora enunciamos la Regla de Cramer, la cual proporciona un algoritmo para resolver sistemas lineales de n ecuaciones con n variables.

Teorema 1.6. (Regla de Cramer) Sea Ax = b la ecuación matricial de un sistema lineal de n ecuaciones con n variables. Si el det A ≠ 0 , entonces el sistema lineal tiene una solución única dada por: x1 =

det ( An ) det ( A2 ) det ( A1 ) , x2 = ,  , xn = det(A) det ( A) det ( A)

45

Unidad 1

donde Ai con i = 1, 2, . . ., n es la matriz que se obtiene al reemplazar la

 b1    b i-ésima columna de A por el vector columna b =  2  esto es :     bn   a11 a12  a1i −1 b1 a1i +1  a1n    Ai =        a   n1 an 2  ani −1 bn ani +1  ann 

Ejemplo 27 Aplica la Regla de Cramer para resolver el sistema: 2x − y = 7 4 x + 3 y = −1 2 A= 4

−1   7   7  y B=   , entonces A1 =  − 3 1    −1

−1  , 3

2 A2 =  4

7  −1 

y det(A) = 10, det(A1) = 20 y det(A2) = –30, por lo tanto: x=

det ( A1 ) 20 = =2 det(A) 10

y

y=

det ( A2 ) −30 = = −3 det(A) 10

Ejemplo 28 Aplica la Regla de Cramer para resolver el sistema: x+ y−z = 2 x− y+z =3 −x + y + z = 4

1 −1   1  2     Sea A =  1 −1 1 , b =  3   −1  4 1 1    1 −1  2  1    1 , A2 =  1 Entonces A1 =  3 −1 4  −1 1 1  

46

2 3 4

−1  1  1   1 , y A3 =  1 −1  −1 1 1 

2  3 4 

Álgebralineal de tal manera que x=

det ( A3 ) −14 7 det ( A2 ) −12 det(A1 ) −10 5 = = , y= = = 3, z = = = det ( A) det ( A) − 4 2 −4 −4 2 det ( A)

Ejercicio 6 1. Aplica la Regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas: a) 2 x − y = 8 3x + y = 7

b) 2 x + 3 y = −4 5x + 2 y = 2

c) 2 x − y + z = −1 3 x + 4 y − z = −1 4 x − y + 2 z = −1

d) x + 2 y + 3z = 1

y + 4z = 1 z =1

e) 3x − 3 y −2 z = 2 −x − 4 y + 2z = 7 5x + 4 y+ z = 3

Ejercicios resueltos

3 5 −4 1

0

1 1 

7 

1. Considera la siguiente matriz A =  1 2 −8 6 −3  y encuentra: a) El primer renglón:

0

8

(3 5 −4 1 0)

b) La tercera columna:  −4    −8   0  

47

Unidad 1 c) El orden: Como tiene 3 renglones y 5 columnas es de orden 3×5. d) Los elementos a35, a14 , a22: El elemento a35 se encuentra en el tercer renglón y en la quinta columna: 7. El elemento a14 se encuentra en el primer renglón y en la cuarta columna: 1. El elemento a22 se encuentra en el segundo renglón y en la segunda columna: 2. 2. Menciona si las siguientes matrices son simétricas o antisimétricas o ninguna de las dos:  4 5 3 a) A =  5 2 1  3 1 7  

Encontramos la matriz transpuesta convirtiendo los renglones en columnas:  4 5 3   AT =  5 2 1  Como A = AT podemos asegurar que A es simétrica. 3 1 7  

 0 b) B =  −5  8 

5 0 −3

−8   3 0 

 0 Encontramos la matriz transpuesta B =  5  −8  8  0 −5   −B =  5 0 −3   −8 3 0   T

−5 0 3

8  −3  y 0 

Como BT = − B podemos asegurar que B es antisimétrica.  1 5

c) C =    −4 7 

48

Álgebralineal 1

Encontramos las matrices C T y −C : C T =  5

−4   −1 −5   −C =   7  4 −7 

C ≠ CCT podemos afirmar que no es simétrica. Como C

Como CCT ≠ −C podemos afirmar que tampoco es antisimétrica. 3. Encuentra las siguientes matrices:  8 −4   −3

1

a)  +   6 −8   0 −5  Como son del mismo orden sí se puede efectuar la suma, para ello sumamos cada una de las entradas correspondientes: 1  8 − 3 −4 + 1   5 −3   8 −4   −3  + = =   6 −8   0 −5   6 + 0 −8 − 5   6 −13   3

b) (4 −1 0 )•   0  

Como la primera matriz es de orden 1×3 y la segunda de 2×1, no se puede efectuar el producto interno:  1 5  1 −1 c)  −4 0   3  2 0   −2  

0 0

2 −1

5  4

Como las matrices son de orden 3×2 y 2×5, el producto sí se puede realizar y nos dará una matriz de orden 3×5:  1 5   1  −4 0   −2  2 0    14  −9  =  −4 4  2 −2 

−1 3 0 0 0

0 0

−3 −8 4

2 −1

25   −20  10 

1 −110 −1 + 15 0 2 − 5 5 + 20  5   4 0 −8 −20   = −4 4   −2 0 4 10   2

Empleamos los siguientes productos internos para obtener los resultados:  1  −1  (1 5) •   = 1(1) + 5(−2) = 1 − 10; (1 5) •   = 1(−1) + 5(3) = −1 + 15; etc.  −2   3

49

Unidad 1 4. Calcula los siguientes determinantes por la Regla de Sarrus: a)

5 7

b)

−1 = (5 )(2 ) − (7 )(−1) = 10 + 7 = 17 2

1 −2 1 3 −2 1

0 2 Repetimos los dos primeros renglones para obtener una −1

matriz de 5×3. 1 −2 1 3 1 −2 1 −2 1 3

0 2 [(1)(3))(−1) + (1)(1)(0) + (−2)(−2)(2)] − (1)(−2)(−1) + (1)(1) (2 ) + (−2) (3)(0)  = (−3 + 0 + 8) − (2 + 2 + 0) = −1 = 5 − 4 =1 0 2

5. Calcula el siguiente determinante por el método de los cofactores: 5 2 2

−1 6 −1

0 6 3 =5 −1 −2

3 2 − (−1) 2 −2

3 2 +0 2 −2

= 5 (−12 + 3) + 1(−4 − 6 ) + 0 = −45 − 10 = −55

6 −1

6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando la Regla de Cramer: a) 3 x − 2 y = 5 2 x + 5 y = −3

Se forma el determinante A de los coeficientes y los determinantes A1 y A2: det A =

3 2

−2 = 15 + 4 = 19 5

5 −2 = 25 − 6 = 19 5 −3 3 5 det A2 = = −9 − 10 = −19 2 −3 det A1 =

Se encuentra cada una de las variables: x=

50

det A1 19 det A2 −19 = =1 y = = = −1 det A 19 det A 19

Álgebralineal b) x − 2 y + z = 0 3x + y − z = 4 x− y−z=2 Se forma el determinante B de los coeficientes y los determinantes B1, B2 y B3: 1 −2 1 det B = 3 1 −1 = 1(–1–1)+2(–3+1)+1(–3–1)=–2–4–4= –10 1 −1 −1 0 det B1 = 4 2 1 det B2 = 3 1 1 det B3 = 3 1

−2 1 −1 0 4 2 −2 1 −1

1 −1 = 0(–1–1)+2(–4+2)+1(–4–2)= –4–6= –10 −1 1 −1 = 1(–4+2)+0(–3+1)+1(6–4)= –2+2= 0

−1 0 4 = 1(2+4)+2(6–4)+0(–3–1)=6+4=10 2

Se encuentra cada una de las variables: x=

det B1 −10 =1 = det B −10

y=

det B2 0 = =0 det B −10

z=

det B3 10 = = −1 det B −10

51

Unidad 1

Ejercicios propuestos 1. Encuentra la matriz transpuesta AT de cada caso y menciona si la matriz A es simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos:  1  a) A =  −3  4 

−3 5 0

 0  c) A =  −1  −2 

1 0 3

4  0 2 

2  1  b) A =  −2 0  −3 − 4 

3  4 0 

2  −3  0 

2. Calcula las operaciones con matrices si es posible, si no se puede explica por qué: 3 a)  0 1 

3 b)  0 8 

2 4 −1 2 1 −1

1  3   −3  +  4 0   −1 1  4   −1  +  3 3   −2

 3  3 2 1   c)    2 =  2 4 5  1   

 2 1 d)   (2 3) =  4 3  3 e)  4  −1 

52

2 0 1

1  −1  2 

−2   0 = 3  5 0 4

2  −1  = −3 

 2 1 3    4 1 2 = 0 0 1  

Álgebralineal

3. Encuentra el determinante mediante la Regla de Sarrus: 3 5 2

2 −1 4

1 0 = 3

4. Encuentra el determinante mediante el desarrollo por menores: 3 0 −2

−1 2 = −3

2 4 1

5. Aplica la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + 3 y − z = −3 x − 2y + z = 5 x + y − 2z = − 4

Autoevaluación 1. Es una matriz de orden 3×2: 4 a)  5 3 

3 1 4

1 b)  0

−1 1

2 d)  3

5  −1 

2  c)  3 4 

1  2 −1 

2  −1  2 

0  −1 

53

Unidad 1  1  −1 2. Es el elemento a42 de la matriz A =   0   5 a) 0 b) 1 c) 4 d) 6

2 4 −1 0

−3 6 3 −1

−1   1 : −2   2 

3. Es la matriz identidad de orden 3×3: 1 0 1 a)  0 1 0  0 0 1  

0 1 1 b)  1 0 1  1 1 0   1 0 0 c)  0 1 0  0 0 1  

1 0 1   d)  0 1 0  1 0 1  

T 4. Las matrices cuadradas que satisfacen la propiedad A = A se llaman:

a) Transpuesta b) Simétrica c) Antisimétrica d) Identidad 5. Una matriz antisimétrica satisface la propiedad: a) b) c) d)

54

AT = A A = −A AT = I AT = − A

Álgebralineal

6. Es una matriz simétrica:  3 2 1 a)  2 4 5  1 5 0  

 3 2 1 b)  2 4 5   3 2 1    3  c)  −2  −1  1 d)  0 0 

2 4 5 4 3 0

1  −5  6 

0  1 −3 

7. Es una matriz antisimétrica: 4  1  a)  − 4 1  −3 −2   0  b)  −1  2 

1 0 3

 1 1 1   c) 1 1 1  1 1 1   0  d)  0 0 

−1 0 0

3  2 1 

−2   −3  0 

1  3 0 

55

Unidad 1  4 2    2 1 8. Es el resultado de la suma de  1 3  +  :  2 5   3 1    6 3 a)    4 4 10 6    b)  11 4  19 7   

c) No se puede realizar la operación.  6 3   d)  3 4   4 6  

 4 3  5    9. Resulta de  2 1  +  1  1 0   −1    9 0   a)  3 1   0 3  

−3   0 3 

−9   0 0 

 20 b)  2  −1 

 9    c)  2   −1     11  d)  2  −1 

    

 4 10. Resulta de (3 2 −1) •  1  0  

56

Álgebralineal 12  a)  2  0   b) 14  7    c)  3   −1    d) 13  4  2 1 3  11. Es el producto matricial de   −2  4 0 1  2  12 5  a)    18 8 

2 1 : 0 

12 18  b)   5 8 c) No se puede realizar la operación. 12    5 d)    18    8

12. Es falsa la siguiente afirmación: a) (AT ) = A T b) ( AB ) = AT BT T c) ( AB ) = BT AT T d) ( A + B ) = AT + BT T

3  13. Es el cofactor A32 de la matriz A =  2 2  a) –5

0 4 1

−1   1 : −1 

b) 5

57

Unidad 1 c) 1 d) –1 3  14. Encuentra el determinante de la matriz A =  2 1  a) 8 b) –12 c) 6 d) 0

2 0 2

1  −1  0 

15. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales aplicando la Regla de Cramer: 2x − 5 y = 7 3x + 2 y = 1 a) x = −1; y = 1

b) x = 1; y = −1

c) x = −1; y = d) x =

58

19 11

19 ; y = −1 11

Álgebralineal

Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. c) 2. a) (0, 1, 3, 2)  2   8 b)   1    3

c) b31 = 0 b22 = 8 b34 = 2

3. a) A: 3 renglones, 2 columnas, orden 3×2; B: 2 renglones, 3 columnas, orden 2×3. b) a32 = 1 b13 = −5 4. a) I 4×4

1  0 = 0  0

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 0  1 

0 0 0 0 b) A =  0 0 0 0  matriz cero de orden 3×4   0 0 0 0  

59

Unidad 1

Ejercicio 2 1. a) Triangular superior: D, F, C. b) Triangular inferior: C, E, B. c) Diagonal: C d) Ninguno de los anteriores: A. 2. Son simétricas: A, C y D. 3. a) Sí b) No c) Sí

Ejercicio 3 1 0  a)   1 3  1.

 −3 b)   −3 9 c)  15

−3 3   −3 3  6  4

d) No son del mismo orden 5  −9   e)  9 −6   −9 1   3 6 a)    4 8 b) 11 c)  5 10 4 8 2.

 −3 d)  2  −7 

60

−3 4   12 16 

0 −9   5 −4  −4 −13 

1 7 e)  0 7   25 15   

Álgebralineal 3. (13, 12, 9, 8)  1 3 a)    −2 5   5 −1  b)   2 2  −2 −7    c)  6 10   6 −1    4.

Ejercicio 4 1. a) 12 b) 26 c) 14 d) –6

Ejercicio 5 1. a) 13 b) –138 2. a) 0, tiene 2 renglones iguales. b) 0, tiene un renglón de ceros. c) 0, el renglón 2 es múltiplo del renglón 1. d) 0, tiene una columna de ceros.

Ejercicio 6 1. a) x = 3; y = −2

14 −24 ; y= 11 11 c) x = −1; y = 1; z = 2 b) x =

d) x = 4; y = −3; z = 1

e) x = 1; y = −1; z = 2

61

Unidad 1

Respuestas a los ejercicios propuestos  1  a) A =  −3  4 

−3 5 0

1.

T

1 b) A =  2 3  T

0 c) A =  1 2  T

−2 0 4

−1 0 −3

4  0   A es simétrica 2 

−3   −4   A no es simétrica ni antisimétrica 0  −2   3   A es antisimétrica 0 

2. a) No se puede porque no son del mismo orden. 7 b)  3 6 

14  c)   19 

7 1 3

3  −2  0 

d) No se puede porque son de orden 2×2 y de orden 1×2 14 5 14    e)  8 4 11  2 0 1   3. det = –17 4. det = –58 5. x = 1; y = –1; z = 2

62

Álgebralineal

Respuestas a la autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15

c) a) c) b) d) a) b) c) a) b) a) b) a) a) b)

63