Cátedra I Estadística II Autores I Patricia Caro y Nora Chiavasa

Objetivos Se pretende, que el alumno, luego de estudiar el presente Capítulo, sea capaz de: • • • •

Entender la filosofía del Control de Calidad. Conocer los principios y procedimientos fundamentales referentes al Control Estadístico de Calidad. Elaborar e interpretar Gráficos de Control. Aplicar la metodología en distintas situaciones problemáticas.

Contenidos 1. Concepto e importancia: su aplicación en el ámbito de la producción y de los servicios. 2. Gráficos de control estadístico para variables y para atributos. 2.1. Gráfico de control para variables. 2.2. Gráfico de medias muestrales. 2.3. Gráfico de rangos muestrales. 2.4. Gráfico de control para atributos. 3. Estudio de capacidad de procesos: concepto, aplicaciones. 4. Nociones acerca de “Muestreo de Aceptación”.

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Introducción Al pensar en los objetivos de una empresa seguramente diríamos que el interés principal de la misma es el de brindar productos o servicios de calidad, que satisfagan las expectativas de los clientes, que se fabriquen cumpliendo las normas y especificaciones definidas y que se obtengan a un costo tal que proporcionen una ganancia razonable. Por otro lado, podemos decir que el proceso de globalización y la apertura de mercados que se ha desarrollado en las últimas décadas ha provocado que las organizaciones en general, y las empresas en particular, deban actuar en mercados altamente competitivos y con clientes cada vez más exigentes en cuanto a los requisitos de calidad. Este hecho ha inducido un marcado interés, particularmente, por reducir costos y por la calidad de los productos que se ofrecen. Esta problemática ha llevado al desarrollo de teorías, principios, técnicas y actividades que han logrado captar el interés de tal manera que se vienen incorporando de forma gradual en la dinámica de las empresas, las que están tomando conciencia de que para obtener buenos rendimientos es necesario mejorar la calidad de manera sistemática. Si bien las diferentes prácticas han ido evolucionando a través del tiempo y se han adaptado a la realidad y situación de las organizaciones, podemos decir que las principales técnicas difundidas son:


Las 7 herramientas estadísticas

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

El control estadístico de proceso. Los diagramas causa-efecto. Los diagramas de Pareto. La obtención sistemática de datos. La regresión estadística. Las curvas de distribución normal. Los histogramas de frecuencias.

Desarrollaremos fundamentalmente en este Capítulo lo relativo al Control Estadístico de Proceso.




El diseño de la calidad

Esta técnica incluye los conceptos de Confiabilidad, Fiabilidad y Seguridad. Si bien no los desarrollaremos, porque excede el alcance del presente trabajo, podemos decir que están relacionados con el mantenimiento de la calidad a lo largo del tiempo y de las condiciones iniciales, más allá del uso inapropiado de un producto y con la fiabilidad vista desde el punto de vista del usuario.




Los círculos de calidad

Son grupos pequeños, de 4 a 10 personas de la organización, que se reúnen de manera habitual y voluntaria a discutir los problemas que se detectan, y mediante la aplicación de las diversas técnicas explicitadas más arriba, proponen soluciones. Estos grupos fueron concebidos como verdaderos centros de educación y participación democrática.

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Antes de comenzar con las herramientas estadísticas aplicadas en este campo, haremos un poco de historia y definiremos los conceptos básicos referidos el tema. Historia Podemos decir que el control de calidad es tan antiguo como la industria misma y que siempre hubo una idea intuitiva de lo que estaba bien hecho y de lo que no; pero si nos detenemos en la historia un poco más reciente observamos que el siglo XX se ha caracterizado por el fenómeno de la producción masiva en grandes fábricas, dejando de lado los pequeños talleres manejados por un grupo reducido de personas y donde el responsable de la calidad final de los productos elaborados podía manejar, casi personalmente, aspectos relativos a las materias primas, al proceso de manufactura, a los trabajadores, entre otros. Por otra parte, junto al transcurso del tiempo los productos se hicieron más complejos y con ello los procesos, generando organizaciones formadas por numerosos trabajadores, profesionales y directivos entre quienes se repartía el resultado final del producto. Habitualmente se delegaba el control o inspección en un grupo particular, generalmente llamado Departamento de Inspección, y la metodología de control utilizada era la observación directa del producto y la “inspección 100%” de aquellas características consideradas críticas o muy importantes, separando los productos que presentaban problemas o no cumplían con los estándares definidos. El Dr. Walter Shewart, por el año 1924, perteneciente a los Laboratorios Bell Telephone, fue el primero en introducir el concepto de control durante el proceso de fabricación; es decir, no esperar al producto terminado para descubrir aquella falla que provoca la no calidad final, y para esto desarrolló diagramas de control de las operaciones de manufactura. Más allá de este primer e importante antecedente, podemos decir que el Control Estadístico de Calidad se desarrolló de manera substancial durante la Segunda Guerra Mundial a raíz de la necesidad de fabricar armamento en cantidad y al menor costo posible. Las técnicas que había hasta el momento se mejoraron y se extendieron a diversos rubros y países con rapidez. El uso de la computadora en este campo permitió también su mejoramiento y desarrollo. Si bien, como ya dijimos, estas técnicas nacen en los Estados Unidos, hubo un país que a raíz de la destrucción sufrida luego de la Segunda Guerra Mundial decide actualizar sus métodos de producción y comenzar un acelerado proceso de desarrollo industrial. Ese país fue Japón, que decide aplicar una “nueva filosofía” en el campo de la producción y logra llevar adelante una tarea extraordinaria de mejoramiento que logra con la ayuda de otro americano pionero en el Control de Calidad como fue el Dr. W Edwards Deming, un funcionario del Departamento de Agricultura estadounidense. La clave de esta nueva filosofía estaba centrada en pocos ejes, pero que resultaron sustanciales a la hora de lograr el “éxito del modelo japonés”. Esos ejes son: hacer hincapié en la mejora continua de los procesos y no tanto en la inspección, tomar conciencia de que cada miembro de la empresa es responsable y contribuye con su tarea en el resultado final y por último, ver al cliente como el que juzga la calidad final de un producto. Esta nueva filosofía requirió del apoyo explícito del nivel gerencial de las empresas como así también de la capacitación permanente de sus miembros; tal vez sea ésta la condición fundamental que logró de Japón un país de vanguardia en cuanto a fabricación y calidad en el mundo. Por último, es importante mencionar también que fue Japón el país que introduce el concepto de Calidad Total, al aplicar esta metodología no sólo a la línea productiva industrial sino extendiéndola a otras áreas de la empresa como la administrativa, ventas, compras, etc.; inclusive expandiendo estas prácticas a otros terrenos como las empresas comerciales y de servicios (bancos, cines, hospitales y reparticiones públicas).

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Durante los años 1980 se incrementa el uso de los diferentes métodos de mejoramiento en los Estados Unidos y se propaga esta filosofía por todo Occidente. Hoy es común ver publicidad de empresas argentinas que declaran haber Certificado sus actividades mediante las normas ISO (que veremos más adelante) lo que constituye una muestra de que esta filosofía está llegando no sólo a las empresas sino también a los clientes y usuarios de los productos, que se interesan por el tema.

Conceptos básicos Obviamente deberíamos definir en primer lugar qué entendemos por Calidad de un producto (aclaramos que usaremos el término producto de forma genérica para todo aquello que se produce, tanto bienes como servicios; los bienes son unidades físicas mientras que los servicios son trabajos realizados para los usuarios). En este sentido existen numerosas frases cortas y descriptivas, como: Calidad es:

Dar al cliente lo que desea El grado de armonía entre expectativa y realidad Conformidad con las especificaciones Satisfacer las expectativas del cliente Que se cumpla el propósito previsto

Por otra parte podemos transcribir lo que, sobre el tema, expresan las Bases del Premio Nacional a la Calidad, Sector Privado, Año 1999: "El concepto de calidad ha evolucionado significativamente durante los últimos años. De ser universalmente concebido como un valor referido a características físicas de bienes materiales, fue ampliando su contenido, incorporando componentes que tienen que ver con percepciones y expectativas respecto a todo tipo de prestaciones. Hoy la calidad dejó de estar definida por el prestador, para pasar a ser definida por el destinatario de la prestación, el cual debe resultar plena y consistentemente satisfecho con la misma. Esto es aplicable en todos lo niveles que pueda establecerse una relación prestatarioprestador. La necesidad de obtener satisfacción en una relación Cliente-Proveedor resulta muy clara, pero es igualmente válida en otros casos tales como la relación Inversor-Empresa o Empleador-Empleado”. No es fácil encontrar alguna definición breve que logre reflejar y consensuar lo que significa este concepto; por lo que, para intentar un redondeo, diremos que las antiguas definiciones de Calidad se centraban en el cumplimiento de las Especificaciones mientras que las modernas definiciones están orientadas más a los clientes, definiendo la Calidad como la completa satisfacción de las necesidades de los clientes o usuarios. Teniendo en cuenta esta última definición resulta evidente entender que la Calidad no puede ser sólo responsabilidad de quien “fabrica el producto”, sino que podemos representar en forma esquemática el Ciclo o Espiral de la Calidad (Figura 1) en el que observamos que todas las actividades de la Empresa están involucradas en el proceso de lograr el resultado esperado y existe una influencia mutua entre todas ellas. Todas las fases, desde la Investigación de Mercado hasta la satisfacción final del cliente están comprometidas en esta espiral.

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Figura 1: Ciclo o Espiral de la Calidad

Diseño/Espec ificacionesde Ingeniería y desarrollo del producto

Estudio e investigación de mercado

Aprovisiona mientos (compras)

Destino después de la vida útil

Asistencia técnica y mantenim.

Planificación y desarrollo del proceso

Instalación y operación

Producción

Ventas y distribución

Inspección, ensayos y examen Embalaje y almacenamie nto

Otro concepto que resulta relevante definir es el de Especificaciones. Como dijimos al principio la mayor parte de las organizaciones crean bienes o servicios destinados a satisfacer las necesidades o requisitos de los usuarios. Esos requisitos generalmente se traducen en forma de Especificaciones, por lo tanto, podemos decir que las mismas son los requerimientos técnicos definidos para que el producto cumpla el propósito previsto y satisfaga al cliente. Veamos un ejemplo, supongamos que se fabrican piezas de ensamble que deben tener cierta medida de diámetro para que las mismas puedan ser correctamente utilizadas. Si bien se puede tener una idea clara de qué valor debería ser el ideal para el diámetro de la pieza, es necesario prever cierto margen alrededor de ese valor ya que todo proceso, aunque fabrique en serie, presenta variabilidad. Entonces, decimos que las Especificaciones se componen de 3 elementos: el Valor Nominal (o valor ideal), el Límite Superior de Tolerancia y el Límite Inferior de Tolerancia. Para el caso de la pieza de ensamble podemos definir las Especificaciones de la siguiente manera: Valor Nominal: 3,2 cm Límite Superior de Tolerancia: 3,5 cm. Límite Inferior de Tolerancia: 2,9 cm.

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Vemos que la Tolerancia Total es de 0,6 cm. (TT = LST - LIT); 0,3 cm. por exceso y 0,3 cm. por defecto del Valor Nominal. Las Tolerancias a ambos lados no necesariamente tienen que ser simétricas; es decir, que lo que se permite por exceso del Valor Nominal no es igual a lo que se permite por defecto. Veamos el siguiente ejemplo: Valor Nominal: 3,2 cm Límite Superior de Tolerancia: 3,5 cm. Límite Inferior de Tolerancia: 3,0 cm.

Es bueno aclarar que las Especificaciones por sí solas no garantizan el normal cumplimiento de los requisitos del cliente ya que, como dijimos anteriormente, las deficiencias pueden producirse también en otras áreas de la Organización general establecida para diseñar y fabricar el producto. Esta organización general requiere de la coordinación de los diferentes factores, técnicos, administrativos y humanos, de tal manera que puedan llevarse adelante las metas definidas, particularmente por la política de calidad de dicha empresa. Esto está claro, pero ¿se puede controlar toda esa organización? Claro que sí, y ese control debería orientarse a la reducción, eliminación y, lo que es más importante, la prevención de las deficiencias que en materia de calidad se puedan dar. Para ello es indispensable desarrollar e implementar un Sistema de Gestión de la Calidad, que debe ser apropiado a la organización y al tipo de bien o servicio que se ofrece. Este Sistema podríamos definirlo como aquél que contiene la estructura organizativa, las responsabilidades, los procedimientos, los procesos y los recursos necesarios para llevar adelante la gestión de la calidad. Podemos ver que en él se concentran todos los elementos necesarios para poder controlar y auditar la eficiencia con la que cada elemento de la organización lleva adelante su tarea, razón por la cual este Sistema pasa a constituir una herramienta importante de gerenciamiento o management del que se sirve el más alto nivel de la dirección de la Empresa, quien es el máximo responsable de llevar los objetivos adelante. Otro término muy utilizado es el de Aseguramiento de la Calidad, que podríamos definirlo como el conjunto de acciones planificadas y sistemáticas que son necesarias para proporcionar la confianza adecuada de que el producto podrá satisfacer los requisitos definidos para él. Por último, llamaremos Control de Calidad al conjunto particular de técnicas y procedimientos del que se sirve la Dirección de una empresa para orientar y supervisar todas las actividades, hasta obtener el producto con la calidad deseada. Básicamente este control permite determinar si un proceso está actuando de acuerdo a los estándares definidos, y es bueno entender que así como un proceso es algo continuo, el Control de Calidad también lo es. Podríamos decir que sus objetivos fundamentales son: mantener bajo control un proceso y eliminar las causas que provocan deficiencias en las diferentes fases del Ciclo de Calidad presentado en la Figura 1. El desarrollo operado en esta disciplina ha permitido que los Sistemas de Control pasen de la detección a la prevención de productos con falla o defectuosos. No obstante esta situación, podemos decir que existen básicamente dos tipos de Sistemas de Control. Uno durante el proceso de fabricación, cuya principal metodología son los Gráficos de Control, y otro que trabaja con los productos terminados, y que se basa en el Muestreo de Aceptación.

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En general, el control de calidad puede realizarse: • • •

Sobre un característica de calidad medible (longitud, resistencia, etc.), lo cual llamamos un control por variables. Sobre un atributo o característica cualitativa que el producto posee o no (como el control por piezas defectuosas), lo cual constituye un control por atributos. Contando el número de defectos por unidad producida o control por número de defectos.

El control por variables es más efectivo, en cuanto a que brinda mayor información, por lo cual es más eficaz para identificar las causas de los problemas de calidad, lo que justifica que se utilice especialmente en el control de los procesos. Con respecto al control por atributos (saber sólo si un elemento es defectuoso o no lo es), cuando el objetivo es únicamente verificar las especificaciones y no establecer acciones preventivas, resulta ser un control rápido, simple y mas económico.

Previo al estudio de esta herramienta estadística, debemos mencionar que todo proceso de fabricación tiene cierta variabilidad. Si contáramos con elementos precisos de medición, seguramente no encontraríamos dos productos exactamente iguales, alguna diferencia, por pequeña que sea, se podrá observar. Si bien estas variaciones no se pueden eliminar por completo, sí se pueden controlar y mantener bajo ciertos márgenes. Se suele decir que la calidad es inversamente proporcional a la variabilidad y, por otro lado, existe un principio básico que indica que la mayor parte de la variabilidad se debe al sistema y no al individuo; de ahí que el objetivo de los métodos estadísticos de Control sea reducir la inestabilidad de los procesos. Las causas de estas variaciones las podemos dividir en dos tipos:



Causas aleatorias. Causas asignables.

Las causas aleatorias son aquellas que están siempre presentes en un proceso; son muchas en cantidad pero su influencia es pequeña y podemos decir que producen variaciones que se deben al azar; es tan probable que se produzcan variaciones por exceso como por defecto, por lo que a la larga tienden a compensarse; la distribución de probabilidad de las variaciones provocadas por este tipo de causas responde a la Normal; como están siempre presentes en el proceso, éste tendrá sus parámetros (Media y Dispersión) perfectamente definidos con estas causas actuando, por lo que la aparición de otro tipo de causa provocará un cambio en su Media o en su Dispersión o en ambas. Cuando un proceso funciona con sólo causas aleatorias de variación, decimos que está bajo control. Las causas asignables son pocas en cantidad pero provocan gran influencia en los procesos; no están siempre presentes ni responden a una ley de probabilidad; suelen ser sencillas de identificar y de eliminar. Cuando estamos ante un proceso que actúa con causas aleatorias y con causas asignables de variación, decimos que el mismo está fuera de control. Después de haber hecho esta distinción podemos entonces decir que los Gráficos de Control son una técnica estadística cuyo objeto es detectar la presencia de cusas asignables actuando sobre un proceso. Un Gráfico de Control no es otra cosa que una prueba de hipótesis, donde las hipótesis nula y alternativa son las siguientes:

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H0: El proceso está bajo control H1: El proceso no está bajo control Estos Gráficos están constituidos por tres líneas paralelas: la Línea Central (LC), el Límite Superior de Control (LSC) y el Límite Inferior de Control (LIC). Figura 2: Gráfico de Control Rechazo Ho

LIC

LC

No Rechazo H

LSC

Rechazo Ho

Los Límites de Control son límites de decisión (recordar los puntos críticos de una prueba de hipótesis) ya que separan las variaciones aleatorias de las provenientes de causas asignables (esto es posible porque las aleatorias tienen una distribución conocida). Los puntos fuera de estos límites caen en la zona crítica de la prueba e indican que uno o más de los factores que afectan el proceso salieron de lo normal, alguna irregularidad (causa asignable de variación) ha ocurrido, la que se debe descubrir y eliminar. Los resultados de las muestras son los que nos indicarán si se justifica intervenir o no en el proceso. La franja entre ambos límites representa la Variación Natural del proceso, es decir debida a los factores naturales que lo afectan. ¿Y qué factores afectan un proceso? A dichos factores se los denomina las 5 M, y son: Materia Prima Mano de Obra Maquinaria Método Medio Ambiente

5M

Según sea la característica de calidad que se desea analizar, los Gráficos pueden ser:



para variables para atributos.

Como ya mencionamos, los primeros se utilizan para controlar características medibles de los productos; mientras que los segundos se utilizan cuando al producto se lo clasifica en bueno o defectuoso según cumpla o no las especificaciones.

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El objetivo de los Gráficos de Control es monitorear el proceso a fin de mantenerlo dentro de su capacidad operativa y actuando solo con causas naturales de variación, esto es: bajo control. Nos parece importante subrayar, antes de finalizar este punto, que cuando se inician las actividades de control de un proceso es necesario utilizar los primeros datos de muestra para estimar los parámetros del mismo

( µˆ , σˆ )

y calcular los límites de los

gráficos. Estos límites obtenidos en el análisis inicial se utilizan para examinar nuevas observaciones del mismo proceso. ¿Cómo se construye un Gráfico de Control? ¿Cómo se calculan sus Límites?

2.1. Gráfico de control para variables Supongamos que el objetivo sea la fabricación de cierto elemento cuya calidad está descripta por una característica medible (variable x), y cuyo Valor Nominal o teórico de diseño está representado por µ. La finalidad del control de fabricación es mantener el proceso en “estado de control”, comprobando que la media de fabricación se mantiene en dicho valor nominal y que la dispersión es constante. Los Límites se calculan en base a la media del proceso ± 3 desviaciones estándar, y su objetivo es analizar dos aspectos del mismo: la exactitud y precisión en relación a la característica particular (variable x) que se está controlando. La exactitud está relacionada con la posición o media del proceso mientras que la precisión está relacionada con su variabilidad; por lo que debemos construir dos Gráficos de Control. Para analizar la media podemos utilizar un gráfico de medias muestrales o un gráfico de medianas muestrales (ambas medidas son estadísticos de posición) y la variabilidad se puede analizar mediante un gráfico de desviaciones estándar o mediante un gráfico de rangos muestrales (ambos son estadísticos de dispersión). Esto nos lleva a concluir que existen 4 tipos de gráficos de control: •

Gráfico

•

Gráfico

•

Gráfico

•

Gráfico

x,σ x, R me, σ me, R

Los más utilizados son los gráficos

x, R ,

por lo que indicaremos la forma de calcular

sus límites.

2.2. Gráfico de medias muestrales Nosotros ya sabemos que en el intervalo µ ± 3σ x = µ ± 3

σ

se encontrará el 99,73% n de las medias muestrales de tamaño n que se puedan tomar. Como ambos parámetros del proceso ( µ , σ ) son desconocidos deberán estimarse mediante valores muestrales. Para estimar

µ

tomaremos el promedio de un conjunto k de medias muestrales, cada

una proveniente de una muestra de tamaño n (en general, n = 5).

Es decir: µˆ = x =

k ∑ xj j =1 k

n ∑ xi siendo x j = i =1 la media de cualquier muestra j. n

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Para estimar σ podemos utilizar la desviación estándar o el Rango muestral. Como en el caso anterior, tomamos el promedio de las k desviaciones o rangos muestrales, aunque al trabajar con muestras pequeñas es más conveniente y práctico la utilización del segundo estadístico.

R

Entonces, σˆ =

siendo R =

d2

k ∑ Rj j =1 k

Donde R j = V .máx − V .mín de la muestra j y

d 2 es

un coeficiente que se encuentra

tabulado para diferentes tamaños de muestra. (Ver Tabla E.8 de la Bibliografía Básica). Volviendo al intervalo mencionado más arriba, tendremos:

µˆ ± 3

σˆ

= x ±3

n

El cociente

3

R d2 n

corresponde a un coeficiente llamado

d2 n

A2

que también está tabulado

en la Tabla E.8, para distintos tamaños de n. Teniendo en cuenta el criterio con que se calculan los límites y las estimaciones realizadas, tendremos: LC x = x

(1)

LSC x = x + A2 R

(2)

LIC x = x − A2 R

(3)

A continuación, le proponemos el siguiente ejemplo. Si bien la cantidad de muestras (k) con las que trabajaremos es pequeña a los efectos de facilitar los cálculos, cabe destacar que para iniciar cualquier tipo de estudio se recomienda tomar no menos de 25 muestras del proceso. Una compañía de productos de belleza fabrica extracto de perfume que fracciona en envases con las siguientes especificaciones: Dimensión nominal Variación Tolerada

20 cm3 ± 1 cm3

Se tomaron 6 muestras al azar de 5 frascos cada una, a intervalos de 20 minutos, y se obtuvieron los contenidos de extracto de perfume de cada uno de los frascos seleccionados: Muestra nº 1 2 3 4 5 6

x1 20,1 20,4 20,3 20,4 19,7 20,1

Contenido de los frascos x2 x3 x4 20,3 20,0 20,2 20,5 20,3 20,2 20,2 20,1 20,3 20,3 19,9 20,3 20,3 20,2 20,1 20,1 20,2 20,2

333

x5 20,0 20,1 19,7 19,8 19,8 19,7

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Vamos a construir un gráfico de control para las medias muestrales. En primer lugar obtenemos las medias y los recorridos en cada muestra: x

x

x

x

x

x

1 20,12

2 20,30

3 20,12

4 20,14

5 20,02

6 20,06

R1 0,30

R2 0,40

R3

R4

R5

0,60

0,60

0,60

R 6 0,50

Luego obtenemos la media general y el recorrido promedio: R = 0, 50

x = 20,13

Procedemos a calcular los Límites de Control, utilizando las expresiones (1), (2) y (3): LC x = 20,13 LSC x = 20,13 + 0, 577(0, 50) LSC x = 20, 42 LIC x = 20,13 − 0, 577(0, 50) LIC x = 19, 84

Representamos gráficamente estos Límites y los valores de las medias muestrales (Figura 3). Figura 3:

Diagrama de control de media (X-barra) 20,454

X-barra

20,290

20,127

19,963

19,800 1

2

3

4

5

Número de Muestra X-barra

334

6

7

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2.3. Gráfico de rangos muestrales En el intervalo R ± 3σ R = R ± 3d 3σ encontraremos el 99,73% de los Rangos muestrales, pero aquí también nos encontramos ante la necesidad de estimar los valores poblacionales. En este caso el intervalo quedaría estimado mediante la siguiente ecuación: d R ± 3R 3 d2

(

)

(

D4 = 1 + 3 d 3 d 2 y D3 = 1 − 3 d 3 d 4 simplificar los cálculos. Estos factores también los encontramos en la Tabla E.8. donde podemos utilizar los factores

)

para

Los límites quedarán: LC R = R

(4)

LSC R = D4 R

(5)

LIC R = D3 R

(6)

Continuando con el ejemplo de los productos de belleza, realizaremos la gráfica de los rangos muestrales, para lo cual obtenemos en primer lugar los límites de control aplicando las fórmulas (4), (5) y (6). LC R = 0, 50 LSC R = 2,114(0, 50) LSC R = 1, 057 LIC R = 0(0, 50) LIC R = 0 Figura 4:

Diagrama de control de rango (R) 1,128

Rango

0,846

0,564

0,282

0,000 1

2

3

4

5

Número de Muestra Rango

335

6

7

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Al analizar ambos Gráficos (medias y Rangos) podemos observar en el proceso que se pueden presentar cuatro condiciones: tener o no exactitud y tener o no precisión, por lo que hay que analizar cada uno de manera individual. ¿Cómo concluimos respecto del proceso? Diremos que un proceso está bajo control cuando en ambos Gráficos todos los resultados de las muestras caen dentro de los límites de control. Mientras que diremos que está fuera de control cuando uno o más puntos muestrales, en uno o ambos gráficos, caen fuera de los límites establecidos. Al visualizar los Gráficos debemos observar un comportamiento aleatorio de los valores muestrales (medias y Rangos) alrededor del la Línea Central, sin ninguna tendencia o patrón de comportamiento específico. Para nuestro ejemplo, podemos concluir que el proceso está bajo control ya que, tanto exactitud como precisión del mismo, presenta sus valores muestrales dentro de los límites de control. Cuando el proceso esté fuera de control, el paso siguiente es identificar la causa asignable que provocó ese fallo y eliminarla. A continuación mencionamos algunos ejemplos de causas asignables que se pueden identificar:         

Desajustes en las máquinas Errores humanos Lotes defectuosos Fallos de controles Mala calidad en la materia prima Falta de capacitación del personal Herramienta rota Exceso de calor o humedad en el ambiente Corte de luz

Existe en la industria un criterio conservador que consiste en buscar causas especiales de variación cuando en cualquiera de los gráficos identificamos Rachas. Éstas son un conjunto de puntos muestrales consecutivos, que tienen una baja probabilidad de ocurrir sólo por azar, de allí la decisión de intervenir en el proceso a fin de establecer el origen de esa situación. Ejemplos de Rachas: • • •

siete o más puntos consecutivos, a un mismo lado de la línea central siete o más puntos consecutivos ascendentes siete o más puntos consecutivos descendentes.

Se recomienda ver la Figura 5 a fin de observar los distintos patrones de comportamiento que se pueden presentar y que llevarán a concluir respecto del proceso.

Figura 5:

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Patrones de comportamiento

Como ya dijimos, con la presencia de uno o más puntos fuera de los límites tratamos de identificar una causa asignable de variación. Pero como trabajamos en el marco de una decisión estadística, nos enfrentamos al riesgo de equivocarnos; es decir, intervenir cuando en realidad no hace falta y el proceso no lo necesita. La probabilidad de que esto ocurra es de 0,0027 ó 0,27% y para entenderlo es conveniente recordar los valores de probabilidad de la distribución Normal y el concepto de nivel de significación α visto en el Capítulo III de la materia. ¿Qué probabilidad existe de que una media muestral caiga más allá de 3 desviaciones estándar en una Normal? Se recomienda ver el ejemplo desarrollado en las páginas 681 a 684 de la bibliografía básica. Le proponemos a continuación realizar las siguientes Actividades de Aprendizaje. Actividad 1: A partir de los conceptos estudiados hasta ahora, ¿podría expresar la diferencia entre Límites de Especificaciones y Límites de Control? Actividad 2: En una fábrica de hierros y laminados están interesados en controlar la longitud de ciertos hierros utilizados en la industria de la construcción. Para ello se tomaron 5 muestras de 4 hierros cada una, y se midió su longitud. Los resultados obtenidos están tabulados en la tabla siguiente y están expresados en mm.: Muestra nº 1 2 3 4 5

Longitud de cada hierro x1 x2 x3 x4 12 14 16 6 5 9 8 10 3 13 5 7 20 18 18 16 4 5 1 10

Construya un gráfico ( x , R) para controlar la longitud de los hierros e indique si el proceso está bajo control. Actividad 3: El proceso productivo de tuercas en una industria autopartista posee las siguientes características dimensionales:

DN

337

6 mm

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± 2 mm

Tolerancia

Se toman 5 muestras de 3 tuercas cada una con los siguientes resultados: Muestra N°

xk

Rk

1 2 3 4 5

6,6 5,8 6,3 6,1 6,3

0,9 1,4 1,7 0,8 1,2

a) En base a estos datos construya un gráfico de control x , R y analice el proceso. b) ¿Qué medidas aconsejaría a la dirección de la empresa suponiendo que: 1) ¿existen productos defectuosos en la muestra? 2) ¿no existen productos defectuosos en la muestra? Actividad 4: Los límites de control de un proceso han sido calculados arrojando los siguientes valores:

LC x = 28, 83

LC R = 0, 13

LSC x = 28, 91

LSC R = 0, 27

LIC x = 28, 75

LIC R = 0

Grafique las siguientes muestras y diga si observa algún patrón de comportamiento que esté indicando que el proceso no actúa sólo con causas aleatorias de variación.

Nº de muestra

x

R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

28,78 28,78 28,81 28,76 28,82 28,85 28,79 28,81 28,84 28,78 28,81 28,81 28,79 28,78 28,80 28,79 28,82

0,26 0,13 0,12 0,11 0,15 0,15 0,16 0,08 0,26 0,13 0,29 0,20 0,12 0,17 0,08 0,16 0,13

2.4. Gráfico de control para atributos Ciertas características de calidad no están relacionadas a ninguna variable numérica, sino a un atributo del producto, como por ejemplo, que una lámpara se encienda o no, que una rosca entre en un tornillo o no, etc. En estos casos se realiza un control por atributos, donde el objetivo es analizar si los niveles de defectuosos están en niveles razonables. Este tipo de gráficos es menos sensible que los anteriores, pero muchas veces el interés principal es observar la presencia o no de ese atributo en un producto o en una muestra. Diremos que defecto o no conformidad es el no cumplimiento de algún estándar definido mientras que defectuoso será aquél producto que presenta uno o más defectos.

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Los tipos de Gráficos de Control que podemos utilizar son:






Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico

p% p np c u

En este caso los Límites también se calculan en base a la medida correspondiente (porcentaje medio de defectuosos en la muestra, proporción de defectuosos, número de defectuosos, cantidad de defectuosos en la muestra, ó cantidad de defectos por unidad) ± 3 desviaciones estándar, y se obtienen de la siguiente manera: Gráfico p%: analiza porcentaje de defectuosos LC p% = p%

(

p% 100 − p%

LSC p% = p% + 3 LIC p% = p% − 3

p%

En este caso

)

n

(

p% 100 − p%

)

n

es el porcentaje medio de defectuosos encontrado en las k muestras

seleccionadas, todas de tamaño n.

O sea: p% =

k ∑ xi 100 = i =1 100 k ∑ muestras ∑ ni i =1

∑ defectuosos

A continuación, veamos el siguiente ejemplo: Se desea construir un gráfico de control para analizar el porcentaje de defectuosos con que trabaja un proceso productivo. Analizadas 10 muestras de tamaño 50 cada una se obtuvieron los siguientes datos: Muestra N° 1 2 3 4 5

Cant. De defectuosos 1 2 0 6 4

Muestra N° 6 7 8 9 10

Cant. de defectuosos 0 0 0 1 3

Calculamos los límites de control de p%. LSCp% = 11,09%

LCp% = 3,4%

LICp% = 0%

Le pedimos que grafique y confirme si el proceso está fuera de control. Gráfico p: analiza tasa o proporción de defectuosos

339

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LC p = p

LSC p = p + 3 LIC p = p − 3

(

p 1− p

)

(7)

n

(

p 1− p

)

(8)

n

k

Donde:

p=

∑ xi

∑ defectuosos i =1 = k ∑ muestras ∑ ni

y

es la tasa defectuosa promedio

i =1

A continuación presentamos el siguiente ejemplo: Se desea analizar si un proceso se encuentra o no bajo control en cuanto a la tasa de defectuosos con que está trabajando. Para ello se tomaron 25 muestras de tamaño n = 200 y se computó el número de defectuosos en cada una. Los resultados obtenidos fueron: Muestra N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Cant. de defectuosos 16 14 8 20 10 34 20 16 18 12 36 20 22

Muestra N° 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Cant. de defectuosos 18 26 8 16 20 22 14 6 12 22 38 12

En primer lugar, calculamos la proporción de defectuosos en cada una de las muestras. Muestra Prop. Muestra Prop. Muestra Prop. Muestra Prop. Muestra Prop. nº Def. nº Def. nº Def. nº Def. nº Def. 1 0,08 6 0,17 11 0,18 16 0,04 21 0,03 2 0,07 7 0,10 12 0,10 17 0,08 22 0,06 3 0,04 8 0,08 13 0,11 18 0,10 23 0,11 4 0,10 9 0,09 14 0,09 19 0,11 24 0,19 5 0,05 10 0,06 15 0,13 20 0,07 25 0,06

Luego, calculamos los límites de control: LC p = 0, 092 LSC p = 0, 153 LIC p = 0, 031

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Por último, realizamos el gráfico con los estadísticos de cada una de las muestras (Figura 6). Figura 6:

Diagrama de control p

Proporción defectuosos

0,2097

0,1599

0,1100

0,0601

0,0103 1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25

Número de muestra Proporción defectos

Observamos que existen puntos que están fuera de los límites, por lo cual concluimos que el proceso está fuera de control en cuanto a la proporción de defectuosos con la que está trabajando. En todas las fórmulas presentadas, respecto al cálculo de los límites de control, si las muestras analizadas son de tamaño diferente, en el denominador de las desviaciones estándar debemos trabajar con un tamaño de muestra promedio k ∑ nj j =1 n = . k

Gráfico np: analiza cantidad de defectuosos LC np = np

LSC np = np + 3 npq LIC np = np − 3 npq

Donde: np =

k ∑ xj j =1

es la cantidad media de defectuosos y requiere que los tamaños

k de n sean constantes. Trabajemos con el siguiente ejemplo: Se ha comenzado un control del nivel de calidad en la fabricación de calzado deportivo de una determinada empresa. Los datos recopilados durante el primer mes de control, para muestras de tamaño 200, fueron los siguientes:

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Muestra N° Cant. de defectuosos Muestra N° Cant. de defectuosos 72 53 133 19 136 82 132 55 64 129 79 72

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

47 38 38 40 61 16 42 28 53 34 27

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Siguiendo con nuestra metodología de trabajo, calculamos en primer lugar los límites de control y luego realizamos el gráfico correspondiente (cantidad de defectuosos), representado en la Figura 7. LC np = 63, 04 LSC np = 82, 75 LIC np = 43, 33

Figura 7:

Diagrama de control np

Cantidad de defectos

150,80

113,40

76,00

38,60

1,20 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

Número de muestra Cantidad de defectos

Analizando el gráfico, ¿puede usted concluir respecto al proceso?

Los siguientes dos gráficos son apropiados para el caso en que las cantidades producidas son bajas (pocas unidades fabricadas por día, semana o mes) y para productos formados por un conjunto de piezas (unidades complejas o ensambladas), en los cuales es frecuente observar uno o varios defectos por unidad.

Gráfico c: analiza cantidad de defectos por muestra LCc = c

LSCc = c + 3 c LICc = c − 3 c

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Donde: c =

∑ defectos cant .muestras

=

k ∑ cj j =1

y también requiere de tamaños de n constantes.

k

Supongamos que se deben inspeccionar piezas de género terminadas, de 100 metros cada una. Se han determinado exactamente las especificaciones para poder individualizar las fallas. Analizadas 30 piezas de género se obtuvo la siguiente información: N° de pieza

Cant. defectos

N° de pieza

Cant. defectos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

26 30 22 28 26 30 31 31 31 36 27 28 26 34 29

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

27 31 35 23 23 30 31 28 26 32 31 31 30 33 22

Con estos datos vamos a calcular los límites de control para un gráfico c (número de defectos por pieza de 100 metros). LCc = 28, 93 LSCc = 45, 07 LICc = 12, 80 La Figura 8 representa gráficamente el proceso. Figura 8:

Cantidad de defectos x muestra

Diagrama de control c 47,222

38,078

28,933

19,789

10,645 1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Número de pieza de género (de 100 mts.) Defectos x muestra Podemos concluir que el proceso está bajo control.

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Gráfico u: analiza cantidad de defectos por unidad LCu = u LSCu = u + 3 LICu = u − 3

u n u n

k ∑ cj j =1 Donde: u = k ∑ ni i =1 siendo: ci = cantidad de defectos en cada muestra ni = cantidad de unidades en cada muestra En este caso, con el valor promedio, se calculan límites individuales para cada muestra. Por ejemplo, una fábrica de radios desea conocer si su proceso productivo se encuentra bajo control en cuanto al número de defectos por unidad fabricada. Analizada la producción de 6 días se obtuvieron los siguientes resultados: Día N° 1 2 3 4 5 6

Cant. de radios 20 25 10 9 12 8

Cant. defectos en la muestra 5 7 3 2 4 1

A fin de construir el gráfico u (Figura 9), necesitamos la siguiente información (observemos que los tamaños de muestra son variables): Tamaño de n 20,00 25,00 10,00 9,00 12,00 8,00

Media defectos/unidad Línea Superior 0,25 0,61 0,28 0,57 0,30 0,75 0,22 0,77 0,33 0,71 0,13 0,80

344

Línea 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Inferior (-0,08) (-0,05) (-0,22) (-0,25) (-0,18) (-0,28)

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Figura 9:

Cantidad de defectos x unidad

Digrama u 0,908 0,698 0,489 0,279 0,069

0,000 -0,140 -0,350 1

2

3

4

5

6

Número de día Defectos x unidad

Por último aclaramos que, en el caso de los Gráficos para atributos, como ninguna cantidad de defectuosos o defectos puede ser negativa, en caso de que algún Límite Inferior diera negativo se lo considera 0 (cero). Le proponemos que analice los siguientes ejemplos extraídos de la bibliografía básica. Suponga que la administración de un hotel decidió estudiar el proceso de limpieza de habitaciones durante 4 semanas con una muestra diaria de 200 habitaciones para las que hay huéspedes con reservaciones. Antes de cada llegada se determina si la habitación en la muestra contiene no conformidades en términos de disponibilidad de cortesías y funcionamiento de aparatos. La siguiente tabla enumera el número y proporción de habitaciones no conformes cada día en las 4 semanas. Tabla: Habitaciones de hotel no conformes a la llegada del huésped durante 4 semanas Habitaciones Día Estudiadas No listas 1 200 16 2 200 7 3 200 21 4 200 17 5 200 25 6 200 19 7 200 16 8 200 15 9 200 11 10 200 12 11 200 22 12 200 20 13 200 17 14 200 26

Proporción 0.080 0.035 0.105 0.085 0.125 0.095 0.080 0.075 0.055 0.060 0.110 0.100 0.085 0.130

Habitaciones Día Estudiadas No listas 15 200 18 16 200 13 17 200 15 18 200 10 19 200 14 20 200 25 21 200 19 22 200 12 23 200 6 24 200 12 25 200 18 26 200 15 27 200 20 28 200 22

k Para estos datos, k = 28, ∑ ρi = 2.315 y ni = n = 200. Así, i =1 p =

2.315 = 0.0827 28

345

Proporción 0.090 0.065 0.075 0.050 0.070 0.125 0.095 0.060 0.030 0.060 0.090 0.075 0.100 0.110

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por lo que si se usan las ecuaciones (7) y (8) se tiene:

0.0827 ± 3

( 0.0827 )(0.9173) 200

Entonces, LSC = 0.0827 + 0.05 84 = 0. 141 1 y LIC = 0.0827 - 0.0584 = 0.0243

La gráfica de control obtenida con Microsoft Excel para los datos de la tabla anterior se despliegan en la siguiente figura. Un examen de esta figura indica un proceso en un estado de control estadístico con los puntos individuales distribuidos alrededor de p sin patrón. Entonces, cualquier mejora en este sistema para tener listas las habitaciones debe ser consecuencia de reducir la variación de causa común. Como ya se ha establecido, esas alteraciones del sistema son responsabilidad de la administración. Gráfica p: Obtenida con Microsoft Excel para los datos de habitaciones de hotel no conformes

Ahora que se ha examinado una situación en la que el tamaño de la muestra o subgrupo no varía, debe observarse una situación más general donde el tamaño del subgrupo varía con el tiempo. Como regla general, mientras ninguno de los tamaños de subgrupo n¡ difiera del tamaño n en no más de ± 25%, se pueden usar las ecuaciones (7) y (8) para obtener los límites de control para la gráfica p.

Para ilustrar el uso de la gráfica p cuando los tamaños de subgrupo no son iguales, en el ejemplo siguiente, se investigará la producción de esponjas de gasa en una fábrica. Ejemplo: Uso de la gráfica p para tamaños desiguales de subgrupos Suponga que la siguiente tabla contiene el número de esponjas producidas al día y el número de esponjas no conformes para un período de 32 días.

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Esponjas Esponjas no Esponjas Esponjas no Día producidas conformes Proporción Día producidas conformes Proporción 1 690 21 0.030 17 575 20 0.035 2 580 22 0.038 18 610 16 0.026 3 685 20 0.029 19 596 15 0.025 4 595 21 0.035 20 630 24 0.038 5 665 23 0.035 21 625 25 0.040 6 596 19 0.032 22 615 21 0.034 7 600 18 0.030 23 575 23 0.040 8 620 24 0.039 24 572 20 0.035 9 610 20 0.033 25 645 24 0.037 10 595 22 0.037 26 651 39 0.060 11 645 19 0.029 27 660 21 0.032 12 675 23 0.034 28 685 19 0.028 13 670 22 0.033 29 671 17 0.025 14 590 26 0.044 30 660 22 0.033 15 585 17 0.029 31 595 24 0.040 16 560 16 0.029 32 600 16 0.027

Establezca una gráfica de control para estos datos.

Solución:

k k Para estos datos, k = 32, ∑ ni = 19.926 y ∑ xi = 679 i =1 i =1 Entonces, n =

19.926 = 622.60 32

y

p =

2.315 = 0.0827 28

de manera que se tiene

0.034 ± 3

(0.034 )(1−0.034 ) 622.69

Así,

LSC = 0.034 + 0.022 = 0.056 y

LIC = 0.034 - 0.022 = 0.012

La gráfica de control para los datos de la esponja se muestra en la siguiente figura. Esta figura indica que el día 26 (cuando hubo 39 esponjas no conformes de 651 producidas) está arriba del límite superior de control. La administración debe determinar las razones de esta causa especial de variación y tomar las medidas correctivas, de modo que si las circunstancias que produjeron estos resultados el día 26 ocurrieran de nuevo, los resultados sean diferentes.

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Gráfica p: para la proporción de esponjas no conformes obtenido con Microsoft Excel

Las conclusiones respecto del proceso y el concepto de Rachas se aplican en este tipo de gráficos como ya vimos en los Gráficos para variables. Presentaremos a continuación algunas actividades a fin de aplicar lo estudiado hasta ahora. Actividad 5: Los siguientes datos corresponden a la cantidad de defectuosos encontrados en muestras de tamaño 50 cada una, tomadas al azar durante el turno día de fabricación de una empresa. Cant. Defectuosos

Cant. defectuosos

Cant. defectuosos

2 4 3 3 1

1 0 5 2 3

3 3 6 3 6

Determine si el proceso se encuentra o no bajo control en cuanto al porcentaje de defectuosos, realizando un gráfico p% Actividad 6: La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos de la inspección de láminas metálicas para la industria aeronáutica: Muestra N°

Tamaño de la muestra

Cant. de defectuosos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

23 15 17 15 41 0 25 31 29 0 8 16

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Calcule y grafique los límites de control para analizar la cantidad de defectuosos. ¿Qué conclusiones extrae? Actividad 7: Calcule los límites de control de un gráfico np para las siguientes muestras de tamaño 200, obtenidas de un proceso de fabricación de caramelos masticables: Cant. de defectuosos Cant. de defectuosos Cant. De defectuosos 23 15 17 15

41 0 25 31

29 0 8 16

¿Se encuentra el proceso bajo control en cuanto a la cantidad de defectuosos? Actividad 8: La siguiente información corresponde al número de roturas en tramos sucesivos de alambre conductor de 3000 mts. de longitud cada uno. N° de tramo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

N° roturas

N° de tramo

N° roturas

1 1 3 7 8 1 2 6 1 1 10 5 0 19 16

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

20 1 6 12 4 5 1 8 7 9 2 3 14 6 8

¿Corresponden estos datos a un proceso controlado en cuanto al número de roturas por tramo de 3000 mts. de alambre conductor? Actividad 9: Los siguientes datos corresponden al número de defectos encontrados en 25 grupos sucesivos de 5 radios cada uno. Cant. defectos por grupo

Cant. defectos por grupo

Cant. defectos por grupo

Cant. defectos por grupo

77 64 75 93 45 61

49 65 45 77 59 54

41 87 40 22 92 89

55 25 54 22 49 33 20

¿Se puede afirmar que el proceso de fabricación de radios se encuentra bajo control en cuanto al número de defectos por muestra? Por último, podemos mencionar algunas ventajas que los Gráficos de Control proporcionan, a fin de poder dimensionar la utilidad de esta herramienta estadística:    

Brindan información de cuándo intervenir en un proceso a fin de realizarle ajustes Permiten conocer el nivel de operación y dispersión de un proceso Permiten controlar la estabilidad de un proceso Ayudan a distinguir las causas de variación

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Mejoran las comunicaciones, brindando un lenguaje común con el cual discutir los hechos Brindan la base para una mejora continua Mejoran el proceso porque reducen su variación Permiten lograr: mejor calidad en el producto final reducción de costos reducción de desechos y retrabados aumentos en la productividad

Como dijimos al comienzo, seguramente hemos escuchado hablar más de una vez de las normas ISO, y nos hemos preguntado qué son y a qué se refieren. Las normas ISO (por sus siglas en inglés de International Organization for Standardization que es el Organismo Internacional de Normalización) son un conjunto de normas o estándares internacionales que cualquier empresa puede usar como guía para establecer un Sistema de Gestión y Aseguramiento de la Calidad; dichas normas racionalizan los distintos enfoques y actividades que se dan en este campo y no tienen tanto que ver con la calidad del producto sino más bien con el proceso de producción. Rápidamente mencionaremos a las normas de la serie 9000/2000:  





ISO 9000: describe los principios y la terminología de los sistemas de gestión de la calidad ISO 9001: especifica los requisitos para los sistemas de gestión de la calidad aplicables a toda organización que necesite demostrar su capacidad para proporcionar productos que cumplan los requisitos de sus clientes y los reglamentarios que le sean de aplicación, y su objetivo es el logro de la satisfacción de los clientes ISO 9004: proporciona directrices que consideran tanto la eficacia como la efectividad de un sistema de gestión de la calidad. El objetivo de esta norma es la mejora del desempeño de la organización y la satisfacción de los clientes y de las partes interesadas ISO 19011: proporciona una guía y orientación relativa a las auditorias de gestión de la calidad y la gestión ambiental.

La evaluación, en cuanto al cumplimiento o no de estas normas suele hacerse mediante una Organización independiente y externa a la empresa (generalmente son Consultoras Internacionales) que auditan y certifican el Sistema de Calidad.

Si las Especificaciones son los requerimientos técnicos a cumplir, ¿se está en condiciones de cumplirlas?, ¿se cuenta con los elementos necesarios (las 5 M) para hacerlo? Una vez que el proceso está controlado y funcionando sólo con causas comunes de variación, el paso siguiente es determinar si el mismo tiene capacidad para cumplir con las Especificaciones. La capacidad del proceso solo puede ser evaluada en el caso de que el proceso se encuentre bajo control estadístico, y se puede definir como aquellos límites dentro de los cuales, la única fuente de variación son las causas comunes o aleatorias del sistema. La evaluación sobre el funcionamiento correcto de un proceso se realiza en base a los índices de capacidad y aptitud que denominaremos Cp y Cpk, respectivamente. Dado que la característica analizada debe seguir una distribución normal cuando el proceso está bajo control, casi todas las unidades fabricadas en condiciones de control (99,7%) se encontrarán en un intervalo de amplitud de ± 3 σ = 6 σ (siendo σ la

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desviación estándar de la distribución normal que define la fabricación), por lo que podemos definir un Intervalo de Tolerancia Naturales que llamaremos Variabilidad Natural del proceso. Este valor se comparará con la Variabilidad Tolerada definida para el producto, dando lugar al índice de capacidad Cp. Es decir entonces, que el índice de capacidad Cp compara la Variabilidad (o dispersión) Natural del proceso con la Variabilidad Tolerada, evaluando así su precisión o capacidad de trabajar dentro de las tolerancias. Podemos expresar este coeficiente de capacidad como: Cp =

Var .Tolerada Var .Natural

=

Tolerancia Dispersión

=

LST − LIT 6ˆ σ

Recordemos que la desviación estándar puede ser estimada mediante R d2 ¿Cómo interpretamos su valor? Si el proceso está centrado y dentro del Intervalo de Tolerancia, el 99,73% de sus valores estarán cumpliendo las especificaciones (recordemos la probabilidad en el intervalo µ ± 3σ en una distribución normal) y sólo el 0,27% no lo estará, siendo éste último el porcentaje de producto defectuoso. En este caso: Cp = 1.

Si bien ésta sería la situación ideal, se torna un tanto peligrosa porque cualquier variación mínima en el proceso generaría inmediatamente productos fuera de las especificaciones o defectuosos, incrementando el porcentaje indicado más arriba. Es por ello que se considera aconsejable tener un Cp mayor a 1, esto indicaría capacidad del proceso para cumplir con las especificaciones. El valor generalmente aceptado es un Cp ≥ 1,5. Es evidente que el valor del Cp no depende de la media del proceso, la que puede estar más arriba o más abajo del Valor Nominal fijado como centro ( el proceso estará centrado cuando su media sea igual al Valor Nominal); por lo tanto este coeficiente tiene el inconveniente de que para poder aplicarlo el centro de gravedad de las especificaciones debe coincidir con la tendencia central de las mediciones del proceso. Cuando esto no ocurre se emplea el Cpk o coeficiente de aptitud. Este coeficiente de aptitud evalúa el centrado del proceso, es decir su posibilidad de ajuste al Valor Nominal. Para calcular el Cpk primero debemos obtener los siguientes valores:

z1 =

x − LIT

z2 =

3ˆ σ

LST − x 3ˆ σ

Se toma el menor de los dos y se considera éste como valor del coeficiente, el hecho de tomar el menor valor es porque, de esa manera, se considera la peor condición de centrado o posicionamiento. Es decir, Cpk = (min zi) para i = 1; 2 ¿Cómo interpretamos su valor? Dado que con este coeficiente estamos controlando que la media del proceso esté cerca del Valor Nominal, y no muy alejada de los extremos de tolerancia, se impone

que x quede a no más de 3σˆ de cualquiera de los extremos; en general se define que la capacidad del proceso no puede superar el 75% de los Límites de las Especificaciones, lo que equivale a un valor de coeficiente igual o superior a 1,33, es decir Cpk ≥ 1,33. Si el proceso no es apto, se debe calcular el porcentaje de defectuosos, por exceso y/o por defecto, que el mismo produce.

351

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Antes de pasar al ejemplo, nos parece importante distinguir, y no confundir, los siguientes conceptos: Bajo control Capaz Apto

Significa que el proceso es estable y predecible a través del tiempo, aunque no necesariamente capaz y apto. Significa que el proceso tiene condiciones de dispersión o variabilidad para cumplir las especificaciones Significa que el proceso tiene condiciones de dispersión y centralidad para cumplir las especificaciones

Le proponemos trabajar con el siguiente ejemplo: Suponga que ya hemos logrado un proceso controlado y centrado en el Valor Nominal especificado, que presenta los siguientes valores como estimación de sus parámetros poblacionales: ˆ µ = x = 0, 8312 ˆ = R d = 0, 0062 σ 2 Por otro lado las Especificaciones definidas para la fabricación son: 0,83 ± 0,01; en las que podemos observar que la separación entre las especificaciones es menor a 6 veces nuestra estimación de desviación estándar o σ. Por lo tanto, si puede sostenerse la hipótesis de un proceso normal, casi con seguridad tendremos productos defectuosos.

¿Cómo calcular el porcentaje de productos defectuosos? En primer lugar obtenemos la estandarización de los Límites de Especificaciones y luego calculamos el área de una distribución normal por fuera de dichos valores: zinf =

0, 82 - 0, 8312 0, 0062

= -1, 82

zsup =

0, 84 - 0, 8312 0, 0062

= 1, 43

El porcentaje defectuoso inferior:

(

)

(o por defecto) = P z < -1, 82 = 0, 0344 x 100 = 3,44% El porcentaje defectuoso superior:

(

)

(o por exceso) = P z > 1, 43 = 0, 0764 x 100 = 7,64% Por lo que concluimos que el porcentaje total de productos defectuosos, con el presente proceso, es de 11,08%. Es importante resaltar que esta manera de estimar el porcentaje de defectuosos debe ser utilizada cuando los datos son numerosos y los requisitos para su utilización (distribución poblacional, centralidad, y proceso bajo control) se cumplen satisfactoriamente.

Actividad 10: ¿Puede presentarse un proceso bajo control y con productos defectuosos? ¿Y un proceso fuera de control sin productos defectuoso? Explique brevemente. Actividad 11: Sea un artículo que debe cumplir las siguientes especificaciones: Valor nominal = 5 Límite Sup. de Tolerancia = 6

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Límite Inf. de Tolerancia = 4 y sea nuestro proceso que produce, en muestras de tamaño 3, un

R

= 1,18.

¿En cuál de los siguientes valores es conveniente centrar el proceso: a) b) c)

x=4 x=5 x = 5,22

suponiendo una producción total de N = 10000 artículos, y un costo de reprocesado de $ 100 si el producto estuvo sobre tolerancia $ 1 si el producto estuvo por debajo de tolerancia?

En el Capítulo II comentamos sobre el uso de este tipo de muestreo. El Muestreo de Aceptación tiene los mismos riesgos de tomar decisiones equivocadas como ocurre en las pruebas de hipótesis; es decir, podemos rechazar un lote que es de buena calidad y debe ser aceptado, o aceptar un lote que debe ser rechazado. Los planes de aceptación por muestreo simple son aplicados con la simple utilización de una tabla de probabilidades binomial para distintos tamaños de muestra. Los planes de muestreo doble, múltiple y secuencial son un poco más complicados. En este caso se pueden especificar los riesgos de decisiones incorrectas en niveles bajos de probabilidad y determinarse, para estos requisitos, el tamaño necesario de muestra. Existen diversos planes de muestreo por aceptación basados en diversos criterios: el nivel de calidad aceptable AQL (la peor calidad que el comprador está dispuesto a aceptar de un lote con una alta probabilidad definida,) o el porcentaje de unidades defectuosas tolerado en un lote LTPD (calidad por encima de la cual la probabilidad de aceptar un lote es muy pequeña).

Conclusión: En esta última parte de la materia hemos realizado una introducción a lo que se considera una importante herramienta de manejo y gestión de las empresas: la Calidad. Y hemos desarrollado las principales herramientas estadísticas aplicables, los Gráficos de Control. Debemos destacar que todo lo visto en este Capítulo debería servir no sólo para determinar el origen de una falla o de un producto defectuoso, sino para que las organizaciones alcancen la máxima satisfacción de sus clientes, accionistas, empleados, proveedores y de la comunidad en general. Es importante repetir que, para que toda esta metodología sea realmente efectiva y logre sus objetivos, el máximo nivel gerencial de una empresa debe tomar la decisión de llevar adelante la implementación de un Sistema de Aseguramiento de la Calidad. Un proceso de este tipo que no cuente con el convencimiento de la dirección de la empresa poco puede lograr y va seguro al fracaso. ¿Cómo podemos determinar si una Gestión es de Calidad? Hay ciertos atributos presentes en la organización que, sin ser excluyentes, son distintivos; ellos son: resultados que satisfacen plena y consistentemente a todos los sectores vinculados a la misma, un Sistema de Gestión que asegura la continuidad de estos resultados a lo largo del tiempo, liderazgo ejercido con convicción y energía, y compromiso con los valores de la excelencia.

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Cátedra I Estadística II Autores I Patricia Caro y Nora Chiavasa

Por último, deberíamos decir que sólo una empresa que llega a conocer sus “costos totales de no calidad” puede tomar conciencia y apreciar rápidamente la necesidad de iniciar un Programa de Mejora. Los resultados en eficiencia, productividad y baja de costos que se pueden conseguir deberían convencer a las organizaciones en general a sumarse a esta filosofía de control y mejora continua para sus procesos y actividades. Para recordar: el pequeño secreto de la alta productividad japonesa

Hacer Todo Mejor Hacerlo Todo Mejor como Disciplina de Vida

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