Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes

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1. Sucesiones

DEF. Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo dominio es N y su imagen un subconjunto de R: x: N → R n 7→ x(n) ≡ xn x1 , x2 , · · · se denominan términos de la sucesión xn es el término general o término n-ésimo Notación: (xn ) para la sucesión

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2. Sucesiones monótonas

DEF. Una sucesión (xn ) se dice que es (monótona) creciente si xn+1 ≥ xn

∀n ∈ N

(monótona) decreciente si xn+1 ≤ xn

∀n ∈ N

estrictamente (monótona) creciente si xn+1 > xn ∀n ∈ N estrictamente (monótona) decreciente si xn+1 < xn ∀n ∈ N monótona si es creciente o decreciente

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3. Sucesiones acotadas

DEF. Se dice que una sucesión (xn ) está acotada, acotada superiormente o acotada inferiormente si lo está el conjunto de sus términos.

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4. Subsucesiones

DEF. Una subsucesión de una sucesión (xn ) viene definida por una aplicación estrictamente creciente: N → N k 7→ nk La subsucesión se representa por (xnk ), k ∈ N

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5. Límites

DEF. Una sucesión (xn ) tiene límite l ∈ R si para cualquier entorno (l − ε, l + ε) de l, se cumple que todos los términos de (xn ) a partir de uno de ellos pertenecen al entorno: ∀ε > 0, ∃N ∈ N/ si n > N ⇒ xn ∈ (l − ε, l + ε) Notación: lim xn = l n→∞

Las sucesiones que tienen límite se llaman convergentes

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6. Propiedades de las sucesiones convergentes

1) Si una sucesión tiene límite, éste es único 2) Si dos sucesiones convergentes se diferencian en un número finitos de términos, su límite coincide 3) Si lim xn = l, entonces todas las subsucesiones de (xn ) n→∞

tienen límite l.

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6. Propiedades de las sucesiones convergentes (II)  lim xn = x   n→∞ lim yn = y 4) Si   n→∞ xn ≤ yn ∀n ∈ N

   , entonces x ≤ y  

5) Si (xn ) tiene límite l 6= 0, entonces existe N ∈ N tal que ∀n > N, signo(xn ) = signo(l) 6) Propiedad del Sandwich Sean (xn ), (yn ), (zn ) tales que xn ≤ yn ≤ zn Si lim xn = lim zn = l, entonces lim yn = l n→∞

n→∞

n→∞

∀n ∈ N

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7. Convergencia y acotación

Toda sucesión convergente es acotada Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente

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8. Límites infinitos

DEF. Una sucesión (xn ) tiende a +∞ cuando fijado k ∈ R, todos los términos xn a partir de uno de ellos son mayores o iguales que k: ∀k ∈ R, ∃N ∈ N/ si n ≥ N ⇒ xn ≥ k DEF. Una sucesión (xn ) tiende a −∞ cuando fijado k ∈ R, todos los términos xn a partir de uno de ellos son menores o iguales que k: ∀k ∈ R, ∃N ∈ N/ si n ≥ N ⇒ xn ≤k

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9. Operaciones y transformaciones con sucesiones convergentes 1

Si lim xn = x y lim yn = y, entonces: n→∞

n→∞

lim (xn + yn ) = x + y

n→∞

lim (xn · yn ) = x · y yn y Si x 6= 0, lim = n→∞ xn x lim (λxn ) = λx ∀λ ∈ R n→∞

n→∞

lim (λ + xn ) = λ + x

n→∞ 2

∀λ ∈ R

Si lim xn = x y f es alguna de las funciones sen x, cos x, n→∞

ex o ln x, entonces lim f (xn ) = f (x) n→∞

3

Si lim xn = x, xn , x > 0∀n ∈ N y lim yn = y, entonces n→∞ y

lim xn n = x y

n→∞

n→∞

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10. Criterio de Stolz

Sea (bn ) estrictamente creciente tal que lim bn = +∞, y n→∞ an . xn = bn an − an−1 an Si existe lim = l entonces existe lim =l n→∞ bn − bn−1 n→∞ bn (l puede ser infinito)