Ondas Mecánicas. Introducción a la Física Ambiental. Tema 6.

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Tema 6.- Ondas Mecánicas. • • • • •

Ondas periódicas: Definiciones. Descripción matemática. Ondas armónicas. Ecuación de ondas. Velocidad de fase de una onda transversal: Energía transportada. • Ondas elásticas longitudinales. • Ondas superficiales en líquidos. • Ondas sísmicas. IFA6. Prof. M. RAMOS

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Ondas periódicas: Definiciones. • Características del movimiento ondulatorio: – Transporta energía (E) y cantidad de movimiento sin desplazamiento neto de masa. – La señal viaja como una perturbación del medio, siendo función de r ( p) las propiedades elásticas del mismo.

• Tipos de ondas: – Longitudinales: • La perturbación es paralela a la propagación.

– Transversales: • La perturbación es perpendicular a la propagación.

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Descripción matemática de una onda. • Movimiento periódico:

ξ = f ( x) = f ( x − x0 ) = f ( x + x0 )

• Onda viajera:

– Si la perturbación se desplaza con velocidad, v.

x0 = vt

ξ = f ( x) = f ( x ± vt ) • Velocidad de fase, v: • Velocidad de propagación de la perturbación.

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Ondas armónicas (periodo espacial). • Cuando la perturbación periódica sigue una función seno/coseno.

ξ ( x, t ) = ξ 0 senK ( x − vt ) – Número de ondas, K=2π/λ.

ξ (x +

[K ] = 1m

2π 2π   , t ) = ξ 0 sen[K ( x − vt ) + 2π ] = ξ 0 senK  x + − vt  = ξ ( x, t ) K K  

– Longitud de ondas: • distancia en la que se repite la forma de la onda.

Experimento IFA2

λ=

2π K

[λ ] = m

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Ondas armónicas (periodo temporal). [T ] = s

• Periodo, T:

– Intervalo de tiempo para que se repita la forma de la onda.

• Frecuencia, ν: – Inverso del periodo.

• Frecuencia angular: • Relaciones de interés:

[υ ] = 1s

υ = 1T

[W ] = 1s

W = 2πυ

W = Kv

⇔

» v, es la velocidad de fase de la onda (m/s).

v = λϑ x

t

ξ ( x, t ) = ξ 0 sen( Kx − Wt ) = ξ 0 sen2π ( − ) λ T Problema 1. Hoja IFA6

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Ecuación de ondas. 2 ∂ 2ξ 2 ∂ ξ =v ∂t 2 ∂x 2

• Ecuación general del movimiento ondulatorio:

ξ ( x, t ) = f1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt )

• Solución general:

ξ ( x, t ) = ξ 0 senK ( x − vt )

• Solución particular (armónica): – Demostración:

∂ 2ξ = − K 2ξ 0 senK ( x − vt ) ∂x 2

• Doble derivada espacial:

∂ 2ξ = − K 2 v 2ξ 0 senK ( x − vt ) ∂t 2 ∂ 2ξ ∂ 2ξ = v2 2 2 ∂t ∂x

• Doble derivada temporal: – Igualdad:

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Velocidad de fase de una onda transversal • La velocidad de propagación del pulso es función de:

m = µ∆s = µRθ

• Densidad lineal de masa, µ. •

( )

θ →0

⇓

θ ∑ F = 2Fsen θ 2 ≅ 2F 2 ≅ Fθ

Tensión de la cuerda, F.

• Condición de equilibrio mecánico.

Fθ = m

v2 v2 ⇒ Fθ = µRθ R R

• Velocidad del pulso:

v= F

µ

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Energía transportada. • Energía de una oscilación armónica simple:

E=

1 K `A2 → K `= mW 2 2

• Cada segmento de la cuerda oscila en forma de m.a.s: ∆x = v∆t

⇓

1 1 1 ∆E = (∆m)W 2 A2 = µW 2 A2 ∆x = µW 2 A2 v∆t 2 2 2 • Potencia transportada:

P=

dE 1 = µW 2 A 2 v dt 2

Problema 2. Hoja IFA6

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Ondas elásticas longitudinales. • Hipótesis: – Varilla de sección constante. – La fuerza de tracción tiene la dirección de la generatriz.

F → [σ N ] = N / m 2 = Pa A • Deformación Lineal: ε = dξ → a dim ensional dx • Ley de Hooke: σ = Y dξ → Y , módulo − de − Young → [Y ] = N / m 2 N dx • Esfuerzo normal:

σN =

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Ondas elásticas longitudinales. • Fuerza neta aplicada en un elemento de la varilla:

dF = ma = ( ρAdx )

d 2ξ dF d 2ξ ⇒ = ρA 2 2 dt dx dt

• Teniendo en cuenta la ley de Young:

F = YA

dξ dx

⇒

d 2ξ d 2ξ dF = ρA 2 = ρA 2 dt dx dx

• Ecuación de ondas:

∂ 2ξ Y ∂ 2ξ = ∂t 2 ρ ∂x 2 • Velocidad de propagación:

∂ 2ξ ∂ 2ξ = v2 2 2 ∂t ∂x

⇒⇓ v=

Y

ρ

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Ondas elásticas longitudinales:en un gas ideal. Velocidad de propagación, ec. General:

Y

v=

ρ ⇒

Relación entre el módulo de Young y el coeficiente de compresibilidad adiabático:

v=

1

κsρ

Y= 1

κs

Para un gas ideal, a partir de la ecuación de estado y del valor del coef. de compresibilidad adiabático para este sistema, tenemos:

κ s = 1γP

⇒

v=

Problemas 3 y 4. Hoja IFA6

γP γP γPV γnRT = = = ρ M V M M IFA6. Prof. M. RAMOS

v=

γRT Pm 12

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Ondas superficiales en líquidos. • Velocidad de propagación. • • • •

σ- Tensión superficial (Nm-1) v λ- Longitud de onda (m). ρ- Densidad (Kg/m3). g- Intensidad del campo gravitatorio (m/s2).

• Ondas de gravedad. • Ondas capilares.

 gλ 2πσ =  + ρλ  2π

  

gλ 2π 2πσ Si, λ ⇒ v =

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Ondas sísmicas I. • Tipos de ondas desarrolladas en un evento sísmico: – Ondas Volumétricas: – Ondas primarias (longitudinales).

– Ondas secundarias (transversales).

v=

k+4 Y 3

ρ

v=

Y

ρ

– La velocidad de fase de las ondas primarias es mayor que las de las secundarias.

0 .7 v p = v s

– Ondas de superficie: – Love. – Rayleigh.

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Ondas sísmicas II. • A partir de los valores experimentales obtenidos mediante procesos controlados (ρ, κ, Y). Se establece una relación entre los desfases temporales, entre las ondas primarias y secundarias, medidos en un evento sísmico con la distancia entre el epicentro y el sismógrafo.

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Ondas sísmicas III. • A partir del estudio de los rayos, correspondientes a ondas sísmicas propagándose a través del interior de la tierra, transmitidos y refractado. Se puede estudiar la composición interna de la tierra.

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Método geofísico de prospección estratigráfica en barcos oceanográficos.

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