Seminario Conciliar La Serena

DEPTO DE MATEMATICA. MCP –- GGU PROBABILIDADES

DEFINICIÓN: Es una rama de la matemática que consiste en el estudio de ciertos experimentos llamados aleatorios es decir libres de determinación previa. La probabilidad surgió a comienzos del siglo XVI , en relación con los diversos juegos de azar que se practicaban en la época. Hoy en día los juegos de azar están presentes en juegos tales como : Kino, Loto, y distintos tipos de Lotería, juegos de casino y de naipes. Así el calculo de probabilidades determina las posibilidades de perder o ganar en un evento. El estudio de las probabilidades permite el análisis de resultados relacionados con fenómenos de carácter social, político y económico.

Experimento Aleatorio Un experimento aleatorio es aquel que está regido por el azar, es decir, se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Ejemplos Lanzamiento de una moneda Lanzamiento de un dado Extracción de una carta de un mazo de naipes

Espacio muestral (  ) Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio dado

Ejemplo Experimento aleatorio: Lanzar un dado

Espacio muestral:  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Experimento aleatorio: lanzar dos monedas

Espacio muestral:  = { ( c , c ) , ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) }

Observación: ( c , s )  ( s , c ), es decir, es importante el orden

Evento o suceso Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Ejemplo En el experimento aleatorio Lanzar un dado cuyo Espacio Muestral  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } algunos eventos son: Obtener un número primo A = { 2 , 3 , 5 } Obtener un número menor o igual a 3 , B = { 1 , 2 , 3 }

Tipos de sucesos Suceso seguro: Es aquel que siempre se verifica como resultado de un experimento aleatorio. Ejemplo: Obtener un número de 1 a 6 al lanzar un dado Suceso imposible: Es aquel suceso que nunca se verifica como resultado de un experimento aleatorio. Ejemplo: Obtener un 8 al lanzar un dado. Suceso complementario o contrario: Dos sucesos son contrarios si uno es la negación del otro Ejemplo: obtener un 3 al lanzar un dado. Su contrario es: no obtener el 3 al lanzar el dado. Suceso mutuamente excluyente: Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea. Ejemplo: Obtener el número 5 y el número 3 al lanzar el dado una vez. Sucesos Independientes: Dos o más son sucesos independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Al lanzar un dado, y obtener 4 no afecta la probabilidad de obtener el 1 en un segundo lanzamiento. Sucesos condicionales: Dos o más sucesos son condicionales si la ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia de un segundo suceso. Ejemplo: La lluvia afecta la probabilidad de que una persona lleve paraguas. Variable Aleatoria: Una variable aleatoria es la que asocia a cada elemento del espacio muestral  un número real . Ejemplos Experimento aleatorio: Espacio muestral: Suceso A: se obtienen sólo sellos: Variable aleatoria:

lanzar dos monedas simultáneamente ={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s) } A={(s,s)} X = Nº de sellos al lanzar dos monedas.

DEFINICIÓN CLÁSICA (PROBABILIDAD DE LAPLACE) La probabilidad de que un suceso A ocurra es la razón ente el número de casos favorables y el número de casos posibles.

P ( A) 

N º de casos favorables al suceso A N º de casos posibles

Ejemplo: Al lanzar un dado, la probabilidad de que salga el número 5 es: p(A) =

1 6

Puesto que hay 1 caso favorable en un total de 6 casos posibles. Expresión numérica de la probabilidad: la probabilidad de un suceso puede expresarse como fracción, como decimal o como tanto por ciento. En el ejemplo: p(A) =

1 = 0,167 = 16,7% 6 TRES ENFOQUES EN LA PROBABIIDAD

Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad, y presentan planteamientos conceptuales bastante diferentes:

Probabilidad clásica A la probabilidad clásica se le conoce a menudo como probabilidad a priori, debido a que utilizamos ejemplos previsibles como monedas no alteradas, dados no carados y naipes de cartas normales, entonces podemos establecer la respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda o un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones. Ver problema resuelto Nº 4.

Frecuencia relativa Este método utiliza como probabilidad la frecuencia relativa (o porcentual) de las observaciones pasadas de un suceso. Se determina qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumenta el número de observaciones. Ver problema resuelto Nº 2.

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Probabilidad subjetiva Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias o conocimiento intuitivo de las personas que efectúan la estimación de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que tenga disponible o en el conocimiento incorporado al sentido común. Ver problema Nº 1.

AXIOMAS DE LA PROBABIIDAD Axioma 1 La probabilidad de un suceso A, en un espacio muestral , es un número entre 0 y 1 ó 0% y 100%, respectivamente, ambos valores inclusive.

0  p ( A)  1

Axioma 2 Si un suceso A, en un espacio muestral , es seguro, su probabilidad es 1.

p (A) = 1  A = suceso

seguro Si un suceso A, en un espacio muestral , es imposible que ocurra, su probabilidad es 0. Esto es : p (A) = 0 ó p (A) = 0%  A = suceso imposible. Axioma 3 La probabilidad de que ocurran todos los sucesos de un espacio muestral  en un experimento aleatorio dado, es igual a la unidad. Es decir: Si  = A; B, C,......, N , con A, B,......, N mutuamente excluyente s :

P (A) + p (B) + ......... + p (N) = 1 TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD PROBABILIDAD DE SUCESOS COMPLEMENTARIOS Si p (A) representa la probabilidad de que un suceso A ocurra y p (A’) representa la probabilidad de que el mismo suceso no ocurra, en un espacio muestral  es decir, A y A’ son sucesos complementarios o contrarios, entonces:

P (A) + p (A’) = 1 

p (A’) = 1 - p (A)

Ejemplo: Si la probabilidad de que durante el invierno un niño menor de 1 año se enferme de algún cuadro bronco pulmonar es de 0,45, ¿Cuál es la probabilidad de que un niño en las mismas condiciones no presente dichos cuadros?. A : el niño presenta cuadro bronco pulmonar P (A’) = 1 - p (A);

p (A) = 0,45

A’: el niño no presenta cuadro bronco pulmonar  p (A’) = 1 - 0,45  p (A’) = 0,55

 La probabilidad de que un niño no enferme es de 0,55, lo que equivale al 55%. PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos A y B definidos en los espacios muestrales 1 , 2, respectivamente, son independientes si:

p (A y B) =

p (A) . p (B)

La probabilidad de que todos los sucesos independientes ocurran, entre el conjunto de tales sucesos, es igual al producto de las probabilidades de ocurrencia de cada suceso.

Ejemplo: Una caja A contiene 6 artículos, de los cuales 2 son defectuosos, y una caja B contiene 5 artículos, de los cuales 3 son defectuosos. Al sacar un artículo de cada caja, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos? En este caso, los sucesos son independientes, puesto que la extracción en una de las cajas no afecta lo que ocurra en la extracción en la otra caja. Sea D: artículos defectuosos. De la caja A:

p (DA) =

2 1  6 3

y

De la caja B:

p (DB) =

 p (DA y DB) = p (DA)  p (DB) ; por ser sucesos independientes p (DA y DB) =

3 5

1 3 1    0,2  20% ...que representa la probabilidad de extraer de ambas cajas un 3 5 5

artículo defectuoso.

PROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONADOS Dos sucesos A y B, definidos en el espacio muestral , son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. P (A y B) = p (A)  p (B/A) En donde p (B/A) = probabilidad de B dado que ocurrió A. En sucesos dependientes, si la probabilidad de que un suceso ocurra es p (A), y si una vez ocurrido, la probabilidad de que un segundo suceso B ocurra es p (B/A), la probabilidad de que los dos sucesos ocurran, en ese orden, es igual al producto de las probabilidades por separadas. Ejemplo: Un curso tiene 12 niños y 4 niñas. Si se escogen al azar dos estudiantes para que representen al curso, ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean niños? Sean los sucesos A

: Elegir un niño en la primera elección B

P(N) : la probabilidad de elegir sólo niños

: Elegir un niño en la segunda elección  P(A) =

12 ; 16

Para la segunda selección queda un niño menos y el total se reduce a 15.

11 ; 15 12 11 132 11     0,55  55%  p(N) = 16 15 240 20  p (B/A) =

PROBABILIDAD DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos o más sucesos se llamarán excluyentes o mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la ocurrencia de los otros. Si A, B son sucesos mutuamente excluyentes definidos en el espacio muestral , entonces:

P(A o B) = p(A) + p(B) La probabilidad de que ocurra un suceso A, u ocurra B, en una sola prueba, es igual a la suma de las probabilidades separadas de ocurrencia. Ejemplo: La señora Marta tiene 9 canarios amarillos, 4 blancos y 2 celestes. Si se le escapa un canario, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido blanco o celeste?

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Sean los sucesos: A : canario amarillo Se tiene: p(A) =

9 15

B : canario blanco

; p(B) =

La probabilidad de blanco o celeste ?

4 15

y

p(C) =

C : canario celeste

2 15

p(B o C) = p(B) + p(C) P(B o C) =

4 2 6    0,4  40% 15 15 15

DIAGRAMA DE ÁRBOL El diagrama de árbol es una metodología que ayuda al análisis, asignación y cálculo de probabilidades para dos o más sucesos. Ejemplo: Se lanzan 3 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? Luego, p(2 caras) = 3/8 = 0,375 = 37,5% EJERCICIOS RESUELTOS Esta sección te ayuda a desarrollar estrategias intelectuales para contestar correctamente las preguntas. La mayoría de ellas se relaciona con materia tratada en esta guía. 1.Se estima que en días hábiles, a cierta hora, la probabilidad de que el pasajero que sube a cierto microbús sea mujer es de 0,4 y de que sea escolar es de 0,25. Si ambos sucesos son independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo pasajero que suba sea mujer no-escolar? a) b) c) d) e)

0,1 0,3 0,4 0,75 0,9

Solución: Tenemos dos sucesos: Sea A : el pasajero es mujer B : el pasajero es escolar  Entonces, el suceso:

B’ : el pasajero es no-escolar



 p(A) = 0,4 p(B) = 0,25

p(B’) = 1 - 0,25 = 0,75

Si estos dos sucesos son independientes, entonces, la probabilidad de que sucedan ambos es: P(A y B) = p(A)  p(B) = 0,4  0,75 = 0,3

Luego, la alternativa correcta es b).

2.Se lanza un par de monedas 50 veces, registrando los resultados en cada lanzamiento. El registro se resume en la tabla siguiente: Moneda A

C

C

S

S

Moneda B

C

S

C

S

Nº de veces

11

13

9

17

Sobre la base de esta información, ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar estas dos monedas se obtenga a lo más 1 cara? a) 0,78 Solución: b) 0,18 Este problema se trata de probabilidad empírica, pues se da como información c) 0,26 un hecho observado. Es decir, se dan frecuencias observadas. d) 0,44 A lo más una cara” significa: cero caras o una cara. e) 0,22 El número de casos favorables a “o caras” es: 17 El número de casos favorables a “1 cara” es: 13 + 9 = 22 El número de casos favorables a “a lo más una cara” es: 17 + 22 = 39 El número total de casos es 50 Luego, por definición de probabilidad: p =

39  0,78 50

Luego, la alternativa correcta es a).

3.-

Se sabe que el 70% de los científicos no es creyente. Entre éstos, el 85% son sicólogos. Entre los científicos creyentes, sólo un 95% no son sicólogos. Si usted tiene que ir a entrevistar a un científico elegido al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea sicólogo creyente? a) b) c) d) e)

15% 28,5% 1,5% 1,5% 30% 60%

Solución: En este problema, la probabilidad está expresada en % Con la información entregada es posible trazar el siguiente árbol Por lo tanto, la probabilidad de que el científico sea un sicólogo creyente es: Luego, la alternativa correcta es c).

4.En una tómbola hay 7 bolas rojas y 3 azules, desde donde se extraen dos, de una en una y sin reposición. La probabilidad de que ambas resulten del mismo color es: a) b) c) d) e) Sea: y

1/10 9/15 8/15 7/9 ¾

Solución: Se trata de un experimento de sucesos condicionales puesto que después de la primera extracción, al no devolver la bola a la tómbola, se produce la modificación del espacio muestral.

A1 = la bola resulta azul en la primera extracción R1 = la bola resulta roja en la primera extracción C = ambas bolas resultan del mismo color

A2 = la bola resulta azul en la segunda extracción R2 = la bola resulta roja en la segunda extracción

El suceso C significa que ambas resultan azules o ambas resultan rojas Esto es: C = (A1 y A2) o (R1 y R2) Entonces: P(C ) = p(A1 y A2) o p(R1 y R2)

P(C ) = p(A1)  p(A2/A1) + p(R1)  p(R2/R1)

Donde: p(A2/A1) = probabilidad de azul en la segunda extracción, dado que resultó azul la primera extracción p(R2/R1) = probabilidad de rojo en la segunda extracción, dado que resultó rojo la primera extracción P(C ) = p(A1)  p(A2/A1) + p(R1)  p(R2/R1)

Luego: P(C ) =

3 2 7 6 6 42 48 8        10 9 10 9 90 90 90 15

Luego, la alternativa correcta es c).