Unidad V. Reticulados Teoría de grafos 2-2010 Ing. Josmary Fernández

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Ordenación parcial Un orden parcial es una relación binaria R sobre un conjunto X, que cumple las propiedades: • Reflexiva: R es reflexiva sii para todo a ∈A aRa • Antisimétrica: R es antisimétrica sii para todo a, b ∈A, existe aRb y a!=b entonces bRa no ∈ • Transitiva: R es transitiva sii para todo a, b, c ∈A, existe aRb y bRc entonces ∈aRc Conjunto parcialmente ordenado Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado o poset. Formalmente, un conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) es un par (X,≤) donde ≤ es un orden parcial en X. Usualmente se usa la notación de "≤" en lugar de "R" para el orden parcial. Observación: Si (X, ≤) es un c.p.o., dos elementos x, y ∈ X son comparables si x≤y o y≤x. Si todos los pares de elementos de X son comparables entonces se dice que ≤ es un orden lineal (o total) y que (X, ≤) es un conjunto linealmente ordenado. Ejemplos: • El conjunto de los naturales con su orden usual (la relación menor o igual). Este orden es además un orden total. • El conjunto de los enteros con su orden usual. Este orden es también total. • Un subconjunto finito {1, 2,..., n} de los naturales. Este orden es también total. • El conjunto de naturales ordenado por la relación de divisibilidad. Ejercicio: Sea T={a,b,c,d,e,f,g} la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe que unas preceden inmediatamente a otras de la siguiente forma: f≤a, f≤d, e≤b, c≤f, e≤c, b≤f, e≤g,g≤f. Hallar el orden parcial. ¿Qué tareas pueden realizarse independientemente?. Construir un orden si el trabajo lo realiza sólo una persona. Diagrama de Hasse El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado finito es una representación del mismo en la que cada elemento se representa por un punto del plano. Si aRb se dibuja a por debajo y se une por medio de un segmento. Finalmente se suprimen los segmentos que corresponden a la propiedad transitiva, es decir, si aRb y bRc se suprime el segmento correspondiente a aRc.

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Ejemplos: 1.- Consideramos el conjunto ordenado {1,2}. Entonces el diagrama de Hasse sería:

Figura 1. Diagrama de Hasse para el conjunto {1,2}

2.- Diagramas de Hasse del conjunto ordenado {1,2,3}:

Figura 2. Diagrama de Hasse para el conjunto {1,2}

3.- Diagramas de Hasse del conjunto ordenado D(30).

Figura 3. Diagrama de Hasse para el conjunto D(30)

Ejercicios: Representar el diagrama de Hasse de los siguientes conjuntos ordenados y hallar los elementos notables de los subconjuntos señalados: a) (D60, | ), A={2,5,6,10,12,30} y B={2,3,6,10,15,30} b) (D48, | ), A={2,4,6,12} y B={3,6,8,16} c) (D40, | ), A={4,5,10} y B={2,4,8,20} Elementos maximales y minimales Sea (X; ≤) un conjunto ordenado: 1. Un elemento x∈X se dice que es maximal, si no existe y∈X tal que x≤y y x!=y. 2. Un elemento x∈X se dice que es minimal, si no existe y∈X tal que y≤x y x!=y.

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Ejemplo: Para el diagrama de Hasse de la Figura 4, señale los elementos maximales y minimales.

Figura 4. Diagrama de Hasse para el conjunto {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

Con este orden definido, se tiene que: h≤e pues tenemos un camino h-f-e que empieza en h y termina en e. i ≤a, pues el camino i-g-d-a que empieza en i y termina en a. i ¬ ≤ e, pues ningún camino empieza en i y termina en e. Se tiene además, que a y b son elementos maximales, pues no hay ningún elemento que sea mayor que ellos. Por su parte, el elemento j es un elemento minimal. Ejercicios: Hallar los elementos maximales y minimales para los conjuntos con el orden dado por el diagrama de Hasse de los ejercicios definidos en la sección Diagrama de Hasse. Cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo Sea (X; ≤) un conjunto ordenado, e Y un subconjunto de X. Consideramos en Y el orden inducido de X. 1. Un elemento x∈X se dice que es cota superior de Y si x≥y para todo y∈Y . 2. Un elemento x∈X se dice que es supremo de Y si es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de Y. De la misma forma se define lo que es una cota inferior y un ínfimo. Ejemplo: Si X = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j }con el orden dado en la figura 4, e Y ={c,d,f,g,h} entonces: El conjunto de las cotas superiores de Y es {a}. Puesto que este conjunto tiene mínimo, que es a, entonces a es el supremo de Y. Los elementos c y d son elementos maximales de Y. El conjunto de las cotas inferiores es {h,j}. De estas, h es el máximo, luego h es el ínfimo de Y. h es además el único elemento minimal de Y .

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Ejercicios: Hallar la cota superior, inferior, supremo e ínfimo, de los ejercicios descritos en la sección Diagrama de Hasse, respecto al subconjunto B. Reticulados Es un tipo especial de orden, en que cada conjunto finito no vacío tiene supremo e ínfimo. Formalmente, se deice que, un retículo es un conjunto ordenado, (L; ≤) en el que cualquier conjunto finito tiene supremo e ínfimo. Si (L; ≤) es un retículo y x,y ∈ L, denotaremos por x˅y al supremo del conjunto {x,y} y por x ˄y al ínfimo del conjunto {x,y}. Observación Si (L; ≤) es un retículo, las operaciones ˅ y ˄ satisfacen las siguientes propiedades:

Ejemplos: • Si X es un conjunto totalmente ordenado, entonces X es un retículo. • El conjunto ordenado (N,|) es un retículo. En este caso se tiene que x˅y = mcm(x,y) mientras que x˄y = mcd(x,y). • Si V es un K-espacio vectorial, el conjunto de los subespacios vectoriales de V es un retículo, con el orden dado por la inclusión. Aquí, dado dos subespacios vectoriales V1 y V2 se tiene que V1˅V2 = V1+V2 mientras que V1˄V2 = V1∩V2. • El conjunto representado por el diagrama de Hasse de la figura 5, es un retículo. Se tiene, por ejemplo: c˅d = f, c˄d = a, b˅c = f, b˄c = 0, c˅e = 1, c˄e = 0.

Figura 5. Diagrama de Hasse

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El diagrama de Hasse de la Figura 4, no es un retículo, pues por ejemplo, no existe el supremo del conjunto {a,e}. Sin embargo, el conjunto {f,i} sí tiene supremo (d) e ínfimo (j).

Subretículos Sea (L;≤) un retículo, y L’ contenido en L un subconjunto de L. Entonces L’ es un subretículo si para cualesquiera x,y ∈ L’ se verifica que x˅y ∈ L’ y x˄y ∈ L’. También se puede decir que un subretículo es un conjunto cerrado bajo los operadopres meet (operaciones de intersección) y join (operaciones de unión) del conjunto original. Ejemplos:

Figura 6. Diagramas de Hasse

Entonces L1 y L4 son subretículos de D(30), mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es subretículo porque el supremo de 2 y 3 es 6, que no pertenece a L2. L3 no es subretículo porque el ínfimo de 6 y 10 vale 2, que no pertenece a L3. Nótese que L3, con el orden que hereda de D(30) es un retículo, pero no es subretículo de L3. Retículos distributivos Sea L un retículo. Se dice que L es distributivo si para cualesquiera x,y,z ∈ L se verifica que sus operaciones son doblemente distributivas: x˅ (y˄z) = (x˅y) ˄ (x˅z) x˄ (y˅z) = (x˄y) ˅ (x˄z) Se dice que en un retículo distributivo las operaciones de union (join) e intersección (meet) se distribuyen la una sobre la otra. Ejemplos: • El ejemplo típico es una colección de conjuntos donde los operadores quedan dados por la unión e intersección de conjuntos. • Los conjuntos totalmente ordenados con el máximo como join y el mínimos como meet. • Álgebra de Boole, Álgebra de Heyting, Espacio de Riesz y Retículo de Young.

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Ejercicio: Investigar que son el Álgebra de Boole, Álgebra de Heyting, Espacio de Riesz y Retículo de Young y porqué se consideran retículos distributivos. Teoremas sobre retículos • Sea (L,≤) un retículo y sean a,b, elementos de L, entonces: (a˅b)=b entonces a≤b (a˄b)=a entonces a≤b (a˅b)=b entonces (a˄b)=a • Dados dos retículos (L,≤) y (L,≤`), una función biyectiva f de L en L': f l->L' es un isomorfismo si para todo a,b que ∈ L: f(a˅b)=f(a) ˅' f(b) f(a˄b)=f(a) ˄' f(b) Además, si L y L' son isomorfos, sus diagramas de Hasse son idénticos. Fuentes • García Jesús. Conjuntos ordenados, retículos y algebra de Boole. Matemáticas discretas. • García Muñoz, M.A. Retículos y álgebra de Boole. Algebra I. Ingeniería Técnica en álgebra de gestión. • P. Jara, F. J. Lobillo, J. García, J. C. Rosales, J. Urbano. Conjuntos ordenados, retículos y algebra de Boole. Matemáticas discretas. • Sierra Miguel. Retículos. Curso Estructuras Discretas. PUCP.