MATEMÁTICA Unidad 2 Midamos la dispersión de los datos y midamos ángulos en grados y radianes

Objetivos de la Unidad: Aplicarás la desviación típica al analizar críticamente fenómenos numéricos y hechos sociales; con el fin de proponer y sustentar tus ideas, respetando la opinión de los demás. Aplicarás los ángulos y sus propiedades en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas del entorno.

55

Ángulos

Dispersión

sus Sistemas de medidas

se mide por

Dispersión

Desviación típica

del tipo Sexagesimal

Circular

para

para medir

analiza El grado de variabilidad de un conjunto de ellos

Conversiones de ángulos

Área de un sector circular

de

para obtener Conclusiones

Longitud de arco

Grados a radianes

Radianes a grados

para resolver Situaciones del entorno

Descripción del proyecto Al finalizar la unidad calcularás la media aritmética, la amplitud y la desviación típica, para conocer de que forma están distribuidos y como se dispersan la estatura, peso y talla de zapatos de un grupo de personas.

56 Matemática- Noveno Grado

Segunda Unidad

Lección 1 ENCUENTRA LA DISPERSION

Motivación

E

n una ciudad hay dos coros A y B formados por 9 personas cada uno. Las edades de estas personas son: Coro A: 10, 10, 20, 30, 30, 30, 40, 50, 50 años. Coro B: 25, 25, 30, 30, 30, 30, 30, 35, 35 años. ¿Cuál es la media aritmética de las edades en cada uno de los coros? ¿En cuál de los coros están más dispersas las edades con respecto a la media aritmética?

Indicadores de logro: Establecerás con orden y seguridad la dispersión de datos a partir del rango

Resolverás ejercicios y/o problemas aplicando la amplitud o rango en series de datos, mostrando orden en tu trabajo.

¿Cómo se calcula la media aritmética? A las medidas que representan el centro de una distribución de frecuencias, se les llama medidas de centralización o medidas de posición central. Recuerda que las más conocidas son: la media aritmética, la mediana y la moda. A estas medidas se les llaman promedios.

Ejemplo 1 Si Luisa obtuvo las siguientes calificaciones: 7, 10, 8, 6 y 9, ¿cuál es la media aritmética o promedio de las calificaciones?

Solución: Como recordarás, para calcular la media aritmética se suman los valores y divides entre el número de valores. Es decir:

Media aritmética = 7 + 10 + 8 + 6 + 9 = 8 5 suma de valores O sea que: Media aritmética = total de valores

X=

∑x n

Punto de apoyo La expresión ∑ (sigma mayúscula) se emplea en matemáticas para representar una suma. En ese caso, ∑ x se lee: “suma de todas las x” o “suma de todos los valores x”

Noveno Grado - Matemática 57

UNIDAD 2 Ejemplo 2 En una prueba de Lenguaje, 3 estudiantes obtuvieron 7 de calificación; 5 obtuvieron 8; 4 obtuvieron 9 y 2 estudiantes obtuvieron 6, ¿cuál es el promedio de las calificaciones de los cinco estudiantes?

Solución: Con los datos del problema construyes la respectiva distribución de frecuencias simples. X calificación

F frecuencia

7 8 9 6

3 5 4 2

Puedes ver que la tabla te indica que 3 obtuvieron 7 de calificación; 5 obtuvieron 8; 4 obtuvieron 9 y 2 obtuvieron 6. Luego: X = 3( 7 ) + 5( 8 ) + 4 ( 9 ) + 2( 6 )   = 109 = 7.79 14 14 O sea que el promedio de 14 estudiantes en la prueba de Lenguaje fue 7.79. De este ejemplo puedes ver que si tienes una distribución de frecuencias simple, la media aritmética se calcula mediante la siguiente fórmula. ∑ fx X= n Donde: fx es la multiplicación de la frecuencia por el valor respectivo. n, es el número de valores o número de datos.

Ejemplo 3 Calcula la media aritmética de las edades en días de la siguiente distribución de frecuencias agrupadas. Edades en días de un grupo de recién nacidos 0−4 5−9 10 − 14

8 10 12

15 − 19

9

20 − 24

7

Total

46

58 Matemática- Noveno Grado

f

UNIDAD 2 Solución: Puedes ver, según la tabla de distribución de frecuencia, que hay 8 niños y niñas entre 0 y 4 días de nacidos; 10 entre 5 y 9 días de nacidos; etc. Como no conoces cuántos niños y niñas tienen determinado número de días, ya que las edades están agrupadas en clases, el valor de x que has de considerar es el que corresponde al punto medio de cada clase. Es decir: Edades en días de un grupo de recién nacidos 0−4

f

x = punto medio

8

0+ 4 =2 2

8 × 2 = 16

5−9

10

5+ 9 =7 2

10 × 7 = 70

10 − 14 15 − 19

12 10 + 14 = 12 2 9

fx

12 × 12 = 144

15 + 19 = 17 2

9 × 17 = 153 7 × 22 = 154

20 − 24

7

20 + 24 = 22 2

Total

46

∑ fx

Observa que el punto medio de cada clase lo calculas mediante la semisuma de los límites de la clase. Luego: X =

∑ fx n

X = 11.67 días

537

Actividad a) Con una cinta métrica mide tu estatura y las de otras 3 personas

y determina la media aritmética.

b) Se miden las longitudes de un grupo de piezas de madera,

obteniéndose la tabla siguiente. Longitud (m) 1.0 1.5 1.8 2.0 3.0

f 2 5 8 4 1

Calcula la media aritmética de las longitudes.

537 = 11.67 46

1

c) En un centro escolar se pregunta la edad a 50 alumnos que estudian

en la sección nocturna. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Edades (años) 10 − 14 15 − 19 20 − 24 25 − 29 30 − 34 total

f 8 9 14 13 6 50

Calcula la media aritmética de las edades.

Noveno Grado - Matemática 59

UNIDAD 2

¿Qué es una dispersión? Se llama variabilidad o dispersión al grado en que los datos se alejan de un valor central, el cual por lo general es la media aritmética.

¿Cuál de los dos gráficos presenta mayor dispersión o variabilidad? Las medidas de dispersión más utilizadas son: la amplitud y la desviación típica o estándar.

Amplitud Esta medida de dispersión recibe también el nombre de rango o recorrido se simboliza por A. Considera que en un estudio efectuado para mejorar el servicio de transporte, se cuentan las personas que se suben a un bus en las diferentes paradas. Los resultados fueron los siguientes: 10, 5, 18, 23, 4, 9. Al ordenarlos se obtiene lo siguiente:

4

5

9

10

18

23

Llamaremos amplitud a la diferencia que existe entre el mayor valor y el menor. Es decir:

A = 23 – 4



A = 19

En general: A= M − m, donde M es el mayor valor y m es el menor. En este ejemplo la amplitud indica que los seis datos se hallan dentro de una distancia de 19 unidades sobre la recta numérica.

60 Matemática- Noveno Grado

UNIDAD 2 Ejemplo 4 Los siguientes datos corresponden a las edades en años de un conjunto de 36 personas. Determina su amplitud. 8 1 20 43 7 48

19 5 30 45 44 3

12 2 2 8 11 35

1 14 17 28 18 41

19 18 46 23 21 49

15 49 40 50 13 23

Solución:

A = 50 – 1 = 49 años

Ejemplo 5 En un hospital, el pulso de cada paciente se mide tres veces al día; y cierto día, los registros de dos pacientes muestran los siguientes datos: Paciente 1: 73, 77 y 74 pulsaciones por minuto Paciente 2: 64, 90 y 73 pulsaciones por minuto ¿Cuál es la Amplitud en las pulsaciones para cada paciente?

Solución: Para calcular la amplitud de los datos es necesario identificar el valor más grande y el valor más pequeño del conjunto de datos de cada uno de los pacientes. Para el Paciente 1: A = 77 − 73 = 4 pulsaciones. Para el Paciente 2: A = 90 − 64 = 26 pulsaciones.

Noveno Grado - Matemática 61

UNIDAD 2 Ejemplo 6 Los porcentajes de abstencionismo en las elecciones municipales de 2009 en algunos municipios fueron: 26.3, 25.0, 22.4, 23.7, 25.8, 30.2, 20.5. Determina su amplitud.

Solución: Como 30.2 y 20.5 son el mayor y menor valor, respectivamente, tienes:

A = 30.2 – 20.5   = 9 .7

Puedes ver, que hay una diferencia de 9.7 % entre el porcentaje de abstencionismo mayor y el de abstencionismo menor.

Ejemplo 7 En otro conjunto de municipios, la amplitud de los porcentajes de abstencionismo fue de 10.8 %. Compara esta amplitud con la del ejemplo anterior.

Solución: Comparando ambas amplitudes, puede afirmarse que los porcentajes de abstencionismo. Son más dispersos es decir más variables en el ejemplo 7 que en el ejemplo 6, ya que 10.8 > 97. Pero no significa que los porcentajes de abstencionismo sean mayores en el ejemplo 7 que en el 6.

62 Matemática- Noveno Grado

UNIDAD 2

2

Actividad 1. El Banco “El Popular” informa acerca de las tasas de interés en sus bonos hipotecarios.

Año de vencimiento 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Tasa de interés 10.54 12.28 15.54 12.08 11.40 11.25

Calcula la amplitud de las tasas de interés. 2. Al revisar las inasistencias de un grupo de ocho empleados de la empresa A, se encuentra que en un período de seis meses fueron: 2, 0, 6, 3, 10, 4, 1 y 2. Al revisar los archivos de igual número de empleados de la empresa B, se encuentra que sus inasistencias en el mismo período fueron: 5, 2, 1, 3, 8, 6, 7 y 10. a) Encuentra la amplitud de inasistencia de cada empresa. b) Determina cuál de los dos grupos de empleados presenta más variabilidad

en sus inasistencias.

3. Contesta lo siguiente: ¿Dónde crees que hay más dispersión? a) En el peso de los estudiantes de octavo grado o en la edad del mismo grupo. b) En las edades de las personas que se encuentran en un concierto de rock o

en las edades de las personas que se encuentran en un partido de fútbol.

Resumen Medidas de centralización o de tendencia central son aquellas que representan el punto alrededor del cual se concentran la mayoría de las observaciones o datos. Las más conocida de ellas es la media aritmética, que se calcula sumando los valores y dividiendo la suma entre el total de valores. Variabilidad o dispersión, es el grado en que los datos se alejan de un valor central, como la media aritmética. La más elemental de estas medidas de dispersión es la amplitud, que es la diferencia entre el mayor valor y el menor.

Noveno Grado - Matemática 63

UNIDAD 2

Autocomprobación

3

Mediana b) Moda c) Amplitud d) Media a)

Las medidas que determinan el grado de dispersión en que los datos se alejan de un valor central se llaman: De centralización b) De posición c) De dispersión d) Media aritmética a)

4

a)

13.54

c) 12.48

b)

14.35

d) 13.72

La amplitud de las calificaciones: 12, 15, 10, 9 y 15 años es: 6 b) 5 años c) 5 d) 6 años a)

2. c.

2

En un grupo de estudiantes, 5 tienen: 12 años; 4 tienen 13 años y 9 tienen 15 años. El promedio de las edades expresados en años es:

1. d.

Una medida de dispersión es:

Soluciones

1

3. d.

4. d.

AMPLITUD CUARTÍLICA

1.0 0.75 0.50 0.25 0

B A

La amplitud se calcula de forma muy sencilla, pero si hay algún valor extremadamente pequeño o grande, se vuelve poco confiable. Para ello se usan la amplitud cuartílica y la centílica, que corrigen la deficiencia de la amplitud. La amplitud cuartílica es la longitud del intervalo que contiene al 50% central de los datos. Observa el gráfico de la izquierda, el 50% central de los datos se encuentran entre 0.9 y 1.7.

0.5

0.9

1.0

1.7

64 Matemática- Noveno Grado

2.0

Por lo tanto, la amplitud cuartílica es: 1.7 − 0.9 = 0.8

Lección 2

Segunda Unidad

La desviación típica Motivación

C

uando la mayoría de los datos se agrupan alrededor de la media, pero hay valores que se alejan demasiado del valor central. En este caso, ¿será confiable la medición de la amplitud? Para resolver esta situación, se creó una medida de dispersión, llamada desviación típica o estándar.

Indicadores de logro: Resolverás con dominio y confianza ejercicios y problemas aplicando las fórmulas para el cálculo de la desviación típica de un conjunto de datos no agrupados. Calcularás con interés la media aritmética.

Las edades de cinco alumnas de primaria son: 6, 8, 7, 11 y 13 años; la media aritmética de las edades es: ∑ x = 6 + 8 + 7 + 11+ 13 = 45 = 9 años. X= n 5 5

¿Qué es la desviación de los datos? Observa cómo se calcula la desviación de cada dato con respecto a la media aritmética o media.

d 1 = 6 − 9 = −3 d 2 = 8 − 9 = −1 d 3 = 7 − 9 = −2 d 4 = 11 − 9 = 2 d 5 = 13 − 9 = 4

∑= 0

Se llama desviación del dato, a la diferencia que hay entre el dato y la media. Es decir: D = X − X

Noveno Grado - Matemática 65

UNIDAD 2 Puedes ver, que la suma de las desviaciones respecto a la media, es igual a cero. Si repites este procedimiento con otros valores, llegas al mismo resultado. Para encontrar un índice que mida el grado de dispersión se usa el cuadrado de las desviaciones: 2 (d2 = (x − x ) )

Ejemplo 1 Los sueldos por hora de cinco empleados de diferente nivel son $2, $10, $6, $8 y $9. Calcula la desviación típica.

Solución: Comienza calculando :

Esto se muestra en el cuadro siguiente: Datos x

d=x-x

d 2 = (x - x) 2

6

6−9= −3

( −3)2 = 9

8

8 − 9 = −1

( −1)2 = 1

7

7−9=−2

( −2) = 4

11

11 − 9 = 2

22 = 4

13

13 − 9 = − 4

4 2 = 16

X=

2

∑ x = 2 + 10 + 6 + 8 + 9 = 35 = $7 n

5

5

x

x-x

(x - x) 2

2 10 6 8 9

2 − 7 =− 5 10 − 7 = 3 6−7=−1 8−7=−1 9−7=2

(−5)2 = 25 32 = 9 (−1)2 = 1 12 = 1 22 = 4

Σ ( x − x )2 = 34 ¿Cómo calculas la media de las desviaciones al cuadrado? Divide la sumatoria del cuadrado de la diferencia de los datos y la media entre el número de datos. Compara tu respuesta con la siguiente: Σ ( x − x )2 34 = n 5 La media de las desviaciones al cuadrado es: 6.8

Extrayéndole la raíz cuadrada, a la media de estas desviaciones (6.8); se llega a la desviación típica. Llamamos desviación típica o estándar, a la raíz cuadrada de la media de las desviaciones al cuadrado. A la desviación típica, la representas por la letra σ (sigma minúscula). Para el ejemplo que nos ocupa: 34 Σ ( x − x )2 σ= = = 2.61 años. n 5 Por lo tanto 2.61años es aproximadamente el desvío promedio de cada edad respecto de la media del grupo.

66 Matemática- Noveno Grado

Σ( x − x )2 = 40 Como la desviación típica, es la raíz cuadrada del promedio de las desviaciones al cuadrado, entonces: 40 Σ ( x − x )2 = = $2.83 n 5 ¿Qué representa este valor?

σ=

UNIDAD 2 Ejemplo 2 Las estaturas en centímetros de 10 estudiantes de tercer ciclo de un centro educativo son: 157, 165, 173, 152, 170, 160, 165, 159, 176, y 161. Calcula la desviación típica.

Σ x 1638 = = 163.8 n 10 Ahora calcula las desviaciones al cuadrado. Puedes comprobar que cm. x =

x

(x - x) 2

157 165 173 152 170 160 165 159 176 161

(157-163.8)2 = 46.24 (165-163.8)2 = 1.44 (173-163.8)2 = 84.64 (152-163.8)2 = 139.24 (170-163.8)2 = 38.44 (160-163.8)2 = 14.44 (165-163.8)2 = 1.44 (159-163.8)2 = 23.04 (176-163.8)2 = 148.84 (161-163.8)2 = 7.84

Σ( x − x )2 = 505.6 Hasta ahora, hemos calculado la suma de las desviaciones al cuadrado. La desviación típica es: 505.6 Σ ( x − x )2 σ= = = 7.11cm ¿Qué representa este valor? n 10

Noveno Grado - Matemática 67

UNIDAD 2

1

Actividad

a) Copia y utiliza el cuadro para

x

calcular la desviación típica de las medidas: 2, 4, 7, 8 y 9 pulgadas.

x-x

(x - x) 2

2 4 7 8 9 Σ( x − x )2 =

b) Calcula la desviación típica de los datos: 6, 8, 7, 5, 3 y 7. c) Para calcular el gasto promedio de gasolina por galón de un vehículo, que recorre distancias en

millas, se realizan 20 viajes de éste, en arterias urbanas de una ciudad. Los datos se muestran en el siguiente cuadro. Determina la desviación estándar de las millas por galón obtenidas.

19.7 21.9 22.8 22.0

68 Matemática- Noveno Grado

21.5 20.5 23.2 23.0

22.5 19.3 21.4 21.1

22.2 19.9 20.8 20.9

22.6 21.7 19.4 21.3

x

(x - x) 2

19.7 21.9 22.8 22.0

( 19.7 – 21.39)2 = 2.86

UNIDAD 2 Ejemplo 3 Se tienen dos series de datos: Serie m: 2, 5, 8, 4, 6 Serie n: 3, 9, 4, 6, 3

Determina la dispersión de cada una mediante la amplitud y la desviación típica.

Solución: Para la serie m.

Am = 8 − 2 Am = 6

Para la serie n.

An = 9 − 3 An = 6

Mediante la amplitud podemos decir que la dispersión de ambas series es igual. Vamos ahora a calcular la desviación típica de ambas series de datos. Para la serie A. Σ x 2 + 5 + 8 + 4 + 6 25 x= = = =5 n 5 5 Luego calculas las desviaciones al cuadrado. x

(x - x) 2

2 5 8 4 6

(2 − 5)2 = 9 (5 − 5)2 = 0 (8 − 5)2 = 9 (4 − 5)2 = 1 (6 − 5)2 = 1 Σ( x − x )2 = 20

Luego: σ =

20 Σ ( x − x )2 = =2 n 5

Para la serie B: x =

∑ x = 3 + 9 + 4 + 6 + 3 = 25 = 5 n

5

5

Noveno Grado - Matemática 69

UNIDAD 2 Ahora calculas las desviaciones al cuadrado.

Punto de apoyo

x

(x - x) 2

3 9 4 6 3

(3 − 5)2 = 4 (9 − 5)2 = 16 (4 − 5)2 = 1 (6 − 5)2 = 1 (3 − 5)2 = 4

Al comparar la desviación típica de dos grupos de datos es más representativa la que da menor valor ya que indica que los datos tienen menor dispersión es decir el resultado es más representativo.

Σ( x − x )2 = 26 Luego: σ =

26 Σ ( x − x )2 = = 2.28 n 5

El siguiente cuadro presenta los resultados obtenidos en ambas series: Serie A B

A

X 5 5

6 6

σ 2 2.28

Puedes ver, que ambas series poseen igual media aritmética e igual amplitud. Sin embargo, como la serie B presenta mayor desviación típica que la serie A, entonces su dispersión es mayor. ¿Cuál de las dos concentra más los datos? ¿Cuál sería la más confiable?

Ejemplo 4 El gerente de ventas de una empresa decide estimular a sus mejores vendedores, para lo cual les ofrece una entrada en el palco de la compañía a él y toda su familia para ver el partido El Salvador-México por la eliminatoria del Mundial Sudáfrica 2010. Decide que será estimulada la persona que más haya vendido en los últimos 3 meses. Pero a la hora de comparar, resultan ser dos personas las que presentan mejor promedio en las metas alcanzadas. Ellas son: Ana (A): 95, 110, 95 Beatriz (B): 95, 135, 70. ¿A cuál de las dos elige el gerente para darle el premio? ¿Qué criterio utiliza para elegirlo?

70 Matemática- Noveno Grado

UNIDAD 2 Solución: Primeramente calcula la media del porcentaje de ventas. 85 + 110 + 105 Para A: x = = 100% 3 95 + 135 + 70 = 100% 3 En vista de que ambos presentan un 100% de ventas en el último trimestre, el gerente pide a María José, estudiante de estadística, que le ayude a resolver la situación. ¿Qué harías tú si fueras María José?



Para B:

Compara tu respuesta con la solución que ella dio. Comenzó calculando las desviaciones típicas de cada uno y luego las comparó. Cálculo de la desviación típica de A: x 85 110 105

(x - x ) 2 (85 – 100)2 = 225 (110 – 100)2 = 100 (105 – 100)2 = 25

350 3 = 10.80 Realiza el mismo procedimiento con los datos de Beatriz y determina quien merece más ir al estadio.

∑

( x − x )2 = 350; Luego: σ =

Actividad

2

Las edades de un grupo de niños son: 3,5,8 y 4 años , mientras que las de otro grupo son 6,2,8 y 4 años: a) Demuestra que ambos grupos tienen la misma media y amplitud. b) Determina cuál grupo presenta mayor dispersión.

Resumen La desviación típica, también llamada desviación estándar, es la raíz cuadrada del promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. Entre mayor sea la desviación típica de un conjunto de datos, mayor es su dispersión. Su utilidad está en determinar la representatividad de los datos la cual es más confiable cuando hay menor dispersión.

Noveno Grado - Matemática 71

UNIDAD 2

Autocomprobación

3

Amplitud o recorrido b) Promedio c) Desviación d) Desviación típica a)

Sean los siguientes grupos de datos: 3, 5, 4, 8 b) 5, 5, 5,5 a)



c) 5, 5, 5,1 d) 4, 10, 5,1

Al determinar por simple inspección cuál tiene menor dispersión, este resulta ser: El grupo A b) El grupo B a)

c) El grupo C d) El grupo D

3. c.



B b) D a)

4

c) C d) A

La desviación típica de las edades 2, 5, 8, 4, y 6 años es igual a: 4 b) 4 años c) 2 d) 2 años a)

2. b.

2

Considera los grupos de datos: A (0, 0, 14, 14), B (0, 6, 8, 14), C (6, 6, 8, 8) y D (4, 10, 0, 14) cada una tiene una media de 7. ¿Cuál de los grupos tiene desviación típica de 1?:

1. d.

La medida que obtiene de la mejor manera la dispersión de un conjunto de datos se llama:

Soluciones

1

4. d.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

σ C v = : 100 x 72 Matemática- Noveno Grado

El coeficiente de variación (cv), es una medida relativa de dispersión. Se expresa como porcentaje, en vez de las unidades de los datos. Es de particular importancia el comparar la dispersión de dos o más conjuntos de datos que se expresan en diferentes unidades de medidas. Por ejemplo, se puede determinar si los datos tomados al medir el volúmen de llenado de un envase de cierto líquido varian más que los datos tomados al medir la temperatura del líquido contenido en el envase al salir al consumidor.

Lección 3

Segunda Unidad

Ángulos Motivación

E

n la vida cotidiana te has encontrado muchas veces y en muchos contextos con la palabra ángulo. A continuación te presentamos algunos de ellos: en la fotografía la bicicleta forma ángulo con respecto a la calle inclinada.

Indicadores de logro: Utilizarás con seguridad los giros en sentido horario y anti horario para construir y señalar ángulos positivos y negativos. Construirás con precisión parejas de ángulos coterminales. Calcularás el menor ángulo positivo y el mayor ángulo negativo que sea coterminal a un ángulo dado, mostrando confianza.

Resolverás problemas determinando el menor ángulo positivo y el mayor ángulo negativo que sean coterminales a un ángulo dado.

Has observado que al descender en una bicicleta por una calle, alcanzas una velocidad bastante rápida y sientes necesidad de aplicar los frenos. Esto es debido a la inclinación que tiene la cuesta, o dicho de otra forma; al ángulo que tiene esta pendiente con respecto al suelo. ¿Pero qué es un ángulo? Si te fijas en la figura, hay dos semi-rectas que parten de un mismo punto(A). Estas semi-rectas son los lados del ángulo; y el punto O (punto común) el vértice.

A

α

Para nombrar los ángulos, utilizarás los símbolos < ABC y < XYZ. Puedes además, nombrarlos mediante una letra griega que se coloca dentro del ángulo. También puedes nombrar por la letra que represente al vértice. Como se muestra en las siguientes figuras:

B

C Y

X

β

Z

a) Una letra mayúscula en el vértice:

Noveno Grado - Matemática 73

UNIDAD 2 b) Una letra griega o un símbolo en la abertura.

α

Φ c) Tres letras mayúsculas. 1 (−8,0)

-8

-6

B

-4

-2

0 -1

A

y

 2   3 ,0 

0

2

C 3

x

4

Los ángulos tienen una unidad de medición -2 propia, que fue inventada hace muchos  1  0,−2 5  años y que hasta el día de hoy la utilizarás-3para medirlos. Los ángulos se miden en grados y su forma de representarlos es con -4 cero en la parte superior derecha del número, mira a continuación(−3,−4) la forma de-5escribirlos: que puedes decirlo en palabras, así: 30o, 45o y 60o respectivamente. -6  2  0,−6 5 

El instrumento para medir los ángulos en-7grados lo conocerás como transportador y es una semicircunferencia como se muestra en la siguiente figura:

El transportador de forma circular es llamado: Circunferencia. La medición de ángulos se basa en una vuelta completa de una circunferencia. Dicha vuelta se mide en un total de 360 grados, lo que te dice que un ángulo es una unidad de esas 360 partes. Los ángulos los tienes que medir con el transportador, comenzando de derecha a izquierda, en forma contraria de las agujas de un reloj. Para medir ángulos existen instrumentos desde muy antiguo. Los egipcios, debido a la necesidad de establecer anualmente los límites de sus parcelas por la inundación del Nilo, utilizaban para medir instrumentos más o menos sofisticados.

74 Matemática- Noveno Grado

Sol

UNIDAD 2 Si te fijas, estas rectas tienen un punto común y si te recuerdas se llama vértice, te servirá de punto de partida para que coloques el transportador, haciendo coincidir este punto de de la figura con el centro del transportador. La forma de colocar el transportador para medir un ángulo de 45o es la que estás viendo en esta figura de la par.

90°

180°

Ángulo = 45°

0°

La medida de un ángulo determina el tipo de ángulo:

90̊

45̊

135̊

180̊

Este lo conocerás como un ángulo recto el cual mide 90o exactamente, en los gráficos utilizas el símbolo: el cual te indica un ángulo recto.

Ángulo agudo: lo llamarás así por que mide menos de 90º

Ángulo obtuso: es el ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º

Este por medir exactamente 180º se le llama ángulo llano.

Ya se dijo que la circunferencia mide 360o esto obedece al sistema sexagesimal, este sistema divide a la circunferencia en 4 partes iguales, las cuales las denomina cuadrantes, cada cuadrante tiene 90 partes iguales y cada una de estas partes se llama grado (o). Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60’’) correspondiendo cada una de estas partes a un segundo. Así, un grado tiene 60 minutos y 60 × 60 = 3,600 segundos.

Noveno Grado - Matemática 75

UNIDAD 2 También puedes considerar que un ángulo puede ser positivo o negativo, esto te lo indica la forma de rotación del lado inicial del ángulo alrededor del punto O, llamado vértice, hasta llegar al lado terminal; cuando esta rotación se realiza en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, dirás que el ángulo es positivo; en caso contrario es negativo. Ángulo positivo

Ángulo negativo Lado inicial

0 Lado terminal 0

Lado terminal

Lado inicial

Una notación que tú puedes usar del grado y sus submúltiplos sexagesimales es el siguiente: 10o: que significa diez grados. 15’: significa quince minutos 35’’: significa treinta y cinco segundos.

Observa Un ángulo puede expresarse de la siguiente manera 10o15’ 35’’

Si quieres expresar 7.42o en grados, minutos y segundos, lo que tienes que hacer es lo siguiente: 7.42o tiene 7 grados, 4 décimas de grado y 2 centésimas de grado. La décima parte de un grado es: 60’ = 6 ’ (un grado tiene 60 minutos) 10 La centésima parte de un grado es: 3600’’ = 36 ’’ (un grado tiene 3600 segundos) 100 Entonces: 4 décimas (4 × 6’) = 24’, 24 minutos. 2 centésimas (2 × 36’’) = 72’’, 72 segundos. Por lo tanto, tienes 7.42o es igual a: 7°24 ’ 72’’ que se lee 7 grados 24 minutos con 72 segundos. Hasta ahora te he hablado de ángulos positivos y negativos, generados por la rotación de su lado inicial, también de la clasificación de los ángulos y como expresar ángulos en submúltiplos sexagesimales. Intenta ahora darles valor a esos ángulos, o dicho de otra forma, mide los ángulos.

76 Matemática- Noveno Grado

UNIDAD 2 Observa el siguiente gráfico:

Ejemplo 1 Encuentra el menor ángulo positivo que sea coterminal con el ángulo que mide 60o Le sumas 360o al ángulo que te han dado:

α = −1 20°

α = 240°

60o + 360o = 420o

60̊

420°

Si a partir de 240° haces una rotación completa en el sentido horario obtienes 240o + (− 360o) = − 120o El ángulo que resultó es de −120° Tomas en cuenta que está formado en el sentido de las agujas del reloj por lo tanto es negativo. Por lo tanto a 240o y −120° se les denominan ángulos coterminales. Estos ángulos se llaman así porque tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.

Ejemplo 2 Encuentra un ángulo negativo que sea coterminal con 270o Procede de la siguiente manera:

270o − 360o = − 90o

Si quieres encontrar otro ángulo coterminal que sea positivo, basta con que le sumes 360o: 240o + 360o = 600o Si quieres encontrar un ángulo que sea coterminal negativo, le restas una vuelta completa:

270̊

−90̊

240o − 360o = −120°

Noveno Grado - Matemática 77

UNIDAD 2

1

Actividad

Encuentra en cada ejercicio, el menor ángulo positivo y el mayor negativo que sea coterminal con los ángulos dados. a)

38o

c)

77o

b)

−105o

d)

− 395o

e)

215o3´

Otra forma de que clasifiques pares de ángulos es atendiendo la complementariedad o suplementaridad de los ángulos. 90°

α

180°

θ

ω

α

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ejemplo 3 Para el ángulo que mide 75o, su ángulo complementario lo determinas de la siguiente manera: 90°− 75°= 15° Y el suplementario lo encuentras así: 180°− 75°= 105° Los ángulos complementarios son los que sumados miden 90o Los ángulos suplementarios son los que sumados miden 180o Si tienes alguna duda, puedes verificar en las gráficas el proceso para obtener cada uno de ellos.

Ejemplo 4 Encuentra los ángulos complementario y suplementario de 77o Complementario:

Suplementario:

90°− 77°= 13°

180°− 77°= 103°

77o

78 Matemática- Noveno Grado

13

o

77o

103o

UNIDAD 2

2

Actividad 1. Encuentra el ángulo complementario del ángulo dado. a)

75o

c)

50o

b)

18o

d) 30o

e) 25o f) 25o30´

2. Encuentra el ángulo suplementario del ángulo dado. a) 115o

c) 93o

b) 60o

d) 45o

e) 30o30´

Resumen En esta lección aprendiste acerca de los ángulos y sus elementos. También clasificaste algunos ángulos de acuerdo a su rotación y abertura del ángulo. Verificaste cuándo un ángulo es coterminal y finalmente los ángulos complementarios y suplementarios.

Ángulo: figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Ángulo recto: es aquél que mide 90 grados. Ángulo llano: es el que mide 180 grados. Ángulo obtuso: es un ángulo mayor de 90 y menor de 180 grados. Ángulos coterminales: tienen el mismo lado inicial y el mismo terminal. Ángulos complementarios: cuando la suma de ambos es igual a 90 grados. Ángulos suplementarios: cuando su suma es igual a 180 grados.

Noveno Grado - Matemática 79

UNIDAD 2

Autocomprobación Es el ángulo suplemento de 19o:

3



341o b) 71o c) 161o d) 61o

a)

85o b) 5o c) 265o d) 65o

a)

Un ángulo coterminal con − 75o es: 15o b) 255o c) 105o d) 285o

Es un ángulo coterminal de 235o: a)

125o b) 595o c) 235o d) 65o

2. b.

a)

4



1. a.

2



El ángulo complementario de 85o es:

Soluciones

1



3. b.

4. b.

APLICANDO ÁNGULOS

TM9P080

80 Matemática- Noveno Grado

Los ángulos, son parte esencial de las técnicas de triangulación usadas en astronomía, para medir la distancia a las estrellas próximas. En geografía, los ángulos se utilizan para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélite. En anatomía son importantes los ángulos que forma la columna vertebral. En ingeniería, los ángulos se utilizan frecuentemente en la construcción de casas, escaleras, etc. En las direcciones a seguir de los barcos, aviones y otros. También, los ángulos se usan para calcular la fuerza sobre un objeto.

Lección 4

Segunda Unidad

Medidas de los ángulos Motivación

El planeta Tierra efectúa un recorrido alrededor del Sol. Este 1

(−8,0)

y

 2   3 3 ,0 

0

x

0 al cual movimiento completo lo realiza en horas, se4 le -8 365 -6 días -4 y 5 -2 2 -1 llama movimiento de traslación. -2 -3

Sol

 1  0,−2 5 

Antes se creía, que esta vuelta de la tierra la hacía en -4360 días y por -5 eso le asignaron la duración de esos 360 días. Representa la vuelta -6 completa de la circunferencia como la ves en el gráfico. -7 La circunferencia la dividieron en 360 partes y cada parte simbolizaba un día, y esa abertura de la circunferencia que simbolizaba un día se le llamó un grado (o). (−3,−4)

Tierra

 2 0,−6  5 

Indicadores de logro: Determinarás y explicarás con esmero las medidas de ángulos en grados sexagesimales.

La magnitud de un ángulo va a depender de la abertura de sus lados y no de la longitud; que tienen estos lados. Observa las siguientes figuras:

α

β θ

λ γ

Compara los ángulos anteriores, ¿puedes decir cuáles son iguales? Muy bien, son iguales: α = θ y β = γ Además, habrás observado que hay dos ángulos negativos ya que se han medido en sentido de las agujas del reloj.

Noveno Grado - Matemática 81

UNIDAD 2 Así mismo, a la mitad de una rotación le asignarás 180o y; a la cuarta parte de la rotación, 90o siguiendo siempre el sentido contrario a las manecillas del reloj. Es importante que recuerdes, que medir un ángulo significa que tienes que compararlo con otro ángulo al cual debes considerar como la unidad de medida. A esta medida le asignarás un valor numérico.

Sistema sexagesimal Si divides la circunferencia en cuatro partes iguales tendrás entonces 4 cuadrantes y cada uno de ellos tiene 90 partes iguales. En este caso le llamaremos grados a cada parte, que se simboliza (o).

Tú puedes expresar el valor de los ángulos solamente en grados o utilizando los submúltiplos sexagesimales. Mira este ejemplo.

Ejemplo 2 15.53o si te fijas el valor tiene parte entera y parte decimal. Vas a utilizar lo que aprendiste en la lección pasada para convertir la expresión en grados, minutos y segundos. Quitas la parte entera y le asignas el valor en grados: 15o La parte decimal que te quedó la multiplicas por el primer submúltiplo (minutos) 0.53 × 60’ = 31.8’ como lo multiplicaste por 60 minutos la respuesta queda en minutos. Pero quitando la parte entera, le asignas el valor en minutos: 31’

Esta unidad angular la llamarás grado sexagesimal. Cada grado lo divides en sesenta partes iguales y los llamarás minutos. 1o = 60’ (minutos en sistema sexagesimal) entonces: 1’ = 1” (minuto sexagesimal). 60 Un minuto lo divides en sesenta partes iguales y a cada parte la llamas segundo(”). 1’ 1’=60” (segundos sexagesimales) que resulta de: = 1” 60 (un segundo sexagesimal).

Ejemplo 1 Observa la siguiente expresión: 45o 18’ 9’’ Lo anterior lo puedes expresar en letras así: 45 grados, 18 minutos con 9 segundos. Esta expresión es la medida de un ángulo expresada en grados, minutos y segundos, estos dos últimos son submúltiplos del grado sexagesimal.

82 Matemática- Noveno Grado

Te quedó todavía parte decimal, multiplicas por 60 segundos que es el siguiente submúltiplo. 0.8 × 60’ = 48’’ y tienes como resultado: 15.53o es igual a 15o 31’48’’ y que se lee: 15 grados, 31 minutos con 48 segundos.

UNIDAD 2 Ahora, ya puedes expresar los ángulos en grados minutos y segundos y lo comprobarás con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3 Expresa en grados, minutos y segundos el siguiente ángulo que mide 38.46o

Ejemplo 4 3 de rotación en valor angular, 4 debes multiplicar la fracción por el valor de una rotación completa.

Si deseas expresar

Comienza con quitar la parte entera: 38o Multiplica la parte decimal por 60’: 0.46 × 60’= 27.6’ Ahora multiplica la parte decimal del anterior resultado por 60 ’’: 0.6 × 60” = 36” Te quedó 38o 27’36’’ (38 grados, 27 minutos y 36 segundos)

Medidas angulares en rotaciones Ya sabes, que si la rotación de un ángulo es en el sentido contrario de las agujas del reloj, éste es positivo. Ahora verás como se expresan las rotaciones en ángulos. Observa la gráfica:

3 × 360° y haces las operaciones 4 3( 360 ) 1080 = respectivas : 4 4 Al final obtienes de la división 270o (270 grados) Entonces tienes:

Concluyes que 270o son equivalentes con:

3 de rotación. 4

La línea curva experimenta una vuelta completa o rotación completa. Una rotación equivale a 360o, dos rotaciones serán 720o, tres rotaciones 1080o Que pasaría si las rotaciones no las haces completas y son expresadas en fracciones. Entonces tienes que hacer una conversión con números con fracciones equivalentes a los grados respectivos, observa como se hace en el siguiente ejemplo.

Noveno Grado - Matemática 83

UNIDAD 2 Ejemplo 5 Escribe la medida del ángulo equivalente a: 5 de rotación. 6 Multiplicas la fracción por 360 grados: 5( 360° ) 5 × 360° = 6 6 Realizas las operaciones:

1800 300° (300 grados). 6

Asi, 5 de rotación es igual a 300 grados. 6

Ejemplo 6 La rotación efectuada en el sentido de las agujas del reloj 1 es de , encuentra el valor del ángulo correspondiente. 9 Efectúa el mismo procedimiento anterior, con la diferencia que el ángulo que encuentres no será positivo: 1 1( 360° ) × 360° = 9 9 360° = 40° 9

40°

84 Matemática- Noveno Grado

Efectúa la operación para encontrar el ángulo coterminal positivo, al ángulo encontrado en el ejercicio 6. Tienes que recordar de la lección anterior, que al ángulo dado le sumas 360 grados de una vuelta completa. Para este caso: −40°+ 360°= 320°

Como la rotación es el sentido de las agujas del reloj, el ángulo es: −40°

320°

Ejemplo 7

Entonces puedes concluir que: 320o es el ángulo coterminal positivo de −40° y lo puedes apreciar también en la gráfica anterior.

UNIDAD 2

Suma de ángulos en el sistema sexagesimal La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analiza la siguiente situación

Ejemplo 8 Cristina, es una corredora de maratón, que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Cristina en ambos días? Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta: . 2 h 48 min 35 s + 2 h 45 min 30 s 4 h 93 min 65 s

Ejemplo 9 Realiza la suma de los ángulos 56º 20’ 40’’ + 37º 42’ 15’’ Sumas por separado los grados, minutos y segundos, al igual que el ejemplo anterior: 56° 20’ 40’’ + 37° 42’ 15’’ = 93° 62’ 55’’ Si te fijas los segundos no sobrepasan los 60 y por eso no hay cambio alguno.



Si observas 62 minutos equivalen a 1o más 2’ esto es porque 60’ = 1o Al final la suma te queda: 94o 2’55’’ o 94 grados, 2 minutos con 55 segundos.

Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:

Ejemplo 10



Realiza la siguiente suma 125º 15’ 30’’ + 24º 50’ 40’’ y así tu puedes aclarar las dudas que tengas con este tema.

4 h 94 min 5 s

De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos.

Separas los grados, minutos y segundos.

Luego la suma es:



125 grados 15 min 30 s

5 h 34 min 5 s



+ 24 grados 50 min 40 s

Estos mismos procedimientos puedes realizar para sumar ángulos.



194 grados 65 min 70 s



En 70 segundos hay 1 minuto (60 segundos) con 10 segundos. Luego la suma se puede escribir así:

194o66’10’’

De la misma forma en 66 minutos equivalen a 1 grado con 6 minutos. Al final la suma te queda: 195o66’10’’ ó 195 grados 6 minutos con 10 segundos.

Noveno Grado - Matemática 85

UNIDAD 2

Resta de ángulos en el sistema sexagesimal En la primera carrera, Cristina había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañera corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambas? Debes hacer la siguiente operación:

3 h 0 min 0 s − 2 h 48 min 35 s

Igual que en la suma, deberías restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no puedes hacer las restas 0 − 35 (segundos) ni 0 − 48 (minutos). Para conseguirlo transformas una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59’ 60’’.

2 h 59 min 60 s − 2 h 48 min 35 s 0 h 11 min 25 s

La diferencia de tiempo es de 11 minutos y 25 segundos.

Ejemplo 11 Realiza la siguiente resta de los ángulos: 56º 20’ 40’’ − 37º 42’ 15’’

56 grados 20min 40 s − 37 grados 42 min 15 s

En este ejemplo puedes restar 20 − 42 (minutos). Para conseguirlo transformas un grado en 60 minutos y ya tienes 55 grados 80 minutos y 40 segundos. Y luego ya puedes operar:

55 grados 80 min 40 s −37 grados 42 min 15 s 18 grados 38 min 25 s

Tu respuesta es: 18o38’25’’

86 Matemática- Noveno Grado

UNIDAD 2

1

Actividad

1. A continuación, se te proporcionan las rotaciones efectuadas en sentido contrario de las agujas del reloj, escribe en cada caso, la medida del ángulo correspondiente. 1 3 1 a) de rotación. c) de rotación. e) de rotación. 12 4 3 b)

2 de rotación. 9

d)

3 de rotación. 2

2. Ahora, se te proporcionan las rotaciones efectuadas en el mismo sentido de las agujas del reloj, escribe en cada caso la medida del menor ángulo positivo que sea coterminal con el ángulo negativo que genera la rotación dada. 3 1 11 de rotación. a) de rotación. c) de rotación. e) 10 9 6 3 7 b) de rotación. d) de rotación. 8 3 3. Realiza las siguientes sumas en sistema sexagesimal: a)

56º 20’ 40’’ + 37º 42’ 15’’

b)

125º 15’ 30’’ + 24º 50’ 40’’

c)

33º 33’ 33’’ + 17º 43’ 34’’ 4. Realiza las siguientes restas en sistema sexagesimal: a)

56º 20’ 40’’ − 37º 42’ 15’’

b)

125º 15’ 30’’ − 24º 50’ 40’’

c)

33º 33’ 33’’ − 17º 43’ 34’’

Resumen En esta lección, aprendiste todo acerca del sistema de medición de ángulos, basado en el sistema sexagesimal. Además aprendiste, de cómo se comportan los ángulos, cuando experimentan rotaciones en el sentido contrario de las agujas del reloj y al hacerlo en el mismo sentido de las agujas del reloj. Aprendiste a sumar y restar ángulos en el sistema sexagesimal.

Noveno Grado - Matemática 87

UNIDAD 2

Autocomprobación

a)

90o b) 270o c) 180o d) 220o

El equivalente de 3 de rotación en medida 8 angular es: −135° b) 135o c) 225o d) −225° a)

4

Al efectuar la suma sexagesimal de 125º 15’ 30’’ + 24º 50’ 40’’, te da: a) 151º 6’ 10’’ b) 150º 6’ 10’’ c) 151º 6’ d) 150º 6’

2. b.

3

El equivalente de de rotación en sentido 4 contrario al reloj, medida angular es:

3

1. b.

2

Expresa en grados minutos y segundos este ángulo: 23.45o a) 23º 27’ 0’’ b) 23º 45’ 0’’ c) 23º 26’ 59’’ d) 23º 26’ 0’’

Soluciones

1

3. a.

4. b.

DIRECCIONABILIDAD EN UN AUTOMÓVIL

. TM9P088

88 Matemática- Noveno Grado

Direccionabilidad: el desgaste de los neumáticos, influye en el rendimiento del automóvil, en su seguridad y en las prestaciones ofrecidas; pero este desgaste puede producirse por causas derivadas de la variación de los parámetros de la direccionabilidad. La denominación de estos parámetros es: ángulo de avance, ángulo de caída, ángulo de carga y convergencia. Estos ángulos son característicos de cada automóvil y cada uno tiene distintas utilidades. El ángulo de avance permite asegurar una fácil recuperación de la posición de las ruedas en la dirección recta. El ángulo de caída depende de la carga del automóvil.

Lección 5

Segunda Unidad

Conversiones de ángulos Motivación

S

e necesita a efectos de una fumigación conocer la longitud de arco formado por una circunferencia con centro en San Salvador y radio la distancia de San Salvador a Zacatecoluca. Se conoce la información dada en el mapa ¿Podrías encontrar la longitud de su arco? ¿Podrías encontrar también la longitud de arco si utilizas como radio la distancia de San Salvador a San Miguel?

San Salvador 56 km

θ

158 km

Zacatecoluca

San Miguel

Indicadores de logro: Mostrarás confianza al convertir ángulos expresados en grados a radianes y viceversa, utilizando los factores de conversión. Utilizarás con confianza factores de conversión para resolver problemas que involucren medidas angulares.

Construirás y explicarás con seguridad un arco. Calcularás con interés la longitud de un arco. Calcularás con esmero el área de un sector circular.

Sistema circular o radial En este sistema de medición de arcos, se adopta como unidad el radián, que es el arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia a que pertenece.

B 0 ar

Radián

El ángulo central que abarca el arco de 1 radián se llama ángulo correspondiente a un radián, o abreviadamente, ángulo de 1 radián. En general, cuando se te dice que un ángulo es igual a “n” radianes, se quiere expresar con ello que es el ángulo central; que corresponde a un arco de “n” radianes.

A

Noveno Grado - Matemática 89

UNIDAD 2 Como la circunferencia tiene una longitud 2πr , resulta que la longitud de la circunferencia expresada, en radianes es igual a 2π , o sea: Longitud circunferencia = 2 π radianes y el ángulo central total, o sea el ángulo de 360 º es igual a 2π ángulos de 1 radián. Si adoptas como unidad el radián, te resultan las siguientes medidas para los arcos que se detallan a continuación: Circunferencia= 2π Semicircunferencia = π π Cuadrante= 2



Equivalencia entre medidas del sistema sexagesimal y circular Como:

1 ángulo recto = 90º

Y :

1 ángulo recto

Te resulta lo siguiente: 90°= radián. Por lo tanto:

π ángulos de un radián, 2

π π ángulos de un radián y 1°= ángulos de un 180° 2

Dado un ángulo en grados sexagesimales basta multiplicar su medida por obtenerlo expresado en el sistema circular.

π para 180°

Ejemplo 1 Expresa en el sistema circular un ángulo de 36°. π 36°π π Multiplicas el ángulo por así: × 36° = 180° 180° 180° Simplificas la parte numérica, dividiendo los dos términos de la fracción por 36. 1 Te resulta que: π es la simplificación y por lo tanto es tu respuesta buscada. 5 1 En otras palabras dices que: 36°= π radián. Que también puedes expresarla en 5 1 términos numéricos: 36o = (3.141592), te queda que 36o = 0.628318 ángulos de 5 1 radián.

90 Matemática- Noveno Grado

UNIDAD 2 Ejemplo 2 Convierte ahora 60o a radianes.

π radián y tienes lo siguiente: 180° ( 60°)πrad 180° 1 Simplificas la parte numérica: π rad. ó 1.047 rad. 3 Ahora convierte medidas circulares en radianes a grados sexagesimales.

Multiplica: 60o ×

Punto de apoyo El valor de π es 3.141592

1 rad = 57.296o

Ejemplo 3 π rad . a grados sexagesimales: 6 π 180 rad. y 1 rad.= grados. Recuerda que: 1°= 180 π Multiplicas el ángulo en radianes por lo que equivale a un radián así: Vas a expresar

π 180 π (180 ) = simplificas los términos semejantes. En este caso es π para × 6( π ) 6 π 180 y divides o simplificas obteniendo un solo valor: obtener una fracción numérica: 6 180 = 30o 6 Es muy fácil estas conversiones así que resuelve este otro ejemplo.

Ejemplo 4 Expresa en grados sexagesimal el siguiente ángulo: 2 rad 5 2 180° (2)180° 360° Multiplicas: rad × = = (5)π (5)π 5 π

Y simplificas esta expresión:

72° que es igual a 22o 55' 6 '' aproximadamente. π

Verifícalo en tu cuaderno.

Noveno Grado - Matemática 91

UNIDAD 2

1

Actividad

1. Convierte cada medida con aproximación a grados. −3π a) rad c) 2 rad 4 7π rad d) −1.5 rad 12 2. Muestra la medida equivalente en radianes para cada ángulo. b)

e)

1 rad 2

f)

9π 4

a) 45°

c) −180°

e) 300°

b) 120°

d) 240°

f) −330°

Arco como sección de una circunferencia Denominarás arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia, queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por su cuerda. Tal y como se muestra en la figura.

C

B Arco subtendido por A, C y B.

A

92 Matemática- Noveno Grado

UNIDAD 2

Longitud de Arco Ejemplo 5

Observa otro ejemplo.

En una circunferencia cuyo radio mide 2 centímetros y π se forma un arco con un ángulo de rad. Encuentra la 6 longitud de su arco.

Ejemplo 6

Defines los datos que están en el enunciado del problema: Radio (r)= 2 cms. π Ángulo ( θ )= rad. 6 S= longitud de Arco. Como el ángulo esta en términos de radianes utilizaremos en forma directa los datos encontrados en la siguiente fórmula: S= r. t (t = abertura del ángulo) π Sustituye los datos: S= (2 cms) ( rad) 6 π Al simplificar la parte numérica nos queda. cms. En 3 valor numérico: La longitud del arco es de 1.05 cms. Si θ es un ángulo central que mide un radián, la longitud de arco subtendido será igual a la longitud de radio (r).

Encuentra la longitud del arco, cuyo radio mide 4 cms y subtiende un ángulo de 75o recordándote que el ángulo debe estar expresado en radianes para obtener la longitud de arco, por lo tienes que hacer la conversión de 75o a radianes. Multiplicas por: 75°× π 180 5 rad = simplificas πrad 180 π 12 La longitud la encuentras así: S= rt 5 πrad )= simplificas los valores 12 5 numéricos: π cms. 3 Al final te queda: la longitud del arco es de 5.24 cms. S= (4 cms) (

Ejemplo 7 Encuentra la longitud de una circunferencia con un diámetro de 6 cm. Recuerda: La longitud de una circunferencia es:L = 2πr ó L = πd ya que d = 2r

Cuando el ángulo mide 2 rad. La longitud del arco subtendido valdrá 2r.

(Puedes trabajar π con dos decimales) En este caso no tenemos que convertir y utilizamos la fórmula: L= π d Donde: L = longitud de la circunferencia

d = diámetro, entonces L= (3.14)(6) = 18.84 cm.

Noveno Grado - Matemática 93

UNIDAD 2 Ejemplo 8 Resuelve este problema: Anita tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen 50 cm de radio. ¿Cuánto avanzará con la bicicleta cuando la rueda a dado 100 vueltas? Aquí utilizas esta fórmula: L = 2πr L = 2(3.14) (50)=314 cm. Esto es una vuelta, luego la multiplicas por 100 vueltas:

314(100) = 31,400 cms.

Y si lo divides por 100 tienes que: 31 , 400 = 314 metros 100 Ahora puedes resolver la situación planteada al inicio de esta lección. Considera el esquema: 158 km

San Salvador 56

km

San Miguel

17.52o

Zacatecoluca

π radianes 73 = π radianes 180° 750 Luego sustituyes en la fórmula de la longitud de arco los datos correspondientes al ángulo expresado en radianes y la distancia de San Salvador a Zacatecoluca que es el radio, así: 73 S = 56 km  π radianes  750  S =17.12377436 km Primero conviertes los 17.52° a radianes: 17.52°×

S 17.12 km Entonces la longitud de la zona a fumigar es de 17.12 km. Ahora haces el mismo procedimiento con la distancia de San Salvador a San Miguel, para conocer su longitud de arco: 73 S = 158 km  π radianes  750  S = 48.31350622 km

94 Matemática- Noveno Grado

S 48.31 km

UNIDAD 2 Ejemplo 9 Si las ruedas de un camión tienen 30 cm. de radio, ¿cuántas vueltas tiene que dar cada rueda para recorrer 37,680 metros?

Siempre utilizas la ecuación: L = 2 πr, para encontrar la longitud de la rueda del camión.

Si observas los datos referidos a este problema son radio r = 30 cm y además tienes el valor de π = 3.14 Ahora sustituyes los valores: L= 2 (3.14) (30)= 188.4 cms. Entonces la longitud de arco de la rueda del camión es 188.4 cms, ahora necesitas convertir estos centímetros a metros.

1 metro x mt. x=

100 cms 188.4 cms.

utilizas una regla de tres simple

1 mt(188.4 cms ) = 1.884 mt . 100 cms

Eliminas los centímetros y te queda: 1.884 metros. Solo te falta encontrar el número de vueltas, teniendo en cuenta que el recorrido total es de 37,680 metros. Sea v = número de vueltas, L = longitud de arco de la rueda: V (L)=37,680 mts. V (1.884cms.) = 37,680 mts. Despejas V:

V=

37 ,680 mts = 20,000 vueltas 1.884 mts

Resumen En esta lección aprendiste sobre los sistemas de mediciones de ángulo, como el sistema sexagesimal, centesimal y el circular. Después vistes la correspondencia que tienen los sistemas sexagesimales y el circular. Aprendiste las conversiones de ángulos a radianes y de radianes. Por último lo referente a longitud de arco.

Noveno Grado - Matemática 95

UNIDAD 2

Autocomprobación Al Convertir 64 grados a radianes te resulta:

3

a)

1.12 rad b) 0.35 rad c) 45 rad d) −1.12 rad



Convierte 0.91π radianes a grados: a)

163o b) 164o c) 163.8o d) 164.8o

Si conviertes −234 grados a radianes da:

4

Convierte 2.47 radianes. a grados: a)

141.52o b) 140.52o c) 142.52o d) 142o

a)

−1.3 rad b) − 4.08 rad c) 4.08 rad d) −324 rad

2. b.

2



1. a.



Soluciones

1

3. c.

4. a.

SIMETRÍAS Y MOSAICOS Todas las culturas han utilizado simetrías, traslaciones y giros en sus manifestaciones artísticas. Han jugado, casi siempre con sorprendentes resultados estéticos, con los movimientos en el plano. Una manifestación importante de la geometría en el arte la encontramos en los mosaicos. Un mosaico es una composición figurativa o geométrica realizada con piececillas regulares o irregulares de piedras naturales de color variado, pastas vítreas, fragmentos de cerámica o nácar. Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos.

96 Matemática- Noveno Grado

Solucionario Lección 1 Actividad 1 b) media = 1.745

c) media = 22

Actividad 2 1. 5

2. a) Empresa A: 10, empresa B: 9

b) El grupo de

empleados de la empresa A presenta más variabilidad.

Lección 2 Actividad 1 a) desviación típica = 2.607 b) desviación típica = 1.63 c) desviación típica = 1.16

Actividad 2 1. no tiene unidades 2.

a) primer grupo



b) el segundo grupo es más disperso

amplitud = 5 media = 5 segundo grupo amplitud = 6 media = 5

Lección 3 Actividad 1 a)

398° y − 322°

c)

437° y − 283°

b)

255° y − 465°

d)

325° y − 35°

e)

575°3' y − (144°57 ')

Actividad 2 1. a) 15o



c)

40o

e)

65o

72o



d)

60o

f)

64o30´

2. a) 65o



c)

87o

e)

149o30´

120o

d)

135o

b)

b)

Noveno Grado - Matemática 97

Solucionario Lección 4 Actividad 1 1. a) 270o

c)

b) 80o

d) 540o

2. a) 320o

c)

252o

b) 240o

d)

225o

120o

e) 30o

e) 60o

3. a) 94º 2' 55"

b) 150º 6' 10"

c) 51º 17' 7"

4. a) 18º 38' 25"

b) 100º 24' 50"

c) 15º 49' 59"

Lección 5 Actividad 1 1. a) −135°

c)

114.59°

e)

28.65°

105°

d)

−85.94°

f)

405°

2. a) 0.25π

c)

−πrad

e)

d)

4 πrad 3

b)

b)

2 πrad 3

98 Matemática- Noveno Grado

5 πrad 3 11 f) − πrad 6

Proyecto Para poder analizar datos se necesita de parámetros, que en esta unidad estudiaste, parámetros como media aritmética, que es medida de tendencia central, como también las medidas de dispersión para conocer de qué forma están distribuidos los datos y cómo se dispersan con respecto a la medida de tendencia central. El proyecto consiste en investigar con tus vecinos y vecinas, la estatura, peso y talla de zapatos. Elabora una tabla para cada uno de los datos y calcula: a) Media aritmética b) Amplitud c) Desviación típica

Noveno Grado - Matemática 99

Recursos Berenson y Levine, Estadística para administración y economía, Editorial Mc graw Hill, México 1996, 464 p Mauro Hernán Henríquez, Matemática para noveno grado, sexta reimpresión UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p. Robert Johnson, Estadística Elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México 1998, 592 p. www. didactika.com www.descartes.com www.sectormatematico.com http://es.wikipedia.com

100 Matemática- Noveno Grado