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Sucesiones Concepto de sucesión S e l l a m a sucesión a u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s d i s p u e s t o s u n o a c o n t i n u ac i ó n d e o t r o . a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n 3, 6, 9,..., 3n Los
números
a 1 , a 2 , a 3 , ... ;
se
llaman
término s
de la
sucesión . El subíndice indica el l u g a r q u e e l t é r m i n o o c u p a en la sucesión . El
término
general
es
an
es
un
criterio
que
determinar cualquier término de la s u c e s i ó n . Determinación de una sucesión: Por el t é rmino general a n = 2n- 1 a1= 2 ·1 - 1 = 1 a2= 2 ·2 - 1 = 3 a3= 2 ·3 - 1 = 5 a4= 2 ·4 - 1 = 7 1, 3, 5, 7,..., 2n-1
nos
permite
No
todas
las
sucesiones
tienen
término
general .
Por
e j e m p l o, la sucesión d e los números primos : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Por una ley de recurre ncia Los términos se obtie nen op erando con los anteriores. Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior. 2, 4, 16, ... Sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 3 4 , 5 5 , 8 9 , 1 4 4 , 2 3 3 , 3 7 7 , 6 1 0 , 987, 1597, 2584, ... L o s d o s p r i m e r o s t é r m i n o s s o n unos y los d emás se obtienen s um a nd o lo s do s té r m ino s anteriores.
Operaciones con sucesiones Dadas las sucesiones a n y b n : an= a1, a2, a3, ..., an bn= b1, b2, b3, ..., bn Suma de sucesiones (an) + (bn) = (an + bn)
( a n ) + ( b n ) = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ..., a n + b n ) Propiedades 1 Asociativa: (an + bn) + cn = an + (bn + c
n)
2 Conmutativa: an + bn = bn + a
n
3 E l e m e n t o n e u tr o (0) = (0, 0, 0, ...) an + 0 = an 4 Sucesión opuesta (-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an) an + (-an) = 0 Diferencia de sucesiones ( a n ) - (b n ) = ( a n - b n ) ( a n ) - (b n ) = ( a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 , ..., a n - b n ) Producto de sucesiones (an) · (bn) = (an · bn) ( a n ) · ( b n ) = ( a 1 · b 1 , a 2 · b 2 , a 3 · b 3 , ..., a n · b n )
Propiedades 1 Asociativa: (an · bn) · c
n
= an · (bn · c
n)
2 Conmutativa: an · bn = bn · a
n
3 E l e m e n t o n e u tr o (1) = (1, 1, 1, ..) an · 1 = an 4 Distri butiva respecto a la suma an · (bn + c
n)
= an · bn + an · c
n
Sucesión inversible Una sucesión es inversible o invertible si todos sus término s s o n d i s t i n t os d e c e r o . S i l a s u c e s i ó n b n es in versible, su inversa es:
Cociente de sucesiones Sólo
es
posible
el
denominador es inversible.
cociente
entre
dos
sucesiones
si
el
Sucesiones monóto nas
Sucesiones estrictamente crecientes S e d i c e q u e u n a s uce s ión es est rict ament e crecien t e si c a d a término es mayor que el anterior . an+1 > an 2, 5, 8, 11, 14, 17,... 5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ... Sucesiones crecientes S e d i c e q u e u n a sucesión es creciente si c a d a t é r m i n o e s m a y o r o i g u a l q u e e l a n t e r i o r. an+1 ≥ an 2, 2 , 4, 4, 8, 8, ... 2 ≥ 2 ; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ... Suce s ione s e st rict ament e d ecrecien t es S e d i c e q u e u n a sucesión es estrictamente decreciente s i cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,... 1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ... Suce sio n es d ec recien t es S e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n e s e s t r i c t a m e nte d e c r e c i e n t e si cada término de la sucesión e s menor o igua l que el anterior. an+1 ≤ an Sucesiones constantes S e d i c e q u e u n a s u c e s ió n es constant e si t o dos s u té r m i n o s son iguales, a n = k. an = an+1 5, 5, 5, 5, ... Sucesiones acotadas
S u c e s i o n e s a c o t a d a s in f e r i o r m e n t e Una
sucesión
está
a c o t a da
inferiormente
si
todos
sus
término s son mayores o iguales que un cierto número K , q u e llamaremos cota infer i or d e l a sucesión .
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfim o. S i e l í n f i m o d e u n a sucesión es uno de sus términos se l e l l a m a mínimo. Toda s u c e s i ó n a c o t a da i n f e r i o r m e n t e es c r e c i e n t e .
S u c e s i o n e s a c o t a d a s sup e r i o r m e n t e Una
sucesión
está
a c o t a da
s u p er i o r m e n t e
si
todos
sus
t é r m i n o s s o n menores o iguales que un cierto número K', q u e llamaremos cota superior d e l a sucesión . a n ≤ k' A l a menor d e l as c o t a s s u p e r i o r e s s e l e l l a m a extremo s u p e r i o r o s up r e m o. S i e l suprem o de una sucesión es uno de sus términos se l l a m a má ximo. Toda
sucesión
acotada
superiormente
es
monóto na
d e c r ec i e nte . Sucesiones acotadas Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e infe rio r mente . E s d e c i r s i h a y u n n ú m e r o k m e n o r o i g u a l q u e todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'. Eje m p los d e su cesio n es a n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n Es creci ente. Está acotada inferiormente Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... E l m í n im o e s 1 . N o e s tá a co ta da supe r iormente.
k ≤ an ≤ K'
Diverge n te bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n Es decre ciente. Está acotada superiormente Cotas superiores: -1, 0, 1, ... El máximo es -1. No está acotada inferiormente. Diverge n te c n = 2, 3/2, 4/ 3, 5/4, ..., n+1 /n Es decre ciente. Está acotada superiormente Cot as supe r io r e s: 2, 3, 4, ... El máximo es 2. Está acotada inferiormente Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... El ínfimo es 1. Con v e r ge nte , lím ite = 1 . d n = 2, - 4, 8, -1 6, 32, ..., (-1) n - 1 2 n No es monótona. No está acotada.
N o e s co nv e r ge nte ni divergente.
Progresiones aritméticas U n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a e s una sucesión d e números t a l e s q u e c a d a u n o d e e l l o s ( s a lvo el p rimero) es ig ua l a l anterio r
más
un
número
fijo
llamado
diferencia
que
se
representa por d. 8, 3 , -2, -7, -12, . . . 3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 d= -5. Término general de una prog resión aritmética 1 Si conocemos el 1 e r t é r m i n o . a n = a 1 + (n - 1) · d 8, 3, -2, -7, -12, .. an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13 2 S i c o no ce m o s e l v a lo r que ocupa cualquier ot ro t érmino d e l a pr og r e s i ón . a n = a k + (n - k ) · d a 4 = -7 y d= -5 a n = - 7 + ( n - 4 ) · ( - 5 ) = - 7 - 5 n + 2 0 = -5n + 13
Interpo lación de términos en una progresió n aritm é tica Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos número s , es construi r una pro g re s i ó n a r i t m é t i c a q u e t e n g a p o r extremos los números dados. Ejemplo: In t e r po la r tr e s m e dio s ari t m é t i c o s e n t r e 8 y - 1 2 . Hallamos d=-5 sabiendo que el primer término es 8 y el quinto 12, y construimos la su cesión 8,
3, - 2, - 7 ,
-12.
Suma de términos de una pro g resión aritmética S e a n a i y a j d os t é r m i n o s e q u i d i s t a n t e s d e l o s e x t r e m o s, s e c u m p l e q u e l a s uma de términos eq uid ist an t es es ig ual a la s u m a de los e x tre m os . ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an 8, 3 , -2, -7, -12, . . . 3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4 A p a r t i r d e e s t a p r o p i e d a d s e d e d u c e l a e x p r e s i ó n d e l a s u m a de los n términos de una progresión arit mética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8 , 3 , - 2 , - 7, -12, . . .
Progresiones geométricas U n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a e s u n a s uc e s i ó n e n l a q u e c a d a término se obtiene multiplic a ndo al ant erior u n a c an t id ad f ija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... 6 / 3 = 2 12 / 6 = 2 24 / 12 = 2 48 / 24 = 2 r= 2. T é r m i n o g e n e r a l d e u n a prog resión geométrica 1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1 3, 6, 12, 24, 48, .. a n = 3 · 2 n - 1 = 3 · 2 n · 2 - 1 = (3/2)· 2 n 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquie r otro t é rmino d e l a pr o gre s ió n. an = ak · rn-k a4= 24, k=4 y r=2. an = a4 · rn-4 a n = 24· 2 n - 4 = ( 2 4 / 1 6 ) · 2 n = ( 3 / 2 ) · 2 n Interpo lación de términos en una progresión geométrica In t erpola r m e dios geo mét ric os o p r o p o r c i o n a l e s e n t r e d o s número s , es construi r una prog resión geométrica que tenga por extremos los núm eros dados. I n t e r p o l a r t r e s m e d i o s geométricos entre 3 y 48. Ejemplo: C a l c u l am o s l a r a z ó n r = 2 y t e n d r e m o s 3,
6, 12, 24 ,
48.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...
S u m a de los té rm inos de un a p rogresión geométrica decreciente
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica de c r e c i e n te ilim ita da :
Producto de n t é rmino s S e a n a i y a j d os térm inos equidistantes de los extremos, se cumple
que
el
producto
de
términos
e q u i d i s t a n t es
es
igual
al
pr od u c to de lo s e x tr e m o s. ai . aj = a1 . an
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an 3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12 144 = 144 =144 A p a r t i r d e e s t a p r o p i e d a d t e n d rem o s l a e x p r e s i ón d e l produc to de los n térmi nos de una p rog resió n g eomét rica .
Calcular
el
p ro d u c t o
de
l os
primeros
5
t é r m in o s
de
progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Término general de una sucesión 1 Comprobar si l a sucesión es u n a progresión aritmética. 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8= - 5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 d= -5. a n = 8 + ( n - 1 ) ( - 5 ) = 8 - 5 n + 5 = -5n + 13
2 Comprobar si l a sucesión es u n a progresión geométrica. 3, 6, 12, 24, 48, ... 6 / 3 = 2 12 / 6 = 2 24 / 12 = 2 48 / 24 = 2 r= 2.
la
a n = 3· 2
n-1
3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos . 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... Observa mos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante. bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1 Por lo q u e el término general e s : a n = (n + 1) 2 También nos podemos encontrar co n s u c e s i o n e s c u y o s t ér m i n o s son números próximos a cuadrados perfe ctos. 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... 22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ... Hallamos
el
término
general
como
vimos
anterior y le su mamos 1. a n = (n + 1)
2
+ 1
6, 11, 18, 27, 38, 51, ... 22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ... a n = (n + 1) 2 - 1 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
en
el
ejempl o
22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ... an= (n + 1)2 - 1 2, 7, 14, 23, 34, 47, ... 22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ... a n = (n + 1)
2
- 2
4 S i l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n cambian co nsecuti vamente de signo . Si
los
términos
impares
son
negativos
y
los
pares
positivos
y
los
pares
n
positiv os: Multiplicamos a n p o r ( - 1 ) . -4, 9, -16, 25, -36, 49, ... a n = (-1) n (n + 1) 2 Si
los
t é rm i no s
i m p a re s
son
negativos: Multiplicamos a n p o r ( - 1 ) n - 1 . 4, - 9 , 16, -25, 36, -49, ... a n = (-1) n - 1 (n + 1) 2 5 S i l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n son fraccionarios ( n o s i e n d o una progresión). Se
calcula
el
término
general
d e n o m i n a dor por s e pa ra do . an= bn /c
n
2/4, 5 /9, 8/16, 11/25, 14/ 36,...
del
num erador
y
Tenemos dos su cesiones: 2, 5, 8, 11, 14, ... 4, 9, 16, 25, 36, ... L a p r im e r a e s una pr o gresión ari t m é t i c a c o n d = 3 , l a s e g u n d a es una sucesión de cuadrados p erfectos. an= (3n - 1)/(n + 1)2