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Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
UNIDAD 8: SUCESIONES Y SERIES Llegamos a la última unidad de la asignatura correspondiente a Sucesiones y Series, recuerde mantener la motivación hasta el final, el tema que vamos a tratar aquí es de especial interés en el campo de la informática para identificar patrones en grupos de números. Se realizará en primera instancia una introducción a la temática y su notación, para luego analizar y caracterizar sucesiones tanto geométricas como aritméticas (apartados 8.2 y 8.3); para finalizar con el teorema del binomio en el subtema 8.4. ¡Ánimo! empecemos con el primer tema.
8.1 Sucesiones infinitas y notación de sumatoria Ubique el capítulo 10 en su texto básico, luego lea y familiarícese con el acápite 10.1, Sucesiones infinitas y notación de sumatoria, o si tiene la posibilidad visite los siguientes enlaces web disponibles en: - http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica - http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica
En este tema conviene aclarar dos conceptos importantes: sucesión y serie. Sucesión es un conjunto de números reales que está en correspondencia biunívoca con los números enteros positivos, especificados en un orden definido por un primero, segundo, tercero y n-ésimo término, normalmente se denota con: a1, a2, a3 , ….. , an …. Las sucesiones cumplen con las siguientes características: Mantienen un orden relacionado con los números enteros positivos. Se puede reconocer el n-ésimo término, una vez identificado el patrón o forma generatriz que relaciona el número entero y permite obtener los elementos de la sucesión y su orden. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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Las sucesiones pueden estar formadas por diferentes tipos de términos; por tal motivo, nuestro estudio se centrará solamente en sucesiones numéricas. El dominio de las sucesiones numéricas son los números enteros positivos, además se consideran como subíndices en la notación menciona al inicio. Una sucesión infinita es aquella donde no se puede determinar el número de términos que la conforman.
Ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10…. Números naturales pares; forma generatriz 2n, n > 0. 0, 1, 4, 9, 25…. Cuadrados perfectos; forma generatriz n2. 4, 12, 36, 108… Obedece al patrón 4*3 n-1. 1, 1/2, 1/4, 1/16… Obedece al patrón ( 1/2 ) n-1 Serie, para el presente contexto se llamará Serie a la suma de los términos de una sucesión, puede ser finita o infinita, relacionando la sucesión proporcionada como ejemplo de notación se podría denotar: Sn = a1 + a2 + a3 +….. + an ….
Ejemplo: Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10…. Sn = 4 + 12 + 36 + 108 Sn = 1 + ½ + ¼ + 1/16… Otro aspecto importante dentro del tema de series es la Notación de sumatoria, seguramente usted está familiarizado con el símbolo de sumatoria sigma ∑ que permite representar el número de sumandos en una serie, especialmente cuando éste es grande o infinito, éste símbolo normalmente viene acompañado de subíndices que denotan los elementos a sumar y parámetros que señalan desde un limite inferior hasta un limite superior; así:
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Se lee sumatoria de ai desde i = 1 hasta n En el texto básico se describen algunos ejemplos y otras notaciones de sumatoria; sin embargo, no es necesario profundizar demasiado en éste contenido, a menos que sea de su interés, es suficiente con saber identificar, leer y comprender la notación de sumatoria.
Ejemplo:
Actividad recomendada Obtenga las sucesiones dado el patrón o forma generatriz de al menos 5 de los ejercicios planteados en el tema 10.1 del texto básico. Obtenga al menos 5 de las sumatorias de los ejercicios planteados en el tema 10.1 del texto básico. Utilizando notación de sumatoria denote las series mencionados anteriormente como ejemplos.
8.2 Sucesiones Aritméticas En su texto básico lea y familiarícese con el aparatado 10.2, correspondiente a Sucesiones Aritméticas.
En esta lectura usted ya revisó la definición de sucesión aritmética, en la que se explica que cada término se obtiene a partir del anterior sumado a una cantidad constante, denominada diferencia d, que se obtiene al restar cualquiera de los elementos de la sucesión con el anterior.
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Una de las características de las sucesiones aritméticas permite obtener el n-ésimo término al aplicar: an = a1 + (n - 1) d Si además de conocer algunos de los términos de la sucesión o el n-ésimo término se requiere conocer la sumatoria de los n primeros elementos, se aplica la siguiente fórmula: Sn = n/2 [ 2a1 + (n - 1) d]
Ejemplo: Encontrar el valor de la diferencia d de las siguientes sucesiones aritméticas -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20….
d=8-4=4
1, 12, 23, 34, 45….
d = 23 - 12 = 11
10, 20, 30, 40, 50…
d = 40 - 30 =10
Encontrar el n-ésimo número de la sucesión. Dada la sucesión -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20…. d=4 Comprobar el 5to término que sería a5 = -4 + (5 - 1) 4 = -4 + 16 = 12 Encontrar la sumatoria de los n-ésimos números de la sucesión. Dada la sucesión -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20…. d=4 Obtener la sumatoria de los primeros 5 términos de la sucesión así S5 = 5/2 [2(-4) + (5-1)4] = 5/2[-8 + 16] = 20
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Actividad recomendada Obtenga la diferencia d en la sucesión 5, 11, 17, 23… Encontrar el término 20 y la sumatoria de los 10 primeros términos de la sucesión 1, 7, 12, 19… Cuántos términos tiene la sucesión 9,13,…,45. 8.3 Sucesiones Geométricas Recurra al texto básico para leer con atención el tema 10.3, correspondiente a Sucesiones Geométricas.
¿Cómo le pareció la lectura?, bastante similar al tema anterior, ¿Verdad? A continuación retomaremos los aspectos más importantes de las sucesiones geométricas, iniciando por su definición. Recuerde que se trata de una sucesión donde cada término se obtiene a partir del anterior multiplicado por una cantidad común denominada razón (r), que se obtiene al dividir cualquier término con el anterior. Al igual que en las sucesiones aritméticas, en las sucesiones geométricas se puede encontrar el n-ésimo término al aplicar: an = a1 r n-1 De igual forma se puede conocer la sumatoria parcial de los n primeros elementos de la sucesión, si se aplica la siguiente fórmula: Sn = a1 [(1 - r n)/ (1 - r )]
Ejemplo: Encontrar el valor de la razón r de las siguientes sucesiones geométricas 3, 9, 27, 81….
r = 81/27 = 3
1/49, 1/7, 1, 7, 49…. r = 49/7 = 7 10, 20, 40, 80…
r = 80/40 = 2
Encontrar el n-ésimo número de la sucesión Dada la sucesión 1/49, 1/7, 1, 7, 49…. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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r=7 Obtener la sumatoria de los primeros 5 términos de la sucesión aplicando la fórmula: S5 = 1/49 [(1 - 75) + (1 - 7)] = 1/49[-16806 / -6] = -16806 / 49(-6)= 2801/49 = 57,16 Puedo comprobar esto sumando los cinco primeros términos. Encontrar la sumatoria de los n-ésimos números de la sucesión Dada la sucesión 1/49, 1/7, 1, 7, 49…. r=7 Comprobar el 5to término sería a5 = 1/49 (7)5-1 = 1/49 (2401) = 49
Actividad recomendada Dada la sucesión 3, 27, 243 … Obtenga
La razón r.
El término 10.
La sumatoria de los 10 primeros términos.
8.4 Teorema del binomio
Pues bien hemos llegado al último tema de estudio de la asignatura, para ello recurra al apartado 10.5 del texto básico, Teorema del binomio. Léalo y familiarícese con la temática que se abordará. En el texto básico se fundamenta el Teorema del binomio, como la suma de dos cantidades a y b representadas por números relacionadas con una suma a + b; el teorema del binomio permite expandir un binomio elevado a un exponente entero positivo n, de la forma (a + b)n como sigue:
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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Al observar los casos iníciales se puede deducir las propiedades relacionadas con los exponentes y coeficientes que son aplicables para expandir cualquier binomio de la forma mencionada, que se detallan en el texto básico. Los exponentes del primer término a disminuyen en 1 desde n hasta 0, mientras el segundo término b aumentan en 1, desde 0 hasta n. Los coeficientes siguen un patrón perceptible en los binomios; revisemos el siguiente esquema:
(a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 Al observar la correspondencias, se define que los coeficientes del siguiente renglón son el resultado de la suma de los dos coeficientes ubicados sobre él en el renglón anterior, a ésta relación se la denomina Triángulo de Pascal, a continuación se muestra como se obtienen los coeficientes del binomio (a + b)5 expandido
a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Dentro de este tema, también es importante lo que es la Notación de factorial; ésta notación se utiliza para obtener el n-ésimo término de un binomio, un factorial se denota con r! = r * r - 1 * r - 2 ….. 1 para r > 0; es decir, el resultado del factorial es igual a la multiplicación del número r por los enteros menores a él disminuyendo 1 al factor anterior hasta llegar a 1, es aplicable solamente a números mayores a cero, en el caso de r = 0 su factorial es 0! = 1
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Ejemplo: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
En notación de factorial el teorema del binomio se expresa en:
De ésta fórmula, el término n se obtiene aplicando la relación:
Hemos llegado al final de la unidad, así que le invito a comprobar lo aprendido con la siguiente autoevaluación.
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