Series

En este cap´ıtulo vamos a estudiar desarrollos en serie de funciones holomorfas, para lo cual vamos en primer lugar a revisar resultados de la teor´ıa de series, adapt´andolos a series de t´erminos complejos.

5.1. Sucesiones y series en C Una sucesi´on de C es una colecci´on {zn }∞ n=1 donde zn ∈ C para todo n ∈ N. Claramente, como zn = xn + iyn , una sucesi´on de C equivale a una sucesi´on de R2 , {(xn , yn )}∞ n=1 . En consecuencia,   l´ım xn = x, n→∞ l´ım zn = z ⇐⇒ n→∞  l´ım yn = y, n→∞

siendo z = x + iy. Si existe el l´ımite (si z ∈ C) se dice que la sucesi´on es convergente. Se dice que la sucesi´on es divergente, y se escribe l´ım zn = ∞,

n→∞

66

5 Series

si y s´olo si la sucesi´on de los m´odulos es divergente l´ım |zn | = ∞.

n→∞

Ejemplos 5.1. (1) La sucesi´on zn = e−n + i

n+1 n

es convergente y tiene por l´ımite l´ım zn = i.

n→∞

(2) La sucesi´on zn = (−1)n n es divergente ya que |zn | = n que es divergente. (3) La sucesi´on zn = in no tiene l´ımite (no es convergente, pero tampoco divergente ya que |zn | = 1).

Una serie es el l´ımite de una sucesi´on de la forma Sn =

n P

zn , y se denota

k=1

l´ım Sn =

n→∞

∞ X

zn .

n=1

Los t´erminos Sn de esa sucesi´on se denominan sumas parciales. Una serie es convergente si y s´olo si sus partes real e imaginaria son series convergentes. Proposici´on 5.1. Si

∞ P

zn es convergente, entonces l´ım zn = 0. De otra forma, n→∞

n=1

si l´ım zn o no existe o es distinto de 0, entonces la serie no converge. n→∞

Se dice que la serie

∞ P

zn es absolutamente convergente si

∞ P

n=1

n=1

|zn | < ∞. Si

una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente (el rec´ıproco es falso, y si una serie converge pero no absolutamente se denomina condicionalmente convergente). Para serie reales de t´erminos no negativos an ≥ 0 (como pueden ser los m´odulos de los t´erminos de una serie compleja) existen varios criterios de convergencia: (1) Criterio de comparaci´on: Si 0 ≤ an ≤ bn , ∞ X n=1

bn < ∞

=⇒

∞ X n=1

an < ∞.

5.2 Sucesiones y series de funciones complejas

67

(2) Criterio del l´ımite: Dadas las series de t´erminos no negativos

∞ P

an y

n=1

tenemos tres casos: an (a) Si l´ım = c, con 0 < c < ∞, n→∞ bn ∞ X an < ∞ ⇐⇒

∞ X

bn < ∞.

∞ X

bn < ∞.

∞ X

an < ∞.

n=1

n=1

an = ∞, n→∞ bn

∞ P

bn ,

n=1

(b) Si l´ım

∞ X n=1

an = 0, n→∞ bn

an < ∞

=⇒

n=1

(c) Si l´ım

∞ X n=1

(3) Criterio de la ra´ız: Si l´ım

n→∞

(a) si r > 1,

∞ P

n=1

bn < ∞

√ n

=⇒

n=1

an = r, entonces

an = ∞,

(b) si 0 ≤ r < 1,

∞ P

n=1

an < ∞.

an+1 = r, con 0 ≤ r ≤ ∞, (4) Criterio del cociente: Si an > 0 y existe l´ım n→∞ an √ entonces l´ım n an = r y se concluye lo mismo que en el criterio de la ra´ız. n→∞

5.2. Sucesiones y series de funciones complejas Se dice que una sucesi´on de funciones fn : Ω → C, con Ω un dominio cualquiera de C, converge puntualmente a la funci´on f : Ω → C si l´ım fn (z) = f (z) para todo z ∈ Ω.

n→∞

Se dice que converge uniformemente si σn ≡ sup |fn (z) − f (z)| z∈Ω

=⇒

l´ım σn = 0.

n→∞

68

5 Series

Proposici´on 5.2. La convergencia uniforme implica la convergencia puntual (no al rev´es). Proposici´on 5.3. Si fn converge uniformemente a f y fn es continua en Ω para todo n ∈ N, entonces f es continua en Ω. Teorema 5.1 (de la convergencia holomorfa). Sea {fn } una sucesi´on de funciones holomorfas en el dominio Ω ⊂ C; si fn converge uniformemente a f en todo disco cerrado de Ω, entonces f es holomorfa en Ω y adem´as fn′ converge uniformemente a f ′ en todo disco cerrado de Ω. Las definiciones de convergencia se aplican igualmente a series de funciones sin m´as que considerar las sucesiones de sumas parciales. Proposici´on 5.4 (criterio M de Weierstrass). Si |fn (z)| ≤ Mn para todo n ∈ ∞ ∞ P P fn (z) converge absoluta y Mn < ∞, la serie N y z ∈ Ω, entonces, si uniformemente.

n=1

n=1

Ejemplo 5.2 (Funci´on zeta de Riemann). La funci´on “zeta” de Riemann se define como ∞ X 1 ζ(z) = . nz n=1

Tomemos Ba = {z ∈ C : Re z ≥ a}; en este conjunto, 1 1 1 1 1 = = nz nx+iy nx niy = nx ≤ na ,

donde hemos usado el valor principal niy = eiy ln n , cuyo m´odulo es 1 (en otra rama encontrar´ıamos una acotaci´on similar y, por tanto, las conclusiones ser´ıan id´enticas). La serie ∞ X 1 1,

de modo que la serie de ζ(z) converge en Ω = ∪a>1 Ba = {z ∈ C : Re z > 1}.

5.3. Series de potencias Sea {an }∞ on de R. Se definen l´ımite superior y l´ımite inferior n=1 una sucesi´ de la sucesi´on como     l´ım sup an = ´ınf sup ak , l´ım inf an = sup ´ınf ak , n→∞

n≥1

k≥n

n→∞

n≥1

k≥n

5.3 Series de potencias

69

con el convenio sup A = ∞ si A no est´a acotado superiormente, e ´ınf A = −∞ si A no est´a acotado inferiormente. Con este convenio, los l´ımites superior e inferior siempre existen (aunque pueden ser infinitos). N´otese que si {an }∞ a acotada superiormente/inferiormente, la sucesi´on n=1 est´ . αn ≡ sup ak βn ≡ ´ınf ak , k≥n

k≥n

es mon´otona decreciente/creciente. Propiedades: (1) l´ım inf an ≤ l´ım sup an . n→∞

(2) l´ım an = a n→∞

n→∞

⇐⇒

l´ım sup an = l´ım inf an = a. n→∞

n→∞

(3) l´ım inf an = − l´ım sup(−an ). n→∞

n→∞

(4) l´ım sup(an + bn ) ≤ l´ım sup an + l´ım sup bn . n→∞

n→∞

n→∞

(5) Si an ≥ 0 y existe l´ım an , n→∞

l´ım sup an bn = n→∞



l´ım an

n→∞





l´ım sup bn . n→∞

(6) Si an , bn ≥ 0, l´ım sup an bn ≤ n→∞

(7) Si an ≥ 0 y α > 0,



l´ım sup aαn n→∞

l´ım sup an n→∞

=





l´ım sup bn . n→∞

l´ım sup an n→∞

α

.

(8) Si f es continua y mon´otona creciente, 



l´ım sup f (an ) = f l´ım sup an , n→∞

y si es continua y mon´otona decreciente,



n→∞



l´ım inf f (an ) = f l´ım inf an . n→∞

n→∞



70

5 Series

Utilizando la propiedad (3) se pueden deducir propiedades an´alogas a las propiedades (4)–(7) para el l´ımite inferior. Ejemplos 5.3. (1) l´ım sup n→∞

n = 1. n+1

(2) l´ım sup(−1)n = 1. n→∞

(3) ¡Ojo! Expresiones como l´ım sup n→∞

n no tienen sentido porque no hay orden en C. n+i

La forma m´as general del criterio de la ra´ız para la convergencia de series de t´erminos no negativos se obtiene cambiando l´ım por l´ım sup. La ventaja de esta √ forma es que, mientras que el l´ımite de n an puede no existir, el l´ımite superior existe siempre. Una serie de potencias centrada en z0 ∈ C es una serie de la forma ∞ X n=0

an (z − z0 )n .

(†)

Se define el radio de convergencia de la serie de potencias (†) como el valor R dado por la f´ormula de Cauchy-Hadamard 1 = l´ım sup |an |1/n , R n→∞

0 ≤ R ≤ ∞.

El disco D(z0 , R) se denomina c´ırculo de convergencia de la serie (†). Teorema 5.2. La serie de potencias (†) (a) converge absolutamente en el disco |z − z0 | < R y diverge en su exterior, |z − z0 | > R, y (b) converge uniformemente en cada disco cerrado |z − z0 | ≤ r < R. Dem.: (a) Por el criterio de la ra´ız (con l´ım sup), la serie ser´a absolutamente convergente (divergente) si p l´ım sup n |an ||z − z0 |n < 1 (> 1), n→∞

lo que, por la f´ormula de Cauchy-Hadamard, implica |z − z0 | < 1 (> 1) R

⇐⇒

|z − z0 | < R (> R).

5.3 Series de potencias

71

(b) No hay nada que demostrar si R = 0, as´ı que supongamos que R > 0 y tomemos r < ρ < R. Como l´ım sup |an |1/n = n→∞

1 1 < , R ρ

existir´a N ∈ N tal que si n ≥ N ser´a |an | < ρ−n , con lo que si |z − z0 | ≤ r y n ≥ N,  n 1 r . |an (z − z0 )n | = |an ||z − z0 |n < n rn = ρ ρ ∞ P (r/ρ)n < ∞, la convergencia uniforme se sigue del criterio de Como n=0

Weierstrass.

Proposici´on 5.5. El radio de convergencia se puede obtener como |an | , n→∞ |an+1 |

R = l´ım cuando este l´ımite existe.

Ejemplos 5.4. Calcula los radios de convergencia de las siguientes series. (1)

∞ X zn n=0

n!

. Aplicando la proposici´on, 1/n! = l´ım (n + 1) = ∞. n→∞ n→∞ 1/(n + 1)!

R = l´ım

(2)

∞ X

en z 2n . Convertimos la serie en

n=0

∞ X n=0

en z 2n =

∞ X

en wn ;

n=0

entonces, de acuerdo con la f´ormula de Cauchy-Hadamard, 1 = l´ım sup |ak |1/k = e, R′ k→∞ de donde R′ = 1/e es el radio de convergencia de la segunda serie. Eso significa que converge (diverge) para |w| 1/e), y como w = z 2 , el radio de convergencia de la serie original ser´a R = 1/ e.

72

5 Series

(3)

∞ X

n7 z n . Aplicando la proposici´on,

n=0

n7 = 1. n→∞ (n + 1)7

R = l´ım

(4)

∞ X

nn z n . Aplicando la f´ormula de Cauchy-Hadamard

n=1

1 = l´ım sup n = ∞, R n→∞

luego R = 0. (5)

∞ X

2

an z 1+2+···+n =

n=1

∞ X n=1

2

an z n(n+1)/2 ≡

( 2 an ak = 0

∞ X

ak z k , donde

k=0

si k = n(n + 1)/2 para alg´un n ∈ N, si k 6= n(n + 1)/2 para todo n ∈ N.

Aplicando la f´ormula de Cauchy-Hadamard 1 2 = l´ım sup |ak |1/k = l´ım sup |an |2/n(n+1) = l´ım sup |a|2n/(n+1) = |a|2 , R n→∞ n→∞ k→∞ luego R = 1/|a|2 .

El teorema 5.2 afirma que una serie de potencias converge cuando |z − z0 | < R y diverge cuando |z − z0 | > R, pero nada dice de lo que ocurre en la frontera |z − z0 | = R. El estudio de la convergencia en la frontera resulta bastante m´as dif´ıcil, y, de hecho, s´olo contamos con un resultado parcial: Teorema 5.3. Sea R el radio de convergencia de la serie ∞ X n=0

an (z − z0 )n .

Si la sucesi´on {an Rn }∞ otona decreciente y converge a 0, entonces la n=0 es mon´ serie converge condicionalmente sobre |z − z0 | = R, excepto quiz´a en el punto z − z0 = R.

Ejemplos 5.5.

(1) La serie

converge en |z| = 1 excepto en z = 1.

∞ X zn n+1 n=0

5.4 Funciones anal´ıticas

73

(2) La serie ∞ n X n (z − 3) √ (−1) n n=1

no verifica las condiciones del teorema en esta forma, pero s´ı en la forma ∞ X (3 − z)n √ , n n=0

as´ı que converge en |z − 3| = 1 salvo en el punto 3 − z = 1, es decir, z = 2, donde es claramente divergente.

5.4. Funciones anal´ıticas Una serie de potencias define una funci´on f (z) en su c´ırculo de convergencia D(z0 , R). La propiedad de ser desarrollable en serie de potencias es una de las m´as importantes que puede tener una funci´on, de modo que es conveniente dar un nombre a las funciones que tienen esa propiedad. Definici´on 5.1 (Funci´on anal´ıtica). Diremos que f (z) es una funci´on anal´ıtica en z0 si se puede expresar como una serie de potencias de z − z0 en alg´un disco D(z0 , R), con R > 0. Si una funci´on es anal´ıtica en todos los puntos del conjunto Ω ⊂ C diremos que es anal´ıtica en Ω. El primer resultado importante sobre esta clase de funciones lo da el siguiente teorema: Teorema 5.4. Sea f (z) una funci´on anal´ıtica en z0 , es decir, f (z) =

∞ X n=0

an (z − z0 )n

en D(z0 , R), donde R es el radio de convergencia de la serie. Entonces: (a) f es holomorfa en D(z0 , R) y adem´as ′

f (z) =

∞ X n=0

(n + 1)an+1 (z − z0 )n ,

en D(z0 , R). El radio de convergencia de esta serie es tambi´en R.

74

5 Series

(b) La serie F (z) =

∞ X an−1 n=1

n

(z − z0 )n

es una primitiva de f (z) en D(z0 , R) y tambi´en tiene radio de convergecia R. Dem.: (a) Es consecuencia del teorema de la convergencia holomorfa 5.1: las series de potencias convergen uniformemente en cualquier disco cerrado contenido en el c´ırculo de convergencia, y los t´erminos an (z − z0 )n son, evidentemente, funciones holomorfas en C. El radio de convergencia es tambi´en R como consecuencia de que l´ım (n + 1)1/n = 1.

n→∞

(b) Es una repetici´on del apartado anterior partiendo de la serie de F . Veamos algunas consecuencias de este resultado: Corolario 5.1. Sea la serie f (z) =

∞ X n=0

an (z − z0 )n ,

con c´ırculo de convergencia D(z0 , R). Entonces, (a) f es infinitamente derivable en D(z0 , R) y f

(k)

(z) =

∞ X n=0

(n + k)(n + k − 1) · · · (n + 1)an+k (z − z0 )n .

(b) Los coeficientes se pueden obtener como ak =

f (k) (z0 ) . k!

(c) Si dos series de potencias coinciden en todos los puntos de alg´un entorno de z0 , entonces son id´enticas (sus coeficientes son id´enticos). Dem.: (a) Se sigue de aplicar una y otra vez el teorema anterior.

5.4 Funciones anal´ıticas

75

(b) Basta hacer z = z0 en la expresi´on de f (k) (z). (c) Si dos series f (z) =

∞ X n=0

n

an (z − z0 ) ,

g(z) =

∞ X n=0

bn (z − z0 )n ,

son tales que f (z) = g(z) en D(z0 , ǫ) para alg´un ǫ > 0, entonces se cumple (b) y, por tanto, f (k) (z0 ) ak = = bk . k! Vamos ahora a demostrar uno de los resultados m´as importantes de la teor´ıa de variable compleja. Ya hemos visto en el teorema 5.4 que toda funci´on anal´ıtica es holomorfa. Vamos ahora a demostrar el teorema rec´ıproco, es decir, que toda funci´on holomorfa es tambi´en anal´ıtica, con lo que anal´ıtica y holomorfa se convierten en sin´onimos. El teorema que permite asegurar este resultado no es otro ´ asegura que el resto del desarrollo de Taylor que el teorema de Taylor infinito. Este finito tiende a cero en el disco de convergencia de la serie de Taylor correspondiente. Esto bastar´a para probar que la funci´on holomorfa es id´entica a su serie de Taylor, demostrando as´ı que es anal´ıtica. Teorema 5.5 (Serie de Taylor). f (z) es holomorfa en el dominio Ω ⊂ C si y s´olo si es anal´ıtica en Ω. Adem´as, si a ∈ Ω y d es la distancia de a a ∂Ω, entonces f (z) =

∞ X f (n) (a) n=0

para todo z ∈ D(a, d).

n!

(z − a)n

Dem.: Como el teorema 5.4 prueba que una funci´on anal´ıtica es holomorfa, bastar´a probar el rec´ıproco. Para ello basta probar la f´ormula del enunciado. Tomemos cualquier r tal que |z −a| < r < d y C = ∂D(a, r); entonces, el teorema de Taylor finito (teorema 4.12) asegura que f (z) =

n X f (k) (a) k=0

con

k!

(z − a)k + Rn+1 (z)(z − a)n+1 ,

1 Rn+1 (z) = 2πi

I

C

f (ζ) dζ. (ζ − z)(ζ − a)n+1

76

5 Series

Vamos ahora a acotar el resto. Como |ζ − a| = r, |ζ − z| = |(ζ − a) − (z − a)| ≥ |ζ − a| − |z − a| = r − |z − a|.

Por otro lado, como |f (ζ)| es continua sobre C, alcanzar´a su valor m´aximo M ; entonces |f (ζ)| ≤ M . As´ı pues, |Rn+1 (z)| ≤

1 M M 2πr = , n+1 2π (r − |z − a|)r (r − |z − a|)rn

con lo que Rn+1 (z)(z − a)n+1 ≤

Como |z − a| < r,

Mr (r − |z − a|)



|z − a| r

n+1

.

l´ım Rn+1 (z)(z − a)n+1 = 0,

n→∞

quedando as´ı demostrada la f´ormula de la serie de Taylor. Una importante consecuencia de este teorema es el hecho de que el radio de convergencia de la serie de Taylor sea la distancia a la frontera del dominio Ω donde la funci´on es holomorfa.1 Eso significa que el radio de convergencia de una serie es la distancia desde el punto a al punto m´as cercano en el que la funci´on no es holomorfa. Ejemplo 5.6. La series de Taylor de las funciones elementales son: z

(1) e =

∞ X zn n=0

(2) sen z =

n!

∞ X

, para todo z ∈ C.

(−1)n

z 2n+1 , para todo z ∈ C. (2n + 1)!

(−1)n

z 2n , para todo z ∈ C. (2n)!

n=0

(3) cos z =

∞ X n=0

(4) senh z =

∞ X n=0

z 2n+1 , para todo z ∈ C. (2n + 1)!

∞ X z 2n (5) cosh z = , para todo z ∈ C. (2n)! n=0 1 Evidentemente, R ≥ d, pero no puede ser R > d porque si lo fuera f (z) ser´ıa anal´ıtica en una regi´on donde no es holomorfa, lo cual es imposible.

5.5 Principio de prolongaci´on anal´ıtica (6) log(1 + z) =

∞ X

(−1)n+1

n=1

α

(7) (1 + z) =

∞   X α n=0

n

77

zn , para todo z ∈ D(0, 1), sobre la rama principal de log(1 + z). n

z n , para todo z ∈ D(0, 1), sobre la rama principal de (1 + z)α .

En la u´ ltima serie, la serie bin´omica, hemos introducido la notaci´on     α(α − 1) · · · (α − n + 1) α α = si n ∈ N, = 1. n! n 0 Como caso particular de la serie bin´omica tenemos la serie geom´etrica, convergente si |z| < 1, ∞

X 1 = zn. 1−z n=0

´ anal´ıtica 5.5. Principio de prolongacion Veamos primeramente un corolario al teorema de la serie de Taylor. Corolario 5.2. Si f (z) es holomorfa en el dominio Ω ⊂ C y existe z0 ∈ Ω tal que f (n) (z0 ) = 0 para todo n ∈ N, entonces f (z) es constante en Ω.

Dem.: Cuando Ω es un disco centrado en z0 el resultado es una trivial aplicaci´on del teorema de Taylor. Si Ω es un dominio general tomemos z0′ ∈ Ω arbitrario y construyamos una curva γ desde z0 a z0′ (lo que es posible debido a que Ω es conexo). Sea d la distancia de γ a ∂Ω. Elijamos n puntos sobre γ, z1 , . . . , zn , de tal modo que zn = z0′ y |zk − zk−1 | < d, k = 1, 2, . . . , n.

Ahora construyamos los entornos Dk = D(zk , d), k = 0, 1, . . . , n. Todos ellos est´an en Ω porque Ω es abierto y d es la distancia de γ a ∂Ω. Por el teorema de Taylor f (z) es constante e igual a f (z0 ) en D0 . Pero z1 ∈ D0 , luego f (n) (z1 ) = 0 para todo n ∈ N. De nuevo por el teorema de Taylor f (z) es constante e igual a f (z0 ) en D1 . Pero z2 ∈ D1 , luego f (n) (z2 ) = 0 para todo n ∈ N. Repitiendo el argumento llegamos a que f (z0′ ) = f (z0 ). Como z0′ es un punto arbitrario de Ω, la funci´on es constante en todo Ω. Con este resultado podemos probar el siguiente teorema: Teorema 5.6. Si f (z) es una funci´on holomorfa en el dominio Ω ⊂ C y existe una sucesi´on {an }∞ n=1 ⊂ Ω, con todos los an distintos, convergente al punto a ∈ Ω y tal que f (an ) = 0 para todo n ∈ N, entonces f (z) = 0 en todo Ω.

78

5 Series

Dem.: La continuidad implica que f (a) = 0. Para probar el resultado vamos a demostrar que f (n) (a) = 0 para todo n ∈ N. En ese caso, el corolario anterior implicar´a que f (z) = f (a) = 0 en todo Ω. Demostraremos que f (n) (a) = 0 para todo n ∈ N por reducci´on al absurdo. Supongamos que es falso, y que f (k) (a) es la primera derivada no nula. Entonces, f (z) =

∞ X f (n) (a) n=0

donde g(z) =

n!

n

(z − a) =

∞ X f (n+k) (a) n=0

(n + k)!

∞ X f (n) (a) n=k

(z − a)n ,

n!

(z − a)n = (z − a)k g(z),

g(a) =

f (k) (a) 6= 0. k!

La funci´on g(z) es, por tanto, anal´ıtica en D(a, R), con R el radio de convergencia de la serie de Taylor de f (z). En particular, es continua en a. Ahora bien, g(an ) =

f (an ) = 0, (an − a)k

luego g(a) = 0 por continuidad, lo que es una contradicci´on. El resultado que se sigue de este teorema es de una gran trascendencia: Corolario 5.3 (Principio de prolongaci´on anal´ıtica). Sea Ω un dominio de C, y sea {an }∞ on de puntos distintos de Ω que converge al punto a ∈ Ω. Si n=1 una sucesi´ f (z) y g(z) son dos funciones anal´ıticas en Ω tales que f (an ) = g(an ) para todo n ∈ N, entonces f (z) = g(z) en todo Ω. Dem.: Basta aplicar el teorema a la funci´on f − g. El principio de prolongaci´on anal´ıtica afirma, pues, que dos funciones holomorfas que coinciden en un conjunto que contenga alguna sucesi´on como la de la hip´otesis (por ejemplo, el eje real, el imaginario, un segmento, una curva. . . ), tienen que ser id´enticas. Esto tiene importantes implicaciones. Por ejemplo, el modo en que construimos las funciones elementales fue buscando alguna funci´on holomorfa que coincidiese con las funciones reales sobre el eje real. El principio de prolongaci´on anal´ıtica garantiza que s´olo hay una funci´on que cumpla esos dos requisitos, de modo que las funciones que definimos son las u´ nicas extensiones posibles de las funciones elementales reales a todo el plano complejo. Ejemplos 5.7.

5.6 Ceros y singularidades aisladas

79

(1) Halla una funci´on holomorfa, f (z), que verifique f (n) = n2 /(n2 + n + 2) para todo n ∈ Z.

Evidentemente, la funci´on f (z) = z 2 /(z 2 + z + 2) cumple esa condici´on, pero tambi´en lo hace la funci´on g(z) = z 2 /(z 2 + z + 2) + sen(πz). Es obvio que hay infinitas funciones holomorfas que cumplen esa condici´on.

(2) Halla una funci´on holomorfa, f (z), que verifique f (1/n) = n2 /(n2 + n + 2) para todo n ∈ N. Si escribimos f (1/n) =

n2 1 = 1 2 n +n+2 1+ n +

2 n2

,

resulta claro que f (z) =

1 . 1 + z + 2z 2

El teorema garantiza que esa funci´on es u´ nica. Uno podr´ıa razonar, no obstante, como en el ejemplo anterior y decir que g(z) =

1 + sen(π/z) 1 + z + 2z 2

cumple la misma condici´on. Sin embargo, esta funci´on no es holomorfa en z = 0, que es el punto l´ımite de la sucesi´on 1/n, de modo que z = 0 no est´a en el dominio de analiticidad de g, al contrario de lo que ocurre con f .

5.6. Ceros y singularidades aisladas Supongamos que f : Ω → C es holomorfa en el dominio Ω ⊂ C. Un punto a ∈ Ω en el que f (a) = 0 se denomina cero de f . Por el teorema 5.6, si el conjunto de ceros de f tiene un punto de acumulaci´on, entonces f (z) = 0 en todo Ω; as´ı pues, si f (z) no es constante, sus ceros deben ser puntos aislados. Cuando una funci´on anal´ıtica tiene un cero en a ∈ Ω, seg´un el teorema de Taylor f (z) = (z − a)k g(z), g(a) 6= 0. Se dice entonces que a es un cero de orden k. Si una funci´on f (z) es holomorfa en Ω − {a}, se dice que en a tiene una singularidad aislada. Tales singularidades pueden ser de tres tipos, atendiendo al comportamiento de l´ım(z − a)k+1 f (z). (∗) z→a

80

5 Series

(1) Si el menor valor de k para el que el l´ımite (∗) vale 0 es k = 0, entonces se denomina singularidad evitable. En una singularidad evitable existe el l´ımite l´ım f (z) = l,

z→a

de modo que si redefinimos f (a) = l, la nueva funci´on as´ı creada es holomorfa en a. sen z es holomorfa en C − {0}; sin embargo, z sen z = l´ım sen z = 0, l´ım z z→0 z→0 z

Ejemplo 5.8. La funci´on f (z) =

y, de hecho,

sen z = 1, z→0 z l´ım

as´ı que la funci´on f (z) =

( sen z z

1

si z 6= 0,

si z = 0,

es holomorfa en C. Normalmente, en una singularidad evitable de este tipo se da por sobreentendida la extensi´on sen z holomorfa de la funci´on; as´ı, decimos simplemente que f (z) = es holomorfa en C z sobreentendiendo que f (0) = 1.

(2) Si el menor valor de k para el que el l´ımite (∗) vale 0 es p ∈ N, entonces se dice que a es un polo de orden p. Cuando f (z) tiene un polo de orden p en a, entonces f se puede escribir como f (z) =

g(z) , (z − a)p

g(a) 6= 0,

con g(z) una funci´on holomorfa en Ω. La raz´on es que si (∗) vale 0 es porque f (z) diverge en z = a y, por tanto, F (z) = 1/f (z) tiene un cero en ese punto. Entonces se puede escribir como F (z) = (z − a)p G(z) para alg´un p ∈ N, siendo G(z) holomorfa en a y tal que G(a) 6= 0. Entonces, la funci´on g(z) = 1/G(z). (3) Si el l´ımite (∗) no existe para ning´un k ∈ N, entonces se dice que f (z) tiene una singularidad esencial en z = a. Ejemplo 5.9. La funci´on f (z) = e1/z tiene una singularidad esencial en z = 0, ya que 2 2 l´ım z k+1 e1/z = l´ım (x2 + y 2 )(k+1)/2 ex/(x +y ) . z→0

(x,y)→(0,0)

5.7 Series de Laurent

81

A lo largo de rectas x = λy el l´ımite vale 2

(k+1)/2

l´ım (λ + 1)

y→0

k+1

|y|

exp



λ 2 (λ + 1)y



,

que, salvo para λ = 0, no existe.

Una funci´on que tiene s´olo polos o singularidades evitables en un dominio Ω y es anal´ıtica en el resto del dominio, se dice que es meromorfa en Ω. Toda funci´on meromorfa en Ω se puede escribir como el cociente f (z) = g(z)/h(z), donde g y h son funciones anal´ıticas en Ω y h no es id´enticamente nula. Los polos de f (z) son los ceros de h(z). Decimos que una funci´on tiene una singularidad aislada en el infinito si f (1/z) tiene una singularida aislada en z = 0. Ejemplos 5.10. (1) La funci´on sen(1/z) tiene una singularidad evitable en el infinito. (2) La funci´on z −1 log z no tiene una singularidad aislada en el infinito por el corte de log z. (3) La funci´on ez tiene una singularidad esencial en el infinito. (4) La funci´on z 3 tiene un polo de orden 3 en el infinito.

5.7. Series de Laurent En un polo o en una singularidad esencial, una funci´on holomorfa no tiene desarrollo de Taylor. En estos casos, sin embargo, hay otro tipo de desarrollo en serie que puede utilizarse, que recibe el nombre de desarrollo en serie de Laurent, y cuya existencia est´a justificada por el siguiente teorema. Teorema 5.7 (Laurent). Sea f (z) una funci´on anal´ıtica en un anillo R1 < |z − a| < R2 , y sea γ cualquier contorno cerrado simple del anillo, que rodee a y que est´e orientado positivamente. Entonces, en todo punto z del anillo la funci´on f (z) puede expresarse como I ∞ X 1 f (z) n cn (z − a) , cn = f (z) = dz. n+1 2πi (z − a) γ n=−∞ Dem.: Construyamos las dos circunferencias C1 , dada por |z −a| = r1 > R1 , y C2 , dada por |z − a| = r2 < R2 , de tal modo que el anillo cerrado r1 ≤ |z − a| ≤ r2 contenga tanto el punto z como la curva γ, y contruyamos una circunferencia C que rodee el punto z y est´e tambi´en en ese anillo cerrado (v´ease la figura 5.1).

82

5 Series

C2 C z

γ C1 a

Figura 5.1: Anillo R1 < |z − a| < R2 (en amarillo) con las curvas construidas en la demostraci´on del teorema de Laurent.

Seg´un el teorema de Cauchy-Goursat para dominios m´ultiplemente conexos, I I I f (ζ) f (ζ) f (ζ) dζ − dζ − dζ = 0, ζ − z ζ − z ζ − z C2 C1 C y como la u´ ltima integral vale 2πif (z), por la f´ormula integral de Cauchy, I I f (ζ) f (ζ) 1 1 dζ − dζ. f (z) = 2πi C2 ζ − z 2πi C1 ζ − z Tal como hicimos para el teorema de Taylor finito, transformaremos el integrando de la primera integral mediante la identidad n

X (z − a)k 1 1 = + ζ −z (ζ − a)k+1 ζ − z k=0



z−a ζ −a

n+1

,

ζ −a z−a

n+1

y el de la segunda mediante la identidad n

X (ζ − a)k 1 1 1 − = = + ζ −z z−ζ (z − a)k+1 z − ζ k=0



,

con lo que f (z) =

n X k=0

k

n+1

ak (z − a) + Rn+1 (z)(z − a)

+

n+1 X k=1

Sn+1 (z) bk + , (z − a)k (z − a)n+1

5.7 Series de Laurent

83

siendo I f (ζ) 1 dζ, ak = 2πi C2 (ζ − a)k+1 I 1 bk = (ζ − a)k−1 f (ζ) dζ, 2πi C1

I f (ζ) 1 Rn+1 (z) = dζ, 2πi C2 (ζ − z)(ζ − a)n+1 I 1 Sn+1 (z) = (ζ − a)n+1 f (ζ) dζ. 2πi C1

Ahora bien, por el principio de deformaci´on de contornos, I I 1 f (ζ) 1 ak = (ζ − a)k−1 f (ζ) dζ. dζ, bk = k+1 2πi γ (ζ − a) 2πi γ Por otro lado, como f (z) es continua sobre C1 y C2 , su m´odulo alcanzar´a un m´aximo sobre ellas, de modo que habr´a un M > 0 tal que |f (ζ)| ≤ M sobre ambas curvas. Adem´as, ( r2 − |z − a| sobre C2 , |ζ − z| ≥ |ζ − a| − |z − a| = |z − a| − r1 sobre C1 , as´ı que

 n+1 M r2 |z − a| −−−−→ 0, n→∞ r2 − |z − a| r2  n+1 Sn+1 (z) M r1 r1 ≤ −−−−→ 0, (z − a)n+1 |z − a| − r1 |z − a| n→∞ Rn+1 (z)(z − a)n+1 ≤

ya que r1 < |z − a| < r2 . Por lo tanto, si definimos ) ( I an si n ≥ 0 1 f (ζ) = cn = dζ, 2πi γ (ζ − a)n+1 b−n si n < 0 entonces f (z) =

∞ X

n=−∞

cn (z − a)n .

Vamos a hacer algunas observaciones sobre las series de Laurent. Si f (z) es anal´ıtica en el disco |z − a| < R2 , entonces tambi´en lo es (z − a)n−1 f (z); eso implica que para una funci´on as´ı, cn = 0 para todo n < 0, y la serie de Laurent se conviente en una serie de Taylor.

84

5 Series

Si f (z) tiene un polo de orden k, entonces (z − a)n−1 f (z) ser´a anal´ıtica en z = a para todo n > k, con lo que cn = 0 para todo n > k. La serie de Laurent tendr´a entonces s´olo un n´umero finito de potencias negativas: ∞

X c−k+1 c−1 c−k + + · · · + + f (z) = cn (z − a)n . k k−1 (z − a) (z − a) z − a n=0 Cuando f (z) tiene una singularidad esencial en z = a, la serie de potencias negativas es infinita. Claramente, en una serie de Laurent podemos definir dos radios de convergencia: 1 r = l´ım sup |c−n |1/n , = l´ım sup |cn |1/n . R n→∞ n→∞ Aplicando el criterio de la ra´ız a la serie positiva y a la negativa concluimos que la serie de Laurent converge en todo el anillo r < |z − a| < R y diverge en su exterior. El coeficiente c−1 tiene un significado especial, ya que I f (z) dz = 2πic−1 . γ

Si f (z) es holomorfa en el interior de γ, entonces c−1 = 0, y recuperamos el teorema de Cauchy-Goursat. Este resultado nos da, pues, el valor de la integral en dominios m´ultiplemente conexos. Ejemplos 5.11. (1) La funci´on e1/z tiene un desarrollo de Laurent en 0 < |z| < ∞ dado por 1/z

e

∞ X 1 = , n!z n n=0

que se obtiene cambiando z por 1/z en la serie de Taylor de ez . N´otese que esto implica que I e1/z dz = 2πi, γ

para todo contorno cerrado simple γ que rodee el punto z = 0. (2) La funci´on f (z) =

1 (z − 1)3

es su propia serie de Laurent; el u´ nico coeficiente no nulo de la serie es c−3 = 1.

5.8 M´etodos pr´acticos de obtenci´on de series de Laurent

85

(3) Sea la funci´on f (z) =

−1 1 1 = − . (z − 1)(z − 2) z−1 z−2

Esta funci´on el meromorfa en C, y tiene dos polos, uno en z = 1 y otro en z = 2. Si denotamos D1 , D2 y D3 , respectivamente, los dominios |z| < 1, 1 < |z| < 2 y 2 < |z|, podemos hallar representaciones en serie en cada uno de ellos. En D1 , ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 1 zn n f (z) = − + =− = z + (2−n−1 − 1)z n , n+1 1 − z 2 1 − (z/2) 2 n=0 n=0 n=0

convergente si |z| < 1. En D2 , ∞

∞

∞

∞

X 1 X zn X 1 X zn 1 1 1 1 + = + = + , f (z) = z 1 − (1/z) 2 1 − (z/2) n=0 z n+1 n=0 2n+1 z n n=0 2n+1 n=1 convergente si 1 < |z| < 2. En D3 , ∞

∞

∞

X 1 X 2n X 1 − 2n−1 1 1 1 1 − = − = , f (z) = n z 1 − (1/z) z 1 − (2/z) n=0 z n+1 n=0 z n+1 z n=1 convergente si 2 < |z|.

´ ´ ´ de series de Lau5.8. Metodos practicos de obtencion rent La utilidad pr´actica de la f´ormula I f (z) dz = 2πic−1 γ

(que se explorar´a en profundidad en el pr´oximo cap´ıtulo) se basa en que seamos capaces de obtener la serie de Laurent (o al menos el t´ermino correspondiente a la potencia (z − a)−1 ) mediante un procedimiento alternativo al c´alculo de los coeficientes mediante la definici´on. Los ejemplos finales del apartado anterior ilustran algunos de estos procedimientos: en concreto, el empleo de desarrollos en serie conocidos y la factorizaci´on en fracciones elementales. Vamos a examinar aqu´ı algunos m´as.

86

5 Series

´ e integracion ´ termino ´ ´ Derivacion a termino.

Un m´etodo muy com´un es obtener la serie de f (z) a partir de su derivada o su primitiva, supuestas conocidas. Ejemplo 5.12. El ejemplo t´ıpico es f (z) = arctan z (sobre la rama principal), cuya derivada es ∞

X 1 f (z) = = (−1)n z 2n 2 1+z n=0 ′

|z| < 1.

Integrando t´ermino a t´ermino f (z) = c +

∞ X

(−1)n

n=0

z 2n+1 , 2n + 1

y como sobre la rama principal arctan 0 = 0, arctan z =

∞ X

(−1)n

n=0

z 2n+1 2n + 1

|z| < 1.

´ de series Multiplicacion

Supongamos que f (z) = g(z)h(z) y que g(z) =

∞ X

n

an z ,

h(z) =

n=0

∞ X

an z n .

n=0

Entonces

f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · b0 + b1 z + b2 z 2 + · · · = a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 )z + (a2 b0 + a1 b2 + a0 b2 )z 2 + · · · , es decir, f (z) =

∞ X

n

cn z ,

cn =

n=0

n X

an−k bk .

k=0

El radio de convergencia de esta serie ser´a el m´ınimo de los radios de convergencia de las series de g(z) y h(z). Ejemplo 5.13. Vamos a obtener el desarrollo en serie de f (z) =

ez 1−z

a partir de las series z

e =

∞ X zn n=0

n!

∞

,

X 1 = zn. 1−z n=0

5.8 M´etodos pr´acticos de obtenci´on de series de Laurent Como an = 1 y bn = 1/n!, cn = luego f (z) =

∞ X

87

n X 1 , k! k=0

cn z n ,

n=0

|z| < 1.

´ de series Division

Tambi´en podemos tener la situaci´on en que f (z) =

g(z) . h(z)

Denotando igual que antes los desarrollos en serie de f , g y h, esta ecuaci´on equivale a g(z) = h(z)f (z), por lo que an =

n X

bn−k ck .

k=0

Se trata de un sistema de ecuaciones triangular,      c0 a0 b0 0 0 0 · · · b b 0 0 · · · c  a    1  1  1 0 b b b 0 · · · c  a    2 =  2 ,  2 1 0      b3 b2 b1 b0 · · · c3  a3  .. .. .. .. . . . .. .. . . . . . . cuya soluci´on se obtiene iterativamente:

c0 = a0 /b0 , c1 = (a1 − b1 c0 )/b0 , c2 = (a2 − b2 c0 − b1 c1 )/b0 , .. . A efectos pr´acticos, el algoritmo iterativo por el que se obtienen los cn es equivalente a un algoritmo de divisi´on de polinomios, solo que empezando desde la potencia menor.

88

5 Series

Ejemplos 5.14. (1) Sea la funci´on

ez − 1 . cos z Vamos a obtener su desarrollo de Taylor a partir de los desarrollos f (z) =

z2 z3 z4 + + + ··· , 2 6 24 z2 z4 + + ··· . cos z = 1 − 2 24

ez − 1 = z +

Emplearemos el algoritmo de la divisi´on: z

+ 12 z 2

+ 16 z 3

1 4 + 24 z

− 12 z 3

z 1 2 z 2

+ 23 z 3

1 2 z 2 2 3 z 3

···

1

− 12 z 2

···

z

+ 21 z 2

1 4 + 24 z

···

− 14 z 4

···

7 4 + 24 z

···

2 3 z 3

+ 32 z 3

1 4 + 24 z

···

7 4 + 24 z

···

··· 7 4 z 24

···

7 4 z 24

··· ···

As´ı que el resultado de la divisi´on es 1 2 7 f (z) = z + z 2 + z 3 + z 4 + · · · , 2 3 24

|z| <

π , 2

donde el radio de convergencia es la distancia del origen al primer cero de cos z. (2) Consideremos ahora la funci´on f (z) =

1 , sen z

que tiene polos simples en z = nπ, con n ∈ Z. Busquemos un desarrollo de Laurent alrededor de z = 0 a partir del desarrollo de Taylor sen z = z − dividiendo series:

z3 z5 + − ··· , 6 120

5.8 M´etodos pr´acticos de obtenci´on de series de Laurent 1 1 − 61 z 2

1 4 + 120 z

···

1 2 z 6 1 2 z 6

1 4 − 120 z

···

1 4 − 36 z

···

7 4 z 360 7 4 z 360

···

89

z

− 16 z 3

1 5 + 120 z

···

z −1

+ 61 z

7 3 + 360 z

···

··· ···

As´ı pues,

1 1 1 7 3 = + z+ z + ··· , 0 < |z| < π, sen z z 6 360 ya que π es el cero m´as cercano al origen (aparte del origen) de sen z.