Revista Argentina de Trabajos Estudiantiles

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Ensayos de Control No Lineal sobre un Levitador Magn´etico Ariel Lempel([email protected]), Guido Michel([email protected]), Rodrigo Carbajales ([email protected]) Facultad de Ingenier´ıa - UBA Resumen— En este trabajo se presenta el dise˜ no y construcci´ on de un levitador magn´etico, utilizando distintas estrategias de control (lineales y no lineales). El control se realiza mediante el puerto paralelo de una PC con el TM Real-Time Workshop de MATLAB . Esta herramienta brinda la posibilidad de trabajar en tiempo real cambiando interactivamente los par´ametros del controlador. Abstract— In this work we present the design and implementation of a magnetic levitator using different control strategies (linear and non-linear). The control is performed TM through a PC’s parallel port using the MATLAB toolbox Real-Time Workshop. This tool makes possible working in real time and allows us to change the controller´s parameters interactively. ´n I. Introduccio

P

ARA los estudiantes avanzados de control, a menudo resulta dif´ıcil encontrar una planta econ´omica y f´acil de armar donde se puedan probar algor´ıtmos de control que vayan mas all´a de un PID o un controlador lineal. En la literatura, dentro del ´area de educaci´on, encontramos una gran cantidad de trabajos acerca de levitadores magn´eticos, los cuales van desde el a˜ no 1986 [1] hasta la actualidad (2004)[5]. En los distintos trabajos el problema se ataca utilizando diferentes estrategias de control (lugar de ra´ız [1] [2], variables de estado [4], control robusto [3] y redes neuronales [5]). Tambi´en encontramos diferentes formas de implementaci´ on tales como, circuitos anal´ogicos [1] [2][3], digitales [4] y mediante la PC utilizando Matlab [5]. Sin embargo, en todos los casos citados anteriormente, el rango de funcionamiento no supera los 1,5 mm. Es por eso que nos pusimos como objetivo dise˜ nar y construir un levitador magn´etico que sea estable dentro de un rango de por lo menos 5mm. En este rango la planta resulta inestable a lazo abierto y fuertemente no lineal, convirti´endose en un insteresante problema did´actico para estudiantes de control avanzado. TM Al hacer uso del Real-Time Workshop [6] de MATLAB se agrega una gran versatilidad ya que, en tiempo real, se puede cambiar la referencia y observar la variaci´ on de la altura de la esfera con un gr´afico en pantalla y constatarlo con el sistema f´ısico real. Adem´as simplemente cambiando los bloques de Simulink, se puede ensayar cualquier tipo de control de forma r´apida y eficiente. El trabajo se organiza de la siguiente manera: En la

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Fig. 1. Esquema de la planta

secci´ on II se describen las caracter´ısticas de la planta (actuador y sensor). Luego en la III se hace una breve explicaci´ on de los bloques utilizados para implementar la interface con el Real-Time Workshop. En la secci´on IV se describe el m´etodo de identificaci´on utilizado para caracterizar a la planta. En la V se procede con el dise˜ no de los esquemas de control y se resumen los resultados obtenidos. Finalmente en el punto VI est´an las conclusiones obtenidas y se hace una breve s´ıntesis sobre la totalidad del trabajo. II. Caracter´ısticas de la planta La planta consiste en una bobina con un n´ ucleo tipo E sobre una base de acr´ılico que contiene dos leds infrarrojos y dos fotodiodos para sensar la posici´on de la esfera que tiene 1cm de di´ametro (fig. 1).

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Fig. 2. Circuito del actuador

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Fig. 4. Interfaz

III. Interfaz

Fig. 3. Circuito del sensado

A. Actuador El dato de la corriente que debe pasar por la bobina llega a un conversor D/A (max539) mediante tres l´ıneas del puerto paralelo de la PC (fig. 2). El conversor debe tener una tensi´on de referencia estable (Vref) que la suministra el operacional y que en nuestro caso es de 1 V. Esto marca el m´aximo valor de tensi´on que arroja el conversor. Se eliji´o este conversor para poder mandar el dato en forma serial. En la actualidad el levitador est´a funcionando con un conversor tipo R2R hecho con resistencias al 1% sin ning´ un problema. Lo cual prueba que no es necesario un conversor de alta precisi´on. Finalmente la salida del conversor sirve como referencia a una fuente de corriente de tipo switching. Luego de hacer pruebas se verific´o que efectivamente el valor medio de la corriente sobre la bobina en amperes coincide con la referencia en volts que arroja el conversor. B. Sensado Para el sensado se usan dos LEDs infrarojos y dos fotodiodos conectados a un sumador (fig. 3). La salida del sumador, cuya tensi´on indica la altura de la esfera, se podr´ıa haber enviado a la PC mediante un conversor A/D. Sin embargo, se eligi´o una soluci´on m´as econ´omica aprovechando las virtudes de la PC. Lo que se hace es una modulaci´on por posici´on de pulsos (PPM) usando un LM555 y de esta manera la PC obtiene la altura de la esfera contando el tiempo entre pulso y pulso. La corriente en los fotodiodos depende de la energ´ıa lum´ınica que reciben, con lo cual la salida del sumador depende de la sombra que hace la esfera sobre los fotodiodos. De esta manera se logra una medici´on continua de la posici´on en un rango de aproximadamente 8 mm. Luego se ver´ a en la identificaci´on que la relaci´on entre la altura y la tensi´on result´o aproximadamente lineal.

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El Real-Time Workshop (RTW) permite trabajar en tiempo real usando bloques de Simulink y las denominadas S-Functions [7] que son programas en C que interact´ uan con los dem´as bloques. Para hacer la interface se crearon 2 S-Functions, ”sensando2” y ”dac12” (Fig. 4). La primera es la encargada del sensado y lo que hace es leer el PPM a trav´es del puerto paralelo y contando el tiempo entre pulso y pulso obtiene la altura. Vale aclarar que esta altura no est´a en unidades conocidas con lo cual hay que hacer un escalaje. La segunda S-Function env´ıa por el puerto paralelo, seg´ un la corriente deseada, el valor de tensi´on que debe entregar el conversor D/A. El resto del algor´ıtmo de control (escalajes, filtros, saturaciones, funciones no lineales, transferencias, etc) se realizan con bloques de simulink. ´n IV. Identificacio A priori, suponemos que tanto la respuesta del sensor y actuador son no lineales, con lo cual se debe hacer una identificaci´ on de los mismos. A. Sensor Para la identificaci´ on del sensor medimos la respuesta para cada posici´on de la esfera para un rango de 7mm poniendo una referencia (h = 0) arbitraria (fig. 5). Se ve en el gr´afico que la respuesta es pr´acticamente lineal.

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Fig. 5. Respuesta del sensor

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A. Control por linealizaci´ on exacta Este control consiste en agregar un lazo de realimentaci´on interno no lineal adem´as del t´ıpico lazo de realimentaci´on lineal. El primer lazo se encarga de transformar a la planta no lineal en una planta del tipo lineal con dos polos en el origen (del plano complejo), teniendo como entrada a la se˜ nal de control del lazo lineal, que se dise˜ na tomando una planta con dos polos en el origen. En nuestro caso la funci´on no lineal es, s g+u ˜ , (4) i= F (h)

Fig. 6. Respuesta del actuador

B. Actuador La aceleraci´on de la esfera es la diferencia de la gravedad y la aceleraci´on producida por la fuerza magn´etica. a = am − g.

(1)

Analizando el sistema f´ısico se puede demostrar que la aceleraci´ on magn´etica, am , es proporcional al cuadrado de la corriente de la bobina. Con lo cual am queda como, am = i2 F (h).

(2)

Por lo tanto solo resta identificar a F (h) y no una funci´on dependiente de h e i, evidenciando la importancia de conocer las propiedades del sistema f´ısico. Para obtener dicha funci´on, medimos la corriente necesaria para mantener estable a la esfera (a = 0) para alturas diferentes (fig. 6). Aproximando la curva de la fig. 6 por un polinomio de orden 3 resulta, F (h) '

(−1e6 h3

g , + 6700h2 − 44.4h + 0.81)2

(3)

donde h es la altura de la esfera (en metros). V. Control En esta secci´on se presentan tres tipos de controladores ensayados El primero es un control no lineal continuo que se dise˜ n´o por el m´etodo de linealizaci´on exacta [8]. Al obtener buenos resultados con el control no lineal, se prob´o un control lineal linealizando la planta para una altura en particular. Luego a partir del control no lineal continuo se dise˜ n´o un control no lineal discreto que ser´ıa m´as adecuado para la implementaci´ on en un microcontrolador ya que evita tener que programar un algor´ıtmo de integraci´ on. En los casos de control continuo se us´o un algor´ıtmo de integraci´ on de orden 5 (Dormand-Prince) con un per´ıodo de muestreo de 2ms. El per´ıodo de muestreo estuvo limitado por la velocidad de la PC. Y se tom´o como par´ametro de dise˜ no poner el polo m´as r´apido del controlador aproximadamente 50 veces m´ as lento que el per´ıodo de muestreo (60 r/s).

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donde i es la corriente de la bobina y u ˜ es la fuerza de control del lazo lineal. Reemplazando en la ecuaci´on de ¨=u estados del sistema se verifica que h ˜. Haciendo el lugar de ra´ız [9] con un controlador de 2 polos y 2 ceros y tomando como par´ametro variable la ganancia total del controlador (fig. 7) se obtiene el siguiente controlador, 2500(s2 + 20s + 100) . (5) K(s) = s(s + 60) Loz polos a lazo cerrado se eligieron para minimizar el sobre impulso, minimizando el ´angulo que forman con el eje real. Notar que el controlador tiene un polo en cero para obtener error nulo en estado estacionario ya que la linealizaci´ on nunca es perfecta. Para disminuir el efecto del wind-up ([10], ch. 10), que ocurre en los controladores con acci´on integral cuando se toma en cuenta la saturaci´on del actuador, se separ´o la acci´ on integral del resto del controlador: ! Ã s + 18.3 1.7 . (6) + K(s) = 2500 s s + 60 De esta forma se puede poner un integrador que deje de integrar al llegar a un valor predeterminado, disminuyendo de esta manera el efecto del wind-up. En la (fig. 8) se muestra el esquema completo. En la (fig. 9) se observa una simulaci´on de la respuesta de este sistema a lazo cerrado ante escalones de la se˜ nal de referencia.

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Fig. 7. Lugar de ra´ız

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Fig. 8. Esquema de control por linealizaci´ on exacta

Fig. 11. Lugar de ra´ız

Fig. 9. Control por LE

Fig. 12. Control lineal con filtro en la referencia (rango inferior)

Usando la transformada de Laplace queda, 26.5 H(s) . = 2 s − 784 I(s)

Nuevamente por el m´etodo de lugar de ra´ız (fig. 11) se obtiene el siguiente controlador para la planta (9), ! Ã s + 22.7 1.3 130(s2 + 24s + 80) , (10) + = 130 K(s) = s s + 60 s(s + 60)

Fig. 10. Control por LE con filtro en la referencia

Para que la referencia no cambie tan bruscamente y de esta manera eliminar los sobrepicos, se agreg´o un filtro pasa bajos sobre la referencia. En la (fig 10) se muestra la respuesta con una se˜ nal tipo escalera. Como se puede observar, el sistema tiene una muy buena respuesta en un rango de 6 mm. a pesar del ruido de medici´ on que no es para nada despreciable. B. Control lineal La linealizaci´on de la planta resulta: ¨ = i2 F 0 (h0 )∆h + 2i0 F (h0 )∆i, h 0

(7)

donde i0 y h0 son la corriente y altura en el punto de linealizaci´ on; ∆h = h − h0 y ∆i = i − i0 . Linealizando para h0 = 2mm y i0 = 0.74A queda, ¨ = 784∆h + 26.5∆i. h

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(9)

(8)

aqu´ı tambi´en se utiliza el m´etodo anti wind-up. Con este tipo de control se obtuvo los resultados de las figuras 12 y 13. Se puede ver que el control funciona en un rango de solo 2mm alrededor del punto de trabajo (h0 = 2mm). C. Control discreto por linealizaci´ on exacta El control discreto se obtuvo en dos partes. Primero se mape´o, usando una transformaci´on bilineal ([11], ch. 7), la parte del controlador continuo del punto A que no contiene la acci´on integral, obteni´endose el siguiente controlador, K(z) =

0.96(z − 0.96) , z − 0.88

(11)

para luego completar el control con un integrador discreto (para la parte integral).

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Fig. 13. Control lineal con filtro en la referencia (rango superior)

Fig. 15. Foto del levitador funcionando

ples, como un microcontrolador o un circuito anal´ogico. En este momento se est´a modificando la planta para lograr un rango de trabajo a´ un mayor siempre con el control por linealizaci´on exacta, pero est´a a disponibilidad de los estudiantes de la facultad para que ellos puedan ensayar otros tipos de controladores (Adaptativos, Gain Scheduling, Fuzzy Logic, etc.). En la figura 15 se muestra una foto del levitador funcionando. Fig. 14. Control discreto con filtro en la referencia

Se utiliz´o el mismo per´ıodo que en el caso continuo, ya que los polos del controlador, luego de la transformaci´on bilineal, no resultaron muy cerca del c´ırculo unitario lo cual hubiera provocado problemas de estabilidad debido a errores num´ericos. Se obtuvo el resultado de la figura 14. Como en el caso continuo, este controlador obtiene muy buenos resultados en un rango de 6mm. VI. Conclusiones El levitador es una planta simple y econ´omica que sirve para estudiantes de control b´asico y avanzado. Ya que, seg´ un el rango de trabajo, se puede resolver el problema mediante estrategias b´asicas de control lineal ´o aplicando algor´ıtmos complejos de identificaci´on y control no lineal. Mediante la t´ecnica de linealizaci´on exacta (no lineal) logramos estabilizar la planta en un rango de 6 mm y vimos que esto no era posible mediante un control lineal dise˜ nado por lugar de ra´ız. El Real-Time Workshop result´o muy ventajoso al trabajar con una planta tan inestable. Nos permiti´o tomar todas las mediciones que llevaron a la identificaci´on de la planta as´ı como tambi´en evaluar r´apidamente la performance de los distintos controladores. Resultando as´ı una herramienta poderosa para la implementaci´on de controladores con la PC y para la evaluaci´on de la performance de controladores que luego ser´an implementados por dispositivos m´as sim-

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Agradecimientos Los autores desean agradecer el aporte de Pablo Barrionuevo y de los Ingenieros Roberto Saco y Carlos Godfrid. Referencias T. H. Wong, ”Design of a magnetic levitation control systemAn undergraduate project” IEEE Trans. Educ., vol. E-29, pp. 196-200, Nov. 1986. [2] William G. Hurley and Werner H. Wolfle, ”Electromagnetic Design of a Magnetic Suspension System”, IEEE Trans. Educ., vol. 40, no. 2, pp. 124-130, May 1997. [3] Jong-Lick Lin and Boon-Chau Tho, ”Analysis and µ Based Controller Design for an Electromagnetic Suspension System”, IEEE Trans. Educ., vol. 41, no. 2, pp 116-129, May 1998. [4] Vilma A. Oliveira, Eduardo F. Costa and Jerson B. Vargas, ”Digital Implementation of a Magnetic Suspension Control System for Laboratory Experiments”, IEEE Trans. Educ., vol. 42, no. 4, pp 315-322, Nov. 1999. [5] Panayiotis S. Shiakolas, Stephen R. Van Schenck, Damrongrit Piyabongkarn and Ioannis Frangeskou, ”Magnetic Levitation Hardware-in-the-Loop and MATLAB-Based Experiments for Reinforcement of Neural Network Control Concepts”, IEEE Trans. Educ., vol. 47, no. 1, pp 33-41, Feb. 2004. [6] Real Time Workshop User´s Guide, MathWorks, Inc., Natick, MA, 1999. [7] Using Simulink, MathWorks, Inc., Natick, MA, 1999. [8] Jean-Jaques E. Slotin, Weiping Li, ”Applied Nonlinear Control”, Prentice-Hall, inc., 1991 [9] K. Ogata, ”Modern Control Engineering”, Prentice-Hall,4th ed., 2002. [10] P. H. Lewis and C. Yang, ”Basic Control System Engineering”, Prentice-Hall, inc., 1997. [11] A. Oppenheim and R. Schafer, ”Discrete-time Signal Processing.”, Prentice Hall, 1989. [1]

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