Firmado digitalmente por Christian Cortes D. Nombre de reconocimiento (DN): cn=Christian Cortes D., o, ou, [email protected], c=CL Fecha: 2010.10.24 23:40:37 -05'00'

PROBABILIDADES

1. Experimentos aleatorios. Espacio Muestral. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

Ejemplos: En un dado, E={1,2,3,4,5,6} En una moneda, E={C,S}

Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,... Ejercicio 1-1: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a. b. c. d.

Lanzar tres monedas. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Solución:  a. Llamando C a obtener cara y S a la obtención de sello, obtenemos el siguiente espacio  muestral:  E={(CCC),(CCS),(CSC),(SCC),(CSS),(SCS),(SSC),(SSS)} 

pág. 1   

  b. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}  c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:  E={BB,BN,NN}    d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el  siguiente espacio muestral:  E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}   

2. Sucesos. Operaciones con sucesos. 2.1. Sucesos. 

En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}    Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:  

Salir múltiplo de 5:

A={5,10,15}  



Salir número primo:

C={2,3,5,7,11,13,17}  



Salir mayor o igual que 12:

D={12,13,14,15,16,17,18} 

Todos  estos  subconjuntos  del  espacio muestral E los llamamos  sucesos.  

Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales.

Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro. Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S. Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.

Ejemplos:    

{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales.   En un dado hay 26 = 64 sucesos.   En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{S}, {C,S}  Es decir, S={Ø,{C},{S},{C,S}}  

  Ejercicio  2.1‐1:  Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una  mujer y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B? 

pág. 2   

  Solución:   

Llamando V a ser varón y M a ser mujer, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales: E={(VVV),(VVM),(VMV),(MVV),(VMM),(MVM),(MMV),(MMM)}    Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:  A={(MMM),(MMV),(MVM),(MVV)}    B={(VVV),(MVV)}    2.2. Operaciones con sucesos. 

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Unión 

es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.  

Intersección 

es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.  

Diferencia 

es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.  

Suceso  contrario 

El suceso

=E - A se llama suceso contrario de A.

 

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos)

pág. 3   

 

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E. De manera análoga, decimos que:  

El suceso  El suceso 

se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.   se verivica cuando se verifican simultáneamente A y B.  

 

El suceso  , contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.   Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.  

 

Ejemplo: 

En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos: A = "sacar un número par".  

B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".  

C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6".  

D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6". 

F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3".  

G = "obtener un múltiplo de 3". 

o

A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.  

o

C está contenido en A. Luego  = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C  (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.   B y C son incompatibles, ya que B  C = Ø y complementarios, al cumplirse B C = E.   = "sacar un número par"  {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.   A  G = {2,4,6}  {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un  número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".  

o o o

B‐D = B  = {1,2,3,5}  {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" =  C y F son incompatibles puesto que C  F = Ø.  

o o

.  

  Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:  Intersección  

Unión 

  1.  Conmutativ a  

 

 

2.  Asociativa   3.  Idempotent e   4. 

 

 

 

 

pág. 4   

 

 

 

Simplificaci ón   5.  Distributiva   6. Elemento  neutro  

 

7.  Absorción  

 

 

 

 

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole. En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan: 

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:  



El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:  

Ejercicio 2.1-2: Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un cuadrado perfecto". Responde a las cuestiones siguientes: a. Calcula los sucesos y . b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?. c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B. Solución: 

Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación: A = {1,2,3,5,7}    B = {1,4,9}   A partir de estos conjuntos, tenemos:  1. La unión e intersección de A y B son:  = {1,2,3,4,5,7,9}  =  1   2. Al ser 

=  1 , los sucesos A y B son compatibles.  

pág. 5   

 

3. El suceso contrario de A es  El suceso contrario de B es 

= {4,6,8,9}  = {2,3,5,6,7,8}  

   

3. Definición de Probabilidad. Propiedades. 3.1. Definición de Probabilidad.  

Definición de Probabilidad. 



Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido Probabilidad de un suceso es el muchas veces y en idénticas número al que tiende la frecuencia condiciones el cociente entre el relativa asociada al suceso a medida número de veces que aparece un que el número de veces que se realiza resultado (suceso) y el número el experimento crece. total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable. La frecuencia relativa del suceso A:





 

  Propiedades de la frecuencia relativa:  1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.   ) = fr(A) + fr(B)  si  = Ø.   2. fr( 3. fr(E) = 1  fr(Ø) = 0.    

Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad. 

Definición axiomática. 

La definición axiomática de probabilidad se debe a Adrián Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica: 1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A)

 0.  

2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades. = Ø 

P(

pág. 6   

) = P(A) + P(B). 

 

3. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.  



Definición de Laplace. 

En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

Ejemplo:  Consideremos un dado que tiene 3 caras con el número 1, dos con la letra X, y una cara marcada  con el número 2. Este dado se llama dado de quinielas  Consideremos el experimento "lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado".    El espacio muestral es E = {1,X,2}.    Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:  

P(Ø) = 0 



P({1}) = 1/3 



P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 



P({1,X,2}) = P(E) = 1  

P({X}) = 1/3 

P({2}) = 1/3  P({1,X}) = 2/3 

  3.2. Propiedades.  1. P(

) = 1 ‐ P( A )  

2. P( Ø ) = 0   3. Si

A 

B 

P( B ) = P( A ) + P( 

4. Si

A 

B 

P( A ) 

)  

P( B )  

5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces: 

pág. 7   

P({2,X}) = 2/3 

   A2

P( A1 6. P( 

... 

Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak ) 

) = P( A ) + P( B ) ‐ P( 

)  

7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces: P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )    Ejercicio 3.2‐1:  En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS  Solución:  ú ú ú

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

4 40    

 

0,1  10 40

0,25 

 

Ejercicio 3.2-2: En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6. a. ¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad. b. ¿Cuántas cartas hay? Solución:  a. P( ni REY ni BASTOS )=P(  )    P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) ‐ P( REY   Sustituyendo:   0.4 = 0.15 + 0.3 ‐ P( REY

 

BASTOS ) 

P( REY

BASTOS ) = 1 ‐ 0.6 = 0.4

BASTOS )  

P( REY

BASTOS ) = 0.05  

  Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:  P( REY de BASTOS ) = P( REY

BASTOS ) = 0.05 = 1/20 

b. Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas. Ejercicio 3.2-3: Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide: a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres. b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos? Solución:  El espacio muestral del experimento es: 

pág. 8   

  E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}      y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos  posibles del experimento.    Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden: 

a. Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son: A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.     Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3 

b. Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son: B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}.     Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3 

Los siguientes problemas requieren el uso de combinatoria   Ejercicio 3.2‐4:  En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas  simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?  Solución: 

Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace. Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:

   

Los casos favorables son 15 · 30 · 45 = 20 250. Éstas son las formas de agrupar tres bolas de distinto color. La probabilidad pedida es:

 

Ejercicio 3.2-5: Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes: a. Que las dos cifras sean iguales. b. Que su suma sea 11. c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13.

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  Solución: 

El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos: a. Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es: P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1   

b. Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto, P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08   

c. Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es: P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43 

Ejercicio 3.2-6: Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que: a. La suma de los números aparecidos sea menor que 8. b. La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8. Solución: 

Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666. Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:

a.

b.

 

4. Probabilidad condicionada. En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad vará en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo. Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la

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misma que en la primera. Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.

Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.

De esta igualdad se deduce:

P( B

A ) = P( B/A ) · P( A )

La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C: P( A B C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A B) Esta fórmula admite una generalización para un número cualquiera de sucesos. Ejemplo: Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar: Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.

  Ejercicio 4-1: Se lanzan dos dados: a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres? Solución: 

Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres". a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6 b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3

pág. 11   

 

5. Sucesos dependientes e independientes El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí.

Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B )

ó

P( A/B ) = P( A )

Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A )

P( B )

ó

P( A/B )

P( A )

Como consecuencia inmediata de la definición se tiene: 

Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( A



B ) = P( A ) · P( B )

Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez: P( A

B ) = P( A ) · P( B )

P( A

C ) = P( A ) · P( C )

P( B

C ) = P( B ) · P( C )

P( A

B

C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )

Ejercicio 5-1: Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P(

)=0.58.

a. ¿Son independientes A y B? b. Si M

A, ¿cuál es el valor de P(

/

)?

Solución: 

a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A

pág. 12   

B ) = P( A ) · P( B )

 

P(

 

 B)c] = 1 ‐ P(A

) = P[(A

B) 

  Por tanto,  P(A B) = 1 ‐ P(   ) = 1 ‐0.58 = 0.42     Por otro lado,  P( A ) ∙ P( B ) = 0.7 ∙ 0.6 = 0.42    Luego, A y B son independientes, pues  P( A  B ) = P( A ) ∙ P( B ) = 0.42  

b. M

A

. Por tanto,

6. Tablas de contingencia y diagramas de árbol. En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema. 

Conversión de una tabla en diagrama de árbol 

Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.  

A 

TOTAL   

En el caso de los sucesos A, ,By , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.

B  

 

TOTAL 

P( A

P( A

 B ) 

 

B )  

P( 

)   P( 

)  P( 

P( A )  

P( B ) 

P( 

)  

)  1  

 

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y

se les ha asociado los sucesos B y

.

 

Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:

pág. 13   

 

    

Conversión de un diagrama en tabla de contingencia 

De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión P( B

A ) = P( B/A ) ∙ P( A ), 

 

para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla. Ejercicio 6-1: Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. Solución: 

En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado. ELÉCTRICOS  MECÁNICOS  CHAPA  TOTAL 

  MAÑANA 

3 

8 

3 

14 

TARDE  

2 

3 

1 

6 

TOTAL  

5 

11 

4 

20 

  ELÉCTRICOS  MECÁNICOS  CHAPA  TOTAL 

  MAÑANA 

0.15 

0.40 

0.15 

0.70 

TARDE  

0.10 

0.15 

0.05 

0.30 

TOTAL  

0.25 

0.55 

0.20 

1.00 

 

Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. Así, se obtiene: a. El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde. b. El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el 55%. c. La probabilidad buscada es:

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  P(acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = 3/5 = 0.6  

Ejercicio 6-2: Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos: El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos. a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos. b. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla. c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios? Solución: 

a. y b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente: INCENDIO  AUTOMÓVIL  OTROS  TOTAL 

  FRAUDULENTOS 

6 

1 

3 

10  

NO FRAUDULENTOS 

14 

29 

47 

90  

TOTAL  

20 

30 

50 

100  

b.  

c. Es fácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%. La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3

7. Probabilidad total. Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen: 1. Son incompatibles dos a dos, Ai

Aj = Ø

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro,

 

Teorema de la probabilidad total 

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Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:     Ejercicio 7-1: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería Solución: 

El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: P(Av) = P(L1) ∙ P(Av/L1) + P(L2) ∙ P(Av/L2) + P(L3) ∙ P(Av/L3) =  = 0.6 ∙ 0.02 + 0.3 ∙ 0.04 + 0.1 ∙ 0.01 =  = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025   

Ejercicio 7-2: Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado? Solución: 

Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:

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P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) = = 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028 Ejercicio 7-3: Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra? Solución: 

Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el diagrama de árbol pueden verse las configuraciones posibles de las urna, después del lanzamiento de las monedas y las urnas finales, así como las probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada en el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, se obtiene:   P(BN) = P(BN BBN) + P(BN BNN) = P(BBN) ∙ P(BN/BBN) + P(BNN) ∙ P(BN/BBN) =  = 3/8 ∙ 2/3 + 3/8 ∙ 2/3 = 1/4 + 1/4 = ½ 

Ejercicio 7-4: Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola? Solución: 

El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de la bola. La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca.   P(B) = P(B/UI) ∙ P(UI) + P(B/UII) ∙ P(UII) + P(B/UIII) ∙ P(UIII) =  = 2/5 ∙ 1/4 + 4/5 ∙ 2/4 + 3/5 ∙ 1/4 = 13/20 

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8. Teorema de Bayes. En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Teorema de Bayes 

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

 

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol. Ejercicio 8-1: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Solución: 

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) ∙ P(D/A) + P(B) ∙ P(D/B) + P(C) ∙ P(D/C) =  = 0.45 ∙ 0.03 + 0.30 ∙ 0.04 + 0.25 ∙ 0.05 = 0.038  

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

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c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

   

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A Ejercicio 8-2: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? Solución: 

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

 

9. Ejercicios. Ejercicio 1: 

Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de

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entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero. a. Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido. b. Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.

Ejercicio 2: 

Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a. Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b. Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón?

Ejercicio 3: 

En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años. b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido.

Ejercicio 4: 

Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a. ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes? d. Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica?

Ejercicio 5: 

En una baraja de 40 cartas. a. Se toman dos cartas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de distinto número? b. Y si se toman tres cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que los tres números sean distintos?

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Ejercicio 6: 

Tenemos un dado con tres "1", dos "2" y un "3". Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados. a. ¿Cuál es el Espacio Muestral? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? c. ¿Cuál es la suma más probable? ¿Cuánto vale su probabilidad?

Ejercicio 7: 

Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres "1" y tres "2" y en el dado B hay dos "1" y cuatro "2". Se elige un dado al azar y se tira. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "1"? b. Sabiendo que se ha obtenido un "2", ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido el dado B?

Ejercicio 8: 

En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja.

Ejercicio 9: 

El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

Ejercicio 10: 

El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0.8% y 2%, respectivamente, calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.

Ejercicio 11: 

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Ejercicio 12: 

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Se toman dos barajas españolas de 40 cartas. Se extrae al azar una carta de la primera baraja y se introduce en la segunda baraja. Se mezclan las cartas de esta segunda baraja y se extrae una carta, que resulta ser el dos de oros. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta extraída fuese una espada?      

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