RESUMEN DE SUCESIONES

Definición: Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...

Los números a1, a2, a3, ...an…..; se llaman términos de la sucesión. Cada elemento de la sucesión se llama término de la sucesión. Para designarlos se emplean subíndices. Los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio se denomina regla de formación.

El término general es an es una expresión matemática que nos permite determinar cualquier término de la sucesión. Determinación de una sucesión: I) Por el término general: an= 2n-1 a1= a2= a3= a4=

2 2 2 2

·1 ·2 ·3 ·4

-1=1 -1=3 -1=5 -1 = 7

No todas las sucesiones tienen término general . Por ejemplo, la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... II) Por una ley de recurrencia: Los términos se obtienen operando con los anteriores. 2 Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior. an= 2, 4, 16, ... ▪ Una sucesión ( an ) se denomina monótona creciente si verifica que cada término es menor o igual que el siguiente es decir: an ≤ an+1 ∀ n si se verifica que an < an+1 creciente

∀ n, entonces se dice que es estrictamente

▪ Una sucesión ( an ) se denomina monótona decreciente si verifica que cada término es mayor o igual que el siguiente es decir: 1

an ≥ an+1 ∀ n si se verifica que an > an+1 decreciente

∀ n, entonces se dice que es estrictamente

▪ Una sucesión se llama monótona si es monótona creciente o monótona decreciente Ejemplos:

Límite de una sucesión Decimos que el límite de una sucesión an es L y lo escribimos: ▪ lim an =L →∞

si al dar a n valores cada vez más grandes, la distancia entre los términos obtenidos y el límite es tan pequeña como queramos. Es decir, a partir de un determinado término, todos los términos de la sucesión están contenidos en un entorno pequeño del límite.

Las sucesiones que tienen límite se llaman Convergentes

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Ejemplo:

La sucesión an =

grande, el valor de

1,

1

1 n

tiene por límite cero pues si hacemos n muy

está cada vez más próximo a cero.

n

1 1

, ,………….0,001…………..0,000001……………..0,00000000000000000001…..

2 3

n=100 Decimos entonces que:

n=106

n=1020

1

▪ lim =0 →∞ n

Ejemplo: LA sucesión an= n2 = 1, 4, 9, 16, 25,……….1000000…….1000000000000….. se dice que es divergente pues tiende a infinito Hay sucesiones que no tienen límite, pero tampoco tienden a infinito o a menos infinito. Se llaman oscilantes, como por ejemplo: an = 1,

1

, 2

3,

1

, 4

5,

1 6

,

7………………

an = (-1)n∙n = -1, 2, -3, 4, -5, 6,……

Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

▪ Una sucesión an es un infinitésimo si es una sucesión convergente que tiene por límite cero

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Propiedades de los límites: I) II) III)

siempre que lím (bn) ≠ 0

IV)

(lim √an = lim an )

V) VI)

lim an

bn

= lim an

lim bn

De esta manera, conocido el límite de dos o más sucesiones, podemos conocer el de su suma, producto, etc… Ejemplo: Si lim an= 4 y lim bn= 3, calcula: a)

lim (an∙bn)

b) lim an

bn

=12

= 64

c) lim (an:bn) =4/3

Indeterminaciones En ocasiones, al calcular el límite mediante las propiedades anteriores, puede dar como resultado algunas expresiones cuyo resultado no queda claramente determinado. Esto es debido a que se incluyen símbolos como infinito que, dado que no es un número, no se puede operar con él como si lo fuera. Estas expresiones reciben el nombre de indeterminaciones como por ejemplo:

▪

∞

▪

∞

o

▪1

o

∞

▪ ∞-∞

▪ o∙∞

Algunas sucesiones interesantes: ▪ El Número “e” es muy importante en matemáticas pues es la base de los logaritmos neperianos y la base de la exponencial que rige el crecimiento de multitud de fenómenos naturales. Además resulta de gran utilidad para resolver las ∞ indeterminaciones del tipo: 1 . Este número se obtiene como límite de la sucesión: 1 n

an = 1+ n

= 2, 2,25, 2,37 …………..2,7181..,……………...2,7182….. n=10000

•

e

= lim

→∞

1 n

1+ n

4

n=1000000

▪ La Sucesión De Fibonacci consiste en una sucesión de números en que, los dos primero son 1 y los demás se obtienen como resultado de la suma de los dos anteriores.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89….

Sus propiedades son muy interesantes, Propiedad De La Sucesión de Fibonacci N°1

Si elegimos 10 números consecutivos de la sucesión, sean cuales sean, el resultado de su suma equivaldría a 11 multiplicado por el séptimo número de los 10 elegidos.

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55= 11*13=143

Propiedad De La Sucesión de Fibonacci N°2

La sucesión de Fibonacci guarda cierta relación con las ternas pitagóricas, que consisten en que la suma de 2 cuadrados perfectos resulten un tercer cuadrado perfecto. Para hallarlas hay que: Coger cuatro números consecutivos.

Multiplicar los de los extremos. (a) Multiplicar los centrales y dicho producto multiplicarlo por 2. (b) Sumar los centrales elevados al cuadrado. (c) Elevar a, b y c al cuadrado.

Ejemplo: 1. 2,3,5,8 2. 2*8=16 3. 3*5*2=30 4. 3*3+5*5=34 5. 16*16+30*30=256+900=34*34=1156

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