Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

1

Parte I

Sucesiones y Series de Funciones En este capítulo se estudiarán las sucesiones y series de funciones. Una sucesión de funciones (o serie) que sea convergente permite definir una función. Interesa por tanto analizar si esta función mantiene las buenas propiedades de las funciones (sucesión) que la definen; esto es, si es continua, derivable o integrable, según sea el caso.

1.

Convergencia Puntual El concepto de convergencia más básico corresponde a la convergencia puntual.

Definición 1 Sea X un espacio métrico y A ⊆ X. Para cada n ≥ 1 sea fn : A → R. Se dice que la sucesión (fn )n≥1 converge puntualmente en A ssi la sucesión de números reales (fn (x))n≥1 converge, para todo x ∈ A. Esto permite definir una función f : A → R por f (x) = l´ım fn (x)

Los siguiente ejemplos muestran que la condición de continuidad para los términos de la sucesión no se traspasan necesariamente a la función límite (puntual) Ejemplo 2 Con fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn , se tiene

l´ım xn = 0 para x ∈ [0, 1[ l´ım xn = 1 para x = 1

y luego la función límite puntual es f (x) =




0 si 0 ≤ x < 1 1 si x=1

Cada función fn es continua y sin embargo f = l´ım fn no lo es. Se muestran las gráficas de los 7 primeros términos de la sucesión

y

1.0

0.5

0.0 0.0

0.5

1.0

x

2

Ejercicio 1 Analice la convergencia puntual de la sucesión fn : [0, 1] → R
−nx + 1 si 0 ≤ x < n1 fn (x) = 0 si n1 ≤ x ≤ 1 Cuando se tenga convergencia puntual de una sucesión (fn ) a la función f , se denotará l´ım fn = f [puntual]. Con mayor precisión esto significa que, para cada x en A dado ε > 0 , existe N = N (ε, x) tal que ∀n : n ≥ N =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε Además, pedir continuidad de la función límite f , cuando las fn son continuas, en el punto x significa: l´ım f (t) = f (x) , es decir    l´ım l´ım fn (t) = l´ım fn (x) = l´ım l´ım fn (t) 

t→x

t→x n→∞

n→∞

n→∞ t→x

o sea, si es posible intercambiar el orden en el proceso de límite. Los ejemplos anteriores muestran que en general esto no es posible. Por ello se hace necesario considerar un concepto de convergencia más fuerte que la convergencia puntual, que se llama convergencia uniforme. Antes de eso se establece la noción de convergencia puntual para series: Definición 3 Para la misma sucesión (fn ) de la definición anterior, podemos con∞   siderar las series numéricas fn (x) , para cada x ∈ A. Se dice que la serie fn n=1

converge puntualmente en A ssi para cada x ∈ A la serie Esto permite definir la función f : A → R por f (x) =

∞ 

∞ 

n=1

fn (x)

n=1

y escribir f =

∞ 

fn [puntual].

n=1

Ejercicio 2 Encuentre el límite puntual f de la sucesión  n fn (x) = nx 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1 1 1 Estudie la igualdad, 0 l´ım fn (x) dx = l´ım 0 fn (x) dx

fn (x) es convergente.

3 n

Algunos cálculos: Se define f (n, x) = nx (1 − x2 ) y se obtienen los diez primeros términos de la sucesión 2 3 4 seqn=1.,10 (f (n, x)) = −x (x2 − 1) , 2x (x2 − 1) , −3x (x2 − 1) , 4x (x2 − 1) , 5 6 7 8 9 10 −5x (x2 − 1) , 6x (x2 − 1) , −7x (x2 − 1) , 8x (x2 − 1) , −9x (x2 − 1) , 10x (x2 − 1) y sus gráficos

y 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0

Las integrales valen

2.

1 0

0.2

n

0.4

nx (1 − x2 ) dx =

0.6

0.8

1.0

x

1 n 2n+1

Convergencia Uniforme Como antes X será un espacio métrico y A ⊆ X.

Definición 4 Se dice que la sucesión fn : A → R, converge uniformemente en A a la función f : A → R ssi dado ε > 0 existe N = N (ε) tal que ∀n : n ≥ N =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε , ∀x ∈ A Se escribe en este caso l´ım fn = f [unif. en A] ∞  Se dice que la serie fn converge uniformemente en A a la función f ssi la n=1

sucesión de sumas parciales converge uniformemente en A a la función f.

Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual. La convergencia uniforme está determinada por la condición: para cada ε > 0, existe N = N (ε) tal que ∀n : n ≥ N =⇒ f (x) − ε < fn (x) < f (x) + ε , ∀x ∈ A

4 Lo que significa, geométricamente, que las gráficas de las funciones fn están en la "franja"de centro la gráfica de f y radio ε (para n ≥ N ), como se ve abajo (para una función f continua)

y 3

2

gráfica de f de color rojo 1

0 1

2

3

4

5

6

x

Ejemplo 5 Tomando el ejemplo anterior fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn. a) Mostrar que para a, 0 < a < 1, la sucesión fn converge uniformemente a la función nula en [0, a] . b) La sucesión fn no converge uniformemente en el intervalo [0, 1] . El siguiente resultado es un criterio de convergencia uniforme conocido como criterio de Cauchy. Teorema 6 Sea fn : A → R. La sucesión (fn ) converge uniformemente en A ssi dado ε > 0 existe un natural N tal que ∀n, m : n ≥ N ∧ m ≥ N =⇒ |fn (x) − fm (x)| < ε , ∀x ∈ A Dem. (=⇒) Hip.- l´ım fn = f [unif. en A] Sea ε > 0. Existe un natural N tal que ∀n : n ≥ N =⇒ |fn (x) − f (x)| <

ε , ∀x ∈ A 2

y luego ∀n, m : n ≥ N ∧ m ≥ N =⇒ |fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x)| < ε, ∀x ∈ A (⇐=) La hipótesis indica que, para cada x ∈ A, la sucesión (fn (x)) es de Cauchy en R, luego es convergente. Sea f (x) = l´ım fn (x) . Falta mostrar que la convergencia es uniforme en A. Sea ε > 0. Para el natural N dado en la hipótesis se tiene ∀n, m : n ≥ N ∧ m ≥ N =⇒ |fn (x) − fm (x)| < ε , ∀x ∈ A

5 Ahora, tomando límite m → ∞ resulta ∀n : n ≥ N =⇒ |fn (x) − f (x)| ≤ ε , ∀x ∈ A lo que muestra la convergencia uniforme. Otra manera de analizar la convergencia uniforme en A de una sucesión fn : A → R hacia una función f es considerar la sucesión Mn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ A} Se tiene entonces: fn → f [unif en A] ⇐⇒ l´ım Mn = 0 Queda de ejercicio establecer esta equivalencia. Para el caso de series, un criterio de convergencia uniforme, llamado criterio M de Weiestrass es Teorema 7 Sea (fn ) una sucesión de funciones definidas en A tales que ∀x ∈ A , ∀n : |fn (x)| ≤ Mn Se tiene entonces ∞ 

Mn converge =⇒

n=1

∞ 

fn converge unif. en A

n=1

Dem. Sea ε > 0. Por hipótesis existe natural N tal que ∀n, m : n

>

m ≥ N =⇒

n 

Mk < ε

n k=mn   =⇒ fk (x) ≤ Mk < ε , ∀x ∈ A k=m

k=m

que es la condición de Cauchy uniforme para la sucesión de sumas parciales de la serie. Por lo tanto, la serie converge uniformemente en A. Por ejemplo, la serie

∞ 

n=1

xn n2

6

y

-1.0

1.50 1.25 1.00 0.75 0.50 0.25

-0.5 -0.25 -0.50 -0.75

0.5

1.0

x

es uniformemente convergente en [−1, 1] .

2.1.

Convergencia uniforme y continuidad

El siguiente resultado establece que la convergencia uniforme preserva la continuidad (lo que no hace la convergencia puntual) Teorema 8 Sea fn : A → R una sucesión de funciones que converge uniformemente en A a la función f : A → R. Se verifica entonces para x ∈ A fn continua en x , ∀n =⇒ f es continua en x Dem. Sea ε > 0. d.p.q. ∃ δ > 0 tal que ∀t : |t − x| < δ ⇒ |f (t) − f (x)| < ε De la convergencia uniforme existe natural N tal que ∀n : n ≥ N ⇒ |fn (t) − f (t)| <

ε , ∀t ∈ A 3

Escogemos entonces k ≥ N y usamos la continuidad en x de fk : ∃ δ > 0 tal que ∀t : |t − x| < δ ⇒ |fk (t) − fk (x)| <

ε 3

Ahora ∀t : |t − x| < δ se tiene |f (t) − f (x)| ≤ |f (t) − fk (t)| + |fk (t) − fk (x)| + |fk (x) − f (x)| < ε Así entonces ∃ δ > 0 tal que ∀t : |t − x| < δ ⇒ |f (t) − f (x)| < ε, lo que muestra que f es continua en el punto x. Ahora queda claro que si se tiene una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente en A a una función f que no es continua, entonces la convergencia no puede ser uniforme en A. Este teorema se puede enunciar de una manera más general como sigue. La demostración en este caso queda de ejercicio.

7 Teorema 9 Si fn → f [unif en A], x es un punto de acumulación de A y además l´ım fn (t) = an , entonces (an ) es convergente en R y l´ım f (t) = l´ım an . t→x t→x n→∞ Conclusión que también se puede escribir l´ım l´ım fn (t) = l´ım l´ım fn (t)

t→x n→∞

2.2.

n→∞ t→x

Convergencia uniforme e integración

Al igual que con la continuidad la convergencia puntual no preserva la integrabilidad. De hecho puede encontrarse una sucesión de funciones integrables Riemann en un intervalo [a, b], que converge puntualmente a una función f que no es integrable en [a, b] (busque un ejemplo). Con la convergencia uniforme la situación es diferente. Teorema 10 Si fn : [a, b] → R una sucesión de funciones integrables tal que fn → f [unif en [a, b]], entonces f ∈ R en [a, b] y se verifica

b

f dx = l´ım

a

b

fn dx a

Dem. Primero se muestra que f ∈ R Sea ε > 0. d.p.q. existe una partición P tal que U (f, P) − L (f, P) < ε. De la convergencia uniforme existe índice n suficientemente grande tal que |fn (x) − f (x)| <

ε , ∀x ∈ [a, b] 3 (b − a)

y además se puede elegir una partición P tal que U (fn , P) − L (fn , P) < Ahora f (x) < fn (x) +

ε 3(b−a)

ε 3

⇒ Mk (f ) ≤ Mk (fn ) +

U (f, P) ≤ U (fn , P) +

ε 3

L (f, P) ≥ L (fn , P) −

ε 3

y en forma similar Se sigue entonces que

U (f, P) − L (f, P) < ε lo que muestra que f ∈ R.

ε 3(b−a)

. Luego,

8 Para mostrar la igualdad, sea ε > 0 y se escoge natural N de manera que ∀n : n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε , ∀x ∈ [a, b] b b

b ⇒ f dx − fn dx = (f − fn ) dx a a a

b |f (x) − fn (x)| dx < ε (b − a) ≤ a

Así entonces

o bien,



b

f dx = l´ım a

b

fn dx

a

b

l´ım fn dx = l´ım

a

b

fn dx

a

c.q.d. El teorema anterior se puede enunciar para series como sigue  Teorema 11 Si fn ∈ R en [a, b] y f (x) = fn (x) [unif. en [a, b]], entonces

b ∞ b  f dx = fn dx a

a

n=1

(o sea la serie puede ser integrada término a término)

2.3.

Convergencia uniforme y derivación

Vimos en la sección anterior que fn → f [unif] en [a, b], con fn integrables para todo n, garantiza que f es integrable y además

b

b l´ım fn dx = l´ım fn dx a

n→∞

n→∞

a

Valdrá lo mismo para la derivabilidad. Esto es, fn → f uniformemente en A, con cada fn derivable, garantiza que f es derivable y además f ′ (x) = l´ım fn′ (x) n→∞

El siguiente ejemplo muestra que se requieren más condiciones: Con fn (x) = sin√nx , definidas para x ∈ R, se tiene n sin nx f (x) = l´ım fn (x) = l´ım √ =0 n convergencia uniforme en R; f ′ (x) = 0 , ∀x ∈√R y fn′ (x) = Sin embargo, l´ım fn′ = f ′ ya que fn′ (0) = n → +∞.

√ n cos nx.

9 Teorema 12 Sea (fn ) una sucesión de funciones derivables en [a, b] y tal que (fn (x0 ))n≥1 converge para algún punto x0 en [a, b]. Si (fn′ )n≥1 converge uniformemente en [a, b], entonces (fn )n≥1 converge uniformemente en [a, b] hacia una función f y ∀x ∈ [a, b] : f ′ (x) = l´ım fn′ (x) n→∞

Dem. Sea ε > 0. Se elige N tal que ε ∀n, m : n ≥ N , m ≥ N =⇒ |fn (x0 ) − fm (x0 )| < 2 ε ′ ′ y ∀n, m : n ≥ N , m ≥ N =⇒ |fn (t) − fm (t)| < , ∀t ∈ [a, b] 2 (b − a) Esto es posible porque (fn (x0 )) es de Cauchy y (fn′ )n≥1 converge uniformemente en [a, b] . Además, aplicando TVM a la función fn − fm en el intervalo de extremos x y t, resulta para n ≥ N , m ≥ N |fn (x) − fm (x) − fn (t) + fm (t)| <

ε |x − t| ε ≤ 2 (b − a) 2

(1)

cualesquiera sean x, t ∈ [a, b] y luego |fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − fm (x) − fn (x0 ) + fm (x0 )| + |fn (x0 ) − fm (x0 )| < ε , ∀x ∈ [a, b] . Esto muestra que (fn ) converge uniformemente en [a, b] . Sea f (x) = l´ım fn (x) , x ∈ [a, b] Ahora probamos la fórmula para derivación de f. Sea x ∈ [a, b] y se consideran para cada n ≥ 1 ϕn (t) =

fn (t) − fn (x) t−x

y

ϕ (t) =

f (t) − f (x) t−x

definidas para t ∈ [a, b] , t = x. Observe que fn (t) − fn (x) = fn′ (x) t→x t→x t−x f (t) − f (x) = f ′ (x) l´ım ϕ (t) = l´ım t→x t→x t−x l´ım ϕn (t) = ϕ (t) l´ım ϕn (t) = l´ım

n→∞

10 Ahora para ε > 0 y el N dado arriba, de la desigualdad (1) se sigue, para todo n, m ≥ N : ε |ϕn (t) − ϕm (t)| < 2 (b − a)

cualquiera sea t , t = x. Esto muestra que la sucesión (ϕn ) converge uniformemente para t ∈ [a, b] , t = x Por lo tanto, l´ım l´ım ϕn (t) =

l´ım l´ım ϕn (t) n→∞ t→x l´ım fn′ (x) n→∞ l´ım fn′ (x) n→∞

t→x n→∞

l´ım ϕ (t) = t→x

f ′ (x) = c.q.d.

Observación 13 La demostración del teorema queda bastante más simple si se agregan a las hipótesis la condición de continuidad para las funciones fn′ (esto es, cada fn de clase C 1 ). En este caso se usa el TFC y el teorema de integrabilidad para convergencia uniforme. Queda de ejercicio construir esta demostración. Una interesante consecuencia de (algunos de) los teoremas anteriores es la construcción de un función.f : R →R que es continua (en toda la recta) y que no tiene derivada en todo punto de su dominio. Considere la función
x si 0 ≤ x ≤ 1 φ (x) = 2 − x si 1 < x ≤ 2 y su extensión periódica a toda la recta: φ (x + 2) = φ (x) , ∀x ∈ R.

1 1 Es claro que esta función es continua en R. Ahora se define f : R → R por f (x) =

∞ n  3 n=0

4

φ (4n x)

11  3 n φ (4n x) es una sucesión de funciones continuas con |fn (x)| ≤ Como f n (x) = 4  3 n , ∀x ∈ R, la serie converge uniformemente y la función f es continua. 4 Resta probar que f no tiene derivada en cualquier punto x ∈ R. Sea x ∈ R. Se probará que f ′ (x) no existe. Para cada m ∈ N existe un entero km tal que km ≤ 4m x ≤ km + 1 4−m km ≤ x ≤ 4−m (km + 1)

y se definen αm = 4−m km

y

β m = 4−m (km + 1)

de manera que αm ≤ x ≤ β m y β m − αm = 4−m → 0 cuando m → +∞. Observe que ∞ n  3 f (αm ) = φ (4n αm ) 4 n=0 ∞ n  3 f (β m ) = φ (4n β m ) 4 n=0 ∞ n  3 f (β m ) − f (αm ) = [φ (4n β m ) − φ (4n αm )] 4 n=0 Además se tiene: Si n > m, entonces 4n β m − 4n αm = 4n−m (km + 1) − 4n−m km = 4n−m = 4r con r entero positivo. Luego, φ (4nβ m ) − φ (4n αm ) = 0 Si n = m, entonces 4n β m − 4n αm = 1, siendo ambos enteros (km + 1 y km ). Luego, |φ (4m β m ) − φ (4m αm )| = 1. Si n < m, entonces 4n β m − 4n αm = 4n−m (km + 1) − 4n−m km = 4n−m < 1 y no existe un entero entre ellos (*). Luego, |φ (4n β m ) − φ (4n αm )| = 4n−m . Ahora, ∞ n  3 f (β m ) − f (αm ) = [φ (4n β m ) − φ (4n αm )] 4 n=0 m n  3 = [φ (4n β m ) − φ (4n αm )] 4 n=0 y luego

m m−1  3 n 3 |f (β m ) − f (αm )| ≥ − 4n−m 4 4

m n=0  1 3 1 m −m > = 3 4 2 4 2

(**) (***)

12 con β m − αm = 4−m . Así,

 f (β m ) − f (αm ) > 1 3m β m − αm 2

Queda de ejercicio mostrar que esto muestra que f no es derivable en x, considerando que αm ≤ x ≤ β m y β m − αm = 4−m → 0 cuando m → +∞. Ind.- Probar que si f ′ (x) existe, entonces se tendría l´ım

n→∞

f (β m ) − f (αm ) = f ′ (x) β m − αm

(*) Por ejemplo para m = 3 se tiene: k3 ≤ 64x ≤ k 3 +1 y como enteros  no hay  k3 k3 +1 k3 k3 +1 k3 k3 +1 en ]k3 , k3 + 1[ es claro que no hay enteros en , , , y , 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 m m−1   (**) Pruebe que bn ≥ |bm | − |bn | n=0 n=0 m−1   3 n n−m 1  3 m (***) Pruebe que 4 0, existe un δ > 0 tal que ∀x, y : x, y ∈ A ∧ d (x, y) < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε , ∀f ∈ F Note que en este caso todos los miembros de la familia F son funciones uniformemente continuas en A. Teorema 15 Si (fn ) es una sucesión de funciones continuas en el compacto K, que además es uniformemente convergente en K, entonces (fn ) es equicontinua en K. Dem. Sea ε > 0. Se tiene: a) Existe un natural N tal que ∀n : n, m ≥ N =⇒ |fn (x) − fm (x)| < ε/3 , ∀x ∈ K

13 por convergencia uniforme en K. b) Existe δ > 0 tal que ∀x, y ∈ K : d (x, y) < δ =⇒ |fk (x) − fk (y)| < ε/3 , para k = 1, ..., N por continuidad uniforme de cada fk en el compacto K. Ahora, para los n > N , ∀x, y ∈ K : d (x, y) < δ =⇒ |fn (x) − fn (y)| ≤ |fn (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (y)| + |fN (y) − fn (y)| < ε lo que muestra que la sucesión es equicontinua. Definición 16 Sea (fn ) una sucesión de funciones fn : A → R. a) Se dice que la sucesión (fn ) es acotada puntualmente en A ssi para cada x ∈ A, la sucesión (fn (x))n≥1 es acotada. O sea, existe una función φ : A → R tal que ∀n : |fn (x)| ≤ φ (x) , ∀x ∈ A

b) Se dice que la sucesión (fn ) es acotada uniformemente en A ssi existe M > 0 tal que ∀n : |fn (x)| ≤ M , ∀x ∈ A

Teorema 17 Si (fn )n≥1 es puntualmente acotada en A y B es un subconjunto numerable de A, entonces existe subsucesión (fnk )k≥1 de (fn ) que converge, para todo x ∈ B. Dem. B = {xi : i ∈ N} . Como (fn (x1 ))n es acotada, existe subsucesión (f1,k )k de (fn ) tal que (f1,k (x1 ))k converge cuando k → ∞. Como (f1,n (x2 ))n es acotada, existe subsucesión (f2,k )k de (f1,n )n tal que (f2,k (x2 ))k converge cuando k → ∞. Así, inductivamente se construyen la sucesiones S1 , S2 , S3 , ... S1 : f1,1 , f1,2 , f1,3 , f1,4 , ... S2 : f2,1 , f2,2 , f2,3 , f2,4 , ... S3 : f3,1 , f3,2 , f3,3 , f3,4 , ... ................. que verifican: 1.- S1 es subsucesión de (fn ) . 2.- Sn es subsucesión de Sn−1 , para n = 2, 3, ... 3.- Sn (xn ) : (fn,k (xn ))k converge cuando k → ∞. De las dos primeras condiciones, la diagonal f1,1 , f2,2, , f3,3 , ... es una subsucesión de fn . Además puede mostrarse que para todo xi ∈ B : fn,n (xi ) converge cuando n → ∞

14 En efecto, para i fijo, (fn,n (xi )) es una subsucesión de Si (xi ), salvo quizás en sus i − 1 primeros términos. Por lo tanto, (fn,n (x))n converge, para todo x ∈ B c.q.d. Antes de enunciar el Teorema de Arzelá-Ascoli se menciona, como un ejercicio, una propiedad de los conjuntos compactos. Ejercicio 3 Sea K un compacto. Existe un subconjunto B numerable y denso en ¯ = K) K. (B denso en K significa que B 1 Para cada r = n , con n ∈ N, la familia {B (x, r)}x∈K de bolas abiertas de radio r y centro en x ∈ K constituyen un cubrimiento abierto de K, luego existe un subcubrimiento finito B (x1r , r) , B (x2r , r) , ..., B (xkr , r) de K. Como unión numerable de conjuntos finitos es numerable, se obtiene una familia numerable de bolas abiertas. Sea B el conjunto formado por los centros de estas bolas. (claramente B es numerable) ¯ = K. En efecto, dado x ∈ K y B (x, ε) una bola abierta de Se afirma que B  1 1 centro x y radio ε > 0, se tiene que x ∈ B xl , n para un n tal que n1 < ε, lo que n ¯ garantiza que xl 1 ∈ B (x, ε). Luego, x ∈ B. n

Teorema 18 Si (fn ) es puntualmente acotada y equicontin ua en el compacto K, entonces (fn ) posee una subsucesión uniformemente convergente y (fn) es uniformemente acotada en K. Dem. Sea B un subconjunto numerable y denso en K. Sea (fn,n ) la subsucesión de (fn ) que converge en todo punto de B, construida en la dem. del teorema anterior. Se mostrará que (fn,n ) converge uniformemente en K. Sea ε > 0. Como (fn ) es equicontinua, existe δ > 0 tal que ∀x, y : x, y ∈ K ∧ d (x, y) < δ =⇒ |fn (x) − fn (y)| < ε/3 , ∀n ∈ N Del cubrimiento abierto {B (x, δ)}x∈B del compacto K podemos extraer un subcubrimiento finito K ⊆ B (x1 , δ) ∪ ... ∪ B (xr , δ) Para estos puntos x1 , ..., xr se escoge N ∈ N tal que

∀n, m : n ≥ N ∧ m ≥ N =⇒ |fn,n (xi ) − fm,m (xi )| < ε/3 , ∀i = 1, ..., r Ahora, para cada x ∈ K existe xi tal que x ∈ B (xi , δ) y luego |fn,n (x) − fm,m (x)| ≤ |fn,n (x) − fn,n (xi )| + |fn,n (xi ) − fm,m (xi )| + |fm,m (xi ) − fm,m (x)| ≤ ε lo que muestra que (fn,n ) converge uniformemente en K. Falta mostrar que (fn ) es uniformemente acotada.

15 Teorema 19 (de Stone-Weierstrass) Si f : [a, b] → R es continua, entonces existe una sucesión de polinomios Pn tal que f (x) = l´ım Pn (x) uniformemente en [a, b] . Dem. La demostración se hará con [a, b] = [0, 1] y considerando f (0) = f (1) = 0. Queda de ejercicio hacer ver que estas consideraciones no significan una pérdida de generalidad en esta demostración. También se puede considerar que f es idénticamente nula fuera de [0, 1] y luego, f será uniformemente continua en toda la recta. Se definen, para cada n ∈ N :  n Qn (x) = cn 1 − x2 donde la constante cn se escoge de manera que

1 Qn (x) dx = 1 −1

Se pueden estimar las magnitudes de las constantes cn a partir del hecho que la función  n h (x) = 1 − x2 − 1 + nx2 , 0 ≤ x ≤ 1 n

se anula en cero y tiene derivada positiva, luego (1 − x2 ) ≥ 1 − nx2 para 0 ≤ x ≤ 1. De aquí

1 −1

 n 1 − x2 dx = 2 ≥ 2

0

0

1

 n 1 − x2 dx ≥ 2

√ 1/ n

√ 1/ n 0



  4 1 1 − nx2 dx = √ > √ 3 n n

y así

y

1  n cn √ < cn 1 − x2 dx = 1 n √−1 cn < n

Ahora, para cada δ > 0 se tiene  n √  n Qn (x) = cn 1 − x2 ≤ n 1 − δ 2

válido para x en δ ≤ |x| ≤ 1.

1 − x2

n

dx

16 Como se puede justificar que l´ım

n→∞

n √  n 1 − δ 2 = 0, se obtiene que Qn (x) → 0

uniformemente en δ ≤ |x| ≤ 1 Los siguentes gráficos corresponden Q1 , Q2 , Q3 , Q4 y Q10 : 2 3 4 10 3 969 (1 − x2 ) , 15 (1 − x2 ) , 35 (1 − x2 ) , 315 (1 − x2 ) , ..., 969 (1 − x2 ) 4 16 32 256 524 288

y 1.5

1.0

0.5

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Este tipo de sucesiones se denominan sucesión de Dirac. A partir de esta sucesión se definen (¿los polinomios?) Pn (x) =

1

−1

f (x + t) Qn (t) dt , 0 ≤ x ≤ 1

Como f (z) es no nula sólo en 0 ≤ z ≤ 1 consideramos 0 ≤ x + t ≤ 1 ⇐⇒ −x ≤ t ≤ 1 − x y luego Pn (x) = =

1

−1

1 0

f (x + t) Qn (t) dt = f (s) Qn (s − x) ds ≡

1−x

f (x + t) Qn (t) dt

−x

1 0

f (t) Qn (t − x) dt

esta última de la sustitución s = x + t , ds = dt Así, considerando que Qn (t − x) es un polinomio en x (y también en t), se concluye que Pn (x) es un polinomio. Finalmente se prueba que Pn (x) → f (x) . Sea ε > 0. Se escoge δ > 0 tal que ∀x, y : |x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε/2

17 Además sea M = sup {|f (x)| : 0 ≤ x ≤ 1} . Se tiene así: 1 [f (x + t) − f (x)] Qn (t) dt |Pn (x) − f (x)| = −1

1 ≤ |f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt −1

1

−δ

ε δ Qn (t) dt + Qn (t) dt + 2M Qn (t) dt ≤ 2M 2 −δ −1 δ n ε √  ≤ 4M n 1 − δ 2 + < ε , para n suficientemente grande 2 c.q.d.